ài tập ôn đội tuyển I năm 015 Nguyễn Văn inh Số 7 ài 1. (ym). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (I). G là điểm chính giữa cung không chứa. là tiếp điểm của (I) với. J là điểm nằm trên sao cho JG cắt I tại thỏa mãn I = IJ. J cắt () lần thứ hai tại. I cắt () tại. hứng minh rằng đường thẳng Simson của ứng với tam giác tiếp xúc với (I). I J G hứng minh. ẻ đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IG. o GI = GJ.G nên GI = IJG = IJ = 90 GJ = 90 G. à GI + GI = 90 nên IG = IG = IG, suy ra GI = G hay (I). ẻ,. Ta có I = GI = = nên phép vị tự quay góc quay bằng, tỉ số lần lượt biến, I,, suy ra I. Như vậy I. Suy ra I = = 180 I = 90 1. Vậy (I) là đường tròn bàng tiếp góc của tam giác hay tiếp xúc với (I). Ta có đpcm. ài. ho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn () có >, trực tâm. là điểm nằm trên () sao cho và khác phía với và =. Gọi là điểm đối xứng với qua 3. hứng minh rằng đường thẳng Simson của tiếp xúc với đường tròn uler của tam giác. 1
N hứng minh. ua kẻ ( ()). cắt tại. Ta có = = = 1 =. Suy ra. à song song với đường thẳng Simson của ứng với tam giác nên đường thẳng Simson của song song với. Gọi là trung điểm, là trung điểm suy ra nằm trên đường thẳng Simson của, mà nên là đường thẳng Simson của. Gọi N đối xứng với qua. húng ta biết rằng đường thẳng Simson của hai điểm là hai đầu của đường kính thì vuông góc với nhau tại một điểm trên đường tròn uler nên đường thẳng Simson của là đường thẳng qua N vuông góc với N hay tiếp tuyến tại N của (). Ta có đpcm. ài 3. (Nguyễn Văn inh). ho tứ giác có = = 10. hân giác góc và góc giao nhau tại. hứng minh rằng đường thẳng uler của 10 tam giác có đỉnh là 3 trong 5 điểm,,,, đồng quy. 1 G T X Y hứng minh. Gọi G, lần lượt là trọng tâm tam giác, ; là trung điểm, 1, lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác,. cắt ( 1 ) lần thứ hai tại. ễ thấy tam giác đều nên 1 là trọng tâm tam giác. Từ đó 1 = G = = 1 3. Suy ra 1, G, thẳng hàng hay đường thẳng uler của tam giác đi qua trọng tâm tam giác. hứng minh tương tự với các tam giác,,,,.
Như vậy ta cần chứng minh G nằm trên đường thẳng uler của các tam giác,,. Gọi Y, X là giao của G với ( ), G với ( 1 ), cắt ( ) lần thứ hai tại T. Ta có G 1 nên theo định lý Reim, X, 1, G, đồng viên. Tương tự 1, G,, Y đồng viên. Như vậy 5 điểm X, 1, G,, Y cùng nằm trên ω. à 1 X = Y nên XY T. Từ đó Y = X. Đặt G = G = x. iển nhiên số đo các cung X 1, 1, Y của ω đều bằng x. o đó XGY = 180 3x. à XGY = 360 G G = 360 x 10. o đó = 60 + x = G = G. Suy ra G nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Tương tự với tam giác. ằng cộng góc cũng suy ra = 180 x = 180 G = 180 G. Suy ra G nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Ta có đpcm. ài 4. ho tam giác. là điểm bất kì trong mặt phẳng. Gọi a, b, c lần lượt đối xứng với qua,,. hứng minh rằng ( a ), ( b ), ( c ) đồng quy tại và đường tròn uler của các tam giác,, tiếp xúc với nhau. c b a hứng minh. Gọi là giao của ( b ) và ( a ). Ta có (, ) (, ) + (, ) ( a, a ) + ( b, b ) (, ) + (, ) (, ) ( c, c ) (mod π) Suy ra ( c ). Gọi là trung điểm. Tiếp tuyến tại của các đường tròn uler của các tam giác,, hiển nhiên lần lượt song song với tiếp tuyến d a tại của ( ), d b tại của ( ), d c tại của ( ). o đó ta cần chứng minh d a d b d c. Ta có (d b, ) =, (d a, ) =. o = nên + = +. Suy ra =. Vậy (d b, ) = (d a, ) hay d a d b. hứng minh tương tự ta có đpcm. ài 5. hứng minh rằng trung điểm của nằm trên đường tròn uler của tam giác. hứng minh. o đường tròn uler của tam giác và tiếp xúc nhau tại nên là điểm uler-oncelet của 4 điểm,,,. Suy ra nằm trên đường tròn uler của tam giác. Tương tự cũng nằm trên đường tròn uler của tam giác,. o đó là điểm uler-oncelet của 4 điểm,,,. Từ đó nằm trên đường tròn uler của tam giác. 3
ệ quả. Trung điểm của đoạn nối hai điểm Fermat nằm trên đường tròn uler. được gọi là điểm ntigonal conjugate của. ài 6. ho tam giác nội tiếp đường tròn (), I là tâm nội tiếp. I, I, I giao () lần thứ hai tại,, F. 1, 1, 1 lần lượt là điểm đối xứng với,, F qua,,. X, Y, Z lần lượt là giao của 1 1 với F, 1 1 với F, 1 1 với. hứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn uler của tam giác. 1 I 1 Y 1 X J F Z hứng minh. Gọi J là điểm ntigonal conjugate của I ứng với tam giác. là trung điểm IJ. hi đó là điểm uler-oncelet của 4 điểm,,, I. à đường tròn pedal của I ứng với tam giác đi qua nên là điểm Feuerbach của tam giác. o là tâm ngoại tiếp tam giác I nên 1 là tâm ngoại tiếp tam giác J, tương tự 1 là tâm ngoại tiếp tam giác J. Suy ra 1 1 là trung trực J. ại có F là trung trực I nên X là tâm ngoại tiếp tam giác IJ. Tương tự suy ra X, Y, Z cùng nằm trên trung trực của IJ hay đường thẳng qua vuông góc với I. Vậy đường thẳng đi qua X, Y, Z là tiếp tuyến tại điểm Feuerbach của đường tròn uler của tam giác. ài 7. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Tiếp tuyến tại,, cắt cạnh đối diện lần lượt tại a, b, c ; a, b, c lần lượt là trung điểm,,. hứng minh rằng đường tròn uler của các tam giác a a, b b, c c có trung trục đẳng phương là đường thẳng uler của tam giác. 4
X a T c b a a a hứng minh. Gọi ω a, ω b, ω c lần lượt là đường tròn uler của các tam giác a a, b b, c c. Gọi là tâm của ω a, a, b, c là hình chiếu của,, trên,,. Ta có a a = 90 a = 90 a b c a c b = 90. à a a = a = nên a a + a a = 90. Suy ra a a. Gọi T a = a a thì T a là trực tâm của tam giác a a. o là trung điểm a T a nên nằm trên w a. hứng minh tương tự suy ra ω a, ω b, ω c đồng quy tại. ặt khác, gọi X a là giao của ω a với a. Ta thu được X a là trung điểm T a. à T a là trung điểm nên X a a = 3 4 a = 3 4 b = X b b. o đó nằm trên trục đẳng phương của ω a và ω b. hứng minh tương tự suy ra đường thẳng uler của tam giác là trục đẳng phương của ω a, ω b, ω c. ài 8. hứng minh. 5