Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Transcript

1 III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο σύνολο Έστω το σύνολο των μετθέσεων λέπε σελ 9 Ν Την μετάθεση p [permuaio] την συμολίζουν ως εξής: S p N p : p p p Η εικόν p,,p του πεδίου ορισμού {,,} της p, κλείτι διάτξις του Ν Φνερά, έχουμε τόσες διτάξεις του Ν, όσες κι μετθέσεις p Η διάτξη,,, ντιστοιχεί στην τυτοτική μετάθεση του Ν Γιά ν ρούμε το πλήθος των διτάξεων του Ν, σκεπτόμεθ ως εξής: Αν κάθε διάτξη προκύπτει πό την ενέργειά μς, ν γεμίσουμε κάποι πό τις θέσεις του σχήμτος τότε, η πρώτη θέση γεμίζει με διφορετικούς τρόπους Η δεύτερη θέση, με διφορετικούς τρόπους Η Τρίτη με, κοκ, η τελευτί, με έν κι μόνο τρόπο Αρ το πλήθος των διφορετικών τρόπων, που γεμίζουν όλες τις πρπάνω θέσεις, είνι! Εχουμε συνεπώς,! το πλήθος διτάξεις των ντικειμένων Το γινόμενο δύο μετθέσεων κι ορίζετι πάντ μέσ στο S, ως η σύνθεση των κι Είνι: όπου i i ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η πράξη του πολλπλσισμού κθιστά το σύνολο S ομάδ Ουδέτερο στοιχείο της ομάδς υτής, που έχει! το πλήθος στοιχεί, κι συμολίζετι με το, είνι η τυτοτική μετάθεση S Η ντίστροφη της είνι η Μί μετάθεση της μορφής κλείτι κυκλική μετάθεση Την κυκλική μετάθεση την συμολίζουν Μί κυκλική μετάθεση, που ορίζετι σε έν σύνολο δύο ντικειμένων, κλείτι ντιμετάθεσις rapoiio K Με k συμολίζουμε την πεικόνιση του k στον ευτό του Πράγοντες υτής της μορφής, πρλείποντι ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

2 Στις προτάσεις που κολουθούν, ντί γενικής ποδείξεως, θ δίδουμε έν πράδειγμ, μέσ πό το οποίο θ γίνετι φνερός ο γενικός λγόριθμος, που ποδεικνύει την πρότση ΠΡΟΤΑΣΗ Μί μετάθεση πρίσττι ως γινόμενο νεξρτήτων κυκλικών μετθέσεων Ανεξρτήτων σημίνει ότι δεν έχουν κοινά στοιχεί Πράδειγμ Εχουμε λοιπόν, ότι, ΠΡΟΤΑΣΗ Δύο ντιμετθέσεις, που δεν έχουν κοινό στοιχείο ντιμεττίθεντι Πράδειγμ Είνι, μιά κι ΠΡΟΤΑΣΗ Κάθε κυκλική μετάθεση, πρίσττι ως γινόμενο ενός ελχίστου ριθμού ντιμετθέσεων Πράδειγμ Είνι, Επίσης, Βλέπουμε ότι, η πράστση μιάς μετθέσεως ως γινόμενο ντιμετθέσεων, δεν είνι μονδική Το πλήθος όμως των πργόντων στους οποίους υτή νλύετι, είνι το ολιγότερο Πράγμτι, το πλήθος υτό μπορεί ν υξηθεί, ν πολλπλσιάσουμε το γινόμενο των πργόντων πό το ζεύγος των κυκλικών μετθέσεων μ ν μ ν ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Κάθε μετάθεση πρίσττι ως γινόμενο k r ντιμετθέσεων, κτ ελάχιστον, όπου r είνι το πλήθος των τυτοτικών κύκλων που περιέχει, κι k το πλήθος των στοιχείων που μετάλλει Πχ στην μετάθεση της προτάσεως, έχουμε, 8, r κι k Είνι πράγμτι,, ντιμετθέσεις σύμφων με τον κνών k r Μί μετάθεσις νλύετι σε γινόμενο είτε ρτίου είτε περιττού πλήθους ντιμετθέσεων Το πλήθος των ντιμετθέσεων εις το οποίον νλύετι μί μετάθεσις κτά την πργοντοποίησή της, είνι k r+, όπου τυχόν φυσικός Ακριώς το ίδιο πλήθος πργόντων έχει κι η ντίστροφος υτής μετάθεσις Ορισμός Αρτί κλείτι εκείνη η μετάθεσις, η οποί νλύετι σε γινόμενο ρτίου πλήθους πργόντων Περιττή, εκείνη η οποί νλύετι σε γινόμενο περιττού πλήθους πργόντων Εξ ορισμού, η τυτοτική είνι πάντοτε ρτί Το σύνολο περιέχει S! άρτιες κι! περιττές μετθέσεις

3 Μί κυκλική μετάθεση είνι ρτί ή περιττή νάλογ με το ν το πλήθος των στοιχείων στ οποί υτή δρά είνι περιττό ή άρτιο Αν μί μετάθεση είνι ρτί, τότε κι η ντίστροφός της είνι ρτί Το ίδιο σημίνει κι στην περίπτωση περιττής μετάθεσης είνι ρτί μετάθεση Είνι πχ η ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ν ρεθεί το είδος της διτάξεως Λύση Στη διάτξη υτή, ντιστοιχεί η μετάθεση γινόμενο πργόντων κυκλικών μετθέσεων:, που είνι περιττή μετάθεση Την γράφουμε ως Το είδος μιάς μετθέσεως, ευρίσκετι κι πό το πόσες φορές η μετάθεσή μς λλάζει το + πρόσημο του πολυωνύμου, ++ + πράγοντες, i j i< j Ετσι, πχ γιά την μετάθεση, ότν υτή δράση πάνω στους δείκτες του ρχικού πολυώνυμου δίδει το Το πολυώνυμο που προκύπτει, ισούτι με το ρχικό, μιά κι λλάζει δύο φορές πρόσημο Συνεπώς η σημειούμενη μετάθεση, είνι ρτί Ορίζουσες Μί πργμτική συνάρτηση Δ a, a, K, a όπου a, a, K, a V, V R κλείτι ορίζουσ τάξεως, νν πληροί τις πρκάτω συνθήκες: i Η Δ είνι γρμμική ως πρός κάθε μί μετλητή a i Ισχύει δηλδή ότι, Δ a, K, λa + ξb,,a λ Δ a, K,a, K,a + ξδa, K, b,,a i i K O - i i K Δ a, K, a i, K, a j, K, a ii Αν a γιά κάποιους δείκτες i κι j i j, τότε i a j iii Δ e, e, K, e όπου e, e, K, } η διτετγμένη κνονική άση του { e ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Δ a, K, a i, a i+, K, a Δ a, K, a i+, a i, K, a Αν κάποιο πό τ δινύσμτ είνι το μηδενικό διάνυσμ, τότε a i R Δ a, a, K, a Αν η κολουθί των b, b, K, b λίνετι πό την κολουθί των a, a, K, διά της μετθέσεως του κτά k θέσεις προς τ ριστερά ή τ δεξιά είνι, a Δ b, b, K, Δ a, a, K, a b a i k ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γιά, θεωρούμε το τυχόν διάνυσμ e R Είνι τότε, Δe Δe Γιά, θεωρούμε τ τυχόντ διάνυσμ a e + e κι a e + e R Είνι τότε, Δ a, a Δ e + e, e + e Δ e, e + e + Δ e, e + e Δ e, e + Δ e, e + Δ e, e + Δ e, e Δ e, e Δ e, e

