wwwliscpgetl Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại ọc củ các trường trong nước năm ôn: ÌN Ọ KÔNG GN (lisc cắt và dán) ÌN ÓP ài ho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, tm giác đều, tm giác vuông cân tại Gọi, J, K lần lượt là trung điểm củ các cạnh,, hứng minh rằng ( J ) ( ) Tính thể tích khối chóp K Giải Từ giả thiết t có: (J) J K o ( ) ( J ) ( ) K' J ( J ) ( ) +Kẻ J do ( ) ( J ) ( ) J +Goi K là hình chiếu vuông góc củ K lên () khi đó KK '// do K là trung điểm nên K là trung điểm & KK ' Từ đó t có: V K KK ' ễ thấy: ; J ; J J vuông tại vì: + J J J ừ hệ thức JJ KK ' J 4 8 ( + ) T có là hình thng vuông ti và nên 4 Thy vào t được V K ài ho hình chóp có đáy là hình thng vuông tại và với là đáy nhỏ iết rằng tm giác là tm giác đều có cạnh với độ dài bằng và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, 5 bằng và khoảng cách từ tới mặt phẳng ( ) (ở đây là trung điểm ) ãy tính thể tích khối chóp theo
Giải E E O F Từ giả thiết suy r ( ) Theo định lý Pythgors t có 4 ' o đó tm giác vuông cân tại và Gọi E thế thì tm giác E cũng vuông cân và do đó E d ; d ; suy r E 4 ( ) ( ) ( ) uy r ( + ) 4 (đvdt) Vậy 4 V (đvtt) ài ho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 6 và cạnh đáy bằng ) Tính thể tích khối chóp ) Qu dựng mặt phẳng (P) vuông góc với Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) cắt hình chóp Giải ) * * O 6 O O tn 6 6 O * V 6 6 6 b) * Giả sử ( P ) Vì ( P ) và (P) nên ặt khác,gọi EF ( P ) ( ) với E ; F thì EF // và EF qu với O (do ;( P ) nên //(P) ) * T thấy mặt phẳng (P) cắt theo thiết diện là tứ giác EF có tính chất EF o đó EF EF * T thấy đều (vì góc 6, ), mà nên Và là trung tuyến củ ặt khác O cũng là trung tuyến củ tâm củ * T có 45 45 EF O 5 EF và 6 nên là trọng
6 EF EF ài 4 ho hình chóp có đáy là tm giác vuông cân đỉnh, Gọi là trung điểm củ cạnh ình chiếu vuông góc củ lên mặt phẳng () thỏ mãn Góc giữ và mặt đáy () bằng 6 ãy tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ trung điểm K củ đến mặt phẳng () Giải *T có thuộc ti đối củ ti và *T có thuộc ti đối củ ti và uy r, + 5 T có + cos 45 5 Vì ( ) (, ( )) 6 tn 6 5 T có + cos 45 5 Vì ( ) (, ( )) 6 tn 6 5 Thể tích khối chóp là: V ( dvtt ) 6 ( ) d ( K, ( )) K (,( )) (,( )) d K d d, ( ( )) ài 5 ho hình chóp có đáy là tm giác vuông tại ; vuông góc với đáy,, Trên ti đối củ ti lấy điểm so cho α ( < α < 9 ) Gọi và K lần lượt là trung điểm củ và, là hình chiếu củ lên Xác định α để thể tích khối chóp K đạt GTLN Tính thể tích khối chóp khi đó Giải ó chạy trên nử đường tròn đường kính phần 5 có chứ điểm + 5 5 5 VK ( ) d(, ) ( ) ấu xảy r 4 khi và chỉ khi kết hợp với suy r α 45 (Đã tới đề 9)
ài 6 ho hình chóp có đáy là tm giác vuông cân tại cạnh huyền bằng G 4 là trọng tâm tm giác, G ( ), Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) K G Giải Gọi là trung điểm, G Tm giác vuông G G + G 4 4 G G 4 4 V G 4 Kẻ GK, K,( GK / / ) K G GK K G + GK + ; 4 V h là khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) h ài 7 ho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng cm, các cạnh cm Tm giác có diện tích bằng 6 cm Tính thể tích củ khối chóp Giải Gọi là hình chiếu củ trên () suy r nằm trên (Vì, là trung trực củ ) o đó đường co củ hình chóp cũng là đường co củ tm giác ; Gọi O là gio điểm củ và Vì nên O O suy r tm giác là tm giác vuông tại Vì dt() 6 và nên 4; suy r 5, /5 là hình thoi có, O 5/ nên O suy r dt() 5 V dt( ) Vậy thể tích khối chóp bằng ài 8 ho hình chóp có (với > ); tạo với đáy () một góc bằng 6 Tm giác vuông tại, G là trọng tâm tm giác i mặt phẳng (G) và (G) cùng vuông góc với mặt phẳng () Tính thể tích hình chóp theo Giải Gọi K là trung điểm T có G ( ); G 6, G 9 Từ đó K ; G Trong tm giác đặt x x; x 4 9 7 4 T có K + K nên x uy r V G (đvtt) 4 ài 9 ho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, vuông góc với mặt phẳng đáy và Gọi, N lần lượt là trung điểm củ các cạnh, ; là gio điểm củ và mặt phẳng (N) hứng minh vuông góc với và tính thể tích khối chóp
