ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:
|
|
- Τηθύς Δυοβουνιώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α). Οη δύν κύγεο Α θαη Β ηζαπέρνπλ ζπλερώο από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ. β). Αλ ε κύγα Α θηλείηαη πάλω ζηνλ νξηζκέλν θύθιν (Κ, ξ), ηόηε θαη ε κύγα Β θηλείηαη πάλω ζε έλαλ νξηζκέλν θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξεζνύλ θέληξν θαη αθηίλα. α). Αξθεί λα δείμνπκε όηη : ΟΑ ΟΒ, όπνπ ΟΑ θαη ΟΒ. Από ηελ ζρέζε πνπ ηζρύεη έρνπκε: ΟΑ ΟΒ. Δπνκέλωο ηα ζεκεία Α, Β ηζαπέρνπλ από ην Ο. β). Έζηω Κ(α, β) ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ θ. Σν ζεκείν Α θηλείηαη ζηνλ θύθιν (Κ, ξ) άξα ηθαλνπνηεί ηελ κηγαδηθή εμίζωζε θ ξ. 4 Από ηελ νπνία έρνπκε : θ ξ Λ ξ. Ζ εμίζωζε δειώλεη όηη ε εηθόλα Β ηνπ κηγαδηθνύ ζε θύθιν κε θέληξν ηνλ κηγαδηθό Λ 5 θαη αθηίλα ξ. 4 ΑΚΖΖ Έζηω ε εμίζωζε α + β + α, κε α β, πνπ έρεη ξίδεο ηηο,. α). Να ζεκεηώζεηε ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζωζηή απάληεζε. [Α]., R [Β]. [Γ]. Σίπνηα από ηα πξνεγνύκελα [Γ]. + 4 [Δ]. β). Αλ ηζρύεη, ηόηε λα βξεζνύλ : (). Οη ξίδεο θαη, ().Οη ζεηηθνί αθέξαηνη λ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ( ) λ. α). Έρνπκε Γ ( β) 4 α α 4(β α ) <, επεηδή α > β. επνκέλωο ε εμίζωζε έρεη δύν ζπδπγείο κηγαδηθέο ξίδεο,, επεηδή α, β R. S + (ην άζξνηζκα ηωλ ξηδώλ δελ κπνξεί λα αμηνπνηεζεί) Ρ. Δπνκέλωο ζωζηή επηινγή είλαη ε [Δ]
2 β). Ηζρύεη β α, επεηδή α > β >. Άξα ε εμίζωζε γξάθεηαη : α + α + α + +, Δπνκέλωο έρνπκε : ( ) λ Γηα λα είλαη >, ζα πξέπεη λ 4 θ, όπνπ θ Ε. ΑΚΖΖ Aλ ε εμίζωζε +α +β, όπνπ α, β R, έρεη ξίδεο ηνπ κηγαδηθνύο + θαη, ηόηε: α). Να βξείηε ηνπο α, β θαη. λ β). Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην λ ν κηγαδηθόο + λ είλαη πξαγκαηηθόο. γ). Να βξείηε ηε κηθξόηεξε ηηκή ηεο παξάζηαζεο f(), C. α). Δπεηδή ε εμίζωζε έρεη πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο θαη κηα ξίδα κηγαδηθή ηελ +. ε δεύηεξε ξίδα ζα είλαη. αθόκα έρνπκε : S + 6 α α 6. Ρ β β.. λ β). (α ηξόπνο): + λ R. λ (β ηξόπνο) : + λ λ + λ Re( λ ) R. γ). (α ηξόπνο) : f() 4 4. (β ηξόπνο) : έζηω Μ, Μ, Μ νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, +,. f() ΜΜ + ΜΜ Ζ ζπλάξηεζε f() πεξηγξάθεη ην άζξνηζκα ηωλ απνζηάζεωλ ηνπ Μ από ηα Μ, Μ πνπ είλαη ζηαζεξά (γλωζηά ζεκεία), θαη πξνθαλώο ην άζξνηζκα απηό ειαρηζηνπνηείηαη όηαλ ην Μ βξίζθεηαη πάλω ζην εζωηεξηθό ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο Μ Μ, θαη ηζνύηαη κε ηελ απόζηαζε Μ Μ 4. ΑΚΖΖ 4 Έζηω νη δηαθνξεηηθνί κηγαδηθνί θαη θαη ν θαληαζηηθόο αξηζκόο α). Ο κηγαδηθόο 8 είλαη ζεηηθόο αξηζκόο ή κεδέλ. β). Οη κηγαδηθνί θαη έρνπλ ίζα κέηξα. α). I β, όπνπ β R. άξα 8 (β ) 8 β 8 8 β 8. β). I πξάμεηο , λα απνδείμεηε όηη:
