ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 18 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ

Transcript

1 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ ) Να γπάτεηε με μοπθή διαζηήμαηορ ή ένυζηρ διαζηημάηυν ηα ζύνολα: i) {R/-<} iv) {R/ } viii) {R/ } ii) {R/ } v) {R/ -+)-)} i) {R/-} iii) {R/- +-8} vi) {R/ -+} vii) {R/ } ) {R/ ++)-)} Λύζη: i) -< -<-< -+<<+ -<< -<< Άξα {R/-<}-,) - - ν ν + ii) - + -) )> < ή > - + Άξα {R/ ν ν }-,)U,+ ) iii) ) Γ,, ) Άξα {R/- +-8}[,] ) 8 iv) -8)-)>) )-) ) < ή >8 Άξα {R/ }-,)U8,+ ) - + v) -+)-) -) -) - Άξα {R/ -+)-)}[,+ ) vi) -+) Οη ξίδεο ηεο ) ζα βξεζνύλ κε Horner Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο νη δηαηξέηεο ηνπ : ±, ± ) -) +-) -)-)+) -) +) Γ9,, ή - - Άξα {R/ -+}[-,+ ) vii) ή Άξα {R/ }-,-]U[,+ )

2 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 Παρατήρηση: Ο ηρόπος λύζης μιας ανίζωζης όπως εδώ ηης ) είναι ενδεικηικός και ότι μοναδικός ή σποτρεωηικός Ο μαθηηής θα μπορούζε να λύζει ηην ανίζωζη με άλλον ηρόπο viii) Άξα {R/ } [, ] - + i) ή ή 5 Άξα {R/-}-,-]U[5,+ ) ) ++)-) - γηαηί ην ηξηώλπκν ++ έρεη Γ-< θαη είλαη νκόζεκν ηνπ α> γηα θάζε R, δειαδή ++> γηα θάζε R Άξα - + Δπνκέλωο {R/ ++)-)}-,] ) Να βπείηε ηα πεδία οπιζμού ηυν ζςναπηήζευν: i) ) f ) 5 f ) ii) f ) iii) f ) iv) v) ) ) ) ln 7 f f vi) f ) vii) viii) f ) f ) ) i) f i) ii) f ) f ) iii) f ) ln ) iv) v) f f ) e ) e ln ln vi) f ) ln f ) ln f ) ln vii) viii) i) ) ) f ) e e f i) f ) e e ii) f ) ln e ) Λύζη: i) +- Γ, θαη Άξα D f R-{,}-,)U,)U,+ ) ii) - )?

3 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 Λύλνπκε ηελ εμίζωζε - -) -)+) ή ή - Γηα λα ιύζνπκε ηελ ) θαηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα πξόζεκνπ ηνπ ) - ή Άξα D f [-,]U[,+ ) iii) Άξα D f [-,] ) iv) Πξέπεη και ) - ) ) ) +)-) - ή ) )+) Από ) θαη ) έρνπκε D f -,-]U,+ ) v) Πξέπεη Άξα D f,+ ) vi) -7+> ) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηνπ -7+: Γ9, 5, ) < ή >5 Άξα D f -,)U5,+ ) vii) - ) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηνπ - : Γ,, ) ή Άξα D f -,]U[,+ ) viii) εκ- εκ θπ+ π /, θz - + Άξα D f {R/ θπ+ π /, θz} ή D f R-{R/θπ+ π /, θz} i) ++ R, γηαηί Γ-< θαη ην ηξηώλπκν είλαη νκόζεκν ηνπ α> γηα θάζε R Άξα D f R

