Εφαρµογή του λογισµικού MATLAB στο µάθηµα Πιθανότητες - Στατιστική. Εφαρµογή του λογισµικού MATLAB 6.5 στο µάθηµα Πιθανότητες - Στατιστική

Εφαρµογή του λογισµικού MATLAB 6.5 στο µάθηµα Πιθανότητες - Στατιστική 1

Πίνακας Περιεχοµένων Εισαγωγή Eπιφάνεια εργασίας Command Window Statistics toolbox Κατανοµές πιθανότητας Συµβολισµοί Συνάρτηση πιθανότητας (Probability density function (pdf)) Συνάρτηση Κατανοµής (Cumulative density function (cdf)) Μέση τιµή και τυπική απόκλιση συνάρτησης Κατανοµές πιθανότητας που διαθέτει το Statistics toolbox Α. Συνεχείς κατανοµές 1. Οµοιόµορφη συνεχής κατανοµή unifpdf unifcdf unifinv 2. Εκθετική κατανοµή exppdf expcdf expstat expinv expfit 3. Κανονική κατανοµή normpdf normcdf normstat norminv normplot normspec Εκτίµηση Παραµέτρων Κανονικής Κατανοµής. 4. Λογαριθµοκανονική κατανοµή lognpdf logncdf lognstat logninv Β. ιακριτές τ.µ 1. ιωνυµική κατανοµή binopdf binocdf binostat 2

binoinv Εκτίµηση παραµέτρου ιωνυµικής Κατανοµής 4. Γεωµετρική κατανοµή geopdf geocdf geostat geoinv 3. Κατανοµή Poisson poisspdf poisscdf poisstat poissinv poissfit 6. Κατανοµή x 2 3

Εισαγωγή Το MATLAB είναι ένα λογισµικό πακέτο, εξειδικευµένο σε τεχνικές εφαρµογές. Έχει τη δυνατότητα εκτέλεσης υπολογισµών, απεικονίσεων και προγραµµατισµού. Οι συνήθεις εφαρµογές του MATLAB είναι: Μαθηµατικοί υπολογισµοί Ανάπτυξη αλγορίθµων ηµιουργία βάσεων δεδοµένων Μοντελοποίηση και προσοµοίωση Ανάλυση, επεξεργασία και απεικόνιση δεδοµένων Ανάπτυξη επιστηµονικών γραφικών Επιφάνεια εργασίας Στην επιφάνεια εργασίας του Madlap, βρίσκονται τα εξής εργαλεία: Γραµµή εντολών Γραµµή εργαλείων Command Window Command History Workspace browser Current directory browser Launch Pad Κουµπί Start Command Window Το Command Window χρησιµοποιείται για το τρέξιµο των διάφορων συναρτήσεων µέσω της εισαγωγής των ανάλογων µεταβλητών. 4

Statistics toolbox Το MATLAB διαθέτει ένα µεγάλο αριθµό εργαλείων (toolboxes) µεταξύ των οποίων και το εργαλείο που αφορά την στατιστική, το Statistics toolbox. Στο toolbox αυτό, βρίσκονται όλες οι συναρτήσεις που µας ενδιαφέρουν. ιαθέτει τις βασικές στατιστικές συναρτήσεις που βρίσκουν εφαρµογή στην επιστήµη του µηχανικού και µπορούν να χρησιµοποιηθούν ως εργαλεία για την ανάπτυξη άλλων αναλυτικών µοντέλων. Κατανοµές πιθανότητας Για κάθε κατανοµή πιθανότητας το Statistics toolbox διαθέτει τις αντίστοιχες συναρτήσεις: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (ΣΠΠ) για συνεχείς κατανοµές ή Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας (ΣΜΠ) για διακριτές τ.µ (Probability density function (pdf)) Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής τ.µ (Cumulative density function (cdf)) Αντίστροφη Συνάρτηση Κατανοµής (Inverse Cumulative density function) Παραγωγή τυχαίων αριθµών συνάρτησης Μέση τιµή και τυπική απόκλιση συνάρτησης Συµβολισµοί Β Παράµετροι γραµµικού µοντέλου E(x) Προσδοκώµενη (µέση) τιµή του x: Ex ( ) = tftdt ( ) f(x a,b) Συνάρτηση πιθανότητας F(x a,b) Συνάρτηση κατανοµής I([a, b]) ή I[a, b] ιάστηµα τιµών p Η πιθανότητα πραγµατοποίησης ενός p και q γεγονότος. q Η πιθανότητα πραγµατοποίησης του συµπληρωµατικού γεγονότος του p. q = 1-p. 5

Συνάρτηση πιθανότητας (Probability density function (pdf)) Η συνάρτηση pdf, έχει την ίδια γενική µορφή για κάθε κατανοµή του Statistics Toolbox. Παρακάτω φαίνονται οι εντολές που χρησιµοποιούνται στην περίπτωση της ΣΠΠ της κανονικής κατανοµής. x = [-3:0.1:3]; f = normpdf(x,0,1); Η µεταβλητή f αποτελεί την πυκνότητα της κανονικής ΣΠ µε παραµέτρους µ=0 and σ=1 για κάθε x. Το πρώτο δεδοµένο κάθε ΣΠΠ είναι οι τιµές του x για τις οποίες θέλουµε να υπολογίσουµε την πυκνότητα. Τα άλλα δύο δεδοµένα είναι όσες παράµετροι είναι απαραίτητες για το µονοσήµαντο καθορισµό της κατανοµής. Για να καθοριστεί µονοσήµαντα η κανονική κατανοµή απαιτούνται δύο παράµετροι. Η µέση ή προσδοκώµενη τιµή, µ και η τυπική απόκλιση, σ. Συνάρτηση Κατανοµής (Cumulative density function (cdf)) Η συνάρτηση cdf, έχει επίσης την ίδια γενική µορφή για κάθε κατανοµή του Statistics Toolbox. Παρακάτω φαίνονται οι εντολές που χρησιµοποιούνται στην περίπτωση της Συνάρτησης Κατανοµής της κανονικής κατανοµής. x = [-3:0.1:3]; p = normcdf(x,0,1); Η µεταβλητή p αποτελεί την πιθανότητα P(X x) για την κανονική Συνάρτηση Κατανοµής, µε παραµέτρους µ=0 και σ=1 για κάθε x. Το πρώτο δεδοµένο κάθε ΣΚ είναι οι τιµές του x για τις οποίες θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα. Τα άλλα δύο δεδοµένα είναι όσες παράµετροι είναι απαραίτητες για το µονοσήµαντο καθορισµό της κατανοµής. 6

Μέση τιµή και τυπική απόκλιση συνάρτησης Όλες οι συναρτήσεις του Statistics Toolbox που τελειώνουν σε "stat" δίνουν τη µέση τιµή και τη διασπορά της αντίστοιχης κατανοµής για δεδοµένες παραµέτρους. Κατανοµές πιθανότητας που διαθέτει το Statistics toolbox: Συνεχείς εδοµένων Στατιστικές Βήτα Beta X 2 x 2 Γάµµα Gamma Μετατοπισµένη X 2 Noncentral x 2 Εκθετική Exponential F F Κανονική Normal Μετατοπισµένη F Noncentral F Λογαριθµοκανονική Lognormal t t Οµοιόµορφη Uniform Μετατοπισµένη t Noncentral t Rayleigh Weibull ιακριτές Γεωµετρική Υπεργεωµετρική ιωνυµική Αρνητική ιωνυµική Οµοιόµορφη Poisson Geometric Hypergeometric Binomial Negative Binomial Uniform 7

Α. Συνεχείς κατανοµές 1. Οµοιόµορφη συνεχής κατανοµή unifpdf Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνεχούς Οµοιόµορφης Κατανοµής (pdf) Μορφή συνάρτησης: Y = unifpdf(x,a,b) Η συνάρτηση Y = unifpdf(x,a,b) αποτελεί τη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνεχούς Οµοιόµορφης Κατανοµής (pdf) µε µεταβλητή x και παραµέτρους a και b. Για σταθερά a και b, η οµοιόµορφη ΣΠΠ είναι σταθερή. x = 0.1:0.1:0.6; y = unifpdf(x) y = 1 1 1 1 1 1 Τι συµβαίνει στην περίπτωση που το x βρίσκεται εκτός του διαστήµατος a και b; y = unifpdf(-1,0,1) y = 0 8

unifcdf Αθροιστική Συνάρτηση Οµοιόµορφης Συνεχούς Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης: P = unifcdf(x,a,b) Η συνάρτηση P = unifcdf(x,a,b) αποτελεί την Αθροιστική Συνάρτηση της οµοιόµορφης κατανοµής και η πιθανότητα P υπολογίζεται βάσει των δεδοµένων παραµέτρων a και b (της ελάχιστης και µέγιστης τιµής αντίστοιχα). Ποια είναι η πιθανότητα µια τυχαία τιµή από οµοιόµορφη κατανοµή µε a = 0 και b = 1, να είναι µικρότερη από 0.75; probability = unifcdf(0.75) probability = 0.7500 Ποια είναι η πιθανότητα µια τυχαία τιµή από οµοιόµορφη κατανοµή µε a = -1 and b = 1 να είναι µικρότερη από 0.75? probability = unifcdf(0.75,-1,1) probability = 0.8750 unifinv Αντίστροφη Συνάρτηση Οµοιόµορφης Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: X = unifinv(p,a,b) Η συνάρτηση X = unifinv(p,a,b) αποτελεί την Αντίστροφη Συνάρτηση της Οµοιόµορφης Κατανοµής µε παραµέτρους a και b (η ελάχιστη και η µέγιστη, ατίστοιχα) και υπολογίζει την τιµή του Χ για την αντίστοιχη πιθανότητα P. 9

Ποιος είναι ο στατιστικός µέσος της οµοιόµορφης κατανοµής µε a = 0 και b = 1; median_value = unifinv(0.5) median_value = 0.5000 Ποια είναι η αντίστοιχη τιµή του Χ στην Οµοιόµορφη Κατανοµή για πιθανότητα 0.99, στο διάστηµα -1 και 1? percentile = unifinv(0.99,-1,1) percentile = 0.9800 10

2. Εκθετική κατανοµή Όπως και η κατανοµή x 2, η εκθετική κατανοµή, αποτελεί ειδική περίπτωση της κατανοµής Γάµµα (Για a = 1). Η σηµαντικότητα της, οφείλεται στο γεγονός ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί στη µοντελοποίηση συµβάντων τα οποία εµφανίζονται τυχαία µέσα στον χρόνο. Το κύριο πεδίο εφαρµογών της είναι η µελέτη χρόνου ζωής. Η εκθετική ΣΠΠ είναι x 1 y = f( xµ ) = e µ µ exppdf Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Εκθετικής Κατανοµής (pdf) Μορφή συνάρτησης: Y = exppdf(x,mu) Η συνάρτηση exppdf(x,mu) αποτελεί την εκθετική ΣΠΠ µε µεταβλητή x και παράµετρο τη µέση τιµή MU (µ). y = exppdf(5,1:5) y = 0.0067 0.0410 0.0630 0.0716 0.0736 y = exppdf(1:5,1:5) y = 0.3679 0.1839 0.1226 0.0920 0.0736 11

κατασκευής Γραφήµατος Εκθετικής Κατανοµής Το πιο κάτω διάγραµµα, δείχνει την εκθετική ΣΠΠ µε µέση τιµή µ = 2. x = 0:0.1:10; y = exppdf(x,2); plot(x,y) expcdf Αθροιστική Συνάρτηση Εκθετικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης:: P = expcdf(x,mu) Η συνάρτηση P = expcdf(x,mu) αποτελεί την εκθετική ΑΣΚ µε µεταβλητή x και παράµετρο τη µέση τιµή MU (µ). Η εκθετική ΑΣΚ είναι 12

x 1 p = F( xµ ) = e dt = 1 e µ 0 t x µ µ Το αποτέλεσµα, p, είναι η πιθανότητα µια παρατήρηση τιµών που ακολουθούν εκθετική κατανοµή να βρίσκεται στο διάστηµα [0, x]. 1 Για εκθετικά κατανεµηµένες διάρκειες ζωής, η πιθανότητα να αντέξει ένα αντικείµενο µια επιπλέον χρονική µονάδα, είναι ανεξάρτητη της τωρινής ηλικίας του αντικειµένου. Στο παράδειγµα φαίνεται µια ειδική περίπτωση της ιδιότητας αυτής. l = 10:10:60; lpd = l+0.1; deltap = (expcdf(lpd,50)-expcdf(l,50))./(1-expcdf(l,50)) deltap = 0.0020 0.0020 0.0020 0.0020 0.0020 0.0020 2 Να δείξετε ότι η διχοτόµος της εκθετικής κατανοµής είναι µ*log(2). mu = 10:10:60; p = expcdf(log(2)*mu,mu) p = 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 Ποια η πιθανότητα µια εκθετική τ.µ να είναι µικρότερη από, ή ίση µε, τη µέση τιµή, µ; mu = 1:6; x = mu; p = expcdf(x,mu) p = 0.6321 0.6321 0.6321 0.6321 0.6321 0.6321 13

expstat Μέση τιµή και ιασπορά Εκθετικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: [M,V] = expstat(mu) Η εντολή [M,V] = expstat(mu) δίνει µέσες τιµές και διασπορές Εκθετικής Κατανοµής βάσει της δεδοµένης παραµέτρου που είναι η µέση τιµή µ (MU). Οι µέσες τιµές της εκθετικής κατανοµής είναι µ και οι διασπορές µ 2. [m,v] = expstat([1 10 100 1000]) m = 1 10 100 1000 v = 1 100 10000 1000000 expinv Αντίστροφη Αθροιστικής Συνάρτησης Εκθετικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης:: X = expinv(p,mu) H εντολή X = expinv(p,mu) αποτελεί την Αντίστροφη Εκθετική ΑΣΚ µε µεταβλητή την πιθανότητα P και παράµετρο τη µέση τιµή MU (µ). Η Αντίστροφη Εκθετική ΑΣΚ είναι x = F( p/ µ ) = µ ln(1 p) Το αποτέλεσµα, x, είναι η τιµή της εκθετικής κατανοµής µε µέση τιµή µ (MU) η οποία βρίσκεται στο διάστηµα [0, x] µε πιθανότητα p. 14

Έστω ότι η διάρκεια ζωής του κιβωτίου ταχυτήτων ενός δονητικού οδοστρωτήρα ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 700 ηµέρες. Ποια διάρκεια ζωής ενός κιβωτίου ταχυτήτων, έχει πιθανότητα εµφάνισης 0.5; expinv(0.50,700) ans = 485.2030 Άρα, χρησιµοποιώντας τα συγκεκριµένα κιβώτια ταχυτήτων σε διάφορους δονητικούς οδοστρωτήρες, τότε τα µισά απ αυτά θα τεθούν εκτός λειτουργίας σε λιγότερες από 500 ηµέρες. expfit Εκτίµηση παραµέτρων και διαστήµατα εµπιστοσύνης για εκθετικά δείγµατα. Μορφή συνάρτησης:: muhat = expfit(x) [muhat,muci] = expfit(x) [muhat,muci] = expfit(x,alpha) Η εντολή muhat = expfit(x) εκτιµά τη µέση τιµή, µ, εκθετικής κατανοµής για δεδοµένες τιµές του x. Η εντολή [muhat,muci] = expfit(x) δίνει το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για τη µέση τιµή. Η εντολή [muhat,muci] = expfit(x,alpha) δίνει 100(1-alpha)% διαστήµατα εµπιστοσύνης. Για παράδειγµα, όπου alpha = 0.01 λαµβάνουµε 99% διαστήµατα εµπιστοσύνης. Έχουµε ένα δείγµα 100 ανεξάρτητων τ.µ που ακολουθούν εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή µ = 3. Η εντολή muhat εκτιµά τη µέση τιµή του δείγµατος και δίνει το 99% διάστηµα εµπιστοσύνης µέσα στο οποίο βρίσκεται η µέση τιµή του δείγµατος. Η muci λαµβάνει πραγµατικές τιµές (true_mu). 15

true_mu = 3; [muhat,muci] = expfit(r,0.01) muhat = 2.8835 muci = 2.1949 3.6803 Εκτίµηση παραµέτρων της Εκθετικής Κατανοµής Έστω ότι ελέγχουµε τον χρόνο ζωής κιβωτίων ταχυτήτων για κάποιο συγκεκριµένο τύπο δονητικού οδοστρωτήρα. Υποθέτουµε πως ο χρόνος ζωής ακολουθεί εκθετική κατανοµή. Θέλουµε να ξέρουµε πόσος είναι ο µέσος αναµενόµενος χρόνος ζωής των κιβωτίων ταχυτήτων. Εκτίµηση παραµέτρων είναι η διαδικασία κατά την οποία προσδιορίζονται οι παράµετροι της εκθετικής κατανοµής, στην οποία προσαρµόζεται στο δείγµα µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Μια δηµοφιλής µέθοδος είναι αυτή της µέγιστης πιθανοφάνειας. Η εκθετική συνάρτηση πιθανοφάνειας έχει την ίδια µορφή µε την εκθετική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Για τη ΣΠΠ όµως, οι παράµετροι είναι γνωστές σταθερές και µεταβλητή είναι η x. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας, αντιστρέφει τους ρόλους των µεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή, οι τιµές του x (το δείγµα) είναι δεδοµένες. Αποτελούν έτσι τις σταθερές. Οι µεταβλητές είναι οι άγνωστες παράµετροι. Η ΕΜΠ υπολογίζει τις τιµές των παραµέτρων που δίνουν τη µέγιστη πιθανότητα για τις συγκεκριµένες δεδοµένες τιµές. Η συνάρτηση expfit εκτιµά τα διαστήµατα εµπιστοσύνης των παραµέτρων της εκθετικής κατανοµής. Πιο κάτω δίνεται ένα παράδειγµα όπου γίνεται χρήση τυχαίων αριθµών από εκθετική κατανοµή µε µ = 700. lifetimes = exprnd(700,100,1); [muhat, muci] = expfit(lifetimes) muhat = 672.8207 muci = 547.4338 810.9437 Ο ΕΜΠ για την παράµετρο µ είναι 672, σε σύγκριση µε την πραγµατική τιµή που είναι 700. Το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το µ είναι µεταξύ του 547 και του 811, όπου περιλαµβάνεται και η πραγµατική τιµή. 16

Στις δοκιµές για διάρκειες ζωής οι τιµή του µ είναι άγνωστη, για το λόγο αυτό, καλό είναι να υπάρχει ένα διάστηµα εµπιστοσύνης για την παράµετρο ώστε να δίνεται ένα φάσµα πιθανών τιµών. 17

3. Κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι µια διπαραµετρική οικογένεια καµπυλών. Η πρώτη παράµετρος, µ, είναι η µέση τιµή και η δεύτερη, σ, η τυπική απόκλιση. Η Τυποποιηµένη Κανονική Κατανοµή (Φ(x)) έχει µ = 0 και σ = 1. Η αρχική χρησιµότητα της κανονικής κατανοµής ήταν η συνεχής προσέγγιση της διωνυµικής. Η κανονική κατανοµή χρησιµοποιείται ευρέως κατά την εφαρµογή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος το οποίο µε λίγα λόγια λέει πως το άθροισµα ανεξάρτητων δειγµάτων που τείνουν στο άπειρο και ακολουθούν την ίδια κατανοµή, αποτελεί κανονική κατανοµή. Ορισµός της Κανονικής Κατανοµής Η κανονική ΣΠΠ είναι 1 y = f( xµσ, ) = e σ 2π 2 2 ( x µ ) 2σ normpdf Κατανοµής (pdf) Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Κανονικής Μορφή συνάρτησης: Y = normpdf(x,mu,sigma) Η συνάρτηση normpdf(x,mu,sigma) αποτελεί την Κανονική ΣΠΠ µε µεταβλητή x και παραµέτρους µ (MU) και σ (SIGMA). Γραφήµατος της Κανονικής Κατανοµής Στο πιο κάτω διάγραµµα φαίνεται η καµπάνα του Gauss για Τυποποιηµένη Κανονική Κατανοµή. x = -3:0.1:3; y = normpdf(x,0) plot(x,y) 18

normcdf Αθροιστική Συνάρτηση Κανονικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης: P = normcdf(x,mu,sigma) Η normcdf(x,mu,sigma) αποτελεί την Κανονική ΑΣΚ µε µεταβλητή x και παραµέτρους µ (MU) και σ (SIGMA). Η κανονική ΑΣΚ είναι 2 2σ p F x µσ e d 2 ( t µ ) 1 = ( /, ) = σ 2π t x Το αποτέλεσµα, p, είναι η πιθανότητα µια τιµή κανονικής κατανοµής µε παραµέτρους µ και σ να βρίσκεται στο διάστηµα (-, x]. 19

Ποια η πιθανότητα µια τιµή της τυπικής κανονικής κατανοµής να βρίσκεται στο διάστηµα [-1, 1]; p = normcdf([-1 1]); p(2) - p(1) ans = 0.6827 normstat Μέση τιµή και ιασπορά Κανονικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: [M,V] = normstat(mu,sigma) Η εντολή [M,V] = normstat(mu,sigma) δίνει Μέσες Τιµές και ιασπορές Κανονικής Κατανοµής για γνωστές µέσες τιµές µ (MU) και τυπικές αποκλίσεις σ (SIGMA). n = 1:5; [m,v] = normstat(n'*n,n'*n) [m,v] = normstat(n'*n,n'*n) m = 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 v = 1 4 9 16 25 4 16 36 64 100 9 36 81 144 225 16 64 144 256 400 25 100 225 400 625 norminv Κατανοµής Αντίστροφη Κανονικής Αθροιστικής Συνάρτησης Μορφή συνάρτησης: X = norminv(p,mu,sigma) 20

Η συνάρτηση X = norminv(p,mu,sigma) αποτελεί την Αντίστροφη Κανονικής Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής για δοσµένη πιθανότητα P, µέση τιµή µ (MU) και τυπική απόκλιση σ και (SIGMA) αντίστοιχα. Η Αντίστροφη Κανονικής Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής ορίζεται ως όπου { } x = F 1 ( p / µσ, ) = x : F ( x / µσ, = p 2 2σ p F x µσ e d 2 ( t µ ) 1 = ( /, ) = σ 2π t x Το αποτέλεσµα, x, είναι η λύση του πιο πάνω ολοκληρώµατος, µε αντικατάσταση της επιθυµητής πιθανότητας, p. Να βρεθεί ένα διάστηµα που περιέχει το 95% των τιµών µιας Τυποποιηµένης Κανονικής Κατανοµής. x = norminv([0.025 0.975],0,1) x = -1.9600 1.9600 Σηµειώνεται ότι το x δεν είναι το µόνο τέτοιο διάστηµα, είναι όµως το µικρότερο. X1 = norminv([0.01 0.96],0,1) X1 = -2.3263 1.7507 Το διάστηµα x1 περιέχει επίσης το 95% της πιθανότητας, είναι όµως µεγαλύτερο από το x. 21

normplot Κατασκευή διαγράµµατος κανονικής κατανοµής για έλεγχο της κανονικότητας δεδοµένων Μορφή συνάρτησης: normplot(x) h = normplot(x) Η εντολή normplot(x): κατασκευάζει γράφηµα Κανονικής Κατανοµής για αντίστοιχες τιµές του Χ. Το γράφηµα παρουσιάζει τα δείγµατα µε το σύµβολο +. Πάνω από τα δείγµατα βρίσκεται µια γραµµή που συνδέει την τελευταία από το πρώτο τέταρτο των τιµών, µε την πρώτη από το τελευταίο τέταρτο. Η γραµµή επεκτείνεται πέρα από τα άκρα του δείγµατος προκειµένου να γίνει ευκολότερη εκτίµηση της γραµµικότητας των δεδοµένων. Εάν τα δεδοµένα όντως προέρχονται από µια Κανονική Κατανοµή, η γραµµή εµφανίζεται ευθεία. εδοµένα που ακολουθούν διαφορετική κατανοµή εισαγάγουν κυρτότητα στο γράφηµα. Η εντολή h = normplot(x) κατευθύνει το σχεδιασµό της γραµµής που χρησιµοποιείται ως µέτρο σύγκρισης για την αξιολόγηση της γραµµικότητας των δεδοµένων. 22

Να παραχθεί ένα δείγµα τιµών που να ακολουθεί Κανονική Κατανοµή και να κατασκευαστεί ένα διάγραµµα εκτίµησης της γραµµικότητας των δεδοµένων. x = normrnd(0,1,50,1); h = normplot(x); Το γράφηµα είναι γραµµικό, αποδεικνύοντας ότι µπορούµε να µοντελοποιήσουµε τη δειγµατοληψία µε µια Κανονική Κατανοµή. normspec Γράφηµα Πυκνότητας Πιθανότητας Κανονικής Κατανοµής, µεταξύ καθορισµένων ορίων. Μορφή συνάρτησης: p = normspec(specs,mu,sigma) [p,h] = normspec(specs,mu,sigma) 23

Η εντολή p = normspec(specs,mu,sigma) σχεδιάζει τη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Κανονικής Κατανοµής µεταξύ ενός χαµηλότερου και ενός υψηλότερου ορίου που ορίζονται στο διάνυσµα specs, όπου mu και sigma η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση. Το διάνυσµα [p,h] = normspec(specs,mu,sigma) δίνει την πιθανότητα p ενός δείγµατος που βρίσκεται µεταξύ των δύο ορίων. Το h κατευθύνει τον σχεδιασµό των γραµµών των ορίων. Εάν specs(1) = -, δεν υπάρχει κατώτερο όριο, και οµοίως εάν specs(2) =, δεν υπάρχει ανώτερο όριο. Έστω ένα εργοστάσιο παραγωγής σκυροδέµατος. Για ένα συγκεκριµένο έργο παράγονται φορτία σκυροδέµατος αντοχής C30 (µε µέση αντοχή δηλαδή 30 MPa). Η διαδικασία παραγωγής έχει µια τυπική απόκλιση 1.25 MPa. Αν τελικά το κάθε φορτίο έχει αντοχή µεγαλύτερη από 29 MPa, τότε η κατασκευή δεν κινδυνεύει. Ποιο ποσοστό των φορτίων σκυροδέµατος που θα στέλνονται στον τόπο της κατασκευής θα έχει αντοχή µεγαλύτερη των 29 MPa; normspec([29 Inf],30,1.25) 24

Εκτίµηση Παραµέτρων Κανονικής Κατανοµής. Έχουµε ήδη αναφερθεί στις εκτιµήτριες Μέγιστης Πιθανοφάνειας. Ένα άλλο σηµαντικό κριτήριο κατά την εκτίµηση παραµέτρων είναι η αµεροληψία. Μια εκτιµήτρια είναι αµερόληπτη εάν η µέση τιµή της παραµέτρου που εκτιµάται, ισούται µε την παράµετρο. Για κάποιο δείγµα, µπορεί να υπάρξουν περισσότερες από µια αµερόληπτες εκτιµήτριες. Παραδείγµατος χάριν, η κάθε τιµή του δείγµατος είναι µια αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου µ µιας κανονικής Κατανοµής. Αποτελεσµατικότερη από όλες τις εκτιµήτριες της παραµέτρου, είναι αυτή µε την ελάχιστη διασπορά (Κριτήριο Ελάχιστης ιασποράς: MVUE). Η ελάχιστη διασπορά αντικειµενικού υπολογισµού (είναι η στατιστική που έχει την ελάχιστη διασπορά από όλους τους αντικειµενικούς υπολογισµούς µιας παραµέτρου. Οι αποτελεσµατικότερες εκτιµήτριες των παραµέτρων µ and σ 2 για την Κανονική Κατανοµή είναι ο µέσος όρος και η διασπορά του δείγµατος. Χρησιµοποιούνται δύο τύποι για την διασπορά: 2) 1) 1 n 2 2 s = ( xi x) n i = 1 1 s x x n 2 2 = ( i ) n 1 i= 1 Η εξίσωση 1 είναι η εκτιµήτρια µέγιστης πιθανοφάνειας για την σ 2, και η εξίσωση 2 είναι η αποτελεσµατικότερη εκτιµήτρια. Μια από τις πρώτες εφαρµογές της Κανονικής Κατανοµής κατά την ανάλυση δεδοµένων, ήταν η µοντελοποίηση του ύψους µαθητών. Υποθέτουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε τον µέσο όρο, µ, και την διασπορά, σ 2, του ύψους όλων των νηπίων στην Ελλάδα. Η εντολή normfit δίνει την αποτελεσµατικότερη εκτιµήτρια και τα διαστήµατα εµπιστοσύνης για την µ και την σ 2. height = normrnd(50,2,30,1); [mu,s,muci,sci] = normfit(height) mu = 50.2025 s = 1.7946 % Simulate heights. 25

muci = 49.5210 50.8841 sci = 1.4292 2.4125 26

4. Λογαριθµοκανονική κατανοµή Η Κανονική και η Λογαριθµοκανονική κατανοµή είναι άµεσα συνδεδεµένες. Αν η Χ είναι λογαριθµοκανονικά κατανεµηµένη, µε παραµέτρους µ και σ 2, τότε το lnx είναι κατανεµηµένο κανονικά, µε παραµέτρους µ και σ 2. Η Λογαριθµοκανονική κατανοµή βρίσκει εφαρµογή στις περιπτώσεις που η ποσότητα που µας ενδιαφέρει πρέπει να είναι θετική, αφού το lnx υπάρχει µόνο όταν η τ.µ Χ είναι θετική. Οι οικονοµολόγοι συχνά µοντελοποιούν την κατανοµή των εσόδων ως Λογαριθµοκανονική. lognpdf Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής (pdf) Μορφή συνάρτησης: Y = lognpdf(x,mu,sigma) Η Y = logncdf(x,mu,sigma) αποτελεί τη Λογαριθµοκανονική ΣΠΠ µε µεταβλητή x και παραµέτρους τη µέση τιµή µ (MU) και την τυπική απόκλιση σ (SIGMA). Η λογαριθµοκανονική ΣΠΠ είναι 1 (lnx µ) y = f( xµσ, ) = e 2 xσ 2π 2σ 2 1 κατασκευής διαγράµµατος της Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής x = (0:0.02:10); y = lognpdf(x,0,1); plot(x,y); grid; xlabel('x'); ylabel('p') 27

2 Έστω ότι το καθαρό ετήσιο κέρδος µιας τεχνικής εταιρείας ακολουθεί Λογαριθµοκανονική Κατανοµή µε µ = log(20,000) και σ 2 = 1.0. Να κατασκευαστεί το διάγραµµα της πυκνότητας πιθανότητας του καθαρού ετήσιου κέρδους. x = (10:1000:125010)'; y = lognpdf(x,log(20000),1.0); plot(x,y) set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000]) set(gca,'xticklabel',str2mat('0',' 30,000',' 60,000',' 90,000',' 120,000 ')) 28

logncdf Αθροιστική Συνάρτηση Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης: P = logncdf(x,mu,sigma) Η συνάρτηση P = logncdf(x,mu,sigma) αποτελεί τη Λογαριθµοκανονική ΑΣΚ µε µεταβλητή x, και παραµέτρους τη µέση τιµή µ (MU) και την τυπική απόκλιση σ (SIGMA). Η Λογαριθµοκανονική ΑΣΚ είναι 0 (ln( t) µ ) 2 2σ 1 t p = F( x/ µσ, ) = e dt σ 2π x 2 x = (0:0.2:10); y = logncdf(x,0,1); plot(x,y); grid; xlabel('x'); ylabel('p'); 29

lognstat Κατανοµής Μέση τιµή και ιασπορά της Λογαριθµοκανονικής Μορφή συνάρτησης: [M,V] = lognstat(mu,sigma) Η εντολή [M,V] = lognstat(mu,sigma) δίνει µέσες τιµές και διασπορές της Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής για γνωστές µέσες τιµές µ (MU) και τυπικές αποκλίσεις σ (SIGMA). Η µέση τιµή της Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής µε παραµέτρους µ και σ είναι σ 2 ( µ + ) e 2 και η ιασπορά (2 2 2 ) (2 2 ) e µ + σ e µ + σ [m,v]= lognstat(0,1) m = 1.6487 v = 4.6708 logninv Αντίστροφη Αθροιστικής Συνάρτησης Λογαριθµοκανονικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: X = logninv(p,mu,sigma) Η X = logninv(p,mu,sigma) αποτελεί την Αντίστροφη Λογαριθµοκανονική ΑΣΚ µε µεταβλητή την πιθανότητα P και παραµέτρους τη µέση τιµή MU και την τυπική απόκλιση SIGMA. 30

Η Αντίστροφη Λογαριθµοκανονικής Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής ορίζεται ως όπου { } x = F 1 ( p / µσ, ) = x : F ( x / µσ, = p 0 (ln( t) µ ) 2 2σ 1 t p= F( x/ µσ, ) = e d σ 2π t x 2 p = (0.005:0.01:0.995); crit = logninv(p,1,0.5); plot(p,crit) xlabel('probability');ylabel('critical Value'); grid 31

Β. ιακριτές τ.µ 1. ιωνυµική κατανοµή ιωνυµική κατανοµή ακολουθεί ο αριθµός των επιτυχιών σε n αριθµό δοκιµών υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις: Μόνο δύο ενδεχόµενα είναι πιθανά κατά τις n δοκιµές. Η επιτυχία και η αποτυχία Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι σταθερή Όλες οι δοκιµές είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους Ορισµός της ιωνυµικής Κατανοµής Η ιωνυµική ΣΜΠ είναι n x (1 x) ( x) ( x ) y = f( xn, p) = p q I(0,1,..., n) n όπου ( x ) = n! x!( n x)! και q=1-p Το αποτέλεσµα, y, είναι η πιθανότητα παρατήρησης x επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές, όπου η πιθανότητα επιτυχίας για οποιαδήποτε δοκιµή είναι p. binopdf (pdf) Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας ιωνυµικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης:: Y = binopdf(x,n,p) Η συνάρτηση Y = binopdf(x,n,p) αποτελεί τη ιωνυµική ΣΜΠ, µε παράµετρο X, για τις παραµέτρους n και p. Η παράµετρος n είναι θετικός ακέραιος αριθµός και οι τιµές της p βρίσκονται στο διάστηµα [0, 1]. 32

Σε ένα εργαστήριο δοµικών υλικών ελέγχονται 200 κυλινδρικά δοκίµια ανά εβδοµάδα, µε στόχο να εξακριβωθεί αν διαθέτουν την ονοµαστική τους αντοχή. Εάν το 2% δεν διαθέτει την απαιτούµενη αντοχή, ποια η πιθανότητα να µην βρεθούν δοκίµια ανεπαρκούς αντοχής σε 1 βδοµάδα; binopdf(0,200,0.02) ans = 0.0176 Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθµός δοκιµίων µε ανεπαρκή αντοχή που θα βρεθούν; y = binopdf([0:200],200,0.02); [x,i] = max(y); i i = 5 ιαγράµµατος της ιωνυµικής Κατανοµής Οι ακόλουθες εντολές δίνουν το διάγραµµα διωνυµικής κατανοµής για 10 δοκιµές (n = 10) και p = 1/2. x = 0:10; y = binopdf(x,10,0.5); plot(x,y,'+') 33

binocdf Αθροιστική Συνάρτηση ιωνυµικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης:: Y = binocdf(x,n,p) Η binocdf(x,n,p) αποτελεί τη ιωνυµική ΑΣΚ, µε µεταβλητή X, και παραµέτρους n και p. Η παράµετρος n είναι θετικός ακέραιος αριθµός και οι τιµές της p βρίσκονται στο διάστηµα [0, 1]. Η ιωνυµική ΑΣΚ για κάθε θετικό Χ και για δεδοµένο ζεύγος παραµέτρων n και p είναι x n i ( n i) y = F( x/ n, p) = p q I(0,1,..., n) ( i) i= 0 i Το αποτέλεσµα, y, είναι η πιθανότητα παρατήρησης µέχρι και x επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές, όπου η πιθανότητα της επιτυχίας για οποιαδήποτε δεδοµένη δοκιµή είναι p. Για την κατασκευή ενός ολυµπιακού έργου προσλήφθηκαν 162 συµβασιούχοι εργάτες. Στη σύµβαση οι υπερωρίες είναι προαιρετικές µε κίνητρο φυσικά τις αυξηµένες απολαβές. Κατά τις υπογραφές των συµβάσεων, όταν ερωτήθηκαν οι εργάτες κατά πόσο θα ήταν διατεθειµένοι να εργαστούν υπερωρίες σε περίπτωση που παραστεί ανάγκη, οι µισοί απάντησαν θετικά. Λόγω των µεγάλων καθυστερήσεων σε τµήµατα του έργου, προέκυψε ανάγκη να εργαστούν υπερωρίες τουλάχιστον οι 100 από τους 162 εργάτες. Η πιθανότητα να βρεθούν πάνω από 100 εργάτες για να εργαστούν υπερωρίες είναι 1 - binocdf(100,162,0.5). Το αποτέλεσµα είναι 0.001 (δηλαδή 1-0.999). Αν βρεθούν 100 ή περισσότεροι εργάτες διατεθειµένοι να εργαστούν υπερωρίες, το γεγονός αυτό σηµαίνει ότι στην πραγµατικότητα, περισσότεροι από τους µισούς εργάτες επιθυµούσαν να εργαστούν υπερωρίες. 34

binostat Μέση τιµή και ιασπορά ιωνυµικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης:[m,v] = binostat(n,p) [M,V] = binostat(n,p) ίνει Μέσες Τιµές και ιασπορές της ιωνυµικής Κατανοµής για γνωστές παραµέτρους n και p. n = logspace(1,5,5) n = 10 100 1000 10000 100000 [m,v] = binostat(n,1./n) m = 1 1 1 1 1 v = 0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000 [m,v] = binostat(n,1/2) m = 5 50 500 5000 50000 v = 1.0e+04 * 0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000 binoinv Αντίστροφη Αθροιστική Συνάρτηση ιωνυµικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης:: X = binoinv(y,n,p) Η εντολή Χ = binoinv (Υ, n, p) δίνει τη µικρότερη τιµή του X (ακέραιο αριθµό) για την οποία η ιωνυµική Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής µε παραµέτρους n και p, είναι ίση ή µεγαλύτερη του Υ. To Y είναι δηλαδή η πιθανότητα παρατήρησης x επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιµές όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας για κάθε δοκιµή. Ο x είναι ένας θετικός ακέραιος αριθµός µικρότερος ή ίσος του n. 35

Από το Νοέµβριο µέχρι και το Μάρτιο, τους βροχερότερους µήνες του χρόνου δηλαδή, η πιθανότητα να ξεπεραστεί η µέση ηµερήσια βροχόπτωση στην Ξάνθη είναι 0.4. Να βρεθεί ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης, µέσα στο οποίο κυµαίνεται ο αριθµός ηµερών των πιο βροχερών µηνών κατά τη διάρκεια των οποίων θα ξεπεραστεί η µέση ηµερήσια βροχόπτωση. binoinv([0.05 0.95], 151, 0.4) ans = 51 70 Το αποτέλεσµα αυτό σηµαίνει ότι στο 90% των επόµενων ετών, η µέση ηµερήσια βροχόπτωση κατά τους βροχερότερους µήνες, θα ξεπερνιέται από 51 έως 70 ηµέρες. Εκτίµηση παραµέτρου ιωνυµικής Κατανοµής Θέλουµε να εξετάσουµε την αξιοπιστία ενός εργοστασίου παραγωγής σκυροδέµατος έτσι ελέγχουµε την ποιότητα 100 φορτίων σκυροδέµατος. Έστω ότι µας ενδιαφέρει περισσότερο η ποιότητα ενός συγκεκριµένου φορτίου από τα 100. Εκτίµηση παραµέτρου είναι η διαδικασία κατά την οποία προσδιορίζεται η παράµετρος p της ιωνυµικής κατανοµής, η οποία προσαρµόζεται στο δείγµα µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Στην περίπτωση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας. Η ιωνυµική συνάρτηση πιθανοφάνειας έχει την ίδια µορφή µε την ιωνυµική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Για τη ΣΠΠ όµως, οι παράµετροι (το n και p) είναι γνωστές σταθερές και µεταβλητή είναι η x. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας, αντιστρέφει τους ρόλους των µεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή, οι τιµές του x (το δείγµα) είναι δεδοµένες. Αποτελούν έτσι τις σταθερές. Οι µεταβλητές είναι οι άγνωστες παράµετροι. Η ΕΜΠ υπολογίζει τις τιµές των παραµέτρων που δίνουν τη µέγιστη πιθανότητα για τις συγκεκριµένες δεδοµένες τιµές. Η εντολή binofit δίνει τον ΕΜΠ και διαστήµατα εµπιστοσύνης της παραµέτρου της ιωνυµικής κατανοµής. Πιο κάτω δίνεται ένα παράδειγµα όπου γίνεται χρήση τυχαίων αριθµών από ιωνυµική κατανοµή µε n = 100 και p=0.9. 36

r = binornd(100,0.9) r = 88 [phat, pci] = binofit(r,100) phat = 0.8800 pci = 0.7998 0.9364 Ο ΕΜΠ της παραµέτρου p είναι 0.8800, έναντι της πραγµατικής τιµής που είναι 0,9. Το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το p είναι από 0.7998 έως 0.9364, το οποίο περιλαµβάνει την πραγµατική τιµή. Φυσικά, στο παράδειγµα αυτό, το οποίο εµείς δηµιουργήσαµε, γνωρίζουµε την πραγµατική τιµή του p. Σε πειράµατα όµως όχι. 37

4. Γεωµετρική κατανοµή Η Γεωµετρική Κατανοµή είναι διακριτή και ισχύει µόνο για µη αρνητικούς ακέραιους αριθµούς. Γεωµετρική Κατανοµή ακολουθεί ο αριθµός επιτυχιών πριν από µια αποτυχία σε µια διαδοχή ανεξάρτητων δοκιµών όπου κάθε δοκιµή έχει σαν αποτέλεσµα την επιτυχία ή την αποτυχία. Ορισµός της Γεωµετρικής Κατανοµής Η Γεωµετρική ΣΜΠ είναι όπου q = 1 - p. x y = f( x/ p) = pq I(0,1,...) ( x) geopdf (pdf) Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας Γεωµετρικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: Y = geopdf(x,p) Η συνάρτηση Y = geopdf(x,p) αποτελεί τη Γεωµετρική ΣΜΠ µε µεταβλητή x και παράµετρο την πιθανότητα p. Ο πύργος ελέγχου ενός αεροδροµίου έχει σχεδιαστεί για τον άνεµο των 50 ετών. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η ταχύτητα αυτή θα ξεπεραστεί για πρώτη φορά µέσα στον πέµπτο χρόνο µετά την κατασκευή του πύργου; p = geopdf(4,0.02) p = 0.0184 38

geocdf Αθροιστική Συνάρτηση Γεωµετρικής Κατανοµής (cdf) Μορφή συνάρτησης: Y = geocdf(x,p) Η συνάρτηση geocdf(x,p) αποτελεί τη Γεωµετρική ΑΣΚ µε µεταβλητή x, µε παράµετρο την πιθανότητα p. Η Γεωµετρική ΑΣΚ είναι όπου q=1-p y F( x/ p) pq = = x i= 0 i Το αποτέλεσµα, y, είναι η πιθανότητα να κάνουµε x δοκιµές πριν από την πρώτη επιτυχία, όταν η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι p. 1 Έστω υπό µελέτη κτίριο, σχεδιασµένο για σεισµό επαναφοράς 25 ετών. Ποια η πιθανότητα να περάσουν το πολύ 10 χρόνια πριν εµφανιστεί για πρώτη φορά ο συγκεκριµένος σεισµός; p = geocdf(10,0.04) p = 0.3618 2 Η πιθανότητα να παρουσιαστεί βλάβη σε ένα µηχάνηµα διάνοιξης σήραγγας κατά τη λειτουργία του σε περιοχή µε βραχώδεις σχηµατισµούς πετρωµάτων είναι 0,1. Ποια η πιθανότητα να καταφέρει να λειτουργήσει 6 διαδοχικές ηµέρες σε περιοχή µε βραχώδεις σχηµατισµούς; 1 - geocdf(6,0.1) ans = 0.4783 39

geostat Μέση Τιµή και ιασπορά της Γεωµετρικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: [M,V] = geostat(p) Η εντολή [M,V] = geostat(p) δίνει τη Μέση Τιµή και τη ιασπορά της Γεωµετρικής Κατανοµής για πιθανότητα P. Η Μέση Τιµή της Γεωµετρικής Κατανοµής µε παράµετρο p είναι q/p όπου q = 1-p. Η διασπορά είναι q/p 2. [m,v] = geostat(1./(1:6)) m = 0 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 v = 0 2.0000 6.0000 12.0000 20.0000 30.0000 geoinv Αντίστροφη Αθροιστικής Συνάρτησης Γεωµετρικής Κατανοµής Μορφή συνάρτησης: X = geoinv(y,p) Η εντολή Χ = geoinv (Υ, p) δίνει τη µικρότερη τιµή του X (ακέραιο αριθµό) για την οποία η Γεωµετρική Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής µε παράµετρο p, είναι ίση ή µεγαλύτερη του Υ. To Y είναι δηλαδή η πιθανότητα παρατήρησης X επιτυχιών σε ένα σύνολο από ανεξάρτητες δοκιµές όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας για κάθε δοκιµή. 40

1 Για να έχουµε µικρότερη από 0.001 πιθανότητα ορθής πρόβλεψης (ή τουλάχιστον 0.999 πιθανότητα λανθασµένης πρόβλεψης) του αποτελέσµατος συνεχόµενων επαναλήψεων όταν στρίβουµε ένα κέρµα, πρέπει να στρίψουµε το κέρµα τουλάχιστον 9 φορές. psychic = geoinv(0.999,0.5) psychic = 9 2 Το πιο κάτω παράδειγµα δείχνει την αντίστροφη µέθοδο παραγωγής τυχαίων αριθµών της Γεωµετρικής Κατανοµής. rndgeo = geoinv(rand(2,5),0.5) rndgeo = 0 1 3 1 0 0 1 0 2 0 41

3. Κατανοµή Poisson Κατανοµή Poisson ακολουθεί ο αριθµός συµβάντων σε ένα δεδοµένο χρονικό διάστηµα, µια απόσταση, µια περιοχή κ.λ.π. Παραδείγµατα που ακολουθούν Κατανοµή Poisson είναι ο αριθµός των Ι.Χ οχηµάτων που στρίβουν δεξιά από ένα συγκεκριµένο φανάρι σε µια ώρα και οι σεισµοί µεγάλης έντασης που συµβαίνουν σε µια περιοχή σε µία δεκαετία. Η Κατανοµή Poisson είναι µια διακριτή Κατανοµή που παίρνει τιµές µη αρνητικών ακέραιων αριθµών. Η παράµετρος, λ, είναι η µέση τιµή αλλά και η διασπορά της Κατανοµής. Κατά συνέπεια, καθώς αυξάνεται το µέγεθος των αριθµών σε µια κατανοµή Poisson έχουµε και αύξηση της διασποράς της συγκεκριµένης κατανοµής. Όπως έδειξε ο Poisson (1837),η Κατανοµή Poisson είναι µια υποπερίπτωση της ιωνυµικής Κατανοµής όταν το n τείνει στο άπειρο και το p στο µηδέν, µε παράµετρο λ= np. Η κατανοµή Poisson και η εκθετική Κατανοµή συσχετίζονται. Εάν ο αριθµός των συµβάντων ακολουθεί την Κατανοµή Poisson, τότε το διάστηµα µεταξύ των µεµονωµένων συµβάντων ακολουθεί εκθετική Κατανοµή. Ορισµός της Κατανοµής Poisson x λ λ y = f( x/ λ) = e Ι (0,1,...)( x) x! όπου το x µπορεί να είναι οποιοσδήποτε µη αρνητικός ακέραιος αριθµός. poisspdf (pdf) Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας Κατανοµής Poisson Μορφή συνάρτησης: Y = poisspdf(x, LAMBDA) Η συνάρτηση poisspdf(x,lambda) αποτελεί τη ΣΜΠ Poisson µε µεταβλητή X για την παράµετρο λ (LAMBDA). Όπου λ πάντα θετικό. 42

1 Σε µια περιοχή συµβαίνουν 2 µεγάλοι σεισµοί ανά 20 χρόνια. Ποια η πιθανότητα να µη συµβεί κανένας σεισµός µεγάλης έντασης µέσα σε µια πενταετία, στη συγκεκριµένη περιοχή; σε ένα ηµίωρο στο συγκεκριµένο τηλεφωνικό κέντρο; Στο πρόβληµα αυτό, λ = 2*5/20 = 0.5 και x = 0. p = poisspdf(0,0.5) p = 0.6065 2 Κατά την κυκλοφοριακή µελέτη ενός οδικού κόµβου για ώρες αιχµής, έχουµε παρατηρήσει ότι στον συγκεκριµένο κόµβο, στρίβουν δεξιά, κατά µέσο όρο 5 οχήµατα ανά λεπτό. Ποια η πιθανότητα µέσα σε ένα λεπτό να µην στρίψει κανένα όχηµα δεξιά; p = poisspdf(0,5) p = 0.0067 κατασκευής διαγράµµατος της Κατανοµής Poisson Στο διάγραµµα φαίνεται η πιθανότητα για κάθε µη αρνητικό ακέραιο αριθµό που ακολουθεί κατανοµή poisson, όταν λ = 5. x = 0:15; y = poisspdf(x,5); plot(x,y,'+') 43

poisscdf Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής Poisson (cdf) Μορφή συνάρτησης: P = poisscdf(x,lambda) Η συνάρτηση poisscdf(χ, LAMBDA) αποτελεί την Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής Poisson µε µεταβλητή x και παράµετρο λ (LAMBDA). Η ΑΣΚ Poisson είναι x i λ λ p = F( x/ λ) = e i! i= 0 Το τµήµα ελέγχου ενός εργοστασίου κατασκευής γεωτρυπάνων κάνει έλεγχο σε κάθε γεωτρύπανο που κατασκευάζεται ξεχωριστά. Σύµφωνα µε την πολιτική του εργοστασίου, σε περίπτωση που βρεθούν πάνω από τέσσερα ελαττώµατα σε ένα γεωτρύπανο, τότε η διαδικασία παραγωγής διακόπτεται. Ποια η πιθανότητα να διακοπεί η διαδικασία παραγωγής αν ο µέσος όρος ελαττωµάτων σε κάθε γεωτρύπανο είναι 2; probability = 1 - poisscdf(4,2) probability = 0.0527 Περίπου το 5% της διαδικασίας κατασκευής θα παραγάγει γεωτρύπανα µε τέσσερις βλάβες. Υποθέτοντας ότι ο µέσος όρος ελαττωµάτων σε κάθε γεωτρύπανο αυξάνεται σε 4. Ποια η πιθανότητα να βρεθούν λιγότερα από 5 ελαττώµατα σε ένα γεωτρύπανο; probability = poisscdf(4,4) probability = 0.6288 poisstat Μέσος όρος και ιασπορά της Κατανοµής Poisson Μορφή συνάρτησης: M = poisstat(lambda) 44

[M,V] = poisstat(lambda) Η εντολή M = poisstat(lambda) δίνει τον µέσο όρο της Κατανοµής Poisson για δεδοµένη παράµετρο λ (LAMBDA). Το µέγεθος του µ είναι το µέγεθος του LAMBDA. Η εντολή [M,V] = poisstat(lambda) δίνει τη µέση τιµή και τη επίσης διασπορά V της Κατανοµής Poisson. Για τη Κατανοµή Poisson µε παράµετρο λ, και η µέση τιµή και η διασπορά είναι ίσες µε λ. Να βρεθεί η µέση τιµή και η διασπορά της Κατανοµής Poisson µε λ = 2. [m,v] = poisstat([1 2; 3 4]) m = 1 2 3 4 v = 1 2 3 4 poissinv Αντίστροφη Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής Poisson (cdf) Μορφή συνάρτησης: X = poissinv(p,lambda) Εάν ο µέσος αριθµός ελαττωµάτων (λ) είναι δύο, ποιος αριθµός ελαττωµάτων έχει 95% πιθανότητα εµφάνισης; poissinv(0.95,2) ans = 5 Ποια είναι η µέση τιµή των ελαττωµάτων; median_defects = poissinv(0.50,2) 45

median_defects = 2 poissfit Εκτιµήσεις παραµέτρου και διαστήµατα εµπιστοσύνης για τα στοιχεία Poisson Μορφή συνάρτησης: lambdahat = poissfit(x) [lambdahat,lambdaci] = poissfit(x) [lambdahat,lambdaci] = poissfit(x,alpha) Η εντολή poissfit(x) δίνει την ΕΜΠ της παραµέτρου λ της Κατανοµής Poisson για δεδοµένες τιµές του x. Η εντολή [lambdahat,lambdaci] = poissfit(x) δίνει το 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης για το λ. Η εντολή [lambdahat,lambdaci] = poissfit(x,alpha) δίνει 100(1- alpha)% διαστήµατα εµπιστοσύνης. Για παράδειγµα όπου alpha = 0.001 λαµβάνουµε 99.9% διαστήµατα εµπιστοσύνης. Ο µέσος όρος του δείγµατος είναι η ΕΜΠ του λ. r = poissrnd(5,10,2); [l,lci] = poissfit(r) l = 7.4000 6.3000 lci = 5.8000 4.8000 9.1000 7.9000 46

Κατανοµή x 2 Η Κατανοµή x 2 είναι µια ειδική περίπτωση της Κατανοµής Γάµµα µε αντικατάσταση του b µε 2 στην εξίσωση της Κατανοµής Γάµµα που φαίνεται πιο κάτω: 1 b Γ( α) x a 1 b y = f( x/ a, b) = x e a Η κατανοµή x 2 είναι σηµαντική λόγω της χρησιµότητας της στον έλεγχο προσαρµογής δείγµατος. Εάν ένα σύνολο n παρατηρήσεων κατανέµεται κανονικά µε διασπορά σ 2, και αν s 2 είναι η τυπική απόκλιση του δείγµατος, τότε ( n 1) s 2 σ 2 2 ( n 1) χ Το Statistics Toolbox χρησιµοποιεί την πιο πάνω σχέση για τον υπολογισµό διαστηµάτων εµπιστοσύνης στην εκτίµηση της κανονικής παραµέτρου σ 2 µε τη χρήση της συνάρτησης normfit Ορισµος της Κατανοµής x 2 Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας της κατανοµής x 2 είναι: y = f( x/ ν ) = x e ( ν 2)/2 x /2 u 2 2 Γ( ν /2) όπου Γ(ν/2) είναι η συνάρτηση Γάµµα και ν είναι οι βαθµοί ελευθερίας γραφήµατος της Κατανοµής x 2 Η Κατανοµή x 2 κλίνει προς τα δεξιά ειδικά για µικρούς βαθµούς ελευθερίας (ν). Στο γράφηµα παρουσιάζεται η Κατανοµή x 2 µε τέσσερις βαθµούς ελευθερίας. x = 0:0.2:15; 47

y = chi2pdf(x,4); plot(x,y) 48