Sondajul statistic -III

Transcript

1 STATISTICA Sodajul statstc -III tema 9 sapt.3-7 aprle 1 al.sac-mau Dstrbuta ormala Dstrbuta ormala Cea ma mportata dstrbute cotua: umeroase varable aleatoare pot f adecvat modelate daca sut ormal dstrbute. Multe dstrbut pot f apromate prtr-o dstrbute ormala. Dstrbuta ormala este patra de temele a ferete statstce. 3 1

2 Legea ormală (Gauss-Laplace) Ua d potezele fudametale sodajul statstc este ormaltatea (aparteeţa la legea Gauss-Laplace) a caracterzăr vestgate este ecesar să dscutăm despre această lege statstcă. Modelul Gauss-Laplace uzual, d puct de vedere matematc repreztă o repartţe statstcă deftă de fucţa de repartte ude 1 ( ) ( µ ) ; µ ; = ep F π µ R, >, R d Respectv fucta de frecveta f ( ) 1 ep π ( µ ) = sau fucţa de destatearepartte varable aleatoare mărmea fzcă măsurată ş care reprezetată grafc are becuoscuta formă de clopot (aşa-umtul clopot al lu Gauss ) Se şte că o fucţe de destatetrebue să îdeplească următoarele cerţe: () f( ), D ş () f( ) d 1 = ude D este domeul de defţe al varable, î D cazul ostru dreapta reală, R. Scurt storc legea ormala (1) Orgea acestu model o găsm î lucrarea Dalog despre cele două ssteme fudametale ale lum a lu Galleo GALILEI ( ), î care el îş epue părerle refertoare la măsurarea dstaţelor dtre dferte corpur cereşt: Galle cosdera că: erorle îtâmplătoare sut evtable î observaţle obţute cu dverse mjloace de măsurare erorle mc au şase ma mar de aparţe decât cele mar sau foarte mar măsurărle td să se dstrbue apromatv egal la stâga ş la dreapta ue valor de referţă majortatea valorlor observate td să se grupeze ( să se acuască ) î jurul aceste valor de referţă

3 ( ) Repartţa ormală apare de fapt petru prma oară î 1733 îtr-o lucrare a lu Abraham de MOIVRE ( ), matematca cuoscut ma curâd pr formula Movre refertoare la umerele complee Aba odată cu lucrărle lu Carl Fredrch GAUSS ( ) ş cele ale lu Perre Smo, Marqus de LAPLACE ( ) se pu î lumă propretăţle ş mportaţa deosebtă a aceste leg statstce ca descrptor ţal al comportăr erorlor de observaţe (Gauss, 189 î Theora Motus Corpum Caelestum Laplace (181/1811 î Theore aaltque des Probabltes d 181) arată rolul teoretc (ş practc) ecepţoal jucat de legea ormală pr aşa-umta TEOREMĂ LIMITĂ CETRALĂ. Cateva propretat ale leg ormale grafcul fucţe are u sgur mamum petru =µ s două fleu de abscse =µ± µ parametr descrptor ş au semfcaţa mede ş dspersa teoretce: M ( ) = µ ; var( ) = tervalul [ µ 3 µ, + 3] coţe apromatv 99,73% d valorle mărm. Varabla U= ( µ/ )se umeste varabla ormală stadard(sau stadardzată) ş are fucţa de destate respectv de repartţe F f 1 ( u) = ep( / ) u π t / ( u) = e dt varabla U are meda Oş dspersa 1. 1 π u Aceste fucţ au fost tabelate ţal de către Laplace. 3

4 Grafce ale leg ormale Eror verfcarea potezelor statstce (Hypothess testg errors) Eror î procesul de verfcare a potezelor statstce: H / H1 Eroare de geul îtâ: poteza H se respge, câd ea este adevărată. Eroare de geul al dolea: poteza H1 se admte, câd ea este falsă. Probabltăţle de a f comse cele două tpur de eror sut: probabltatea eror de geul îtâ rsc de geul I ş respectv probabltatea eror de geul al dolea-rsc de geul II. 4

5 vel de îcredere (Cofdece level) Valoarea P = ( 1 α) a probabltăţ asocate uu terval de îcredere. Prob = ( 1 α) poate f eprmat î procete [ ( 1 α) 1]. vel (prag) de îcredere (α ) (Cofdece level or sgfcace level) Terme folost petru a dca probabltatea eror de geul îtâ (α ). Som: vel de semfcaţe. vel de semfcaţe (Sgface level) Valoarea dată a lmte superoare a probabltăţ de eroare de tpul I. velul de semfcaţe se otează cu α. Test statstc (Statstcal test) Procedura statstcă pr care se decde dacă poteza ulă poate f respsă î favoarea poteze alteratve sau u Î geeral, u test prea apror o aumtă poteză, care trebue verfcată (de eemplu, poteza de depedeţă a observaţlor, poteza de ormaltate etc.). Testele pot f costrute cu ajutorul mede artmetce ş cu ajutorul altor varable aleatoare de sodaj, acestea umdu-se de regulă statstc deczoale ale testulu statstc Testarea ormaltăţ Verfcarea faptulu că datele epermetale obţute sut repartzate după legea Gauss-Laplace se poate face î ma multe modur, ş aume: algebrc (utlzâd dcator de eşatoaj cu propretăţle lor specfce î cazul leg ormale); grafc (folosd aşa-umtele hârt sau reţele de tp probablst) aaltc (utlzâd procedee statstce specale aşa umtele teste de cocordaţă ). 5

6 Testul h-pătrat - testul χ (Ch-squared test) Testul statstc î care, petru valdarea poteze ule, statstca utlzată presupue esteţa repartţe χ. Testul este aplcat, de eemplu, la următoarele probleme: a. testul de egaltate ître varata ue populaţ ormale ş o valoare specfcată, statstca testulu avâd la bază varata eşatoulu; b. comparaţa ître efectvele teoretce ş cele observate; c. î valdarea ue leg de repartţe, ca de pldă cea ormală. O formă clască de costrure a regu crtce a testulu χ este următoarea: Fe o varablă care poate lua valorle 1,,, m, cu probabltăţle p1, p,, pm. Fe 1,,,m frecveţele de aparţe a valorlor 1,,, m, îtr-u eşato de volum. Reguea crtcă a testulu χ petru verfcarea poteze p1 = p = = pm se costrueşte pe baza dcatorulu statstc de forma: ( p ) p = 1 care petru are repartţa χ cu 1 grade de lbertate. Dstrbut de esatoare 1.Itroducere Ipractca, parametr ue populat u se calculeaza deoarece populatle sut foarte mar Decat sa se vestgheze treaga populate, se a u esato, se calculeaza o statstcalegata de u parameterude teres, s se realzeaza o fereta. Dstrbuta de esatoare astatstceste u strumet care e arata cat de apropata este statstca de parametru 17 Dstrbuta de esatoare a mede U eemplu: U zar este arucat de foarte multe or. Fe umarul orcare arucar. Probabltatea de dstrbute a lu este: P() 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 M() = 1(1/6) + (1/6) + 3(1/6)+ = 3.5 V() = (1-3.5) + (-3.5) +. =

7 Presupuem ca dorm sa estmam µd meda uu esato de dmesue =. Care este dstrbuta pe care o urmeaza? Esato Mede Esato Mea Esato Mede 1 1, ,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3, , ,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1, , , ,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7,1 1,5 19 4,1,5 31 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4, ,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1, , , /36 5/36 4/36 3/36 /36 Esato Mede Esato Mede Esato Mede 1 1, ,1 5 5,1 3 1, 1,5 14 3,,5 6 5, 3,5 3 1,3 15 3, , ,4,5 16 3,4 3,5 8 5,4 4,5 5 1, , , ,6 3,5 18 3,6 4,5 3 5,6 5,5 7 otam,1 1,5 : µ 19 = µ 4,1 s,5 31 = 6,1 3,5 8, 4, 3 3 6, 4 9,3,5 1 4,3 3,5 33 6,3 4,5 1,4 3 4, ,4 5 11,5 3,5 3 4,5 4,5 35 6,5 5,5 1, , ,6 6 M( ) =1.(1/36)+ (/36)+.=3.5 V() = ( ) (1/36)+ (-3.5) (/36)... = / Varata mede esatoulu este ma mca decat varata populate. Mede = Mede = Mede =..5 Populate Compara mprasterea d.5.5 populate cu Sa luam esatoae mprasterea.5 mede esatoulu. d cele doua.5.5 observat De asemeea, Valoarea asteptata a populate = ( )/3 = Valoarea asteptata a mede esatoulu = ( + +.5)/3 = 1 7

8 Dstrbuta de esatoare a mede esatoulu 1. µ = µ. = 3. Daca este Daca u este ormala, este ormala ormala. este apromat v ormal dstrbut a petru o dmesue a esatoul u sufcet de mare. Termologe Meda populańe vestgate = = 1 Meda de eşato (de selecţe) estmator petru meda populaţe vestgate Dspersa populańe vestgate Dspersa de eşato (de selecţe) estmator petru dspersa populaţe vestgate ( ) = 1 S = 1 < < + = = 1 = = 1 ( ) Iterval de îcredere dublă egaltate probablstă ce apare î urma fereţe statstce Sodajul aleator smplu cu revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă = µ Z 3. Eroarea mede de reprezetatvtate µ = dacă >3 atuc: S vom avea: µ = S 4. Stablrea volumulu eşatoulu = S Z Z S rezultă: = 8

9 Sodajul aleator smplu fără revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă µ = < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă 3. Eroarea mede de reprezetatvtate 1 (factor de corecńe) S = 1 Z dacă >3 atuc: vom avea: 4. Stablrea volumulu eşatoulu rezultă: = µ Z S S µ = 1 Z S = Z S + Sodajul statstc ş regula de aduare a dsperslor Regula aduăr dsperslor spuea că: = δ + (5) Sodaj Aleator Smplu Sodaj Cluster Sodaj Stratfca t 11.Aprle.11 6 Sodajul aleator stratfcat-cu revere 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă = µ Z 3. Eroarea mede de reprezetatvtate(eroarea mede ) (1' ') ('') µ = dacă >3 atuc: S vom avea: µ = S (3' ') 7 4. Stablrea volumulu eşatoulu = S Z de ude rezultă: 11.Aprle.11 Z S = (4'') 9

10 Sodajul aleator stratfcat-fără revere 8 1. Itervalul de îcredere petru meda artmetcă µ = < < +. Eroarea lmtă sau mam admsblă 3. Eroarea mede de reprezetatvtate 1 (factor de corecńe) S = 1 Z = µ Z dacă >3 atuc: S dec : 4. Stablrea volumulu eşatoulu 11.Aprle.11 de ude rezultă: S µ = 1 Z S = Z S + (1' '') (''') (3' '' ) (4''') Repartzarea volumulu eşatoulu pe stratur (grupe) Să presupuem că avem u eşato de volum utăţ statstce dtr-o populaţe de utăţ statstce grupate î r grupe (stratur) după o aumtă varablă: repartzareaegală Î fecare dtre cele r grupe se repartza câte /r utăţ statstce repartzarea proporńoală Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle g celor r grupe. Formula petru g = poder: repartzarea optmă Formula de repartzare: = g Î fecare dtre cele r grupe se repartza utăţle statstce proporţoal cu poderle y celor r grupe ş ţâd cot ş de mărmea dsperse d terorul fecăre grupe. * S * Formula petru g = Formula de S = g 11.Aprle.11 9 poder: repartzare: Tema -aplcaţe (1) Petru a cuoaşte velul medu al producţe zlce obţute de agajaţ ue frme, s-a etras aleator, proporţoal ş erepetat u eşato de =1 de agajaţ ce repreztă 1%d umărul total de agajaţ a frme Î prealabl agajaţ au fost împărţt, î fucţe de vechme, î tre grupe: I) agajaţ cu vechme ma mcă de 5 a; II) agajaţ cu vechme ître 5 ş 1 a ş III) agajaţ cu vechme ma mare de 1 a. S-au cules formaţle, s-au efectuat prelucrărle ş s-au obţut următoarele rezultate: 11.Aprle

11 Aplcaţe () I) î prma grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede 15 bucăţ pe z cu o dsperse de 1 II) î a doua grupă de vechme, ce 5 de agajaţ au produs î mede bucăţ pe z, cu u coefcet de varaţe de % III) î a trea grupă, dtre ce 5 de agajaţ ce ma mulţ au produs 7 de bucăţ, meda artmetcă a fost de 5 bucăţ ar coefcetul de asmetre (Pearso) a îregstrat o valoare de -,33 11.Aprle Aplcaţe (3) Cu o probabltate de 95,45% (Z=) se cere: a) Să se stablească lmtele ître care se va îcadra producţa mede la velul îtreg frme b) Să se stablească u terval de îcredere petru producţa totală a fabrc îtr-o z c) Să se determe volumul oulu eşato dacă dorm să reducem eroarea lmtă de 1,5 or ş să se repartzeze optm pe grupe (stratur) 11.Aprle.11 3 Aplcaţe (4) Sstematzarea formaţe dspoble =1 agajaţ =1%* =1 agajaţ P=95,45% Z= Grupa de vechme I (vechme sub 5 a) I = 15 buc I =5 agajaţ S I=1 11.Aprle

12 Aplcaţe (5) Grupa de vechme II (vechme ître 5 ş 1 a) II =5 agajaţ CVII = SII II 1= % II = buc CV=% II S II = = 4 buc 1 S II=16 Grupa de vechme III (vechme peste 1 a) III =5 agajaţ Mo=7 bucăţ III = 5 buc C as =-, Cas III = =,333 III MoIII SIII 11.Aprle ,333= SIII S III =6 bucăţ S III=36 Aplcaţe (6) Tabel 1. Iformaţle calculate ş sstematzate coloaa 1 repreztă împărţrea ţală (proporţoală a eşatoulu pe stratur/ grupe) coloaa repreztă valoarea mede petru fecare strat/ grupă coloaa 3 repreztă dspersa d terorul fecăru strat/ grupă 11.Aprle