4 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από e + ) Πξέπεη 5 & 5 ) & 5 & 5 & & 5 & Άξα D f [,] i) Πξέπεη ) & Άξα D f -,-)U-,+ ) ή D f R-{-} ii) Πξέπεη ) ή Z ) ή ) -)+)> -<< ) αιεζήο γηα θάζε R Άξα [,) ) ) > ή <-) θαη αε α >, αε) α, αε, α> 5) ) ) Από ), 5) θαη ) βξίζθνπκε D f [,]U{R/α, αz, α>} iii) Πξέπεη R R, γηαηί γηα θάζε R Άξα D f R iv) Πξέπεη ) ) ln ln ) y -y yy-) y ή y ) ln ή ln lnln ή lnlne ή e ) Από ) θαη ) D f,]u[e,+) v) Δπεηδή +e > άξα +e γηα θάζε R, ζα είλαη D f R vi) Πξέπεη -)+)> -<< Άξα D f -,) y - + y y yy-) γηαηί +), R )+) Θέτω yln ) )+) - + -

5 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 5 από 8 ln ln ln lne e vii) Πξέπεη e Άξα Α[e,+ ) ln ln ln lne e viii) Πξέπεη <<e Άξα Α,e ) i) Πξέπεη > Άξα Α, + ) ) Πξέπεη e + -e e + e + Α[, + ) i) Πξέπεη e -e + ) Θέηω e y ) νπόηε ε ) γίλεηαη y -y+ ) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηνπ y -y+: Γ, y, y y ln + y -y ) ) y ή y e ή e lne ln ή lne ln ή ln Άξα D f -,]U[ln,+ ) ii) Δπεηδή e +> γηα θάζε R, είλαη ΑR ) Να βπείηε ηα πεδία οπιζμού ηυν ζςναπηήζευν: i) ii) iii), f ),, f ) 7, -, f ) 5, iv) v) vi), αν ό ), αν άρρητος, αν f ), αν, αν f ) 5, αν, αν f Λύζη: i) AR ii) A-,-]U-,] -,] iii) A-,]U,] -,] iv) AQUQ R v) AR vi) AR ) Να γπάτεηε συπίρ απόλςηερ ηιμέρ ηιρ ζςναπηήζειρ: i) f)- v) f)5-++- ii) f)-+ vi) f) -5+ iii) f ) vii) f ) iv) Λύζη: f ) viii) f ) i) f ) 9 5

6 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 i) f)-, αν -, αν /, αν -, αν / ii) f)-+ ), αν -, αν ), αν - 5, αν ), αν - iii) f ) ), αν, αν -, αν ) iv) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα πξόζεκνπ ηωλ - θαη +: f), - Άξα f ), αν -, αν v) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα πξόζεκνπ ηωλ - θαη +: f) 5---)+-+) 5-+)+-+) 5-+)+-) + - -, αλ - Άξα f ) -, αλ - -, αλ vi) Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα πξόζεκνπ ηνπ -5+: Γ θαη, , αλ ή Άξα f ) - 5, αλ vii) f ) γηα θάζε R, γηαηί >, γηα θάζε R viii) f ) γηα θάζε R-{θπ+π/, θε}, γηαηί ) ) εκ -εκ, γηα θάζε R i) Δίλαη -9 θαη - Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα πξόζεκνπ ηνπ -: - -) ή

7 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 7 από O ) --) O - -)--) --) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) f) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), αν -,-) -,], ) Άξα f ), αν,) 5) Να πποζδιοπίζεηε ηα κοινά ζημεία ηυν γπαθικών παπαζηάζευν ηυν παπακάηυ ζςναπηήζευν με ηοςρ άξονερ: i) f ) iv) viii) f ) f ) i) f)ln -+9) v) f)-εκ ) f ) ii) f ) vi) iii) f ) 9 vii) f ) f ) Λύζη: i) D f R-{} Χρρρρρ f) Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α, - / ) f) -+ ) Γ-7< θαη ε ) είλαη αδύλαηε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα O ii) D fr-{} f) Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α,) f) -- ) Γ9 θαη -, Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζηα ζεκεία Β-,) θαη Γ,) iii) D fr-{} 9 f) Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α,) 9 f) -9 - γηαηί Α f ) Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζην ζεκείν Β-,) iv) D fr* Δπεηδή D f, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα y Oy 7

8 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 8 από 8 f) πνπ είλαη αδύλαηε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα O v) D fr f)-εκ- Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν A,) f) -εκ εκ θπ, θε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζηα ζεκεία Βθπ,), θε vi) D fr-{} f) Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α,-) f) πνπ είλαη αδύλαηε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα O vii) D fr f) Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α,-) f) εκ- εκ½ εκεκ π / θπ+ π / ή θπ+π- π / θπ+ π / ή θπ+ 5π /, θε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζηα ζεκεία Βθπ+ π /,) θαη Γθπ+ 5π /,), θε viii) D f[,+ ) Δπεηδή D f, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα y Oy f) Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζην ζεκείν Β,) i) D fr-{} f)ln9 Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α,ln9) f) ln -+9)ln Γ θαη, Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζηα ζεκεία Β,) θαη Γ,) ) D fr f) +ζπλ+ Τέκλεη ηνλ άμνλα y Oy ζην ζεκείν Α, + ) f) +ζπλ ζπλ - / ζπλζπλπ- π / )ζπλ π / θπ π /, θε Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα O ζηα ζεκεία Βθπ π /,), θε ) Να βπείηε ηα ζημεία ηομήρ ηυν γπαθικών παπαζηάζευν ηυν ζςναπηήζευν: i) f)- +-8 θαη g) ii) f)-) θαη g) iii) f) θαη g) Λύζη: i) D f R θαη D g R* f)g) Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο,, Τόηε yf)g) Σημείο Α,) 5 iv) f) θαη g) v) f)εκ θαη g) vi) f)ln+) θαη g) vii) f)8-8 - θαη g)- -7 viii) f) θαη g) ) Ζ ) -)- ++) ή - ++ ή + ή - 8

9 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 9 από 8 + Τόηε yf+ )g+ ) Σημείο Β+, -5) - Τόηε yf- )g- ) Σημείο Β+, - -5) ii) D fr θαη D g R* f)g) -) ) ) ) ) ) -5 ) ) - -5 ) )+-) -) +) θαη επεηδή + yf)g) Άξα ηέκλνληαη ζην ζεκείν Α,) iii) D fd g R f)g) - -) -)+) ή ή - y f)g) y f)g) y f-)g-)- Άξα ηέκλνληαη ζηα ζεκεία Α,), Β,) θαη Γ-,-) iv) D fd g R 5 5 f)g) -5+ Γ θαη ή y f)g) y f)g) Άξα ηέκλνληαη ζηα ζεκεία Α,), Β,) θαη Γ,) v) Δπεηδή -εκ, ε εμίζωζε f)g) εκ είλαη αδύλαηε θαη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο δελ ηέκλνληαη vi) D f-,+ ) θαη D g R f)g) ln+) ln+)ln + - Yf-)g-) Άξα ηέκλνληαη ζηo ζεκείν Α-,) vii) D fd g R f)g) ) Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο,,, / Ζ ) -) ) -)- / )8 -) ή / ή / ή - / Άξα ηέκλνληαη ζηα ζεκεία: y f)g) - Άξα Α,) y f / )g / ) - Άξα Β /,-) y f / )g / ) -9 Άξα Γ /,-9) y f- / )g- / ) - Άξα Γ- /,-) viii) D f[- /,+ ) θαη D g [-5,+ ) f)g) 7 5 ) ) 5-) 9+5) Γ88 θαη 95, 5) +ρ+5 Άξα ηέκλνληαη ζηα ζεκεία: y f95)g95) - Άξα Α95,-) y f)g) Άξα Β,) 9

10 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 7) Βπείηε ηα διαζηήμαηα ζηα οποία η γπαθική παπάζηαζη ηηρ f είναι: α) πάνυ από ηον άξονα ηυν O, β) κάηυ από ηον άξονα ηυν O, ζηιρ παπακάηυ πεπιπηώζειρ: i) f)- +- iv) f)ln+) vii) f ) log ii) v) f)ln+ f ) vi) f) - iii) f ) e Λύζη: i) D f R Καηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηνπ ηξηωλύκνπ - +- Γ,, / viii) f)ln- i) f)+εκ ) - / ii) D fr-{-} f) - α) f)> /,) β) f)< -, / )U,+ ) iii) D fr f ) e e Γ,, α) ) f e e e e -+> < ή > β) f ) e e e e α) f)> -,-)U,+ ) β) f)< -,) e e < << iv) D f-,+ ) α) f)> ln+)> ln+)>ln +> >- β) f)< ln+)< ln+)<ln +< <- θαη επεηδή >-, ζα έρνπκε -<<- v) D f,+ ) α) f)> ln+> ln>- ln>lne - ln>ln e > e β) f)< ln+< ln<- ln<lne - ln<ln e << e γηαηί ln>ln vi) D fr α) f)> -> > ln ln >ln ln>ln >log ln β) f)< <log vii) D f-,-- )U-+,+ )

11 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 α) f)> log ) > log ) > log +-< γηαηί α / < θαη ε ζπλάξηεζε θ) log, είλαη γλεζίωο αύμνπζα) +-< --,-- )U-+,-+ ) β) f)< +-> -,-- )U-+,+ ) viii) D f,+ ) α) f)> ln -> ln > ln<- ή ln> ln<lne - ή ln>lne <e - ή >e β) f)< ln -< ln < -<ln< lne - <ln<lne e - <<e i) D f,+ ) Δπεηδή -<-εκ εκ+> γηα θάζε R, νπόηε f)> γηα θάζε R θαη ε γξ παξάζηαζε ηεο f είλαη πάλω από ηνλ άμνλα O 8) Να κάνεηε ηιρ γπαθικέρ παπαζηάζειρ C f ) ηυν παπακάηυ ζςναπηήζευν και μεηά, από αςηέρ να βπείηε ηο πεδίο ηιμών ηοςρ: i) f)-, i), αν ii) f)-, κε Α[,] f ) iv) iii) f)-, κε Α-,] f ) iv) f)e, κε,] 9, αν - v) f)-, κε ), αν f ) vi) f)5-, κε <7 vii) f) -5+, αν, αν v) viii), αν i) f)+-- f ) f ), αν - ii), αν f ) iii) f)+-, αν Λύζη: i) f)-, D f R ωο πνιπωλπκηθή Δπεηδή είλαη ζηελ κνξθή f)α+β, ε C f είλαη επζεία f)- θαη f) / ζρ) y ζρ O / - ii) f)-, D f[,] f)5 θαη f)9 Ζ C f είλαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε Α,5), Β,9) ζπκπεξηιακβαλνκέλωλ ηωλ άθξωλ ζρ) ζρ)

12 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 iii) f)-, D f-,] f) θαη f-) Ζ C f είλαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ κε Α-,), Β,) πιελ ηνπ ζεκείνπ Α ζρ) ζρ) iv) f)e, D f,] ζρ y ye e B,e ) ζρ) O v) f)-, κε f)5 θαη f)8 Ζ C f είλαη h εκηεπζεία ΑΒ κε Α,5), Β,8) ζρ5) ζρ5) vi) f)5-, κε <7 f7)-9, f)5 θαη f 5 / ) Ζ C f είλαη h εκηεπζεία ΑΒ κε Α7,-9), Β,5) Δθηόο ηνπ ζεκείνπ Α ζρ) ζρ) ζρ7) vii) f) , 5, -,)U, ) ζρ7) [,] viii), f ), αν αν Γηα είλαη f)-+ f) H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΑΒ Γηα > είλαη f)- ζρ8) f) 5 8 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΓΓ πιελ ηνπ ζεκείνπ Γ

