Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g () (Μονάδες 8) β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: cf(), f()g(), f()/g() µε g() 0 όπου c πραγµατική σταθερά. (Μονάδες 4,5) Β.α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Συνάρτηση Στήλη Β Πρώτη παράγωγος α. +. - ηµ β. + συν. - 8 γ. ηµ. + δ. - 4 4. ηµ - συν 5. 6. - 4 7. ηµ + συν (Μονάδες 8) β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: e f(), 0, είναι: A : e e e B :, e + e Γ :,, Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
e e : e e Ε : Ζήτηµα ο, (Μονάδες 4,5) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιµών της µεταβλητής Χ σωστά συµπληρωµένο. Τιµές Συχνότητα µεταβλητής f συχνότητα f (%) Αθροιστική συχνότητα N 0 0 0 5 4 9 ΣΥΝΟΛΟ 50 00 - - (Μονάδες 6) Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. (Μονάδες 4) Γ. Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι: s 0,49. ίνεται ότι: s k k (Μονάδες 5) Ζήτηµα ο Από 0 µαθητές ενός λυκείου, 4 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 0 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής: Α: «Να συµµετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 8) Β: «Να συµµετέχει µόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 8) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
Γ: «Να µη συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 9) Ζήτηµα 4ο Στα σχολεία ενός δήµου υπηρετούν 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας [ - ) συχνότητα f (%) 0-5 0 5-0 5 0-5 5-0 5 0-5 8 5-0 8 0-5 Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας; (Μονάδες 5) Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συµπληρώσει 5 χρόνια: α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα,5 χρόνια; Να διακαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) β) Πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του δήµου να παραµένει ο ίδιος.; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. α) Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, θα ισχύει ότι: f( + ) - f() f ( lm 0 και g( + ) - g() g ( lm 0 Τότε: F ( + ) F () f( + ) + g( + ) f() g() f( + ) f() + g( + ) g() και F( + lm 0 ) - F() f( + lm 0 ) - f() + g( + ) - g() f( + lm 0 ) - f() g( + + lm 0 ) - g() f () + g () β) [cf()] cf (), c R. [f()g()] f ()g() + f()g (). f() g() f ()g( - f()g () µε g() 0 g () Β. α) ( + ) ( ) + + 0 ( + συν) ηµ. (ηµ) () ηµ + (ηµ) ηµ + συν. ( 4 ) 8. Εποµένως θα έχουµε: α 5 β γ 7 δ. β) Για 0 έχουµε: (e ) - e () f () Εποµένως σωστό είναι το. e - e Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
Ζήτηµα ο Α. Από τον πίνακα έχουµε ότι: 0, N 5, 0,, 4, 9 και 0 Όµως: Ν + 5 0 + 5. Επειδή είναι: 50 + + 50 0 + 5 + 50 5. Εποµένως: 0 5 5 f 0,, f 0,5 και f 0, 50 50 50 Ακόµα: N 0 και Ν 50. Επιπλέον: 5 50, 5 45 και 0 + 50 + 45 05. Τέλος, έχουµε: 5 00, 5 5 και Εποµένως ο πίνακας γίνεται: 0 + 00 + 5 45. Τιµές µεταβλητής Συχνότητα f συχνότητα f (%) Αθροιστική συχνότητα N 0 0, 0 0 0 0 5 0,5 50 5 50 4 00 5 0, 0 50 45 9 5 ΣΥΝΟΛΟ 50 00-05 - 45 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
Β. Έχουµε ότι: 05, 50 και ότι η εικοστή και η εικοστή πρώτη παρατήρηση είναι. Άρα: δ 0 + + Γ. s k k 50 05 45 50 Ζήτηµα ο /50(45-(.05/50)) /50(45-0,5) 4,5/50 0,49. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι οι 0 µαθητές του λυκείου, οπότε Ν(Ω) 0. Έστω τα ενδεχόµενα: Α: «Ο µαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας» και Β: «Ο µαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών». Τότε: Α Β: «Ο µαθητής συµµετέχει και στους δύο διαγωνισµούς». Τότε: Ρ(Α) 4/0 0, και Ρ(Α ) Ρ(Α) 0, Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β) 0/0 /6 και Ρ(Β ) Ρ(Β) (/6) Ρ(Β ) 5/6 και Ρ(Α Β) /0 0,. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς είναι Α Β, οπότε: Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (4/0) + (0/0) (/0) /0 Ρ(Α) 4/5. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ έναν µόνο από τους δύο διαγωνισµούς είναι: (Α Β ) (Α Β) άρα: Ρ[(Α Β ) (Α Β)] Ρ(Α Β ) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (4/0) + (0/0) (/0) 0/0 Ρ(Β) /6. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
Τέλος, το ενδεχόµενο να µην συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς είναι (Α Β), άρα Ρ[(Α Β) ] Ρ(Α Β) (4/5) /5. Ζήτηµα 4ο Α. Από τον πίνακα φαίνεται ότι τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας έχουν 5 + 8 + 8 + 6 άτοµα. Β. α) Το συγκεκριµένο ερώτηµα, µε τον τρόπο που διατυπώνεται, επιδέχεται περισσότερες από µία απαντήσεις. Α λύση: Αν ακολουθήσουµε το σκεπτικό του σχολικού βιβλίου και υποθέσουµε (αν και δε µας δίνεται) ότι η κατανοµή είναι οµοιόµορφη, τότε στα επόµενα,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από,5 χρόνια υπηρεσίας, Τα,5 χρόνια υπηρεσίας είναι το µέσο της κλάσης [0, 5), άρα θα έχουµε σχετική συχνότητα το µισό του 8, δηλαδή 9 (λόγω της οµοιόµορφης κατανοµής), εποµένως 9 + 8 + 9 εκπαιδευτικοί. Β λύση: Αφού η κατανοµή δε µας δίνεται ότι είναι οµοιόµορφη, δεν µπορούµε να δώσουµε ακριβή αριθµό, αλλά διάστηµα για τα έτη υπηρεσίας. Τα επόµενα,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από,5 χρόνια υπηρεσίας. Τα,5 χρόνια υπηρεσίας βρίσκονται µέσα στην κλάση [0, 5), άρα µπορούµε να πούµε ότι θα συνταξιοδοτηθούν το λιγότερο 8 + 0 εκπαιδευτικοί και το περισσότερο 8 + + 8 48 εκπαιδευτικοί. Γ λύση: Με τη βοήθεια του πολυγώνου των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων θα έχουµε ότι η τεταγµένη (α) του σηµείου (,5, α) του πολυγώνου είναι το πλήθος των εκπαιδευτικών µε υπηρεσία µέχρι,5 χρόνια, άρα 00 α είναι το πλήθος των ζητούµενων εκπαιδευτικών. Χρόνια υπηρεσίας [ - ) συχνότητα f (%) αθροιστική συχνότητα F (%) 0-5 0 0 5-0 5 5 0-5 7 5-0 5 5 0-5 8 70 5-0 8 88 0-5 00 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7
Έχουµε ότι Α (0, 5) και Β(5, 70). Έστω y α + β η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Τότε: 5 0α + β 70 5α + β 5 0α + β 8 5α 5 0α + β α,6 β -0 α,6 Εποµένως η εξίσωση της ΑΒ είναι: y,6 0 Όπου για,5 έχουµε: α,6,5 0 α 6 Συνεπώς θα πάρουν σύνταξη: 00 6 9 εκπαιδευτικοί. β) Μέσα στα επόµενα πέντε χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν οι εκπαιδευτικοί που έχουν 0 5 χρόνια προϋπηρεσίας, δηλαδή θα πρέπει να γίνουν νέες προσλήψεις. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8