x x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:

Transcript

1 ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute sut umi proimtiv ecte, ele fiid îtotdeu fectte de umite erori, cre reprezită teri fţă de vlore ectă mărimii căutte. Erorile de măsură se împrt î: erori sistemtice şi erori ccidetle. Erorile sistemtice se pot dtor: - uor defecte de costrucţie prtelor; - doptării uei metode erote de lucru; - eglijării sistemtice iflueţei uor fctori eteri (tempertură, presiue, umiditte etc.). Î czul erorilor sistemtice, terile fţă de vlore ectă se produc îtotdeu î celşi ses. Ele u pot fi evitte decât elimiâd cuz, dică schimâd prtele, modificâd metod de lucru su itroducâd umite corecţii specile. Erorile ccidetle pr dtorită: - sesiilităţii reduse simţurilor ostre; - sesiilităţii reltive prtelor de măsurt: - lipsei de ivriilitte mărimii de măsurt. Erorile ccidetle se produc î mele sesuri le vlorii ecte mărimii de măsurt. Ele u pot fi complet elimite, dr pot fi reduse pri efecture uui umăr mi mre de determiări. Ievitilitte erorilor de măsură pue prolem preciziei măsurătorilor. Petru preci precizi determiărilor efectute v treui să clculăm, î czul fiecărei determiări, erore mimă dmisiilă. Ţiâd sem de fptul că lucrările de lortor le studeţilor u u u crcter de cercetre ştiiţifică propriu-zisă şi de fptul că î cdrul uei lucrări de lortor u se pot efectu decât determiări puţi umerose, cu prte căror precizie este reltiv redusă, u re ses să folosim petru clculul erorilor teori proilităţilor, plicilă umi câd se efectueză u umăr forte mre de determiări. De cce, cosiderţiile de cre vom ţie semă l stilire erorilor dmisiile, i czul lucrărilor de lortor, vor fi: - igorre erorilor sistemtice; - cceptre c erore solută mimă uei măsurători idividule, vlore celei mi mici diviziui de pe scr prtului, cee ce îsemă că erore solută mimă coicide cu precizi prtului folosit l efecture măsurătorii. De eemplu dcă se măsoră timpul cu jutorul uui croometru l cărui cdr idică zecime de secudă, erore solută mimă dmisiilă l msurre timpului v fi de 0, s. Dcă mărime se determiă pri măsurre directă mărimilor,, c, tuci erore solută mimă Δ cu cre v fi fecttă mărime v depide de erorile solute Δ, Δ, Δc, cu jutorul căror vor pute fi determite mărimile,, c,

2 tuci: Adică, dcă = f(,, c, ), Δ = f( Δ, Δ, c Δ c, ), ir erore solut v fi: Δ = f( Δ, Δ, c Δ c, ) f(,, c, ). Itrucât erorile efectute supr mărimilor,, c, se pot produce î mele sesuri fţă de vlore ectă, petru clculre erorii solute mime v treui să luăm î cosiderre czul cel mi efvoril. De cee î epresi filă lui Δ toţi termeii vor fi îsumţi î vlore solută. Rportul se umeşte erore reltivă mimă. Se eprimă de oicei î procete. Erore reltivă mimă idică grdul de precizie cre se pote oţie cu metod şi cu prtele cu cre se lucreză. Erore solută mimă determiă limitele dmisiile ître cre pot să vrieze vlorile determite eperimetl. Petru mări precizi determiării, măsurătotile se repetă de mi multe ori. Î cest cz vlore medie oţiută se cosideră c reprezetâd vlore mărimii căutte. Acestă mărime m diferă de vlore ectă cu ctitte m, cre u pote fi determită ect. E u pote fi îsă mi mre decât erore solută mimă, dică m Δ. Rezult deci că devătt vlore mărimii căutte v fi cuprisă ître limitele: m Δ < < m + Δ. DETERMINAREA ERORII MAXIME ADMISIBILE ŞI A ERORII RELATIVE MAXIME ÎN CÂTEVA CAZURI MAI DES ÎNTÂLNITE. EROAREA FĂCUTĂ ASUPRA UNEI SUME SAU A UNEI DIFERENŢE Să cosiderăm czul î cre: = +. Î cest cz: ± Δ = ( ± Δ) + ( ±Δ ). Efectuâd clculele, oţiem: ± Δ = + ± Δ ± Δ, de ude: ± Δ = ± Δ ± Δ.

3 Î czul cel mi efvoril, erore solută mimă v fi: ± Δ = ± (Δ + Δ). Erore reltivă mim o oţiem uşor:. Î czul î cre =, oţiem petru erore solută mimă tot vlore: ± Δ = ± (Δ + Δ), ir erore reltivă mim v fi:.. EROAREA FĂCUTĂ ASUPRA UNUI PRODUS ŞI A UNUI CÂT Să cosiderăm relţi: =. Erore solută v fi: Efectuâd clculele, oţiem: ± Δ = ( ± Δ)( ±Δ ). ± Δ = ± Δ ± Δ ± Δ Δ. Produsul Δ Δ pote fi eglijt deorece Δ şi Δ sut mici î rport cu şi. Ţiâd sem că =, putem scrie: cre î czul cel mi efvoril devie: ± Δ = ± Δ ± Δ, ± Δ = ± ( Δ + Δ). 3

4 Erore reltiv mim v fi: Î czul î cre =,. vom oţie: ( )( ) ± Δ =. ( )( ) ( ) Neglijâd produsul Δ Δ şi pătrtul (Δ) Si reducâd termeii semee, oţiem: ± Δ =, cre î czul cel mi efvoril devie: ± Δ =. Erore reltivă mimă v fi dtă de epresi:, dică ceeşi epresie c şi î czul uui produs. 3. EROAREA FĂCUTĂ ASUPRA UNEI PUTERI Să cosiderăm epresi: =. Erore solută se v clcul di eglitte: ± Δ = ( ± Δ). Dezvoltâd memrul l doile după iomul lui Newto, găsim: ( ) ( ) ± Δ =... Neglijâd termeii cre coţi pe Δ l puteri superiore lui şi ţiâd sem că =, rezultă că: ± Δ = ± - Δ, 4

5 5 ir petru erore reltivă mimă vom găsi vlore:. Oţiem celşi rezultt dcă cosiderăm că = =... de ori, cee ce îsemă că putem scrie:... de ori, dică:. Relţi pote fi geerliztă şi petru u produs de puteri: = m. Vo oţie ieâţeles petru erore reltivă mimă vlore: m, ir m m. Erore uei rădăcii se reduce î fod tot l determire erorii uei puteri, deorece, cee ce îsemă că î cest cz:, ir.

6 DETERMINAREA ERORII RELATIVE MAXIME CU AJUTORUL DIFERENŢIALEI LOGARITMICE Clculre epresiei file erorii reltive mime (şi implicit erorii solute mime) î fucţie de erorile comise supr mărimilor măsurte direct se simplifică mult dcă se foloseşte clculul difereţil, erorile de măsură fiid similte cu difereţilele vriilelor respecrive. După cum se ştie, difereţil fucţiei y = f () este dtă de produsul ditre derivt fucţiei şi difereţil vriilei idepedete, dică: dy = f '()d. Difereţil dy reprezit prte priciplă di creştere Δy fucţiei câd creşte cu Δ. Cum creştere fucţiei Δy diferă de difereţil dy cu u umăr ifiit mic de ordi superior, cre pote fi eglijt, vom pute cosider că dy Δy petru d = Δ. Î czul fucţiilor de mi multe vriile: u = f(, y, z), difereţil totlă fucţiei (cre reprezită prte priciplă di creăştere Δu fucţiei) se clculeză cu jutorul derivtelor prţile: u u u du = ± d dy dz. y z Asimilâd pe du cu erore solută mărimii u, erore reltivă v fi dtă de du rportul, cărui epresie v fi: u du u f (, y,z) u u u d dy dz, y z cre pote fi plictă direct l clculul erorii reltive mime. Difereţil logritmică se clculeză logritmâd fucţi, pe cre poi o difereţiem. Petru clculre erorii reltive mime trecem poi de l vlorile ifiitezimle l vlori fiite mici, pe cre le luăm pe tote cu celşi sem, petru determi erore î czul cel mi efvoril. 6

7 Eemplu. L verificre legii spţiilor î mişcre uiform ccelertă cu jutorul plului îclit treuie determită ccelerţi mişcării di ecuţi: s = t, de ude: s =. t Lege se verifică dcă î mişcre pe plul îclit ccelerţi rămâe costtă, dică dcă: s s s3 cos tt. t t t Bieâţeles că dtorită erorilor ccidetle u se pote oţie o vlore riguros costtă. Erore reltivă mimă o clculăm uşor logritmâd epresi cre dă vlore ccelerţiei: l = l + l s l t. Difereţiem poi logritmul: d ds dt. s t Trecâd l vlori fiite mici, pe cre le duăm petru oţie czul cel mi efvoril, vom ve epresi erorii reltive mime: 3 s t, s t ir petru erore solută mimă, vom oţie: s s t. t s t Dcă folosim plul îclit, tuci erorile solute mime cu cre se determiă mărimile măsurte direct vor fi: t = 0, s şi s = cm. 7

8 Nr. det. Efectuâd mi multe determiări, se oţi de eemplu următorele vlori: t [s] s [cm] [cm/s ] Oservţii,4 9,5 9,69 0,48 0,8 Nu se i î cosiderre 3, 5 9,96 0,08 0,8 3 4,6 06 0,0 0,053 0,53 4 5, 38 0, 0,045 0,46 Alizâd rezulttele oservăm că precizi determiărilor creşte cu cât itervlul de timp î cre se determiă ccelerţi este mi mre. Reuţăm l prim determire, deorece precizi cu cre se pote reliz este pre mică. Erore solută mimă se v clcul l fiecre cz î prte di relţi:. Fptul că erore solută mimă re prim zecimlă diferită de zero, e rtă că l clculre ccelerţiei, î fiecre cz î prte, este suficiet să e oprim l prim zecimlă. De eemplu l determire umărul 3, ccelerţi oţiută = 0,0 cm/s este fecttă de erore Δ = ± 0,53 cm/s, deci chir prim zecimlă este fecttă de erore. Petru pute stili limitele ître cre se situeză vlore mărimii de determit se folosesc vlore medie mărimii de determit şi erore solută medie. 8