ShaMO 30 A1. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 6 và a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 12. Chứng minh rằng 36 4 ( a 3 + b 3 + c 3 + d 3) ( a 4 + b 4 + c 4 + d 4) 48. A2. Cho tam giác ABC, với I là tâm nội tiếp và Γ là đường tròn ngoại tiếp của nó, AI cắt lại Γ ở D. Cho E là điểm trên cung BDC, và F là điểm trên đoạn BC sao cho BAF = CAE < 1 2 BAC. Gọi G là trung điểm của IF. Chứng minh rằng giao điểm của EI và DG nằm trên Γ. A3. Tìm tất cả các hàm f : N N sao cho f(4) = 4 và 1 f(1)f(2)f(3) + 1 f(2)f(3)f(4) + + 1 f(n)f(n + 1)f(n + 2) = (n + 3)f(n) 4f(n + 1)f(n + 2) n 2. B1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD. Gọi P là hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp tứ giác xuống AC. Chứng minh rằng ÂP B = ÂP D. B2. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn f(x 2 + y + f(y)) = 2y + f 2 (x) x, y R. B3. Chứng minh rằng không có các số nguyên dương m, n thỏa mãn m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4. C1. Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn a 2 < bc. Chứng minh rằng b 3 + ac 2 > ab(a + c). C2. Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu. Chứng minh rằng có một tam giác với ba đỉnh cùng màu sao cho nó có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 và một góc gấp đôi hoặc ba một góc khác. C3. Cho P, Q Z[x] và a n = n! + n n 1. Chứng minh rằng nếu P (a n) Q(a n ) Z n 1 thì P (n) Q(n) Z với mỗi n N thỏa mãn Q(n) 0.
ShaMO 31 A1. Cho số thực a 3 và P R[x] sao cho deg P = n. Chứng minh rằng max P (i) 0 i n+1 ai 1. A2. Cho n điểm trong mặt phẳng sao cho chúng không cùng nằm trên một đường thẳng. Một đường thẳng l được gọi là tốt nếu ta có thể chia tập các điểm trên thành hai tập A, B sao cho tổng các khoảng cách từ các điểm trong A đến l bằng tổng các khoảng cách từ các điểm trong B đến l. Chứng minh rằng có vô hạn các điểm trong mặt phẳng sao cho qua mỗi điểm này có ít nhất n + 1 đường thẳng tốt. A3. Cho x, y và z là các số nguyên thỏa mãn yx 2 + (y 2 z 2 )x + y(y z) 2 = 0. a) Chứng minh rằng xy là một số chính phương; b) Chứng minh rằng có vô hạn bộ ba (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức trên. B1. Đặt S = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0 và xyz = 1}. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho biểu thức x n + y n + z n là hằng số trên S. B2. Tìm tất cả các toàn ánh f : R R sao cho f(x + f(x) + 2f(y)) = f(2x) + f(2y) x, y R. B3. Với mỗi số nguyên dương n > 1, gọi A n là dãy tăng tất cả các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Tìm tất cả n để A n là một cấp số cộng. C1. Cho các số thực dương a, b, c và d thỏa mãn a + b + c + d = abc + abd + acd + bcd. Chứng minh rằng (a + b)(c + d) + (a + d)(b + c) 4 (1 + ac)(1 + bd). C2. Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho mệnh đề sau là đúng: Nếu f Z[x] thỏa mãn 0 f(c) k với mỗi c = 0, 1,, k + 1 thì f(0) = f(1) = = f(k + 1). C3. Mặt phẳng được chia thành các ô vuông đơn vị bởi các đường thẳng đứng và ngang, các ô vuông con được tô bởi một trong hai màu: đen và trắng (hai ô chung một cạnh sẽ có màu khác nhau). Như vậy ta có hình giống như bàn cờ thông thường, nhưng cỡ của nó là vô hạn. Với mỗi cặp (m; n) các số nguyên dương, ta xét một tam giác vuông với các đỉnh là đỉnh của các ô vuông con, các cạnh góc vuông có độ dài là m và n, và nằm trên các đường nằm ngang hay thẳng đứng. Gọi S b là diện tích phần tô đen trong tam giác và S w là diện tích phần tô trắng trong tam giác, đặt f(m, n) = S b S w. a) Tính f(m, n) nếu m, n có cùng tính chẵn lẻ; b) Chứng minh rằng f(m, n) 1 max(m, n); 2 c) Chứng minh rằng f(m, n) không bị chặn trên.
ShaMO 32 A1.Với x 1 ta định nghĩa f(x) = [x] + {x} x. Tìm số thực bé nhất z sao cho f(x) z x 1. Cho trước số thực x 0 1 và định nghĩa x n = f(x n 1 ) n 1. Chứng minh dãy (x n ) là dãy hội tụ. A2. Cho n là một số nguyên dương và f(x) = x n + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 R[x]. Chứng minh rằng tồn tại i {1, 2,, n} sao cho f(i) n!. A3. Đường tròn ω với tâm O cho trước. Từ một điểm T bất kỳ bên ngoài ω vẽ các tiếp tuyến T B and T C của nó. K và H trên T B và T C tương ứng. 1/. B và C là các giao điểm thứ hai của OB và OC với ω tương ứng. K và H nằm trên phân giác của các góc BCO và CBO tương ứng sao cho KK BC và HH BC. Chứng minh rằng K, H, B thẳng hang khi và chỉ khi H, K, C thẳng hàng. 2/. Cho là có hai đường tròn trong T BC sao cho chúng tiếp xúc với nhau tại J, cả hai tiếp xúc với ω; và một đường tròn tiếp xúc với T B tại K, đường tròn kia tiếp xúc với T C tại H. Chứng minh rằng hai tứ giác BKJI và CHJI nội tiếp (I là tâm nội tiếp của tam giác OBC). B1. Cho các số thực dương a, b và c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a 1 + (b + c) 2 + b 1 + (a + c) 2 + c 1 + (a + b) 2 3(a2 + b 2 + c 2 ) a 2 + b 2 + c 2 + 12abc. B2. Cho số nguyên dương n. Tìm tất cả bộ n số nguyên dương (a 1, a 2,, a n ) sao cho a i a j, gcd(a i, a j ) = 1 với mỗi i j và với mỗi 1 i n ta có C i n a 1 + a 2 +... + a n a i 1 + a i 2 +... + a i n. B3. Cho hàm số f : (0; ) (0; ) thoả mãn điều kiện ( ) 1 f(3x) f 2 f(2x) + 2x x > 0. Chứng minh rằng f(x) x x > 0. C1. Chứng minh rằng không tồn tại một tập hữu hạn các đường tròn trong mặt phẳng sao cho chúng có phần trong đôi một rời nhau và mỗi đường tròn tiếp xúc với ít nhất sáu đường tròn khác trong tập. C2. Cho các số thực a, b, c và số dương λ sao cho đa thức f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c có ba nghiệm thực x 1, x 2, x 3 thỏa mãn x 2 x 1 = λ và x 3 > x 1 + x 2 2 C3. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H và tâm nội tiếp I. Các điểm B 1, C 1 là trung điểm của AC, AB tương ứng. Gọi B 2 B là giao điểm của tia B 1 I với cạnh AB, C 2 C là giao điểm của tia C 1 I với phần kéo dài của cạnh AC, B 2 C 2 cắt BC tại K, và A 1 là tâm của (BHC). Chứng minh rằng A, I, A 1 thẳng hàng khi và chỉ khi S BKB2 = S CKC2.. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2a3 + 27c 9ab λ 3.
ShaMO 33 A1. Cho hai dãy (x n ), (y n ) thỏa mãn x n+2 = x n + x 2 n+1 và y n+2 = y 2 n + y n+1 với mỗi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu x 1, x 2, y 1, y 2 đều lớn hơn 1 thì x n > y n với mỗi n đủ lớn. A2. Cho tam giác nhọn ABC. Tìm P nằm trong tam giác sao cho AB BC CA = P A P B AB + P B P C BC + P C P A CA. A3. Cho X là tập khác rỗng có n phần tử và C là tập các màu với p 1 phần tử. Tìm p lớn nhất có tính chất: Nếu ta tô màu mỗi tập con của X theo một cách tùy ý bằng các màu trong C sao cho mỗi tập con mang đúng một màu thì có hai tập con khác nhau A, B của X thỏa mãn A, B, A B và A B cùng màu. B1. Tìm tất cả các hàm f : N [1; + ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1/. f(2) = 2; 2/. f(mn) = f(m)f(n) với mỗi hai số nguyên dương m và n; 3/. f tăng ngặt trên N. B2. M, N là các điểm nằm bên trong tam giác ABC sao cho MAB = NAC, MBA = NBC. Chứng minh rằng BM BN CM CN + + AM AN AB AC BA BC B3. Cho ba số thực a, b và c nằm trong đoạn a a + b + b b + c + CA CB = 1. [ ] 1 3 ; 3. Chứng minh rằng c c + a 7 5. C1. Cho P là đa thức khác hằng với hệ số hữu tỷ thỏa mãn P 1 (Q) Q. Chứng minh rằng deg P = 1. C2. Tìm số thực dương k lớn nhất sao cho với mỗi bốn số thực dương a, b, c, d ta luôn có (a + b + c) [ 3 4 (a + b + c + d) 5 + 2 4 (a + b + c + 2d) 5] kabcd 3. C3. Cho 2010 số thực dương a 1, a 2,, a 2010 thỏa mãn điều kiện a i a j i + j với mỗi hai chỉ số khác nhau i, j. Tìm giá trị lớn nhất của a 1 a 2 a 2010.
ShaMO 34 A1. Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ p sao cho số 1 + k(p 1) là một số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 1 k p 1 2. A2. Cho tam giác nhọn ABC với Ĉ > B. D là một điểm trên cạnh BC sao cho tam giác ADB là tam giác tù. H là trực tâm của tam giác BAD. Chứng minh rằng F là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi CF HD và H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A3. Tìm tất cả các hàm f : N N sao cho f(f(n) + f(n) = 2n + 6 n N. B1. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương n sao cho [n 3] là một lũy thừa của 2. B2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho bảng vuông n n có thể lát bởi các miếng 2 2 và 3 3. B3. Cho số nguyên n > 2 và ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Tìm tất cả các bộ n số thực (x 1, x 2,, x n ) thỏa mãn ax i 1 + bx i + cx i+1 0 i 2. Ở đây chỉ số được mở rộng theo modulo n. C1. Cho x 1,..., x n là các số thực dương. Chứng minh rằng có các số a 1,..., a n { 1, 1} thỏa mãn a 1 x 2 1 + a 2 x 2 2 +... + a n x 2 n (a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n ) 2. C2. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O lên AB, BC, CA. Đường thẳng đi qua A vuông góc với EF cắt đường thẳng đi qua B vuông góc với F D tại P. Gọi H là hình chiếu của P lên AB. Chứng minh rằng D, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn. C3. Tìm tất cả các hàm f : R R sao cho f liên tục trên R và f(f(x)) = f(x) + x x R.
ShaMO 35 A1. Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại duy nhất hàm f : R R thoả mãn f(x 2 + y + f(y)) = f 2 (x) + ay x, y R. A2. Chứng minh rằng có duy nhất cặp (a, n) với a, n là các số nguyên dương sao cho a n+1 (a + 1) n = 2001. A3. Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp I, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại K. Chứng minh rằng nếu IO BC thì AO HK. B1. Tìm tất cả các hàm f, g : R R thoả mãn B2. Giải phương trình sau trên N f(x + yg(x)) = g(x) + xf(y) x, y R. 5 x 7 y + 4 = 3 z. B3. Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC ta có r R + (a b)2 + (b c) 2 + (c a) 2 16R 2 1 2. C1. Tìm tất cả các số nguyên dương x và y thỏa mãn x 2 y! = 2001. C2. Cho S là một tập với 2011 phần tử, và N là một số nguyên thỏa mãn 0 N 2 2011. Chứng minh rằng có thể tô màu tất cả các tập con của S bởi một trong hai màu xanh, đỏ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời 1/. Hợp của hai tập đỏ là tập đỏ 2/. Hợp của hai tập xanh là một tập xanh 3/. Có đúng N tập đỏ. C3. a)tìm tất cả các giá trị mà tổng a a + b + d + b a + b + c + c b + c + d + có thể nhận khi a, b, c, d là các số thực dương. b)cho số nguyên dương n > 3. Tìm tất cả các giá trị mà tổng x 1 x n + x 1 + x 2 + x 2 x 1 + x 2 + x 3 + có thể nhận khi các x i là các số thực dương. x 3 x 2 + x 3 + x 4 + + d c + d + a x n 1 x n 2 + x n 1 + x n + P.S. 11 năm nay bay hết, phí thật! Buồn qua nhanh và cố năm sau nhé! x n x n 1 + x n + x 1
ShaMO 36 A1. Cho số nguyên dương n > 1. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức x 1 + x2 2 2 + + xn n n. Ở đây x 1, x 2,, x n là các số thực dương thỏa mãn 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 x n = n. A2. Tìm tất cả các hàm f : R R sao cho f đơn điệu ngặt trên R và f(4x) f(3x) = 2x x R. A3. Cho tam giác ABC và X nằm trên BC sao cho C nằm giữa B và X. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn nội tiếp tam giác ABX và đường tròn nội tiếp tam giác ACX đi qua một điểm cố định. A4. Các đỉnh của tam giác ABC có tọa độ nguyên, và trên các cạnh của nó không còn điểm nguyên nào khác. Biết rằng bên trong tam giác ABC có đúng một điểm có tọa độ nguyên G. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.
