1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

Transcript

1 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ γ Αν, το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες είνι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου ν δείξετε ότι ισχύει: λ λ δ Ν βρείτε τις τιμές του λ ώστε το τριώνυμο 5 4 ν είνι θετικό γι κάθε τιμή του Η δικρίνουσ του τριωνύμου είνι Δ β 4γ Δ 4 λ 5 8 λ 5 4 λ 5 λ 5 4 λ 5 λ 3 β Γι ν έχει το τριώνυμο δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες πρέπει κι ρκεί: λ λ λ λ λ λ Δ ή 5 δηλδή λ, 35, λ κι, οι ρίζες του τριωνύμου τότε: γ Αν, 3 5, β γ λ5 λ 5 κι Είνι: λ 5 λ 5 λ 5 λ 5 λ 5λ 5 λ 5λ 4 δ Γι ν είνι το τριώνυμο θετικό γι κάθε, επειδή 0 ρκεί κι πρέπει: Δ 0 4 λ 5 λ λ 5 Έστω η εξίσωση 3 0 με ως προς έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες Ν βρεθεί σε ποιο διάστημ νήκει το a β Ν δείξετε ότι οι ρίζες της είνι ρνητικοί ριθμοί κι η μι είνι ντίστροφη της άλλης γ Αν η μι ρίζ (η ρ ) είνι τετρπλάσι της άλλης (της ρ ) ν βρείτε τις ρίζες ρ κι δ Ν υπολογίσετε τον ριθμό a, ν οι ρίζες είνι υτές του τρίτου ερωτήμτος ρ Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ []

2 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Πρτηρούμε ότι: Γι ν έχει η εξίσωση δυο ρίζες πργμτικές κι άνισες πρέπει κι ρκεί: Δ 0 3 a 4 a a 0 3 a 4 a 0 3 a 4 a 0 5 a a 5 0,, 5 4 Άρ γ a β Από Vietta έχω: P 0 άρ οι ρίζες είνι ντίστροφες κι ομόσημες a a (διφορετικά το γινόμενο τους θ ήτν ρνητικός ριθμός) κι εφόσον β 3 S 0 θ έχουμε ότι είνι κι οι ρνητικές γ Έχω: ρ 4ρ ρ 4ρ ρ 4 4 ρ 4ρ ρ ρ ρ ρ ρρ 4ρρ 4ρ ρ ρ πορ ή ρ ρ 4 δ Ο ριθμός ρ είνι ρίζ της εξίσωσης άρ την επληθεύει Επομένως:: ή ή ή πορ 3 Δίνετι η εξίσωση β 0 με β, κι 0 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες β Αν, οι ρίζες της εξίσωσης με δεδομένο ότι ισχύει 4 β ν ποδείξετε ότι γ Ν δείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς μι ρίζ στο διάστημ 04, Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ []

3 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Γι ν έχει η εξίσωση ρίζες πργμτικές κι άνισες νγκί κι ικνή συνθήκη είνι η δικρίνουσ της εξίσωσης ν είνι θετικός ριθμός Πράγμτι κι άνισες Δ β 4 0 εφόσον οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πργμτικές β β Οι τύποι του Vietta δίνουν κι οπότε γι ν δείξω ότι: ρκεί ρκεί 4 ρκεί β 4 ρκεί ρκεί β4 β4 ρκεί β 4 ρκεί β 4 που ισχύει πό υπόθεση γ Με την πρπάνω συνθήκη ισχύει οπότε κάποιος πό τους πράγοντες, είνι γνήσι μικρότερος του (διφορετικά ν κι τότε 4 άτοπο),οπότε ν θεωρήσουμε 0 4 Άρ η μι ρίζ νήκει υποχρεωτικά στο διάστημ 04, ενώ η δεύτερη θ είνι ρνητική εφόσον P 0, άρ οι ρίζες θ είνι ετερόσημες 4 Α) Ν λύσετε τις εξισώσεις 6 0 κι β Ν βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου Β) Έστω η συνάρτηση, με τύπο Ν βρείτε τις τιμές του, γι τις οποίες έχει νόημ ο τύπος της β Ν πλοποιήσετε τον τύπο της Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [3]

4 γ Ν λύσετε την νίσωση 0 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Α Οι εξισώσεις ορίζοντι γι κάθε κι γράφοντι: β Γι το τριώνυμο 5 7 πρτηρώ ότι Δ κι επομένως το τριώνυμο γι κάθε είνι ομόσημο του Άρ Β Η συνάρτηση έχει νόημ (ορίζετι) ότν κι μόνο ότν: κι κι Άρ, 4 β Γι, 4 η συνάρτηση γράφετι: γ Η νίσωση ορίζετι γι, 4 κι γράφετι: ή 0 4 ή ή, 4, 4 4, 5 Έστω η εξίσωση 4λ λ 0, όπου λ κι ο άγνωστος Ν βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση () ν έχει δύο πργμτικές κι άνισες λύσεις β Αν η εξίσωση έχει πργμτικές άνισες λύσεις κι μί πό υτές είνι ο ριθμός -, τότε ν βρείτε την άλλη λύση κι το λ Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [4]

5 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου γ Αν, οι δύο άνισες λύσεις της εξίσωσης, τότε ν βρείτε τις τιμές του λ λ, ώστε ν ισχύει Η εξίσωση έχει πργμτικές κι άνισες ρίζες ότν κι μόνο ότν: λ λ λ λ λ λ Δ λ λ λ λ λ λ 0 ή Άρ λ,, β Ο ριθμός - είνι λύση της εξίσωσης, άρ θ την επληθεύει Έτσι με,, λ : 4λ λ 0 4 8λ λ 0 λ 8λ 6 0 λ 4λ 3 0 λ πορ ή λ 3 λ 3 Γι λ 3 έχω την εξίσωση: Άρ η άλλη λύση είνι 0 γ Από τύπους Vieta, με,, 0 0 ή 0 λ κι, δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης έχω: β 4λ γ S 4λ κι P λ Η νίσωση γράφετι: λ λ λ 4λ λ λ 6λ 4λ 4 8λ λ λ λ 6λ λ λ λ λ 4 λ 6λ λ λ πορ λ λ λ ή λ 3 λ 3 λ Άρ λ, 3 3, 3 ή λ 3 6 Ν βρείτε τους ριθμούς λ, γι τους οποίους η εξίσωση λ 4 0 έχει ρίζες πργμτικές κι είνι λύσεις της νίσωσης 3 0 Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [5]

6 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Η δικρίνουσ της δοσμένης εξίσωσης είνι: Δ 4λ 6 4λ 4 Ονομάζουμε κι τις ρίζες της εξίσωσης, οπότε: λ () κι 4 () Τ ζητούμεν συμβίνουν ν, κι μόνο ν: λ Δ λ λ λ λ λ 4 3 λ 4 0 λ 3λ 0 λ 9λ λ 54 6λ λ 4 0 λ ή λ 5 λ ή λ λ ή λ 5 λ ή λ Άρ οι ζητούμενες τιμές του λ είνι: λ 5,, 7 Ν βρεθούν οι τιμές της πρμέτρου a ώστε η σχέση a 3 ν ισχύει γι κάθε Πρτηρώ ότι το τριώνυμο, έχει δικρίνουσ Δ Άρ το τριώνυμο είνι ομόσημο του a (συντελεστή του ) γι κάθε Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [6]

7 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Επομένως 0 γι κάθε Η σχέση γι κάθε γράφετι: a a a a κι a 0 4 a 3 κι 0 a 4 Γι ν είνι κι τ τριώνυμ θετικά γι κάθε, πρέπει κι ρκεί ν έχουν ρνητικές δικρίνουσες Έτσι πρέπει κι ρκεί: Δ Δ Δίνετι η εξίσωση λ λ λ λ, λ 4 0 Ν βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση ν έχει λύση στο β Ν δείξετε ότι γι κάθε λ 3 η εξίσωση έχει δύο ντίστροφες ρίζες γ Ν βρεθεί ο λ ώστε η εξίσωση ν έχει ρίζ την 0 κι ν δείξετε ότι υτή είνι διπλή Η εξίσωση έχει λύση στο ότν κι μόνο ότν: Δ 0 λ λ 4 4λ 4 0 λ 3λ 0 λ( λ 3) 0 λ (, 0] [ 3, ) Όμως γι ν είνι πργμτικοί ριθμοί οι ρίζες πρέπει κι λ Άρ λ, 03, (Γι λ η εξίσωση είνι πρωτοβάθμι με λύση 0 ) β Είνι γνωστό ότι πό το προηγούμενο ερώτημ ότι γι λ 3 η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις Από τους τύπους του Vieta: P λ λ Άρ η εξίσωση έχει δύο ντίστροφες πργμτικές λύσεις φού έχουν γινόμενο γ Η εξίσωση έχει ρίζ το 0 ν κι μόνο ν το 0 την επληθεύει Επομένως: Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [7]

8 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου λ λ λ λ λ λ λ λ ή 3 Αν ντικτστήσουμε στην δικρίνουσ βλέπουμε ότι προκύπτει Δ 0 άρ η λύση είνι διπλή κι στις δύο περιπτώσεις, 9 Δίνετι η εξίσωση λ λ λ 0, λ Ν προσδιορίσετε τις τιμές του πργμτικού ριθμού λ, ώστε η εξίσωση ν είνι δευτεροβάθμι με δύο ρίζες άνισες β Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, ν προσδιορίσετε την τιμή του i ομόσημες ii ρνητικές iii ετερόσημες, με πόλυτ μεγλύτερη την ρνητική λ ώστε οι ρίζες ν είνι: Η εξίσωση θ έχει άνισες πργμτικές ρίζες ότν κι μόνο ότν : Δ 0 λ 4 λ λ 0 4 λ 4 λ λ 0 4 λ λ λ 0 λ λ 3 0 λ 7λ 3 0 λ ή λ 3 (Στο νίσωσης) βρίσκω τις λύσεις του τριωνύμου β Με λ, 3, έχω: λ ή λ 3 κι πό πινκάκι βρίσκω την λύση της i Οι ρίζες είνι ομόσημες ν κι μόνο ν το γινόμενό τους είνι θετικός ριθμός Άρ ν κι μόνο ν: P 0 0 γ 0 λ λ 0 λ 3λ 0 λ ή λ Άρ λ, 3, ii Οι ρίζες θ είνι ρνητικές ν κι μόνο ν P 0 κι S 0 Έτσι γι 0 λ θ έχω: P, άρ γι, 3, β S λ 0 λ 0 λ Άρ λ, Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [8]

9 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου iii Με λ, 3, ν κι μόνο ν: P 0 κι οι ρίζες θ είνι ρνητικές με πόλυτ μεγλύτερη την ρνητική S 0 Επομένως ν κι μόνο ν: λ, κι λ, Άρ λ, 0 Δίνετι η συνάρτηση 3 4 Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης κι ν πλοποιήσετε τον τύπο της β Ν υπολογίσετε την πράστση A γ Ν λυθεί η εξίσωση Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν κι Άρ,, 0 0, A Γι κάθε,, 0 0, η συνάρτηση γράφετι: β Έχω: 3 3, κι 3 A Έτσι η πράστση γράφετι: 4 γ Η εξίσωση ορίζετι γι κάθε κι γράφετι: ή ή ή 4 3 Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [9]

10 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Έστω η εξίσωση, προς a 3 a a 0 a η οποί έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες ως Ν βρεθεί σε ποιο διάστημ νήκει το a β Ν δείξετε ότι οι ρίζες της είνι ρνητικοί ριθμοί κι η μι ντίστροφη της άλλης γ Αν η μί ρίζ Είνι ίδι με την Άσκηση είνι τετρπλάσι της άλλης ν βρείτε τις ρίζες, κι το a Δίνοντι οι συνρτήσεις, g με κι g 5 Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων, g β Ν ποδείξετε ότι 0 5 γ Ν ρητοποιήσετε την πράστση A 3 3 δ Ν ποδείξετε ότι οι C, C δεν τέμνοντι g Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν: 0, 0 Άρ A, Η συνάρτηση g β Γι ν δείξω ότι: 0 ρκεί ρκεί ρκεί ρκεί ορίζετι γι κάθε Άρ Ag Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [0]

11 γ Έχω: ρκεί ρκεί 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου που ισχύει A δ Οι συνρτήσεις θ τέμνοντι ν κι μόνο ν υπάρχει, Πρτηρώ ότι με τέτοιο ώστε g, g 4 0 Όμως 0 γι κάθε, ως άθροισμ μη ρνητικών ριθμών Άρ οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων δεν είνι δυντόν ν τέμνοντι 3 Έστω η συνάρτηση με λ λ, λ Ν προσδιορίσετε τις τιμές του λ ώστε η γρφική πράστση της με τον άξον β Αν, είνι οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξον ν έχει δύο κοινά σημεί ν προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε το ν γίνετι ελάχιστο Η συνάρτηση Η γρφική πράστση της ορίζετι γι κάθε έχει δύο κοινά σημεί με τον άξον ότν κι μόνο ότν η εξίσωση 0 έχει λύσεις, ν κι μόνο ν δηλδή: Δ 0 λ 4 λ 0 λ λ 4λ 8 0 λ λ 8 0 λ 8 0 που ισχύει γι κάθε λ Άρ η γρφική πράστση της β Από τύπους Vieta έχω: : έχει δύο κοινά σημεί με τον άξον γι κάθε λ Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ []

12 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου λ λ S λ λ κι P λ Ισχύει: λ λ λ λ λ λ 4 5 Η μικρότερη τιμή που μπορεί ν πάρει το λ είνι το 5 γι 5 λ 0 4 Δίνετι η συνάρτηση 4 4,, Ν ποδείξετε ότι 3 3 β Ν λύσετε την εξίσωση 0 γ Ν βρείτε τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση C τέμνει τους άξονες δ Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της ε Ν βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης που σχημτίζει η C με τον άξον Η συνάρτηση ορίζετι γι κάθε, κι γράφετι: 4 4 μη θετικός μη ρνητικός β Η εξίσωση ορίζετι γι κάθε, κι γράφετι: γ Η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον στ σημεί με τετγμένη 0 Άρ θέτω y 0 κι λύνω την εξίσωση: y Άρ τέμνει τον στο 0, Η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον yy στο σημείο με τετμημένη 0 Άρ θέτω 0 κι έχω: Άρ τέμνει τον yy στο 03, δ Φτιάχνω πίνκ τιμών κι έχω: - Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ []

13 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου y 6-3 Άρ πριστάνει το διπλνό ευθύγρμμο τμήμ ε Ο συντελεστής διεύθυνσης που σχημτίζει η C με τον άξον είνι ο -3 5 Δίνετι η συνάρτηση Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της β Ν δείξετε οτι γ Ν δείξετε οτι η εξίσωση 0 έχει δυο ρίζες ετερόσημες τις, δ Αν η θετική ρίζ της εξίσωσης 0, ν ποδείξετε οτι οι ριθμοί κι είνι ντίστροφοι ε Ν κτσκευάσετε εξίσωση με ρίζες ρ 5 κι ρ 3 Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν 0 β Γι Άρ A, έχω: γ Η εξίσωση 0 ορίζετι γι κάθε, Άρ έχει ρίζες ετερόσημες κι γράφετι: (σφλώς μπορούμε ν πρτηρήσουμε ότι Δ 5 0 άρ έχει δυο ρίζες κι P άρ είνι ετερόσημες) δ Γι ν δείξω ότι οι ριθμοί κι είνι ντίστροφοι ρκεί ν δείξω ότι το γινόμενο τους είνι Άρ ρκεί: ρκεί επληθεύει την εξίσωση ρκεί 0 β γ ε Από τύπους Vieta έχω: : S κι P Έτσι οι πρστάσεις γίνοντι: ρ κι Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [3] που ισχύει εφόσον το ρ 3 3 5

14 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Άρ το τριώνυμο που έχει ρίζες τις ρ κι ρ είνι το: ρ ρ ρ ρ Δίνετι η συνάρτηση Ν λυθούν οι νισώσεις 4 0 κι β Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της γ Αν το σημείο A 3, δ Γι κ 0, ν λυθεί η εξίσωση κ 4 0 νήκει στη γρφική πράστση της, ν δείξετε οτι κ 0 0 Η νίσωση ορίζετι γι κάθε Ομοίως η 0 ορίζετι γι κάθε β Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν κι γράφετι: κι γράφετι: 0 ή ή συνλήθευση 4,, 4 Άρ πεδίο ορισμού είνι το σύνολο A 4,, 4 γ Το σημείο 3, A νήκει στη γρφική πράστση της ν κι μόνο ν: κ 3 κ κ κ 0 κ 0 δ Γι 0 κ η συνάρτηση γράφετι: Η εξίσωση ορίζετι γι κάθε 44, κι γράφετι: ή 3 4=0 6 ή 4 3 ή Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [4]

15 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 7 Δίνετι η συνάρτηση 4 68 Ν βρείτε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης β Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύει γ Ν ποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης δ Ν λύσετε την νίσωση 5 ( ) 0 A 4 πλοποιείτι στη μορφή, Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν κι 4 Άρ πεδίο ορισμού είνι το A,, 44, β Πρτηρώ ότι το τριώνυμο έχει ρνητική Δικρίνουσ ( θ είνι ομόσημο του γι κάθε,, 4 4,,, 4 4, γ Γι κάθε,, 4 4, Άρ η συνάρτηση γράφετι: δ Πρτηρώ ότι: Η νίσωση ορίζετι γι κάθε,, 4 4, κι γράφετι: 5 6 ( ) Δικρίνω τις περιπτώσεις: Αν η νίσωση γράφετι: ή Άρ 4, Δ 4 7 ) άρ γι κάθε Αν η νίσωση γράφετι: Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [5] 0

16 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Άρ 6, Άρ οι λύσεις της νίσωσης είνι τ 6, 4, 8 Δίνετι η συνάρτηση 6 4 Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της κι ν πλοποιήσετε τον τύπο της β Ν λύσετε την εξίσωση γ Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες ισχύει 0 Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν: κι 4 Άρ πεδίο ορισμού είνι το, 0 0, 4 4, A κι η συνάρτηση γράφετι: 4 β Η εξίσωση ορίζετι γι κάθε, 0 0, 4 4, κι γράφετι: ή 4 ή πορ ή 3 γ Η νίσωση ορίζετι γι κάθε, 0 0, 4 4, Δικρίνω τις περιπτώσεις: Αν 0 η νίσωση γράφετι: κι γράφετι: κι 4 4 κι 4 4 Άρ γι 4 Αν 0 η νίσωση γράφετι: Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [6]

17 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου κι 4 4 κι Έστω η συνάρτηση Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης κι ποδείξτε ότι β Ν δείξετε ότι η εξίσωση γ Ν λυθεί η εξίσωση 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες τις οποίες κι ν υπολογίσετε,όπου νήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης δ Αν, οι λύσεις της εξίσωσης του ερωτήμτος (β), ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων 0 0 A κι B A3 A Η συνάρτηση ορίζετι ότν κι μόνο ότν 0 Γι Άρ A, έχω: β Η εξίσωση 0 ορίζετι γι κάθε, κι γράφετι: γ Η εξίσωση ορίζετι γι κάθε, κι γράφετι: 4 0 Θέτω y, y 0 κι η εξίσωση γράφετι: 4 y y y y ή 3 πορ y 4 4 ή πορ β γ δ Γι τους, ισχύουν οι τύποι Vieta, δηλδή: S κι P Έτσι οι πρστάσεις γίνοντι: 0 0 A Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [7]

18 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου B A 3 A Δίνετι η εξίσωση , m m Ν βρείτε τις τιμές του m ώστε η εξίσωση ν έχει μι διπλή ρίζ β Ν βρείτε τ m ώστε η εξίσωση ν είνι δύντη γ Ν βρείτε τ m ώστε η νίσωση m ν ισχύει γι κάθε δ Ν ποδείξετε ότι ν m 3 5 η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες ε Αν, είνι δύο άνισες λύσεις της εξίσωσης, ν λύσετε την νίσωση Η Δικρίνουσ του τριωνύμου είνι η: Δ m m m 3m m 3m m 8m 0 Η εξίσωση έχει μι διπλή ρίζ ότν κι μόνο ότν : m 8m 0 0 m 8m 0 m m Δ ή Άρ η εξίσωση έχει μι διπλή ρίζ ότν m 0 ή m β Η εξίσωση είνι δύντη ότν κι μόνο ότν: Δ 0 4 m m m m m γ Η νίσωση ισχύει γι κάθε ότν κι μόνο ότν η Δικρίνουσ είνι ρνητική κι ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου θετικός Άρ ότν κι μόνο Δ 0 4 m m m m m δ Η νίσωση έχει δυο ρίζες άνισες ότν κι μόνο ότν Δ 0 4 m 8m 0 0 m 8m 0 0 m ή m 0 Όμως m 3 5, άρ η εξίσωση έχει πργμτικές κι άνισες ρίζες ε Από τύπους Vieta, κι με βσική προϋπόθεση ότι η εξίσωση έχει πργμτικές ρίζες έχω: Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [8]

19 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου β m 4 S m 8 γ P 36 Άρ η νίσωση γράφετι: m m m m 4 m m m ή m0 Άρ πρέπει m, 0, Προσοχή: Κάθε άσκηση μπορεί ν λυθεί κι με περισσότερους πό ένν τρόπους Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είνι κι σωστή Επιμέλει: Μνιτάρου Στράτος σελίδ [9]