γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1)

Transcript

1 Κεφάλαιο 9 Γεωδαισιακές καμπύλες Σύνοψη Ως γνωστόν οι ευθείες γραμμές παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του επιπέδου. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να ορίσουμε εκείνες τις καμπύλες σε μια επιφάνεια, οι οποίες θα έχουν τον αντίστοιχο ρόλο των ευθειών στο επίπεδο. Στο κεφάλαιο αυτό δίνουμε τον ορισμό της γεωδαισιακής καμπύλης και της γεωδαισιακής καμπυλότητας. Η εξεύρεση γεωδαισιακών ανάγεται σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, γενικά δύσκολο στην επίλυσή του. Το Θεώρημα Clairaut δίνει μια μέθοδο εύρεσης γεωδαισιακών σε επιφάνειες εκ περιστροφής. Επίσης, δίνουμε χαρακτηρισμό των γεωδαισικών ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ενέργειας και ορίζουμε την εκθετική απεικόνιση σε μια επιφάνεια. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Υπάρχουν (τουλάχιστον) δύο τρόποι χαρακτηρισμού των ευθειών (ή πιο γενικά ευθυγράμμων τμημάτων) στο σύνολο όλων των επίπεδων καμπυλών: ο πρώτος είναι γεωμετρικός (ολικός) και ο δεύτερος είναι αναλυτικός (τοπικός). Ενα ευθύγραμμο τμήμα είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σταθερών σημείων του επιπέδου (γεωμετρική ή ολική περιγραφή). Ταυτόχρονα, είναι εκείνη η καμπύλη της οποίας το διάνυσμα ταχύτητας είναι σταθερό, υπό την έννοια ότι η διεύθυνσή του είναι σταθερή ή ότι παραμένει παράλληλο με τον εαυτό του (αναλυτική ή τοπική περιγραφή). Ο πρώτος τρόπος χαρακτηρισμού (γεωμετρικός - ολικός) δεν είναι ο πλέον ενδεδειγμένος, προκειμένου να γενικευθεί στις επιφάνειες. Ο λόγος είναι ότι, όπως θα δούμε, καμπύλες που ελαχιστοποιούν το μήκος μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου. Επιπλέον, ακόμα και αν υπάρχουν μπορεί αυτές να μην είναι μοναδικές. Ο δεύτερος χαρακτηρισμός (αναλυτικός - τοπικός) θα δούμε ότι είναι πιο πρόσφορος, προκειμένου να γενικευθεί σε μια επιφάνεια, αλλά σίγουρα απαιτεί να αντιμετωπίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μια διαφορετική οπτική από αυτή που το γνωρίζαμε από τα σχολικά μαθήματα γεωμετρίας. Η προσέγγιση αυτή απαιτεί την έννοια της παραλληλίας κατά μήκος μιας καμπύλης (βλ. Κεφάλαιο 8) Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3 και έστω γ : I M μια καμπύλη της M με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου, τέτοια ώστε γ(0) = p M. Εχουμε δει ότι το διάνυσμα γ(0) της δεύτερης

2 2 Γεωδαισιακές καμπύλες παραγώγου ( ἑπιτάχυνση ) στο σημείο p αναλύεται ως γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, στην εφαπτομενική συνιστώσα γ(0) tan T p M και στην κάθετη συνιστώσα γ(0) norm (T p M) R 3. Ορισμός 9.1. Εστω M μια κανονική επιφάνεια του R 3. Μια καμπύλη γ : M (με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου) στην M ονομάζεται γεωδαισιακή (geoesic), εάν η εφαπτομενική συνιστώσα της δεύτερης παραγώγου γ(t) μηδενίζεται, δηλαδή ισχύει γ(t) tan = 0 (9.1) για κάθε t I. Η σχέση (9.1) ισοδυναμεί με το ότι για κάθε t I, είτε το διάνυσμα γ(t) της επιτάχυνσης είναι κάθετο στον T p M, δηλαδή παράλληλο στο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας, είτε γ(t) = 0. Ισοδύναμα, η γ είναι μια γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν το εφαπτόμενο διάνυσμα γ(t) είναι παράλληλο κατά μήκος της γ, δηλαδή γ γ = 0. Πράγματι, εξ ορισμού το γ γ είναι η προβολή του D γ γ = t ( γ γ) t=0 = γ στον T γ(t) M. Παρατηρήσεις. 1) Η σχέση (9.1) ισοδυναμεί με το ότι το διάνυσμα ταχύτητας γ(t) είναι παράλληλο κατά μήκος της γ, αλλά όπως εξηγήσαμε στην εισαγωγή του κεφαλαίου δεν θα αναπτύξουμε προς το παρόν την έννοια αυτή. 2) Η έννοια της γεωδαισιακής έχει την εξής φυσική ερμηνεία. Η τροχιά γ(t) ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια επιφάνεια και στο οποίο δεν δρα καμμιά δύναμη παρά μόνο αυτή η οποία κρατά το σωματίδιο στην επιφάνεια (κάθετη δύναμη), είναι μια γεωδαισιακή. Πράγματι, από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα είναι F (t) = k γ(t) και η F είναι κάθετη στον εφαπτόμενο χώρο T p M, συνεπώς το διάνυσμα γ(t) είναι κάθετο στον T p M άρα η τροχιά γ(t) είναι μια γεωδαισιακή. Παράδειγμα 9.1. Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S 2, p S 2 και Z T p S 2 ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στο p. Επειδή p, Z = 0 1, το σύνολο {p, Z} αποτελεί μια ορθοκανονική βάση ενός επιπέδου του R 3 (διερχόμενο από την αρχή των αξόνων), το οποίο τέμνει την σφαίρα κατά έναν μέγιστο κύκλο. Μια παραμέτρηση του κύκλου αυτού είναι η γ : R S 2 γ(s) = (cos s)p + (sin s)z. Τότε προκύπτει άμεσα ότι γ(s) = γ(s) για κάθε s R, συνεπώς γ tan = 0 (γιατί;). Άρα ο μέγιστος αυτός κύκλος είναι μια γεωδαισιακή της σφαίρας που διέρχεται από το σημείο γ(0) = p. Το ερώτημα που τίθεται αμέσως εδώ είναι αν υπάρχουν άλλες γεωδαισιακές στην σφαίρα. Αυτό θα απαντηθεί στη συνέχεια. Πρόταση 9.1. Εστω M μια κανονική επιφάνεια και γ : I M μια γεωδαισιακή της M. Τότε η ταχύτητα γ : I R της γ είναι σταθερή, δηλαδή η καμπύλη έχει παραμέτρηση ανάλογη του μήκους τόξου. 1 Ταυτίζουμε το σημείο p με το διάνυσμα θέσης του

3 Γεωδαισιακή καμπυλότητα 3 Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από τον εξής υπολογισμό: t ( γ(t) 2 ) = t γ(t), γ(t) = 2 γ(t), γ(t) = 2 γ(t) tan, γ(t) = 0. Από την παραπάνω πρόταση ουσιαστικά προκύπτει (κάτι που χρήζει αποδείξεως) ότι μια αναπαραμέτρηση μιας γεωδαισιακής καμπύλης γ, η οποία να είναι μοναδιαίας ταχύτητας, είναι γεωδαισιακή. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι γεωδαισιακές έχουν μοναδιαία ταχύτητα. Πριν προχωρήσουμε, θα εισαγάγουμε την έννοια της γεωδαισιακής καμπυλότητας μιας επιφανειακής καμπύλης και θα αποδείξουμε ότι μια καμπύλη γ : I R M είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η γεωδαισιακή καμπυλότητα αυτής είναι μηδέν. 9.1 Γεωδαισιακή καμπυλότητα Γενικά το σχήμα μιας επιφάνειας επηρεάζει την καμπυλότητα των επιφανειακών καμπυλών. Συνεπώς, η κύρτωση μιας επιφάνειας μπορεί να μελετηθεί μέσω της καμπυλότητας των καμπυλών που βρίσκονται επάνω σε αυτή. Εστω γ : I R M μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το διάνυσμα γ(s) είναι μοναδιαίο και εφαπτόμενο στην M. Άρα γ(s) N(γ(s)), οπότε τα διανύσματα γ(s), N(γ(s)) και N(γ(s)) γ(s) είναι κάθετα μεταξύ τους και μοναδιαία. Το διάνυσμα N(γ(s)) γ(s) ονομάζεται γεωδαισιακή κάθετος και συμβολίζεται με n g. Επειδή η γ είναι μοναδιαίας ταχύτητας, το γ(s) είναι κάθετο στο γ(s), οπότε το γ(s) είναι γραμμικός συνδυασμός των N(γ(s)) και n g : γ(s) = κ n (Z)N + κ g (0)n g = γ(0) perp + γ(0) tan (9.2) όπου k n (Z) = γ(0), N(p) είναι η κάθετη καμπυλότητα της M. Ο αριθμός κ g (0) ονομάζεται γεωδαισιακή καμπυλότητα της γ, ειδικότερα Ορισμός 9.2. Εστω M μια κανονική προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω γ : I M μια καμπύλη στην M με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα (geoesic curvature) k g : I R της γ ορίζεται ως k g (s) = N(γ(s)) γ(s), γ(s) = n g, γ(s). Θεώρημα 9.1. Η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας επιφανειακής καμπύλης σε τυχαίο σημείο αυτής μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των θεμελιωδών ποσών πρώτης τάξης της επιφάνειας, των παραγώγων αυτών και των παραγώγων των παραμέτρων της επιφάνειας.

