huỗi bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định Nguyễn Văn inh Năm 2015 húng ta bắt đầu từ bài toán sau. ài 1. (US TST 2012) ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho =, =. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua trực tâm tam giác. Đây là một bài toán khá thú vị và có nhiều cách để tiếp cận bài toán này. Trong bài viết này xin đưa ra 5 cách giải. hứng minh. ách 1. b c M Gọi b, c là chân đường cao kẻ từ,. M là trung điểm. Dễ thấy các tam giác M c và M b cân tại M nên M c, M b. Từ đó c = M c M = M M = b. b Mà c b nên c b. Suy ra c = b hay = c b = 180. Vậy ( ). ách 2. 1
b F c E T Gọi E là giao của với b, F là giao của với c. Kẻ T. Dễ thấy T là phân giác và T b nên E = E =, suy ra,,, E cùng thuộc một đường tròn. hứng minh tương tự,,,, F cùng thuộc một đường tròn. Mặt khác, E = =, F = = nên F E là hình thang cân hay F,, E, cùng thuộc một đường tròn. Vậy 6 điểm,,,, E, F cùng thuộc một đường tròn hay ( ). ách 3. b c E F Qua kẻ đường vuông góc với, cắt tại E; qua kẻ đường vuông góc với, cắt tại F. E cắt F tại. Do tam giác F vuông và = nên = = F. Tương tự = E. Suy ra EF = E + F = + =. ại có F, E nên = EF. Suy ra đường cao kẻ từ và tới bằng nhau hay. Suy ra. Như vậy,, () hay (EF ). ách 4. 2
T S G Gọi T, S lần lượt là hình chiếu của trên,. Kẻ đường cao G cắt (EF ) tại, cắt () tại. Dễ thấy T = T nên T/( ) = T T T/() T T = 1, tương tự S/( ) = 1. Suy ra ( ), S/() (T S), () đồng trục (xem [3]). Do G, T, S (T ) nên G/( ) G G = 1 = hay G là trung điểm. G/() G G Suy ra là trực tâm tam giác. ách 5. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dễ thấy = 2, = 180 2 nên ( ). Áp dụng định lý tolemy ta có. =. +. =.( + ) =.. Suy ra = = const. ại có hướng của các vector, không đổi và là phân giác X nên không đổi. Do chuyển động trên nên chuyển động trên một đường thẳng song song với. Suy ra ( ) đi qua một điểm cố định nằm trên đường cao kẻ từ tới. Khi trùng trung điểm,, trở thành chân đường cao kẻ từ và, khi đó ( ) đi qua trực tâm tam giác. Vậy ( ) luôn đi qua trực tâm tam giác. 3
Thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho các tam giác, lần lượt cân tại,, ta thu được bài toán sau. ài 2. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho =, =. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Q hứng minh. Gọi () là đường tròn ngoại tiếp tam giác, Q là điểm đối xứng với qua. Theo phép đối xứng, Q = =. Ta thu được, Q,, cùng thuộc một đường tròn. Suy ra Q = Q. ũng theo phép đối xứng, Q = =, Q = = suy ra Q = 1 2 Q = 1 Q = Q. Từ đó Q cũng nằm trên (). 2 Suy ra Q = 2 Q = Q hay Q,,, cùng thuộc một đường tròn. Ta thu được ( Q). Tiếp tục cho các tam giác, lần lượt cân tại, ta thu được bài toán mới. ài 3. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho =, =. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác. E F I D hứng minh. Gọi D, E, F là tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác với các cạnh,,. Không mất tổng quát giả sử nằm giữa và F. 4
Ta có D = E, = suy ra F = D, tương tự E = D. Ta thu được F = E, từ đó F I = EI(c.g.c) Suy ra IF = IE. Do nằm giữa và F nên D nằm giữa và hay nằm giữa D và, suy ra E nằm giữa và. Suy ra I = F IE = 180. Vậy ( ) đi qua I. Ta có thể phát biểu lại bài toán 3 theo cách khác. ài 4. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho + = và + =. Gọi, lần lượt đối xứng với, qua trung điểm,. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác. hứng minh. Ta có + = + = + = + = nên tồn tại một điểm trên sao cho =, =. Áp dụng bài 3 suy ra đpcm. ó nhiều cách xác định hai điểm, trên,. ài toán tiếp theo là một kết quả khá quen thuộc. ài 5. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho,. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua một điểm cố định khác. hứng minh. Dễ thấy khi, đường tròn ( ) đi qua,,, tức là đường tròn ω 1 qua, và tiếp xúc với. Tương tự khi, đường tròn ( ) biến thành đường tròn ω 2 qua, và tiếp xúc với. Gọi là giao điểm thứ hai của ω 1 và ω 2 suy ra cố định. Ta chứng minh ( ) đi qua. Ta có =, =. Suy ra = = 180 và. Do = =, ta thu được. Suy ra = hay = = 180. Vậy ( ) luôn đi qua cố định. Nhận xét. ạn đọc có thể chứng minh là hình chiếu của tâm ngoại tiếp tam giác trên đường đối trung ứng với đỉnh. Thay giả thiết song song bằng vuông góc ta thu được bài toán mới. 5
ài 6. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho,. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua một điểm cố định khác. ' M ' hứng minh. Gọi M là trung điểm. Do là trực tâm tam giác nên = 2M, suy ra = 2M = 2 cos = const. Trên lấy điểm sao cho =. Suy ra = 1 2 cos. Do chuyển động trên nên chuyển động trên đường thẳng d là ảnh của qua phép vị 1 tự tâm tỉ số 2 cos. Mặt khác, và đẳng giác trong nên và đối xứng qua phân giác. Suy ra chuyển động trên l là ảnh của d qua phép đối xứng trục là phân giác. Như vậy ( ) luôn đi qua điểm đối xứng với qua l. Sau đây là một số bài toán được biến đổi giả thiết khác, mỗi bài toán đều có phát biểu khá đơn giản nhưng lại không dễ, mời bạn đọc thử tự chứng minh trước khi xem lời giải. ài 7. (EM Shortlist 2013) ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. ( ) giao tại, ( ) giao tại. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua một điểm cố định khác. 6
K T M ' J hứng minh. Gọi T là hình chiếu của trên, là trực tâm tam giác. M là trung điểm, M cắt () tại J sao cho và J khác phía với. M cắt ( ) tại. Gọi K là giao của và. đối xứng với qua. Ta có = = 180 = 180. Suy ra K ( ). Suy ra K = = hay K ( ). Từ đó K = K = = hay,, K thẳng hàng. Do K ( ) nên K = 180 =, suy ra K (). ại có () và () đối xứng nhau qua nên (), M = MJ. Từ đó T M J. Ta thu được KJ = = = = K hay (). Vậy ( ) luôn đi qua giao điểm của trung tuyến ứng với đỉnh với () hay hình chiếu của trực tâm trên M. ài 8. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho =, =. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua một điểm cố định khác. 7
' ' ' K' ' K ' hứng minh. Gọi là tâm ngoại tiếp tam giác,, K lần lượt là hình chiếu của, trên. Do =, = ta thu được =, K = K, từ đó K = 1 2. Gọi, lần lượt đối xứng với, qua. Suy ra =. Gọi, K là hình chiếu của, trên. Ta có K = K = 1 2. Trên lấy sao cho =, suy ra K = K. Áp dụng bài 2 ta thu được ( ). Theo phép đối xứng tâm, ( ) đi qua điểm đối xứng với qua và đó là điểm cố định. ài 9. ho tam giác. là điểm chuyển động trên. Kẻ, lần lượt vuông góc với,. Đường tròn ( ) giao lần thứ hai tại M, đường tròn ( ) giao lần thứ hai tại N. hứng minh rằng (MN) luôn đi qua một điểm cố định. F T N E M hứng minh. Qua, lần lượt kẻ đường vuông góc với cắt, tại E, F. Khi đó E ( ) và F ( ). 8
Gọi là giao của EF với ( ) thì F = 90, suy ra ( ) hay là giao điểm của hai đường tròn ( ) và ( ). Ta có NM = NF + EM = F + E = = NM hay (NM). Kẻ, giao EF tại T. Ta có NT = = F = NT, do đó T (NM). Mà EF là hình thang có là giao điểm 2 đường chéo nên = T. Suy ra T cố định. Vậy (MN) luôn đi qua điểm đối xứng với chân đường cao kẻ từ qua. ài 10. ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Kẻ E, F. Gọi, lần lượt là các điểm trên, sao cho = E, = F. hứng minh rằng ( ) luôn đi qua một điểm cố định khác. hứng minh. Gợi ý. ấy đối xứng của và qua phân giác được,. Qua, kẻ đường song song với, cắt nhau tại T. hứng minh T chuyển động trên đường thẳng song song với sau đó áp dụng bài 5. Tài liệu [1] v-enhance, Fixed point of (DE), os Forum. http://artofproblemsolving.com/community/q2h550606p3195787 [2] v-enhance, (EF ) passes through a fixed point on -median, os Forum. http://artofproblemsolving.com/community/c6h545085p3151962 [3] Nguyễn Văn inh, Tỉ số phương tích và ứng dụng, Euclidean Geometry blog. http://nguyenvanlinh.wordpress.com Email: ovemathforever@gmail.com 9