Ιςίδωροσ Ροδομαγουλάκθσ Αλγόρικμοι Δικτφων και Πολυπλοκότθτα K-median

Transcript

1 Ιςίδωροσ Ροδομαγουλάκθσ Αλγόρικμοι Δικτφων και Πολυπλοκότθτα 00-0 K-median Επιςκόπθςθ του κεφαλαίου 5 από το βιβλίο «Approximation algorithms» του V. Vazirani

2 56 c c 6 c c Metric Uncapacitated Facility Location c Ζςτω ο διμερισ γράφοσ G=(F,C) F { f, f, f } : το ςφνολο των facilities(κζντρων) C { c, c, c, c, c, c } : το ςφνολο των πόλεων 5 6 Κάθε πόλθ πρζπει να εξυπθρετθκεί/ςυνδεκεί ςε ένα από τα F κζντρα ζτςι ώςτε να ελαχιςτοποιείται το ςυνολικό κόςτοσ ςυνδζςεων ςε ςυνδυαςμό με το κόςτοσ ανοίγματοσ των κζντρων I F που χρθςιμοποιοφνται. ii c ij f i ii y i το κόςτοσ ανοίγματοσ του κζντρου i c ij j C το κόςτοσ ςφνδεςθσ τθσ πόλθσ j με το κζντρο i c c 5 6 c 6 Metric case : Ιςχφει θ τριγωνικι ανιςότθτα ςτα κόςτθ ςφνδεςθσ

3 56 c c 6 c c Γραμμικόσ προγραμματιςμόσ x ij Μεταβλητέσ Πρωτεφοντοσ : αλθκζσ όταν θ πόλθ j είναι ςυνδεδεμζνθ με το κζντρο i y i : αλθκζσ όταν το κζντρο i είναι ανοικτό a i Μεταβλητέσ Δυϊκοφ : το ςυνολικό κόςτοσ ςφνδεςθσ τθσ πόλθσ i ij : θ ςυνειςφορά τθσ πόλθσ j ςτο άνοιγμα του κζντρου i

4 56 c c 6 c c Ερμθνεία Περιοριςμών xij j C κάκε πόλθ πρζπει να ςυνδεκεί τουλάχιςτον ς ζνα κζντρο if οι πόλεισ ςυνδζονται μόνο ςε ανοικτά κζντρα y i x i F j C ij Slackness Conditions Για να ςυνδεκεί μία πόλθ ς ζνα κζντρο πρζπει ςυνειςφζρει για το άνοιγμα του και να πλθρώςει τθ ςφνδεςι τθσ Για να ανοίξει το κζντρο i πρζπει να ςυνειςφζρουν για τθν εκπλιρωςθ του κόςτουσ ανοίγματοσ όλεσ οι ενδιαφερόμενεσ πόλεισ Οι πόλεισ ςυνειςφζρουν μόνο για το κζντρο που τελικά ςυνδζονται

5 56 c c 6 c c Εκτιμθτικόσ Αλγόρικμοσ Primal-dual ςχιματοσ Βρίςκουμε επαναλθπτικά βζλτιςτεσ ακζραιεσ λφςεισ ςτο πρωτεφον γραμμικό πρόγραμμα φράηοντάσ τεσ με εφικτζσ λφςεισ του δυϊκοφ του. υνικωσ οι προςεγγιςτικοί αλγόρικμοι που προκφπτουν είναι πιο γριγοροι από αυτοφσ που προκφπτουν από τθ ςτρογγυλοποίθςθ τθσ κλαςματικισ λφςθσ του πρωτεφοντοσ προβλιματοσ Ειδικά για το facility location, ο χρόνοσ εκτζλεςθσ είναι τθσ τάξθσ του O(m*logm) όπου m το πλικοσ των ακμών και ο λόγοσ προςζγγιςθσ που πετυχαίνει είναι <=

6 56 c c 6 c c Περιγραφι του Αλγορίκμου Κατά τθ Φάςθ βρίςκει μία εφικτι λφςθ για το δυϊκό πρόβλθμα μεγιςτοποίθςθσ του a. Κατά τθ Φάςθ βρίςκει μία ακζραια λφςθ xji yi του πρωτεφοντοσ προβλιματοσ βάςθ του κάτω ορίου που ζδωςε θ Φάςθ Οι πόλεισ αρχίηουν και πλθρώνουν ίςα ποςά ανά χρονικό βιμα ώςπου να ςυνδεκοφν ς ζνα κζντρο και να ςυνεχίηουν να πλθρώνουν ώςπου αυτό να ανοίξει προςωρινά τθ Φάςθ ελζγχεται αν κάποιεσ πόλεισ ςυνδζονται ςε περιςςότερα από ζνα προςωρινά ανοικτά κζντρα και τότε επιλζγεται μόνο ζνα υποςφνολο από αυτά jc j ( {0,}, {0,})

7 Phase t = 0 s Unconnected cities G ( F, C) F { f, f, f} C { c, c, c, c, c, c } 5 6 f f f Closed Facilities 6 Ο χρόνοσ t μοντελοποιεί τισ ςταδιακζσ αυξιςεισ ςτθ διχκι μεταβλθτι a j των πόρων που προςφζρει κάκε πόλθ j για να ενωκεί 5

8 t Phase = t = Unconnected cities a j ji a j 0 Closed Facilities payment tight 6 Οι πόλεισ,5 και 6 εκπλιρωςαν το κόςτοσ ςφνδεςισ τουσ και κεωροφνται «δεμζνεσ» 5

9 t Phase = t = Unconnected cities a a j j 6 6 Connected cities Closed Facilities payment tight special 6 0 Οι «δεμζνεσ» πόλεισ αρχίηουν να προςφζρουν ςτο άνοιγμα των κζντρων ςτα οποία ςυνδζονται 5

10 Phase t = Connected cities a a j j 6 Temporary opened payment tight special Σα κζντρα που πλθρώκθκαν εξολοκλιρου ονομάηονται «προςωρινά ανοιχτά» και οι πόλεισ που ςυνειςζφεραν «ςυνδεδεμζνεσ» 5

11 t Phase = T ( G, E( G) ' special ') T (V( T),E( T) {( m, n), E( m, i) & E( i, n) }) iv( T) Connected cities Temporary opened special 6 Όταν μία πόλθ ζχει ςυνειςφζρει ςτο άνοιγμα δφο κζντρων τότε το ζνα πρζπει να κλείςει. Η επιλογι είναι τυχαία.

12 t Phase = Λφςθ / Connected cities Opened H ( T,V( T ) F) S MIS( H ) { f, f } { f, f } special 6 Επίλεξε ςαν maximal independent set το { f, f} ςτον υπογράφο H που περιζχει μόνο τα κζντρα. Ζτςι, το «προςωρινά ανοικτό» κζντρο f κλείνει και θ πόλθ 5 ςυνδζεται «ζμμεςα» με το ποιο κοντινό, το f

13 t Phase = Λφςθ / Direct connected Indirect connected d a c b f a c b c a b f e c a j d f c d a b c d * c c * a e ji j e c jix ji * a j if, jc jc c jix ji fi yi * a j if, jc if jc Θεώρθμα.7

14 Από το facility location ςτο K-MEDIAN

15 56 c c 6 c c Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ για το k-median () Πρωτεφων Δχικό

16 56 c c 6 c c Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ για το k-median () Οι μεταβλθτζσ (x,y) ςτο πρωτεφον πρόβλθμα ζχουν τθν ίδια ςθμαςία με τισ αντίςτοιχεσ το facility location To k-median ανάγεται ςτο facility location αν κζςουμε το κόςτοσ ανοίγματοσ fi κάκε κζντρου ίςο με z και βροφμε βζλτιςτθ κλαςματικι λφςθ με k κζντρα τθ βζλτιςτθ λφςθ (x,y) του facility location ιςχφει c x zy a ij ij i j if, jc if jc υνεπώσ θ λφςθ (x,y) είναι βζλτιςτθ και για το k-median εφόςον ιςχφει το κριτιριο τθσ δχικότθτασ c x a zy ij ij j i if, jc jc if Αρκεί να βροφμε λφςθ ςτο facility location με yi k και κα ζχουμε if κλαςματικι λφςθ για το k-median εώσ τρεισ φορέσ χειρότερθ από τθ βζλτιςθ

17 56 c c 6 c c Αναηιτθςθ λφςθσ με k κζντρα Αυξάνοντασ/μειώνοντασ το κόςτοσ z o αλγόρικμοσ για το facility location χρθςιμοποιεί λιγότερα/περιςςότερα κζντρα k Γίνεται Δυαδικι Αναηιτθςθ ςτο διάςτθμα z 0, ncmin για εφρεςθ λφςεων s s l l ( x, y ) και ( x, y ) ςτισ οποίεσ χρθςιμοποιικθκαν κζντρα k k k με κόςτθ z με z z ( c / n ) z ( x, y) a( x min s s Η λφςθ είναι νόμιμθ για το k-median αν το k ak k είναι το ηθτοφμενο είτε μικρότερο, y ) b( x l, y l )

18 56 c c 6 c c φάλμα προςζγγιςθσ Η προςζγγιςθ για το k-median είναι ζωσ (/ n c ) φορζσ χειρότερθ από τθ βζλτιςτθ κλαςματικι λφςθ όπου n c το πλικοσ των πόλεων

19 56 c c 6 c c Συχαία τρογγυλοποίθςθ τθσ κλαςματικισ λφςθσ () s s l l ( x, y) a( x, y ) b( x, y ) θ προςεγγιςτικι κλαςματικι λφςθ α,β : το ποςοςτό ςυμμετοχήσ των δφο λφςεων του facility location με και ςτη λφςη του k-median k k k k A,B τα ςφνολα των κζντρων για τισ δφο λφςεισ αντίςτοιχα και B τα πιο κοντινά κζντρα του Β ςτα κζντρα του Α Επιλζγεται τυχαία από τα Α,Β με πικανότθτεσ α και β=-α αντίςτοιχα ζνα ςφνολο k κζντρων και ςυμπλθρωματικά ζνα ςφνολο k-k κζντρων από το B-B I ( A' A) ( B'' B') ( B''' B B') I k

20 56 c c 6 c c Συχαία τρογγυλοποίθςθ τθσ κλαςματικισ λφςθσ () Μζνει να βροφμε τθν αντιςτοίχθςθ κάκε πόλθσ ςε ζνα από τα k κζντρα f I :C I cc a 0.6, b 0. k, k 5, k (), () 5 () 7, () (5)

21 56 c c 6 c c Αναμενόμενο Κόςτοσ Ακζραιασ Λφςθσ Σο κόςτοσ ςφνδεςθσ τθσ πόλθσ j ςτθν κλαςματικι λφςθ είναι Σο αναμενόμενο κόςτοσ ςφνδεςθσ ςτθν ακζραια λφςθ είναι οσ τρόποσ ςφνδεςθσ: οσ τρόποσ ςφνδεςθσ: υνολικά Η ακζραια λφςθ είναι το πολφ κατά +max(a,b) χειρότερθ από τθν κλαςματικι

22 56 c c 6 c c Αφαίρεςθ Συχαιότθτασ (Derandomization) Εφρεςθ ακζραιασ λφςθσ ελαχίςτου κόςτουσ με δοκιμζσ μζςω του αναμενόμενου κόςτουσ υπο ςυνκικθ Σα βιματα τυχαίασ επολογισ κζντρων και ςυνδζςεων αντικακίςτανται από επιλογζσ που δίνουν το μικρότερο κόςτοσ ο βιμα: Ανοιξε τα κζντρα του A ι του Β ανάλογα με το μικρότερο αναμενόμενο κόςτοσ min( E[ A, D], E[ B', D]), k ο βιμα: Βάςθ των ιδθ επιλεγμζνων κζντρων από το βιμα, διάλεξε τα υπόλοιπα k k κζντρα από το Β-Β δοκιμάηοντασ και ελαχιςτοποιώντασ το κόςτοσ υπο ςυνκικθ E[ D { i}, B ( B' D { i}] D B B', D k k D B B', D k k E[ D, B ( B' D]

23 56 c c 6 c c Σαχφτθτα και υντελεςτισ Εκτίμθςθσ Ο αλγόρικμοσ είναι 6-προςεγγιςτικόσ θ προςζγγιςθ που δίνει ο αλγόρικμοσ του facility location n c max( a, b) θ κλιμάκωςθ του κόςτουσ φςτερα από τθν τυχαία ςτρογγυλοποίθςθ max( a, b) Σο άνω φράγμα για το είναι υνολικά, ο ςυντελεςτισ προςζγγιςθσ είναι Ο χρόνοσ εκτζλεςθσ είναι τθσ τάξθσ O( mlog m( L log n)) O( mlog m) για τον αλγόρικμο του facility location O(log ( / )) ( log ) για τθ δχαδικι αναηιτθςθ των n cmax cmin O L n Η τυχαία ςτρογγυλοποίθςθ χρειάηεται O(n) To derandomization χρειάηεται O(m) n c ( )( ) 6 n c n c k k

24 56 c c 6 c c Tight Example Για τθν επαλικευςθ του 6-προςεγγιςτικοφ αλγόρικμου δεν υπάρχει οικογζνεια παραδειγμάτων παρα μόνο για τθν επαλικευςθ τθσ προςζγγιςθσ που δίνει θ τυχαία ςτρογγυλοποίθςθ