ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-researh.om http://www.fluid-researh.om/tei_.htm ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΞΟΝΑ. ΚΑΥΣΗ. ΘΕΡΜΙΚΟΣ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΟΥ ΑΣΚΟΥΝΤΑΙ ΣΤΟ ΕΔΡΑΝΟ ΑΠΟ ΕΚΚΕΝΤΡΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΜΑΖΑ ΕΚΚΕΝΤΡΗ ΜΑΖΑΣ m, ΠΟΥ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΕΝΤΡΟ Ο, ΣΕ ΑΚΤΙΝΑ r ΚΑΙ ΜΕ ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ω. ω m r Ο ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ mr ω ΕΠΙΤΡΟΧΙΟΣ mr dω dt ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΓΙΑ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΩΝ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΜΑΖΕΣ m, m, m 3 ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ ΟΜΑΛΑ ΣΕ ΑΚΤΙΝΕΣ r, r, r 3, ΣΕ ΑΞΟΝΑ ΚΑΘΕΤΟ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΡΟΒΟΛΗΣ. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΤΟ ΝΑ ΠΡΟΣΤΕΘΕΙ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΗ ΜΑΖΑ m Α ΣΕ ΑΚΤΙΝΑ r Α, ΜΕ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΟΠΟ, ΩΣΤΕ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΤΩΝ 4 ΜΑΖΩΝ ΝΑ ΣΥΜΠΙΠΤΕΙ ΜΕ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ. m m r m r r m m 3 r 3 r 3 m 3 r ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ( m ΝΑ ΕΙΝΑΙ 0 ) i ri 0 i ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΩΝ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ m mr mr mr m mr ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΜΑΖΕΣ m i ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ ΟΜΑΛΑ ΣΕ ΑΚΤΙΝΕΣ r i, ΣΕ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΕΔΡΑΖΕΤΑΙ ΣΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΕΔΡΑΝΑ Α, Β, ΚΑΙ ΣΕ ΑΞΟΝΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ z i ΑΠΟ ΤΟ ΕΔΡΑΝΟ Α. ΟΙ ΜΑΖΕΣ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΣΤΕΘΟΥΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΕΤΟΙΕΣ ΩΣΤΕ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 0 ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ Α ΝΑ ΕΙΝΑΙ 0 (ΚΑΙ ΑΡΑ ΚΑΙ ΩΣ i ΠΡΟΣ ΤΟ Β). ( m r ) i i 0 [ ( m r) z ] i i i i 0 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΕΑΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ F, ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΟ. ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΑΚΙΝΗΤΟ ΔΕΝ ΑΣΚΟΥΝΤΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΑ ΕΔΡΑΝΑ. ΟΤΑΝ ΟΜΩΣ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ, ΤΟΤΕ ΑΣΚΟΥΝΤΑΙ. ( m r ) i ΕΑΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΡΟΠΩΝ M, ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΛΕΓΕΤΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΩΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΟ. mi r zi 0 i i ΓΙΑ ΝΑ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΘΕΙ ΔΥΝΑΜΙΚΩΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ, ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΑΝΤΙΒΑΡΩΝ. i i 0 [( ) ] ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΒΗΜΑΤΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΕΚΛΟΓΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΟΥ ΘΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ ΤΑ ΑΝΤΙΒΑΡΑ. ΕΚΛΟΓΗ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΑΝ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ, ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΑΥΤΟ. ΕΥΡΕΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΣΤΟ ΑΛΛΟ ΕΠΙΠΕΔΟ (ΟΧΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) ΑΠΟ ΕΞΙΣΣΟΡΟΠΗΣΗ ΡΟΠΩΝ. ΕΥΡΕΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ, ΑΠΟ ΕΞΙΣΣΟΡΟΠΗΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ (ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΟΥ ΤΟΥ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΠΟΥ ΠΡΟΣΤΕΘΗΚΕ ΣΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ ΒΗΜΑ). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ mr m 3 Β Α mr m Βλέπουμε πό εδώ ω m m 3 mr m Διεύθυνση δυνάμεων F mr m m 3 M Διεύθυνση ροπών (ως προς σημειο Α) mr ( πόστση) m Ροπές Μ, Μ 3 Περιστροφή κτά 90 ο m Ροπή Μ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟ Α. ΟΛΕΣ ΟΙ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕΤΡΙΟΥΝΤΑΙ ΑΠΟ ΕΚΕΙ. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΡΟΠΩΝ M ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ A. ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΣΤΟ B. Ροπή που θ πρέπει ν έχει το ντίβρο που θ τοποθετηθεί στο επίπεδο Β (ως προς το σημείο Α ). φ M m r M 3 mr 3 Άρ στη θέση Β (πόστση 4l) πρέπει ν τοποθετηθεί ντίβρο που θ δίνει ροπή ως προς Α ίση με Μ tot. Άρ η μάζ κι κτίν του θ πρέπει ν είνι: φ ο ( φ) 0.5 φ 6.57 tan M m B B M m r 4 m r r B tot m r B 6 4 B 6 M M tot mr Συνιστμένη m r 6 Μ tot ροπή 3 μζών ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΑΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΣΤΟ B. m m 3 Ροπές ντίβρου B. φ m Ροπές Μ, Μ 3 Θέση ντίβρου B. φ Ροπή Μ m B r B m r ο φ 6.57 6 4 Περιστροφή νάποδ κτά 90 ο γινβρούμε την πργμτική θέση του ντίβρου B. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΟΜΑΛΑ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΕΠΟΜΕΝΟ ΒΗΜΑ ΕΙΝΑΙ Η ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Α, ΩΣΤΕ ΝΑ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ F ΤΩΝ 3 ΜΑΖΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΝΤΙΒΑΡΟΥ Β. F 3 m r F m r Συνιστμένη φυγόκεντρων δυνάμεων 4 μζών Φυγόκεντρος που θ πρέπει ν έχει το ντίβρο που θ τοποθετηθεί στο επίπεδο Α. F A θ F F B m r m B r B m r Συνιστμένη οριζόντις διεύθυνσης x: FA x ( F - FB sin( φ) ) Συνιστμένη οριζόντις διεύθυνσης y: F ( F F - F os( φ) ) φ m A r A A y 3 B 6 4 m A, θ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 r A,
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ x r os os ( β) r os( φ) ( β) λ sin ( φ) λ r x ( ) ( os( φ) ) λ sin ( φ) r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΔΙΩΝΥΜΟΥ, ΤΟ os(β) ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΤΥΧΘΥΕΙ: os 8 6 5 8 4 4 6 6 8 8 ( β) λ sin ( φ) λ sin ( φ) λ sin ( φ) λ sin ( φ)... ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: sin sin 4 sin 6 ( φ) os( φ) 3 8 8 ( φ) os( φ) os( 4φ) 5 6 5 3 3 6 3 ( φ) os( φ) os( 4φ) os( 6φ) Κ.Ο.Κ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΕΤΣΙ ΤΕΛΙΚΑ: ( os( φ) os( φ) os( 4φ)...) x r 4 0 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΟΠΟΥ: 3 5 λ 3λ 5λ... 4 64 64 0 3 5 λ λ 5λ 4 6 5... 3 λ 64 5 3λ 56 4... 5 λ... Κ.Ο.Κ 5 6 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΛΕΙΠΟΝΤΑΣ ΟΡΟΥΣ λ 3 ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ: x r λ 4 os λ 4 ( φ) os( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΜΒΟΛΟΥ: dx dt dx dφ dφ dt ΑΚΡΙΒΗΣ ωr sin ( φ) λ os λ ( φ) ( φ) sin ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΟΠΟΥ: ( γ sin( φ) γ sin( φ) γ sin( 4φ)...) ωr 4 3 5 3 5 5 λ λ 5λ λ 3λ 3λ γ γ... γ4... γ6... 8 56 6 64 56 Κ.Ο.Κ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΛΕΙΠΟΝΤΑΣ ΟΡΟΥΣ λ 3 ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ: ωr sin λ ( φ) sin( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΕΜΒΟΛΟΥ: b d dt d dφ dφ dt ΑΚΡΙΒΗΣ b 4 ( φ) λ sin ( φ) 3 λ sin ( φ) os ω r os( φ) λ ( ) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΟΠΟΥ: ( β os( φ) β os( φ) β os( 4φ)...) b ω r 4 3 5 3 5 5 λ 5λ λ 3λ 9λ β β λ... β4... β6... 