4 4 Γεωδαισιακές καμπύλες Απόδειξη. Εχουμε κ g (s) = N γ, γ και N = X u X v EG F 2. Επομένως κ g (s) = = = = = ( ) Xu X v γ, γ = EG F 2 1 EG F 2 (X u γ)x v (X v γ)x u, γ 1 EG F 2 (X u X v ) γ, γ 1 EG F 2 ( (X u γ)x v, γ (X v γ)x u, γ ) 1 ( X u, γ X v, γ X v, γ X u, γ ) EG F 2 1 X u, γ X u, γ EG F 2 X v, γ X v, γ. (9.3) Επειδή η καμπύλη γ βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση X : U R 2 M, θα ικανοποιεί την εξίσωση γ(s) = X(u(s), v(s)). Επομένως θα είναι γ = X u u + X v v (9.4) και γ = X uu u 2 + X uv v u + X u ü + X vu u v + X vv v 2 + X v v = X uu u 2 + 2X uv u v + X vv v 2 + X u ü + X v v. (9.5) Από τις σχέσεις (9.4) και (9.5) έχουμε X u, γ = X u, X u u + X v v = u X u, X u + v X u, X v = ue + vf (9.6) X v, γ = X v, X u u + X v v = u X v, X u + v X v, X v = uf + vg (9.7) X u, γ = X u, X uu u 2 + 2X uv u v + X vv v 2 + X u ü + X v v = u 2 X u, X uu + 2 u v X u, X uv + v 2 X u, X vv + üe + vf X v, γ = X v, X uu u 2 + 2X uv u v + X vv v 2 + X u ü + X v v = u 2 X v, X uu + 2 u v X v, X uv + v 2 X v, X vv + üf + vg. Αν τώρα λάβουμε υπόψη μας τους τύπους για τα σύμβολα του Christoffel πρώτου είδους από το Κεφάλαιο 7, τότε οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται: X u, γ = u 2 Γ u vγ v 2 Γ üe + vf (9.8) X v, γ = u 2 Γ u vγ v 2 Γ üf + vg. (9.9)

5 Γεωδαισιακή καμπυλότητα 5 Η σχέση (9.3) λόγω των (9.6), (9.7), (9.8) και (9.9) γίνεται 1 ue + vf u 2 Γ u vγ v 2 Γ üe + vf κ g (s) = EG F 2 ue + vg u 2 Γ u vγ v 2 Γ üf + vg. (9.10) Η σχέση (9.10) μπορεί να γίνει απλούστερη, αν χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους. Πράγματι, αν αναπτύξουμε την παραπάνω ορίζουσα, την οποία ας συμβολίσουμε με, έχουμε = ( u v ü v)(eg F 2 ) + u 3 (EΓ 211 F Γ 111 ) + 2 u 2 v(eγ 212 F Γ 112 ) + u v 2 (EΓ 222 F Γ 122 ) v 3 (GΓ 122 F Γ 222 ) 2 u v 2 (GΓ 112 F Γ 212 ) u 2 v(gγ 111 F Γ 211 ). Αν τώρα διαιρέσουμε και τα δύο μέλη αυτής της σχέσης με EG F 2 > 0 και λάβουμε υπόψη μας τις εκφράσεις για τα σύμβολα του Christoffel δευτέρου είδους (βλ. Κεφάλαιο 7), έχουμε EG F 2 = u v ü v + u 3 Γ u 2 vγ u v 2 Γ 2 22 v 3 Γ v 2 uγ 1 12 v u 2 Γ 1 11 = u( u 2 Γ u vγ v 2 Γ v) v( v 2 Γ u vγ u 2 Γ ü). Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στη σχέση (9.10), προκύπτει ο ακόλουθος τύπος για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα κ g (s) = EG F 2 u ü + u 2 Γ u vγ v2 Γ 1 22 v v + v 2 Γ u vγ u2 Γ (9.11) Από την σχέση αυτή βλέπουμε ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα εξαρτάται από τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης, τις παραγώγους αυτών ως προς u, v, αφού τα σύμβολα Γ k ij, i, j, k = 1, 2 έχουν τέτοια εξάρτηση, και τέλος, από τις παραγώγους των παραμέτρων u, v ως προς την παράμετρο s και το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Από τον τύπο (9.11) προκύπτουν, ως ειδικές περιπτώσεις, οι γεωδαισιακές καμπυλότητες (κ g (s)) u και (κ g (s)) v των παραμετρικών γραμμών v = σταθερό, u = σταθερό, στο τυχαίο σημείο αυτών: EG F (κ g (s)) u = Γ 2 2 EG F 11 E E, (κ g(s)) v = Γ G (9.12) G Παρατηρήσεις. 1) Οι παραπάνω τύποι είναι δυνατόν να εκφραστούν συναρτήσει της γωνίας ϕ των παραμετρικών γραμμών v = σταθερό, u = σταθερό, ως εξής: ( (κ g (s)) u = 1 ) ϕ E E u + Γ1 12 sin ϕ (9.13) G (κ g (s)) v = ( ) 1 ϕ G G + Γ2 12 sin ϕ. (9.14) E 2) Οταν οι παραμετρικές γραμμές της επιφάνειας M είναι ορθογώνιες, δηλαδή F = 0, τότε sin ϕ = 1, ϕ u = ϕ v = 0, Γ1 22 = G u 2E, Γ2 11 = E v 2G.

6 6 Γεωδαισιακές καμπύλες Στην περίπτωση αυτή οι τύποι (9.13) και (9.14) παίρνουν τη μορφή: E v (κ g (s)) u = 1 2 E G G u (κ g (s)) v = 1 2 G E. 3) Αν η επιφανειακή καμπύλη γ : I R M έχει τυχαία παράμετρο t, τότε η γεωδαισιακή καμπυλότητα αυτής δίνεται από τον τύπο: κ g (t) = EG F 2 u u + (u ) 2 Γ 1 11 γ (t) 3 + 2u v Γ (v ) 2 Γ 1 22 v v + (v ) 2 Γ u v Γ (u ) 2 Γ 2 11 (9.15) Εχοντας υπόψη τις σχέσεις (9.11) και (9.15), εύκολα συνάγεται ότι το πρόβλημα της εύρεσης γεωδαισιακών σε μια επιφάνεια ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω συστήματος διαφορικών εξισώσεων: ü + Γ 1 11 u 2 + 2Γ 1 12 u v + Γ 1 22 v 2 = 0 v + Γ 2 11 u 2 + 2Γ 2 12 u v + Γ 2 22 v 2 = 0, (9.16) οπότε η γεωδαισιακή θα ορίζεται παραμετρικά από τις εξισώσεις u = u(s), v = v(s), όπου s το μήκος τόξου της καμπύλης. Αντίστοιχα στην επίλυση του παρακάτω συστήματος: u + Γ 1 11(u ) 2 + 2Γ 1 12u v + Γ 1 22(v ) 2 = 0 v + Γ 2 11(u ) 2 + 2Γ 2 12u v + Γ 2 22(v ) 2 = 0, (9.17) οπότε η γεωδαισιακή θα ορίζεται παραμετρικά από τις εξισώσεις u = u(t), v = v(t) όπου t τυχαία παράμετρος. Τέλος, αν κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου s ή t στις παραπάνω δύο περιπτώσεις των γεωδαισιακών, δηλαδή αν η ζητούμενη γεωδαισιακή είναι της μορφής v = v(u), τότε αυτή ικανοποιεί την ακόλουθη διαφορική εξίσωση v (u) = Γ 1 22(v (u)) 3 + (2Γ 1 12 Γ 2 22)(v (u)) 2 + (Γ Γ 2 12)v (u) Γ Πρόταση 9.2. Μια επιφανειακή καμπύλη είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η γεωδαισιακή καμπυλότητά της είναι παντού μηδέν. Απόδειξη. Αν η γ είναι γεωδαισιακή, τότε γ(s) tan = 0, οπότε το διάνυσμα γ(s) είναι παράλληλο στο N(γ(s)) και κάθετο στο N(γ(s)) γ(s), άρα k g (s) = 0. Αντίστροφα, αν k g (s) = 0 τότε το διάνυσμα γ(s) είναι κάθετο στο N(γ(s)) γ(s). Συνεπώς, τα γ(s), N(γ(s)) και N(γ(s)) γ(s) είναι μοναδιαία διανύσματα του R 3 κάθετα μεταξύ τους και επειδή τα διανύσματα γ(s), γ(s) είναι και αυτά κάθετα μεταξύ τους, προκύπτει ότι το γ(s) είναι παράλληλο με το N(γ(s)), απ όπου προκύπτει ότι γ(s) tan = 0. Συνεπώς, η γ είναι μια γεωδαισιακή. Πρόταση 9.3. Οι παραμετρικές γραμμές v = σταθερό μιας επιφάνειας M με τοπική παραμέτρηση X : U R 2 M, X = X(u, v) είναι γεωδαισιακές αυτής, εάν και μόνο εάν ισχύουν οι σχέσεις E = E(u), αν F = 0, ή F E u + EE v = 2EF u αν F 0.