13 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ζρ8) ζρ9), i) f ) -, - Γηα > είλαη f)-- f) -7-9 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΑΒ πιελ ηνπ ζεκείνπ Α αν - αν -, αν, αν Γηα < είλαη f)- ζρ9) f) - -5 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΓΓ πιελ ηνπ ζεκείνπ Γ 9, αν ) f ), αν, αν, αν Ζ γξαθηθή παξάζηαζε απνηειείηαη από ην ζεκείν Α θαη ηελ επζεία ε) πιελ ηνπ ζεκείνπ Β ζρ) i) f)+-- Καηαζθεπάδνπκε πίλαθα κεηαβνιώλ γηα ηα + θαη - ώζηε λα βγάινπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο: ζρ) f) --)--+)-9 +)--+)- +)--)-+9 9, αν - Άξα f ) -, αν - - 9, αν Γηα <- είλαη f)-9 Γηα -< είλαη f)- Γηα είλαη f) f) -5-7 f) -5 5 f) 5 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία H γξπαξ είλαη ην επζ ηκήκα H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΑΓ πιελ ηνπ ζεκείνπ Α ΑΒ πιελ ηνπ ζεκείνπ Β ΒΓ

14 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ii), f ) -, αν αν iii) f)+- Καηαζθεπάδνπκε πίλαθα κεηαβνιώλ γηα ηα - θαη ώζηε λα βγάινπκε ηηο απόιπηεο ηηκέο: f) -+ -, αν Άξα f ), αν -, Γηα < είλαη f)-+ - f) 5 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΑΒ πιελ ηνπ ζεκείνπ Α αν Γηα < είλαη f) f) H γξπαξ είλαη ην επζ ηκήκα ΑΓ πιελ ηνπ ζεκείνπ Γ y Γηα είλαη f)- f) 5 H γξπαξ είλαη ε εκηεπζεία ΓΓ - - -½ O A,-) iv), αν f ), αν - Γηα < είλαη f)- f) - - H γξ παξ είλαη ην ηκήκα ηεο γξ παξ ηεο f)- κεηαμύ ηωλ ζεκείωλ Α θαη Β, πιελ ηνπ ζεκείνπ Β y- Γ-½,) Β,-) - Γηα - / < είλαη f)- - / f) - - H γξ παξ είλαη ην επζ ηκήκα ΑΓ πιελ ηνπ ζεκείνπ Γ

15 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 5 από 8 v), αν f ), αν -, αν 9) Έζηυ f: RR, ηέηοια ώζηε f+y)f)+fy), για κάθε R ) Να δείξεηε όηι: α) f) β) η f είναι πεπιηηή Λύζη: α) Σηελ ) ζέηνπκε : β) Ζ ) γηα y- δίλεη: f+y)f)+fy) f-)f)+f-) fy)f)+fy) f)f)+f-) θαη επεηδή f) f) f)+f-) f-)-f) άξα πεξηηηή ) Γίνεηαι η μη ζηαθεπή ζςνάπηηζη f: RR, ηέηοια ώζηε f+y)+f-y)f)fy), για κάθε, yr Να δείξεηε όηι: α) f) β) η f είναι άπηια Λύζη: α) Σηελ δνζείζα ζέηνπκε y: f+)+f-)f)f) f)+f)f)f) f)f)f) f)-f)f) f)-f)) ) Δάλ f) γηα θάζε R, ηόηε ε f είλαη ζηαζεξή, άηνπν Άξα ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ R, ηέηνην ώζηε f), νπόηε ε ) δίλεη -f) f) β) Σηελ δνζείζα ζέηνπκε : f+y)+f-y)f)fy) fy)+f-y)f)fy) θαη επεηδή f) fy)+f-y)fy) f-y)fy)-fy) f-y)fy) άξα άξηηα ) Να βπείηε ζςνάπηηζη f, ηέηοια ώζηε f ) f / ), για κάθε R* Λύζη: Σηελ δνζείζα ζέηνπκε όπνπ ην /: f / ) f ) / f / ) / f ) θαη ε δνζείζα γίλεηαη: f ) f ) f ) ) Να εξεηάζεηε ποιερ από ηιρ παπακάηυ ζςναπηήζειρ είναι ίζερ Σηην πεπίπηυζη πος δεν έσοςν ηο ίδιο πεδίο οπιζμού, αλλά έσοςν ίδιο ηύπο, να βπείηε ηο εςπύηεπο ςποζύνολο ηος R, ζηο οποίο είναι f)g): i) iii) f ) ln ) g ) ln f) θαη g) iv) f ) ) θαη g ) ii) f) θαη g) θαη ) 5