ShaMO 37 Một chút mặn giữa đại dương vời vợi A1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k ta có 1 1 sin 2 π + 4k + 2 sin 2 3π 4k + 2 + sin 2 1 5π 4k + 2 + + 1 2 (2k 1)π sin 4k + 2 = 2k(k + 1). A2. Cho số nguyên k. Tìm tất cả các hàm f : Z ( ; 0) Z sao cho f(n)f(n + 1) = (f(n) + n k) 2 n = 2, 3, 4, A3. Tìm tất cả các số nguyên không âm m và n sao cho (2 n 1) (3 n 1) = m 2.
ShaMO 38 Một chút mặn giữa đại dương vời vợi A1. Cho n, k là các số nguyên dương thỏa mãn n 2k > 3 và A = {1, 2,, n}. Tìm tất cả các số nguyên dương n, k sao cho số tập con k phần tử của A gấp 2n k lần số tập con 2 phần tử của A. A2. Cho a, b là các số thực ( khác ) 0. Tìm tất cả f : R R sao cho f(2x) = af(x) + bx x R x và f(x)f(y) = f(xy) + f x, y R, y 0. y A3. Cho tứ giác lồi ABCD với BA BC. Kí hiệu đường tròn nội tiếp của các tam giác ABC, ADC bởi k 1, k 2 tương ứng. Biết rằng có đường tròn k tiếp xúc với tia đối của tia AB, tia đối của tia CB, đường thẳng AD và đường thẳng CD. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của k 1, k 2 cắt nhau trên k. B1. Tìm tất cả các hàm f : (0, + ) (0, + ) sao cho (f(w)) 2 + (f(x)) 2 f(y 2 ) + f(z 2 ) = w2 + x 2 y 2 + z 2 với mỗi 4 số thực dương w, x, y, z, thỏa mãn wx = yz. B2. Cho số nguyên dương n. Với mỗi hoán vị f của {1, 2,, n} ta đặt Tìm f để S(f) lớn nhất, bé nhất. S(f) = f(1)f(2) + f(2)f(3) + + f(n)f(1). B3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n = d 2 6 + d 2 7 1 ở đây là tất cả các ước dương của n. 1 = d 1 < d 2 < < d k = n C1. Tam giác ABC có các góc bé hơn 120. Dựng ra phía ngoài tam giác này các tam giác đều AF B, BDC, CEA. Chứng minh rằng 1/. Các đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm S. 2/. SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC). C2. Tìm tất cả P R[x] sao cho P (x)p (x + 1) P (x 2 + x + 1). C3. Cho 9 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Các đoạn thẳng nối hai trong các điểm này được tô xanh hoặc đỏ. Biết mỗi tam giác có các đỉnh là 3 trong 9 điểm đã cho có ít nhất một cạnh đỏ. Chứng minh rằng có 4 điểm trong 9 điểm đã cho thỏa mãn: Mỗi đoạn thẳng có các đầu mút là các điểm này đều mang màu đỏ.
ShaMO 39 Một chút mặn giữa đại dương vời vợi A1. Bốn số nguyên được viết lên một đường tròn. Ở mỗi bước ta thay mỗi số bằng hiệu giữa số đó và số đứng ngay sau nó trên đường tròn theo chiều kim đồng hồ, chẳng hạn a, b, c, d sẽ thành a b, b c, c d, d a. Hỏi sau 1996 bước chuyển như trên ta có thể được các số a, b, c, d sao cho bc ad, ab cd, ca bd là các số nguyên tố? A2. Xác định tất cả các hàm f : R R sao cho nó liên tục trên R và A3. Tìm số thực k lớn nhất sao cho f(x y)f(y z)f(z x) + 8 = 0 x, y, z R. k a 3 + b + 1 3 a + 1 16 + 4k a, b > 0. 3 b3 (a + b) 3