ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις με βάση >0 κι εκθέτη πργμτικό ριθμό, οι οποίες είνι επίσης πργμτικοί ριθμοί. Π.χ. 4,78805 (είνι άρρητος κι εκφράζετι κτά προσέγγιση) Γι τις δυνάμεις υτές ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων: : όπου,β>0 ( ) ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f ()=,>0 κι λέγετι εκθετική συνάρτηση Κάθε συνάρτηση της μορφής : με βάση το Πεδίο ορισμού: Α=R. Σύνολο τιμών : f(a)=(0, +). Μονοτονί : ν > τότε είνι γνησίως ύξουσ ( ) ν 0<< τότε είνι γνησίως φθίνουσ ( ) Επίσης ισχύει ότι:. Γρφική πράστση: Κμπύλη όπως στ πρκάτω: O O > () 0<< (β) Αν =e, δηλδή η συνάρτηση f()=e, λέγετι πλά εκθετική συνάρτηση κι ισχύουν τ νάλογ. (e>) 5

2 Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = με 0 < έχει πεδίο ορισμού Α. το διάστημ [ 0, ) Β. το διάστημ ( 0, ) Γ. το σύνολο R - {} Δ. το σύνολο R Ε. το σύνολο R * X. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = είνι Α. το διάστημ [ 0, ) Β. το διάστημ (, 0] Γ. το διάστημ (, 0) Δ. το διάστημ ( 0, ) Ε. το σύνολο R * f =. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = είνι Α. το διάστημ [ 0, ) Β. το διάστημ (, 0] Γ. το διάστημ (, 0] Δ. το σύνολο R * Ε. το διάστημ ( 0, ) f = - X 4. Έστω η συνάρτηση f () =. Ποι πό τις πρκάτω προτάσεις είνι σωστή; Α. η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημ ( 0, ) Β. η f έχει σύνολο τιμών το σύνολο R Γ. η f είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισμού της Δ. η γρφική της πράστση τέμνει τον στο σημείο Α(0, ) Ε. η γρφική της πράστση έχει σύμπτωτη τον ρνητικό ημιάξον των. 5. Έστω η συνάρτηση με τύπο f () = Α. η f είνι γνησίως ύξουσ στο R Β. η f είνι γνησίως φθίνουσ στο R Γ. η f είνι γνησίως ύξουσ στο ( 0, ). Ποι πό τις πρκάτω προτάσεις είνι σωστή; Δ. η γρφική πράστση της f τέμνει τον στο σημείο Μ (0, /) Ε. η γρφική πράστση της f τέμνει τον στο σημείο Ν (, 0) 5

3 6. Η γρφική πράστση της συνάρτησης με τύπο g () = γρφική πράστση της f () = X 5 ως προς 5 είνι συμμετρική με την 5 A. τον άξον B. τον άξον g = 5 4 f = 5 Γ. την ευθεί = 5 Δ. την ευθεί = 5 Ε. κέντρο το Ο(0, 0) - X 7. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () > f () B. f () < f () Γ. f () f () Δ. f () = f () E. f () = f () 8. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () < f () Β. f () f () Γ. f () > f () Δ. f () = f () E. f () = f () X 9. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f () = τότε δεν είνι σωστή η Α. f (0,5) < f (0,8) Β. f (-) > f (-) Γ. f 5 > f 7 Δ. f (, ) > f (-, ) E. f ( ) > f ( 5) μ 0. Αν > 0, μ, ν θετικοί κέριοι με ν τότε το ν ισούτι με Α. μ ν Β. μ ν Γ. ν μ Δ. ν μ Ε. τίποτ πό τ προηγούμεν.. Το 5 ισούτι με Α. 5 Β. Γ. Δ. -5 Ε. 5.. Αν = 7, τότε το είνι Α: 7 Β: /9 Γ: 0 Δ: Ε: 9 5