16 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 Λύζη: i) D f D g R-{} θαη f ) ) ) ) ii) Δίλαη D f [,+ ), ελώ D g [,+ ) θαη επνκέλωο f g Σην ζύλνιν όκωο ΑD f D g [,+ ) είλαη ίζεο, γηαηί: f ) ) iii) D f D g R ) g) ) g) ) ) ln ) ) Άξα fg ) f ) ln ) ln ln ln ln ln ln g) Άξα fg iv) Δίλαη D f -,]U[,+ ), ελώ D g [,+ ) θαη επνκέλωο f g Σην ζύλνιν όκωο ΑD f D g [,+ ) είλαη πξνθαλώο ίζεο ) Να βπεθούν οι ζςναπηήζειρ f+g, fg και f/g, όηαν: i) ii) f ) 9 και f) g ) και g) 5 iii) f)e και g)e - iv), αν f ) και, αν g ), αν 7, αν - v) f) και g) vi) f) και g) vii) ) f και g ) και g) f ) και ) viii) f) i) g

17 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Λύζη: i) D f R-{} θαη D g R-{5} θαη επεηδή g), γηα θάζε D g, ζα είλαη D f+g D fg D f/g D f D g R-{,5} θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g) +, fg))f)g) θαη 5 5 f/g))f)/g) : 5 ii) D f [-,] θαη D g,+ ) θαη επεηδή g), ζα είλαη D f+g D fg D f D g [,] θαη D f/g {D f D g / g) },] θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g) fg))f)g) 9, 9 9 ) 9 θαη f/g))f)/g) 9 9 iii) D f D g R θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g)e +e - e e, e e fg))f)g) e e - e θαη f/g))f)/g)e /e - e iv) Τα - θαη πνπ αιιάδνπλ ηύπν νη ζπλαξηήζεηο) ρωξίδνπλ ηελ επζεία ηωλ πξαγκαηηθώλ ζε ηξία κέξε, όπωο θαίλεηαη ζηνλ παξαθάηω πίλαθα: f) g) f+g)) fg)) -)-) -5+ -)-7) )-7)- -+8 f/g)) -)/-) -)/-7) +)/-7) Άξα, αν - 5, αν - f g) ) -, αν -, fg ) ) - 7 -, αν - -, αν - - 8, αν θαη -, αν - - f - ), αν - και g - 7 7, αν - 7 v) D f D g R-{} θαη επεηδή g), γηα θάζε D g, ++, γηαηί Γ-<) ζα είλαη D f+g D fg D f/g R-{} θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g) +, fg))f)g) ) ) ) θαη 7

18 ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ 8 g f ) ) ) ) vi) D f R-{-,-} θαη D g R-{-,-} νπόηε D f+g D fg D f/g R-{-,-,-} θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g), fg))f)g) θαη ) g f vii) Δίλαη D f [-,+ ), D g -,-]U[,+ ) θαη επνκέλωο D f+g D fg [,+ ) θαη D f/g,+ ), αθνύ g) f+g))f)+g) +, fg))f)g) θαη g f ) ) viii) D f R-{} θαη D g R-{} νπόηε D f+g D fg D f D g R-{} θαη D f/g D f D g -{/g)} D f D g -{/ } D f D g -{/+} D f D g -{/-} R-{} θαη έρνπλ ηύπνπο: f+g))f)+g) + ) ) + ) ) ) 5, fg))f)g) ) ) ) θαη ) g f ) ) ) i) Δίλαη D f [-,], D g -,-]U[,+ ) θαη επνκέλωο D f+g D fg {,-} θαη f+g))f)+g) θαη fg))f)g) γηαηί ;) Ζ fg)) δελ νξίδεηαη, γηαηί D f/g