Biot-Savat().doc 1/11 9/3/7 BIOT-SAVARTOV ZAKON () Polje, ki ga v okolici povzoča neskončen aven vodnik smo že zapisali, ko smo µ I obavnavali silo med dvema avnima vodnikoma. To polje je B =. To enačbo in π duge, za poljubno obliko vodnika s tokom lahko izačunamo z upoabo Biot- Savatovega zakona.! Polje, ki ga tokovni element I dl povzoča v točki T je: db µ I dl sin( θ ) = (.1) kje je azdalja od tokovnega elementa do točke T, θ pa je kot med vektojema dl! in!. Ta enačba dá le velikost polja, ne pa tudi smei. Sme polja je pavokotna na avnino, ki jo določata vektoja dl! in!, ka lahko zapišemo z vektoskim poduktom!!!! "! µ I dl µ I dl e db= = 3 (.) SLIKA: Tokovni element oddaljen od točke T za azdaljo povzoča v točki T gostoto magnetnega petoka, določeno z Biot-Savatovim zakonom. Da bi določili polje v točki T za celotni tokovodnik, je potebno sešteti (integiati) pispevke vseh tokovnih elementov:!! "! µ I dl B =. (.3) 3 L To je Biot-Savatov zakon za izačun polja v okolici tokovodnika.
Biot-Savat().doc /11 9/3/7 SLIKA: Polje v okolici dveh polnih vodnikov s tokom enake velikosti. Vpašanja: - V kateo sme teče tok v levem in desnem vodniku? - Kolikšno je polje v sedini med vodnikoma? - Kje je polje največje? - Določite sme polja na simetali med vodnikoma? - Skiciaj polje na simetali in vzdolž pemice, ki ge skozi sedišči vodnikov. - Kakšna bi bila oblika polja pi spemenjeni smei toka v enem vodniku?
Biot-Savat().doc 3/11 9/3/7 PRIMERI IZRAČUNOV POLJA Z UPORABO BIOT-SAVARTOVEGA ZAKONA Pime 1: Izpeljimo izaz za polje v okolici tokovne pemice... SLIKA IN IZPELJAVA. Rezultat je B= e ϕ µ I. π RAZLOŽI SMER POLJA Z VEKTORSKIM PRODUKTOM IN Z UPORABO DESNE ROKE, KJER PALEC USMERIMO V SMER TOKA, PRSTI KAŽEJO SMER POLJA OKOLI VODNIKA. Pime upoabe pogama Matlab za izačun polja v okolici tokovne pemice s tokom 1 A. function poljepemice % polje tokovne pemice mi=4*pi*1e-7 I=1 =:.1:1 B=mi*I./(*pi*); plot(,b) xlabel(' / m') ylabel('b / T') Pime : Izpeljimo izaz za polje tokovne daljice. µ I Rezultat je B= eϕ ( cos( θ1) cos( θ) ). SLIKA.
Biot-Savat().doc 4/11 9/3/7 Pime 3: Naišimo polje v oddaljenosti od dveh pemih vodnikov s pogamom MATLAB. Iz slike določite sme, pozicijo in velikost tokov! % polje dveh pemic a=4; mi=4*pi*1e-7; I=1; x=-:.1:1; B1=mi*I./(*pi*(x-)); B=mi*I./(*pi*(x--a)); B=B1-B function poljepemic plot(x,b,[- 1],[ ]) xlabel('x / m') ylabel('b / T') Pime 4: Izpeljimo izaz za B v sedišču tokovne zanke:. SLIKA IN IZPELJAVA. Rezultat je B= e z µ I a. Pime 5: Izpeljimo polje v osi tokovne zanke.
Biot-Savat().doc 5/11 9/3/7 SLIKA IN IZPELJAVA. Rezultat je B= e z µ Ia ( a + z ) 3/. Pime upoabe pogama Matlab za izačun polja v osi zanke. Funkcija je upoabljena x, z adijem 1 m in,5 m. Vmes smo upoabili ukaz hold on (poljevosizanke(1); hold on; poljevosizanke(.5)) function poljevosizanke(r); set(,'defaultlinelinewidth',1.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi=4*pi*1e-7; I=1; % TOK % Z os zmin=;zmax=3*r; dz=zmax/; z=zmin:dz:zmax; B=.5*mi*I*R^./(R^+z.^).^(1.5); plot(z,b) Polje izven osi tokovne zanke Polje izven osi tokovne zanke ni enostavno izpeljati in tudi ezultat ni pepost. Je pa pomemben, zato ga vseeno zapišimo vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja za večje azdalje od zanke (ecimo za azdalje dosti večje od polmea zanke) in je v sfeičnih koodinatah: "! Ia B e! B e! µ θ Bθ e! e! ( θ θ θ ) = + = cos( ) + sin( ). (.4) 3 4 Dobimo tako komponento v smei adija kot kota. Pomembno je, da polje pada z azdaljo s tetjo potenco, tako kot elektično polje v oddaljenosti od elektičnega sdipola.
Biot-Savat().doc 6/11 9/3/7 Slika: Pime izačuna polja paa v osi vzpoednih tokovnih zank oddaljenih za 1 m. Polmei zank so m, 1 m in,5 m. Tok je 1 A. Dokaj homogeno polje se utvai v sedini tuljave. function poljedvehzank; I=1; R=; d=1; set(,'defaultlinelinewidth',1.5) % DEFINICIJA KONSTANT mi=4*pi*1e-7; xmin=-*d;xmax=*d; dx=xmax/; x=xmin:dx:xmax; B1=.5*mi*I*R^./(R^+x.^).^(1.5); B=.5*mi*I*R^./(R^+(x-d).^).^(1.5); B=B1+B plot(x,b) Pime 6: Izpeljimo izaz za polje avne tuljave solenoida.
Biot-Savat().doc 7/11 9/3/7 µ NI l SLIKA in IZPELJAVA. Rezultat je B = ez ( cos( β ) + cos( β )) 1. Pime 6b: Določimo polje v sedini solenoida polmea,5 cm s tokom,1 A in ovoji. SLIKA IN IZPELJAVA. POENOSTAVITVE ZA POLJE V SREDINI ALI NA ROBU TULJAVE Slika: Polje v osi solenoida s tokom NI = 1 A, polmea ovojev 1 m in dolžine 5 m in 1 m. Začetek tuljave je pi z = m.
Biot-Savat().doc 8/11 9/3/7 Pime 7: Iz enačbe za solenoid zapišimo še enačbo za tooid. POVZETEK: 1. Iz enačbe za silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa µ I dl sin( θ ) člen, ki ga poimenujemo gostota magnetnega petoka. Popolni izaz za gostoto magnetnega petoka pedstavlja Biot-Savatovega zakon in vsebuje vektoski podukt tokovnega elementa in vektoja in!! "! µ I dl integacijo po tokovnih elementih: B =. (Vpašanja: Kam kaže vektoski podukt? Kako ga izačunamo? Kaj pomeni integacija po tokovnih elementih?) µ I. Polje v okolici tokovne pemice je B = eϕ. Polje v okolici tokovne π!! pemice je otacijsko, sme polja določimo iz vektoskega podukta dl ali z ovijanjem pstov desne oke, če tok kaže v smei palca. µ I 3. Polje tokovne daljice je B = eϕ ( cos( θ1) cos( θ) ) L. (Razloži in kot theta. Skica.) µ I 4. Polje v sedišču tokovne zanke je B = ez. (Kaj je a in kam kaže polje a glede na sme toka v zanki in izbio koodinatnega sistema?) 5. Polje v osi tokovne zanke je B= e sme kaže? Skiciaj potek. ) z µ Ia ( a + z ) 3/ µ NI l. (Kje je največje? V kateo 6. Polje v osi avne tuljave solenoida je B = ez ( cos( β ) + cos( β )) 1. (Kaj je l, kako določimo kote, poenostavitev enačbe v pimeu zelo dolgega solenoida.)
Biot-Savat().doc 9/11 9/3/7 Naloge: izpit, 17. septemba izpit, 16. apila izpit, 4. 1. 1 izpit,. septembe 6 izpit, 31. avgust 6 izpit, 19. septembe 5 izpit, 3. 1. 1 izpit, 3. avgust 5 Izpit 6. 6. Izpit 4. 9. 3 1. kolokvij, 17.4. 1. kolokvij, 9. maj 5 izpit,. septembe 4 Izpit, 17. 1. Pvi kolokvij, 9. maj Dodatno: Pime numeičnega izačuna polja izven osi zanke. function [B]=polje(R, c) fi=; N=1; B=; % funkcija izacuna polje kozne zanke dfi=*pi/n; polmea c pi adiju R dbb=; fo i=1:n if (R==c) eo('pi polmeu zanke B ni definian') fi=fi+dfi; end =c^+r.^-*c.*r*cos(fi); if (c==) =sqt(); eo('polme zanke ne moe biti enak ') theta1=acos((c^+-r.^)./(*c.*)); end theta=pi/+theta1; db=k*sin(theta)./; % dbb=[dbb db] mi=4*pi*1e-7 B=B+dB; I=1 end k=mi*i/(4*pi) %plot(dbb(:n)) %R=.1 B=mi*I/(*c); function isipoljezanke(a) % Naise polje tokovne zanke kot funkcijo adija od do x polmea zanke d=1.1*a/1 =:d:*a; BB=poljezanke(,a); plot(,bb)
Biot-Savat().doc 1/11 9/3/7 xmin=; xmax=max(); ymin=-1*bb(1); ymax=-ymin; axis([xmin xmax ymin ymax]) Slika: Polje izven osi zanke v avnini zanke. Polme zanke je 1 m. VIZUALIZACIJA MAGNETNEGA POLJA Za dobo pedstavo o magnetnem polju je zelo pomembna doba vizualizacija polja v okolici viov (tokovodnikov ali tajnih magnetov). Poslužimo se lahko vste postopkov: 1) sme opilkov ) sme kompasa ali vste kompasov 3) sme majhnih magnetkov 4) skenianje z meilnikom magnetnega polja (Hallov senso) 5) Numeično izačunavanja pispevkov toka in izis na zaslonu a. Z vektoji,ki pikazujejo sme in velikost polja v določenih točkah b. Z bavami in ekvipoljskimi čtami c. 3D vizualizacija d. Z gostotnicami 6) Numeično ačunanje z disketnimi elementi (končne difeence, končni elementi, mejni elementi)
Biot-Savat().doc 11/11 9/3/7 SLIKA: Feomagnetni opilki se v bližini tajnega magneta usmeijo v smei gostote magnetnega petoka. (Zakaj?) Desno: Tajni magnetki se kot mali kompasi usmeijo v sme magnetnega polja. (Ali je tudi medsebojni vpliv med magnetki?)