Svim prijateljima vilenjaka i onima koji Ëeznu za melodijom besmrtnih zemalja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Svim prijateljima vilenjaka i onima koji Ëeznu za melodijom besmrtnih zemalja"

Transcript

1

2 Svim prijateljima vilenjaka i onima koji Ëeznu za melodijom besmrtnih zemalja

3 Sadryaj»eænja za drukëijim svijetom 5 Mit za spoznaju istine 7 Tolkien i borba izmeappleu dobra i zla 11 Sjenka proπlosti 15 Sila koja Êe pobijediti zlo 23 Svjetlost i tama i niπta izmeappleu 27 Frodov poziv 31 Streider - nije zlato sve πto sja 37 Tolkien, mitovi i alegorije 43 Gandalf Bijeli - povratak od mrtvih 45 Znamenita bitka na mostu u Moriji 49 Pod plaπtem ludosti na Kletu goru 53 Nada na Stazama mrtvih 61 Pod krivom zastavom 65 Kralj Gondora iscjeliteljskih ruku 69 Traæe se hobiti 79

4 »eænja za drukëijim svijetom Za me zavoj svake ceste Skriva staze, tajne, Ëeste; Al veê sutra doê Êe dan, Kad Êu najzad krenut sam Kroz prolaze koji slijede mjeseëeve zrake blijede Il zaëaran sunëev san. Frodo, Knjiga VI, 9. poglavlje, str. 331» eænja za drukëijim svijetom - ona se krije duboko u svima nama. Svi mi æelimo viπe. Zato su bajke i mitovi oduvijek fascinirali nas ljude i zato droge ili tajna znanja kultova, religija i magije imaju privlaënu moê.»eznemo za drukëijim svijetom, svijetom koji je dublji od onoga πto vidimo i doæivljavamo.»ini nam se da bi naπ æivot trebao predstavljati viπe, imati neki dublji smisao od banalne svagdaπnjice.»eænja za drukëijim svijetom, tako je naslovljen napis u Ëasopisu STERN uz premijeru dotad najveêeg projekta u filmskoj povijesti: filma snimljenog po uspjeπnici Gospodar prstenova. Jer Gospodar prstenova dolazi nam kao odgovor na tu Ëeænju, vodi nas u jedan svijet koji je poput naπega, ali dublji, bogatiji, ljepπi, mraëniji, dramatiëniji, pustolovniji i smisleniji.»eænja za takvim svijetom nije u nama bez razloga. Jer taj svijet zaista postoji i mi smo zapravo roappleeni da ga otkrijemo i u njemu doæivimo pustolovine. Tolkien, autor Gospodara prstenova, poznavao je i volio taj svijet. Svojim romanom æelio je iznova oæivjeti Ëeænju za njim, koja kod mnogih leæi u praπnjavim zakutcima duπe. 5

5 Nudi nam se nevjerojatna moguênost. Moæemo poêi na put u davno zaboravljena vremena ne samo da bismo zaboravili danas. Mit Meappleuzemlja bit Êe nam kompas za pronalaæenje vrata tajnoga kraljevstva, vrata koja vode do puta kojim se isplati poêi! Spremni? Ali Ëekajte, prije no πto se vinemo u zrak i otisnemo prema Meappleuzemlju, moramo nauëiti joπ nekoliko Ëinjenica o tvorcu Meappleuzemlja - malo teorije, doduπe, ali potrebne da bismo utoliko viπe uæivali u putovanju. Ceznja za drukëijim svijetom Mit za spoznaju istine Vjerujem da se legende i mitovi velikim dijelom sastoje od istine. Tolkien, Letters, str. 147 Snimanje filma po kultnom romanu bio je smion projekt jer fantastiëni je svijet J.R.R. Tolkiena tako kompleksan da ga je zapravo nemoguêe prenijeti na filmsko platno. A da ni ne spominjemo kako se roman od 1300 stranica ne moæe skratiti na komercijalnih dva sata bez sakaêenja πto Êe ga, na ljutnju poklonika, pretvoriti u povrπan kiëasti film. Peteru Jacksonu trebalo je oko devet sati igranog filma da bi donekle odao priznanje Tolkienovu remekdjelu. Poklonici, kao i struënjaci, slaæu se kako je to uëinio majstorski. Prstenova druæina, prvi dio epske pustolovine, doæivio je uspjeh πirom svijeta: film se lansirao meappleu najuspjeπnije filmove svih vremena i, za razliku od nekih drugih punitelja blagajni, nagraappleen je brojnim Oskarima. Meappleuzemlje, dakle, oduπevljava i na filmskom platnu, no Tolkienova knjiga po uspjeπnosti ostaje joπ uvijek klasa za sebe. S preko pedeset milijuna prodanih primjeraka ona je, izuzevπi Bibliju, najprodavanija knjiga 20. stoljeêa. Draguljarnice, pivnice, kafiêi, pa Ëak i jedna zrakoplovna tvrtka, uzele su imena junaka Meappleuzemlja davno prije njihova pojavljivanja na filmskom platnu. Tolkienov ep veê generacijama osvaja najrazliëitije ljude. Djelo oksfordskog profesora jednako oduπevljava ozbiljne suvremenike kao i otkvaëene hipije, pozere i teπkometalce. VeÊina pisaca fantastike ugledala se na Tolkiena, no nikome poslije njega nije uspjelo privuêi tako πiroku masu. to je tajna Gospodara prstenova? to ga Ëini tako privlaënim? to mu daje odluëujuêu razliku? 6 7

6 Snimanjem filma Tolkienovo je djelo ponovno u srediπtu zanimanja. AnalitiËari pokuπavaju odgonetnuti duhovnu pozadinu priëe. Ne trebamo baπ naπiroko traæiti da bismo primijetili kako je Gospodar prstenova sve drugo samo ne fantastiëna besmislica. Nalazimo bezbrojne refleksije na Tolkienov stvarni svijet u kojem je æivio: tako, naprimjer, ratovi igraju veliku ulogu u Gospodaru prstenova - pisac je u svome æivotu doæivio traume dvaju svjetskih ratova. Jednom kao mlad vojnik, kada se, tek oæenjen, morao rastati od svoje Edith te je u bitci kod Verduna izgubio sve svoje prijatelje, i jednom kao zabrinut otac koji je imao sinove na frontu. Jezici, narodi, mitovi i stare pripovijesti takoappleer igraju veliku ulogu u Gospodaru prstenova - Tolkien je bio jezikoslovac i imao opseæno znanje staronordijske i keltske mitologije. U Meappleuzemlju su se gradili strojevi koji proizvode pepeo i razaranje i uniπtavaju ljepotu i idilu prirode - refleksija na Tolkienove stvarne doæivljaje u doba industrijalizacije, kada dimnjaci odjednom razaraju slikovite krajolike njegove voljene domovine. Popis primjera mogao bi se nastaviti. Sve je jasnije da Tolkienov fantastiëni svijet u mnogo vidova odraæava naπ stvarni svijet. Zbog toga su ga uvijek nanovo ispitivali o takvoj povezanosti. No majstor je ostajao cool. Maπtovitim tumaëima neumorno je zatvarao vrata. U predgovoru njegova remek-djela jasno piπe: to se tiëe nekog dubljeg znaëenja ili poruke, pisac nije imao niπta sliëno na umu. Ovo djelo nije ni alegorijsko ni aktualno. Je li, dakle, Gospodar prstenova samo Ëista fantazija, napisana samo da bi oëarala, zabavila, bez poruke, bez smisla i svrhe? Ne, naravno! Umjetnika treba pomno sluπati æelimo li saznati πto je zapravo mislio. Navedenim citatom Tolkien je otprilike æelio reêi da njegov roman nije alegorija u stilu: Prstenova druæina predstavlja SavezniËke snage, Sauron Adolfa Hitlera, a Saruman Mussolinija; veê je kreirao priëu koja je sasvim neovisna o stvarnoj povijesti. 8 MoguÊa su bila i neka druga tumaëenja, pojaπnjava zatim svojim njegovanim profesorskim stilom, u skladu s ukusom ili miπljenjem onih koji vole alegorije ili aktualne aluzije. 1 Razumjet Êemo bolje ako si prizovemo u svijest kako Tolkien Gospodarom prstenova zapravo nije æelio stvoriti alegoriju, veê mit. A za mitove nije vjerovao da postoje tek tako za zabavu, dapaëe, rekao je: Vjerujem da se legende i mitovi velikim dijelom sastoje od istine i da se danas neki njihovi vidovi zaista mogu shvatiti samo na taj naëin. Legende i mitovi za Tolkiena su, dakle, instrumental prenoπenja odnosno dubljeg poimanja istine. Stoga je oëito da je svojim mitom o Meappleuzemlju isto tako æelio istinu izloæiti dubljem poimanju. Gospodar prstenova govori o istini i zato dira u jednu duboku æicu ljudske duπe. Duboko u nesvjesnom dotiëe teme koje su nama ljudima egzistencijalno vaæne. U mitu o Meappleuzemlju suoëeni smo s najstvarnijim realnostima æivota. Istina, o tome se radi. Ona oduzima dah i dramatiëna je kao i pustolovine Froda, Gandalfa i Stridera. Ona, po Tolkienu, daleko nadmaπuje previranja ranog 20. stoljeêa. Ako neki dogaappleaji iz II. svjetskog rata odraæavaju zbivanja iz Rata za Prsten krajem TreÊeg doba u Meappleuzemlju (ili obrnuto), to je samo prirodno. Povijest se ponavlja jer istina ostaje ista. Vremena se doduπe mijenjaju, ali sile zla i dobra ostaju iste, Ëak i danas, u 21. stoljeêu po naπem raëunanju vremena. Mit za spoznaju istine 1 Predgovor, str. 9 9