4 8 4 6 8 Κ.Ο.Κ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΛΕΙΠΟΝΤΑΣ ΟΡΟΥΣ λ 3 ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ: b ω r ( os( φ) λ os( φ) ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΙΕΣΕΙΣ ΑΕΡΙΩΝ ΣΤΟ ΕΜΒΟΛΟ P g π 4 D p g ΑΝΑΛΥΕΤΑΙ ΣΕ ΔΥΝΑΜΗ ΣΤΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ N g P tan g ( β) ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΝΑΜΗ ΣΤΟΝ ΔΙΩΣΤΗΡΑ sin r ( β) sin( φ) S g P os g ( β) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ T g R g M S σg ΗΔΥΝΑΜΗΔΙΩΣΤΗΡΑ ΜΕΤΑΒΙΒΑΖΕΤΑΙ ΣΤΟ ΚΟΜΒΙΟ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΕΤΑΙ g S sin g os ( φ β) ( φ β) P g P sin os ( φ β) ( β) ( φ β) os( β) os ΟΠΟΤΕ Η ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ T g r P g r g sin os ( φ β) ( β) ΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΕΙΝΑΙ Η ΡΟΠΗ ΑΝΑΤΡΟΠΗΣ M g M σg ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΑΠΟ ΚΑΘΑΡΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΣΗΣ T g P g r ω ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΟΥΝΤΕΣ ΜΑΖΕΣ (ΔΕΙΚΤΗΣ ) ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΕΣ ΜΑΖΕΣ (ΔΕΙΚΤΗΣ r). ΜΑΖΕΣ ΜΕ ΜΙΚΤΗ ΚΙΝΗΣΗ (ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΕΣ). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΔΙΩΣΤΗΡΑ ΣΕ ΜΑΖΕΣ Η ΜΑΖΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΜΑΖΑ ΤΟΥ ΔΙΩΣΤΗΡΑ. ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΝΑ ΣΥΜΠΙΠΤΕΙ ΜΕ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ ΤΟΥ ΔΙΩΣΤΗΡΑ. Η ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΔΙΕΡΧΟΜΕΝΟ ΑΠΟ ΤΟ Κ.Β. ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΟΥ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΙΝΗΣΗΣ, ΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΤΟΥ ΔΙΩΣΤΗΡΑ. m m δ δr m δ Ε m δ m ( ΕΚ) m ( ΣΚ) 0 δ δr δ ( ΕΚ) mδr ( ΣΚ) Θδ m Σ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΛΥΣΗ ΠΟΥ ΕΝ ΓΕΝΕΙ ΔΕΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗΝ 3 Η ΣΥΝΘΗΚΗ. ΓΙΑ ΤΕΧΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Κ m δ m δr ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΟΥΝΤΕΣ ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ P b m b m r ω r ω Η ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΣΧΥΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ Η ΙΔΙΑ (ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΚΤΗ g ΜΕ ΔΕΙΚΤΗ l, ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΟΤΙ ΕΚΤΟΣ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΝΑΤΡΟΠΗΣ, ΜΕΤΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΚΑΙ Η ΙΔΙΑ Η ΔΥΝΑΜΗ). ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ( β os( φ) β os( φ) β os( 4φ)...) P m ω r 4 P m ω r ( os( φ) λ os( φ) ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΤΟ ΕΥΡΟΣ ΤΗΣ ΠΙΕΣΕΩΣ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ν ΤΗΣ P l ΕΙΝΑΙ: (F ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΜΒΟΛΟΥ, n ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ (rpm), ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΜΒΟΛΟΥ) π n ω 60 V h p ν Fr 4r n 60 m ω r m Qν Qν F Vh π n: τχύτητ περιστροφής (RPM) F: επιφάνει εμβόλου r: κτίν στροφάλου V h : όγκος εμβολισμού : μέση τχύτητ εμβόλου m l : πλινδρομούσες μάζες Q ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΑΞΗ v ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ, ΚΑΙ ΤΟ λ. ν ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ Η ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΘΕΙ ΟΠΩΣ ΠΡΙΝ T P r ω ΚΑΙ ΝΑ ΑΝΑΛΥΘΕΙ ΣΑΝ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER T ΙΙ ΙΙΙ ( φ) ΔΤ sin( φ) ΔΤ sin( 3φ)... Ι ΔΤ sin ΔΤ Ι 3 5 λ λ 5λ m r ω... 4 6 5 ΔΤ IIΙ 3 5 3λ 9λ 8λ m r ω... 4 3 5 ΔΤ ΙI 4 6 λ λ m r ω... 3 3 ΔΤ IV 4 6 λ λ λ m r ω... 4 8 6 ΑΡΑ Η ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΧΝΌΤΗΤΑ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ, ΕΧΕΙ ΜΟΝΟ ΗΜΙΤΟΝΙΚΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ, ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ 0. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΕΣ ΜΑΖΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ P R m r r ω ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΜΑΖΑ ΣΕ ΑΚΤΙΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ r. ΟΠΟΤΕ P στρ m o r o ω πργμτικά m στρ m o m ro r στρ r ω νηγμέν στη κτίν στροφάλου ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΤΥΠΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΠΙΕΣΕΩΝ ΓΙΑ 4Χ DIESEL ΜΕ ΥΠΕΡΠΛΗΡΩΣΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΤΥΠΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΓΙΑ 4Χ DIESEL ΜΕ ΥΠΕΡΠΛΗΡΩΣΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΘΕ ΤΥΧΑΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: y f ( x) [ ] ΟΡΙΣΜΕΝΗ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ: x L, L x 0, L ΠΕΡΙΟΔΟΣ: L Ή [ ] ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΘΕΙ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: y f a ( ) 0 x n a n os n π x L b n sin n π x L ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΟΙ ΣΧΕΣΕΙΣ EULER FOURIER ΔΙΝΟΥΝ: a n L L f ( x) os n π x L dx b n L L f ( x) sin n π x L dx ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER Η ΣΕΙΡΑ FOURIER ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΡΘΕΙ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΜΟΡΦΕΣ: ( ) n n n 0 n n n 0 n n n 0 δ L x π n s Γ A γ L x π n os Γ A L x π n sin B L x π n os A A x g y in ΟΠΟΥ: n n n B A Γ ( ) n n n A B γ tan ( ) n n n B A δ tan
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: ΓΕΝΙΚΑ ΤΑ ΕΥΡΗ ΚΑΘΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ Γ n ΤΕΙΝΟΥΝ ΣΤΟ ΜΗΔΕΝ ΓΙΑ n. ΜΑΛΙΣΤΑ ΤΕΙΝΕΙ ΤΟΣΟ ΤΑΧΥΤΕΡΑ ΟΣΟ ΠΙΟ ΟΜΑΛΗ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΕΤΣΙ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΩΣ ΑΡΚΕΙ ΜΟΝΟ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΟΡΟΥΣ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ. ΕΑΝ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΤΙΑ, ΔΗΛΑΔΗ f(x) f(-x) (ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ x π), ΤΟΤΕ Β n 0, ΔΗΛΑΔΗ ΕΞΑΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΗΜΙΤΟΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ. ΕΑΝ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΤΤΗ, ΔΗΛΑΔΗ f(x) -f(-x) (ΑΝΤΙΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ x π), ΤΟΤΕ Α 0 0 ΚΑΙ Α n 0, ΔΗΛΑΔΗ ΕΞΑΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ x ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΙ ΜΟΝΟ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Α 0 ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΟΥ ΤΑ Α n ΚΑΙ Β n. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ y, ΔΗΛΑΔΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ x,αλλαζει ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΑ Α n ΚΑΙ Β n ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΙ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Α 0. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: ΓΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ Ν ΣΗΜΕΙΑ (x, y), ΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ Βσική σχέση: ΕΑΝ L π (ΠΕΡΙΟΔΟΣ π), ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ: y g y g ( ) x A0 N ( x) A [ A os( n x) B sin( n )] 0 n n x n ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ. n π x sin L ΕΑΝ L π (ΠΕΡΙΟΔΟΣ 4π), ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΓΡΑΨΟΥΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΤΗΝ ΣΧΕΣΗ (n 0.5,,.5,, ) : n A n n π x os L B n y g ( x) A [ A os( n x) B sin( n )] 0 n n x n 0.5 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ Η ΟΛΙΚΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ, ΟΠΩΣ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΥΘΕΙ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER, ΩΣ ΕΞΗΣ: T T ή λ λ 0.5 [( ) ( ) ( ) ( )] λ λ ΔΤ os λ ωt ΔΤ sin λ ωt Α B ΟΠΟΥ ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΕΣ ΤΑΞΕΙΣ (λ,, 3,...) ΥΦΙΣΤΑΝΤΑΙ ΚΑΙ ΓΙΑ Χ ΚΑΙ ΓΙΑ 4Χ, ΕΝΩ ΟΙ ΜΙΣΕΣ ΤΑΞΕΙΣ (λ 0.5,.5,.5,...) ΥΦΙΣΤΑΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΓΙΑ 4Χ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ. Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ ΚΑΙ ΩΣ: T ΜΕ T ή λ λ 0.5 [ ( )] λ λ ΔΤ os λ ωt - γ ( λ ) ( λ ΔΤ ΔΤ ) Β λ ΔΤ Α Ή T T ή λ λ 0.5 [ ( )] λ λ ΔΤ sin λ ωt - δ ( ) ( λ ) λ ΔΤ Β tan γ ( ) ( λ ) λ ΔΤ Α tan δ ( λ ΔΤ ) ( λ ) Α ΔΤ Β ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ ΑΚΡΙΒΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΛΟΓΩ ΑΕΡΙΩΝ (ΔΕΙΚΤΗΣ g), ΕΝΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΩΝ (ΔΕΙΚΤΗΣ l), Η ΣΕΙΡΑ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΜΟΝΟ ΗΜΙΤΟΝΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ, ΚΑΙ ΟΠΩΣ ΕΙΔΑΜΕ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΣ, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΘΕΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ. T λ [ ] λ ΔΤ sin ( λ ωt) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ ΣΕ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΗ ΜΕΚ ΜΕ z ΟΜΟΙΟΥΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥΣ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΑΝΑΦΛΕΞΕΩΝ, ΣΤΗΝ ΕΞΟΔΟ ΙΣΧΥΟΣ (ΣΦΟΝΔΥΛΟ) ΕΠΙΤΥΓΧΑΝΕΤΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΤΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ, ΕΝΩ ΠΛΕΟΝ ΕΜΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ: λ κ λ κ κ z κ z ΓΙΑ Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΓΙΑ 4Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ (Κ ΑΚΕΡΑΙΟΣ) ΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΑΥΤΕΣ ΚΑΛΟΥΝΤΑΙ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΜΕΚ. ΟΛΕΣ ΟΙ ΥΠΟΛΟΙΠΕΣ ΚΑΛΟΥΝΤΑΙ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΥΣΕΣ. ΕΤΣΙ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΜΕ: T z T κ [ ( ) ( ) ( ) ( )] λ κ λκ z ΔΤ os λ ωt z ΔΤ sin λ ωt Α κ B κ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ ΕΑΝ ΚΑΠΟΙΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΔΕΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΚΑΝΟΝΙΚΑ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕΚ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΔΡΑ ΕΠΑΝΩ ΣΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ ΕΙΝΑΙ Η ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΩΝ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ ΤΟΥ V. ΣΕ ΣΥΝΗΘΗ ΔΙΑΤΑΞΗ V(ΟΤΑΝ ΚΑΙ ΟΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΙ ΑΡΘΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ ΚΑΙ ΕΧΟΥΜΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΗ ΑΝΑΦΛΕΞΗ), ΟΤΑΝ Ο ΑΡΙΣΤΕΡΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΓΩΝΙΑ φ, Ο ΔΕΞΙΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΓΩΝΙΑ (φ-δ), ΟΠΟΥ δ ΕΙΝΑΙ Η ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟΥ V ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕΚ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΕΤΣΙ Η ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΓΡΑΦΕΤΑΙ: ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] λ λ T T ΔΤ os λωt ΔΤ sin λωt ριστ. ( ) [( ) ( ( )) ( ) ( ( ))] λ λ T T ΔΤ os λ ωt - δ ΔΤ sin λ ωt - δ δεξ. λ λ Α Α B B T V ( T) ( T) ριστ. δεξ. T λ [( ) ( ) ( ) ( )] λ λ ΔΤ os λ ωt ΔΤ sin λ ωt [ ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))] λ λ ΔΤ Α os λ ωt - δ ΔΤ B sin λ ωt - δ λ Α B ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕΚ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΚΑΙ ΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΜΟΡΦΗ: T V T λ ( λ ΔΤ ) Α os λ δ os λ ωt - δ γ λ ΑΡΑ ΕΧΕΙ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ: T V T ΚΑΙ ΕΥΡΟΣ ΚΑΘΕ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ: δ ( λ ) ( ) λ ΔΤ ΔΤ os λ V ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ Η ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΞΕΚΙΝΑΕΙ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΥΛΙΝΔΡΟ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΠΙΟ ΜΑΚΡΥΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΞΟΔΟ ΙΣΧΥΟΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΠΛΕΥΡΑ (ΚΟΙΤΩΝΤΑΣΠΡΟΣΤΗΝ ΕΞΟΔΟ ΙΣΧΥΟΣ). ΣΤΑ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΑΡΙΘΜΗΣΗ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΡΙΘΜΗΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΗΣ ΜΕΚ ΣΤΑ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΑΡΙΘΜΗΣΗ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ ΣΤΡΕΠΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Ή ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΤΡΑΚΤΟΥ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ, ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΛΗΦΘΕΙ ΥΠΟΨΗ Η ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΩΝ ΚΑΙ Η ΣΕΙΡΑ ΑΝΑΦΛΕΞΕΩΝ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ Χ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΦΑΛΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ Χ ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (6): T ( 6) g( φ) ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΦΑΛΩΝ ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (5): ( ) ( ) ( ο T 5 T 6 g φ 0 ) ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (4): ( ) ( ) ( ο T 4 T 5 g φ 40 ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ Χ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΦΑΛΩΝ ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (3): ( ) ( ) ( ο 3 T 4 g φ 80 ) T ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (): ( ) ( ) ( ο T T 3 g φ 300 ) ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (): ( ) ( ) ( ο T T g φ 60 ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ 0-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ V45 4Χ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΦΑΛΩΝ ΣΕΙΡΑ ΑΝΑΦΛΕΞΗΣ: ( 6) (3 8) (5 0) (4 9) ( 7) 44 o 44 o 44 o 44 o 44 o ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ ΣΕΙΡΑ ΑΝΑΦΛΕΞΗΣ ( 6) (3 8) (5 0) (4 9) ( 7) 44 o 44 o 44 o 44 o 44 o ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (5,0): T( 5) g( φ) g( φ δ) g ( ) ( ο ) ( ) ( ο φ g φ 45 g φ g φ 675 ) ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (4,9): ( ) ( ) ( ο ) ( ο T 4 T 5 g φ 44 g φ 44 - δ) () ( ο T 5 g φ 576 ) g( φ 53 ο ) Στρόφλο (4, 9) υπολείπετι 44 ο σε σχέση με (5,0) ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (3,8): ( ) ( ) ( ο ) ( ο T 3 T 4 g φ 44 g φ 44 - δ) ( ) ( ο ) ( ο T 4 g φ 44 g φ 99 ) Στρόφλο (3, 8) προηγείτι 44 ο σε σχέση με (5,0) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΝΔΙΑΜΕΣΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΥ ΣΕΙΡΑ ΑΝΑΦΛΕΞΗΣ ( 6) (3 8) (5 0) (4 9) ( 7) 44 o 44 o 44 o 44 o 44 o ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (,7): Στρόφλο (, 7) υπολείπετι x 44 ο σε σχέση με (5,0) T ( ) ( ) ( ο ) ( ο T 3 g φ 44 g φ 44 - δ) () ( ο ) ( ο T 5 g φ 43 g φ 387 ) ΜΕΤΑ ΤΟ ΣΤΡΟΦΑΛΟ (,6): ( ) ( ) ( ο ) ( ο T T g φ 44 g φ 44 - δ) () ( ο T 5 g φ 88 ) g( φ 43 ο ) Στρόφλο (, 6) προηγείτι x 44 ο σε σχέση με (5,0) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΕΜΒΟΛΟΥ (ΚΑΙ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΟΥΣΩΝ ΜΑΖΩΝ): ΠΑΡΑΛΕΙΠΟΝΤΑΣ ΟΡΟΥΣ λ 3 ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥΣ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ: b ω r ( os( φ) λ os( φ) ) ης τάξης ης τάξης Με φορά πό το ΑΝΣ προς το ΚΝΣ P m r ω ( os( φ) λ os( φ) ) P Z I os ( φ) Z os( φ) II Z I m r ω ZII λ m r ω λ Z I ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΚΑΙ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Μετβολή πλινδρομικών δυνάμεων ης κι ης τάξης συνρτήσει γωνίς στροφάλου Με φορά πό το ΑΝΣ προς το ΚΝΣ P P m Z I r ω os ( os( φ) λ os( φ) ) ( φ) Z os( φ) II Z I m r ω ZII λ m r ω λ Z I ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΚΑΙ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Δινυσμτική πράστση πλινδρομουσών δυνάμεων ης κι ης τάξης P Z I os ( φ) Z os( φ) II Τ δινύσμτ δεν είνι πλήρη, είνι φντστικά. Έχουν συνιστώσ μόνο στον άξον του κυλίνδρου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης Προσπάθει ζυγοστάθμισης με: m r m r Πλήρη ζυγοστάθμιση στην διεύθυνση του άξον του κυλίνδρου. Εισάγετι συνιστώσ στην κάθετη διεύθυνση με στιγμιί τιμή: m r ω sin( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης Προσπάθει ζυγοστάθμισης με: m Συνιστώσ στον άξον του κυλίνδρου: Συνιστώσ στην κάθετη διεύθυνση: r 0.5 m r 0.5 m 0.5 m r r ω ω os sin ( φ) ( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης Προσπάθει ζυγοστάθμισης ντίθετ περιστρεφόμεν ντίβρ με: m r 0.5 m r Πλήρη ζυγοστάθμιση κι στις διευθύνσεις. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Διάτξη πλήρους ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης Z II os ( φ) λ m r ω os( φ) Πλήρη ζυγοστάθμιση κι στις διευθύνσεις, με ντίβρ: m β r β λ 8 m r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ζυγοστάθμιση πλινδρομουσών δυνάμεων ης τάξης Z II os ( φ) λ m r ω os( φ) Πλήρη ζυγοστάθμιση κι στις διευθύνσεις, με ντίβρ: m β r β λ 8 m r m β r β ( ω) os( φ) λ m r ω os( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΚΑΙ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΔΙΠΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Τ δινύσμτ είνι πλήρη. Πριστούν δυνάμεις κτά τη διεύθυνση του δινύσμτος. Ανγωγή του προβλήμτος ζυγοστάθμισης πλινδρομικών δυνάμεων, σε πρόβλημ περιστρεφόμενων μζών. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ P r m r r ω Πλήρη ζυγοστάθμιση με ντίβρο στην προέκτση της κτίνς του στροφάλου: m r r r m r r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ R I Z I 0 Λόγω συμμετρίς, είνι προφνές ότι η συνιστάμενη δύνμη ης τάξης στον άξον του κυλίνδρου, είνι 0. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6- ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ M ( Z d) 0 I I Ησυνιστάμενηροπή ης τάξης είνι 0 ως προς οποιοδήποτε σημείο. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Ακριβώςόπωςπριν, μόνο που τώρ έχουμε τ πργμτικά δινύσμτ (κι όχι εικονικά). R r P r 0 M ( P d) 0 r r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ R II Z II 0 Η συνιστάμενη δύνμη ης τάξης στον άξον του κυλίνδρου, είνι 0. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6- ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Σημείο υπολογισμού ροπής: Δ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6- ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Α b C Β a Νόμος συνημιτόνων: a b a b os( C) Νόμος ημιτόνων: sin( A) sin( B) sin( C) a b ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6- ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 4 Z II d 60 ο θ Z II d Μέτρο (νόμος συνημιτόνων): M II Z II d 4 os 0 Γωνί ως προς κύλινδρο (νόμος ημιτόνων) : Z sin d () ( o θ sin 60 ) Άρ τελικά 3 Z ( ο φ ) M II 3 ZII d os 30 ( o ) 3 Z d () ( o ) o θ sin 60 θ II II sin 30 3 II ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΩΝ ΜΑΖΙΚΩΝ ΡΟΠΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΣΕ 6- ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ m β r β o ( ω) L os(φ 30 ) ( ο φ ) M II 3 λ m ω d os 30 L m β r β 3 4 λ d m r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ 6-ΚΥΛΙΝΔΡΟ -Χ ΚΙΝΗΤΗΡΑ P r m r r ω ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ ΓΩΝΙΑ ΣΦΗΝΩΣΗΣ 0 ο ΜΟΙΡΕΣ Γι τις δυνάμεις, όμοι συμπεριφορά με μονοκύλινδρο, με διπλσισμένες τις σχετικές τιμές. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ ΓΩΝΙΑ ΣΦΗΝΩΣΗΣ 80 ο ΜΟΙΡΕΣ R I 0 M I Z I d os( φ) R M II II Z Z II II d os( φ) os( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
4-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ R I Z I 0 R P 0 r r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
4-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ M M ( Z d) 0 I I ( P d) 0 r r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
4-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ R II 4 Z II os( φ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
4-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ M ( Z d) 0 II II ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
3-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ R I Z I 0 R P 0 r r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
3-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ M M ( o φ ) I 3 ZI d os 30 r 3 P r d Με πόκλιση 30 ο πό τον στρόφλο. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
3-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ R II 0 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
3-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ M ( o φ ) II 3 ZII d os 30 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V Εξέτση κάθε σειράς κυλίνδρων χωριστά, κι σύνθεση των ποτελεσμάτων (λμβνομένης υπόψιν της περιεχόμενης γωνίς). Σε υτή την περίπτωση μπορούν ν χρησιμοποιηθούν τ ποτελέσμτ της νάλυσης των εν-σειρά κινητήρων. Εξέτση των κυλίνδρων που βρίσκοντι στο ίδιο στρόφλο, κι στην συνέχει όλης της τράκτου. Σε υτή την περίπτωση είνι χρήσιμο ν υπάρχουν οι συνθήκες γι - κύλινδρο V κινητήρ με περιεχόμενη γωνί δ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ δ R Z I os ( φ) Z os( φ) II R δ Z I os ( φ δ) Z os[ ( φ δ) ] II R R x y δ sin I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] δ os I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ δ R x δ sin I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] R y δ os I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] os X os Y X Y os os X Y os X os Y X Y sin sin X Y R xi Z I sin δ sin φ δ R yi Z I os δ os φ δ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ δ R xi Z I sin δ sin φ δ R yi Z I os δ os φ δ δ 90 ο R R ( o φ ) xi ZI sin 45 ( o φ ) yi ZI os 45 Ίδιες συνιστώσες με υτές που θ πράγοντν πό μί μάζ συγκεντρωμένη στο στρόφλο. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ δ R x δ sin I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] R y δ os I II [ Z [ os( φ) os( φ δ) ] Z [ os( φ) os( ( φ δ) ) ] R xii Z II δ sin sin δ ( δ) sin φ R yii Z II δ os os δ ( δ) os φ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ δ R xii Z II δ sin sin δ ( δ) sin φ R yii Z II δ os os δ ( δ) os φ δ 90 ο R xii Z II sin ( o φ 90 ) Z os( φ) II R yii 0 φ η γωνί του δεξιού κυλίνδρου (φ φ90 ο ) R xii Z II os ( o φ 80 ) Z os( φ) II ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
8-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ 90 ο Με βάση την νάλυση γι 4-κύλινδρο εν-σειρά, δεν υπάρχουν ελεύθερες δυνάμεις ή ροπές πό περιστρεφόμενες ή πλινδρομούσες μάζες ης τάξης. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
8-ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ V ΜΕ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ 90 ο 4-κύλινδρου: R II 4 Z II os ( φ) R xii ( φ) 4 Z os II φ η γωνί των δεξιών κυλίνδρων ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΙΑ ΜΑΖΑ ΣΤΟ ΑΚΡΟ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗΣ ΑΤΡΑΚΤΟΥ Οι μάζες χρκτηρίζοντι πό την ροπή δράνεις: Θ m r Δυστρεπτότητ τράκτου: Μ Δφ G J p G J p (Nm) Δφ Δφ Μ η στρέφουσ ροπή στη μάζ m σε πόστση r πό τον άξον της τράκτου. Δφ η σχετική γωνί στροφής σε όλο το μήκος της τράκτου. G το μέτρο διάτμησης κι J p η πολική ροπή δράνεις της διτομής της τράκτου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ή ΙΔΙΟΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Εκτρέπετι η μάζ πό τη θέση ηρεμίς, κι φήνετι ελεύθερη. Αυτή τλντώνετι. Η τλάντωση συνίσττι στην περιοδική μεττροπή της κινητικής ενέργεις της μάζς m σε ελστική ενέργει της τράκτου (κι ντίστροφ). Την τυχί χρονική στιγμή t γι τη στρέφουσ ροπή θ ισχύει: Μ F r m r d s dt m r d φ dt Θ d φ dt Ημάζσκείίσηροπήίσηκιντίθετηστηνάτρκτο: Από προηγουμένως : Μ F r Μ Δφ Θ G el J p d φ dt Θροπήδράνεις d φ dt Θ φ 0 Διφορική εξίσωση της ρμονικής τλάντωσης. Θ m r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
d φ dt Θ φ 0 Γενική λύση της διφορικής υτής είνι: φ A sin ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Διφορική εξίσωση της ρμονικής τλάντωσης. ( ω t) Bos( ω t) Γ os( ω t γ) e e e Όπου: ( γ) tan B A Αρχικές συνθήκες γι t 0 : Γ A ω e Θ B φ φ 0 Απλοποιείτι : φ Bos ( ω t) e d φ dt 0 Ιδιοσυχνότητ (RPM): B φ 0 Γωνική ιδιοσυχνότητ n e 30ω π e 30 π Θ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
Μέγιστη τχύτητ μάζς. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ dφ r dt [ r Bωsin( ω t) ] ± r Bω u max π π φ Bos( ωe t) B φ o Μέγιστη στρέψη τράκτου. Μέγιστη ελστική ενέργει τράκτου: E el B B el 0 0 ( M dφ) ( φ dφ) Μέγιστη κινητική ενέργει μάζς: Mmax φ0 B Β M max B Θ m r ω Θ m r B ω Θ B B E κ Θ E ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 el
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μεγάλη γωνική συχνότητ ω e (κι ιδιοσυχνότητ η e ) ότν το είνι μεγάλο κι το Θ μικρό, δηλδή ότν έχουμε στιβρή άτρκτο ( κι μικρή μάζ m σε μικρή κτίν r. μικρό, J p μεγάλο, G μεγάλο) Οι μάζες χρκτηρίζοντι μόνο με το Θ. Διφορετικές μάζες σε διφορετικές κτίνες είνι ισοδύνμες, ότν Θ Θ m r m r. Αντίστοιχ, άτρκτοι είνι ισοδύνμοι, ότν. Κμί διφορά δεν υπάρχει εάν στ προηγούμεν (ή στ επόμεν που φορούν στρεπτικές τλντώσεις) ντί γι στρέψη έχουμε διμήκεις τλντώσεις. Αντί της δυστρεπτότητς, ντικθιστούμε με την στθερά ελτηρίου Αντί της ροπής δράνεις Θ, ντικθιστούμε με την μάζ m. ω e m F Δx (kg/s ) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Στην ποσβενώμενη τλάντωση υπάρχουν πθητικές ντιστάσεις που ντιτίθεντι στην κίνηση της μάζς. Ο νόμος μετβολής της ντίστσης εξρτάτι πό το είδος της ντίστσης. Η ντίστση στην ξηρά τριβή είνι στθερή. Η ντίστση στην ργή κίνηση σώμτος εντός ρευστού είνι νάλογη προς την τχύτητ (dφ/dt). Η ντίστση στην τχεί κίνηση σώμτος εντός ρευστού είνι νάλογη προς το τετράγωνο της τχύτητς (dφ/dt). Γι ντίστση σε εμβολοφόρ ΜΕΚ, συγγενέστερη μορφή είνι υτή της ποσβέσεως με ντίστση νάλογη στην τχύτητ. d φ dt Θ K dφ dt φ Διφορική εξίσωση της ελεύθερης τλάντωσης με πόσβεση νάλογη της τχύτητς. (γρμμική ομογενής) 0 Κ: Συντελεστής πόσβεσης (kgm se - ). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ανζητούμε μερικέςλύσειςφ κι φ, θέτοντς φ e λt κι προσδιορίζοντς κτάλληλ το λ. Το λ κθορίζετι πό την λύση της χρκτηριστικής εξίσωσης Θ λ Κ λ 0 K Θ K 4Θ λ, ± Θ φ e φ e μερικές λύσεις λ λ t t γενική λύση φ C e λt λ C e t ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ανάλογ με την τιμή της δικρίνουσς, δικρίνοντι οι πρκάτω περιπτώσεις: ω e Θ K D ( ) D ω Θ Θ 4 K e μέτρο πόσβεσης I) ΙΣΧΥΡΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ D 0 Θ Θ 4 K > > II) ΚΡΙΣΙΜΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ D 0 Θ Θ 4 K III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ D 0 Θ Θ 4 K < < όπου:
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ K 4Θ I) ΙΣΧΥΡΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ > 0 D > Dω e t K Θ t Θ [ C osh( N t) C sinh( N t) ] φ e όπου: N K 4Θ Θ ω e D Ουσιστικά δεν είνι τλάντωση, λλά τχεί (περιοδική) μείωση του εύρους τλάντωσης. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ K 4Θ II) ΚΡΙΣΙΜΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ 0 D Dω e t K Θ t Θ ( C C t) φ e Όμοι μορφή με υτήν της ισχυρής πόσβεσης. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ D 0 Θ Θ 4 K < < ( ) ( ) [ ] t ω sin C t ω os C e φ * e * e t Θ K ( ) e * e D ω Θ 4 K Θ ω όπου: Πρόκειτι περί ποσβενώμενης περιοδικής τλάντωσης. t ω D e
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Εάν θέσουμε τυπικές ρχικές συνθήκες γι t 0: d φ t 0 φ φ0 0 dt C φ 0 C φ 0 K Θω * e φ K t Θ e φ0 os e t * e Θωe ( * ) K ( * ) ω t sin ω ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ K t Θ φ e φ0 os e t * e Θωe ( * ) K ( * ) ω t sin ω tan K Θ θέτοντς: ( ) * γ ω e φ e K Θ t 4Θ K ω * e φ 0 os ( * ω t γ) e πράγοντς πόσβεσης εύρος μη ποσβενώμενης τλάντωσης φσική πόκλιση ως προς φ 0 os(ω ε *t) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ πράγοντς πόσβεσης εύρος μη ποσβενώμενης τλάντωσης φσική πόκλιση ως προς φ 0 os(ω ε *t) φ e K Θ t 4Θ K ω * e φ 0 os ( * ω t γ) e ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΠΟΣΒΕΝΩΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ III) ΑΣΘΕΝΗΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Πρόκειτι περί ρμονικής τλάντωσης, με συνεχώς μειούμενο εύρος. Χρονική περίοδος γι τη φ: Γωνική τχύτητ: Γι πολύ μικρά D(πρκτικά γι D < 0.) μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι ω ε * ω ε. Αυτό μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι ισχύει κι στους κινητήρες. Την πόσβεση εκφράζει κι το μέγεθος λογριθμική μείωση ν, που ορίζετι σν ο λογάριθμος του λόγου τιμών της φ που πέχουν κτά μί περίοδο Τ *. e * e * D ω π ω π T e e * e ω D ω ω < D π D ω π ω D T ω D T Θ K φ φ ln ν e e * e * T t t *
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Επάνω στην μάζ m δρ μί εξωτερική περιοδική (με μέση τιμή 0) δύνμη. Γι τις νάγκες νάλυσης σε ΜΕΚ, υποθέτουμε ότι η δύνμη υτή είνι κι ρμονική δύνμη: T E T sin ( Ω t) ροπή: M E M sin ( Ω t) d φ dt Θ φ M sin ( Ω t) Διφορική εξίσωση της εξνγκσμένης τλάντωσης χωρίς πόσβεση. (γρμμική μη ομογενής) Ω: Συχνότητ της εξωτερικής ροπής (εν γένει διάφορη της ω ε ). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Η γενική λύση θ ποτελείτι πό μί γενική λύση της ομογενούς κι μί μερική λύση της πλήρους Η γενική λύση της ομογενούς είνι: Δ sin( ωe t δ) Μίμερικήλύσητηςμη-ομογενούς είνι: A sin( Ω t β) Στηγενικήμορφήείνι: A M Ω ω e Ω ω A e st όπου: y A A st A M ( ) Ω ω e συντελεστής δυνμικής μεγέθυνσης κι: β 0 εάν Ω < ω e, ή β π εάν Ω > ω e Α st η υπό σττικές συνθήκες πόκλιση (ότν δηλδή Ω 0). Έτσι η γενική λύση της εξίσωσης είνι: φ Δ sin( ωe t δ) Α sin( Ω t β) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Πρόκειτι γι επλληλί ρμονικών τλντώσεων. Ο πρώτος όρος πριστάνει μί τλάντωση με την ιδιοσυχνότητ του συστήμτος ω e, της οποίς τ Δ κι δ εξρτώντι πό τις ρχικές συνθήκες. Οόροςυτόςδεν έχει ιδιίτερη πρκτική σημσί, διότι κόμ κι με ελάχιστη πόσβεση (που πάντ υπάρχει), μετά πό λίγες περιόδους εξφνίζετι. Ο δεύτερος όρος ποτελεί την εξνγκσμένη τλάντωση, την οποί επιβάλει η εξωτερική ροπή Μ, κι η οποί τλάντωση έχει τον ρυθμό Ω της εξωτερικής διέγερσης. Γι Ω/ω e Ω ω e έχουμε Α, τη γνωστή νεπιθύμητη κτάστση του συντονισμού. ( ω t δ) Α sin( Ω t β) φ Δ sin e ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ( ) t Ω sin M φ dt dφ K dt φ d Θ Διφορική εξίσωση της εξνγκσμένης τλάντωσης με πόσβεση (γενικόττη μορφή). (γρμμική μη ομογενής) Η γενική λύση της ομογενούς είνι: Μίμερικήλύσητηςμη-ομογενούς είνι: Στηγενικήμορφήείνι: όπου: Η γενική λύση θ ποτελείτι πό μί γενική λύση της ομογενούς κι μί μερική λύση της πλήρους ( ) ( ) [ ] t ω sin C t ω os C e φ * e * e t Θ K ( ) β t Ω sin A φ ( ) β t Ω sin Α φ φ e e st ω Ω D 4 ω Ω A A ( ) e e e ω Ω ω Ω D ω Ω Ω K β tan π β 0
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το y Α/A st μετβάλλετι κτά πρόμοιο τρόπο με την περίπτωση μη ύπρξης πόσβεσης, στην περίπτωση όμως του συντονισμού δεν πειρίζετι, άλλ γίνετι πολύ μεγάλο, κι συγκεκριμέν: y σ D Θω Κ Το β μετβάλλετι συνεχώς με την μετβολή του Ω/ω e πό 0 έως π. Ημετβολή εξρτάτι κι πό το D. Στην θέση συντονισμού είνι πάντοτε ίσο με π/. e ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Η περίπτωση της μάζς σε μί άτρκτο μπορεί ν θεωρηθεί ειδική περίπτωση της προύσς, εάν θεωρήσουμε την μί μάζ. Προφνώς στους όρους ελστικότητς μπίνουν οι σχετικές γωνίες. Μάζ : Μάζ : d φ Θ dt d φ φ φ dt ( φ φ ) 0 ( ) 0 Θ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Η λύση των πρπάνω σύγχρονων εξισώσεων γράφετι: ( ) t ω os A φ e ( ) t ω os A φ e Με ντικτάστση στο προηγούμενο σύστημ, πίρνουμε: ( ) ( ) 0 ω Θ A A 0 A ω Θ A e e 0 ω Θ ω Θ e e Γι 0 A 0, A γινλύνετιτοπρπάνωσύστημ, θ πρέπει:
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Ανπτύσσοντς την πρπάνω ορίζουσ προκύπτουν οι λύσεις: ω e 0 λύση χωρίς πρκτικό ενδιφέρον. κι: ω e ωe Θ Θ ω e όπου: ω e κι: Θ ω e Θ A Με ντικτάστση της πρπάνω τιμής σε εκ των : A πίρνουμε: φ φ Α Α Θ ω e ω ω e e ω ω e e ( Θ ω ) e Θ Θ A A 0 ( Θ ω ) 0 e ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Οι μάζες τλντώνοντι πάντ εν ντιφάσει. Έτσι υπάρχει έν σημείο Κ της τράκτου, ο λεγόμενος Κόμβος, ο οποίος δεν τλντώνετι (κι επομένως δεν δέχετι στρέψη). Η θέση του δίνετι πό τη σχέση: Θ Θ ω e Ο κόμβος είνι πιο κοντά στην πιο μεγλύτερη μάζ. Θ Θ Υπάρχει μόνο δυντή μορφή τλάντωσης ( βθμός ελευθερίς). A A Στην περίπτωση σθενούς ποσβέσεων το ω * e θ είνι ελφρά μικρότερο του ω e λλά η μορφή της τλάντωσης πρκτικά η ίδι. Εάν έν εκ των Θ είνι έχουμε την περίπτωση πκτωμένης τράκτου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 Στηγενικήπερίπτωσηέχουμε διφορετικές τιμές δυστρεπτότητς γι τ τμήμτ της τράκτου. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 φ φ dt φ d Θ 0 φ φ φ φ dt φ d Θ 0 φ φ dt φ d Θ 3 3 3 3 Μάζ : Μάζ : Μάζ 3:
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 Η λύση των πρπάνω σύγχρονων εξισώσεων γράφετι: ( ) t ω os A φ e ( ) t ω os A φ e ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ( ) t ω os A φ e 3 3 Με ντικτάστση στο προηγούμενο σύστημ, πίρνουμε: ( ) ( ) ( ) 0 ω Θ A A 0 A ω Θ A A 0 A ω Θ A e 3 3 3 e e 0 ω Θ 0 ω Θ 0 ω Θ e 3 e e Γι 0 A 0, A 0, A 3 γινλύνετιτοπρπάνωσύστημ, θ πρέπει:
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Ανπτύσσοντς την πρπάνω ορίζουσ προκύπτουν οι λύσεις: 0 ω e λύση χωρίς πρκτικό ενδιφέρον. κι η δευτεροβάθμι, ως προς ω : 0 q ω p ω e 4 e όπου: 3 Θ Θ Θ p 3 3 Θ Θ Θ Θ Θ Θ q ρίζες της δευτεροβάθμις: q 4 p p ω I,II e ±
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Προκύπτουν οι σχέσεις: e e e ω ω ω Θ A A e3 e e 3 3 ω ω ω Θ A A όπου: e Θ ω 3 e3 Θ ω
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Υπάρχουν δυντέςμορφέςτλάντωσης( βθμοί ελευθερίς). Ότν ω ω ei (η μικρότερη πό τις πιθνές τιμές ω e ιδιοτλάντωση ου βθμού) A Θ Θ 0 A < 0 > 0 A A 3 > κι τότε κι οπότε υπάρχει κόμβος μετξύ κι. 3 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ότν ω ω ei (η μικρότερη πό τις πιθνές τιμές ω e ιδιοτλάντωση ου βθμού) Θ Θ 0 A A > 0 < 0 A A 3 < κι τότε κι οπότε υπάρχει κόμβος μετξύ κι 3. 3 Ότν ω ω eiι (η μεγλύτερη πό τις πιθνές τιμές ω e ιδιοτλάντωση ου βθμού) ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ M E Στη μάζ δρ περιοδική δύνμηήροπή: M sin ( Ω t) T r sin( Ω t) Μάζ : Μάζ : d φ dt ( φ φ ) 0 Θ d φ dt Θ ( φ φ ) M sin( Ω t) Ακολουθώντς όμοι νάλυση με προηγουμένως, προκύπτει ότι η λύση της τλάντωσης κάθε μάζς συντίθετι πό μί ελεύθερη τλάντωση με ιδιοσυχνότητ ω e, κι μί τλάντωση με Ω. Ητλάντωσηω e μελείτι επειδή εξφνίζετι γρήγορ, λόγω πόσβεσης (έστω κι εάν εδώ δεν υπεισέρχετι πόσβεση). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Έτσι θ έχουμε: φ ( Ω t β) ( Ω t β) A sin φ A sin Με ντικτάστση υτών στο ρχικό σύστημ διφορικών πίρνουμε: A A M Θ M Θ ω e ( ) Ω ω Ω Ω e ω ( ) Ω ω Ω e e όπου: ω e Θ ω e Θ Θ Με διίρεση κτά μέλη πίρνουμε: φ φ Α Α Ω ω e ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Πιθνόν ν έχουμε κόμβο, που κθορίζετι πό τη σχέση: Ω ω e A A Όπου κι οι δυστρεπτότητες των ντίστοιχων τμημάτων εκτέρωθεν του κόμβου. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Η μορφή της τλάντωσης δεν είνι πλέον κθορισμένη. Εξρτάτι πό την τιμή του Ω σε σχέση προς το ω e Θ Ξνγράφουμε την προηγούμενη σχέση: φ φ Α Α Ω ω e 3 6 7 4 5 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ 3 6 7 4 5 () Γι 0 < Ω < ω e A /A > 0 κι l /l < 0 Δεν υφίσττι κόμβος, κι οι μάζες είνι σε φάση. () Γι Ω ω e A /A 0 κι l 0 Υφίσττι κόμβος στο, ενώ το Α είνι μικρό (κτεύνση). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ 3 6 7 4 5 (3) Γι Ω > ω e A /A <0 κι l /l > 0 Υφίσττι κόμβος μετξύ των κι, τόσο πλησιέστερ στο, όσο υξάνει το Ω. (4) Γι Ω ω e A min M Θ 4ω e 4 ωe ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ 3 6 7 4 5 Ω ω e (5) Γι A /A -, l /l Υφίσττι κόμβος στο μέσο μετξύ των κι. (6) Γι Ω ω e A,A λλά ισχύει επίσης A /A - Θ /Θ l /l Άρ στην περίπτωση του συντονισμού η μορφή της τλάντωσης είνι ίδι με την ιδιοτλάντωση. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ 3 6 7 4 5 (7) Γι Ω,A /A - l 0 Υφίσττι κόμβος που πλησιάζει το σημείο. Γι Ω κόμβος είνι όλη η άτρκτος. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΤΑΣΗ ΣΤΡΕΨΗΣ Στο προηγούμενο πράδειγμ, έστω περιοδική ροπή. M E M sin ( Ω t) T r sin( Ω t) M πουυπερτίθετισεμίμέσηροπή πουδρντίθετστιςμάζες κι. Δηλδή υφίσττι σν μέση στρέφουσ δύνμη στην μάζ κι σν στθερή ντίστση στην μάζ. Επομένως η μέση τάση υτή στρέφει την άτρκτο κτά στθερή μέση γωνί την κτπονεί με μί μέση τάση. τ Λόγωτηςπεριοδικήςροπής, ηπρόσθετητάσηστρέψηςλόγωτλντώσεως, υπολογίζετι: ( A A ) sin( Ω t) ΔΑ sin( Ω ) δφs φ φ t Μs δφ τs s Wp Wp Wp Δτ W p η πολική ροπή ντίστσης ( A A ) sin( Ω t) Δτ sin( Ω t) φ κι όπου το εύρος τλάντωσης: ( A A ) s W p ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΤΑΣΗ ΣΤΡΕΨΗΣ e 0 e p s ω Ω Δτ Ω ω Θ Μ W Δτ Με ντικτάστση των Α κι Α που έχουν υπολογισθεί προηγουμένως: όπου: στ p 0 Θ Θ Θ Δτ Θ Θ Θ W Μ Δτ
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΤΑΣΗ ΣΤΡΕΨΗΣ Γι εφρμογή σε ΜΕΚ: Ω λ ω ω λ ή n e λ n κρί σιμο e ω κρίσιμο Όπου ω είνι η γωνική τχύτητ περιστροφής του κινητήρ, κι λ οι διεγείρουσες τάξεις (κέριες γι -Χ, κέριες κι μισές γι 4-Χ κινητήρ). Άρ: Ω ω e ω ω κρ n n κρ Έτσι έχουμε: Δτ s Δτ 0 n n κρ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ M E Στη μάζ δρ περιοδική δύνμηήροπή: M sin ( Ω t) T r sin( Ω t) φ ( Ω t β) ( Ω t β) ( Ω t β) A sin φ A sin φ 3 3 A sin Τ Α, Α, Α 3 υπολογίζοντι όμοι με πριν. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 3 ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Η μορφή της τλάντωσης γενικά μετβάλλετι με το Ω. Το εύρος τλάντωσης φίνετι στο πρκάτω σχήμ: Γι Ω ω e ήω ω e έχουμε συντονισμό. Η μορφήτηςτλάντωσηςείνικριβώςηίδιτης ντίστοιχης ιδιοτλάντωσης. Οι πρόσθετες τάσεις (χωρίς πόσβεση) πειρίζοντι. Γι Ω ίσο με ω e /Θ ή ω e3 /Θ 3 τότε έχουμε πλήρη κινησί ορισμένων μερών. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Μετβάλλοντς τ κι Θ 3 μπορούμε ν πετύχουμε Ω ω e3 /Θ 3 εξσφλίζοντς κινησί των κι κι μικρή μόνο τλάντωση της 3. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Δίσκοι χωρίς πάχος με διάμετρο νάλογη της ροπής δράνεις Θ. Μήκη ντιστρόφως νάλογ της δυστρεπτότητς. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 φ φ dt φ d Θ............ 0 φ φ φ φ dt φ d Θ............ 0 φ φ dt φ d Θ ν ν ν ν ν κ κ κ κ κ κ κ κ
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ Όπως κι πριν, είνι δυντή μόνο η τυτόχρονη τλάντωση όλων των μζών με την ίδι συχνότητ ω e : φ i A i A A sin ( ω t) e... κ... ν κ ν A A A γι i εως ν ( Θ ω )... κ ( Θ ω )... ν κ......... ( Θ ω ) 0 ν e e e Από το πρπάνω σύστημ μπορούν ν υπολογισθούν τ ω e με βάση το γεγονός ότι η ορίζουσ των συντελεστών πρέπει ν είνι 0. κ ν κ A A κ κ 0... Θ μς δώσει (ν-) θετικές ρίζες ω ei, ω eii,.. ω eν- (ν- βθμοί ελευθερίς). Αύξοντς ριθμός κόμβων όσο υξάνει η τιμή του ω e. Τλάντωση μ βθμού λέγετι η τλάντωση εκείνη που προυσιάζει μ κόμβους. 0 ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΜΕΘΟΔΟΣ HOLZER - TOLLE Στην συνέχει μετά τον υπολογισμό των ω, μπορούν ν προσδιορισθούν οι λόγοι: Δύσκολη επίλυση!!! A A i i ή A A i γι i εως ν Επνληπτική μέθοδος Holzer - Tolle Ενδιφερόμστε γι τον προσδιορισμό των: A A,,..., ν A A A A ν Με ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 Μεθοδολογί: ) Εκλέγουμε υθίρετο ω. ) Εκτελούμε την πρκάτω επνληπτική διδικσί: ν ν ν ν ν ν ν ν κ κ κ κ κ κ κ κ ω Θ R R R...... ω Θ R R R...... ω Θ R R R ω Θ ω Θ R ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΜΕΘΟΔΟΣ HOLZER - TOLLE
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 3) Εάν το το ρχικό υθίρετο ω που διλέξμε δεν ποτελεί κμί ιδιοσυχνότητ ω e. ) Εκτελούμε την πρκάτω επνληπτική διδικσί: ν ν ν ν ν ν ν ν κ κ κ κ κ κ κ κ ω Θ R R R...... ω Θ R R R...... ω Θ R R R ω Θ ω Θ R R ν 0 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΜΕΘΟΔΟΣ HOLZER - TOLLE
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΜΕΘΟΔΟΣ HOLZER - TOLLE Με την πρώτη επιλογή ω, κτλβίνουμε περίπου σε ποι περιοχή του κ πρπάνω διγράμμτος είμστε, γιτί γι κάθε < 0 έχουμε κόμβο μετξύ κ των κ κι κ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΑΖΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΑΤΡΑΚΤΟ ΜΕΘΟΔΟΣ HOLZER - TOLLE Σημειώνετι ότι: R ( Δ ) κ κ κ ( ΔΑ ) είνι η ροπή μέγιστης κτπόνησης του τμήμτος με δυστρεπτότητ κ (δηλδή μετξύ των μζών κ κι κ), γι Α. κ Α κ Στην ιδιοτλάντωση βθμού, ο μονδικός κόμβος βρίσκετι πιο κοντά στη μεγλύτερη μάζ, ήνάμεσστις μεγλύτερες μάζες. Στις ΜΕΚ σπνίως μς ενδιφέρουν ιδιοσυχνότητες μεγλύτερες της ω eii. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ ΜΑΖΩΝ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΟΝΟΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΜΑΖΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΠΟΛΥΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ΣΤΡΕΠΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΞΟΝΑ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ ΒΗΜΑΤΑ Υπολογισμός του ισοδύνμου δικεκριμένου συστήμτος. Δηλδή ντικθιστούμε το συνεχές σύστημ το οποίο ποτελείτι πό τον στροφλοφόρο άξον κι όλες τις μάζες που βρίσκοντι επάνω σε υτόν κι κινούντι πό υτόν, με έν δικεκριμένο σύστημ με δικεκριμένες άκμπτες μάζες (Θ) συνδεδεμένες μετξύ τους με ελστικά μέρη πού έχουν μόνο δυστρεπτότητ κι όχι μάζ. Υπολογίζοντι οι ιδιοσυχνότητες του συστήμτος κι οι ντίστοιχες μορφές τλντώσεων, κι κτρτίζετι το φάσμ των δυντών περιπτώσεων συντονισμού. Τέλος γι την περίπτωση του συντονισμού, υπολογίζοντι οι προκλούμενες τλντώσεις, κι κυρίως το εύρος υτών, κι οι δυνμικές ρμονικές τάζεις στρέψεις, οι οποίες υπερτίθεντι στη σττική κτπόνηση. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΑΖΩΝ Θ r dm ρ r dfdz dz r (m) (m) 0 (F) df Θ ρ 0 J p dz ρ B Όπου m ημάζ, F το εμβδό της διτομής, το μήκος κτά τον άξον z, ρ η πυκνότητ, J p ηπολικήροπήδράνειςτηςδιτομήςκιβτοεμβδότου σχήμτος. Αν έχουμε στθερή διτομή κτά μήκος του άξον, τότε. Θ ρ J p ( x y ) df J x J y J p r df S S ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΑΖΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ( Θ ) κ mκ r Θδr ΘΒ Θ ΘΣ Θw r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΑΖΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ( Θ ) κ mκ r Θδr ΘΒ Θ ΘΣ Θw r Κομβίου βάσης: Κομβίου στροφάλου: Θ Θ π ρ 3 4 w d w κ ως προς τον άξονά του Περιστρεφόμενη μάζ διωστήρ: w π 3 Θκr mκ r ρ d κ κ Θ δr m δr r ( d 8 r ) κ Βρχίονς: Ισοδύνμη περιστρεφόμενη ροπή δράνεις πλινδρομουσών μζών: ΘB Θ m r ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
Δυστρεπτότητ τράκτου: ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΗΚΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ Μ Δφ Δφ G J Δφ G p J p d Πολλές άτρκτοι με μελητέ μάζ: φ ( i ν) Συνολική γωνί στροφής: φ Μ i i ν φ i Ισοδύνμη δυστρεπτότητ * : Με νγωγή σε στθερό μέτρο διάτμησης G: φ i Μ d * ν J p J i pi * ν i J p G ν i G pi i ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 J
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΗΚΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ΑΝΑΓΩΓΗ ΤOY ΜHKOYΣ ΕΝΟΣ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ B κ w B κ w w Σ Έχει σημσί κτά ποιό τρόπο νοείτι η στρέψη. Γι λόγους πλότητς θεωρείτι ότι οι ροπές δρουν επί των στροφείων της βάσης.
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΗΚΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ ( ) ( ) E J r G J G J E J r G J Δ G J Δ B κw κ pw w Σ B κw κ κ pw w w B κ w Σ 0 0
ΑΝΑΓΩΓΗ ΜΗΚΩΝ ΣΤΡΟΦΑΛΟΦΟΡΟΥ Ο υπολογισμός γι τους βρχίονες γίνετι με εξομοίωση του βρχίον με δοκό (με ίδι διτομή) πκτωμένη στο κομβίο βάσης, που υφίσττι κάμψη με στρεπτική ροπή που εφρμόζετι στο ελεύθερο άκρο της. B Μ Δφ B M JB E M r J B E r Δφ r E J B είνι η ροπή δράνεις της διτομής γύρω πό τον άξον zz. Ε είνι το μέτρο ελστικότητς του Young. B M J B J B ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 B B 3
ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΜΕ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ Το όλο σύστημ νάγετι σε μί μόνη ευθεί άτρκτο με το γνωστό κριτήριο ότι κτά την νγωγή θ πρέπει ν διτηρείτι η κινητική κι ελστική (δυνμική) ενέργει του συστήμτος. Εύκολ ποδεικνύετι ότι έν ισοδύνμο σύστημ (όχι μονδικό) είνι υτό που έχει: Θ i 3 4 3 Θ 4 Θ Θ i Προσοχή στ τελικά εύρη τλντώσεων! i Όπου i είνι η σχέση μετάδοσης: 3,4 i 3,4 ω i ω r M M ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 r
ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΤΟΥ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Μετά τον προσδιορισμό των γωνικών ιδιοσυχνοτήτων ω e του νηγμένου συστήμτος (π.χ. με τη μέθοδο Holzer Tolle) κτστρώνετι το φάσμ συντονισμού. Γωνικές ιδιοσυχνότητες τράκτου Σημεί συντονισμού Ευθείες με κλίση λ 0.5,,.5, κοκ. (ρμονικές στρεπτικών ροπών) λ ω ω e λ n n e Τχύτητ περιστροφής του κινητήρ ή ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ Ο υπολογισμός του εύρους τλάντωσης των διφόρωνμζώνπουοφείλοντιστις ρμονικέςροπέςστρέψηςλτάξεως, μπορεί ν γίνει κάνοντς ενεργεικό υπολογισμό μετξύ της ενέργεις της διεγείρουσς ροπής κι της ενέργεις ποσβέσεως. Ενέργει της διεγείρουσς δυνάμεως της μάζς i ΔΤ iλ σε μί πλήρη περίοδο της τλντώσεως (t 60/λn). W E π r ΔΤ λ i Α λ i sin ( λ β ) Όπου β iλ ηφσικήπόκλισητηςδύνμηςπροςτηντλάντωσηόλωντωνμζών της τράκτου (που τλντώνοντι εν φάσει ή εν ντιφάσει). i Ενέργει της ποσβέσεως της μάζς i ΔΤ iλ σε μί πλήρη περίοδο της τλντώσεως (t 60/λn). W D π ( ) ( λ λ ω K Α ) i i ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 Σε μόνιμη κτάστση οι ενέργειες υτές θ πρέπει ν συμπίπτουν. ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] z i i λ i i z i i λ i λ i λ i Α K ω λ π β sin Α ΔΤ r π Θέτωντς: λ λ i λ i A A (βλέπε Holzer Tolle). Τελικά πίρνουμε: ( ) [ ] ( ) [ ] z i i λ i i z i i λ i λ i λ i λ K ω λ β sin ΔΤ r Α Έτσι έν γνωρίζουμε τ iλ κι έν εκ των β iλ (οι μάζες συντονίζοντι πάντ εν φάσει ήενντιφάσει) υπολογίζοντι όλ τ εύρη τλάντωσης Α iλ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ Η προηγούμενη σχέση ισχύει γι την περίπτωση συντονισμού των δυνάμεων με κάποι ιδιοτλάντωση μ βθμού του ελεύθερου συστήμτος, δηλδή όποτε έχουμε: λ ω ω e ω Οπότε η προηγούμενη σχέση γράφετι: μ e Α λμ r i z i i z ω eμ [ ( )] λ λμ ΔΤ sin β [ i ( ) ] Ki im i iμ i λ: ρμονική μ: βθμός ιδιοτλάντωσης ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ Ο συντελεστής πόσβεσης Κ εν γένει δεν είνι γνωστός. Συνήθως λμβάνετι μί κοινή τιμή Κ. Γι τις μάζες του κινητήρ πολλές φορές τίθετι: Κ ξ π 4 D Όπου D h διάμετρος εμβόλου, ξ ηειδικήπόσβεση, με συνήθης τιμές: r ξ 0.000 00.000 Ns / 3 m ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ Επειδήκτάτονσυντονισμόηφσικήπόκλισηείνιπ/, κιεπειδήτοεύροςτων στρεπτικών τάσεων πό κάθε κύλινδρο είνι ίδιο, τελικά η προηγούμενη μπορεί ν ξνγρφεί: Α λμ r i z ω eμ i R [ ( ) ] K i λμ im Όπου: R λμ z λ ΔΤ λ iμ ΔΤ λ Δ λ μ Όπου τ σχετικά εύρη τλάντωσης έχουν γίνει δινύσμτ, με διεύθυνση κι φορά του ντίστοιχου ΔΤ iλ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ λμ r R z λμ λμ λ λ λ Α R ΔΤ iμ ΔΤ Δ i z ω eμ i [ ( ) ] K i im ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ότν ω e πολύ μεγάλο (πρκτικά n e > 0.000 RPM) ο συντονισμός κτά κνόν δεν είνι επικίνδυνος. Γι το λόγο υτό σπάνι μς ενδιφέρουν ιδιοσυχνότητες τρίτου ή μεγλύτερου βθμού. R λμ Εάν το είνι μικρό, ο συντονισμός δεν είνι επικίνδυνος. Αυτό εξρτάτι πό τ εύρη των στρεπτικών δυνάμεων ΔΤ λ ΔΤ gλ ΔΤ λ l λλά κι την διάτξη των στροφάλων (κι τη σειρά νφλέξεων). Έτσι προτιμιέτι ν μην λλάξει η διάτξη των στροφάλων (γινμημετβληθείηζυγοστάθμισητωνμζικών ροπών κι δυνάμεων). Αντί υτού λλάζει η σειρά νφλέξεων των κυλίνδρων (διτηρώντς κτά το δυντό ομοιομορφί διστημάτων νάφλεξης). Ησειρά νφλέξεως μπορεί ν λλάξει μόνο σε 4-Χ κινητήρ (σε -Χ είνι δεδομένη κι δεν γίνετι ν λλάξει εάν δεν λλάξει η διάτξη των στροφάλων). ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 λ μ