COMPLEMENTE de ALGEBRĂ

Dumtru Buşeg D Pu COMPLEMENTE de LGEBRĂ 6

Preţă estă rte, struurtă e tole, urde umte hestu de lgeră, re, deş u se roudeă suet de mult î drul lor de leţă de l ultăţle de mtemtă ş u um!, sut totuş orte mortte etru ee e umm de oe ultur mtemtă uu mtemt; de ş deumre de Comlemete de lgeră! Putul de strt dee! etru elorre este moogr este lurre [5] srsă de D Buşeg î olorre u I V Mte î erod âd rmul er roesor de mtemtă l Colegul ţol Crol I d Crov L elorre este ărţ s-u olost ş umte ărţ d lurărle [7-5] ulte de utor l Edtur Uverstr Uverstăţ d Crov De semee, lurre oţe ş reultte relute îtr-u ou otet d lurăr de reerţă le ltertur mtemte ve Blogr; âd umte reultte su demostrţ u ost lute d lterm d lte lurăr m meţot î mod eres lurul est Cttorulu u- sut eesre uoştţe vste de mtemtă etru stud estă lurre ; lu treue să- e totuş mlre oţule ş otţle de ă d mtemtă Ctolele -5 sut dedte reetăr rlelor mulţm de umere turle, îtreg, rţole, rele ş omlee îmreuă u rlele oerţ lgere e se dees e ele ş re sut orte des îtâlte î ore rmură mtemt De semee, se reerr legte de relţle turle de orde de e este mulţm Î Ctolul 6 se retă âtev r de reolvre rolemelor de mtemtă orte des îtâlte Este vor de rul lu Drhlet su l ute, el l duţe mtemte reum ş el l luder ş eluder Ctolul 7 oţe hestu legte de umte lse de uţ : etve, suretve, etve, re, mre, erode, ovee ş ove Ctolul 8 este dedt studulu uor egltăţ de ă orte des îtâlte î mtemtă tât ormele dsrete, r etru uele hr ş ormele otue ş tegrle Ctolul 9 oţe umte reultte de ă d teor gruurlor te Î lul tolulu se retă u tel de rterre gruurlor te u el mult 5 elemete Ctolul oţe omlemete de lgeră lră determţ, mtre, vetor ş vlor ror, et 5

estă lurre se dreseă î rmul râd studeţlor de l ultăţle de mtemtă ş ormtă, e utâd îsă utltă ş de roesor de mtemtă d îvăţămâtul reuverstr tât î drul roesulu de ereţore ât ş teme etru erurle ş oursurle de mtemtă le elevlor Ultmele două tole le lurăr oţ eerţ legte de teor reettă î rmele tole Ctolul oţe euţurle r Ctolul soluţle omlete le estor Mortte eerţlor seleţote u ăut oetul rolemelor rouse l trdţolele oursur de mtemtă le elevlor OM - Olmd ţolă de mtemtă su OIM - Olmd terţolă de mtemtă Este u motv î lus de osder ă estă lurre este orte utlă ş elevlor d lul lel î regătre oursurlor şolre re sut d e î e m dle, soltâd u um detertte î reolvre rolemelor ş o soldă ultură mtemtă! O mre rte d oţule luse î estă lurre oetul uu urs sel de lgeră ttult hr Comlemete de lgeră e re D Buşeg îl redă studeţlor d ul terml de l Fultte de de Mtemtă Iormtă Uverstăţ d Crov Î lul lurăr m reett deul utorlor rolemelor luse î lurre; dă m oms u ume e erem tt sue! Ne e o deosetă lăere să mulţumm Domlor roesor uverstr de l Fultte de Mtemtă ş Iormtă Uverstăţ d Buureşt Costt Năstăsesu Memru Coresodet l deme Româe ş Costt Nţă etru dsuţle urtte e tem este lurăr, dsuţ re u odus l strutur e î tul ormă Crov, 6 utor 6

CUPRINS Ctolul : Mulţme umerelor turle N Trlete Peo 9 dure umerelor turle Îmulţre umerelor turle Relţ turlă de orde de e N Ctolul : Ielul umerelor îtreg Z,, Costruţ gruulu Z, 6 Îmulţre umerelor îtreg 7 Relţ turlă de orde de e Z 8 Ctolul : Corul umerelor rţole Q,, Costruţ orulu Q l umerelor rţole Relţ turlă de orde de e Q Ctolul : Corul umerelor rele R,, Iele ordote Costruţ orulu R,, l umerelor rele 7 Ordore lu R 9 Mulţme umerelor rţole I 5 Numere lgere ş umere trsedete 6 Ctolul 5: Corul umerelor omlee C,, 5 Costruţ orulu C,, l umerelor omlee 5 Teorem udmetlă lgere D lemert-guss Ctolul 6 : Câtev r de reolvre rolemelor de mtemtă 6 Prul lu Drhlet 6 Prul duţe mtemte 6 Prul luder ş eluder 7 Ctolul 7 : Clse de uţ 7 Relţ uţole Fuţ etve suretve, etve 9 7 Fuţ re, mre, erode 56 7 Fuţ ovee ove 58 7

Ctolul 8 : Iegltăţ 8 Iegltăţ lgere lse 6 8 Form tegrlă uor egltăţ lse 67 Ctolul 9 : Gruur te 9 Prelmr Teorem lu Lgrge Euţ lselor 7 9 Produse drete de gruur 7 9 Teorem lu Cuh etru gruur te Gruul dedrl D de grd Strutur gruurlor te u elemete rm, 77 9 Gruur de ermutăr Teorem lu Cle Gruurle S ş 79 95 Teoremele lu Slow Crterre gruurlor u q elemete ş q umere rme dstte ş elemete 8 Ctolul : Comlemete de lgeră lră Determtul ue mtre Formulele Cuh-Bet ş Lle 88 Vetor ş vlor ror uu oertor lr Teorem Cle Hmlto Rdre l utere ue mtre ătrte 98 lţ le teoreme Cle Hmlto Dervt uu determt 5 Ctolul : Proleme rouse euţur 7 Ctolul : Soluţle rolemelor rouse 8 Blogre 7 Ide 8

Ctolul MULŢIME NUMERELOR NTURLE N Dumeeu ret umerele turle restul este mu omulu Trlete Peo L Kroeer Deţ Numm trlet Peo u trlet N,, s ude N este o mulţme evdă, N r s:n N este o uţe stel îât sut verte omele : PN P : sn ; P : s este o uţe etvă ; P : dă P N este o sumulţme stel îât P ş P s P, tu Î ele e urmeă, etăm omă esteţ uu trlet Peo ttorulu dor de roudre este hestu î reomdăm lurărle [7] ş [8] Lem Dă N,, s este u trlet Peo, tu N{} sn Demostrţe Dă otăm P{} sn, tu P N ş um P veră P, deduem ă PN Teorem Fe N,, s u trlet Peo r Nʹ, ʹ, s ʹ u lt trlet ormt dtr-o mulţme evdă Nʹ, u elemet ʹ Nʹ ş o uţe sʹ:nʹ Nʹ tu : Estă o uă uţe :N Nʹ stel îât ʹ, r dgrm N Nʹ s sʹ N Nʹ este omuttvă dă s sʹ ; Dă Nʹ, ʹ, sʹ este u trlet Peo, tu este eţe Demostrţe Petru ro esteţ lu, vom osder tote relţle R N Nʹ stel îât : r :, ʹ R r : Dă, ʹ R, tu s, sʹʹ R r r R vom ot terseţ estor relţ Vom demostr ă R este o relţe uţolă ş stel v uţ e v ve dret gr e R stel, d, ʹ R vom dedue ă ʹ r dă N ş ʹ Nʹ,, ʹ R, de s, sʹʹ R, dă, ssʹʹsʹ Petru demostr ă R este o relţe uţolă, vom demostr ă etru ore N, estă 9

ʹ Nʹ stel îât, ʹ R r dă etru N ş ʹ, ʹʹ Nʹ vem, ʹ R ş, ʹʹ R, tu ʹ ʹʹ Petru rm rte, e P{ N : estă ʹ Nʹ stel îât, ʹ R } N Cum, ʹ R deduem ă P Fe um P ş ʹ Nʹ stel îât, ʹ R D deţ lu R deduem ă s, sʹʹ R ; oţem ă s P ş um N,, s este trlet Peo, deduem ă PN Petru dou rte, e Q{ N : dă ʹ, ʹʹ N ʹ ş, ʹ,, ʹʹ R ʹ ʹʹ} N ş să demostrăm l îeut ă Q Î est ses, vom demostr ă dă, ʹ R tu ʹʹ Dă r surd, ʹ ʹ, tu vom osder relţ R R {, ʹ} N Nʹ D ʹ ʹ deduem ă, ʹ R r dă etru m Nʹ vem, m R, tu, m R ş, m, ʹ stel s, sʹm R ş um s, sʹm, ʹ ă s oorm u P, deduem ă s, sʹm R Cum R veră r ş r r treu R R surd ă R este lusă strt î R Petru ro ă Q, e ʹ, ʹʹ Nʹ stel îât, ʹ,, ʹʹ R tu, ţâd ot de ele stlte m sus, deduem ă ʹʹʹʹ, de Q Fe um Q ş ʹ N ʹ stel îât, ʹ R ; vom demostr ă dă s, ʹʹ R, tu ʹʹsʹʹ Să resuuem r surd ă ʹʹ sʹʹ ş să osderăm relţ R R {s, ʹʹ} Vom demostr ă R veră r ş r Îtr devăr,,ʹ R ă s r dă, ʹ R, tu, ʹ R ş, ʹ s, ʹʹ Deduem ă s, sʹʹ R ş dă resuuem s, sʹʹs, ʹʹ, tu s s, de De semee, sʹʹʹʹ tu, ʹ R ş, ʹ R r um Q ʹʹ, de ʹʹsʹʹsʹʹ, ee e otre tul ă ʹʹ sʹ Pr urmre, s, sʹʹ s, ʹʹ, ee e e rtă ă s, sʹʹ R, dă R stse r ş r D ou r treu R R surd! De s, ʹʹ R ʹʹsʹʹ stel ă dă r, s N ʹ ş s, r, s, s R, tu r s sʹʹ, dă s Q, de QN Petru ro utte lu, să resuuem ă m estă ʹ:N Nʹ stel îât ʹʹ ş sʹʹʹs etru ore N Cosderâd P{ N : ʹ} N, tu P r dă P dă ʹ, tu sʹsʹʹ sʹs s P ş tu PN, dă ʹ Să rătăm l îeut ă este etvă Petru est vom osder P{ N : dă m N ş m m} N ş să demostrăm l îeut ă P Petru est e m N stel îât m ş să demostrăm ă m Dă r surd m, tu ms u N r egltte m deve sʹ, de ude sʹʹ, ee e este surd deoree r oteă Nʹ, ʹ, sʹ este u trlet Peo Fe um P; etru demostr ă s P, e m N stel îât ms tu m ă î otrr r reult ă ʹssʹ, surd!, de oorm Leme, ms u N r egltte ms deve

ss sʹsʹ, dă ş um P, tu ş stel mss Petru demostr suretvtte lu să osderăm Pʹ{ʹ Nʹ: estă N stel îât ʹ } Nʹ Cum ʹ deduem ă ʹ Pʹ Fe um ʹ Pʹ ; tu estă N stel îât ʹ Deoree sʹʹsʹs, deduem ă sʹʹ Pʹ ş um trletul Nʹ, ʹ, sʹ este u trlet Peo, deduem ă PʹNʹ, dă este ş suretvă, de etvă Oservţe Coorm Teoreme uosută ş su umele de teorem de reureţă u trlet Peo este u âă l o eţe Î ele e urmeă vom lege u trlet Peo orere N,, s ş e re îl vom ; elemetele lu N le vom um umere turle Elemetul v urt umele de ero Notăm N* N \ {} Vom ot s, s, s, et, stel ă N{,,, } Fuţ s ortă umele de uţ suesor omele P P sut uosute su umele de omele lu Peo om P ortă umele de om duţe mtemte dure umerelor turle Teorem Estă o uă oerţe lgeră e N e re o vom ot r ş o vom um dure umerelor turle stel îât etru ore m, N să vem : : mm ; : smsm Demostrţe Să roăm l îeut utte ş etru est să resuuem ă m estă o oerţe lgeră e N stel îât sut verte ş Fe P{ N : m m, etru ore m N} N D deduem ă P r d deduem ă dă P, tu sms m sms m, ee e este devărt deoree s este etvă ş m resuus ă P De PN, dă ele două oerţ od Cosderăm u elemet m N e re îl ăm ş trletul N, m, s ; oorm Teoreme estă o uă uţe m :N N stel îât m m ş s m m s etru ore N Petru N dem m m tu m m m r sm m s s m s m Oservţe omele ortă umele de omele duăr umerelor turle Prooţ Petru ore m, N vem : ; : s m sm Demostrţe Fe P{m N: mm } N Dă î em e m, deduem ă, dă P Dă m P, dă mm, tu smsmsm, dă sm P, de PN log se roeă ş dou relţe

Prooţ Duletul N, este mood omuttv u rorette de smlre Demostrţe D ele stlte teror, deduem ă este elemet eutru etru dure umerelor turle Petru ro omuttvtte duăr să osderăm P{ N : mm etru ore m N} N Evdet P Dă P, dă mm etru ore m N, tu smms smsm mm, ee e este devărt Deduem ă PN, dă dure umerelor turle este omuttvă Petru demostr sotvtte duăr umerelor turle, să osderăm P { N: mm etru ore m, N} N Evdet P Fe um P tu smsmsm r smsm ş um mm deduem ă s P, dă PN Petru rte lă e P{ N : dă m m} N Evdet P ş să resuuem ă P tu mss sms m m ă P, dă s P ş stel d ou PN Oservţe Dă N, tu sss Prooţ Dă m, N ş m, tu m Demostrţe Dă m su, tu estă, q N stel îât m s su sq Î rmul, oţem ă m s s surd! ş log î l dole De m Îmulţre umerelor turle Prooţ Estă o uă oerţe lgeră e N ottă ş umtă îmulţre umerelor turle stel îât etru ore m, N să vem : I : m ; I : m s mm Demostrţe Fe m N t ; osderâd trletul N,, m, ude m :N N este detă r m m etru ore N, tu oorm Teoreme estă o uă uţe g m :N N stel îât g m ş m g m g m s Dem m g m ş stel m g m r m sg m s m g m m m m m Utte oerţe de îmulţre u roretăţle I ş I se roeă î ul duăr Oservţe I ş I ortă umele de omele îmulţr umerelor turle Î ele e urmeă, dă u este erol de oue, vom sre m m etru m, N log î ul duăr umerelor turle, se demostreă ă etru orre umere turle m, vem : I : m ;

I : s m mm Lem Îmulţre umerelor turle este dstrutvă l stâg ţă de dure umerelor turle stel PN Demostrţe Fe P{ N : m mm etru orre m, N} N Ţâd ot de ş I deduem ă P Să resuuem um ă P ş e m, N vem msmsmmmmmmms, dă s P ş Prooţ Duletul N, este mood omuttv Demostrţe Petru ro sotvtte îmulţr e P{ N : m m etru orre m, N} N Î mod evdet, P Să resuuem um ă P ş să demostrăm ă s P vem msmm r msmmm oorm Leme, de ude egltte msms, dă s P, de PN Deoree etru ore N vem s r s deduem ă este elemetul eutru l îmulţr umerelor turle Petru ro omuttvtte îmulţr umerelor turle e P{ N : mm etru ore m N} N Î mod evdet P ş să resuuem ă N tu etru ore m N, s m mm r m smm, de ude s mm s, dă s P, de PN Relţ turlă de orde de e N Deţ Petru m, N vom sre m ş vom sue ă m este m m su egl deât su ă este m mre su egl deât m dă estă N stel îât m ; ovem î est să otăm -m Dă N*, tu m ş m ; î est vom sre m< ş vom sue ă m este strt m m deât Lem Dă m, N ş m<, tu sm Demostrţe Deoree m<, estă N* stel îât m Cum N*, estă N stel îât s oorm Leme tu d m deduem ă ms sm sm sm Corolr Petru ore N, <s Prooţ Duletul N, este o mulţme totl ordotă Demostrţe Deoree etru ore N, deduem ă, dă relţ este relevă Fe um m, N stel îât m ş m tu estă, q N stel îât m ş qm Deduem ă q, de ude q oorm Prooţe, r de q oorm Prooţe, dă m, de relţ este tsmetră

Fe um m,, N stel îât m ş tu estă r, s N stel îât mr ş s Deduem medt ă mrs, dă m, de relţ este ş trtvă, dă este o relţe de orde e N Petru ro ă orde de e N este totlă, e m N t r P m { N: m su m } N Î mod evdet P m ş e P m Dă m, tu um <s vem m<s, dă s P m Dă <m, tu oorm Leme vem sm ş d ou s P m Dă m<, um <s vem ă m<s ş d ou s P m Reultă ă P m N ş um m este orere deduem ă orde de e N este totlă Oservţe Relţ de orde detă teror e N ortă umele de orde turlă de e N Teorem 5 Duletul N, este o mulţme e ordotă Demostrţe Treue să demostrăm ă ore sumulţme evdă N re u el m m elemet Petru est e: P{ N: etru ore } N Evdet P Dă etru ore P r reult s P, tu m dedue ă PN stel ă legâd u tu P, de s P Î rtulr r reult ă s, surd! Deduem ă P N, dă estă P stel îât s P Vom demostr ă ş ă este el m m elemet l lu Dă, tu etru ore vem <, de ude s oorm Leme, dă s P surd!, de ş um P deduem ă etru ore, dă este el m m elemet l lu Corolr 6 Ore şr desresător de umere turle este stţor Demostrţe Fe N u şr desresător de umere turle r { : N} N Coorm Teoreme 5 mulţme re u el m m elemet ; tu etru ore m vem m ş um m deduem ă m, dă şrul N este stţor Corolr 7 Î N u utem găs u şr strt desresător ş t de umere turle Corolr 8 Fe P N stel îât etru ore N < P P tu PN Demostrţe Fe N \ P N ş să resuuem r surd ă Coorm Teoreme 5 mulţme v ve u el m m elemet Cum etru N, < P, oorm otee PN, dă P ş stel surd! De, de ude PN Corolr 9 Teorem îmărţr u rest în Petru orre două umere turle m, u, estă ş sut ue două umere turle ş r stel îât m r ş r <

Demostrţe Fe {s N: estă N stel îât ms} N Deoree m mm deduem ă m, dă Coorm Teoreme 5 mulţme osedă u elemet mml r tu estă N stel îât m r ş să demostrăm ă r< Dă r surd r, tu oorm Prooţe, r, dă estă u N stel îât ru Deduem ă mruu, dă u, de ru ş um ur deduem ă ur, dă surd! Petru demostr utte lu ş r să resuuem ă mr ʹrʹ, u r, rʹ< ş să rătăm ă ʹ ş rrʹ Să resuuem de eemlu ă <ʹ, dă uʹ u u N* tu mʹrʹurʹurʹ, de rurʹ > surd! De ʹ ş deduem medt ă ş rrʹ Oservţe Numărul ortă umele de âtul îmărţr lu m l r r se e restul este îmărţr Teorem Fe m,, m,, N stel îât m ş m tu: mm ş mm m ş m Demostrţe Putem sre mr ş m r, u r, r N D mm rr deduem ă mm De semee mrm r mm mr rm rr ş um mr rm rr N deduem ă mm Se dedue ş ţâd ot de reum ş de regulle de lul d N stlte m îte 5

Ctolul INELUL NUMERELOR ÎNTREGI Z,, Costruţ gruulu Z, Î vedere ostrur mulţm umerelor îtreg Z, vom reet l îeut Teorem lu Mlţev de suudre uu mood omuttv u rorette de smlre îtr-u gru omuttv urmâd r rtulrre l ul moodulu N, să oţem gruul dtv Z, Teorem Mlţev Fe M, u mood omuttv u rorette de smlre tu estă u gru omuttv GM ş u morsm etv de moo M :M GM e veră următore rorette de uversltte : Petru ore gru omuttv G ş ore morsm de moo :M G estă u u morsm de gruur ʹ:GM G stel îât dgrm M M GM ʹ G este omuttvă dă ʹ M Demostrţe Pe mulţme MʹM M dem relţ, ʹ, ʹ ʹʹ ş să roăm ă este o ehvleţă e Mʹ omtlă u strutur de mood lu Mʹ dă este o ogrueţă e moodul rodus MʹM M Î mod evdet, relţ este relevă ş smetră Dă, ʹ, ʹ ş ʹ, ʹ ʹʹ, ʹʹ tu ʹʹ ş ʹʹʹʹʹʹ, de ude ʹʹʹʹʹʹʹʹ, de ʹʹ ʹʹ m smlt r ʹʹ, dă, ʹʹ, ʹʹ, de relţ este ş trtvă, de ude olu ă este o ehvleţă e Mʹ Fe um,, ʹ, ʹ,,, ʹ, ʹ Mʹ stel îât,, ş ʹ, ʹ ʹ, ʹ ş să roăm ă ş ʹ, ʹ ʹ, ʹ vem de ş ʹʹʹʹ, de ude ʹʹʹʹ, dă ʹ, ʹ ʹ, ʹ, dă relţ este o ogrueţă e moodul rodus Mʹ î re remtm ă oerţ de omuere se deeşte r, ʹ, ʹʹ,ʹ Vom osder moodul ât GMMʹ/ r etru, Mʹ vom ot r [, ] ls s de ehvleţă î GM Dtortă tulu ă relţ este o ogrueţă e Mʹ deduem medt ă GM deve î mod o mood omuttv, ded etru [, ], [ʹ, ʹ] GM, [, ] [ʹ, ʹ][ʹ, ʹ] elemetul eutru l lu GM v e GM [e, e], e d elemetul eutru l lu M Deoree etru [, ] GM, [, ] [, ][, ][e, e] deduem ă [, ] [, ], dă GM este gru omuttv Dem M :M GM r M [, e] etru ore M Petru, M vem M M [, e] [, e][, e] M dă M este morsm de moo Dă M M, tu [, e][, e] ee, dă M este hr morsm etv de moo de 6

Să rătăm um ă duletul GM, M veră rorette de uversltte d euţ Petru est e G, u gru omuttv orere ş :M G u morsm de moo Petru [, ] GM, dem ʹ[, ] Oservăm ă dă [, ][ʹ, ʹ], tu ʹʹ, de ʹʹ ʹ ʹ -, dă ʹ este oret detă Să roăm um ă ʹ este morsm de gruur vem ʹ[, ] [ʹ, ʹ]ʹ[ʹ, ʹ] ʹ [ʹ] - ʹ [ ʹ] - [] ʹ [ʹ] - ʹ[, ] ʹ[ʹ, ʹ] Petru M vem ʹ M ʹ M ʹ[, e] [e] -, de ude olu ă ʹ M Petru ro utte lu ʹ u rorette d euţ să resuuem ă m estă u morsm de gruur ʹʹ:GM G stel îât ʹʹ M tu, etru [, ] GM vem [, ][, e] [e, ][, e] [, e] -, de ude ʹʹ[, ]ʹʹ[, e] [, e] ʹʹ M M - ʹʹ M ʹʹ M - ʹ[, ], dă ʹʹʹ Oservţ Dă este u morsm etv de gruur, tu ş ʹ este morsm etv de gruur Îtr-devăr, dă [, ] GM ş ʹ[, ]e G, tu e G, de, de ude, dă [, ][, ][e, e] e GM Dă e mulţme duletelor G, u G gru el ş :M G morsm etv de moo dem relţ G, Gʹ, ʹ estă h:g Gʹ stel îât h este morsm etv de gruur ş h ʹ, tu se veră medt ă relţ de m sus este o relţe de orde r duletul GM, M d Teorem lu Mlţev este el m m elemet ţă de estă relţe de orde Deţ Cosderăm moodul N, e re rorette de smlre oorm Prooţe ş urmâd teh dtă de Teorem lu Mlţev, mulţme suetă gruulu dtv GN, se oteă r Z ş ortă umele de mulţme umerelor îtreg Ţâd ot de tul ă N:N Z, N[, ] etru ore N este morsm etv de moo, vom det ere umăr turl N r elemetul îtreg [, ] stel ă N v rvtă î oture sumulţme lu Z Fe um [m, ] Z Dă m, tu Dă m<, tu estă N* stel îât m î est ovem să otăm -m ş stel m-m r [, ]-[, ] se detă u umărul îtreg r dă <m, tu estă q N* stel îât qm ş stel [q, ] detâdu-se u umărul turl q Ţâd ot de este utem sre e Z su orm Z-N* N ude -N*{- : N*}su Z{, ±, ±, } Vom ot Z* Z \ {} Îmulţre umerelor îtreg Lem Fe,,, t, ʹ, ʹ, ʹ, tʹ N stel îât [, ][ʹ, ʹ] ş [, t][ʹ, tʹ] tu [t, t][ʹʹʹtʹ, ʹtʹʹʹ] 7

Demostrţe D oteă vem ʹʹ ş tʹʹt stel ă [t, t][ʹʹʹtʹ, ʹtʹʹʹ] tʹtʹʹʹtʹʹʹtʹ -tt-ʹʹ-tʹʹtʹ-ʹ --tʹ-ʹʹ-tʹ ee e este devărt deoree -ʹ-ʹ ş -tʹ-tʹ Fe um α[, ] ş β[, t] două umere îtreg Ded α β[t, t], oorm Leme deduem ă estă deţe este oretă Prooţ Z,, este domeu de tegrtte Demostrţe Coorm elor de m îte Z, este gru omuttv Să demostrăm um ă Z, este mood omuttv r etru est e α[, ], αʹ[ʹ, ʹ], αʹʹ[ʹʹ, ʹʹ] tre elemete orere d Z tu : ααʹαʹʹ[,][ʹʹʹʹʹʹ,ʹʹʹʹʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ] r ααʹαʹʹ[ʹʹ, ʹʹ][ʹʹ, ʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ], de ude deduem ă ααʹαʹʹααʹαʹʹ dă îmulţre umerelor îtreg este sotvă Î mod evdet, ααʹαʹα deoree îmulţre umerelor turle este omuttvă, dă îmulţre umerelor îtreg este omuttvă Deoree α[, ][, ][, ][, ]α, deduem ă elemetul eutru etru îmulţre umerelor îtreg este [, ] Să rătăm um ă îmulţre umerelor îtreg este dstrutvă ţă de dure umerelor îtreg Îtr devăr, ααʹαʹʹ [, ][ʹʹʹ, ʹʹʹ] [ ʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹ ʹʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹ] r ααʹααʹʹ [, ][ʹ,ʹ][, ] [ʹʹ, ʹʹ] [ʹʹ, ʹʹ][ʹʹʹʹ, ʹʹʹʹ] [ʹʹʹʹʹʹ, ʹʹʹʹʹʹ] de ude se oservă ă ααʹαʹʹ ααʹααʹʹ m rot âă um ă Z,, este u el omuttv utr Petru răt ă elul Z u re dvor lu ero, e ααʹ[, ] u α tu ʹʹʹʹ, de ude -ʹ-ʹ Cum α dă - reută ă ʹ-ʹ ʹʹ αʹ Relţ de orde turlă de e Z Deţ Petru, Z dem relţ r - N Teorem Duletul Z, este mulţme totl ordotă Demostrţe Fe,, Z ; deoree - N deduem ă Dă ş tu estă m, N stel îât -m ş -, de ude m ş de m, dă 8

Dă ş, tu estă m, N stel îât m ş Cum m deduem ă, dă Z, este o mulţme ordotă Ftul ă ordore de e Z este totlă reultă d ee ă Z-N* N r -N* N Oservţe D elul î re m det relţ de orde e Z deduem ă N{ Z : } r -N{ Z : } Prooţ Fe,, Z stel îât tu - - dă tu dă tu Demostrţe D deduem ă - N ş um -- N reultă ă - Cum - N ş N vem - N dă - N, de Cum N ş - N deduem ă ş -- N r um --- N reultă ă 9

Ctolul CORPUL NUMERELOR RŢIONLE Q,, Costruţ orulu Q l umerelor rţole Ş î ul ostruţe orulu Q l umerelor rţole vom dot teh olostă î ul ostruţe elulu Z l umerelor îtreg î sesul ă vom reet hestue îtr-u otet m geerl, urmâd rtr-o rtulrre l ul domeulu de tegrtte Z,, să oţem orul Q Fe,, u domeu de tegrtte dă u el utr ş omuttv ără dvor lu ero Deţ Numm sstem multltv î, ore sumulţme S stel îât S, S, r dă, S tu ş S Eemle S*\{} este u sstem multltv l lu Dă este u del rm, tu S \ este de semee u sstem multltv l lu Dă,,, tu S { : Z} este u sstem multltv l lu Petru u sstem multltv S să osderăm mulţme S{, s :, s S} r e est relţ ră detă r,s ʹ,sʹ sʹʹs C ş î ul Teoreme lu Mlţev se demostreă l ă este o ehvleţă e S Să otăm [S - ] S / r etru, s S vom ot r s ls s de ehvleţă î [S - ] Lem Fe,, ʹ, ʹ ş s, t, sʹ, tʹ S stel îât s s t t tu ş ss tt ss tt Demostrţe vem ă ts ş ʹtʹʹsʹ stel ă ş s t s t s s t t ss tt sʹsʹttʹtʹʹtssʹ sʹttʹsʹttʹtʹssʹʹtssʹ tsʹtʹ-ssʹtʹtsʹsʹ-tsʹtʹ t-ssʹtʹ ʹsʹ-ʹtʹts, ee e este devărt ă t-sʹsʹ-ʹtʹ Îmulţd memru u memru egltăţle ts ş ʹtʹʹsʹ oţem ă tʹtʹsʹsʹ ss tt C u orolr l Leme deduem ă dă etru, [S - ] dem s t t s ş, tu ele două oerţ sut oret dete s t st s t st

Prooţ [S - ],, este el omuttv utr î re { s :, s S} U[S - ] r S : [S - ], S etru ore este u morsm etv de ele e veră următore rorette de uversltte : Petru ore el omuttv utr B ş ore morsm de ele : B stel îât S UB, estă u u morsm de ele ʹ: [S - ] B stel îât ʹ S, ude r UB m ott mulţme elemetelor versle le lu B Demostrţe Deoree sut smle lule îtr-u el omuttv, lăsăm e sem ttorulu verre tulu ă [S - ],, este el omuttv utr s s Dă s S, tu elemetul eutru l lu [S - ] ţă de oerţ de îmulţre este stel ă dă, s S, tu U[S ] r s s s deoree s s Fe um B u el omuttv utr ş : B u morsm de ele s s etru re S UB Petru [S - ], u ş s S, srd s s s s s re roretăţle d euţ s S S, ded s, se veră medt ă ʹ Oservţe D Prooţ deduem ă dă este u domeu de tegrtte ş S*\{}, tu [S - ] este u or omuttv, umt orul totl de rţ l lu Deţ Corul totl de rţ l elulu Z,, se oteă r Q ş ortă umele de orul umerelor rţole Elemetele lu Q se m umes ş rţ Dă q Q tu se umeşte umărătorul rţe r q umtorul său Deoree Z:Z Q, Z, etru ore Z este î rtulr uţe etvă, utem să îl rvm e Z o sumulţme lu Q, dă Z Q Pr urmre, N Z Q Relţ de orde turlă de e Q Fe Q, dă q u Z r q Z* Dă q<, tu q> ş um utem resuue ă ore umăr Q se sre su orm q, u q> dă q N* q q Deţ Fe, Q, q, s r u q, s N* Vom de e Q relţ s-qr Prooţ Q, este o mulţme totl ordotă Demostrţe Relevtte este medtă Petru tsmetre, să resuuem ă ş tu s-qr ş qr-s, de ude s-qr, dă sqr de

t Petru trtvtte, să m legem u u N* stel îât ş, dă u s-qr ş ur-st Cum q, s, u N* deduem ă s-qru ş ur-stq, dă us-qru ş qru-stq, de ude us-stq su-tq, dă u - tq, de Ftul ă orde de e Q este totlă reultă d ee ă orde turlă de e Z este totlă Oservţe Relţ de orde de e Q detă m îte ortă umele de orde turlă de e Q Î oture vom ot Q { Q : } r r Q *{ Q : >}

Ctolul CORPUL NUMERELOR RELE R,, Iele ordote Relţle de orde de e elul Z ş orul Q se îsru îtr-u otet m geerl e re îl vom reet î ele e urmeă ş re e v de olos ş etru orde turlă de e mulţme umerelor rele R Deţ Dă este u domeu de tegrtte dă u el omuttv utr ără dvor lu ero, r ordore e îţelegem o sumulţme evdă P stel îât : Ord : Petru ore vem î mod elusv P su su - P Ord : Dă, P tu, P Î est vom sue ă elul este ordot de P r P este mulţme elemetelor otve le lu Să resuuem um ă este ordot de P Cum ş - deduem ă P dă este otv Ţâd ot de Ord deduem dutv ă etru ore N*, este otv de or U elemet,, P dă - P se e egtv Dă, sut egtve, tu este otv ă, - P r - P log deduem ă dă este egtv r este otv, tu este egtv ş ă etru ore d, este otv Dă este or, um etru otv vem - deduem ă ş - este otv Fe um ʹ u suel r PʹP ʹ Se veră medt ă ʹ este ordot de Pʹ Pʹse v um ordore dusă de P e ʹ M geerl, e ʹ, două ele ordote r Pʹ, P resetv mulţmle elemetelor otve d ʹ ş Dă :ʹ este u morsm etv de ele, vom sue ă ăstreă orde dă etru ore Pʹ deduem ă P ehvlet u e ă Pʹ - P Fe um, Dem < su > r - P stel > îsemă P r < îsemă ă P suem tu ă este egtv Se veră medt ă dă,,, tu : IN : Dă < ş <, tu < IN : Dă < ş >, tu < IN : Dă < tu < IN : Dă este or, >, > ş < tu - < Dă, dem r < su Fe um u domeu de tegrtte ordot de P r K orul său totl de rţ

Dă P K { K, > }, tu PK deeşte o ordore e K Îtr-devăr, dă K,, tu utem resuue ă > deoree Dă >, tu P K Dă > tu - PK Nu utem ve smult,- P K ă srd ş - d, u,,, d ş,,, d >, tu Ord de d, surd ă P ş d P De PK stse d d Cum r, d > ş d d stse ş Ord r d, d> deduem ă P K Oservţe lâd ele de m sus lu Q re este orul totl de rţ l domeulu de tegrtte Z oţem de t ee e m stlt î legătură u ordore turlă de e Q de l Ctolul evdet N* este o ordore e Z Fe um u el ordot Petru dem :, dă -, dă < ortă umele de vlore solută su modulul lu Lem Petru ore, este uul elemet stel îât ş Demostrţe Să oservăm ă ş etru ore Pe de ltă rte, dă ş > tu estă el mult două elemete stel îât ă olomul X [X] re el mult două rădă Dă w, tu w ş w w, de estă el mult u otv stel îât ş u est lem este rotă Deţ Petru, dem elemetul stel îât evdet, dă u stel de estă! d el elemet ş Se veră um uşor ă dă etru,, Evdet, etru ore,, estă, tu estă Lem Dă este u el ordot, tu V : Petru ore,, r > dă V : Petru ore,, V : Petru ore,, Demostrţe Cum V ş V sut medte, să roăm e V :, de ude

Fe um K u or omuttv ordot etru re estă u morsm etv de orur :Q K de K v de rterstă Se rtă medt ă dă Z, tu K K, dă de or, dă K K, dă < de or M mult, dă Z*, um î Q vem deduem ă K, de ude m m m m m î K tu dă Q vem K Reultă ă este u determt ; vom det tu e Q u u suor l lu K se v um suudre oă lu Q î K m m Dă, Q u, ʹ> ş, tu mʹ-mʹ, de mʹ-mʹ, r m K -, mʹʹ K - D mʹ-mʹ ş K deduem ă mʹ-mʹ K mʹ K -mʹ K mʹ K mʹ K, de ude mʹʹ K - m K - Oţem stel următorul reultt : Teorem 5 Dă K este u or ordot de rterstă, tu m suudre oă lu Q î K, :Q K, m K, u > ăstreă orde Î oture r K vom desem u or omuttv ordot de rterstă r u elemet Z îl vom det u K Deţ 6 U şr de elemete d K se e şr Cuh dă etru ore ɛ K, ɛ>, estă ɛ N stel îât etru ore m, N, m, ɛ să vem m <ɛ Vom sue desre şrul ă este overget l u elemet K, dă etru ore ɛ K, ɛ>, estă ɛ N stel îât etru ore ɛ să vem <ɛ Oservţ Să resuuem ă şrul este overget l două elemete, K tu etru ɛ K, ɛ> ş N* suet de mre vem : - - - - ɛ r um ɛ este orere deduem ă - ă dă -, tu - > ş m ve etru ɛ -, - < -, surd! Dă este overget l u elemet K, vom sre lm 5

Ore şr overget este şr Cuh Deţ 7 Corul ordot K î re ore şr Cuh este overget se e omlet Deţ 8 Corul ordot K se umeşte rhmede dă etru ore K, estă N stel îât K Teorem 9 Corul Q l umerelor rţole u este omlet Demostrţe Îtr-devăr, să osderăm şrul de umere rţole dt r ş etru ore Pr duţe mtemtă reltvă l se roeă ă <, ş ă este resător ă ă el este şr Cuh > Dă est şr r ve lmt l Q, tu u eestte r de l l, de ude l, l surd ă l Q De u re lmtă î Q, dă orul Q u este omlet Petru K or ordot ş S K, r mort l lu S î K îţelegem u elemet K stel îât, etru ore S Pr mrge sueroră lu S, ottă r sus îţelegem el m m mort l lu S d K evdet, dă est estă Teorem Fe K u or rhmede omlet tu ore sumulţme evdă S lu K e dmte u mort re mrge sueroră Demostrţe Petru N, e T { Z : etru ore S } tu T este mărgtă de ore elemet de orm u S ş este evdă deoree dă este u mort l lu S, tu ore îtreg stel îât este î T deoree K este rhmede Fe el m m elemet l lu T tu estă S stel îât -<, de ude < Să otăm ş să demostrăm ă şrul N este Cuh Petru est e m, N stel îât m m tu m < m m ă î m m otrr,, de m este mort etru S, ee e este surd ă m m este m mre tu m de ude deduem ă N este Cuh m Fe w lm ş să demostrăm l îeut ă w este u mort etru S Să resuuem r surd ă estă S stel îât w< Estă tu N w w w stel îât w stel ă - -ww- -w- w- -w- > de > otrâd tul ă este mort l lu S Să demostrăm um ă w su S 6

w u Fe u<w; tu estă N suet de mre stel îât < Putem lege suet de mre stel îât w w u ă lm w w u w u w u stel, u w-u - -w w-u- - -w w u >, de u< dă u u este mort, surd! Costruţ orulu R,, l umerelor rele Vom reet ostruţ orulu umerelor rele u utorul şrurlor Cuh de umere rţole dete m îte îtr-u otet m geerl Deţ U şr de umere rţole γ se e şr ul dă etru ore ɛ Q, ɛ>, estă N stel îât etru ore, ɛ Dă α ş β sut două şrur de umere rţole, dem sum ş rodusul lor r αβ ş resetv αβ Lem Ore şr Cuh α de umere rţole este mărgt Demostrţe Estă N stel îât etru ore,, de ude legâd M m,, -, deduem ă M etru ore N Î ele e urmeă r CQ vom ot mulţme şrurlor Cuh de umere rţole Prooţ CQ,, este el utr omuttv Demostrţe Fe α, β,,, ş,, Să demostrăm l îeut ă αβ ş αβ sut d CQ Petru ɛ Q *, estă ɛʹ, ɛʹʹ N stel îât etru ore m, ɛʹ să vem m - < ε ş etru ore m, ɛʹʹ, m - < ε legâd ɛm ɛʹ, ɛʹʹ, deduem ă etru ore m, ɛ, m -, m - < ε, stel ă m m m - m - ε ε m - m - < ε, dă αβ CQ Petru ul rodusulu αβ vom ţe ot de Lem Coorm este, estă M, M Q * stel îât M ş M etru ore N Notâd Mm M, M ş legâd ɛ Q *, estă ɛʹ, ɛʹʹ N stel îât ε m, etru m, ɛʹ ş M ε m -, etru m, ɛʹʹ M stel, etru m, ɛ m ɛʹ, ɛʹʹ, vem m m m m - m - ε ε m m - m - M M ɛ, dă ş αβ CQ M M Î mod evdet, -α- CQ ş, CQ Deduem um medt ă CQ,, este el omuttv ş utr 7

Î oture, vom ot r NQ{ CQ : lm } ovem să umm elemetele lu NQ şrur ule Lem NQ este del l elulu CQ Demostrţe C ş î ul sume d rooţ reedetă, se demostreă medt ă dă α, β NQ, tu α-β NQ Fe um α CQ ş β NQ Coorm Leme estă M Q * stel îât M etru ore N Deoree β NQ etru ɛ Q *, estă ɛ N stel îât etru ore ɛ să vem M ε ε tu etru ɛ, M M NQ este del l elulu omuttv CQ ɛ, stel ă αβ NQ, dă Lem 5 Fe α CQ stel îât α NQ, α tu estă Q * ş N stel îât etru ore, Demostrţe Dă r surd lem u r devărtă, tu etru ɛ Q * estă o tte de umere turle < < stel îât ε < etru ore Cum α CQ, estă N stel îât etru ore m, să vem m ε Fe ; tu etru ore m, m m - ε ε m m ɛ, dă α NQ, surd! Teorem 6 CQ/NQ,, este or omuttv ε ş etru ore m,, Demostrţe Ftul ă CQ/NQ este el omuttv reultă d ee ă CQ este el omuttv r NQ este del î CQ Fe um α CQ stel îât α NQ ş α α NQ CQ / NQ Vom demostr ă estă β CQ/NQ stel îât α β, ude NQ remtm ă,, CQ Cum α NQ, oorm Leme 5 estă ɛ Q * ş N stel îât etru ore, ɛ Î rtulr, deduem ă etru, Fe β u, etru, etru Să rătăm ă β CQ ş ă α β Putem lege de Q * ş N stel îât etru ore, > ; de ude v reult ă 8

Petru ɛ Q * estă stel îât etru ore m, să vem tu etru ore m, vem m ɛ m m m ε ε, dă β CQ Cum αβ deră de um îtr-u umăr t de terme evetul etru deduem ă αβ- NQ, dă β α, de β α, dă CQ / NQ este or Deţ 7 Mulţme CQ/NQ se oteă r R ş ortă umele de mulţme umerelor rele Corul R,, ortă umele de orul umerelor rele Oservţe Deoree se roeă medt ă uţ Q :Q R, Q,, etru ore Q este morsm de orur de î rtulr uţe etvă utem rv e Q suor l lu R Elemetele d IR\Q se umere rţole Lem 8 Petru α CQ este vertă dor u d odţle : α NQ; Estă Q * stel îât etru suet de mre să vem ; Estă Q * stel îât etru suet de mre să vem - Demostrţe Evdet ş se elud rero Să resuuem um ă α NQ Coorm Leme 5 estă N ş Q * stel îât etru ore, stel ă dă > ş - dă < Să resuuem um ă > etru suet de mulţ ş m < etru suet de mulţ m Petru stel de ş m vem m > ee e otre tul ă α CQ De su î ses dsutv treue să ă lo Ordore lu R Fe P{α : α CQ ş veră d Lem 8} R Lem P este o ordore e R Demostrţe Coorm Leme 8 deduem ă P stse Ord Fe um α ş β CQ stel îât α, β P Estă, Q * ş, N stel îât etru, ş etru, Petru m,, > ş > stel ă αβ, αβ veră d Lem 8, dă α β, α β P, de P stse ş Ord Oservţ D ele de m sus deduem ă dă α, β R, α, β, tu α β este ehvlet u ee ă β -α P, dă β α P, de u esteţ lu N ş Q * stel îât - etru ore Covem să umm orde de m îte ordore turlă de e R 9

Petru Q ovem să otăm e Q r, dă,, Teorem Ordore turlă de e R dtă de P este rhmedeeă Demostrţe Coorm Deţe 8, etru α CQ v treu să demostrăm ă estă m α N stel îât α m Coorm Leme estă M Q * stel îât M etru ore N legâd m α N stel îât Mm α deduem ă m α etru ore N, dă α Următorul reultt este medt: Lem Dă α CQ ş estă Q * ş N stel îât etru ore,, tu α α mα Oservţe Coorm Teoreme, d dt ɛ R, ɛ>, estă ɛ Q * stel îât ɛ<ɛ stel ă î deţ lmte uu şr d R u oteă dă ɛ este rel su rţol Lem Fe α CQ tu α lm dă ore şr Cuh de umere rţole overge î R Demostrţe Fe ɛ Q * Estă N stel îât etru ore m,, m ɛ tu etru m vem α m α m ε ă α- m m, dă α lm Teorem 5 Corul R este omlet Demostrţe Fe u şr Cuh de umere rele Coorm Leme, etru ore N găsm Q stel îât - î rte dretă este vor de t de -! < Cum este Cuh, deduem ă d dt ɛ> de eemlu ɛ Q estă N stel îât etru ore m, să vem m ε m dă Fe N, stel îât ε tu etru ore m, vem ε ε ε m m m m m ε este şr Cuh de umere rţole Coorm Leme estă lm î R Deoree etru suet de mre - - deduem ă lm, dă R este omlet Deţ 6 U or ordot K se e omlet ordot dă ore rte evdă mortă s re o mrge eroră Oservţe Fe K u or omlet ordot ş K,, mortă tu - este mortă, su estă ş su - -

Lem 7 Dă, Q, tu : Q Q ; < Q < Q ; Petru ore α R estă, Z stel îât Q α Q Demostrţe Să resuuem ă, dă - Cum Q- Q Q- deduem ă Q Q Q Q Rero, să resuuem ă Q Q, dă Q - - P, de etru ɛ>, ->ɛ> Reultă d etvtte lu Q Fe α R ş α tu CQ, de etru ɛ Q * estă ɛ N stel îât ε <ɛ etru ore ɛ su ε - ɛ< < ε ɛ etru ore ɛ Luâd, Z stel îât < ε -ɛ ş ε ɛ< deduem ă > ş > etru ore ɛ de,, P - P, dă Q α Q Lem 8 Fe α, β R ş u, v CQ stel îât Q u m α β Q v m etru ore m N ş u m m v m m NQ tu αβ ε Demostrţe Fe ɛ> Estă m N stel îât vm u m < ş,, Fe um α ş β D egltte d euţ deduem ă Qu m α ε de etru mm vem u m P r urmre estă ɛʹ N stel îât u m > etru ɛʹ Tot d egltte d euţ reultă ă β Q v m de etru m m vem ε vm - P, dă estă ɛʹʹ N stel îât v m >, etru ore ɛʹʹ, de ude < v m ε ε ε u m v m u m m m ε ε ε v u ε, r urmre, <ɛ etru ore m ɛʹ, ɛʹʹ Dr α β tu P, de estă ɛʹʹʹ N stel îât - >-ɛ, etru ore ɛ ʹʹʹ tu <ɛ etru ore m ɛʹ, ɛʹʹ, ɛʹʹʹ, de ude αβ Teorem 9 Corul R, este omlet ordot Demostrţe Fe R evdă ş mortă r mulţme morţlor lu Cum, estă β stel îât β α etru ore α D Lem 7, reultă esteţ uu Z stel îât Q β, dă Q Fe m{ Z : Q } ; tu Q ş Q Presuuem ă m oţut u Q stel îât Q ş Q Notâd m{9 : Q } ş se oţe, r duţe, u şr Q stel îât Q etru ore N ;

Q etru ore N ; D ş d deţ lu reultă oţem - - - 9 9 9 9 9 R ş să demostrăm ă α de CQ Fe α, de ude etru > 9 < Petru est vom demostr ă Q α Q etru ore N 9 D deduem ă, de - P etru ore N, α etru ore N dă Q m demostrt m îte ă <, etru >, dă > etru >, de α Q etru ore N m rătt stel egltăţle Să demostrăm um ă α este mort l lu Să resuuem ă estă γ stel îât γ<α tu Q γ α Q etru ore N Dr lm lm, de ude ţâd ot de Lem 8 deduem ă γα, surd, de α Să rătăm um ă α este el m mre mort l lu Presuuem ă estă β stel îât α<β D deduem ă etru ere N estă α stel îât α < Q Cum β este mort l lu ş α deduem ă βα de ude Q α β Q de ude deduem oorm Leme 8 ă α β, surd! De α Mulţme umerelor rţole I Comlemetr î R lu Q o vom um mulţme umerelor rţole ş o vom ot u I de IR\Q, ve oservţ de duă Deţ 7 Să demostrăm de eemlu ă I Dă resuuem r surd ă Q, tu utem sre m/, u m, N * ş m, Deduem medt ă m, dă m este umăr r, de m este r, dă mm, u m N * Îloud deduem m,

dă, u N * Cotrdţ ostă î ee ă m ş, otrr resuuer ă m, Oservţe M geerl, se demostreă, log, ă dă Q, N *, ş d, etru ore d Q, tu I De / I, 5 I Să m demostrăm de eemlu ă log I Îtr-devăr, dă r surd log Q, tu estă m, N * stel îât m, ş log m/ m/ m, ee e este surd deoree, m geerl deduem ă dă m, N *, m,, tu log m I Lem Dă Q, I, tu I, r dă tu I Demostrţe m văut ă Q,, este or Notâd, dă r surd Q, m dedue ă - Q, ee e este surd log etru rte dou ± 5 De eemlu, ± I, I Lem Oerţle de dure ş îmulţre u sut oerţ tere e I Demostrţe Fe ş - Cum Q r I, oorm leme reedete deduem ă, I Cum r -, deduem ă, Q Oservţe Cu tote este, este osl etru, I să vem I su I hr smult! De eemlu, dă,, tu, I ş 6 I Să demostrăm ă ş I Fe etru est Dă r surd Q, tu 5 6, de ude m dedue ă 6 5/ Q, surd! Să reetăm um âtev reultte mortte legte de umerele rţole Ştm ă e lm lm!!! Teorem Numărul e I Demostrţe Să resuuem r surd ă e Q, dă e/, u, N * Petru ore N,, um! deduem ă umărul! Z!!! Îsă < < < Cotrdţ rove d ee ă,, r m îte m dedus ă Z Î olue e I Petru demostr ă ş lte umere mortte sut rţole se utleă u m,, tru, osderâd o umtă uţe de oe olomlă Petru N *, e de! Petru < < vem < <!! m m m, ude m Z, etru m

Este lr ă ş ă m dă m < su m >, r dă m vem m m! m Z! Deduem o olue ă, ş tote dervtele sle u vlor îtreg î ş um - eeş olue este vllă ş î C u orolr l est m tru să demostrăm: Teorem Dă Q *, e I Demostrţe Fe h/ Q * ş să resuuem r surd ă e Q tu e h e Q ş să uem e h /, u, N * Cosderăm etru suet de mre duă um se v vede î l uţ : de ş F h h h, etru ore! R Ţâd ot de ele de m sus deduem ă F, F Z h e F h h e hf F h e, orre r R De semee [ ] [ ] h h Deduem ă : h e d e F F F Z h h h e Cum îsă <</!, deduem ă < h e d < < etru! h suet de mre ă e etru ee e e otrdtoru! De e I! Cosderâd o uţe semăătore ele etru re m demostrt ă e I etru Q * utem demostr: Teorem 5 Numărul π I Demostrţe Să demostrăm l îeut ă dă N, g Z[X], tu g re tote dervtele sle î îtreg dvl r! Îtr-devăr, ore terme l lu g este de orm u, Z,, r termeul oresuător î este stel dă vom demostr lurul est etru u sgur terme l lu, tu el v reult î geerl etru Petru este usor de văut ă ş dervtele sle sut ero, u o sgură eeţe ş ume l dervt s de ord re este eglă u [!] ş um deduem ă! [!] Să revem um ş să demostrăm ă π I Presuuem r surd ă π / Q u, N * ş să osderăm olomul π v us î evdeţă ev m târu!! Cosderăm g- ; oorm elor remrte l îeut utem trge olu ă - ş tote dervtele sle lulte î sut îtreg dvl r! Pr urmre, îmărţd r! deduem ă ş tote dervtele sle lulte î sut îtreg, de Z, etru ore,, u Cum π- deduem ă - π-, etru ore Cosderâd deduem ă π Z, etru ore,, Fe F - - 6 - Deduem ă F - 6-8 - - ă, d olom de grd Deduem ă F F r de ă F, Fπ Z

Cum F s -F os F s F s s, deduem ă : π π s F s F os F π F Z π Vom demostr îsă ă etru suet de mre vem < s d < ş tu otrdţ v lră π Cum etru [, π], π < deduem ă! π s < ş stel! π π < s d < π < etru ore > ă π etru!! reetăm: Î legătură u elul î re uţle trgoometre geereă umere rţole Teorem 6 Fe q u multlu rţol de π dă qr π, u r Q tu s q, os q, tg q I, u eeţ urlor âd tg q u este det r os q, s q {, /, }, tg q {, } Demostrţe Petru ore umăr turl vom ro r duţe mtemtă esteţ uu olom Z[X] de grd u oeetul domt stel îât os θ os θ, etru ore θ R Cum os θ os θ - deduem ă ş Cum osθos θ os θ-os -θ deduem ă - - ş stel r duţe mtemtă esteţ olomulu este sgurtă Fe um N * stel îât r Z Dă θ r π reultă ă os θos θ os r π ±,, dă r este r ş,,- dă r este mr stel os θ este soluţe euţe ± Elmâd ul osθ, um osθ este rădă ue euţ de orm ± u oeetul domt, dă os θ Q, u eestte osθ Z * Cum os θ deduem ă os θ ±, ±, dă os θ {±,±/} stel, î ul lu os θ teorem este demostrtă Î ul lu s θ, dă θ este multlu rţol de π, l el este ş π/-θ ş d dettte s θos π/-θ deduem olu teoreme etru s θ Î l d dettte os θ-tg θ/tg θ deduem ă dă tgθ Q tu ş os θ Q Ţâd ot de ele stlte î ul lu os θ deduem ă os θ, ±/, ± Dă osθ, tu tgθ ± ; dă osθ tu tg θ r dă os θ -, tu tg θ u este detă Dă os θ ±/ tu tg θ { ±, ± / } ş u est teorem este demostrtă Teorem 7 Numărul e u este rţol ătrt Demostrţe Presuuem r surd ă estă,, Z, u tote ule, stel îât e e Cum e I vem ş Să resuuem de eemlu ă > tu e e -, >, Remtm ă e! 5

Să otăm! vem ă B!! ; vem ă B Z,,, ş să m osderăm ş! < < < stel:!e e -! B - C ude C! B Z ş -, legem um stel îât ş - > Cum > vem ă < - < <, ee e otre 5 Numere lgere ş umere trsedete Deţ 5 U umăr C se e lger dă estă Q[X], stel îât U umăr e u este lger se e trsedet Evdet, ore umăr rţol este lger De semee, este lger d soluţe euţe lgere X Dă u umăr lger α este rădă uu olom eul Q[X] de grd mm, vom sue ă α este de grd stel u umăr rţol este lger de grd Teorem 5 Mulţme umerelor lgere este umărlă Demostrţe Cuoştem ă ore umăr lger α este soluţe ue euţ: X - X - u Z,, u toţ ul Dă otăm N, tu u eestte N Petru ere t estă um u umăr t de euţ lgere de orm ele de m sus ş ere dtre este u um u umăr t de soluţ Î olue, umărul umerelor lgere oresuătore lu N este t; e E N mulţme estor Cum mulţme E umerelor lgere este o sumulţme mulţm U E re este umărlă, deduem ă E este umărlă N N C u orolr deduem medt: Teorem 5 tât î C ât ş î R, mulţme umerelor trsedete este umărlă Teorem 5 Crterul lu Louvlle Fe Z[X] redutl de grdul r, α R o rădăă lu ş, q Z u q N* tu estă u umăr rel > e u dede de ş q stel îât α > q r q Demostrţe Fe X r X r Z[X] olomul mml l lu α Putem resuue ă α < ă î otrr utem lu q tu e αα, α,, α r tote rădăle lu oorm Teoreme 5 este r r sut î C vem α α α α α q r q q r q α, q 6

ude ʹ > este o osttă e u dede de ş q Pe de ltă rte, q ş stel teorem este demostrtă r q Oservţe Crterul reedet ermă tul ă, îtr-u umt mod, umerele lgere u ot suet de e romte r umere rţole Corolr 55 Numărul α! este trsedet dă u este lger Demostrţe Să rătăm l îeut ă α Q Dă r surd α q Q u, q N*, tu osderâd u umăr îtreg ş îmulţd relţ α q u o relţe de orm q d q!!!!! q oţem u, Z Este suet să rătăm ă umărul Z etru suet de mre U stel de estă deoree d este restul ue ser overgete ; de α Z Să resuuem um ă α r lger tu olomul mml l său r ve grdul r Fe ostt d Crterul lu Louvlle de m sus sotă lu α Cosderăm îtreg ş s tu vem α s! r!! Luâd suet de mre, oţem egltte < ee e otre Crterul lu Louvlle, surd!! Î oture vom m reet ş lte eemle Teorem 56 Hermte Numărul e este trsedet Demostrţe Fe olom de grd m Itegrâd r ărţ oţem: t I t e t d, detă etru t, ude R[X] este u m t I t e t Se oservă ă dă r desemăm olomul e se oţe îloud oeeţ lu u vlorle lor solute, tu : I t t e t m t d te t Să resuuem um r surd ă e este lger tu estă,,, Z u stel îât e e Fe - - - ude este u umăr rm re v ovel les tu grdul lu este - Fe J I I I vem J m Îsă etru vem etru < ş C! g - etru, ude g /- tu etru ore, este u îtreg dvl r! M mult, vem ă, etru <- ş C -! h- etru -, ude h/ - Evdet h este u umăr îtreg dvl r etru > ş 7

h-! tu etru -, este u îtreg dvl r! ş - este îtreg dvl r -!, îsă u r etru > Reultă ă J este u îtreg eul dvl r -!, de J -! Pe de ltă rte, ţâd ot de tul ă m ş m deduem ă J e e e etru u umt e u dede de legâd rm suet de mre stel îât -!> ugem l o otrdţe evdetă, de ude reultă ă resuuere ă e este lger este lsă, reultâd de ă e u este lger, dă este trsedet Corolr 57 Numărul e I Oservţe Deş rţoltte lu e reultă d ee ă e este trsedet treue reţută ş demostrţ reedetă etru tul ă e este rţol, e ş um etru rumuseţe metode oloste Teorem 58 Ldem Numărul π este trsedet Demostrţe Să stlm l îeut ş- s,,dettte lu Hermte : Fe R[X] de grd ş F t tu e t e dt F e F, etru ore R Îtr-devăr, tegrâd r ărţ oţem relţ: Reetăd de or tegrre r ărţ oţem egltte: t t t e dt e t e dt t t e dt F F e d re reultă um dettte lu Hermte Să revem um l demostrre trsedeţe lu π Pe lâgă dettte lu Hermte vom m olos ş eut e π Să resuuem r surd ă π este lger tu γπ este de semee lger; e grdul lu γ ş γγ, γ γ ougţ lu γ Cum e γ, vem e γ de ude deduem ă : γ εγ εγ e e ε ε Presuuem ă î relţ de m sus sut et m eoeţ eul ş -m re sut ero tu, dă α,, α m sut eoeţ eul utem ue relţ de α m sus su orm α m e e, Vom răt ă umerele α,, α m ormeă mulţme rădălor uu olom ψ Z[X] de grd m Petru est să oservăm ă olomul ϕ [ ε γ ε γ ] ε ε osdert olom î γ,, γ u oeeţ î Z[X] este smetr î γ,, γ, de ϕ Q[X] tu rădăle olomulu ϕ de grd sut α, α m ş u multltte De olomul - ϕ Q[X] de grd m re dret rădă e α,,α m Dă r N este mmm l umtorlor oeeţlor estu olom tu ψγ/ ϕ m m Z[X] m >, re et rădăle α,, α m Î dettte lu Hermte vom osder suesv α,, α m Dă duăm ş ţem ot de oţem :, 8

m m α α F F α e t e De demostrţ trsedeţe lu π merge ş î ul trsedeţe lu e Petru est î vom osder: m m m ψ m α α m!! ude este u umăr turl e v les suet de mre Vom demostr ă legâd e m sus, d vom uge l o otrdţe Oţem medt relţle: t dt 5 l, l,,, - - m F m l m l Z m m Cum α este o rădăă lu de multltte oţem ă 6 l α, l,,,-,,,, m log î ul lu e dervt de ord l lu - ψ re oeeţ dvl r! De etru l > oeeţ lu l sut îtreg ş dvl r m m tu d 6 deduem ă m l l m 7 F α α Φ α,,,m u Ф Z[] Numerele β m α,,,m sut îtreg lger e ormeă mulţme rădălor uu olom de grd m d Z[X] u oeetul domt M mult, Фα Hβ, H Z[X] m m m m tu 8 Φ α H β B, B Z m m m D 5, 7, 8 deduem ă : 9 F F α B m m m Fe um N * stel îât, m ş > Memrul dret l lu 9 este u îtreg edvl u ş de eul, de ude : F F α otăm Să ăutăm um o morre memrulu dret d Să resuuem ă tote utele α,,α m sut oţute î erul R ş să m m ψ, u edeâd de tu R m m R m R! Estă de stel îât etru ore e stse să vem egltte : m α m α R m α R e α R R α e e d e d d me!! D, ş deduem ă < -surd! < 9

Ctolul 5 CORPUL NUMERELOR COMPLEXE C,, 5 Costruţ orulu umerelor omlee C,, Soul estu rgr este de det orul R l umerelor rele u u suor l uu or omuttv C î re euţ - re soluţe Petru est vom osder CR R r etru,,, t C dem :,, t, t,, t -t, t Teorem 5 C,, este or omuttv î re euţ - re soluţe Demostrţe Ftul ă C, este gru el se roeă medt elemetul eutru este,, r etru, C, -, -, - Î mod evdet îmulţre este omuttvă Petru ro ă C*, este gru, e,,, t, r, s C Deoree, [, t r, s][,, t] r, sr-ts-s-tr, strr-ts deduem ă îmulţre este sotvă Cum,,,,, deduem ă elemetul eutru ţă de îmulţre este, Fe um, C* dă su Egltte, ʹ, ʹ, este ehvletă u ʹ-ʹ ş ʹʹ, de ude ʹ ş ʹ, dă, -, Cum etru,,, t, r, s C,, [, tr, s],, t, r, s r-t-s, tsr deduem ă îmulţre este dstrutvă ţă de dure, dă C,, este or omuttv Să otăm, Cum,, -, -, deduem ă euţ - re soluţe î C Oservţe Se roeă medt ă R:R C, R, etru ore R, este morsm de orur de uţe etvă Î elul est R ote rvt suor l lu C m ostrut stel şrul de mulţm N Z Q R C Deoree etru, C utem sre,,,, ţâd ot de detărle terore deduem ă se ote sre orml su orm u, r - Mulţme C ortă umele de mulţme umerelor omlee, r C,, orul umerelor omlee Elemetele d C\R se ur mgre Dă C u, R, tu se e rte relă lu r rte mgră lu se umeşte oeetul ărţ mgre

Petru C,, dem e se v um ougtul lu ş ortă umele de modulul lu Prooţ 5 Fe,, C tu R v, ± ±,, u,,, u Demostrţe Fe Dă R, tu, de r dă tu - dă, de R Să m roăm egltte elellte roâdu-se medt legem ş u,,, R ş stel Egltte vem dă, ee e este evdet u R, dă Oservţe sod eăru umăr omle mtre roeă medt ă orul C,, este omor u orul de dure ş îmulţre d ele oşute d M R se :, R oerţle 5 Teorem udmetlă lgere Dă L ş K sut două orur stel îât K este suor l lu L, suem desre L ă este o etdere lu K Remtm u reultt ls d lgeră : Lem 5 Dă K este u or omuttv r K[X], grd, tu estă o etdere L lu K î re re tote rădăle Utlâd teorem udmetlă olomelor smetre oţem medt: Lem 5 Fe K[X], u grd r K este or omuttv Dă L este o etdere lu K î re re tote rădăle, r g K[X, X ] este u olom smetr, tu g, K Teorem următore e se eă e ele două reultte terore este uosută su umele de teorem udmetlă lgere : Teorem 5 D lemert-guss Ore olom C[X] u grd re el uţ o rădăă î C

Demostrţe Fe X X ude etru ore, este ougtul lu tu X, deduem ă C[X] ş X X, ude, ş um etru ore R[X] Să resuuem ă teorem este demostrtă etru olomele d R[X] tu su estă C stel îât De este suet să resuuem ă R[X] Dă grdul lu este mr, um uţ olomlă tştă lu este otuă r l ± vlor de seme otrre, deduem ă estă R stel îât Fe um grd,, u N ş mr ; em duţe mtemtă duă Petru totul reultă d ele de m îte grdul lu d mr î estă stuţe Să resuuem rmţ devărtă etru tote olomele R[X] l ăror grd se dvde r - ş u se dvde r Coorm Leme 5 estă o etdere L lu C î re re tote rădăle, < î umăr de, Petru R osderăm elemetele C Cosderâd olomul X C smetre de < est v ve grdul egl u u ʹ mr Coeeţ lu sut olome M mult, vâd î vedere eresle lu, <, reultă ă eşt oeeţ, olome de,, sut smetre, deoree ore ermutre estor re eet shmre elemetelor ă R[X], < ître ele Coorm Leme 5 oţem Cum - grd ş grd, oorm otee de duţe reultă ă re el uţ o rădăă omleă Estă de o erehe, u < stel îât C Făâd e să rurgă mulţme tă R reultă ă estă, R, stel îât C D ş reultă ă stel teorem este demostrtă ş C, de C ; tu C, dă, C ş Oservţ D Teorem 5 deduem medt ă dă C[X], grd, tu re tote rădăle î C est luru e ermte să rmăm ă Teorem udmetlă lgere ermă tul ă orul C l umerelor omlee este lger îhs Tot d Teorem 5 deduem medt ă î C[X] olomele redutle sut et olomele de grdul r î R[X] sut ele de grdul reum ş ele de orm X X u -<

Ctolul 6 CÂTEV PRINCIPII DE REZOLVRE PROBLEMELOR DE MTEMTICĂ 6 Prul lu Drhlet Teorem 6 Prul lu Drhlet Fe o mulţme evdă r,,, o rtţe lu dă U r Ø, etru Dă vem elemete,,,, d, tu estă o sumulţme rtţe re să oţă el uţ două elemete le mulţm {,,,, } lţ Fe,,,, u şr de umere îtreg derte două âte două tu estă do d, {,,, } stel îât mod Soluţe Îmărţm mulţme Z î ele lse de restur modulo Cum este ormeă o rtţe lu Z, totul reultă d rul lu Drhlet Fe M o mulţme ormtă d umere îtreg u eărt dstte Să se demostree ă M re el uţ o rte evdă u rorette ă sum elemetelor sle se dvde u Gh Sölös Soluţe Fe M {,,, } u Z, etru ore {,,, } Să osderăm sumulţmle lu M: M { }, M {, },, M {,,, } ş să ormăm sumele: S, S,, S Dă uul d umerele S, S,, S se dvde u, rolem este reolvtă Dă S, S,, S u se dvd l, tu oorm lţe terore estă, N, <, stel îât S S mod tu mulţme ăuttă v {,,, } Se dă u u u ltur Să se rte ă orum m lege 8 de ute terore, el uţ două dtre ele u dstţ m mă su eglă u Soluţe Să îmărţm ere muhe uulu î âte tre ărţ egle ş duâd r ele rlele l muh oţem e ere ţă uulu 9 ătrte egle Duâd le rlele u eţele uulu r utele de dvue, uul este stel îmărţt î 7 de uuleţe, ere vâd ltur Cum sut 8 de ute terore, oorm rulu lu Drhlet, el uţ două se vor l î terorul eluş uuleţ de ltură Dstţ mmă dtre ele două ute u ote deăş dgol uu stel de uuleţ, re este de Fd dte 9 ute î terorul ătrtulu utte, să se demostree ă estă rtre ele tre ute, re să e vârurle uu trugh, de re m mă su eglă u 8

Soluţe Ud două âte două mloele lturlor ouse î ătrtul dt oţem o îmărţre estu î tru ătrte de re Coorm rulu lu Drhlet el uţ uul dtre este v oţe tre su m multe ute d ele 9 osderte î euţ Notăm EFGH est ătrt ş e, B, C tre dtre este ute oţute î ătrtul EFGH de ltură oţut m îte ve Fg ; v suet să roăm ă S Duâd r, B, C rlele l EH, u d ele se v l ître elellte BC S EFGH două, de v tă î teror ltur ousă r re est tree Fe ʹ est, u ʹ BC; ostrum BBʹ ʹ u Bʹ ʹ ş CCʹ ʹ u Cʹ ʹ vem S BC S B S C BB CC BB CC EH HG 8 H G B B C C E F Fg Oservţe Î ul î re utele, B, C sut olre, demostrţ u ote ăută î est mod, îsă tu S BC 6 Prul duţe mtemte Î multe eerţ ş roleme se ere să se demostree umte roretăţ e ded de u umăr turl semee roleme se soluţoeă î mortte urlor u utorul rulu duţe mtemte omlete re re l ă următore teoremă: Teorem 6 Dă o rorette P deâd de u umăr turl este devărtă etru ş etru ore este devărtă mlţ logă:,, P devărtă P devărtă, tu P este devărtă etru ore Prul duţe mtemte se m euţă ş su următorele orme geerlte: Teorem 6 Dă o rorette P deâd de u umăr turl este devărtă etru o vlore rtulră lu de P devărtă ş dă etru ore umăr rtrr este devărtă mlţ logă:,,p P, tu P este devărtă etru ore etru oţem Teorem 6

Teorem 6 Dă P este o rorette e dede de umărul turl r P este devărtă etru o vlore rtulră lu ş dă etru ore umăr turl este devărtă mlţ logă:,,pm devărtă, etru ore m,,, - P devărtă, tu P este devărtă etru ore Teorem 6 Dă o rorette P este devărtă etru vlor oseutve rtulre le lu :,,, -,, N ş dă etru ore umăr rtrr este devărtă mlţ logă:,,p P, tu P este devărtă etru ore Demostrţ Teoreme 6 ş elorllte vrte de m sus ţe de îsăş ostruţ mulţm umerelor turle reettă î rgrul de l Ctolul lţ Să se demostree ă dă m ş sut umere turle eule m, tu umărul soluţlor turle de omoete eule le euţe m este C m Soluţe Vom demostr r duţe mtemtă reltv l Fe N m umărul ăutt Evdet N m C N m C C m Să resuuem ă N m m m etru ore N C m m, etru,,, - ş să demostrăm ă C Evdet N m N - m- N - m- N - - C C Coorm rulu duţe mtemte, N m C, m Să se demostree ă ore ore umăr turl se ote sre su orm mq u m, q N Soluţe Petru turl să otăm u P rorette d euţ Vom ro ă P, P5 ş P6 sut devărte Îtr devăr, m, q ; 5 m, q ; 6 m, q Să rătăm um ă este devărtă mlţ logă:,,p P, ş tu P v devărtă etru ore, ţâd ot de vrt geerltă duţe mtemte Îtr-devăr, d mq reultă mq m u rest Oservţe Prolem se m ote soluţo ş ţâd ot de teorem îmărţr Să se demostree ă ore umăr turl dmte o rereetre de orm, ude {-, } etru ore,,, N, u dede de Soluţe Să demostrăm l îeut ă dă otăm r P rorette erută de euţul roleme, tu P, P, P ş P sut devărte Îtr-devăr, etru vem, u ; etru vem - - - u -, -, -, ; etru vem - u -, ; 5

etru vem - - u -, -, Să resuuem um ă P este devărtă etru o vlore orere lu ş să demostrăm ă este devărtă ş P Petru est vom ţe ot de dettte: - - stel, dă, u {-, }, tu, u,,, Coorm rulu duţe mtemte geerlte, P v etru ore umăr turl devărtă Să se rte ă etru ore umăr turl, umărul E se dvde r dr u se dvde r Soluţe Fe P rorette d euţul eerţulu Vom demostr ă P ş P sut devărte ş ă etru ore umăr turl este devărtă mlţ logă:,,p P vem E ş evdet E dr E ; E ş evdet E dr 8 E Să resuuem um ă etru u umăr turl, P este devărtă, dă E dr E De E, u mr tu E E, ude Cum este mr reultă ă E ş E, dă P este devărtă Coorm rulu duţe mtemte, P este devărtă etru ore N 5 Să se demostree ă dă,, sut umere rele otve, tu : u egltte âd umerele sut egle Se uos m multe soluţ etru estă egltte uosută su umele de egltte medlor Î ele e urmeă vom ret două soluţ olosd rul duţe mtemte Soluţ Petru, egltte se veră Presuuem ă egltte este devărtă etru - umere otve,,, - ş să demostrăm ă e rămâe devărtă ş etru umere otve,, Coorm otee de duţe utem sre ş de or duâd ele două egltăţ memru u memru oţem: Îsă [ ] 6