AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A rašome: a A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome b / A. Pavyzdžiui, 1 {0,1,3,5} ir 2 / {0,1,3,5}. Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes N = {1,2,3,...} natūralieji skaičiai, Z = {..., 2, 1,0,1,2,3,...} sveikieji skaičiai, Q = { m, m Z, n N} racionalieji skaičiai, n R realieji skaičiai. Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai bet kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.
Aibės poaibis Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašome A B. Pavyzdžiui, {1,2,3} { 1,0,1, 2,2,3,π} R Pastebėkime, kad skaičių aibės N Z Q R Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kada A, t. y. kiekviena aibė yra savo poabis. 2
Skaičių intervalai Intervalai aibės R poaibiai [a, b] uždarasis intervalas (atkarpa) aibė {x R : a x b}; (a, b) atvirasis intervalas aibė {x R : a < x < b}; (a, b] pusiau atvirasis intervalas aibė {x R : a < x b}; [a, b) pusiau atvirasis intervalas aibė {x R : a x < b}. Begaliniai intervalai: (,a] aibė {x R : x a}; (,a) aibė {x R : x < a}; (b,+ ) aibė {x R : x > b}; [b,+ ) aibė {x R : x b}. Pastebėkime, kad (,+ ) = R. 3
Aibių sąjunga ir sankirta Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę (žymime A B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bent vienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arba aibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B). Pavyzdžiui, {1,2,5} {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6} Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome. Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka. Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę (žymime A B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso ir aibeia, ir aibeib (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiems aibėms A ir B). Pavyzdžiui, {1,2,5} {0,1,3,4,5,6} = {1,5} 4
Tuščioji aibė Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ). Pavyzdžiui, {1,2} {3,4,5} = (0,1) (1,1) = {x R : x 2 +1 = 0} = Teorema. Jei A yra bet kuri aibė, A 5
Aibių skirtumas Aibių A ir B skirtumu (žymime A\B) vadinama aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso) aibės B elementai. Pavyzdžiai {1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4} {x R : x 0} = R, {x R : x > 0} = R\{0} {x R : x > 0} = 6
Veiksmų su aibėmis Oilerio diagramos 7
Veiksmai su skaičių intervalais (,a) [a,+ ) = R (,a) (a,+ ) = R\{a} (,a) [a,+ ) = (,a] [a,+ ) = {a} Tarkime, kad a < b. Tada (,b] [a,+ ) = [a,b] (,b) (a,+ ) = (a,b) (,a] [b,+ ) = 8
Funkcijos apibrėžimas Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A elementui, priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome f : A B. Pavyzdžiui,A = {Jonas,Petras,Birutė} firmos darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas} pareigų aibė. Taisyklė f, kuri nurodo darbuotojo pareigas: yra funkcija. f : Jonas vadovas Petras pavaduotojas Birutė referentas Tarkime, kad a A, b B. Tada funkciją galima apibrėžti jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ Jonas Jonaitis, PP Petras Petraitis, JP Jonas Petraitis, PJ Petras Jonaitis, v vadovas, p patarėjas, r referentas. Taisyklė g: g(jj) = v, g(jp) = p, g(pj) = p, g(pp) = r irgi yra funkcija. 9
Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys Aibė A vadinama funkcijos f : A B apibrėžimo sritimi, visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija f : A B, A = {a,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ}. Jos reikšmių aibė yra {α,β,δ} B. 10
Funkcijų pavyzdžiai Dolerio kursas Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV dolerio kursus [Lt]: data 2009-09-07 2009-10-07 2009-11-07 Lt už $ 2.41670 2.34560 2.32860 data 2009-12-07 2010-01-07 2010-02-07 Lt už $ 2.28940 2.40940 2.49150 data 2011-01-08 2011-01-20 2011-02-07 Lt už $ 2.63310 2.56060 2.53460 Turime funkciją L : D R. D datų aibė, R realiųjų skaičių aibė. Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d dolerio kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas nepriklausomu kintamuoju, o funkcijos reikšmė k priklausomu kintamuoju. 11
Funkcijų pavyzdžiai Paprastųjų palūkanų skaičiavimas Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų palūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada sukaupta po n metų suma S p (n) = S 0 ( 1+ r 100 n ). Sudėtinių palūkanų skaičiavimas Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių palūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada sukaupta po n metų suma ( S s (n) = S 0 1+ r ) n. 100 Taigi abiem atvejais S p,s : N R. 12
Funkcijos grafikas Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A B, A R,B R. Tarkime, kadayra baigtinis arba begalinis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduoti skaičių tiesėje 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmes y = f(x) vaizduojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y. Taigi plokštumos taškai, kurių Dekarto koordinėtės(x, y), sudaro kreivę funkcijos grafiką. Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x 2 grafikai. 13
Elementariųjų funkcijų grafikai Tiesinė funkcija y = kx+b 14
Kvadratinė funkcija y = ax 2 +bx+c Diskriminantas D = b 2 4ac. Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D 0) x 1,2 = b± D. 2a Paveiksle pavaizduotos parabolės y = x 2, y = 2x 2, y = 2x 2 +4. 15
Trigonometrinės funkcijos Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = sinx ir y = cosx grafikai 16
Laipsninės ir rodiklinės funkcijos 17
Logaritminė funkcija y = log a x, x > 0, a > 0, a 1. a log ax = x Žymime log 10 x = lgx, log e x = lnx,e = 2,71828... Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = log 2 x (1), y = lnx (2), y = lgx (3) grafikai. 18
Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir A D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f 1 (x), kai x A ir formule f 2 (x) priešingu atveju. Tada rašome f(x) = { f1 (x), kai x A, f 2 (x), kai x D \A. Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiūlyta laiko momentų t 1, o laiko momentu t 2 ja naudojosi 100% visų vartotojų. Funkcija L(t) = 0, kai t t 1, 100 t t 1 t 2 t 1, kai t 1 < t < t 2, 100, kai t t 2 gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis modelis. 19
Atkarpomis tiesinė funkcija Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Jos grafikas pavaizduotas paveiksle. Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauga naudojosi 30% visų vartotojų. Sprendžiame lygtį: L(t) = 100 t t 1 t 2 t 1 = 30 t = t 1 +0,3(t 2 t 1 ) = 0,7t 1 +0,3t 2. 20
Tiesės lygtis Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b reikšmės y ( x 1 ) = y1, y ( x 2 ) = y2. Tiesė eina per taškus A 1 ( x1,y 1 ) ir A2 ( x2,y 2 ). Tada arba Taigi x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 y = y 2 y 1 x 2 x 1 x y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 +y 1. k = y 2 y 1 x 2 x 1, b = y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 +y 1. Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(2,1) lygtį. Taikome formulę: x 1 2 1 = y 2 1 2 arba y = x+3. x 1 = y +2 21
Pavyzdys Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt), po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkarpomis tiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosime dienų skaičiais nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkime t 1 = 7, vasario 11: t 2 = 42 ir vasario 28: t 3 = 59. Tada, kai t [ ] t 1,t 2, turime tiesės einančios per taškus (7,12) ir(42,20) atkarpą. Kait [ t 2,t 3 ] per taškus (42, 20) ir (59, 15). Taigi pirmuoju atveju o antruoju Užrašome k(t) = k 12 20 12 = t 7 42 7, k 20 15 20 = t 42 59 42. 8 35 t+ 52 5 kai 7 t 42 0,2286t+10,40 17 5 t+ 550 17 kai 42 t 59 0,2941t+32,35 22
Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dienomis. Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 [7,42], gauname k(17) 0,2286 17+10,40 = 14,29[Lt] Vasario 21 yra 31 + 21 = 52-oji metų diena. Turime 52 [42,59] ir k(52) 0,2941 52+32,35 = 17,06[Lt] 23
Interpoliacija Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę y = ax 2 +bx+c. ( ) ( ) Tarkime, kad žinomi taškai A 1 x1,y 1, A2 x2,y 2, ( ) A 3 x3,y 3 ir x1 x 2, x 1 x 3, x 2 x 3. Tada kvadratinį trinarį galima užrašyti taip: ( ) ( ) x x2 x x3 y(x) = y 1 ( x1 x 2 ) ( x1 x 3 )+ ( x x1 ) ( x x3 ) +y 2 ( x2 x 1 ) ( x2 x 3 )+ ( x x1 ) ( x x2 ) +y 3 ( x3 x 1 ) ( x3 x 2 ), kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (polinomu). 24
Pavyzdys Raskime, einančią per taškus(7,12),(42,20) ir(59,15), parabolę k(t) = 12(t 42)(t 59) (t 7)(t 59) +20 (7 42)(7 59) (42 7)(42 59) + +15 (t 7)(t 42) (59 7)(59 42) = = 12(t2 101t+2478) 1820 + 15(t2 49t+294) 884 = 311 30940 t2 + 22311 30940 20(t2 68t+413) + 595 = t+ 16453 2210 25
Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime k(t) 0,0101t 2 +0,7211t+7,444 ir k(17) 0,0101 17 2 +0,7211 17+7,444 16,80, k(52) 0,0101 52 2 +0,7211 52+7,444 17,76. 26
Paveiksle pavaizduota parabolė ir dviejų tiesių atkarpos, jungiančios tuos pačius taškus(7, 12),(42, 20) ir(59, 15). 27