Dn.Micu@et.utcluj.ro METODE NUMERICE Curs 1. Utilizre Metodelor Numerice în Ingineri Electric Erori în clcule numerice
Curs 1. Introducere. Obiectul cursului. Evoluti metodelor numerice si tehnicii de clcul. Bibliogrfie. Curs. Erori în rezolvre problemelor numerice. Moduri de eprimre erorii. Surse de erori. Tipuri de erori. Propgre erorilor. Aplicţii şi reguli prctice. Curs 3. Clculul vlorilor funcţiilor utilizte în ingineri electrică. Clculul vlorilor funcţiilor polinomile. Clculul vlorilor unor funcţii nlitice (eponenţile, logritmice, trigonometrice, hiperbolice). Aplicţii le numerelor complee în rezolvre circuitelor electrice în curent lterntiv. Clculul vlorilor funcţiilor cu metod proimţiilor succesive. Curs 4. Rezolvre numerică ecuţiilor lgebrice şi trnscendente. Metod înjumătăţirii intervlului. Metod cordei. Metod Newton-Rphson. Metod Birstow. Curs 5. Chestiuni de electrotehnică cre conduc l sisteme comptibile determinte. Elemente de lgebră mtricilă. Rezolvre mtricilă circuitelor electrice. Mtrici şi grfuri de circuit. Metode de nliză numerică circuitelor electrice. Curs 6. Anliz numerică circuitelor linire în regim permnent. Rezolvre numerică sistemelor de ecuţii linire. Metod lui Guss. Metod proimţiilor succesive (Jcobi). Metod proimţiilor succesive (Guss-Seidel). Curs 7. Studiul condiţionării şi rezolvre sistemelor de ecuţii incorect formulte. Metode globle directe si itertive de clcul l vlorilor proprii. Anliz stbilităţii l mici perturbţii sistemelor electrice. Anliz unui dispozitiv cu jutorul numărului de condiţionre. Perturbţii cre cţioneză supr surselor câmpului electromgnetic şi supr structurii unui dispozitiv electromgnetic. Regulrizre sistemelor de ecuţii incorect formulte. Curs 8. Rezolvre sistemelor de ecuţii nelinire. Anliz numerică circuitelor electrice rezistive nelinire. Metod proimţiilor succesive (Jcobi). Metod proimţiilor succesive (Guss-Seidel). Metod lui Newton. Curs 9. Aproimre numerică funcţiilor. Aproimre prin interpolre polinomilă. Aproimre cu funcţii spline. Aproimre cu cele mi mici pătrte. Aproimre numeric crcteristicii de mers in gol unui genertor sincron prin metod celor mi mici ptrte. Curs 10. Derivre şi integrre numerică. Formule de derivre utilizând dezvoltări în serie Tlor şi polinome de interpolre Lgrnge. Diferente divizte. Formule de cudrtură de tip Newton-Cotes (trpezului, Simpson). Formule de cudrtură de tip Guss. Curs 11. Rezolvre ecuţiilor diferenţile cu condiţii iniţile si sistemelor de ecuţii diferenţile. Metode de tip Euler. Metode de tip Runge-Kutt. Anliz numerică circuitelor electrice în regim trnzitoriu. Bzele mtemtice şi interpretările fizice le opertorilor: grdient, divergenţă, rotor, lplcen. Curs 1. Rezolvre numerică ecuţiilor diferenţile cu derivte prţile. Metode numerice pentru solutionre ecuţiilor diferenţile prbolice, hiperbolice şi eliptice. Curs 1314. Metode numerice şi lgoritmi de rezolvre modelul mtemtic diferenţil de câmp electromgnetic. Noţiuni şi ecuţii fundmentle în nliz numerică câmpului electromgnetic. Rezolvre ecuţiei Lplce cu metod diferenţelor finite. Rezolvre ecuţiei Lplce cu metod elementului finit.
Pentru un model mtemtic rezolvbilitte cere c problem mtemtică socită să fie: ) bine pusă : eistenţ, unicitte, stbilitte soluţiei. b) bine condiţiontă : l mici vriţii le dtelor corespund mici vriţii le rezulttelor. Aceste perturbţii pot fi dtorte unor erori eperimentle su erori de rotunjire în reprezentre numerică dtelor. Obiectivul principl: Determinre lgoritmilor cre rezolvă o problemă numerică într-un timp minim şi cu o mimă curteţe (precizie). În metodele de nliz numerică se disting două specte : 1. Metodologi : trteză construcţi lgoritmilor specifici, eficienţ lor, implementre pe un clcultor (spect prctic).. Anliz : studiză şi estimeză erorile şi convergenţ metodelor (spect teoretic).
Aplictii le metodelor numerice in ingineri electric EXEMPLE PRACTICE
Motor sincron pentru cţionre pompelor Efectul pornirii mşinilor electrice ( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 0 0 0 sc b f b f p f p sc b sc f f sc f b b sc p sc b p S U S U Q X P R S U S Q Q S S U U S X S U Z REZOLVAREA APROXIMATIVĂ A ECUAȚIILOR ALGEBRICE ȘI TRANSCENDENTE Motor sincron pentru cţionre pompelor Motor sincron pentru cţionre pompelor
Metode de mplsment liniei electrice Reprezentre geometrică de mplsment liniei electrice [ ( ) ] ( ) ( ) b L C L 1 C
METODE NUMERICE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAŢII Circuitul de prindere l un utomobil Circuitul electric corespunzător instlţiei de prindere Schem de principiu unui circuit de prindere l utomobil I 1 I I 3 0 I 1 I I 3 0 10 I 5 I 3 90 0 I 1 10 I 80 ( nod A ) ( nod B ) ( bucl I ) ( bucl II ) Circuit electric de curent continuu
Detecţi defectelor de mteril FACTORIZAREA MATRICELOR Model geometric demonstrtiv privind testre non-distructivă ( ) ( ) ( ) [ ] u z A d c u d z K b,,, Model geometric demonstrtiv privind testre non-distructivă ( ) ( ) ( ) [ ] u z A d c u d z K b,,, Model geometric demonstrtiv privind testre non-distructivă
APROXIMAREA FUNCŢIILOR UTILIZÂND FUNCŢII PREDEFINITE DIN MATHCAD Amplsre tblourilor de distribuţie Alegere unei funcţii pentru proimre nlitică coeficientului de influenţă K ( n, A, B, C, D) An Bn C Dlog( n) k 10 f () 1 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 3 6 9 1 15 18 1 4 7 30 33 36 39 4 3 n, Coeficientul de influent Functi de proimre 4
APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN POLINOAME DE INTERPOLARE Testre izoltorilor liniilor electrice eriene Străpungere izoltorilor Montj de testre izoltorilor În urm efectuării încercărilor se stbilesc funcţii numerice de dependenţă între vlorile rezistenţei de izolţie şi nivelul tensiunilor plicte. Pentru flre rezistenţei pentru orice nivel de tensiune electrică, se peleză poi l interpolre numerică funcţiilor de dependenţă reieşite.
INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERICĂ Evlure suprtensiunilor induse dtorită trăsnetelor pe LEA Acţiune trăsnetelor supr linilor de înltă tensiune Cuntificre efectelor de suprtensiuni induse în LEA porneşte de l epresiile deduse pentru câmpurile electrice şi mgnetice generte de trăsnet, epresii cre pr în cdrul unor integrle complee B ϕ μ H 0 ( r, z, ω ) Gϕ ( r, z, z', ω ) ep j ω I ( z', ω ) 4 π H R c dz'
Stbilire cntităţilor de energie consumte, pe bz înregistrărilor de putere curb de srcină zilnică Se consideră un receptor de energie electrică pentru cre se cunoşte curb de srcină zilnică referitore l putere ctivă consumtă (eprimă vriţi în timp puterii ctive consumte pe durt unei zile). W zi 4 P( t ) dt 0
METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAŢIILOR SI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE Circuit R-L serie în regim trnzitoriu L di( t dt ) R i( t ) E cosω t Studiul performnţelor dinmice le unui motor Modelul unei mşini linire de inducţie di L dt ( R r() t ) i u( t) r ( t) 1 t 3 3t 1
Formulre Problemei (P) dte cunoscute (dte); necunoscute (soluţii); lege de legătură (dte-soluţii) Descriere Problemei (P) Model Mtemtic (M(P)) Aproimre M(P) printr-o Metodă Numerică (MN(P)) Dezvoltre lgoritm Pentru MN(P) Implementre lgoritm în MthCd (Mtlb, Mthemtic etc.)
Specificre problemei rele (LEA-Conductă) inducere Construire unui model fizic (circuitul electric echiv.) Confruntre cu relitte Modificre model Formulre problemei mtemtice (sistem de ecuţii) Interpretre soluţiei deducere Rezolvre problemei mtemtice Metode numerice
Zonă de influenţă comună: conductă (îngroptă m) şi linie electrică Clculul curentilor indusi in structur metlic
Lege lui Frd conturul închis Γ
Schem electrică echivlentă coridorului comun LEA-Conductă metlică
Schem electrică echivlentă implementtă în progrmul PSpice
Clsificre problemelor numerice (de clcul) Problem numerică: T X, Y spţii linire X; Y T- opertor T : X Y Reprezentre schemtică unei probleme numerice T Intrre Sistem Iesire Problem Directă Problem Inversă T T ; ; dt ; T E dl U 1 [ R] [] I [ E] [] I [ R] [ E] T 1
Clculul numeric l vlorilor functiilor utilizte in plictii din IE trebuie bordt din urmtorele puncte de vedere Apreciere corect erorilor Sugerre unor lgoritmi de rezolvre destinti diverselor plictii Utilizre numerelor complee in IE
Anliz erorilor Măsurările obţinute într-un lbortor cu un instrument de măsură, u sens numi dcă este cunoscută sensibilitte prtului. Un clcultor numeric pote reprezent numi un număr finit de cifre; de unde şi posibilitte c un număr rel introdus în clcultor să fie proimt; operţiile elementre cu ceste numere produc rezultte cre nu pot fi reprezentte ect în clcultor. Când un lgoritm, constituit dintr-o succesiune de operţii elementre este introdus în clcultor, se obţine în generl o erore şi propgre succesivă de erori. Aceste erori se numesc erori de rotunjire, numele venind de l o tehnică de reprezentre numerelor rele în clcultor
Surse de erori Fără subestim importnţ soluţiilor nlitice, mjoritte problemelor ingineriei electrice nu dmit decât soluţii numerice. În ctivitte concretă de determinre cestor, inginerul este obligt să cunoscă şi să stăpânescă spectele legte de proimări şi erori, de influenţ lor supr rezulttelor. Întrebre: Cât de concrete, cât de ecte sunt rezulttele obţinute?, Problem erorilor prezintă interes tât l metodele numerice directe (soluţi rezulttelor după efecure unui număr finit de operţii elementre, cunoscut de l bun început), cât şi cele itertive su de proimări succesive (pornind de l o soluţie proimtivă, se obţin vlori din ce în ce mi precise le rezulttului, prin repetre unei secvenţe reltiv mi reduse de operţii ritmetice elementre). Condiţi de terminre clculelor l metodele itertive este legtă, de regulă, de tingere unei numite precizii, de siture erorii sub o vlore prestbilită, cee ce impune necesitte cunoşterii su precierii erorii în fiecre moment procesului de clcul.
Tipuri de erori Ctegorii principle de erori : erori de problemă şi de metodă, erori iniţile su inerente, erori de trunchiere şi erori de rotunjire. Erore unui rezultt proimtiv este unică dr provine din mi multe surse si re mi multe componente de ntur celor precizte mi sus: fiecre dintre componentele erorii se pote eprim sub formă bsolută su reltivă diversele ctegorii de erori trebuie coordonte (corelte) între ele, în sensul sigurării celuişi ordin de mărime pentru fiecre componentă (sunt nejustificte şi ineficiente eforturile pentru reducere unui numit tip de erore, dcă celellte tipuri u vlori mult mi mri).
PROBLEMA REALĂ P erori de problemă cuzte de simplificările în formulre M(p) MODEL MATEMATIC M(P) erori de trunchiere nlitice - procese de clcul numeric cu convergenţă infinită sunt înlocuite cu procese cu convergenţă prctic finită, element crcteristic pentru metodele itertive su de proimări succesive. METODĂ NUMERICĂ MN(P) Erore de trunchiere nu se pote clcul ect dr se pote estim. De regulă, condiţi prctică de terminre clculelor erori de l metodele itertive este legtă de vlore erorii de trunchiere: clculele se consideră terminte în momentul în intrre-ieşire cre erore de trunchiere junge sub o vlore limită prestbilită. ALGORITM (schemă logică) PROGRAM Testre şi utilizre Interpretre rezultte Erorile iniţile su inerente se dtoreză prezenţei în modelul mtemtic unor coeficienţi numerici, le căror vlori se cunosc dor proimtiv. Cuzele sunt legte de proveninţ lor : măsurători eperimentle mi mult su mi puţin precise, soluţii mi mult su mi puţin proimtive le unor probleme numerice socite, etc.
Moduri de eprimre erorii Se consideră o mărime numerică relă A pentru cre se cunoşte vlore proimtivă (determintă eperimentl-măsurători) Erore proimţiei pentru vlore ectă A: A -corecţie proimţiei lui A prin > 0 < 0 A Aproimre prin lipsă Aproimre prin dos - formul de proimre A - Erore bsolută În plicţiile prctice se cunoşte ; nu se cunoşte A - se pune problem estimării erorii bsolute! Limit superioră A s s A s A ± s
Erore bsolută nu este suficientă pentru crcteriz grdul de precizie unei proimări!!! Eemplu A 1 1 10 9 A 10000 9999 Se precieză intuitiv că proimeză mult mi bine A decât 1 pe A 1 cu tote că: 1 1 Este nevoie de o ltă mărime cre să eprime corect grdul de precizie l unei proimţii!!! A Erore reltivă r r [ ] r % 100 r 1 r A 1 A 1 1 10 9 9 10000 9999 9999 [ ] 0. 11 10 % ; 0. 0001 0. 01 [% ] r < r1 Aproimţi este mi precisă
Erore nlitică de trunchiere erore între soluţi lui M(P) şi soluţi lui MN(P) Eemplu: Consider funcţi eponenţilă e. Se cere să se clculeze vlorile ei pentru diverse vlori le rgumentului, utilizând dezvoltre în serie McLurin: e 3 k 1 L L! 3! k! Avem un număr infinit de termeni. În clcule se folosesc dor un număr finit de termeni (5,6,7,8, ) dependent şi de vlore rgumentului. Termenii omişi determină priţi erorii de trunchiere (dtortă trunchierii unui proces de clcul teoretic infinit). Problem mtemtică e i0 i i! Problem numerică Erore nlitică de trunchiere:.t.t (N)e -S N ().t depinde de N prmetru de discretizre S N ( ) N i 0 i i!
Propgre erorilor X, Y opernzi (tensiune, curent);, vlorile proimtive corespunzătore Adunre Y X Y X r r Erore sumei este eglă cu sum erorilor termenilor Erore bsolută sumei nu depăşeşte sum erorilor bsolute le termenilor Dcă opernzii sunt de celşi semn, limit superioră erorii reltive sumei nu depăşeşte limit superioră erorii reltive mime termenilor!
BIBLIOGRAFIE 13. SIMIONESCU, M DRAGNA. Metode numerice în tehnică - plicţii în Fortrn. Ed. 1. DAN D. MICU, A. CZIKER. Aplicţii le metodelor numerice în electrotehnică. Cs Crţii de Ştiinţă Cluj-Npoc, 00. Ş. KILYENI, A. DUMITRESCU. Metode numerice - plicţii în energetică. Ed. Orizonturi Universitre Timişor, 000 3. D. IOAN, ş.. Metode numerice în ingineri electrică. Ed. Mtri Rom Bucureşti, 1998 4. A.BRATCU, A. FILIPESCU. Metode numerice utilizte în nliz sistemelor. Ed. Mtri Rom Bucureşti, 004 5. V. FIRETEANU, M. POPA. Modele numerice în studiul şi concepţi dispozitivelor electrotehnice. Mtri Rom Bucureşti, 004 6. DAN D. MICU. Metode numerice în studiul interferenţelor electromgnetice. Ed. Medimir, Cluj-Npoc, 004 7. DAN D. MICU, LAURA CREŢ, DENISA DUMA, Culegere de probleme de electrotehnică, UTPress, Cluj-Npoc, Români, 005. 8. Dn D. MICU, A. CECLAN, Metode numerice. Aplictii in ingineri electric, Ed. Medimir, 007. 9. *** Mthcd 14, User's Guide. Mthsoft, Cmbridge, Msschusetts, 009 10. *** Interctive Schum's outline. Mthsoft, New-York, 1998 11. *** Mthcd 8, User's Guide. Mthsoft, Cmbridge, Msschusetts, 1997 1. C. MUNTEANU. Metode numerice în nliz câmpului electromgnetic. Metod elementelor de frontier. Cs Cărţii de Ştiinţă, 1997 Tehnică Bucureşti, 1995