απόλυτθ τιμι πραγματικοφ αρικμοφ

Transcript

1 κεφάλο 6 Α πόλυτθ τμ πργμτκοφ ρκμοφ βςκζσ ζννοεσ Η πόλυτθ τμ ενόσ πργμτκοφ ρκμοφ x, εκφράηε τθν πόςτςθ του ρκμοφ υτοφ πό το μθδζν. Επομζνωσ τ νμενόμεν ποτελζςμτ τθσ πόλυτθσ τμσ ενόσ πργμτκοφ ρκμοφ, είν κετκά μθδζν (φοφ δεν υπάρχε ρνθτκ πόςτςθ). Ζτς, θ πόλυτθ τμ του ρκμοφ 3, ςυμβολίηετ με κ ςοφτ με 3, φοφ θ πόςτςθ του ρκμοφ 3 πό το μθδζν είν 3. Όμο, θ πόλυτθ τμ του ρκμοφ -5, ςυμβολίηετ με κ ςοφτ με 5, φοφ θ πόςτςθ του ρκμοφ -5 πό το μθδζν είν 5. Ο προςδορςμόσ τθσ πόλυτθσ τμσ ρκμϊν είν εξρετκά πλόσ. Όμωσ ο υπολογςμόσ τθσ πόλυτθσ τμσ ποςοττων που περλμβάνουν το x πτοφν δερεφνθςθ. Αυτό οφείλετ ςτο ότ νάλογ με τσ τμζσ του x, θ ποςότθτ μζς ςτο πόλυτο, μπορεί άλλοτε ν λμβάνε κετκζσ τμζσ, άλλοτε ρνθτκζσ κ άλλοτε ν μθδενίηετ. Το γενκό ςκεπτκό τθσ δερεφνθςθσ φίνετ ςτο πρκάτω γράφθμ. βμ 1 Ελζγχουμε πότε θ ποςότθτ εντόσ του πολφτου είν κετκ, λφνοντσ τθν νίςωςθ: ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΜΕΣΑ ΣΤΟ ΑΠΟΛΥΤΟ > 0 βμ 2 Γ τσ τμζσ του x γ τσ οποίεσ θ ποςότθτ μζς ςτο πόλυτο δίνε κετκά ποτελζςμτ ( μθδζν), θ πόλυτθ τμ τθσ ποςότθτσ ςοφτ με τθν ποςότθτ χωρίσ το πόλυτο. βμ 2β Γ τσ τμζσ του x γ τσ οποίεσ θ ποςότθτ μζς ςτο πόλυτο δίνε ρνθτκά ποτελζςμτ, θ πόλυτθ τμ τθσ ποςότθτσ ςοφτ με τθν ντίκετθ τθσ ποςότθτσ εντόσ του πολφτου 33

2 πράδεγμ Ν δερευνθκοφν τ δυντά ποτελζςμτ τθσ. Λφςθ (βμ 1) Λφνουμε τθν νίςωςθ (βμ 2) Γ, ζχουμε (βμ 2β) Γ, ζχουμε Επομζνωσ ςυνοψίηοντσ: { ότν ότν Ο ορςμόσ τθσ πόλυτθσ τμσ ενόσ πργμτκοφ ρκμοφ x, είν επομζνωσ: ότν ότν < Β δότθτεσ των πολφτων Ο πο ςθμντκζσ δότθτεσ των πολφτων, προυςάηοντ ςτον πρκάτω πίνκ. β β β β β ± ββ 34

3 Γ εξςϊςεσ με πόλυτ Ότν ςε κάπο εξίςωςθ περλμβάνετ άγνωςτοσ x μζς ςε πόλυτο, τότε ελζγχουμε ςε πο πό τσ πρκάτω κτθγορίεσ νκε κ λφνουμε με βάςθ τθν προτενόμενθ νά περίπτωςθ μζκοδο. Περίπτωςη 1 η πόλυτο = ρκμόσ Προςοχ! Στθν κτθγορί υτ νκουν κ όςεσ εξςϊςεσ περλμβάνουν περςςότερ του ενόσ πολφτου, τ οποί όμωσ περζχουν τθν ίδ ποςότθτ ντίκετεσ ποςότθτεσ πολλπλάς τθσ ίδσ ποςότθτσ. ν ν <0 ΑΔΥΝΑΤΗ πρδείγμτ Αδφντθ 35

4 Περίπτωςη 2 η πόλυτο 1 = πόλυτο 2 ποςότθτ ποςότθτ ποςότθτ ± ποςότθτ πράδεγμ ΠΡΟΟΧΗ! Στθν ίδ κτθγορί νκουν κ εξςϊςεσ τθσ μορφσ πόλυτο 1 = ρκμόσ πόλυτο 2 με τθν προχπόκεςθ ο ρκμόσ ν είν κετκόσ. Αν ο ρκμόσ είν ρνθτκόσ θ εξίςωςθ είν δφντθ, με μονδκ εξίρεςθ τθν περίπτωςθ κ ο δφο εντόσ πολφτων ποςότθτεσ ν μποροφν ν μθδενςτοφν τυτόχρον. 36

5 Περίπτωςη 3 η Σε υτ τθν κτθγορί νκουν ο εξςϊςεσ που ζχουν δφο πρπάνω δφορετκά πόλυτ (δθλδ πόλυτ που δεν περζχουν τσ ίδεσ, ντίκετεσ πολλπλάςεσ ποςότθτεσ) κ ποςότθτεσ εκτόσ των πολφτων. Ότν ςυμβίνε υτό νλφουμε το κάκε πόλυτο κ ςτθ ςυνζχε επλφουμε τθν εξίςωςθ ςε κάκε δάςτθμ χωρςτά, με «πνκάκ». πράδεγμ Ανλφουμε το κάκε πόλυτο χωρςτά: ότν ότν κ Στθ ςυνζχε κτςκευάηουμε πίνκ τμϊν: 1 3 Δκρίνουμε περπτϊςεσ κ γ κάκε μί επλφουμε τθν εξίςωςθ που προκφπτε: ν θ εξίςωςθ γίνετ: ( ) ( ) Η οποί πορρίπτετ φοφ δεν πλθροί τον περορςμό. 37

6 ν < θ εξίςωςθ γίνετ: ( ) ( ) Η οποί είν δεκτ, φοφ βρίςκετ εντόσ ορίων του περορςμοφ <. ν θ εξίςωςθ γίνετ: ( ) ( ) Η οποί πορρίπτετ, φοφ δεν πλθροί τον περορςμό. ΠΡΟΟΧΗ! Αν ςε κάποο ςτάδο τθσ δερεφνθςθσ προκφψε δφντθ εξίςωςθ, υτό ςθμίνε ότ είν δφντθ γ υτό κ μόνο το ςτάδο κ όχ πρίτθτ ςυνολκά γ όλο το ςφνολο των πργμτκϊν ρκμϊν. Αν κτά τθν επίλυςθ κάποσ πό τσ υποπερπτϊςεσ δςτθμάτων προκφψε εξίςωςθ με άπερεσ λφςεσ, υτό ςθμίνε ότ ολόκλθρο υτό το δάςτθμ ποτελεί λφςθ τθσ κ όχ πρίτθτ όλο το ςφνολο των πργμτκϊν ρκμϊν. 38

7 Δ νςϊςεσ με πόλυτ Ότν ςε κάπο νίςωςθ υπάρχε άγνωςτοσ x μζς ςε πόλυτο, τότε γ τθ λφςθ τθσ εφρμόηουμε κάτ πό τ πρκάτω: Περίπτωςη 1 η πόλυτο ρκμόσ Προςοχ! Στθν κτθγορί υτ νκουν κ όςεσ νςϊςεσ περλμβάνουν περςςότερ του ενόσ πολφτου, τ οποί όμωσ περζχουν τθν ίδ ποςότθτ ντίκετεσ ποςότθτεσ πολλπλάς τθσ ίδσ ποςότθτσ. ν ν <0 όρστη πρδείγμτ όρστη 39

8 Περίπτωςη 2 η πόλυτο ρκμόσ Προςοχ! Στθν κτθγορί υτ νκουν κ όςεσ νςϊςεσ περλμβάνουν περςςότερ του ενόσ πολφτου, τ οποί όμωσ περζχουν τθν ίδ ποςότθτ ντίκετεσ ποςότθτεσ πολλπλάς τθσ ίδσ ποςότθτσ. ν ν <0 ΑΔΥΝΑΤΗ πρδείγμτ δφντθ Περίπτωςη 3 η Στθν κτθγορί υπάγοντ ο νςϊςεσ που ζχουν δφο πρπάνω δφορετκά πόλυτ κ ποςότθτεσ εκτόσ των πολφτων. Σε υτ τθν περίπτωςθ νλφουμε το κάκε πόλυτο χωρςτά κ επλφουμε τθν νίςωςθ ςε κάκε δάςτθμ, ελζγχοντσ ν ο λφςεσ που προκφπτουν γίνοντ όχ δεκτζσ πό τον περορςμό του κάκε δςτμτοσ. Ο νςϊςεσ υτζσ ξεφεφγουν πό τθν προτενόμενθ προσ πράδοςθ φλθ, εντοφτοσ ςε ρκετά ςχολεί δδάςκοντ. 40

9 Ε πόλυτο, πόςτςθ κ δάςτθμ Συχνά χρεάηετ ν μεττρζψουμε μ ζκφρςθ δοςμζνθ με μορφ πόλυτθσ τμσ, ςε ζκφρςθ πόςτςθσ πό το μθδζν ςε μορφ δςτμτοσ τμϊν. Ο πρκάτω πίνκσ δείχνε τθν ςοδυνμί μεττροπσ τθσ μσ μορφσ ζκφρςθσ ςτθν άλλθ. Ζκφρςθ με πόλυτο Ζκφρςθ με πόςτςθ Ζκφρςθ με δάςτθμ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) < ( ) < ( ) ( ) ] Στ πρπάνω, πρζπε ν ςχφε:. 41