3 ΑΚΖΖ 5 Re( ) 4 Im( ) Έζηω f(), C {} θαη +,, R. α). Να βξείηε ηνλ γ.η. ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f () β). Αλ Re() ι Im(), ηόηε: ). Να εθθξάζεηε ην f () ωο ζπλάξηεζε ηνπ ι. ). Να βξείηε ηε κεγαιύηεξε ηηκή ηνπ f (). Re( ) 4 Im( ) f() α). Ηζρύεη f () f() (4 + 7 ) Άξα ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζηνλ πξαγκαηηθό άμνλα ή ζηελ επζεία β). Re() ι Im() ι ι 4 ). f() 4 ). (α ηξόπνο) : ζεωξώ,, Οπόηε : f(ι) Άξα f(ι) 4,,4 4, θαη παξαηεξώ όηη 4 5, 4 4, 4, 5, Σειηθά κέγηζηε ηηκή ηνπ f() είλαη ην 5. (β ηξόπνο) : εξγάδνκαη κε παξαγώγνπο. 5. f(ι) 4,
4 ΑΚΖΖ 6 Έζηω α, β, γ ηξεηο κηγαδηθνί δηάθνξνη ηνπ κεδελόο θαη δηαθνξεηηθνί αλά δύν. Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο θαη. Να δεηρζεί όηη : αλ νη, είλαη θαληαζηηθνί ηόηε θαη ν είλαη θαληαζηηθόο. ηελ πεξίπηωζε απηή, αλ Α,Β,Γ είλαη νη εηθόλεο ηωλ α, β, γ ζην κηγαδηθό επίπεδν, λα δεηρζεί όηη : ε αξρή Ο ηωλ αμόλωλ είλαη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Ηζρύεη : I () Ηζρύεη : I () Θέιω λα δείμω όηη : δειαδή Ζ νπνία ηζρύεη άξα I. ΑΚΖΖ 7 Έζηω νη κηγαδηθνί,, κε θαη R. Να βξεζεί ν ι R, ώζηε ν κηγαδηθόο λα είλαη πξαγκαηηθόο. Ηζρύεη 4, 4 Καη R 4 4 ι 4. επεηδή R. ΑΚΖΖ 8 Έζηω R θαη ν κηγαδηθόο + : α). Να ζεκεηώζεηε ζην γξαπηό ζαο ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζωζηή απάληεζε. [Α]. Im() > [Β]. Im() [Γ]. Im() [Γ]. Im() [Γ]. ηίπνηε από ηα πξνεγνύκελα άξα ( ) ηζρύεη. Δπηινγή [Γ]
5 ΑΚΖΖ 9 Αλ ηζρύεη Re() Im(), λα βξείηε ηνλ ζεηηθό αθέξαην λ, ώζηε λ 9. λ 9 ( + ) λ 9 λ [( + ) ] λ/ 9 λ ( ) λ/ 9 λ λ/ λ/ 9 9 Πξέπεη λ > 4ι+ > ι > λ 6. λ 4 θ +, θ Ε. ΑΚΖΖ Έζηω νη κηγαδηθνί, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη +. Τπνζέηνπκε όηη ε εηθόλα Μ ηνπ κηγαδηθνύ θηλείηαη πάλω ζηνλ θύθιν θέληξνπ Κ(, ) θαη αθηίλαο ξ. α). Να δεηρζεί όηη ε εηθόλα ηνπ θηλείηαη πάλω ζε κηα νξηζκέλε γξακκή, ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζωζε. β). Να βξείηε ηνλ κηγαδηθό κε ην κηθξόηεξν κέηξν. α). Έζηω Μ( ) εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ, ηθαλνπνηεί ηελ κηγαδηθή εμίζωζε. Έρνπκε :. Άξα ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ κηγαδηθνύ είλαη ηα ζεκεία ηεο κεζνθαζέηνπ ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(, ). β). +. (κεζνθάζεηε ζηελ ΑΒ) ν κηγαδηθόο πνπ έρεη ην ειάρηζην κέηξν πξνθύπηεη από ηελ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο mn 4 4. ΑΚΖΖ Έζηω νη κηγαδηθνί αξηζκνί ι, ι R. α). Να ζεκεηώζεηε ηε ζωζηή απάληεζε. Κάζε κηγαδηθόο έρεη κέηξν [Α]. Μεγαιύηεξν ηνπ [Β]. Μεγαιύηεξν ή ίζν ηνπ θαη κηθξόηεξν ηνπ [Γ]. Μηθξόηεξν ή ίζν ηνπ [Γ]. Ίζν κε [Δ]. Ίζν κε β). Να δεηρζεί όηη νη εηθόλεο όιωλ ηωλ κηγαδηθώλ αλήθνπλ ζε θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα. γ). Αλ θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί από ηνπο παξαπάλω, λα δείμεηε όηη : 4. α) θαη ηζρύεη, άξα ζωζηή επηινγή είλαη Β
6 β). ι Δπνκέλωο Άξα ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ βξίζθνληαη ζηελ πεξηθέξεηα θύθινπ κε θέληξν ην εκείν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. γ). Έζηω θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί ηνλ παξαπάλω γεωκεηξηθό ηόπν κε εηθόλεο Α,Β. ηόηε ε κέγηζηε απόζηαζή ηνπο ζα είλαη ΑΒ 4 4 (AB δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ) 4 ΑΚΖΖ Να δεηρηεί όηη γηα θάζε θαη α). β). C ηζρύνπλ: Re( ) (). α). Im( ) Re. Re( ) Re( ). β). Re Im
7 ΑΚΖΖ Έζηω f() 5, όπνπ +,, R. α). Να βξεζνύλ ηα Re(f()), Im(f()). β). Να βξείηε ηo γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ ζεκείωλ Μ(f()) ζην κηγαδηθό επίπεδν. γ). Να δεηρηεί όηη f ( ) 5. δ). Να βξείηε ηo γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ +, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f () 5. α). Θέηω +, όπνπ, R. f() 5 f() ( + ) 5 ( ) f() ( 4 ) + ( ) Re(f()) 4 θαη Im(f()). β). Έζηω Μ(f()) M(X, Y). ηόηε ηζρύεη : X 4 X Y Y X Y Y X (επζεία) γ). f ( ) δ). f () ΑΚΖΖ 4 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο, θαη έζηω Α, Β νη εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. α). Να δεηρζεί όηη Re( ) β). Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, κε εηθόλεο Α, Β, Γ, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη θαη ( + ) + ( + ) + ( + ). Να δεηρζεί όηη : (). ().. α). Έζηω Α, Β νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, αληίζηνηρα κε +, α + β. έρνπκε :,, () θαη Re () από ηηο () θαη () έρνπκε Re( ) β). ). ρξεζηκνπνηώληαο ην εξώηεκα (α) έρνπκε : Re Re Re (επεηδή )
8 γ).. Άξα. + + ΑΚΖΖ 5 Γίλεηαη ν κηγαδηθόο γηα ηνλ νπνίν ηζρύνπλ ( ) R θαη.να δεηρζεί νηη α). β) R Αθόκα Άξα θαη ηειηθά ν κηγαδηθόο, α). Έρνπκε : ( ) 4 ( ) 4. β) ( ) 4 ( ) 6 + ( ) 4 ( ) ( ) + +. ΑΚΖΖ 6 Έζηω + θαη έλαο κηγαδηθόο κε. α). Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε παξάζηαζε γίλεηαη ) κέγηζηε, ) ειάρηζηε. β). Να εξκελεύζεηε γεωκεηξηθά ηα παξαπάλω απνηειέζκαηα. α). + θαη επεηδή ηζρύεη Υξεζηκνπνηώληαο ηελ ηξηγωληθή αληζόηεηα έρνπκε :.
9 Δπνκέλωο ). ε παξάζηαζε ). ε παξάζηαζε έρεη κέγηζην έρεη ειάρηζην β). Αλ Α, Β νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, ηόηε ΑΒ ζα Ζ απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ θαη είλαη ΑΒ. ΑΚΖΖ 7 Έζηω νη κηγαδηθνί,, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : (). + + θαη (). ( ) ( ) ( ). Να βξεζεί ην: ( ) ( ) ( ) Ηζρύεη : ( ) ( ) ( ) ( ) Δξγαδόκελνη αλάινγα έρνπκε : ηηο ζρέζεηο :. ( ) ( ) ( ) ΑΚΖΖ 8 Έζηω ν ζεηηθόο αξηζκόο ξ θαη νη κηγαδηθνί,, ηέηνηνη ώζηε λα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: (). ξ (). ξ (). + + Να δεηρζεί όηη Από ξ ξ,,
10 ξ Αθόκα ηζρύεη : + + () Δπνκέλωο ηζρύεη από ηηο () θαη () : Καη ηειηθά () ΑΚΖΖ 9 Έζηω ν αθέξαηνο λ θαη νη πξαγκαηηθνί α, β κε α + β. Θεωξνύκε ηελ εμίζωζε : α + β. Να δεηρζεί όηη : α). Όιεο νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο έρνπλ εηθόλα ζην κηγαδηθό επίπεδν ζεκεία νκνθπθιηθά. β). Αλ, είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο, ηόηε ζα ηζρύεη ε ζρέζε. γ). Αλ ν, είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο κε, λα δεηρζεί όηη : θαη λα βξεζνύλ ηα α, β R. α). ( + )
11 Οη ηηκέο ηνπ πνπ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζωζε είλαη ζεκεία ηνπ θύθινπ κε θέληξν ην Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. β). Αλ Α, Β εηθόλεο ηωλ ξηδώλ, ηεο εμίζωζεο, έρνπκε όηη AB (δηάκεηξνο) γ). ην κόλν ζεκείν ηνπ θύθινπ πνπ έρεη κέηξν είλαη ε +. ΑΚΖΖ Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, C *, ώζηε λα ηζρύνπλ: ξ θαη Ηζρύεη Δπεηδή : R. Να δεηρζεί όηη ηνπιάρηζηνλ δπν από ηνπο,, είλαη ίζνη. R ξ ξ έρνπκε : Δπεηδή,, έρνπκε : ηζρύεη. Έζηω όηη, ηόηε επεηδή,, Θα πξέπεη :, άηνπν. Άξα ηνπιάρηζηνλ δύν από ηνπο,, είλαη ίζα. ΑΚΖΖ Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, C, κε. Να δείμεηε όηη Re Re Re. (Τπόδεημε : Παξαηεξείζηε όηη + + ) Re Re
12 ΑΚΖΖ Αλ Α, Β, Γ είλαη νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη ηζρύεη: + ( ), λα δεηρζεί όηη : ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην. Από ηελ ζρέζε + ( ) + ( ) ΒΓ ΑΒ ΑΒ ΒΓ. Αθόκα κε βάζε ηελ ηζρύνπζα ζρέζε ε δηαθνξά γξάθεηαη: + ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΓ Δπνκέλωο ΑΒ + ΒΓ Άξα ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην κε νξζή γωλία ηελ Β ΑΒ ΑΓ (ππζαγόξεην ) ΑΚΖΖ Αλ + + θαη + + λα δεηρζεί όηη. Δθαξκνγή: Με ηε βνήζεηα ηεο παξαπάλω πξόηαζεο λα δείμεηε όηη ην ηξίγωλν πνπ έρεη θνξπθέο ηηο εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, θαη, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: είλαη ηζόπιεπξν. Τπόδεημε : Να ζέζεηε θ.ι.π. θαη λα δείμεηε όηη ( + ) ( ) () Με αλάινγν ηξόπν απνδεηθλύεηαη θαη () Από ηηο ζρέζεηο () θαη () έρνπκε : Δθαξκνγή Θέηνπκε,,. Θέιω λα απνδείμω όηη ην ηξίγωλν ΑΒΓ, όπνπ Α, Β, Γ νη εηθόλεο ηωλ,, ζην κηγαδηθό επίπεδν όηη είλαη ηζνζθειέο δειαδή όηη ηζρύεη : ΑΒ ΒΓ ΓΑ. Ηζρύεη : () Καη από ηελ ηζρύνπζα ζρέζε έρνπκε ( ) + ( ) + ( )
13 + + () Δπνκέλωο από ηηο ζρέζεηο () θαη () πνπ δείμακε όηη ηζρύνπλ έρνπκε : ΑΒ ΒΓ ΓΑ Άξα ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν. ΑΚΖΖ 4 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, θαη ηζρύεη α). β).. α). ηζρύεη β). Από ηηο ζρέζεηο () θαη () έρω: θαη, λα δείμεηε όηη : () (). ΑΚΖΖ 5 Αλ θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί κε κέηξν ην, ηόηε : α). Να απνδείμεηε όηη β). Να βξείηε ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ α) β)
14 ΑΚΖΖ 6 Αλ, λα δεηρζεί όηη : α). α). β). + + β). () () (). (), επνκέλωο έρνπκε ΑΚΖΖ 7 Έζηω Π() + + ( + ) ( + ), όπνπ, C. α). Να δεηρζεί όηη : Π() γηα θάζε R. β). Να βξείηε πόηε κπνξεί λα ηζρύεη Π(). α). Αξθεί λα δείμνπκε όηη Γ, δειαδή ην ηξηώλπκν νκόζεκν ηνπ α >. Γ Δπνκέλωο Π(). 4. ηζρύεη β). Π() Γ
15 ΑΚΖΖ 8 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο θαη νη νπνίνη είλαη ηέηνηνη ώζηε: ν αξηζκόο πξαγκαηηθόο θαη λα είλαη α). Να βξείηε ηνλ γεωκεηξηθό ηόπν (c ) ηεο εηθόλαο ηνπ β). Να βξείηε ηνλ γεωκεηξηθό ηόπν (c ) ηεο εηθόλαο ηνπ γ). Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ θαη. α). R + ( ). Ζ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. β). + ( + ) 8 + Ζ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. Ζ απόζηαζε ΟΒ. Α Δπνκέλωο ε ειάρηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ, ηόηε : ΟΒ. Ζ απόζηαζε ΑΓ ΓΒ + ΒΟ + ΟΑ Δπνκέλωο ε κέγηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ, ηόηε : ΟΒ 5 +. Ο Β Γ ΑΚΖΖ 9 Τπνινγίζηε ζην ζύλνιν C ηηο ιύζεηο θαη ηεο εμίζωζεο θαη ηηο ιύζεηο, 4 ηεο εμίζωζεο α). Έζηω, νη ιύζεηο πνπ έρνπλ ζεηηθό θαληαζηηθό κέξνο. Να παξαζηήζεηε ζην κηγαδηθό επίπεδν ηα ζεκεία Μ, Μ, Μ, Μ 4, Η πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ αξηζκώλ,,, 4,. β). Τπνινγίζηε ην. Γείμηε όηη ηα ζεκεία Μ, Μ, Μ, Μ 4 αλήθνπλ ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. α). H εμίζωζε 4 + 9, έρεη Γ <, θαη ιύζεηο, 5. H εμίζωζε 4 +, έρεη Γ 6 <, θαη ιύζεηο,4. β) Παξαηεξώ επίζεο : 4 5. Γειαδή όιεο νη εηθόλεο ηωλ ηεζζάξωλ ξηδώλ ηζαπέρνπλ από ην. Άξα νη κηγαδηθνί αξηζκνί,,, 4 βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ 5. Να γίλεη ζρήκα
16 ΑΚΖΖ Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο : ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4, αλήθνπλ ζε επζεία θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζωζε. Γηαηί απηή ε επζεία είλαη κεζνθάζεηε ζην ηκήκα ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(4, ); Καη πνηνο είλαη ν ηύπνο ηεο επζείαο απηήο; ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) Αλ εξκελεύζνπκε γεωκεηξηθά ηελ ζρέζε πνπ πξνθύπηεη είλαη ε κεζνθάζεηε επζεία ζην ηκήκα ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(4, ). Ο ηύπνο ηεο είλαη : ΑΚΖΖ Απνδείμηε όηη ην ζύλνιν ηωλ εηθόλωλ ηνπ C ζην κηγαδηθό επίπεδν γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη είλαη εκηεπζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα. Πνηα είλαη ε αξρή ηεο
17 ΑΚΖΖ Γίδνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί, κε. Αλ γηα ηνλ C ηζρύεη : ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 (). α). Να βξεζεί ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ C. β). Να βξεζεί ην κέγηζην ηεο παξάζηαζεο. α). Έζηω Α( ), B( ), Γ() νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, αληίζηνηρα. Ηζρύεη : ΑΒ Καη ε ζρέζε () γξάθεηαη : ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 + ΓB + ΓΒ ΑΒ. (ππζαγόξεην ζεώξεκα) Άξα ην ηξίγωλν είλαη νξζνγώλην κε νξζή γωλία ηελ Γ 9 ν. Δπεηδή ε ππνηείλνπζα ΑΒ είλαη ζηαζεξή, θαη κεηαβάιιεηαη κόλνλ ην Γ. πκπεξαίλνπκε όηη ην ζεκείν Γ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν ην κέζν ηνπ ΑΒ θαη Γηάκεηξν ηελ ΑΒ. β). Ζ παξάζηαζε ΓΒ 4. όζν ε δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. ΑΚΖΖ Αλ, C,, ώζηε, λα απνδείμεηε όηη α). + ή R β). Αλ ηα ζεκεία Ο, Α( ), B( ) δελ είλαη ζπλεπζεηαθά, ηόηε ηα δηαλύζκαηα θαη είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο. Τπόδεημε: α). β). Σν παξαιιειόγξακκν κε θνξπθέο Ο(), Α( ), B( ), Γ( + ) είλαη ξόκβνο. α). Γεληθά ηζρύεη : Δπεηδή έρνπκε : Γηεξεύλεζε πξέπεη ν αξηζκόο άξα < R ή
18 ΑΚΖΖ 4 α). Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ηωλ παξαζηάζεωλ ( + ) 4, 5 β). Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ λ Ν κε λ ώζηε λα ηζρύεη ( 5 ) λ ( + ) 4 λ + 4. α). ( + ) 4 [( + ) ] ( ) β). ( 5 ) λ ( + ) 4 λ + 4 ( 5 ) λ + 4 λ + 4 ( 5 ) λ λ 5 λ λ λ λ λ λ λ λ 6. ΑΚΖΖ 5 Θεωξνύκε ηα ζεκεία Α, Β, Γ, Γ πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ,, +, 6 + αληίζηνηρα. α). Να εμεηάζεηε ην είδνο ηνπ ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ. β). Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f() κε C. Τπόδεημε α). Σν ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. β). f() ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΓ Ζ ειάρηζηε ηηκή ηεο f() επηηπγράλεηαη όηαλ +, πνπ είλαη ην ζεκείν Μ ηνκήο ηωλ δηαγωλίωλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ. ΑΚΖΖ 6 Γίδεηαη ν κηγαδηθόο κε α). Να βξεζεί ην κέηξν ηνπ. β). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό v ηζρύεη : εηθόλωλ ηνπ κηγαδηθνύ v. θαη. Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη v v 6, λα βξεζεί ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ 4 α) ( + ) 6 ( ) 6 β). v v v v v 6 v v (θύθινο)
19 ΑΚΖΖ 7 Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε f : C C κε ηηο επόκελεο ηδηόηεηεο α). f( + ) f( ) + f( ), γηα θάζε, C. () β). f( ) f( ) f( ), γηα θάζε, C. () γ). f(α) α, γηα θάζε α R. () Να απνδείμεηε όηη : f() ή f() () () () f f f f f f (4) () () f f f f f f f f f f f f f Δπνκέλωο : f f f f Άξα ε ζρέζε (4) δίλεη αληίζηνηρα Aλ f(), (4) f f f(). Aλ f(), (4) f f f(). ΑΚΖΖ 8 Έζηω νη κηγαδηθνί, θαη Α, Β νη αληίζηνηρεο εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. Αλ (ΑΒ) (ΑΟ), όπνπ Ο ε αξρή ηωλ αμόλωλ, θαη λα βξείηε ηνλ ι > γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε ( + ι ). ηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγωλν ΑΟΒ είλαη νξζνγώλην Έζηω Α( ), B( ) νη εηθόλεο ηωλ, αληίζηνηρα, ηόηε ΟΑ, AB, OB. ( + ι ) + ι ι ι ι AB ι OA ι. Αθόκα : ( + ι ) ( + ) + OB OA Άξα έρνπκε : Άξα ην ηξίγωλν ΑΟΒ είλαη νξζνγώλην. ΟΒ ΟΑ + ΑΒ (ππζαγόξεην ζεώξεκα)
20 ΑΚΖΖ 9 α). Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν C α ηωλ ζεκείωλ Μ ηνπ επηπέδνπ πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ + κε, R θαη ηθαλνπνηνύλ ηελ ηζόηεηα: ( + α) +, όπνπ α R. β). Αλ Α, C α, λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Β C α, ηέηνην ώζηε ε κεζνθάζεηνο ηνπ ΑΒ λα δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ Κ b κε εμίζωζε: - β, κε β >. Γηα πνηα ηηκή ηνπ Β ν θύθινο Κ b εθάπηεηαη ηνπ C α ; α). ( + α) + ( α) + + α (επζεία) β). Δπεηδή Α C a ζα ηζρύεη : α άξα ε επζεία γξάθεηαη : +. + β ( + ) + ( ) β, θύθινο κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα β. Γηα λα δηέξρεηαη ε κεζνθάζεηνο επζεία από ην θέληξν ηνπ θύθινπ ζα πξέπεη ην ζεκείν Κ(, ) (θέληξν ηνπ θύθινπ) λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ όπνπ Α, θαη Β( Β, Β ). Δπνκέλωο : Β 9,
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α Ππάξειρ μιγαδικών ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x x 9 θαη w = y, x, y R. α). Να βξείηε ηνπο x, y ώζηε = w. β) Να βξείηε ηνλ. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = 6 (3 4 ) x 3
Διαβάστε περισσότεραiii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΔΤΙΚΗ & ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο θαη ζύλζεηα ζέκαηα Δπηκέιεηα: Άιθεο Τδειέπεο Αζήλα 0 Θέμα ο Έζησ νη α, β R. Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότεραMaster Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραΟ γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r
1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη
Διαβάστε περισσότερα=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I ΜΕΡΟ IΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I MΗΓΑΓΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ... ΜΔΣΡΟ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ... 5 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ... 6 ΠΑΡΑΓΧΓΟ... ΚΑΝΟΝΔ ΠΑΡΑΓΧΓΗΔΗ... 9 ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΔ... 47 ΑΟΡΗΣΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ... 5 ΟΡΗΜΔΝΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ... 56 ΔΜΒΑΓΑ... 66 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ...
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΒ. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
Διαβάστε περισσότεραf x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Διαβάστε περισσότεραx x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότεραΓεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία Ερωτήσεις θεωρίας με κενά για απαντήσεις Εργασίες πάνω στην θεωρία Προπαρασκεσαστικά θέματα Κεφάλαια 3.7 3.8 3.9 ΕΑΚΥΝΘΟΣ 2010 11 Γεωμεηπία Α Λςκείος
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν
Διαβάστε περισσότεραΕπωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότεραB1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ
ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 9 Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Μαθηματικός Ρόδος ΕΠΑ.Λ Παραδεισίου ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Παπάλληλερ εςθείερ Αίηημα παπαλληλίαρ Γύν επζείεο (ε 1 ),(ε
Διαβάστε περισσότεραα) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Διαβάστε περισσότεραx x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31 Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Έλα ζώκα θηλείηαη ζε επζεία γξακκή θαη κεηαηνπίδεηαη από ηε ζέζε ρ 1 = +2m ζηε ζέζε ρ 2 = -2m. Πνηα από ηηο επόκελεο
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. Ύλη:Γςνάμειρ μεταξύ ηλεκτπικών φοπτίων Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 58 Β Λςκείος Γεν. Παιδείαρ 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Γύν ζεηηθά θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε απόζηαζε
Διαβάστε περισσότεραΕξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2016
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 ΕΞΕΣΑΣΕΑ ΤΛΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ Β ΣΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ (όλα τα τμήματα) Από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικήσ και Τεχνολογικήσ Κατεφθυνςησ Β
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραH ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότερα3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Διαβάστε περισσότερα«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ
. Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ 006 010.. (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
Διαβάστε περισσότεραBAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ
BAΙΚΑ ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΔΥΔΙΑ Α. ΘΔΩΡΗΜΑ BOLZANO (Θ.Β) Έζηω κηα ζπλάξηεζε f,νξηζκέλε ζε έλα θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].αλ: Ζ f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη, επηπιένλ, ηζρύεη f a f 0 Σόηε ππάξρεη ένα, τοσλάτιστον,
Διαβάστε περισσότεραόπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημεπομηνία: 18/1/010 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 Προτεινόμενες λύσεις 1 Σε κηα θαηαζθήλσζε ππάξρνπλ 18 παηδηά θαη έρνπλ ηξόθηκα γηα 9 κέξεο Μεηά
Διαβάστε περισσότεραΔξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Ι. Ερωτήσεις τύποσ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, ) έρεη ζπληειεζηή
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότεραΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)
ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΣΗΗ 1 Πνηνη αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη θαη πνηνη ζύλζεηνη; Να δώζεηε παξαδείγκαηα. ΑΠΑΝΣΗΗ 1 Όηαλ έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ
Διαβάστε περισσότερα3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ
3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ ΘΔΩΡΖΣΗΘΟ ΤΠΟΒΑΘΡΟ: Γηα ηελ ιύζε ηωλ αζθζεωλ πνπ αθνινπζνύλ ζα ρξεηαζζνύκε: 1. Σελ (δηάζεκε) εμίζωζε ηνπ ΔΗΛΣΔΗΛ: E c. Σνλ λόκν
Διαβάστε περισσότερα1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
Διαβάστε περισσότεραΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες
Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες Ανακεθαλαίωζη θεωρίας Ομαδοποιημένες έννοιες θεωρίας 5 άλσηες αζκήζεις Θέμαηα πολλαπλής επιλογής ΕΑΚΤΝΘΟ 010 11 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γύν επζείεο
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ
ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΥΗΜΑΣΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ ΓΧΝΙΕ
1 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΚΕΦΛΙΟ 6 ο ΥΗΜΣ ΕΕΡΜΜΕΝ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΕΡΜΜΕΝΕ ΧΝΙΕ ΟΡΙΜΟ: Εγγεγπαμμένη γσλία νλνκάδεηαη ε γσλία ηεο νπνίαο ε θνξπθή είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ θαη νη πιεπξέο ηεο ηέκλνπλ ηνλ θύθιν. Τν ηόμν
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ
Διαβάστε περισσότεραΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..
ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη
Διαβάστε περισσότερα(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
Διαβάστε περισσότεραΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά
Διαβάστε περισσότεραΦςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Διαβάστε περισσότεραΜεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:
Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν
Διαβάστε περισσότεραΝα ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.
. Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα
Διαβάστε περισσότερα66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι
1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Οη αζθήζεης ηες ηράπεδας ζεμάηωκ απαιιαγμέκες από ηα ζτήμαηα (όποσ ήηακ δσκαηόκ) β έθδοζε 0/11/015 ΗΡΖΣΕΡΖΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα
Διαβάστε περισσότεραΓεσκεηξία Α Λπθείνπ Καζεγεηήο: Υαηδόπνπινο Μάθεο Δπαλαιεπηηθά θύιια εξγαζίαο
Δπιμέλεια: Υαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ 28+ Επαναληπτικά Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου Υποψήφια θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου Κατηγορίες ασκήσεων Κατηγορία Α: Θεωρία / Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΑιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών
τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ
Διαβάστε περισσότερα