7 Γεωδαισιακή καμπυλότητα 7 Απόδειξη. Επειδή οι καμπύλες v = σταθερό είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας M, θα έχουμε v s = 0, u s = 1. (9.18) E Από τη δεύτερη εξίσωση των διαφορικών εξισώσεων (9.16) έχουμε Γ 2 11 = 0 ή ισοδύναμα F E u + EE v = 2EF u. (9.19) Η πρώτη εξίσωση των διαφορικών εξισώσεων (9.16) λόγω των (9.18) γίνεται οπότε τελικά έχουμε ( 1 s ) + Γ E E = 0 ή E u 2E E 1 + Γ E E = 0, Δεδομένου όμως ότι Γ 1 11 = GE u 2F F u + F E v 2(EG F 2, η σχέση (9.20) γίνεται: ) Γ 1 11 = E u 2E. (9.20) F (F E u + EE v 2EF u ) = 0. (9.21) Αν λοιπόν είναι F = 0, τότε από την (9.19) έχουμε ότι E v = 0, δηλαδή E = E(u). Αν όμως F 0, τότε η (9.21) ανάγεται στην (9.19) και η πρόταση έχει αποδειχθεί. Πρόταση 9.4. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω γ : I M μια καμπύλη στην M με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου. Εστω k : I R η καμπυλότητα της γ ως καμπύλης στον R 3 και έστω k n, k g : I R η κάθετη και η γεωδαισιακή καμπυλότητα αντίστοιχα. Τότε ισχύει η σχέση k(s) 2 = k g (s) 2 + k n (s) 2. Απόδειξη. Τα διανύσματα N(γ(s)) και N(γ(s)) γ(s) είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους, οπότε από την σχέση (9.2) έχουμε γ, γ = κ n N + κ g (N γ), κ n N + κ g (N γ) = κ n N + κ g (N γ), κ n N + κ n N + κ g (N γ), κ g (N γ) = κ 2 n + κ 2 g κ 2 = κ 2 n + κ 2 g, όπου κ = γ η καμπυλότητα της γ. Παράδειγμα 9.2. Κάθε (τμήμα) ευθείας σε μια επιφάνεια είναι γεωδαισιακή. Συγκεκριμένα, κάθε ευθεία σε μια επιφάνεια επιδέχεται μια παραμέτρηση ώστε να είναι γεωδαισιακή. Παράδειγμα 9.3. Οι γεννήτορες ενός γενικευμένου κυλίνδρου είναι γεωδαισιακές. Παράδειγμα 9.4. Κάθε κάθετη τομή μιας επιφάνειας M είναι γεωδαισιακή.

8 8 Γεωδαισιακές καμπύλες Σχήμα 9.1: Κάθετη τομή. Μια κάθετη τομή (normal section) της M είναι η τομή C της M με ένα επίπεδο Π, τέτοιο ώστε το Π να είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της M σε κάθε σημείο της C. Αυτό προκύπτει από το Θεώρημα Meusnier (βλ. Κεφάλαιο 5). Παράδειγμα 9.5. Κάθε μέγιστος κύκλος μιας σφαίρας είναι γεωδαισιακή καμπύλη. Αυτό είναι άμεσο από το προηγούμενο παράδειγμα, επειδή οι μέγιστοι κύκλοι προκύπτουν από κάθετες τομές της σφαίρας από επίπεδα που διέρχονται από το κέντρο της σφαίρας. Παράδειγμα 9.6. Εστω γ = (r, 0, z) : I R 3 μια λεία καμπύλη στο επίπεδο xz, τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s) 2 + ż(s) 2 = 1 για κάθε s I. Τότε η απεικόνιση X : I R R 3 cos v sin v 0 r(u) X(u, v) = sin v cos v z(u) = r(u) cos v r(u) sin v αποτελεί παραμέτρηση μιας επιφάνειας εκ περιστροφής M. Ο εφαπτόμενος χώρος σε ένα σημείο X(u, v) M παράγεται από τα διανύσματα ṙ(u) cos v X u = ṙ(u) sin v ż(u), X v = Διατηρώντας το v R σταθερό, η καμπύλη γ 1 : I M με τύπο r(u) cos v γ 1 (u) = r(u) sin v r(u) sin v r(u) cos v αποτελεί μια παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου ενός μεσημβρινού (meriian) της M. Εύκολα βλέπουμε ότι γ 1, X u = γ 1, X v = 0, δηλαδή γ 1 span{x u, X v }, οπότε ( γ 1 ) tan = 0, άρα η γ 1 : I M είναι μια z(u) 0 z(u).

9 Γεωδαισιακή καμπυλότητα 9 γεωδαισιακή της M. Παρόμοια, διατηρώντας το u R σταθερό (έστω u = u 0 ), η καμπύλη γ 2 : I M με τιμή γ 2 (v) = r(u) cos v r(u) sin v αποτελεί μια παραμέτρηση ενός παραλλήλου (parallel) της M. Με έναν απλό υπολογισμό προκύπτει ότι z(u) γ 2, X u = ṙ(u 0 )r(u 0 ), γ 2, X v = 0. Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη γ 2 : I M είναι μια γεωδαισιακή της M εάν και μόνο εάν ṙ(u 0 ) = 0, δηλαδή το u 0 είναι ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης r : I R. Και σε αυτό το παράδειγμα, τίθεται το ερώτημα αν η M έχει και άλλες γεωδαισιακές (βλ. στη συνέχεια το Θεώρημα Clairaut). Από τα προηγούμενα παραδείγματα φαίνεται ότι το πρόβλημα εύρεσης των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια επιφάνεια δεν είναι ιδιαιτέρως εύκολο. Στο επόμενο θεώρημα θα δούμε ότι το πρόβλημα αυτό ισοδυναμεί με την επίλυση ενός μη γραμμικού συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων, το οποίο όμως και αυτό στην πλήρη γενικότητά του δεν είναι πάντα εύκολο να επιλυθεί. Θεώρημα 9.2. Εστω M μια κανονική επιφάνεια και X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της M με θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης ( E F F G ) = [X][X] t. Αν γ : I M είναι μια καμπύλη της επιφάνειας M κλάσης C 2 τότε το τμήμα γ(s) = X(u(s), v(s)) : I X(U) M είναι μια γεωδαισιακή της M εάν και μόνο εάν ισχύουν οι εξής διαφορικές εξισώσεις: ( ) 1( E u + F v = Eu u 2 + 2F u u v + G u v 2) t 2 ( ) 1( F u + G v = Ev u 2 + 2F v u v + G v v 2), (9.22) t 2 όπου Eu 2 + 2F uv + Gv 2 είναι η πρώτη θεμελιώδης μορφή του X. Οι διαφορικές εξισώσεις (9.22) ονομάζονται γεωδαισιακές εξισώσεις. Απόδειξη. Επειδή το σύνολο {X u, X v } αποτελεί βάση του εφαπτόμενου επιπέδου του T X(u,v) M, η γ είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η επιτάχυνση γ είναι ορθογώνια στο X u και στο X v. Επειδή γ = ux u + vx v, αυτό είναι ισοδύναμο με τις εξισώσεις s ( ux u + vx v ), X u = 0 και s ( ux u + vx v ), X v. (9.23)

