UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor: izr prof dr MARKO SLAPAR Somentor: asist dr TADEJ STARČIČ VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204
ZAHVALA Zahvala gre predvsem mentorju dr M Slaparju in somentorju drt Starčiču, sprva zato, ker sta me s svojimi predavanji navdušila za specifičen del matematike in mi ga približala Nato pa še zahvala za strokovno vodenje ter ves trud in čas, ki sta ga vložila v delo moje diplomske naloge Seveda pa ne gre brez zahvale staršem, katera sta me vsa leta mojega študija podpirala na vseh področjih, me razumela, spodbujala in skupaj z mano vztrajala v najtežjih trenutkih Hvala vama, in vedita, da mi brez vaju ne bi uspelo Na koncu bi se zahvalila še najbližjim prijateljem, ker ste mi vedno in ne glede na vse stali ob strani, me navdihovali in podpirali ob študiju
POVZETEK V diplomskem delu bom skušala razumljivo predstaviti koncept splošnih verižnih ulomkov, njihovo povezavo s številskimi vrstami oziroma nekaterimi analitičnimi funkcijami Pri tem si bom pobližje ogledala tudi osnovne koncepte neskončnih vrst, ustavila pa se bom tudi pri zgodovini verižnih ulomkov, saj njihovi zametki segajo daleč v zgodovino matematike in so povezani s številnimi pomembnimi matematičnimi imeni Na koncu pa se bom posvetila še dobro znanim matematičnima konstantama, ki nas spremljata že skozi dolga stoletja To sta števili π in e Raziskovanje bo namenjeno predvsem njuni predstavitvi z verižnimi ulomki ob pomoči izpeljav iz neskončnih vrst KLJUČNE BESEDE: verižni ulomek, neskončna vrsta, neskončni verižni ulomek, konvergenca, število π, število e, Taylorjeva vrsta ABSTRACT The intention of this diploma is to present the concept of continued fractions, their conection with infinite series and some analitical functions There will be also presented the concept of numerical series There is a lot of history behind the continued fractions I will only mention a few most important names which are linked with beginnings of continued fractions At the end I will present two most known constants, numbers π and e I will try to write them with continued fractions using infinite series because of their close connection KEY WORDS: continued fraction, infinite series, infinite continued fraction, constant π, constant e, Taylor series
Kazalo UVOD 2 VERIŽNI ULOMKI 3 2 Kratka zgodovina verižnih ulomkov 3 22 Osnovna definicija in lastnosti 4 23 Neskončni verižni ulomki 7 24 Transformacija verižnih ulomkov 0 3 NESKONČNE VRSTE 2 3 Številske vrste in vsota vrste 2 32 Potrebni in zadostni pogoj konvergence neskončne vrste 4 33 Taylorjeva vrsta 5 4 POVEZAVA MED VERIŽNIMI ULOMKI IN NESKONČNIMI VRSTAMI 8 5 VERIŽNI ULOMKI IN ŠTEVILO π 24 6 VERIŽNI ULOMKI IN ŠTEVILO e 29 7 ZAKLJUČEK 3
UVOD Verižni ulomki so nastali predvsem zaradi potreb in želja po tako imenovanih matematično čistih predstavitvah realnih števil Večina ljudi pozna desetiško predstavitev realnih števil, ki pa ni brez pomanjkljivosti Število deset je namreč posledica biološke pogojenosti in ne nečesa, kar bi bilo povezano z matematiko samo Druga težava je v tem, da mnogo racionalnih števil ni moč izraziti s končnim številom števk v takšnem zapisu, medtem ko zapis iracionalnih števil na tak način sploh ni mogoč Zapis z verižnimi ulomki pa je predstavitev števil, ki se deloma izogne tem težavam Koncept verižnih ulomkov je leta 572 prvič uporabil italijanski matematik Rafael Bombelli pri računanju kvadratnih korenov, prava teorija verižnih ulomkov pa se je nato začela razvijati z Wallisom, Huygensom, Eulerjem in drugimi znanimi matematiki Verižni ulomki so tesno povezani s teorijo števil ter problemi v teoriji analitičnih funkcij V začetku diplomskega dela se bomo seznanili s kratko zgodovino verižnih ulomkov in tako videli, da pojem verižnega ulomka res sega daleč v zgodovino matematike V nadaljevanju si bomo ogledali osnovne pojme verižnih ulomkov, njihov zapis, poleg tega pa bomo posebno pozornost namenili tudi neskončnim verižnim ulomkom, saj je nekaj znanih števil moč pokazati z neskončnimi verižnimi ulomki in na tak način natančneje zapisati njihove približke Nekaj pozornosti bom posvetila tudi neskončnim vrstam Vrsta matematično pomeni vsoto zaporedja njenih členov Je torej seznam števil, med katerimi se izvaja operacija seštevanja oziroma odštevanja Vrste so lahko končne ali neskončne Končne vrste lahko obravnavamo že z elementarno algebro, če pa želimo uporabiti neskončne vrste, moramo poseči po orodjih matematične analize Seznanili se bomo tudi z izpeljavo nekaterih znanih vrst Osrednji del diplomskega dela bo namenjen predstavitvi povezave med verižnimi ulomki in nekaterimi iracionalnimi (transcedentnimi) realnimi števili Veliko iracionalnih števil je namreč z verižnimi ulomki mogoče opisati na zelo lep in enostaven način, česar denimo za njihov decimalni zapis ne moremo trditi Na koncu bomo posebno pozornost bomo namenili znanima konstantama π in e, ki ju danes srečamo na skoraj vseh področjih matematike, pri čemer zanimanje za π seže skoraj 2000 let prnšt, število e pa se prvič pojavi v 7 stoletju Še danes
se predvsem s številom π ukvarja kar nekaj znanstvenikov Eden od razlogov za preprosto predstavitev z verižnimi ulomki je njihova tesna povezanost s številskimi vrstami, katere nam dokaj enostavno opišejo nekatera števila Glavni viri, ki sem jih uporabila v diplomskem delu so osnove analize vrst [], matematični članek [6] in knjiga o verižnih ulomkih [4] 2
2 VERIŽNI ULOMKI V tem razdelku si bomo pobliže ogledali zgodovino verižnih ulomkov, osnovne lastnosti verižnih ulomkov, njihov zapis, transformacije in tudi neskončne verižne ulomke Pri tem bomo uporabili literaturo [3], [4], [6], [7] 2 Kratka zgodovina verižnih ulomkov Zametke računanja verižnih ulomkov je moč videti v Evklidovem algoritmu (300 pr n št), saj gre v bistvu za isto stvar Algoritem kot stranski rezultat enakovredno poda člene zapisa verižnih ulomkov Indijski matematik in astronom Aryabhata I je uporabljal verižne ulomke pri računanju linearnih nedoločenih enačb, oblike ax + c = by (diofantska enačba, Aryabhatov algoritem) Za začetnika teorije verižnh ulomkov velja italijanski matematik Rafael Bombelli Prvič jih je uporabil leta 572 pri računanju kvadratnih korenov Odkril je tudi, da se dajo iracionalna števila zelo točno aproksimirati z verižnimi ulomki Aproksimiral je 3 V tem času se je z verižnimi ulomki ukvarjal tudi Pietro Antonio Cataldi Tudi Cataldi je na podoben način s periodičnim verižnim ulomkom izrazil 8 Z delom Johna Wallisa so verižni ulomki dobili svoje upravičeno mesto v matematiki V svoji knjigi Algebrski traktat (Tractatus de algebra), (izšla leta 685) je Wallis zapisal π na 35 decimalk s približkom neskončnega verižnega ulomka Prvi neskončni (posplošeni) verižni ulomek je zapisal Lord Brouncker v svojem delu iz leta 659 za razvoj števila 4 π, na podlagi Wallisovega produkta za π 2 V svojem delu Matematično delo (Opera Mathematica) je Wallis leta 695 tudi prvič uporabil izraz verižni ulomek V slovenščino je izraz uvedel Josip Plemelj Značilnosti in teorijo verižnih ulomkov sta naprej razvila Huygens leta 703 in Leonhard Euler leta 744 Lagrange je mislil, da bi bilo mogoče prepoznati vsako algebrsko število iz njegovega verižnega ulomka Periodičnost verižnih ulomkov za kvadratične iracionale je dokazal sedemnajstletni Évariste Galois leta 828 [7] 3
22 Osnovna definicija in lastnosti Ogledali si bomo obliko zapisa verižnega ulomka in nato še kako ulomek p q zapišemo v obliki enostavnega verižnega ulomka Definicija 2 Posplošeni verižni ulomek je ulomek, ki je v splošnem zapisan kot a 0 + a + a 2 + b a 3 + a n + b n a n pri čemer sta a k in b k realni števili za vse k =, 2,, n b 2 b 3 V nadaljevanju bomo pridevnik posplošeni izpustili, () Omenimo še, da je verižni ulomek enostaven, če so vsi b k pozitivni za k Torej, ga zapišemo v naslednji obliki: enaki in vsi a k a 0 + a + a 2 + a 3 + a n + a n Trditev 2 Vsak ulomek p q lahko zapišemo v obliki enostavnega verižnega ulomka Dokaz Če je p q, potem delimo p s q: p = a 0 q + r (0 r < q) oziroma p q = a 0 + r q = a 0 + q Če je p < q, potem je a 0 = 0 r 4
Sedaj delimo q z r : q = a r + r 2 oziroma q r = a + r 2 r = a + r Sedaj delimo r z r 2 in tako dalje Ker se ostanki r, r 2, nenehno manjšajo, se ta proces slej ali prej konča Evklidov algoritem za števili p in q Denimo torej, da je r n zadnji od nič različen ostanek: Če dobro pogledamo, vidimo, da je to pravzaprav r n 2 = a n + r n = a n + r n r n r n r n r 2 in Vidimo, da je p q = a 0 + r n r n = a n a + a 2 + + a n Opaziti je, da je ta zapis očitno enoličen Zapis verižnega ulomka a 0 + a + a 2 + b a 3 + b 2 b 3 a n + b n a n, zahteva kar nekaj prostora, kar lahko opazimo tudi sami Zato imamo na voljo nekaj krajših zapisov 5
Lahko ga zapišemo kot b 2 b 3 b n a 0 + b a + a 2 + a 3 + + a n Če imamo opravka z enostavnim ulomkom, pa njegov skrajšan zapis izgleda takole: a 0 + a + a 2 + a 3 + = a 0 ; a, a 2, a 3,, a n + a n ZGLED: Oglejmo si enostaven primer zapisa ulomka z verižnimi ulomki Imejmo število 67 32 in ga zapišimo kot 67 32 = 2 + 3 32 Ker je števec manjši kot imenovalec, lahko ulomek zapišemo kot dvojni ulomek in dobimo: 67 32 = 2 + 3 32 = 2 + 32 Ulomek 32 3 zapišemo kot 32 3 = 0 + 2 3 in podobno kot zgoraj 32 3 = 0 + 3 2 To vstavimo v zgornjo enačbo in dobimo 3 67 32 = 2 + 3 32 = 2 + 3 + 3 2 Ker je 3 2 = + 2 v nadaljevanju dobimo 67 32 = 2 + 0 + + 2 in s tem zaključimo, saj je števec manjši od imenovalca 6
23 Neskončni verižni ulomki Iracionalnih števil ne moremo več zapisati s končnimi enostavnimi verižnimi ulomki, zato je koristno vpeljati neskončne verižne ulomke Neskončni verižni ulomki iracionalnih števil pridejo prav že zato, ker njihovi prvi členi nudijo odlične racionalne približke števila Definicija 22 Naj bosta {a n } in {b n }, n =, 2, zaporedji realnih števil in naj bo c n := a 0 + b a + a 2 + a 3 + + a n defininiran za vse n Pravimo, da je c n n-ti verižni približek verižnega ulomka Če obstaja limita lim n c n pravimo, da verižni ulomek b 2 b 3 b n a 0 + a + b b 2 b 3 a 2 + a 3 + (2) konvergira Za neskončni enostavni verižni ulomek uporabljamo naslednjo notacijo: a 0 ; a, a 2, a 3, := lim x a 0 ; a, a 2, a 3,, a n in sicer s predpostavko, da desna stran obstaja Verižni ulomek predstavlja tisto realno število, ki je limita (če obstaja) zaporedja verižnih približkov c n Obstaja tudi zelo lepa teorija o verižnih približkih in njihovi konvergenci Z njo se tu podrobneje ne bomo ukvarjali Za nas bo dovolj, da bo konvergenca verižnih približkov konkretnih števil sledila iz konvergence znanih vrst, kar pa si bomo podrobneje pogledali v nadaljevanju 7
Opomnimo še na naslednja dejstva: - Predstavitev števila z enostavnim verižnim ulomkom je končna, če in samo če je število racionalno - Predstavitve preprostih racionalnih števil so z (enostavnimi) verižnimi ulomki kratke - Predstavitev poljubnega racionalnega števila z (enostavnim) verižnim ulomkom je edina, če na koncu ni - Predstavitev iracionalnega števila je edinstvena - Členi (enostavnega) verižnega ulomka se bodo ponavljali, če in samo če je število kvadratična iracionala, oziroma, če je realna rešitev kvadratne enačbe - Okrajšane predstavitve števila x z (enostavnim) verižnim ulomkom vodi do racionalnega približka za x, ki je v določenem smislu najboljši racionalni približek Kot primer neskončnega verižnega ulomka si oglejmo naslednji preprost zgled števila 2 Zapisali ga bomo v obliki verižnega ulomka Njegove konvergence, ki ni očitna, se tokrat ne bomo lotili raziskovati ZGLED: Zapis števila 2 v obliki neskončnega verižnega ulomka Vemo, da je 2 = 4423562 Zapišimo sedaj 2 kot 2 = + ( 2 ) 2 pa lahko zapišemo v obliki Če nadaljujemo 2 = = 2 2 ( 2 )( 2 + ) = 2 + = 2 + ( 2 ), = 2 + 2 od prej pa že vemo, da je 2 = 2+, torej lahko zapišemo 2 + = 2 + 2 + Sedaj to vstavimo v 2 = + ( 2 ) in dobimo 2 = + 2 + = + 2 + = + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 8
Očitno je, da se izraz 2 + ponavlja, zato lahko brez škode za splošnost zapišemo neskončni verižni ulomek števila 2 v naslednji obliki: 2 = + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 9
24 Transformacija verižnih ulomkov Oglejmo si, kako transformiramo verižni ulomek v drugega Za nas bo priročno v nadaljevanju in sicer natančneje pri zapisu verižnega ulomka v obliki vrste in obratno Postopek je sledeč: Naj bodo ρ, ρ 2, ρ 3 neničelna realna števila in naj bo ξ = a 0 + b a + b 2 a 2 + b 3 a 3 končni verižni ulomek, kjer so a k in b k realna števila Ulomek v števcu in imenovalcu pomnožimo s ρ in dobimo ξ = a 0 + ρ b ρ a + ρ b 2 a 2 + b 3 a 3 Nato množimo števec in imenovalec ulomka ρ b 2 s ρ 2 in dobimo ξ = a 0 + ρ b ρ a + ρ ρ 2 b 2 a 2 ρ 2 + ρ 2b 3 a 3 Nazadnje še števec in imenovalec ulomka ρ 2 b 3 množimo s številom ρ 3 in dobimo ξ = a 0 + ρ a + ρ b ρ ρ 2 b 2 a 2 ρ 2 + ρ 2ρ 3 b 3 ρ 3 a 3 0
Dobljeni ulomek zapišemo v drugi obliki: a 0 + ρ a + ρ b ρ ρ 2 b 2 a 2 ρ 2 + ρ 2ρ 3 b 3 ρ 3 a 3 in tako vidimo, da očitno velja = a 0 + ρ b ρ ρ 2 b 2 ρ 2 ρ 3 b 3 ρ a + ρ 2 a 2 + ρ 3 a 3 a 0 + ρ b ρ ρ 2 b 2 ρ 2 ρ 3 b 3 = a 0 + b ρ a + ρ 2 a 2 + ρ 3 a 3 a + b 2 b 3 a 2 + a 3 Transformacijsko pravilo pa velja tudi za neskončne verižne ulomke To nam pove naslednji izrek Izrek 2 Za zaporedje realnih števil a, a 2, a 3,, b, b 2, b 3, in zaporedje neničelnih konstant ρ, ρ 2, ρ 3,, velja a 0 + b b 2 b 3 a + a 2 + a 3 + b n + a n + = a 0+ ρ b ρ ρ 2 b 2 ρ 2 ρ 3 b 3 ρ a + ρ 2 a 2 + ρ 3 a 3 + + ko sta leva in desna stran definirani ρ n ρ n b n ρ n a n +, Dokaz Iz razmisleka pred izrekom sledi b 2 b 3 a 0 + b a + a 2 + a 3 + + b n a n = a 0 + ρ b ρ a + ρ ρ 2 b 2 ρ 2 a 2 + ρ 2 ρ 3 b 3 ρ 3 a 3 + + ρ n ρ n b n ρ n a n (3) Če obstaja limita za n na levi strani, potem obstaja tudi na desni in iz tega sledi, da transfomacijsko pravilo velja tudi za neskončne verižne ulomke Da je limita definirana, pomeni, da verižni ulomek konvergira Oglejmo si še zgled izraza (3) na konkretnem, enostavnem primeru ZGLED: Vzemimo verižni ulomek zapisan v naslednji obliki: x = + 2 4 6 + + Imejmo še tri neničelne konstnte ρ = 2, ρ 2 = 4, ρ 3 = 6 Opazimo, da lahko s pomočjo izraza (3), verižni ulomek zapišemo kot x = + 2 2 2 4 4 4 6 6 = + 4 32 44 2 + 4 + 6 6 2 + 4 + 6 Verižni ulomek, ki ga transformiramo z neničelnimi konstantami je enak prvotni obliki ulomka
3 NESKONČNE VRSTE V tem poglavju se bomo podrobneje srečali z vrstami Ogledali si bomo osnovne lastnosti neskončnih vrst, njihovo konvergenco in se pobliže spoznali s Taylorjevo vrsto Glavna literatura uporabljena v tem razdelku je [], [5], [8], [9], [0] 3 Številske vrste in vsota vrste Seštevanje števil je osnovna aritmetična operacija, ki jo spoznamo že v naših prvih stikih z matematiko Takrat se naučimo, kako se sešteje dve števili in da vrstni red seštevanja ni pomemben Operacijo seštevanja lahko brez težav posplošimo na končno število sumandov, stvari pa se zapletejo, ko želimo sešteti neskončno mnogo števil Vsota danega zaporedja števil lahko obstaja ali pa ne Če obstaja, je lahko včasih odvisna tudi od vrstnega reda seštevanja Oglejmo si torej kaj številska vrsta v resnici je Definicija 3 Številska vrsta oziroma vrsta realnih števil je zaporedje realnih števil (a n ), ki ga zapišemo kot formalno vsoto n= a n = a + a 2 + a 3 + Ponavadi nas zanima predvsem vsota vrste Vsota prvih n členov zaporedja: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 S n = a + a 2 + a 3 + + a n Dobljene vsote imenujemo delne vsote zaporedja Označujemo jih s S n Zaporedje S, S 2, S 3,, S n pa imenujemo zaporedje delnih vsot 2
Definicija 32 Številska vrsta n= a n je konvergentna, če konvergira njej pridruženo zaporedje delnih vsot (S n ) Torej, če je limita zaporedja delnih vsot končna, potem je vrsta konvergentna, v nasprotnem primeru pa je divergentna V primeru, ko je vrsta konvergentna, je limita lim n S n vsota vrste Oglejmo si sedaj eno najbolj znanih vrst Geometrijska vrsta je osnovni primer številske vrste ZGLED: Naj bosta a in q kompleksni števili in a n = aq n Pridružena geometrijska vrsta je tedaj an = a + aq + aq 2 + Njeno zaporedje delnih vsot S m = a + aq + + aq m = a( + q + + q m ) = qm q a konvergira natanko tedaj, ko konvergira geometrijsko zaporedje (q m ) Iz teorije o zaporedjih vemo, da se to zgodi, če in samo če je q < Od tod torej sklepamo, da geometrijska vrsta konvergira, če je q <, njena vsota pa je v tem primeru n= aq n = lim S qm m = lim a m m q = a q 3
32 Potrebni in zadostni pogoj konvergence neskončne vrste Če je vrsta k= a k konvergentna, potem za njene člene velja lim a n = 0 n To je torej enostavni potrebni pogoj za konvergenco, ki pa je hkrati tudi zadostni pogoj za ugotavljanje divergence vrste V primeru, ko lim n a n 0 je vrsta zanesljivo divergentna V naslednjem izreku si oglejmo še nekaj kriterijev za ugotavljanje konvergence vrste s pozitivnimi členi Kriteriji predstavljajo zadostni pogoj Izrek 3 (Cauchyev korenski kriterij) Naj bo n= a n vrsta s pozitivnimi členi a n 0 za vsak n Če obstaja m N in pozitivno število q <, tako da velja n an q < za n m, vrsta konvergira Če velja n a n za neskončno mnogo členov, vrsta divergira (D Almbertov kvocientni kriterij) Naj bo n= a n vrsta s pozitivnimi členi a n > 0 za vsak n Če obstajata m N in pozitivno število q <, tako da velja a n+ a n q < za vsak n m, vrsta konvergira Če velja a n+ a n za vsak n m, vrsta divergira (Leibnizov kriterij za alternirajoče vrste) a n > 0, alternirajoča vrsta za katero velja: - lim n (a n ) = 0, - zaporedje pozitivnih števil (a n ) je padajoče Naj bo n= ( )n a n, pri čemer Potem je vrsta n= ( )n a n konvergentna Dodatno velja tudi k ( ) n a n ( ) n a n a k+ n= n= 4
33 Taylorjeva vrsta Predno se lotimo podrobnejšega vpogleda v Taylorjevo vrsto, si oglejmo kaj je potenčna vrsta Potenčna vrsta ene spemenljivke je v matematiki neskončna vrsta oblike f(x) = a n (x a) n = a 0 + a (x a) + a 2 (x a) 2 + a 3 (x a) 3 +, n=0 kjer je a n koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije Podrobneje si bomo ogledali Taylorjevo vrsto Definicija 33 Naj bo funkcija f poljubno mnogokrat odvedljiva v točki a Potenčni vrsti f(x) = f(a)+ f (a) (x a)+ f (a) (x a) 2 + f (a) (x a) 3 + =! 2! 3! pravimo Taylorjeva vrsta funkcije f okoli točke a f (n) (a) (x a) n n! Če ta vrsta konvergira za vsak x na intervalu (a r, a+r) in je vsota enaka f(x), potem funkciji f(x) rečemo analitična funkcija Funkcija je analitična, če in samo če jo lahko predstavimo kot potenčno vrsto Koeficienti so v takšni potenčni vrsti potem nujno tisti iz zgornje definicije Taylorjeve vrste Taylorjeva vrsta konvergentne potenčne vrste je ta vrsta sama Tudi osnovne elementarne funkcije so analitične Obstajajo primeri neskončno mnogokrat odvedljivih funkcij f(x), katerih Taylorjeve vrste konvergirajo, vendar niso enake f(x) Nekaterih funkcij ne moremo zapisati s Taylorjevimi vrstami, ker vsebujejo singularnost V takšnih primerih jo lahko še vedno razvijemo v vrsto, če dovolimo tudi negativne potence spremenljivke x [0] n=0 Predno se lotimo izpeljav nekaj znanih Taylorjevih vrst, povejmo še, da konvergenc naslednjih vrst ni težko videti s pomočjo kvocientnega oziroma Leibnizovega kriterija Zato se dokazovanja konvergentnosti pri naslednjih zgledih ne bomo lotevali Poleg tega pa je opaziti, da so vse naslednje izpeljane vrste enake svojim funkcijam f(x) Da je to res, lahko bralec sam preveri v literaturi [] 5
Oglejmo si izpeljavo Taylorjeve vrste za sin(x) ZGLED: f(x) = sin(x) Izračunamo odvode in dobimo: f (x) = cos(x), f (x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = sin(x) Torej je f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) = Opazimo, da se vrednosti odvodov periodično ponavljajo, zato lahko posplošimo razmislek za poljuben odvod Zaporedje koeficientov je torej (0,, 0,, 0,, 0,, ) Tako torej sledi razvoj v vrsto okoli točke x = 0 po formuli f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) x 3 + + f (n ) (0) 3! (n )! xn + f (n) (0) x n (4) (n)! in dobimo za vse x sin(x) = n=0 ( ) n+ (2n + )! x2n+ = x! x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! Na podoben način se lotimo tudi razvoja Taylorjeve vrste za število e x ZGLED: f(x) = e x Oglejmo si odvode f(x): f (x) = f (x) = = f (n) (x) = e x in f (0) = f (0) = = f (n) (0) = e 0 = Po formuli (4) iz prejšnjega zgleda, razvijemo vrsto okoli točke x = 0 in dobimo za vse x e x = n=0 x n n! = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + Oglejmo si še razvoj Taylorjeve vrste za ln( + x), saj jo bomo v nadaljevanju še potrebovali 6
ZGLED: f(x) = ln( + x) Oglejmo si odvode f(x) : f (x) = x, f (x) = x 2, f (x) = x 3, f (x) = x 4 Po formuli (4) lahko podobno kot v prejšnjem zgledu razvijemo vrsto okoli točke x = 0 in dobimo Tako je za x < ln( + x) = f(0) + f (0)x! ln( + x) = n=0 + f (0)x 2 2! + f (0)x 3 3! + ( ) n x n = x x2 2 + x3 3 x4 4 + V naslednjem zgledu si bomo ogledali izpeljavo Taylorjeve vrste za arctan x, ki je malo bolj zapletena in velja za x < Da velja tudi za x =, sledi iz Leibnitzovega konvergenčnega kriterija ter Abelovega izreka Bralec si lahko to podrobneje ogleda v literaturi [] ZGLED: S pomočjo razvoja v geometrijsko vrsto zapišimo odvod arctan(x): (arctan(x)) = + x = ( x 2 ) n = ( ) n (x 2n ) pri čemer x < 2 n=0 Zapišemo še v obliki integrala izraz arctan(x) in dobimo: C + arctan(t) = = x 0 + t 2 dt = x ( ) n t 2n dt = n=0 0 n=0 x 0 ( ( ) n t )dt 2n n=0 ( ) n t2n+ 2t + Opazimo, da je za x = 0, c = 0 Torej je tako Taylorjeva vrsta za arctan(x): arctan(x) = ( ) n x2n+ (2n + ) = x x3 3 + x5 5 x7 + za x [, ] 7 n=0 7
4 POVEZAVA MED VERIŽNIMI ULOMKI IN NESKONČNIMI VRSTAMI V nadaljevanju si bomo ogledali povezavo med verižnimi ulomki in neskončnimi vrstami ter z njimi povezane izreke To je opisal in dokazal že L Euler v [2] V tem razdelku bomo uporabili literaturo [], [2] in [6] Naj bodo α, α 2, α 3, katerakoli realna števila, kjer α k 0 in α k α k za vse k N Opazimo da α α 2 = α 2 α α α 2 = α α 2 Če je α 2 α α α 2 = α (α 2 α ) + α 2 = α + α2, α 2 α α 2 α α 2 α potem dobimo = α + α2 α α 2 α 2 α Iz tega sledi naslednji izrek Izrek 4 Če so α, α 2, α 3, neničelna realna števila, α k α k za vse k, potem za katerikoli n N velja n ( ) k = α k k= α + α 2 α 2 α + α 3 α 2 + α 2 2 α 2 n α n α n Zlasti, če n, sklenemo n ( ) k k= α 2 α 2 2 = a k α + α 2 α + α 3 α 2 + α 4 α 3 + (5) α 2 3 8
Dokaz Izrek bomo dokazali s pomočjo indukcije V prvem koraku preverimo ali izrek drži za n = Kot vidimo je to precej očitno, saj je vsota enega člena res ulomek in sicer ( ) = α a k= V indukcijskem koraku predpostavimo, da izrek drži za vsoto z n členi in pokažemo, da velja tudi za vsoto z n + členi Vsoto z n + členi torej preoblikujemo v vsoto z n členi in dobimo: n+ k= ( ) k α k = α α 2 + + ( )n α n = α α 2 + + ( ) n ( α n α n+ ) = α α 2 + + ( ) n ( α n+ α n α n α n+ ) = α α 2 + + ( ) n α n α n+ + ( )n α n+ α n+ α n Na dobljeni preoblikovani vsoti uporabimo indukcijsko predpostavko, da dobimo naslednji izraz: n+ k= ( ) k α 2 α 2 n = a k α + α 2 α + + α n α n+ α n α n+ α n Če preoblikujemo zadnji člen v verižni ulomek, dobimo (6) α n α n+ α n = α n(α n+ α n ) + αn 2 αn 2 α n = α n α n + α n+ α n α n+ α n α n+ α n Vstavimo ga v zgornjo enačbo (6) in dobimo n+ k= ( ) k α 2 α 2 n = a k α + α 2 α + + αn 2 α n α n + α n+ α n Sklenemo lahko torej, da izrek velja tudi za vsoto n+ členov in tako zaključimo naš dokaz 9
Oglejmo si še eno zanimivost Naj bodo α, α 2, α 3, realna, neničelna števila, ki nikoli niso enaka Opazimo da = α 2 = α α α 2 α α 2 α α 2 α 2 Če α α 2 α 2 = α (α 2 ) + α = α + α α 2 α 2, dobimo = α α α 2 α + α α 2 To dejstvo bomo uporabili v izpeljavi naslednjega pomembnega izreka Izrek 42 Za katerokoli realno zaporedje α, α 2, α 3, pri čemer α k 0,, velja n ( ) k = α α k k= Zlasti, če n, sklenemo α + α 2 + α 3 + α α 2 α n + α n α n ( ) k k= če vrsta konvergira α α 2 α n = α α k α + α 2 + α 3 + + α n +, (7) Dokaz Dokaza Izreka 42 se lotimo na podoben način, kot dokaza Izreka 4, torej z indukcijo Za n =, dobimo ( ) k= α rezultat dobimo ulomek = a Tako je očitno, da za vsoto enega člena, kot Sedaj predpostavimo, da izraz velja za vsoto n členov Nato s pomočjo indukcijske predpostavke pokažemo, da velja tudi za n + členov preoblikujemo v vsoto z n členi: 20 Vsoto z n + členi
n+ k= ( ) k α α k = α α α 2 + α α 2 α 3 + + ( )n α α n + ( )n α α n+ = α α α 2 + ( ) n ( + + α α 2 α 3 α α n ) α α n+ = ( ) n ( αn+ ) + + + α α α 2 α α 2 α 3 α α n+ = α α α 2 + ( ( ) n + + α α 2 α 3 Na tej vsoti uporabimo indukcijsko predpostavko in dobimo α α n αnα n+ α n+ ) n+ k= ( ) k α α 2 α n = α α k α + α 2 + α 3 + + α n α n+ α n+ Zadnji člen preoblikujemo v verižni ulomek: (8) Vstavimo v izraz (8) in dobimo α n α n+ α n+ = α α n n + α n+ n+ k= ( ) k α α 2 α n = α α k α + α 2 + α 3 + + α n α n + α n+ Sklenemo lahko torej, da izrek velja tudi za vsoto n + členov in tako zaključimo naš dokaz Izreka 4 in 42 spremenita vrsto v verižni ulomek Sedaj si oglejmo zgled, ki na enostaven način prikazuje uporabnost izrekov in s tem zanimivo povezavo verižnih ulomkov z neskončnimi vrstami 2
ZGLED: Oglejmo si primer za log( + x) Vemo, da log( + x) = n=0 ( ) n xn+ n + = x x2 2 + x3 3 x4 4 + Zapišimo α = x, α 2 = 2 x 2, α 3 = 3 x 3, α 4 = 4 x 4, in s tem splošni člen a n = n x n Vstavimo v izraz (5), ki pravi n ( ) k k= α 2 = a k α + α 2 α + α 3 α 2 + α 4 α 3 + Dobimo naslednjo dokaj kompleksno formulo: ( ( x ) 2 ) 2 2 x 2 log( + x) = + 2 + 3 2 4 + 3 +, x x 2 x x 3 x 2 x 4 x 3 zato uporabimo transformacijsko pravilo (3) iz dokaza Izreka 2: α 2 2 ( ) 2 3 x 3 b + b 2 + b 3 + + b n = ρ b + ρ ρ 2 b 2 + ρ 2ρ 3 b 3 + + ρ n ρ n b n, a a 2 a 3 a n ρ a ρ 2 a 2 ρ 3 a 3 ρ n a n iz katerega pa odstranimo člen a 0 Naj bodo ρ = x, ρ 2 = x 2, ρ 3 = x 3, in splošni člen ρ n = x n Tako dobimo ( ( + x x ) 2 2 + x 2 x ) 2 2 x 2 3 2 + x 3 x 2 ( ) 2 3 x 3 4 3 + = x + x 4 x 3 α 2 3 x 4x 9x 2 x + 3 2x + 4 3x + Torej je log( + x) = x x 4x 9x + 2 x + 3 2x + 4 3x + oziroma v lepši obliki x log(x + ) = x + 4x (2 x) + 9x (3 2x) + (4 3x) + Kot zanimivost si oglejmo še, da v dobljeni verižni ulomek vstavimo x = Dobimo log 2 = + + 22 4 + 9 +
Izpeljave neskončnega verižnega približka log 2 pa se lahko lotimo tudi z druge strani Kot že vemo velja log 2 = ( ) k = k 2 + 3 4 + k= Če vstavimo a k = k v izraz (5) iz Izreka 4, lahko zapišemo log 2 = 2 2 2 3 2 + + + +, kar pa lahko zapišemo kot verižni ulomek in tako dobimo prelep zapis log 2: log 2 = + + + 2 2 2 3 2 + 42 + ki pa je popolnoma enak zgornjemu zapisu števila, 23
5 VERIŽNI ULOMKI IN ŠTEVILO π Za začetek si oglejmo verižni približek števila 4, ki ga je prvi zapisal W Brouncker Iz tega se je nato razvil verižni približek za število π V tem razdelku π bomo uporabili literaturo [], [6] in [7] Predno se lotimo, pa si oglejmo še trditev, ki nam pove, kakšen je verižni ulomek obratne vrednosti b 2 b 3 a + a 2 + Trditev 5 Imejmo verižni ulomek ξ = a 0 + b a 3 + + njegovo obratno vrednost lahko zapišemo: ξ = b b 2 b 3 a 0 + a + a 2 + a 3 + b n + a n + b n a n + 0 Za Oziroma drugače, če ξ = a 0 ; a,, a n,, potem ξ = 0; a 0, a, a 2,, a n, Dokaz Zapišimo ξ kot limito verižnih približkov ξ = lim ξ n n Vemo, da je in da je ξ n = ξ n, torej zapišemo ξ n = a 0 + b a + + b n a n ξ n = a 0 + b a + + b n a n Oglejmo si še limito ξ n Ker je lim n ξ n = lim = n ξ n ξ smo s tem pokazali, da zgornja Trditev 5 velja, 24
Vzemimo arctan(x) = x x3 3 + x5 5 x7 x2n + + ( )n 7 2n + V izraz (5) iz Izreka 4 vstavimo α = x, α 2 = 3 x 3, α 3 = 5 x 5 in dobimo naslednjo formulo in splošni člen α n = 2n x 2n arctan(x) = x + x 2 3 x 3 x + 3 2 x 3 5 3 + + x 5 x 3 (2n 3) 2 (x 2n 3 ) 2 2n x 2n 2n 3 x 2n 3 + (9) Omenimo še, da lahko izraz preoblikujemo tudi z Izrekom 42 V izraz (7) vstavimo α = x, α 2 = 3 x 2, α 3 = 5 3x 2, α 4 = 7 5x 2,, α n = arctan(x) = x + x 3 + x 2 2n, za n 2 in dobimo (2n 3)x 2 3 x 3 5 3x 2 + + 2n (2n 3)x 2 2n+ (2n )x 2 + (0) Izraz nato uredimo s transformacijskim pravilom (3) iz dokaza Izreka 2, pri katerem pa pred tem še odstranimo člen a 0 : b + b 2 + b 3 + + b n + = ρ b + ρ ρ 2 b 2 + ρ 2ρ 3 b 3 + + ρ n ρ n b n + a a 2 a 3 a n ρ a ρ 2 a 2 ρ 3 a 3 ρ n a n Nato določimo ρ = x, ρ 2 = x 3, in v splošnem ρ n = x 2n Vstavimo v zgornjo enačbo (9), ki smo jo izpeljali iz Izreka 4 in v tem primeru dobimo x + torej je x 2 3 x 3 x + oziroma lepše 3 2 x 2 5 3 + x 5 x 3 5 2 x 2 7 5 + = x + x 7 x 5 x 2 3 2 x 2 5 2 x 2 3 x 2 + 5 3x 2 + 7 5x 2 +, arctan(x) = x x 2 3 2 x 2 5 2 x 2 + 3 x 2 + 5 3x 2 + 7 5x 2 +, arctan(x) = + (3 x 2 ) + x x 2 3 2 x 2 5 2 x 2 (5 3x 2 ) + (7 5x 2 ) + Omenimo še, da bi dobili enak zapis arctan(x), če bi preuredili tudi izraz (0) Bralec lahko sam preveri, da to drži 25
Sedaj vstavimo v verižni približek x = in tako dobimo π 4 = + 2 + 2 3 2 2 + 52 2 + izraz obrnemo s pomočjo Trditve 5 in tako dobimo Lord Brounckerjevo formulo:, 4 π = + 2 + 2 3 2 2 + 52 2 + Sedaj si oglejmo še en postopek, s katerim pridemo do verižnega približka za število π Oglejmo si najprej teleskopsko vsoto, ki jo bomo potrebovali pri izpeljavi verižnega ulomka za število π: k= ( ) n ( n + n + ) = ( + 2 ) ( 2 + 3 ) + ( 3 + ) = () 4 Oglejmo si vrsto π Dobimo jo tako, da sprva zapišemo že poznano Taylorjevo vrsto 4 za arctan(x): arctan(x) = ( ) n x2n+ (2n + ) = x x3 3 + x5 5 x7 + za x [, ], 7 n=0 nato vstavimo x = in dobimo vrsto π 4 = 3 + 5 7 + 26
Če π 4 = 3 + 5 7 + = k= množimo s številom 4, uporabimo izraz () in zapišemo: π = 4 4 = 3 + n= = 3 + 3 + ( ) n 2n +, ( ) n 2n + = 3 + 4 ( ) n 2n + n= n= ( ) n ( n + n + ) 4 n= = 3 + 4 n= ( ) n 2n + ( ) n ( n + n + 4 2n + ) n= kjer združimo ulomke v tretji in četrti vrstici ( ) n 2n(2n + )(2n + 2) Nato vstavimo v formulo (5) iz Izreka 4 z α n = 2n(2n + )(2n + 2), pred tem pa še opazimo, da, α n α n = 2n(2n + )(2n + 2) 2(n )(2n )(2n) = 4n[(2n + )(n + ) (n )(2n )] = 4n[2n 2 + 2n + n + (2n 2 n 2n + )] = 4n(6n) = 24n 2 Sedaj lahko vstavimo α n v formulo (5): + + = α α 2 α 3 α 4 α + α 2 α + α 3 α 2 + α 4 α 3 +, in dobimo 4 n= α 2 ( ) n ( 2n(2n + )(2n + 2) = 4 (2 3 4) 2 (4 5 6) 2 ) 2 3 4+ 24 2 2 + 24 3 2 + α 2 2 = (2 3 4) 2 (4 5 6) 2 2 3+ 24 2 2 + 2 4 3 2 + α 2 3 27
Zato je π = 3 + (2 3 4) 2 (4 5 6) 2 6+ 24 2 2 + 24 3 2 + (2(n )(2n )(2n)) 2 + 24 n 2 +, nato uporabimo še transformacijsko pravilo iz Izreka 2: b b 2 a + a 2 + + b n a n + = ρ b ρ a + Če ρ = in ρ n = za n 2 vidimo, da 4n2 ρ ρ 2 b 2 ρ 2 a 2 + + ρ n ρ n b n ρ n a n + ρ n ρ n b n ρ n a n = 4(n ) 2 (2(n )(2n )(2n))2 4n2 24 n2 4n2 Torej π = 3 + 2 3 2 5 2 7 2 6 + 6 + 6 + 6 + (2n ) 2 + 6 + oziroma, če zapišemo malo drugače = (2n )2 6 π = 3 + 6 + 6 + 2 3 2 5 2 6 + 72 6 + (2) 28
6 VERIŽNI ULOMKI IN ŠTEVILO e Pokazali bomo še en lep primer zapisa števila s pomočjo verižnih ulomkov, in sicer števila e Uporabili bomo literaturo [] in [6] Zapišimo obratno vrednost števila e s pomočjo trditve 5, torej e v obliki vrste: e = e = ( ) 2 n=0 n! = + 2 2 3 +, torej je e = e e = 2 + 2 3 2 3 4 + Če vstavimo α k = k v enačbo (7) iz Izreka 42, ki pravi: + = α α 2 α α α 2 α α 2 α 3 α + α 2 + α 3 + α n + α n +, potem dobimo e = 2 3 e + + 2 + 3 +, oziroma e = e + 2 + 2 + 3 3 + To preoblikujemo v izraz za e Ulomek obrnemo, kot smo zapisali v Trditvi 5, odštejemo na obeh straneh, da dobimo e e = + 2 + 2 + 3 3 + Nato zopet obrnemo ulomek, da dobimo e = + 2 + = e = 3 + 29 2 3 4 4 + 5 + 5 + 2 2 + 3 3 +
Na koncu prištejemo na obeh straneh in dobimo neverjetno lep izraz oziroma v krajšem zapisu 2 e = 2 + 3 2 + 4 3 + 4 + 5 5 + e = 2 + 2 3 4 5 2+ 3+ 4+ 5+ (3) 30
7 ZAKLJUČEK V začetku diplomskega dela se seznanimo s kratko zgodovino verižnih ulomkov in vidimo, da se prvi zametki pojavijo že pred našim štetjem Razvijali so se vrsto let in se tako spremenili v pravo teorijo Podrobnejšega vpogleda v zgodovino se nismo lotili, saj je podrobnejše raziskovanje zgodovine verižnih ulomkov preobsežno V nadaljevanju si nato ogledamo osnovne pojme verižnih ulomkov, njihov zapis, poleg tega se približamo tudi neskončnim verižnim ulomkom, saj je kar nekaj znanih števil moč pokazati z neskončnimi verižnimi ulomki in tako natančneje zapisati njihove približke Med pisanjem sem naletela tudi na podrobnejšo teorijo o iracionalnosti in transcedentnosti verižnih ulomkov, a sem jo izpustila, saj zahtevnost presega diplomsko delo Je pa moč precej globlje raziskati verižne ulomke, njihove lastnosti in povezanost z ostalimi teorijami matematike V prvem delu si ogledamo še osnove neskončnih vrst in si pobližje ogledamo nekaj znanih vrst, da si tako približamo izpeljavo nekaterih znanih vrst Osrednji del je namenjen spoznavanju povezav med verižnimi ulomki in neskončnimi vrstami z nekaterimi izreki in zgledi Osredotočila sem se predvsem na dva najpomembnejša izreka, saj sem lahko z njuno pomočjo raziskala prav vse zastavljene cilje, ki sem si jih zadala pred pisanjem naloge Na koncu se ustavimo še pri znanih dveh konstantah, ki ju srečamo na vsakem koraku Podrobneje si torej ogledamo število π in e, ter izpeljemo zapis z verižnimi ulomki Ti dve matematični konstanti sem si izbrala zato, ker mi je predvsem raziskovanje števila π izjemno zanimivo in privlačno, predvsem zaradi tega, ker se že tako dolgo let ukvarja z njim veliko matematikov in še dandanes nekaterim predstavlja izjemen izziv 3
Literatura [] I Vidav, Višja matematika, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 2008 [2] L Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol, Chapter 8, 748 [3] WB Jones, WJ Thorn, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Continued fractions, Cambridge University Press, 984 [4] HS Wall, Analytic theory of continued fractions, New York, Van Nostrand, 948 [5] J Grasselli, Diofantske enačbe, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, 984 [6] Članek o verižnih ulomkih Dostopno na: http://wwwmathbinghamtonedu/dikran/478/ch7pdf (24204) [7] Splošne informacije o verižnih ulomkih Dostopno na: http://slwikipediaorg/wiki/veri%c5%beni ulomek (38204) [8] Prispevek o vrstah Dostopno preko: http://ucilnicafmfuni-ljsi/mod/resource/viewphp?id=94 (8204) [9] Zapiski predavanj o vrstah Dostopno preko: http://wwwfmfuni-ljsi/ hladnik/analiza/vrstepdf (8204) [0] Osnovne informacije o Taylorjevi vrsti Dostopno na: http://slwikipediaorg/wiki/taylorjeva vrsta (8204) 32