4 . Δίνετι η εξίσωση 50 = 6. Τότε το είνι Α. ή - Β. ή Γ. - ή - Δ. 0 Ε. τίποτ πό τ προηγούμεν. 4. Αν = 6, τότε το είνι Α. 4 Β. Γ. Δ. - Ε Αν f () = X, τότε το f (f ()) ισούτι με Α. 6 B. 8 Γ. Δ. E Η εξίσωση X + X = έχει λύση τον ριθμό Α. - Β. - Γ. Δ. Ε Η εξίσωση X + -X = - Α. έχει λύση έν θετικό ριθμό Β. έχει λύση έν ρνητικό ριθμό Γ. έχει λύση κάθε πργμτικό ριθμό 0 Δ. είνι δύντη Ε. έχει λύση την = Δίνετι η νίσωση >. Τότε ισχύει Α. > B. = 0 Γ. < Δ. E. =. 9. Δίνετι η νίσωση. Τότε ισχύει A. B. = - Γ. Δ. > E. > 6 0. Δίνετι η νίσωση. Tότε ισχύει 8 Α. 6 B. 4 Γ. > 4 Δ. = 6 E. τίποτ πό τ προηγούμεν.. Η νίσωση ληθεύει Α. Γι (, ) Β. Γι (, ] Γ. Γι (, 0) Δ. Γι (, ) Ε. Γι κάθε R. 54

5 Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν λύσετε τις εξισώσεις i) 8 ii) 7 iii) iv) 7 v) 6 vi).. Ν λύσετε τις εξισώσεις ii) 5 6 i) ( ) iii) ( ) 4 iv) 4 6 v) Ν λύσετε τις εξισώσεις 0 9 i) 4 ii) 9 =0 iii) 4 iv) v) 5 40 vi) Ν λύσετε τις εξισώσεις 4 i) 89 0 ii) Ν λύσετε τις εξισώσεις i) ( 5 5) ii) e e e e 6. Ν λύσετε τις νισώσεις 7 6 i) ii) iii) ( 0, 5) 0, 5 iv) v) e -e +<0. vi) + - < 7. Ν λύσετε τ συστήμτ i) ii) iii) 4 9 iv)

6 8. i) Ν βρείτε τo ( 5) ώστε η f( ) 5 ν είνι γνησίως ύξουσ. ii) Ν βρείτε το, ( 0) ώστε η g( ) 5 ν είνι γνησίως φθίνουσ. 9. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f( ) k i) Γι ποιες τιμές του k ορίζετι η f; ii) Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του k γι τις οποίες η f είνι γνησίως ύξουσ. iii) Ν βρείτε το k ώστε η γρφική πράστση της f () ν περνάει πό το σημείο P,. iv) Ν βρείτε τις τιμές του k ώστε η γρφική πράστση της f () ν περνάει πό το σημείο Σ (, ). 0. Ν δεχθεί ότι οι ρίζες της εξισώσεως =0 είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Σ έν σθενή με υψηλό πυρετό χορηγείτι έν ντιπυρετικό φάρμκο. Η θερμοκρσί (πυρετός) Θ (t) του σθενούς t ώρες μετά την λήψη του φρμάκου. δίνετι πό τον τύπο Θ( t) 6 4 t σε βθμούς Κελσίου. i) Ν βρείτε πόσο πυρετό είχε ο σθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμκο. ii) Ν βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρσί του σθενούς θ πάρει την φυσιολογική τιμή των 6,5 C. iii) Αν η επίδρση του ντιπυρετικού διρκεί 4 ώρες πόση θ είνι η θερμοκρσί του σθενούς μόλις στμτήσει η επίδρση του φρμάκου.. Έν δείγμ 5 Kgr ενός ρδιενεργού ισοτόπου δισπάτι σύμφων με τον τύπο: Q( t) Q e o kt όπου Q (t) πριστάνει την ποσότητ που πομένει μετά πό χρόνο t, Qo Q ( 0 ) η ρχική ποσότητ (γι t = 0) κι k στθερά που εξρτάτι πό το υλικό. Αν το μισό του ρχικού δείγμτος δισπάστηκε σε 0 min., ν βρείτε πόση ποσότητ ρδιενεργού υλικού θ έχει πομείνει μετά πό 40 min. 56

7 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός: ν 0< κι θ>0 τότε: log θ = = θ Ειδικές περιπτώσεις: δεκδικός logθ=log 0 θ Φυσικός ή νεπέρειος lnθ=log e θ Ιδιότητες: Πρδείγμτ: log = log =, log0=, lne= log =0 log =0, log=0, ln=0 log = (lne =) log 5 =5, log0 =, lne 7 =7 Αν >0 τότε: log, (e ln =) 5= log 5, =0 log, 7=e ln7 log () =log + log με,>0 log +log 5=log 5 log (:) =log - log με,>0 log k =klog, όπου >0 κι kr Τύπος λλγής βάσης: Αν 0<,β κι log θ>0 τότε: log log log0-log=log5 ln =ln log log 5 log 5 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λέγετι κάθε συνάρτηση της μορφής: f()=log, όπου 0< Πεδίο ορισμού : Α=(0,+) Σύνολο τιμών : f(α)=r Μονοτονί : ν > τότε είνι γν. ύξουσ ( log <log < ) ν 0<< τότε είνι γν. φθίνουσ. ( log <log > ) Επομένως: log =log = Γρφική πράστση: Κμπύλη όπως στ πρκάτω σχήμτ. O O > () 0<< (β) 57

8 ( Εξισώσεις Ανισώσεις) Πρέπει ν προσέχουμε τ πρκάτω!!. Η εξίσωση log f()=k είνι ισοδύνµη µε την εξίσωση: f()= k, µε τον περιορισµό f()> Αν η εξίσωση είνι της µορφής f(log )=0 µπορούµε ν κάνουµε τον µετσχη- µτισµό = log, οπότε η εξίσωση γίνετι: f()= Η εξίσωση log f()=log g() με 0< είνι ισοδύνµη µε την f()=g() κι τους περιορισµούς f()>0, g()> Η εξίσωση log (χ) f()= log (χ) g() είνι ισοδύνµη µε την f()=g() κι τους περιορισµούς 0<(), f()>0, g()> Αν η εξίσωση που θέλουµε ν λύσουµε περιέχει λογρίθµους µε διφορετικές βάσεις, τότε συνήθως µεττρέπουµε τους λογρίθµους υτούς στην ίδι βάση Αντίστοιχ κι γι τις νισώσεις ( προσοχή στην µονοτονί των συνρτήσεων ) 6. Η νίσωση log f()<log g() με 0< είνι ισοδύνµη µε την f()<g() ν > ή f()>g() ν 0< <. Δεν πρέπει ν ξεχνάμε περιορισµούς: f()>0 κι g()>

9 Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος». Αν 0 < κι θ > 0 ισχύει η ισοδυνμί. log θ θ. Σ Λ. Αν 0 < ισχύει ότι log = Σ Λ log θ. Αν 0 < ισχύει ότι θ Σ Λ 4. Αν 0 < ισχύει ότι log = Σ Λ 5. Αν 0 < ισχύει ότι log = Σ Λ 6. Αν θ > 0 ισχύει ότι log(0θ) = +logθ Σ Λ θ 7. Αν θ > 0 κι θ 0 ισχύει ότι log logθ Σ Λ 0 8. Αν θ > 0 κι θ 0 ισχύει ότι logθ 0 θ Σ Λ log 9. Ισχύει ότι log Σ Λ log 0. Ισχύει ότι ln7 9 e Σ Λ. Στο σχήμ φίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης f( ) log =log Ν χρκτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις πρκάτω προτάσεις. O i) H f έχει πεδίο ορισμού το διάστημ ( 0, ). Σ Λ ii) H f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είνι γνησίως φθίνουσ στο R Σ Λ iv) H f έχει άξον συμμετρίς τον. Σ Λ v) H f έχει σύμπτωτη του ρνητικού ημιάξον των Σ Λ vi) Η γρφική πράστση της f είνι συμμετρική της γρφικής πράστσης της g vii) Ισχύει ότι f 0 ως προς την ευθεί =. Σ Λ f Σ Λ viii) Το σημείο (,0) νήκει στην γρφική πράστση της f. Σ Λ i) To σημείο (0,) νήκει στην γρφική πράστση της f. Σ Λ ) Tο σημείο (0,) νήκει στην γρφική πράστση της f. Σ Λ 59

10 . Ισχύει ότι: i) log lne, γι κάθε > 0 Σ Λ ii) log lne γι κάθε > 0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) lne Σ Λ v) log 0 loge e Σ Λ. i) Αν < τότε log log Σ Λ ii) Αν < τότε ln > ln Σ Λ iii) Αν < τότε log log Σ Λ iv) Αν < τότε log log Σ Λ 4. Στο σχήμ φίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων με τύπους ln κι g e. f Ν χρκτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις πρκάτω προτάσεις: i) Οι γρφικές πρστάσεις των f κι g είνι συμμετρικές ως την ευθεί =. Σ Λ ii) Οι γρφικές πρστάσεις των f κι g δεν τέμνοντι. Σ Λ iii) Οι γρφική πράστση της f τέμνει τον στο (,0). Σ Λ iv) Η γρφική πράστση της g τέμνει τον στο (0,). Σ Λ v) Ισχύει ότι f g( ) Σ Λ vi) Ισχύει ότι f g Σ Λ vii) H f κι η g είνι γνησίως ύξουσες συνρτήσεις στ πεδί ορισμού τους. Σ Λ 60

11 Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log είνι A. το διάστημ [ 0, ) Β. το διάστημ ( 0, ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R -{} O =log. Tο πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log είνι A. το διάστημ ( 0, ) B. το διάστημ [ 0, ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R-{} Γι την συνάρτηση με τύπο f () = ln δεν ισχύει ότι Α. έχει πεδίο ορισμού το διάστημ ( 0, ) Β. έχει σύνολο τιμών το διάστημ [ 0, ) Γ. έχει ελάχιστο το 0 γι = Δ. είνι γνησίως φθίνουσ στο (0,] κι γνησίως ύξουσ στο [, ) Ε. τέμνει τον άξον Η ισοδυνμί log = = ισχύει πάντοτε με τις προϋποθέσεις Α. R κι 0 Β. [0,+ ) κι 0 Γ. (0,+ ) κι ο Δ. R κι Ε. 0 κι Αν log = 5 τότε το είνι ίσο με Α. Β. Γ. - Δ. Ε. 0 6

12 6. Αν log = 4 τότε το είνι ίσο με Α. 7 Β. Γ. 64 Δ. 8 Ε: 9 7. Αν log 64 = τότε το είνι ίσο με Α. Β. 6 Γ. 8 Δ. Ε Η πράστση log5 είνι ίση με Α. Β. log5 Γ. 5 Δ. log E Η πράστση log με 0 είνι ίση με Α. B. Γ. Δ. 0 Ε. 0. Η πράστση log με 0 είνι ίση με Α. Β. Γ. Δ. 0 Ε.. Η πράστση log00 είνι ίση με Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. 00 Ε Η πράστση log + log7 είνι ίση με Α. log9 B. log4 Γ. log 7 Δ. log5 E. log7. Η πράστση log - log είνι ίση με Α. log9 B. log5 Γ. log6 Δ.log E. log4 4. Η πράστση log είνι ίση με Α. log6 B. log5 Γ. log Δ. log E. τίποτ πό τ προηγούμεν 5. Η πράστση log είνι ίση με log Α. log B. log Γ. log Δ. log Ε. τίποτ πό τ προηγούμεν 6

13 6. Η πράστση log5 log8 είνι ίση με Α. 6 Β. log00 Γ. 5 log4 Δ. Ε. log Από τις πρκάτω σχέσεις σωστή είνι η Α. log5 log5 Β. log5 log5 Γ. log5 log5 Δ. log log Ε. τίποτ πό τ προηγούμεν Από τις πρκάτω σχέσεις σωστή είνι η Α. log 5 log 7 Β. log 5 log 7 Γ. log 5 log 7 Δ. log 5 log 7 Ε. τίποτ πό τ προηγούμεν. 9. Ο log (4- ) ορίζετι ν Α. > B. - < < Γ. - Δ. = E. = Ο log - δεν ορίζετι ν Α. > B. Γ. - < Δ. < - E. =.. Η συνάρτηση f () = log(-6) + log(7-) ορίζετι ν Α. = 6 B. < 6 Γ. 7 Δ. = 7 E Αν log [log (-)] = 0 τότε το είνι ίσο με A. B. Γ. Δ. 4 Ε Αν ισχύει log (ημ)= 0 τότε είνι Α. κπ π Β. κπ π Γ. = κπ 4 Δ. = κπ+π Ε. κπ π 6

14 Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) log( ) log( ) ii) log+log = log(-) ln iii) log( ) log( ) iv) ln.. Ν λύσετε την εξίσωση: log( ) log( ) log( 4 ) log. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) (log0 log 5) log( 4 ) ii) log ( 4 4) log ( ) iii) log ( 9 ) iv) ln(συν) = Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) log log log ii) log (log ) log (log ) iii) log 4[log (log )] Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) 6. Ν λύσετε τις νισώσεις: i) log[log(log)]<0 ii) ln[ln(ln)] < 0 iii) ln 4-5ln +4 < 0 iv) ln -6ln +ln-6 < 0 v) log 5 >0 vi) log log με 0<< 64

15 7. ) Ν υπολογίσετε τον ριθμό 00 log. β) Ν λύσετε την εξίσωση: log log 00 log i) Ν ποδείξετε ότι: log log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: log 54 log. log( ) 9. Ν λύσετε την εξίσωση: ( ) 00( ). 0. Αν σε μί ριθμητική πρόοδο ( ν ) ο πρώτος όρος είνι log κι ο δεύτερος όρος της είνι log 8. ) Ν βρείτε την διφορά ω της ριθμητικής προόδου. logω logω logω β) Ν λύσετε την εξίσωση: Ν βρείτε δύο θετικούς ριθμούς που οι φυσικοί τους λογάριθμοι έχουν άθροισμ κι γινόμενο -8. log log. i) Ν ποδείξετε ότι με, > 0 ii) Ν λύσετε το σύστημ: log log 0 log iii) Αν οι λύσεις του (ii) είνι ρίζες της εξίσωσης: log[log( * logθ0)]=0 ν βρείτε το θr Ν βρείτε τον θετικό ριθμό ώστε ν ισχύει: 5 ν log log log log ν. 4. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του οι ριθμοί: log, log, log log7 είνι διδοχικοί όροι Α.Π. 5. Αν σε μί γεωμετρική πρόοδο ( ν ) ισχύει ρ k, όπου ο ρ ο όρος τάξεως ρ, ο πρώτος της όρος, κι λ ο λόγος της ν ποδείξετε ότι: (ρ )log λ = logk. 6. Δίνετι η συνάρτηση f()= log log. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Ν δειχθεί ότι f()+f(6)-f()=. 65

16 7. Δίνετι η συνάρτηση f()=log + -. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Ν δειχθεί ότι f()=-f(-). 8. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού των πρκάτω συνρτήσεων: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) e 9. Δίνετι η συνάρτηση f ln e 5.. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Ν λύσετε την εξίσωση f ln γ. Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι πάνω πό τον άξον χ χ. 0. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= + +ln -ln ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. β) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε Α ισχύει γ) Ν λύσετε την νίσωση f()+f >4. f()=f. 66