Giải hứng minh : T có N ; N (N) N N Kẻ // () (vì () ) V + V 4 6 ài : ho hình chóp có đáy là tm giác vuông tại,, 4 góc tạo bởi các mặt bên và đáy bằng 6 o Tính thể tích củ khối chóp Giải N K O Gọi là hình chiếu củ lên ();, N, K lần lượt là hình chiếu củ lênh cạnh,, Khi đó thể tích V củ khối chóp được tính bởi công thức V mà 6 Tính Xét các tm giác, N, K vuông tại, có các góc, N, K bằng 6 do đó N K > là tâm đường tròn nội tiếp tm giác > > tn6 + + Vậy V 6 ài ho hình chóp, đáy là hình thoi x ( < x < ) các cạnh còn lại đều bằng Tính thể tích củ hình chóp theo x Giải Gäi O lµ gio ióm cñ vµ T có ( c c c) O O Vậy tm giác vuông tại + + x ặt khác t có + + + + x do < x < ( ) ài ho hình chóp có đáy là hình thoi ; hi đường chéo, và cắt nhu tại O; hi mặt phẳng () và () cùng vuông góc với mặt phẳng ()
iết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () bằng, tính thể tích khối chóp 4 theo Giải Từ giả thiết ; và, vuông góc với nhu tại trung điểm O củ mỗi đường chéot có tm giác O vuông tại O và O ; O, do đó 6 y tm giác đều Từ giả thiết hi mặt phẳng () và () cùng vuông góc với mặt phẳng () nên gio tuyến củ chúng là O () o tm giác đều nên với là trung điểm củ, K là trung điểm củ t có và ; OK // và OK OK (OK) Gọi là hình chiếu củ O lên K t có O K; O O (), hy O là khoảng cách từ O đến mặt phẳng () Tm giác OK vuông tại O, O là đường co + O O OK O iện tích đáy 4 O O O ; đường co củ hình chóp O O Thể tích khối chóp : V O K ài ho hình chóp có đáy là hình bình hành có góc 6 ; ; 4 i mặt phẳng () và () cùng vuông góc với đáy; tạo với đáy góc 45, Tính thể tích khối chóp, Gọi E, F lần lượt là trung điểm củ và Tính khoảng cách giữ hi đường thẳng E và F Giải T có: () () () () ( là góc giữ và () 45 Trong Δ có: + cos( ) Trong tm giác vuông tại, t có: tn( ) Δ sin() 9 V E F J K, Tính khoảng cách giữ E, F Trong mp(), dựng // E ( ) E // (F)
d (E,F) d (E,(F)) d (,(F)) Gọi là trung điểm củ là trung điểm d (,(F)) d (,(F)) ạ K vuông góc với tại K; J vuông góc với FK tại J T có: F // F () F (FK) (F) (FK) J (F) J d (,(F)) Δ T thấy: Δ K + T có: cos( ) cos( ) E E + Ecos() 4 K F 4 6 Trong tm giác FK vuông tại, có: + + J K F 48 64 4 9 9 J d ( ),(F) 9 9 9 Vậy: d (E, F) 9 ài 4 ho hình chóp có đáy là hình thng vuông tại và,, ; hi mặt phẳng () và () cùng vuông góc với mặt phẳng () ạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 6 ; gọi G là trọng tâm củ tm giác Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ G đến mặt () Giải +) Từ giải thiết t có ( ) suy r (, ()) 6 T có ( + ) (đvdt) +) do tm giác vuông cân tại, > tn 6 6 6 Vậy V (đvtt) ) chứng minh được ( ), kẻ > () 6 ó + ) Gọi E là trung điểm,kẻ GK //, K thuộc E >GK () và GK EG 6 GK Vậy d( G, () E 6 6 GK 6 G K E
Gọi N là điểm đối xứng củ N qu thì N thuộc, t có : > N ( 4; 5)> Pt đường thẳng : 4x + y 4 + Khoảng cách từ đến đường thẳng : d 4 + nên, đặt x, x trong tm giác vuông có: d x + 4 x suy r x 5 suy r 5 Từ đó t có thuộc ( ): ( x ) + ( y ) 5 Điểm là gio điểm củ đt : 4x + y với đường tròn tâm bán kính 5 ài 5 ho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và có góc 6, hi mặt phẳng () và () cùng vuông góc với đáy, góc giữ hi mặt phẳng () và () bằng Tínhthể tích khối chóp và khoảng cách giữ hi đường thẳng, theo Giải Gọi O, là trung điểm và là trung điểm củ o tm giác là tm giác đều cạnh nên:, O và O 4,, Vì () và () cùng vuông góc với () nên O ( ) uy r: ( ) ( ) ( ) o O, O, O Xét tm giác vuông O t được: O O t n 4 4 uy r: V O 4 4 Gọi J O và là hình chiếu vuông góc củ J trên uy r: J O J / / / / uy r: và ( ) o ( ) (, ),( ),( ) d d d J J Xét tm giác vuông J t được: d 4 Vậy (, ) J J sin 4 ài 6 Trong không gin, cho tm giác vuông cân có cạnh huyền Trên đương thẳng d đi qu và vuông góc với mặt phẳng () lấy điểm, so cho mặt phẳng () tạo với mặt phẳng () một góc 6 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Giải Từ giả thiết suy r vuông tại kết hợp với d ( ) uy r ( ) o đó 6 o vuông tại và Trong tm giác vuông t có tn 6 6 Trong tm giác có: + o 9 nên tứ diện nội tiếp trong mặt cầu đường kính uy r bán kính mặt cầu bằng Vậy mc 4π R π (ĐVT) LĂNG TRỤ ài ho lăng trụ tm giác đều có chín cạnh đều bằng 5 Tính góc và khoảng cách giữ hi đường thẳng và Giải Tính góc và khoảng cách giữ hi đường thẳng và T có đáy lăng trụ là tm giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5 5 ựng hình bình hành 5, 5, sin 6 5 (do vuông tại vì ) α ; ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) + + 5 5 5 cos nhọn từ đó 5 5 4 α cos α T thấy / / mp ( ), mp ( ) từ đó 4 V d (, ) d (, mp( )) d (, mp( )) V dt sin α 5 5 dt 4 5 Đáp số sin α 5 5 5 4 cos α α 4 d (, ) 5 ( ( ; )) ' ' ' ' ài ho lăng trụ đứng có thể tích V ' ' ' ác mặt phẳng ( ), ( ), ( ) cắt ' nhu tại O Tính thể tích khối tứ diện O theo V Giải Gọi, J ' J O
(') (') (') (') J O là điểm cần tỡm Goi O J T cú O là trọng tõm tm giỏc Gọi là hỡnh chiếu củ O lờn () o là hỡnh chiếu vuụng gúc củ trờn () nờn là trọng tõm O Gọi là trung điểm T có: ' VO O ' V 9 9 ài ho lăng trụ tm giác đều ' ' ' có cạnh đáy là và khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) bằng Tính theo thể tích khối lăng trụ ' ' ' GiảiGọi là trung điểm, hạ vuông góc với T có: ( ' ) ' à ' ( ' ) 6 ặt khác: + ' ' 4 KL: V ' ' ' 6 ài4 ho hình lăng trụ có đáy là tm giác đều cạnh bằng 5 và 5 hứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi O là tâm củ tm giác đều O O O Ngoài r t có 5 O là trục đường tròn ngoại tiếp tm giác O ( ) O là hình chiếu vuông góc củ lên mp ( ) à O do / / hy hình bình hành là hình chữ nhật 5 5 6 O O O; O O 5 T có ( ) 5 5 6 5 Thể tích lăng trụ : V dt O 4 4 ài 5 ho hình lập phương có độ dài cạnh bằng Trên các cạnh và lấy lần lượt các điểm, N so cho N x Xác định ví trí điểm so cho khoảng cách giữ hi dường thẳng và N bằng Giải T có N / / N / / ( ) d ( N, ) d ( N,( ))
Gọi và K / /,K Vì K x K K và ( ) Từ đó suy r ( ) ( ( )) ( ) K K d N, d N, Nên x K x Vậy thỏ mãn ài 6 ho lăng trụ có đáy là tm giác vuông cân tại,, vuông góc với mặt phẳng () Góc giữ ( ) và ( ) bằng 6 Tính thể tích lăng trụ Giải Từ kẻ là trung điểm ( ) () Từ kẻ () Từ () () ( ) () Từ () () góc giữ ( ) và ( ) bằng góc giữ và 6 (o tm giác vuông tại ) T có tn 6 + 4 + 4 V N ài 7ho hình lăng trụ đứng có,, và đường thẳng ' ' ' góc Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách tạo với mặt phẳng ( ) giữ hi đường thẳng ', ' theo Giải Trong (), kẻ ( ) ' ' là hình chiếu vuông góc củ lên ( ) o đó: ',( ' ') ( ', ' ) ', suy r ( ) sin + cos 7 7 7 nên
uy r: ' sin 7 5 Xét tm giác vuông t được: ' ' 7 5 uy r: V ' 4 '/ / ' '/ / ' ' uy r: o ( ) d ( ', ') d ( ', ( ' ' )) d (, ( ' ' )) 7 ài 8 ho khối lăng trụ tm giác có đáy là tm giác đều cạnh, điểm cách đều b điểm,, ạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α ãy tìm α, biết thể tích khối lăng trụ bằng T có tm giác đều cạnh nên ặt khác là tứ diện đều G Gọi G là trọng tâm tm giác, t có G là đường co Trong tm giác có G Trong tm giác vuông G có: Gα GGtnα tnα V LT G tnα α 6 T có: + b + b + bc + bc + b + 4 b + b4 c + 4 b6 c 4 4 4 + 4b b + 4c + 4b + 6 c 8( + b + c ) + b + + + 7 4 4 4 6 4 ấu bằng xảy r khi và chỉ khi, b, c 7 7 7