Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

Dùng phép vị tự quay để giải một số bài toán liên quan đến yếu tố cố định Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Mở đầu Tư tưởng của phương pháp này khá đơn giản như sau. Trong bài toán chứng minh điểm chuyển động trên một đường thẳng (đường tròn) cố định, giả sử ta tìm được một điểm cố định, một điểm Q chuyển động trên một đường thẳng (đường tròn) ω mà ta đã biết, sao cho Q có dạng không đổi. hi đó ta đặt (Q, ) = α, = k thì α và k Q đều là các hằng số. Như vậy phép vị tự quay tâm với góc quay α, tỉ số k được xác định. Qua phép vị tự quay S α,k : Q, ω ω. Do Q chuyển động trên ω nên chuyển động trên ω. Q 2 Q Q 1 2 1 hương pháp trên giúp chúng ta tìm ra đường cố định mà có thể không cần biết vị trí chính xác của nó. Nếu muốn tìm ra chính xác ω, chỉ cần cho yếu tố chuyển động của bài toán trùng vào hai vị trí đặc biệt (đối với đường thẳng), hoặc ba vị trí đặc biệt (đối với đường tròn). Ứng với mỗi vị trí đó lần lượt xác định được các vị trí của. 2 Ví dụ Sau đây ta xem xét một số ví dụ để minh họa cho phương pháp trên. ài 1. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác. Một điểm chuyển động trên. ẻ, lần lượt vuông góc với,. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. hứng minh rằng T chuyển động trên một đường thẳng cố định vuông góc với đường thẳng uler của tam giác. 1

T Lời giải. ẻ. iển nhiên cố định và (). Ta có =, =. Do, đều không đổi nên có dạng không đổi. Mặt khác, tam giác T cân tại T có T = 2 (180 ) = 360 4 = const nên T cũng có dạng không đổi. Suy ra hình gồm 4 điểm, T,, có dạng không đổi khi chuyển động. éo theo T có dạng không đổi. Đặt (, T ) = α, T = k. Xét phép vị tự quay S α,k : T, d. Do chuyển động trên nên T chuyển động trên đường thẳng d cố định (ảnh của qua một phép vị tự quay xác định có tâm ). ây giờ ta sẽ xác định chính xác đường thẳng d. b M c M b c L T 1 T 2 d Ta cho trùng vào hai vị trí đặc biệt là và. Ứng với hai vị trí này thu được hai điểm T 1, T 2. 2

Gọi b, c lần lượt là chân đường cao kẻ từ, của tam giác. M b, M c lần lượt là trung điểm,. hi đó T 1, T 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác M c b, M b c. Gọi, lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta sẽ chứng minh là trục đẳng phương của (T 1 ), (T 2 ). Thật vậy, hiển nhiên /(T1 ) = b = c = /(2 ). Gọi L là giao điểm thứ hai khác b của (T 1 ) với, là giao điểm thứ hai khác c của (T 2 ) với. Ta có LM c = L b = 90. Tương tự M b = 90. Như vậy M b giao LM c tại. Do tứ giác M c M b L nội tiếp đường tròn đường kính L nên /(T1 ) = M c L = M b = /(2 ). Vậy là trục đẳng phương của (T 1 ) và (T 2 ). Suy ra T 1 T 2 hay d. Sau đây chúng ta xem xét một bài toán khác khá giống bài 1. ài 2. (IM Shortlist 2016) ho tam giác. Đường cao D, M là trung điểm. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng uler của tam giác. Một đường tròn ω bất kì có tâm S, đi qua, và cắt, lần lượt tại X, Y. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SXY. hứng minh rằng D = M. S Y N X T M D Lời giải. Gọi, lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi T là giao điểm thứ hai của ω với thì T X, T Y. ài toán được phát biểu lại như sau. ho tam giác. Đường cao D, M là trung điểm. T là một điểm chuyển động trên đường thẳng uler của tam giác. ẻ X, Y lần lượt vuông góc với,. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SXY. hứng minh rằng chuyển động trên trung trực của DM. Sau khi phát biểu lại bài 2, ta có thể thấy việc chứng minh chuyển động trên một đường thẳng d cố định được thực hiện hoàn toàn giống bài 1. ây giờ muốn xác định đường thẳng d chỉ cần cho T trùng vào hai vị trí đặc biệt. Ta chọn và. hi T trùng, X, Y lần lượt trùng với chân đường cao kẻ từ, của tam giác, S trùng với trung điểm. Suy ra () là đường tròn uler của tam giác. iển nhiên trong trường hợp này D = M. hi T trùng. Gọi N, lần lượt là trung điểm,. hi đó X, Y N. Rõ ràng nằm trên trung trực của N. Lại có NMD là hình thang cân nên cũng nằm trên trung trực của DM. Vậy d chính là trung trực của đoạn thẳng DM. 3

Nhận xét. ó thể sử dụng bài 2 để chứng minh bài 1 thông qua định lý sau. Định lý Zeeman. ho tam giác. Một đường thẳng d song song với đường thẳng uler của tam giác cắt, lần lượt tại,. hi đó đường thẳng uler của tam giác song song với. L ' ' S hứng minh. Ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp d trùng với đường thẳng uler của tam giác. Gọi, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác. Gọi là giao điểm thứ hai của () và ( ). cắt tại S. Đặt S = α. Do là điểm Miquel của tứ giác toàn phần.s nên là tâm của phép vị tự quay biến thành, thành. Suy ra = (, ) = α. Ta có và đối xứng nhau qua nên = α. ác đường, và, là các cặp đẳng giác trong nên = α. Lại có = 2 cos = nên hai tam giác và đồng dạng ngược hướng. Gọi đối xứng với qua thì và đồng dạng cùng hướng. Gọi L là giao của với thì L = = α. Suy ra L = S. Suy ra. iển nhiên nên. Ta thu được,, thẳng hàng. Vậy. Quay lại bài toán 1, rõ ràng có thể tịnh tiến đường thẳng d tới vị trí thỏa mãn là đường thẳng uler của tam giác. ài toán 2 khẳng định rằng tâm chuyển động trên đường thẳng vuông góc với. Theo định lý Zeeman, song song với đường thẳng uler của tam giác nên chuyển động trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng uler của tam giác. ài 3. (họn đội tuyển TN 2013) ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm. ẻ đường kính của (). là một điểm bất kì chuyển động trên đường tròn (). cắt tại, cắt tại. Gọi M là trung điểm. hứng minh rằng M chuyển động trên một đường thẳng cố định. 4

N M ' Lời giải. ách 1. Do hai đường tròn () và () đối xứng nhau qua nên = 180 = 180 =. Suy ra,,, đồng viên. Gọi là giao điểm thứ hai của ( ) với (). Do nên ta có = = =. Suy ra,, thẳng hàng. Vậy là giao điểm của với () hay cố định. Gọi N là trung điểm. Ta có là tâm vị tự quay của () và ( )., là hai cát tuyến đi qua giao điểm của hai đường tròn nên. Suy ra N M. Do các điểm, N, cố định nên tam giác M có dạng không đổi. Dễ thấy chuyển động trên đường thẳng cố định. Đặt (, N) = α, N = k thì phép vị tự quay tâm, góc quay α, tỉ số k được xác định. Xét S α,k : M, d. Vì chuyển động trên nên M chuyển động trên đường thẳng d cố định. Ngoài ra có thể giải bài toán trên theo cách khác sử dụng phép nghịch đảo như sau. ách 2 (Nguyễn Tiến Long, S TT chuyên ùng Vương, hú Thọ) Lời giải. Ta phát biểu và không chứng minh một bổ đề quen thuộc sau. ổ đề 1. (IM Shortlist 2009) ho tứ giác nội tiếp D. giao D tại. D giao tại Q. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của, D. hi đó Q tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MN. Trở lại bài toán. 5

M N ' Gọi N, lần lượt là trung điểm,. Ta thu được N,, M nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần.. Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác nội tiếp ta có tiếp xúc với (M). Từ đó N 2 = N NM. hép vị tự tâm tỉ số 1 2, 1 2 :, N, () ω. Suy ra, ω. Xét phép nghịch đảo tâm N, phương tích N 2 : IN N2 : M, ω d. Do chuyển động trên đường tròn ω cố định nên M chuyển động trên đường thẳng d cố định (ảnh của ω qua phép nghịch đảo tâm N, phương tích N 2 ). ài 4. (Trương Tuấn Nghĩa, S lớp 9, TS-TT chuyên à Nội-msterdam) ho tam giác. D là một điểm chuyển động trên. Đường thẳng qua D song song với cắt trung trực của tại. Đường thẳng qua D song song với cắt trung trực của tại. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác D. hứng minh rằng chuyển động trên một đường thẳng cố định. G D Lời giải. Gọi G là giao điểm khác của (, ) với. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác G. 6

Do là tâm vị tự quay của ( ) và ( ) nên. Lại có G và đối xứng nhau qua nên G. Suy ra G = = GD. Suy ra tứ giác GD nội tiếp. Suy ra D = G =. Từ đó D. Ta thu được là giao của đường thẳng qua D song song với và trung trực hay. Suy ra. Ta có tam giác cân tại có = 2 G = 2 không đổi. Vậy tam giác có dạng không đổi. Suy ra có dạng không đổi. Đặt (, ) = α, = k thì phép vị tự quay tâm, góc quay α, tỉ số k được xác định. Gọi d là trung trực của. Xét S α,k :, d d. Do chuyển động trên d nên chuyển động trên d cố định. ài 5. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (), trực tâm. là một điểm chuyển động trên trung trực của. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt, lần lượt tại,. Gọi T là giao của tiếp tuyến tại, của đường tròn ( ). Đường tròn đường kính cắt () tại khác. hứng minh rằng T chuyển động trên đường thẳng. T M Lời giải. Ta có =, = do đó tam giác có dạng không đổi. Dễ thấy tam giác T cũng có dạng không đổi nên tam giác T có dạng không đổi. Như vậy T là ảnh của qua một phép vị tự quay S xác định có tâm. Do chuyển động trên nên T chuyển động trên đường thẳng d là ảnh của qua phép vị tự quay S. ây giờ để xác định d ta sẽ chọn ra hai vị trí khác nhau của. hi thì,, trùng nhau. Do đó T trùng. hi M là trung điểm. 7

T N b c M Gọi N là trung điểm. Ta có = = nên là tiếp tuyến của ( ). Gọi là giao điểm thứ hai của (N, N) với ( ). Ta có ( ) và (N) trực giao nên N là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ N của ( ). Do M nên M, N,, thẳng hàng. Suy ra là tứ giác điều hòa. Gọi b, c lần lượt là hình chiếu vuông góc của, trên,. Ta có ( ) = 1. hiếu lên (N) ta thu được ( b c ) = 1. Mặt khác, dễ thấy ( b c ) = 1 nên. Suy ra T nằm trên. Vậy d. Nhận xét. Trong trường hợp M, ta có thể chứng minh T nằm trên M như sau. Gọi X là giao của với T. Ta có (XT ) = 1. Suy ra M(XT ) = 1. hiếu lên đường thẳng với chú ý rằng N là trung điểm, ta suy ra MT. ài 6. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác nội tiếp đường tròn () có, cố định, chuyển động trên cung. là một điểm cố định nằm trong (). ẻ, lần lượt vuông góc với,. Tiếp tuyến tại, của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại T. Tiếp tuyến tại, của () cắt nhau tại Q. hứng minh rằng T chuyển động trên một đường tròn cố định có tâm là trung điểm Q. 8

T S I Q Lời giải. (Trần Quang uy, S 48 TT chuyên TN) Gọi,, I lần lượt là trung điểm,, Q. Suy ra tam giác I là ảnh của tam giác Q qua phép vị tự tâm tỉ số 1 2. Suy ra I Q T. Gọi S là tâm của phép vị tự quay biến tam giác I thành tam giác T. Ta có (, ) = + = 2 +2 = 2 2 = 2. Do không đổi nên (, ) không đổi, suy ra S không đổi. S Mặt khác, S = 1 = 2 1 = không đổi. 2 Suy ra S là điểm cố định. Ta có IT IS = IS. Suy ra IT = = a. Do các điểm, S, I cố định và không đổi nên a S S không đổi. Vậy T chuyển động trên (I, a) cố định. Nhận xét. Nếu chỉ yêu cầu chứng minh T chuyển động trên một đường tròn cố định ta có thể làm như sau. Sau khi xác định được điểm S cố định, ta nhận thấy rằng do S là tâm vị tự quay của hai tam giác T và I nên S T SI. Do các điểm S,, I cố định nên tam giác S T có dạng không đổi. Đặt (S, SI) = α, SI = k thì phép vị tự quay tâm S với góc quay α, tỉ số k được xác định. S Xét S α,k S : T, ( ) ω. Do chuyển động trên đường tròn ( ) cố định nên T chuyển động trên ω cố định. 9

3 ài tập ài 7. (Trần Quang ùng) ho tam giác có trực tâm, M là trung điểm. là điểm chuyển động trên M. Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và. Tiếp tuyến tại và của ( ) cắt nhau tại T. hứng minh rằng T chuyển động trên đường trung trực của. ài 8. ho tam giác. là điểm bất kì chuyển động trên. Một đường tròn qua, cắt, lần lượt tại,. Qua kẻ các đường song song với,, cắt, tạo thành tứ giác XY ZT. hứng minh rằng tứ giác XY ZT nội tiếp đường tròn tâm và chuyển động trên một đường thẳng cố định. ài 9. ho tam giác. là điểm bất kì chuyển động trên. Trên hai cạnh, lần lượt lấy hai điểm, cố định. Qua kẻ đường song song với cắt tại, kẻ đường song song với cắt tại. Tiếp tuyến tại và của ( ) giao nhau tại T. hứng minh rằng T chuyển động trên một đường thẳng cố định. ài 10. ho tam giác nội tiếp (). D là một điểm chuyển động trên đường trung trực của. Qua D kẻ đường thẳng cắt, lần lượt tại, sao cho D là trung điểm của. Gọi X là giao của hai tiếp tuyến tại, của ( ). hứng minh rằng X chuyển động trên một đường thẳng song song với. Tài liệu [1] IM Shortlist 2016, IM fficial. https://www.imo-official.org/problems.aspx [2] Nguyễn Văn Linh, Note about problem 3 VM 2016, uclidean Geometry log. https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2016/01/10/note-about-problem-3-vmo-2016/ mail: Nguyenvanlinhkhtn@gmail.com 10