10 10 Γεωδαισιακές καμπύλες Θα δείξουμε ότι αυτό το ζεύγος των εξισώσεων είναι ισοδύναμο με τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Η αριστερή από τις εξίσωσεις (9.23) είναι ισοδύναμη με την s (( ux u + vx v )X u ) ( ux u + vx v ) X u s = s (E u + F v) ( ux u + vx v )( ux uu + vx uv ) = s (E u + F v) ( u2 (X u X uu ) + u v(x u X uv +X v X uu ) + v 2 (X v X uv )). (9.24) Επιπλέον, επειδή E u = X u, X u u = X uu, X u + X u, X uu = 2 X u, X uu, θα είναι X u, X uu = 1 2 E u και παρόμοια X u, X uv = 1 2 G u. Τέλος, είναι ότι X u, X uv + X v, X uu = X u, X v u = F u. Αντικαθιστώντας τις τελευταίες σχέσεις στην (9.24), παίρνουμε ( ) s ( ux u + vx v ) X u = s (E u + F v) 1 2 (E u u 2 + 2F u u v + G u v 2 ). Από εδώ φαίνεται ότι η πρώτη εξίσωση (9.23) είναι ισοδύναμη με την πρώτη γεωδαισιακή εξίσωση (9.22). Παρόμοια αποδεικνύεται η ισοδυναμία των δύο άλλων εξισώσεων. Παράδειγμα 9.7. Θα βρούμε τις γεωδαισιακές καμπύλες του ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας 1 με τοπική παραμέτρηση X : U R 2 M R 3, X(u, v) = (cos u, sin u, v), όπου U = [0, 2π) R, χρησιμοποιώντας τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι E = 1, F = 0 και G = 1. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (9.22), έχουμε ( u(s)) = 0 ü(s) = 0 u(s) = α u(s) = αs + β s ( v(s)) = 0 v(s) = 0 v(s) = c v(s) = cs +, s όπου α, β, c, R. Άρα η καμπύλη γ : I R M με εξίσωση γ(s) = X(u(s), v(s)) = (cos(αs + β), sin(αs + β), cs + ) είναι γεωδαισιακή της επιφάνειας M. Αν α = 0, η παραπάνω είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα των z, ένω, αν α 0, τότε η γεωδαισιακή είναι μια κυκλική έλικα. Στο ερώτημα κατά πόσον από κάθε σημείο μιας επιφάνειας διέρχεται μια γεωδαισιακή καμπύλη με δοσμένη αρχική ταχύτητα απαντά το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 9.3. Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p M και Z T p M. γεωδαισιακή γ : ( ɛ, ɛ) M Τότε υπάρχει μοναδική τοπικά ορισμένη που ικανοποιεί τις συνθήκες γ(0) = p και γ(0) = Z. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού ουσιαστικά βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα των Picar - Linelöf σχετικά με την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ενός προβλήματος διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών. Οι γεωδαισιακές διατηρούνται μέσω τοπικών ισομετριών. Αφήνουμε την απόδειξη της παρακάτω πρότασης ως άσκηση.

11 Γεωδαισιακή καμπυλότητα 11 Πρόταση 9.5. Εστω M 1, M 2 δύο κανονικές επιφάνειες και ϕ : M 1 M 2 μια τοπική ισομετρία. Τότε η καμπύλη γ 1 : I M 1 είναι μια γεωδαισιακή της M 1 εάν και μόνο εάν η σύνθεση γ 2 = ϕ γ 1 : I M 2 είναι μια γεωδαισιακή της M 2. Σχήμα 9.2: Γεωδαισιακή στον κύλινδρο. Εφαρμογή. Θα χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση για να βρούμε όλες τις γεωδαισιακές του ορθού κυκλικού κυλίνδρου M = S 1 I, I = [0, 1]. Γνωρίζουμε ήδη ότι οι κύκλοι x 2 + y 2 = 1 είναι γεωδαισιακές του M ως κάθετες τομές. Θεωρούμε την απεικόνιση X : R 2 M με X(u, v) = (cos u, sin u, v) από το επίπεδο xy στον κύλινδρο. Η απεικόνιση αυτή είναι μια τοπική ισομετρία (γιατί;) Γνωρίζουμε ότι οι γεωδαισιακές καμπύλες του επιπέδου είναι οι ευθείες. Παίρνουμε τις εικόνες μέσω της X των ευθειών y = mx + c που δεν είναι παράλληλες με τον άξονα x. Αυτές έχουν τη μορφή γ(u) = (cos u, sin u, mu + c) (όπου θέσαμε x = u, y = v), οι οποίες είναι κυκλικές έλικες βήματος 2π m. Για m = 0 παίρνουμε τις ήδη γνωστές κυκλικές γεωδαισιακές. Τέλος, μια άλλη κλάση γεωδαισιακών προκύπτει αν πάρουμε τις εικόνες μέσω της X των ευθειών του επιπέδου που είναι παράλληλες με τον άξονα y. Αυτές είναι οι γεννήτορες του κυλίνδρου. Παράδειγμα 9.8. Θα βρούμε τις γεωδαισιακές της σφαίρας S 2. Θεωρούμε την παραμέτρηση της σφαίρας με γεωγραφικές συντεταγμένες X(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ) (θ = γεωγραφικό πλάτος, ϕ = γεωγραφικό μήκος). Γνωρίζουμε ότι η πρώτη θεμελιώδης μορφή της σφαίρας για την παραμέτρηση αυτή είναι s 2 = θ 2 + cos 2 θϕ 2, άρα E = 1, F = 0, G = cos 2 θ. Θα αναζητήσουμε γεωδαισιακές γ(t) = X ( θ(t), ϕ(t) ) μοναδιαίας ταχύτητας γ(t) = 1. Η σχέση αυτή δίνει θx θ + ϕx ϕ = 1, από όπου μετά από πράξεις παίρνουμε ότι θ 2 + ϕ 2 cos 2 θ = 1. (9.25) Από τη δεύτερη διαφορική εξίσωση των γεωδαισιακών του Θεωρήματος 9.2 προκύπτει ότι t ( ϕ cos2 θ) = 0 ϕ cos 2 θ = Ω

12 12 Γεωδαισιακές καμπύλες για μια σταθερά Ω, συνεπώς ϕ 2 = Ω2 cos 4 θ. Αν Ω = 0, τότε ϕ2 = 0, δηλαδή η ϕ είναι σταθερή, οπότε η γ είναι τμήμα ενός μεσημβρινού. Εστω ότι Ω 0, άρα ϕ 0. Τότε η συνθήκη (9.25) δίνει θ2 = 1 ϕ 2 cos 2 θ = 1 Ω2 cos 2 θ. Άρα ή από όπου παίρνουμε Συνεπώς, θ 2 1 ϕ 2 = Ω 2 cos 2 θ Ω 2 cos 4 θ = cos 2 θ(ω 2 cos 2 θ 1) (θ ) 2 t (ϕ) = cos 2 θ(ω 2 cos 2 θ 1), 2 t ( ) θ 2 = cos 2 θ(ω 2 cos 2 θ 1). ϕ ( ) θ ϕ = ± cos θ Ω 2 cos 2 1 θ 1 ϕ = ± cos θ θ Ω 2 cos 2 θ 1 θ ±(ϕ ϕ 0 ) = cos θ Ω 2 cos 2 θ 1, ϕ 0 σταθερά. Θέτουμε u = tan θ, άρα u = 1 cos 2 θ. Συνεπώς, προκύπτει τελικά ότι θ ( ) u ±(ϕ ϕ 0 ) = Ω 2 1 u = u 2 sin 1 Ω 2 1 άρα ± sin(ϕ ϕ 0 ) = tan θ Ω 2 1 άρα tan θ = ± Ω 2 1 sin(ϕ ϕ 0 ). Από αυτό προκύπτει ότι οι συντεταγμένες x = cos θ cos ϕ, y = cos θ sin ϕ, z = sin θ της γ(t) ικανοποιούν την εξίσωση z = ax + by, όπου a = ± Ω 2 1 sin ϕ 0 και b = ± Ω 2 1 cos ϕ 0. Με άλλα λόγια η γ προκύπτει από την τομή της σφαίρας S 2 με ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, η γ είναι τμήμα ενός μέγιστου κύκλου. 9.2 Το Θεώρημα Clairaut Οι γεωδαισιακές εξισώσεις για επιφάνειες εκ περιστροφής είναι συνήθως δύσκολο να επιλυθούν ακριβώς, ωστόσο μπορούν να χρησιμοποιηθούν, ώστε να έχουμε μια καλή ποσοτική κατανόηση των γεωδαισιακών για τέτοιου είδους επιφάνειες.

13 Το Θεώρημα Clairaut 13 Εστω X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) παραμέτρηση μιας εκ περιστροφής επιφάνειας, για την ( ) f 2 ( ) g 2 οποία υποθέτουμε ότι f > 0 και + = 1. Από την (9.22) βλέπουμε ότι οι γεωδαισιακές u u εξισώσεις είναι οι ü = f(u) f u v2, Με βάση τα προηγούμενα αποδεικνύεται η εξής πρόταση (άσκηση). t (f 2 (u) v) = 0. (9.26) Πρόταση 9.6. Για την επιφάνεια εκ περιστροφής X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) ισχύουν τα εξής: (1) Κάθε μεσημβρινός είναι γεωδαισιακή. (2) Ο παράλληλος, για παράδειγμα u = u 0, είναι γεωδιασιακή εάν και μόνο εάν το u 0 είναι κρίσιμο σημείο της f, δηλαδή εάν f u = 0. u=u0 Η παραπάνω πρόταση δίνει κάποιες από τις γεωδαισιακές της επιφάνειας εκ περιστροφής. Ενας εναλλακτικός τρόπος εντοπισμού γεωδαισιακών για τέτοιου είδους επιφάνειες είναι χρησιμοποιώντας το παρακάτω ενδιαφέρον θεώρημα. Θεώρημα 9.4. (Clairaut) Εστω M μια κανονική επιφάνεια εκ περιστροφής και γ : I M μια γεωδαισιακή με παραμέτρηση ως προς το μηκός τόξου. Εστω ρ : M R + η συνάρτηση απόστασης ενός σημείου γ(t) M από τον άξονα περιστροφής και έστω ϕ : I M η γωνία μεταξύ του διανύσματος γ(t) και ένος μεσημβρινού που διέρχεται από το γ(t). Τότε το γινόμενο ρ(t) sin ϕ(t) είναι σταθερό κατά μήκος της γεωδαισιακής γ. Το αντίστροφο ισχύει, εάν η καμπύλη γ είναι τμήμα κάποιου παραλλήλου της M. Απόδειξη. Εστω M μια επιφάνεια εκ περιστροφής με την παραμέτρηση X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), όπου ρ = f(u). Επειδή ρ 2 (u) + ġ 2 X u (u) = 1, τα διανύσματα X u = X u και Xv X v X v = ρ 1 X v είναι μοναδιαία και εφαπτόμενα στους παράλληλους και στους μεσημβρινούς αντίστοιχα. Επειδή F = X u, X v = 0, τα διανύσματα αυτά είναι και κάθετα. Υποθέτουμε ότι η καμπύλη γ(t) = X(u(t), v(t)) είναι μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε το εφαπτόμενο διάνυσμα γ(t) = X u u + X v v θα γράφεται ως γραμμικώς συνδυασμός ως προς τη βάση {X u, X v } με τον εξής τρόπο: γ(t) = X u u + X v v = cos ϕx u + sin ϕ X v = cos ϕx u + ρ 1 sin ϕx v. Από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε ( u cos ϕ)x u + ( v ρ 1 sin ϕ)x v = 0. Επειδή τα X u και X v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, θα είναι u cos ϕ = 0 (9.27) v ρ 1 sin ϕ = 0. (9.28)

14 14 Γεωδαισιακές καμπύλες Σχήμα 9.3: Εκ περιστροφής επιφάνεια και το θεώρημα Clairaut. Η σχέση (9.28) δίνει ρ 2 v = ρ sin ϕ, οπότε από τη δεύτερη εξίσωση της σχέσης (9.26), προκύπτει ότι ρ sin ϕ = Ω, Ω R. Για το αντίστροφο, εάν το ρ sin ϕ είναι μια σταθερά Ω πάνω σε μια μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη γ της επιφάνειας M, από τα προηγούμενα προκύπτει εύκολα ότι ικανοποιείται η δεύτερη εξίσωση της σχέσης (9.26). Πρέπει να αποδείξουμε ότι ικανοποιείται και η πρώτη εξίσωση της (9.26). Είναι ρ v = sin ϕ v = ρ sin ϕ ρ 2 v = Ω ρ 2. (9.29) Επειδή η καμπύλη γ(t) = X(u(t), v(t)) είναι μοναδιαίας ταχύτητας θα έχουμε γ(t) = 1 u 2 + f 2 (u) v 2 = 1 u 2 = 1 Ω2 ρ 2. Παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση ως προς t και μετά από πράξεις έχουμε: 2 uü = 2Ω ( 2Ω ρ ρ = ρ3 ρ 3 u u ü ρ ρ ) u u v2 = 0. Εάν η ποσότητα στην παραπάνω παρένθεση δεν μηδενίζεται σε κάποιο σημείο της καμπύλης, έστω γ(t 0 ) = X(u(t 0 ), v(t 0 )), θα υπάρχει ένας αριθμός ɛ > 0, τέτοιος ώστε η ποσότητα να μην μηδενίζεται και για t t 0 < ɛ. Αλλά τότε, u = 0 όταν t t 0 < ɛ. Επομένως, η γ ταυτίζεται με τον παράλληλο u = u 0 όταν t t 0 < ɛ, πράγμα αντίθετο με την υπόθεση. Άρα, η ποσότητα μέσα στην παρένθεση πρέπει να μηδενίζεται παντού πάνω στην γ, δηλαδή ü = ρ ρ u v2, το οποίο δείχνει ότι η πρώτη εξίσωση στην (9.26) ικανοποείται.

15 Γεωδαισιακές μέσω λογισμού μεταβολών 15 Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα για τις επιφάνειες εκ περιστροφής ισχύει ότι u 2 = 1 Ω2 ρ 2 v = sin θ ρ Η σταθερά Ω παίρνει διαφορετικές τιμές για κάθε γεωδαισιακή και έχει την εξής γεωμετρική ερμηνεία: = Ω ρ 2 (1) Αν Ω = 0, τότε v =σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι οι μεσημβρινοί. (2) Αν Ω > 0, τότε από την εξίσωση u 2 = 1 Ω2 ρ 2 βλέπουμε ότι οι γεωδαισιακές βρίσκονται στο μέρος της επιφάνειας M που απέχει απόσταση 0 Ω ρ από τον άξονα περιστροφής. 9.3 Γεωδαισιακές μέσω λογισμού μεταβολών Θα συζητήσουμε τη βασική ιδιότητα των γεωδαισιακών που είναι ότι τοπικά ελαχιστοποιούν την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια επιφάνεια. Η άποψη αυτή γενικεύει την ιδιότητα των ευθειών στο επίπεδο ως καμπύλες που ελαχιστοποιούν την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Για την προσέγγιση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε στοιχεία λογισμού μεταβολών, μια από τις πιο παλαιές περιοχές των μαθηματικών. Ορισμός 9.3. Εστω M μια κανονική επιφάνεια και γ : I M μια καμπύλη κλάσης C 2. Εστω [a, b] ένα συμπαγές υποδιάστημα του I. 1. Το συναρτησοειδές μήκους (length functional) L [a,b] ορίζεται ως L [a,b] (γ) = b a γ(t) t. 2. Το συναρτησοειδές ενέργειας (energy functional) E [a,b] ορίζεται ως E [a,b] (γ) = 1 2 b a γ(t) 2 t. Ορισμός 9.4. Εστω M μια κανονική επιφάνεια, γ : I M μια καμπύλη κλάσης C Μια μεταβολή (variation) της γ είναι μια απεικόνιση κλάσης C 2 της μορφής Φ : ( ɛ, ɛ) I M, Φ = Φ(t, s) = Φ t (s), τέτοια ώστε Φ 0 (s) = Φ(0, s) = γ(s) για κάθε s I. Εάν το διάστημα I είναι συμπαγές (I = [a, b]), τότε μια μεταβολή Φ ονομάζεται γνήσια (proper), εάν για κάθε t ( ɛ, ɛ) ισχύουν οι σχέσεις Φ t (a) = γ(a) και Φ t (b) = γ(b). 2. Μια καμπύλη γ : I M κλάσης C 2 ονομάζεται κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς μήκους, εάν κάθε γνήσια μεταβολή Φ της γ [a,b] ικανοποιεί την σχέση ( L[a,b] (Φ t ) ) t t=0 = 0.

16 16 Γεωδαισιακές καμπύλες Το παρακάτω θεώρημα αναφέρει ότι οι γεωδαισιακές καμπύλες σε μια επιφάνεια χαρακτηρίζονται ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς μήκους τα οποία, όπως αποδεικνύεται, είναι τα ίδια με αυτά του συναρτησοειδούς ενέργειας. Θεώρημα 9.5. Εστω γ : I = [a, b] M μια καμπύλη κλάσης C 2 με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε η γ είναι ένα κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς μήκους εάν και μόνο εάν η γ είναι μια γεωδαισιακή της M Απόδειξη. Εστω Φ : ( ɛ, ɛ) I M με (t, s) Φ(t, s) μια γνήσια μεταβολή της γ : I M. Τότε ( L[a,b] (Φ t ) ) t=0 t = ( b γ t (s) s) t a t=0 b = Φ a t s, Φ s s t=0 ( b = 2 Φ t t s, Φ s / = = a b a b Επειδή η μεταβολή είναι γνήσια, θα ισχύει Επιπλέον, επειδή προκύπτει ότι t a t 2 Φ s t, Φ s s t=0 ( s Φ t, Φ s Φ = ( Φ Φ (0, s), t s (0, s) ) b a Φ t Φ s, Φ s t, 2 Φ Φ (0, a) = (0, b) = 0. t 2 Φ (0, s) = γ(s), s2 ( L[a,b] (Φ t ) ) t=0 = b a ) s ) s 2 s b a t=0 t=0 Φ t (0, s), γ(s)tan s. Φ t (0, s), 2 Φ (0, s) s. s2 Το τελευταίο ολοκλήρωμα μηδενίζεται για κάθε γνήσια κύμανση Φ της γ, εάν και μόνο εάν η γ είναι μια γεωδαισιακή. Θα συζητήσουμε τώρα τις ελαχιστικές ιδιότητες των γεωδαισιακών. Θα αρχίσουμε με μερικές ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις. 1. Αν η γ : I M είναι μια καμπύλη με ελάχιστο μήκος που ενώνει δύο σημεία γ(a), γ(b) M, τότε το συναρτησοειδές L [a,b] ελαχιστοποιείται για t = 0, άρα ( L[a,b] (Φ t ) ) t=0 t = 0, συνεπώς η γ είναι μια γεωδαισιακή της επιφάνειας M.

17 Η εκθετική απεικόνιση Αν η γ : I M είναι μια γεωδαισιακή που ενώνει τα γ(a), γ(b), τότε η γ είναι μεν ένα κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς L [a,b], αλλά δεν είναι απαραίτητα μια καμπύλη ελάχιστου μήκους μεταξύ των γ(a), γ(b). Πάρτε για παράδειγμα την σφαίρα S 2 και τα σημεία της γ(a), γ(b) επί του ισημερινού γ, ο οποίος είναι μια γεωδαισιακή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το τμήμα της γ που ελαχιστοποιεί την απόσταση μεταξύ των γ(a), γ(b) είναι το μικρό τμήμα της γ μεταξύ των γ(a), γ(b) και όχι το μεγάλο. Σχήμα 9.4: Ελάχιστη απόσταση. 3. Μια καμπύλη ελάχιστου μήκους μεταξύ δύο σημείων μιας επιφάνειας M μπορεί και να μην υπάρχει καθόλου. Πάρτε για παράδειγμα M = R 2 \ {(0, 0)} R 3. Τότε δεν υπάρχει καμπύλη ελάχιστου μήκους, που να ενώνει τα σημεία p = ( 1, 0) και q = (1, 0). Παρόλα αυτά, αποδεικνύεται το εξής: αν δύο σημεία p, q σε μια κλειστή επιφάνεια M μπορούν να ενωθούν με μια καμπύλη στην M, τότε υπάρχει καμπύλη ελάχιστου μήκους που να τα ενώνει. Για παράδειγμα, το επίπεδο Π R 3 και η σφαίρα S 2 είναι κλειστές επιφάνειες, ενώ η M = R 2 \ {(0, 0)} R 3 δεν είναι κλειστή. 9.4 Η εκθετική απεικόνιση Θα προχωρήσουμε τώρα σε κάποια ελαφρώς πιο εξειδικευμένα θέματα. Εστω M μια κανονική επιφάνεια, p M και έστω T 1 p M = {W T p M : W = 1} η μοναδιαία σφαίρα (μοναδιαίος κύκλος) στον εφαπτόμενο χώρο T p M. Τότε κάθε μη μηδενικό διάνυσμα Z T p M μπορεί να γραφτεί ως Z = r Z e Z, όπου r Z = Z και e Z = 1 Z Z T p 1 M. Για κάθε W Tp 1 M έστω γ W : ( a W, b W ) M η μέγιστη γεωδαισιακή καμπύλη, τέτοια ώστε a W, b W R + { }, γ W (0) = p, γ W (0) = W (τέτοια γεωδαισιακή

18 18 Γεωδαισιακές καμπύλες υπάρχει). Αποδεικνύεται ότι ο πραγματικός αριθμός ɛ p = inf{a W, b W : W Tp 1 M} είναι θετικός, συνεπώς το σύνολο (ανοικτή μπάλα) B ɛp (0) = {Z T p M : Z < ɛ p } είναι μη κενό. Ορισμός 9.5. Η εκθετική απεικόνιση (exponetial map) exp p : B ɛp (0) T p M M στο σημείο p ορίζεται ως p, αν Z = 0 exp p (Z) = γ ɛz (r Z ), αν Z 0. Παρατηρήσεις. 1) Ο όρος ἑκθετική απεικόνιση εξηγείται καλύτερα μελετώντας διαφορική γεωμετρία σε μεγαλύτερες διαστάσεις, δηλαδή σε πολλαπλότητες. Εκεί είναι δυνατόν να οριστεί κατά φυσικό τρόπο η έννοια της γεωδαισιακής σε συμπαγείς ομάδες πινάκων, όπως για παράδειγμα η ορθογώνια ομάδα O(n). Τότε αποδεικνύεται ότι η αντίστοιχη εκθετική απεικόνιση στο ουδέτερο σημείο I O(n) (ταυτοτικός πίνακας) είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων, δηλαδή exp I (A) = e A, A T I O(n). 2) Αν W Tp 1 M, τότε η ευθεία λ W : ( ɛ p, ɛ p ) T p M, λ W (t) = tw απεικονίζεται μέσω της εκθετικής απεικόνισης στη γεωδαισιακή γ W, δηλαδή τοπικά ισχύει γ W = exp p λ W. Συνεπώς, τοπικά η εκθετική απεικόνιση απεικονίζει ευθείες σε γεωδαισιακές. Αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση exp p είναι διαφορίσιμη. Επιπλέον, ισχύει το εξής: Πρόταση 9.7. Το διαφορικό (exp p ) 0 : T p M T p M της εκθετικής απεικόνισης ισούται με την ταυτοτική απεικόνιση I TpM στον εφαπτόμενο χώρο T p M. Απόδειξη. Εστω v T p M. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω Παρατήρηση 2) υπολογίζουμε: (exp p ) 0 (v) = t exp p(tv) = t=0 t γ tv ( tv ) = t=0 t γ tv(1) = t=0 t t=0 (tv) = v. tv Συνεπώς, από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης υπάρχει r p R +, έτσι ώστε αν U p = B rp (0) και V p = exp p (U p ), τότε η απεικόνιση exp p Up : U p V p είναι μια αμφιδιαφόριση, η οποία παραμετρικοποιεί το ανοικτό υποσύνολο V p της επιφάνειας M. Το σύνολο αυτό (χάρτης της M) έχει ιδαίτερη σημασία στη διαφορική γεωμετρία και ονομάζεται κανονική περιοχή (normal neighborhoo) του p M. Παράδειγμα 9.9. Εστω S 2 η μοναδιαία σφαίρα του R 3 και p = (1, 0, 0) ο βόρειος πόλος. μοναδιαίος κύκλος στον εφαπτόμενο χώρο T p S 2 δίνεται ως Τότε ο T 1 p S 2 = {(0, cos θ, sin θ) : θ R}.

19 Λυμένα παραδείγματα 19 Η εκθετική απεικόνιση exp p : T p S 2 S 2 της S 2 στο p δίνεται από την σχέση exp p (s(0, cos θ, sin θ)) = (cos s)(1, 0, 0) + (sin s)(0, cos θ, sin θ). Είναι σαφές ότι η εκθετική απεικόνιση περιορισμένη στην ανοικτή μπάλα B π (0) = {Z T p S 2 : Z < π} είναι 1 1, συνεπώς η γεωδαισιακή γ(s) = exp p (s(0, cos θ, sin θ)) αποτελεί την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων p και γ(r), για κάθε r < π. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να κάνει ένα σχήμα του παραδείγματος αυτού. Ερχόμαστε τώρα στο κεντρικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου αυτού. Θεώρημα 9.6. Εστω M μια κανονική επιφάνεια. Τότε οι γεωδαισιακές καμπύλες ελαχιστοποιούν τοπικά την απόσταση μεταξύ των άκρων τους. Απόδειξη. Εστω p M, U = B r (0) T p M και V = exp p (U), έτσι ώστε ο περιορισμός ϕ = exp p U : U V της εκθετικής απεικόνισης στο p να είναι αμφιδιαφόριση. Ορίζουμε μια μετρική s 2 στην περιοχή U ως s 2 (Z, W ) = ϕ(z), ϕ(w ) για κάθε Z, W διανυσματικά πεδία στο U. Με τη μετρική αυτή η απεικόνιση ϕ γίνεται ισομετρία. Από τον τρόπο ορισμού της εκθετικής απεικόνισης προκύπτει ότι οι γεωδαισιακές στο U που διέρχονται από το σημείο 0 = ϕ 1 (p) είναι ακριβώς οι ευθείες λ Z : t tz (Z T p M). Εστω q B r (0) \ {0} και λ q : [0, 1] B r (0) η καμπύλη λ q (t) = tq. Θεωρούμε σ : [0, 1] U οποιαδήποτε καμπύλη του U, τέτοια ώστε σ(0) = 0, σ(1) = q. Ορίζουμε δύο διανυσματικά πεδία X και X ra κατά μήκος της σ ως εξής: X : t σ(t) και Τότε προκύπτει ότι και X ra : t s2 ( σ(t), X(t)) s 2 (X(t), X(t)) σ(t). X ra (t) = s2 ( σ(t), X(t)) s 2 (X(t), X(t)) t X(t) = s t 2 (X(t), X(t)) = s2 ( σ(t), X(t)), X(t) από τις οποίες παίρνουμε ότι X ra (t) X(t). Συνεπώς t L(σ) = 1 0 σ(t) t 1 0 X ra (t) t = X(1) X(0) = q = L(λ q ). 1 0 t X(t) t Η παραπάνω ανισότητα αποδεικνύει ότι η καμπύλη λ q είναι η καμπύλη ελάχιστου μήκους που ενώνει τα σημεία p και q.

20 20 Γεωδαισιακές καμπύλες 9.5 Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα Να εξετασθεί αν οι καμπύλες που ορίζονται από τις εξισώσεις u = αt 2, v = αt 3, α R, είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας της οποίας η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι I = 2v 2 u 2 2uvuv + u 2 v 2, u > 0, v > 0. Λύση Για να είναι μια καμπύλη γεωδαισιακή της επιφάνειας θα πρέπει κ g = 0, οπότε θα πρέπει να ισχύει η σχέση u v u v + Γ 2 11(u ) 3 + (2Γ 2 12 Γ 1 11)(u ) 2 v (2Γ 1 12 Γ 2 22)u (v ) 2 Γ 1 22(v ) 3 = 0. (9.30) Είναι όμως, u = 2αt, u = 2α, v = 3αt 2, v = 6αt (9.31) οπότε τα σύμβολα Christoffel θα είναι E = 2v 2, F = uv, G = u 2, EG F 2 = u 2 v 2, (9.32) Γ 2 11 = 6v u 2, Γ2 12 = 4 u, Γ1 11 = 3 u, Γ1 12 = 3 v, Γ2 22 = 2 v, Γ1 22 = 2u v 2. (9.33) Το πρώτο μέλος της σχέσης (9.30) λόγω των (9.32) και (9.33) γίνεται 12α 2 t 2 6α 2 t 2 6αt3 α 2 t 4 8α3 t αt 2 4α2 t 2 3αt 2 8 αt 3 18α3 t 5 + 2αt2 α 2 t 6 27α3 t 6 = 12α 2 t 2 6α 2 t 2 48α 2 t α 2 t 2 144α 2 t α 2 t 2 = 0. Από την παραπάνω εξίσωση βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση (9.30) κατά συνέπεια οι δοσμένες καμπύλες είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας, εφοδιασμένη με την πρώτη θεμελιώδη μορφή I. Παράδειγμα Εστω M μια επιφάνεια με παραμέτρηση X : U R 2 M για την οποία ισχύει E = E(u), F = 0, G = G(u). Αν γ(s) = X(u(s), v(s)) είναι μια γεωδαισιακή, αναφερόμενη στη φυσική παράμετρό της, να δειχθεί ότι G cos θ =σταθερό, όπου θ είναι η γωνία μεταξύ της γεωδαισιακής και των v-παραμετρικών καμπυλών u =σταθερό. Λύση Υπολογίζουμε αρχικώς τα σύμβολα Christoffel Γ 2 11 = Γ 2 22 = 0, Επομένως η δεύτερη από τις εξισώσεις (9.16) γίνεται: Γ 2 12 = G u 2G. (9.34) v(s) + G u u(s) v(s) = 0 G G v(s) + G u u(s) v(s) = 0 ( G v ) = 0 s s

21 Λυμένα παραδείγματα 21 οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε G v = G v(s) = c, c R. (9.35) s Αν θέσουμε T (s) το εφαπτόμενο διάνυσμα της γεωδαισιακής στο τυχαίο σημείο αυτής, θα έχουμε T (s) = X u u(s) + X v v(s). Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με X v και λαμβάνοντας υπόψη ότι F = X u, X v = 0, έχουμε Λόγω της (9.35) είναι T (s), X v = c, άρα T (s), X v = X v, X v v(s) T (s), X v = G v(s). T (s) X v cos θ = c. Επειδή όμως T (s) = 1 και X v = G, έχουμε τελικά ότι G cos θ = c, c R που είναι η ζητούμενη σχέση. Παράδειγμα Οι γεωδαισιακές καμπύλες του υπερβολικού επιπέδου. Λύση Θα αρχίουμε με κάποιους γενικότερους χρήσιμους υπολογισμούς. Εστω M μια επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμέτρηση X : I R M cos v sin v 0 r(s) X(s, v) = sin v cos v z(s) = r(s) cos v r(s) sin v όπου (r, 0, z) : I R 3 μια διαφορίσιμη καμπύλη στο επίπεδο xz, τέτοια ώστε r(s) > 0 και ṙ(s) 2 +ż(s) 2 = 1 για κάθε s I. Γνωρίζουμε ότι (βλ. Κεφάλαιο 5) ότι η καμπυλότητα Gauss K της M ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση r(s) + K(s)r(s) = 0. Αν υποθέσουμε ότι K 1 (μονίμως αρνητική) και λύσουμε τη διαφορική αυτή εξίσωση, προκύπτει η γενική λύση r(s) = ae s + be s. Επιλέγοντας τις συναρτήσεις r, z : R + R να ικανοποιούν τις r(s) = e s, z(s) = s 0 1 e 2t t λαμβάνουμε την παραμέτρηση X : R + R R 3 της ψευδοσφαίρας (pseuosphere), με θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης ( ) ( ) Ẽ F = [ F G X][ X] t 1 0 = 0 e 2s. z(s),

22 22 Γεωδαισιακές καμπύλες Εισάγουμε τώρα μια νέα μεταβλητή u > 0 από την σχέση s(u) = ln u και έτσι παίρνουμε μια νέα παραμέτρηση X : R + R M της ψευδοσφαίρας, όπου X(u, v) = X(s(u), v). Τότε από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι X u = s u X s = 1 u X s από όπου προκύπτουν τα θεμαλιώδη ποσά πρώτης τάξης της παραμέτρησης X: ( ) ( ) E F = [X][X] t = 1u F G 0 1 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή ορίζει (επάγει) τη μετρική s 2 = 1 u 2 (v2 + u 2 ) στο άνω ημιεπίπεδο H 2 = {(v, u) R 2 : u > 0}. Η μετρική αυτή ονομάζεται υπερβολική μετρική του άνω ημιεπιπέδου. Ο υπερβολικός χώρος (ή επίπεδο) (hyperbolic space) (H 2, s 2 ) έχει ιδιαίτερη γεωμετρική και ιστορική σημασία μια και είναι ένα μοντέλο μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Θα βρούμε τώρα τις γεωδαισιακές καμπύλες του υπερβολικού επιπέδου. Εστω γ = (v, u) : I H 2 μια γεωδαισιακή με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε γ = ( v, u) και γ 2 H 2 = s 2 ( γ, γ) = 1 u 2 ( v2 + u 2 ) = 1 ή ισοδύναμα v 2 + u 2 = u 2. Από το Θεώρημα Clairaut ισχύει ότι η ποσότητα r(s) sin θ(s) = 1 u 2 ṙ R είναι σταθερή (πραγματικός αριθμός) κατά μήκος της γεωδαισιακής. Τότε προκύπτει ότι v = v t = u2 R. a) Αν R = 0, τότε v = 0 άρα η συνάρτηση v είναι σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι οι κάθετες ευθείες v = v 0 του άνω ημιεπιπέδου H 2 είναι γεωδαισιακές. b) Αν R 0 τότε από τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε ότι u 4 R 2 + u 2 = u 2 και ισοδύναμα ότι u = ±u 1 R 2 u 2. Αυτό σημαίνει ότι και ισοδύναμα ότι v u = v u = ± Ru 1 R 2 u 2 Ru v = ± 1 R 2 u u. 2 u t = Ολοκληρώνοντας παίρνουμε R(v v 0 ) = ± 1 R 2 u 2 άρα (v v 0 ) 2 + u 2 = γεωδαισιακή είναι ένα ημικύκλιο στο H 2 με κέντρο (v 0, 0) και ακτίνα 1 R. 1, το οποίο σημαίνει ότι η R2

23 Ασκήσεις 23 Σχήμα 9.5: Το υπερβολικό επίπεδο. Παράδειγμα Εστω M = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 ελλειπτικό παραβολοειδές εκ περιστροφής με τοπική παραμέτρηση X : R + (0, 2π) R 3, X(u, v) = (u cos v, u sin v, u 2 ). Θα υπολογίσουμε τη γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραλλήλων. Λύση Είναι Για τον παράλληλο u = u 0 έχουμε ότι X u = (cos v, sin v, 2u), X v = ( u sin v, u cos v, 0), E = X u, X u = 1 + 4u 2, F = X u, X v = 0, G = X v, X v = u 2, 1 N = ( 2u cos v, 2u sin v, 1) u 2 γ = X v 1 = ( sin v, cos v, 0), γ = X v X vv X vv = 1 ( cos v, sin v, 0), u 0 1 N(γ(t)) γ = ( cos v, sin v, 2u 1 + 4u 2 0 ), 0 Συνεπώς, k g = γ, N(γ) γ = 1 u u Ασκήσεις 1. Εστω γ(t) μια τυχαία γεωδαισιακή καμπύλη σε μια επιφάνεια και έστω γ = λ. Αποδείξτε ότι η καμπύλη γ = γ(t/λ) είναι μια αναπαραμέτρηση της γ με μοναδιαία ταχύτητα, η οποία είναι και αυτή γεωδαισιακή καμπύλη. 2. Αποδείξτε ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα ικανοποιεί την σχέση k g (s) 2 = γ(s) tan Εστω T 2 R 3 ο δακτύλιος (torus) ο οποίος προκύπτει με περιστροφή του κύκλου με κέντρο (0, 2, 0) και ακτίνα 1 του επιπέδου yz, περί τον άξονα z.

24 24 Γεωδαισιακές καμπύλες (α) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση X : ( π/2, 3π/2) (0, 2π) R 3 με τύπο X(u, v) = ((2 + cos u) cos v, (2 + cos u) sin v, sin u) είναι μια τοπική παραμέτρηση του T 2. (β) Υπολογίστε τη γεωδαισιακή καμπυλότητα του παραλλήλου X u : (0, 2π) T με X u (t) = ((2 + cos u) cos t, (2 + cos u) sin t, sin u), ως συνάρτηση του u ( π/2, 3π/2). 4. Να βρεθούν οι γεωδαισιακές καμπύλες του ορθού κυκλικού κώνου, που ορίζεται από την εξίσωση όπου θ = σταθερά, u > Αποδείξτε την Πρόταση Αποδείξτε την Πρόταση 9.6. X(u, v) = (u sin θ cos v, u sin θ sin v, u cos θ), 7. Αν X = X(u, v) είναι μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας M, τέτοια ώστε E = E(u), F = 0 και G = G(u), τότε (1) Οι u-παραμετρικές καμπύλες (v =σταθερό) είναι γεωδαισιακές. (2) Οι v-παραμετρικές καμπύλες (u =σταθερό) είναι γεωδαισιακές εάν και μόνα εάν G u (u 0 ) = 0. (3) Μια καμπύλη γ(u) = X(u, v(u)) είναι γεωδαισιακή της επιφάνειας εάν και μόνο εάν v = ± c E u, c R. G(G c 2 ) 8. Μια επιφάνεια με παραμέτρηση X = X(u, v) λέγεται επιφάνεια του Liouville αν E = G = U(u) + V (v) και F = 0. Αν γ είναι μια γεωδαισιακή της επιφάνειας με εξίσωση γ(s) = X(u(s), v(s)), να δειχθεί ότι U sin 2 θ V cos 2 θ = c, c R, όπου θ είναι η γωνία της γ και των u-παραμετρικών καμπυλών. 9. Εστω M μια επιφάνεια του R 3 με τοπική παραμέτρηση X = X(u, v), τέτοια ώστε F = 0 και E = 1. Αποδείξτε ότι οι u-παραμετρικές καμπύλες είναι γεωδαισιακές. 10. Εστω X : U R 2 M μια παραμέτρηση μιας επιφάνειας M, τέτοια ώστε G v Δείξτε ότι οι v-παραμετρικές καμπύλες είναι γεωδαισιακές της επιφάνειας. = 0 και G u = 2 F v. 11. Βρείτε όλες τις γεωδαισιακές καμπύλες των επιφανειών του R 3 οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις x 2 + 2y 2 = 2, x 2 + y 2 z 2 = 1 και x 2 + y 2 = z

25 Ασκήσεις Αν η πρώτη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας M είναι η I = u 2 + Gv 2, δείξτε ότι η εξίσωση των γεωδαισιακών αυτής, ανάγεται στη μορφή θ G v =, όπου θ είναι η γωνία κατά την οποία οι u γεωδαισιακές τέμνουν τις καμπύλες v =σταθερό. 13. Εστω γ(s) μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας του ελικοειδούς με παραμέτρηση X(u, v) = (u cos v, u sin v, v). Δείξτε ότι u 2 + (1 + u 2 ) v 2 = 1. Δείξτε επίσης ότι, εάν η γ είναι γεωδαισιακή της επιφάνειας, τότε u = α 1 + u 2, όπου α είναι σταθερά. Βρείτε τις γεωδαισιακές που αντιστοιχούν στα α = 0 και α = Θεωρούμε την κανονική επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση X : R 2 R 3 X(u, v) = (u, v, sin u sin v). Βρείτε τις τιμές του θ R για τις οποίες η καμπύλη γ θ : R M με τύπο είναι μια γεωδαισιακή της M. γ θ (t) = X(t cos θ, t sin θ) 15. Βρείτε μερικές γεωδαισιακές καμπύλες οι οποίες να διέρχονται από το σημείο (0, 0, 0), της επιφάνειας M = {(x, y, z) R 3 : xy(x 2 y 2 ) = z}. 16. Αναζητήστε στην βιβλιογραφία την έννοια των γεωδαισιακών συντεταγμένων και του Λήμματος του Gauss.

26 26 Γεωδαισιακές καμπύλες

27 Βιβλιογραφία [1] M. Abate an F. Torena, Curves an Surfaces, Springer [2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambrige Univ. Press [3] W. E. Boyce an R. C. DiPrima, Elementary Differential Equation, Ninth Eition, John Wiley an Sons, [4] M. P. o Carmo, Differential Geometry of Curves an Surfaces, Prentice-Hall [5] J. E. Marsen an M. J. Tromba, Vector Calculus, 6th e., Macmillan Higher Eition, Μετάφραση 3 ης εκδ. Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, [6] J. Oprea, Differential Geometry an Its Applications, The Mathematical Assocation of America, [7] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, [8] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Secon Eition, Springer Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη