Kazalo. Namenoma prazna stran

Transcript

1 Kazalo

2 Kazalo Namenoma pazna stan 3

3 Kazalo Spoštovani študenti! Ped vami je skipta, ki jo lahko upoabljate za lažje spemljanje pedavanj pi pedmetu Osnove elektotehnike 1 na visokošolskem študiju na Fakulteti za elektotehniko, Univezi v Ljubljani. Sestavljena je kot zbika mojih pipav na pedavanja. Skipta večinoma ne vsebuje slikovnega mateiala, azen v posebnih pimeih. Je pa v skipti ezevian določen posto, kje lahko naišete ustezno sliko, ki ste jo že naisali na pedavanjih. Na ta način si lahko z nekoliko lastne aktivnosti pipavite liteatuo, pimeno za pipavo na izpit. Skipta je neke vste delovni zvezek. Vsebuje teoijo, pimee, napotke za obnavljanje znanja, dodatne naloge, poleg tega pa še usmeja k upoabi spleta za dopolnjevanje znanja. Poleg»standadnega«teksta z azlagami osnovnih elektičnih pojavov in pojmov te njihovega matematičnega zapisa sem dodal nekaj pimeov upoabe Matlaba za izačun in vizualizacijo polja. Več pimeov si lahko ogledate na moji spletni stani na Pedlagam, da tudi sami poskusite upoabiti Matlab ali pa kakšen sooden pogam.na spletu so na voljo tudi bezplačni pogami, ki tudi omogočajo zelo kakovostno delo. Poglejte na pime možnosti pogamov Scilab ( ali Octave ( Poleg analitične obavnave smo upoabili tudi pogame za numeičen izačun elektičnega polja. Ta je posebno pimeen za vizualizacijo polja, je pa tudi pogost način pi paktičnem delu. Upoabili smo komecialen pogamski paket Comsol Multiphysics ( za študentsko delo pa so pimeni tudi dugi nekomecialni pogami (np. Quickfield ali Maxwell SV). Pedmet Osnove elektotehnike I sestavljajo pedavanje, avditone vaje in laboatoijske vaje. V sklopu laboatoijskih vaj boste opavili tudi kajši semina. Navodila zanj najdete na stani Laboatojske vaje bodo ocenenje. Oceno laboatoijskih vaj sestavlja ocena samega dela v laboatoiju (te pavilno in vestno izpolnjene skipte za laboatoijske vaje) te ocena seminaja. Poleg tega bo pi oceni laboatoskega dela upoštevano tudi spotno eševanje kvizov, ki so na stani Na spletni stani se nahaja osnovna stan pedmetov OE1 in OE, kje najdete tudi povezave na zbiko ešenih izpitnih in kolokvijskih nalog, ki so izdatno opemljene z ešitvami. To je gadivo, ki vam ga toplo pipoočam kot gadivo za pipavo na izpite in kolokvije. DOBER INŽENIR bo azumel osnovne koncepte elektičnih pojavov. Jih znal azložiti z besedami in z enačbami. Znal bo upoabiti enačbe tako, da bo lahko ugotavljal vpliv azličnih paametov na elektične pojave. Znal bo tudi upoabiti liteatuo in aznovstna oodja (np. ačunalniška), ki omogočajo izboljševanje azumevanja in načtovanja elektičnih napav in pojavov. Znal bo delati samostojno in v skupini, opaviti aziskave in napisati ugotovitve in jih pimeno pedstaviti. In pi tem najti zadovoljstvo in ustezno plačilo. Ste za? Pojasnilo: Zvezdica * ped naslovom podpoglavja pomeni, da ge za dodatno poglavje, ki ne spada med obvezno snov. Dejan Kižaj, 1 4

4 Kazalo KAZALO. UVOD... 6 OSNOVNE ENAČBE (ZAKONI), KI OPISUJEJO ELEKTRIČNE POJAVE... 7 MATEMATIČNI UVOD... 8 OD VSOTE DO INTEGRALA... 8 OD NAKLONA DO ODVODA... 9 OSNOVNE VELIČINE... 1 MERSKE ENOTE IN PISANJE ENAČB OZNAČEVANJE GRADNIKI SNOVI NABOJ IN TOK NABOJ (ELEKTRINA) ZAKON O OHRANITVI NABOJA ELEKTRIČNI TOK (KONTINUITETNA ENAČBA) PREDZNAK TOKA KONTINUITETNA ENAČBA NABOJ KOT INTEGRAL TOKA KONSTANTEN TOK COULOMBOV ZAKON ZAPIS SILE V VEKTORSKI OBLIKI... SUPERPOZICIJA SIL ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST... 4 SUPERPOZICIJA ELEKTRIČNEGA POLJA... 5 PRIKAZOVANJE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI V PROSTORU PORAZDELITVE NABOJEV... 8 VOLUMSKA GOSTOTA NABOJA... 8 POVRŠINSKA GOSTOTA NABOJA... 8 LINIJSKA GOSTOTA NABOJA KOORDINATNI SISTEMI... 3 KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM (KKZ)... 3 VALJNI (CILINDRIČNI) KOORDINATNI SISTEM (CKS) KROGELNI (SFERIČNI) KOORDINATNI SISTEM (SKS) ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST PORAZDELJENIH NABOJEV POLJE TOČKASTEGA NABOJA POLJE PORAZDELJENIH NABOJEV POSTOPEK ZA DOLOČITEV POLJA PORAZDELJENIH NABOJEV PRIMER IZPELJAVE IZRAZA ZA ELEKTRIČNO POLJSKO JAKOST NAELEKTRENE TANKE PALICE POLJE PREMEGA NABOJA (NESKONČNO DOLGA TANKA ENAKOMERNO NAELEKTRENA PALICA) POLJE ENAKOMERNO NAELEKTRENE DALJICE... 4 POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA... 4 POLJE V OSI NAELEKTRENEGA DISKA POLJE NAELEKTRENE RAVNINE PRIMERJAVE POTEKOV POLJA GAUSSOV ZAKON SILNICE PRETOK ELEKTRIČNEGA POLJA PRETOK NEHOMOGENEGA POLJA SKOZI NERAVNO POVRŠINO PRETOČNE CEVKE ALI GOSTOTNICE PRETOK POLJA PO CELOTNI (ZAKLJUČENI) POVRŠINI... 5 PRETOK POLJA TOČKASTEGA NABOJA SKOZI ZAMIŠLJENO POVRŠINO KROGLE

5 Kazalo PRETOK POLJA SKOZI ZAKLJUČENO POVRŠINO POLJUBNE OBLIKE V KATERI SE NAHAJA MNOŽICA NABOJEV VPLIV NABOJEV ZUNAJ ZAKLJUČENE POVRŠINE NA PRETOK POLJA SKOZI NOTRANJOST POVRŠINE NAELEKTRENA KROGLA NALEKTRENA VALJA NAELEKTRENA RAVNINA DELO IN POTENCIALNA ENERGIJA DELO PO POLJUBNI POTI IN VELIKOSTI SILE DELO ELEKTRIČNE SILE... 6 DELO ELEKTRIČNIH SIL NI ODVISNO OD POTI DELO PO ZAKLJUČENI POTI... 6 POTENCIALNA ENERGIJA POTENCIALNA ENERGIJA SISTEMA NABOJEV DELO KOT RAZLIKA POTENCIALNIH ENERGIJ SISTEMA POTENCIAL IN NAPETOST ELEKTRIČNI POTENCIAL POTENCIAL V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA Q POTENCIAL SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV * POTENCIAL V OKOLICI SISTEMA ZVEZNO PORAZDELJENIH NABOJEV POTENCIALNO POLJE JE SKALARNO POLJE... 7 EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE... 7 ELEKTRIČNA NAPETOST DRUGI KIRCHOFFOV ZAKON OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR DVE RAVNI VZPOREDNI NAELEKTRENI PLOŠČI: PLOŠČNI KONDENZATOR KOAKSIALNI KABEL (VALJNI KONDENZATOR) KROGELNI (SFERIČNI) KONDENZATOR PREVODNIK V ELEKTRIČNEM POLJU PREVODNIK V ZUNANJEM ELEKTRIČNEM POLJU POVRŠINA PREVODNIKA JE EKVIPOTENCIALNA PLOSKEV ELEKTROSTATIČNA INDUKCIJA ALI INFLUENCA POLJE ZNOTRAJ VOTLINE PREVODNIKA FARADAYEVA KLETKA NABOJ V VOTLINI PREVODNIKA PRENOS NABOJA NA ZUNANJE STENE PREVODNIKA ELEKTRIČNO POLJE NA POVRŠINI PREVODNIKA RAZLIKA MED POLJEM NAELEKTRENE RAVNINE IN POLJEM NA POVRŠINI PREVODNIKA * SILA NA NABOJ NA POVRŠINI PREVODNIKA ZVEZA MED E IN V IZRAČUN ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI IZ POTENCIALA IN OBRATNO GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM POLJU... 9 ENERGIJA DELCA MED GIBANJEM PRIMERJAVA VELIKOSTI GRAVITACIJSKE IN ELEKTRIČNE SILE EKSPERIMENT JOSEPHA JOHNA THOMSONA ( ) ELEKTRIČNI DIPOL ELEKTRIČNI DIPOL ELEKTRIČNI DIPOLNI MOMENT DIPOL V ELEKTRIČNEM POLJU POTENCIAL V OKOLICI ELEKTRIČNEGA DIPOLA ELEKTRIČNO POLJE DIPOLA NAVOR NA ELEKTRIČNI DIPOL * NAČIN IZRAČUNAVANJA SILE NA DIPOL IZ SPREMEMBE ELEKTRIČNE ENERGIJE... 1 * IZRAČUNAVANJE SILE NA DIPOL IZ SPREMEMBE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALNIH PLOSKEV POLJE MED OKOVINJENIMI EKVIPOTENCIALNIMI PLOSKVAMI... 14

6 Kazalo SISTEM DVEH PREMIH NASPROTNO NAELEKTRENIH NABOJEV EKCIPOTENCIALNE PLOSKVE POLJA DVEH PREMIH NABOJEV SO KROŽNICE (PLAŠČI VALJEV) DVA PREVODNA VALJA ENAKEGA POLMERA PRIKLJUČENA NA VIR NAPETOSTI METODA ZRCALJENJA PREVODNI VALJ NAD ZEMLJO (UPOŠTEVANJE EKSCENTRIČNOSTI) DALJNOVODNA VRV NAD ZEMLJO (ZANEMARITEV EKSCENTRIČNOSTI) KAPACITIVNOST MED VRVJO IN ZEMLJO RAČUNANJE POLJA IN POTENCIALA V OKOLICI DALJNOVODNIH VRVI NAD ZEMLJO * ZRCALJENJE TOČKASTEGA NABOJA NA KOVINSKI KROGLI KAPACITIVNOST KONDENZATOR KOT»KONCENTRIRAN«ELEMENT * MERJENJE KAPACITIVNOSTI RAČUNANJE KAPACITIVNOSTI KAPACITIVNOSTI OSNOVNIH STRUKTUR... 1 KAPACITIVNOST ZRAČNEGA PLOŠČATEGA KONDENZATORJA... 1 KAPACITIVNOST ZRAČNEGA KOAKSIALNEGA KABLA... 1 KAPACITIVNOST ZRAČNEGA SFERIČNEGA KONDENZATORJA... 1 KAPACITIVNOST MED VALJEM IN ZEMLJO KAPACITIVNOST MED DVEMA VALJEMA KONDENZATORSKA VEZJA... 1 ZAPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV... 1 VZPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV... 1 ENAČBE POTREBNE ZA ANALIZO SPLOŠNEGA KONDENZATORSKEGA VEZJA DIELEKTRIK V ELEKTRIČNEM POLJU DIELEKTRIK VSTAVLJEN V ZRAČNI KONDENZATOR KOLIKŠNO JE POVEČANJE KAPACITIVNOSTI OB VSTAVITVI DIELEKTRIKA? FIZIKALNA RAZLAGA SPREMEMBE KAPACITIVNOSTI OB UPORABI DIELEKTRIKA ) PLOŠČNI KONDENZATOR NAELEKTREN S PROSTIM NABOJEM MED PLOŠČAMA ) PLOŠČNI KONDENZATOR PRI PRIKLJUČENI FIKSNI NAPETOSTI MED PLOŠČAMA VPELJAVA KONCEPTA VEKTORJA POLARIZACIJE POVRŠINSKA GOSTOTA POLARIZIRANEGA NABOJA POVEZAVA MED E IN P. ELEKTRIČNA SUSCEPTIBILNOST MODIFICIRAN GAUSSOV ZAKON IN VPELJAVA VEKTORJA GOSTOTE ELEKTRIČNEGA PRETOKA - D ZVEZA MED D IN E ZVEZA MED D IN P POVEČANJE KAPACITIVNOSTI ZARADI VSTAVITVE DIELEKTRIKA V KONDENZATOR PRI PRIKLJUČENI NAPETOSTI MEJNI POGOJ ZA TANGENCIALNO KOMPONENTO POLJA POLJE NA MEJI DIELEKTRIKA IN KOVINE * SILA MED DIELEKTRIKI ENERGIJA PONOVITEV: DELO ELEKTRIČNIH SIL, POTENCIALNA ENERGIJA, NAPETOST IN POTENCIAL ENERGIJA POSAMEZNEGA NABOJA PRI PRELETU ELEKTRIČNEGA POLJA POTENCIAL V OKOLICI OSAMLJENEGA NABOJA IN ENERGIJA SISTEMA DVEH NABOJEV POTENCIALNA ENERGIJA SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV ENERGIJA V POLJU KONDENZATORJA DOLOČITEV KOPACITIVNOSTI IZ ENERGIJE V KONDENZATORJU ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA SISTEMA PORAZDELJENIH NABOJEV GOSTOTA ENERGIJE IN ENERGIJA POLJA GIBALNI PROCESI SILA NA NAELEKTRENA TELESA ) PRIMER GIBALNIH PROCESOV NAELEKTRENIH TELES BREZ PRIKLJUČENEGA VIRA NAPETOSTI ) PRIMER GIBALNIH PROCESOV PRI PRIKLJUČENI NAPETOSTI KONDENZATOR KONDENZATOR KOT NAPRAVA ZA SHRANJEVANJE NABOJA KONDENZATOR KOT NAPRAVA ZA SHRANJEVANJE ELEKTRIČNE ENERGIJE POMEMBNE LASTNOSTI KONDENZATORJEV TIPI KONDENZATORJEV

7 Kazalo. ČASOVNO KONSTANTNO TOKOVNO POLJE KONTINUITETNA ENAČBA GOSTOTA TOKA KONTINUITETNA ENAČBA DRUGIČ ČASOVNO KONSTANTNO TOKOVNO POLJE TOK V SNOVI KONVEKTIVNI TOK KONDUKTIVNI TOK OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI TEMPERATURNA ODVISNOST SPECIFIČNE UPORNOSTI SNOVNE LASTNOSTI NEKATERIH PREVODNIKOV: JOULOV ZAKON DUALNOST TOKOVNEGA IN ELEKTROSTATIČNEGA POLJA REALNI KONDENZATOR VIRI NAPETOSTI GENERATORSKA SILA GENERATORSKA NAPETOST TOKOKROG * BATERIJE ZN/CU BATERIJA SVINČEVA BATERIJA AKUMULATOR NIKELJ KADMIJEVE BATERIJE (NI-CD) NIKELJ METAL HIDRIDNE BATERIJE LITIJ IONSKE BATERIJE * SONČNA CELICA

8

9 Uvod.. Uvod Po vsti, kot so hiše v Tsti. Naše spoznavanje elektičnih pojavov in zakonitosti bo temeljilo na postopnosti. Od pepostejših konceptov do bolj zahtevnih. Razlago elektičnih pojavov začnemo z ugotovitvijo, da so elektični pojavi posledica učinkov elektičnih nabojev, elektonov in potonov te da se naboj ne moe izničiti niti ne moe nastati. Peposto je. Iz tega tudi sledi zakon o ohanitvi naboja. Če se naboj na določenem telesu ne ohanja pač pa se povečuje ali zmanjšuje, je to posledica odtekanja ali pitekanja nabojev, ka pedstavimo s konceptom elektičnega toka. Med enako pedznačenimi naboji deluje odbojna, med naspotno pedznačenimi pa pivlačna sila. To opišemo s Coulombovim zakonom. Bolj splošen je pojem elektičnega polja, ki pavzapav izhaja iz Coulombove sile. Je tudi bolj abstakten, a se kasneje izkaže zelo pomemben. Nadalje se bomo sečali s pojmom potenciala ozioma potencialne enegije. Če nameč dva enako pedznačena naboja pibližamo, moamo opaviti določeno delo, saj deluje sila v smei ločevanja. S tem smo povečali potencialno enegijo (sistema) nabojev. Iz tega koncepta izhaja tudi pojem elektičnega potenciala ozioma elektične napetosti. Nato sledijo pojmi kapacitivnosti, gostote elektičnega petoka, dielektičnosti, susceptibilnosti, azličnih vst gostote naboja, elektičnemu dipolu, vektoju polaizacije, gostoti enegije, gostoti moči, moči, enegiji, gostoti toka, specifični pevodnosti, itd. Zelo veliko pojmov, pavzapav veličin (fiziki bi ekli količin), s kateimi opisujemo elektične pojave. In te veličine so med seboj v določenih elacijah. Če se na pime spemeni množina naboja med dvema pevodnikoma, se spemeni tudi napetost med njima. Ugotovili bomo, da je ta zveza pogosto lineana in jo lahko zapišemo v obliki Q = ku, kje je k neka konstanta. Običajno jo označimo z veliko čko C in jo imenujemo nič dugače kot kapacitivnost. Velja toej Q = CU. Piko kot opeacijo množenja običajno opuščamo, moa pa biti pisotna, kada pedstavlja skalano množenje dveh vektojev. Podobno se izkaže, da je zveza med tokom skozi pevodnik in napetostjo na elektodah, ki kontaktiata konca pevodnika tudi lineana. Lahko bi pisali I = ku, bolj pogosto pa za konstanto k pišemo velik G, ki ga imenujemo pevodnost I = GU. Bolj znana oblika te enačbe je v obliki, kje je napetost zapisana kot funkcija toka U = I / G = RI. Zveze med veličinami so toej pogosto peposte. Poznati pa je potebno veličine, njihovo povezavo, pogosto pa tudi omejitve upoabe. U = RI imenujemo pogosto Ohmov zakon in če je zakon, bi moal vedno veljati. V esnici Ohmov zakon ni zakon v pavem smislu, saj ne velja vedno. Vsaj ne v lineanem smislu. Dobo vemo, da obstaja vsta napav, kje je zveza med napetostjo in tokom izazito nelineana. Osnovni tak element je polpevodniška dioda, ki izkazuje veliko pevodnost le v eni smei. SLIKA.1: A) POVEZAVA MED NABOJEM IN NAPETOSTJO MED DVEMA PREVODNIMA TELESOMA. B) POVEZAVA MED TOKOM IN NAPETOSTJO MED DVEMA PREVODNIMA TELESOMA. C) NELINEARNA POVEZAVA MED TOKOM IN NAPETOSTJO. 6

10 Uvod. OSNOVNE ENAČBE (ZAKONI), KI OPISUJEJO ELEKTRIČNE POJAVE Osnovne veličine v elektotehniki, s kateimi opišemo elektomagnetne pojave, so elektična poljska jakost E, gostota elektičnega petoka D, gostota magnetnega petoka B in magnetna poljska jakost H. Toej ne napetost in tok, kot bi moda pičakovali. So pa seveda te veličine z napetostjo in tokom neposedno povezane. Pav tako povezave med temi osnovnimi veličinami niso tako peposte, kot smo v pejšnjem odstavku ugotavljali za povezave med napetostjo in tokom in nabojem te napetostjo. Za azumevanje povezav med E, D, B in H potebujemo nekaj matematičnega znanja. Tega si bomo pidobili spotoma. Vseeno jih zapišimo, da bomo videli, kaj nas še čaka ozioma, do kam bi adi pišli. Enačbe so znane kot Maxwellove enačbe in so zapisane tako v integalni kot difeencialni obliki: D D H dl = ikond + ic = J kond + d A ali oth = J kond + t L A t B B E dl = da ali ote = t t L A B da = ali divb = A D da = ρdv ali divd = ρ A Da bi jih bolje azumeli potebujemo čas in tudi nekaj matematičnega znanja. Vidimo, da jih zapišemo z integalnim ačunom, da so veličine večinoma vektoske (azen ρ, ki je gostota naboja), da ge za azlične tipe integacij, po povšini, po liniji, po volumnu, itd. Če bi jih znali»bati«, bi lahko iz pve enačbe zaključili, da elektični tok in/ali spememba elektičnega polja povzoča magnetno polje, iz duge enačbe pa, da spememba magnetnega polja povzoča elektično polje. To pa je tudi osnova za azumevanje elektomagnetnega valovanja. Iz tetje enačbe sledi, da magnetno polje nima ne začetka ne konca, je samo vase zaključeno, iz čette pa, da so vi elektičnega polja elektični naboji. Toliko zaenkat. Naj ponovim, da so enačbe le navžene, in to zato, da vidimo, da osnovnih enačb (zakonov) v elektotehniki ni veliko in da niso zapisane s tokom in napetostjo (Ohmov zakon) pač pa z elacijami med elektičnim in magnetnim poljem. Na tem bo tudi poudaek v dveh semestih. Na azumevanju pojmov povezanih z elektičnim in magnetim poljem, njihovim pomenom za azumevanje elektičnih pojavov in njihovim vplivom na okolico. Šele, ko bomo elektično in magnetno polje sposobni ovednotiti, ga bomo lahko poskušali»ukotiti«ozioma upoabiti nam v koist. (.1) (.) (.3) (.4) 7

11 Uvod. MATEMATIČNI UVOD Potebna pedznanja niso toliko povezana s pedznanji iz elektotehnike, čepav je pedvsem na začetku nekoliko lažje tistim študentom, ki že imajo določene izkušnje in znanje o elektičnih pojavih. Potebna pedznanja, ki jih najbolj pogešamo, so pedvsem matematična. Že v uvodnih poglavjih bomo ugotovili, da bez infinitezimalnega in integalnega ačuna (odvodov in integalov) ne bo šlo, saj so že najosnovnejše elacije med elektičnimi veličinami pogosto izažene z upoabo le teh. In kako to, da se je bilo v sednji šoli mogoče izogniti tem zapisom in kljub vsemu obavnavati elektotehniške pojave? Zato, ke se jih je obavnavalo zelo poenostavljeno. Np., če je tok I skozi določen pesek (žice) konstanten, je množina naboja, ki se petoči skozi ta pesek v času T enaka zmnožku toka in časa, toej Q = IT *. Kaj pa če tok ni ves ta čas konstanten? Potem nam da enačba napačen ezultat. Pavilnega dobimo šele z integacijo toka po času toej Q = idt. Pi tem moamo še označiti, od kateega do kateega časa ačunamo petečen naboj. To zapišemo tako, da pod znak za integal napišemo začetni čas (np. t 1 ), nad znak pa končni čas (np. t n ). Ustezen zapis za petečen naboj v času od t 1 do t n je toej t n Q = idt. Temu ečemo meje integacije, toej ečemo, da integiamo od t1 časa t 1 do t n. Pvemu integalu (bez označenih meja) ečemo nedoločen integal, dugemu (z označenimi mejami) pa določen integal. Pi matematiki se boste poučili, kako se ačuna integale. V končni fazi ge za določena pavila oz. postopke, ki jih je potebno znati. Večina integalov, ki jih bomo mi upoabljali, so zelo peposti in so dostopni v vsakem matematičnem piočniku. Velja tudi opozoiti, da vsi integali niso (analitično) ešljivi, toej ne moemo zapisati končne enačbe, v kateo bi le še vstavili vednosti in izačunali ezultat. V esnici lahko zelo hito pidemo do takih zapisov integalov, ki nimajo analitične ešitve. Še posebno pogosto je to pi eševanju konketnih poblemov v paksi. Edini izhod nam ponuja numeično eševanje s pomočjo ačunalnika. Nekaj več o tem v nadaljevanju. OD VSOTE DO INTEGRALA Pikažimo pot od izačuna naboja z vsotami poduktov toka in časa, do zapisa z integalom. Naj se tok speminja tako, da v času t teče tok i 1 1, v času tteče tok i, v času t teče tok i 3 3, itd. V času t 1 toej steče i 1 t 1 naboja, v času t steče i t, itd. Celotni naboj, ki peteče od začetnega intevala t 1 do zadnjega intevala tn zapišemo z vsoto je Q = i1 t1 + i t + i3 t in tn, ka matematično bolj elegantno n i i. Sedaj imalo le še koak do zapisa z integalom. Ge pa zato, da če se i= 1 Q = i t tok speminja poljubno in seveda želimo natančno določiti petečen naboj, moamo naediti časovne intevale izedno majhne. Naedimo jih infinitezimalno ali difeencialno majhne, da se tok v tem izedno katkem času paktično ne spemeni. Iz časovnih difeenc tako z limitianjem poti nič dobimo * Pi avtomobilskih akumulatojih se pogosto poda kapaciteta akumulatojev v ameskih uah (Ah), ka po enačbi Q = IT usteza definiciji naboja. Ge za množino naboja, ki ga lahko izkoistimo. V paksi je ta množina odvisna tudi od načina poabe. Pi večjih obemenitvah (večjih tokih) se»kapaciteta«svinčenih akumulatojev zmanjša. Za več vpiši Penket s law v Google. 8

12 Uvod. difeencial časa dt = lim t, iz vsote s časovnimi difeencami, ki limitiajo poti nič pa dobimo t integal, toej Q = lim i t = idt n i t i = 1 t n. t1 SLIKA.: PRIKAZ INTEGRACIJE TOKA: A) DIFERENCE, B) INTEGRAL V konketnem pimeu smo si pogledali, kako pidemo do naboja z integacijo toka po času. Podoben pime je integacija np. hitosti po času. Rezultat je pot, ki jo objekt s hitostjo v opavi v tem času. Če se hitost speminja le v smei np. X osi, potem je pot, ki jo opavi objekt s hitostjo v x =. x v dt x Hkati vemo, da je hitost lahko azlično velika v azličnih smeeh, jo je potebno pisati kot vekto v. Rezultat integacije vektoja hitosti po času pa je pot (v 3D), ki jo objekt s hitostjo v opavi: vdt. Ni pa nujno, da integacija vedno poteka po času pač pa po poljubni spemenljivki. Zelo pogosto je to azdalja. Če se np. določena veličina, np. sila, speminja z azdaljo, dobimo kot ezultat integacije delo, ki jo pi tem sila opavi. Če se sila speminja le v smei poti, np. X, ka lahko označimo z F x, dobimo z integacijo enegijo W = F dx, kje je sedaj dx difeencial poti. Bolj zapleteno integacijo x x pa dobimo v splošnem pimeu, ko se sila po poljubni poti tudi poljubno speminja. V tem pimeu moamo tako silo kot pot opisati z vektojema ( F in ), difeencial poti pa z vektojem d. Po definiciji (to pomeni, da smo si mi izbali tak način izaažanja), je delo po poti odvisno le od tiste sile, ki deluje v smei poti. To pa dobimo s skalaim poduktom, ki (po definiciji) pedstavlja podukt dveh vektojev in cosinusa vmesnega kota ( C = A B = AB cos α AB ). V našem konketnem pimeu to pomeni, da en del celotnega dela (tisti del na difeencialno majhni azdalji d ) dobimo s skalanim množenjem vektoja sile in difeenciala poti dw = F d, celotno delo pa z integacijo W = F d. Vse te, in tudi duge, oblike integalov bomo v nadaljevanju potebovali, zato potebujemo tako njihov»fizikalni«pomen, kot tudi matematični način eševanja integalov. OD NAKLONA DO ODVODA Poleg integacije, ki nam»govoi«o kumulativnem seštevanju pispevkov, so pogosto elacije med fizikalnimi veličinami povezane s hitostjo spememb določene veličine. Če imamo veličino podano gafično (np. kot spemembo opavljene poti po času), lahko dobimo hitost spemembe poti v času (ka tudi običajno poimenujemo hitost) iz naklona funkcije v določenem časovnem intevalu, np t. = 9

13 Uvod. Vzemimo, da nas zanima hitost spemembe (hitost) ob času t. To naedimo tako, da naedimo azliko vednosti funkcije (poti) v času t in nekoliko kasneje (ob času t + t), toej x = x( t + t) x( t) in jo delimo s časovnim intevalom t. Dobimo velikost spemembe poti v x spemembi časa, ka je hitost v( t). V konketnem pimeu nismo upoabili enačaja, ke je t hitost ob času t izačunana s pomočjo kvocienta difeenc nekoliko odvisna od izbie intevala t, v kateem izačunamo hitost. Najbolj natančno bi določili hitost ob času t tako, da bi časovni inteval zmanjšali poti nič. Dobili bi naklon kivulje ob času t, ki pedstavlja tangento na kivuljo v tej točki. Z dx x limitianjem intevala tpoti nič dobimo odvod, ki je definian kot = lim, ka je tudi eksaktno dt t t dx enako hitosti v =.(V splošnem sta tako pot kot hitost vektoja in je usteznejši (pavilnejši) zapis dt d v = ). dt SLIKA.3: DOLOČANJE NAKLONA V DOLOČENEM ČASOVNEM INTERVALU IN DOLOČANJE ODVODA V DOLOČENEM ČASU IZ TANGENTE NA FUNKCIJO V TEJ TOČKI (ČASU). OSNOVNE VELIČINE Veličine (fiziki upoabljajo namesto izaza veličina izaz količina) ki jih bomo obavnavali večinoma že poznate. Np. elektični naboj (v elektotehniki pogosto imenujemo tudi elektina), tok, napetost, moč, enegija, itd. Iz sednje šole poznate tudi določene elacije med njimi, na pime povezavo med tokom in nabojem Q = It, med napetostjo in tokom U = IR ipd. Ugotovili bomo, da so te zveze le pogojno ustezne, np. Q = It le v pimeu, ko je tok konstanten in U = IR le za določene tipe elementov (lineanih upoov). Poleg tega tudi definicije določenih veličin niso najbolj peposte. Na pime definicija elektične napetosti, ki je definiana kot delo, ki ga opavi elektična sila pi pemiku enote naboja (1 C) od enega do dugega mesta. 1

14 Uvod. MERSKE ENOTE IN PISANJE ENAČB Za vsako veličino upoabljamo določen simbol, običajno eno čko abecede, pogosto gške *. Simbol za napetost je U, za tok I, tempeatuo T itd. Opazili ste že, da pišemo simbole za veličine poševno. To pa zato, da jih ločimo od meskih enot, katko ka enot, ki jih pišemo pokončno. Kot pime zapišimo U = 5 V. Med številsko vednostjo in enoto je paviloma pesledek. Mesko enoto pedstavimo z imenom in simbolom. Ime enote za napetost je volt, simbol pa V. V svetu se je uveljavil sistem meskih enot, ki ga s katico imenujemo SI (Sisteme Intenational). Obsega sedem osnovnih enot in vsto izpeljanih. Osnovne enote so kilogam (kg), mete (m), sekunda (s), ampe (A), kelvin (K), kandela (cd), mol (mol), adian (ad) in steadian (s). Izpeljane enote pa so na pime m/s za hitost itd. Zanimivo je, da je elektični tok edina elektična veličina, ki spada med osnovne enote (kilogam, mete, sekunda, Ampe). Bolj natančne definicije osnovnih enot si pebeite v Uadnem listu RS št.6/1 ( ali pa v množici dugih spletnih stani, np. OZNAČEVANJE V elektotehniki pogosto upoabljamo pedpone k meskim enotam. To je potebno zato, ke je ed velikosti veličin zelo azličen. Kapacitivnosti so pogosto eda miko, nano ali piko faadov (µf, nf, pf), upoabljajo se napetosti od miko voltov do mega voltov itd. Zveze nam pikazuje peglednica: vednost ime pedpona pime 1-1 piko p pf (piko faad) 1-9 nano n ns (nano sekunda) 1-6 miko µ µa (miko ampe) 1-3 mili m mv (mili volt) 1 3 kilo k kω (kilo ohm) 1 6 mega M MW (mega vat) Intelova 65 nm tehnologija SRAM spominskih celic. Na mm je nekaj 1 milijonov takih tanzistojev. * Simboli za veličine so več ali manj ustaljeni. Tako se za tok upoablja čka i, za napetost U itd. Ke pa nam v določenih pimeih zmanjka čk ali pa se na dugih podočjih upoabljajo iste čke upoabljajo za označevanje dugih veličin, je v določenih pimeih potebno biti peviden in pavilno abo azbati iz»konteksta«. Np., simbol ρ(gška čka o) se upoablja kot simbol za volumsko gostoto naboja a hkati tudi za specifično elektično pevodnost. Podobnih pimeov je še mnogo. Pogosto v liteatui zasledimo upoabo dugih meskih enot, kot smo jih navajeni. Te so lahko posledica upoabe dugega meskega sistema (np. CGS: centimete-gam-sekunda), kje se na pime namesto enote tesla za gostoto magnetnega polja upoablja enota gauss. V konketnem pimeu je petvoba diektna 1 T = 1 4 gaussa. Načeloma je upoaba staih enot pepovedana, zaadi inecije upoabnikov pa jih (še posebno v paksi) še vedno pogosto upoabljamo. Zato je v določenih pimeih dobo poznati tudi enote, ki naj se ne bi več upoabljale. 11

15 Uvod. 1 9 giga G GJ (giga džul) 1 1 tea T TW (tea vat) GRADNIKI SNOVI Zavedati se moamo, da so elektični pojavi posledica lastnost naše naave, ki je sestavljena iz atomov, ti pa iz jeda iz potonov, nevtonov in oblaka elektonov. Elektoni in potoni imajo lastnost, ki ji ečemo naboj. Elektoni imajo negativni naboj, potoni pa pozitivnega. Pedznak nabojev je seveda naša odločitev. Pvi je koncept pozitivnih in negativnih nabojev vpeljal Benjamin Fanklin. Čisto lahko bi se lahko Fanklin odločil tudi za obatno pojmovanje. Pevodniki, polpevodniki, izolatoji. Dokle ima atom enako število pozitivnih in negativnih nabojev, je nevtalen. Atomi so običajno vezani med seboj in tvoijo zelo azlične tvobe. V kovinah so atomi, ki običajno tvoijo vezi, pi kateih je del elektonov zelo Joseph John Thomson, pofeso fizike na univezi Cambidge, je leta 1897 v ekspeimetih s katodno cevjo opazil delce (elektone), ki so šibko vezan na jedo in se z lahkoto od jeda odcepi in se»posto«giblje po mateialu. Zato za kovine smatamo, da so dobi pevodniki. Naspotni pime so izolatoji. Pi izolatojih ni postih ali pa je zelo malo postih elektonov, ki lahko delujejo kot nosilci toka. Zato so izolatoji slabi pevodniki elektičnega toka. Poseben pime pedstavljajo polpevodniki. Že ime samo pove, da so njihove lastnosti nekaj vmes med pevodniki in izolatoji. Čisti polpevodniki so običajno izolatoji (np. silicij ali gemanij). Če pa jim vstavimo pimesi (np. z mikotehnološkim pocesom dopianja), postanejo te snovi bolj pevodne. Pevodnost teh snovi toej lahko speminjamo, še posebno pa je zanimivo, da je I-U kaakteistika ustezno dopianih polpevodniških elementov pogosto nelineana. Na tak način ealiziamo polpevodniške elemente, ki jih poznamo kot diode, tanzistoje. Te lahko integiamo v mikoelektonske komponente (integiana vezja) *. Poseben pime so še supepevodniki, snovi, ki pi določeni tempeatui izgubijo upoovne lastnosti. Benjamin Fanklin ( ) je bil izjemen politik (pisec ameiške ustave) pa tudi izjemen znanstvenik. Pvi je ločil naboje na pozitivne in negativne, izumil izaze bateija, naboj, pevodnik, pozitivni in negativni naboj itd. Najbolj znan (in tudi nevaen) je njegov dokaz, da je stela elektičen pojav. To je pokazal z ekspeimentom z zmajem, ki se ob dežju namoči in postane pevoden. Ob stelah se del toka azelektitve penese peko zmaja na zemljo. Iz teh aziskav sledi tudi njegov izum stelovoda. * Godon E. Mooe, soustanovitelj podjetja Intel, je že leta 1965 zapisal znamenito ugotovitev, da se gostota tanzistojev na integianem vezju veča eksponentno s časom vsaki dve leti se pibližno podvoji. V podjetju Intel so leta 7 pikazali zmožnost poizvajati tanzistoje velikosti 45 nm na 3 mm veliki silicijevi ezini. ( 1

16 Naboj in tok Naboj in tok Vsebina poglavja: naboj, zakon o ohanitvi naboja, tok, pedznak toka, kontinuitetna enačba. NABOJ (ELEKTRINA) Vsi naboji pispevajo k elektičnim pojavom. V tem smislu bi moali pi analizi v pincipu upoštevati vse naboje v atomu, molekuli, snovi, tako elektone kot potone. V paksi pa je pogosto dovolj, da se osedotočimo le na vplive pesežkov nabojev, saj je njihov vpliv na elektične pojave največji. Omenili smo že enoto naboja 1 C (Coulomb ali slovensko kulon). Najmanjša vednost naboja je naboj elektona, ki je pibližno 1, C in ke je ta naboj negativen, moamo upoštevati še negativen pedznak. 1 C je toej mnogo elektonov. Koliko? 1/1, 6 1 6, 5 1. To pa je veliko delcev in da bi obavnavali vsakega posebej je paktično neizvedljivo. Bolj pogosto obavnavamo naboje v smislu njihove koncentacije ozioma gostote poazdelitve. ZAKON O OHRANITVI NABOJA Kako nastaja naboj? Ugotovitve kažejo, da naboj ne moe iz nič nastati, niti se ga ne da izničiti. To dejstvo opišemo kot zakon o ohanitvi naboja, ki je fundamentalen (osnovni) zakon. Pavi, da je v izolianem sistemu vsota vseh nabojev konstantna. Q = konstanta (1.1) i i znotaj izolianega sistema SLIKA 1.1: SISTEM IZOLIRANIH NABOJEV Če je konstanta (vsota nabojev) pozitivna, govoimo o pesežku pozitivnih nabojev, če je negativna o pesežku negativnih nabojev, če pa je enaka nič, je sistem nevtalen (ima enako število pozitivnih in negativnih nabojev). Pi vseh pej omenjenih pimeih azelektitve in naelektitve ge toej za peazpoejanje naboja. Naboj toej ne moe»iz nič«nastati niti ne moe»izginiti«. V tem smislu lahko ečemo, da je neuničljiv. Fizikalno matematično ečemo, da je elativistična invaianta, je količina, ki se ne spemeni tudi če se sistem giblje s hitostjo blizu svetlobne. (To pa ne dži za maso, ki se ob velikih hitostih speminja v skladu z znano povezavo med maso in enegijo delcev (Einstein). Toej za 13

17 Naboj in tok 1. maso ne moemo tditi, da velja zakon o ohanitvi mase. Ta velja le, če so hitosti sistema majhne v pimejavi s svetlobno hitostjo. Ka pa zelo pogosto dži.) Pime: Vzemimo izolian sistem v kateem imamo ti telesa. Dve nevtalni, na enem pa je pesežek pozitivnega naboja 1 mc. Ob stiku teh teh teles se penese 5 mc na eno, mc pa na dugo telo. Koliko naboja je ostalo na pvotno naelektenem telesu? V skladu z zakonom o ohanitvi naboja moa veljati Q1 + Q + Q3 = 1 mc, tako ped stikom teles kot po stiku. Po stiku teles je Q = 5 mc, Q 3 = mciz česa sledi ( ) Q = 1 mc- Q + Q = 3mC. 1 3 V neposedni povezavi z zakonom o ohanitvi naboja je tudi kontinuitetna enačba, ki opisuje povezavo med elektičnim tokom in nabojem. ELEKTRIČNI TOK (KONTINUITETNA ENAČBA) Nosilci elektičnega toka so naboji, ečemo jim lahko tudi elektine. Če ti miujejo, elektičnega toka ni. Tako kot ni vodnega toka, če je jez zajezen. Če pa jez odpemo, da lahko voda steče po stugi ali po cevi, pa seveda govoimo o vodnem toku. Tako je tudi pi elektiki. Če se naboji»petakajo«iz enega mesta na dugo, govoimo o elektičnem toku. Če je časovna spememba penesenega naboja večja, pomeni, da je v tem času tekel večji tok. Matematično to na simbolni način lahko zapišemo v smislu petečenega naboja skozi določen pesek v določenem času petečen naboj TOK = čas petakanja ali kot spemembo količine naboja v določenem objektu v določenem časovnem intevalu spememba naboja TOK = spememba časa. Matematično to zapišemo v obliki Q( t + t) Q( t) Q i = = ( t + t) t t, kje Q pedstavlja spemembo množine naboja v časovnem intevalu t. Če se spememba naboja odvija zelo hito, je potebno časovne intevale t vzeti zelo male, v idealnem pimeu tako majhne, da ge t. V tem pimeu dobimo bolj splošno definicijo toka v obliki i = lim t Q t, ka pa v matematiki pedstavlja definicijo odvoda. Elektični tok lahko toej definiamo kot odvod naboja po času, ka zapišemo kot i dq dt =. (1.) SLIKA 1.: ELEKTRIČNI TOK JE ENAK HITROSTI SPREMINJANJA MNOŽINE NABOJA NA TELESU (OBJEKTU). 14

18 Naboj in tok 1. Pime: Naboj na objektu se lineano manjša s časom. Ob času t = 1 s je Q = µc, ob času t =5 s pa 1 µc. Določimo tok (ki teče) iz objekta v tem času. Izačun: Q 1µC µc I = = =,5 µc/s =,5 µa. t 5 s 1s PREDZNAK TOKA Po dogovou je sme toka v smei pemikanja (petakanja) pozitivnega naboja. Np. tok A iz leve v desno pedstavlja petakanje C naboja na sekundo iz leve v desno. Če nas zanima kopičenje naboja na določenem telesu, usmeimo tok v sme pitekanja naboja in velja zveza i v smei pitekanja dq = +. (1.3) dt Če pa je sme toka stan od opazovanega naboja, je potebno upoabiti negativni pedznak (v smei odtekanja pozitivnega naboja): i v smei odtekanja dq =. (1.4) dt SLIKA 1.3: RAZLAGA PREDZNAKA PRI ZVEZI MED NABOJEM IN TOKOM. Pime: Naboj na pozitivni sponki akumulatoja je konstanten se ne speminja s časom. Kolikšen je elektični tok, ki izhaja iz sponke? Matematično lahko zapišemo, da je naboj na pozitivni sponki enak Q( t) = Q. Iz osnov matematike vemo, da je odvod konstante enak nič, toej bo ta tok seveda enak nič. Do enakega ezultata pidemo z azmislekom, da ke ni odtekanja naboja tudi ni toka. Kaj pa, če ecimo na akumulato piključimo žanico in se naboj na pozitivni sponki akumulatoja 1C manjša lineano, np. v 1 sekundah za 1 C? Matematično to zapišemo kot Q( t) = Q t. V 1 s tem pimeu je skozi žanico (stan od pozitivne sponke) elektični tok dq 1C i = = = 1, C/s. Ke vemo, da je enota za tok A(mpe), je ezultat toej 1, A. dt 1 s Ponovno vidimo, da velja 1 C = 1 A.s. 15

19 Naboj in tok 1. Vpašanje: Kaj pomeni pozitivni pedznak toka? Odgovo: To, da s pozitivne sponke odtekajo pozitivni naboji s»hitostjo«1, C/s, ozioma bolje - s tokom 1, A. Vpašanje: Kakšen pa je v esnici način gibanja nabojev v pevodnikih? Odgovo: Kot smo že ugotovili, v pevodniku pevajajo elektoni, ka pomeni, da ge v esnici za penos elektonov peko žanice v smei pozitivne sponke, kje smo imeli pej višek pozitivnih nabojev ozioma 5 pomanjkanje elektonov. Vpašanje: Ali steče tok skozi žanico šele tedaj, ko do nje pidejo elektoni iz akumulatoja? Odgovo: poiščite ga sami... Q / C Pime: Naboj na pozitivni elektodi kondenzatoja se speminja eksponentno po enačbi t 1 s ( ) = 5 1 e mc Q t Določimo tok naelektitve, če sme toka označimo v smei pozitivne elektode. Izačun: Glede na označitev moamo upoabiti enačbo dq d 1 i = iv smei = = e = e = e elektode dt dt 1s t t t 1s 1 s 1s 5 1 mc 5 mc,5 ma Pozitivni ezultat pomeni, da teče v smei pozitivne elektode pozitiven naboj t / s SLIKA: Elektenje (polnenje) kondenzatoja. Naboj (moda polna čta) eksponentno naašča poti vednosti 5 mc. Tok (zelena čta) je v začetku največji. KONTINUITETNA ENAČBA dq Enačbo i(t) = imenujemo tudi kontinuitetna enačba, saj v smislu zakona o ohanitvi naboja dt pove, da v koliko iz elektično zaključenega sistema izhajajo naboji, je to posledica elektičnega toka. NABOJ KOT INTEGRAL TOKA Kaj pa obatno? Če poznamo tok, koliko naboja se»petaka«? Gonjo enačbo je potebno»pedelati«, ka naedimo tako, da na obeh staneh kontinuitetne enačbe množimo z dt in dobimo idt = ± dq. Sedaj le še integiamo obe stani in dobimo 16

20 Naboj in tok 1.. Z besedami: naboj je integal toka po času. (1.5) Q( t) = ± idt + konst Konstanta je odvisna od naboja, ki je bil na telesu ped vklopom toka. Lahko bi integal zapisali tudi kot določen integal z integacijo po času od nekega časa t do časa t: Q( t) dq = ± idt ka dá Q( t ) t t t Q( t) = Q( t ) ± idt. (1.6) t Pedznak ped integalom je pozitiven v pimeu, ko je tok usmejen v sme»kopičenja«naboja Q( t). Pime: Ob času t = s piklopimo akumulato naelekten s 5 C na beme. Iz pozitivne sponke akumulatoja je v vezje konstanten tok, A. Koliko naboja je na pozitivni sponki akumulatoja ob času t = 1 minut? Poglejmo si ti azlične pistope k izačunu:: 1. Izačunamo petečen naboj in ga odštejemo od celotnega: Q ( t = 1 min) = (, A)dt =, A ( t t ) =, A 1 min =, A 1 6 s = 1 A s. V petečen t t času 1 minut je skozi pesek žice pešlo 1 As ozioma 1 C naboja. Na pozitivni sponki ga je toej ostalo še 5 C 1 C = 38 C.. Izačun z nedoločenim integalom (en. (1.5)), kje moamo dodatno izačunati konstanto: Q( t) = (, A)dt + konst =, A t + konst. Konstanto določimo iz pogoja Q( t = ) = 5 C konst = 5 C. Sledi Q( t) = 5 C, A t in Q( t = 1min) = 5 C, A 1min = 38 C. 3. Izačun z določenim integalom (en. (1.6)): 1min 1min min. Q( t) = Q( t = ) (, A)dt = 5 C, At = 1 C KONSTANTEN TOK Ob konstantnem toku velja lineana zveza med nabojem in tokom t Q = Idt = I dt = It t. (1.7) To zvezo poznamo že iz sednješolske fizike: naboj je podukt toka in časa. Ugotovili smo že omejeno veljavnost zapisa Q = It, saj velja le za konstatne toke. 17

21 Naboj in tok 1. Za doma: 1. Odgovoite na vpašanja za obnovo.. Pebeite si o osnovnih meskih enotah. 3. Obnovite znanja o odvodih in integalih. Piskbite si list z osnovnimi odvodi in integali. 4. Rešite Test1 na stani Za aziskovalce: Benjamin Fanklin je znameniti Ameičan. Poiščite več infomacij o njegovem življenju, delu in aziskavah, ki jih je opavil v elektotehniški znanosti. Vpašanja za obnovo: 1) Kolikšna je vednost in pedznak osnovnega naboja? ) Kaj»pavi«zakon o ohanitvi naboja? 3) Kakšna je zveza med tokom in nabojem kontinuitetna enačba? Kako iz toka izačunati petečen naboj ali iz spemembe naboja tok. dq dq 4) Kdaj velja i = + in kdaj i =? dt dt 18

22 Coulombov zakon.. Coulombov zakon Vsebina: sila med točkastima nabojema, dielektična konstanta vakuuma, vektoski zapis sile, supepozicija sil. Že stai Gki so ugotovili, da med naelektenimi telesi deluje sila, ki jo je William Gilbet leta 16 v znameniti knjigi De Magnete poimenoval elektična sila. Kljub znanstvenim aziskavam je peteklo ka nekaj časa, da je bila dognana zveza med velikostjo sile in naboji, ki to silo povzočajo. Osnovno zakonitost je s pomočjo ekspeimenta s tozijsko tehtnico dognal Chales Augustin de Coulomb. Ugotovil je, da je sila med dvema naelektenima koglicama popocionalna poduktu nabojev in invezno popocionalna kvadatu azdalje med koglicama. Matematično to zapišemo kot Q1Q F = k, (.1) kje je k konstanta. Odvisna je od izbie meskega sistema. V sistemu meskih enot, ki je v veljavi dandanes (SI), velja 1 k = in je pibližno enaka 4πε 9 V m k 9 1. A s ε imenujemo dielektična konstanta vakuuma * in je enaka 1 ε 8,854 1 As/Vm. Coulombova tozijska tehtnica, s kateo je izvajal poskuse in ugotovil povezavo med nabojem in silo. Da bi bila enačba točna, moata biti koglici čim manjši. Eksaktno enačba velja le za tako imenovane točkaste elektine. To je čista matematična fomulacija, saj točkastih nabojev v naavi ni. Še tako majhen naboj ima določen polme, četudi majhen. Je pa koncept točkaste elektine (točkastega naboja) zelo pomemben v elektotehniki in z njegovo pomočjo izpeljemo izaze za silo med naelektenimi telesi. Pime: Določimo elektično silo med dvema točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = 5 µc, ki sta oddaljena za 1 cm. Izačun: Q1Q 9 V m µc 5µC F = k = 9 1 = 9N. A s (,1 m) * Pogosto tudi zak smatamo za posto bez nabojev, v kateem določamo silo med naboji na enak način kot v vakuumu. Kasneje bomo ugotovili, da je za izačun sil in elektičnega polja v azličnih medijih potebno upoštevati vpliv samega medija. Ta vpliv opišemo z elativno dielektično kostanto. Za vakuuma je ta 1, za zak pa 1,59. Polme elektona je, m. 19

23 Coulombov zakon. Iz ezultata lahko ugotovimo, da smo enoto N(ewton) ka pipisali, saj bi po izvajanju moala biti enota za silo VAs/m. To tudi je ekvivalentna enota za silo, le da je bolj običajno, da silo izazimo z enoto iz mehanike, newtnom (njutnom). Izačun sile med točkastimi naboji je toej pepost. Potebno pa je poudaiti, da je sila vektoska veličina, saj ima poleg velikosti tudi sme. Kot smo že omenili, je sme sile taka, da se enako naznačena (pedznačena) naboja odbijata, naspotno naznačena pa pivlačita. To pavilo moamo le še zapisati v matematični obliki in ga upoštevati pi izačunu sile. Pi tem si pomagamo z vektoskim zapisom. Silo zapišemo kot vekto, hkati pa z vektoji zapišemo tudi pozicije mest, kje se naboji nahajajo. SLIKA.1: ODBOJNA IN PRIVLAČNA SILA MED NABOJI. ZAPIS SILE V VEKTORSKI OBLIKI Imejmo točkasta naboja Q 1 in Q, ki se nahajata v točkah T 1 in T, kje je točka T 1 določena s koodinatami (x 1, y 1, z 1 ) in T z (x, y, z ). Vekto iz koodinatnega izhodišča do točke T 1 označimo z 1 in ima komponente (x 1, y 1, z 1 ) te s komponentami (x, y, z ). Določimo še vekto, ki kaže iz točke T 1 v točko T. Ta je 1 = ozioma 1 = ( x x, y y, z z ) Da bi izačunali vekto sile, moamo velikosti sile, določeni z enačbo Q1Q F = k, dodati še sme. Sme sile, ki jo naboj Q 1 povzoča na naboj Q bo v smei vektoja 1. Potebujemo toej vekto, ki kaže v smei vektoja 1, njegova velikost pa je 1. Ta vekto imenujemo enotski vekto in ga dobimo tako, da vekto 1 1 delimo z njegovo absolutno vednostjo (velikostjo): e = 1. Sila na Q, ki jo povzoča naboj Q 1, zapisana v vektoski obliki, je 1 1 Q Q F = F = e Q 1 1 4πε 1 1. To enačbo imenujemo Coulombov zakon. (.) Zapisana sila je sila na naboj Q, če pa želimo izaziti silo na naboj Q 1, moamo obniti vekto 1, ozioma upoštevati F 1 = F. 1

24 Coulombov zakon. SLIKA.: SILA MED NABOJEMA Q1 IN Q. Pime: Vzdolž X osi sta na azdalji 3 m naboja Q 1 = µc in Q = 3 µc. Določimo silo na Q. Izačun: F 9 1 N = 6 1 N. 3 Če si naišemo skico ugotovimo, da bo sme sile v smei osi X. Silo lahko toej zapišemo kot vekto 3 F ex 6 1 N. Pime: Določimo elektično silo med točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = -5 µc. Q 1 se nahaja v točki T 1 (1,,) cm, naboj Q pa v točki T (,3,1) cm. Izačun: Zapišimo točki z vektojema 1in te tvoimo vekto 1 = ( 1, 3,1 ) cm = (1, 3, 1) cm. Enotski vekto dobimo tako, da delimo vekto z njegovo absolutno vednostjo: = + + = ( 1) cm 11 cm Sila na naboj Q je toej 11 9 V m 1 A s (1,3, 1) -4 in e 1 (1,3, 1)cm (1,3, 1). 11cm 11 1 = = = 1 Q1Q 1 µc ( 5µC) (1,3, 1) FQ = F 1 = e = = 1 4πε 1 4πε 11cm 11. = 9 1 4,7 (1,3, 1) N 11 1 m 11 1 Rezultat je negativen, toej sila kaže v naspotno sme kot vekto 1, ka je seveda pavilno, saj sta naboja naspotnega pedznaka in se toej pivlačita. Dodatno: Kolikšna je komponenta sile v smei določene osi? Pomnožimo komponente z 4,7 in dobimo: F1 4,7 N e 74 N e + 4,7 N e. x y z SUPERPOZICIJA SIL 1

25 Coulombov zakon. Kaj pa če imamo ti ali več nabojev? Kako določimo silo na določen naboj? Določimo jo peposto s seštevanjem posameznih pispevkov sil. Matematično temu ečemo supepozicija in pincip seštevanja sil kot supepozicija sil. Sila na Q 1 bi bila toej enaka vsoti sil med nabojema Q 1 in Q, Q 1 in Q 3, Q 1 in Q 4, itd. F = F + F + F + Q1 Q Q1 Q3 Q1 Q4 Q1 (.3) VIRTUALNI EKSPERIMENT 1: PRIMER SUPERPOZICIJE SIL. VIR: Pime: Poleg nabojev Q 1 in Q iz gonjega pimea imamo še naboj Q 3 = 3 µc, ki se nahaja na mestu T 3 (,3,-3)cm. Določimo (skupno) silo na naboj Q. Izačun: Silo med nabojema Q 3 in Q je nekoliko lažje izačunati, saj je azdalja med nabojema 1 cm (azlika samo v smei z osi). Ke je en naboj pozitiven dugi pa negativen, bo sila na Q 3 v smei naboja Q, toej v smei z osi. Rezultat bo toej 1 Q Q 1 3µC ( 5µC) F = e = ( e ) = πε 3 4π ε (4cm) 1 9 V m 15 1 A s 9 1 e 84,38 N -4 z ez = = 16 1 m Skupni seštevek je F F F e e e. = = 4,7 N x + 74 N y + 59,675N z z Dva možna pistopa k ačunanju Coulombove sile: 1. matematični, pi kateem določimo vektoje 1,, 1, e in nato vstavimo v enačbo 1 1 Q1Q FQ = F 1 = e 1.(kot v pvem pimeu) 4πε 1. z azmislekom, pi čeme posebej določimo sme sile in velikost sile in nato zapišemo F = ef F.(kot v dugem pimeu)

26 Coulombov zakon. Vpašanja za obnovo: 1) Kdaj je sila med dvema nabojema odbojna in kdaj je pivlačna? ) Razloži Coulombov zakon. 3) Kako določimo azdaljo med nabojema, če sta mesti nabojev podani s koodinatami? 4) Kako tvoimo enotski vekto? 5) Zapišite vekto sile med nabojema. 6) Kako ačunamo silo na naboj v okolici več nabojev? 3

27 Elektična poljska jakost Elektična poljska jakost Vsebina poglavja: definicija elektične poljske jakosti, supepozicija elektičnega polja. Pojem elektične poljske jakosti je en najpomembnejših konceptov v elektotehniki. V osnovi abstakten pojem se bo kasneje izkazal kot ključen za določanje napetosti, enegije in dugih pomembnih veličin. Elektična poljska jakost je definiana kot sila na enoto pozitivnega naboja Q t = 1 C: F E = Q t. (3.1) Elektično poljsko jakost v poljubni točki v postou določimo tako, da v to točko postavimo poskusni (testni) naboj Q t in določimo silo na ta naboj. Nato silo delimo silo s poskusnim nabojem Q t in dobimo elektično poljsko jakost. Med točkastima nabojem Q in Q t je sila jakost na mestu naboja Q t je toej QtQ 4πε E t Q t 4π ε 4π ε, kje je azdalja med nabojema. Elektična poljska = 1 Q Q = Q. Ke pa je tako sila kot elektična poljska jakost vektoska veličina, moamo upoštevati še sme. Ta je v smei vektoja, ki je vekto od mesta naboja Q do testnega naboja Q t. SLIKA 3.1: VEKTOR ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI NA ODDALJENOSTI R OD TOČKASTEGA NABOJA Q. Elektična poljska jakost na oddaljenosti od točkastega naboja Q je toej enaka E = e Q 4πε. (3.) 4

28 Elektična poljska jakost 3. Pime: Določimo elektično poljsko jakost v koodinatnem izhodišču (,, ) cm, če se v točki T 1 (1,,) cm nahaja Q = µc. Izačun: Izačuna se lahko lotimo na enak način, kot da bi določali silo na (pozitivni) naboj Q t v točki (,, ). F Qt Q Q ( e ) 1 Q µc (1,,) t t = = = 4πε 4πε 5cm V m Qt 1 A s (1,,) 7 = 9 1 = Q -4 t 1,61 1 (1,,) V/m A s 5 1 m 5 Elektična poljska jakost pa je F Q t 7 7 E = = 1,61 1 (1,,)N/C = 1,61 1 (1,,) V/m. Q t Enota za elektično poljsko jakost je V/m. Iz pimea vidimo, da lahko sme elektične poljske jakosti določimo kot sme sile na namišljen pozitivni naboj. V pincipu je vseeno, kako velik je ta testni naboj, saj vidimo, da v enačbi sploh ne nastopa v enačbi nastopa naboj, ki povzoča silo na testni naboj. Naboj 1 C je zelo velika količina naboja, ki ga je (1) ealno nemogoče zbati v točki (v malem adiju) in () tak naboj bi vsekako pedstavljal izazito veliko silo na okoliške naboje in povzočil njihovo pemaknitev. Zato je bolj natančna definicija za elektično poljsko jakost, da je to sila na majhen poskusni pozitivni naboj, matematično F E = lim. (3.3) Qt Q t V čem je potem azlika med silo in elektično poljsko jakostjo? Pomembna konceptualna azlika je v tem, da je mogoče sile določati le med naboji, medtem ko je elektična poljska jakost definiana v vsaki točki v postou. SUPERPOZICIJA ELEKTRIČNEGA POLJA Kako določimo elektično poljsko jakost v točki, če je v okolici več nabojev? Enako kot smo določali silo na naboj v okolici več nabojev. V točko postavimo poskusni naboj, izačunamo silo na poskusni (pozitivni) naboj kot supepozicijo posameznih pispevkov sile te nato delimo s poskusnim nabojem. Ozioma, določimo elektično poljsko jakost za vsak naboj posebej in pispevke seštejemo. E = E + E + E + = E i i (3.4) SLIKA 3.: VEČ NABOJEV IN ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST V TOČKI KOT SUPERPOZICIJA ELEKTRIČNIH POLJSKIH JAKOSTI POSAMEZNIH NABOJEV. 5

29 Elektična poljska jakost 3. PRIKAZOVANJE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI V PROSTORU Ke je polje definiano v vsaki točki postoa, pomeni, da lahko v vsaki točki postoa ponazoimo polje z vektojem, ki kaže sme in velikost polja v točki. Običajno se spopijaznimo s tem, da išemo vektoje elektične poljske jakosti v določenih točkah v postou in tako pikažemo vektosko polje. Duga možnost je, da pikazujemo velikost polja (venda ne smei) z D ali 3D pikazom z obavanjem, pi čeme lahko na enem gafu pikažemo le eno komponento E-ja, np. E x ali le E y. Pogosto pa z obavanjem pikažemo absolutno vednost polja. SLIKA 3.3: PRIKAZOVANJE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA: A) Z VEKTORJI, B) 1D PRIKAZ, C) D PRIKAZ, D) 3D PRIKAZ. SLIKA 3.4: D IN 3D PRIKAZ ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI ZA POLJE V OKOLICI DVEH PREVODNIH NAELEKTRENIH VALJEV. NA DVEH SLIKAH NA LEVI JE PRIKAZANO ELEKTRIČNO POLJE V OKOLICI DVEH VALJEV NAELEKTRENIH Z NABOJI NASPROTNEGA PREDZNAKA (LEVI VALJ Z NEGATIVNIM, DESNI PA S POZITIVNIM NABOJEM), NA DESNI PA DVA VALJA Z ENAKO PREDZNAČENIM NABOJEM (POZITIVNIM). SMER POLJA PRIKAZUJEJO PUŠČICE (VEKTORJI), VELIKOST PA TAKO VELIKOST PUŠČIC, KOT TUDI OBARVANOST TOPLEJŠA BARVA PREDSTAVLJA VEČJO POLJSKO JAKOST. Vpašanja za obnovo: 1. Ponovite definicijo elektične poljske jakosti.. Enota. 3. Izpopolnjena definicija. 4. Konceptualna azlika med silo in elektično poljsko jakostjo. 5. Supepozicija poljske jakosti. 6

30 Poazdelitve nabojev 4. 7

31 Koodinatni sistemi Poazdelitve nabojev Vsebina poglavja: volumska, povšinska in linijska poazdelitev naboja in zapis z ustezno gostoto naboja. Spoznali smo že koncept točkastega naboja, za kateega pa smo že ekli, da ga v naavi ni. Najmanjši naboj je naboj elektona, s svojo maso, volumnom in kvantiziano množino naboja. Nadaljnji poblem je, da je množine osnovnih enot naboja, ki jih moamo vzeti v poštev običajno zelo veliko. Če samo malo podgnemo, se med telesi penesejo milijoni elektonov. Mi pa smo sposobni»na papiju«izačunati silo na nekaj točkastih nabojev. No, v pincipu bi lahko s supepozicijo izačunali tudi silo med nekaj milijoni nabojev. Ka pa ni običajno. Potebno je najti nek dug način obavnave naelektenih teles. Našli ga bomo v konceptu določitve azličnih tipov poazdelitve naboja v postou. Pedpostavili bomo, da je naboj zaadi velike količine delcev poazdeljen zvezno. V tem smislu bomo definiali ti načine poazdelitve nabojev: volumsko, povšinsko in linijsko poazdelitev naboja. VOLUMSKA GOSTOTA NABOJA Upoabljamo za opis naboja, poazdeljenega v volumnu. Opišemo ga z gostoto volumske poazdelitve naboja ρ. Enota je C/m 3. Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po volumnu, lahko Q gostoto volumskega naboja določimo kot ρ =, ozioma celotni naboj kot Q = ρv. Bolj pogosto V je, da ta naboj ni poazdeljen enakomeno, tedaj lahko enakomeno poazdelitev smatamo le v nekem zelo omejenem malem delu celotnega volumna V. Del celotnega naboja je toej Q = ρ V in če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq = ρ dv. Celoten naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po volumnu: Q = ρdv. V SLIKA 4.1: VOLUMSKA GOSTOTA NABOJA. POVRŠINSKA GOSTOTA NABOJA Upoabljamo za opis naboja, poazdeljenega po povšini. Opišemo ga z gostoto povšinske poazdelitve naboja σ. Enota je C/m. Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po povšini, lahko Q povšinsko gostoto naboja določimo kot σ =, ozioma celotni naboj kot Q = σ A. Bolj pogosto je, A da ta naboj ni poazdeljen enakomeno. Tedaj velja zveza Q = σ A le za en majhen del celotnega naboja na neki majhni povšini, toej Q = σ A. Če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq = σ da. Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po povšini: Q = σ da. A 8

32 Koodinatni sistemi 4. SLIKA 4.: POVRŠINSKA GOSTOTA NABOJA. LINIJSKA GOSTOTA NABOJA Upoabljamo za opis naboja, poazdeljenega po liniji (žici). Opišemo ga z gostoto linijske poazdelitve naboja q. Enota je C/m. Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po liniji, lahko linijsko gostoto Q naboja določimo kot q =, ozioma celotni naboj kot Q = ql. Če ta naboj ni poazdeljen L enakomeno, velja zveza Q = qlle za en majhen del celotnega naboja na neki majhni azdalji, toej. Če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq = q dl. Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po liniji: Q = q dl. L SLIKA 4.3: LINIJSKA GOSTOTA NABOJA. Nekaj pimeov... (Kmalu pa se bomo soočili še z enim poblemom. Če bi poznali poazdelitev naboja, bi še nekako izačunali posledice, toej elektično poljsko jakost in sile med naboji, telesi. Običajno pa te poazdelitve niti ne poznamo, poznamo pa ecimo napetosti med telesi. Potebno bo toej poiskati še zvezo med napetostjo in poazdelitvijo naboja. A o tem kasneje.) Vpašanja za obnovo: 1. Naštejte ti azlične poazdelitve naboja.. Zapišite enačbe, ki povezujejo gostote poazdelitve naboja s celotnim nabojem. 3. Iz znane poazdelitve naboja pikažite način za izačun celotnega naboja. 9

33 Koodinatni sistemi Koodinatni sistemi Vsebina: katezični, valjni (cilindični) in kogelni (sfeični) koodinatni sistem. Točka v koodinatnem sistemu. Difeencialni elementi v koodinatnih sistemih. Zakaj upoabljati več koodinatnih sistemov (KS), če nam je katezični koodinatni sistem (KKS) najbolj poznan in najbolj azumljiv? Odgovo je pepost: zato, ke je v določenih pimeih izačun mnogo bolj pepost z izbio dugačnega koodinatnega sistema. Na pime, če je naboj poazdeljen po povšini valja. Sama po sebi se ponuja najboljša izbia za matematični opis poazdelitve naboja upoaba valjnega koodinatnega sistema, itd. Za koodinatne sisteme, ki jih obavnavamo mi, je značilno to, da so vse avnine med sabo pavokotne. Takim koodinatnim sistemom ečemo otogonalni. KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM (KKZ) Točko v katezične koodinatnem sistemu določimo s pesekom teh avnin. V KKS so to ti avnine: x = x 1 y = y. z = z 1 1 Koodinate v KKS določa tojček (x,y,z). SLIKA 5.1: KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM. Vzdolž vsake osi lahko določimo difeencial dolžine. Dobimo ga z limitianjem (zmanjševanjem poti nič) majhnega dela dolžine: dl = lim L. V smei osi X je to dx, v smei osi Y je dy in v smei Z je dz. L V splošnem lahko difeencial poti v KKS zapišemo kot vekto: dl = exdx + eydy + ezdz. d l = (d x,d y,d z) Če pomnožimo vse ti difeenciale dolžine dobimo majhen difeencialen volumen zapisan v obliki dv = dx dy dz. 3

34 Koodinatni sistemi 5. Ploskvice tega difeencialnega volumna imenujemo difeenciali ploskev in so dx dy, dx dzin dy dz. Pogosto jim bomo dodali še sme, ki bo pavokotna na povšino. To imenujemo sme nomale na povšino. Kvadatku povšine dx dy bi toej pipisali sme osi Z. Velja toej: A y z d x = ex d d day = eydx dz A x y d z = ezd d SLIKA 5.: SMER NORMALE. Pimei:. VALJNI (CILINDRIČNI) KOORDINATNI SISTEM (CKS). Točka je v valjnem koodinatnem sistemu določena s pesekom teh avnin = 1 ϕ = ϕ z = z 1 1 Pva avnina je plašč valja, duga je polavnina okoli Z osi, ki jo določa kot φ, tetja pa avnina z eno vednostjo koodinate Z. Koodinate v CKS sestavlja toej tojček (, ϕ, z). Difeencial poti je dl = e d + e dϕ + e dz. Difeenciali povšine so ϕ da = e dϕ dz, da = e d dz, ϕ ϕ da = e dϕ d. z z z Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija), V tem pimeu je difeencial v smei osi Z določen z da z = πd 31

35 Koodinatni sistemi 5. Difeencial volumna je dv = ddϕdz. SLIKA 5.3: VALJNI KOORDINATNI SISTEM. Pime: Določimo ploščino diska z notanjim polmeom 1 cm in zunanjim polmeom 6 cm. Izačun: Vzamemo difeencial povšine, ki kaže v smei osi Z in zapišemo dvojni integal π 6 cm 6cm 6 cm d dϕ π d π π (6 cm) (1 cm) 35π cm. 1cm 1cm 1cm P = = = = = Pime: Po povšini plašča valja višine m polmea 5 cm se speminja povšinska gostota naboja z ϕ izazom σ = sin µc/m. Določimo naboj na plašču valja. Izačun: Upoabimo zvezo Q = σ da, ka v našem pimeu pomeni π m π ϕ ϕ sin µc/m d d 5 cm cos µc/m m = Q = ϕ z =,1 4µC =,4µC. A KROGELNI (SFERIČNI) KOORDINATNI SISTEM (SKS). Točka je v kogelnem koodinatnem sistemu določena s pesekom teh avnin = 1 ϑ = ϑ 1 ϕ = ϕ 1 Pva avnina je plašč kogle, duga je povšina stožca (kje je ϑ(theta) kot od Z osi navzdol), tetja pa polavnina znana iz CKS. Koodinate v SKS sestavlja toej tojček (, ϑ, ϕ ). Difeencial poti je dl = e d + e dϑ + e sin( ϑ)dϕ. ϑ Difeenciali povšin so ϕ 3

36 Koodinatni sistemi 5. d A = e sin( ϑ)dϑdϕ, daϑ = eϑ sin( ϑ)dϕd, da = e dd ϕ ϕ ϑ. Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija). V tem pimeu je difeencial v smei osi R določen z da Difeencial volumna je = ϑ ϑ ϕ. dv sin( )dd d ϑ = 4πd SLIKA 5.4: KROGELNI KOORDINATNI SISTEM. Pime: Določimo ploščino kogle polmea R. Izačun: Vzamemo difeencial volumna kogle = ϑ ϑ ϕ in ga integiamo dv sin( )dd d R π π 3 R 3 π π 4πR sin( ϑ)d dϑd ϕ ( cos( ϑ)) ϕ 3 3. V = = = Povzetek difeencialov poti, povšine in volumnov za katezični, valjni in kogelni koodinatni sistem: Katezični k.s. Cilindični k.s. Sfeični k.s. dl dx, dy, dz d, d ϕ,dz d, d ϑ, sinϑdϕ da dx.dy, dx.dz, dy.dz dv dx.dy.dz dϕd z, dd z, dϕ dz dϑd, sinϑdd ϕ, sinϑdϑdϕ ddϕ dz sinϑddϑdϕ Tudi pi GPS signalih se upoabljajo ustezni koodinatni sistemi. Več: 33

37 Koodinatni sistemi 5. Katezični kodinatni sistem: Polani koodinatni sistem: Vpašanja za obnovo: 1. Točko v postou določimo s pesekom teh avnin. Katee avnine so to v pimeu katezičnega, valjnega in kogelnega koodinatnega sistema?. Kako bi zapisali enačbo za izačun volumna kvada v katezičnem koodinatnem sistemu in kako določili naboj v njem iz poznane volumske gostote naboja? 3. Določite izaz za obseg koga z upoabo integala difeenciala poti po kožnici z upoabo cilindičnega koodinatnega sistema. 4. Ponovite difeenciale poti, povšin in volumnov v teh obavnavanih koodinatnih sistemih. 34

38 Elektična poljska jakost Elektična poljska jakost poazdeljenih nabojev Vsebina: polje točkastega naboja, dela celotnega naboja in polje poazdeljenih nabojev. Izazi za izačun polja v okolici pemega naboja, naelektene daljice, enakomeno naelektenega oboča, diska in avnine. POLJE TOČKASTEGA NABOJA Spoznali smo že definicijo elekt točkastega naboja ( ične poljske jakosti te enačbo za izačun polja v okolici osamljenega je vekto od točke, kje se nahaja naboj Q do točke, kje določamo polje ). E = e Q 4πε Polje točkastega naboja (6.1) Nadalje smo ugotovili, da je število pesežkov nabojev pogosto zelo veliko, ka pomeni, da se že ob manjšem dgnenju dveh teles penese med telesi milijone in milijone elektonov. Da bi izačunali elektično poljsko jakost, ki jo povzočajo ti naboji, bi potebovali mnogo ačunanja, saj bi z upoštevanjem supepozicije lahko izačunali pispevek polja vsakega naboja posebej in vplive sešteli. Tak način ačunanja bi bil zelo zamuden in nepaktičen, čepav v pedagoške namene lahko upoabljamo tudi tak postopek. Tipičen pime je pogam JaCoB (jacob.fe.uni-lj.si), ki ačuna silo med naboji in jih dinamično pomika v smei ezultančne sile. Tak način izačunavanj se pogosto upoablja tudi v aziskavah osnovnih delcev, kje pa se upošteva tudi lastnosti tkanja delcev. SLIKA: Pime izačuna in pikazovanja sil med naboji s pogamom JaCoB. POLJE PORAZDELJENIH NABOJEV Pi izačunu elektične poljske jakosti poazdeljenih nabojev lahko pedpostavimo, da je zaadi velikega števila nabojev le-ta poazdeljen zvezno. V obliki volumske, povšinske ali linijske poazdelitve nabojev, ki jih izazimo z usteznimi gostotami poazdelitve. Določiti moamo še ustezen izaz za izačun polja, ki ga povzočajo tovstne poazdelitve nabojev. Q Poslužimo se ideje, da če velja za polje točkastega naboja izaz E = e, potem lahko tdimo, 4πε da bo to veljalo tudi za neko malo količino naboja Q, ki se nahaja na majhnemm postou (majhnem v pimejavi z azdaljo ). V tem smislu bi za del celotnega naboja lahko določili polje, ki ga povzoča: E = e Q 4πε. SLIKA 6.1: POLJE, KI GA POVZROČA DEL CELOTNEGA NABOJA. 35

39 Elektična poljska jakost 6. S pocesom limitianja difeenčnih vednosti dobimo izaz za difeencial polja, ki ga povzoča difeencial naboja: de = e dq 4πε. (6.) Vpliv vseh delnih vednosti oz. difeencialov naboja seštejemo s supepozicijo, ki v zveznem postou pedstavlja integacijo: E = po vseh Q-jih dq 4πε e. Izaz za izačun polja poazdeljenih nabojev (6.3) SLIKA 6.: INTEGRACIJA PRISPEVKOV DIFERENCIALOV NABOJA ZA IZRAČUN ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI. R JE RAZDALJA OD DQ-JA DO TOČKE V KATERI RAČUNAMO POLJE. Teoetično lahko na ta način določimo elektično poljsko jakost za poljubno poazdelitev naboja. Paktično pa smo omejeni s pimei, ko je zapisan integal še analitično ešljiv. V naspotnem pimeu nam peostane numeična integacija vplivov posameznih majhnih delov celotnega naboja: Qi E = Ei = e. * i 4πε i i POSTOPEK ZA DOLOČITEV POLJA PORAZDELJENIH NABOJEV Zapišimo postopek, po kateem določimo elektično poljsko jakost za poazdeljene naboje z upoabo dq enačbe E = e, kje je vekto od mesta difeenciala naboja dq do mesta, kje 4πε po vseh Q-jih ačunamo elektično poljsko jakost; e je enotski vekto vektoja. 1) Da bi natančneje določili difeencial volumna, povšine ali azdalje, moamo našo naelekteno stuktuo umestiti v ustezen koodinatni sistem. Če bo stuktua na katei se nahaja naboj v obliki žice, bo najbolj pimena upoaba cilindičnega koodinatnega sistema, če bo naboj v volumnu kogle, bo pimeen sfeični KS., itd. * V paksi imamo na azpolago še nekaj dugih možnih načinov eševanja, ki jih bomo omenili v nadaljevanju. 36

40 Elektična poljska jakost 6. Naboji, ki povzočajo polje so poazdeljeni po volumnu, povšini ali liniji. V tem smislu bo difeencial naboja enak dq = ρdv, dq = σ da ali dq = qdl. Te določimo v skladu s sledečo tabelo: Katezični k.s. Cilindični k.s. Sfeični k.s. dl dx, dy, dz d, d ϕ,dz d, d ϑ, sinϑdϕ da dx.dy, dx.dz, dy.dz dv dx.dy.dz dϕd z, dd z, dϕ dz dϑd, sinϑdd ϕ, sinϑdϑdϕ ddϕ dz sinϑddϑdϕ ) Glede na izban koodinatni sistem določimo ustezen difeencial naboja. Na pime, če se naboj nahaja vzdolž palice, postavljene na osi X, bo dl = e x dx indq = qdx. Če se naboj nahaja na povšini valja, bo potebno upoabiti izaz dq = σ da, pi čeme bo da = dϕdz, itd. 3) Na neko poljubno mesto na naelektenem telesu postavimo difeencial naboja in določimo vekto kot funkcijo koodinat. Vekto je vekto od mesta difeenciala naboja dq do točke v katei želimo izačunati polje. dq 4) Zapišemo difeencial polja de = e in vstavimo pedhodno določena dq in. 4πε 5) Difeencial polja integiamo, pi čeme moamo določiti še meje integacije. Meje integacije so določene s koodinatami, ki zajamejo celoten naboj. 6) Rešimo integal in v ešitev vstavimo vednosti mej integacije. 37

41 Elektična poljska jakost 6. PRIMER IZPELJAVE IZRAZA ZA ELEKTRIČNO POLJSKO JAKOST NAELEKTRENE TANKE PALICE. Določimo elektično poljsko jakost h = 5 cm stan od sedine enakomeno naelektene tanke palice doložine d = 1 cm. Naboj na palici je µc. Izačun: Postopamo na sledeči način. 1. Palico postavimo v koodinatni sistem. Pimeen je valjni koodinatni sistem. Naj bo sedina palice v sedišču k.s. in Z os usmejena vzdolž palice. Glede na izban koodinatni sistem je dl = dz.. določimo dq, ki je v našem pimeu, ke ge za linijsko poazdelitev naboja, enak dq = q dl = q dz. Ke ge za enakomeno poazdelitev naboja je q = Q / l = Q / d = µc/m. 3. Postavimo dq na neko poljubno mesto na palici, oddaljeno od izhodišča za z. Od dq do točke, kje iščemo vednost polja, naišemo vekto in ga izazimo s koodinatami: = z + h. 4. Sedaj difeencial polja v točki zapišemo v obliki d Q q.dz de = =. de moamo v 4πε 4πε z + h ( ) pincipu zapisati v obliki vektoja, saj se vekto (tako velikost kot sme) elektične poljske jakosti speminja za azlične lege dq-ja, ka pomeni, da jih moamo seštevati vektosko. Da bi se temu izognili, lahko upoštevamo, da dq na zcalni stani Z osi povzoča polje, ki je v iskani točki usmejeno tako, da vsota kaže v smei adija. To upoštevamo tako, da bomo seštevali le komponente polja, ki so usmejene v sme adija: de = de cos( α) = de z h + h. 5. Seštevek pispevkov naedimo z integacijo: l qh E = 4π / ε l / + dz ( z h ) 3/ E = de l / = l / 4πε q.dz ( ) h z + h z + h ( + ) l / qh z q l / ql E = = = 4π ε 4π ε ( / ) + 4π ε ( / ) + 1/ h l h h l h h z h l / Dobili smo ešitev. Vstaviti moamo le še vednosti za q, l, in h in določimo velikost 5 adialne komponente polja: E,54 1 V/m. 38

42 Elektična poljska jakost 6. POLJE PREMEGA NABOJA (NESKONČNO DOLGA TANKA ENAKOMERNO NAELEKTRENA PALICA) Zanimivo je pogledati, kakšno polje dobimo, če je naelektena palica neskončno dolga. V tem pimeu moamo limitiati azdaljo l poti neskončnosti in dobimo qh z q l / q E =. = =. Dobimo izedno pomemben ezultat, to je, da 4πε h z h 4π ε h( l / ) πε h ( + ) 3/ polje z azdaljo od tanke, neskončne, naelektene palice upada z 1/h, medtem, ko polje v okolici točkaste elektine upada s kvadatom azdalje. Neskončno dolgo tanko naelekteno palico lahko smatamo kot naelekteno pemico, zato taki stuktui tudi ečemo pemi naboj (pema elektina). Zapišimo polje pemega naboja še enkat, tokat v vektoski obliki. (pazi: v izpeljavi smo z definiali azdaljo od dq-ja do točke, sedaj je definian v smislu cilindičnega koodinatnega sistema kot adialna oddaljenost od pemega naboja): E = e q πε. POLJE V OKOLICI PREMEGA NABOJA (6.4) SLIKA 6.3: POLJE V OKOLICI PREMEGA NABOJA. 39

43 Elektična poljska jakost 6. POLJE ENAKOMERNO NAELEKTRENE DALJICE Izhajamo lahko iz ešitve za polje v okolici pemega naboja in namesto sedinske umestitve določimo azdalji od koodinatnega izhodišča do levega oba z l 1 in do desnega oba z l. Radialno komponento polja dobimo z ešitvijo integala l qh dz E = 4π ε + ki je, 3/ l1 ( z h ) l qh z q l l E = =. 4π ε + 4π ( ) ( ) 1 3/ h ( z h ) ε h l + h l1 + h l 1 SLIKA 6.4: POLJE V OKOLICI ENAKOMERNO NAELEKTRENE DALJICE. Enostavnejšo obliko tega zapisa dobimo, če upoabimo izaz za kosinusa notanjih kotov (glej sliko): q E = ( cos( α) + cos( α1) ). 4πε h Na podoben način bi lahko določili še Z komponento polja. Izkaže se, da je ezultat q E = ( sin( α1) sin( α) ). 4πε h Če tudi sedaj namesto azdalje h upoabimo azdaljo od naelektene daljice, dobimo enačbo * : q E = e ( cos( α1) cos( α) ) ez ( sin( α1) sin( α) ) 4π + + (6.5) ε * Enačba je v dugi liteatui lahko pedstavljena z dugimi koti in je tem smislu spemenjena. Potebno je toej pavilno določanje kotov α 1 in α. 4

44 Elektična poljska jakost 6. Ke je pemi naboj le poseben pime naelektene daljice, dobimo iz gonje enačbe tudi enačbo za pemi naboj, ko veljaα 1 = α. Tedaj je cos() = 1in sin() =. Sledi enačba za pemi naboj. SLIKA 6.5: NAELEKTRENA DALJICA V KOORDINATNEM SISTEMU. Pime: Pimejajmo velikost polja v okolici naelektene daljice s poljem naelektene pemice in točkastega naboja. Toej enačbe q E = daljica e ( cos( α1) cos( α) ) ez ( sin( α1) sin( α) ) 4πε + +, q Q Epemi = e, E točke = e. Vzemimo za pime naelekteno tanko palico dolžine d = 1 cm πε 4πε z enakomeno poazdeljenim nabojem µc in pimejajmo velikost polja s poljem v okolici pemega naboja z enako gostoto naboja in točkastega naboja z enako velikostjo celotnega naboja. Pimejava pokaže, da je velikost polja naelektene pemice in daljice enaka za majhne azdalje od tanke palice (azdalja dosti manjša od dolžine palice), da pa je za azdalje, ki so dosti večje od dolžine palice bolj pimeen pibližek polja tanke palice s poljem točkastega naboja. Razdalja (cm) E daljice (kv/m) E pemice (kv/m) E točke (kv/m), ,17,36,17 41

45 Elektična poljska jakost Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja od naelektene daljice / cm SLIKA 6.6: PRIMERJAVA MED VREDNOSTJO POLJA V ODDALJENOSTI OD TANKE NAELEKTRENE PALICE (POLNA ZELENA ČRTA) IN PREMEGA (ČRTKANA MODRA ČRTA) TER TOČKASTEGA NABOJA (TOČKASTA RDEČA ČRTA). POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA V tem pimeu upoabimo cilindični koodinatni sistem in zapišemo del naboja kot dq = qdl = q dϕ. Če označimo z a polme oboča, velja dq = qadϕ. Označimo dq na skici in potegnemo vekto od dq do točke na Z osi, ki je od sedišča oboča oddaljena za azdaljo z. Razdalja od dq do točke na Z osi je = a + z. Nato ugotovimo, da se pi sumaciji pispevkov dq-jev ohanjajo le komponente polja v smei osi Z, ka pomeni, da moamo določiti le pispevek te komponente in ga integiati. Pišemo z dez = de cos( α) = de dq de = 4πε de z dq z qazdϕ = = 4πε a z ( + ) 3/ 4πε. Sedaj ugotovimo, da integiamo po kotu in da nobena od spemenljivk v enačbi ni funkcija kota, od kode sledi: π qazdϕ qaz qaz E = d d Ez = = ϕ =, 4πε ( a + z ) 4πε ( a + z ) ε ( a + z ) z 3/ 3/ 3/ po Q-jih ka je tudi že končen ezultat. Zapišimo ga še v vektoski obliki: π 4

46 Elektična poljska jakost 6. E = e z qaz ε ( a + z ) 3/ POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA (6.6) 1 Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja / m SLIKA 6.7: POLJE V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA. POLMER OBROČA JE CM, NA NJEM JE ENAKOMERNO (LINIJSKO) PORAZDELJEN NABOJ,1 NC. POLJE V OSI NAELEKTRENEGA DISKA Polje v osi naelektenega diska izačunamo na podoben način kot za duge stuktue. Disk umestimo v cilindični koodinatni sistem, določimo dq = σ da, kje da določimo iz poznavanja difeencialnih povšin v cilindičnem koodinatnem sistemu. Upoabimo da = d dϕ, toej dq = σ ddϕ. Skiciamo disk v cilindičnem koodinatnem sistemu, postavimo dq na neko poljubno azdaljo od sedišča diska, azdaljo od dq do točke T, kje ačunamo polje in je za azdaljo z oddaljena od sedišča diska, pa označimo z R. Velja R = + z. Naišemo de v točki T in ga zapišemo v obliki dq de =. Nadalje ugotovimo, da se adialne komponente polja odštevajo, seštevajo pa se 4πε R pispevki polja v smei osi Z. V tem smislu zapišemo difeencial komponente polja v smei osi Z: d d cos d z dq z E z = E δ = E = R 4πε R R de z σ zddϕ == 3 4πε R π R R σ z σ z σ z 1/ R σ z 1 1 Ez = ddϕ = π d = 3/ 3/ ( ( + z ) ) = 4π ε( + z ) 4π ε ( + z ) ε ε z R + z Nekoliko še lahko spemenimo obliko enačbe in dobimo E z σ z σ = 1 = ( 1 cos( δ )). ε R + z ε 43

47 Elektična poljska jakost 6. Polje v osi naelektenega diska določimo toej iz enačbe * : σ z σ E = ez 1 = ez 1 cos( ) ε R + z ε ( δ ) ; za z >. (6.7) 15 DISK OBROC Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja vzdolz Z osi / m SLIKA 6.8: PRIMERJAVA POLJ VZDOLŽ Z OSI NAELEKTRENEGA OBROČA (ČRTKANA ZELENA ČRTA) IN NAELEKTRENEGA DISKA (POLNA MODRA ČRTA). NABOJ DISKA IN OBROČA JE NC, POLMER DISKA IN OBROČA PA 5 CM. Polje naelektenega diska je največje na povšini in upada z azdaljo, medtem ko je polje oboča pi z = enako nič. V oddaljenosti je velikost polja podobna. POLJE NAELEKTRENE RAVNINE Naelektena avnina je le poseben slučaj naelektenega diska in to tedaj, ko ge adij diska v neskončnost ozioma, ko ge δ π/. Tedaj je E = ez σ ε. POLJE NAELEKTRENE RAVNINE (velja za z > ) (6.8) To je pomemben ezultat in kaže, da je polje v okolici naelektene avnine neodvisno od višine nad avnino. Neskončne avne povšine seveda ni, lahko pa je to dobe koncept v mnogih poenostavljenih pimeih. Upoabili ga bomo tudi pi izačunu polja v ploščnem kondenzatoju, kje je ena plošča naelektena s pozitivnim, duga pa z negativnim nabojem. Polje znotaj ploščnega kondenzatoja bo toej očitno vsota pispevkov vsake posamezne plošče. * Enačba velja za pozitivne z-je. Za negativne je potebno spemeniti pedznak polja, saj to kaže v smei negativne Z osi (za pozitivni naboj na disku). Bolj splošna oblika je toej σ z z E = ez ε z R + z 44

48 Elektična poljska jakost 6. Tudi ta enačba, ki smo jo izpeljali, velja za pozitivne z-je. Za negativne z-je je potebno pedznak spemeniti, toej E = ez σ ε za z <. SLIKA 6.9: POLJE NAELEKTRENE RAVNINE. Pime: Ravni plošči sta naelekteni z nabojema ploščama, če je povšina ene plošče cm. Q = ± pc. Določimo elektično poljsko jakost med Izačun: Kot smo že omenili, je polje znotaj plošč vsota pispevkov vsake plošče, toej E = σ σ ε = ε, kje je Q 8 σ = = 1 C/m. Dobimo E 1, 3 kv/m. A 45

49 Elektična poljska jakost 6. PRIMERJAVE POTEKOV POLJA 1.PRIMERJAVA MED POLJEM TOČKASTEGA NABOJA IN NAELEKTRENEGA OBROČA pokaže, da je potek polja popolnoma azličen v bližini naelektenih stuktu, saj polje točkastega naboja naašča s pibliževanjem naboju poti neskončnosti, v sedišču naelektenega oboča pa je polje enako nič. V večji oddaljenosti od oboča ozioma točkastega naboja pa sta ti polji vedno bolj podobni. Elekticna poljska jakost / V/m 9 x TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Elekticna poljska jakost / V/m TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Razdalja / m Razdalja / m SLIKA 6.1: PRIMERJAVA MED POLJEM V ODDALJENOSTI OD TOČKASTEGA NABOJA IN V OSI NAELEKTRENEGA OBROČA. OBA IMATA ENAKO VELIK NABOJ (,1 NC, POLMER PRSTANA JE CM). LEVO: POLJE V BLIŽINI OBROČA. DESNO: POLJE V ODDALJENOSTI OD OBROČA. V ODDALJENOSTI OD OBROČA POSTANE IZRAZ E = e z qaz ε ( a + z ) E = e Q 4πε ENAKOVREDEN IZRAZU, V BLIŽINI OBROČA (RAZDALJA MANJŠA OD NEKAJ POLMEROV OBROČA) PA JE RAZLIKA 3/ VELIKA (POLJA NAELEKTRENEGA OBROČA NA SLIKI LEVO NE VIDIMO, KER JE BISTVENO MANJŠI OD POLJA TOČKASTEGA NABOJA).. PRIMERJAVA MED POLJEM TOČKASTEGA IN PREMEGA NABOJA pokaže, da polje točkastega naboja mnogo hiteje (s kvadatom azdalje) upada z azdaljo kot polje pemega naboja (1/). Elekticna poljska jakost / V/m 4 x TOCKASTI NABOJ PREMI NABOJ SLIKA 6.11: PRIMERJAVA MED POLJEM TOČKASTEGA (MODRA ČRTA) IN PREMEGA NABOJA (ZELENA ČRTA). POLJE TOČKASTEGA NABOJA UPADA S KVADRATOM RAZDALJE (1/R ), POLJE PREMEGA PA Z RAZDALJO (1/R) Razdalja / m 3. PRIMERJAVA MED POLJEM NAELEKTRENEGA DISKA IN NAELEKTRENE RAVNINE V inženiskem smislu je potebno vedno poiskati tisto stuktuo, ki najbolj pimeno opisuje elektično polje. Na pime, če imamo opavka z enakomeno naelektenim televizijskim zaslonom in 46

50 Elektična poljska jakost 6. nas zanima elektično polje 1 cm stan od zaslona, je dovolj natančno, če upoštevamo zaslon kot neskončno naelekteno avnino, če nas zanima polje naelektenega zaslona 1 ali 15 m stan od ekana, pa bi bilo mnogo bolj pimeno zaslon smatati kot točkast naboj, še bolj pa kot naelekten disk (ni pa tudi težko izpeljati eksakten izaz za polje v okolici enakomeno poazdeljenega naboja na avni plošči). Elekticna poljska jakost / V/m RAVNINA DISK Razmeje Ediska/Eavnine Razdalja / m Razdalja / m SLIKA 6.1: PRIMERJAVA MED POLJEM NAELEKTRENEGA DISKA IN NESKONČNE RAVNINE Z ENAKO VELIKIM POVRŠINSKIM NABOJEM. POLMER DISKA JE 8 CM. DESNA SLIKA KAŽE RAZMERJE MED POLJEM DISKA IN POLJEM RAVNINE. TIK OB POVRŠINI JE IZRAČUN USTREZEN, NA RAZDALJI POLMERA DISKA PA JE POLJE DISKA 38 % POLJA RAVNINE. 47

51 Elektična poljska jakost 6. POVZETEK IZPELJANIH ENAČB: Polje naelektene pemice (pemi naboj, pema elektina): E = e q πε Polje naelektene daljice: (položene vzdolž Z osi) (glej sliko za azlago kotov): q E = e e 4πε + + ( cos( α ) cos( α )) ( sin( α ) sin( α )) 1 z 1 Polje v osi naelektenega oboča (polme oboča = a): E = e z qaz ε ( a + z ) 3/ Polje naelektene avnine (nomala v smei osi Z): E e = ± σ z ε Vpašanja za obnovo: 1) Katei izaz nam omogoča izačun polja v okolici poazdeljenih nabojev? Kako ga dobimo iz izaza za točkasti naboj? ) Kako upoabimo izaz za polje poazdeljenih nabojev na pimeu izačuna polja naelektene pemice, oboča, diska? 3) Zapišite in upoabite izaze za polje pemega naboja, polje v osi naelektenega oboča, polje naelektene avnine. 4) Skiciajte poteke polj obdelanih stuktu. 5) Katee apoksimativne izaze bi upoabili, če bi želeli izačunati polje tik nad enakomeno naelekteno mizo ali pa 15 m nad naelekteno mizo? 48

52 Gaussov zakon Gaussov zakon Vsebina poglavja: silnice polja, gostotne cevke (gostotnice), homogeno in nehomogeno polje, petok elektičnega polja, Gaussov zakon. V tem poglavju bomo spoznali Gaussov zakon v integalni obliki, ki je v osnovi posledica Coulombovega zakona, toej dejstva, da polje v okolici točkastega naboja upada s kvadatom azdalje. Da bi azumeli njegov pomen, se moamo najpej seznaniti s pojmi kot so silnice polja, petočne oz. gostotne cevke in elektični petok. SILNICE Elektično poljsko jakost v postou lahko pikažemo z vektoji v postou. Če vektoje povežemo z linijami, le te imenujemo silnice polja. Pikaz s silnicami je zelo pimeen in pogost način pikaza polja. (Konceptualno jih je vpeljal Michael Faaday, ki jih je imenoval lines of foce.) Ke so silnice usmejene v smei polja, bi po silnici potoval naboj, če bi ga postavili v polje. Pi tem moamo pedpostaviti, da vstavitev tega naboja v polje ne bi spemenila samega polja, saj bi tak naboj tudi deloval s silo na tiste naboje, ki ustvajajo polje v kateem potuje. SLIKA 7.1: VEKTORJI IN SILNICE POLJA ZA PRIKAZ ELEKTRIČNEGA POLJA V PROSTORU. PRETOK ELEKTRIČNEGA POLJA Nadalje je potebno spoznati koncept petoka elektičnega polja skozi neko ploskev. * Elektičnemu polju, ki je povsod enako veliko (konstantno) in ima enako sme, običajno ečemo homogeno polje. Če je homogeno polje usmejeno pavokotno na avno ploskev ploščine A, potem je petok skozi to povšino določen kot podukt polja in ploščine: E A. (V nekem smislu je petok polja povezan s količino naboja iz kateih izhajajo silnice. Na povšini naelektenega telesa se izkaže podukt E A diektno popocionalen količini naboja.) * Koncept petoka nekega vektoja skozi določeno povšino je splošen pojem, ki se pogosto upoablja za opis določenih veličin in ga pogosto imenujemo fluks. V nadaljevanju bomo spoznali novo veličino, gostoto elektičnega petoka, ki jo bomo označili s čko D in bo za pazen posto enaka ε E. 49

53 Gaussov zakon 7. Če je avna ploskev postavljena v smei homogenega polja, je petok enak nič, če pa je pod določenim kotom, je potebno upoštevati kosinus vmesnega kota, pi čeme je to kot med nomalo (pavokotnico) na povšino in smejo elektičnega polja E A cos( α). Po definiciji skalanega podukta lahko to zvezo zapišemo tudi s skalanim poduktom vektoja polja in vektoja povšine, pi čeme je potebno ponovno poudaiti, da je sme vektoja povšine določena z nomalo na povšino (smejo, ki je pavokotna na povšino). Petok homogenega polja skozi poljubno postavljeno avno povšino je enak skalanemu poduktu (vektoja) elektičnega polja in vektoja povšine (ki ga določa nomala na povšino). Φ = E A Petok homogenega elektičnega polja peko avne ploskve (7.1) e SLIKA 7.: PRETOK HOMOGENEGA ELEKTRIČNEGA POLJA SKOZI RAVNO PLOSKEV: A) PRAVOKOTNO ( e VZPOREDNO ( e Φ = ), POD KOTOM ( Φ e = EA cosα ). Φ = EA ), B) Pime: Določimo petok homogenega elektičnega polja velikosti 5 kv/m, ki je usmejen pod kotom 3 na nomalo avne povšine določene s pavokotnikom dimenzij 3 x 4 m. Izačun: 1. način: Pikažemo polje v koodinatnem sistemu in zapišemo vektoja E in A: E = eee = exe sinα e ye cosα = E sin α, cos α, (, 1, ) A = ey A = A ( )( ) ( ) E A = E sin α, cos α,, 1, A = EAcosα. način: Poiščemo komponento polja, ki je pavokotna na povšino, to je E = E cosα 4,33 kv/m. Sedaj le še pomnožimo nomalno komponento polja s ploščino in dobimo petok 3 4,33 kv/m 1m 5 1 V m Φ. E n 5

54 Gaussov zakon 7. PRETOK NEHOMOGENEGA POLJA SKOZI NERAVNO POVRŠINO Kaj pa če polje ni homogeno in/ali povšina skozi kateo ačunamo petok ni avna? Tedaj bomo dobili pavilen izaz za petok na že poznan način: najpej zapišemo petok za neko difeenčno majhno povšino, na katei bi homogenost pibližno veljala, toej za Φe = E A. To bi veljalo eksaktno, če bi A limitiali poti nič. V limiti pa dobimo difeencial petoka dφ e = E da, celotni petok pa * Φ = e A E da. Petok polja za poljubno obliko polja in povšine (7.) V splošnem je petok elektičnega polja skozi poljubno povšino enak integalu elektičnega polja po tej povšini. Pi tem je potebno upoštevati skalani podukt vektoja polja in vektoja difeenciala povšine. V smislu skalanega podukta je potebno upoštevati le komponento polja, ki je v smei nomale na povšino: E n. Lahko pišemo tudi Φ e = En da. A SLIKA 7.3: PRETOK NEHOMOGENEGA POLJA SKOZI NERAVNO POVRŠINO. PRETOČNE CEVKE ALI GOSTOTNICE Tudi petok elektičnega polja lahko ponazoimo na enak način kot ponazajamo silnice polja, le da sedaj govoimo o gostotnih ali petočnih cevkah, silnice pa ponazajajo le stene gostotnih cevk. Večji petok elektičnega polja dosežemo, če zajamemo več petočnih cevk. V poljubnem peseku gostotne cevke je enak petok. * Ponovno velja opozoiti, da je bisten element izačuna petoka vektoja skozi povšino upoaba skalanega podukta dveh vektojev. V konketnem pimeu vektoja elektične poljske jakosti E in vektoja (difeenciala) povšine, pi čeme je sme vektoja povšine določena z nomalo (pavokotna sme) na povšino: A = en A. 51

55 Gaussov zakon 7. SLIKA 7.4: PRETOK ELEKTRIČNEGA POLJA ZNOTRAJ GOSTOTNIC JE KONSTANTEN (ENAKO VELIK NA POLJUBNEM PRESEKU). PRETOK POLJA PO CELOTNI (ZAKLJUČENI) POVRŠINI Sedaj pa si poglejmo vednost tega petoka po celotni - zaključeni povšini. Včasih ji ečemo tudi Gaussova povšina. To pomeni, da nas zanima petok polja skozi povšino kogle ali skozi vseh šest stanic kocke ali pač poljubne povšine, ki v celoti zaobjame določen objekt. Pi tem niti ni potebno, da ačunamo petok skozi neko povšino telesa, lahko je to popolnoma namišljeno (abstaktno) telo. Matematično integacijo po zaključeni povšini naznačimo s kogcem v sedini simbola integala: Petok polja skozi zaključeno povšino = E da (7.3) PRETOK POLJA TOČKASTEGA NABOJA SKOZI ZAMIŠLJENO POVRŠINO KROGLE A Vzemimo ka najpepostejši pime, kje je naboj Q postavljen v sedišče kogelnega koodinatnega sistema in ačunamo petok skozi neko zamišljeno povšino kogle polmea : π π E da = e e sin( )d d = ( cos( )) = (7.4) 4πε 4πε ε A Q Q π π Q ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ Ugotovimo, da je ta integal soazmeen naboju, ki se nahaja v sedišču namišljene kogle. Ali je to naključje, ali to moda velja za poljubno postavitev naboja znotaj namišljene kogle? Z azmislekom, da lahko naboj zamaknemo iz sedišča koodinatnega sistema, pa se število petočnih cevk, ki»sekajo«povšino kogle, ne spemeni, lahko ugotovimo, da bo ezultat enak tudi za poljubno postavitev naboja Q znotaj (namišljene) kogle polmea. SLIKA 7.5: ŠTEVILO PRETOČNIH CEVK, KI SEKAJO POVRŠINO NAMIŠLJENE KROGLE JE ENAKO ZA POLJUBNO POSTAVITEV NABOJA ZNOTRAJ KROGLE. ENAKO VELJA ZA POLJUBNO OBLIKO POVRŠINE ZAKLJUČENEGA OBJEKTA. 5

56 Gaussov zakon 7. PRETOK POLJA SKOZI ZAKLJUČENO POVRŠINO POLJUBNE OBLIKE V KATERI SE NAHAJA MNOŽICA NABOJEV Nadalje lahko azmislimo, kolikšen je petok elektičnega polja, če se v postou z zaključeno povšino nahaja več nabojev. Razmislek je podoben kot v pejšnjem pimeu. Pomagamo si z veljavnostjo E = E1 + E + E in zapišemo: supepozicije polja ( ) Q Q1 Q i E d A = E + E + E +... da = E da + E da + = + + = ε ε ε ( 3 ) 1 1 A A A A (7.5) i znotaj A SLIKA 7.6: PRETOČNE CEVKE VEČ NABOJEV, KI JIH ZAJAMEMO Z NAMIŠLJENO POVRŠINO KROGLE (ALI POLJUBNO ZAKLJUČENO POVRŠINO). Pime: Določimo petok skozi zaključene povšine A 1, A in A 3 za naboje na sliki. VPLIV NABOJEV ZUNAJ ZAKLJUČENE POVRŠINE NA PRETOK POLJA SKOZI NOTRANJOST POVRŠINE Kaj pa naboji, ki se nahajajo zunaj kogle? Ugotovimo lahko, da sice povzočajo polje na povšini kogle, venda je petok polja v koglo enako veliko petoku polja iz kogle. SLIKA 7.7: PRETOK POLJA SKOZI ZAKLJUČENO POVRŠINO V KATERI NI NABOJEV JE ENAK NIČ. ČE SE V ZUNANJI OKOLICI POVRŠINE NAHAJAJO NABOJI, JE PRETOK POLJA, KI VSTOPA V PROSTOR ENAK PRETOKU POLJA, KI IZSTOPA IZ TEGA PROSTORA. 53

57 Gaussov zakon 7. Povzemimo ugotovitve: Petok elektične poljske jakost skozi sklenjeno (zaključeno) povšino je enak zaobjetemu naboju (algebajski vsoti nabojev) deljeno z ε. Ta zapis imenujemo Gaussov zakon. Q znotaj A E da =. GAUSSOV ZAKON (7.6) ε A Pomen Gaussovega zakona: 1) Ugotavlja izvonost elektičnega polja. Elektično polje izvia iz pozitivnih nabojev in se zaključuje (ponia) na negativnih. ) Omogoča izačun naboja v določenem postou ob poznavanju elektičnega polja na mejah tega postoa. 3) Omogoča izačun elektičnega polja v pimeu simetične poazdelitve naboja. V tem pimeu nameč polje ni funkcija spemenljivk integacije. 4) Gaussov zakon smo spoznali v t.i. integalni obliki. Zapisan je nameč z integalom in velja po določeni povšini. Poznamo tudi zapis Gaussovega stavka v difeencialni obliki, ki definia povezavo med elektičnim poljem in nabojem (gostoto naboja) v točki v postou. Ta zakon je en od osnovnih zakonov, ki opisujejo naavo elektičnega polja. Gaussov zakon je znan tudi kot ena od štiih Maxwellovih enačb, ki v celoti opisujejo elektomagnetne pojave. 54

58 Gaussov zakon 7. PRIMERI IZRAČUNOV Z UPORABO GAUSSOVEGA NAELEKTRENA KROGLA ZAKONA Kogla polmea R ima enakomeno volumsko poazdelitev naboja. Določimo elektično poljsko jakost znotaj in zunaj kogle. Izačun: 1. Znotaj kogle si zamislimo zaključeno povšino kogle s polmeom <R in zapišemo petok polja skozi to ploskev. Upoabimo izaz A( ) QA E da =, kje je Q A naboj zajet s povšino kogle polmea. Ke je gostota naboja ε 3 4π enakomeno poazdeljena, je celoten naboj zajet s koglo povšine A() ka QA = ρv = ρ. Polje 3 je zaadi simetične poazdelitve naboja usmejeno adialno, ka lahko zapišemo v obliki E = e E( ) in je le funkcija adija. Tudi difeencial povšine je usmejen v smei adija (pavokotno na povšino) in je enako da = eda. Skalani podukt E da je enak E da. Poleg tega elektično polje ni odvisno od integacijskih spemenljivk, saj je povsod kje integiamo (po povšini kogle) polje enako veliko - konstantno. Zato ga lahko pišemo ped integal: E da = E da, integal da po zaključeni povšini pa je ka enak tej povšini (ploščini): A( ) A( ) A( ) E da = EA = E4π. Sedaj le še sestavimo levo in desno stan enačbe in peuedimo 3 4π ρ 4π / E = ρ E = 3ε 3 ε. Na koncu le še dodamo»nastavek«e = e E( ) adije znotaj kogle, toej za R. in polje je E = e ρ. Ta zveza velja za poljubne 3ε Ugotovimo, da znotaj kogle s konstantno volumsko poazdelitvijo gostote naboja polje naašča lineano z adijem.. Polje zunaj kogle dobimo na podoben način: zamislimo si neko povšino kogle pi nekem adiju > R in zapišemo Gaussov zakon za to namišljeno povšino. Ugotovimo, da bo leva stan enačbe enaka kot v pejšnjem pimeu, desna pa se spemeni, saj je potebno upoštevati, da smo zajeli 55

59 Gaussov zakon 7. celotni naboj že pi ozioma ka celoten naboj Q. Dobimo 3 4π ρ 4π / E = ρ R E = 3ε 3 R 3 = R, za > R pa ni naboja. Toej bo desna stan enačbe ka ε 3 R ρ 4π / ε, 3 Ugotovimo, da polje v zunanjosti kogle upada s kvadatom azdalje. In še več, enačbo lahko Q zapišemo tudi v obliki E = e, ka ni nič dugega kot polje v okolici točkastega naboja. Toej, 4πε kogla z enakomeno volumsko gostoto naboja ima v okolici enako polje, kot če bi bil celoten naboj skoncentian v centu kogle. SLIKA 7.8: POLJE V NOTRANJOSTI IN ZUNANJOSTI KROGLE Z ENAKOMERNO VOLUMSKO GOSTOTO NABOJA. 56

60 Gaussov zakon 7. NALEKTRENA VALJA Določimo polje med enakomeno in naspotnosmeno naelektenima neskončnima plaščema valjev z linijsko gostoto naboja. q( = n ) = +q in q( = z ) = -q. SLIKA 7.9: DVA PLAŠČA VALJA Z ISTO OSJO, NASPROTNO NAELEKTRENA. Izačun: Zamislimo si nek plašč valja polmea in dolžine l med notanjim in zunanjim polmeom in zapišemo Gaussov zakon za ta namišljeni objekt. Podobno kot za koglo lahko ugotovimo, da je polje neodvisno od spemenljivk integacije velja A( ) E da = EA = Eπl + +. Z dvema ničlama smo zapisali petok skozi stanske povšine (ke je tam nomalna komponenta polja enaka nič). Desna stan enačbe Gaussovega zakona je enaka naboju, ki ga zaobjamemo z namišljenim valjem. Ta je enaka stani enačbe dobimo ql Eπl =, od kode sledi ε Q ql =. Z zdužitvijo leve in desne ε ε q E =. Dobili smo izaz, ki ga že poznamo za πε q polje pemega naboja. Polje med naelektenima valjema je enako E =. πε Ugotovimo lahko, da pi izačunu polja med plaščema valjev nismo potebovali upoštevati nabojev na zunanjem plašču. Njihov vpliv na polje znotaj plašča je enak nič. Vplivajo pa na polje zunaj valjev ( > z ), tako, da se pispevek nabojev na notanjem in zunanjem plašču izničita: ql ql Eπl = + =. ε ε 57

61 Gaussov zakon 7. NAELEKTRENA RAVNINA S pomočjo Gaussovega zakona določimo polje v okolici naelektene povšine. Izačun: Zapišemo Gaussov stavek skozi namišljeno kocko, katee polovica je na eni stani avnine in polovica na dugi stani. Skozi stanske povšine je petok enak nič, skozi nomalni pa je enak Q σ A E da = EA + EA = EA. Desna stan enačbe je soazmena zaobjetemu naboju =. Z ε ε A σ zdužitvijo dobimo E =, ka je enak izaz, kot smo ga dobili v pejšnjem poglavju.. ε SLIKA 7.1: NAELEKTRENA RAVNINA. Vpašanja za obnovo: 1. Kaj so to silnice polja?. Kaj je to petok elektičnega polja? 3. Kako določimo petok homogenega elektičnega polja skozi avno povšino? 4. Kako določimo petok nehomogenega elektičnega polja skozi poljubno povšino? 5. Čemu je enak petok elektičnega polja skozi zaključeno povšino? 6. Pokažite upoabo Gaussovega zakona na pimeu izačuna polja naelektene kogle, naelektenega valja in naelektene avnine. 7. Kakšen je pomen Gaussovega zakona? Pimea kolokvijev: 1. kolokvij, 8.1., 1. decembe 1 58

62 Delo in potencialna enegija Delo in potencialna enegija Vsebina: Delo kot integal sile na poti, delo elektične sile, delo po zaključeni poti, potencialna enegija, potencialna enegija sistema nabojev, delo kot azlika potencialnih enegij. V sednješolski fiziki je veljalo, da je delo enako poduktu sile in dolžine poti, toej, če vzdolž poti dolžine l deluje sila F, le ta opavi delo A = F l. Če toej potiskamo voziček v smei poti dolžine 5 m s silo 1 N opavimo delo 5 N m ali 5 J. Kaj pa, če voziček potiskamo s silo 1 N v smei, ki je pod kotom 6 na sme poti? V tem pimeu moamo upoštevati le tisto komponento sile, ki deluje v smei poti. Delo je toej A = F l cos( α ) =1 N 5m cos(6 ) = 5 J. Ugotovimo, da je za izačun dela pimena upoaba skalanega podukta A = F l. SLIKA 8.1: PREMIKANJE VOZIČKA S KOSTANTNO SILO A) V SMERI POTI IN B) POD KOTOM 3 NA SMER POTI. Kaj pa dugi del sile, ki tudi nastopa pi pemiku? Ta sila je usmejena pavokotno na sme poti in ima za posledico tenje po ploskvi - ne pispeva pa k delu. V smislu definicije dela, toej kot poduktu poti in sile v smei te poti. V tem smislu je potebno azlikovati pojem besede delo, kot ga smatamo v vsakdanu. Če pimemo in pi miu džimo težko košao v smislu definicije dela ne opavimo nič dela, čepav moamo v to naše početje vložiti določen napo (delo). Bolj ustezno bi naš napo ovednotili s pojmom enegije. Ta enegija izhaja iz enegije, ki se toši v naših mišicah nekaj pa je ge pav gotovo tudi v toploto - potenje. In koliko enegije potebujemo za pemik na poti 5 m? En del te enegije je očitno delo 5 J, ki se odaža v spemembi kinetične enegije vozička, dug del enegije pa potebujemo za pemagovanje sile tenja. Za točen izačun bi toej moali poznati še enegijo, ki se poabi pi tenju vozička s podlago. DELO PO POLJUBNI POTI IN VELIKOSTI SILE Kaj pa če sila ni konstantna na poti in poleg tega ne deluje vedno v isti smei glede na pot? Potem lahko zapišemo delo le za en mali (difeenčni) odsek, da dobimo tisti del sile, ki deluje v smei poti pa 59

63 Delo in potencialna enegija 8. upoabimo skalani podukt. Difeenčni del sile na poti lje toej A = F l. Z limitianjem dobimo iz difeenc difeencial: da = F dl, celotno delo pa je seveda integacija po poti od začetne točke do končne točke: A = da = F dl. (8.1) L SLIKA 8.: DELO SIL PO POLJUBNI POTI. DELO ELEKTRIČNE SILE Kako pa izačunamo delo elektičnih sil (A e ) na naboje? Na popolnoma enak način. Upoštevamo, da je sila na naboj v elektičnem polju enaka F = QE, toej bo delo za pemik naboja Q v elektičnem polju iz točke T 1 v točko T enako T T A = A1 = QE dl = Q E dl. (8.) e T1 T1 Pime: Vzemimo dva pozitivna naboja oddaljena za d = 1 cm z množino naboja Q = 1 nc. Koliko dela opavi naboj (zunanji vi) za pemik na polovično azdaljo? Izačun: naboja postavimo vzdolž X osi, levega v izhodišče k.s., desnega pa za azdaljo d v smei X osi. Izačunali bomo delo, potebno za pemik desnega naboja v levo. Da bi lahko izačunali delo, moamo desni naboj postaviti na neko poljubo mesto vzdolž X osi, oddaljeno za azdaljo x od levega naboja. Q Polje na mestu desnega naboja je E = e x, dl pa je usmejen v smei X osi *. 4πε x SLIKA 8.3: PREMIK DESNEGA NABOJA V SMERI LEVEGA NABOJA. * Kljub temu, da je dl usmejen v smei X osi ni njegova vednost d l = e ( x ( x + d x)) = e. x x e dx, pač pa x 6

64 Delo in potencialna enegija 8. T x = d / d / Q Q 1 A = QE d l = Q e ( e d x) = = x 1 x x 4πε 1 1 x 4πε T x = d Q 1 1 Q 9 Vs = = 9 1 ( 1 1 C) 1 m = 9 1 J 4π ε d / d 4πε d Am Dobljen ezultat je negativen, ka pomeni, da bi bila za pemik potebna neka zunanja sila (A z ), ki bi opavila to delo *. Veljati moa toej: A + A =. (8.3) z e Pime: Določimo delo za pemik desnega naboja v desno za d/. Rezultat je d T 3 d / 3 d / QQ Q 1 A = QE d l = e ( e d x) = = x 1 x x 4πε 1 x 4πε T d Q 1 1 Q Vs 1 = = = = 4πε 3 d / d 4πε d 3 Am 3 d (1 1 C) 1 m 3 1 J Rezultat je pozitiven, saj polje opavi delo 3 µj: delec se pemakne v dugo točko pod vplivom elektične sile. Zakaj je ezultat mnogo manjši kot v pejšnjem pimeu? SLIKA 8.4: PREMIK DESNEGA NABOJA STRAN OD LEVEGA. DELO ELEKTRIČNIH SIL NI ODVISNO OD POTI Kolikšno pa bi bilo delo, če bi ga opavili po dugi poti? Izačunajmo delo za enak pemik kot v pejšnjem pimeu le po dugi poti. Izbeimo to pot tako, da bo šla najpej v smei kota za 45, nato v smei adija do =,5 cm in nato nazaj za kot 45 do končne točke. Ugotovimo lahko, da je v smei kota ( dl = e dϕ ) polje enako nič, saj je polje v vsaki točki usmejeno adialno. Toej ϕ Pi kolesajenju pogosto končamo na istem mestu kot smo začeli. Če bi šlo za delo elektičnih sil, bi bilo (po definiciji) na koncu delo enako nič. Kako pa je z enegijo? * Ka je logično, saj sta oba naboja positivan in se toej odbijata. Delo bi bilo pozitivno, če bi se naboja odštevala. 61

65 Delo in potencialna enegija 8. je podukt integacije E dl v smei kota enak nič in je ezultat enak kot pej. Ke je ezultat integacije polja neodvisen od poti lahko vzamemo dve poljubni poti in zapišemo E dl = E dl. L1 L SLIKA 8.5: DELO OD TOČKE T 1 DO TOČKE T PO POTI L 1 IN POTI L JE ENAKO. DELO PO ZAKLJUČENI POTI Ke velja E dl = E dl, integacija v naspotni smei pa spemeni pedznak integalu L1 L E dl = E dl = E dl, lahko pišemo L L L1 E dl = E dl = E dl + E dl = E dl E dl =. L L1 + ( L ) L1 L L1 L1 Pišli smo do pomembnega ezultata, da je kivuljni integal elektične poljske jakosti po poljubni zaključeni poti (zanki) enak nič * : L E dl =. ZAKON O POTENCIALNOSTI ELEKTROSTATIČNEGA POLJA (8.4) * Pi tem je potebno biti peviden, saj smo doslej obavnavali le elektostatično polje, toej tako, ki se s časom ne speminja. Zgonji zapis je toej točen le za elektostatične polje. Ko bomo obavnavali dinamično polje bomo ugotovili, da je potebno zgonji zapis spemeniti dopolniti. 6

66 Delo in potencialna enegija 8. POTENCIALNA ENERGIJA SLIKA 8.6: S PREMAGOVANJEM SILE TEŽNOSTI PRIDOBIVAMO (GRAVITACIJSKO) POTENCIALNO ENERGIJO. NA SLIKI JE PRIMER PROFILA PETE ETAPE KOLESARSKE POTI PO OKOLICI GROSUPELJ, KI JE PRIMERNA ZA TISTE, KI ŽELIJO NEPOSREDNO SPOZNAVATI POVEZAVO MED DELOM IN ENERGIJO TER ZAKONITOSTI INTEGRALOV PO ZAKLJUČENI POTI. VIR: Potencialna enegija ali delo pi penosu naboja v neskončnost (kje je polje enako nič). Določimo še delo, če bi enega od nabojev iz pejšnjega pimea pustili v neskončnost. Opavljeno delo bi bilo: Q Q 1 A = QE d l = Q e ( e d ) = = 1 4πε 1 1 4πε T Q 1 1 Q = = 4πε 1 4πε 1 1 SLIKA 8.7: DELO PRI PRENOSU NABOJA OD TOČKE T DO NESKONČNOSTI. Lahko ečemo, da je imel sistem (naboj) ped penosom v neskončnost določeno enegijo, ki se je nato poabila za penos. Ta (potencialna) enegija je avno enaka delu, potebnem za pemik naboja v neskončnost. Če upoabimo simbol W za zapis elektične potencialne enegije, velja W ( T ) = Ae ( T T ) (8.5) Delo, potebno za penos naboja Q od neke točke T do neskončnosti je enako elektični potencialni enegiji tega naboja v točki T. Pime: Določite elektostatično potencialno enegijo sistema dveh nabojev velikosti 1 nc oddaljenih za 1 cm. Izačun: Izačun smo že opavili, saj je ta enegija enaka delu polja za pemik enega od nabojev od začetne lege do neskončnosti: Q 1 1 Q We = A1 = QE dl == = = 9µJ. 4πε 1 4πε 1 T1 63

67 Delo in potencialna enegija 8. Komenta: na tem mestu lahko vpeljemo tudi koncept elektičnega potenciala. POTENCIALNA ENERGIJA SISTEMA NABOJEV Kolikšna pa je enegija skupine (sistema) nabojev, če imamo več nabojev? Postopamo tako, kot da bi imeli najpej na končnem mestu naboj * Q 1, nato na svoje mesto oddaljeno od Q 1 za 1 pipeljemo iz Q1Q neskončnosti naboj Q. Za to je potebno delo A = 1 QE dl =. Da pipeljemo poleg še 4πε naboj Q 3 potebujemo delo Q Q 4πε Q 1 in Q 3 kot tudi Q in Q 3. Enegija sistema teh nabojev bo toej nadaljevanju bomo ta ezultat pikazali še nekoliko dugače. T1 + Q Q 4πε, saj moamo sedaj opaviti delo tako zaadi sile med 1 Q1Q Q Q Q Q 4πε 4πε 4πε V SLIKA 8.8: SISTEM TREH NABOJEV Z OZNAČENIMI NABOJI IN RAZDALJAMI MED NABOJI. DELO KOT RAZLIKA POTENCIALNIH ENERGIJ SISTEMA Imamo sistem nabojev poazdeljenih po postou in toej določeno elektično potencialno enegijo. Sedaj pemaknemo enega od nabojev iz izhodiščnega mesta T 1 na dugo mesto (T ) in pi tem opavimo določeno (pozitivno ali negativno) delo. Če je to delo pozitivno, je delo opavilo elektostatično polje, enegija sistema pa je po pemiku manjša kot ped pemikom. V naspotnem pimeu (delo negativno) moa delo opaviti neka zunanja sila, ka pomeni, da je končna enegija sistema večja kot ped pemikom. Delo potebno za pemik naboja od T 1 do T je enako azliki potencialnih enegij sistema nabojev ped in po pemiku: A( T T ) = W ( T ) W ( T ) (8.6) 1 1 * Za postavitev naboja Q 1 na določeno mesto ne potebujemo nobenega dela, saj imamo pedhodno sistem bez nabojev in toej bez polja. V nadaljevanju pa seveda vsi nadaljnji naboji pispevajo k polju delu. 64

68 Delo in potencialna enegija 8. SLIKA 8.9: DELO JE ENAKO RAZLIKI POTENCIALNIH ENERGIJ SISTEMA PRED PREMIKOM IN PO PREMIKU. Vpašanja za obnovo: 1. Zapišite enačbo za izačun dela po poljubni poti in azložite pomen skalanega podukta.. Kako izačunamo delo elektičnih sil? 3. Kaj pomeni pozitivno delo in kaj negativno delo elektičnih sil? 4. Koliko je integal polja po zaključni poti? 5. Kakšna je povezava med delom elektičnih sil in elektično potencialno enegijo? 6. Kako izačunamo potencialno enegijo sistema nabojev? Pime iz kolokvija

69 Potencial in napetost Potencial in napetost Vsebina poglavja: Elektični potencial - definicija, potencial v okolici točkastega naboja, potencial sistema točkastih nabojev, potencial v okolici zvezno poazdeljenih nabojev, ekvipotencialne ploskve, elektična napetost, Kichoffov zakon. ELEKTRIČNI POTENCIAL Ugotovili smo že, da je elektična potencialna enegija naboja Q na mestu T enaka delu pi penosu tega naboja od točke T v neskončnost ozioma do mesta, kje je enegija enaka nič: T ( V = ) W ( T) = Q E dl = Q E dl. (9.1) T T Nomiano potencialno enegijo imenujemo elektični potencial T ( V = ) W ( T) V ( T) = = E dl Q T (9.) Enota za potencial je J/C = V. Številčno je toej elektični potencial enak delu polja elektičnih sil za pemik enote naboja (1 C) od točke T do neskončnosti. Ali obatno: Če poznamo potencial v določeni točki, bo enegija potebna za penos naboja v polju elektičnih sil iz neskončnosti do te točke enaka poduktu naboja in potenciala: W ( T ) = QV ( T ) ali tudi, če se na mestu T nahaja naboj Q (ali pa ga na to mesto postavimo) in ga sila polja pemakne do mesta, kje je polje enako nič, pidobi enegijo W ( T ) = QV ( T ). SLIKA 9.1: POTENCIAL KOT DELO ZA PRENOS NABOJA IZ TOČKE T V NESKONČNOST. 66

70 Potencial in napetost 9. POTENCIAL V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA Q Z upoštevanjem definicije za potencial kot nomiane potencialne enegije, zapišemo (na določeno oddaljenost od naboja Q postavimo testni naboj Q t in določimo delo, pi penosu tega naboja od do neskončnosti): W ( ) 1 Q Q V ( ) = = Q e e d = Q Q t t t 4πε 4πε (9.3) SLIKA 9.: POTENCIAL V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA. Ponovimo ta pomemben ezultat: potencial točkastega naboja se z oddaljenostjo manjša z 1/ in je enak Q V ( ) = 4πε (9.4) 1 x 18 1 x Polje / V/m -.5 Potencial / V Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: PORAZDELITEV POLJA (LEVO) IN POTENCIALA (DESNO) V OKOLICI TOČKASTEGA NABOJA. POLJE UPADA 1/R, POTENCIAL PA Z 1/R. 67

71 Potencial in napetost 9. % IZRIS POLJA IN POTENCIALA TOČKASTEGA NABOJA Z MATLABOM Q=1e-8; e=8.854e-1; =-e-:1e-3:e-; V=Q./(4*pi*e.*abs()); E=sign()*Q./(4*pi*e.*.^); % funkcija sign() poskbi za pavilen pedznak polja plot(,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potencial / V'); figue; zeo=zeos(length(),1); % vekto ničel potebujemo za izis linije ničle polja plot(,e,,zeo); xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); Pime: Določimo potencial v okolici točkastega naboja Q = 1 nc pi = 1 cm. 9 Q 9 V m 1 1 C Izačun: Velja V ( = 1cm) = = 9 1 = 9kV. 4πε A s 1 m (To tudi pomeni, da bi bila enegija potebna za pemik naboja 1 C iz neskončnosti do azdalje 1 cm od naboja 1 nc enaka 9 kv 1 As = 9 kj, enegija za penos naboja nc pa W = nc 9 kv = 18µJ.) POTENCIAL SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV Ugotovili smo, da je potencial v okolici enega točkastega naboja enak Q V = 4πε, kje je azdalja od točke, kje iščemo potencial, do točke, kje se nahaja naboj Q. Ke velja supepozicija polja, lahko tudi potencial določimo kot supepozicijo posameznih delnih pispevkov nomiane enegije. Za sistem točkastih nabojev bo toej potencial v točki T enak V T N = Q Q 1 Qi 4πε + 4πε + = 4πε =, (9.5) 1 ( )... 1 i 1 i kje so 1, itd azdalje od naboja Q 1, Q, itd do točke T, kje ačunamo potencial. SLIKA 9.3: IZRAČUN POTENCIALA SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV. Pime: Določimo potencial v sedini med dvema točkastima nabojema Q = 1 nc oddaljenima za cm. Izačun: V Q Q Q V m 4πε 4πε 4πε 1cm A s = + = = C 1 m = 18 kv 1. 68

72 Potencial in napetost 9. * POTENCIAL V OKOLICI SISTEMA ZVEZNO PORAZDELJENIH NABOJEV. Za poazdelitev točkastih nabojev smo ugotovili, da lahko potencial določimo kot vsoto N 1 Qi V = 4π. ε i= 1 i Če je poazdelitev naboja zvezna moamo vzeti en mali del celotnega naboja in z limitianjem vsote delnih pispevkov dobimo V 1 d 4π lim N = Qi Q ε = 4πε ozioma Q i= 1 i po vseh Q-jih dq dv =. 4πε je azdalja od mesta, kje se nahaja dq do točke kje iščemo potencial. Odvisno od načina poazdelitve naboja (po povšini, volumnu, liniji) določimo potencial kot V V V = = = V A L ρdv 4πε σ da 4πε qdl 4πε (9.6) SLIKA 9.4: IZRAČUN POTENCIALA PORAZDELJENEGA NABOJA S SEŠTEVANJEM (INTEGRACIJO) DELNIH PRISPEVKOV DV. NA SLIKI JE NARISAN DIFERENCIAL NABOJA, TOČKA T KJER RAČUNAMO INTEGRAL IN RAZDALJA R OD DQ DO TOČKE T. Pime: Izačunajmo potencial vzdolž Z osi za enakomeno naelekten tanek oboč polmea a z nabojem Q, ki leži v avnini z =. Ke je naboj poazdeljen enakomeno po oboču lahko upoabimo enačbo V = qdl 4πε, ki jo L zapišemo v obliki V Q π a π qadϕ π Q = a = =. 4πε a + z 4πε a + z 4πε a + z 69

73 Potencial in napetost 9. Ugotovimo lahko, da je način ačunanja potenciala podobno ačunanju elektične poljske jakosti, le da je običajno nekoliko bolj peposto. Pedvsem zato, ke je potencial skalana veličina, polje pa vektoska. Pogosto zato elektično polje določimo posedno, tako, da najpej izačunamo potencial, nato pa iz potenciala še elektično poljsko jakost. Kako, bomo spoznali v nadaljevanju. POTENCIALNO POLJE JE SKALARNO POLJE Potencial lahko določimo v vsaki točki postoa neodvisno od poazdelitve nabojev, enako, kot je veljalo za elektično poljsko jakost. Je pa za azliko od elektičnega polja, ki je vektosko polje, potencial skalana veličina in tvoi skalano polje. EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE Če povežemo točke z enako velikostjo potenciala dobimo ploskev, ki jo imenujemo ekvipotencialna avnina ali bolje ekvipotencialna ploskev. V pimeu osamljenega točkastega naboja so ekvipotencialne ploskve kožnice, oz. v 3D povšine kogle. Običajno jih išemo tako, da je azlika potencialov med vsako naslednjo ploskvijo konstantna. Pime: Določimo ekvipotencialne ploskve v okolici točkastega naboja Q = 1 nc. Q Ugotovili smo že, da velja za potencial v okolici točkastega naboja enačba V ( ) = 4πε. Ugotovili smo tudi, da je ta potencial na azdalji 1 cm enak V ( = 1 cm) = 9kV. Potencial 9 kv je toej enak v vseh točkah, ki so od točkastega naboja oddaljeni za 1 cm, ka pikažemo z lupino kogle (v D z kožnico) polmea 1 cm. Kje pa se nahajajo ekcipotencialne ploskve s potenciali 8 kv, 7 kv itd.? Peposto: enačba, ki jo je potebno ešiti za ekvipotencialno ploskev s potencialom 8 kv bo 9 9 Q kv = 8kV = Q / ( 8 kv 4πε ) = m =,115 m = 1,15 cm. 3 4πε 8 1 8kV 8 Naslednja ekvipotencialka bo pi 7kV = 1,15 cm = 1, 85 cmitd. V splošnem nas zanimajo 7 ekvipotencialne ploskve, kateih potenciali se azlikujejo za konstantno azliko napetosti, v našem pimeu za 1 kv). Za ekvipotencialne ploskve v okolici točkastega naboja lahko ugotovimo, da se vstijo v geometijskem zapoedju. SLIKA 9.5: PRIKAZ EKVIPOTENCIALNIH PLOSKEV ZA TOČKASTI NABOJ. 7

74 Potencial in napetost 9. SLIKA 9.6: GRAFIČNO NA VEČ NAČINOV LAHKO PRIKAZUJEMO EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE. NA PODOBEN NAČIN SO DOLOČENE IZOHIPSE, KOT TOČKE Z ENAKO VIŠINSKO RAZLIKO. NA SLIKI LEVO JE RAZVIDEN PROFIL RAZLIČNIH VZPETIN IN USTREZNE IZOHIPSE. VIR: PODOBNO LAHKO PRI RAZLAGI VREMENA UPORABLJAMO IZOBARE (ČRTE Z ENAKIM PRITISKOM), LAHKO TUDI DRUGE VELIČINE, POMEMBNE ZA RAZLAGO VREMENA: TEMPERATURA, HITROST DVIGANJA VETRA. VIR: VREME.NET/INDEX.PHP?ID=17. ELEKTRIČNA NAPETOST Ugotovili smo že, da lahko delo potebno za pemik naboja med dvema točkama določimo iz azlike potencialne enegije sistema nabojev ped in po pemiku. Če to delo opavi testni naboj 1 C govoimo o elektični napetosti med dvema točkama. Elektična napetost je toej številsko enaka delu polja elektičnih sil potebnem za penos enote naboja iz točke T 1 do točke T : T Qt E dl T AQ ( T1 T ) W ( T1 ) W ( T ) t T 1 U1 = = = = E dl Q Q Q. (9.7) t t t T1 Ugotovimo lahko, da lahko elektično napetost določimo tudi kot azliko potencialov: 1 1 T U = V ( T ) V ( T ) = E dl E dl = E dl T1 T T1. ELEKTRIČNA NAPETOST (9.8) DRUGI KIRCHOFFOV ZAKON Ugotovili smo, da elektično napetost med dvema točkama določimo z integacijo elektične poljske jakosti po poljubni poti od ene do duge točke. Obenem smo ugotovili, da je ta integal enak nič, če je pot zaključena sama vase. Toej bi lahko pisali: 71

75 Potencial in napetost 9. T1 T T3 T1 E dl = E dl = E dl + E dl + + E dl = U + U + + U = L T1 T1 T TN 1 1 N Ali z besedami, vsota vseh napetosti po zaključeni poti (zanki) je enaka nič, ka imenujemo. Kichoffov zakon: N Ui = (9.9) i= 1 7

76 Potencial in napetost 9. OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR DVE RAVNI VZPOREDNI NAELEKTRENI PLOŠČI: PLOŠČNI KONDENZATOR Ravni vzpoedni plošči povšine A = 5 8 cm sta oddaljeni za d = 1 cm in imata naboj ± Q = ± nc. Določimo polje, potencial in napetost med ploščama, pi čeme pedpostavimo homogenost polja med ploščama (polje neskončnih naelektenih avnin). SLIKA 9.7: A) DVE RAVNI NASPROTNO NAELEKTRENI PLOŠČI POSTAVLJENI V KOORDINATNI SISTEM Z NORMALO V SMERI OSI X. B) NAPETOST IN POLJE MED DVEMA RAVNIMA (NASPROTNO) NAELEKTRENIMA PLOŠČAMA. Mikoelektonska industija upoablja tehnologijo mikomehanske obdelave (MEMS) za ealizacijo mikonskih stuktu. Na sliki integacija meilnika pospeškov, z elektoniko. Meilnik pospeškov je v osnovi sestavljen iz niza ploščnih kondenzatojev. Ene stanice so fiksno vpete, duge pa se lahko pemikajo. Z mejenjem spemembe kapacitivnosti lahko določimo hitost spemembe pospešek. n/ Plošči postavimo v koodinatni sistem, ecimo tako, da je nomala na povšino v smei X osi in da ima leva elektoda pozitivni naboj. Ob pedpostavki enakomene poazdelitve naboja, je σ = nc 5µm/m 4 cm σ = =. Q A. Dobimo 73

77 Potencial in napetost 9. Elektično polje med ploščama je supepozicija polj dveh plošč in je enako * E e σ σ = x = ex. ε ε Napetost med ploščama dobimo z integacijo polja med ploščama: T d U E dl e σ σ = = e dx = d x x ε T1 ε Izačun: U A s/m =,1m = 56,5 kv. 1 A s 8,854 1 V m Iz pimea ugotovimo, da je elektična poljska jakost med ploščama konstantna in enaka E = σ. Takemu polju ečemo tudi homogeno polje. ε Če v enačbi za napetost med ploščama zamenjamo σ = E, dobimo U Ed ε = ozioma U E =. To sta enačbi, ki ju poznamo že iz sednješolske fizike. Ugotovimo lahko, da sta d enačbi ustezni za izačun polja ali napetosti, venda le v tem konketnem pimeu, toej, za polje oz. napetost med dvema avnima enakomeno naelektenima ploščama. To seveda ne zmanjšuje pomembnosti izaza, pač pa velja le kot opozoilo, da se ga ne bi upoabljalo nekitično. Če polje med dvema točkama ni homogeno, je potebno napetost med točkama izačunati s pomočjo integala elektične poljske jakosti po poti. To bomo pikazali z naslednjim pimeom (koaksialni kabel). Določimo še potencial med ploščama ploščnega kondenzatoja: če ozemljimo desno elektodo (elektodo, ki ima negativni naboj), bo potencial med elektodama ( V ( x = d) =, V ( x = ) = U ): d V ( x) = e σ σ x e dx ( d x) ε =. x x ε Če ozemljimo levo elektodo, bo potencial med elektodama: V ( x) = e σ σ x exdx x ε = ε. V ( x = ) =, V ( x = d) = U x * Tu smo pedpostavili polje v okolici dveh naelektenih avnin. V esnici sta dve vzpoedni plošči omejenih dimenzij, zato velja apoksimalcija le delno, toej pedvsem tedaj, ko je povšina plošč velika v pimejavi z azdaljo med ploščama. 74

78 Potencial in napetost 9. SLIKA 9.8: LEVO: EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE MED IN V OKOLICI DVEH NASPROTNO NAELEKTRENIH RAVNIH PLOŠČ. UGOTOVIMO, DA SO MED PLOŠČAMA EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE ENAKOMERNO RAZMAKNJENE, V OKOLICI PA NE (BOLJ GOSTE SO OB ROBOVIH ELEKTROD). DESNO: VEKTORJI ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI SKUPAJ Z EKVIPOTENCIALNIMI PLOSKVAMI IN VELIKOSTJO ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI (VEČJE POLJE BOLJ RDEČA BARVA). ZA LAŽJE OPAZOVANJE SO VEKTORJI POLJA PRIKAZANI ENAKO VELIKI NEODVISNO OD VELIKOSTI POLJA. 75

79 Potencial in napetost 9. KOAKSIALNI KABEL (VALJNI KONDENZATOR) Med žilo in oklopom začnega koaksialnega kabla je napetost kv. Določimo linijsko gostoto naboja na žili in oklopu te maksimalno elektično poljsko jakost, če je polme žile n = mm, o = 5 mm, z = 7 mm. Oklop in žila sta iz pevodnega mateiala. SLIKA 9.9 : KOAKSIALNI KABEL S PRIKLJUČITVIJO NAPETOSTI MED OKLOPOM IN ŽILO. Koaksialen kabel za visokofekvenčni penos signalov. Izačun: Najpej moamo pedpostaviti enakomeno poazdelitev naboja na žili in oklopu. Pedpostavimo pozitivni naboj na žili (Q) in negativni na oklopu (-Q). Elektično poljsko jakost med žilo in oklopom določimo s pomočjo Gaussovega zakona. Na neki azdalji od osi kabla izačunamo petok el. polja skozi plašč valja (na velikost polja na adiju vpliva le zaobjeti naboj):in dobimo enačbo, ki je identična enačbi za polje v okolici peme elektine (naelektene pemice) * : ql E πl = in ε E = q πε ozioma E = e q πε. (9.1) Ali je povšinska gostota naboja enako velika na oklopu in na povšini žile? Odgovo je NE. Enako velik je celotni naboj, za gostoto naboja pa velja: Q( ) = σ π l = Q = σ π l, toej bo σ n o = σ n. o n n n o o o n mm V konketnem pimeu bo toej σ o = σ n = σ n = σ n. 5mm 5 o * Podobno bi izvajali, če bi izhajali iz enakomene povšinske gostote naboja na povšini žile σ ( = n ) = σ n : σ n A( n ) E πl = in in ε E = σ n π n l σ nn πε l = ε ozioma E = e enakovedna pejšnji, saj velja Q = ql = σ π l, ozioma q = σ π. n n n n σ nn ε. Enačba je seveda 76

80 Potencial in napetost 9. Pogosto nas zanima tudi gostota povšinsko poazdeljenega naboja. Iz izpeljanih enačb q σ n πn σ n E( n ) = = = ozioma σ n = ε E( n ). πε πε ε n n Da bi lahko določili q ali σ moamo zapisati še izaz za napetost med žilo in oklopom. Napetost med oklopom in žilo določimo z integacijo polja med kontaktoma: n z z U = E dl = E dl + E dl + E dl = + E dl +. n n Zakaj sta pvi in tetji integal enaka nič? Zato, ke integiamo polje, ki pa je znotaj žile in znotaj (pevodnega oklopa) enako nič! To lahko hito ugotovimo z azmislekom, da se pozitivni in negativni naboji pivlačijo in se zato pozitivni nabeejo na povšini žile, negativni pa na notanji stani oklopa. Z upoabo Gaussovega zakona na plašču valja z adijem, ki je večji od polmea bi hito ugotovili, da je polje znotaj oklopa enako nič, saj je zaobjeti naboj vsota enako velikega pozitivnega in negativnega naboja. q q U = E e d = e e d = ln n πε πε n n (9.11) Napetost bi lahko določili tudi iz azlike potencialov. Če pipišemo potencialu oklopa potencial nič, toej V ( o ) =, bo q U = V ( ) V ( ) = V ( ) = E e d = ln πε n n n n. q Potencial v poljubni točki bo toej V ( ) = E ed = ln. Znotaj žile ni polja (ka lahko πε pokažemo z Gaussovim stavkom), potencial je toej v notanjosti žile enak kot na povšini. Podobno lahko pokažemo tudi za oklop. In še izačun linijske gostote naboja (iz enačbe za napetost): πε q U ln π8, A s V m 3 = = 1 V =,11µC/m. 5 mm n ln mm Elektično polje je maksimalno pi najmanjšem adiju, toej pi n : q U E = max e e πε = 3 1 V Emax = = 1,9MV/m n n ln m ln n Ponovimo pomembne ezultate iz tega pimea: 77

81 Potencial in napetost 9. napetost med žilo in plaščem koaksialnega kabla je U q ln = πε, n elektično polje pa E = e q πε ali E = e σ nn ε ozioma izaženo z napetostjo E = e U ln n. Povšinska gostota naboja pi n je σ = ε E( ). n n Izis poteka potenciala in polja znotaj koaksialnega kabla. El. poljska jakost [V/m] 1 x Potencial [V] Radij [m] x Radij [m] x 1-3 SLIKA 9.1: ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST IN POTENCIAL ZNOTRAJ KOAKSIALNEGA KABLA. % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8.854e-1; U=; n=e-3; o=5e-3; q=u**pi*e/(log(o/n)); R=:1e-5:o; E=zeos(length(R),1);V=E; E=q/(*pi*e)./R; V=q/(*pi*e)*log(o./R); fo i=1:1:length(r) if R(i)<n V(i)=U; E(i)=; end end plot(r,v); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' Potencial [V]'); figue; plot(r,e); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' El. poljska jakost [V/m]'); beak 78

82 Potencial in napetost 9. KROGELNI (SFERIČNI) KONDENZATOR Obavnavamo dve lupini kogle z enakomeno in naspotno naelekteno gostoto naboja. Pime kogelnega kondenzatoja je zemlja z začno atmosfeo, ki ločuje povšino zemlje od ionosfee. Dug pomemben pime je biološka celica, ki ima slabo pevodno tanko membano. Pime je tudi kogla Van de Gaffovega geneatoja z dugo elektodo v neskončnosti. Pime: Na povšini zemlje izmeimo elektično poljsko jakost 15 V/m, ki je usmejena v smei sedišča zemlje. Določimo napetost med zemljo in ionosfeo, ki je od povšine zemlje oddaljena pibližno * 4 km. Določimo še povšinsko gostoto naboja. Polme zemlje je n = Zemlja kot sfeični kondenzato. Med zemljo in ionosfeo je visoka napetost, ka vpliva na elektične pojave. 637 km, ionosfee pa i = 641 km. Pedpostavimo zemljo in ionosfeo kot sfeični kondenzato. SLIKA 9.11: PODROČJE MED POVRŠINO ZEMLJE IN IONOSFERO PREDSTAVIMO KOT VELIK KROGELNI KONDENZATOR. KER JE POLJE NA POVRŠINI USMERJENO V SMERI SREDIŠČA ZEMLJE POMENI, DA JE ZEMLJA NAELEKTRENA NEGATIVNO GLEDE NA IONOSFERO. Zemljo in ionosfeo pedstavimo kot sfeični kondenzato. Znano je, da je na povšini zemlje pesežek negativnega naboja, v ionosfei pa pozitivnega. Elektično polje kaže v smei centa zemlje in je (lahko z upoabo Gaussovega zakona) enako (Q je negativen) Biološko celico lahko obavnavamo v elektičnem smislu kot sfeični kondenzato. Celična membana je izedno tanka, nekaj nm, in slabo pevodna, medtem, ko je notanjost mnogo bolj pevodna. * Pi izačunu smo pedpostavili, da je zemlja oblike kogle. Ionosfea je del atmosfee zemlje, ki je ionizian zaadi učinkov adiacije sonca in kozmičnih visokoenegijskih delcev. Enegija, ki jo sonce oddaja v določenem spektu je tako velika, da lahko azbije molekule in jih ionizia.več o tem: 79

83 Potencial in napetost 9. E = e Q 4πε. Napetost med ionosfeo in zemljo je n n n Q Q 1 Q 1 1 U = E e d = e e d = =. i n 4πε 4πε 4πε i i i Q U 1 1 E( = n ) = e = e 15V/m e =. Sledi 4πε n n i n 1 U 1 1 ( ) 1 1 = = V/m n 15V/m m 1 m 6 MV i n Če pedpostavimo potencial zemlje enak nič V ( n ) =, dobimo za potencial n n n Q Q 1 Q 1 1 V ( ) = E e d = e e d = =. n 4πε 4πε 4πε Gostota naboja na povšini zemlje je Q Q E( ) 4πε σ ( n ) = = = = E( n ) ε. A 4π 4 n n n π n Q = E( ) 4πε, n n In še ezultat: σ = 15 V/m ε = 1,33 nc/m. 4 Potencial [V] El. poljska jakost [V/m] Razdalja [m] x 1-3 SLIKA 9.1: PRIKAZ PORAZDELITVE POTENCIALA IN ABSOLUTNE VREDNOSTI POLJA V SFERIČNEM KONDENZATORJU. (RAZDALJE IN NAPETOSTI SO ZA PRIMERJAVO VZETE IZ PRIMERA CILINDRIČNEGA KONDENZATORJA) 8

84 Potencial in napetost 9. % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8.854e-1; U=; n=e-3; z=5e-3; Q=U*4*pi*e/(1/z-1/n); R=:1e-5:z; E=zeos(length(R),1); V=E; E=abs(Q./(4*pi*e.*R)); V=Q/(4*pi*e).*(1./R-1/n); fo i=1:1:length(r) if R(i)<n V(i)=; E(i)=; end end [ax ax1 ax]=plotyy(r,v,r,e,'plot'); axes(ax(1)); ylabel(' Potencial [V]'); xlabel('razdalja [m]') axes(ax()); ylabel(' El. poljska jakost [V/m]'); set(ax1,'linestyle',':') set(ax1,'linewidth',3) set(ax,'linewidth',) Pomembni ezultati za sfeični kondenzato: V splošnem imamo sfeični kondenzato z notanjim polmeom n in zunanjim polmeom i = z : Q Polje v sfeičnem kondenzatoju je enako E = e, napetost pa 4πε Q 1 1 U = 4πε n z 1 1 ozioma U = E( n ) n. Povšinska gostota naboja pi = n je σ ( n ) = E( n ) ε. n z 81

85 Potencial in napetost 9. POVZETEK: 1) Elektični potencial je enaka nomiani potencialni enegiji naboja. Ali tudi: elektični potencial v točki T je številsko enak delu pi penosu enote naboja (1 C) od točke T v neskončnost ozioma do mesta, kje je potencial enaka nič. T ( V = ) W ( T) V ( T) = = E dl Q. T ) Potencial v okolici točkastega naboja se manjša z 1/: V ( ) = Q 4πε 3) Potencial sistema točkastih nabojev je enak vsoti pispevkov posameznih potencialov: N 1 Qi V ( T ) = 4π. je azdalja od točke, kje ačunamo potencial do naboja Q. i i ε i= 1 i 4) Potencial poazdeljenih nabojev določimo z integacijo V do točke, kje ačunamo potencial. dq =. je azdalja od dq-ja 4πε po vseh Q-jih 5) Potencial je tako kot elektična poljska jakost definian povsod v postou, zato ga lahko pikažemo kot potencialno polje. Za vizualizacijo pogosto upoabljamo pikaz ekvipotencialnih ploskev, ki so ploskve z enako vednostjo elektičnega potenciala. Običajno jih išemo tako, da je azlika potencialov med vsako naslednjo ploskvijo konstantna. 6) Elektična napetost je številsko enaka delu polja elektičnih sil potebnem za penos enote naboja iz točke T 1 do točke T. U = V ( T ) V ( T ). 1 1 T AQ ( T1 T ) t U1 = = E dl Q. Napetost je azlika potencialov t T1 7) Delo po zaključeni poti je enako nič, ka zapišemo tudi kot E dl =. Iz tega sledi. Kichoffov zakon, da je vsota vseh padcev napetosti po zaključeni poti (zanki) enaka nič: Ui =. L N i= 1 8

86 Pevodnik v polju Pevodnik v elektičnem polju Vsebina poglavja: pevodnik v zunanjem elektičnem polju, povšina pevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektostatična indukcija (influenca), polje znotaj votline pevodnika, Faadayeva kletka, pevodnik z nabojem v luknji pevodnika, elektično polje na povšini pevodnika, sila na povšinski naboj. VIDEO 1: STE SI KDAJ ŽELELI DELATI PRI VISOKI NAPETOSTI. NI PROBLEM. OBLEČETE PREVODNOO OBLEKO, SE PREVIDNO SPRAVITE NA DALJNOVOD IN OPRAVITE DELO. VEČ: GOOGLE: HIGH VOLTAGE CABLE INSPECTIONN Že v pejšnjem poglavju smo ugotovili, da polja znotaj žile koaksialnega kablaa ni, niti ga ni znotaj pevodnega oklopa koaksialnega kabla. Ali je to le posledica simetične poazdelitve naboja in upoabe Gaussovega zakona, ali je to splošna lastnost pevodnikov? Odgovo dobimo z azmislekom o lastnostih pevodnikov: dobe pevodnik ima to lastnost, da je tudi v pimeu nevtalnosti (bez pesežkov naboja) mnogo elektonov, ki so zelo šibko vezani na jedo, ka pomeni, da jih že najmanjše zunanje polje lahko pemakne iz avnovesne lege. PREVODNIK V ZUNANJEM ELEKTRIČNEM POLJU Tisti tenutek, ko pevodnik postavimo v zunanje elektično polje E zunanje, na vse deluje elektična sila, v skladu z zvezo F = QE naboje v pevodniku. Posti ozioma šibko vezani elekt toni se pomaknejo v naspotni smei polja (ke so negativnega pedznaka) do oba pevodnika. * Kolikoo pa se jih pomakne? Toliko, koliko»zahteva«zunanje polje, ozioma toliko, da se vzpostavi novo stacionano stanje, v kateem je znotaj pevodnika polje enako nič. Kaj pa ostane tam, kje so pej bili elektoni, pa so se zaadi delovanja zunanjega polja odmaknili? Ostane pimanjkljaj elektonov, toej pesežek števila potonov nad elektoni, ka deluje kot pozitiven naboj. * V esnici elekton ne pepotuje celotne azdalje od enega oba do dugega oba pevodnika pač pa se elektoni le zamaknejo med samo. Povpečna hitost elektonov v pevodniku je elativno počasna (eda...) in ji ečemo tudi hitost difta, saj med penosom tkajo z atomi v pevodniku tako, da njihova pot ni pemočtna pač pa se le v povpečju gibljejo v naspotni smei polja. Peazpoeditev, ki smo ji piča, ko vstavimo pevodnik v polje pa je skoaj hipna. Več o pevajanju v pevodnikih bomo govoili v poglavju o tokovnem polju (poglavje 4). 83

87 Pevodnik v polju 1. Očitno bodo pemaknjeni naboji delovali (delujejo) z lastnim elektičnim poljem E nabojevtako, da bo elektično polje v pevodniku E v pevodniku = E zunanjih + E nabojev =. E v pevodniku = nabojev na povšini p.. (1.1) SLIKA 1.1: A) V ZUNANJE POLJE VSTAVIMO PREVODNIK. B) PO (HITREM) PREHODNEM POJAVU PRIDE DO PRERAZPOREDITVE NABOJA (PRESEŽKA ELEKTRONOV NA ENI STRANI IN POMANJKANJA NA DRUGI STRANI) TAKO, DA JE POLJE ZNOTRAJ PREVODNIKA ENAKO NIČ. Polje znotaj (pa tudi v okolici) polpevodnika se spemeni ob peazpoeditvi naboja v pevodniku, saj na polje vplivajo tudi peazpoejeni naboji. POVRŠINA PREVODNIKA JE EKVIPOTENCIALNA PLOSKEV Če je polje znotaj pevodnika enako nič, potem bo tudi napetost med poljubnima dvema točkama T znotaj pevodnika enaka nič, saj velja U = E dl. To pa tudi pomeni, da imajo vse točke v in na 1 T1 povšini pevodnika enak potencial. V tem smislu ečemo, da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev. ELEKTROSTATIČNA INDUKCIJA ALI INFLUENCA Če deluje polje na nevtalno pevodno telo, pide znotaj tega telesa do peazpoeditve elektonov, ki se pemaknejo v smei polja in pustijo za sabo pomanjkanje elektonov oz. pozitiven naboj. Pesežkov pozitivnega naboja je enako veliko kot peazpoejenih elektonov, tako, da je vsota vseh nabojev znotaj telesa še vedno enaka nič. Peazpoeditvi naboja ečemo elektostatična indukcija ali tudi influenca. Simulacija elektostatične indukcije s pogamom Jacob. 84

88 Pevodnik v polju 1. SLIKA 1.: PROCES PRERAZPOREDITVE NABOJEV ZARADI DELOVANJA ZUNANJEGA POLJA IMENUJEMO ELEKTROSTATIČNA INDUKCIJA. POLJE ZNOTRAJ VOTLINE PREVODNIKA FARADAYEVA KLETKA Ali je polje v votlini pevodnika? Če bi to polje obstajalo, potem bi imeli znotaj votline pevodnika ekvipotencialne ploskve in po Gaussovem zakonu bi moali z integacijo polja okoli ekvipotencialne ploskve dobiti množino zaobjetega naboja. Ke pa tega ni, je tudi polje znotaj votline pevodnika enako nič. Poleg tega ni polja tudi v notanjosti pevodnika (glej Slika 1.3). SLIKA 1.3: LEVO PREVODNIK V NEHOMOGENEM ELEKTRIČNEM POLJU, DESNO PREVODNIK V HOMOGENEM ELEKTRIČNEM POLJU. V BARVAH JE PRIKAZANA VELIKOST POTENCIALA, Z LINIJAMI EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE IN S PUŠČICAMI ELEKTRIČNO POLJE. 1.4: FARADAYEVA KLETKA JE POPULARNA TUDI PRI PRIKAZOVANJU ELEKTRIČNIH EKSPERIMENTOV. USPEŠNO ŠČITI NOTRANJOST KLETKE PRED ZUNANJIM ELEKTROSTATIČNIM POLJEM PA TUDI DINAMIČNEM (ELEKTROMAGNETNIM), ČE JE LE VALOVNA DOLŽINA ELEKTROMAGNETNEGA POLJA VEČJA ŠIRINE ODPRTIN. NE MORE PA FARADAYEVA KLETKA ŠČITITI PRED MAGNETOSTATIČNIM POLJEM ALI MAGNETNIM POLJEM NIZKIH FREKVENC. VEČ O TEM V DRUGEM SEMESTRU. VEČ: Kaj pa, če je poleg zunanjega polja naboj tudi v votlini pevodnika? Ali je tudi v tem pimeu polje v notanjosti pevodnika enako nič? Odgovo je da, saj če bi se v notanjosti pevodnika nahajal naboj in polje, bi naboje pemaknilo v smei, ki jo diktia zunanje polje, np. v smei naboja v votlini pevodnika. Če zapišemo Gaussov stavek po pevodniku v 85

89 Pevodnik v polju 1. okolici votline, hito ugotovimo, da moa biti na notanji povšini pevodnika (ob votlini) enaka množina naboja kot v votlini. Pav tako moa biti enaka množina naboja tudi na zunanji povšini pevodnika, saj je pevodnik nevtalen. Ni pa nujno, da je na zunanji povšini le naboj naspotnega pedznaka, saj je potebno upoštevati še zunanje polje. SLIKA 1.5: LEVO: PREVODNIK V HOMOGENEM POLJU Z LUKNJO V KATERI SE NAHAJA NABOJ. V BARVAH JE PRIKAZANA VELIKOST POTENCIALA, Z LINIJAMI EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE IN S PUŠČICAMI ELEKTRIČNO POLJE. DESNO: PORAZDELITEV NABOJA PO POVRŠINI PREVODNIKA Z LUKNJO V PRIMERU, KO SE V LUKNJI NAHAJA NABOJ. NABOJ V VOTLINI PREVODNIKA V tem pimeu bo tudi pišlo do elektostatične indukcije. Na notanji povšini se bo inducial naboj naspotnega pedznaka kot je v luknji, na zunanji povšini se pa v smislu indukcije nakopiči naboj enakega pedznaka kot je v luknji. Kaj pa polje v zunanjosti pevodnika? Vpliv polja naboja v luknji in naboja na notanji povšini pevodnika se izničita, ostane le polje na zunanji povšini pevodnika, ki je enakega pedznaka in velikosti kot naboj v luknji. Ta bo povzočil polje v okolici. Če je pevodnik sfeične oblike, bo polje v zunanjosti enako polju, ki bi ga povzočal točkasti naboj v sedišču sfee. SLIKA 1.6: LEVO: PREVODNIK Z LUKNJO V KATERI SE NAHAJA NABOJ. V BARVAH JE PRIKAZANA VELIKOST POTENCIALA, Z LINIJAMI EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE IN S PUŠČICAMI ELEKTRIČNO POLJE. DESNO: PORAZDELITEV NABOJA V PREVODNIKU Z LUKNJO V KATERI SE NAHAJA NABOJ. PRENOS NABOJA NA ZUNANJE STENE PREVODNIKA Ugotovili smo že, da se v izvotljenem pevodniku postavljenem v zunanje elektično polje vzpostavijo take azmee, da na povšini pevodnika pide do peazpoeditve naboja, znotaj pevodnika in tudi v votlini pa je polje enako nič. Če hočemo del postoa elektično izoliati od okolice, ga moamo toej pevleči s pevodnikom, ki ga običajno ozemljimo. Omeniti velja, da je taka zaščita popolna za 86

90 Pevodnik v polju 1. elektostatično (enosmeno) polje, za časovno spemenljivo pa ne popolnoma, odvisno od fekvence motenj in debeline zaščitne plasti *. SLIKA 1.7: PROCES PRENOSA NABOJA IZ NOTRANJEGA PREVODNIKA NA ZUNANJEGA OB DOTIKU. ELEKTRIČNO POLJE NA POVRŠINI PREVODNIKA Ugotovili smo že, da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev. To tudi pomeni, da na povšini ne moe obstajati komponenta polja, ki je usmejena vzdolž povšine pevodnika. Taki komponenti ečemo tangencialna komponenta, pavokotno na povšino pa je nomalna komponenta. Če bi tangencialna komponenta polja obstajala, bi to polje delovalo na šibko vezane elektone v kovini in jih pemaknila v novo avnovesno lego. Velja toej: E t,na povšini pevodnika =. (1.) Poleg tega smo na teh pimeih (ploščati, valjni in kogelni kondenzato) ugotovili, da je polje na povšini pevodnika enako σ / ε. Ali to velja splošno? DA. Polje na povšini polpevodnika je usmejeno v smei nomale na povšino in je enako E na povšini pevodnika = e σ n ε. (1.3) SLIKA 1.8: POLJE NA POVRŠINI PREVODNIKA. * Znano je, da avto smatamo kot pecej vanega ped udaom stele, ke je njegova kaoseija iz pevodnika. Podobno velja za letala, kje pa je kljub temu potebna pazljiva dodatna zaščita elektonike ped udai stel. Poleg tega so modena letala lahko zgajena iz nepevodnih kompozitnih mateialov (zaadi večje tdote in manjše teže), ki jim je avno zaadi nevanosti stel potebno vgaditi dodatno pevodno plast. Za bolj natančno azlago glej A.R.Sinigoj: Osnove elektomagnetike. 87

91 Pevodnik v polju 1. RAZLIKA MED POLJEM NAELEKTRENE RAVNINE IN POLJEM NA POVRŠINI PREVODNIKA Za polje naelektene avnine smo ugotovili, da je enako σ in kaže v smei pavokotno na avnino. ε Tik nad povšino pevodnika lahko vpliv nabojev na polje azdelimo na dva dela. En del polja pispevajo naboji na povšini, ti pispevajo polja povšini naelektenega pevodnika enako σ ε. σ, vsi ostali naboji pa tudi toliko, zato je polje na ε SLIKA 1.9: VPLIV NABOJEV NA PREVODNIKU NA SKUPNO ELEKTRIČNO POLJSKO JAKOST V TOČKI NA PREVODNIKU. * SILA NA NABOJ NA POVRŠINI PREVODNIKA Če je na povšini pevodnika elektično polje, moa na naboje na povšini (na telo) delovati sila v skladu z izazom F = QE. Upoštevati je potebno elektično polje na naboje σ na povšini pevodnika, ki je posledica ostalih nabojev na pevodniku. To polje je enako polovici celotnega polja σ na povšini pevodnika * oz.. Sila na naboje σ je ploskovna sila (ali pitisk) in je enaka ε fe = e σ n. Celotno silo na objekt pa bi dobili z integacijo ploskovne sile po celotni povšini ε 1 Fe = σ da ε. A Vpašanja za obnovo: 1. Koliko je polje znotaj pevodnika v elektičnem polju in zakaj?. Kako imenujemo poces peazpoeditve naboja? 3. Kako se peazpoedijo naboji v pevodniku, če je v njem luknja, v luknji pa je (ali ni) naboj? 4. Razloži pincip delovanja Faadayeve kletke. 5. Kolikšni sta tangencialna in nomalna komponenta polja na povšini pevodnika? 6. Ali (in kako) se spemeni polje izven pevodnika ob vnosa pevodnika v posto z elektičnim poljem? * Dugače povedano, elektična poljska jakost na povšini pevodnika velja pavzapav tik nad povšino, medtem, ko je elektična poljska jakost na naboje σ na povšini pevodnika enaka povpečni jakosti v notanjosti in zunanjosti: Ke je v notanjosti polje enako nič, je polje na mestu nabojev enako 88 σ ε.

92 Zveza med E in V Zveza med E in V Vsebina poglavja: povezava med elektično poljsko jakostjo in potencialom, sme polja v smei zmanjševanja potenciala, gadient polja, izačun gadienta v azličnih koodinatnih sistemih, ocena velikosti polja glede na poazdelitev potenciala (ekvipotencialnih avnin). IZRAČUN ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI IZ POTENCIALA IN OBRATNO Če poznamo poazdelitev elektičnega polja v postou, lahko z integacijo polja izačunamo potencial v poljubni točki (definicija potenciala): T ( V = ) V ( T) = E dl. (11.1) T Vpašajmo se, ali lahko tudi iz znane poazdelitve potenciala določimo elektično polje? Odgovo je seveda pitdilen, upoabiti pa je potebno naspotno opeacijo od integacije. * Najpej zapišemo difeencial potenciala kot dv = E dl. Vzdolž ekvipotencialne ploskve je elektična poljska jakost enaka nič. Toej moa biti (je) elektična poljska jakost pavokotna na ekvipotencialne ploskve: E = e E = e n n n V n, (11.) kje je e n nomala na ekvipotencialno ploskev. SLIKA 11.1: ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST KAŽE V SMERI UPADANJA POTENCIALA IN JE TOREJ PRAVOKOTNA NA EKVIPOTENCIALNE RAVNINE. Če želimo ugotoviti velikost polja v smei koodinat, upoabimo pacialno odvajanje po posameznih koodinatah: * Iz matematičnega piočnika lahko ugotovimo sledečo zvezo: T 89 d dx x f ( t) dt = f ( x) potenciala bi lahko pisali tudi V ( T ) = E dl = ( Ex dx + Ey dy + Ez dz) E x V =, itd. x x T ( V = ) T ( V = ) ponazaja pacialen odvod po x-ju. Razlika med totalnim odvodom T d dx. Glede na definicijo, od kode sledi in pacialnim je v tem, da pi pacialnem odvodu odvajamo izaz pacialno, toej le po eni spemenljivki (v konketnem pimeu po x-u), vse ostale spemenljivke pa so v smislu odvajanja konstante.

93 Zveza med E in V 1. E E E x y z V = x V = y V = z (11.3) Če zdužimo posamezne komponente polja v vekto elektične poljske jakosti, ga v katezičnih koodinatah zapišemo kot * V V V E = ( Ex, Ey, Ez ) =,, x y z Za cilindični koodinatni sistem velja E ( E Eϕ Ez ) Za sfeični koodinatni sistem velja E ( E Eϑ Eϕ ). (11.4) V V V =,, =,,. (11.5) ϕ z V V V =,, =,,. (11.6) ϑ sin( ϑ) ϕ SLIKA 11.: VEČJA GOSTOTA EKVIPOTENCIALNIH RAVNIN POMENI VEČJO ELEKTRIČNO POLJE NA TISTEM MESTU, OZIROMA, ZGOŠČENOST EKVIPOTENCIALNIH PLOSKEV JE MERILO ZA VELIKOST POLJA. V V Pime: Elektični potencial v postou je določen z enačbo V ( x, y, z ) 4 3 m xy m z Določimo elektično poljsko jakost v poljubni točki postoa te v točki T(1 m, m, 3 m). =. V V V * Enačbo E =,, lahko zapišemo tudi kot E,, V x y z =, kje zapis v oklepaju x y z imenujemo opeato odvajanja, ki ga imenujemo nabla in pišemo s simbolom ali pa z imenom gad (za gadient). Zvezo med potencialom in poljem lahko toej zapišemo kot E = V = gad( V ). Ge toej za opeato, ki skalanemu polju piedi vektosko na tak način, da kaže v smei zmanjšanja potenciala, po velikosti pa je enak (kajevni) hitosti speminjanja polja. 9

94 Zveza med E in V 1. Izačun: E E x y V V = = 4 m x y V V = = 4 m y x V V V Ez = = ( 3 z) = 6 z z m m E( x, y, z) = 4 y, 4 x,6z V m ( ) E (1 m, m,3 m) = ( 8, 4,18) V. m SLIKA 11.3: ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST KAŽE SMER IN HITROST UPADANJA POTENCIALA. PRIMERA POLJA KLINASTE ELEKTRODE OB RAVNI ELEKTRODI IN POLJA MED RAVNIMA PLOŠČAMA. NA LEVI SLIKI SO POLJEG VEKTORJEV POLJA PRIKAZANE ŠE EKVIPOTENCIALNE RAVNINE TER POTENCIAL V BARVNI LESTVICI. NA DESNI SLIKI PA SO ZARADI LAŽJEGA OPAZOVANJA VEKTORJI POLJA NORMIRANI, VELIKOST POLJA PA PRIKAZUJE BARVNA LESTVICA. POLEG TEGA SO Vpašanja za obnovo: 1. Kako določimo potencial iz znane poazdelitve polja?. Kako določimo polje iz znane poazdelitve potenciala? 3. Kako bi iz poazdelitve ekvipotencialnih ploskev azbali velikost in sme polja? 4. Kako bi skiciali silnice polja in gostotnice iz poazdelitve ekcipotencialnih ploskev? 5. * Kako zapišemo povezavo med poljem in potencialom za azlične koodinatne sisteme? PRIKAZANE EKVIPOTENCIALNE RAVNINE. 91

95 Zveza med E in V Gibanje nabojev v elektičnem polju Vsebina poglavja: sila na naelekten delec v elektičnem polju, enačba gibanja, odklon naelektenega delca v elektičnem polju, enegija delca med gibanjem, ohanitev enegije, pimejava med gavitacijsko in elektično silo, ekspeimenti J.J. Thomsona s katodno cevjo. Če se naboj nahaja v elektičnem polju in ima možnost gibanja, se giblje v skladu s silami, ki delujejo na naboj. V splošnem velja enačba gibanja ma = i F, kje pod vsoto vseh sil upoštevamo elektično, mehanično, kemično silo itd. Mi se bomo i pedvsem posvetili elektični sili na naboje. V tem pimeu gibanje naboja določimo z upoštevanjem zveze: ma = QE (1.1) Pospešek a je vekto, ki ima ti komponente, in je enak časovnemu odvodu hitosti, ta pa časovnemu d d odvodu poti, toej velja ma = m = QE(, t) ali na katko m ɺɺ = QE. V splošnem moamo dt dt tajektoijo gibanja delcev določiti s pomočjo eševanja sistema teh difeencialnih enačb. Pogosto pa je mogoče določiti pozicijo delca z upoabo osnovnih zvez, ka bomo pikazali ka na pimeu. Pime: V homogeno polje V/m usmeimo elekton s hitostjo 1 6 m/s, ki vpade pečno na sme polja. Določimo odklon elektona iz vpadne smei po peletu polja za 1 cm. Izačun: Elekton nadaljuje pot v smei leta ped vpadom v polje s hitostjo 1 6 m/s, za 1 cm poti pa x 1cm 8 potebuje časa 6 1 t = = = s. Obenem v pečni smei nanj deluje elektična sila in toej v 1 m/s pospešek a y x Qe E = = = m 9,1 1 kg ,6 1 As 1 V/m ,5 1 m/s ( ) ,5 1 m/s 1 s ay t y = = = 17,58 mm., odklon v tej smei pa bo enak SLIKA: ELEKTRON PRILETI V ELEKTRIČNO POLJE IN SE UKLONI. 9

96 Zveza med E in V 1. ENERGIJA DELCA MED GIBANJEM In kako je z enegijo tega delca med gibanjem? Zgonjo enačbo integiamo v smei poti in dobimo ma dl = QE dl T T T1 T1 Če izvajanje poenostavimo le na gibanje v eni smei (ecimo X), se zgonja zveza poenostavi v T T T T dv dx m dx = m dv = m vdv = Q E dl dt dt T1 T1 T1 T1 mv mv = 1.(1.) 1 iz česa sledi Q( V ( T ) V ( T )) V splošnem pa bo v = ( v + v + v ). Če to zvezo napišemo nekoliko dugače, dobimo x y z mv1 mv + QV ( T1 ) = + QV ( T ) ozioma W ( T ) + W ( T ) = W ( T ) + W ( T ) (1.3) kin 1 pot 1 kin pot Enačbo pebeemo kot: Enegija se med gibanjem ohanja, se pa pi tem petvaja iz kinetične v potencialno ali obatno. Na naboj, ki se giblje v smei polja deluje pospešek, toej se mu povečuje/zmanjšuje hitost in s tem kinetična enegija, hkati pa se mu zmanjšuje/povečuje potencialna enegija. Pime: Elekton pileti s hitostjo 1 6 m/s v zavialno homogeno polje, ki ga vzpostavimo z napetostjo med vzpoednima elektodama oddaljenima za 1 cm. Določimo potebno napetost med elektodama, da se bo delec ustavil na polovici azdalje med elektodama. mv 1, potencialna enegija pa je enaka nič. Izačun: Na začetku bo imel elekton le kinetično enegijo Ko se elekton ustavi na sedini med elektodama, bo njegova kinetična enegija enaka nič, U potencialna pa bo enaka Q. Potebno napetost toej določimo iz izenačitve enegij na začetku in na koncu (ko se elekton ustavi na polovici azdalje med elektodama je njegova hitost enaka nič): mv1 U = Q. Sledi: U ( ) ,1 1 kg 1 m/s mv1 = = = 5,69V. Q 19 1,6 1 As Vpašanje: Zakaj je v konketnem pimeu azdalja med elektodama nepomembna? 93

97 Zveza med E in V 1. Kaj se»zgodi z elektonom po ustavitvi«? Odg.: Polje ga bo pospešilo nazaj in izstopil bo iz polja z enako hitostjo, kot je v polje vstopil. PRIMERJAVA VELIKOSTI GRAVITACIJSKE IN ELEKTRIČNE SILE Kako velika je elektična sila v pimejavi s silo gavitacije? Vzemimo ka pvi pime in pimejajmo velikost sile polja in sile gavitacije, če je elekton v polju kv/m: Fe F g 19 3 Qe E 1,6 1 1 = = = 3,59 1 mg 31 9,1 1 9,8 13. Ugotovimo, da je v tipičnih pimeih (že pi majhnem elektičnem polju) elektična sila mnogo večja od gavitacijske.. EKSPERIMENT JOSEPHA JOHNA THOMSONA ( ) JJ Thomson je Nobelov nagajenec za fiziko za leto 196. Nagado je dobil za odkitje elektona, ka mu uspelo z ekpeimenti s katodno cevjo. V enem od teh ekspeimentov je uspel odkiti, da so elektoni negativno naelekteni, saj se odklanjajo v elektičnem polju vzpostavljenim med dvema elektodama, ki sta postavljeni pečno na sme leta elektona. Za azliko od dugih aziskovalcev, ki so opavljali podobne ekspeimente, je njemu leta 1897 to uspelo pokazati zato, ke je uspel zak v katodni cevi v zadostni mei azedčiti (doseči dovolj nizek tlak), da se niso elektoni, ki jih je»izsteljeval«iz katode (katodni žaki), ped pehodom do fluoescenčnega zaslona zadeli v molekule zaka. V nadaljnjih ekspeimentih je s kombinacijo delovanja elektičnega in magnetnega polja ugotovil azmeje med maso elektona in njegovim nabojem. Pokazal je tudi, da ima vodik le en elekton. JJ Thomsonu pipisujemo izum masnega spektometa, napave, s pomočjo katee je mogoče azpoznavati kompozicjo snovi iz azmeja med maso in nabojem (masni spekte). SLIKA 1.1: KATODNA CEV, S POMOČJO KATERE JE JJ TOMSON DOKAZAL OBSTOJ IN NARAVO KATODNIH ŽARKOV (ELEKTRONOV). 94

98 Zveza med E in V 1. SLIKA 1.: KONCEPT MASNEGA SPEKTROMETRA. VIR: WIKIPEDIA. Vpašanja za obnovo: 1. Zapišite in azložite enačbo gibanja naboja v elektičnem polju?. Kaj se dogaja z enegijo naboja med gibanjem v elektičnem polju? 3. Zapišite izaze za izačun odklona naboja homogenem elektičnem polju. Za aziskovalce: 1. Raziščite zgodovino določanja velikosti osnovnega naboja.. Kako deluje katodna cev. Kako izsteljujemo naboje, kako jih odklanjamo, zakaj se na zaslonu pokaže točka (slika). 95

99 Elektični dipol Elektični dipol Vsebina poglavja: polaizacija pevodnika (snovi) v elektičnem polju, elektični dipolni moment, polane in nepolane snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje v okolici dipola, navo na dipol. Elektični dipol je en pomembnejših elementov v teoiji elektičnega polja. S tem konceptom (elementom) med dugim lahko azložimo vpliv in delovanje elektičnega polja v snovi, ka je seveda zelo pomembno. Do sedaj smo bili sposobni ugotavljati le polje v vakuumu, ka pa v veliki mei velja tudi za zak. Poleg tega smo ugotovili, da elektičnega polja v pevodnikih ni, da je lahko le na povšini pevodnika. Tam je polje soazmeno povšinski gostoti naboja. ELEKTRIČNI DIPOL Spomnimo se poglavja o pevodnikih v elektičnem polju. Če nevtalni pevoden delec postavimo v elektično polje, pide v pevodniku do peazpoeditve naboja, pi čeme se elektoni pemaknejo (zamaknejo) v naspotni smei polja. Ti zamiki potekajo toliko časa (pa venda zelo hito), da se v notanjosti pevodnika vzpostavi polje, ki je enako nič. Pevodni delec tako dobi enovit potencial. Pesežek pozitivnega naboja na enem koncu pevodnika lahko konceptualno zdužimo v pozitiven točkast naboj, pesežek negativnega pa v negativen točkast naboj. Ta naboja sta azmaknjena za neko fiksno azdaljo, ki jo lahko opišemo z vektojem, ki kaže od negativnega v smei pozitivnega naboja. Elektični dipol definiamo kot dva naspotno-pedznačena točkasta naboja azmaknjena za azdaljo d. SLIKA 13.1: PREVODNIK V ELEKTRIČNEM POLJU. PRERAZPOREDITEV NABOJA LAHKO PONAZORIMO Z DVEMA TOČKASTIMA NABOJEMA POVEZANIMA S FIKSNO RAZDALJO, KAR PONAZORIMO S KONCEPTOM ELEKTRIČNEGA DIPOLA. ELEKTRIČNI DIPOLNI MOMENT imenujemo podukt naboja Q in vektoja d, ki je distančni vekto od naboja Q do naboja Q in ga zapišemo s simbolom p : p = Qd ( * enota je Cm) (13.1) Pozo: Velja opozoiti, da je sme vektoja d avno naspotna smei polja, ki ga povzočata naboja in je toej definiana od minus naboja v smei plus naboja. * Pogosto, posebno v elektokemiji, se upoablja za enoto elektičnega dipolnega momenta D (Debye). Velja D = 3,33 1 C m. To omogoča tudi»lepše«zapise dipolnih momentov. Np. dipolni moment vode je p(h O)=1,85 D, p(hcl)=1,8 D, itd. 96

100 Elektični dipol 13. Pime: Vzdolž daljše osi ovalnega pevodnika dolžine 5 mm se peazpoedi 1 1 elektonov. Ponazoimo pevodnik v obliki elektičnega dipola in ocenimo njegov elektični dipolni moment. Izačun: p = Qd = 1 1,6 1 C 5 1 m = 8 1 C m. Pime: V molekuli NaCl (sol) je azdalja med Na in Cl ionom,6 nm. Izačunajmo elektični dipolni moment molekule NaCl. Izačun: p = Qd = ,6 1 C,6 1 m 1 C m Polane in nepolane molekule. Ni pa nujno potebno, da dobimo elektični dipol le pi vstavitvi pevodnika v elektično polje. Določene snovi (molekule) so lahko že same po sebi take, da imajo neenakomeno poazdeljen naboj. Tipičen pime je molekula vode (H ), ki ima vodikova atoma azmaknjena od sediščnega kisikovega za kot 15. Zakaj avno tak kot? Izkaže se, da ta kot omogoča minimalno enegijsko stanje molekule. Zaadi nehomogene poazdelitve naboja je elektični dipolski moment molekule vode 6,7 1-3 Cm. Molekula vode ima toej vgajen dipolni moment, ečemo tudi, da je polana molekula (ima pozitivni in negativni pol) v naspotju z nepolanimi, kje je naboj molekule poazdeljen tako, da je navzven nevtalna. Lahko pa nepolana molekula postane bolj ali manj polana, če jo postavimo v elektično polje. Temu efektu ečemo polaizacija. Neenakomena poazdelitev pozitivnega in negativnega naboja v molekuli vode ustvai pemanentni dipolni moment vode. SLIKA 13.: POLARNA IN NEPOLARNA MOLEKULA: A) BREZ ZUNANJEGA ELEKTRIČNEGA POLJA, B) V ZUNANJEM ELEKTIRČNEM POLJU. 97

101 Elektični dipol 13. DIPOL V ELEKTRIČNEM POLJU Kako se obnaša elektični dipol v elektičnem polju? Nanj deluje elektična sila, ki je enaka F = F + F = Q E + ( Q) E = Q E E. ( ) Q Q Q Q Q Q SLIKA 13.3: DIPOL V HOMOGENEM IN NEHOMOGENEM POLJU. Če je polje homogeno, je EQ = E Q in skupna sila na dipol je enaka nič. Deluje pa sila na oba naboja dipola v naspotni smei, tako, da bo delovala z navoom na dipol v taki smei, da bi dipol usmeila v sme polja. Če pa je polje nehomogeno, na dipol deluje poleg navoa tudi pemikalna sila, ki je azlična od nič in deluje v smei večjega polja. Te sile so običajno zelo majhne, kljub temu pa jih je mogoče koistno izabiti. SLIKA 13.4: SILE NA DIPOLE USMERIJO DIPOLE V SMER POLJA. PRIMER SEMENK V ENOSMERNEM POLJU VELIKE VREDNOSTI. * Pime je ecimo koncentianje mikonskih in submikonskih delcev v nehomogenem elektičnem polju. To se upoablja pedvsem za manipulacijo bioloških celic, kje s pomočjo mikoelektonske tehnologije ustvaimo zelo majhne elektode, ki imajo avne in»oste«obove. Vzpostavitev napetosti med takima dvema elektodama vzpostavi polje med njima, ki je izazito nehomogeno in večje v okolici oste elektode. Če se med elektodama znajde delec, se polaizia, nato pa nanj deluje sila v smei»oste«elektode. Še bolj pogosta pa je manipulacija nevtalnih delcev (bioloških celic) z vzpostavitvijo izmeničnega elektičnega polja. V tem pimeu lahko s speminjanjem fekvence elektičnega polja vplivamo Delci v elektičnem polju v zaku se polaiziajo, na njih deluje sila v smei večjega polja (v smei obov elektodnih stuktu, kot kaže zgonja slika). V pimeu, da so delci v snovi, je njihov pemik odvisen tudi od teh elektičnih lastnosti. Če se delci v polju močneje polaiziajo kot snov v kateo so postavljeni, bo sila na delce delovala v smei večjega polja. V naspotnem pimeu pa v smei manjšega polja. Te lastnosti pa je mogoče speminjati tudi s fekvenco izmeničnega signala, kot je bilo opavljeno v pimeu na sliki. Tipični polme celic je 1 µm. 98

102 Elektični dipol 13. na polaizabilnost molekul. Pi določeni fekvenci se ustvaja večji ali manjši dipolni moment, odvisno od tega, kako hito so se sposobni peoientiati naboji v elektičnem polju. Zagotoviti je potebno, da so elektične lastnosti polaizacije delca azlične od lastnosti polaizacije delca. Če je to zagotovljeno, bo delec pi določenih fekvencah vzbu jalnega signala ustvajal dipolni moment, ki je v smei polja, pi dugih pa dipolni moment, ki je usmejen v naspotno sme kot polje. S fekvenco je toej mogoče vplivati na silo na delce v smei večjega polja ali pa v smei manjšega polja. POTENCIAL V OKOLICI ELEKTRIČNEGA DIPOLA Potencial v okolici elektičnega dipola ni težko določiti, saj ge za vsoto dveh potencialov, potenciala od pozitivnega in negativnega naboja. SLIKA 13.5: ELEKTRIČNI DIPOL V KOORDINATNEM SISTEMU. Q Q Q 1 V ( T) = = 4πε 4πε 4πε 1 1 Če je azdalja med nabojema dosti manjša od azdalje do točke T, lahko smatamo, da je 1 d cos( ϑ). Enačbo toej lahko zapišemo v obliki 1 in Qd cos( ) p cos( ) V ( T) = ϑ ϑ 4πε = 4πε. (13.) p * Pogosto se zgonjo enačbo zapiše tudi v obliki V ( T) = 3 4πε Pomni: Potencial v okolici dipola se manjša s kvadatom azdalje od dipola. ELEKTRIČNO POLJE DIPOLA Elektično polje bi lahko določili s pepostim seštevanjem (supepozicijo) pispevkov obeh nabojev. Ke pa je polje vekto, bi imeli nekoliko več dela kot pi seštevanju potencialov. Bolj elegantna pot je s V V V pomočjo gadienta polja, saj velja E =,, ozioma v sfeičnih koodinatah x y z V 1 V 1 V E = ( E, Eϑ, Eϕ ) =,,, toej dobimo ϑ sinϑ ϕ 99

103 Elektični dipol 13. E V = = p cos( ϑ) 3 πε E ϑ V = = ϑ psin( ϑ) 3 4πε E ϕ =. Ugotovimo lahko, da polje v oddaljenosti od dipola upada s tetjo potenco. (To je pecej hiteje od pemega in točkastega naboja) SLIKA 13.6: EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE IN NORMIRANI VEKTORJI ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI V OKOLICI ELEKTRIČNEGA DIPOLA. SLIKA 13.7: POTENCIAL IN POLJE V OKOLICI ELEKTRIČNEGA DIPOLA. 1

104 Elektični dipol 13. NAVOR NA ELEKTRIČNI DIPOL Ugotovili smo že, da na elektični dipol v zunanjem elektičnem polju deluje sila, ki želi usmeiti (zavteti) dipol v sme polja. Kako pa bi določili navo na dipol v zunanjem elektičnem polju? Peposto, po definiciji za navo * M = F (13.3) SLIKA 13.8: ELEKTRIČNI DIPOL V HOMOGENEM POLJU. NANJ DELUJE NAVOR. Navo na pozitivni in negativni naboj je d d d d ( ) Qd M = F + F = QE + QE = E + E ( ) Q Q Q Q Q Q Če upoštevamo katko azdaljo med nabojema, lahko smatamo, da je polje na pozitivni naboj enako polju na negativni naboj (lokalno homogeno polje) in navo na dipol bo enak M = Qd E = p E. Ponovimo ezultat: navo na dipol je enak vektoskemu poduktu elektičnega dipolskega momenta in jakosti polja. Rezultat je vekto, ki opisuje sme vtenja. M = p E Absolutna vednost navoa je in E.. (13.4) M = p E sinα ali. M = pe sinα, kje je α kot med vektojema p Pime: Potencial se speminja vzdolž X osi v skladu z enačbo V elektični dipol z momentom p = 6 1 (1,, ) Cm. Določimo navo na dipol. = V m. Pi x = 1 cm se nahaja x * Opozoiti velja, da je pi vektoskem poduktu pomembno, katei vekto nastopa pvi, saj je ezultat vektoskega podukta vekto, ki kaže sme navoa (vtenja). Pavilno dobimo sme navoa tako, da vekto adija (očice) zavtimo v smei sile v smei najmanjšega kota. Velja toej M = e F sin( ϑ), kje je sme nomale sme, ki je pavokotna na povšino, ki jo določata vektoja in F. n 11

105 Elektični dipol 13. SLIKA 13.9: ELEKTRIČNO POLJE IN DIPOL V POLJU. V Izačun: Elektično polje ima le komponento v smei X osi, ki je enaka Ex = = V m. Pi x x 6 V x = 1 cm je polje E x = V m = 1, navo pa je 1cm m ex e y ez -6 6 V 6 C 6 V M = p E = ( 1,,) 1 C/m 1,, = = (,, 4) N m. m m m * NAČIN IZRAČUNAVANJA SILE NA DIPOL IZ SPREMEMBE ELEKTRIČNE ENERGIJE Podobno, kot smo poiskali zvezo med potencialom in elektično poljsko jakostjo kot T ( V = ) V V V V ( T) = E d l E =,, x y z T saj velja, lahko najdemo tudi povezavo med enegijo in silo, T ( W = ) W W W W ( T) = F d l F =,,. (13.5) x y z T Ta način je pogosto upoabljen tudi pi numeičnemu izačunavanju, kje izačunamo poazdelitev polja, potenciala in enegije s pomočjo ačunalnika. Za izačun sile je potebno izačun opaviti x, vsakič na tak način, da ahlo zamaknemo stuktuo (v našem pimeu dipol) za neko majhno azdaljo in vsakič izačunamo polje in enegijo. Silo pa nato izačunamo kot difeenco W W W F,,. (13.6) x y z 1

106 Elektični dipol 13. * IZRAČUNAVANJE SILE NA DIPOL IZ SPREMEMBE ELEKTRIČNE POLJSKE JAKOSTI Postavimo dipol vzdolž in v smei X osi. Na naboj Q deluje polje E x in toej sila Q Ex. Na naboj +Q, dex ki je od Q oddaljen za azdaljo dx, deluje polje E x (x+dx) ozioma Ex + dx, sila pa bo dx dex Q Ex + dx. Če je polje nehomogeno, se bosta polji azlikovali, toej bo na dipol delovala dx de ezultančna sila v smei osi X, ki bo enaka x Q dx, ka lahko pišemo tudi kot dx dex dex F = x Qdx p d x = d x, kje smo Q d x zapisali z dipolnim momentom p. Enačba, ki smo jo zapisali velja le, če dipol leži vzdolž X osi in nanj deluje polje v smei X osi. V splošnem je potebno upoštevati možnost, da je dipol usmejen poljubno. Toej bo potebno silo na dipol v smei osi X izačunati kot dex dex dex Fx = px + py + pz in na enak način tudi sili v smei osi Y in Z. V vektoski notaciji to dx dy dz F = p E, kje je =,,. x y z običajno zapišemo v obliki ( ) Enegija otacije dipola. W = M dα = p E. Nekaj povezav na spletne stani, kje upoabljajo koncept elektičnega dipola: Splošno: Elektokadiogam: Sevanje dipola: Dipole_3.html Elektofoeza in dielektofoeza: LCD mateiali: 13

107 Okovinjenje Okovinjenje ekvipotencialnih ploskev Vsebina poglavja: polje med okovinjenimi ekvipotencialkami, potencial v okolici dveh pemih nabojev, ekvipotencialne ploskve v okolici dveh pemih nabojev, dva pevodna valja piključena na napetostni vi, ekscentičnost. V tem poglavju bomo spoznali pomen okovinjenja ekvipotencialnih ploskev, ki nam omogoči v paksi pomembno analizo elektičnega polja v okolici pevodnih objektov. En pomembnejših pimeov je analiza dveh avnih naelektenih vodnikov, ka je seveda pime dveh vodnikov piključenih na napetostni vi. POLJE MED OKOVINJENIMI EKVIPOTENCIALNIMI PLOSKVAMI Dosedanje ugotovitve: Ekvipotencialna ploskev povezuje točke z enako vednostjo potenciala. Povšina pevodnika je ekvipotencialna ploskev. Celo več, celoten pevodnik je na istem potencialu. Običajno išemo ekvipotencialne ploskve tako, da je med sosednjimi enaka potencialna azlika (napetost). Hiteje, kot se kajevno speminja potencial, večja je elektična poljska jakost. Zgoščenost ekvipotencialnih ploskev nam toej nakazuje večjo elektično poljsko jakost na tem mestu. Velja seveda tudi obatno: Večje polje ima posledično bolj zgoščene ekvipotencialne ploskve na tem območju. Vpašanje: ali se azmee (poazdelitev polja in potenciala) med dvema ekvipotencialnima ploskvama spemenijo, če ekvipotencialni ploskvi okovinimo, pi čeme okovinjena ekvipotencialka ohani vednost potenciala ekvipotencialke? Odgovo je NE, poazdelitev polja med okovinjenima ekvipotencialnika ploskvama se ne spemeni, saj je kovina sama kot pevodnik tudi ekvipotencialna ploskev in če ohani potencial ekvipotencialke, se azmee ne spemenijo. V nadaljevanju bomo to ugotovitev s pidom upoabili pi mnogih poblemih določanja elektičnega polja. SLIKA 14.1: PORAZDELITEV EKVIPOTENCIALK IN OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALKE. RAZMERE MED EKVIPOTENCIALKAMA SE NE SPREMENI. 14

108 Okovinjenje 14. SISTEM DVEH PREMIH NASPROTNO NAELEKTRENIH NABOJEV En pomembnejših pimeov, ki ima tudi pecejšnjo paktično upoabo, sledi iz okovinjenja ekvipotencialnih ploskev sistema dveh pemih naspotno naelektenih nabojev. Toej sistema dveh vzpoednih tankih enakomeno naelektenih žic. Potencial v okolici ene same peme elektine je T ( V = ) T ( V = ) q q V ( T ) = E dl = e e d = ln( ) πε πε T T T T ( V = ). (14.1) Ugotovimo lahko, da zaidemo v težave, če vzamemo, da je točka, kje je potencial enak nič v neskončnosti, saj iz enačbe sledi ln( ) =. Toej bi bil potencial v neskončnosti neskončen. Poblem je v tem, da imamo pi enem samem pemem naboju opavka z enim samim neskončno azsežnim elektično nezaključenim sistemom, ka pa v ealnosti ni možno. Nekaj, ka v ealnosti ni možno, pogosto tudi v teoiji ne da smiselne ezultate. Temu poblemu se ognemo tako, da obavnavamo sistem dveh pemih naspotno naelektenih nabojev, azmaknjenih za azdaljo s. SLIKA 14.: DVA PREMA NABOJA VZDOLŽ X OSI. Vzemimo, da sta naboja položena na X osi simetično na Y os in potekata vzdolž Z osi. Od Y osi sta oddaljena za azdaljo s. Glej sliko. Potencial v točki T, ki je od naboja q 1 oddaljena za 1 in od naboja q za azdaljo, je sedaj vsota pispevkov obeh nabojev: T ( V = ) T ( V = ) q q q q ( q + q ) V ( T ) = ln( ) + ln( ) = ln( ) ln( ) + ln( T ( V = )), π π π π π ε ε ε ε ε 1 Če velja q1 = q = q je tetji člen v gonji enačbi enak nič in potencial enak q q q V ( T) ln ln ln = 1 =. πε πε πε 1 Potencial v točki T v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev bo toej enak V ( T ) q ln = πε 1 POTENCIAL V OKOLICI DVEH PREMIH NABOJEV (14.) Sedaj lahko ugotovimo, da je potencial enak nič v neskončnosti (kje je 1 = ), pa tudi vzdolž Y osi (pi x = ). 15

109 Okovinjenje 14. EKCIPOTENCIALNE PLOSKVE POLJA DVEH PREMIH NABOJEV SO KROŽNICE (PLAŠČI VALJEV) Poskušajmo določiti ekvipotencialne ploskve sistema dveh naspotno naelektenih pemih nabojev. q To pomeni, da iščemo točke, kje je ln = V πε 1 potencial ekvipotencialke. ep ozioma 1 πε Vep q = e = k, kje je V ep Če upoštevamo, da je = ( x s) + y in 1 = ( x + s) + y dobimo ( x s) + y ( x + s) + y obliko = k in ( x s) y k (( x s) y ) + = + +. Po peueditvi lahko enačbo spavimo v ( x p) y + =. Toje enačba za kog polmea, ki je zamaknjen v X osi za p. S pimejavo enačb dobimo k p = k + 1 s 1 in = k s k 1 te s = p. (14.3) Pime: Poiščimo potek ekvipotencialne ploskve s potencialom V = 3 V za pema naboja q = ± 1 nc/m, ki sta azmaknjena za,4 m. Izačun: Določimo konstanti s =, m, Vep πε q ekvipotencialke se nahaja,15 m stan od sediščne točke med nabojema, polme ekvipotencialke pa je 7,8 cm. Pozitivni naboj je od centa ekvipotencialke oddaljen za 1,5 cm, ka tudi imenujemo ekscentičnost..6.4 k = e 5,31. Sledi p =-,15 m in =,78 m. Toej, sedišče % ekvipot_peme.m q=1e-9; s=.; eps=8.854e-1; Veq=[-3,-,-1,.1,1,, 3]; %Veq=[3]; fo i=1:length(veq) k=exp(veq(i)**pi*eps/q); p=-(k^+1)/(k^-1)*s; =sqt(p^-s^); x=-5*s:.1*s:5*s; lx=length(x); y=sqt(ones(1,lx)*^-(xones(1,lx)*p).^); plot(x,y,x,-y); plot(x,y,x,-y); axis([-3*s 3*s -3*s 3*s]); axis equal; plot(-s,,'o');plot(s,,'o') hold on end 16

110 Okovinjenje 14. SLIKA 14.3: EKVIPOTENCIALNE PLOSKVE IZRAČUNANE PRI VREDNOSTIH POTENCIALA V = -3 V, -V,-1V, V, 1 V, V, 3 V, ZA PREMA NABOJA q = ± 1 nc/m. DVA PREVODNA VALJA ENAKEGA POLMERA PRIKLJUČENA NA VIR NAPETOSTI Namen vsega tega izvajanja ni bil samo določitev ekvipotencialnih ploskev dveh pemih nabojev. Šele z okovinjenjem ekvipotencialk dobimo stuktue, ki so tudi v ealnosti zanimive. Ugotovili smo, da so ekvipotencialke za sistem dveh pemih nabojev kogi ozioma plašči valjev, ka pomeni, da je mogoče z okovinjenjem ekvipotencialk izačunati polje in potencial v okolici dveh naelektenih valjev s pomočjo sistema dveh pemih nabojev. Kaj je potebno naediti? Običajno poznamo napetost med pevodnima valjema, polme valjev in azdaljo med valjema. Toej je potebno iz znane napetosti in geometije določiti lokacijo dveh nadomestnih pemih nabojev in njun naboj. Ko to določimo, lahko zelo peposto določimo tudi polje in potencial v okolici dveh naelektenih valjev *. Če analiziamo dve simetični okovinjeni ekvipotencialki (povšina valja), je napetost med njima enaka dvojni vednosti potenciala ene od njih (na sedini med valjema je potencial enak nič): q q s + d / U = V ( T1 ) V ( T ) = V ( T1 ) = ln = ln, kje je - azdalja od -q do πε + π ε s d / + točke, + pa azdalja od +q do točke. Z upoštevanjem paametov na sliki je q s + d / U = ln, kje je polme valja, d azdalja med geometijskima sediščema valja, s π ε s d / + pa azdalja od sedišča med nabojema do nabojev ± q. V pimeu okovinjenja ekvipotencialnih ploskev toej upoštevamo zamik naboja glede na geometijsko sedišče ekvipotencialke. Za d ekvipotencialko, ki je povšina valja, velja p = in =. To vstavimo v zvezo s = p in določimo s kot s = ( d / ). Iz te enačbe toej lahko določimo lego naboja, ki pedstavlja v pimeu dveh pevodnih valjev le navidezni naboj znotaj valja. Zamiku nabojev glede na geometijsko sedišče valjev pavimo tudi ekscentičnost in je podana kot e = d / s. Z d d 4 upoštevanjem zgonje enačbe je e =. Postopek izačunavanja je toej sledeč: Če poznamo legi in napetost med dvema pevodnima valjema, lahko lego nadomestnih pemih nabojev določimo s pomočjo zveze * V esnici tega naboja ni, saj znotaj valja ni polja. Lahko pa analiziamo polje v okolici dveh valjev z določitvijo polja v okolici dveh pemih nabojev. Smiselne ešitve so le v postou zunaj in na povšini dveh valjev. Znotaj pevodnih valjev je pač polje enako nič. 17

111 Okovinjenje 14. s = ( d / ), ali tudi d d 4 e =. (14.4) kje je s azdalja od sedišča med valjema (kje je potencial enak nič) do lege nabojev. Velikost naboja pa določimo iz enačbe za napetost U q s + d /. (14.5) = ln πε s d / + Pime: Naelektena valja polmea 4 cm sta azmaknjena za 1 cm. Med valjema je napetost kv. Določimo lego in velikost navideznih nabojev. Izačun: d = 1 cm+ 4 cm = 18 cm. 18 s = ( d / ) = 4 cm 8,6 cm. q 8, kv = ln πε 8, , od kode sledi -7 q = 3,833 1 C/m. Določimo še polje na sedini med valjema: q E = ex = e 171 kv/m. πε π 8,6 1 m 7 3,833 1 C/m x s ε In kolikšno bi bilo za pimejavo polje med avnima ploščama azmaknjenima za 1 cm in U kv piključenima na napetost kv? E = = = kv/m. Ugotovimo, da je polje na sedini d,1 m med valjema manjše od polja enako azmaknjenih vzpoednih plošč. Je pa zato večje polje na povšini valjev. Določite ga sami! Duge stuktue, ki jih lahko analiziamo z okovinjenjem ekvipotencialk dveh pemih naspotno naelektenih nabojev: a) dva valja z azličnima polmeoma b) en valj v dugem (koaksialni kabel z ekscentom) c) valj nad pevodno avnino zemljo Posebno zanimiv je tetji pime, pime valja nad zemljo. Ge nameč za pomembno stuktuo, ki jo pogosto sečamo v našem vsakdanu in je za elektotehnika še posebno zanimiva za daljnovodno žico nad zemljo. To bomo obavnavali v posebnem (naslednjem) poglavju. 18

112 Okovinjenje 14. SLIKA 14.4: PRIMERI MOŽNE ANALIZE STRUKTUR IZHAJAJOČIH IZ OKOVINJENJA EKVIPOTENCIALK NASPROTNO NAELEKTRENIH PREMIH NABOJEV. Izačun potenciala in polja vzdolž osi X za dva pema naspotno naelektena naboja s pomočjo pogama Matlab. 1.5 x 14 1 x 15 Potencial / V Polje / V/m Razdalja / m Razdalja / m % pot_peme.m q=1e-9; s=.; eps=8.854e-1; x=-5*s:.1*s:5*s; 1=x+s; =x-s; V=q/(pi*eps)*log(./1) E=q/(*pi*eps)*(1./1-1./) plot(x,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potencial / V'); figue; plot(x,(e)); axis([-*s *s -1e51e5]) xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); Vpašanja za obnovo: 1. Ali se spemeni polje, če okovinimo ekvipotencialni ploskvi?. Kako določimo potencial v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev? 3. Kakšne oblike so ekvipotencialne ploskve polja dveh naspotno naelektenih pemih nabojev? 4. Kako upoabimo dva pema naboja pi izačunu polja v okolici dveh naelektenih valjev? 5. Kaj je to ekscentičnost in kako jo določimo? 6. Kakšne stuktue lahko analiziamo z upoabo pincipa okovinjenja ekvipotencialk? 19

113 Zcaljenje Metoda zcaljenja Vsebina poglavja: Valj nad zemljo z upoštevanjem ekscentičnosti, daljnovodna vv nad zemljo (zanemaitev ekscentičnosti), polje in povšinska gostota naboja na povšini zemlje, analiza sistema vvi nad zemljo, kapacitivnost med vvjo in zemljo, točkasti naboj ob ozemljeni kogli. V pejšnjem poglavju smo ugotavljali, da so ekvipotencialne ploskve v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev kožnice ozioma Metoda zcaljenja se upoablja tudi v plašči valjev. Ena od kožnic je tudi avnina med nabojema, v ahitektui. Na sliki najnovejša stavba obavnavanem pimeu avnina x = (kožnica z neskončnim adijem). Tam je potencial enak nič. Obenem smo ugotavljali, da lahko poljubne ekvipotencialne ploskve okovinimo in s tem ne spemenimo azme (polja) med okovinjenimi ploskvami. Če je ena od okovinjenih ekvipotencialnih ploskev avnina x =, lahko v tem pimeu pepoznamo možnost analize vodnika nad pevodno avnino. Običajno smatamo, da je zemlja dobe pevodnik. V tem pimeu lahko naelektene valje nad zemljo (np. daljnovodne vvi), smatamo kot valje nad pevodno avnino. Take stuktue analiziamo na način, da naboj zcalimo peko avnine, kje pa»dobi«naspoten pedznak. SLIKA 15.1: ZRCALJENJE NABOJEV: TOČKASTI NABOJ, PREMI NABOJ, DIPOL, LINIJSKI NA BOJ, POVRŠINSKI NABOJ. PREVODNI VALJ NAD ZEMLJO (UPOŠTEVANJE EKSCENTRIČNOSTI) Pime pevodnega valja nad zemljo obavnavamo z znanjem iz pejšnjega poglavja. V konketnem pimeu okovinimo ekvipotencialko z adijem in dugo, ki ima neskončen adij (avnino v osi Y kje je potencial enak nič). Tudi ta pime lahko analiziamo z dvema naspotno naelektenima pemima nabojema. En od teh se nahaja»pod zemljo«, zato pavimo, da analiziamo pime naelektenega valja nad zemljo s pomočjo metode zcaljenja. To pomeni, da moamo v pimeu analize pemega naboja nad zemljo za izačun postaviti še navideznega zcalno na avnino zemlje. Zcalni naboj ima naspoten pedznak od tistega nad zemljo. D.K. 11

114 Zcaljenje 15. SLIKA 15.: NAELEKTREN VALJ NAD ZEMLJO: OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALKE Z RADIJEM R IN RAVNINE X =. DESNO: SISTEM DVEH NASPROTNO NAELEKTRENIH PREMIH NABOJEV, S POMOČJO KATEREGA ANALIZIRAMO PRIMER VALJA NAD ZEMLJO. Napetost med valjem in zemljo določimo podobno kot v pejšnjem poglavju, le da je sedaj V ( T ) = q s + d / in napetost med valjem in zemljo U = V ( T1 ) V ( T ) = V ( T1 ) = ln. Razlika med πε s d / + tem izazom in napetostjo med dvema pemima nabojema je le v»polovički«. Lego navideznega naboja določimo enako kot v pejšnjem poglavju: geometijskim sediščem valja in zemljo, o pa polme valja. s = ( d / ), kje je d/ azdalja med DALJNOVODNA VRV NAD ZEMLJO (ZANEMARITEV EKSCENTRIČNOSTI) Pime: m nad zemljo se nahaja daljnovodna vv polmea cm z nabojem q = 3 nc/m. Določimo napetost med vvjo in zemljo, elektično poljsko jakost na povšini zemlje tik nad vvjo te povšinsko gostoto naboja na zemlji. SLIKA 15.3: IZRAČUN POLJA NA POVRŠINI ZEMLJE. Izačun: d / =, 1 m; s = ( d / ) =, cm. Ugotovimo lahko, da je azmak med geometijskim sediščem vvi in lego nadomestnega naboja paktično zanemaljiv e d s 6 = / = (, 1,99975)cm,5 1 cm. V tem pimeu lahko ekscentično postavitev navideznega naboja zanemaimo in smatamo, da se navidezni naboj nahaja v geometijskem sedišču valja (vvi). Za zanemaitev ekscentičnosti moa veljati, da je azdalja od vvi do zemlje dosti večja od polmea vvi: d. V paksi lahko vzamemo d 1. V pimeu D.K. 111

115 Zcaljenje 15. zanemaitve ekscentičnosti se poenostavi tudi izačun napetosti med vvjo in zemljo, ki je sedaj ( d s): U q d. (15.1) = ln πε Izačunajmo napetost v konketnem pimeu U C/m 4,4 m = ln 41 kv -1. π8,854 1 As/Vm, m Dodatno: Določimo še polje na povšini zemlje. Upoštevati je potebno oba naboja oiginalnega v sedišču vvi in zcalnega z naspotnim pedznakom. Polje na povšini zemlje tik pod vvjo je toej vsota pispevkov obeh nabojev in je enako E = e = e e 54 V/m. 9 q 3 1 C/m y πε y h πε m y Koliko pa je povšinska gostota naboja na tem mestu? Ugotovili smo že, da je na povšini pevodnika 9 σ = ε E, toej bo σ = 4,77 1 C/m. n V poljubni točki na zemlji je polje: q h q h E = e E cos( α) = e = e πε y y y πε h + x h + x ( h + x ) To polje je največje na zemlji diektno pod vvjo in se z oddaljenostjo manjša. Za vizualizacijo se zopet poslužimo pogama Matlab. Polje / V/m Razdalja / m % zcaljenje1.m q=3e-9; h=; eps=8.854e-1; fo h=5:5: x=-4:.1*h:4; E=q*h./(pi*eps*(x.^+h^)); SLIKA 15.4: ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST NA POVRŠINI ZEMLJE ZA RAZDALJE OD ZEMLJE DO VRVI 5, 1, 15 IN M ZA NABOJ NA VRVI 3 NC. BLIŽJE ZEMLJI KOT SE NAHAJA VRV, VEČJE JE POLJE TIK POD VRVJO NA ZEMLJI. D.K. 11

116 Zcaljenje 15. Z integacijo povšine pod kivuljo polja bi dobili enak ezultat za vse kivulje. Zakaj? Zato, ke je polje na povšini soazmeno gostoti naboja σ = ε En, z integacijo gostote naboja po povšini pa dobimo celoten naboj, ki je po iznosu enako velik kot naboj na vvi, le naspotnega pedznaka je. To je naboj, ki se inducia na povšini zemlje kot posledica naboja na vvi. Izačun linijske gostote naboja za azlične azdalje od zemlje do vvi (h) in konstantno napetostjo 4 kv: h / m q / nc/m Izačun napetosti med vvjo in zemljo za azlične azdalje od zemlje do vvi in konstantno gostoto naboja 3 nc/m: h / m U / kv 5 33,5 1 37, ,4 41 D.K. 113

117 Zcaljenje 15. KAPACITIVNOST MED VRVJO IN ZEMLJO Pi konstantni napetosti med vvjo in zemljo se naboj na vvi speminja v odvisnosti od višine vvi. Bližje kot je vv povšini zemlje, večji je njen naboj. In seveda obatno. Pi konstatnem naboju na vvi ugotavljamo speminjanje napetosti z višino vvi. Zakaj je temu tako? Zato, ke bližje, kot je vv zemlji, bolj se bodo na povšini zemlje pod vvjo zgostili (influiali) naboji naspotnega pedznaka in večja bo elektična poljska jakost na zemlji. Posledično bo višja tudi napetost med zemljo in vvjo. SLIKA 15.5: KAPACITIVNOST MED VRVJO IN ZEMLJO. Med nabojem na vvi in napetostjo med vvjo in zemljo velja lineana zveza: U q d = ln πε ozioma U πε q =. d ln Če zapišemo celoten naboj na dolžini l vvi, dobimo Q = ql = U πε l. d ln Razmeje Q/U je konstantno. To konstanto imenujemo kapacitivnost. Kapacitivnost sistema vvi nad zemljo je toej Q πε l C = = U d ln. (15.) V paksi pogosto za daljnovodne vvi upoabljamo izaz za kapacitivnost na enoto azdalje, q πε c = C / l = =. (15.3) U d ln Določimo kapacitivnost daljnovodne vvi na enoto dolžine v našem pimeu: 3 nc/m C / l = 7,3 pf/m. 41 kv D.K. 114

118 Zcaljenje 15. Kapacitivnost smo izačunali iz poznanega naboja in napetosti med vvjo in zemljo. Ugotovimo lahko, da bi lahko kapacitivnost določili tudi diektno s pomočjo uokvijene enačbe in da ni odvisna ne od napetosti ne od naboja pač pa le od geometijskih azme, toej od azdalje od vvi do zemlje in njenega polmea. Kapacitivnost je toej geometijsko pogojena. RAČUNANJE POLJA IN POTENCIALA V OKOLICI DALJNOVODNIH VRVI NAD ZEMLJO Ugotovili smo, da običajno lahko zanemaimo vpliv ekscentičnosti, in da je napetost med vvjo in zemljo podana z enačbo U q d. Če imamo opavka z več daljnovodnimi vvmi, je = ln πε smiselno ugotavljati potencial posamezne vvi, zato poglejmo, kako je sestavljen potencial ene same vvi: q q V = U = ln ( d ) ln πε. Pvi člen pedstavlja potencial, ki ga povzoča zcalni naboj, πε dugi člen pa je vpliv naboja na vvi. Običajno zanemaimo tudi v pimejavi z d in dobimo q d q q V = ln = ln d ln πε πε πε ( ) ( ). (15.4) Pvi člen je potencial, ki ga povzoča negativni naboj na mestu pozitivnega od kateega je oddaljen za azdaljo d. Dugi člen je potencial lastnega (pozitivnega) naboja. Da ne bi pi izačunu pozabili, da se pozitivni pedznak nanaša na azdaljo od negativnega naboja, lahko enačbo zapišemo tudi v obliki: V q 1 q 1 = ln + ln. (15.5) πε πε d Če je vvi več, je potebno seveda sešteti (supepozicija) vpliv vseh na vsako vv posebej. Če bi na pime imeli nad zemljo dve vvi, je potencial vsake pispevek štiih pemih nabojev: lastne in lastne zcaljene te sosed nje in sosednje zcaljene. Pime (izpitna naloga 4..5): Vodnika simetičnega dvovoda dolžine 5 m ležita vzpoedno nad ozemljeno pevodno ploščo. Med njiju je piključen vi napetosti U = 4 V. Izačunajte naboja na vodnikih. ( h = 3 cm, d = 6 cm, = mm) Izačun: Glede na piključitev via sta vzdolžni gostoti nabojev na vodnikih enakih absolutnih vednosti, venda naspotnih pedznakov, ( ± q). Polje naboja ozemljene pevodne plošče določata polji zcalnih nabojev ( ± q). Naboja Q1, = ± ql vodnikov (dolžine l = 5 m) določa napetost via, ki je enaka azliki potencialov vodnikov: U = V V. 1 Njiju zapišemo kot vsoto pispevkov dveh paov nabojev: D.K. 115 U + d h U + V 1 q -q h h (-q) d (q) V V = V V = V

119 Zcaljenje 15. q d q h q hd V1 = ln + ln = ln πε πε ( h) + d πε ( h) + d q q ( h) + d q ( h) + d V = ln + ln = ln = V 1 πε d πε h πε hd q hd πε lu U = V1 V = V1 = ln Q 1, = ± ql = ± 18, nc. πε ( h) + d ln hd ( h) + d Duge vaiante možnih izačunov: a) Dve vvi sta piključeni na vi napetosti: v tem pimeu je na eni vvi pozitivni, na dugi pa negativni naboj enake absolutne vednosti. b) Naboja na vveh nista piključena na vi napetosti: v tem pimeu sta naboja (lahko) azlična. c) Na nevtalnemu vodniku ni naboja: vodnika na kateem ni naboja ne zcalimo. d) Vodnik se nahaja v homogenem polju: v tem pimeu je poleg ostalih pispevkov potebno upoštevati še potencial vvi zaadi homogenega polja (Eh), kje je h višina vvi. e) Zcalimo tudi točkaste in duge naboje; zcalni naboji imajo naspotni pedznak. ( ) Pime, zcaljenje točkastih nabojev: kolokvij Domača naloga: kako izačunati polje D.K. 116

120 Zcaljenje 15. * ZRCALJENJE TOČKASTEGA NABOJA NA KOVINSKI KROGLI. Vzemimo dva točkasta naboja vzdolž X osi. Potencial v točki T je V ( T) Q 4πε R Q 4πε R = Poiščimo točke (ekvipotencialno avnino), kje je potencial enak nič. Tedaj bo Q Q R Q V ( T ) 4πε R 4πε R R Q = 1 + = = Tudi pi azmeju dveh pemih nabojev smo dobili, da je azmeje adijev konstantno, ekvipotencialne ploskve pa so bile kožnice ozioma plašči valjev. V tem pimeu je ekvipotencialna ploskev kogla s polmeom R, če je Q1 > Q. Če zapišemo potenciala v dveh točkah na kogli, določimo ekscentično lego naboja Q znotaj kogle iz e =, kje je polme kogle, d pa azdalja od sedišča kogle do naboja Q 1. Poleg dobimo zvezo d Q1 d med Q 1 in Q : =. (15.6) Q SLIKA 15.6: DVA TOČKASTA NABOJA IMATA EKVIPOTENCIALKE OD KATERIH JE ENA KROGLA S POTENCIALOM NIČ. POLJE V OKOLICI NABOJA, KI SE NAHAJA V BLIŽINI OZEMLJENE KROGLE ANALIZIRAMO S POMOČJO ZRCALNEGA NABOJA, KI LEŽI EKSCENTRIČNO OD GEOMETRIJSKEGA SREDIŠČA KROGLE. Pime: Določimo silo na točkasti naboj Q 1 = 1 nc, ki je oddaljen za 1 cm od pevodne ozemljene kogle polmea 8 cm. Izačun: (8 cm) e = = 3,556 cm. d 1 cm + 8 cm Naboj Q moamo toej postaviti za 3,556 cm od sedišča kogle v smei naboja Q 1. Po velikosti pa moa biti Q Q d 8 cm 1 cm = 1 = 1 nc = 8 nc. Sila med nabojema (hkati tudi sila med pevodno naelekteno koglo in točkastim nabojem) je Q Q Q Q 1 nc ( 8 nc) F = = = 498µN. 4πε 4 πε ( ) 4 πε (18 cm 3, 556 cm) 1 1 d e D.K. 117

121 Kapacitivnost Kapacitivnost Vsebina poglavja: definicija kapacitivnosti, kondenzato, mejenje in ačunanje kapacitivnosti, kapacitivnost osnovnih stuktu, zapoedna in vzpoedna vezava kondenzatojev, analiza vezij s poljubno vezavo kondenzatojev. Kapacitivnost je nedvomno en pomembnejših pojmov, ki jih v elektotehniki zelo pogosto upoabljamo. Zato si ga velja podobneje pogledati in azložiti. V pejšnjem poglavju smo že spoznali soazmeje med količino naboja med dvema pevodnima telesoma in napetostjo med njima. Fakto soazmenosti imenujemo kapacitivnost. Ali z dugimi besedami: večanje napetosti med pevodnima telesoma povzoči soazmeno povečanje naboja. V matematični obliki pa to zapišemo kot ( ) Q = C V V ozioma Q CU A B =, od kode je C Q U = (16.1) SLIKA 16.1: KAPACITIVNOST MED DVEMA PREVODNIMA TELESOMA. KONDENZATOR KOT»KONCENTRIRAN«ELEMENT Dve poljubni pevodni telesi lahko pikažemo kot elektični sistem, ki ga imenujemo kondenzato. Kljub temu, da iz sednješolske fizike (elektotehnike) že poznamo simbol za kondenzato, ga omenimo še enkat. Simbol za kondenzato sta toej dve vzpoedni enako dolgi daljici, pečno na vodnika, azmaknjeni za malo azdaljo. Če je med telesoma piključimo napetost U, se bo na telesu piključenem na + sponko via nakopičil naboj +Q, na telesu piključenem na negativno sponko pa naboj Q. Velja zveza ± Q = CU. C imenujemo kapacitivnost sistema, sistem, ki»shanjuje«naboj pa kondenzato. Enota za kapacitivnost je faad (F), v čast pomembnemu znanstveniku in aziskovalcu Michaelu Faaday-u. Pogosto tudi enoto za dielektičnost vakuuma ε označujemo z enoto F/m. Kondenzato, ki ga je patential Nikola Tesla leta 1896, US Zanimivo je to, da na pvi pogled na kapacitivnost med dvema telesoma vpliva napetost in naboj na telesih, v esnici pa ni tako. Kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma v zaku je odvisna le od geometijskih značilnosti teles (oblike teles in postavitve)!! D.K. 118

122 Kapacitivnost 16. * MERJENJE KAPACITIVNOSTI Kako bi določili kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma? Ekspeimentalno bi to lahko naedili tako, da bi ti dve telesi naelektili z znanim nabojem in izmeili napetost, ki se pojavi med telesoma. Q Kapacitivnost bi določili iz azmeja C =. U Peposti univezalni meilni inštumenti določajo kapacitivnost s pomočjo znanega tokovnega via in dq mejenjem (časovne spemembe) napetosti. Iz kontinuitetne enačbe i = in Q = CU dobimo dt i du = C. Pi elektenju s konstantnim tokom je spememba napetosti v določenem času d t soazmena 1/C. V pimeu idealnega kondezatoja naašča napetost lineano. Take meitve so lahko zelo nenatančne v pimeu, ko kondenzato ni idealen (ka pogosto dži). Težave povzočajo pedvsem upoovne lastnosti kondenzatojev. Nekoliko izpopolnjen način upošteva še upoovne lastnosti kondenzatoja. V tem pimeu napetost ne naašča lineano, pač pa eksponentno. Iz eksponentnega naaščanja se določi časovna konstanta in upošteva pi izačunu kapacitivnosti. Seveda je potebno kondenzato ped meitvijo azelektiti. To lahko naedimo tako, da ga izpaznemo peko upoa ali pa nanj piključimo izmenični tokovni signal. Več infomacij najdete na spletnih staneh *. Za natančnejše meitve se upoablja izmeničen vi, pogosto tudi v kombinaciji z mostičnim vezjem. Več o tem v naslednjem semestu. RAČUNANJE KAPACITIVNOSTI V pincipu smo že doslej spoti opozajali na kapacitivnost, ko smo izačunavali napetost med 1 naelektenima telesoma in je bila le-ta soazmena naboju: U = Q. Matematično toej določimo C kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma tako, da pedpostavimo, da sta telesi naelekteni z nabojema +Q in Q te izačunamo napetost med njima. Kapacitivnost pa je enaka kvocientu naboja Q in izačunane napetosti: C =. U (Pogosto za ačunanje kapacitivnosti upoabljamo numeične metode, kje izačunamo polje in potencial v postou med objektoma. V takem pimeu upoabimo lahko za izačun kapacitivnosti tudi izaz za elektično enegijo, shanjeno v kondenzatoju. Več v nadaljevanju.) * Več o meitvah kapacitivnosti: D.K. 119

123 Kapacitivnost 16. KAPACITIVNOSTI OSNOVNIH STRUKTUR Upoabili bomo ugotovitve iz poglavja o potencialu in napetosti osnovnih stuktu in določili kapacitivnosti. Poiskati moamo le povezavo med U in Q pi azličnih stuktuah. KAPACITIVNOST ZRAČNEGA PLOŠČATEGA KONDENZATORJA σ U = Ed = d ozioma ε Kapacitivnost je U QA = d, kje je A povšina ene plošče, d pa azdalja med njima. ε Q A = =. KAPACITIVNOST PLOŠČNEGA ZRAČNEGA KONDENZATORJA (16.) C ε U d Dobili smo enačbo, ki jo poznamo že iz sednješolske fizike (elektotehnike). KAPACITIVNOST ZRAČNEGA KOAKSIALNEGA KABLA q q U = E e d = e e d = ln n Kapacitivnost je πε πε n n, kje je n polme žile, pa notanji polme oklopa. C Q ql πε l = = =. KAPACITIVNOST ZRAČNEGA KOAKSIALNEGA KABLA (16.3) U U ln n KAPACITIVNOST ZRAČNEGA SFERIČNEGA KONDENZATORJA Napetost med sfeama s polmeoma n in z je z z z Q Q 1 Q 1 1 U = E e d = e e d = =. Kapacitivnost je toej n z C 4πε 4πε 4πε n n n Q 4πε = =. U KAPACITIVNOST ZRAČNEGA SFERIČNEGA KONDENZATORJA (16.4) 1 1 n z Iz zgonje enačbe lahko določimo še kapacitivnost osamljene pevodne kogle, ki je ( z ): Q C = = 4πε n. KAPACITIVNOST OSAMLJENE PREVODNE KROGLE (16.5) U D.K. 1

124 Kapacitivnost 16. KAPACITIVNOST MED VALJEM IN ZEMLJO Z zanemaitvijo ekscentičnosti smo dobili zvezo med napetostjo in linijsko gostoto naboja: U q d. Kapacitivnost je: = ln πε Q ql πε l C = = = U U d ln. KAPACITIVNOST MED PREVODNIM VALJEM IN ZEMLJO (16.6) d je azdalja med geometijskima sediščema dveh valjev. Tistega nad zemljo in pezcaljenega. Če se toej valj nahaja na višini h nad zemljo bo d = h + in enačbo za izačun kapacitivnosti med pevodnim valjem nad zemljo lahko zapišemo tudi v obliki: Q ql πε l C = = = U U h + ln. (16.7) SLIKA 16.: PREVODNI VALJ NAD ZEMLJO. KAPACITIVNOST MED DVEMA VALJEMA Napetost med dvema valjema je x večja kot med valjem in zemljo: kapacitivnost med valjema (ob zanemaitvi ekscentičnosti): U q ln d, toej bo = πε πε l C = d ln. KAPACITIVNOST MED PREVODNIMA VALJEMA (16.8) SLIKA 16.3: DVA PREVODNA VALJA. D.K. 11

125 Kapacitivnost 16. KONDENZATORSKA VEZJA ZAPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV Naišimo sliko zapoedno vezanih več kondenzatojev. Med skajnima sponkama je napetost U, toej bo na pozitivni sponki naboj +Q, na negativni pa Q, zveza med njima pa je Q = CU. Tudi na vsakem posameznem zapoedno vezanem kondenzatoju bo enako velik naboj, saj bo med dvema sosednjima kondenzatojema pišlo le do peazpoeditve naboja. Na plošči kondenzatoja, ki je bliže negativni sponki via, se bo nakopičil negativen naboj (-Q), na dugi plošči kondenzatoja pa hkati pozitiven naboj. Hkati bo pišlo do peazpoeditve naboja tudi na ostalih zapoedno vezanih kondenzatojih. Toej velja: Q1 = Q =... Qn = Q. Celotna napetost bo vsota posameznih padcev napetosti: U = U1 + U + U n, ka lahko izazimo z nabojem in kapacitivnostjo kondenzatojev n Q Q Q Q Q U = = C C C C =. Če enačbo delimo z nabojem Q, dobimo: C 1 n i= 1 i n C C C C C = + + = KAPACITIVNOST ZAPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV (16.9) 1 n i= 1 i SLIKA 16.4: ZAPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV. Pime: Določite nadomestno kapacitivnost zapoedne vezave teh kondenzatojev: 1 nf, nf in 5 nf Izačun: = + + = =, C = nf,588 nf. C 1 nf nf 5 nf 1 nf 1 nf 17 Velja si zapomniti, da je nadomestna kapacitivnost zapoedno vezanih kondenzatojev vedno manjša od vsake posamezne kapacitivnosti. V konketnem pimeu je najmanjša 1 nf, toej bo skupna gotovo manjša od 1 nf. Kako si to azložimo? Peposto iz ugotovitve, da je kapacitivnost azmeje med nabojem in napetostjo. Več kot je kondenzatojev vezanih zapoedno, večji je skupni padec napetosti, obenem pa se naboj ne speminja. Števec toej ostaja enako velik, imenovalec pa se veča in posledično se manjša kapacitivnost. VZPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV Pi vzpoedni vezavi kondenzatojev je na vseh kondenzatojih enaka napetost, naboj pa je soazmeen kapacitivnosti vsakega posebej: D.K. 1 ( ) Q = CU = Q + Q + + Q = C U + C U + + C U = C + C + + C U, toej bo 1 n 1 n 1 n

126 Kapacitivnost n n C = C + C + + C = C. KAPACITIVNOST VZPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV (16.1) i= 1 i SLIKA 16.5: VZPOREDNA VEZAVA KONDENZATORJEV. Pime: Med dvema avnima vzpoednima ploščama povšine 1 cm je azdalja cm. a) Določite kapacitivnost med ploščama. b) Za koliko se kapacitivnost poveča/zmanjša, če plošči azmaknemo za tikatno azdaljo? c) Za koliko se kapacitivnost poveča/zmanjša, če povšino plošč povečamo za tikat? d) Za koliko se skupna kapacitivnost poveča/zmanjša, če ploščama zapoedno piključimo še enako velika kondenzatoja? Izačun: a) Kapacitivnost med ploščama je 4 A 1 F 1 1 m 1 C = ε = 8,854 1 = 4, 47 1 F = 4, 47 pf. d m, m b) Če plošči azmaknemo za 3x, se poveča azdalja d za 3x, toej bo posledično kapacitivnost 3x A manjša: C = ε 1, 48 pf. 3d 3A c) Če povečamo povšino plošč za 3x, bo kapacitivnost tikat večja: C = ε 13,3 pf. d d) Če ploščama zapoedno piključimo še dva enaka kondenzatoja, bo skupna kapacitivnost 3x C1 manjša: = + + = C = 1,48 pf. Ugotovimo, da je zapoedna vezava teh C C C C C enakih kondenzatojev ekvivalentna povečanju azdalje med ploščama enega za 3x. Hkati je vzpoedna vezava enakih kondenzatojev ekvivalentna povečanju povšine plošč enega kondenzatoja. Peposta kondenzatoska vezja so ka vzpoedne in zapoedne vezave kondenzatojev. V tem pimeu moamo ob upoštevanju zveze Q = CU vedeti le to, da je skupna (nadomestna) kapacitivnost vzpoedne vezave kondenzatojev vsota posameznih kapacitivnosti in da moamo pi zapoedni vezavi seštevati invezne vednosti. Pime: Zapoedni vezavi kondenzatojev C 1 = 1 nf in C = nf piključimo vzpoedno še kondenzato C 3 = nf. Določimo naboj na kondenzatoju C, če vezje piključimo na napetost 1 V. D.K. 13

127 Kapacitivnost 16. SLIKA 16.6: VEZAVA KONDENZATORJEV. Izačun: Določimo nadomestno skupno kapacitivnost, ki je Cnad = C1 + C3, 67 nf+ nf =,67 nf. C C C 1 nf,67 nf. 1 1 = = C1 + C 1+ Naboj na Q 3 je Q = C U = C V = 67 nc. Koliko naboja pa je na Q? Zaadi zapoedne vezave kondenzatojev C 1 in C, je naboj na kondenzatoju C enak naboju na C 1 in tudi na zapoedni skupni vezavi, toej Q = C1U, 67 nf 1 V = 67 nc. ENAČBE POTREBNE ZA ANALIZO SPLOŠNEGA KONDENZATORSKEGA VEZJA Kako pa bi analiziali vezje z več kondenzatojev in viov, ko ni mogoče peposto vzpoedno in zapoedno seštevati kondenzatoje? V tem pimeu je potebno napisati sistem enačb ob upoštevanju osnovnih zakonitosti (potencialnost elektostatičnega polja in zakon o ohanitvi naboja): =. 1) Vsota vseh napetosti v zaključeni zanki je enaka nič: U zanke U i =. ) Vsota nabojev v spojišču je enaka nič: Qspojisca Qi i i Pime naloge iz kolokvija (VSŠ): Glede na smei napetosti lahko zapišemo dve enačbi z upoštevanjem Kichoffovega zakona: U + U U = in U U 3 + U =. Poleg tega lahko zapišemo enačbo ohanitve naboja. C1 C C D.K. 14 C Naboj se le peazpoeja iz ene elektode kondenzatoja na duge. Veljati moa Q 1 + Q + Q 3 =. C C C

128 Kapacitivnost 16. To enačbo lahko izazimo z napetostmi C1U 1 + CU + C3U 3 = in tako dobimo sistem teh enačb za ti neznane napetosti na kondenzatojih. V ešitvi kolokvija je upoabljen nekoliko bolj»eleganten«način z vpeljavo spojiščnega potenciala. Vpašanja za obnovo: 1. Kako je definiana kapacitivnost?. Od česa je odvisna kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma v zaku? 3. Kako izačunamo (določimo) kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma? 4. Ponovite izaze za kapacitivnost osnovnih stuktu. 5. Nadomestna kapacitivnost zapoedne, vzpoedne in kombiniane vezave. 6. Kako v splošnem analiziamo kondenzatoska vezja? D.K. 15

129 Dielektik v elektičnem polju Dielektik v elektičnem polju Vsebina poglavja: elativna dielektičnost, povečanje kapacitivnosti z upoabo dielektika, vezan in posti naboj, vekto polaizacije, povšinska gostota vezanega naboja, elektična susceptibilnost, vekto gostote elektičnega petoka, povezave med E, D in P, modifician Gaussov zakon, mejni pogoji elektičnega polja med dvema dielektikoma, mejni pogoji med pevodnikom in dielektikom. Do sedaj smo imeli opavka le s pevodniki v vakuumu ozioma zaku. Kako pa vplivajo azlični mateiali (snovi) na elektične azmee? Na pime, kaj se zgodi, ko med plošči ploščnega kondenzatoja vložimo mateial, ki je idealen (elektični) izolato in ju piključimo na vi napetosti? Takemu mateialu pogosto ečemo dielektik in s tem Podvodni kabel, 4 kv. poudaimo njegove dielektične (kapacitivne) lastnosti, medtem ko izolatojem paviloma pedpisujemo upoovne lastnosti; dobe izolato ima zelo veliko (specifično) uponost. DIELEKTRIK VSTAVLJEN V ZRAČNI KONDENZATOR Če izmeimo kapacitivnost ped vložitvijo dielektika in po vložitvi ugotovimo, da se kapacitivnost po vložitvi poveča: C C diel zak = ε 1. (17.1) ε imenujemo elativna dielektična konstanta in pove, za koliko se kapacitivnost poveča ob vstavitvi dielektika med plošči začnega kondenzatoja. A Kapacitivnost začnega ploščatega kondenzatoja ped vstavitvijo dielektika je Czak = ε, po d A vstavitvi pa je Cdiel = ε Czak = ε ε. d Pomni: Izazi za kapacitivnosti azličnih tipov začnih kondenzatojev veljajo tudi v pimeu, ko je namesto zaka dielektik, le konstanto ε nadomestimo z ε.ε. Pime: Vzemimo ploščni kondenzato s povšino plošče 1 cm. Med plošči stisnemo list papija debeline mm (ε = ) in mm debelo gumo z ε = 6. Kondenzato piključimo na napetost 1 V. a) Kolikšen je padec napetosti na plasti papija in kolikšen na steklu? b) Kolikšno je polje v steklu in v papiju? c) Kolikšno je polje na meji med steklom in papijem? Izačun: a) C A 1 1 m 8,854 1 F/m 8,854 1 F = C papi = ε 1ε = = 3 d1 1 m D.K. 16

130 Dielektik v elektičnem polju 17. A 1 1 m C C 6 8,854 8,854 1 F/m 3C 6, 56 1 F = steklo = ε ε = = 3 1 = d 1 m Nadomestna kapacitivnost je C C C C 3C 3 = = = C = C1 + C C1 + 3C1 4 Q1 = C1U = 6, 645 nc. 1 6, F/m, toej je naboj na skupni vezavi Q1 Ta naboj je tudi enak naboju na kondenzatoju C 1, zato je U1 = = 75 V in U = U U1 = 5 V. C U1 75 V b) Elektična poljska jakost v papiju je: E1 = = = 37,5 kv/m, v steklu pa d mm E U 5 V 1,5 kv/m = = =. d mm A A c) Iz Q1 = Qsledi C1U 1 = CU oziomaε 1 ε E 1 d 1 = ε ε E d, od kode je d d ε E = ε E. Polje na meji med dielektikoma ima skok, je toej nezvezno. Polje v dielektiku z manjšo dielektičnostjo je večje od polja v dielektiku z večjo dielektičnostjo. KOLIKŠNO JE POVEČANJE KAPACITIVNOSTI OB VSTAVITVI DIELEKTRIKA? Večina plinov ima vednosti dielektičnosti okoli 1, med 1 in 1,1 in pebojno tdnost okoli 3 MV/m, medtem, ko imajo običajni izolatoji elativne dielektičnosti med in 1 in pebojne tdnosti od nekaj do nekaj sto MV/m. Plin elativna dielektičnost bez enot pebojna tdnost MV/m vodik 1,7 suh zak 1,58 3 CO 1,99,9 Tekočine in izolatoji elativna dielektičnost pebojna tdnost v MV/m papi,3 etanol 3,7 16 voda (destiliana) 81 olje -5 guma 3 silicij D.K. 17

131 Dielektik v elektičnem polju 17. FIZIKALNA RAZLAGA SPREMEMBE KAPACITIVNOSTI OB UPORABI DIELEKTRIKA 1) PLOŠČNI KONDENZATOR NAELEKTREN S PROSTIM NABOJEM MED PLOŠČAMA Vzemimo, da imamo na elektodah ploščnega kondenzatoja posti naboj, toej ± Qposti = ± σ posti A. Med plošči vstavimo dielektik. Pozitivni in negativni naboji na ploščah delujejo s silo na naboje v dielektiku tako, da se le ti peazpoedijo. To peazpoeditev nabojev lahko ponazoimo z modelom dipola. Dipoli se usmeijo v sme polja (navo M = p E je enak nič, ko sta vektoja vzpoedna), pi čeme je potebno upoštevati, da so negativni poli dielektika bližje pozitivni elektodi. Polje med ploščama je vsota pispevkov vseh nabojev, tistih na ploščah kondenzatoja in ločenih nabojev (dipolov) v dielektiku med ploščama. Dipoli so nanizani v veigi, kje se minus pol enega dipola kompenzia s plus polom naslednjega dipola. Tako lahko smatamo, da se znotaj dielektika kompenziajo naboji dipolov, ostane pa na povšini nekompenzian naboj, ki pa je naspotnega pedznaka kot posti naboj na plošči. Ti nekompenziani (vezani) naboji povzočajo polje, ki je naspotno usmejeno od polja, ki je povzočil polaizacijo. Zato se polje med ploščama ob vstavitvi dielektika pi konstantnem naboju zmanjša. Posledično se zmanjša tudi napetost med ploščama U = E dl. Ke pa je kapacitivnost določena Q kot C =, se ob zmanjšanju napetosti med ploščama in konstantnem postem naboju na ploščama U kapacitivnost poveča. Ob vložitvi dielektika med naelekteni plošči pi konstantnem (postem) naboju bo toej:. (17.) Q C = U SLIKA 17.1: NABOJ NA PLOŠČAH KONDENZATORJA POLARIZIRA SNOV MED PLOŠČAMA, KAR PRIKAŽEMO S KREIRANJEM DIPOLOV. ) PLOŠČNI KONDENZATOR PRI PRIKLJUČENI FIKSNI NAPETOSTI MED PLOŠČAMA Kako pa azložimo enako povečanje kapacitivnosti pi vložitvi dielektika med plošči začnega kondenzatoja ob konstantni napetosti? Tudi v tem pimeu si zamislimo, da se na elektodah zaadi napetosti nakopiči določen naboj. Ko pa vstavimo dielektik, polje, vzpostavljeno med ploščama povzoči polaizacijo dielektika. Zopet tako, da so negativni naboji dielektika v povpečju bližje pozitivnim nabojem na plošči. D.K. 18

132 Dielektik v elektičnem polju 17. Ti polaiziani naboji bi ob ohanjeni količini naboja na ploščama povzočili zmanjšanje polja in zmanjšanje napetosti med ploščama. Ke pa je zunanja napetost vsiljena, piteče ob fiksni napetosti na elektodi dodaten naboj, ki kompenzia polaizian naboj. Tudi v tem pimeu se toej poveča kapacitivnost, saj se poveča količina postega naboja na ploščah kondenzatoja. Ob vložitvi dielektika pi konstantni napetosti bo: Q C =. (17.3) U SLIKA 17.: POVEČANJE KAPACITIVNOSTI OB VLOŽITVI DIELEKTRIKA V ZRAČNI KONDENZATOR NA KONSTANTNI NAPETOSTI. VPELJAVA KONCEPTA VEKTORJA POLARIZACIJE Elektični dipolni moment smo že spoznali. Definian je kot p = Qd. Ugotovili smo, da na dipol v polju deluje navo M = p E. V dielektiku, ki ga postavimo v polje se ustvaijo in usmeijo dipoli. Vpeljemo pojem vektoja polaizacije, ki je določen kot postoska gostota dipolskih momentov: p dp P = =. (17.4) i i lim v v dv C m C Enota za vekto polaizacije je =. 3 m m Zakaj vpeljati nov vekto? Zopet imamo poblem, da je sice smiselno vpliv polja na dielektik ponazoiti z množico dipolov, ke pa je v snovi zelo veliko molekul in toej veliko dipolov, je potebno njihovo skupno delovanje pedstaviti na pimeen način. Vekto polaizacije je toej makoskopski model in ponazaja povpečno delovanje velike množice dipolnih momentov v majhnem volumnu. Na podoben način smo se lotili tudi obavnave naboja: s konceptom gostote naboja. D.K. 19

133 Dielektik v elektičnem polju 17. POVRŠINSKA GOSTOTA POLARIZIRANEGA NABOJA Vzemimo pime enakomeno polaizianega valja povšine A. Na povšini je vezan (polaizian) naboj velikosti QP = P A. Če sme vektoja polaizacije ni v smei nomale na povšino je potebno upoštevati le nomalno komponento vektoja polaizacije QP = Pn A. Če pa polaizian naboj ni enakomeno poazdeljen, pa je potebno pisati Q = P da. P Enako kot o gostoti postega povšinskega naboja lahko»govoimo«tudi o gostoti polaizianega (vezanega) povšinskega naboja, ki je enaka ka nomalni komponenti vektoja polaizacije na povšini: P Pn σ = (17.5) A SLIKA 17.3: POLARIZIRAN NABOJ V VOLUMNU. NA POVRŠINI JE NORMALNA KOMPONENTA VEKTORJA POLARIZACIJE ENAKA GOSTOTI POVRŠINSKEGA POLARIZIRANEGA (VEZANEGA) NABOJA. Polaizian (vezan) naboj po zaključeni povšini dobimo z integacijo nomalne komponente vektoja polaitacije po celotni povšini: QP,zunaj A = P da. Ke ta naboj ni nujno enak nič, ostane ob polaizaciji znotaj zaključene povšine povšinski polaizian naboj, ki je enak D.K. 13 A QP,znotaj = P da. (17.6) A Ta naboj je potebno azlikovati od naboja, ki se»posto«giblje po pevodni povšini, saj je polaizian naboj vezan v snovi. Lahko se pemika, venda le znotaj določenega omejenega območja. POVEZAVA MED E IN P. ELEKTRIČNA SUSCEPTIBILNOST Ko dielektik postavimo v polje se naboji v snovi peazpoedijo - polaiziajo. Ta peazpoeditev je lahko večja ali manjša, odvisno od lastnosti mateiala. Peazpoeditev naboja pedstavimo z modelom elektičnih dipolov ozioma njihove gostote z vektojem polaizacije P. Za mnogo snovi velja, da povečanje polja povzoči soazmeno povečanje polaizacije, ka matematično zapišemo kot: P = χε E Spomnimo se, kaj je ε E. (17.7). Na povšini pevodnika je podukt ε E enak povšinski gostoti naboja. Konstanto χ(chi) imenujemo elektična susceptibilnost in»govoi«o odzivnosti snovi na elektično polje. Je bezdimenzijska konstanta. V vakuumu je toej χenak nič, saj tam ni snovi oz. polaizianega naboja.

134 Dielektik v elektičnem polju 17. Dielektik imenujemo lineaen, če susceptibilnost ni odvisna od velikosti polja (napetosti), homogen, če je neodvisen od pozicije in izotopen *, če je neodvisen od smei polja. MODIFICIRAN GAUSSOV ZAKON IN VPELJAVA VEKTORJA GOSTOTE ELEKTRIČNEGA PRETOKA - D. Tudi pi obavnavi polja v snovi upoštevamo osnovna zakona elektostatičnega polja, ki smo ju spoznali doslej: zakon potencialnosti elektostatičnega polja E dl = in Gaussov zakon A Q E da =. Pvi integal je po zaključeni poti, dugi pa po zaključeni povšini. Q je naboj, ki je ε zaobjet z integacijo. Zakon potencialnosti polja se ne spemeni tudi, če ge del poti skozi dielektik, medtem, ko se dugi spemeni, saj je potebno upoštevati, da z integacijo polja po zaključeni povšini ne zajamemo le posti naboj pač pa tudi ujetega, polaizianega. Ugotovili smo že, da je količina tega ujetega naboja po zaključeni povšini enaka QP,znotaj = P da, toej moamo Gaussov zakon zapisati v obliki Q Q posti, znotaj A P, znotaj A E da = +. (17.8) ε A ε Dopolnjeni Gaussov zakon lahko zapišemo tudi kot A ε E da + P da = Q (17.9) posti, A znotaj A ozioma ( ε E + P) da = Q (17.1) A posti, znotaj A Zgodovina elektotehnike je dopinesla še eno veličino (lahko smatamo tudi dvopomensko), ki v osnovi izhaja iz zgonje enačbe. J.C. Maxwell je nameč vpeljal vekto D, ki ga imenujemo vekto gostote elektičnega petoka in je definian kot L A * Anizotopen mateial ima azlično dielektičnost (susceptibilnost) v azličnih smeeh. V tem pimeu bo polaizacija v vsaki smei dugačna. Polaizacija v smei X osi bo toej enaka P = ε χ E + ε χ E + ε χ E. Podobno zapišemo za ostale smei. V tem pimeu susceptibilnost ni x xx x xy y xz z več skalana količina, pač pa jo moamo pedstaviti kot tenzo (v obliki matike). James C. Maxwell je pomembna osebnost v zgodovini aziskovanja in odkivanja zakonitosti elektičnih pojavov in teoije elektičnega polja. Dandanes govoimo o sistemu štiih Maxwellovih enačb, ki v celoti opisujejo inteakcijo elektičnega in magnetnega polja. Dži, da jih ni pvi zapisal Maxwell, jih je pa izluščil iz mnogih enačb te jih ustezno dopolnil. Doslej smo obavnavali že dva od štiih zakonov: zakon potencialnosti polja in (modifician) Gaussov zakon. Med dugim je pomembna tudi njegova vpeljava gostote elektičnega petoka D. Hkati je pvi pavilno ugotovil, da je izmenični tok v dielektikih (kondenzatoju) posledica časovne D.K. 131

135 Dielektik v elektičnem polju 17. D = ε E + P. (17.11) Enota vektoja D je C/m, enako kot gostota naboja na povšini pevodnika. V osnovi je vekto D na povšini enak povšinski gostoti naboja, je pa za azliko od povšinskega naboja definian tudi povsod po volumnu. S pomočjo tega vektoja lahko zapišemo zgonjo enačbo v obliki D da = Qposti,, (17.1) A znotaj A ki ga lahko imenujemo modifician Gaussov zakon. Z besedami bi ekli, da je petok vektoja D skozi zaključeno povšino enak zaobjetemu postemu naboju. Odlika tega zapisa je pedvsem ta, da je zapis neodvisen od vplivov snovi na vekto D. Ta vekto je izključno odvisen od lege postih nabojev, to pa so tisti, ki jih običajno vzpostavimo z zunanjim poljem. S tem si bistveno olajšamo upoštevanje vplivov dielektika. ZVEZA MED D IN E Zdužimo enačbi D = ε E + P in P = χε E in dobimo D = ε E + P = ε E + χε E = (1 + χ) εe = ε ε E Ponovimo pomembno zvezo med E in D: D = ε ε E = ε E, (17.13) kje ε imenujemo elativna dielektična konstanta. Povezava med elektično susceptibilnostjo in elativno dielektično konstanto je peposta: ε = 1+ χ. (17.14) ZVEZA MED D IN P Če smo ugotovili enostavno zvezo med D in E, velja seveda tudi enostavna zveza med D in P, saj velja ( ε 1) ε ( ) D ( ε 1) P = χε E = ε 1 ε E =, toej P = D. (17.15) ε ε ε spemembe elektičnega polja in časovne spemembe polaizianega naboja, ka opišemo kot D E ε P J = = +. Temu toku ečemo tudi pemikalni ali včasih tudi poljski tok. t t t D.K. 13

136 Dielektik v elektičnem polju 17. POVEČANJE KAPACITIVNOSTI ZARADI VSTAVITVE DIELEKTRIKA V KONDENZATOR PRI PRIKLJUČENI NAPETOSTI Q Upoabimo osnovno zvezo C = najpej za zak in potem še za dielektik z upoštevanjem U Gaussovega zakona in definicije napetosti. Ke je napetost konstantna je polje znotaj kondenzatoja nespemenjeno tudi po vstavitvi dielektika. Je pa es, da je v dielektiku zaadi polja polaizianega naboja določeno polje, ki je zmanjšalo pvotno polje. To polje polaizianih nabojev pa je kompenziano z dodatnim nabojem, ki pide na elektode iz via. C zak ε E da Q A = = in C U E dl L diel D da ε ε E da A A = = E dl E dl ka smo zapisali že v začetku poglavja, sedaj pa tudi dokazali. L L. Vidimo, da v splošnem velja Cdiel = ε Czak, Če bi želeli enako pokazati tudi za pime konstantnega naboja, bi ostal Q nespemenjen, U pa bi pisali kot U = E d l = D / ε dl za zak in U = E d l = D /( ε ε ) dl za dielektik. In bi zopet pišli do enakega zaključka. L L L Običajen način izačunavanja polja v dielektikih za peposte stuktue, kje lahko upoabimo pincip simetičen poazdelitve naboja in upoabimo modifician Gaussov zakon Med dvema pevodnima telesoma je piključena napetost (np. ploščni, koaksialni ali sfeični kondenzato). Zanima nas polje, naboj na telesu, itd. Najpej pedpostavimo nek naboj na telesu Q in z upoabo modificianega Gaussovega zakona z upoštevanjem simetije naboja določimo D, ki ni odvisen od elektičnih lastnosti snovi. Nato upoštevamo zvezo med D in E da določimo E. E je sedaj odvisen od elativne dielektičnosti snovi. E še vedno nastopa kot funkcija naboja, ki ga ne poznamo. Z integacijo E-ja med elektodama dobimo napetost, ki je poznana. Iz te napetosti lahko izačunamo naboj ozioma D in nato E ali kakoli nas zanima. Glej spodnji pime. Pime: Vzemimo ploščni kondenzato povšine plošč 1 cm in ga piključimo na napetost V. Vmes stisnimo mm debel list papija z elativno dielektično konstanto. Določimo naboj na povšini, povšinsko gostoto naboja, vekto gostote petoka, vekto polaizacije, elektično poljsko jakost in kapacitivnost. Izačun: Izačuna se lahko lotimo na več načinov. Običajni postopek je tak, da najpej določimo D, ki ni odvisen od snovi, potem E, nato U, itd.. V ploščnem kondenzatoju velja: A D da = Q DA = σ A D = σ D σ E = = ε ε ε posti, znotaj L D.K. 133

137 Dielektik v elektičnem polju 17. d σ U = Edx = Ed = d, od kode lahko določimo σ ali D: σ ε ε ( ) 9 σ ε 1 1 D E = = 1 kv/m in P = D = D = = 88,54 1 C/m. ε ε ε 9 = D = 177, 8 1 C/m. Sledi Polje lahko določimo tudi diektno kot U V E = = = 1 kv/m. d mm Sigma, ki smo jo izačunali, je gostota povšinskega naboja. D je enak sigmi, venda je D definian povsod v postou, sigma pa le na povšini. Ke obavnavamo pime ploščnega kondenzatoja je D povsod enako velik. Ke je nomalna komponenta P-ja na povšini enaka povšinski gostoti 9 polaizianega naboja, je σ P = P = 88,54 1 C/m. Postega naboja na povšini plošče je x več od polaizianega povšinskega naboja, toej, vsaki dugi naboj posti naboj ima svoj naspotni polaizian naboj. Pi dielektikih z veliko elativno dielektičnostjo bo P ka enak D. SLIKA 17.4: PLOŠČNI KONDENZATOR Z DIELEKTRIKOM. Pi konstantni napetosti je polje v dielektiku neodvisno od dielektika in je enako U V E = = = 1 kv/m. Zato pa bo v pimejavi z zakom potebna gostota naboja, ki bo d mm vzdževala to polje v dielektiku večja kot v pimeu, če med ploščama ni dielektika (je le zak), saj σ U velja E = σ = ε εe = ε ε. Ko bomo vstavili dielektik, se bo povšinska gostota naboja ε ε d povečala za x: od 88,54 1 C/m 9 9 na 177, 8 1 C/m. Razlika je avno posledica polaizacije, ki na povšini dielektika vzpostavi povšinsko gostoto polaizianega naboja (naspotnega pedznaka 9 kot posti naboj) velikosti 88,54 1 C/m. Če pa imamo konstantno gostoto naboja, se bo polje po vložitvi dielektika med plošči zmanjšalo za σ ε : E =, toej na 5 kv/m. To pomeni, da se bo zmanjšala tudi napetost in sice na 1 V. ε ε D.K. 134

138 Dielektik v elektičnem polju 17. Pime: Nekoliko dugačne pa bodo azmee, če bomo med plošči kondenzatoja vstavili dielektik, ki bo le delno zapolnil vmesni posto. Vzemimo, da v začni kondenzato, ki je piključen na napetost V in ima mm azdalje med ploščama potisnemo 1 mm debel kos papija. SLIKA 17.5: PLOŠČNI KONDENZATOR Z DVEMA DIELEKTRIKOMA. Izačun: D bo neodvisen od dielektikov in bo povsod konstanten. Spemenilo pa se bo polje, ki bo D D E = v dielektiku (papiju) in E = v zaku. Da bi določili vednosti polja moamo zapisati še ε ε ε napetost, ki bo d D D d1 d U = Edx = d1 + d = D + ε ε ε ε ε ε U V. 9 D = = = 118, 53 1 C/m d 1 mm 1 1 d ε ε ε ε Toliko je tudi povšinska gostota naboja. Elektično polje je toej dielektiku (papiju), v zaku pa je x večje: 13,33 kv/m. D E = = 6,667 kv/mv ε ε Gostota polaizianega povšinskega naboja na meji med papijem in ploščo in papijem in zakom je enaka D/. Reševanje pimea s pomočjo kapacitivnosti: d1 d 1 1 U = Q + = Q +. Iz te zveze lahko določimo naboj na povšini, iz znanega Aε ε Aε C1 C Q Q naboja napetost na papiju in v zaku: U1 = in U =. Nato iz znanih napetosti določimo polji: C C E U 1 1 = in d1 E U =. d D.K Na meji med dvema dielektikoma, v našem pimeu med papijem in zakom je skokovit pehod polja. Ke je D enak v obeh medijih bo veljalo:

139 Dielektik v elektičnem polju 17. ε ε E = ε ε E. To je mejni pogoj za pehod med dvema dielektikoma, ki velja splošno, venda le 1 1 za tisto komponento polja, ki je pavokotna na mejo. Pime: Vzemimo pime dvoplastnega koaksialnega kabla, ki ga želimo dimenzioniati za delovanje na napetosti kv. Pva, notanja plast je iz gume z elativno dielektičnostjo 3,, duga pa iz polistiena z ε =,6. Pebojna tdnost gume je 5 kv/mm, polistiena pa kv/mm. Koaksialni kabel polmea žile 4 mm želimo dimenzioniati tako, da maksimalno polje v dielektikih ne peseže 5% pebojne tdnosti. Določiti moamo debelino obeh dielektikov, toej adij do plasti polistiena P in zunanji adij Z. Izačun: Pi vzpostavljeni napetosti kv imamo na žili +q naboj, na oklopu pa q. Da bi določili polje v enem in dugem dielektiku, se poslužimo Gaussovega stavka za vekto D, ki je neodvisen od dielektikov. Za poljubni adij med notanjim in zunanjim dobimo q D( ) = ozioma D = ed( ) = e π bo polje v plasti gume D E = = e ε ε q, πε ε g g v plasti polistiena pa D E = = e ε ε q. πε ε p p q. Polje v dielektikih dobimo iz zveze π Maksimalno polje v gumi ne sme peseči 5% pebojne tdnosti, ka zapišemo kot D D E = =, toej ε ε ε E 6 6 max, guma 5% Epeb, guma,5 5 1 V/m = 6,5 1 V/m = =, za polistien pa bo veljalo E 6 6 max, poli 5% Epeb, poli,5 1 V/m = 5 1 V/m = =. Polje bo maksimalno pi čim manjšem adiju, toej pi E q 6 max, guma = = 6,5 1 V/m πε gε n in E q 6 max, poli = = 5 1 V/m πε pε p. Če enačbi delimo, lahko določimo p : D.K. 136

140 Dielektik v elektičnem polju 17. p ε g 6,5 = n =,6 cm. ε 5 p Lahko tudi določimo linijsko gostoto naboja, ki bo q ε ε. 6-6 = π g n 6,5 1 V/m = 6 1 C/m Peostane nam še, da določimo potebno debelino plasti polistiena, za ka pa potebujemo še eno enačbo, ki jo dobimo iz enačbe za napetost. Integiati je potebno polje od notanjega do zunanjega adija, pi čeme pa se polje spemeni med dvema dielektikoma. Zato je potebno ločiti integal v dva, enako, kot da bi zapisali celotno napetost kot vsoto padcev napetosti v gumi in v polistienu. Tako dobimo z p z U = E dl = U + U = E gume dl + E poli dl gume poli n n p p z q q U = e ed e e + d = πε ε πε ε n g p p q p q z U = ln + ln πε gε n πε pε p V gonji enačbi je edina neznanka zunanji polme, ki jo določimo z vstavitvijo vednosti in dobimo,77 cm. SLIKA 17.6: DVOPLASTNI KOAKSIALNI KABEL. D.K. 137

141 Dielektik v elektičnem polju 17. MEJNI POGOJI Posedno smo z obavnavo polja v dveh stikajočih se dielektikih že spoznali. Ugotovili smo, da na meji med dvema dielektikoma z azličnima dielektičnostima pide do nezveznega pehoda (skoka) elektičnega polja. V tem poglavju želimo spoznati splošne zakonitosti pehoda polja iz enega medija v dugega. Izpeljemo jih iz Gaussovega zakona in zakona o potencialnosti (konzevativnosti) elektostatičnega polja. Mejni pogoj za nomalno komponento polja. Mejni pogoj za nomalno (pavokotno) komponento dobimo iz Gaussovega zakona: A D da = Q posti,znotaj Zamislimo si povšino med dvema dielektikoma in kocko, katee stanice stiskamo v smei meje. Ke moamo ačunati D skozi zaključeno povšino (ven iz povšine) bomo pisali: D da D da = σ da ali tudi 1 ( ) posti e D D = σ n 1 posti ali tudi D1n Dn = σ posti. (17.16) Enotski vekto kaže iz dielektika z indeksom v dielektik z indeksom 1. Če je povšinska gostoto postega naboja na meji dveh dielektikov enaka nič, velja D 1n = Dn ali tudi ε1e1n = ε En. (17.17) Če poznamo nomalno komponento polja na meji na eni stani dielektika, z lahkoto izačunamo nomalno komponento na meji v dugem dielektiku. SLIKA 17.7: PREHOD NORMALNE KOMPONENTE POLJA. D.K. 138

142 Dielektik v elektičnem polju 17. MEJNI POGOJ ZA TANGENCIALNO KOMPONENTO POLJA Potebujemo še mejni pogoj za komponente polja, ki so vzpoedne (tangencialne) z mejo. Tu upoabimo zakon potencialnosti polja: E dl =. Vzemimo pavokotnik na meji dveh dielektikov in ga stiskajmo v smei meje. Integal L polja bo imel tako le komponenti v smei meje tangencialni komponenti. Veljalo bo toej: E l E l = E = E. 1t t 1t t E 1t = Et. (17.18) SLIKA 17.8: PREHOD TANGENCIALNE KOMPONENTE POLJA. Zdužimo obe enačbi v»lomni zakon«. Če na meji dveh dielektikov ni povšinskega (postega) naboja, velja: E 1t = E t ε E = ε E 1 1n n Če enačbi delimo med sabo, dobimo: 1 E1t 1 E = ε E ε E t 1 1n n 1 1 tan( α ) tan( α ) ε = ali 1 1 ε tan( α1) ε1 = tan( α ) ε α je vpadni kot med nomalo na povšino in smejo polja. Pime: Homogeno polje 1 V/m je usmejeno pod kotom 45 o iz zaka v olje z ε =. Izačunajte elektično poljsko jakost v olju in skiciajte vektoja polja na meji zak-olje. Izačun: Ohanja se tangencialna komponenta, ki bo tudi v olju enaka E1 t = Et = 1 V/m. Nomalna komponenta polja v olju pa se zmanjša za ½, saj velja D.K. 139

143 Dielektik v elektičnem polju 17. E ε 1 1 = E = 1 V/m E =. Absolutna vednost polja v olju pa je 1 n 1n 1n ε E = E + E. Polje v olju se zmanjša, saj se zmanjša nomalna komponenta polja, 1n t 79 V/m tangencialna pa ostane enaka. SLIKA 17.9: LOM POLJA NA MEJI ZRAK-OLJE. POLJE NA MEJI DIELEKTRIKA IN KOVINE Poseben pime je meja dielektik - pevodnik. Vzemimo, da označimo dielektik z indeksom 1, pevodnik pa z. Pedhodno smo že ugotovili, da je elektostatično polje znotaj pevodnika enako nič: E =. Ke velja E1t = Et, bo tangencialna komponenta polja v izolatoju na meji z dielektikom enaka nič. To pa obenem pomeni, da bo imelo polje v izolatoju na meji s pevodnikom le nomalno komponento, ki bo enaka D1n = σ posti ozioma, E σ = E =. (17.19) ε 1 1n 1 Pišli smo do že znane ugotovitve, da je polje na povšini pevodnika pavokotno na povšino in soazmeno povšinski gostoti naboja. Zapišimo še enkat tudi ploskovno silo na pevodnik: f σ = σ. ε SLIKA 17.1: POLJE NA MEJI IZOLATOR KOVINA. D.K. 14

144 Dielektik v elektičnem polju 17. * SILA MED DIELEKTRIKI Zanimiv je tudi pime, ko želimo izačunati silo med dvema dielektikoma. Pime je sila na nevtalne dielektične delce v nehomogenem polju. Zaadi azlične dielektičnost delca in medija deluje na delec sila, ki jo lahko določimo z integacijo ploskovne sile na delec. Bez izpeljave zapišimo ezultat, ki bo f ε ε E 1 = t + D n. Sme te ploskovne sile je v smei postoa z manjšo dielektičnostjo. ε1ε Tako je mogoče dielektične delce usmejati z vzpostavitvijo elektičnega polja med dvema ali več elektodami. Delci se nabeejo tam, kje je polje največje na ostih obovih elektod ali pa na mestih, kje je elektično polje najmanjše. Dodatno kontolo nad gibanjem delcev nam ponuja vzbujanje z izmeničnim signalom. Dielektične lastnosti snovi (elativna dielektičnost) se s fekvenco signala speminja, ka omogoča manipulacijo delcev z elektičnim poljem. V Laboatoiju za bioelektomagnetiko smo skupaj z Laboatoijem za mikosenzoske stuktue in Laboatoijem za biokibenetiko načtali in izdelali stuktue za manipulacijo bioloških celic s pomočjo dielektofoeze. Če je elektofoeza pojav, v kateem izkoiščamo silo na naelektene delce, je dielektofoeza pojav, kje izkoiščamo silo na dielektične (elektično nevtalne) delce. SLIKA 17.11: MANIPULACIJA BIOLOŠKIH CELIC Z ELEKTRIČNIM POLJEM. CELICE SE KONCENTRIRAJO NA MESTU NAJMANJŠEGA POLJA, KI JE V SREDINI IN NA POVRŠINI ELEKTROD. RAZDALJA MED ELEKTRODAMA JE 5 µm. NA DESNI STA PRIKAZANA MODULA Z IZDELANIMI MIKROSTRUKTURAMI. MIKROSTRUKTURE SO IZDELANE S POLPREVODNIŠKO TEHNOLOGIJO NA PYREX STEKLU Z DVOSLOJNO METALIZACIJO. Delovanje dielektofoeze smo ugotavljali tudi pi ekspeimentu s semenkami v enosmenem polju. Semenke so iz dielektika in se usmeijo v sme polja, ke pa so v dovolj gostem mediju, se težje posto gibljejo. Potebovali bi še večjo silo, da bi pemagali silo viskoznosti. Smo pa opazili značilnost veiženja, ki jo opazimo tudi pi celicah na mikostuktuah. Poleg tega so pazljivi lahko opazili, da se giblje tudi olje v kateem so bile semenke. Tudi na molekule olja (dielektik) deluje sila, ki jih pemakne v smei elektod. SLIKA: Veiženje celic pi pojavu dielektofoeze. D.K. 141

145 Dielektik v elektičnem polju 17. PRIMERI: Pime kolokvijske naloge z dne : Nalogo bi lahko ešili tudi z upoabo lomnega zakona tan( α ) tan( α ) da je kot alfa definian glede na nomalo in ne na mejo, toej je ε 1 = = =, od kode je tan( α) tan( α1) tan(3 ) 1,386 ε 1 5 Pime kolokvijske naloge (UNI): ε ε =, pi čeme pa bi moali paziti, 1 1 α 1 = 9 6 = 3 in α 54, in ϕ = 35,8. D.K. 14

146 Dielektik v elektičnem polju 17. Vpašanja za obnovo: 1. Kako je definiana elativna dielektičnost in kaj pomeni?. Kolikšne so tipične vednosti elativne dielektičnosti? 3. Kakšna je fizikalna azlaga spemembe kapacitivnosti ob upoabi dielektika pi a) konstantnem naboju med ploščama kondenzatoja in b) pi konstantni napetosti med ploščama? 4. Kako je definian vekto polaizacije? 5. Čemu je enak vekto polaizacije na povšini dielektika? 6. Kakšna je povezava med elektično poljsko jakostjo in vektojem polaizacije? 7. Kako je definian vekto gostote elektičnega petoka? Zakaj je njegova vpeljava koistna (potebna)? 8. Kakšna je zveza med gostoto elektičnega petoka in jakostjo polja? 9. Dobo pouči pimee nalog. 1. Mejni pogoj za nomalno komponento polja. 11. Mejni pogoj za tangencialni komponenti polja. 1. Lomni zakon. 13. Polje na meji dielektika in kovine. D.K. 143

147 Enegija Enegija Vsebina poglavja: Ponovitev dela in potencialne enegije, enegija naboja pi peletu polja, potencialna enegija sistema nabojev, elektična enegija v polju kondenzatoja, enegija sistema poazdeljenih nabojev, gostota enegije, enegija pi gibalnih pocesih sila. PONOVITEV: DELO ELEKTRIČNIH SIL, POTENCIALNA ENERGIJA, NAPETOST IN POTENCIAL V tem poglavju bomo ponovili določena spoznanja iz poglavja 1 (Delo in enegija) in jih nadgadili s celostnim pogledom na pojem enegije v elektostatiki. V poglavju 1 smo spoznali, da je delo T T elektičnih sil potebno za pemik naboja Q iz točke T 1 v točko T Ae = A1 = F e dl = Q E dl. T1 T1 Elektična napetost je enaka delu, ki jo enota pozitivnega naboja (1 C) opavi pi pemiku iz točke T 1 v točko T T Ae U = = E dl Q T1. (18.1) Hkati smo ugotovili, da je potencialna enegija naboja enaka delu, ki ga opavi zunanja sila pi penosu iz oddaljenosti (kje je njegov potencial enak nič) do mesta, kje se nahaja. Enakovedno lahko ečemo, da je ta enegija enaka delu elektičnih sil za pemik z mesta, kje se nahaja do neskončnosti (kje je potencial enak nič): W ( T ) = Ae ( T T ). Ta definicija pa je hkati definicija potenciala, le da je definiana s potencialno enegijo enote naboja: ( ) T ( V = ) Ae T V ( T) = = E dl Q. (18.) T ENERGIJA POSAMEZNEGA NABOJA PRI PRELETU ELEKTRIČNEGA POLJA. Če se v elektičnem polju giblje le en naboj, se njegova potencialna enegija poveča ali zmanjša za W = Q V = QU. Tak pime je na pime gibanje elektona v elektičnem polju. Če peleti elekton v smei polja napetost kv, se bo njegova kinetična enegija povečala na ačun zmanjšanja potencialne za W QU = = 1, 6 1 As kv = 3, 1 J. Pogosto namesto enote Joule pi zapisu enegije osnovnih delcev upoabljamo enoto elekton-volt, kje je 1 ev = 1, J. V tem smislu je kinetična enegija delca po peletu polja kv enaka 1 3 ev ali kev. SLIKA 18.1: ENERGIJA NABOJA PRI PRELETU POLJA. D.K. 144

148 Enegija 18. POTENCIAL V OKOLICI OSAMLJENEGA NABOJA IN ENERGIJA SISTEMA DVEH NABOJEV Q Potencial na azdalji od osamljenega točkastega naboja Q je V ( ) =. Da bi na azdaljo od 4πε Q naboja Q pipeljali naboj Q bi toej potebovali enegijo W = QV = Q. Ali tudi: v sistemu 4πε QQ dveh nabojev Q in Q je shanjena potencialna enegija W =. 4πε SLIKA 18.: DELO ELEKTRIČNIH SIL IN POTENCIALNA ENERGIJA. POTENCIALNA ENERGIJA SISTEMA TOČKASTIH NABOJEV Vzemimo, da imamo posto bez nabojev in toej bez elektičnega polja. Če želimo v ta posto penesti naboj, moamo opaviti delo. V elektičnem smislu za penos pvega naboja (Q 1 ) ni potebno vložiti nič dela, saj ni nobene elektične sile na ta delec. Ko pa želimo v njegovo bližino penesti naboj Q1Q Q, moamo za to opaviti delo, ki bo A = 1 QE dl =, 4πε kje je 1 azdalja med nabojema Q 1 in Q. T1 1 SLIKA 18.3: ELEKTRENJE PROSTORA Z VNAŠANJEM NABOJEV. Ko penašamo tetji naboj, moa ta pemagovati dvoje sil, tako na naboj Q 1, kot na naboj Q. Toej Q1Q 3 QQ3 potebujemo opaviti delo +, kje sta 1 in 3 azdalji med nabojema Q 1 in Q 3 te Q 4πε 4πε 13 3 in Q 3. In tako dalje. To delo se shani v obliki potencialne enegije v pozicijah delcev. Potencialna enegija sistema teh nabojev je toej D.K. 145

149 Enegija 18. W Q Q Q Q Q Q 4πε 4πε 4πε = Zapišimo to vsoto nekoliko dugače: 1 Q Q 3 1 Q1 Q 3 1 Q1 Q W = Q1 + + Q + + Q3 +. 4πε 1 4πε 13 4πε 1 4πε 13 4πε 13 4πε 3 Ugotovimo, da so vednosti v oklepajih enake potencialom V 1, V in V 3, kje je V 1 potencial na mestu naboja Q 1, ki ga povzočata naboja Q in Q 3. Enačbo toej lahko zapišemo v obliki: W = QV QV + Q3V 3. Očitno bi lahko za sistem n nabojev zapisali potencialno enegijo v obliki: W = QV + Q V + Q V + + Q V, n n ozioma na katko W n 1 = QV i i, (18.3) i= 1 kje je V i je potencial na mestu naboja Q i in ga zapišemo kot vsoto: V i n 1 Q j =, (18.4) 4πε j= 1 i j ij kje so ij azdalje med nabojem Q i in Q j. Pime: Določimo enegijo sistema teh enako velikih nabojev Q = nc, ki se nahajajo v ogliščih enakostaničnega tikotnika stanice a = 1 cm. SLIKA 18.4: SISTEM TREH NABOJEV V OGLIŠČIH ENAKOSTRANIČNEGA TRIKOTNIKA. D.K. 146

150 Enegija 18. Izačun: Ke so naboji enako veliki in simetično azpoejeni, je tudi potencial na vseh mestih nabojev enako velik. Na mestu naboja Q 1 je enak: V sistema bo toej Q Q. Enegija a a a 3 1 j 1 Q 3 Q 1 = = + = 4πε j= 1 ij 4πε 4πε i j Q 3Q W = QV Q V + Q V = QV Q = 4πε a = 4πε a, in številčno W 9 ( ) 3Q 3 1 C 9 V m = = 9 1 = 18µJ. 4πε a A s,1 m Pime: Koliko dela moamo vložiti za pemik naboja iz enega oglišča v sedino med duga dva naboja? Izačun: Vzemimo zgonji naboj (označen kot Q 3 ) in ga pemaknimo med Q 1 in Q. Delo bi lahko T določili iz osnovne fomule za izačun dela, toej kot A = Q E l, kje je E polje na mestu naboja e d T1 Q. Izačunati bi moali polje na mestu naboja (ka v konketnem pimeu ne bi bilo avno zahtevno) in ga integiati po poti. Še bolj enostavno pa je določiti delo iz azlike potencialnih enegij sistema ped in po pemiku: A T T = W T W T = W W. ( 1 ) ( 1) ( ) začetna končna Enegijo v začetni legi smo že določili, peostane še izačun v končni legi W(T ) W ( T ) = Wkončna = QV QV + Q3V 3 = QV Q3V 3 =. Enegija Q Q 1 Q1 Q 3Q Q 5Q = Q1 + + Q3 + = + = 4πε a 4π εa / 4π ε a / 4π ε a / 4πε a 4πε a 4πε a sistema se bo po pemiku očitno povečala, toej bo delo negativno. To pomeni, da ga bodo moale opaviti zunanje sile. To delo bo enako 3Q 5Q Q A = = = 7µJ. 4πε a 4πε a 4πε a ENERGIJA V POLJU KONDENZATORJA Tako kot smo potebovali določeno enegijo, da smo v posto pipeljali naboje, je potebna določena enegija, da naelektimo kondenzato. V najpepostejši obliki si lahko kondenzato pedstavljamo ka kot dve pevodni telesi. Med njiju piključimo vi napetosti in povečujmo napetost. Z večanjem napetosti med telesoma, se povečuje tudi naboj na telesoma. Pač skladno z enačbo Q = CU. Vzemimo sedaj (difeencialno) majhen naboj dq in ga pemaknimo iz enega telesa na dugega, pi čeme je napetost med telesoma U. Spememba enegije bo enaka dw = dq U. Napetost lahko D.K. 147

151 Enegija 18. Q izazimo tudi z nabojem in kapacitivnostjo, tako da je difeencial enegije enak dw = dq. C Celotno enegijo, ki smo jo pidobili z elektenjem kondenzatoja dobimo z integacijo naboja od začetnega (), do končnega Q končni : W Q končni Q = dq = C Q končni. (18.5) C SLIKA 18.5: ELEKTRENJE KONDENZATORJA IN GRAF POVEČEVANJA NABOJA NA KONDENZATORJU Z VEČANJEM NAPETOSTI MED ELEKTRODAMA. To je enegija v naelektenem kondenzatoju, ki jo lahko izkoistimo v azlične namene. Ni pa nujno, da je to tudi celotna enegija, ki jo lahko koistno upoabimo. Del enegije se ob azelektitvi lahko poabi tudi znotaj kondenzatoja (bateije) - na njeni notanji uponosti. Enačbo lahko s pomočjo zveze Q = CU zapišemo tudi v obliki W Q CU QU = = = (18.6) C Pime: Določimo enegijo v začnem ploščnem kondenzatoju kapacitivnosti nf, ki je piključen na enosmeni vi napetosti 6 V. Za koliko pocentov se spemeni enegija shanjena v kondenzatoju, če azdaljo med ploščama azpolovimo? CU nf (6 V) Izačun: Elektična enegija shanjena v kondenzatoju je W = = = 36µJ. Iz A enačbe za kapacitivnost ploščnega kondenzatoja C = ε ugotovimo, da zmanjšanje azdalje med d ploščama za polovico pedstavlja zvečanje kapacitivnosti za x, ka pomeni, da se bo enegija povečala za x, na 7 mj, toej za 1%. Dodatno: Za koliko pocentov se bo spemenila enegija v kondenzatoju, če ped zmanjšanjem azdalje med ploščama kondenzatoja za polovico odklopimo kondenzato od via napajanja? D.K. 148

152 Enegija 18. Izačun: Sedaj se ohanja naboj, ki ga je ped odklopom Q = CU = nf 6 V = 1, µc, enako pa tudi po peklopu, saj se naboj ohanja. Toej bo ob x večji kapacitivnost ob pemiku enegija enaka Q (1,µC) W = = = 18µJ. Enegija v kondenzatoju se bo očitno zmanjšala za x. Zakaj?... C nf Med pozitivno in negativno naelekteno ploščo deluje sila, ki plošči pivlači. Če ne bi delovale duge sile (težnosti, lepenja), bi se plošči zdužili, naboji bi se azelektili in enegija bi se petvoila v dugo obliko (ecimo toplotno). Toej se enegija sistema manjša z zmanjševanjem azdalje med elektodama. Dodatno: V začni kondenzato vstavimo dielektik z elativno dielektično konstanto 1. Za koliko se poveča enegija v kondenzatoju pi ohanitvi piključene napetosti 6 V ali pi konstantnem naboju 1, µf. A Izačun: V skladu z izazom C = ε ε se kapacitivnost kondenzatoja poveča za 1x. V skladu s tem d se enegija v kondenzatoju pi piključeni napetosti poveča za 1x, v pimeu konstantnega naboja pa se zmanjša za 1x. Vpašanje: Kako azložimo povečanje oz. zmanjšanje enegije pi vstavitvi dielektika? SLIKA 18.6: ENERGIJA V KONDENZATORJU Z DIELEKTRIKOM IN BREZ DIELEKTRIKA. Dodatno: Koliko je enegija v kondenzatoju, če pi piključeni napetosti vstavimo vanj dielektični listič debeline, ki je enaka polovici azdalje med elektodama in ima elativno dielektičnost 6? A Izačun: Spemeni se kapacitivnost C = ε in sice tako, da imamo sedaj zapoedno vezavo dveh d A A kapacitivnosti Czaka = ε in Cdiel = ε ε, toej je Cdiel = 6. C zaka in nadomestna d / d / Cdiel Czaka 6Czaka Czaka kapacitivnost Cnad = = = Czaka = C = C. Kapacitivnost C + C 6C + C diel zaka zaka zaka kondenzatoja je po vložitvi dielektika pibližno x večja (za 1/7) od začetne kapacitivnosti. Ke je piključena napetost fiksna, bo enegija po vložitvi lističa večja od pvotne za 1/7 in bo enaka D.K. 149

153 Enegija C U W = 7 = 61,71 mj. Ped vložitvijo dielektičnega lističa pa je bila enegija v kondenzatoju 36 µj. Zakaj se je enegija povečala? Ko vstavimo dielektik med plošči kondenzatoja, se na povšini kondenzatoja poveča naboj (ki pide iz via), ki kompenzia zmanjšanje polja v dielektiku zaadi polaizacije dielektika. Dodatno: Kaj pa, če ped vstavitvijo dielektika odklopimo vi?... V tem pimeu se bo na ploščama kondenzatoja ohanil naboj (ne bo se povečal), kapacitivnost pa se bo povečala kot smo že izačunali za 1/7. Enegija pa se bo posledično zmanjšala, ka sledi iz W Q =, toej za 7/1. 1 C 7 DOLOČITEV KOPACITIVNOSTI IZ ENERGIJE V KONDENZATORJU Pogosto se gonji izaz upoabi tudi za določitev kapacitivnosti. Če toej znamo enegijo ob znani napetosti med elektodama v kondenzatoju določiti na nek dug način, potem lahko izačunamo W U kapacitivnost iz C =. (18.7) ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA SISTEMA PORAZDELJENIH NABOJEV Poslužimo se izaza iz pejšnjega odstavka, pi čeme zamenjamo napetost U za potencial V, ki je potencial na mestu difeencialno majhnega naboja dq: dw = dq V. Z integacijo po vseh nabojih in upoštevanju potenciala na mestu teh nabojev je enegija elektostatičnega sistema enaka W = VdQ, po vseh Q-jih kje lahko pišemo tudi dq = ρ dv in W = V ρdv. (18.8) V el Neodnost te enačbe je, da upoabljamo enak simbol za volumen in potencial. Da bi to azmejili, smo v zadnji enačbi zapisali potencial kot V el. GOSTOTA ENERGIJE IN ENERGIJA POLJA Do sedaj smo izačunavali elektično enegijo iz kapacitivnosti, naboja in napetosti. Ke je vez med napetostjo in nabojem elektična poljska jakost, moa obstajati tudi povezava med enegijo in D.K. 15

154 Enegija 18. jakostjo polja. Vzemimo pime naelektene kogle z nabojem Q, ki je na potencialu V. Elektična 1 enegija, potebna, da smo zbali skupaj ta naboj, je enaka W = QV. SLIKA 18.7: ENERGIJA V POLJU NAELEKTRENE KROGLE. V tem smislu bi za postavitev dela naboja pi določenem potencialu potebovali enegijo dw = VdQ. dq lahko izazimo z upoabo Gaussovega zakona E da = d Q / ε. Difeencial enegije 1 pa zapišemo v obliki d W = V ( ε Ed A). Poleg tega zapišemo difeencial potenciala kot dv = Edl, od kode lahko za 1 1 difeencial enegije zapišemo dw = E d l( ε Ed A) in ke je difeencial volumna enak dv = da dl 1 1 je dw = Eε EdV = ε E dv. Z integacijo po volumnu pa dobimo celotno enegijo sistema: 1 = ε d (18.9) V W E V Izaz v integalu lahko pepoznam kot gostoto enegije in ga tako tudi poimenujemo te upoabimo simbol w: w ε 1 = E (18.1) Enota je enegija na volumen, toej J/m 3. Enačba za enegijo, ki smo jo zapisali, velja za polje v vakuumu oz. zaku. Če imamo polje v dielektiku, bi do izaza za enegijo pišli na podoben način, le z upoabo Gaussovega zakona za dielektike. V tem smislu bi dobili za enegijo W = E V, 1 ε ε d Vol za difeencial enegije pa w 1 = εεe. D.K. 151

155 Enegija 18. Bolj splošen izaz, ki pa ga ne bomo izpeljevali je enegije. dw = E dd w = D E 1 ozioma za difeencial gostote. (18.11) Pime: Določimo izaz za enegijo ploščnega kondenzatoja povšine plošč A in azdalje med =. 1 ploščama d z upoabo enačbe W ε ε E V d V Izačun: U E =, d U W = ε ε E dv = ε ε E dv = ε ε V = d Vol V 1 U 1 U 1 A 1 ε ε A d ε ε A εε U C U = = = = d d d Dobimo seveda enak izaz kot smo ga že izpeljali za enegijio v polju kondenzatoja. Razlika je le v tem, da znamo sedaj ugotavljati tudi enegijo shanjeno v elektičnem polju, izaženo z gostoto elektične enegije, ta pa je soazmena kvadatu elektične poljske jakosti.. GIBALNI PROCESI SILA NA NAELEKTRENA TELESA 1) PRIMER GIBALNIH PROCESOV NAELEKTRENIH TELES BREZ PRIKLJUČENEGA VIRA NAPETOSTI. Vzemimo sistem dveh naelektenih teles z naboji +Q in -Q. Enegija shanjena v elektičnem polju je QU enaka W e =. Če dopustimo, da se eno od teles pemakne v smei dugega za neko majhno azdaljo dl, pi tem opavi delo da = F dl. To delo se je opavilo na ačun zmajšanja elektične e enegije sistema, saj moa veljati, da je vsota opavljenega dela in zmajšane elektične enegije enaka nič: dw + da =. Če izazimo delo le v smei X, bo veljalo: F, dx = dw in toej e dwe Fe, x =. Če se azmee speminjajo tudi v dugih smeeh, je bolj koektno upoabiti pacialni dx odvod: e x e F e, x W x e =. (18.1) Enako lahko določimo tudi silo v dugih smeeh. V splošnem je toej sila enaka We We We Fe =,,. (18.13) x y z D.K. 15

156 Enegija 18. SLIKA 18.8: SILA NA NAELEKTRENO TELO. ) PRIMER GIBALNIH PROCESOV PRI PRIKLJUČENI NAPETOSTI V tem pimeu je potebno v enegijsko bilanco vključiti tudi enegijo, ki pide ali se vne v vi. Toej bo spemembe enegije polja in dela pemika enaka spemembi enegije via: dw + F dl = da, e e g kje smo z da g označili spemembo enegije via. Če se bosta telesi ob piključeni napetosti pibližali za majhno azdaljo, se bo povečala kapacitivnost sistema dveh teles, zato se bo tudi povečal naboj med telesoma za dq. Ta naboj bo pišel iz via na ačun opavljenega dela da enegija v polju kondenzatoja: ( ) Velja toej: U d Q + F e d l = d QU, toej je e = dqu. Zaadi povečanja naboja med telesoma se bo povečala tudi U U U dwe = Q + dq dq = dq. dqu Fe dl = = dw e od kode sledi We We We Fe =,,. (18.14) x y z Ugotovimo lahko, da se bo ob pemiku nabojev v polju pi konstantni napetosti polovico dela geneatoja poabilo za pemik, duga polovica pa za gadnjo elektičnega polja. Lahko pa je tudi obatno, da vi deluje kot poabnik, toej, da dobi enegijo iz gibalnega pocesa, na pime, če bi se enako naelektena naboja pibliževala. Silo med telesi je najlažje izačunati avno iz povezave med enegijo in kapacitivnostjo... D.K. 153

157 Enegija 18. Pimei iz kolokvijskih in izpitnih nalog: Pime: Izpit (UNI) Pime: Kolokvij Vpašanja za obnovo: 1. Kolikšna je potencialna enegija naboja pi peletu elektičnega polja?. Kako izačunamo potencialno enegijo sistema točkastih nabojev? 3. Kakšna je povezava med potencialno enegijo in delom elektičnih sil? 4. Kako določimo elektično enegijo v kondenzatoju? 5. Kako določimo elektostatično enegijo sistema poazdeljenih nabojev? 6. Kako je določena gostota enegije? 7. Izačun enegije iz gostote enegije. 8. Kako določimo silo med naelektenima telesoma bez in z piključeno napetostjo? Pimei kolokvijskih in izpitnih nalog: izpit, 8. maec 5 izpit, 4. febua 5 izpit, 16. janua 7 Izpit, kolokvij, Izpit, Izpit,. apila 5 D.K. izpit, 6. junij 1 154

158 Kondenzato Kondenzato Vsebina poglavja: kondenzato kot napava za shanjevanje naboja, kot napava za shanjevanje elektične enegije, pomembne lastnosti kondenzatojev, aplikacije kondenzatojev. KONDENZATOR KOT NAPRAVA ZA SHRANJEVANJE NABOJA Kondenzato je napava za shanjevanje naboja. Večja kot je napetost med ploščama (elektodama), večja količina naboja se nakopiči na elektodah. Konstanto soazmenosti imenujemo kapacitivnost: Q = CU. Večja kot je kapacitivnost, več naboja lahko shanimo. V začetnih aziskavah elektičnih pojavov pojma kondenzatoja niso poznali. Naboje so ločevali z očno gnanimi elektostatičnimi napavami, ki so z inventivnimi načini ločevale naboje in jih običajno kopičile na dveh ločenih pevodnih koglah. Tipični pime je Whimshustov elektostatični geneato. Če so bile kogle blizu, na pime ne več kot nekaj centimetov, je ob pimenih pogojih kopičenja naboja med koglama peskočila iska. Toej je moala biti ob kogli dosežena peboja tdnost zaka. Vzemimo ka skajni pime osamljene naelektene kogle polmea cm. Peboja tdnost bo dosežena pi elektični poljski jakosti 3 MV/m, Q od kode izačunamo naboj pi peboju Epeb = od kode sledi Q = 133,5 nc. Napetost bo 4πε tedaj 6 ( peb ) peb 3 1 V/m, m = 6 kv 4πε Supekondenzato (ali ultakondenzato) podjetja Maxwell ima kapacitivnost 3 F omogoča napetosti 75 V. Q V E = = E =. Seveda duge elektode ne moemo imeti v neskončnosti, lahko pa je večjega polmea in dovolj daleč. Vsekako večje napetosti od 6 KV ne moemo doseči. Določimo lahko tudi kapacitivnost v pimeu, da je duga elektoda v neskončnosti C = 4πε n, pf. To je pecej mala kapacitivnost. Toej med elektodama v obliki kovinskih kogel ne moemo shaniti večje količine naboja. Ta količina je omejena s pebojno tdnostjo. Lahko pa povečamo polme kogle, kot smo to videli pi izgadnji Van de Gaffovih geneatoev, kje sta imeli kogli 7 MV geneatoja polmea 4,6 m. Spodaj je del tabele iz Electical Engineeing Refeence Book, kje pa so podane pebojne napetosti med dvema sfeama enakega polmea. Ugotovimo, da so pebojne napetosti seveda manjše, kot smo jo izačunali teoetično. D.K. 155

159 Kondenzato 19. SLIKA 19.1: INSERT TABELE IZ ELECTRICAL ENGINEERING REFERENCE BOOK SLIKA 19.: KASKADNO VEZJE ZA ZVIŠANJE NAPETOSTI, TIPIČNA UPORABA DO KV. COCKROFT-WALTONOV CD GENERATOR NA ETH (ŠVICA) 9KV/1MA. Pve večje vednosti kapacitivnosti so dosegli z upoabo steklenice, tako imenovane Leidenske steklenice, po kaju Leiden na Nizozemskem leta Zaslužen za inovacijo»steklenice«je pofeso Piete van Musschenboek ( ). Hkati je do podobnih ugotovitev pišell tudi Ewald Geog von Kleist v Nemčiji. Notanjost in zunanjost steklenice je bila delno pekita s pevodnikom, steklenica pa je delovala kot dielektik. Vzemimo hipotetičen pime steklenice pemea 8 cm s 3 mm debelo steno. Znotaj steklenice naj bo voda nalita do D.K. 156 Piete van Musschenboek ( )

160 Kondenzato 19. višine 15 cm, zunaj pa je pekita s pevodnikom (aluminijasto folijo). Relativna dielektičnost stekla naj bo 1. Kapacitivnost steklenice je A π,8 m,15 m C ε ε = 1 ε = 74 pf. 3 d 3 1 m V pimejavi s kapacitivnostjo kovisnke kogle je to že ka solidna kapacitivnost. To veliko odkitje je pineslo tudi nekaj več pevidnosti pi upoabi. Razelektitev naboja iz steklenice z dotikom nameč ni več tako»nedolžna«. Je pa dopinesla k azvoju znanosti, saj je bilo šele z Leidensko steklenico mogoče nakopičiti in shanjevati večjo količino naboja. Naslednja pav tako pomembna in znamenita inovacija je bila Voltina bateija. Volta je med dugim tudi pedlagal upoabo imena kondenzato.v tedanjem času sta bili to vsekako zelo pomembni invaciji, pimeljivi z današnjimi dosežki nagajenimi z Novelovimi nagadami. SLIKA 19.3: PRIMER EKSPERIMENTOV V ZGODOVINI: NA DESNI PREPROST ELEKTROSTATIČNI GENERATOR (ROČNO GNANA STEKLENA KROGLA, NABOJ SE LOČUJE Z ROKO, KI NA ENI STRANI TRSA OB KROGLO, NA DRUGI STRANI PA DRŽI PREVODNO VERIGO. SLIKA 19.4: PRVE SLIKE UPORABE LEIDENSKE STEKLENICE. SLIKA 19.5: PRIMER LEIDENSKIH SZEKLENIC. DESNO ELEKTROSKOP. D.K. 157

161 Kondenzato 19. KONDENZATOR KOT NAPRAVA ZA SHRANJEVANJE ELEKTRIČNE ENERGIJE Še bolj pomembna kot količina shanjenega naboja je količina shanjene elektične enegije. Za elektično enegijo v kondenzatoju je pomemben podukt naboja in napetost med elektodama 1 W = QU. Vzemimo pime osamljene kovinske kogle polmea cm, ki je maksimalno naelektena, toliko, da elektično polje na povšini doseže bebojno tdnost. Izačunali smo naboj 133,5 nc in napetost 6 QU 133,5 nc 6 kv kv. Shanjena enegija bo enaka W = = = 4 mj. Vzemimo za pimejavo kondenzato povpečno velike kapacitivnosti 1 µf in nanj piključimo napetost 1V. Enegija CU 1µF (1 V) shanjena v kondenzatoju je W = = = 5 mj. Toej je v kondenzatoju velikem za palec ali tudi dosti manj shanjeno enako veliko enegije, kot med osamljeno naelekteno koglo polmea cm pi pebojni napetosti. Poleg uspešnosti shanjevanja enegije je pomembno tudi to, kako hito lahko to enegijo kondenzato spazni. Na pime, elektolitske bateije zelo uspešno shanjujejo veliko količino enegije, je pa ne moejo hito izkoistiti. Na dugi stani so elektolitski kondenzatoji, ki so majhnih dimenzij, so nekoliko manj učinkoviti v smislu gostote shanjene enegije, se pa lahko njihov shanjen naboj zelo hito azelekti. Vez med bateijami in elektolitskimi kondenzatoji so t.i. supekondenzatoji ali ultakondenzatoji, ki ne omogočajo visokih napetosti, imajo pa izedno visoke kapacitivnosti (več sto faadov) in so tenutno posebno pimeni za vmesno shanjevanje enegije. SLIKA 19.6: PRIMERJAVA MED RAZLIČNIMI TIPI KONDENZATORJEV, BATERIJAMI IN SUPERKONDENZATORJEM. ELEKTROLITSKI KONDENZATORJI OMOGOČAJO RAZELEKTRITEV VELIKIH TOKOV VENDAR V ZELO KRATKEM ČASU. BATERIJE OMOGOČAJO SHRANJEVANJE VELIKE KOLIČINE ENERGIJE VENDAR JO NE MOREJO ZELO HITRO IZKORISTITI. D.K. 158

162 Kondenzato 19. SUPERKONDENZATORJI SO VEZ MED NAVADNIMI KONDENZATORJI IN BATERIJAMI. OMOGOČAJO RELATIVNO VELIKE TOKE RAZELEKTRITVE V PRECEJ DALJŠEM ČASU KOT NAVADNI KONDENZATORJI. VIR: SKELETON SUPERCAPS. POMEMBNE LASTNOSTI KONDENZATORJEV Kondenzatoji imajo v idealnem smislu le kapacitivne lastnosti in so idealni izolatoji. V esnici pa idealnih lastnosti ni mogoče doseči. Neidealne elektične lastnosti pikažemo z nadomestno shemo ealnega kondenzatoja, ki je v osnovi vzpoedna vezava kondenzatoja z upoom R P in zapoedno z induktivnostjo L S in uponostjo R S. Pi azličnih aplikacijah je pomembna azlična lastnost. Na KONDENZATORJA. (PO ANALOG DEVICES) pime, izgubna (vzpoedna R P ) uponost je pomembna v aplikacijah pi izmeničnih tokih in aplikacijah, kje je pomembno natančno shanjevanje naboja, kot na pime za integatoje ali»sample-hold«vezja ali ko jih upoabljamo pi visokih fekvencah. Elektolitski (tantalove ali aluminijasti) kondenzatoji dosegajo visoke kapacitivnosti venda zaadi slabe izolacije tudi velike izgubne toke, na pime 5 na na µf. V omenjene namene je bolje upoabiti»plastične«kondenzatoje: polipopilenske ali polistienske. Zapoedna (ang. equivalent seies esistance) uponost R S je pomembna pi aplikacijah z velikimi tokovi, saj se na kondenzatojih z veliko seijsko uponostjo poablja velika (izgubna) moč. Kondenzatoji z majhno R S so iz filmov ali iz sljude (ang. mica). Seijska induktivnost je tudi lahko poblematična pi visokih fekvencah. Elektolitski, papini in plastični kondenzatoji niso pimeni za visokofekvenčne aplikacije, saj so večinoma sestavljeni iz dveh kovinskih plasti ločenih s plastjo dielektika in zviti v svitke. Za visokofekvenčne aplikacije so pimeni keamični kondenzatoji. Pomemben podatek je fakto disipacije (polnilni fakto), ki pedstavlja azmeje enegije, ki jo kondenzato potoši z enegijo, ki jo shani. Dielektična absopcija nam pove histeezne lastnosti kondenzatoja. Toej, kako je ponovljivo elektenje kondenzatoja bez efekta spomina. TIPI KONDENZATORJEV SLIKA 19.7: NADOMESTNA SHEMA REALNEGA Dandanes so tudi kondenzatoji pecej dugačni. poznamo jih veliko azličnih tipov, iz azličnih mateialov, dimenzij, oblik z zelo azličnimi elektičnimi (in mehanskimi) lastnostmi. Pa si jih oglejmo nekaj: D.K. 159

163 Kondenzato 19. 1) Elektolitski kondenzatoji so izdelani iz dveh tankih aluminijastih elektod. Pva ima dodano tanko oksidno membano (izolato, dielektik), duga elektoda pa je v kontaktu s papijem omočenim z elektolitom. Tanka oksidna plast povzoči A veliko kapacitivnost kondenzatoja ( C ε ), visoko pebojno tdnost, pa tudi d polaizacijo. To pomeni, da ga lahko obemenimo le tako, da je ena od sponk vedno bolj pozitivna od duge. V naspotnem pimeu postane neupoaben ozioma nevaen, saj lahko eksplodia. Ti kondenzatoji so ceneni in se pogosto upoabljajo, ecimo kot filti. Ke se kondenzato lahko pokvai, če je obemenjen z višjo napetostjo kot je nazivna, je v paksi modo upoabiti kondenzato z dvakat višjo nazivno napetostjo, kot je potebna. Pednosti elektolitskih kondenzatojev so pedvsem velika kapacitivnost (cenenost), ki je posledica upoabe tanke izolacijske plasti dielektika in visoka napetost določena s pebojno tdnostjo dielektika. Pomankljivost pa je neidealna kaakteistika zaadi polpevodniških lastnosti kombinacije pevodnika in oksida, elativno velika uponost, slabša visokofekvenčna kaakteistika in manjša življenska doba (v pimejavi z dugimi tipi kondenzatojev). ) Posebni tip elektolitskega kondenzatoja je tantalov elektolitski kondenzato. Namesto aluminijaste elektode ima tantalovo, ozioma iz tantalovega pentoksida. Ima boljše elektične lastnosti kot»navadni«elektolitski kondenzatoji, pedvsem glede tempeatunih in fekvenčnih kaakteistik. So pa nekoliko dažji kot»navadni«. 3) Poliesteski film: ti kondenzatoji upoabljajo kot dielektik plast poliesteskega filma. So poceni, tempeatuno stabilni in se pogosto upoabljajo. 4) Polipopilenski kondenzato: upoabimo, ko so zahteve po toleancah večje. Do fekvence 1 khz imajo zelo majhne toleance (1%). 5) Polistienski kondenzato: so izdelani kot koluti in niso pimeni za visoke fekvence. So upoabni za aplikacije do nekaj sto kilohecov. 6) Metaliziani poliesteski: imajo boljše lastnosti od navadnih poliesteskih. So dimenzijsko majhni. 7) Epoksi: 8) Keamični: izgledajo kot mali diski in niso izdelani v zavitkih, zato imajo dobe fekvenčne kaakteistike in jih upoabljamo za visokofekvenčne aplikacije. Na pime za filtianje visokofekvenčnih motenj. 9) Nastavljivi kondenzatoji (timeji): vsebujejo lahko keamični ali plastični dielektik. 1) Nastavljivi začni kondenzatoji: upoabljajo zak kot dielektik. Običajno jih najdemo v adijih. 11) Supekondenzatoji: imajo izazito veliko kapacitivnost, na pime,47 F, kljub temu pa so majhnih dimenzij. Te lastnosti je mogoče doseči z upoabo elektičnega dvojnega sloja. Zapolnjujejo vzel med bateijami, ki sice shanjujejo velike količine naboja, ne moejo pa se hipno izpazniti in»klasičnimi«kondenzatoji, ki omogočajo hite naelektitve in azelektitve venda elativno majhno kapacitivnost (gostoto enegije). Ultakondenzatoji tenutno omogočajo gostote enegij velikosti 3 Wh/kg, se pa ta vednost z izboljšavo tehnologije stalno povečuje. Poleg tega v pimejavi s klasičnimi bateijami ultakondenzatoji omogočajo zelo veliko ciklov paznenja in polnenja in ne izgubijo svojih lastnosti niti po daljšem času izpaznitve. Za pimejavo dosežejo klasične svinčeve bateije enegijsko gostoto 3 Wh/kg, litij-ionska bateija pa 1 Wh/kg. Hkati pa je kaloična vednost bencina 1 Wh/kg. D.K. 16

164 Kondenzato 19. SLIKA 19.8: RAZLIKA MED KLASIČNIM TIPOM»PLOŠČNEGA«KONDENZATORJA IN ULTRAKONDENZATORJI JE V VELIKI POVRŠINI ELEKTROD, KI JIH PRI ULTRAKONDENZATORJIH USPEMO DOSEČI S TEHNOLOGIJO POROZNEGA OGLJIKA, V NOVEJŠEM ČASU PA Z UPORABO OGLJIKOVIH NANOCEVK. VIR: SLIKA 19.9: PREREZ ELEKTRODE ULTRA-KONDENZATORJA, IZDELANEGA IZ OGLJIKOVIH NANOCEVK. NA TA NAČIN SE IZJEMNO POVEČA POVRŠINA KONDENZATORJA IN S TEM KAPACITIVNOST. VIR: NA DESNI, MOŽNOSTI UPORABE ULTRAKONDENZATORJEV V AVTU: HONDA FCX. CAPACITOR COMPARISON CHART TYPE TYPICAL DIELECTRIC ABSORPTION ADVANTAGES DISADVANTAGES NPO ceamic <.1% Small case sizeda geneally low, but may not be specified Inexpensive Good Limited to small values (1 nf) stability Wide ange of values Many vendos Low inductance Polystyene.1% to.% Polypopylene.1% to.% Inexpensive Damaged by tempeatue > +85 C Low DA availablelage case size Wide ange of valueshigh inductance Good stability Inexpensive Damaged by tempeatue > +15 C Low DA availablelage case size Wide ange of values High inductance Teflon.3% to.% Low DA availablerelatively Good stabilitylage Opeational above +15 CHigh inductance Wide ange of values expensive size MOS.1% Good DALimited Small Available only in small capacitance values Opeational above +15 C availability D.K. 161

165 Kondenzato 19. Low inductance Polycabonate.1% Good stabilitylage size Low costda limits to 8-bit applications Wide tempeatue ange High inductance Polyeste.3% to.5% Modeate stabilitylage size Low costda limits to 8-bit applications Wide tempeatue angehigh inductance Low inductance (stacked film) Monolithic (High K) ceamic>.% Low inductancepoo Wide ange of values Poo High voltage coefficient stability DA Mica >.3% Low loss at HFQuite lage Low inductancelow values (<1 nf) Vey stableexpensive Available in 1% values o bette Aluminum electolytic High Lage valueshigh High cuentsusually High voltagespoo Small size Poo Inductive leakage polaized stability accuacy Tantalum electolytic High Small sizequite high leakage Lage valuesusually polaized Medium inductance Expensive Expensive Poo stability Poo accuacy SLIKA 19.1: PRIMERJALNA TABELA LASTNOSTI KODENZATORJEV. PO: ANALOG DEVICES: ASK THE APPLICATIONS ENGINEER 1 (IZ SPLETA) SLIKA 19.11: RAZLIČNI TIPI KONDENZATORJEV GLEDE NA ZAHTEVANO NAZIVNO NAPETOST. VIR: D.K. 16

166 Kondenzato 19. SLIKA 19.1: PRIMER NAPREDOVANJA TEHNIKE IZDELAVE KONDENZATORJEV. HKRATI S TANJŠANJEM DEBELINE DIELEKTRIKA SE VEČA KAPACITIVNOST NA ENOTO VOLUMNA. Nekaj aplikacij kondenzatojev. - začasno nadomeščanje bateijskega napajanja v vezjih - za usmejanje v močnostnih aplikacijah - chage-pump kasakada (zvišanje napetosti) - glajenje signalov - izločanje AC komponente - izločanje DC komponente - kompenzacija moči - floescenčna osvetlitev - filtacija signalov - za doseganje esonančne fekvence Upoaba kondenzatoskega pincipa: - senzo azdalje (majhne azdalje) - senzo pospeška (ADXL) - senzo nivoja tekočine - kondenzatoski mikofon - senzoji dotika - visokonapetosti kondenzatoji za shanjenje enegije in hito paznenje (pulzni laseji, elektomagnetno izsteljevanje, ada, pospeševalniki, detonatoji, D.K. 163

167 Kondenzato 19. SLIKA 19.13: KOMPENZACIJSKI KONDENZATORJI V ACRONI JESENICE. VIR: Nekaj povezav: WWW: D.K. 164

168 Tokovno polje.. Časovno konstantno tokovno polje Vsebina poglavja: Kontinuitetna enačba, gostota toka, časovno konstantno tokovno polje, tok v snovi, konventivni tok, konduktivni tok, mobilnost, Ohmov zakon v difeencialni obliki, specifična pevodnost in specifična uponost, tempeatune lastnosti, joulov zakon, mejni pogoji tokovnega polja, dualnost tokovnega in elektostatičnega polja. KONTINUITETNA ENAČBA S pojmom toka smo se sečali že v pvem poglavju, kje smo ugotovili, da je elektični tok posledica gibanja nabojev, ka lahko izazimo tudi kot časovno spemembo količine naboja v zaključenem sistemu (kontinuitetna enačba). Po definiciji smo ga določili kot odtekanje pozitivnega naboja: dq+ i( t) =. (.1) dt SLIKA.1: PRIKAZ DEFINICIJE TOKA KOT ČASOVNO ODTEKANJE POZITIVNEGA NABOJA. GOSTOTA TOKA Spomnimo se zveze med elektičnim petokom in gostoto elektičnega petoka. Gostoto petoka smo označili z vektojem D, petok pa kot integal D-ja peko določene povšine: D da. Na enak način izazimo gostoto toka s čko J, tok pa je integal gostote toka po povšini A I = J da A. (.) Znotaj integala je skalani podukt dveh vektojev, ka pomeni, da k toku pispeva le tista komponenta gostote toka, ki je pavokotna na povšino, ozioma tista, ki je v smei nomale na povšino: J da = J e da = J da. n n V pimeu, da se gostota toka po peseku ne speminja in je pavokotna na avnino peseka, lahko integal poenostavimo v I = J da = JA. A Če želimo gostoto toka določiti iz toka, pa upoabimo obatno opeacijo od integacije: A D.K. 165

169 Tokovno polje. di = J da, toej bo gostota toka enaka odvodu toka po povšini * : J di =. (.3) da Elektični tok je skalana veličina (ima le vednost, ne pa tudi smei), gostota toka pa je vektoska veličina (ima tako velikost kot sme). SLIKA: TOK IN GOSTOTA TOKA: PRIMERJAVA. Pime: Skozi žico pemea mm teče tok 5 A. Kolikšna je gostota toka v žici? Izačun: Ploščina peseka je J I A 5 A 16 A/mm π mm = =. A = π = π(1 mm) = π mm, gostota toka pa je Pime: Med oklopom in žilo koaksialnega kabla z notanjim polmeom 1 mm in zunanjim polmeom 3 mm je tok 1 ma. Določimo gostoto toka pi notanjem in zunanjem polmeu na dolžini 1 m. Izačun: Zapišemo tok skozi zamišljen pesek na polmeu : I pi polmeu : J =. π l Sledi: 1 ma J ( n ) = 16 ma/m π 1 mm 1m 1 ma J ( z ) = 5,3 ma/m π 3 mm 1m I = JA = J πl, od kode je gostota toka Tokovno polje med žilo in oklopom je nehomogeno. Pi žili je gostota toka večja, kot pi oklopu. * Ali pa: di = J da = J e da = J da n n toej J = e n di da. D.K. 166

170 Tokovno polje. KONTINUITETNA ENAČBA DRUGIČ Povedali smo že, da tok ugotavljamo kot časovno spemembo. Če zapišemo integal gostote toka peko zaključene povšine, moa biti ta integal v skladu s kontinuitetno enačbo avno enak časovni spemembi naboja znotaj te zaključene povšine. Kontinuitetna enačba toej»govoi«o kontinuiteti naboja znotaj zaključene povšine. Kopičenje ali zmanjševaje naboja v zaključeni povšini je posledica elektičnega toka ali tudi obatno: tok skozi zaključeno povšino je posledica kopičenja ali odtekanja naboja skozi to povšino. Matematično to zapišemo v obliki * : dq = J d A dt. KONTINUITETNA ENAČBA (.4) ČASOVNO KONSTANTNO TOKOVNO POLJE Govoimo o časovnem konstantnem tokovnem polju, kje v volumnu objetem z zaključeno povšino A velja d Q = in s tem dt J da =. (.5) A Zgonja enačba ne govoi o tem, da ni toka v in izven zaključene povšine temveč le o tem, da enaka količina toka, ki vstopa v posto z zaključeno povšino, ta posto tudi zapušča. Recimo, da zaključeno povšino azdelimo na ti dele. V pva dva dela toka vstopata (I 1 in I ), skozi tetjega pa zapušča tok I 3. Velja J da = I1 + I I3 =. Pepoznamo 1. Kichoffov zakon, da je vsota vseh A tokov, ki vstopajo (ali izstopajo) v spojišče enaka nič: Ii =. Tok smo označili z veliko tiskano čko, ke obavnavamo le stacionane pojave, toej take, kje se tok s časom ne speminja. N i= 1 SLIKA.: ZAKLJUČENA POVRŠINA S TREMI TOKI OD KATERIH DVA VSTOPATA, EN PA IZSTOPA IZ POVRŠINE. VSOTA TOKOV V SPOJIŠČE JE ENAKA NIČ. * ** Pogosto to enačbo izazimo še nekoliko dugače, pi čeme naboj izazimo z gostoto naboja Q D.K. 167 = ρdv : dρ d V = J d A. Znana pa je tudi oblika te enačbe v difeencialni obliki, kje je potebno upoabiti V dt A ρ ρ opeato divegence: divj = ali tudi J = (ke velja J d A = divj dv t t ). A V V

171 Tokovno polje. Enak pogoj kot za časovno konstantno tokovno polje smo upoabili tudi za elektostatično polje ( d Q / dt = ). Toej bodo za časovno konstantno tokovno polje veljale tudi ugotovitve iz elektostatičnega polja: zakon potencialnosti polja: E dl = (.6) in L Gaussov zakon: D da = Qposti,. (.7) A znotaj A Podobno, kot pi zakonu o ohanitvi naboja pepoznamo 1. Kichoffov zakon, lahko v zakonu o potencialnosti polja E dl = pepoznamo. Kichoffov zakon, saj, če azdelimo zaključeno pot na L več delnih poti E dl = E dl + E dl + + E dl =, jih lahko nadomestimo z napetostjo L L1 L L N med koncema delnih poti: E dl = U1 + U + + U N = ali tudi U i =. L Kljub temu pa ima časovno konstanto polje določeno»komponento«, ki jo elektostatično nima. Pi elektostatičnem polju pedpostavimo azmee, ko toka ni; niti enosmenega. Kljub temu da vemo, da je tok poteben za poces elektenja. V teh azmeah je polje znotaj pevodnikov vedno enako nič. Dugače pa je pi tokovnem polju, ki sice ima določene»komponente«elektostatičnega polja, ecimo ohanjeno veljavnost Gaussovega zakona in zakona o potencialnosti polja, pa pi azmeah tokovnega polja dovolimo časovno konstanten tok. Usteznost enačb elektostatičnega polja, časovno konstantnega tokovnega polja in dinamičnega polja pikazuje naslednja tabela: Gaussov zakon Elektostatično polje Tokovno polje Dinamično polje D da = Q Enako enako posti, A znotaj A Potencialnost polja E dl = Enako E dl L i L Kontinuitetna enačba dq dt = dq dt = dq = i ( t ) dt (znotaj zaključene povšine) (znotaj zaključene povšine) Ozioma ρ ( t) = konst Ozioma ρ ( t) = konst ρ = ρ( t) Ali tudi A J da = Ali tudi A J da = Tok i( t ) = i( t) = konst i( t) = f ( t) D.K. 168

172 Tokovno polje. TOK V SNOVI Povežimo gostoto toka z lastnostmi snovi. Vemo, da nekatee snovi pevajajo tok bolje, duge pa slabše. Najbolj peposta delitev bi bila lahko na pevodnike, ki odlično pevajajo tok in izolatoje, ki v idealnih azmeah toka ne pevajajo. Vemo pa, da imamo tudi»vmesne«mateiale, ki bolj ali manj pevajajo tok. Poiščimo zvezo med tokom in hitostjo gibanja nabojev: Vzemimo tok nabojev skozi pesek žice A s homogeno gostoto toka. Tok v smei naaščanja množine dq pozitivnega naboja je v skladu s kontinuitetno enačbo i =. Tok izazimo z gostoto toka, naboj pa dt d( ρv ) z gostoto naboja: i = JA =. Vzemimo tok nabojev v smei X osi, kje na delu volumna s dt dx konstantno volumsko gostoto naboja zapišemo: J x A = ρ A = ρva. Sledi, da je gostota toka dt enaka gostoti (postega) naboja in hitosti potovanja tega naboja: J = ρv. Bolj splošna oblika enačbe upošteva gostoto toka kot vektosko veličino in je * J = ρv (.8) Naboji se v azličnih pogojih gibljejo na azlične načine. V gobem azdelimo načine gibanja na konvektivni in konduktivni način. KONVEKTIVNI TOK Gibanje nabojev je zelo odvisno od medija v kateem se gibljejo. Če se naboji gibljejo v vakuumu ali azedčenemu plinu (zaku), je njihovo gibanje pospešeno, saj je sila na naboje enaka ma = QE. V QE postou, kje ni»večjih ovi«, se naboji gibljejo pospešeno a =. Hitost nabojev v homogenem m elektičnem polju lineano naašča: v = adt = at. Če je pospešek konstanten (homogeno polje), bo at naboj v lasu t opavil pot s = konventivni tok.. Takemu načinu gibanja ečemo konvektivno pevajanje in toku.3: KONVENKTIVNI TOK V KATODNI CEVI. * ρ(o) v enačbi pedstavlja volumsko gostoto (gibajočega se) naboja. V nadaljevanju bomo enak simbol upoabili tudi za označitev specifične elektične uponosti. Ne smemo zamešati njun azlični pomen v enačbah. D.K. 169

173 Tokovno polje. KONDUKTIVNI TOK Če se naboji gibljejo v gostejši snovi, se ne gibljejo neoviano, pač pa tkajo z atomi snovi. Zato se njihova hitost bistveno upočasni, ka se odaža v toplotnih izgubah pevodnika. Za mnogo snovi velja, da je povpečna hitost gibanja nabojev soazmena elektični poljski jakosti, ka zapišemo z izazom * v = µ E. (.9) SLIKA: KONDUKTIVNI TOK V PREVODNIKU. Konstanto µ(mi) imenujemo mobilnost in je snovna lastnost (tako kot elektična susceptibilnost oz. elativna dielektična konstanta). Izpeljimo enoto za mobilnost: [ µ ] [ µ ] m V m s = = m Vs. OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI Z upoštevanjem zveze med povpečno hitostjo gibanja nabojev in elektično poljsko jakostjo, lahko gostoto toka zapišemo kot * Kako pidemo do te zveze? Vzemimo, da opazujemo let elektona v elektičnem polju. Nanj deluje pospešek Qe E Qe E a =, toej se v času t njegova hitost od začetne v z poveča za v = v z + t. Ke je tkov elektona z m m e atomi zelo veliko, moamo za pavilno obavnavo upoštevati povpečno hitost, ka zapišemo z izazom <>: = + Q E m e v vz t e. Po tku z atomom se elekton odbije v naključno sme, zato je začetna hitost v povpečju enaka nič, celotna povpečna hitost pa je enaka D.K. 17 v Qe E = t m e e. t je povpečni čas med tki in ga označimo s τ. Za kovine je ta velikosti 1-14 s, za pline pa 1-9 s. Povpečni hitosti pogosto s tujko (angleško) Qe E ečemo hitost difta, po slovensko bi moda pevedli v hitost odnašanja. Pišemo toej lahko v = d m τ, od e kode azpoznamo zapisano lineano zvezo med povpečno hitostjo in elektično poljsko jakostjo v = µ E, kje Qe je mobilnost enaka µ = τ. m e

174 Tokovno polje. J = ρv = ρµ E J = γ E ozioma, OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI (.1) kje konstanto γ (gama) imenujemo specifična elektična pevodnost in je enaka * γ = ρµ. Dobili smo pomemben izaz, da je gostota toka v pevodnikih soazmena elektični poljski jakosti. Tak tip toka imenujemo konduktivni (pevodni), ke z njim ustezno opišemo pevajanje toka v pevodnikih. Konstanto soazmenosti imenujemo specifična elektična pevodnost (gama), celoten izaz pa ka Ohmov zakon v difeencialni obliki. Poglejmo zakaj: Vzemimo pavokoten kos pevodnika dolžine l in peseka A z znano specifično pevodnostjo. Med konca pevodnika piključimo napetost. Znotaj pevodnika je homogeno elektično polje, iz zveze za l napetost U = E dl pa dobimo: l l l l l J I I I U = E dl = E dx = dx = dx dx l γ = = γ A γ A. γ A ali pa takole: E 1 U A I = J da = da = da = U γ γ l γl A A A SLIKA.4: PRAVOKOTEN KOS PREVODNIKA PRIKLJUČEN NA VIR NAPETOSTI. * Izaz γ = ρµ lahko zapišemo tudi dugače, če gostoto nabojev izazimo s koncentacijo mobilnih elektonov nq n: ρ = nqe. Sledi e τ γ =. Ta izaz sice ne da točnih vednosti za specifično pevodnost, saj je vendale m nekoliko poenostavljen, kljub temu pa je iz njega azvidno, da imajo snovi z večjo koncentacijo postih elektonov večjo specifično pevodnost. Poleg tega večja masa pomeni manjšo pevodnost, ka je pedvsem pomembno pi pevajanju ionov. Poleg tega se povpečni čas tkov manjša z višanjem tempeatue, saj tedaj atomi bolj vibiajo in so tki v povpečju pogostejši. D.K. 171

175 Tokovno polje. Če dobljen izaz zapišemo nekoliko dugače, pepoznamo Ohmov zakon v znani (integalni) obliki: I l U = l I IR γ A = γ A =, kje je R l γ A = (.11) elektična uponost. Enota je Ω (Ohm). Določimo še enoto za specifično pevodnost. Če je enota za uponost Ohm, potem ugotovimo, da 1 lahko specifično pevodnost izazimo kot Ωm, pogosto tudi kot S (Siemens na mete). m Iz enačbe za uponost je azvidno, da je uponost med dvema elektodama odvisna tako od elektičnih kot geometijskih lastnosti. Enako smo ugotavljali tudi za kapacitivnost. Invezno vednost od specifične pevodnosti imenujemo specifična uponost (enota je Ω.m): 1 ρ =, γ ρl R =. (.1) A Običajno je podana ena ali duga vednost, v določenih pimeih (pedvsem v elektolitih) pa mobilnost nabojev. Tu je potebno ločiti način pevajanja v tekočinah in pevodnikih. V tekočinah pevajajo tako elektoni kot ioni (pozitivni in negativni), medtem, ko v pevodnikih pevajajo samo elektoni. Obstajajo tudi posebne snovi, ki jim ečemo polpevodniki, pi kateih lahko elektične lastnosti speminjamo z dodajanjem pimesi. Kos kistala silicija je izolato, zelo slab pevodnik, ki pa lahko postane dobe pevodnik, če mu dodamo pimesi. To dodajanje poteka pi zelo visokih tempeatuah, nad 1 o. Način pevajanja je odvisen od tipa dodanih pimesi. Če je dodana snov fosfo (pi čeme se med kistalno ešetko silicija le vsake toliko vine kakšen atom fosfoja), imenujemo tak tip polpevodnika n-tip, saj vsebuje določeno število šibko vezanih elektonov, ki se lahko (dokaj) posto gibljejo ob piključeni napetosti. Če dodamo siliciju atome boa se v kistalno ešetko silicija vinejo atomi boa, ki ustvaijo pomanjkanje elektonov, ka imenujemo vzel. Izkaže se, da tudi takšno pomanjkanje elektonov lahko deluje kot pevodnik. V polpevodniku pevajajo tako elektoni kot vzeli. Pime: Specifična pevodnost baka je 5,7 1 7 S/m. Določimo uponost avne palice pavokotnega peseka stanic 1x mm in dolžine 5 m. Izačun: Upoabimo enačbo l R = in določimo uponost γ A 5 m R = 44 mω ,7 1 S/m 1 m D.K. 17

176 Tokovno polje. Pime: Določimo napetost koaka pi udau stele s tokom ka, če je čovek oddaljen za 1 = 15 m stan od udaa. Specifična pevodnost zemlje je 1-4 S/m, azdalja koaka je s =,8 m. SLIKA.5: PRIKAZ UDARA STRELE IN ČLOVEKA R 1 = 15 M STRAN OD STRELE. Izačun: Pedpostavimo homogeno poazdelitev gostote toka, ki je na adiju od mesta udaa stele v I I I tla enaka J( ) = A( ) = 4π = π. Ke je gostota toka vektoska veličina, jo kot vekto I zapišemo kot J = e J I. Iz Ohmovega zakona sledi polje E = = e. π γ πγ I I d I 1 1 Napetost koaka je U1 = E dl = e e d = πγ πγ =. πγ s U 1 I s = 17 kv. π γ ( + s) Iz pimea smo ugotovili, da lahko nastopi pi uda stele ob azkoaku do pecej velike napetosti med stopaloma. Ta je lahko v določenih pimeih tudi nevana za človeka (in živali). Po peposti enačbi za izačun še dovoljene napetosti koaka * U koaka,max + ρ(ω m) =, ki da pibližno 1 kv pi izbani čas tajanja specifični pevodnosti, ugotovimo, da smo pi 15 m znotaj nevane cone. Ocenimo lahko vano azdaljo, pi čeme bomo pedpostavili 1 s (sice bi moali ešiti kvadatno enačbo): U koaka,max I s I s 1,min πγ πγ U. Za U = 1 kv dobimo kitično azdaljo koaka,max 1,min koaka,max pibližno 5 m. Pi toku 1 ka je ta azdalja 16 m, pi ka pa ka 16 m. Pi manjših specifičnih uponostih tal je maximalna (kitična) napetost koaka manjša, kljub temu pa je vanostna azdalja večja. Dodatno: Izačunajmo ozemljitveno uponost, če je ozemljilo v obliki pevodne polkogle v zemlji s specifično pevodnostjo 1-4 S/m. Polkogla ima polme,5 m. * Z.Cheng:»Calculation of step voltage nea lightning cuent«, IEEE 4. D.K. 173

177 Tokovno polje. SLIKA.6: OZEMLJITVENA»KROGLA«POLMERA R =,5 M. Izačun: Pedpostavili smo določen tok I v koglo, ki povzoči med točkama T 1 in T napetost I 1 1 U1 =. Napetost med povšino kogle in neskončno okolico ( 1 =, ) bo toej πγ 1 I U = πγ, toej bo uponost ozemljila enaka U 1 R = =. Za izbane vednosti je I πγ uponost ozemljila enaka 3, kω. To je ka velika vednost za ozemljitveno uponost, ki naj bo čim manjša; v paksi se smata kakovostna ozemljitev z uponostjo manjšo od 5 Ω. Pi izbani specifični pevodnosti zemlje bi bil potebni polme kogle za 5 Ω ozemljilo ka 3 m. Ka seveda ni smiselno ozemljilo. V paksi se okoli objekta položi ozemljitvena žica ali meža, če pa je specifična pevodnost tal večja, zadostuje tudi posebno oblikovan ozemljitveni klin. V posebnih pimeih se specifično pevodnost tal lahko poveča z določenimi substancami, ki se jih vlije v podočje ozemljitve in stnjene pedstavljajo lokalno povečano specifično pevodnost tal. Specifične pevodnosti tal se gibljejo od vednosti nekaj deset ms/m (močvina tla) do,1 ms/m (skalna tla). ŠE: Mejenje specifične pevodnosti tal, mejenje ozemljitvene uponosti. TEMPERATURNA ODVISNOST SPECIFIČNE UPORNOSTI V nekateih pimeih je zaželeno, da se upoovne lastnosti s tempeatuo čimbolj speminjajo. Če jih na pime izkoiščamo za določanje tempeatue. V dugih pa je nezaželena, saj speminja pogoje delovanja vezja, itd. Pogosto zadostuje, da upoabimo lineaen zvezo, toej, da pedpostavimo lineano speminjanje specifične uponosti s tempeatuo: ( ( )) ρ( T ) = ρ( T ) 1+ α T T. (.13) α imenujemo tempeatuni koeficient, ki je običajno podan pi sobni tempeatui T =. Za večino pevodnikov je tempeatuni koeficient pozitiven, ka pomeni, da se specifična uponost snovi veča s tempeatuo, ka pomeni, da se z višanjem tempeatue veča tudi uponost pevodnega kosa mateiala. To lahko zapišemo kot (zgonjo enačbo množimo z l/a) ( α ( )) R( T ) = R( T ) 1+ T T (.14) D.K. 174

178 Tokovno polje. SNOVNE LASTNOSTI NEKATERIH PREVODNIKOV: SNOV γ (S/m) (Ωm) 1 ρ α ( K ) bake 5,7 1 7,39 zlato 4,1 1 7,34 aluminij 3,5 1 7,41 silicij 3,9 1-4 voda 1-4 zemlja steklo 1-1 guma 1-17 D.K. 175

179 Tokovno polje. JOULOV ZAKON Je povezan s segevanjem v snovi zaadi tkanja elektonov z atomi v snovi. Difeencial dela, ki ga opavi difeencial elektine dq v polju E, se petvoi v toplotno enegijo l dw = da = dq E dl = dq U. (.15) t e e Moč je definiana kot (časovna) hitost speminjanja enegije: dw P =, ki je v našem pimeu dt dwt dq P = U IU dt = dt =. (.16) Dobimo že znano enačbo za moč pi enosmenih signalih: P = IU = I R = U G. (.17) Definiamo lahko tudi gostoto moči, kot moč na enoto volumna. V majhnem volumnu je (difeencial) moči enak dp = p dv, kje p imenujemo gostota moči, dv pa je difeencial volumna. Hkati lahko difeencial moči zapišemo kot ( )( ) ( ) dp = di du = J da E dl = J E dv. Gostoto moči lahko toej izazimo kot podukt gostote toka in elektične poljske jakosti, bolj natančna izpeljava pa pokaže, da je potebno vzeti vektoski podukt obeh veličin: p = J E. (.18) Enota za gostoto moči je W/m 3. Z upoštevanjem Ohmovega zakona v difeencialni obliki J = γ E lahko gostoto toka zapišemo tudi kot Pikaz gostote moči (bolj»voča«bava večja moč) v lomljenemu vodniku. Vektoji kažejo gostoto toka, ki je večja ob ožinah in ostih obovih. p = γ E (.19) ali kot J p = -Celotno(izgubno) moč v pevodniku določimo kot integal gostote moči v volumnu: γ. (.) P = pdv = J EdV V Ta zapis imenujemo tudi Joulov zakon v integalni obliki. V D.K. 176

180 Tokovno polje. MEJNI POGOJI V TOKOVNEM POLJU Podobno kot pi elektostatičnem polju izhajamo iz dveh osnovnih zakonov. Iz J da = sledi A (podobno kot iz D da = ), da se ohanja nomalna komponenta gostote toka: J A n = J n1. (.1) Če upoštevamo Ohmov zakon v difeencialni obliki ( J γ E ) nabojev γ γ =, velja v pimeu, da na meji ni postih En = 1En1 (.) SLIKA.7: LOM GOSTOTE TOKA NA MEJI DVEH MEDIJEV Z RAZLIČNIMA PREVODNOSTIMA. Iz zakona o potencialnosti polja pa sledi, da se ohanja še tangencialna komponenta elektične poljske jakosti: E t = Et1 ozioma J γ = J γ t t1 1 (.3) Z deljenjem z mejnim pogojem za tangencialno komponento polja velja tan( α1) γ1 =, (.4) tan( α ) γ kje sta kota definiana med nomalo in smejo polja. Iz enačbe ugotovimo, da je v pimeu velikih azlik med specifičnimi pevodnostmi dveh mateialov (ecimo na meji pevodnik/izolato) tok v pevodniku neodvisno od kota gostote toka v izolatoju paktično vzpoedna z mejo. Pime: Vekto gostote toka je usmejen pod kotom 1 o iz izolatoja z 1 γ i = 1 S/mna pevodnik s 7 specifično pevodnostjo γ = 1 S/m. Določite kot odklona vektoja gostotetoka v pevodniku. p D.K. 177

181 Tokovno polje. Izačun: 7 tan( α p ) 1 S/m = α 9 1 p. Tokovna gostota v pevodniku je paktično tan(1 ) 1 S/m vzpoedna s pevodnikom. SLIKA.8: GOSTOTA TOKA PADA NA MEJO PREVODNIKA POD KOTOM 1 O NA NORMALO. Ke pa velja tudi Gaussov zakon v splošni obliki nomalne komponente gostote petoka: n1 n D da = σ, iz njega sledi pogoj za pehod A D D = σ (.5) Pi tem smo upoštevali, da je sme polja iz medija z indeksom v medij z indeksom 1. V tej smei kaže tudi nomala na povšino. Ke sta nomalni komponenti gostote toka enaki ka zapišemo kot J n1 = J n = J n in velja Ohmov zakon v difeencialni obliki ( J γ E ) =, sledi ε1en1 ε En = σ in toej ε1 ε J n = σ γ 1 γ Iz enačbe ugotovimo, da bo azen v posebnih pogojih (ko velja D.K (.6) ε γ ε γ = ), na meji dveh dielektikov 1 1 pišlo zaadi azlike med elektičnimi lastnostmi mateialov do pesežne ploskovne gostote naboja. Pime: Vzemimo žico sestavljeno iz kosa baka, aluminija in baka. Velja 7 γ Cu = 5, 6.1 S/min 7 γ Al = 3,5 1 S/m. Določimo povšinsko gostoto naboja na meji, če teče skozi pevodnike tok z gostoto toka 1 A/mm. Izačun: Vzemimo, da teče tok iz leve poti desni. Na meji Cu/Al bo veljalo 1 1 σ = ε J n = 9,5 1 C/m γ Al γ Cu 14.Ke je specifična pevodnost aluminija manjša od specifične pevodnosti baka (dielektičnosti pa sta enaki 1), bo na meji Cu/Al v smei toka pesežek pozitivnega naboja, na meji Al/CU pa negativnega naboja.

182 Tokovno polje. 1 1 Nadalje lahko ugotovimo, da bo polje na povšini enako En = σ / ε = γ Al γ Cu J n. Dodatno: Če si zamislimo, da je namesto aluminija vmes plast izolatoja z zelo majhno pevodnostjo ( γ γ ) i <<, potem bo iz enačbe za povšinski naboj Cu iz elektostatike. ε J = ε E = E, ka je znan izaz i i σ n γ i n εi n γ i γ i SLIKA.9: ŽICA IZ CU/AL/CU. Povzetek: Zaadi velikih azlik v specifičnih pevodnosti med izolatojem in pevodnikom, je pi nediektnem vpadu gostote toka na pevodnik v pevodniku dominantna tangencialna komponenta gostote polja, v izolatoju pa nomalna komponenta elektičnega polja. Na meji dveh snovi z azličnimi elektičnimi lastnostmi pide ob pehodu toka iz enega v dug mateial do kopičenja pozitivnega ali negativnega naboja. Na meji izolato/pevodnik je ta naboj ka enak ε E, ka je znan ezultat elektostatike. DUALNOST TOKOVNEGA IN ELEKTROSTATIČNEGA POLJA Vzemimo dve pevodni telesi piključeni na enosmeno napetost U, med telesi je medij kateega elektične lastnosti določata specifične pevodnost in elativna dielektičnost. Pevodni telesi lahko smatamo za ekvipotencialki, elektično polje pa se poazdeli v skladu z zakonitostmi elektostatičnega polja. Obstaja neposedna zveza med gostoto toka in elektično poljsko jakostjo: D J = γ E, pa tudi gostoto petoka J = γ E = γ, toej so gostotne cevke za obe polji enaki. V tem ε smislu govoimo o dualnosti obeh polj. Če izačunamo poazdelitev elektičnega polja, poznamo tudi poazdelitev tokovnega polja. Toej moa obstajati tudi neka neposedna zveza med kapacitivnostjo in uponostjo med dvema telesoma: D da ε E da U Q ε = = = = = ρ ε (.7) γ A A RC I U J da γ E da Ponovimo ezultat: RC A A = ρε. (.8) D.K. 179

183 Tokovno polje. Paktična upoaba tega izaza je velika. Vzemimo, da znamo izačunati kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma. Potem lahko iz kapacitivnosti zelo hito dobimo izaz za uponost. V pincipu je izaz za pevodnost ka enak izazu za kapacitivnost, le dielektičnost moamo zamenjati s specifično pevodnostjo: G = C γ. ε Pime: Med dve pevodni palici okoglega peseka polmea = mm, azmaknjeni za cm piključimo napetost 1 V in ju potopimo za l = 3 cm v pevodni medij. Izmeimo tok, ma. Določimo uponost med elektodama in specifično pevodnost medija. Izačun: V poglavju o okovinjenju ekcipotencialk smo imeli pime dveh naspotno naelektenih valjev, kje smo z upoštevanjem ekscentičnosti določili napetost med valjema kot q s + d / q d U = ln, bez upoštevanja ekscentičnosti pa U = ln. Od tod je π ε s d / + πε Q ql πε l kapacitivnost C = = =. Iz pogoja dualnosti določimo pevodnost med palicama U U d ln kot πγ l G =. Specifična pevodnost dobimo kot d ln, ma π,3 m G = = = γ = γ 1 V mm ln mm REALNI KONDENZATOR 3 µs 39,3 1 m, od kode sledi γ 59 S/m. Do sedaj smo ločeno obavnavali kondenzato in upo, čepav je v ealnosti tako upo kot kondenzato element, ki ima med dvema pevodnima kontaktoma snov, katee elektične lastnosti so podane z elativno dielektično konstanto in specifično pevodnostjo. Za obavnavo ealnega kondenzatoja moamo vzeti pime časovno speminjajočega se toka, saj v enosmenih azmeah kondenzato v idealnih azmeah ne pevaja toka, v ealnih pa ima določeno uponost in tok pevaja. Realni kondenzato piključimo toej na vi izmenične napetosti u g in določimo tok skozi ealni kondenzato. SLIKA.1: REALNI KONDENZATOR PRIKLJUČEN NA VIR NAPETOSTI U G. Zaokožimo enega od kontaktov in upoabimo zakon o ohanitvi naboja D.K. 18

184 Tokovno polje. dq J da =. (.9) dt A Levi člen je enak azliki izstopnega (v kondenzato) in vstopnega toka (iz via) J da = Gug ig, desni pa poljskemu toku v kondenzatoju, ki je posledica časovne spemembe naboja na povšini kontaktov A dq dt d( Cu g ) =. dt Velja toej dug Gug ig = C. d t Dobimo difeencialno enačbo (lineano, pvega eda), katee ešitev je zveza med napetostjo in tokom na kondenzatoju. Ugotovimo, da lahko tok skozi kondenzato (enak toku i g ) ločimo na dva toka, enega zaadi ohmske uponosti, dugega pa zaadi kapacitivnih lastnosti: dug i( t) = ig = Gug + C. (.3) d t Ta ločitev je seveda lahko samo modelna. Znotaj kondenzatoja je to hkatni in neločljivi pojav. Pi obavnavi kondenzatoja smo že omenili vzpoedno, pa tudi seijsko uponost, ki je pomemben podatek za kakovost kondenzatoja. SLIKA.11: NADOMESTNA SHEMA REALNEGA KONDENZATORJA. Pime nelineanih upoov. (ŠE) D.K. 181

185 Tokovno polje. Vpašanja za obnovo: 1. Povezava med gostoto toka in tokom.»v obe smei.«. Zapis kontinuitetne enačbe z gostoto toka. 3. Lastnosti časovno konstantnega tokovnega polja. 4. Od česa je odvisen tok v snovi? 5. Kakšna je azlika med konduktivnim in konvektivnim tokom? 6. Ohmov zakon v difeencialni obliki. 7. Kako iz Ohmovega zakona v difeencialni obliki pidemo do Ohmovega zakona v integalni obliki U = IR? 8. Razložite pojme mobilnost, specifična elektična pevodnost, specifična elektična uponost. 9. Elektična uponost in pevodnost. 1. Tempeatuna odvisnost specifične uponosti in pevodnosti. 11. Zapis Joulovega zakona v difeencialni in integali obliki. 1. Mejni pogoji za nomalno in tangencialno komponento toka. 13. Določitev povšinske gostote naboja med dvema pevodnikoma iz Gaussovega zakona. 14. Dualnost tokovnega in elektostatičnega polja. D.K. 18

186 Vii napetosti Vii napetosti Vsebina poglavja: elektomotona sila, geneatoska napetost, elektični tokokog, bateije, sončna celica. GENERATORSKA SILA Do sedaj smo se ukvajali le z učinki elektičnega polja, ne pa tudi z načinom, kako sploh ustezno matematično opisati ločevanje naboja in geneianje napetosti. Vzemimo na pime naelekten kondenzato, ki ima ločene pozitivne ion negativne naboje. Sme elektostatičnega polja je od + nabojev poti nabojem, tako v notanjosti, kot v zunanjosti kondenzatoja. SLIKA 1.1: NAELEKTREN KONDENZATOR Z LOČENIMI NABOJI IN ELEKTROSTATIČNIM POLJEM V NOTRANJOSTI IN ZUNANJOSTI. Če bi upoštevali le elektostatično polje (E es ) za kateo velja, da je delo elektičnih sil po zaključeni poti enako nič E dl =, ugotovimo, da to polje ne moe biti geneatosko, da to polje ni L es sposobno ločevanja nabojev, pač pa le zduževanja. Toej moa biti neka duga sila, ki omogoča ločevanje nabojev naspotnega pedznaka. Tej sili ečemo geneatoska ali azdvajalna sila. V angleškem jeziku se pogosto upoablja izaz electomotive foce, poslovenjeno bi ji ekli elektomotona ali elektogeneatoska sila. Označimo jo z F g, pipadajoče elektično polje pa Fg Eg =. Vzemimo, da znotaj kondenzatoja deluje geneatoska sila, ki je sposobna azdvajanja Q nabojev. Hkati, ko deluje geneatoska sila in azdvaja naboje, se vzpostavlja tudi elektostatična sila, ki pa je usmejena v naspotno sme. Na elektodah se ustvaja akumulacija naboja, ki je v avnovesju taka, da je E + E =. g es SLIKA 1.: V KONDENZATORJU (BATERIJI) DELUJE GENERATORSKA SILA, KI RAZDVAJA NABOJE IN JIH»NALAGA«NA ELEKTRODI. D.K. 183

187 Vii napetosti 1. GENERATORSKA NAPETOST Poglejmo, koliko integal E dl, če je E sumana elektična poljska jakost, ki vključuje tako L geneatosko kot elektostatično silo. L 1 naj bo pot znotaj, L pa zunaj kondenzatoja pi čeme naj bo L usmejena v naspotno sme. Za elektostatično polje velja Ees dl = Ees dl = Ees dl = Ees dl. L L1 L L1 L Ke pa elektično polje v kondenzatoju ni le elektostatične naave, velja E dl = E + E dl + E dl = E dl + E dl = U ( g ) es es es g g L L1 L L1 L L1 toej velja tudi E dl = E dl = U es es g L1 L. Ali dugače: Znotaj kondenzatoja je elektostatično polje (v stacionanem stanju) enako veliko a E + E dl =, peostane del naspotno usmejeno geneatoskemu in je toej ( es g ) L E dl = U es g. (1.1) Geneatoska napetost je usmejena od + naboja poti naboju, enako kot elektostatično polje in naspotno smei geneatoskega polja. Povzetek: Integal E dl, ki ne vsebuje le elektostatične elektične poljske jakosti, pač pa tudi sile L dugega izvoa, ni nujno enak nič, pač pa neki napetosti, ki ji ečemo geneatoska napetost E dl = U g. (1.) L V naslednjem semestu (OE) bomo ugotovili, da je ta integal azličen od nič tudi v pimeu časovno speminjajočega se magnetnega polja skozi zanko. L1, TOKOKROG Zaključimo geneato v tokokog s ploščnim kondenzatojem s pesekom A, azmakom med ploščama l in specifično pevodnostjo γ. Ponovno pogledamo, kako lahko azdelamo integal Ees dl =. Integal azdelimo na pot znotaj via in peko kondenzatoja s pevodnim mateialom. Ke je sedaj zaadi toka v tokokogu E + E, bo znotaj geneatoja es g L D.K. 184

188 Vii napetosti 1. J g E dl = U E dl = U dl. Enako velja za integal znotaj pevodnika γ g J es Ees dl = dl. γ es g g g L1 L1 L1 L L R Če pedpostavimo homogeno polje v peseku A tako za geneatoski medij, kot za beme, dobimo: I / A I / A l l E dl = U dl dl = U I I A =. es g g γ 1 g γ L L L R γ g A γ R Pvi člen je geneatoska napetost, dugi člen pedstavlja padec napetosti na notanji uponosti via, tetji pa padec napetosti na bemenskem pevodniku (upou): U g IRg IRR =. (1.3) Ugotovimo, da je ločevanje med geneatosko uponostjo in napetostjo mogoče le modelno, v ealnosti pa sta ta dva elementa vezij integiana v eni stuktui. SLIKA 1.3: TOKOKROG IZ GENERATORSKEGA IN BREMENSKEGA DELA. D.K. 185

189 Vii napetosti 1. * BATERIJE. Tak pincip geneacije naboja si lahko pedstavljamo v bateiji (akumulatoju), kje ločevanje naboja nastopa zaadi elekto-kemijskih eakcij. ZN/CU BATERIJA Vzemimo pime dveh elektod, ene iz cinka (Zn) in duge iz baka (Cu). Če med elektodi vlijemo tekočino, ki ji ečemo elektolit, med elektodama zaadi elektokemijske eakcije nastane t.i. galvanski člen. Če je elektolit žveplena kislina H S 4, le ta v vodi disociia (tvoijo se ioni) na ione H + in S 4 -. H + ioni se nabiajo na bakovi elektodi, kje tvoijo pesežek pozitivnega naboja. Ioni S 4 - se nabiajo na cinkovi elektodi, tam tvoijo cinkov sulfat in pesežek negativnega naboja. Na Cu elektodi se tvoi pesežek pozitivnega naboja. Vzpostavi se napetost, ki jo lahko izkoistimo kot geneatoski vi napetosti. Ob piključitvi bemena (upoa) na bateijo, v piključnih žicah steče tok (elektonov), ki zmanjšuje količino geneianega naboja. Elektokemijska eakcija nadomešča poabo naboja dokle je v elektolitu dovolj ionov ali dokle se cinkova elektoda ne iztoši. * SLIKA 1.4: A) BATERIJA IZ BAKRENE IN CINKOVE ELEKTRODE V ELEKTROLITU IZ RAZREDČENE ŽVEPLENE KISLINE. B) TOK OB KRATKEM STIKU ELEKTROD. Kemijsko bi lahko eakcijo zapisali Zn + CuSO 4 = ZnSO 4 + Cu. Vodikovi ioni imajo pomanjkanje elektona, ki piteče iz tokokoga na bakovo elektodo (piključnih žic) kot elektični tok. Vodikov ion pidobi iz bakene elektode elekton in se izloči iz elektolita. temu pocesu ečemo edukcija. Na cinkovi elektodi se vši oksidacija (izločanje pesežnih postih elektonov) pi čeme nastaja cinkov sulfat, ki se useda na dnu posode. * Piznati je potebno, da se napetost med dvema azličnima kovinama pojavi že bez delovanja elektolita, toej pi neposednem stiku dveh kovin. Ta napetost je posledica azličnih izstopnih del azličnih kovin in je med dugim tempeatuno odvisna. Zato stik dveh azličnih kovinskih mateialov izkoistimo kot senzo tempeatue. Tak spoj pa ne moe delovati kot geneato toka, azen v pimeu, da na tak spoj delujemo z zunanjo silo. Na pime, da spoj segevamo ali ohlajamo. D.K. 186

190 Vii napetosti 1. Faaday je z ekspeimenti ugotovil, da je količina snovi, ki se nabee na elektodah (v našem pimeu bake) soazmena toku, ki steče skozi piklopne žice. Količina elektike, ki je potebna za en ekvivalent kemične akcije (ki usteza kemični eakciji potebni za izločitev 1g vodika iz kisline) je enaka enemu Faadayju, ka usteza naboju ampeskih sekund. Za zgonjo eakcijo v katei sta udeležena ena enota cinka in ena enota baka usteza geneacija naboja F ali C. Poskuse s podobno bateijo je pvi delal Alessando Volta v Italiji, ki se po njem imenuje Voltova celica ali Voltin člen. Kovinske elektode imajo negativen potencial glede na aztopino. Da bi jih lahko pimejali med seboj, jih pimejamo s potencialom t.i. efeenčne elektode, ki je iz platine z dodatki vodika. Tako pimejane elektodne napetosti so za azlične mateiale sledeče: zlato platina sebo oglje bake železo cink aluminij 1,5 V 1, V,8 V,74 V,34 V -,44 V -,76 V -1,67 V Če toej sestavimo t.i. galvanski člen iz elektode iz baka in cinka, bo med njima napetost,34 V (,76 V) = 1, V. SVINČEVA BATERIJA AKUMULATOR Duga znana bateija je svinčeva bateija, v katei imamo dve elektodi, ena iz svinca, duga pa iz svinčevega dioksida. Kot elektolit nastopa azedčena žveplena kislina. Elektoda iz svinčevega dioksida ima za doba V višjo napetost od svinčeve. Z vezavo šestih takih celic zagotovimo bateijo z 1-14 V izhodno napetostjo (avtomobilski akumulato). Rekacija, ki poteka je sledeča: na negativni elektodi: Pb + SO 4 - = PbSO 4 + e na pozitivni elektodi: PbO + Pb + H SO 4 + e = PbSO 4 + H O Na obeh elektodah nastaja svinčev sulfat, ka pomeni, da je ob popolni azelektitvi napetost med elektodama enaka nič. Kot vemo, je mogoče te tipe bateij ponovno naelektiti, pi čeme s tokom ustvaimo geneacijo svinca na eni in svinčevega dioksida na dugi elektodi. Poces je toej evezibilen. PbSO 4 + H O = PbO + H SO 4 + Pb D.K. 187

191 Vii napetosti 1. SLIKA 1.5: BATERIJA IZ SVINČEVE ELEKTRODE IN IZ ELEKTRODE IZ SVINČEVEGA DIOKSIDA. Zanimivo je to, da se med azelektitvijo manjša, med naelektitvijo pa veča koncentacija kisline, medtem ko ostane napetost celice več ali manj konstanta. V tem smislu nam mejenje napetosti na akumulatoju ne pedstavlja posebno natančnega meila»polnosti«. SLIKA 1.6: KARAKTERISTIKA NAELEKTRITVE IN RAZELEKTRITVE BATERIJE (NAPETOST ČAS). VIR: T.R. CROMPTON: BATTERY REFERENCE BOOK, NEWNES,. Svinčene bateije so vejetno še vedno najbolj azšijene. Pedvsem se upoabljajo v avtomobilski industiji. Njihova pednost ped ostalimi je nizka cena, visoka napetost na celico in»doba«življenska doba (mnogokatno polnenje). Slabosti pa velika teža, slabe nizko-tempeatune lastnosti in ne sme biti v stanju azelektitve za daljše obdobje. V podaji so tudi t.i. zapti tip akumulatojev (suhi), kateih pednost je, da jim ni potebno dolivati elektolita / destiliane vode. Pi standadnih svinčenih bateijah nameč lahko posebno pi koncu elektitve ali pi pekomeni naelektitvi pide do elektolize žveplene kisline pi čeme se keiata kisik in vodik, ka v končni konsekvenci lahko škodno vpliva na kaakteistiko bateije. Novi tipi bateij omogočajo, da geneian kisik in vodik tvoita vodo. Pi azelektitvi ima svinčeva»celica«določeno notanjo uponost; standadni tip D ima pi napetosti celice V notanjo uponost 1 mω. NIKELJ KADMIJEVE BATERIJE (NI-CD) so mehansko tdne in imajo dolgo življensko dobo. Imajo tudi dobo nizkotempeatuno kaakteistiko in so hemetično zapte. Imajo pa višjo ceno kot svinčene ali nikel-cinkove bateije. V gobem jih po izdelavi delimo na dva tipa: celice z debelimi ploščami v kateih je aktiven mateial D.K. 188

192 Vii napetosti 1. stisnjen v pefoian metalni tak v obliki žepkov ali tubusov, in na celice s sintanimi ploščami v kateih je aktivni mateial deponian v poozne eže metala. Posebno slednje imajo majhno notanjo uponost in sposobnost velike obemenitve. Upoabljajo se na pime v biomedicfinskih napavah, igačkah, itd. Vsebujejo toksične substance. NIKELJ METAL HIDRIDNE BATERIJE Omogočajo večjo gostoto enegije (enegija na kilogam teže) venda manjše število ponovnih polnenj kot nikel-kadmijeve bateije. Upoaba: mobilne napave. LITIJ IONSKE BATERIJE So tenutno najpogosteje upoabne bateije v penosnikih, mobilnih in dugih apaatih, kje je potebna velika gostota in obnovljivost enegije. Litij je najlažji kovinski element, ima zelo velik elektokemijski potencial in toej omogoča zelo velike gostote enegije. Veliko azvoja je bilo potebnega, da so se odpavile težave tempeatune nestabilnosti litijeve elektode pi ponovnih polnjenjih, ko je pihajalo do eksplozij bateij. Da bi se izognili težavam, so litij nadomestili z litij-ionsko elektodo, ki ima sice nekoliko manjšo gostoto enegije, je bolj vana. Pve tovstne bateije so začeli poizvajati in tžiti pi Sony-ju leta Obstaja več azličnih tipov litijionskih bateij, ki se pedvsem azlikujejo mateialu iz kateega sta anoda in katoda. Anoda je najpogosteje iz gafita, katoda pa iz kobalta ali magnezija. Elektolit je iz litijeve soli (LiPF 6, LiBF 4, o LiClO 4 ). Napetost ene celice je višja kot pi dugih celicah, običajno med 4,1 V in 4, V. Pecej pomembno je, da se te napetosti ne peseže. Hitost polnenja je pibližno 3h za 1 C naboja. SLIKA 1.7: POLNILNI TOK IN NAPETOST ZA LITIJ-IONSKO BATERIJO. VIR: LAB.COM/ARTICLES/LI_ION_RECONSTRUCT/ Običajno litij-ionske bateije potebujejo določeno zaščitno vezje, ki bateijo izklopi, če je napetost celice večja od 4,3 V ali če tempeatua celice peseže 9 o C. Tipična življenjska doba Li-ionskih bateij je 3 do 5 polnjenj/paznjenj. Neugodno je, da ob koncu življenjske dobe običajno bateija še vedno kaže visoko D.K. 189

193 Vii napetosti 1. napetost, bistveno pa se zmanjša njena kapacitivnost. Poveča se tudi notanja uponost bateije Namesto»klasičnega«elektolita iz litijevih soli, se v zadnjem času upoabljaa tudi bolj kompaktne snovi polimee. Te tipe bateij imenujemo litij-ionske polimeske bateije. Pednost teh bateij je cenejša izdelava, manjši volumen in manjša teža, saj jih lahko oblikujemo v obliki folij (slika desno), pa tudi večja gostota enegije (13- W/kg in 3 Wh/L). SLIKA 1.8: PRIMERJAVA BATERIJ PO GOSTOTI ENERGIJE, NOTRANJI UPORNOSTI, ČASU POLNENJA, ITD. VIR: D.K. 19

194 Vii napetosti 1. SLIKA 1.9: PRIMERJAVA PREDNOSTI LITIJEVIH BATERIJ PRED OSTALIMI GLEDE NA GOSTOTO ENERGIJE. VIR: T.R. CROMPTON: BATTERY REFERENCE BOOK, NEWNES,. SLIKA 1.1: NAPETOSTNE KARAKTERISTIKE V(T) RAZČNIH TIPOV BATERIJ. VIR: T.R. CROMPTON: BATTERY REFERENCE BOOK, NEWNES,. D.K. 191

195 Vii napetosti 1. Galvani in Volta. Zanimiva je zgodba nastanka Voltinovega izuma, ki je povezana s poskusi Luigija Galvanjija, Voltinega sonaodnjaka, ki je pesenečeno ugotavljal, da mtvi žabji kaki eagiajo na dotik s kovino, ka je azlagal z živalsko elektiko (slika desno). Volta je tej teoiji naspotoval in dokazal, da je to posledica zunanje geneiane napetosti, ka je tudi dokazal z upoabo elektike shanjene v Leidenski flaši ali pa z bimetalom, toej s stikom dveh azličnih kovinskih mateialov. Dandanes vemo, da smo tudi ljudje sestavljeni iz celic, ki za svoje delovanje upoabljajo elektokemijske pincipe in da je penašanje signalov živčnih celic elektične naave. Toej je imel delno Galvani pav, obstaja živalska elektika, le da je bila njegova intepetacija napačna. V njegovem pimeu je bil ezultat tzljaja elektični sunek, ki je bil zunanje (ekstinsično) in ne notanje keian. Voltini ekspeimenti in dognanja so mu pinesli pomembna piznanja (nagada Royal Society leta 1791, Copleyeva nagada leta 1974) in veliko slavo. Raziskave je nadaljeval v smei povečanja napetosti, ki je bila zelo šibka (manj kot 1 V) in jo je bilo težko zaznati s tedaj najpopolnejšimi elektometi. Uspelo mu je z zapoedno povezavo šalčk z elektolitom in bimetalnimi elektodami. Povezal je diske iz cinka in seba te vmes dodal šibko kislino ali slano vodo in dobil Voltino kaskado, pi katei se je napetost na skajnih koncih povečevala v soazmeju s številom upoabljenih členov. Zgodovinsko je moda zanimivo, da je njegovo delo močno podpl Napolenon, ki mu je podelil naziv vitez (Conte) in dal penzijo. Hkati je Napoleon, ki se je zavedal pomena novih odkitij azpisal nagado 6 fankov za vsakoga, ki bi dosegel podobne dosežke kot Fanklin in Volta. Leta 1881 na pvem intenacionalnem elektičnem (elektotehničnem) kongesu v Paizu, so v čast Volti po njemu poimenovali enoto za napetost. Obstaja mnogo načinov geneianja elektične napetosti. Poleg bateij je najbolj pomemben pincip upoabe geneacija izmenične napetosti z elektodinamskim načinom, ki pa ga bomo bolj natančno spoznali pi pedmetu OE. D.K. 19

196 Vii napetosti 1. * SONČNA CELICA Osnovni pincip delovanja sončne celice je geneacija paov elekton - vzel pod vplivom visoko enegijskih sončnih žakov. Vzel pedstavlja pomanjkanje elektonov v dopianem polpevodniškem mateialu ozioma nezaključene vezi med atomi polpevodnika in dopanta. Vzel se obnaša ekvivalentno pozitivnemu naboju in lahko potuje po polpevodniku, če nanj deluje elektična sila. Njeno potovanje pa je počasnejše, kot potovanje postih elektonov (ečemo, da je mobilnost vzeli manjša od mobilnosti vzeli). Poleg tega je v polpevodnikih potebno upoštevati tok, ki je posledica kajevne azlike v koncentacijah nabojev, tako elektonov kot vzeli. Ravno ta tok povzoči, da pi stiku dveh polpevodnikov azličnega tipa pide do peazpoeditve naboja in s tem do vgajenega elektičnega polja. SLIKA 1.11: SONČNA CELICA SESTAVLJENA IZ POLPREVODNIŠKEGA PN SPOJA. NA POVRŠINI JE ANTIREFLEKSNI SLOJ, KI POVEČUJE ABSORPCIJO SVETLOBNE ENERGIJE. VIR: INTERNET. Čisti, nedopian, polpevodniški mateial (ecimo Si ali Ge) je izolato. Njegova specifična pevodnost je zelo majhna. Če pa ga dopiamo z določenimi atomi, ecimo fosfoja ali boa, se ti atomi vgadijo v kistalno stuktuo silicija. Dopianje se vši na zelo visoki tempeatui (čez 1 o C). Z dopianjem vnesemo v kistalno stuktuo silicija atome (pimesi), ki s sosednjimi atomi silicija tvoijo nezaključene vezi, ka v končni obliki pomeni, da je v pimeu vgajenega atoma fosfoja na mestu fosfoja višek elektona, ki je zelo šibko vezan na atom in je paktično posto gibljiv. Na ta način lahko s kontolo množine (koncentacije) dopianih atomov uavnavamo pevodnost polpevodniškega mateiala. Tak tip polpevodnika imenujemo n (negative) tip. Kljub določeni koncentaciji postih (šibko vezanih) elektonov v snovi, pa je ta mateial še vedno elektično nevtalen. Če podobno dopiamo silicij z atomi boa, tvoi atom boa z okoliškimi vezmi silicija nezaključeno vez, ka pedstavlja pomanjkanje elektona ozioma vzel. Tak tip polpevodnika imenujemo p (positive) tip. Tudi tak tip polpevodnika je pevoden, le da je mobilnost vzeli manjša kot mobilnost elektonov. Zanimiv pa je stik dveh polpevodnikov azličnega tipa. Ob stiku se tvoi t.i. pn spoj. Tu pide zaadi izenačenja potenciala na meji do peazpoeditve nabojev, ka pomeni, da postane del pevodnika na meji bez nosilcev naboja in s tem ne več nevtalen. Ostane vezan naboj, ki ustvai vgajeno elektično polje. To polje kaže od n-tipa poti p-tipu polpevodnika. To vgajeno polje se veča z večanjem t.i. zapone napetosti, toej tedaj, ko je na zunanji sponki n-tipa bolj pozitiven potencial kot na zunanji sponki p-tipu polpevodnika. V tem pimeu skozi pevodnik teče le majhen, zaponi tok. V naspotnem pimeu pa zunanja napetost povzoči zmanjšanje vgajenega polja in poveča pevodno pogo. Ko D.K. 193

197 Vii napetosti 1. zunanji vi vgajeno polje (pi pn diodi iz Si pi cca.,7 V) izniči postane pn spoj pevoden in tok hito (eksponentno) naaste. pn dioda je tipičen nelineaen element. Kot smo že omenili je za delovanje sončne celice pomembna geneacija paov elekton-vzel. Če ta geneacija nastopi v osiomašenem podočju (kje je vgajeno polje), to polje potegne elektone v naspotni smei polja, vzeli (pozitivni naboj) pa v smei polja. Ti naboji pedstavljajo zmanjšanje vgajenega polja venda obenem pesežek negativnih nabojev v n-tipu in pesežek vzeli v p-tipu polpevodnika. Povzočijo neavnotežje, ki ga lahko zmanjšamo, če tako diodo katko sklenemo ali pa, če nanjo piključimo določeno beme. Skozi beme steče tok, ki povzoči ponovno vzpostavitev avnotežja. Če je fotogeneacija konstantna, je konstanten tudi tok, ki teče skozi piključeno beme. Dobili smo geneato toka. Več toka bomo seveda dobili če bo večja geneacija paov elekton-vzel, ka lahko omogočimo tako z izboljšanjem mateialov kot z večjo povšino celice, ki je izpostavljena soncu. Osnovni pincip je ta, da je potebno povečati osiomašeno podočje, kje je vgajeno polje in omogočiti, da v to podočje»zaide«čim več fotonov sončne svetlobe. Ena od idej je, da se med p in n tipom polpevodnika obdži nedopian (intinsični) tip silicija, v kateem je osiomašeno podočje zelo veliko. Težava, ki jo je potebno upoštevati je ta, da se sončna svetloba v polpevodnikih tipa Si ali Ge zelo hito absobia, toej že v povšinskem sloju. Ka pomeni, da je potebno osiomašeno podočje zagotoviti zelo blizu povšine. Itd... Običajno je tako, da je najvažnejše azmeje med ceno celice in sposobnostjo geneacije elektičnega toka in ne med izkoistkom celice. Ceneje kot iz čistega silicija je izdelovanje sončnih celic iz amofnega silicija ali polisilicija. V Sloveniji izdeluje panele s sončnimi celicami podjetje Biosol. D.K. 194

198 Indeks INDEKS bateija, elektolitska, 158 bateije, 186 Coulombov zakon, 19 daljnovodna vv, 11, 114 delo, 57, 58, 144 dielektik, 16 dipol, 18 dualnost, 179 ekvipotencialna ploskev, 87, 1 ekvipotencialne ploskve, 68 elektična poljska jakost, 3, 87 elektična susceptibilnost, 13 elektični dipol, 94 elektični dipolni moment, 94 enegija, 144 enegija delca, 91 enegija, kondenzato, 147 enegija, poazdeljen naboj, 15 Faaday, 47, 118 faadayeva kletka, 83 Faadayeva kletka, 84 Gaussov zakon, 47, 5, 131 gostota dipolskih momentov, 19 gostota elektičnega petoka, 131 gostota enegije, 15 gostota moči, 176 gostota polaizianega naboja, 19 gostota toka, 165 gostotnice, 49 Joseph John Thomson, 9 Joulov zakon, 176 kapacitivnost, 118 kapacitivnost, dva valja, 11 kapacitivnost, koaksialni kabel, 1 kapacitivnost, mejenje, 119 kapacitivnost, ploščni kondenzato, 1 kapacitivnost, ačunanje, 119 kapacitivnost, sfeični kondenzato, 1 kapacitivnost, valj-zemlja, 1 kapacitivnost, vv - zemlja, 113 katezični koodinatni sistem, 8 Kichoffov zakon, dugi, 69 koaksialni kabel, 74 kondenzato, 118, 155 kondenzato, lastnosti, 159 kondenzato, ploščni, 71 kondenzato, ealni, 18 kondenzato, sfeični, 77 kondenzato, tipi, 159 kondenzato, valjni, 74 kondenzatoska vezja, 1, 14 kontinuitetna enačba, 15, 165, 167 koodinatni sistemi, 8 kogelni koodinatni sistem, 3 Leidenska steklenica, 156 linijska gostota naboja, 7 mejni pogoji, 138, 177 meske enote, 1 mobilnost, 17 modifician Gaussov zakon, 13 naboj (elektina), 1 naelektena kogla, 53 naelektena avnina, 56 nalektena valja, 55 napetost, 69, 144 napetost, vii, 183 navo na elektični dipol, 99 Ohmov zakon, 17 okovinjenje, 1 polaizacija, 95 polaizian naboj, 19 polje enakomeno naelektene pemice, 38 polje naelektene avnine, 4 polje pemega naboja, 37 polje v osi diska, 4 polje v osi oboča, 41 potencial, 64, 144 potencial dipola, 97 potencial sistema točkastih nabojev, 66 potencial točkastega naboja, 65 potencialna enegija, 57, 61, 144, 145 potencialna enegija sistema nabojev, 6 povšinska gostota naboja, 6 petočne cevke, 49 petok elektičnega polja, 47 elativna dielektična konstanta, 13 elativna dielektičnost, 17 silnice, 47 specifična elektična pevodnost, 171 specifična uponost, 17, 174 supepozicija, 1, 4 tok, 169 tok, konduktivni, 17 tok, konventivni, 169 tokovno polje, 165 uponost, 17 D.K. 195

199 Indeks valjni koodinatni sistem, 9 vekto polaizacije, 19, 13 vezani naboj, 18 volumska gostota naboja, 6 zakon o ohanitvi naboja, 1 zakon o potencialnosti polja, 6 zcaljenje, 19 D.K. 196

200 Nameno pazna stan

201