5.6. Funcţii densitate de probabilitate clasice

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.6. Funcţii densitate de probabilitate clasice"

Ενυώ Βουρδουμπάς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Elemente de sttistică 5.6. Funcţii densitte de probbilitte clsice Introducere L or ctulă eistă un număr mre de funcţii msă de probbilitte şi funcţii densitte de probbilitte ce crcterizeză diferite procese şi fenomene discrete şi, respectiv, continui. O prte din ceste funcţii msă/densitte de probbilitte sunt prezentte, l modul generic, în Tbelul 5.8. În cdrul cestui subcpitol vom prezent dor două funcţii densitte de probbilitte cu o lrgă plicbilitte prctică. Este vorb de: funcţi densitte de probbilitte Guss-ină 54 şi funcţi densitte de probbilitte uniformă Funcţi densitte de probbilitte guss-ină Un dintre cele mi utile distribuţii prmetrice este distribuţi normlă (numită şi distribuţie Guss-ină su distribuţie Guss-Lplce) unei v.. continue (su, mi generl, unui vector letor). Acestă distribuţie teoretică este cu tât mi utilă cu cât, în prctică, cele mi multe vribile letore observte tind să fie, l rândul lor, sum ltor câtorv componente letore; ori, ş cum m rătt şi intuitiv în Ane: Teorem limită centrlă, sum cestor componente letore tinde, în numite condiţii (vribilele letore sunt i.i.d. şi de vrinţe finite), să fie un norml distribuită, pe măsură ce numărul cestor componente creşte. Secvenţele letore Guss-iene (de eemplu, secvenţele de tip zgomot guss-in) su vectorii letori cu distribuţie Guss-ină jocă, ş după cum vom vede şi în pginile cestei cărţi, un rol forte importnt în: proiectre şi nliz sistemelor de procesre semnlului; modelre seriilor de dte, cât şi în proiectre sistemelor de clsificre. 54 Teoretic, reprtiţi normlă (su Guss-ină) reprezintă o reprtiţie limită către cre tind, în numite condiţii, tote celellte reprtiţii. 83

2 Algoritmi şi metode inteligente cu plicţii în electronică şi biomedicină, vol I Observţi 5.43: Noţiune de secvenţă letore, introdusă mi sus, nu este un totl nouă pentru noi (pentru st vezi şi Figur 5.6). O definiţie conceptulă cestei noţiuni este următore, O secvenţă de numere i se numeşte letore dcă e este dtă de relizările prticulre i = i (ζ) le unei secvenţe i de vribile letore i independente şi identic distribuite, definite în spţiul încercărilor repette le unui eperiment letor. Un vector letor Guss-in d-dimensionl este un vector letor crcterizt de o funcţie densitte de probbilitte normlă (Guss-ină), d-dimensionlă. Pentru un vector letor rel, d-dimensionl,, cestă funcţie de densitte re form: f ( ) d / C / e 84 T m C m (5.57) Funcţi densitte de probbilitte Guss-ină multidimensionlă pote fi prticulriztă pentru o vribilă letore monodimensionlă, stfel: f ( m ) ( ) e (5.58) În litertur de specilitte distribuţi dtă de relţi (5.58) se noteză, de obicei, cu N(m, σ ), unde m este medi ir σ este vrinţ vribilei letore. În czul prticulr în cre m =, σ =, distribuţi normlă devine o distribuţie normlă stndrd, şi e se mi noteză şi N(, ). Pentru o situţie multidimensionlă notţi nterioră se generlizeză sub form N(m, C), cu m reprezentând vectorul mediu şi C reprezentând mtrice de covrinţă vectorului letor multidimensionl,. Problemă 5.33: Dcă veţi o vribilă letore monodimensionlă, crcteriztă de o funcţie de distribuţie normlă stndrd N(, ), determinţi modlitte de o converti într-o ltă vribilă letore y, crcteriztă de următore distribuţie generică, N(my, σy ). Medi şi vrinţ (pentru czul monodimensionl) şi, respectiv, vectorul mediu, m, şi mtrice de covrinţă, C (pentru un vector multidimensionl) sunt prmetrii funcţiei densitte de probbilitte, f(), ce crcterizeză distribuţi lui. Acestă funcţie densitte de probbilitte este complet definită numi tunci când se cunosc perechile de prmetri: (m, σ) pentru v.., respectiv, (m, C) pentru vector letor.

3 Elemente de sttistică În Figur 5.3() şi Figur 5.3 sunt reprezentte câtev distribuţii Guss-iene pentru czul unei vribile letore monodimensionle şi, respectiv, pentru czul unui vector letor bidimensionl. În czul reprezentării grfice funcţiei densitte de probbilitte pentru o vribilă monodimensionlă, Figur 5.3(), grficul cestei funcţii se prezintă sub form unui clopot, cunoscut în litertur de specilitte sub numele de clopotul lui Guss. Acestă reprezentre grfică este simetrică în rport cu verticlă, = m. Tot din ceeşi figură se mi pote observ că: grficul funcţiei re un singur mim (pentru = m) şi două infleiuni (de bscise, = m ), poziţionre distribuţiei este dtă de vlore medie, ir crcterizre zonelor de concentrre punctelor este dtă de vrinţă. Deci, /3 din elementele distribuției (proimtiv 66% din elemente) se găsesc l o distnță de o deviție stndrd fță de medi clsei. Dcă luăm în considerre vrinț (cre este o cntitte mi mre decât deviți stndrd fiind eglă cu deviți stndrd l pătrt), proimtiv tote elementele distribuției se găsesc l o distnță de o vrință fță de medi clsei. f ().6 m.4. m = =. m = =.5 m = = m = =.5 F () m m m 3 4 () m 68.3% din elemente ( %) m 95.44% din elemente ( %) m % din elemente ( %) m % din elemente ( %) - 4 (b) 6 Figur 5.3. () Câtev funcţii densitte de probbilitte unidimensionle, şi (b) funcţiile de reprtiţie corespunzătore cestor f.d.p. Aceste observţii se pot generliz, într-o mnieră similră, şi pentru o distribuţie bidimensionlă (vezi Figur 5.3 şi Figur 5.6) su pentru un multidimensonlă. În generl, pentru o distribuţie multidimensionlă 85

4 Algoritmi şi metode inteligente cu plicţii în electronică şi biomedicină, vol I poziţionre elementelor este dtă de vectorul mediu în timp ce distribuţi cestor în pln este crcteriztă de mtrice de covrinţă, C. În Figur 5.3(b) sunt reprezentte funcțiile de reprtiție corespunzătore funcțiilor de densitte din figur lăturtă funcţii densitte obţinute pentru diferite vlori le prmetrilor medie şi vrinţă. Relţi de clcul folosită în reprezentre grfică funcţiilor de reprtiţie Guss-ină este: F ( um ) f u du e du (5.59) f() Figur 5.3. Reprezentre grfică unei distribuţii guss-iene bidimensionle Pentru crcterizre unor vribile letore complee vând o funcţie densitte de probbilitte Guss-ină su pentru lte relţii de crcterizre doi vectori letori consultți Ane: Funcții densitte de probbilitte Guss-iene. Utilitte cunoşterii formei cestei fmilii de distribuţie teoretice rezidă în lrg plicbilitte prctică ei, plicbilitte dtortă pe de o prte fenomenelor rele ce pot fi descrise cu jutorul unei stfel de distribuţii ir pe de ltă prte poziţiei privilegite pe cre o ocupă în rândul fmiliilor de distribuţii teoretice (lte distribuţii teoretice tind l limită către o distribuţie Guss-ină) şi, respectiv, proprietăţilor pe cre le posedă şi cre conferă o uşurinţă mi mre în mnipulre lor (un stfel de eemplu este şi propriette că rezulttul produsului două densităţi Guss-iene este tot o densitte Guss-ină). Problem 5.34: Să se demonstreze firmţi de mi sus conform cărei produsul două densităţi Guss-iene rezultă tot într-o densitte guss- 86

5 Elemente de sttistică ină. Aş după cum m văzut, în cdrul problemelor de estimre prmetrică densităţii, o cerinţă necesră este şi specificre priori formei densităţii de probbilitte ce descrie populţi; de cele mi multe ori cestă formă este dedusă şi din reprezentre, cu jutorul histogrmei, crcteristicilor dtelor observte. Dintr-o stfel de reprezentre, şi, eventul, din clculul unor măsuri cntittive cum r fi coeficientul de boltire, respectiv, coeficientul de simetrie, se pote deduce dcă distribuţi dtelor este un Guss-ină su nu. Pentru o distribuţie ce nu reiese, din nlizele prezentte mi sus, fi o distribuţie Guss-ină, se pot folosi, în procesul de modelre, ş numitele distribuţii Guss-iene continue generlizte cre, conferă în continure vntjul uşurinţei în mnipulre clculelor şi, în plus, oferă posibilitte unei proimări mi ecte densităţii necunoscute prin introducere unui l treile prmetru cre, lături de medie şi vrinţă, descrie distribuţi; cest prmetru portă numele de prmetru form (shpe),, şi în funcţie de lur sugertă de histogrmă su de vlore obţinută pentru cele două măsuri cntittive menţionte mi sus el pote fi utilizt pentru introduce suplimentr: () informţi de boltire, în czul unor distribuţii simetrice; formul pentru o stfel de densitte normlă generliztă este: ( m ) f ( ) e (5.6) (/ ) unde prmetrii distribuţiei sunt m (prmetru de loclizre), α (de sclre) şi (de formă) ir prin () s- nott funcţi gmm, t u ( t) u e du Pentru vlori le prmetrului form: (5.6) = se obţine distribuţi Lplce; < < se obţine un continuum de densităţi simetrice leptokurtice; = se obţine distribuţi normlă; > se obţine un continuum de densităţi simetrice pltikurtice; densitte converge punctul spre o densitte uniformă pe intervlul (m-α, m+α). 87

6 Algoritmi şi metode inteligente cu plicţii în electronică şi biomedicină, vol I (b) informţi de simetrie; formul pentru o stfel de densitte normlă generliztă este: ( u) f ( ) (5.6) ( ) unde prmetrii distribuţiei sunt ξ (prmetru de loclizre), α (de sclre) şi (de formă) ir prin () s- nott fdp normlă stndrd şi prin u() funcţi: ( ) log, pentru u ( ) (5.63) u, pentru. Pentru vlori le prmetrului form: < se obţin distribuţii mărginite l drept şi cu simetrie stâng; = se obţine o distribuţie normlă; > se obţin distribuţii mărginite l stâng şi cu simetrie drept Funcţi densitte de probbilitte uniformă Funcţi densitte de probbilitte pentru o distribuţie uniformă, monodimensionlă, pe un intervl [u, w], u < w, este dtă de relţi: f w u def ; u, w u w (5.64) 88 u w Conform relției (5.64), tote elementele din interiorul intervlului [u, w] sunt echiprobbile (u ceeşi probbilitte de priţie ). În situţi în cre, în relți (5.64) u =, w =, funcţi densitte de probbilitte portă numele de funcţie densitte de probbilitte uniformă stndrd. Acestă funcţie densitte de probbilitte este considertă o distribuţie de referinţă. În cee ce priveşte diferitele progrme su medii de dezvoltre, ce mi mre prte dintre ceste u înglobte în ele genertore de numere letore crcterizte de o funcţie densitte de probbilitte uniformă stndrd.

7 Elemente de sttistică Celellte tipuri de distribuţii (de eemplu cele Guss-iene) pot fi obţinute (generte) prin plicre, supr seturilor de dte vând o distribuţie uniformă stndrd, unei numite trnsformări prticulre. Seturile de dte cu distribuţie uniformă stndrd sunt, de obicei, generte cu jutorul unor subrutine ce implementeză genertore de semnl crcterizte de funcţii densitte de probbilitte uniforme stndrd. Problemă 5.35: Pentru o funcţie densitte de probbilitte uniformă crcteriztă de relți (5.64), în cre u < w, rezolvţi următorele: demonstrţi că f (; u, w) este o funcţie densitte de probbilitte legitimă; determinţi nlitic şi reprezentţi grfic funcţiile de reprtiţie ce corespund următorelor funcţii de densitte de probbilitte uniforme: f (;, ), f (; 3, 5) şi f (; 3, 3). 89

Σχετικά έγγραφα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul