CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ

Transcript

1 CAPITOLUL VII EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ DEFINITĂ În teori Integrlei definite numită şi Integrl Riemnn, s- urmărit c, l numite funcţii rele de o vriilă relă, dte pe mulţimi din R, după o schemă S, să se socieze numere rele, ine determinte; în cest mod, s- constituit un instrument de studiu şi în celşi timp un indictor cntittiv importnt în studiul fenomenelor din relitte fizică. B. Riemnn definit integrl f d IR R pentru clse de funcţii mărginite f : [, ] R (, R; < ). Noţiune c tre fost prezenttă în cpitolul V şi studită chir în liceu, în cls XII-. Pentru rezolvre unor proleme mi specile din teori seriilor Fourier, clsificre semnlelor, studiul trnsformărilor integrle, teori distriuţiilor, clculul operţionl, teori optimizării, teori proilităţilor, sttistic mtemtică şi plictă etc. conceptul de "integrlă Riemnn" s- dovedit insuficient din punct de vedere teoretic şi mi les prctic. Mtemticienii Th. J. Stieltjes şi H. Leesgue u construit concepte mi generle: "Integrl Riemnn - Stieltjes" şi "Integrl Leesgue" cre u permis rezolvre prolemelor teoretice şi plictive ce nu veu soluţii cceptile prin folosire integrlei Riemnn. În cărţile de Anliză mtemtică şi Mtemtici plicte se studiză de oicei întâi Integrl Riemnn şi poi etensi s, Integrl Leesgue. Integrl Riemnn pote fi generliztă şi l integrl Riemnn Stieltjes, ir cest, l rândul ei, pote fi etinsă l integrl 57

2 Leesgue Stieltjes, cre este o generlizre integrlei Leesgue. Acest comentriu conduce l următore digrmă Leesgue Riemnn Leesgue- Stieltjes Riemnn- Stieltjes unde săgeţile simple indică un proces de etindere, ir cele dule un proces de generlizre. În sensul digrmei, prezentăm în cest cpitol etinderi şi generlizări le integrlei Riemnn cre u plicţii în studiul unor procese diverse din relitte fizică. I. Integrl Riemnn cu prmetru Studiul integrlelor definite cu prmetru rel este intim legt de reprezentre integrlă funcţiilor (rele de o vriilă relă) din descriere mtemtică multor fenomene concrete. Fie [, ] R (, R; < ) şi A R o mulţime nevidă orecre, ir f : [, ] A R o funcţie relă de două vriile, [, ], A, cre nu re puncte singulre în intervlul compct [, ] şi este integrilă în rport cu. În ceste ipoteze, eistă integrl definită (, ) funcţie de prmetrul rel : f d c 58

3 VII. F: A R ; F f, d, A Vom preciz proprietăţi le funcţiei F, dtă de (VII.), precum: eistenţ limitei în punctele de cumulre pentru A ( R), continuitte, derivilitte şi integrilitte pe intervle compcte din A. Dcă funcţi F este simplu clculilă din (VII.), tunci ceste proprietăţi se studiză direct supr lui F. În czul în cre F nu este simplu clculilă din (VII.), vom preciz ceste proprietăţi prin trnsferul, în condiţii precizte, din proprietăţile corespunzătore le funcţiei de su integrlă, f, cre este dtă. Definiţi VII. Funcţi f : [, ] A R tinde uniform pe [, ] către funcţi g : [, ] R, pentru, cu A R, dcă: ( VII.),.î. Acu (, ), [, ]. ε > δ ε > < δ ε f g <ε Se noteză: u u f [, ] g, pentru su lim f (, ) g( ), [, ]. Teorem VII. (Trnsfer de trecere l limită) Fie f : [, ] A R funcţie continuă pe [, ], pentru A. Dcă eistă u g lim f,, cu A ( f tinde uniform către g pe [, ] în punctul ), tunci: f d f d g d ( VII.3) lim (, ) lim (, ) ε Demonstrţie Aplicând (VII.), cu ( > teoremei, vem: ) A, în ipotezele 59

4 ε f (, ) d g ( ) d f (, ) g ( ) d < d ε, A,cu <δ ε.deci lim f, d g d lim f (, ) d. Teorem VII. (Trnsfer de continuitte) Dcă f : D R R, cu D [, ] [c, d], este o funcţie continuă pe D, tunci (, ) F f d este continuă pe [c, d]. Demonstrţie Vom demonstr că, pentru [c, d], eistă lim F ( ) F ( ). Întrucât f este continuă pe mulţime compctă D, f este uniform continuă pe D şi, tunci, vem: ( VII.4) <δ ε ε >, δ( ε ) >.î. ( ', ' ), ( '', '' ) Dcu, <δ ε ε f (, ) f (, ),( ). < > C urmre, folosind (VII.4), oţinem: (, ) (, ) F F f d f d (, ) (, ) (, ) (, ) f f d f f d< ε < dε pentru - <δ( ε ). Eistă deci lim F F, [ ] [ ] c, d,dică F este continuă pe c, d. Teorem VII.3 (Trnsfer de derivilitte) Dcă f este continuă pe compctul D [, ] [c, d] R şi eistă funcţie continuă pe D, tunci F este derivilă pe [c, d] şi vem: 5

5 . (VII.5) F (, ) d, [ c, d] Demonstrţie Funcţi F este derivilă pe [c, d] [c,d], eistă în R limit: F( ) F lim ( ) def. F R. Conform definiţei derivtei prţile într-un punct şi ipotezei din enunţ, eistă (, ) (, ) f f ( ) lim, R. În plus, funcţi f, fiind continuă pe D, este continuă prţil în rport cu pe [, ], [c, d]. Astfel, este integrilă în rport cu pe [, ], [c, d]. Folosind teorem de trnsfer de trecere l limită, vem: (, ) (, ) F F lim lim f f d (, ) (, ) f f lim d, d R. F( ) F lim ( ) [ c, d] şi ( ) (, ) Prin urmre, eistă F R. C tre, funcţi F este derivilă în F d. Cum este punct ritrr din [c, d], rezultă că F este derivilă pe [c, d] şi re loc (VII.5). Czul generl este tunci când limitele de integrre şi sunt funcţii de prmetrul, fie ele α, : [c, d] [, ], continue. Atunci vem: 5

6 (VII.6) [ c d] G:, R. G f (, ) d α Teorem VII.4 (Formul de derivre lui Leiniz) Fie f : D R, D [, ] [c, d] şi α, : [c, d] [, ]. Dcă sunt îndeplinite condiţiile ) f continuă pe D [, ] [c, d] R, ) eistă continuă pe D, 3) α, C ( [c, d] ), tunci (, ) G f d este funcţie derivilă pe [c,d] şi re loc α formul lui Leiniz: VII.7 G f ; f ;, d, α α α + [ c, d]. Demonstrţie Notăm α() α, (), α( ) α, ( ) şi reprezentăm G su form: α (, ) + (, ),. G f d f d f d α α Astfel, pentru [c, d] şi, vem: G( ) G f (, ) d f (, ) d α α α f, f, d + f (, ) d f (, ) d α α I + I + I 3 5

7 Pentru evlure lui I, plicăm formul lui Lgrnge funcţiei f, în rport cu, pe intervlul de cpete şi. Avem (, ) (, ) f f +θ( continuă pe compctul D, f, ), cu < θ < şi, cum este este uniform continuă pe D. Deci, ε >, δ(ε) >. î. [c, d] cu < δ(ε), diferenţ tinde uniform către (, ), pentru. Astfel: (, ) (, ) f f (, ) (, ) (, ) (, ) lim lim lim α α f f f f I d d (, ) d. α Pentru evlure lui I, plicăm teorem dou de medie din clculul integrl şi vem: ( ) I f, d f ( ) +θ( ); cu < θ <. De ici, urmeză: lim I lim f (, ) d ( ) f ( ) +θ ( ) f lim ; ;. L fel vem: 53

8 lim I lim f (, ) d 3 α α( ) α α f α ( ) +θ α α ( ) α f α lim ; ;. Potrivit cestor clcule, oţinem rezulttul finl: G G lim lim 3, α G I + I + I d+ ( ) f ( ); ( ) f ( );, [ c, d] + α α DeciG R şi, stfel, G este derivilă pe [c, d], vând loc formul de derivre (VII.7). Teorem VII.5 (Trnsfer de integrilitte) Fie f :D R R o funcţie continuă pe compctul D [, ] [c, d] şi α, : [c, d] [, ]continue pe [c, d]. Atunci u loc firmţiile: i) Funcţi F() [ ] f d,, cd, este integrilă şi vem: d d d (VII.8) (, ) (, ) ; F d f d d f d d c c c,, [, ] α ii) Funcţi G f d c d este integrilă şi vem: G d f d d d (VII.9) (, ). c c α Demonstrţi formulei (VII.8) se zeză pe formul de derivre integrlei nedefinite f () t dt, dtă prin f () t dt f d d., su pe propriette de derivilitte plictă unei funcţii definită printr-o integrlă cu limit superioră vriilă (cpitolul V). 54

9 Înlocuim limit superioră d cu o vriilă u [c, d] şi rătm că eglitte (VII.8) "se propgă" începând cu vriil iniţilă u c. Notăm u H ( u) f (, ) d d c u H u f d d şi vem: c,, H (c) H (c). Derivtele funcţiilor H şi H eistă, în ipotezele din teoremă, şi sunt dte prin: (, ), (, ). Deci, [, ]. H u f u d H u f u d H u H u u c d În consecinţă, H ( u) H ( u) u [ c d],,. În prticulr, pentru u d, vem d H d H d F d, dică tocmi formul de demonstrt c (VII.8). Demonstrţi formulei (VII.9) se dă în cpitolul "Integrl dulă" ([3] pg 77 9, [5], [4], [4]). Eemple: R, o Pentru F sin sin + dcu vem F π π π πcos cos cos d cos sin, R Proprietăţile sle pot fi studite în mod direct. ( ) ( ) o F dcu,. Avem t+ şi fcem schimre de vriilă t. Deci şi d dt π 55

10 t, G d t dt t t t t t dt rcsin + t t t dt t t t π π π G G G, (, ). Proprietăţile funcţiei G pe (, ) se pot studi direct. d 3 Dtă F rctg + cu > şi >, să se clculeze, prin derivre: d + H. Avem: d F rctg H rctg + + cu >, deci H rctg +, > G e d, cu >, este derivilă pe (, ), cu G () clcultă după formul (VII.7): G e d+ e e 5, cu (, ). 5 e G, cu > 56

11 G e d+ f, f (, ) e + e + e + e G ( ) e, > e ln( ) 6,cu > (, ) (, ) + G d G f ( ) f ln( + ) ln( + ) 3ln( + ) d + + ln( + ) G, + > şi G'() pe (, ) G nu re puncte de etrem locl pe (, ). o d + 7 F, cu (, ) F ln este o funcţie + continuă şi derivilă pe (, ). II. Integrle improprii Integrl Riemnn fost definită pe intervle compcte din R şi s- demonstrt că o funcţie Riemnn-integrilă, este în mod necesr, mărginită. O generlizre integrlei Riemnn se oţine înlăturând un dintre ceste restricţii: intervl compct, funcţie mărginită. Se v defini tunci un lt concept de integrlă, pentru funcţii rele ritrre (mărginite su nemărginite) şi intervle de integrt ritrre (mărginite, nemărginite su închise, neînchise). Sensul geometric l noului concept de integrlă este determint de clculul riilor unor mulţimi plne mărginite de grficul unei funcţii, o simptotă orizontlă, o simptotă verticlă, drepte şi ele de coordonte. Acest nou concept de integrlă se v numi integrlă 57

12 improprie su integrlă generliztă su integrlă pe intervl necompct. În czul mulţimilor din pln mărginite de grficul unei funcţii şi o simptotă orizontlă, vem czurile: f : [, ) R, f > şi A' continuă, α simptotă orizontlă. α [ A(, ] M(u,) B' f : (, ] R continuă, f > şi continuă, α simptotă α orizontlă N(v,) B(,) f : R R, f continuă, f > şi continuă, α simptotă orizontlă. [ ] N(v,) M(u,) α Fie f : I {c} R şi c I punct singulr l lui f. Conform definiţiei eistă V V (c) stfel încât f este nemărginită pe V I. În cest cz grficul lui f dmite o simptotă verticlă c. Vom consider intervle necompcte din R de form: [, c) R cu c +, (c, ] R cu c şi (, ) R cu, +. 58

13 În czul mulţimilor din pln mărginite de grficul unei funcţii şi o simptotă verticlă, vem situţiile: c f : [, c) R, f > şi continuă, c punct singulr [ A (,) ] M(u,) c f : (c, ] R, f > şi continuă, c punct singulr [ N(v,) ] B(,) f : (, ) R, f > şi continuă,, puncte singulre ( [ ] ) N(v,) M(u,) 59