Univerza v Mariboru Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede Zbirka nalog iz matematike TADEJA KRANER ŠUMENJAK IN VILMA ŠUŠTAR Maribor, 2010
ii
Predgovor Nekaj let že vodim vaje iz matematike in statistike na različnih študijskih smereh študija na Fakulteti za kmetijstvo in biosistemske vede Univerze v Mariboru. Študenti programa biosistemsko inžinerstvo in študenti programa kmetijstvo-univerzitetni program imajo v 1.letniku predmet matematika. Študentje visokošolskih strokovnih študijskih programov pa predmet matematika in statistika. Zbirka nalog je dopolnitev učbenika Matematika in je namenjena študentom za utrjevanje znanja in pripravo na izpit iz matematike. Zbirka pokriva učni načrt pri predmetu matematika in delno pokriva učni načrt pri predmetu matematika in statistika. Nekatere vsebine se ne predavajo na visokošolskih strokovnih študijskih programih. Nekatere naloge v zbirki so povzete po drugi literaturi, večina nalog pa je iz arhiva starih kolokvijev in izpitov. V Mariboru, september 2010 Tadeja Kraner Šumenjak iii
iv PREDGOVOR
Kazalo Predgovor iii I Osnove linearne algebre 1 1 Determinante 3 1.1 Formule.................................. 3 1.2 Naloge................................... 3 1.3 Rešitve................................... 5 2 Matrike 7 2.1 Formule.................................. 7 2.2 Naloge................................... 8 2.3 Rešitve................................... 10 3 Sistemi linearnih enačb 13 3.1 Formule.................................. 13 3.2 Naloge................................... 14 3.3 Rešitve................................... 16 4 Linearno programiranje 19 4.1 Naloge.................................. 19 4.2 Rešive................................... 21 5 Vektorji 23 5.1 Formule.................................. 23 5.2 Naloge................................... 24 5.3 Rešive................................... 27 v
vi KAZALO II Osnove matematične analize 31 6 Procentni račun 33 6.1 Formule.................................. 33 6.2 Naloge................................... 33 6.3 Rešitve................................... 34 7 Raztopine 37 7.1 Formule.................................. 37 7.2 Naloge................................... 38 7.3 Rešitve................................... 39 8 Zaporedja 41 8.1 Formule.................................. 41 8.2 Naloge................................... 42 8.3 Rešitve................................... 44 9 Vrste 47 9.1 Formule.................................. 47 9.2 Naloge................................... 47 9.3 Rešitve................................... 49 10 Funkcije in njihove lastnosti 51 10.1 Formule.................................. 51 10.2 Naloge................................... 54 10.3 Rešitve................................... 57 11 Odvod 63 11.1 Formule.................................. 63 11.2 Naloge................................... 64 11.3 Rešitve................................... 66 12 Integral 73 12.1 Formule.................................. 73 12.2 Naloge................................... 74 12.3 Rešitve................................... 76
Del I Osnove linearne algebre 1
Poglavje 1 Determinante 1.1 Formule 1. Determinanta drugega reda: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. 2. Determinanta tretjega reda: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. 3. Razvoj determinante po i-ti vrstici: D = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n....... a n1 a n2 a n3... a nn = a i1 A i1 + a i2 A i2 +... + a in A in. 1.2 Naloge 1. Izračunajte vrednost naslednjih determinant: a) 2 3 1 8, 3
4 POGLAVJE 1. DETERMINANTE b) sinδ cosδ cosδ sinδ, c) a + b a b a b a + b, 1 1 1 d) 1 2 3 1 3 6, 2 3 7 e) 5 4 1 6 8 9, 1 + cos α 1 + sin α 1 f) 1 sin α 1 + cos α 1 1 1 1, 1 1 1 g) 1 1 1 1 1 1, 1 0 0 h) 0 1 0 0 0 1, 2 2x 2 i) 2x 2 2x 2 2x 2. 2. Pokažite enakost determinant a 1 x b 1 y 1 a 2 x b 2 y 1 a 3 x b 3 y 1 = a 1 b 1 1 a 2 b 2 1 a 3 b 3 1. 3. Rešite enačbe: 1 x x 2 a) 1 x 2 x 4 1 x 3 x 6 = 0, x 3 27 x 2 9 x 3 b) x 2 x 1 x 3 x 2 x x 2 3 c) 3x 1 1 0 x 1 = 0, = 0,
1.3. REŠITVE 5 d) e) x 2 3 1 x 1 1 0 1 3 x 2 4 9 x 2 3 1 1 1 = 0, = 0. 4. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči a) A(1, 3), B(2, 4), C(3, 5), b) A( 5, 1), B(6, 2), C( 1, 3). 3 5 2 4 5. Izračunajte determinanto 3 4 5 3 5 7 7 5 8 8 5 6 x 1 0 0 6. Rešite enačbo 3 x 2 0 0 2 x 3 = 0. 0 0 1 x. 1.3 Rešitve 1. a) 19, b) 1, c) 4ab, d) 1, e) 51, f) 1, g) 0, h) 1, i) 0. 2. Sta enaki. 3. a) x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, b) enačba je rešljiva za vsak x iz R,
6 POGLAVJE 1. DETERMINANTE c) x 1 = 0, x 2 = 1 2, d) x 1 = 0, x 2 = 2, e) x 1 = 2, x 2 = 3. 4. a) S = 0, Namig: S = ± 1 2 5. 17. b) S = 24. 6. x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = 1. x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1.
Poglavje 2 Matrike 2.1 Formule 1. Matrika A: A = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n........ a n1 a n2 a n3... a nn 2. Enakost matrik Matriki sta enaki, če sta iste dimenzije in imate enake istoležne elemente. 3. Vsota matrik Seštevamo lahko le matrike istih dimenzij. seštejemo istoležne elemente. Dve matriki seštejemo tako, da 4. Množenje matrike s skalarjem Matriko A = [a ij ] pomnožimo s skalarjem λ R tako, da z njim pomnožimo vse elemente v matriki. 5. Produkt matrik Dve matriki lahko pomnožimo natanko takrat, ko je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Naj bo torej A = [a ij ] matrika dimenzije m p in B = [b ij ] matrika dimenzije p n. Potem je produkt C = A B matrika dimenzije m n s splošnim elementom: c ij = p a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2ij +... + a ip b pj. k=1 7
8 POGLAVJE 2. MATRIKE 6. Transponirana matrika: A T = a 11 a 21 a 31... a n1 a 12 a 22 a 32... a n2....... a 1n a 2n a 3n... a nn. 7. Enotska matrika: Za vsako kvadratno matriko A velja: 1 0 0... 0 0 1 0... 0 I = 0 0 1... 0........ 0 0 0... 1 AI = IA = A. 8. Adjungirana matrika: Ã = A 11 A 21 A 31... A n1 A 12 A 22 A 32... A n2....... A 1n A 2n A 3n... A nn. 9. Inverzna matrika: A 1 = 1 Ã, det(a) 0. det(a) 2.2 Naloge 3 0 1 1. Dani sta matriki A = 1 1 1 2 1 0 A B, 1 (A + B), 2A + 3B I. 2 in B = 1 0 1 1 1 1 4 3 2. Izračunajte 2. Izračunajte produkta AB in BA za matriki iz prejšnje naloge. 3. Rešite enačbo 3(A + I) 2X = B 2 za matriki A in B iz naloge (1). X je neznana matrika. 5 8 4 3 2 5 11 22 29 4. Pokažite, da velja: 6 9 5 4 1 3 = 9 27 32. 4 7 3 9 6 5 13 17 26
2.2. NALOGE 9 5. Pokažite, da za matriki A = [ 1 1 2 1 ] in B = (A + B) 2 = A 2 + B 2. 6. Izračunajte AB in BA, kadar je možno: [ ] 1 1 1 1 2 3 a) A = in B = 1 2 4, 4 5 6 1 3 9 [ ] 1 2 2 1 1 b) A = in B = 1 2, 0 3 5 1 3 c) A = [ 5 1 3 ] 1 in B = 2, 9 3 1 2 0 d) A = 1 0 2 3 in B = 1 1 2 12 7. Za matriki A = AB. 5 8 4 6 9 5 4 7 3 in B = 1 1 2 3 3 4 1 0 [ 1 1 4 1. 1 2 3 4 5 6 3 2 0 8. Danim matrikam poiščite inverzne matrike (če obstajajo): [ ] [ ] 2 2 3 1 3 2 1 A =, B =, C = 1 1 0, D = 5 2 5 2 1 2 1 9. Rešite matrične enačbe: [ ] [ ] 1 2 3 5 a) X =, 3 4 5 9 4 3 1 b) Y 1 3 2 = 5 2 1 2 3 1 9 7 6 c) 4 5 2 Z 1 1 2 5 7 3 1 1 1 8 3 0 5 9 0 2 15 0 =, 2 0 2 18 12 9 23 15 11. ] velja izračunajte A 2 in 3 2 1 0 0 1 1 2 4.
10 POGLAVJE 2. MATRIKE 10. Rešite matrično enačbo (A 2I)X = A + I, če je A = 2.3 Rešitve 1. A B = 2A + 3B I = 2. AB = 4 0 0 2 0 2 2 4 2 1 3 5 2 4 2 1 1 3 2 0 5 1 4 1 16 7 5 7 3 1 2 2 3. X = 7 7 4. 2 2 5 6 1 2 4. Enakost velja. 5. Velja. 6. a) AB = [ 6 14 36 15 32 78, 1(A + B) = 2., BA = ], 1 1 1 4 2 0 19 1 7 produkta BA ni mogoče izračunati, [ ] 2 7 9 2 1 b) AB =, BA = 2 5 11 8 9 2 10 14 c) AB = [24], 5 1 3 BA = 10 2 6, 45 9 27 7 8 d) AB = 10 9, 3 12 produkta BA ni mogoče izračunati. 1 0 1 0 1 0 3 1 1.,, 0 1 2 2 3 4 1 0 1.
2.3. REŠITVE 11 7. A 2 = 57 84 48 64 94 54 50 74 42 [ 2 3 8. A 1 = 1 17 5 1 1 3 1 4 4 4 1 13 3 8 8 8. 0 1 0 9. [ ] 1 1 a) X =, 2 3 1 2 3 b) Y = 4 5 6, 7 8 9 c) Z = 10. X = 1 4 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 1 2 3 1 6 1 1 2, AB = ] [ 2 1, B 1 = 5 2.. 39 38 33 45 43 36 33 33 30 ], C 1 =. 1 4 3 1 5 3 1 6 4, D 1 =
12 POGLAVJE 2. MATRIKE
Poglavje 3 Sistemi linearnih enačb 3.1 Formule 1. Sistem m enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b m. 2. Matrika sistema A = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n........ a m1 a m2 a m3... a mn 3. Razširjena matrika sistema a 11 a 12 a 13... a 1n b 1 a 21 a 22 a 23... a 2n b 2 [A B] =........ a m1 a m2 a m3... a mn b n. 4. Cramerjevo pravilo (D 0), x i = deta i deta, kjer je A i matrika, v kateri i-ti stolpec zamenjamo s stolpcem B. 5. Gaussova eliminacijska metoda Z elementarnimi transformacijami (zamenjava dveh vrstic, množenje vrstice s poljubnim faktorjem, prištevanje ene 13
14 POGLAVJE 3. SISTEMI LINEARNIH ENAČB vrstice k drugi) preoblikujemo sistem enačb v ekvivalenten sistem oblike a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 22x 2 + a 23x 3 +... + a 2nx n = b 2..... a mnx n = b m 6. Homogeni sistem ima desno stran v celoti enako 0. 7. Rešljivost sistema glede na rang matrike. NEHOMOGENI SISTEMI HOMOGENI SISTEMI rang( A) = rang( A b) sistem je rešljiv rang( A) < rang( A b) sistem je protisloven vedno rešljiv ra n g ( A ) = n določen sistem (ena sama re šitev) rang( A) < n nedoločen sistem (parametrična družina rešitev) rang( A) = n trivialna rešitev: (0,0,...,0) rang( A) < n parametrična družina rešitev 3.2 Naloge 1. Rešite sisteme enačb: a) b) c) 2x 3y + 4z = 10 y + z = 2 x + y = 2 x + 3z = 12 x + 2z = 8 2x + y z = 1 x + 2y + z = 5 x y + 3z = 6 x + y + z = 4 2x z = 0 2x y + 3z = 0 x + 2y 5z = 0 3x + y 2z = 0,,,
3.2. NALOGE 15 d) e) f) g) 2x + y + 3z = 0 3x + 3y z = 0 x y + 5z = 0 x + y + z + 3t = 0 3x + 3y 2z + 4t = 0 2x + 2y 3z + t = 0 x y + 2z + 2t = 0 x + y 2z = 0 2x + y 3z = 0 6x y 5z = 0 2x + 2y 4z = 0 2x y + 4z = 2 x + 4y 2z = 5 x 5y + 6z = 1,,., 2. Za katero vrednost parametra a bo naslednji sistem protisloven? ax + 2y + 3z = 1 2x y + z = 0 x + y = 2 3. Za katere vrednosti parametra a ima sistem eno samo rešitev? a 2 x + 4y + 9z = 6 ax + 2y + 3z = 0 x + y + z = 1 4. Za katere vrednosti parametra a ima naslednji sistem x y + 5z = 5 x + 3y + 5z = 15 x + y + az = 0
16 POGLAVJE 3. SISTEMI LINEARNIH ENAČB a) natanko eno rešitev, b) nobene rešitve, c) neskončno mnogo rešitev? 5. Pokažite, da ima sistem poleg trivialne rešitve tudi netrivialno in ga rešite x y 2z = 0 2x + 5z = 0 4x 2y + z = 0 6. Ugotovite, za katere vrednosti parametra a ima homogeni sistem samo trivialno rešitev. x + y + z = 0 ax + 4y + z = 0 6x + (a + 2)y + 2z = 0 7. S pomočjo determinant (Cramerjeva metoda) rešite naslednja sistema enačb:. a) b) 3.3 Rešitve 2x + 3y + 5z = 10 3x + 7y + 4z = 3 x + 2y + 2z = 3 3x + y = 5 x + y = 1., 1. a) R = {(0, 2, 4)}, b) R = {(1, 1, 2)}, c) R = {( z, 13z, z); z R}, 5 5 d) R = {(0, 0, 0)}, e) R = {( z, z, z, z); z R}, f) R = {(z, z, z); z R}, g) sistem ni rešljiv. 2. a = 11.
3.3. REŠITVE 17 3. a 3, a 2. 4. a) a 5, b) a = 5, c) vrednost parametra a, za katero bi sistem imel neskončno rešitev, ne obstaja. 5. Netrivialne rešitve sistema predstavlja množica: R = {( 5z, 9z, z); z R}. 2 2 6. a 4 in a 3. 7. a) x = 3, y = 2, z = 2, b) x = 1, y = 2.
18 POGLAVJE 3. SISTEMI LINEARNIH ENAC B
Poglavje 4 Linearno programiranje 4.1 Naloge 1. Kmetijska zadruga želi sejati dve kulturi. Obvezala se je, da bo posejala najmanj 50 površinskih enot prve kulture in da bo posejala drugo kulturo na največ dvakratni površini prve kulture. Za drugo kulturo ima semen za največ 200 površinskih enot. Nadalje mora obe kulturi gnojiti z mineralnim gnojilom. Za prvo kulturo potrebuje na enoto površine 2 enoti gnojila, za drugo kulturo pa eno enoto gnojila na enoto površine. Zadruga ima na razpolago 500 enot gnojila. Določite plan setve tako, da bo zasejana površina z obema kulturama največja. Koliko prve in koliko druge kulture bodo morali zasejati? 2. Kmetijska zadruga želi sejati dve kulturi. Prvo kulturo želi posejati na najmanj tolikšni površini kot drugo kulturo. Ob tem pa želi drugo kulturo posejati na najmanj 10 površinskih enotah in največ 30 površinskih enotah. Obe kulturi mora gnojiti z mineralnim gnojilom. Za prvo kulturo potrebuje na enoto površine 2 enoti mineralnega gnojila, za drugo kulturo pa 4 enote mineralnega gnojila. Zadruga ima ob tem na razpolago 160 enot gnojila. Za obdelavo obeh kultur potrebujemo enako strojnih ur na enoto površine. Določite plan setve tako, da bo poraba strojnih ur največja. Koliko strojnih ur bodo obratovali stroji pri optimalnem programu setve? 3. Na površini, ki ne sme biti večja od 50 površinskih enot želimo posejati dve kulturi. Vendar posejana površina ne sme biti manjša od 20 površinskih enot. Za obdelavo prve kulture potrebujemo 10 strojnih ur, za obdelavo druge kulture pa 25 strojnih ur na enoto površine. Ob tem imamo na razpolago 1000 strojnih ur. Prvo kulturo moramo posejati na vsaj polovični površini druge kulture. Pričakovani prihodek prve kulture je 5 denarnih enot, druge pa 3 denarne 19
20 POGLAVJE 4. LINEARNO PROGRAMIRANJE enote na enoto površine. Naredite takšen plan setve, da bo pričakovani prihodek največji. Kolikšen je ta prihodek? 4. Kmetijska zadruga želi sestaviti krmno mešanico iz dveh krmil. Prvo krmilo kupuje pri njegovem proizvajalcu, drugo pa prideluje sama. V obeh krmilih so elementi A, B in C. V krmni mešanici želimo imeti najmanj 3200 enot elementa A, vsaj 900 enot elementa B in ne manj kot 600 enot elementa C. V enoti prvega krmila je 32 enot elementa A, 15 enot elementa B in 5 enot elementa C. V enoti drugega krmila pa je 40 enot elementa A, 10 enot elementa B in 12 enot elementa C. Obvezali smo se, da bo v krmni mešanici vsaj 20 odstotkov prvega krmila. Določite program mešanja tako, da bo zadruga potrebovala minimalno količino kupljenega krmila. 5. Za obdelavo dveh kultur potrebujemo štiri vrste strojev. Za prvo kulturo potrebujemo na enoto površine 10 ur prvega stroja, 20 ur drugega stroja in 10 ur tretjega stroja. Za drugo kulturo pa na enoto površine potrebujemo 10 ur prvega, 5 ur drugega in 10 ur četrtega stroja. Ob tem smo se obvezali, da bomo izkoristili najmanj 300 ur prvega, 300 ur drugega, 100 ur tretjega in prav tako 100 ur četrtega stroja. Kakšen mora biti plan setve, da bo skupna količina strojnih ur najmanjša? Koliko strojnih ur vsakega stroja tedaj porabimo? 6. Zadruga ima dva silosa in z njima oskrbuje dvoje pitališč. Prvi silos lahko dnevno izda 800 enot hrane, drugi pa 1000 enot hrane. Prvo pitališče potrebuje 600 enot, drugo pa 700 enot hrane na dan. Prevoz hrane od prvega silosa do prvega pitališča stane 3 denarne enote, do drugega pitališča pa 4 denarne enote. Prevoz hrane od drugega silosa do prvega pitališča stane 5 denarnih enot, do drugega pitališča pa 4 denarne enote. Določite najcenejši način prevoza hrane od silosov do pitališč. Koliko denarnih enot moramo dnevno najmanj izdati za prevoz? Določite še kolikšna bi bila najvišja cena prevoza! 7. Dva silosa oskrbujeta dvoje pitališč. Prvi silos lahko izda dnevno 900 enot hrane, drugi pa 700 enot hrane. Prvo pitališče potrebuje 300, drugo pitališče pa 700 enot hrane na dan. Cena prevoza enote hrane od prvega silosa k prvemu pitališču je 4, do drugega pa 3 denarne enote. Prevoz enote hrane od drugega silosa do prvega pitališča stane 5, do drugega pitališča pa 2 denarni enoti. Zaradi omejitev na prevozni poti, moramo iz prvega silosa pripeljati do drugega pitališča vsaj toliko hrane kot do prvega pitališča. Določite tak načrt prevoza hrane, da bodo prevozni stroški najmanjši. 8. Na voljo imamo semena dveh kultur. S semeni prve kulture lahko zasejemo največ 80 površinskih enot, s semeni druge kulture pa največ 90 površinskih
4.2. REŠIVE 21 enot. Za obe kulturi potrebujemo dve vrsti gnojil. Za prvo kulturo potrebujemo na enoto površine 80 enot prvega in 30 enot drugega gnojila. Za drugo kulturo pa potrebujemo na enoto površine 50 enot prvega in 40 enot drugega gnojila. Ob tem imamo na voljo 8000 enot prvega in 4500 enot drugega gnojila. Določite optimalni program setve, če veste, da je razmerje dohodka obeh kultur 3 : 4. 4.2 Rešive 1. Zasejati bo potrebno 150 površinskih enot prve in 200 površinskih enot druge kulture. 2. Plan setve: 60 površinskih enot prve kulture in 10 površinskih enot druge kulture. Poraba strojnih ur: 70k. 3. Zasejati je potrebno 50 površinskih enot prve kulture in 0 enot druge kulture. Prihodek je 250 denarnih enot. 4. 16, 6 enot prvega krmila in 66, 6 enot drugega krmila. 5. Plan setve: 10 površinskih enot prve in 20 površinskih enot druge kulture. Pri tem porabimo 300 ur prvega, 300 ur drugega, 100 ur tretjega in 200 ur četrtega stroja. 6. Najcenejši način prevoza: vse točke na daljici AB, kjer je A(600,0) in B(600,200). Dnevno moramo izdati 4600 denarnih enot. Najdražji prevoz: vse točke na daljici CD, kjer je C(0,300) in D(0,600). Dnevno moramo izdati 5800 denarnih enot. 7. Rešitev so vse točke na daljici AB, kjer je A(150, 150) in B(300, 300). Prevoz hrane stane 2900 denarnih enot. Napišimo še prevoz npr. v točki A: od S1 do P1 pripeljemo 150 enot, od S1 do P2 150 enot, od S2 do P1 150 enot in od S2 do P2 550 enot hrane. 8. Rešitev so vse točke na daljici AB, kjer je A(30, 90) in B(55, 9, 70, 6).
22 POGLAVJE 4. LINEARNO PROGRAMIRANJE
Poglavje 5 Vektorji 5.1 Formule 1. Dolžina vektorja a = a 2 x + a 2 y + a 2 z. 2. Skalarni produkt vektorjev a b = a b cos ϕ. 3. Kot med vektorjema cos ϕ = a b a b. 4. Skalarni produkt vektorjev a = (a x, a y, a z ) in b = (b x, b y, b z ) a b = a x b x + a y b y + a z b z. 5. Vektorski produkt vektorjev a b = a b sin ϕ. 6. Koordinate vektorskega produkta vektorjev a = (a x, a y, a z ) in b = (b x, b y, b z ) dobimo z determinanto: a i j k b = a x a y a z b x b y b z = (a yb z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ). 7. Če je a = (a x, a y, a z ), b = (b x, b y, b z ) in c = (c x, c y, c z ), tedaj mešani produkt izračunamo z determinanto ( a b) c = a x a y a z b x b y b z c x c y c z 23
24 POGLAVJE 5. VEKTORJI 8. a) Enačba premice v vektorski obliki: r = r 0 + t e oziroma (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t(a, b, c). b) Enačba premice v parametrični obliki: c) Enačba premice v kanonski obliki: x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct. x x 0 a 9. Oddaljenost točke T 1 od premice = y y 0 b = z z 0 c d = T 0 T 1 e. e 10. Enačba ravnine v prostoru 11. Razdalja točke (x 1, y 1, z 1 ) od ravnine Ax + By + Cz + D = 0. p = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A2 + B 2 + C 2. 12. Kot med ravninama: cos ϕ = E 1 E 2 E 1 E 2. 5.2 Naloge 1. Dana sta vektorja a = (2, 1) in b = (1, 2). Narišite vektorje a, b, a + b, a b. 2. Ali sta vektorja vzporedna? a) a = ( 3 2, 6, 4 3 ) in b = ( 9 8, 9 2, 1) b) a = (2, 1, 0) in b = ( 4, 2, 1) 3. Ali so vektorji a = (1, 2, 3), b = (2, 0, 1) in c = (1, 1, 1) linearno neodvisni? 4. Dane so točke A(5, 2, 1), B( 7, 1, 3) in C(2, 9, 5). Določi točko D tako, da bo ABCD paralelogram.
5.2. NALOGE 25 5. Imamo točke A(5, 2, 7), B( 7, 1, 3) in C(2, 9, 5). Izračunajte razpolovišče stranice AB in težišče trikotnika ABC. 6. Izračunajte skalarni produkt vektorjev a = (2, 1, 0) in b = ( 4, 2, 1). 7. Določite x tako, da bosta vektorja a = (2, x, 1) in b = (x + 1, x 1, 2) pravokotna. 8. Vektorja a in b sta linearno neodvisna. Kolikšna je vrednost skalarjev x in y, če velja ( b 3 a)y + 3 a = (2 a b)x? 9. Dan je enakostraničen trikotnik ABC s stranico 4 cm. Izračunajte skalarni produkt CB AC. 10. Točke A(2, 5, 7), B( 1, 3, 2) in C( 4, 7, 3) določajo trikotnik v prostoru. Izračunajte dolžine stranic tega trikotnika. 11. Poiščite kot med vektorjema a = i + j in b = j + k. 12. Naj bosta e = (3, 4, 1) in f = (2, 3, 6) diagonali paralelograma. Pokažite, da je paralelogram romb in izračunajte dolžino njegove stranice ter en notranji kot. 13. Dana sta vektorja a = (2, 3, 1) in b = (1, 4, 2). Izračunajte vektorska produkta a b in b a. 14. Naj bo a = (1, 1, 1), b = ( 1, 2, 3) in c = (1, 2, 3). Izračunajte a b, b a in a c 15. Za vektorje a = (1, 2, 1), b = (1, 1, 0) in c = (1, 1, 1) izračunajte naslednje skalarne in vektorske produkte: a) a b, b) a b, c) a ( b c), d) a ( b c), e) ( a b) c, f) ( a b) c. 16. Izračunajte a 2 b, če je a = 6, b = 5, kot med njima pa je π 3.
26 POGLAVJE 5. VEKTORJI 17. Stranici paralelograma merita 3 in 4 cm, ploščina pa je 6 cm 2. Izračunajte kot med stranicama. Koliko rešitev je možnih? 18. Paralelogram določata diagonali e = (3, 1, 2) in f = (1, 3, 4). Izračunajte a) kot med diagonalama, b) vektorje a + b, a b, a, b, c) ploščino paralelograma, d) en notranji kot paralelograma. 19. Preverite ali točke A( 3, 7, 5), B(0, 1, 2) in C(2, 3, 0) ležijo na isti premici. 20. Določite volumen paralelepipeda, ki ga določajo vektorji a = (5, 1, 3), b = (7, 1, 2) in c = ( 1, 4, 0). 21. Ali točke A(2, 1, 2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) in D(5, 0, 6) ležijo v isti ravnini? 22. Določite volumen tetraedra, ki ga določajo vektorji a = (7, 1, 2), b = ( 3, 4, 5) in c = (5, 1, 3). 23. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi točko T (4, 1, 1) in je pravokotna na vektor a = ( 1, 2, 1). 24. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje točke A(1, 0, 2), B(0, 1, 1) in C(1, 2, 0). 25. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje vektor a = (1, 2, 3) ter točki A(1, 1, 2) in B(0, 1, 1). 26. Pokažite, da sta ravnini x + y + z = 0 in x + y 2z + 3 = 0 pravokotni. 27. Izračunajte kot med ravninama y 3x 7 = 0 in y = 0. 28. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi premico x 2 T (3, 4, 0). = y 3 = z+1 1 2 3 in točko 29. Zapišite v vseh treh oblikah enačbo premice, ki gre skozi točko T (1, 1, 1) in je vzporedna z vektorjem s = (2, 1, 1). 30. Zapišite enačbo premice skozi točki A(1, 0, 1) in B(1, 1, 0). 31. Izračunajte presečišče premic r = (1, 2, 0)+t(1, 1, 1) in r = (2, 3, 1)+u(0, 3, 1); t, u R. Zapišite tudi enačbo ravnine, ki jo določata dani premici.
5.3. REŠIVE 27 Slika 5.1: Naloga 1. 32. Zapišite ravnino, ki vsebuje premico x = y 1 = z 2 x + z = 0. in je pravokotna na ravnino 33. Dane so ravnina x + 2y 4z 1 = 0, premica x 1 T (1, 2, 3). = y+1 = z+2 3 2 1 in točka a) Poiščite premico, ki gre skozi točko T in je vzporedna z dano premico. b) Poiščite ravnino, ki gre skozi točko T in je vzporedna z dano ravnino. c) Izračunajte oddaljenost točke T do dane premice. 5.3 Rešive 1. Slika 5.1. 2. a) Ker je a = 4 3 b, sta vzporedna. b) Vektorja nista vzporedna. 3. Vektorji so linearno neodvisni. 4. D(14, 10, 3). 5. Razpolovišče je v točki S( 1, 3, 5). Težišče trikotnika je točka T (0, 4, 5). 2 6. a b = 10. 7. Naloga ima dve rešitvi: x 1 = 0 in x 2 = 1. 8. y = 3, x = 3. 9. CB AC = 8.
28 POGLAVJE 5. VEKTORJI 10. AB = 38, BC = 50, AC = 140. 11. 60. 12. AB = 5 3 23, α = arccos( ). 2 75 13. a b = (10, 3, 11) in b a = ( 10, 3, 11). 14. a b = (1, 4, 3), b a = ( 1, 4, 3) in a c = (1, 2, 1). 15. a) a b = 1, b) a b = (1, 1, 3), c) a ( b c) = 5, d) a ( b c) = (0, 0, 0), e) ( a b) c = ( 1, 1, 1), f) ( a b) c = 5. 16. a 2 b = 30 3. 17. π 6, 5π 6. 18. a) ϕ = 65, 2, b) vektorje a + b(3, 1, 2), a b = ( 1, 3, 4), a = (1, 2, 3), b = (2, 1, 1), c) S = 5 3, d) α = 109, 1. 19. Točke ležijo na isti premici. 20. 39. 21. Točke ležijo na isti ravnini. 22. 119 6. 23. x 2y z + 5 = 0. 24. y z 2 = 0. 25. x y z = 0. 26. (1, 1, 1) (1, 1, 2) = 0.
5.3. REŠIVE 29 27. π 3. 28. x 2y + z + 5 = 0. 29. Vektorska: r = (1, 1, 1) + t(2, 1, 1), parametrična: x = 1 + 2t, y = 1 + t, z = 1 t, kanonska: x 1 = y 1 = z 1. 2 1 1 30. r = (1, 0, 1) + t(0, 1, 1). 31. P (2, 3, 1), 4x + y + 3z + 2 = 0. 32. Namig: normalni vektor iskane ravnine je vektorski produkt smernega vektorja premice in normalnega vektorja ravnine. Enačba ravnine je x + y z 1 = 0. 33. a) r = (1, 2, 3) + t(3, 2, 1). b) x + 2y 4z + 7 = 0. 355 c). 14
30 POGLAVJE 5. VEKTORJI
Del II Osnove matematične analize 31
Poglavje 6 Procentni račun 6.1 Formule 1. Relativni delež: r = d 0. o... osnova d... delež 2. Relativni delež v odstotkih: p% = d o 100. 6.2 Naloge 1. Kmetijska zadruga je povečala odkupno ceno jagod za 12 %. Po nekaj dneh pa je to ceno zmanjšala za 1 EUR ali 24 %. Kolikšne so bile cene, po katerih je zadruga odkupovala jagode (navedi vse tri cene). 2. Neki izdelek smo podražili. Pri podražitvi pa smo ga morali poceniti na prvotno ceno 180 EUR. S tem smo novo ceno zmanšali za 11, 2 %. Za koliko odstotkov in koliko EUR smo povečali prvotno ceno izdelka. 3. Cena nekega izdelka je bila novembra 50 EUR. Pred božičem smo ga podražili za 12 %, po novem letu pa še za 5 %. Kolikšna je cena po zadnjem povišanju in za koliko procentov je zadnja cena višja? 4. Pri tehtanju treh bikov smo ugotovili, da je drugi bik za 20 % lažji od prvega, tretji bik pa za 30% težji od prvega. Skupno so vsi trije biki tehtali 2294 kg. Izračunajte teže vseh treh bikov. 33
34 POGLAVJE 6. PROCENTNI RAČUN 5. Neki izdelek smo podražili za 5 %, nato pa ga ponovno poceni za 20 %. Pri tem je zadnja cena za 16 EUR nižja od prvotne cene. Kolikšne so vse tri cene, po katerih smo prodajali izdelek? 6. Knjiga se je podražila za 30 %, nato pa še enkrat za 10 %, tako da zdaj stane 64, 35 EUR. Koliko je stala pred obema podražitvama? Koliko odstotna je skupna podražitev? 7. Pri plačilu položnic moramo plačati 1, 5 % provizije. Koliko tolarjev bo znašala provizija, če moramo plačati položnico za 55 EUR? 8. Pri nakupu novega avtomobila, ki stane 9800 EUR nam ponujajo 600 EUR popusta. Koliko odstotkov znaša popust? 9. Cena ene delnice Lek C je padla s 130 EUR za delnico na 115 EUR za delnico. Koliko odstoten je bil padec delnice? 10. Pri polaganju keramičnih ploščic imamo 5 % odpad. Koliko kvadratnih metrov keramičnih ploščic moramo kupiti, da bomo lahko z njimi obložili tla v hodniku, ki je pravokotne oblike s širino 2, 75 m in dolžino 4, 15 m? 11. Liter bencina je maja stal 1, 05 EUR. Najprej se je podražil junija za 8 %, nato pa še avgusta za 5 %. Kolikšna je bila cena za liter bencina po zadnji podražitvi? Koliko odstotna bi morala biti enkratna pdražitev? 6.3 Rešitve 1. 3, 72; 4, 17; 3, 17. 2. 22, 70, 12, 6 %. 3. 58, 80, 17, 6 %. 4. 740, 6 kg, 592, 5 kg, 962, 8 kg. 5. 100, 105, 84. 6. 45 EUR, 43 %. 7. 0, 83 EUR. 8. 6, 1 %. 9. 11, 5 %.
6.3. REŠITVE 35 10. 12 m 2. 11. 1, 19 EUR, 13, 4 %.
36 POGLAVJE 6. PROCENTNI RAC UN
Poglavje 7 Raztopine 7.1 Formule 1. Masa raztopine: m r = m(topljenec) + m(topilo) 2. Masni delež topljenca: ω = m(topljenec) m r 3. Množinska koncentracija: c = n(topljenec) V (raztopina) 4. Masna koncentracija: γ = m(topljenca) V (raztopine) 5. Mešanje raztopin: (a) m 1 + m 2 = m 3 (b) V 1 + V 2 V 3 (c) m(topljenec 1) + m(topljenec 2) = m(topljenec 3) (d) n(topljenec 1) + n(topljenec 2) = n(topljenec 3) (e) ω 1 m 1 + ω 2 m 2 +... + ω n m n = ω m (f) c 1 V 1 + c 2 V 2... c n V n = c V (g) Razmerje mešanja dveh raztopin, da dobimo raztopino z želenim masnim deležem: m 1 m 2 = (ω 3 ω 2 ) (ω 1 ω 3 ) 6. Redčenje in koncentriranje raztopin: ω 1 m 1 = ω 2 m 2 c 1 V 1 = c 2 V 2 37
38 POGLAVJE 7. RAZTOPINE 7.2 Naloge 1. Mešati želimo 120 litrov 7, 5 % raztopine s 13 % raztopino tako, da dobimo 10 % raztopino. Koliko 13 % raztopine moramo imeti, da dobimo želeno mešanico? 2. Na voljo imamo 100 litrov 5 % raztopine in 200 litrov 9 % raztopine. Koliko 8 % raztopine lahko dobimo z mešanjem navedenih raztopin? 3. Mešati želimo 5 % raztopini z 12 % raztopino, tako da dobimo 200 litrov 10 % raztopine. Koliko prve in koliko druge raztopine moramo imeti, da dobimo želeno mešanico? 4. Na razpolago imamo 30 litrov 8 % raztopine in 80 litrov 15 % raztopine. Koliko 4 % raztopine lahko dobimo z mešanjem teh dveh raztopin in vode? 5. Koliko vode mora izhlapeti iz 15 % raztopine soli, da dobimo 25% raztopino? 6. Na voljo imamo 200 litrov 12 % raztopine, 240 litrov 8 % raztopine in 280 litrov vode. Kolikšno kvaliteto mešanice dobimo z mešanjem teh treh raztopin? Koliko vode moramo še dodati, da dobimo 4 % mešanico? 7. V raztopini je 2 % soli. Kolikšna je koncentracija raztopine, če izhlapi petina vode? 8. Koliko odstotkov soli vsebuje voda, če zmešamo 5 litrov destilirane vode in 7 litrov vode, ki vsebuje 6 % soli? 9. V posodo z 2 kg slane raztopine, ki vsebuje 20 % soli, prilijemo 5 kg 50 % raztopine soli. Koliko odstotkov soli je v nastali raztopini? Koliko vode moramo priliti ali izpareti, da bo raztopina 40 %? 10. Koliko odstotno kislino dobimo, če zmešamo 4 litre 40 % kisline in 10 litrov 25 %? 11. Koliko 30 % kisline moramo priliti k 12 litrom 40 % kisline, da dobimo 38 % kislino? 12. Koliko vode moramo priliti k 6 litrom sadnega soka s 50 % sadnim deežem, da bomo dobili sok s 30 % sadnim deležem? 13. Koliko odstotno kislino moramo priliti k 6 litrom 3 % kisline, da bomo dobili 10 litrov 5 % kisline?
7.3. REŠITVE 39 7.3 Rešitve 1. 100 litrov. 2. 266, 7 litrov. 3. 57, 14 litrov prve in 142, 86 litrov druge. 4. 360 litrov. 5. 47% oz. 40dag, če imamo 100 litrov raztopine. 6. 6%, 360 litrov. 7. 2, 5%. 8. 3, 5%. 9. 41, 42%; 0, 25kg. 10. 29, 28%. 11. 3 litre. 12. 4 litre. 13. 8%.
40 POGLAVJE 7. RAZTOPINE
Poglavje 8 Zaporedja 8.1 Formule 1. Lastnosti zaporedij (a) Naraščajoče: a n+1 a n, za vsak n N. Strogo naraščajoče: a n+1 > a n, za vsak n N. Padajoče: a n+1 a n, za vsak n N. Strogo padajoče: a n+1 < a n, za vsak n N. Monotono zaporedje je naraščajoče ali padajoče. (b) Navzgor omejeno: M R, da velja: a n M, n N. Navzdol omejeno: m R, da velja: a n m n N. Omejeno zaporedje je navzgor in navzdol omejeno. 2. Aritmetično zaporedje (a) Diferenca: a n+1 a n = d, n N. (b) Splošni člen: a n = a 1 + (n 1)d. (c) Aritmetična sredina: a n = a n 1+a n+1 2, n N. (d) Vsota prvih n členov: s n = n j=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 +... + a n. 3. Geometrijsko zaporedje (a) Količnik: a n+1 a n = q, n N. (b) Splošni člen: a n = a 1 q n 1. (c) Geometrijska sredina: a n = a n 1 a n+1, n N. (d) Vsota prvih n členov: s n = a 1(q n 1) q 1. 41
42 POGLAVJE 8. ZAPOREDJA 4. Limita zaporedja Definicija: a = lim n a n ɛ > 0, obstaja tak N N, da n > N velja : a a n < ɛ. 5. Lastnosti konvergentnih zaporedij Naj bosta zaporedji {a n } n N in {b n } n N konvergentni z limitama lim n a n = a in lim n b n = b, potem veljajo spodnje lastnosti. (a) Če zaporedju {a n} n N dodamo ali odvzamemo končno mnogo členov, novo zaporedje spet konvergira k a. (b) Vsako neskončno podzaporedje zaporedja {a n } n N konvergira k a. (c) lim n ka n = k lim n a n = k a. 1 (d) lim n a n = 1 lim n an = 1 a, če je vsak a n 0 in a 0. (e) lim n (a n ± b n ) = lim n a n ± lim n b n = a ± b. (f) lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b. a (g) lim n n bn = lim n an lim (h) lim n r a n = r 8.2 Naloge Določite limito zaporedja. 1. lim n 4 +1+ 3 n 5 1 n (2n+1) 2 2. lim n ( n2 2+3n n2 +1 n ) 3. lim n 2 +n+1 n 2n+1 4. lim ( 4n2 1 2n3 ) n 2n+1 n 2 1 5. lim n n(2n+1) 1+2+...+n 6. lim n ( n 1 2 2n2 1 4n 1 ) = a, če je vsak b b n b n 0 in b 0. n lim a n. n
8.2. NALOGE 43 7. lim n 1+n+n 2 1+100n n 8. lim n (n 3n2 1 3n+1 ) 1+2+...+2n 9. lim n n 2 +n+1 10. lim n ( n(n+1) 1+2+...+n 2n ) 3n+1 11. lim 16n 3 +n 2 +n 3 8n 5 +n 4 +n 6 3 n n 10 +n 9 +n 8 +n 1 12. lim n ( n 2 + 2n + 2 n) 13. lim 2+4+6+...+2n n 2+3+4+...+n+(n+1) 14. lim ( n 1 n+2 ) n n+1 n 2 1 15. lim n n 2 n+2 1+2+...+n n 16. lim 2 n 1+2+...+n 17. lim n ( 1 n n ) n 2 +1 18. lim n ( n 2 3n 2 6 ) (n 1) 19. lim 2 n 2n 2 +1 20. lim ( 4n2 n3 ) n 4n+1 n 2 1 1+2+...+n 21. lim n n 2 +n+1 22. lim n ( n + 2 n) 23. lim n ( n + n n) 24. lim n n! (n+1)! n! n n 1 n n 1 n 25. lim 26. lim 10n 1 n 1+2+...+n
44 POGLAVJE 8. ZAPOREDJA 1+2+3+...+2n 27. lim n n 4 +1 28. lim n 2n 2 4 7n 2 +n 29. lim ( n n 1+n )n 1+2+...+n 30. lim n n 4 +n 2 31. lim n ( n 2 + n n) 32. lim ( 1+2+...+n n n n+1 ) n 2 33. Dokažite, da tvorijo števila 1+ 2 2 1, 1 2 2, 1 2 padajoče geometrijsko zaporedje. 34. Določite 30. člen aritmetičnega zaporedja: (54, 51, 48,...). Izračunajte še vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja. 35. Dano je zaporedje s splošnim členom: a n = 3n 17 n+2. a) Dokažite, da je dano zaporedje naraščajoče. Koliko členov je pozitivnih? b) Izračunajte limito danega zaporedja. c) Koliko členov leži izven ɛ-okolice limite, če je ɛ = 0, 01. 36. Zapišite splošni člen zaporedja (3, 8, 15, 24, 35,...). In ugotovite, kateri člen zaporedja je enak 255. 37. Kolikšen znesek moramo vezati, da bomo imeli po sedmih letih 15000 EUR, če je obrestna mera 3%, letni pripis obresti in obrestno obrestovanje. 8.3 Rešitve 1. 1 4. 2. Zaporedje divergira. 3. 1 2. 4. 1. 5. 4. 6. 5 8.
8.3. REŠITVE 45 7. Zaporedje divergira. 8. 1 3. 9. 2. 10. 4 3. 11. 2. 12. 1. 13. 2. 14. 1. 15. 2. 16. 2. 17. 0. 18. 1 3. 19. 1 2. 20. 1 4. 21. 1 2. 22. 0. 23. 1 2. 24. 0. 25. 1. 26. 0. 27. 2. 28. 2 7. 29. 1 e. 30. 1 2.
46 POGLAVJE 8. ZAPOREDJA 31. 1 2. 32. 1 2. 33. Namig: sredinski člen mora biti geometrijska sredina sosedov. 34. a n = 54 3(n 1), a 3 0 = 33. Pozitivnih je prvih 18 členov in s 18 = 513. 35. a) Preveri, da neenakost a n < a n+1 velja za vsak n N. členov zaporedja je 5. b) Limita je 3. c) Izven ɛ-okolice limite leži 2298 členov zaporedja. Število negativnih 36. a n = n(n + 2), a 1 5 = 255. 37. Vložiti moramo 1294 EUR.
Poglavje 9 Vrste 9.1 Formule 1. D Alambertov kriterij: Naj bo n=1 a n taka vrsta s pozitivnimi členi, za katero obstaja lim a n+1 n a n jo označimo s q. Če je q < 1, je vrsta konvergentna. Če pa je q > 1, je vrsta divergentna. 2. Raabejev kriterij: Naj bo n=1 a n vrsta s pozitivnimi členi in R n = n( a n a n+1 1) ter lim R n = R. n Tedaj velja: (a) če je R > 1, vrsta n=1 a n konvergira. (b) če je R < 1, vrsta n=1 a n divergira. (c) če je R = 1, tudi ta kriterij ne da odločitve., ki 9.2 Naloge 1. Izračunajte vsoto geometrične vrste 2. Izračunajte vsoto vrste i=0 2 3 i+1. 1 1 3 + 1 3 5 + 1 5 7 +.... 47
48 POGLAVJE 9. VRSTE 3. Izračunajte vsoto vrste 4. Izračunajte vsoto vrste 5. Izračunajte vsoto vrste 1 1 4 + 1 4 7 + 1 7 10 +.... 2 1 2 + 2 2 3 + 2 3 4 +.... 1 1 6 + 1 6 11 + 1 11 16 +.... 6. Preverite konvergenco vrste 2 1 + 4 3! + 6 5! + 8 7! +... z D Alambertovim kriterijem. 7. Dokažite konvergenco vrste 1 2 + 3 2 + 5 2 2 + 7 (2n 1) +... + +... 3 24 2 n z D Alambertovim kriterijem. 8. Preverite konvergenco vrste z D Alambertovi kriterijem. 9. Dokažite konvergenco vrste z Raabejevim kriterijem. 2 3 + 4 9 + 6 27 +... 4! 4 4 (1!) 4 + 8! 4 8 (2!) 4 + 12! 4 12 (3!) 4 +... 10. Ugotovite ali je vrsta 2 3 + 4 + 4 9 + 16 + 8 27 + 64 + 16 81 + 256 +... konvergentna. 11. Ugotovite, ali je vrsta 1 5 + + 9 + 13 +... 3 2 3 2 3 3 3 4 3 4 konvergentna ali divergentna.
9.3. REŠITVE 49 9.3 Rešitve 1. 1 3. 2. 1 2. 3. 1 3. 4. 1. 5. 1 5. a 6. lim n+1 n a n a 7. lim n+1 n a n a 8. lim n+1 n a n = 0. Vrsta konvergira. = 1. Vrsta konvergira. 2 = 1. Vrsta konvergira. 3 9. lim n( an n a n+1 1) = 3. Vrsta konvergira. 2 10. Vrsta konvergira. 11. Vrsta konvergira.
50 POGLAVJE 9. VRSTE
Poglavje 10 Funkcije in njihove lastnosti 10.1 Formule Splošno 1. Definicijsko območje funkcije: D f = {x R; f(x) R} 2. Zaloga vrednosti funkcije: Z f = {f(x); x D f } 3. Graf funkcije: G f = {(x, y); x D f, y = f(x)} 4. Kompozitum funkcij: (g f)(x) = g(f(x)) Linearna funkcija Predpis: f(x) = kx + n, k, n R 1. Oblike enačbe premice (a) eksplicitna: y = kx + n (b) implicitna: ax + by c = 0 (c) odsekovna: x m + y n 2. Smerni koeficient: k = y 2 y 1 x 2 x 1 = 1; m, n 0 3. Enačba premice skozi dve točki: y y 1 = k(x x 1 ) Kvadratna funkcija 1. Oblike zapisa kvadratne funkcije (a) splošna: f(x) = ax 2 + bx + c; a, b, c R 51
52 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI (b) temenska: f(x) = a(x p) 2 + q; teme: T (p, q) (c) za ničli: f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ); ničli: x 1, x 2 2. Vietovi formuli: x 1 + x 2 = b a in x 1 x 2 = c a 3. Ničli: x 1,2 = b± D, diskriminanta: D = b 2 4ac 2a 4. Teme: p = b 2a, Potence in koreni q = D 4a 1. Pravila za računanje s potencami, a, b R in m, n Q (a) a n = a a a... a (n faktorjev) (b) a 0 = 1 (c) a n = 1 a n, a 0 (d) a 1 m = m a, a n m = m a n (e) a n a m = a n+m (f) an a m = a n m, a 0 (g) (a n ) m = a nm (h) (ab) n = a n b n (i) an b n = ( a b )n, b 0 2. Pravila za računanje s koreni 2n (a) a = x x n 2n 1 = a in x 0, a = x x n = a (b) n am = ( n a) m (c) n ab = n a n b (d) (e) (f) (g) Polinomi n a = n a b n b, b 0 m n a = mn a np a mp = n a m a an = a, če n liho in a an = a, če n sodo 1. Definicija: p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a n, a n 1,..., a 1, a 0 R in a n 0
10.1. FORMULE 53 2. Osnovni izrek o deljenju polinomov: p(x) = k(x) q(x) + r(x), st(p) = n, st(q) = m, st(k) = n m, m > st(r) 0 Racionalna funkcija 1. Definicija: f(x) = p(x) q(x) = a nx n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 b n x n +b n 1 x n 1 +...+b 1 x+b 0, q(x) 0 Exponentna in logaritemska funkcija 1. Eksponentna funkcija: f(x) = a x ; a > 0, a 1 2. Logaritemska funkcija: f(x) = log a x; a > 0, a 1 3. x = log a y a x = y, a > 0, a 1 4. Pravila za računanje z logaritmi: (a) a log a x = x (b) log a a x = x (c) log a (x y) = log a x + log a y ( ) x (d) log a = log y a x log a y (e) log a x c = c log a x (f) Prehod na novo osnovo: log b x = log a x log a b Trigonometrične funkcije 1. Radiani/stopinje: 1rad = ( 180 π ), 1 = ( π 180) rad 2. Definicija kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku Sinus kota je kvocient med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo. Kosinus kota je kvocient med kotu priležno kateto in hipotenuzo. Tangens kota je kvocient med nasprotno in priležno kateto. Kotangens kota je kvocient med nasprotno in priležno kateto. 3. Osnovne zveze med kotnimi funkcijami: sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x 4. Komplementarni koti sin( π ϕ) = cos ϕ 2 cos( π ϕ) = sin ϕ 2 tan( π ϕ) = cot ϕ 2 cot( π ϕ) = tan ϕ 2
54 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI 5. Prehod na ostri kot sin(π ϕ) = sin ϕ cos(π ϕ) = cos ϕ sin(π + ϕ) = sin ϕ cos(π + ϕ) = cos ϕ 6. Adicijska izreka sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β 7. Kotne funkcije dvojnih kotov sin(2ϕ) = 2 sin ϕ cos ϕ cos(2ϕ) = cos 2 ϕ sin 2 ϕ 8. Krožne funkcije arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] arccos : [ 1, 1] [0, π] arctan : R [ π 2, π 2 ] 10.2 Naloge 1. Dana je funkcija f(x) = x2 +4. Poiščite f(0), f(1), f( 1), f(2), f(x 1), 2x 2 +3 f(x) 1. 2. Dana je funkcija f(x) = x+1 f( 4), f( 3), 2 f(x2 ), f( 1), x 3x 2. 1. f(x) Izračunaj funkcijske vrednosti f(0), f(1), 3. Dana je funkcija f(x) = sin(x + π) + cos x 1. Koliko je f(0), f( π ), f(π), 2 f( π)? 4 4. Dana je funkcija f(x) = 3 log x 2 + 1. Poiščite f( 1), f( 0, 001), f(0, 1), f( 10), f(100). 5. Dana je funkcija f(x) = x 2 + x + 1. Izračunajte f(a) f(b). 6. Določite definicijska območja spodnjih funkcij. a) f(x) = x + 2 b) f(x) = (9 x 2 ) c) f(x) = x + 4 + x d) f(x) = x+1 x 1
10.2. NALOGE 55 e) f(x) = 2x x 2 4 f) f(x) = 1 x 2 4x+3 g) f(x) = 2x2 1 (x 2 +3x+2) 1 2 h) f(x) = ln (x 1) i) f(x) = ln x 2 4 j) f(x) = log( 2+x) 2 x k) f(x) = ln 5x x2 4 l) f(x) = 4 x 3 m) f(x) = 3 2 x 3 n) f(x) = tg(x π 4 ) o) f(x) = 1 cos 2x 7. Za naslednje funkcije ugotovite ali so lihe, sode, ali nič od tega. a) f(x) = x(x 2 + 1) b) f(x) = ex +e x 2 c) f(x) = x + 2 d) f(x) = log(x 2 + 2) e) f(x) = ex e x 2 f) f(x) = x 1 x+1 g) f(x) = sin x x h) f(x) = ln 1+x 1 x i) f(x) = (x + 1) 2 (x 1) 2 j) f(x) = x sin x k) f(x) = x + x 2 8. Za naslednje funkcije določite enačbe inverznih funkcij. a) f(x) = x 1 b) f(x) = x+4 x+1 x 2 c) f(x) = x2 1 x 2 +4
56 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI d) f(x) = ln x+2 e) f(x) = ln x 3 x 1 x+3 f) f(x) = e 3x+4 g) f(x) = ln(x + 1) 4 9. V koordinatnem sistemu narišite naslednje premice: a) y = 3x + 2, b) y = 1 x, c) y = x 3 1, d) y = 2, e) x = 1 2. 10. Določite enačbe premic, ki gredo skozi točke a) A(0, 0), B( 1, 2), b) A(0, 1), B( 2, 3), c) A(1, 2), B(1, 5). 11. Narišite parabole, ki jih določajo naslednje kvadratne funkcije. a) y = x 2 + 4x + 4, b) y = 2x 2 3x + 4, c) y = x2 2x 1, 3 d) y = x 2 4x + 3. 12. Določite enačbe kvadratnih funkcij, ki gredo skozi točke a) T 1 (0, 2), T 2 ( 1, 0), T 3 ( 2, 0), b) A(1, 3), B( 1, 2), C( 2, 6) 13. Določite teme parabole, ki gre skoti točke A( 2, 11), B(0, 3), C(1, 2). 14. Zapišite kvadratno funkcijo, ki ima najmanjšo vrednost 9 pri x = 1, pri x = 3 pa ima vrednost 7. 15. Zapišite kvadratno funkcijo, ki ima ničli 2 in 1 2 točko B(1, 9). njen graf pa poteka skozi
10.3. REŠITVE 57 16. Računsko poiščite presečišča parabol: y = x 2 1, y = x 2 2x + 3. 17. Narišite grafa polinomskih funkcij. a) f(x) = (x 2)(x 4)(x + 3) 2 b) g(x) = (2x 1) 2 (x + 3) 2 18. Dana sta polinoma p(x) = x 5 + 2x 4 + x 3 6x + 2 in q(x) = x 2 + 1. Poiščite kvocient polinomov. 19. Narišite grafe racionalnih funkcij. a) f(x) = x 1 x+2 b) f(x) = (x+1)(x 3 2 ) x+4 c) f(x) = x 3 (x 2 4)(x+2) d) f(x) = (x+2)2 (x 1) 3 (x+1) 4 (x 10) 2 e) f(x) = (2x+1)(x 2)2 x 3 2x 2 +x f) f(x) = (x+1)2 x 2 5x+4 20. Za funkcijo f(x) = ln( x 4 ) določite definicijsko območje in explicitno obliko x+1 inverzne funkcije. 21. Za funkcijo f(x) = ln(x 2 1) določite definicijsko območje in explicitno obliko inverzne funkcije. 2x+1 22. Dana je funkcija f(x) =. Določite definicijsko območje in eksplicitno x 3 obliko inverzne funkcije. 23. Določite ničle, asimptote in narišite graf funkcije f(x) = (x 1)2 x+1. 10.3 Rešitve 1. f(0) = 4 3 1 x 2 2x 2 +3, f(1) = 1, f( 1) = 1, f(2) = 8 11, f(x 1) = x2 2x+5 2x 2 4x+5, f(x) 1 = 2. f(0) = 1, f(1) = 2, f( 4) = 3, f( 3) = 1, 2 14 2 13 f(x2 ) = x2 +1, f( 1) = 1+x 3x 2 2 x 1 = f(x) 3x 2 x+1 3 2x,
58 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI 3. f(0) = 0, f( π) = 2, f(π) = 2, 2 f(π) = 1 4 4. f( 1) = 1, f( 0, 001) = 17, f(0, 1) = 5, f( 10) = 7, f(100) = 13 5. (a b)(a + b + 1) 6. a) Df = [ 2, ) b) Df = [ 3, 3] c) Df = [ 4, 0] d) Df = R\{1} e) Df = R\{2, 2} f) Df = (, 1) (3, ) g) Df = (, 2) ( 1, ) h) Df = (1, ) i) Df = R\{2, 2} j) Df = ( 2, 2) k) Df = [1, 4] l) Df = R m) Df = R\{3} n) Df = R\{ 3π + kπ; k Z} 4 o) Df = R\{ π + kπ; k Z} 4 2 7. a) Liha. b) Soda. c) Soda. d) Soda. e) Liha. f) Niti liha niti soda. g) Soda. h) Liha. i) Soda. j) Liha. k) Niti liha niti soda.
10.3. REŠITVE 59 8. a) f 1 (x) = 4x+1 1 x b) f 1 (x) = 2x2 +1 c) f 1 (x) = x 2 1 1+4x 1 x d) f 1 (x) = 3ex +2 e x 1 e) f 1 (x) = 3e2x +1 1 e 2x f) f 1 (x) = 4 ln x 3 g) f 1 (x) = e x+4 1 9. Rešitve na sliki 10.1. y=3x+2 x=1/2 y=2 y=x/3-1 2 3 y=1-x Slika 10.1: Rešitve naloge 9. 10. a) y = 2x, b) y = 2x 1, c) x = 1. 11. Rešitve na sliki 10.2. a) Ničle: x 1,2 = 2, teme: T ( 2, 0), presečišče z ordinatno osjo: T y (0, 4). b) Ničle: x 1 = 3+ 41, x 4 2 = 3 41, teme: T ( 1, 41 ), presečišče z ordinatno 4 2 8 osjo: T y (0, 4). c) Ničle: x 1 = 3+2 3, x 2 = 3 2 3, teme: T (3, 4), presečišče z ordinatno osjo: T y (0, 1). d) Ničle: x 1 = 1, x 2 = 3, teme: T (2, 1), presečišče z ordinatno osjo: T y (0, 3). 12. a) f(x) = x 2 + 3x + 2 b) f(x) = 3 2 x2 + 1 2 x + 1
60 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI a) b) c) d) Slika 10.2: Rešitve naloge 11. 13. Enačba parabole: y = x 2 + 2x 3, teme: T (1, 2). 14. f(x) = x 2 + 2x 8 15. f(x) = 2x 2 + 5x + 2 16. P 1 ( 2, 3), P 2 (1, 0) 17. Rešitve so na sliki 10.3. Za natančnejšo sliko je potrebno s pomočjo odvodov izračunati ekstreme. a) b) Slika 10.3: Rešitve naloge 17. 18. x 3 + 2x 2 2, ostanek: 6x + 4 19. Grafi so na sliki 10.4 in sliki 10.5. a) ničla: x = 1 - liha; pol: x = 2 - lihi; asimptota y = 1
10.3. REŠITVE 61 b) ničli: x 1 = 1 - liha, x 2 = 3 2 - liha; pol: x = 4 - lihi; asimptota: y = x 9 2 c) ničla: x = 3 - liha; pola: x 1 = 2 - lihi, x = 2 - sodi; asimptota: y = 0. d) ničli: x 1 = 2 - soda, x 2 = 1 - liha; pola: x 1 = 1 - sodi, x 2 = 10 - sodi; asimptota: y = 0 e) ničli: x 1 = 1 2 - liha, x 2 = 2 - soda; pola: x 1 = 0 - lihi, x 2 = 1 - sodi; aslimptota: y = 2 f) ničla: x = 1 - soda; pola: x 1 = 1 - lihi, x 2 = 4 - sodi; asimptota: y = 1 a) b) c) -1 2 3 Slika 10.4: d) e) f) 3 Slika 10.5: 20. Definicijsko območje: D f = (, 1) (4, ), inverzna funkcija: f 1 (x) = ex +4 1 e x. 21. Definicjsko območje: D f = (, 1) (1, ), inverzna funkcija: f 1 (x) = e x + 1. 22. Definicijsko območje: D f = (, 1 2) (3, ), inverzna funkcija: f 1 (x) = 3x2 +1 x 2 2.
62 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI 23. ničla: x = 1 - soda, pol: x = 1 - lihi, asimptota: y = x 3, glej slika 10.6 1 Slika 10.6: Rešitev naloge 23
Poglavje 11 Odvod 11.1 Formule 1. (k) = 0 odvod konstante 2. (k f(x)) = k f (x) (odvod produkta funkcije s konstanto) 3. (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (odvod vsote dveh funkcij) 4. (f(x) g(x)) = f (x) g (x) (odvod razlike dveh funkcij) 5. (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (odvod produkta funkcije s konstanto) 6. ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 7. (x n ) = nx n 1 8. (a x ) = a x ln a 9. (e x ) = e x 10. (log a x) = 1 x log a e (odvod količnika dveh funkcij) 11. (ln x) = 1 x 12. (sin x) = cos x 13. (cos x) = sin x 14. (tan x) = 1 cos 2 x 15. (cot x) = 1 sin 2 x 63
64 POGLAVJE 11. ODVOD 16. f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) f (x 1! 0 ) + (x x 0) 2 f (x 2! 0 ) + (x x 0) 3 f (x 3! 0 ) +... (Taylorjeva formula) 11.2 Naloge 1. Izračunajte odvode naslednjih funkcij: a) y = 2x 4 + 7x 2 3x + 11, 5 b) y = x 2 + 3x x 2, 5x + 3 x 2 + π x 1 x 3 c) y = x 2 e x d) y = sin x x 2 +4 e) y = ( 2x+3 4 ) 3 f) y = x 2 1 g) y = sin 3x + cos x 5 + tan x h) y = 5e x2 1+x 2 i) y = ln a2 x 2 a 2 +x 2 j) y = ln(x + 1 + x 2 ) k) y = sin 3 (5x) cos 2 x 3 l) y = ln x + 1 + ln( x + 1) 2. Izračunajte odvode implicitno podanih funkcij: a) x 2 y 2 = 4 b) e y = x + y c) ln y + x y = c 3. Izračunajte: a) f (0), če je f(x) = e x cos 3x. b) f (1), če je f(x) = ln(1 + x) e x2. 4. Za funkcijo f(x) = x 4 6x 2 poiščite f (0), f (1), f (0), f (1). 5. Poiščite tretje odvode funkcij: a) y = sin 2 x
11.2. NALOGE 65 b) y = 1 x 2 c) y = x 2 e x d) y = 1 x 2 e) y = e x2 2 f) y = arctan x 2 6. Analizirajte funkcije in narišite grafe: a) f(x) = x 2 + 1 x b) f(x) = x 4 8x 2 c) f(x) = xe x d) f(x) = x(ln x) 2 e) f(x) = x ln x f) f(x) = xe 2x2 g) f(x) = 3x x 1 + 3x h) f(x) = (2x 1)(x + 3) 2 i) f(x) = 1 x2 x 2 6x+9 7. Določite tangento na krivuljo y = (2x 1)2 x v točki x = 1 (v točki x = 1). 8. Dana je funkcija f(x) = (3x+1)2 2x. Določite točke v katerih je tangenta na funkcijo vzporedna s premico 8x 2y + 5 = 0. 9. V kateri točki je tangenta na krivuljo y = 2 x vzporedna s premico 2x + 4y 12 = 0? 10. Paraboli, ki gre skozi točke A(0, 5), B(2, 3)inC( 1, 0) poiščite tangento, ki gre skozi točko T (1, y). 11. Krivulji y = x 3 in y = 7x 2 36 se sekata v treh točkah. Poiščite te tri točke. Zapišite tangente na krivuljo y = x 3 skozi te tri točke. 12. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije y = 2x x 2 1 v točki T (2, y). 13. Ali ima krivulja y = x x 2 tangento z naklonskim kotom 45? 14. Dana je funkcija f(x) = xe x 2. Določite definicijsko območje, ničle, ekstreme, naravo ekstremov, konveksnost, konkavnost in narišite graf funkcije. x Izračunajte tudi limito lim. x e x 2
66 POGLAVJE 11. ODVOD 15. Določite definicijsko območje, ničle, pole, ekstreme in narišite graf funkcije f(x) = 1+ln x x 16. Razdelite naravno število 100 na dve naravni števili, katerih vsota je 100 tako, da bo njun produkt največji. 17. Določite dimenzije odprtega bazena s kvadratnim dnom tako, da boste za oblaganje sten in dna bazena porabili najmanj materiala. Volumen bazena je 32m 3. 18. Dani sta točki A(1, 2) in B( 2, 4). Poiščite tisto točko C na abcisni osi, za katero je vsota razdalj do točk A in B minimalna. 19. Z L Hospitalovim pravilom izračunajte naslednje limite: sin 3x a) lim x π x π x b) lim 2 x e x c) lim(1 z) tan πz z 1 2 d) lim e 2x x 0 x 3 +2x 1 20. Razvijte po Taylorjevi formuli okoli točke x = 3 do polinoma 4. stopnje funkcijo f(x) = x + 1. 21. Razvijte funkcijo f(x) = e 2x x 2 v Taylorjev polinom stopnje 4 okoli točke x = 0. 22. Funkcijo f(x) = ln 1+x razvijte v Taylorjevo vrsto okoli točke x = 0 (napišite 1 x vsaj tri od nič različne člene). 23. Funkcijo y = cos 2 2x razvijte v Taylorjevo vrsto okoli točke x 0 = 0 (napišite vsaj 4 od nič različne člene). 11.3 Rešitve 1. a) y = 8x 3 + 14x 3 b) y = 2x + 9 2 x 2, 5 + 2 3 3 x π x 2 + 3 2 x 5 c) y = e x (x 2 + 2x) d) y = (x2 +4) cos x 2x sin x (x 2 +4) 2 e) y = 3 2 ( 2x+3 4 ) 2
11.3. REŠITVE 67 f) y = x x 2 1 g) y = 3 cos 3x 1 5 sin x 5 + 1 2 x cos 2 x h) y = 10xe x2 (2+x 2 ) (1+x 2 ) 2 i) y = 4a2 x a 4 x 4 j) y = 1 1+x 2 k) y = 15 sin 2 5x cos 5x cos 2 x 3 2 3 sin3 5x cos x 3 sin x 3 l) y = 1 2x ln x+1 + 1 2( x+x) 2. a) y = x y b) y = 1 x+y 1 c) y = y x y 3. a) 1 b) 1 2 2e 4. 0, 8, 12, 0 5. a) y = 4 sin 2x b) y = 3x(1 x 2 ) 5 2 c) y = e x (x 2 6x + 6) d) y = 24x 5 e) y = e x2 2 (3x + x 3 ) f) y = 12x2 16 (x 2 +4) 3 6. a) Ničla v x = 1 (enkratna), pol v x = 0. Definicijsko območje D f = R {0}. Lokalni minimum je v E(0, 8, 1, 875). Prevoj v x = 1. Konveksna na (, 1) (0, ) in konkavna na ( 1, 0). b) Funkcija je soda. Ničla v x 1,2 = 0 (dvakratna), v x 3 = 8 (enkratna) in v x 4 = 8 (enkratna). Definicijsko območje D f = R. V E 1 (0, 0) je lokalni maksimum, v E 2 (2, 16) in E 3 ( 2, 16) sta lokalna minimuma. 4 Prevoj v x = in x = 4. Konveksna na (, 4 ) ( 3 3 3 4 in konkavna na (, 4 ). 3 3 4, ) 3
68 POGLAVJE 11. ODVOD Slika 11.1: Graf funkcije f(x) = x 2 + 1 x. c) Ničla v x = 0 (enkratna). Definicijsko območje D f = R. V E(1, e 1 ) je lokalni maksimum. Prevoj v x = 2. Konkavna na (, 2) in konveksna na (2, ). d) Ničla v x 1,2 = 1 (dvakratna). Definicijsko območje (0, ). Lokalni minimum v E 1 = (1, 0) in lokalni maksimum v E 2 = (e 2, 4e 2 ). Prevoj v x = e 1. Konkavna na (0, e 1 ) in konveksna na (e 1, ). e) Ničel ni. Pol je v x = 1. Definicijsko območje (0, 1) (1, ). Minimum je v E(e, e). Prevoj je v x = e 2. f) Funkcija je liha. Ničla je v x = 0 (enkratna). Definicijsko območje D f = R. Lokalni minimum je v E 1 ( 1, e 1 2 ) in maksimum je v E 2 2 1( 1, e 1 2 ). 2 2 Prevoji so v x = 3, x = 3, x = 0. 2 2 g) Ničla je v x 1,2 = 0 (dvakratna). Pol je v x = 1. Poševna asimptota y = 3x + 3. Definicijsko območje D f = R {1}. V E 1 (0, 0) je maksimum in v E 2 (2, 12) je minimum. h) Ničla v x 1 = 1 (enkratna) in v x 2 2,3 = 3 (dvakratna). Definicijsko območje D f = R. V E 1 ( 3, 0) je lokalni maksimum in v E ( 2, 12, 7) 3 je minimum. V x = 11 je prevoj. 6 i) Ničla je v x 1 = 1 (enkratna) in v x 2 = 1 (enkratna). Pol je v x = 3 (dvakratni). Začetna vrednost f(0) = 1. Definicijsko območje D 9 f = R {3}. Vodoravna asimptota y = 1. Lokalni maksimum je v E( 1, 1). 3 8 Grafi funkcij so na Slikah od številke 11.1 do številke 11.9. 7. y = 3x 2 8. T 1 (1, 8), T 2 ( 1, 2) 9. T (0, 47; 0, 72)
11.3. REŠITVE 69 Slika 11.2: Graf funkcije f(x) = x 4 8x 2. Slika 11.3: Graf funkcije f(x) = xe x. Slika 11.4: Graf funkcije f(x) = x(ln x) 2.
70 POGLAVJE 11. ODVOD Slika 11.5: Graf funkcije f(x) = x ln x. Slika 11.6: Graf funkcije f(x) = xe 2x2. Slika 11.7: Graf funkcije f(x) = 3x x 1 + 3x. Slika 11.8: Graf funkcije f(x) = (2x 1)(x + 3) 2.