7 Tolkien i borba izmeappleu dobra i zla U svijetu ima mnogo sila, dobrih i zlih. Gandalf Frodu, Knjiga II, 1. poglavlje, str. 262 Tolkiena je ljutilo kada bi se znaëenje borbe izmeappleu dobra i zla u njegovu epu svodilo na rat izmeappleu Saveznika i Sila osovine. U tom sukobu obje bi strane mrzile i prezirale hobite, pa oni ne bi Ëak ni kao robovi ostali dugo na æivotu, 2 komentirao je to usko tumaëenje svoga djela. Tko zaboravlja da je Tolkien bio vjernik krπêanin, neminovno Êe neke stvari u Gospodaru prstenova krivo tumaëiti. Mora nam biti jasno da je za Tolkiena vjernika sasvim stvarno postojao jedan drugi svijet, svijet duhovne realnosti. Rat koji vjekovima tutnji Meappleuzemljem nije niπta drugo do refleksija na borbu izmeappleu duhovnih sila koja se odigrava u naπem stvarnom svijetu! Mit se u bitnom dijelu sastoji od istine. Za Tolkiena je istina, kako je viπe puta svjedoëio, bila krπêanska vjera. U nju je bio toliko uvjeren da se njegovu utjecaju pripisuje i to πto je njegov prijatelj, poznati engleski filozof C. S. Lewis, od ateista postao osvjedoëenim krπêaninom. C. S. Lewis vaæi za najuspjeπnijega krπêanskog pisca 20. stoljeêa. Bio je, kao i Tolkien, Ëlan kluba pisaca The Inklings. Uz brojne filozofske rasprave pisao je, kao i Tolkien, fantastiëne romane. Lewisovi romani uvijek su alegorije, odraz krπêanske vjere. Njegovo je moæda najpopularnije djelo, viπe puta preneseno na film, 2 Predgovor, str. 9 11

8 Ljetopisi iz Narnije, u kojemu je lav Aslan istovremeno stvoritelj i spasitelj svijeta. Dok se Lewisove fantastiëne pripovijesti odigravaju uvijek u naπem vremenu, ali u nekom drugom, fiktivnom svijetu, Tolkienova se priëa odvija u naπem svijetu, no u nekom drugom, fiktivnom vremenu. SluËaj? Kod Lewisa je oëito da su njegove pripovijesti alegorije na biblijsku vjeru. Njegov je prijatelj Tolkien, preziruêi alegorije, pisao drukëije. No to da je i on æelio utkati vjeru u svoje djelo priznao je u svojim Pismima: Sukladno mojoj namjeri, Gospodar prstenova... trebao bi se slagati s krπêanskim mislima i uvjerenjima... 3 Gospodar prstenova odiπe krπêanskim uvjerenjima i æeli otvoriti vrata staroj istini da bi se ona nanovo i dublje shvatila. Ta Ëinjenica, naæalost, nije poznata mnogim Tolkienovim poklonicima. Mnogi koje oduπevljava nesebiëna Druæina, kojima je toplo oko srca u fantastiënom svijetu Rata za Prsten, ne poznaju duhovni svemir iz kojega je pisac crpio materijal za Meappleuzemlje. KrπÊanstvo - samo mi je to nedostajalo, neπto tako dosadno i suhoparno! - moæda sada mislimo. Pa ipak, moæe li duhovna pozadina jednoga stvarno napetog epa biti dosadna? Upravo je krπêanski utjecaj to πto izdiæe Gospodara prstenova iznad svih drugih fantastiënih romana, daje mu kvalitetu i genijalnost tako da se obraêa daleko veêem broju ljudi od tek nekoliko zabrazdjelih sanjara. Bez Tolkienove vjere, ep o Meappleuzemlju ne bi zadirao tako duboko i time desetljeêima oëaravao milijune. Ako biblijsku vjeru povezujemo s dosadom, moæda je stvar u tome da smo o njoj dosad imali sasvim krive predodæbe. U naπim krajevima vladaju mnoge predrasude o biblijskoj vjeri, baπ kao i predrasude o pustolovinama u Shireu. Prostoduπni stanovnici Shirea smatrali su Bilba πaπavom niπtarijom, dok je on æivio na razini o kojoj nisu mogli ni sanjati! 3 Letters, S Upravo je tako i sa svijetom vjere. Predrasude su toliko duboko ukorijenjene u miπljenju prosjeëna graappleanina da nije Ëak ni spreman posluπati one koji su veê bili vani. Tako zapravo ne zna baπ niπta o tom svijetu, ali je, unatoë tomu, protiv. Pustolov u vjeri Ëesto doæivljava jednako iskustvo kao i Bilbo na svoj jedanaestoprvi roappleendan, kada je uskogrudnim Bagginsima, Proudfootima, Bolgerima, Goodbodyima i Hornblowerima æelio priëati o dubljim realnostima svijeta - sluπatelji su se dosaappleivali i mislili: zaπto veê ne prestane govoriti? VeÊina suvremenika ne moæe i ne æeli vjerovati da postoji viπe od onoga πto su (dosad) vidjeli vlastitim oëima. Ipak, onaj drugi svijet, svijet za kojim Ëeznemo, postoji i na dohvat je ruke. U danaπnje je doba velika veêina izgubila pristup tom svijetu; njegove su boje za nas izblijedile i posivile, njegova imena i mjesta Ëine nam se puna praπine i pauëine.»ine se, jer koliko god zemlje poput Loriena, Rohana i Gondora zvuëale nezanimljivo stanovnicima Shirea, one to ipak nisu! Spremite se! ZapoËinjemo naπe putovanje drvenim Meappleuzemljem da bismo u njemu, kao kroz ogledalo, ponovno otkrili tajnoviti svijet koji nam je istovremeno blizu i daleko i pronaπli tajna vrata. To putovanje moæe biti opasno jer ako smo, poput Bilba, viπe na Tookove nego na Bagginse, onda Êemo se uputiti na to putovanje da bismo doæivjeli velike pustolovine. Tolkien i borba izmeappleu dobra i zla 13

9 Sjenka proπlosti To je poglavlje iz drevne povijesti kojeg bi se valjalo prisjetiti... Gandalf Frodu, Knjiga I, 2. poglavlje, str. 68 Zapravo niπta ne bi govorilo protiv toga da se u malom raju svoga blagostanja radujemo i æivimo za male, banalne æivotne stvari kao πto su jelo, piêe, nogomet, karijera, seks, ples, glazba i sliëno, da nema sjenke proπlosti. Ako i samo nekolicina zna za nju, ona je vrlo stvarna i razorit Êe naπ mali, Ëili svijet, nekome prije, nekome kasnije. Moramo poznavati sjenku proπlosti, uzimati je ozbiljno - a onda djelovati! Tada ima nade, tada postoji moguênost bijega od propasti. Ah, tko se joπ zanima za stare priëe! viëu veliki igraëi i danas kao nekad Timm Sandigmann u Zelenom zmaju. Neπto tako dosadno, pa to su ipak sve samo priëe za malu djecu! U Gospodaru prstenova stare priëe nisu dosadne. One su temelj svega πto se dogaapplea. Froda u stare priëe mora uputiti mudri Gandalf da bi mogao ispravno razumjeti vlastiti æivot! To je istina - ni mi ne moæemo dobro razumjeti vlastiti æivot ako ne znamo πto je bilo na poëetku. Prsten, Mordor, Sauron, vilenjaci, sve ima svoju povijest. Niπta πto postoji nije samo sluëajno tako kako jest, sve ima svoje korijenje u proπlosti. U svojoj knjizi Silmarillion Tolkien piπe o toj proπlosti. U njoj saznajemo kako je na poëetku veliki, jedini bog Eru, zvan Ilúvatar, stvorio Zemlju. On je bio taj koji ju je osmislio i svojom rjeëju ea - neka bude oæivotvorio. Poetski lijepo Tolkien opisuje Ëudo stvaranja: Ilúvatar je najprije stvorio Ainure, svece, i nauëio ih moêan napjev. Taj je napjev bio tako divan da su se Ainuri, Ëuvπi 15

