TITULARIZARE 2002 Varianta 1

Transcript

1 TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor rele nenule, produsul două omotetii de centre diferite este o omotetie su o trnslţie. B. Considerăm n numere complexe: x 1, x 2,..., x n, cu n nturl, n > 1. Notăm: s 0 = 1, s 1 = x 1 +x x n, s 2 = x 1 x 2 +x 1 x x n 1 x n,..., s n = x 1 x 2...x n, S 0 = n, S k = x k 1 +xk xk n, pentru orice k nturl nenul. Dovediţi relţiile: 1. S k s 1 S k 1 +s 2 S k 2...+( 1) k 1 s k 1 S 1 = ( 1) k 1 ks k, pentru 0 < k < n (formulele lui Newton). 2. S k s 1 S k 1 +s 2 S k 2...+( 1) n s n S k n = 0, pentru n 1 < k. A. Proiectţi o unitte de învăţre cu tem Puncte de extrem; teorem lui Fermt, l cls XI-, M 1, pentru un număr estimt de două ore, specificând: detlieri de conţinut, competenţe specifice, ctivităţi de învăţre, resurse şi forme de evlure. B. 1. Crcterizţi nlitic şi vectoril perpendiculritte două drepte în spţiu. 2. Formulţi srcini de lucru pentru o ctivitte de învăţre frontlă în vedere rezolvării următorei probleme: Tetredrul ABCD re muchiile AB = CD = 2, AD = BC = 3, BD = 2, AC = 5. Clculţi: ) unghiul formt de AB şi CD. b) distnţ dintre dreptele AB şi CD. 1

2 Vrint 2 A. Rotţii în pln: definiţie, rotţiile sunt trnsformări izometrice, mulţime rotţiilor cu celşi centru formeză un grup comuttiv în rport cu operţi de compunere, produsul unei rotţii diferite de trnsformre identică cu o trnslţie este o rotţie. B. 1. Pentru orice număr nturl nenul n, dovediţi că există un polinom f n cu coeficienţi întregi, de grdul n, cu coeficientul dominnt 1, stfel încât: f n (2cosx) = 2cosnx, pentru orice x rel. 2. Dcă x π este rţionl, demonstrţi: cosx este rţionl dcă şi numi dcă cosx este 0, 1 2 su 1. A. Proiectţi o unitte de învăţre cu tem Progresii, l cls X-, M 1, pentru un număr estimt de şpte ore, specificând: detlieri de conţinut, competenţe specifice, ctivităţi de învăţre, resurse şi forme de evlure. Formulţi o probă de evlure iniţilă pentru cestă unitte de învăţre. B. Cre din următorele condiţii sunt: dor necesre, dor suficiente, necesre şi suficiente, nici necesre nici suficiente pentru derivbilitte funcţiei f : R R în x 0 R? 1. este mărginită într-o vecinătte lui x 0 ; 2. este punct de extrem l lui f; 3. f este derivbilă în x 0 ; 4. f este derivbilă într-o vecinătte lui x 0. Justificţi răspunsurile. 2

3 Vrint 3 A. Inversiuni în pln: definiţie, cercul de inversiune, imginile prin inversiune le cercurilor şi le dreptelor cre trec prin pol, mulţime tuturor omotetiilor şi inversiunilor de celşi centru din pln formeză un grup (grupul conform). B. Fie, b şi n numere nturle nenule şi funcţi polinomilă ) Dovediţi că f n şi derivtele f (k) n b) Notăm I n = π 0 f n : R R,f n (x) = 1 n! xn (bx ) n. iu vlori întregi în 0 şi, k nturl nenul. b f n (x)sinxdx. Arătţi că lim n + I n = 0. c) În ipotez π = b, demonstrçi că I n este un număr întreg nenul. Trgeţi o concluzie supr rţionlităţii numărului π. A. Proiectţi o unitte de învăţre cu tem Tipuri de rţionmente logice: reducere l bsurd, inducţi mtemtică, l cls IX-, M 1, pentru un număr estimt de trei ore, specificând: detlieri de conţinut, competenţe specifice, ctivităţi de învăţre, resurse şi forme de evlure. Propuneţi un test evlutiv finl. B. 1. Enunţţi, interpretţi geometric şi prezentţi demonstrţi teoremei lui Fermt pentru funcţii derivbile. 2. În cdrul unei ctivităţi de învăţre pe grupe, puneţi în evidenţă prin exemple şi contrexemple legătur dintre punctele critice şi punctele de extrem. 3

4 Vrint 4 A. 1. Enunţţi şi demonstrţi teorem lui Leibniz-Newton. 2. Fie f, g : [,b] R continue. ) Dcă g(x) 0, pentru orice x din [,b], rătţi că există c în [,b] stfel încât: f(c) g(x) dx. (Teoremă de medie) b) Dcăf este continuăşi f (x) 0 pe [,b], demonstrţi că existăcîn[,b] stfel încât f() c g(x)dx+f(b) c g(x) dx. f(x)g(x)dx = f(x)g(x)dx = B. Fie, c şi n numere nturle nenule, n 2 şi d cel mi mre divizor comun l lui şi n. Se consideră în Z n ecuţi â ŷ = ĉ. Arătţi că: ) ecuţi re soluţii în Z n dcă şi numi dcă d divide c; b) dcă d divide c, ecuţi re exct d soluţii în Z n. A. 1. Proiectţi o unitte de învăţre cu tem Simetrii xile în pln, l cls X-, M 1, CNA, pentru un număr estimt de două ore, specificând: detlieri de conţinut, competenţe specifice, ctivităţi de învăţre, resurse şi forme de evlure. 2. Formulţi srcini de lucru decvte rezolvării printr-o ctivitte de învăţre frontlă problemei înscrierii într-un triunghi scuţitunghic dt unui triunghi de perimetru minim. B. Cre din următorele condiţii sunt: dor necesre, dor suficiente, necesre şi suficiente, nici necesre nici suficiente, pentru convergenţ şirului de numere rele ( n )? 1. Există şi c rele stfel încât n < c, pentru orice n nturl. 2. Există rel şi un şir de numere rele α n 0 stfel încât n < α n, pentru orice n nturl. 3. ( n ) mărginit şi n ( n + n+1 ), pentru orice n nturl. Justificţi răăspunsurile. 4

5 Vrint 5 A. Fie I = ( ) 1 0 şi J = 0 1 ( ) 1 1 din M (R), ir E = {xi +yj x R,y R}. 1. Arătţi că E este un spţiu vectoril rel în rport cu dunre mtricelor şi înmulţire cestor cu numere rele. 2. Determinţi o bză spţiului vectoril E. 3. Dovediţi că (E, +, ) formeză un inel comuttiv şi flţi elementele inversbile le cestui. B. Fie n număr nturl nenul şi funcţi polinomilă f n : R R,f n (x) = 1 n! xn (1 x) n. ) Dovediţi că f n şi derivtele f (k) iu vlori întregi 0 şi 1, ( ) k nturl nenul. b) Notăm I n = 1 0 n e x f n (x)dx. Arătţi că lim n + I n = 0. c) În ipotez e = b, cu şi b numere nturle nenule, demonstrţi că bi n este un număr întreg nenul. Trgeţi o concluzie supr rţionlităţii numărului e (bz logritmilor nturli). A. Proiectţi o unitte de învăţre cu tem Omotetii în pln, l cls IX-, M 1, CNA, pentru un număr estimt de trei ore, specificând: detlieri de conţinut, competenţe specifice, ctivităţi de învăţre, resurse şi forme de evlure. B. 1. Prezentţi cinci modlităţi de demonstrre colinirităţii trei puncte: ) sintetică; b) vectorilă; c) nlitică; d) cu jutorul numerelor complexe; e) cu jutorul trnsformărilor geometrice. 2. Ilustrţi cel puţin două dintre metodele expuse mi sus dovedind coliniritte punctelor remrcbile H, G şi O într-un triunghi orecre (drept lui Euler). 5