SINTEZA CURS Econometre ş prevzune economcă (I) Structura cursulu Cursul de Econometre pe care îl vor parcurge studenţ anulu II Management va cuprnde următoarele captole mar: - Econometra defnţ ş obectve; - Modelul econometrc; - Testarea potezelor statstce; - Modele econometrce de regrese unfactorală; - Modele econometrce de regrese multfactorală; - Testarea potezelor modelulu lnar de regrese; - Analza serlor cronologce. Bblografa recomandată 1. Mladen L., Econometre. Suport curs, https://ush.blackboard.com - în curs de aparţe;. Voneagu V., Ţţan E., Şerban R., Ghţă S., Todose D., Pele D., Teore ş practcă econometrcă, Edtura Meteor Press, Bucureşt, 007; 3. Peccan E., Econometre, Edtura C.H. Beck, Bucureşt, 006; 4. Andre T., Bourbonnas R., Econometre, Edtura Economcă, Bucureşt, 008; 5. Andre T., Statstcă ş econometre, Edtura Economcă, Bucureşt, 003. Introducere în Econometre Defnţa econometre Econometra s-a consttut ca o ramură a ştnţe odată cu înfnţarea Socetăţ de Econometre în anul 1930 de către Irvng Fsher, L.V. Bortkewc, R.Frsch, H.Hotellng ş alţ. Termenul a fost ntrodus de către economstul ş statstcanul norvegan Ragnar Frsch ş provne, etmologc, dn cuvntele greceşt: ekonoma - econome ş metren - măsură. Econometra devenea astfel o umbrelă sub care se reuneau metodele de măsurare dn dversele zone ale econome. De-a lungul tmpulu s-au conturat ma multe defnţ ale no dscplne; dntre ele vom menţona tre ma mportante: Defnţa storcă A fost formulată de către statstcanul Ragnar Frsch, în char prmul număr al revste Econometrca, revsta Socetăţ de Econometre lansată în anul 1933, astfel: eperenţa a arătat că fecare dn următoarele 3 puncte de vedere, al statstc, al teore economce ş al matematc este o condţe necesară, dar nu ş sufcentă pentru o înţelegere efectvă a relaţlor canttatve dn economa modernă; unfcarea lor este aceea care asgură efcenţa. Econometra este tocma această unfcare. Altfel spus, econometra reprezntă studerea fenomenelor economce pe baza datelor statstce cu ajutorul modelelor matematce. Defnţa restrctvă A fost propusă de Cowles Comsson for Research n Economcs, (Chcago, 1940-1950). În această vzune se consderă că econometra presupune nvestgarea fenomenelor economce numa cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastce, probablstce). Defnţa etnsă Aparţne economştlor anglo-saon ş consderă că econometra în sens larg înseamnă econometra în sens restrâns, la care se adaugă metodele cercetăr operaţonale. 1
Adcă, econometra ar nclude aproape tot ce presupune măsurare. O astfel de accepţune ar genera totuş frecvente suprapuner cu preocupărle altor dscplne precum: Statstcă economcă, Cercetăr operaţonale, Teora decze etc. Econometra poate f folostă în două modur, care nu se eclud recproc: ca nstrument de prevzune (date fnd valor potetce ale anumtor varable, putem prevzona valoarea varable de nteres). ca metodă eplcatore (poate f folostă pentru a confrma sau nfrma o teore economcă). Rolul econometre Rolul econometre rezultă dn soluţonarea unor obectve precum: a. evdenţerea, pe baze ma obectve, a relaţlor de cauzaltate dn econome; E1. Confrmarea sau nfrmarea dependenţe eporturlor de fluctuaţle cursulu de schmb. E. Estenţa une relaţ între nvelul fscaltăţ ş nvestţle drecte în econome. b. stablrea proporţe în care unul sau ma mulţ factor determnă evoluţa une varable efect precum ş erarhzarea factorlor după mportanţă; E. O actvtate de marketng (cum sunt vânzărle pe o nouă paţă) depnde în prmul rând de publctate, ar în al dolea rând de preţ, amb factor determnând reuşta une astfel de actvtăţ în proporţe de 78%. c. eprmarea numercă a efectulu datorat creşter cu o untate a factorulu cauză; E1. Productvtatea creşte cu %, dacă stmulentele cresc cu o untate (să zcem 100 le). E.. Consumul produsulu X scade cu 3 Kg în condţle în care preţul creşte cu 100 le. d. prevzunea evoluţe unu fenomen economc în raport cu factor determnanţ sau ţnând seama de evoluţa fenomenulu în peroadele precedente; E1. Se poate realza prognoza creşter economce în următor an, în condţle evoluţe prevzble a nvestţlor ş a utlzăr resurselor de muncă. E. Se poate determna culoarul în care se va încadra fluctuaţa cotaţlor la bursă pentru acţunle socetăţ X. e. aprecerea prn epres numerce a mplcaţlor pe care o acţune de poltcă economcă le are asupra ma multor sectoare economce; E1. În ce măsură creşterea cu p.p. a dobânz de refernţă de către Banca Naţonală a Române modfcă rata mede a dobânz practcate de băncle comercale, cererea de credte, nvestţle, nflaţa etc. E. În ce măsură creşterea cu 10% a bugetulu destnat promovăr produselor nfluenţează vânzărle, costurle ş, în ultmă nstanţă, proftul. f. stablrea ntenstăţ ş drecţe fluctuaţlor dn econome; E. Stablrea peroadelor de mamă ş mnmă actvtate în domen precum: acordarea de credte, vânzărle unu anumt produs, consumul de resurse etc. g. aprecerea elementelor semnfcatve sau nesemnfcatve (datorate hazardulu) dn econome. E1. Scumprea unu produs a condus, în tmp, la o scădere semnfcatvă a cerer sau această modfcare s-a datorat întâmplăr? E. S-au constatat modfcăr mportante ale comportamentulu nvestţonal. Acestea au fost produse de modfcarea rate de mpoztare a proftulu sau au fost determnate de alte cauze?
sunt: Aspectele pe care econometra nu le poate rezolva sau nu le poate rezolva satsfăcător 1. încorsetarea într-un model generalzator, de mare amploare, a tuturor relaţlor estente în econome;. ntroducerea în calcul a varablelor caltatve (ca de e. organzarea, prudenţa, satsfacţa, motvaţa etc.) cu o sufcent de mare acurateţe; 3. departajarea sufcent de precsă a nfluenţe fecăru factor asupra unu fenomen/proces economc, în stuaţle în care factor ce îl determnă evoluează foarte asemănător (se spune în econometre: prezntă un grad înalt de colnartate ); 4. prognoza sufcent de precsă (ş ma cu seamă prognoza schmbărlor de drecţe în evoluţa unu fenomen) în stuaţ conjuncturale dferte sau în stuaţ în care nteracţunea factorlor reprezntă ea însăş un factor. Etapele demersulu econometrc Etapele demersulu econometrc sunt următoarele: 1. dentfcarea teore economce care eplcă fenomenul respectv;. formularea matematcă a potezelor economce; 3. specfcarea modelulu econometrc; 4. culegerea datelor necesare; 5. estmarea parametrlor modelulu econometrc; 6. testarea statstcă a potezelor propuse de teora economcă; 7. predcţa pe baza modelulu; 8. utlzarea modelulu econometrc pentru fundamentarea deczlor de poltcă economcă. Modelul econometrc Modelul econometrc este o reprezentare matematcă a relaţlor dn econome (relaţ adesea foarte complee) eprmate prn ecuaţ. Este un model economc formulat în conformtate cu prncple teore economce, astfel încât parametr să să poată f estmaţ, dacă se face presupunerea că modelul este corect. Modelul econometrc descre cu ajutorul unu set de smbolur relaţle de dependenţă dntre fenomenele economce, pe baza une ecuaţ sau a unu sstem de ecuaţ, permţând înţelegerea, eplcarea sau obţnerea de nformaţ no prvnd comportamentul fenomenelor cercetate. Modelarea orcăru fenomen se poate face pornnd de la următoarea schemă: X S Y unde Y( ) - volumul eşrlor dn sstem, 1 n X( j ) - factor canttatv ş caltatv care nfluenţează eşrle Y, j1 m S - structura sstemulu prn ntermedul cărea factor X determnă eşrle Y Modelele econometrce pot f: Modele determnste: f() Acestea se utlzează frecvent în practca economcă pentru analza pe factor a varaţe (în tmp sau spaţu) a fenomenelor socal economce. De eemplu: 3
unde Q este producţa, w este productvtatea munc ar L este factorul muncă. Modele nedetermnste (econometrce) ce descru legătura statstcă sau stochastcă dntre ntrărle sstemulu (X ) ş eşrle acestua (Y), după o relaţe de forma: Y f(x)+ε unde X - factor de nfluenţă Y - varabla rezultatvă f - legea de manfestare a unu fenomen sau proces economc ε - varabla aleatoare Un model econometrc poate f format dn una sau ma multe relaţ statstce. Aceste relaţ pot f: - relaţ de denttate sau determnste: sunt formulăr logce cu prvre la procesul economc descrs. De eemplu: VND C + I unde VND - Ventul Naţonal Dsponbl C - consumul total I - nvestţle publce ş prvate. - relaţ de comportament: au în vedere modfcărle tradţlor, attudnlor, înclnaţlor sub raportul satsfacţe/efort De eemplu: C a + bv unde C - consumul V ventul b înclnaţa margnală spre consum a consumul autonom (estă un consum char ş în absenţa ventulu). - relaţ tehnologce: restrcţle mpuse output-urlor în raport cu nput-urle. De eemplu: funcţa Cobb Douglas: unde 0<α<1 Q volumul producţe K factorul captal L factorul muncă. - relaţ nsttuţonale: sunt relaţ ce apar în conformtate cu unele reglementăr mpuse de lege (eemplu: amortzarea, mpoztul pe vent etc.). Varable ş ser de date Structura modelulu econometrc este determnată de varablele economce. Acestea pot f: - endogene varable determnate în cadrul sstemulu (se ma numesc varable dependente sau rezultatve); - eogene varable determnate în afara sstemulu, despre care modelul econometrc nu are nmc de spus (se ma numesc varable ndependente sau factorale). Varabla eogenă este varabla aflată în postura de cauză a evoluţe varable endogene, ar valorle sale sunt preluate dn statstc. Datele pot f grupate în tre categor: a) date de tp ser de tmp - numte ş ser cronologce - reprezntă rezultate ale unor măsurător efectuate asupra caracterstclor, untăţlor populaţe studate, de-a lungul tmpulu, la momente succesve sau la anumte ntervale de tmp. 4
Acestea sunt date de tp stoc sau de tp flu ş reprezntă "secţun nformaţonale" de-a lungul ae tmpulu, de-a lungul evoluţe; adcă sunt secţun longtudnale în raport cu aa tmpulu. O sere de tmp este un set de observaţ asupra valorlor pe care o varablă le a la dferte momente de tmp. Astfel de date pot f colectate la ntervale de tmp regulate, cum ar f zlnc (e. prețurle de vânzare, rapoartele meteo), săptămânal (e. oferta de monedă), lunar (e. rata șomajulu, ndcele prețurlor de consum (IPC)), trmestral (de eemplu, PIB), anual (de eemplu, venturle ş cheltuelle publce, PIB), cncnal sau char decenal (recensământul populaţe ş locunţelor). b) date de tp profl (sau date cross-secton) - reprezntă rezultatul unor măsurător efectuate la un anumt moment dat asupra unea sau ma multor varable, pe mulţmea untăţlor populaţe. Aceste date de profl se ma numesc date de tp secvenţă sau date de tp secţune ş reprezntă "tăetur nformaţonale" efectuate într-o