4 Γράφουμε κι Δ Γιά, θεωρούμε τ τυχόντ διάνυσμ a e + e + e, a e + e + e κι a e + e + e R Γιά ν υπολογίσουμε την Δ a, a, a πρτηρούμε ότι κάθε a, i,,, δίδει τρείς όρους Η Δ a, a, συνεπώς νλύετι σε έν άθροισμ i a i j k i j ek 7 όρων της μορφής Δ e, e, Ομως, οι όροι, που έχουν i j είτε j k είτε k i, ισούντι με μηδέν Απομένουν συνεπώς! μη μηδενικοί όροι, που ντιστοιχούν στις! διφορετικές διτάξεις των,, Είνι, λοιπόν, Δ a, a, a Δ e, e, e + Δ e, e, e + Δ e, e, e + Δ e, e, e + Δ e, e, e + Δ e, e + +, e Γράφουμε κι Δa,a,a Από τους πρπάνω υπολογισμούς, προκύπτει ότι: Η Δ a, a, a έχει ως τιμή έν άθροισμ πό! όρους, όσες οι διτάξεις των,, Το πρόσημο εκάστου όρου είνι + ή, νάλογ με το ν η διάτξη p,, που ποτελεί τους δεύτερους δείκτες κάθε όρου, οι πρώτοι δείκτες είνι πάντ στην διάτξη,, είνι ρτί ή περιττή Στην γενική περίπτωση έχουμε λοιπόν, Δ a, a, K, p p p όπου το a σημειούμενο άθροισμ έχει! όρους, κι p είνι + ή νάλογ με το ν η σημειούμενη μετάθεση p είνι ρτί ή περιττή p πρόσημο της p Οι πρπάνω υπολογισμοί, δείχνουν ότι, υπάρχει το πολύ μί συνάρτηση Δ, που ν πληροί τις ρχικές συνθήκες i, ii κι iii Εύκολ ποδεικνύετι κι το ντίστροφο Οτι δηλδή, ν ορίσουμε την Δ πό την σχέση Δ a, a, K, p p p a τότε η συνάρτηση Δ: V R έχει τις ιδιότητες i, ii κι iii Η Δ κλείτι ορίζουσ του πίνκ A O Γράφουμε κι Δ Δ dea, κι κλούμε την Δ, στην μορφή του πρπάνω θροίσμτος, νάπτυγμ της ορίζουσς του πίνκ Α Οι ιδιότητες i, ii κι iii ότν εφρμόζοντι επί της Δ, ερμηνεύοντι ως εξής: i Η τιμή της Δ πολλπλσιάζετι επί λ, ν ντικτστήσουμε κάθε όρο μιάς οισδήποτε λ γρμμής της ντ κολών της με λ φορές τον όρο υτό λ Αν όλοι οι όροι μιάς γρμμής ντ κολώνς της Δ είνι λδ O άθροισμ δύο όρων, τότε η Δ ισούτι με το άθροισμ δύο οριζουσών, κάθε μί περιέχουσ την γρμμή που σχημτίζουν οι όροι του θροίσμτος Πχ

5 + O + O ii Μί ορίζουσ που έχει δύο ίδιες γρμμές ντ κολώνες ισούτι με μηδέν Η ενλλγή δύο διδοχικών γρμμών ντ κολωνών έχει σν συνέπει της λλγής του προσήμου της Δ iii Είνι δ + O ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δ ΠΡΟΤΑΣΗ Αν A ji, τότε είνι κι dea dea Απόδειξη Κι οι δύο ορίζουσες έχουν! όρους στ νπτύγμτά τους Ενς πό τους όρους της dea είνι ο p p p Σ υτόν, ντιστοιχεί ο όρος p p p της deα Πρτηρούμε ότι, η ντιστοιχί p p p a p είνι η p a p Αρ είνι κι οι δύο άρτιες, ή κι οι δύο περιττές μετθέσεις Αρ σε κάθε όρο της dea, ντιστοιχεί όρος της de A, με το ίδιο πρόσημο Τέλος, κάθε όρος του νπτύγμτος της dea περιέχει έν στοιχείο που νήκει σε κριώς μί γρμμή κι μί κολών Το ίδιο όμως ισχύει κι γιά την de A Κάθε όρος συνεπώς στο νάπτυγμ της πρώτης ορίζουσς, έχει τον ντίστοιχό του στο νάπτυγμ της δεύτερης, κι οι όροι υτοί, εμφνίζοντι στ ντίστοιχ νπτύγμτ, με τ ίδι πρόσημ Ορισμοί Αν πό τον πίνκ Α της ορίζουσς Δ dea πρλείψουμε την γρμμή κι την κολών που περιέχουν το στοιχείο προκύπτει ένς πίνκς A, που κλείτι, όπως κι η ορίζουσά του, ελάσσων mior της Δ που ντιστοιχεί στο στοιχείο i+ j Ο ριθμός de A κλείτι συντελεστής cofacor ή λγερικό συμπλήρωμ C ή A κτάχρηστικά, χρησιμοποιούμε το ίδιο σύμολο του στοιχείου Τάξη της Δ κλείτι το πλήθος των γρμμών ή των στηλών της ΠΡΟΤΑΣΗ Ισχύουν οι σχέσεις: κτά τ στοιχεί της i γρμμής κι i i i i i i jaj + ja j + ja j Δ A + A + K + A νάπτυγμ της Δ Δ K + νάπτυγμ της Δ κτά τ στοιχεί της j κολώνς Απόδειξη Θεωρούμε κτ ρχήν την περίπτωση i νάπτυγμ της Δ κτά τ στοιχεί της πρώτης γρμμής Είνι, a e + e + K + Αρ κι Δ e a, a, K, a Δ e + K + e, a, K, a Δ e, a, K, a + Δ e, a + K + e + K + Δ e, a + K + e Aj Δ e j, a, K, a γι κάθε j,, Αρκεί ν δείξουμε ότι, Ας δείξουμε την A Δ e, a, K, Είνι, a

6 Δ e, a, K, p δ Οι μη μηδενικοί όροι του θροίσμτος a p p p υτού, είνι εκείνοι που έχουν στο δ δείκτες i, pi με i pi, κι γιά τους οποίους έχουμε ότι, Το προηγούμενο άθροισμ μεττρέπετι συνεπώς, στο δ i, i p p p Πχ γι, έχουμε τους όρους δ + δ + δ δ δ δ δ + δ Το p p p όμως, είνι ο Α Δείξμε συνεπώς ότι, O M M M M Ομοι έχουμε ότι, Δ a, e, K, a A κι γενικά, + j, K, e j,, a Aj Δ a K Δείξμε λοιπόν ότι, Δ A + A + K + A Ανάλογ εργζόμστε γιά το νάπτυγμ ως προς τ στοιχεί της i-γρμμής ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τ δύο προηγούμεν νπτύγμτ, γράφοντι κι στην μορφή k ik A jk δ Δ κι A δ Δ k kj ki ji ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ + + de de + de + + ΠΟΡΙΣΜΑ Αν ο πίνκς Α είνι άνω ή κάτω τριγωνικός, τότε η dea ισούτι με το γινόμενο των διγωνίων στοιχείων του Ορισμοί Αν πό τον πίνκ Α μιάς ορίζουσς Δ επιλέξουμε k γρμμές κι k κολώνες, σχημτίζουμε μί k τάξεως ελάσσων Μ της ορίζουσς Οι υπόλοιπες k γρμμές κι k κολώνες σχημτίζουν μί k τάξεως ορίζουσ, η οποί κλείτι συμπλήρωμ της Μ Στην περίπτωση, που k, έχουμε τις ορίζουσες de κι de A A Γι ν λάουμε μί έννοι νάλογο με υτήν του cofacor, θεωρούμε το λγερικό συμπλήρωμ της Μ, που είνι το συμπλήρωμ της Μ με κτάλληλο πρόσημο Το πρόσημο υτό δίδετι πό το m όπου m k+l, k το άθροισμ των δεικτών των επιλεγμένων στύλων, κι l το άθροισμ των δεικτών των επιλεγμένων γρμμών

7 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η Δ Αν λάουμε την ελάσσων M, τότε, το συμπλήρωμά της είνι η N, κι το λγερικό της συμπλήρωμ, η N ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γενίκευση του προηγούμενου νπτύγμτος κτά τ στοιχεί μιάς γρμμής ή κολώνς μιάς ορίζουσς Δ, ποτελεί το κτά aplace νάπτυγμά της: Από την Δ λίνουμε όλες τις k τάξεως ελάσσωνες, πολλπλσιάζουμε κάθε μί π υτές επί το λγερικό της συμπλήρωμ, κι σχημτίζουμε το άθροισμ όλων των προηγούμενων γινομένων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ν υπολογίσετι την ορίζουσ Δ Επειδή σε δύο κολώνες εμφνίζοντι ρκετά μηδενικά, θ νπτύξουμε κτά aplace με ελάσσωνες τάξεως Το πλήθος υτών είνι, όσες οι επιλογές των πό τ Είνι δηλδή,! Σ υτές τις ελάσσωνες, περιλμάνοντι κι ρκετές μηδενικές Γι ν τις!! ρούμε, μζεύουμε όλ τ μηδενικά στοιχεί στην άνω ριστερή γωνί, μετκινώντς κτάλληλ τις γρμμές κι τις κολώνες, οπότε η Δ ισούτι με Δ Φνερά, τώρ, οι μη μηδενικές ελάσσωνες τάξεως, είνι υτές που περιέχουν τις γρμμές κι, κι, κι Στο κτά aplace λοιπόν νάπτυγμ της Δ, εμφνίζετι το άθροισμ των όρων:, κι

8 8 Γι ν ρούμε το πρόσημο κάθε όρου, πρτηρούμε ότι: Ο πρώτος όρος, περιέχει στοιχεί της τάξεως ελάσσωνος πό την η, η γρμμή, κι την η, η κολών Ο δεύτερος όρος πό την η, η γρμμή, κι την η, η κολών Ο τρίτος όρος, πό την η, η γρμμή κι την η, η κολών Αρ το πρόσημο του πρώτου όρου είνι, του δεύτερου όρου είνι, κι του τρίτου όρου είνι Είνι λοιπόν, Δ Αρ Δ 9 ΠΟΡΙΣΜΑ Αν τον πίνκ Α της ορίζουσς Δ, μπορούμε ν τον χωρίσουμε σε τέσσερ τμήμτ Α, Β, Α Β σε τρόπο ώστε, κάθε έν πό τ τμήμτ υτά ν είνι ένς τετργωνικός πίνκς, τότε ισχύει ότι, Α Β Δ ΑΒ ΑΒ Α Β ΘΕΩΡΗΜΑ Ανγκί κι ικνή συνθήκη γι ν είνι το σύνολο { a, a, K, a } γρμμικά εξρτημένο, είνι η Δ a, a, K, a Απόδειξη Το { a, a, K, a } είνι γρμμικά εξρτημένο Τότε κάποιο πό τ a, έστω το, γράφετι ως γρμμικός συνδυσμός των υπολοίπων Τότε όμως Δ a k Εστω Δ Υποθέτουμε κτ ρχήν, ότι γι κάποιο στοιχείο είνι A Είνι, Δ A, i,, Αρ κι A pj a j Η σχέση υτή δείχνει ότι το j σύνολο { a, a, K, a } είνι γρμμικά εξρτημένο Τώρ, γι την περίπτωση, που δεν έχουμε μη μηδενικό A, λλά έι δεν είνι όλ τ a j, θ υπάρχει κάποιος δείκτης r pj γι τον οποίο, η r τάξεως ελάσσων Μ είνι Η Μ σχημτίζετι πό τ μη μηδενικά δινύσμτ a Μπορούμε ν θεωρούμε την Μ στην άνω ριστερή γωνί του πίνκ της Δ Είνι λοιπόν, Μ kl, l,,r, r < Αυξάνουμε τώρ την τάξη του Μ κτά, χρησιμοποιούντες στοιχεί πό κάποιο μηδενικό a Η ορίζουσ του επυξιμένου υτού πίνκ, είνι τότε, ίση με μηδέν Είνι συνεπώς, Δ A, κι συνεπώς, το σύνολο, a, K, εξρτημένο { a a r+ } j r+ j είνι γρμμικά εξρτημένο Αρ κι το ρχικό σύνολο είνι γρμμικά ΠΑΡΑΔΗΓΜΑΤΑ Είνι, Δ δ Η ορίζουσ του Vadermode pq pq Δ M M M M Γι κι έχουμε ντίστοιχ, Δ κι Δ Γι είνι, Δ κι υτή είνι έν πολυώνυμο του έστω, δευτέρου θμού Πρτηρούμε ότι, γι

9 9 ή η Δ μηδενίζετι Αρ οι τιμές κι είνι ρίζες του πολυωνύμου υτού Είνι λοιπόν, Δ Α Ο συντελεστής Α δεν είνι άλλος πό τον C Αρ Δ Ομοι ρίσκουμε ότι, Δ O - i j i< j ΘΕΩΡΗΜΑ Ισχύει ότι, deab deadeb ΑΒ είνι το γινόμενο των πινάκων Α κι Β Τον ορισμό του γινομένου υτού, τον δίδουμε πρκάτω Απόδειξη Θ κάνουμε την πόδειξη γι ορίζουσ τάξεως μιά κι πρόμοι είνι η πόδειξη γι ορίζουσ τάξεως Γράφουμε πρώτ, το deadeb όπως φίνετι dea deb δίπλ Μηδενίζουμε στη συνέχει, τις θέσεις που κτέχουν τ Τούτο επιτυγχάνετι, ν πολλπλσιάσουμε την γρμμή διδοχικά επί,, κι την προσθέσουμε στις γρμμές, κι, οπότε θ μηδενιστούν τ,, Στη συνέχει, πολλπλσιάζουμε την γρμμή διδοχικά επί,, κι την προσθέτουμε στις γρμμές,,, οπότε θ μηδενιστούν τ,, Τέλος πολλπλσιάζουμε την γρμμή διδοχικά επί,, κι την προσθέτουμε στις γρμμές, κι, οπότε θ μηδενιστούν τ,, κι θ έχουμε τελικά, την ορίζουσ, dea deb K K K η οποί, ν την νπτύξουμε κτά aplace, ισούτι με την που είνι η deab ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν προσδιορίσετε ν κι κτά πόσον, τ πρκάτω σύνολ δινυσμάτων, είνι σύνολ γρμμικά εξρτημέν {,,,,,,,,,,,,,,, } {,,,,,,, 7, } γ {,,,,,,,, + } Αντιστροφή ορίζουσς Εστω ο πίνκς Α, με dea Ο συνδεδεμένος adjoi πίνκς του Α, είνι ο πίνκς adja A Θεωρούμε το γινόμενο C A Το ji ji

10 στοιχείο c του πίνκ C, είνι το c Α Εχουμε όμως, λέπε πρτήρηση, σελ k, ότι, deα δ Α δ A Ο πίνκς C έχει συνεπώς ως στοιχεί, τ k ik jk k ki kj ik c dea Αρ, λέπε πρ, σελ, dec de A Η dec deadeadja δ δίδει συνεπώς, την deadja dea kj Τύπος του Cauchy Από τον τύπο του Cauchy έπετι κι η σχέση dea deadja dea, που χρησιμοποιείτι γιά τον υπολογισμό του ντιστρόφου A του πίνκ Α Είνι, dea dea, ή de A dea, ή dea dea dea Αρ, dea deadja dea Στοιχειώδεις πράξεις επί των γρμμών Πάνω στον πίνκ Α εκτελούμε τις τρεις στοιχειώδεις πράξεις λέπε ενότητ ΠΙΝΑΚΕΣ ή ενότητ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ κι θέλουμε ν δούμε με ποιόν τρόπο υτές επιρρεάζουν την τιμή της ορίζουσς Δ του πίνκ Η ντιμετάθεση δύο γρμμών του Α λλάζει το πρόσημο της Δ Συνεπώς, ν κάνουμε r ντιμετθέσεις, η τιμή της Δ γίνετι Ο πολλπλσισμός μιάς γρμμής επί λ, λλάζει την Δ σε λδ Η ντικτάστση της γρμμής l με το άθροισμ l + l κ όπου l κ κάποι άλλη γρμμή του πίνκ Α, δεν μετάλει την τιμή της Δ Πράγμτι, έστω πχ A κι Β Είνι deβ de + de dea ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υπολογίστε την ορίζουσ A 8 8 Έχουμε, dea 8 8 de de 8

11 de 8 de 9 8 de de de de Ο τελευτίος πίνκς είνι τριγωνικός Άρ, dea 9 Κυρί ελάσσων Έστω ο πίνκς Α Κάθε r r, r, υποπίνκς του Α, κλείτι ελάσσων υποπίνκς του Α Ένς ελάσσων υποπίνκς του Α προκύπτει πό τον πίνκ Α, ν φιρέσουμε τις r γρμμές κι τις ντίστοιχες r κολώνες του Από τον πίνκ Α, λοιπόν, είνι δυντόν ν προκύψουν!, διφορετικοί κύριοι ελάσσονες υποπίνκες r r!r! Κυρί ελάσσων ορίζουσ pricipal mior είνι η ντίστοιχος ορίζουσ Γι τον πίνκ Α του προηγούμενου πρδείγμτος, έχουμε κυρίες ελάσσονες τις ορίζουσες ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ο A Από τον Α προκύπτουν οι εξής διφορετικοί ελάσσονες πίνκες: Γι r, de A Γι r, φιρώντς διφορετική γρμμή κολών κάθε φορά, έχουμε τις ορίζουσες de, κι, τέλος, γι - de de 9 r φιρώντς διφορετικές γρμμές κολώνες κάθε φορά, έχουμε τις ορίζουσες, που δεν είνι άλλες πό τ διγώνι στοιχεί του πίνκ Α