10 ga, sa strahopoπtovanjem poklonili pred Ilúvatarom. No najljepπem i najmoênijem Ainuru, Melkoru, u srcu se uzdigla sjenka. Melkor je i sam æelio neπto stvoriti, i sam neπto zvati svojim i vladati njime. Stoga je, unatoë uputama Ilúvatara, pjevao vlastiti napjev i neki su mu se drugi Ainuri pridruæili. Pred Boæjim prijestoljem sukobile su se najednom dvije pjesme. Kako je Melkorova pobuna jaëala, Ilúvatar se umijeπao. Utiπao je sve Ainure i ukorio Melkora: A ti Êeπ, o Melkore, spoznati da se nijedan napjev otpjevati ne moæe a da nema svoj izvor najdublji u meni i nitko protiv moje volje ne moæe glazbu izmijeniti. A onaj koji pokuπa, postaje oruapplee u mojim rukama kojim Êu veêa Ëudesa stvoriti nego πto ih ovaj moæe zamisliti. 4 Na kraju Ilúvatar pokazuje Ainurima da je njihovo pjevanje bilo stvaralaëko djelo. Ne znajuêi, svojim su anappleeoskim glasovima stvorili svijet, koji Êe postati dom Ilúvatarovoj djeci, ljudima i vilenjacima. Imali su viziju Zemlje, a kada je Ilúvatar rekao: Neka bude!, ona je postala stvarnost. Melkorovo odmetniπtvo od Boga neopozivo je, meappleutim, unijelo zlo u stvorenje, ono je nastavilo djelovati na mnogo naëina. Sjenka, koja se u pradavna vremena uzdigla u srcu najviπeg anappleela, dovela je destruktivne sile kako u prirodu tako i u srca vilenjaka i ljudi. I tako je ta sjenka na koncu odredila i æivot malog gospodina Froda Bagginsa. Hobit je odjednom morao iskusiti kako sile, koje su za njega dugo bile predmet fantastiënih pripovijesti, sasvim stvarno djeluju u njegovu æivotu. I ne samo to, Ëinilo se kao da je sve πto se u Meappleuzemlju dogaapplealo povezano s dogaappleajima iz davnine. Zli Sauron, protiv kojega se valjalo boriti, bio je sluga Melkora, prvog pobunjenika protiv Sveviπnjega, Maiar, duhovno biêe iz davnine. U Gospodaru prstenova te priëe nalazimo vrlo zanimljivima, no Tolkien je u biti samo izmijenio imena i stare predaje Svetoga Pisma zapakirao u novo ruho. 4 Silmarillion, str Njegov se mit o stvaranju velikim dijelom sastoji od istine. Biblija nam govori da smo mi i cijeli svemir djelo Jednoga koji postoji oduvijek. Ona nam objaπnjava kako je naëin na koji je on stvorio svemir u biti isti kao i u Tolkienovu Silmarillionu. Ako u njemu piπe: Zaista, kaæem vam: Eä! Neka bude tako! nova Ilúvatarova tvorevina: Eä, svijet koji postoji. 5, onda u njoj stoji: I reëe Bog: Neka bude svjetlost! I bi svjetlost. 6 U biblijskoj Knjizi o Jobu djelo se stvaranja takoappleer opisuje kao pjev: Kad pjevahu zajedno zvijezde jutarnje i svi sinovi Boæji klikovahu. 7 Ni u Bibliji Bog Stvoritelj nije tek bezliëna sila, veê je, poput Tolkienova Ilúvatara, boæanska osoba. Bog koji ima volju, Bog koji ima planove i svojim stvorenjima dopuπta sudjelovanje u tim planovima, Bog koji se raduje ljepoti i stavlja pjesme u srca. Sveti, koji æiviπ u pohvalama Izraelovim! 8 molio mu se pred 3000 godina kralj David. Bogu se, kao i Tolkienovu Ilúvataru, mole njegova biêa i nitko i niπta ne moæe ga zbaciti s prijestolja. Suvereno Êe i sve napade svojih protivnika ukomponirati u vlastitu pjesmu tako da na koncu, unatoë svoj mrænji, ne mogu niπta drugo nego ga joπ viπe poπtovati. Ah, prestani! Zaπto bi nas to zanimalo? Ipak je to samo stara priëa! Pa tome ima veê cijela vjeënost - uostalom, zar nije to bio samo veliki prasak koji je naposljetku, sasvim sluëajno, stvorio i nas? - A ako je Bog ipak u tome na neki naëin imao svoje prste... to ne igra nikakvu ulogu, imam druge probleme! Pa sasvim je svejedno jesmo li nastali ovako ili onako! Kratkovidno je tako misliti jer proπlost oblikuje sadaπnjost i pokazuje nam kamo vodi buduênost. Ako je poëetak doπao iz niëega, onda nas i buduênost vodi opet u niπta. Sadaπnjost ostaje bez znaëenja, a naπ je æivot liπen 5 Silmarillion, str Postanak 1:3 7 Job 38:7, prijevod Gj. DaniËiÊ 8 Psalam 22:3, prijevod Gj. DaniËiÊ 17

11 svakog smisla. Sva naπa Ëeænja za neëim viπim tada nije niπta drugo do smijeπan kemijski koktel, pauëina. Naprotiv, ako je poëetak doπao od boæanske osobe, onda Êe nas i buduênost ponovno dovesti k njoj. Ako iza svemira stoji osobni tvorac s planovima, onda sve ima dublji smisao. Tada je naπ æivot dio jedne velike i silne pjesme. Naπa je sreêa u sloænom pjevanju Stvoriteljeve melodije, a naπa nesreêa, naprotiv, u smiπljanju neëega izvan te melodije. Opis Tolkienova Melkora navlas pristaje avlu, koji je i sam jednom bio najmoêniji anappleeoski knez, Lucifer. O njemu u starim proroëkim knjigama Biblije piπe: Postavih te kao raskriljena keruba zaπtitnika: bio si na svetoj gori Boæjoj, hodio si posred ognjena kamenja. Savrπen bjeπe na putima svojim od dana svojega roappleenja dok ti se u srcu ne zaëe opaëina. 9 Kako pade sa nebesa, Svjetlonoπo, sine Zorin? Kako li si oboren na zemlju, ti, vladaru naroda? U svom si srcu govorio: Uspet Êu se na nebesa, povrh zvijezda Boæjih prijesto Êu sebi diêi. Na zbornoj Êu stolovati gori na krajnom sjeveru. UzaÊi Êu u visine oblaëne, bit Êu jednak Viπnjemu. 10 Baπ kao i Melkor, Lucifer nije htio biti samo visoki anappleeo pod Bogom, veê je æelio imati neπto svoje, stvoriti neπto svoje - htio je biti poput Boga. I upravo kao Melkor, u svoju je pobunu uvukao mnoga duhovna biêa, pale anappleele, demone. Otada Lucifer nije viπe Svjetlonoπa, veê Sotona, πto bi otprilike znaëilo protivnik i avao, πto znaëi razdvajatelj. Kako je mogao srozati naπ prekrasni, plavi planet u kaos, Ëitamo u biblijskoj Knjizi Postanka: Bog je predao zemlju ljudima. Bila je savrπeno lijepa i bez bolesti, patnje i smrti. Bila je ono o Ëemu je nama ljudima preostao tek san - raj. avlu je, meappleutim, uspjelo naruπiti Boæji sklad tako πto je ljude potaknuo na pobunu. Svirajte vlastitu 9 Ezekiel 28: Izaija 14: melodiju, hrabrio ih je, ne Ëinite sve onako kako vam je stari DosadnjakoviÊ zadao, onda Êete biti kao bogovi. 11 Njegov smo prijedlog oduπevljeno prihvatili. No, posluπavπi njegov glas, stavili smo se, ne znajuêi, pod njegovu vlast. A kako je Zemlja bila potëinjena naπoj vlasti, i ona je pala pod utjecaj zla. Cijela je priroda proæeta destruktivnim silama poπto je Ëovjek posluπao avlov glas. Odjednom je posvuda, od mikro do makrokozmosa, bilo nasilja, πtetnika, boli i smrti, a u ljudskim srcima mrænje i zavisti. To je sasvim u skladu s namjerama avla, kojega, kao i Melkora, tjera rastuêa mrænja prema svim djelima Boga Stvoritelja. Naprotiv tomu, Melokorov je duh izgarao u ljubomori i mrænji, sve dok na kraju nije mogao stvoriti niπta drugo πto ne bi bilo ruglo zamislima ostalih i svaki bi njihov trud, ako je samo mogao, upropastio, 12 tako opisuje Tolkien njegovu narav i djelo. avao æeli biti poput Boga, a kako to ne moæe, mrzi ga. Pun zavisti, pokuπava razoriti sve stvoreno: uniπtiti kiπne πume, pobaciti embrije, pretvoriti sklad u nesklad i slobodne ljude u nakazne robove. Svete stvari æivota izvrêe u njihovu suprotnost. Ako je, primjerice, Bog stvorio spolnost da bismo se na taj naëin radovali ljubavi i novom æivotu, avao je oprema atributima poput sebiënosti, perverzije, nasilja i smrti. Neumoran je u nagrappleivanju i razaranju svakog pojedinog djela i svakog stvorenja Boæjeg. To je kao crna rupa, poput vladara Mordora, samo zlo, sama destrukcija. Isus ga je nazvao ubojicom ljudi od poëetka 13, jer on je bio taj koji je ljude otpadanjem od Boga otjerao u smrt. I on je taj koji odonda u naπa srca usaappleuje laæ, zavist i mrænju πto nas nagone na meappleusobno ubijanje. avao to Ëini iz duboke mrænje prema Bogu. (Kojega nikada ne moæe svladati i koji Êe na kraju uvijek imati posljednju rijeë.) BuduÊi da smo mi ljudi Boæje remek- 11 usp. Postanak 3:5 12 Silmarillion, str Ivan 8:44 19

12 djelo i Bog nas ljubi kao svoju djecu, Sotona nas æeli uniπtiti - i to u svakom pogledu. To je poglavlje iz drevne povijesti kojega bi se valjalo prisjetiti jer avao se raduje sve veêoj omiljenosti u naπem druπtvu. Moderno je smatrati da je avao guba. VeÊ odavno, ne razmeêu se samo teπkometalci znakom 666. I multinacionalke kao Renault i Microsoft u meappleuvremenu su se uvjerile kako su takva koketiranja s appleavolskim marketinπki probitaëna. avao nailazi na prihvaêanje. Posljednjih je desetljeêa postao druπtveno prihvatljiv. Sve dok se Crni neprijatelj ne predstavlja baπ imenom Adolf Hitler (jednim od njegovih najodanijih slugu), svi su protiv njegova svoappleenja u prave okvire. Kod tog svog oëijukanja s avlom morali bismo znati zaπto se pali anappleeoski knez toliko voli motati po zemlji. Tolkienovim rijeëima reëeno: Htjelo se njemu radije pokoriti i vilenjake i ljude svojoj æelji, jer ga je gorki jed muëio zbog darova kojima ih je Ilúvatar obeêao obdariti i joπ je htio imati podanike i suænjeve, Gospodarom htio je da ga zovu, on da njihovom voljom upravlja. 14 To je njegov cilj, on nam æeli uniπtiti najdragocjenije stvari u æivotu i porobiti nas. Ne smijemo to nikada zaboraviti! Podlo nam govori:»ini πto æeliπ!, a pritom misli:»ini πto JA æelim! To je njegov princip. Neiskrenim laskanjem pretvara nas u svoje robove kako bi nas mogao muëiti i prepuπtati se bijednoj iluziji da je jednak Bogu. Tamna sjenka iz proπlosti, Luciferovo uzdizanje protiv Boga i navoappleenje Ëovjeka da ga slijedi - ta sjenka postoji i sasvim je stvarna. Nije πala niti igra. avao je zaista iskovao prsten koji prijeti naπim uniπtenjem. Grijeh je instrument koji nas dovodi pod njegovu vlast. Isus je upozoravao: Tko god Ëini grijeh, rob je grijeha 15 i plaêa za grijeh je smrt 16. to je grijeh? U svojoj biti on je sljedeêe: Ëinim πto æelim, pjevam melodiju koja mi odgovara, a ne onu koju je zamislio Bog, svoj sam gospodar. Grijeh - na njemu se temelji sva avlova moê. On ne bi imao moêi nad nama i nad Zemljom da nismo otkazali Bogu. 17 No ljudi su zakazali, oni su zgrijeπili, to je sjena proπlosti. Na svijet dolazimo nevini, a ipak veê u genima nosimo zlo, pobunjeno biêe. Zato je Crnom neprijatelju lako s nama. Nas nije teπko navesti na grijeh. Traæiti Boæju volju Ëini nam se sasvim nastranom miπlju, a ne smatramo ni tako loπim kada slaæemo ili neπto ukrademo ili se upustimo u neku seksualnu pustolovinu (da navedemo samo nekoliko primjera). Ako nas netko opomene da to ne Ëinimo, a veê osjeêamo draæ, dogaapplea nam se isto πto i Frodu, kojemu se Gandalfov savjet da se nikako ne sluæi prstenom odjednom uëinio smijeπnim. Viπe nego jednom naπemu je malom junaku izgledalo da bi imao samo koristi od sluæenja prstenovom moêi. Ono πto nije znao bilo je da sluge Crnog neprijatelja navode njegovu volju na koriπtenje prstena. Bila je to njihova moê zbog koje su mu se usrdne opomene njegova mudrog prijatelja odjednom Ëinile kao uvjeravanja previπe plaπljive bakice. Trajalo je (gotovo previπe) dugo dok konaëno nije shvatio da je naπa borba, reëeno biblijskim rijeëima, protiv vrhovniπtava, protiv vlasti, protiv vladara tame ovoga svijeta, protiv zlih duhova u nebeskim visinama. 18 Tako nam je s grijehom: odjednom nema nijednog jasnog razloga zaπto ga ne bismo trebali poëiniti. Ne primjeêujemo da iza svega stoji Sotona, neprijatelj. Sa svakim grijehom koji poëinimo proglaπavamo ga svojim gospodarem i tako padamo sve dublje i dublje pod njegovu vlast. Frodu je malo nedostajalo i bio bi preπao u 14 Silmarillion, str Ivan 8:34 16 Rimljanima 6: Mi smo, doduπe, religiozna vrsta, no naπa religioznost zavarava. OpÊenito, ona nije izraz naπe æelje da pustimo Boga neka bude Bog, veê Ëinjenice da smo si stvorili Boga po svom ukusu. I u sektoru poboænosti pjevamo svoju vlastitu pjesmu. 18 Efeæanima 6:12 21

13 carstvo sjena te i sam postao nespokojna Prstenova utvara da ga Elrond nije iscijelio u posljednjem trenutku. MoÊ grijeha veêa je nego πto slutimo. Svaki je put njegov utjecaj na nas sve veêi i ako nas nitko ne spasi, zavrπavamo u vjeënoj tami. Isus je upozoravao da Êe svaki Ëovjek koji umre kao rob grijeha svezan biti baëen u najkrajnju tamu iz koje nema povratka. 19 Prsten Jedan da zavlada svima. Prsten Jedan πto traæi i seæe Prsten jedan da spoji se s njima i u tami ih sveæe Tolkien i borba izmeappleu dobra i zla 19 usp. Matej 22:13 Sila koja Êe pobijediti zlo Moæda je gospa Galadriel mudra, ali se namjerila na sebi ravnog u udvornosti. Galadriel Frodu, Knjiga II, 7. poglavlje, str. 431 Peter Jackson, reæiser filmske trilogije, komentirao je prvi nastavak Prstenova druæina sljedeêim rijeëima: Æelio sam napraviti film o prijateljstvu, vjernosti i poærtvovnosti. Jedna je glumica tim vrlinama dodala i poniznost. Vjernost, poærtvovnost i poniznost danas nisu na cijeni. U naπem druπtvu te vrijednosti u najboljem sluëaju izazivaju podsmijeh. Savez kojemu su Ëlanovi vjerni do smrti, to se joπ nekako moæe podnijeti u kinu, no u stvarnom æivotu rastanak ima prednost ako je u igri samoostvarenje. U Novom zavjetu 20, naprotiv, vlada isti duh kao i u Prstenovoj druæini, u njemu su upravo osobine kao πto su vjernost, poærtvovnost i poniznost srediπnje vrijednosti. to se tiëe poærtvovnosti, navodi se, primjerice: Po ovome smo upoznali ljubav, πto je on [Isus] za nas poloæio æivot svoj; i mi moramo poloæiti æivote za braêu. 21 Dakle ne: uzet Êu sve πto mi æivot pruæa, veê: kao πto je Isus bio spreman ærtvovati se kako bi omoguêio naπe spasenje tako i ja trebam biti spreman poloæiti svoj æivot za svoje sudrugove. Gdje je taj krπêanski ideal ljepπe ostvaren nego u junaka Meappleuzemlja? Frodo je bio spreman odreêi se svega πto mu je drago, ako treba i umrijeti, da bi spasio Shire. Njegovi su pak prijatelji bili spremni umrijeti za njega, osobito Sam, koji u nesebiënoj vjernosti ide do krajnosti. Ta poærtvovnost provlaëi se kroz cijeli film: Gandalf se suprotstavio Balrogu da bi spasio Druæinu, 20 II. dio Bibilije, govori o Isusu i πirenju krπêanske vjere Ivanova 3:

14 Strider je bio spreman poloæiti svoj æivot da bi spasio hobite, Galadriel ærtvovati svoje kraljevstvo da bi Meappleuzemlje moglo gledati u buduênost s viπe nade, a Arwen kliëe (barem u filmu): Milost koja mi pripada neka bude njemu! kako bi spasila Froda iz carstva sjenki. Poniznost nije samo joπ jedna osobina Druæine, poniznost je uistinu jedino oruæje koje se moæe oduprijeti Prstenovoj moêi Ne S tom moêi, moja bi moê bila odveê velika i straπna Nemoj me iskuπavati! Ne bih se usudio uzeti ga, Ëak ni na Ëuvanje, da ga i ne koristim. Æelja da se njime sluæim bila bi prevelika za moju snagu. 22 Iz tih je rijeëi moênoga Gandalfa, kada mu je Frodo ponudio Prsten, govorila poniznost. Istu poniznost vidimo kod svih koji se odupiru kuπnji Prstena. Bilo Elrond, Galadriel ili Aragorn, svi su svjesni da su preslabi te bi ih Prsten uniπtio. Mora se ratovati u Ratu za Prsten, maëevima, lukovima i sjekirama, no poniznost ostaje kljuëna za pobjedu nad zlom. Nijednim drugim oruæjem ne moæe se slomiti Prstenova moê. Zbog toga su i hobiti, najslabiji od svih naroda, izabrani za taj vaæan zadatak. Smijeπni, bosonogi malci prirodno su, Ëini se, ponizne naravi i stoga, naposljetku, i jedini koji mogu (manje ili viπe) nepovrijeappleeni nositi i uniπtiti Prsten. Sila koja je pobijedila Saurona bila je poniznost. Poniznost, koja je obiljeæje Gandalfa, Froda, Aragorna i Galadriel, za ponosne je i samosvjesne ljude glupost - to nam kazuje Boromir, snaæni ratnik. I on je jedan od devetorice. Æeli se, nesumnjivo, boriti za dobro, Ëak je spreman za to i umrijeti. No Boromir je ponosan, a ne ponizan. Uzda se u ljudsku snagu. Ne dræi mnogo do starih pripovijesti, veê mnogo viπe do vlastite snage i poπtenja. To Êe mu biti zla kob. 22 Gospodar prstenova, Knjiga I, 2. pogl., str Boromir bolje pristaje u naπ svijet nego Aragorn i druπtvo. On utjelovljuje upravo ono πto se danas na svim seminarima propovijeda kao Evanappleelje: samosvijest. On je sjajan primjer Ëovjeka koji vjeruje u sebe i zato nema laænih skrupula prema Prstenu. Poniznost je za one koji dopuπtaju da ih se dræi za budale, svijet pripada samosvjesnima. Tako mislimo i æivimo. Koliko je drukëija biblijska poruka! Isus je rekao: Blago siromasima u duhu, njihovo je nebesko kraljevstvo. 23 Pod siromasima u duhu nije mislio duπevno zaostale, veê ljude koji uviappleaju da su - u duhovnom smislu - siromaπni i slabi. On kaæe da samo takvi mogu dobiti bitku protiv zla. Taj nam se Isusov nauk, blago reëeno, uopêe ne sviapplea. Poniznost nam izgleda baπ kao glupost karakterno slabih ljudi, koje moênici uvijek ponovno bezobzirno iskoriπtavaju. A ako postoji iπta πto ne æelimo biti, to je - glupi. Stoga kaæemo: Poniznost? Ne, hvala. UnatoË tomu, Biblija se ne moæe iznova napisati, a ona nam jasno govori kako se moæemo nadati da Êemo izbjeêi vjeënu tamu samo ako se ponizimo. Jer Bog se oholima protivi, a poniznima daje milost. 24 Tu reëenicu SvemoÊni ponavlja viπe nego jednom. To je priliëno teπko razumjeti i obradovalo bi nas kad bi nam se barem malo bolje objasnilo. Tolkien nam to Ëini razumljivijim. U Gospodaru prstenova postaje jasno zaπto je poniznost jedina sila koja moæe pobijediti zlo: Prsten MoÊi ne moæe uniπtiti ni najjaëa ljudska vojska niti ga moæe kontrolirati najveêi mudrac. Ponizni priznaju tu Ëinjenicu i to ih spaπava od njegove moêi. No ljudi poput Boromira, koji se uzdao u vlastitu snagu, ili Sarumana 25, koji se oslanjao na svoju veliku mudrost, padaju kao ærtve kuπnje. BuduÊi da im je nedostajalo poniznosti, postali su, ne æeleêi niti znajuêi, slugama zla i robovima Prstena. Da ne bismo krivo razumjeli, poniznost nema niπta zajedniëko s kukaviëlukom ili neodluënoπêu! Ta tko bi Gandalfa ili Aragorna nazvao kukavicama ili 23 Matej 5: Petrova 5:5 25 Ëiji je ponos silan - Gandalf u Elrondovu vijeêu 25

15 neodluënima. Istinska ponizost nije poboæni plaπt za slabe, veê je ona priprosta i jednostavna kada sebe vidimo onakvima kakvi zaista jesmo. OgraniËena smo, smrtna biêa.»ak i za svaki udisaj ovisni smo o Bogu, niπta zapravo nemamo u svojim rukama. Stoga je jedino razumno podrediti se mudrom planu sveznajuêeg Stvoritelja. To moramo Ëiniti Ëak i kada poput Boromira æelimo samo dobro, jer vlastitim se snagama i mudroπêu boriti protiv moênoga kneza tame upravo je, s obzirom na naπ poloæaj, smijeπno. Biblija nauëava duboko zakopanu istinu, naime da ni dobra volja, ni velika snaga, ni prosvjetljenje pa ni muπka hrabrost Ëovjeku ne omoguêuju pobjedu nad zlom, veê je poniznost jedino oruæje kojim Êemo dobiti najveêi od svih ratova. Jesmo li pritom pametni ili glupi, jaki ili slabi, zovemo li se Pippin Took ili prije sliëimo Ëasnom Gandalfu, moramo uvidjeti kako smo i mi preslabi da zametnemo boj s tamom. Njezina Êe moê progutati i nas. Protiv nje neêemo daleko doêi niti snagom niti mudroπêu, kao πto je obiëavao govoriti Elrond. Zato moramo promijeniti naëin razmiπljanja. Moramo uvidjeti da trebamo Boga kao Spasitelja! To je zakopana istina, svakodnevno joj se proturijeëi. Ali, PAÆNJA - ona je zaista vaæna. Najbolje je odmah promijeniti naëin razmiπljanja, prije no πto nas neprijateljeva moê joπ viπe zaplete u svoju mreæu pa skonëamo kao Boromir ili, joπ gore, kao njegov otac Denethor ili samovlasni Ëarobnjak Saruman. Ponizi se pred Bogom, reci mu kako nisi u svemu dobar, veê trebaπ njegovu pomoê. Sila koja e pobijediti zlo 26 Svjetlost i tama i niπta izmeappleu Nemojte govoriti niπta loπe o Gospodarici Galadriel! Vi ne znate πto govorite.u njoj i u ovoj zemlji nema zla osim ako ga Ëovjek ne donese sam sa sobom. Aragorn Boromiru, Knjiga II, 7. poglavlje, str. 423 Ne, naæalost, ne moæemo mi upotrijebiti Prsten Vladar... Prsten je skroz-naskroz zao. Elrond Boromiru, Knjiga II, 2. poglavlje, str. 318 Tolkienov je svemir jednostavan: postoji dobro i zlo, svjetlost i tama. Nije da u zlu ima i dobra, a u dobru zla. Razdvojenost je stopostotna: ovdje je svjetlost, ondje tama. Zlo je uvijek tama, a dobro uvijek svjetlost. Zlo je ruæno, destruktivno, a dobro lijepo i puno æivota. Radikalna razdvojenost, nema sive zone. Takva realnost odraæava krπêansku sliku svijeta. Biblija ne nauëava da se Bog objavljuje i u svjetlu i u tami, veê kaæe: Bog je svjetlost i tame u njemu nema nikakve. 26 Tama je leglo Boæjega protivnika, Sotone. U njemu pak nema niëega dobrog, veê je on, od svoje volje, laæac i ubojica ljudi 27 te Êe on i njegovi sluge zauvijek ostati u zlu 28. Mi, ljudi, mislimo kako u svemiru postoji nekakva neutralna sila koju mogu koristiti i dobri i zli. Kao πto Harry Potter moæe upotrijebiti iste magiëne rijeëi za dobro, a njegov protivnik za zlo, ili kao πto Luke Skywalker (Star Wars) koristi istu silu za dobro, a Darth Vader i njegova ekipa za zlo. To je tragiëna varka. Postoji Boæja sila i Sotonina sila. One su dijametralno suprotne i ne mogu se naêi u istom koπu Ivanova 1:5 27 usp. Ivan 8:44 28 usp. Otkrivenje 14:11 27

16 Nema bijele magije, nema svijetle i tamne strane moêi. Sva magija uvijek dolazi od zla. Boæja je rijeë tu jasna: Neka se kod tebe ne naapplee nitko tko bi se bavio gatanjem, Ëaranjem, vraëanjem i Ëarobnjaπtvom; nitko tko bi bajao, zazivao duhove i duπe predaka ili se obraêao na pokojnike. Jer, tko god takvo πto Ëini, gadi se Jahvi. 29 U tom pogledu moæe biti zbunjujuêe to πto dobroga Gandalfa u narodnoj predaji zovu Ëarobnjakom. No to je bio samo jedan od popularnih naziva za mudrace, Istare. Neuki su i vilenjaëku kraljicu Galadriel nazivali Ëarobnicom. Da to nije baπ sretan izbor rijeëi pojaπnjava gospodarica Lothloriena kada Sam, koji bi rado vidio malo vilenjaëke Ëarolije, viëe u Galadrielino zrcalo: Jer ja mislim da je ovo upravo ono πto bi vaπ narod nazvao Ëarobnjaπtvom, iako meni nije posve jasno πto oni pod tim misle, a Ëini mi se da rabe tu istu rijeë i kad govore o varkama Neprijatelja. 30 Tako i Elrond mora razjasniti Gloinu da tri vilenjaëka prstena nije napravio Sauron, niti ih je ikada dotaknuo. U cijelom epu postaje jasno da dobri djeluju u sasvim drukëijoj sili nego zli, samo πto ta razlika neupuêenima Ëesto nije jasna. Isus, njegovi uëenici i mnogi biblijski proroci Ëinili su znakove i Ëuda ili su mogli proricati buduênost, ali to nisu Ëinili putem mantri ili Ëarobnih formula, veê po sili Boæjoj. S djelima i obiëajima Neprijatelja nisu imali posla. Takav je stav proæimao i mudrace Meappleuzemlja. Oni bi mogli pitati s apostolom Pavlom: Ta πto zajedniëko imaju pravednost i bezakonje? Ili, kakvo zajednπtvo ima svjetlo s tamom? A kakvu slogu Krist s Belijalom? Kakav sporazum hram Boæji s idolima? Stoga iziappleite iz njihove sredine i odvojite se. 31 Elrond je opomenuo Boromira da je Prsten samo zao te na njemu nema svijetle strane moêi. Gandalf prepoznaje opasnost i objaπnjava Frodu: Prsten bi stekao joπ veêu i 29 Ponovljeni Zakon 18: Gospodar prstenova, Knjiga II, 7. pogl., str KorinËanima 6: kobniju moê nada mnom ja ne æelim postati drugi Gospodar tame. A put Prstena do mog srca vodi preko samilosti, samilosti spram slabosti i æelje za snagom da Ëinim dobro. 32»ak ni iskrena æelja za koriπtenjem Neprijateljevih vjeπtina u dobre svrhe nije zaπtita. Stoga nas Biblija jasno upozorava: sa zlom nemoj imati posla! Jer nemoguêe je njime postiêi iπta dobro. Svjetlo nema niπta zajedniëko s tamom. Kako je vaæna ta poruka danas kada nam filozofija propovijeda da dobro i zlo zapravo ne postoje, da je sve, uistinu baπ sve, relativno.»ak i ako smo najveêi poklonici Tolkiena, u stvarnom æivotu mislimo kako samo glupani smatraju Prsten opasnim. Jer danas znamo viπe i tako smo mudri! Mudri smo poput Sarumana koji je govorio Gandalfu: neêe nam niπta vrijediti stari saveznici i naëini borbe Ne mora biti, niti Êe biti neke stvarne promjene u naπim ciljevima, nego samo u sredstvima. Gdje su ljudi koji, poput Gandalfa, takve zavodljive rijeëi joπ mogu hrabro nazvati laæima?... takve govorancije... iz usta izaslanika upuêenih iz Mordora da opsjene neuke! 33 Jesmo li to shvatili? Mudraci Meappleuzemlja bili su ljudi, izrazimo to naπim jezikom, koji si ne umiπljaju da su mudri, veê se boje Boga i klone se zla 34. Svjetlo nema niπta zajedniëko s tamom, stoga se moramo radikalno staviti na stranu svjetla i baciti u smeêe sve gatalaëke i magijske besmislice. Pritom se ne smijemo dati prevariti, tko se smatra tako pametnim i jakim te misli da na putovima πto ih je zabranio Bog ipak moæda moæe postiêi dobro, propast Êe poput Boromira (koji se, sreêom, kratko pred smrt uspio obratiti), Denethora i Sarumana. Svjetlost i tama i niπta izmeappleu 32 Gospodar prstenova, Knjiga I, 2. pogl., str Gospodar prstenova, Knjiga II, 2. pogl., str usp. Izreke 3:7 29

17 Frodov poziv Ovaj prsten!... Kako... kako je, tako mi svega, doπao do mene? Frodo Gandalfu, Knjiga I, 2. poglavlje, str. 67 Ti joπ ne poznajeπ pravu opasnost, ali Êeπ je upoznati. Gandalf Frodu, Knjiga I, 2. poglavlje, str. 65 Zatrpan sam mnogim novostima: poput munje iz vedra neba Ëujem za sjenku proπlosti. Tamni Gospodar nije samo negdje u nekom udaljenom koncentracionom logoru, veê se njegov moêan instrument nalazi u mojoj kuêi, a njegovi su mi straπni sluge veê za petama. To je jedva za povjerovati! Oduvijek sam, naravno, znao da nisam nikakav svetac, da sam - ako baπ æelimo upotrijebiti tu staromodnu rijeë - greπnik. Ali da iz toga stoji moêni Knez tame, koji me æeli odvuêi sa sobom u vjeënu propast, tako ozbiljno to nikada nisam shvaêao. Trebam li u to zaista vjerovati? to je duæe Gandalf izlagao Frodu Ëinjenice, to je veêi bio uæas koji je obuzimao Bilbova nasljednika.»arobnjaku zasigurno nije bilo lako svojem omiljenom πtiêeniku reêi cijelu istinu, jer za Froda je priëa o prstenu bila teæak udarac. Ali to je uæasno! - uzvikne Frodo - Kudikamo gore nego πto sam mogao i zamisliti na temelju vaπih nagovjeπtaja i upozorenja....zaπto ste me nagovorili da ga zadræim? Zaπto me niste natjerali da ga bacim ili da ga uniπtim? 35 Prsten je gori, moêniji, podmukliji no πto se uopêe moæe izraziti rijeëima. Mudri Ëarobnjak, stari prorok, zna nakon godina prouëavanja viπe. No neiskusni hobit, koji 35 Gospodar prstenova, Knjiga I, 2. pogl., str

18 se samo usput bavio drugim svijetom, oëajniëki traga za izlazom. Zar nisi sluπao sve ovo πto sam ti govorio? UopÊe ne misliπ πto govoriπ! 36 okosio se Gandalf pomalo nestrpljivo na njega i Frodo mora uvidjeti da se problem prstena ne moæe rijeπiti onako lako kako bi se njemu svidjelo. Mora uvidjeti da i sam viπe nije potpuno slobodan od te stvari. Iako mu niπta ne bi bilo draæe nego da nikada nije vidio Prsten, ipak ga ne moæe baciti u vatru (πto bi ionako bilo beskorisno). Priznajemo, priëa o grijehu i propasti ima za nas, moderne ljude, srednjovjekovni prizvuk. No ako o njoj razmislimo objektivno, moramo priznati kako ima jakih argumenata za to da je istinita. Biblija kaæe da grijeh ovlada svakim Ëovjekom koji ga Ëini. Drugo, ona tvrdi da su svi ljudi zgrijeπili i da je konac te bijedne priëe smrt. Naπe iskustvo potpuno se slaæe s tim tvrdnjama: kao prvo, svi smo se mi veê morali suoëiti s Ëinjenicom da se ne moæemo rijeπiti stvari kojih bismo se rado rijeπili i kao drugo, svatko je od nas prije ili kasnije uoëio kako se jedini stvarno postojeêi sveci mogu naêi samo na obojenim crkvenim prozorima. Svi ljudi koje smo mi poznavali imaju mane i Ëine stvari koje nisu dobre. A Ëak i za drugu toëku ne moæemo ne priznati da je toëna - svi ljudi zaista umiru, svatko skonëa u neprozirnoj tami. Smrt je kraj. Kamo onda vodi put, do dragog Boga? Ta se nada doduπe najëeπêe izriëe na pokopima, ponekad modernim, a ponekad manje modernim frazama. No predodæba da su oni koje nam je smrt uzela sada zaista na nekom boljem mjestu zapravo nema mnogo snage. Utjeha koju nam daje dragi Bog ili neπto difuznija svjetlost nije baπ snaæna. Ne bez razloga. Jer priëa da Êe nakon smrti sve biti dobro nije baπ vjerodostojna. Zaπto bi nas dragi Bog, ako je veê svemoêan, cijeli æivot tu pasivno promatrao kako grizemo, æderemo i puπtamo da nas æderu, a onda nikom niπta - poslije smrti sve je odjednom dobro. TisuÊljeÊa svaapplee i pakosti, a kada poappleemo na 36 Gospodar prstenova, Knjiga I, 2. pogl., str drugu stranu, odjednom smo sasvim pomireni i sa svim i svakim u najveêem miru. Sve snage zla, koje ljudima stvaraju toliko problema, nakon smrti su, kao nikom niπta, isparile u zrak. To, ako smo iskreni, nema mnogo smisla. Zato je utjeha dragoga Boga tako slaba. Zato i radije vjerujemo da sa smrêu jednostavno sve prestaje. UnatoË svoj Ëeænji, bolje da nema drugog svijeta - to je vaπa deviza. Problem je u tome πto jedva moæemo poreêi stvarno postojanje drugoga svijeta. Tijekom tisuêljeêa skupilo se dovoljno dokaza da postoji viπe od onoga πto vidimo neposredno svojim oëima. A mi, naravno, nismo samo proizvod slijepa sluëaja.»ak i moderna fizika polako, makar i πkripajuêi zubima, dolazi do spoznaje da iza tako inteligentno koncipiranog svemira mora stajati viπe od kobne gospoapplee Niπta. I zato ostaje veliko pitanje koje nas zaokuplja od pamtivijeka, naime, kamo vodi put. Dragom Bogu miriπi previπe na puste æelje. U vjeënu tamu, to bi bilo gore od naπih najgorih strahova. U naπem svemiru djeluju mnoge sile, za dobro ili za zlo. Svjetlo i tama potpuno su odvojeni i bore se za naπu duπu. Kamo vodi put nakon smrti, u svjetlo ili u tamu, ovisi o tome na kojoj smo strani stajali kada smo prelazili. Gdje [drvo] padne, ondje i ostaje 37, kaæe Biblija, a i naπ razum. Ta je istina viπestruko pokazana u Gospodaru prstenova. Uzmimo, primjerice, Boromira koji dospijeva u ruke neprijatelja, dopuπta da ga zavede ponos i to ga konaëno koπta æivota. Na kraju, ipak, uviapplea, kaje se i obraêa. Stoga Gandalf o njemu moæe reêi: Galadriel mi je rekla da je on u nekoj opasnosti. Ali da se na kraju spasio. 38 Njegova smrt nije bila najgore πto se moglo dogoditi, jer je zahvaljujuêi svom obraêenju i spremnosti da se ponizi zauvijek umakao tami Mordora. Sasvim drukëije to izgleda kod njegova oca Denethora. Podilazi nas jeza kada vidimo kako je podmuklo Neprijatelj zamraëio njegovo srce dok si na koncu, pun ponosne 37 Propovjednik 11:3 38 Gospodar prstenova, Knjiga III, 5. pogl., str

19 gorëine, nije sam zapalio lomaëu. U mraku uma u kojem je umro zauvijek Êe se muëiti. To se vidjelo u kamenu, palantiru, koji je Denethor Ëvrsto dræao u smrti. I duπi Sarumana, koji se do gorka kraja odbijao obratiti, uskraêen je pristup Zapadu, blagoslovljenim besmrtnim zemljama. Ti nam primjeri jasno pokazuju da za svakoga koji skonëa u vjeënoj tami vrijede rijeëi koje je Isus uzviknuo nad Jeruzalemom: Kad bi i ti barem u ovaj dan spoznao πto je za tvoj mir!... Koliko li puta htjedoh okupiti djecu tvoju... i ne htjedoste! 39 Svi tvoji neugodni savjeti bili [su] dobri Bilbo Gandalfu, Knjiga II, 2. poglavlje, str. 321 Frodo se ispravno odluëio. Sigurno nije sve πto mu je mudri Gandalf rekao shvatio u punoj dubini. No vjerovao mu je i zato mu je bilo jasno kako zapravo nema πto izgubiti te jednostavno mora riskirati, a ako je potrebno i izgubiti dobar glas. Slijediti Boæji poziv uvijek je riziëno. To uvijek znaëi imati veêinu protiv sebe. Uvijek je to ja, sasvim sam. No kada se jednom odluëimo slijediti poziv, naêi Êemo prijatelje koji vrijede tisuêu puta viπe od svih Sandigmanna i Bagginsa zajedno. Frodov poziv U pozivu da izaappleemo iz bezbriæna æivota, koji Êe nas na koncu dovesti u ruke Tamnog Neprijatelja, ima neπto neugodno. Jer on je tako ultimativan i nimalo romantiëan. Dakako da sam katkad pomiπljao da odem odavde, ali sam mislio da bi to bila neka vrsta odmora, razmiπlja Frodo, Ali ovo bi znaëilo progonstvo... a morao bih valjda poêi sam... OsjeÊam se tako sitan i iπëupan iz korijena, i tako... oëajan. Neprijatelj je tako jak i straπan. 40 Frodo toëno izriëe naπe osjeêaje. Oduvijek smo htjeli imati viπe u æivotu, ali ta priëa s prstenom ima gorke primjese i ako slijedimo taj poziv, snosit Êemo neugodne posljedice. Frodo bi vjerojatno najradije bio protestirao: to ja imam s tim starim priëama? to se mene tiëe je li u mraënoj pretpovijesti neki kralj zakazao ili ne? No znao je da nema izbora, situacija je bila onakva kakva je bila i zato je morao slijediti poziv. HoÊemo li slijediti njegov primjer? Ili Êemo jednostavno i dalje zatvarati oëi i rijeëi starog proroka, sasvim u maniri Timma Sandigmanna, obrisati sa stola jednom guba frazom? 39 Luka 19:42, 13:34 40 Gospodar prstenova, Knjiga I, 2. pogl., str

20 Streider - nije zlato sve πto sja Dræim da bi njegov uhoda... ovaj, izgledao ljepπe i doimao se ruænije, ako razumijete πto hoêu da kaæem. Frodo Strideru, Knjiga I, 10. poglavlje, str. 207 K ad bi samo doπao Gandalf! No Gandalf ne dolazi. Nakon dobra jela i jednog, dva piva kod Razigranog ponija Ëetiri prijatelja nakratko opet zaboravljaju svoje najgore strahove. Zaboravljaju samo zato πto im joπ uvijek nije jasno kakva im je mraëna i nadmoêna sila za petama. Da su to znali, slomili bi se od oëaja. MoÊni vilenjaëki kraljevi drhtali su pred devet crnih jahaëa, dok hobiti u toj velikoj opasnosti nisu znali niπta bolje nego plesati na stolu u krëmi! Maleni su ljudi mislili kako bez Gandalfa ima malo nade da Ëitavi stignu u Rivendell. U stvarnosti nije uopêe bilo nikakve nade. Borba komiënih bosonogih stvorenja protiv najmoênijih Sauronovih slugu bila bi apsolutna πala. No odjednom, tamo u priguπenom svjetlu zadimljene krëme, jedan se neznanac obraêa Frodu. Hobitima nudi vodstvo i zaπtitu. Nema zapravo niëega πto bi im bilo dobrodoπlije od pomagaëa u nevolji. No stvari su se zakomplicirale. Javljaju se mnoga pitanja: Tko je taj neznanac? Moæe li nam zaista pomoêi? Treba li mu uopêe vjerovati ili i sam pripada Neprijatelju? Pri pogledu na njega nije se baπ dobivao dojam da je dostojan povjerenja: nosio je blatne Ëizme, prljavi ogrtaë i kukuljicu na glavi. A i meappleu ljudima nije, izgleda, uæivao dobar glas. To je jedan od onih lutalica, ne zna se kako mu je pravo ime, ali ovdje ga zovu Strider, proπaptao je debeli Maslovar Frodu u uho. Nitko u Breeiju nije s njim æelio imati posla. Je li zaista trebalo vjerovati jednoj tako Ëudnoj pojavi? Nije se radilo samo o pozivu u berbu gljiva 37

21 ... u toj situaciji prihvatiti vodstvo oronula junaka znaëilo je jednostavno mu se povjeriti na æivot i smrt! Tko bi znao kakav je zapravo taj Strider? S jedne strane savjetovao je hobitima veliki oprez, zaklinjao ih da je Neprijatelj jaëi nego πto misle te posvuda ima πpijune. S druge je strane sam ostavljao neugodan dojam, imao sumnjivu reputaciju i znao, na njihov uæas, skoro sve njihove tajne, a zahtijevao je da mu povjere svoju koæu i Prsten! Streider je znao vjeπto govoriti, logika je bila na njegovoj strani, a i prilike, no upitno je bi li mogao uvjeriti prestraπene hobite da se upravo na vrijeme nije pojavilo Gandalfovo pismo. U tom pismu Streider je nazvan Gandalfovim prijateljem. Hobiti su sada saznali i njegovo pravo ime: Aragorn. Pritom je navedeno i jedno proroëanstvo o Aragornu, koje je sasvim pojasnilo kako Streider nije tek varalica koji se izdaje za nekoga tko nije. Napeta priëa, zar ne? Ne bi mogla biti napetija, a odvija se ovdje i sada u stvarnosti. Mi smo ti koji su u velikoj opasnosti ili, bolje reëeno, u bezizlaznoj situaciji. Smrt nam je za petama bi nas podjarmila i vjeëno vezala tamo gdje vrebaju sjenke, a mi smo premali i preslabi da bi se protiv nje mogli boriti. Naπa besmrtna duπa pripremila se na vjeënu propast, a onda odjednom dolazi neznanac i nudi nam spas. Govori: Ja sam Pastir dobri; Ovce moje glas moj sluπaju; ja ih poznajem i one idu za mnom; ja im dajem æivot vjeëni, te neêe propasti nikada i nitko ih neêe oteti iz moje ruke. 41 Taj je neznanac Isus iz Nazareta. On nam nudi vodstvo, pastir je voapplea ovaca. I nudi nam zaπtitu, Ëak obeêava da Êemo, ako ga slijedimo, pobijediti smrt i imati vjeëni æivot. Kakvo obeêanje! Moæe li mu se pokloniti povjerenje? Isus je isto tako Ëovjek dvojbene reputacije. Nije se toëno znalo tko mu je otac, nikada nije stekao ugled u druπtvu, do danas mnogi ne dræe da je bio viπe od lutalice. Njegovo se ime stalno dovodilo u vezu sa sumnjivim 41 Ivan 10:14, usp. Matej 3:1-12 ljudima, fanatiënim sektaπima ili s crkvom koja je u Srednjem vijeku na desetke tisuêa ljudi spalila na lomaëi. - No, treba li se na æivot i smrt povjeriti nekom takvom, i viπe je nego dvojbeno. Ono πto je hobite uvjerilo bilo je Gandalfovo pismo i proroëanstvo. Na taj naëin i mi moæemo steêi sigurnost da Isus nije bio samo religiozni sljepar ili luappleak. Isus nije bio samo prorok koji je takoreêi pao s neba kao, primjerice, Muhamed ili Buddha. Otprilike pod parolom: Ljudi, doæivio sam prosvjetljenje. Bog me poslao, vjerujte mojim rijeëima. Ne, Isus nije tek tako izronio iz niëega. Prije no πto se pojavio, jedan je prorok, imenom Ivan Krstitelj, iπao Izraelom i propovijedao: Pripremite se jer za mnom dolazi Spasitelj. 42 To je jedinstveno kod onoga koji za sebe tvrdi da je on sâm naπ spasitelj - ugledni je prorok potvrdio da je Isus upravo onaj za kojega se izdavao. No dobro, kaæemo, to joπ nije niπta epohalno, obojica su zapravo radila zajedno, Krstitelj je jednostavno odigrao ulogu promotora, a Isus velikog gurua. To se moæe na taj naëin lako objasniti. Ne, to se ne moæe tako lako pobiti. Hobiti su znali da je Gandalf prevelik da bi bio samo promotor jednog sljepara i premudar da bi na nekog takvog pao iz naivnosti. Upravo je tako i Ivan Krstitelj bio Ëovjek koji je u cijelom narodu uæivao najveêi ugled.»ak je i bezboænom kralju Herodu bilo jasno da je Ivan ozbiljan Boæji Ëovjek. Joπ veêu teæinu od Krstitelja imaju proroëanstva, koja potvrappleuju Isusa iz Nazareta kao od Boga poslana Spasitelja. U Starom zavjetu (prvom dijelu Biblije, napisanom prije Isusova roappleenja) ima na stotine detaljnih proroëanstava o dolazeêem Kralju Spasitelju, a pristaju Isusu kao kljuë bravi. U Staromu zavjetu proreëeno je da Êe Bog jednoga dana poslati Spasitelja koji Êe ljude spasiti od smrti i avla. ProreËeno je da Êe taj Spasitelj biti potomak 38 39

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK

ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 1 ARIEL NOLTZE SKALPEL I KRIŽ DVA SJEČIVA ZA NOVI POČETAK 2 OPERACIJA»OVJEK Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik Operation Mensch ISBN: 978-3-900160-63-0 Ÿ Top Life-Wegwieser, A-2014

Διαβάστε περισσότερα

Anica Balatinac POZIV LJUBAVI

Anica Balatinac POZIV LJUBAVI Anica Balatinac POZIV LJUBAVI 1 Nakladnik Studio Moderna Zagreb Urednik Veseljko Stojak Korektura Branka VukmaniÊ Prijelom Miroslav VukmaniÊ Tisak Studio Moderna 2 Anica Balatinac POZIV LJUBAVI Studio

Διαβάστε περισσότερα

UTJEHA. Ellen G. White. Utjeha

UTJEHA. Ellen G. White. Utjeha Ellen G. White Utjeha 1 Nakladnici TIVA, Varaædin www.tiva.hr Znaci vremena, Zagreb www.znaci-vremena.com Izvornik Comfort Quotations From the Writings of Ellen G. White ISBN 78-0-8163-1367-9 Urednik Mario

Διαβάστε περισσότερα

Ellen G. White PUT KRISTU

Ellen G. White PUT KRISTU Ellen G. White PUT KRISTU 1 Nakladnik ADVENTUS d.o.o. www.adventus.hr Izvornik STEPST TO CHRIST by Ellen G. White Ÿ Ova se knjiga smije umnoæavati, djelomiëno ili u cijelosti, uz pisano dopuπtenje nakladnika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Ellen G. White. Isusov govor na Gori

Ellen G. White. Isusov govor na Gori Ellen G. White Isusov govor na Gori 1 2 ISUSOV GOVOR NA GORI Nakladnici ADVENTUS d.o.o. www.adventus.hr i ZNACI VREMENA Ÿ Ova se knjiga smije umnoæavati, djelomiëno ili u cijelosti, uz pisano dopuπtenje

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

to ako Kristu daπ sve?

to ako Kristu daπ sve? 1 to ako Kristu daπ sve? 2 TO AKO KRISTU DA SVE? Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik What If You Gave Christ Everything Urednik Mario ijan Prijevod Ana BistroviÊ Zlatko Zubak Lektura

Διαβάστε περισσότερα

Anica Balatinac MOJA MOLITVA

Anica Balatinac MOJA MOLITVA Anica Balatinac MOJA MOLITVA 1 Nakladnik Studio Moderna Zagreb Urednica urappleica GarvanoviÊ-Porobija Korektorica Branka VukmaniÊ Prijelom Miroslav VukmaniÊ Tisak Studio Moderna 2 Anica Balatinac MOJA

Διαβάστε περισσότερα

2 ADVENTISTI»KI PREGLED. Misli o molitvi. Molitva je kljuë jutra i zasun veëeri. Mahatma Gandhi

2 ADVENTISTI»KI PREGLED. Misli o molitvi. Molitva je kljuë jutra i zasun veëeri. Mahatma Gandhi Misli o molitvi Tko ne moli, sliëan je svjetiljci koja ne dobiva struju. Phil Bosmans Molitva je kljuë jutra i zasun veëeri. Mahatma Gandhi Neki od najveêih Boæjih darova su neusliπane molitve. Garth Brooks

Διαβάστε περισσότερα

Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com. Urednik Mario ijan. Prijevod s engleskog Boæidar LaziÊ. Lektura Marijan MalaπiÊ

Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com. Urednik Mario ijan. Prijevod s engleskog Boæidar LaziÊ. Lektura Marijan MalaπiÊ BU ENJE 1 Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com Urednik Mario ijan Prijevod s engleskog Boæidar LaziÊ Lektura Marijan MalaπiÊ Korektura Brankica VukmaniÊ Naslovnica Theodore KuburiÊ Tisak ZNACI VREMENA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Dublje iskustvo. Deset dana molitve 9. do 19. sijeënja DESET DANA MOLITVE

Dublje iskustvo. Deset dana molitve 9. do 19. sijeënja DESET DANA MOLITVE Dublje iskustvo Deset dana molitve 9. do 19. sijeënja 2019. DESET DANA MOLITVE 2019. 1 Nakladnik Odjel za crkvene sluæbe pri Hrvatskoj konferenciji KrπÊanske adventistiëke crkve Prilaz Gjure DeæeliÊa 77,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ellen G. White MARAN ATHA GOSPODIN DOLAZI

Ellen G. White MARAN ATHA GOSPODIN DOLAZI Ellen G. White MARAN ATHA GOSPODIN DOLAZI 1 Nakladnici ADVENTUS d.o.o. www.adventus.hr i ZNACI VREMENA Zagreb Izvornik Maranatha The Lord Is Coming by Ellen G. White ISBN 0-8280-1387-X Urednik Dr. Miroslav

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Ben Carson i Cecil Murphey DAROVITE RUKE

Ben Carson i Cecil Murphey DAROVITE RUKE Ben Carson i Cecil Murphey DAROVITE RUKE 1 Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik GIFTED HANDS by Ben Carson, M.D., with Cecil Murphey Copyright Ÿ by Review and Herald Publishing Association.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

MISIONSKI BIBLIJSKI REDCI

MISIONSKI BIBLIJSKI REDCI MISIONSKI BIBLIJSKI REDCI»etvrto tromjeseëje 2017. MISIONSKI BIBLIJSKI REDCI (4/2017) 1 tiva za ovo tromjeseëje, namijenjena Ëitanju na subotnjim bogosluæjima u mjesnim crkvama i u malim skupinama, uzeta

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ

ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ ΣΑ ΜΕΡΗ ΣΟΤ ΛΟΓΟΤ ΣΗΝ ΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΑ Η ςερβικι γλώςςα ζχει δζκα είδθ λζξεων τα οποία ονομάηονται μζρθ του λόγου. Τα μζρθ του λόγου χωρίηονται ςε δφο κατθγορίεσ τα κλιτά (δθλαδι αυτά τα οποία εμφανίηονται

Διαβάστε περισσότερα

Mark Finley i Steven Mosley TO ZNAJU SRETNI BRA»NI PAROVI

Mark Finley i Steven Mosley TO ZNAJU SRETNI BRA»NI PAROVI Mark Finley i Steven Mosley TO ZNAJU SRETNI BRA»NI PAROVI Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik What Happy Couples Know by Mark Finley and Steven Mosley Urednik Mario ijan Prijevod Darko

Διαβάστε περισσότερα

Pouke iz Biblije LISTOPAD STUDENI PROSINAC Knjiga proroka. Jeremije KR ANSKA ADVENTISTI»KA CRKVA 1

Pouke iz Biblije LISTOPAD STUDENI PROSINAC Knjiga proroka. Jeremije KR ANSKA ADVENTISTI»KA CRKVA 1 Pouke iz Biblije LISTOPAD STUDENI PROSINAC 2015. Knjiga Knjiga proroka Jeremije KR ANSKA ADVENTISTI»KA CRKVA 1 Imre Tokics Knjiga proroka Jeremije Pouke iz Biblije Listopad, studeni i prosinac 2015. Sadræaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Roger J. Morneau MOJ BIJEG IZ SVIJETA NADNARAVNIH SILA

Roger J. Morneau MOJ BIJEG IZ SVIJETA NADNARAVNIH SILA Roger J. Morneau MOJ BIJEG IZ SVIJETA NADNARAVNIH SILA 1 MOJ BIJEG IZ SVIJETA NADNARAVNIH SILA Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Izvornik A TRIP INTO THE SUPERNATURAL by Roger J. Morneau ISBN

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ellen G. White DJELA APOSTOLSKA

Ellen G. White DJELA APOSTOLSKA 1 Ellen G. White DJELA APOSTOLSKA 2 Djela apostolska Ellen G. White DJELA APOSTOLSKA Naslov izvornika: THE ACTS OF THE APOSTLES IzdavaËi: ZNACI VREMENA, Maruπevec VARTEKS TISKARA, Varaædin Ÿ Ova se knjiga

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Iznad svih oëekivanja

Iznad svih oëekivanja Iznad svih oëekivanja 1 Nakladnik ZNACI VREMENA znaci-vremena.com Izvornik Beyond Imagination ISBN 978-0-8163-4514-4 Urednik Mario ijan Prijevod Boæidar LaziÊ Lektura Marijan MalaπiÊ Korektura Brankica

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

David Currie»UDESNA OTKRI A U BIBLIJI I POVIJESTI

David Currie»UDESNA OTKRI A U BIBLIJI I POVIJESTI 1 David Currie»UDESNA OTKRI A U BIBLIJI I POVIJESTI 2»UDESNA OTKRI A U BIBLIJI I POVIJESTI Nakladnik ZNACI VREMENA www.znaci-vremena.com Copyright David Currie Copyright za hrvatsko izdanje Znaci vremena,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Ellen G. White UM, KARAKTER I OSOBNOST (1)

Ellen G. White UM, KARAKTER I OSOBNOST (1) Ellen G. White UM, KARAKTER I OSOBNOST (1) 1 2 Um, karakter i osobnost Nakladnici ASI, Zagreb ADVENT, Pula www.asi-croatia.org Izvornik Mind, Character, and Personality by Ellen G. White Copyright by Ellen

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα