ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)"

Transcript

1 θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις Α = 4 4, Β = κι Α Β (Μονάδες 6,5) Θέμ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ) y + yω 5 = ( 4y + ω 5) β) ( + ) β( + ) + ( + ) = ( + )( β + ) γ) 49 6 = (7 + 4)(7 4) δ) 8 = ( ) (4 + + ) ε) = ( + ) = ( + ) ( ) στ) 4 + y = ( ) ζ) = (4 + ) η) + (5 + ) + 5 = ( + 5) ( + ) θ) (5 + ) + 5 = ( 5) ( ) ι) + (5 ) 5 = ( + 5) ( ) Θέμ ο ) 5 0 = 5( 4) = 5( ) = 5( )( + ) β) 7 = 0 + ή 7 0 = 0 ή 5 0 = 0 ή 5( )( + ) = 0, άρ = 0 ή = ή = Θέμ ο Α = 4 4 = ( ) = ( + )( ) Β = = ( ) 4( ) = ( )( )( + )

2 Α Β = ( + )( ) ( )( )( + ) = = ( + )( ) [ ( )] = ( + )( )( + ) = = ( + )( )( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους

3 Α..9 «Ρητές λγεβρικές πρστάσεις» ΘΕΩΡΙΑ. Ορισμός ρητής πράστσης Μι λγεβρική πράστση [ όπως π.χ. οι +, y +, 0y ω + y, y ] που είνι κλάσμ κι οι όροι του είνι πολυώνυμ, λέγετι ρητή λγεβρική πράστση ή πλά ρητή πράστση.. Περιορισμοί Στην πράστση 4, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή, φού γι = ο πρνομστής γίνετι ίσος με 0. Γενικά, σε μι (ρητή) πράστση οι μετβλητές της δεν μπορούν ν πάρουν τις τιμές εκείνες γι τις οποίες ο πρνομστής γίνετι ίσος με το 0 (φού δεν ορίζετι κλάσμ με πρνομστή το 0). Πρδείγμτ: Στην πράστση 6, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση 0, το δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση, το y δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 5. y 0 Στην πράστση t 0, το t δεν μπορεί ν πάρει την τιμή. + Σχόλιο Στη συνέχει, ότν γράφουμε μι ρητή πράστση, θ εννοούμε ότι οι μετβλητές της δεν πίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον πρνομστή της.. Απλοποίηση Αν σε έν κλάσμ κι οι δύο όροι του (ριθμητής κι πρνομστής) είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά υπάρχει κοινός πράγοντς, τότε ο πράγοντς υτός μπορεί ν πλοποιηθεί (πρληφθεί) κι το κλάσμ ν πάρει πλούστερη μορφή. 4

4 Αυτό εξηγείτι ως εξής: β γ = β γ = β γ = β γ. Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους... Πρδείγμτ: y 5 = y 5 5 y = 5y ( + ) ( = + ) 4( ) 4( ) = ( + ) ( + ) = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 4 β + δ) + ε) ( )( 5). Λ Υ Σ Η ) Το κλάσμ δεν ορίζετι ότν ο πρνομστής είνι ίσος με 0, δηλδή ότν = 0. β) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν y = 0, δηλδή ότν y =. γ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν β + = 0, δηλδή ότν β =. δ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν + = 0, δηλδή ότν =, δηλδή =. ε) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν ( )( 5) = 0. Η σχέση ( )( 5) = 0 ισχύει ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. Επομένως, το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν =, = Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 6 y 0 β) y γ) ( + ) δ) ( ) ε) y. Λ Υ Σ Η Η πράστση που έχουμε κάθε φορά ορίζετι ν: 5

5 ) 6 0, δηλδή 6 β) y 0, δηλδή y γ) ( + ) 0, δηλδή + 0, δηλδή δ) ( ) 0, δηλδή 0 κι 0, δηλδή 0 κι. ε) y 0, δηλδή y. 06 Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες δεν ορίζετι η ριθμητική τιμή, σε κθεμί πό τις πρστάσεις: ) + 5 β) 4 γ) ( 4) : ( ) Λ Υ Σ Η ) Στην πράστσή μς, υπάρχουν πρνομστές οι κι 5. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή 5 = 0, δηλδή ότν = ή = 5. β) Στην πράστσή μς, υπάρχουν οι πρνομστές, οι κι κι. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν = 0 ή = 0, δηλδή ότν = 0 ή =, δηλδή ότν = 0 ή =. γ) Η πράστση ( 4) : ( ) είνι ένς άλλος τρόπος γρφής της πράστσης 4 Επομένως, ισχύουν όσ κριβώς είπμε στο β,. κι έτσι η πράστση υτή δεν ορίζετι ότν = 0, κθώς κι ότν =. 07 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 86 5 β) 0 γ) 0 y ( δ) 6 + )5 5y 8( + ) ) 86 = = 4 Λ Υ Σ Η β) 5 0 = = 4 4 6

6 γ) 0 y 5y = 5 y 5 y y = y Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ( δ) + )5 = ( + ) ( + ) ( = + ). 8( + ) 4 ( + ) 4 08 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β + β + β y y β) 5y 5( ) + ( )y γ) y 5 δ) y + στ) y y στ) 4 y 4 4 y + y 4 Λ Υ Σ Η ) β ( + β)( β) = + β + β ( + β) = β + β β) y y y( = ) 5y 5y = 5y 5( ) + ( )y ( )(5 + y) ( )(5 + y) γ) = = y 5 y 5 (y + 5)(y 5) = y 5 δ) = = ( 4) ( + 4)( 4) = y + ε) y 5( y) + ( y) ( y)(5 + = = ) = 5 + y ( y) ( y) στ) 4 y 4 4 y + y = ( ) (y ) 4 ( ) y + ( ) = = ( + y )( y ) ( y ) = + y y 09 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) + y y β) y y y γ) y Λ Υ Σ Η ) + y y = + y ( + y) = ( + y) ( + y) = = β) y y = y ( y) =. 7

7 y ( y) ( y) γ) = = y (y ) ( y) = = Σχόλιο: Θυμίζουμε ότι μι διφορά β μπορεί ν γρφεί κι ως β = + β = ( β). ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 0. Ότν σε μι λγεβρική πράστση εμφνίζοντι έν ή περισσότερ κλάσμτ, τότε, γι ν ορίζετι η πράστση υτή, πρέπει όλοι οι πρνομστές που εμφνίζοντι σε υτή ν είνι 0. Γι πράδειγμ, γι ν ορίζετι η πράστση πρέπει: 5 0 κι 0 κι 6 = 0.. Τονίζουμε ότι, γι ν γίνει πλοποίηση σ' έν κλάσμ, πρέπει κι ο ριθμητής κι ο πρνομστής ν είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά ν υπάρχει κοινός ( = ο ίδιος) πράγοντς, ο οποίος κι πλοποιείτι (πρλείπετι). Αν ο ένς (τουλάχιστον) πό τους όρους του κλάσμτος δεν είνι γινόμενο, τότε στο κλάσμ υτό δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση. Έτσι: στο κλάσμ β + γ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο ριθμητής δ δεν είνι γινόμενο το είνι πράγοντς του όρου β, λλά δεν είνι πράγοντς σε όλο τον ριθμητή). β στο κλάσμ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο πρνομστής δεν είνι γ + δ γινόμενο). β + γ το κλάσμ δεν είνι ίσο με β + γ, ούτε με β + γ. δ δ δ β + γ (β + γ) Ισχύει όμως = = β + γ δ δ δ. Γενικά, γι ν πλοποιήσουμε έν κλάσμ, πρέπει τώρ ν πργοντοποιήσουμε κι τους δύο όρους του. ( + β) Στο κλάσμ μπορεί ν γίνει πλοποίηση του + β, φού κι ο + β ριθμητής κι ο πρνομστής μπορούν ν γρφούν σε μορφή γινομένου, έτσι ώστε το + β ν ποτελεί πράγοντ κι των δύο όρων. 8

8 Συγκεκριμέν, έχουμε: ( + β) ( + β) = + β ( + β) = =. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες ορίζετι. Στήλη Α. 4 β. + γ. + ( )( + ) ( δ. ) Στήλη Β.. κι Οποιοσδήποτε ριθμός β γ δ. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες δεν ορίζετι. Στήλη Α. β. + γ. 5( δ. ) Στήλη Β. = 0. =. = 4. = 5. = 6. = 5 7. = ή = β γ δ 9

9 4. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες, ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). ) + = Σ Λ ( β) + ) = + Σ Λ ( + )( γ) + 5) = + 5 ( + ) Σ Λ δ) ( β ) + β = β Σ Λ + ( ε) ) = + 5( ) 5 Σ Λ ( β) στ) ( β) = Σ Λ ( β) ζ) = ( + β) Σ Λ ( β) 5. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις ισότητες: ) 5 (...) = 5 ( + β) (...) β) ( β) (...) = ( γ) + )... = + δ) 4... = + ε) (...) 4( β) = 4( β) στ) ( β ) ( β) = (...) ( + β) ( ζ) + )... = (...) η) + ( + ) = + Ασκήσεις κι προβλήμτ γι λύση 6. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y + 5 y 7 γ) ω (ω ) δ) β ( + ) ε) 7 + ( ) στ) ( )( + ) 40

10 7. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 5 + β) + 7 γ) δ) 8 ( + 4) ε) + 4 ( )( + ) στ) + y y 8. Ν βρείτε τις τιμές μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) y γ) 5β δ) + ε) β 5 στ) ( )( + 4) ζ) 9. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) β) γ) + δ) y ε) + y ( ) στ) ( )( 4) ζ) 0. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 y β) γ) 4 4 δ) ε) 5 ( )( + 7) στ) / ζ). Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 β) 7ω 8ω 0β γ) 40β δ) 5 5( ε) + ) (β + ) 5 στ) 6 0( + ) 6(β + ). Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) β) 6β β γ γ) 45 y 0 5 y 4 4

11 4 4β δ) β ε) 8 y 4y y στ) 4 +. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 6 β) 4 γ) δ) ε) y 6 8y + y στ) 4 y 4 + y + y 4. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β) ( + β) ( β) β + β γ) β + β β + β 5. Ν γίνουν οι πλοποιήσεις: _ ) 5 β γ 6 β γ 4 β γ 4 4 β γ β) + 5 _ 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ( ) + 4( ) ) 9 μ γ) 8ν μ + μν + 8ν β + β) β β β δ) 4 4β + 4γ β β + βγ ε) στ) Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β β β β + β β) β γ) + y + ω y + y + y ω ( + ) + ( δ) + ) ε) + στ) Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) 9 ( β) y) y) y 4 γ) β + β 6 β 6 β 6β δ) + + ε) ( + β) β 4 β στ) 4 γ β 4 γ β + β β 4

12 9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( ) ( + ) β) y + y y + y + y γ) β + β β + β 0. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 + _ 0 _ β) + _. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 6y + 6 y + y, β) 4 β 4 y y + β + β + β. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) y β)

13 A..0.A. Πολλπλσισμός Διίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πολλπλσισμός Ο πολλπλσισμός μετξύ δύο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι ο πολλπλσισμός κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β γ δ = γ β δ... Πράδειγμ + ( = + ) 4 ( 4) = Επίσης, ο πολλπλσισμός μις πολυωνυμικής με μι ρητή πράστση γίνετι σύμφων με τους τύπους λ β = λ β κι β μ = μ β... Πρδείγμτ 4 0 = 4 0 = 0 = = 6 0 Διίρεση Η διίρεση δυο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι η διίρεση κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β : γ δ = β δ γ = δ β γ... Πρδείγμτ : 4y 5β = 5β 5β = 4y 4y = 5β 8y : = (5 = + 0) = ( ) Επίσης, ισχύουν: β : λ = β : λ = β λ = β λ = βλ μ : β = μ : β = μ β = μ β = μβ Πρδείγμτ y : 5 β 4 = y : 5 β 4 = y 5 β = y 4 5 β = y 4 5 β 4

14 + y : 5 = + y : 5 = + y 5 = + y ( ) + y 5 = 5 0 y : β 5 = y 5 β = y 5 β = 55 y β Σχόλιο: Συνήθως, μετά τον πολλπλσισμό ή τη διίρεση δύο ρητών πρστάσεων γράφουμε το ποτέλεσμ σε όσο γίνετι πλούστερη μορφή, κάνοντς όλες τις δυντές πλοποιήσεις. 0 Σύνθετ κλάσμτ Έν κλάσμ του οποίου ο ένς τουλάχιστον όρος είνι επίσης κλάσμ, λέγετι σύνθετο κλάσμ. β Έν σύνθετο κλάσμ έχει τη μορφή γ δ ή β γ ή γ δ Έν σύνθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό ως εξής: β γ δ = δ = γινόμενο των «άκρων» όρων,δ β γ γινόμενο των «μέσων» όρων β,γ β Αυτό ισχύει διότι γ δ = β : γ δ = β δ γ = δ β γ Επομένως, έχουμε: β γ = β γ = β γ = βγ κι γ δ = γ δ = δ γ = δ γ = δ γ... Πρδείγμτ 5 5 7β 5β y = y = 7β 6y 5 β = 5 β = 5 β = 5 6β 5 β = 5 β = 5 β = 0β 45

15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν κάνετε τις πράξεις: ) 0 ( 0 5 ) β) 4y + y + y + y Λ Υ Σ Η ) 0 ( 0 5 ) = 0 0 = 0 5 = = 8 β) 4y + y + y + y = (y) ( + y) ( + y)( y)( + y) = = ( + y) + y ( + y)( + y) ( = y) = 4y 05 Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 6 y : 4 + y β) y 6 y + Λ Υ Σ Η ) 6 y : + y = 6 y + y 6( + y) = ( y ) = ( + y) ( + y)( y) = = ( y) = y 4 β) y ( = 4) ( y + ) 6 y + y ) ( 6) = ( 4) (y + ) ( y )( 6) = = ( 4) (y + ) ( + y)( y)( + 4)( 4) = ( y)( + 4) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. Γι κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ(σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). 46

16 ) y = y Σ Λ β) y = y Σ Λ γ) 4 : y = 5 y Σ Λ δ) 5 : y = 5 y Σ Λ ε) γ β δ β = γ δ Σ Λ στ) = Σ Λ ζ) + β ( + β) = Σ Λ η) y + ω : y + ω = Σ Λ 7. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ) 5... y = 5 y β)... β δ = β δ γ) 5 β :... δ = δ β δ) + y ω = ε) y + ω : = στ) β : + β... = β + β 8. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς κάθε πράστση της στήλης Α στο ποτέλεσμά της πό τη στήλη Β. Στήλη Α. y y β. 6 5y 4 γ. 0 y : δ. y : y Στήλη Β. 4 5y. y. y 4. y 5. 6y y β γ δ 47

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) 4 5y 5 y γ) 0 5 δ) 4 5 ( ) ε) 5 ( β ) στ) 5 7 ( 4 5 ) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 βγ 6β γ 6y β) y 4 γ) 8y β 9β 5γ δ βγδ 4 δ) ( + 5) β 5 ε) β β β 4 στ) + + β β + β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5y 45 y β) γ) + β 5 δ) ( β) [ ( β) ] ε) + y y 4y + y + y στ) 4β ( + β) 6β ( + β). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) y β) ( β ) β γ) y y y δ) y + yω + ω 6y ω 4y ω (y + ω) ε) στ) β γ + γ β 48

18 . Ν κάνετε τις πράξεις: ) β + 6β + 9β + β 4β β) 5 y 5 4y 5y 0 7y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ν ν ν ν β) β γ γ βγ γ) + y 7γ 5 β + 5y βy 5. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 8 8 : β) 40 : 8 γ) y : y 6 δ) β : β ε) (4 β ) : 4 στ) (56 64y + y ):( 8y) 6. Ν κάνετε τις διιρέσεις ) 00 : 0 β) 50 : γ) : Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) y : 9 4y 4 β) 9y : 9y γ) 4 4β : 5β 6 δ) ( 4y y : 6 5y ) : 5y 4 ε) (β + β β):( β ) στ) ( 7 6β + 4 9β ) : 7 8. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) β 4 : β 6 β) + y : y + y γ) β : 4 β δ) β β : β β ε) :

19 9. Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) + β γ : + β γ β) β : 4β β γ) + : ( 4) δ) ( β ) : + β + β ε) + β ( 4 : ) : Ν κάνετε τις πράξεις: ) y y β + β y y β) y y + 6y : 4y + 6y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) : 6 + β) 6y + y ( y) + y : y. Ν κάνετε τις πράξεις: β ) + β β + β yω β) ω γ) 4 ( 5 yω y β ) : ( 5 8β 5 : 60β 75 ). Ν κάνετε τις πράξεις: 8( + y) ( + y) ) [ : 5( y) ( y) ] 8( + ( y y) ( + y) ) β) [ : 5( y) ( y) ] ( y )] 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + y + y y + y : + y y + y y γ) 4 β 4 4 y + y y 4 β + y y β) + y y : y y y 50

20 A.0.B Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο προνομστή Η πρόσθεση κι η φίρεση ρητών πρστάσεων που έχουν τον ίδιο πρνομστή γίνοντι όπως κι η πρόσθεση κι η φίρεση ομώνυμων κλσμάτων, σύμφων με τους τύπους:... Πρδείγμτ β + γ β = + γ β κι β γ β = γ β = = + 4 = β 5 β = ( = + ) = + 4 = + 0 Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων που δεν έχουν τον ίδιο προνομστή Στην περίπτωση υτή, μεττρέπουμε πρώτ τ κλάσμτ σε ομώνυμ: β + γ δ = δ β + γ β δ = δ β δ + γ β δ β = δ βδ + γδ δβ = δ + γβ βδ... Πρδείγμτ = = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = 4 ( + ) = 4 4 = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = = 5 = 5 + = 5 + 5

21 Γενικά, μπορούμε ν εργστούμε ως εξής: Γενικός τρόπος. Πργοντοποιούμε τους πρνομστές.. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των πρνομστών. Βρίσκουμε τ πηλίκ του ΕΚΠ υτού με κάθε πρνομστή. 4. Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε κλάσμτος με το ντίστοιχο πηλίκο κι εκτελούμε τις τελικές πράξεις: Πράδειγμ Ν υπολογιστεί το άθροισμ: = ( + ) + = + + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = ( + + ) ( + ) ( + ) = = = + ( + ) + + ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( = + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) = = ( + ) + ( + ) ( + ) (+) +) = = ( + ) = + ( + ) Έστω κόμη, γι πράδειγμ, ότι θέλουμε ν υπολογίσουμε το άθροισμ Τότε: 8( ). Οι πρνομστές είνι 4 = κι 8( ) ( ).. Το ΕΚΠ των πρνομστών είνι ( ).. Τ πηλίκ υτού του ΕΚΠ με κάθε πρνομστή είνι: ( ) = ( ) κι ( ) ( ) = 4. Έχουμε: ( ) = + 5 ( ) = 5

22 ( ) = ( ) + 5 ( ) = 9( ) = 7 ( ) ( ) = 9( ) + 0 = 7 ( ) = ( ) = ( ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Θυμίζουμε ότι, γι ν πολλπλσιάσουμε ή ν διιρέσουμε δύο κλάσμτ, δε χρειάζετι υτά ν είνι ομώνυμ. Γι ν προσθέσουμε ή ν φιρέσουμε όμως δύο κλάσμτ, είνι πρίτητο ν τ κάνουμε πρώτ ομώνυμ (ν δεν είνι ήδη) κι μετά ν εκτελέσουμε την πράξη (πρόσθεση ή φίρεση) που έχουμε. 4. Αν θέλουμε ν προσθέσουμε έν κλάσμ με μι πράστση που δεν είνι κλάσμ, θεωρούμε την πράστση υτή ως κλάσμ με πρνομστή τη μονάδ. Γι πράδειγμ: + = + = + = + 4 = 4 = ( ) ( ) 4 = = 4 = 4 5. Γι ν εκτελέσουμε την πρόσθεση ή την φίρεση δύο κλσμάτων που δεν είνι ομώνυμοι, μπορούμε, ντί γι το ΕΚΠ των πρoνομστών ν χρησιμοποιήσουμε έν οποιοδήποτε κοινό πολλπλάσιο των πρoνομστών, π.χ. το γινόμενό τους. Μόνο που τότε, ενδεχομένως, ν χρειστούν ρκετά περισσότερες πράξεις. 6. Προσοχή στο συνηθισμένο λάθος β κ + λ β = κ + λ β [ το σωστό είνι β κ + λ β = κ λ β ]. 5

23 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 7. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη). ) = Σ Λ β) + y = 5 + y Σ Λ γ) + β + β β + β = Σ Λ δ) 5 y + 5 y = 0 Σ Λ ε) + β = + + β Σ Λ στ) = Σ Λ ζ) β + β β = Σ Λ 8. Το ποτέλεσμ της πράξης 4 + είνι: ) + 5, β), γ) δ) Το ποτέλεσμ της πράξης γ β + βγ β είνι: ( + β)γ β ) γ β) γ) γ δ) β + β 0. Αν + β = β κι β = 6 τότε το άθροισμ + είνι ίσο με: β ) 4 β) 4 γ) 4 δ). Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: )... = 0 β) = 54

24 γ) = + δ) = ε) +... = στ) = Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β) + / γ) 4 β δ) 7 + ε) ω στ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) 4β + β β) y 7 ω γ) 5 y β δ) β y ε) β στ) κ κ 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) R ρ R γ) 8y 4y δ) 5 y ε) β 6y ω + 4yω στ) βγ 4γ 5β γ 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) 5 + γ) + δ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) + 7 β) 7 + γ) δ) 4y 6y 7. Ν κάνετε τις πράξεις: 55

25 ) 5 + β) + γ) + 8. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + + β) ( + ) γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β) β + β ( + β) γ) y 4y y δ) + β ( β) + β ( + β) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: y + y + y + y 5 + 5y y. Ν κάνετε τις πράξεις: ) 5 β) β γ βγ + γ β γ) β β + β + 4β 4β. Αν A = + β + β + β + β β κι Β = β + β, ν βρείτε το πηλίκο Α : Β. β. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β β + β + y β) y y + y + y + y γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y ) y 6 β) δ) ( + ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: β) ( y + ω ) yω γ) ( ) 9 56

26 ) ( + + ) ( + ) β) ( /β ) ( β) γ) ( + β ) ( β 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + β β + ) ( β ) δ) ( β ) : ( β) γ) β β β ) ] Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους ) : ( + β ) 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) μ β μ y y + + γ μ β) + y γ) Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( + y ) : y y β) ( + γ) ( y ) ( y + ) ( δ) ( 5 + y 9 + 8y 5 4β 4 4 y ) ) : ( 9 4β 0 + β 8y 0 ) ) ) ( + ) 9. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( : ) β) ( + y γ) [( + y( y)] : + y y y ) : ( + y ) y ) 57

27 0. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β) β + β + β + β γ) β + + β β + β δ) β. Ν κάνετε τις πράξεις: y ) ( y ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) β) [ ( β + y β) 4 y ( y 5 ) γ) β ) ( β + ) ] : ( β + β ). Ν κάνετε τις πράξεις: ) [ ( + ) : ( + ) ] β) + γ) y y y 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( β)(β γ) + (β γ)(γ ) + (γ )( β) βγ β) ( β)(γ ) + γ (β γ)( β) + β (β γ)(γ ) 5. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( y) ( + y ) + ( y) ( y ) β) + + : 58

28 + y + y γ) y y ( y ) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους 6. Ν κάνετε τις πράξεις: ) β ( β + β + ) β) 4 β 4 4 y + y : β 4 y γ) ( + β + β ) 9β 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ) ( ) : ( β) [ β ( + β) + + β ( β) ] : [ + ) ( + β) β + ( β) ] 8. Ν κάνετε τις πράξεις: + y + y + ω ω + + β β + ) + y + ω β) + β + β + β β β γ β γ γ) β β γ β γ β 9. Ν ποδείξετε ότι: + y y = ( y ) 40. ) Ν ποδείξετε ότι: + y + y y = ( y) β) Ν υπολογίσετε την πράστση ) Αν Α = κι Β = 4 + 4, ν ποδείξετε ότι Α + Β =. 59

29 β) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί:, 400, 9996 ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 4. ) Ν ποδείξετε ότι ν(ν + ) = ν ν + β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ S = ) Ν ποδείξετε ότι ν ν + = ν(ν + ) + (ν + )(ν + ) β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ: S =

30 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Γι ν είνι η πράστση ν μονώνυμο του, ρκεί το ν ν είνι: Α. κέριος Β. θετικός πργμτικός Γ. θετικός ρητός Δ. θετικός κέριος. Αν ( + β) = + 4β + 4, τότε οι ριθμοί,β είνι: Α. ντίθετοι Β. ντίστροφοι Γ. ετερόσημοι Δ. Μεγλύτεροι του. Αν ισχύει ( + y) = ( y) = ( y), τότε: Α. + y = y Β. = y = 0 Γ. = 0 ή y = 0 Δ. =, =, y = 0 4. Αν ισχύει ( + y) = 8, τότε: Α. y = Β. y + = Γ. = y Δ. + = y 5. Το γινόμενο ( β)( β )( β )( β 4 4 ) είνι ίσο με: Α. 8 β 4 Β. β 6 6 Γ. β 8 8 Δ. 6 β 6 6. Αν,β 0 κι β = β, τότε η διφορά είνι ίση με: β Α. Β. Γ. 0 Δ. + β 7. Αν + /y = 0, τότε το πηλίκο y/4 + y είνι ίσο με: Α. Β. 5 Γ. 5 Δ. 8. Αν το εμβδόν ενός πρλληλογράμμου είνι κι μί διάστσή του είνι, τότε η άλλη είνι: Α. + Β. Γ. + Δ. 9. Στο πρώτο σχήμ φίνετι έν ορθογώνιο με διστάσεις +, με >. 6

31 Στο δεύτερο σχήμ φίνοντι δύο τετράγων με πλευρές, ντίστοι- χ. Αν τ γρμμοσκισμέν χωρί είνι ισεμβδικά, τότε το ισούτι με: Α. + Β. Γ. Δ. + (ΣΧΗΜΑ) (ΣΧΗΜΑ) 0. Η τιμή της λγεβρικής πράστσης + 4 γι =,5 είνι: Α. 0, Β. 0, Γ. 0,6 Δ.,. Αν + β = 9 00 (με,β 0) κι β = 0, τότε ( + β) είνι: Α. 0 Β. 9 Γ. 0 Δ. 4. Αν = 4, >0, τότε το + είνι ίσο με: Α. _ Β. _ Γ. _ Δ. 4 _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν θ είνι ένς θετικός κι ένς ρνητικός ριθμός, ν βρείτε το πρόσημο των ριθμών: ) θ β) 4θ γ) δ) 0 ε) θ θ + στ) θ + ζ) ( )( ) η) θ θ + θ) ι) + ι) θ Ν υπολογίσετε την τιμή των πρστάσεων: ) Α = 006 [( ) ( ) 006 ] [( ) + 64

32 β) Β = ( ) : ( ) + ( ) ( ) 4 ( 4) 5. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: Α = ( + ) + 4 ( β + ) + [ ( β 006 ) Ν πλοποιήσετε την πράστση (β ) ] 0 ( ) : { (β ) (β ) [ (β ) κι ν υπολογίσετε την ριθμητική της τιμή γι = _ κι β = ( _ ). γι = κι β =. (β ) ] } 7. Ν βρείτε την τιμή της πράστσης Α = [ y 4 ) ( 4 y ) ] / y 4 ) y 5, ν οι ριθμοί,υ είνι ντίστροφοι. 8. Αν ισχύει _ β β = 5. 0,5 + β =, ν υπολογίσετε την τιμή του 5 0,005 γι = 0 κι 9. Αν ν είνι ένς θετικός κέριος, ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης. Α = ( + 8 ) [ ( ) ν + ( ) ν + ] 0. Ν ποδείξετε ότι: ( _ 5 _ + _ 60 5 ) : 6 _ 5 5 =. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: 0 _ A = _ _ 5 + _ 0 0 _ 0, _ 7 _ _ 9 + _ _ 9 40 _ 0,0 5. Ν μεττρέψετε το κλάσμ _ που έχει άρρητο πρνομστή σε ισοδύνμο με ρητό 5 πρνομστή.. Αν = _, ν ποδείξετε ότι = + _. 4. Δίνοντι οι ριθμοί Α = y κι Β = y (όπου,y 0). 6

33 ) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί Α κι Β είνι ντίστροφοι β) Ν εξετάσετε ν είνι δυντόν οι Α κι Β ν είνι ντίθετοι. 5. Έν ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 6 m κι περίμετρο 6 m. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του. 6. Ν βρείτε τις τιμές των λ κι μ γι τις οποίες η λγεβρική πράστση 5 μ + y + 7y λ + είνι μονώνυμο. 7. Ν βρείτε τ γινόμεν: ) ( β)( + β)( + β )( 4 + β 4 ) β) ( β + β )( + β)( β )( 6 + β 6 ) 8. Αν = y κι β = y, ν ποδείξετε ότι β + β β = + y + y + y 9. Αν + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = (γ β) 0. Αν Α = ( _ 6 _ ) _ + _, ν βρείτε τον ριθμό Α κι στη συνέχει ν ποδείξετε ότι Α =. Αν ισχύει + β + γ = 0, ν ποδείξετε ότι + β + γ = βγ.. Αν = + z, β = y + z, γ = y + z κι ( + y)( y) = z, ν ποδείξετε ότι ( + β)( β) = γ.. ) Ν ποδείξετε ότι [ ( + ) ] ( [ ) ] =. β) Ν γράψετε τον ριθμό 000 ως διφορά τετργώνων δύο κερίων. 4. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 5 y + 4 y y 4 β) y ω y ω + ω 4 γ) ( ) δ)

34 5. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 4 4β + β 9 β β) + + yω y ω 6. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: ) ( y)( + y) ( y) ( 9y ) β) 4β + 4β 5γ γ) β + 4β 4 δ) Ν κάνετε γινόμενο τις πρστάσεις: ) ( + 8) ( ) β) 9 8 β + 4β β 8. Ν πλοποιήσετε το κλάσμ Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) κ λ 4 κ λ + κ 4 λ ( + β) β) y βy + y κ λ 4 κ 4 λ ( + β)( y ) y Ν πλοποιήσετε την πράστση Αν = + β, ν πλοποιήσετε την πράστση, β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: ) + β + β + β β β) γ) δ) 4 + 4β β β + β + β β 4. Ν κάνετε τις πράξεις: β + β β ) β + β : + + β β) β + γ + β + γ β + + γ β + γ 65

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ 1 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πργοντοποίηση : Είνι η διδικσί µε την οποί µί πράστση που είνι άθροισµ µεττρέπετι σε γινόµενο πργόντων 2. Χρησιµότητ : Απλοποιήσεις Εύρεση Ε.Κ.Π κι

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 193 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 194 Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη 255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ 78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Έννοιες

Επαναληπτικές Έννοιες Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα)

Ε. Εισαγωγή. Οι σχέσεις στα Μαθηματικά παριστάνονται συνήθως με τα σύμβολα :,,,,,,,,,,,, κ.λ.π. (παγκόσμια σύμβολα) Ε. Εισγωγή Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής. Τ σύμβολ κι Λογική πρότση ή πλώς πρότση γι τ Μθημτικά είνι κάθε δήλωση (ισυρισμός), η οποί μπορεί ν δεθεί μόνο έν πό τους ρκτηρισμούς : Αληθής Ψευδής. Προτσικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες: Κεφάλιο ο Ερωτήσεις Κτόησης Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) είι σωστές ή με (Λ) είι λθσμέες: ) Γι κάθε ριθμό ισχύει + + + 4 β) Γι κάθε ριθμό ισχύει 4 γ) Οι ριθμοί (-) 6 κι - 6 είι τίθετοι δ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε κλσμτική εξίσση κάθε εξίσση που έχει άγνστο στον προνομστή. 7 6 Γι πράδειγμ οι εξισώσεις + 5, + είνι κλσμτικές ενώ οι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα α λυκείου 1

άλγεβρα α λυκείου  1 άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Ένς Πίνκς συντελεστών Α µπορεί ν έχει ντίστροφο δηλδή, µπορεί ν είνι «µηιδιάζων» µόνο εάν είνι τετργωνικός Η συνθήκη τετργωνικότητς είνι νγκί λλά όχι κι ικνή γι την ύπρξη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ-ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ Α.ΠΡΑΞΕΙΣ.) Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,, ) Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα. 1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι

Διαβάστε περισσότερα