populaţe la un moment dat, "tăetur" care sunt de tp transversal, în raport cu aa tmpulu. Cu alte cuvnte, datele de tp profl sunt date prvnd una sau ma multe varable colectate în acelaș punct în tmp. E. producţa de ouă ş preţul medu al acestora pe fecare judeţ al ţăr în anul n. c) date de tp panel sunt combnaţ, mtur, ale datelor de tp profl ş datelor de tpul serlor de tmp. Ele sunt rezultate ale măsurătorlor efectuate asupra caracterstclor unor untăţ ndvduale, atât de-a lungul untăţlor ndvduale, cât ş de-a lungul tmpulu, sunt "tăetur nformaţonale mte" transversale ş logtudnale, în raport cu aa tmpulu. Caracterstca esenţală a acestor date este dec, smultanetatea. E. rata şomajulu ş numărul şomerlor ndemnzaţ pe fecare judeţ al ţăr în fecare dn cele 1 lun ale anulu. Tpologa modelelor econometrce Deş tpologa modelelor econometrce este foarte varată, ele se pot încadra în câteva tpur sau clase prncpale. I. În funcţe de numărul factorlor luaţ în consderare modele unfactorale: f()+ε Acestea se fundamentează pe poteza că în rândul factorlor de nfluenţă a varable rezultatve Y estă un factor determnant X, celalţ factor, cu ecepţa acestua având o nfluenţă întâmplătoare (eprmată prn ntermedul varable rezduale ε) sau fnd nvarabl în peroada analzată. E. relaţa dntre vânzăr ş preţ modele multfactorale: f( 1,,..., p )+ε Ac varabla dependentă sau endogenă este eplcată prn ntermedul varaţe a două sau ma multe varable ndependente sau eogene. Observaţe! Numărul factorlor luaţ în consderare nu trebue să fe foarte mare pentru ca modelul să nu fe prea comple ş dfcl de estmat. E. avem: II. În funcţe de forma legătur dntre varabla rezultatvă ş varablele cauză modele lnare: dacă legătura este lnară modele nelnare: dacă legătura este nelnară 5
III. În funcţe modul de ncludere al factorulu tmp în model se dstng: modele statce: dependenţa varable endogene Y faţă de valorle varable eogene X j se realzează în aceeaş peroadă de tmp: t f( 1t,..., jt,..., kt ) + ε t modele dnamce. Acestea se defnesc prn următoarele forme: - ntroducerea varable tmp în pachetul varablelor eplcatve în mod eplct t f( t,t) + ε t - modele autoregresve ntroducerea în pachetul varablelor eplcatve a varable dar cu valor decalate t f( t, t-k ) + ε t - model cu decalaj (lag): în care varabla eogenă X îş eerctă nfluenţa asupra varaţe varable rezultatve pe ma multe peroade de tmp: t f( t, t-1,... t-k ) + ε t E.,, ) + ε t unde K t - fondurle fe puse în funcţune în peroada t sunt funcţe de nvestţle efectuate în peroadele precedente t-n t. IV. În funcţe de numărul ecuaţlor ncluse în model dstngem: modele cu o sngură ecuaţe: toate modelele prezentate anteror; modele cu ecuaţ multple: sunt formate dntr-un sstem de ecuaţ Y1 + b1y +... + b1nyn + c11x1 + c1x +... + c1mxm ε1 b1y1 + Y +... + bnyn + c1x1 + cx +... + cmxm ε M bn1y1 + bny +... + Yn + cn1x1 + cnx +... + cnmxm εn Y, 1, n - varable rezultatve sau endogene X j, j 1, m- varable eplcatve sau eogene Testarea potezelor statstce Manager trebue să a decz, ar acest lucru îl pot face pe baza nformaţlor de care dspun. Aceşta emt poteze pe care le pot testa ştnţfc utlzând metodele ş tehncle statstce. E. Un lanţ de magazne doreşte să vândă un produs nou lansat pe paţă ş speră să abă succes. În urma une analze fnancare, specalşt observă că, dacă ma mult de 10% dntre potenţal cumpărător vor cumpăra produsul, lanţul de magazne va obţne proft. Specalşt de marketng, pentru a lua o decze în sensul de a vnde sau nu produsul respectv, vor selecta un eşanton aleatoru de clenţ potenţal, ar aceşta vor f întrebaţ dacă vor cumpăra sau nu produsul respectv. Parametrul este reprezentat de proporţa clenţlor care ar cumpăra produsul. Testarea poteze statstce se va refer la a determna dacă proporţa cumpărătorlor este ma mare de 10%. În urma prelevăr unu eşanton dntr-o populaţe statstcă, prn prelucrarea datelor se va obţne un estmator al parametrulu urmărt în populaţa de orgne. În eemplul nostru, dacă s-ar face analza pe toată populaţa s-ar constata că % dn clenţ ar cumpăra produsul. Dar no nu putem face analza pe toată populaţa, c doar pe un eşanton. Pe eşanton însă no nu putem face decât o estmaţe. Putem spune că % dn ce ntervevaţ ar cumpăra produsul. 6
Se pune problema de a vedea în ce măsură parametrul estmat pe baza rezultatelor sondajulu asgură credbltatea aprecerlor făcute asupra întreg colectvtăţ. Estmatorul este, aşadar, o presupunere asupra parametrulu, dec o poteză statstcă. Când cunoaştem totul despre un fenomen, nu avem ce poteză să testăm. Testarea poteze se face doar atunc când estă ncerttudne. Ipoteza statstcă este poteza care se face cu prvre la parametrul une repartţ sau la legea de repartţe pe care o urmează anumte varable aleatoare. O poteză statstcă poate f corectă sau greştă. Ipoteza statstcă ce urmează a f testată se numeşte poteză nulă ş este notată cu H 0. Aceasta constă în a admte că nu estă deosebr esenţale între valoarea estmatorulu ş valoarea parametrulu. Respngerea poteze nule care este testată mplcă acceptarea poteze alternatve, notată cu H 1. Cele două poteze reprezntă teor mutual eclusve ş ehaustve, asupra valor parametrulu populaţe sau leg de repartţe. Cele două poteze sunt mutual eclusve deoarece este mposbl ca ambele poteze să fe adevărate. Ipotezele sunt ehaustve deoarece acoperă toate posbltăţle. Cu alte cuvnte, or poteza nulă, or poteza alternatvă trebue să fe adevărată. Procedeul de verfcare a une poteze statstce se numeşte test sau crteru de semnfcaţe. Pentru testarea une poteze statstce se urmează o secvenţă de paş, astfel: 1) Se dentfcă poteza statstcă specală despre parametrul populaţe sau legea de repartţe. Ipoteza statstcă numtă ş poteză nulă H 0 specfcă întotdeauna o sngură valoare a parametrulu populaţe, adcă ceea ce este acceptat până se dovedeşte a f fals. ) Ipoteza nulă este însoţtă întotdeauna de poteza alternatvă H 1, ce reprezntă o teore care contrazce poteza nulă. Ea va f acceptată doar când estă sufcente dovez, evdenţe, pentru a se stabl că este adevărată. Ipoteza alternatvă este cea ma mportantă, deoarece este poteza care ne răspunde la întrebare. Ipoteza alternatvă poate căpăta tre forme, care răspund la tre tpur de întrebăr refertoare la parametrul studat: - dacă parametrul este dfert (ma mare sau ma mc) decât valoarea specfcată în poteza nulă; - dacă parametrul este ma mare decât valoarea specfcată în poteza nulă; - dacă parametrul este ma mc decât valoarea specfcată în poteza nulă; 3) Se calculează ndcator statstc pentru eşanton ş se determnă testul statstc ce va f utlzat drept crteru de acceptare sau de respngere a poteze nule. În cazul nostru, deoarece meda eşantonulu este un estmator punctual al mede dn colectvtatea generală, ea va f utlzată în testarea potezelor prvnd parametrul meda colectvtăţ generale. 4) Se stableşte regunea crtcă, R c. Regunea crtcă reprezntă valorle numerce ale testulu statstc pentru care poteza nulă va f respnsă. Regunea crtcă este astfel aleasă încât probabltatea ca ea să conţnă testul statstc, când poteza nulă este adevărată, să fe α, cu α având o valoare mcă (e. α0,01 etc). Verfcarea poteze nule se face pe baza unu eşanton de volum n, etras dntr-o populaţe totală N. Dacă punctul defnt de vectorul de sondaj cade în regunea crtcă R c, poteza H 0 se respnge, ar dacă punctul cade în afara regun crtce R c, poteza H 0 se acceptă. 7
În baza leg numerelor mar, numa într-un număr foarte mc de cazur punctul rezultat dn sondaj va cădea în R c, majortatea vor cădea în afara regun crtce. Nu este însă eclus ca punctul dn sondaj să cadă în regunea crtcă, cu toate că poteza nulă despre parametrul populaţe este adevărată. Ma eact, atunc când respngem poteza nulă, trebue să ne gândm de două or, deoarece estă două posbltăţ: a. să fe falsă într-adevăr ş b. să fe totuş adevărată, deş pe baza datelor dn sondaj o respngem. La fel ş pentru stuaţa în care acceptăm poteza nulă H 0. Ş ac estă două posbltăţ: a. poteza nulă este adevărată ş b. poteza nulă este totuş falsă, greştă, deş nu am respns-o. Aşadar, este ma corect să spunem că, pe baza datelor dn eşantonul studat, nu putem respnge poteza nulă, decât să spunem că poteza nulă este adevărată. Eroarea pe care o facem elmnând o poteză nulă, deş este adevărată, se numeşte eroare de genul întâ. Probabltatea comter une astfel de eror reprezntă rscul de genul întâ (α) ş se numeşte nvel sau prag de semnfcaţe. Nvelul de încredere al unu test statstc este (1-α), ar în eprese procentuală, (1- α)100 reprezntă probabltatea de garantare a rezultatelor. Eroarea pe cere o facem acceptând o poteză nulă, deş este falsă, se numeşte eroare de genul al dolea, ar probabltatea (rscul) comter une astfel de eror se notează cu β. Puterea testulu statstc este (1-β). Legătura dntre decza pe care o luăm refertor la poteza nulă ş adevărul sau falstatea aceste este redată în tabelul de ma jos. Tabelul 1. Erorle în testarea potezelor statstce Decza de acceptare H 0 Ipoteza adevărată H 1 H 0 Decze corectă Eroare de gen II (probabltate 1-α) (rsc β) H 1 Eroare de gen I Decze corectă (rsc α) (probabltate 1-β) Cu cât probabltăţle comter erorlor de genul întâ ş de genul al dolea sunt ma mc, cu atât testul este ma bun. Prn mărrea eşantonulu probabltatea comter erorlor se mcşorează. 5) După ce am stablt pragul de semnfcaţe ş regunea crtcă, trecem la pasul următor, în care vom face prncpalele presupuner despre populaţa sau populaţle ce sunt eşantonate (normaltate etc.). 6) Se calculează apo testul statstc ş se determnă valoarea sa numercă, pe baza datelor dn eşanton. 7) La ultmul pas, se desprnd concluzle: poteza nulă este fe acceptată, fe respnsă, astfel: dacă valoarea numercă a testulu statstc cade în regunea crtcă R c, respngem poteza nulă ş concluzonăm că poteza alternatvă este adevărată; dacă valoarea numercă a testulu nu cade în regunea crtcă R c, se acceptă poteza nulă H 0. Ipoteza alternatvă poate avea, aşa cum am arătat, una dn tre forme (pe care le vom eemplfca pentru testarea egaltăţ parametrulu meda colectvtăţ generale, μ cu valoarea μ 0 ): 8
I) să testăm dacă parametrul dn colectvtatea generală (meda μ) este egal cu o anumtă valoare (nclusv zero, μ 0 ), cu alternatva meda dfertă de valoarea μ 0. Atunc: H 0 : μ μ 0, H 1 : μ μ 0 (μ < μ 0 sau μ > μ 0 ) ş acest test este un test blateral; II) să testăm poteza nulă μ μ 0, cu alternatva meda μ este ma mare decât μ 0: În acest caz, H 0 : μ μ 0, H 1 : μ > μ 0, care este un test unlateral dreapta; III) să testăm poteza nulă μ μ 0, cu alternatva meda μ este ma mcă decât μ 0. H 0 : μ μ 0, H 1 : μ < μ 0, care este un test unlateral stânga. Regunea crtcă pentru testul blateral dferă de cea pentru testul unlateral (a se vedea pe grafc regunea haşurată). α/ α/ α α μ μ μ a) b) c) Fgura 1. Regunea crtcă pentru: a) test blateral; b) test unlateral dreapta; c) test unlateral stânga Testarea poteze prvnd meda populaţe generale (μ) pentru eşantoane de volum mare Eşantoane de volum mare înseamnă n > 30. Testarea se face pe baza mede eşantonulu ş, pentru a o efectua, este nevoe să construm un test cu un nvel de semnfcaţe α prestablt. Dacă volumul eşantonulu este mare, meda eşantonulu este apromatv normal dstrbută. Se va aplca testul z. Varabla aleatoare z urmează o dstrbuţe normală standard. Statstca z are următoarea formă: µ zcalc 0 σ n unde, - meda eşantonulu; μ 0 - meda teoretcă (meda populaţe generale) n volumul eşantonulu; σ - abaterea mede pătratcă a populaţe. Valoarea calculată a lu z ( z calc ) se va compara cu valoarea tabelată ( z tab(α) ) pentru pragul de semnfcaţe α ales. În funcţe de probabltatea acceptată se respnge sau se acceptă poteza nulă ca în tabelul următor. 9
Tpul testulu Tabelul. Crter de decze Dstrbuţa normală (z) Eşanton mare (n 30) Test unlateral stânga z calc. > - z tab(α) acceptăm H 0 z calc. - z tab(α) respngem H 0 Test unlateral dreapta z calc. < z tab(α) acceptăm H 0 z calc. z tab(α) respngem H 0 Test blateral - z tab(α/ ) < z calc. < z tab(α/ ) acceptăm H 0 z calc. - z tab(α/ ) sau z calc. z tab(α/ ) respngem H 0 Testarea poteze prvnd meda populaţe generale (μ) pentru eşantoane de volum redus În domenul afacerlor, de multe or deczle trebue luate pe baza datelor provente dn eşantoane mc. Eşantoane mc înseamnă n 30. Ac forma dstrbuţe de eşantonare a mede depnde de forma populaţe generale dn care a fost etras eşantonul. În cazul eşantoanelor de volum redus, dstrbuţa de eşantonare a lu va f normală sau apromatv normală doar dacă colectvtatea generală este dstrbută normal sau apromatv normal. Spre deosebre de cazul eşantoanelor de volum mare (n>30), în cazul eşantoanelor de volum redus dacă nu se cunoaşte dspersa dn colectvtatea generală ( σ ), atunc dspersa eşantonulu ( s ), poate să nu ofere o apromare foarte bună a lu mc). σ (în cazul eşantoanelor În această stuaţe, în locul statstc z care necestă cunoaşterea lu σ, vom folos statstca t: t calc. µ 0, s n unde: - meda eşantonulu n volumul eşantonulu μ 0 meda teoretcă (respectv meda populaţe generale) s estmaţa abater standard necunoscute s ( ) n 1 ( ) n 1 Ipotezele statstce prvnd meda colectvtăţ generale (μ) pe baza datelor dn eşantoane de volum redus sunt: - pentru test blateral H 0 : μ μ 0 H 1 : μ μ 0 (μ < μ 0 sau μ > μ 0 ) - pentru test unlateral dreapta H 0 : μ μ 0 H 1 : μ > μ 0 - pentru test unlateral stânga H 0 : μ μ 0 H 1 : μ < μ 0 s 10
Presupunerea specală ce trebue făcută este aceea că populaţa generală este normal sau apromatv normal dstrbută. Regunea crtcă este dată de: I) pentru test blateral t calc. t tab. (α/,n-1) sau t calc. - t tab.(α/,n-1) II) pentru test unlateral dreapta t calc. t tab. (α,n-1) III) pentru test unlateral stânga t calc. - t tab. (α,n-1) Testarea poteze prvnd proporţa populaţe pentru eşantoane mar Despre dstrbuţa de eşantonare a proporţe cunoaştem că proporţa în eşanton (f) este apromatv normal dstrbută, de mede p ş eroare standard p ( 1 p) / n, pentru n mare. Deoarece proporţa f este apromatv normal dstrbută, vom folos testul: f p0 z calc. f(1 f) / n Observaţe! 1) Dacă volumul eşantonulu este mc, dstrbuţa de eşantonare a proporţe nu este o dstrbuţe t ş orce nferenţă asupra lu p trebue să se bazeze pe dstrbuţa lu f, care este o dstrbuţe bnomală. ) Pentru testarea potezelor statstce prvnd proporţa este necesar să lucrăm cu eşantoane mar (n>100). Ipotezele nule ş alternatve pentru testarea proporţe se construesc în aceeaş maneră cu potezele pentru testarea mede µ. Ipoteza nulă ndcă faptul că p este egală cu o valoare specfcată: H : p p 0 0 Ipoteza alternatvă răspunde la una dntre cele tre întrebăr: - proporţa este dfertă de valoarea specfcată test blateral: H : p p 1 0 - proporţa este ma mare decât valoarea specfcată test unlateral dreapta: H : p > p 1 0 - proporţa este ma mcă decât valoarea specfcată test unlateral stânga: H : p < p 1 0 Regunea crtcă (R c ) este dată de: I) pentru test blateral zcalc. z tab.( α/ ) sau zcalc. z tab.( α/ ) II) pentru test unlateral dreapta z calc. z tab.( α) III) pentru test unlateral stânga z calc. z tab.( α) 11
Regula de decze este: se respnge poteza nulă ş se acceptă poteza alternatvă, dacă z se stuează în regunea crtcă (R c ) stabltă în funcţe de probabltatea dortă de garantare a rezultatelor P ( 1α) 100. Modele econometrce de regrese unfactorală Tpur de legătur între fenomenele socal-economce Fenomenele socal-economce sunt rezultatul nfluenţe conjugate a ma multor fenomene cauză. Nu toate raporturle de dependenţă sunt însă la fel de mportante, uneor acţunle unor factor compensându-se recproc. În cea ma mare parte, legăturle dntre fenomene sunt legătur de cauzaltate, bazate pe relaţa cauză-efect. Astfel, putem avea: a) legătură nulă când nu estă ncun fel de nfluenţă recprocă între varablele consderate, acestea fnd ndependente; b) legătură funcţonală când modfcarea une varable cauză produce varaţa une varable efect într-o măsură ce rămâne constantă, ndferent de tmpul ş de locul de refernţă. Această legătură se ma numeşte legătură de tp determnst. Frecvente în natură, în domenul tehnc, legăturle funcţonale sunt rareor întâlnte în domenul socal-economc; c) legătură statstcă sau stochastcă când modfcarea une varable efect este rezultatul combnăr ma multor cauze, care pot acţona în acelaş sens sau în sensur opuse, generând forme dferte de manfestare ndvduală. În domenul socal-economc cele ma frecvente sunt legăturle statstce. Multtudnea legăturlor statstce necestă clasfcarea acestora după ma multe crter. I. După numărul varablelor ndependente luate în calcul se dstng: a. legătur smple când se studază dependenţa dntre o varablă rezultatvă () ş o sngură varablă factorală () consderată prncpală. E. legătura de dntre suprafaţa comercală utlă () ş valoarea vânzărlor (). b. legătur multple când se studază dependenţa dntre o varablă rezultatvă () ş două sau ma multe varable factorale (). E. legătura de dntre capactatea de cazare ( 1 ), numărul de înnoptăr ( ) ş valoarea încasărlor (). II. După drecţa legăturlor avem: a. legătur drecte când varabla rezultatvă se modfcă în acelaş sens cu varabla factorală: dacă creşte creşte, dacă scade scade. E. creşterea vânzărlor de maşn de spălat determnă creşterea vânzărlor de detergenţ pentru maşnă. b. legătur nverse când varabla rezultatvă se modfcă în sens nvers modfcăr varable factorale: dacă creşte scade, ar dacă scade creşte. E. creşterea nvelulu de pregătre al munctorlor determnă scăderea numărulu de rebutur dn producţe. III. După forma legăturlor: a. legătur lnare acele dependenţe care pot f eprmate cu ajutorul funcţe lnare; b. legătur nelnare (curbln) acele dependenţe care pot f eprmate cu ajutorul funcţlor nelnare: parabolă, hperbolă, funcţe eponenţală etc. III. După tmpul în care se realzează: 1
a. legătur sncrone (concomtente) se realzează în acelaş tmp, se pot urmăr în dnamcă pentru aceeaş peroadă E. legătura dntre productvtatea munc ş nvelul salarlor munctorlor. b. legătur asncrone apar atunc când varablele factorale () încep să acţoneze asupra varable rezultatve () după scurgerea une peroade de tmp. E. între dezvoltarea une ramur no de producţe ş mărmea eportulu estă un decalaj corespunzător asgurăr compettvtăţ produselor pe plan nternaţonal. Modelul lnar smplu Regresa este o metodă de cercetare a une relaţ predetermnate, eprmând legătura dntre varabla rezultatvă () ş una sau ma multe varable ndependente (). Practc, metoda regrese este o metodă de cercetare a legăturlor statstce cu ajutorul unor funcţ denumte funcţ de regrese. Funcţa de regrese eprmă modfcarea canttatvă a varable rezultatve () ca urmare a nfluenţe eerctate de varabla factorală (), celalţ factor fnd consderaţ neesenţal ş cu acţune constantă asupra tuturor untăţlor. Forma matematcă a modelulu lnar unfactoral este: a + b + ε unde: - varabla rezultatvă/dependentă; - varabla factorală/ndependentă; ε- varabla aleatoare/rezduală, varabla care poate perturba relaţa dntre prncpal actor, eprese a acţun cauzelor mnore, puţn cunoscute, a căror nfluenţă poate accentua sau dmnua întrucâtva rolul factorulu determnant. aş bsunt parametr ecuaţe de regrese; a- ordonata la orgne, valoarea lu când 0. Nu are întotdeauna o semnfcaţe economcă. b- panta drepte, numt ş coefcent unghular de regrese. Are mare mportanţă în analza de regrese. Dacă b 0, cele două varable sunt ndependente; varaţa lu depnde de alţ factor, nu de ce consderaţ nţal în model. Dacă b 0, cele două varable sunt dependente astfel: - dacă b> 0, legătura dntre varable este drectă, poztvă; - dacă b< 0, legătura dntre varable este nversă, negatvă. Mărmea coefcentulu b arată cu cât se modfcă, atunc când varabla se modfcă cu o untate. aş b(parametr de regrese) sunt de fapt adevăratele valor care descru legătura dn nterorul populaţe. În realtate, aş bnu se cunosc ş trebue determnate pe baza datelor dn sondaj. Asupra varable rezduale ş asupra varable eplcatve se formulează următorul set de poteze: - poteza I: serle de date nu sunt afectate de eror de măsură; - poteza II: varabla rezduală este de mede zero; - poteza III: varaţa varable rezduale este nvarablă în tmp; - poteza IV: rezduurle nu sunt autocorelate; - poteza V: varabla eplcatvă nu este corelată cu varabla rezduală; 13
- poteza VI: erorle ε sunt presupuse a f normal dstrbute pentru orcare. Aşadar εsunt dstrbute normal ş ndependent, de mede zero ş varanţă constantă. Acest lucru se notează ε ~ N(0, σ ). Reprezentarea grafcă a datelor emprce Se consderă un set de n observaţ. Fecare observaţe este de fapt un set de valor: o valoare pentru ş o valoare corespunzătoare pentru. O modaltate smplă de a vedea dacă între ş estă vreo legătură, precum ş natura aceste legătur este de a reprezenta grafc perechle de valor. Acest tp de reprezentare grafcă poartă numele de dagramă a împrăşter ( scatter dagrame ). Eemplu: Dorm să evdenţem legătura dntre doza de sedatv ş tmpul de adormre. Se selectează 10 subecţ uman care prmesc dverse doze de sedatv ş se înregstrează tmp de adormre. Scopul studulu este de a cuantfca efectele sedatvulu. Doză Tmp de adormre Subect (mlgrame) (secunde) 1 10 50 10 60 3 15 45 4 15 50 5 0 38 6 0 45 7 5 30 8 5 40 9 30 35 10 30 5 70 60 Tmpul de adormre 50 40 30 0 10 0 0 5 10 15 0 5 30 35 Doza de sedatv 14
15 Eamnând grafcul se poate constata că tmpul de adormre scade pe măsura creşter doze de sedatv, legătura fnd lnară. Norul de puncte se alnază de-a lungul une drepte. Estmarea parametrlor modelulu de regrese Pentru a determna valorle ecuaţe de regrese, trebue să se calculeze parametr a ş b. Ceea ce determnăm no pe baza datelor dn sondaj sunt estmator a parametrlor modelulu de regrese ş î vom nota âş b, pentru că nu cunoaştem toate datele populaţe generale. Pentru aceasta vom utlza metoda celor ma mc pătrate (MCMMP). âş bfnd estmaţ ale adevăratelor valor a parametrlor de regrese, se va obţne o estmaţe a drepte de regrese: b a + âş btrebue să abă acele valor astfel încât ŷsă fe cât ma aproape de. Acest lucru se întâmplă când suma pătratelor abaterlor valorlor emprce de la valorle adevărate este mnmă: mnm ) ( S mnm )] ( [ + b a Condţa de mnm se îndeplneşte atunc când dervatele parţale în raport cu âş b sunt nule. 0 ) )( ( 0 1) )( ( b a b S b a a S Vom smplfca cu ş vom separa cunoscutele de necunoscute obţnând: + + b a b na Rezolvând sstemul de ecuaţ normale se vor obţne următoarele soluţ: ) ( n n p a a ) ( n n n n p b b
Vom determna estmator âş bpentru eemplul de ma sus. Doză Tmp de adormre Subect (mlgrame) (secunde) 1 10 50 100 500 10 60 100 600 3 15 45 5 675 4 15 50 5 750 5 0 38 400 760 6 0 45 400 900 7 5 30 65 750 8 5 40 65 1000 9 30 35 900 1050 10 30 5 900 750 Total 00 418 4500 7735 a n b n n ( ) ( ) 418 4500 00 7735 66,8 10 4500 40000 10 7735 00 418 1,5 10 4500 40000 Aşadar, 66,8 1, 5 Semnul - ne arată că legătura între cele două varable este o legătură nversă. Când doza de sedatv creşte, tmpul de adormre scade. Ma eact, creşterea doze de sedatv cu 1 mg reduce tmpul de adormre cu 1,5 mnute. Coefcentul de determnaţe Coefcentul de determnaţe (R ) ne ndcă în ce măsură modelul lnar de regrese eplcă dependenţa dntre varable. Coefcentul de determnaţe se calculează astfel: ( ) R / 1 ( ) R / [0,1] / Dacă R 0, varablele sunt ndependente; R R / / 0, legătura dntre varable este slabă; 1, legătura dntre varable este puterncă. Aplcaţe: Numărul medu de angajaţ ş proftul anual înregstrat de 10 frme dntr-o subramură ndustrală se prezntă astfel: 16
Nr.crt. Număr medu de angajaţ (persoane) Proft anual (ml.le) 1 13 115 4 45 3 1 100 4 5 50 5 6 55 6 8 85 7 3 40 8 4 50 9 5 45 10 7 70 Total 67 655 Se cere: a. să se analzeze estenţa, drecţa ş forma legătur; b. să se determne parametr funcţe de regrese; c. să se calculeze valorle funcţe de regrese; d. să se determne ntenstatea legătur dntre varable utlzând coefcentul de determnaţe. Rezolvare: a. Varabla factorală este numărul medu de angajaţ ( ), ar varabla rezultatvă este mărmea proftulu ( ). Trasând grafcul, observăm că între cele două varable estă o legătură drectă (pe măsură ce creşte numărul medu de angajaţ creşte ş proftul anual), de tp lnar (norul de puncte alnndu-se de-a lungul une drepte). Proft anual (ml.le) 140 10 100 80 60 40 0 0 0 4 6 8 10 1 14 Număr de angajaţ (persoane) b. Sstemul de ecuaţ normale necesar pentru aflarea parametrlor funcţe lnare este: na + b a + b 17
Utlzând rezultatele calculelor ntermedare prezentate în tabelul de ma jos, coloanele 1-4, se obţne sstemul: 10 a + 67 b 655 67 a + 553 b 5170 Rezolvând acest sstem se obţn soluţle: â 15,017 b 7,507 R ŷ ( ) ( ) 1 3 4 5 6 7 13 115 169 1495 11,80 4,84 450,5 4 45 16 180 45,3 0,05 40,5 1 100 144 100 105,9 7,99 1190,5 5 50 5 50 5,74 7,51 40,5 6 55 36 330 60,4 7,46 110,5 8 85 64 680 75,6 94,87 380,6 3 40 9 10 37,7 5, 650,5 4 50 16 00 45,3,75 40,5 5 45 5 5 5,74 59,91 40,5 7 70 49 490 67,75 5,06 0,5 67 655 553 5170 655 55,64 61,50 c. Valorle teoretce ale proftulu se vor calcula înlocund fecare valoare a varable factorale în funcţa de regrese. Rezultatele sunt prezentate în coloana 5 dn tabelul de ma sus. 15,017 + 7, 507 1 15,017 + 7,507 13 15,017 + 7,507 4 11,80 45,3 655 65,5ml.le/frmă n 10 d. Coefcentul de determnaţe se calculează astfel: ( ) 55,64 1 1 10,04175 0,958 ( ) 61,50 / Această valoare foarte apropată de 1 ndcă o legătură drectă foarte puterncă între varable. Estmarea valorlor varable dependente Una dntre utlzărle mportante ale analze regrese smple lnare este să obţnem prevzonăr sau predcţ ale varable dependente, condţonate de valorle varable ndependente, adcă să obţnem prevzonăr condţonate. Pentru a obţne estmaţ punctuale, folosm ecuaţa de regrese lnară în eşanton: a + b + ε 18
ş atunc, înlocund cu valoarea dată Xn+1, obţnem: a + b n+ 1 n+ 1 Testarea semnfcaţe modelulu de regrese Parametr modelulu, ş dec modelul în ansamblu, sunt obţnuţ pe baza datelor dntr-un eşanton de observaţ. De aceea, este necesară verfcarea rezultatelor obţnute prn teste statstce. A. Testarea potezelor statstce refertoare la semnfcaţa parametrlor Testarea poteze asupra parametrulu b este smlară algortmulu de testare al orcăru parametru. Se va porn de la testarea poteze nule ş anume nestenţa une legătur lnare între cele două varable, adcă panta drepte de regrese este 0. H 0 : b 0 ceea ce înseamnă că nu are ncun efect (lnar) asupra lu. H 1 : b 0 ceea ce înseamnă că are un efect asupra lu. Pentru aceasta se defneşte o statstcă a testulu pe baza relaţe: b 0 t calc. σ b unde b- estmatorul parametrulu; σ - eroarea standard a estmatorulu b. b Se utlzează testul t pentru un eşanton de volum mc. Dacă volumul eşantonulu este mare se utlzează testul z. Întregul demers presupus de testul t se bazează pe prezumţa conform cărea abaterle estmaţe bde la meda sa M (b), care s-ar obţne în cazul estmăr pentru ma multe eşantoane de volum dentc, urmează o repartţe normală. Dacă avem în vedere că abaterea de la mede împărţtă la abaterea mede pătratcă b M( b) urmează, pentru eşantoane de volum redus (n<30), repartţa Student (de unde σ nvelul t tabelat), ne nteresează o astfel de transformare a estmaţe obţnute astfel încât să devnă comparablă cu nvelul t tabelat pentru (n-k) grade de lbertate ş un rsc α apror ales. Întrucât, de regulă, nu dspunem de ma multe eşantoane, c avem date pentru un b 0 sngur eşanton, preferăm să consderăm abaterea estmaţe în raport cu zero. σ Acesta ar f motvul pentru care ne pronunţăm în urma acestu test, cu prvre la deosebrea semnfcatvă sau nesemnfcatvă a estmaţe în raport cu zero. se compară cu tcalc. ttab.( α /, nk) unde: (n-k) numărul gradelor de lbertate n numărul observaţlor/cazurlor k numărul de parametr dn model Pentru modelul smplu unfactoral avem (n-) grade de lbertate. Regunea de crtcă este dată de tcalc. > t tab.( α /, nk) Pentru testarea potezelor formulate asupra termenulu lber se parcurg aceleaş etape ca în cazul coefcentulu unghular de regrese. 19
Ipotezele testulu sunt formulate astfel: H 0 : a 0 H 1 : a 0 Statstca testulu este: a 0 t calc. σ a Regunea crtcă este tcalc. > t tab.( α /, nk) În cazul modelulu unfactoral de tpul: a + b + ε abaterea mede pătratcă pentru estmaţa b este: σ b σ ε ( ) ar abaterea mede pătratcă pentru estmaţa â: σ a σ ε 1 + n ( ) B. Evaluarea caltăţ modelulu de regrese O posbltate de testare a caltăţ modelulu lnar de regrese este ofertă de analza varanţe. Acest procedeu statstc este mplementat pe majortatea sstemelor de calcul statstc ş econometrc. Analza varanţe este un procedeu statstc de testare a caltăţ modelulu ce pleacă de la descompunerea varanţe totale în varanţa datorată factorulu de regrese ş varanţa datorată acţun factorlor neînregstraţ. Y _ SST SSE SSR _ X SST ( ) - suma pătratelor abaterlor totale 0
Aceasta reprezntă suma pătratelor abaterlor termenlor sere varable endogene de la meda aceste ser. Acest termen cuantfcă dspersa termenlor sere ca rezultat al acţun tuturor factorlor, atât a factorulu de regrese, cât ş a celor neînregstraţ. SSR ( ) - suma pătratelor abaterlor determnate de regrese Acesta cuantfcă suma pătratelor abaterlor termenlor estmaţ prn modelul de regrese de la meda varable endogene. Acest termen măsoară acţunea factorlor de regrese. SSE ε ) - suma pătratelor erorlor de estmaţe ( Este un termen ce cuantfcă acţunea factorlor neînregstraţ asupra gradulu de dspersare a termenlor sere varable endogene. Avem aşadar egaltatea: SST SSR + SSE unde: - nvelul medu al varable dependente; - valorle observate ale varable dependente; ŷ- valoarea estmată pentru. Pentru testarea caltăţ modelulu apelăm la repartţa raportulu dsperslor (repartţa Snedecor), ceea ce mplcă transformarea sumelor (SSRşSSE) în dspers. Obţnem dspers dvzând suma pătratelor abaterlor la numărul gradelor de lbertate. SSR/( k 1) ( ) /( k 1) Fcalc. (1) SSE/( n k) ( ) /( n k) unde: k numărul de parametr a modelulu Pentru regresa lnară unfactorală: ( ) /1 Fcalc. ( ) /( n ) Observaţe!!! Testul mplcă sume de abater,ssrşsse, care împreună formează SST, ceea ce oferă prlejul de a etnde verfcarea în drecţa determnăr ş nterpretăr coefcentulu de determnaţe ( R ). ( ) SSE SST SSE SSR R 1 1 ( ) SST SST SST Dacă avem în vedere relaţa (1) ş dacă împărţm numărătorul ş numtorul acestea la SST rezultă: SSR /( k 1) ( SSR / SST )/( k 1) R /( k 1) F calc. SSE /( n k) ( SSE / SST )/( n k) (1 R )/( n k) Acest dn urmă raport face posblă aplcarea testulu F în stuaţa în care cunoaştem coefcentul de determnaţe. Pentru aplcarea testulu F se parcurg următoarele etape: I. Se defnesc cele două poteze ale testulu: H 0 : modelul nu este corect specfcat care este echvalent în cazul modelulu smplu de regrese cu faptul că valoarea pante de regrese nu dferă semnfcatv de zero. b 0 H 1 : modelul este corect specfcat, dec valoarea coefcentulu pante dferă semnfcatv de zero. b 0 II. Se calculează statstca F ş se compară Fcalc. cu Ftab.[ α,( k 1; n k)]. 1
Dacă Fcalc. > F tab.[ α,( k 1; n k)] atunc se respnge poteza nulă H 0 : b 0 a nesemnfcaţe, ceea ce confrmă modelul ca fnd vald.