T M = T p U = v p = c i

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "T M = T p U = v p = c i"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Διανυσματικά πεδία Σύνοψη Ορίζουμε και μελετάμε λεία διανυσματικά πεδία σε μια λεία πολλαπλότητα M. Ως λεία απεικόνιση, ένα διανυσματικό πεδίο έχει τη μορφή X : M T M με τιμές στην εφαπτόμενη δέσμη T M, της οποίας περιγράφουμε την τοπολογική και διαφορική δομή. Προκειμένου να χαρακτηρίσουμε τη διαφορισιμότητα ενός διανυσματικού πεδίου, χρειαζόμαστε ένα τεχνικό εργαλείο από τη μαθηματική ανάλυση, τις συναρτήσεις ε- ξογκώματος. Μια τακτική χρήση των συναρτήσεων εξογκώματος στη γεωμετρία των πολλαπλοτήτων, είναι για την επέκταση μιας λείας συνάρτησης από ένα ανοικτό υποσύνολο της M σε ολόκληρη την πολλαπλότητα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης για μια συνήθη διαφορική εξίσωση, προκύπτει ότι για κάθε διανυσματικό πεδίο σε μια πολλαπλότητα M ορίζεται μια οικογένεια καμπυλών, οι ολοκληρωτικές καμπύλες. Τέλος, ορίζουμε μια πράξη μεταξύ δύο διανυσματικών πεδίων, το γινόμενο Lie, μέσω του οποίου το σύνολο των λείων διανυσματικών πεδίων σε μια πολλαπλότητα M εφοδιάζεται με τη δομή μιας άλγεβρας Lie. Η έννοια αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική στη γεωμετρία και μαθηματική φυσική. Οι βασικές αναφορές είναι τα βιβλία [1], [2], [7] και [8]. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, γενική τοπολογία. 4.1 Η εφαπτόμενη δέσμη Η έννοια του λείου (διαφορίσιμου) διανυσματικού πεδίου σε μια πολλαπλότητα απαιτεί μια σχολαστικότερη προετοιμασία από αυτήν ενός διανυσματικού πεδίου σε έναν Ευκλείδειο χώρο. Θα χρειαστούμε να ορίσουμε την εφαπτόμενη δέσμη επί μιας πολλαπλότητας M και στη συνέχεια ένα εργαλείο από την ανάλυση, τις συναρτήσεις εξογκώματος. Η εφαπτόμενη δέσμη είναι μια συλλογή από εφαπτόμενους χώρους, η οποία μεταβάλλεται κατά λείο τρόπο και παραμετρικοποιείται μέσω των σημείων της M. Αποτελεί παράδειγμα μιας διανυσματικής δέσμης επί μιας πολλαπλότητας M, η οποία είναι μια συλλογή από διανυσματικούς χώρους που μεταβάλλεται κατά λείο τρόπο και παραμετρικοποιείται μέσω των σημείων της M. Οι διανυσματικές δέσμες εμφανίστηκαν λίγο μετά το 1930 και μέχρι σήμερα έχουν σημαντική θέση στη γεωμετρία και την τοπολογία. Θα επεξεργαστούμε την εφαπτόμενη δέσμη σε τρία βήματα: ορισμός, τοπολογία και διαφορική δομή.

2 2 Διανυσματικά πεδία Συνολοθεωρητικός ορισμός Εστω M μια λεία πολλαπλότητα. Η εφαπτόμενη δέσμη (tangent bundle) της M είναι η ένωση όλων των εφαπτόμενων χώρων της M: T M = T p M. p M Σημειώνουμε ότι η παραπάνω ένωση είναι διακεκριμμένη, επειδή για δύο διαφορετικά σημεία p, q στην M οι εφαπτόμενοι χώροι T p M και T q M είναι διαφορετικοί. Ενα σημείο στην εφαπτόμενη δέσμη T M έχει τη μορφή (p, v p ), όπου p M και v p T p M. Η απεικόνιση π : T M M με τιμή π(p, v p ) = p, (v p T p M) ονομάζεται φυσική προβολή (υπό την έννοια ότι είναι ανεξάρτητη από οποιαδήποτε επιλογή, όπως άτλαντας, τοπικές συντεταγμένες κ.λπ.) Τοπολογία Εστω (U, ϕ) = (U; x 1,..., x n ) ένας τοπικός χάρτης της M. Θεωρούμε το σύνολο T U = T p U = T p M p U p U και έστω v p T p M. Τότε γνωρίζουμε ότι ως προς τη βάση { / x 1 p,..., / x 1 p } του εφαπτόμενου χώρου T p M θα έχουμε ότι n v p = i=1 c i x i. p Οι συντελεστές c j εξαρτώνται από το v p, άρα είναι συναρτήσεις ορισμένες στο T U. Θέτουμε x i = x i π και ορίζουμε την απεικόνιση ϕ : T U ϕ(u) R n με τιμή (p, v p ) (x 1 (p),... x n (p), c 1 (v p ),..., c n (v p )) = ( x 1,..., x n, c 1,..., c n )(v p ). Η απεικόνιση ϕ ως αντίστροφη την απεικόνιση (ϕ(p), c 1,..., c n ) (p, c i x i ), p συνεπώς είναι 1 1 και επί. Ενας εναλλακτικός τρόπος γραφής της απεικόνισης ϕ είναι ϕ = (ϕ π, dϕ p ). Πράγματι, αν dϕ p : T p U T ϕ(p) R n = R n είναι το διαφορικό της ϕ στο p, τότε λόγω της Πρότασης 3.3 είναι dϕ p (v p ) = c i u i ϕ(p), άρα μπορούμε να ταυτίσουμε το dϕ p (v p ) με το διάνυσμα-στήλη (c 1,..., c n ) R n. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την απεικόνιση ϕ για να μεταφέρουμε την τοπολογία του ϕ(u) R n στο σύνολο T U ως εξής: ένα σύνολο A στο T U θα ονομάζεται ανοικτό εάν και μόνο εάν το σύνολο ϕ(a) είναι ανοικτό στο ϕ(u) R n. Το σύνολο ϕ(u) R n έχει την κανονική τοπολογία ως ανοικτό υποσύνολο του R 2n. Από τον τρόπο που ορίστηκε η τοπολογία στο T U, το σύνολο T U είναι ομοιομορφικό με το ϕ(u) R n. Τέλος, είναι δυνατόν να αποδειχθεί ότι με την τοπολογία αυτή, η εφαπτόμενη δέσμη T M είναι τοπολογικός χώρος Hausdorff και έχει αριθμήσιμη βάση (βλ. για παράδειγμα [6] ή [8]).

3 Διανυσματικές δέσμες Διαφορική δομή Εστω {(U α, ϕ α )} ένας λείος άτλαντας της πολλαπλότητας M. Θα αποδείξουμε ότι ο {(T U α, ϕ α )} είναι ένας λείος άτλαντας της εφαπτόμενης δέσμης T M. Προφανώς ισχύει ότι T M = α T U α, άρα αρκεί να δείξουμε τη λεία συμβατότητα των ϕ α και ϕ β στην τομή (T U α ) (T U β ), για κάθε α, β. Θυμίζουμε ότι αν (U; x 1,..., x n ), (V ; y 1,..., y n ) είναι δύο χάρτες της M, τότε για κάθε p U V υπάρχουν δύο βάσεις { / x j p} n j=1 και { / yi p} n i=1 του εφαπτόμενου χώρου T pm, ώστε κάθε διάνυσμα v p T p M να εκφράζεται με δύο τρόπους ως v p = j a j x j = p i Εφαρμόζοντας και τα δύο μέλη στις συναρτήσεις y k προκύπτει ότι b i y i. (4.1) p b k = j a j yk, k = 1,..., n. (4.2) xj Επιστρέφουμε τώρα στον άτλαντα {(U α, ϕ α )} και έστω ότι ϕ α = (x 1,..., x n ) και ϕ β = (y 1,..., y n ). Χρησιμοποιώντας την (4.1) βλέπουμε ότι η απεικόνιση ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) R n ϕ α (U α U β ) R n έχει τη μορφή (ϕ α (p), a 1,..., a n ) p, j Επιπλέον, λόγω της (4.2) έχουμε ότι a j x j ( (ϕ β ϕ 1 α (ϕ α (p)), b 1,..., b n). p b k = j a j yk x j (p) = j a j (ϕ β ϕ α 1 ) k u j (ϕ α (p)), k = 1,..., n. Εξ ορισμού του λείου άτλαντα, η απεικόνιση ϕ β ϕ 1 α είναι λεία, συνεπώς και η απεικόνιση ϕ β ϕ 1 α θα είναι λεία. Καταλήξαμε λοιπόν στο ότι η εφαπτόμενη δέσμη T M είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης 2n με λείο άτλαντα τον {(T U α, ϕ α )}. 4.2 Διανυσματικές δέσμες Οπως αναφέραμε νωρίτερα, η εφαπτόμενη δέσμη μιας πολλαπλότητας είναι μια ειδική περίπτωση διανυσματικής δέσμης, την οποία θα περιγράψουμε περιληπτικά. Ορισμός 4.1. Μια λεία διανυσματική δέσμη (vector bundle) τάξης r αποτελείται από μια τριάδα (E, M, π), όπου E, M είναι λείες πολλαπλότητες και π : E M είναι μια λεία και επί απεικόνιση, η οποία είναι τοπικά τετριμμένη. Η απεικόνιση π ονομάζεται προβολή. Οι πολλαπλότητες E και M ονομάζονται αντίστοιχα ολικός χώρος (total space) και χώρος βάσης (base space) της διανυσματικής δέσμης. Για συντομία λέμε ότι η πολλαπλότητα E είναι μια διανυσματική δέσμη επί της πολλαπλότητας M (vector bundle over M).

4 4 Διανυσματικά πεδία Για κάθε p M η αντίστροφη εικόνα π 1 (p) := π 1 ({p}) ονομάζεται νήμα της δέσμης στο σημείο p (fiber at p). Το νήμα στο σημείο p συμβολίζεται τακτικά και με E p. Ο όρος ότι η διανυσματική δέσμη είναι τοπικά τετριμμένη σημαίνει το εξής: (i) Για κάθε p M το νήμα π 1 (p) είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης r. (ii) Για κάθε p M υπάρχουν ανοικτή περιοχή U του p και αμφιδιαφόριση ϕ : π 1 (U) U R r, τέτοια ώστε για κάθε q U ο περιορισμός ϕ π 1 (q) : π 1 (q) {q} R r να είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Σχήμα 4.1: Διανυσματική δέσμη π : E M. Μια τομή (section) μιας διανυσματικής δέσμης π : E M είναι μια απεικόνιση s : M E τέτοια ώστε π s = Id M. Μια τομή ονομάζεται λεία εάν είναι μια λεία απεικόνιση μεταξύ των πολλαπλοτήτων M και E. 4.3 Συναρτήσεις εξογκώματος και διαμέριση της μονάδας Δύο εξαιρετικά χρήσιμα τεχνικά εργαλεία στη θεωρία πολλαπλοτήτων αποτελούν οι συναρτήσεις εξογκώματος (bump functions) και η διαμέριση της μονάδας. Οι συναρτήσεις εξογκώματος θα χρησιμοποιηθούν για να κατασκευαστούν λείες συναρτήσεις από μια περιοχή ενός σημείου σε ολόκληρη την πολλαπλότητα. Η διαμέριση της μονάδας χρησιμοποιείται συνήθως με δύο τρόπους: (α) για την έκφραση ενός αντικειμένου που ορίζεται σε ολόκληρη την πολλαπλότητα, σε ένα τοπικά πεπερασμένο άθροισμα από τοπικά αντικείμενα στα ανοικτά σύνολα U α ενός ανοικτού καλύμματος της M και (β) για τη συρραφή αντικειμένων που ορίζονται στα ανοικτά σύνολα U α, για την κατασκευή ενός ολικού αντικειμένου που να ορίζεται σε ολόκληρη την πολλαπλότητα.

5 Συναρτήσεις εξογκώματος και διαμέριση της μονάδας 5 Σχήμα 4.2: Μια τομή s : M E της διανυσματικής δέσμης π : E M. Η απεικόνιση s στέλνει το σημείο p μέσα στο νήμα π 1 (p) Λείες συναρτήσεις εξογκώματος Εστω R = R \ {0} και f : M R μια συνάρτηση σε μια πολλαπλότητα M. Η υποστήριξη (support) της f ορίζεται ως η κλειστή θήκη (κλειστότητα) του υποσυνόλου της M στο οποίο η f δεν μηδενίζεται: supp(f) = {q M : f(q) 0}. Ορισμός 4.2. Εστω q M και U μια περιοχή του q. Μια συνάρτηση εξογκώματος στο q με υποστήριξη στο U (bump function at q supported in U) είναι μια συνεχής και μη αρνητική συνάρτηση ρ : M R, η οποία να παίρνει την τιμή 1 σε μια περιοχή του q και επιπλέον supp(ρ) U. Ενδιαφερόμαστε να κατασκευάσουμε συναρτήσεις εξογκώματος σε μια πολλαπλότητα M οι οποίες να είναι λείες και αυτό θα γίνει σε διαδοχικά βήματα. Βήμα 1. Θεωρούμε τη διαφορίσιμη συνάρτηση f : R R, με τιμή e 1/t, t > 0, f(t) = 0. t 0. Βήμα 2. Εστω g : R R η συνάρτηση με τιμή g(t) = f(t) f(t) + f(1 t). (4.3) Ο παρονομαστής της παραπάνω συνάρτησης είναι πάντα μη μηδενικός, άρα η συνάρτηση g(t) ορίζεται για κάθε t. Πράγματι, αν t > 0 τότε f(t) > 0, συνεπώς f(t) + f(1 t) f(t) > 0. Αν t 0 τότε 1 t 1, άρα f(t) + f(1 t) f(1 t) > 0.

6 6 Διανυσματικά πεδία Σχήμα 4.3: Η συνάρτηση f(t). Σχήμα 4.4: Η συνάρτηση g(t). Εχουμε ότι και στις δύο περιπτώσεις είναι f(t) + f(1 t) 0. Επιπλέον, η συνάρτηση g είναι διαφορίσιμη ως πηλίκο διαφορίσιμων συναρτήσεων. Εάν t 0 ο αριθμητής f(t) είναι ταυτοτικά μηδέν, άρα η g(t) είναι ταυτοτικά μηδέν. Εάν t 1 τότε 1 t 0, άρα f(1 t) = 0, οπότε g(t) = f(t)/f(t) 1. Τελικά, η συνάρτηση g(t) έχει την ιδιότητα 0, t 0, g(t) = 1, t 1. Βήμα 3. Δοθέντων δύο θετικών πραγματικών αριθμών a < b θα κατασκευάσουμε μια λεία συνάρτηση εξογκώματος ρ(x) στο 0 η οποία θα είναι ταυτοτικά μηδέν στο ανοικτό διάστημα [ a, a] με υποστήριξη στο διάστημα [ b, b]. απεικονίζεται στο [0, 1] ως εξής: Εστω Κάνουμε αρχικά μια γραμμική αλλαγή μεταβλητής, ώστε το διάστημα [a 2, b 2 ] να x x a2 b 2 a 2. ( ) x a 2 h(x) = g b 2 a 2. Τότε η συνάρτηση h : R [0, 1] είναι διαφορίσιμη και έχει την ιδιότητα 0, x a 2, h(x) = 1, x b 2.

7 Συναρτήσεις εξογκώματος και διαμέριση της μονάδας 7 Σχήμα 4.5: Η συνάρτηση h(x). Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή x με την x 2 προκειμένου να προκύψει μια συνάρτηση συμμετρική ως προς x, οπότε ορίζουμε: k(x) = h(x 2 ) Σχήμα 4.6: Η συνάρτηση k(x). και τελικά θέτουμε ( x 2 a 2 ) ρ(x) = 1 k(x) = 1 g b 2 a 2. Η παραπάνω συνάρτηση ρ(x) είναι η επιθυμητή λεία συνάρτηση εξογκώματος στο 0. Αν τώρα q είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, τότε η συνάρτηση ρ(x q) είναι μια λεία συνάρτηση εξογκώματος στο σημείο q. Βήμα 4. Στο βήμα αυτό θα επεκτείνουμε την κατασκευή της συναρτησης εξογκώματος από το R στον R n. Για x R n θέτουμε ( x 2 a 2 ) σ(x) = ρ( x ) = 1 g b 2 a 2. Τότε η συνάρτηση σ(x) είναι μια συνάρτηση εξογκώματος στο 0 R n, η οποία είναι ταυτοτικά 1 στην κλειστή μπάλα B(0, a) και με υποστήριξη στην κλειστή μπάλα B(0, b). Η συνάρτηση σ είναι λεία ως σύνθεση λείων συναρτήσεων. Τέλος, ορίζουμε τη συνάρτηση σ(x q), η οποία είναι μια λεία συνάρτηση

8 8 Διανυσματικά πεδία Σχήμα 4.7: Η συνάρτηση ρ(x). εξογκώματος στο q R n και εδώ τελειώνει η κατασκευή μιας λείας συνάρτησης εξογκώματος σε ένα σημείο του R n. Γενικά μια λεία συνάρτηση εξογκώματος ορισμένη σε ένα ανοικτό υποσύνολο U μιας πολλαπλότητας M δεν επεκτείνεται σε μια λεία συνάρτηση στην M. Ενα παράδειγμα είναι η συνάρτηση sec(x) στο ανοικτό διάστημα ( π/2, π/2) της πραγματικής ευθείας. Παρόλα αυτά, μια τέτοια επέκταση υπάρχει, εάν απαιτήσουμε η υπό κατασκευή συνάρτηση στην M να συμφωνεί με τη δοθείσα συνάρτηση σε μια περιοχή ενός σημείου στο U. Το τελικό αποτέλεσμα είναι το εξής: Θεώρημα 4.1. (Θεώρημα λείας επέκτασης συνάρτησης). Εστω f μια λεία συνάρτηση ορισμένη σε μια περιοχή U ενός σημείου p μιας πολλαπλότητας M. Τότε υπάρχει μια λεία συνάρτηση f ορισμένη στην M η οποία να παίρνει τις ίδιες τιμές με την f σε μια (ενδεχομένως μικρότερη) περιοχή του σημείου p. Απόδειξη. Εστω ρ : M R μια λεία συνάρτηση εξογκώματος με υποστήριξη στο U, η οποία να είναι ταυτοτικά 1 σε μια περιοχή V του p. Ορίζουμε τη συνάρτηση ρ(q)f(q), q U, f(q) = 0, q / U. Η συνάρτηση f είναι λεία για κάθε q U ως γινόμενο λείων συναρτήσεων στο U. Αν q / U τότε q / suppρ, άρα υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο που να περιέχει το σημείο q και στο οποίο η f να είναι ταυτοτικά 0 (επειδή το σύνολο suppρ είναι κλειστό). Άρα τελικά η συνάρτηση f είναι λεία και σε κάθε σημείο q / U. Τέλος, επειδή ρ 1 στο V, η συνάρτηση f θα συμφωνεί με την f στο V Διαμέριση της μονάδας Εστω {U i } i I ένα ανοικτό κάλυμμα μιας πολλαπλότητας M. Μια διαμέριση της μονάδας υποκείμενη στο {U i } i I (partition of unity subordinate to {U i } i I ) είναι μια συλλογή από μη αρνητικές λείες συναρτήσεις {ρ i : M R} i I που να ικανοποιούν suppρ i U i και ρi = 1.

9 Συναρτήσεις εξογκώματος και διαμέριση της μονάδας 9 Σχήμα 4.8: Λεία επέκταση f της λείας συνάρτησης f μέσω της συνάρτησης εξογκώματος ρ. Προκειμένου το παραπάνω άθροισμα να έχει έννοια, όταν το σύνολο δεικτών I είναι άπειρο, επιβάλλουμε την επιπλέον συνθήκη να είναι το κάλυμμα τοπικά πεπερασμένο, την οποία θα εξηγήσουμε. Μια συλλογή υποσυνόλων {A α } ενός τοπολογικού χώρου S ονομάζεται τοπικά πεπερασμένη (locally finite) εάν κάθε σημείο q S έχει μια περιοχή η οποία να τέμνει μόνο πεπερασμένο αριθμό συνόλων A α. Ειδικότερα, κάθε q S ανήκει σε πεπερασμένο μόνο αριθμό συνόλων A α. Παράδειγμα. Εστω U r,n = (r 1 n, r + 1 n ) R. Τότε το σύνολο {U r,n : r Q, n Z + } αποτελεί ένα ανοικτό κάλυμμα του R το οποίο δεν είναι τοπικά πεπερασμένο. Ορισμός 4.3. Μια λεία διαμέριση της μονάδας (partition of unity) επί μας πολλαπλότητας M είναι μια συλλογή από μη αρνητικές λείες συναρτήσεις {ρ α : M R} α A, έτσι ώστε: (i) Η οικογένεια των συνόλων {suppρ α } α A να είναι τοπικά πεπερασμένη, (ii) ρ α = 1. Αν {U α } α A είναι ένα ανοικτό κάλυμμα της M, τότε η διαμέριση της μονάδας {ρ α } α A ονομάζεται υποκείμενη (subordinate) στο ανοικτό κάλυμμα {U α } εάν suppρ α U α για κάθε α A. Λόγω της ιδιότητας (i) κάθε σημείο q M ανήκει σε πεπερασμένο μόνο αριθμό συνόλων suppρ α, άρα ρ α (q) 0 για πεπερασμένο μόνο αριθμό δεικτών α. Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα της ιδιότητας (ii) σε κάθε σημείο της M είναι πεπερασμένο. Παράδειγμα. Εστω U = (, 2) και V = ( 1, ) ανοικτά διαστήματα της πραγματικής ευθείας. Εστω ρ V μια λεία συνάρτηση της μορφής (4.3) και ρ U = 1 ρ V. Τότε suppρ V V και suppρ U U, άρα το ζεύγος {ρ U, ρ V } αποτελεί μια διαμέριση της μονάδας υποκείμενη στο ανοικτό κάλυμμα {U, V } του R. Η ύπαρξη μιας λείας διαμέρισης της μονάδας εξασφαλίζεται από το παρακάτω θεώρημα, η απόδειξη του οποίου είναι ιδιαίτερα τεχνική και παραλείπεται. Θεώρημα 4.2. ( Υπαρξης λείας διαμέρισης της μονάδας). Εστω {U α } α ένα ανοικτό κάλυμμα μιας πολλαπλότητας M. Τότε (i) Υπάρχει μια λεία διαμέριση της μονάδας {ρ k } k=1, έτσι ώστε κάθε συνάρτηση ρ k να έχει συμπαγή υποστήριξη και για κάθε k να ισχύει suppρ k U α, για κάποιο α A.

10 10 Διανυσματικά πεδία Σχήμα 4.9: Μια διαμέριση της μονάδας {ρ U, ρ V } υποκείμενης στο ανοικτό κάλυμμα {U, V } του R. (ii) Αν δεν απαιτήσουμε τη συμπαγή υποστήριξη, τότε υπάρχει μια λεία διαμέριση της μονάδας {ρ α } υποκείμενη του καλύμματος {U α }. 4.4 Διανυσματικά πεδία Η έννοια του διανυσματικού πεδίου εμφανίζεται τακτικά στη φύση, για παράδειγμα ως το πεδίο ταχύτητας της ροής ενός υγρού, το ηλεκτρικό πεδίο ενός φορτίου, το βαρυτικό πεδίο μιας μάζας, κ.ά. Για την περίπτωση των πολλαπλοτήτων, μας ενδιαφέρουν τα λεία (διαφορίσιμα) διανυσματικά πεδία. Κάθε λείο διανυσματικό πεδίο παράγει τοπικά μια οικογένεια καμπυλών, οι οποίες ονομάζονται ολοκληρωτικές καμπύλες. Το διάνυσμα ταχύτητας μιας ολοκληρωτικής καμπύλης ισούται με τον περιορισμό του διανυσματικού πεδίου στην καμπύλη. Η εύρεση μιας ολοκληρωτικής καμπύλης που να διέρχεται από ένα σημείο ισοδυναμεί με την επίλυση ενός συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αρχικές συνθήκες. Επίσης, το σύνολο όλων των λείων διανυσματικών πεδίων σε μια πολλαπλότητα, πέραν της δομής του ως διανυσματικός χώρος, έχει και δομή μιας άλγεβρας Lie την οποία και θα εξετάσουμε Λεία διανυσματικά πεδία Ορισμός 4.4. Ενα διανυσματικό πεδίο X σε μια πολλαπλότητα M είναι μια απεικόνιση η οποία σε κάθε σημείο p M αντιστοιχεί ένα εφαπτόμενο διάνυσμα X p T p M. Εναλλακτικά, ένα διανυσματικό πεδίο είναι μια τομή X : M T M στην εφαπτόμενη δέσμη π : T M M. Το X ονομάζεται λείο (ή διαφορίσιμο) εάν η απεικόνιση X : M T M είναι λεία. Συμβολίζουμε με X (M) το σύνολο όλων των λείων διανυσματικών πεδίων στην πολλαπλότητα M. Εστω (U; x 1,..., x n ) ένας τοπικός χάρτης της M. Τότε η τιμή ενός διανυσματικού πεδιου X σε ένα σημείο p U δίνεται ως X p = a i (p) x i, a i (p) R. p

11 Διανυσματικά πεδία 11 Καθώς το σημείο p μεταβάλλεται στο U, οι συντελεστές a i ορίζουν πραγματικές συναρτήσεις στο U. Συνεπώς στο U, το πεδίο X εκφράζεται ως X = a i x i, ai : U R. Σχήμα 4.10: Το διανυσματικό πεδίο X (x,y) = y x + x y στον R2. Χρησιμοποιώντας τη διαφορική δομή της εφαπτόμενης δέσμης T M προκύπτει ότι το παραπάνω διανυσματικό πεδίο είναι λείο εάν και μόνο εάν οι συναρτήσεις a i είναι λείες στο U. Εστω F(M) το σύνολο όλων των λείων συναρτήσεων στην M. ορίζεται η συνάρτηση Xf : M R με τιμή Xf(p) = X p f, p M. Για f F(M) και X X (M) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση αυτή μπορούμε να δώσουμε τον παρακάτω χαρακτηρισμό ενός λείου διανυσματικού πεδίου. Πρόταση 4.1. Ενα διανυσματικό πεδίο X σε μια πολλαπλότητα M είναι λείο, εάν και μόνο εάν για κάθε λεία συνάρτηση f στην M, η συνάρτηση Xf είναι λεία. Απόδειξη. Εστω X X (M), f F(M) και (U; x 1,..., x n ) ένας τοπικός χάρτης της M. Τότε το X εκφράζεται ως X = a i, όπου οι συναρτήσεις a i είναι λείες, άρα η συνάρτηση Xf = a i f είναι x i x i λεία στο U. Επειδή η πολλαπλότητα M καλύπτεται με μια συλλογή χαρτών, η συνάρτηση Xf είναι λεία στην M. Αντίστροφα, έστω (U; x 1,..., x n ) ένας τοπικός χάρτης της M. Τότε στο U το πεδίο X εκφράζεται ως X = a i. Εστω p U. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 4.1 κάθε συνάρτηση συντεταγμένων x k x i (i = 1,..., k), μπορεί να επεκταθεί σε μια λεία συνάρτηση x k σε ολόκληρη την πολλαπλότητα M, η οποία να συμφωνεί με την x k σε μια περιοχή V U του p. Τότε στην V το πεδίο X εκφράζεται ως ( ) ( X x k = a i ) x i x k = a i x i x k = a k,

12 12 Διανυσματικά πεδία οπότε από την υπόθεση η συνάρτηση a k είναι λεία στο p. Επειδή το σημείο p είναι ένα τυχαίο σημείο στο U, οι συναρτήσεις a k θα είναι λείες στο U, συνεπώς το πεδίο X θα είναι λείο στην πολλαπότητα M. Ενα λείο διανυσματικό πεδίο X σε μια πολλαπλότητα M μπορεί να θεωρηθεί και ως ένας γραμμικός τελεστής X : F(M) F(M), ο οποίος να είναι μια παραγώγιση, δηλαδή ισχύει X(fg) = (Xf)g + f(xg), για κάθε f, g F(M). Τέλος, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις εξογκώματος, κάθε λείο διανυσματικό πεδίο σε μια περιοχή ενός σημείου μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρη την πολλαπλότητα, όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση 4.2. Εστω X ένα λείο διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε μια περιοχή U ενός σημείου p σε μια πολλαπλότητα M. Τότε υπάρχει ένα λείο διανυσματικό πεδίο X το οποίο αποτελεί επέκταση του X και ορίζεται σε μια (ενδεχομένως μικρότερη) περιοχή του σημείου p. Απόδειξη. Επιλέγουμε μια λεία συνάρτηση εξογκώματος ρ : M R με υποστήριξη στο U και η οποία να είναι ταυτοτικά 1 σε μια περιοχή V του σημείου p. Τότε η ζητούμενη συνάρτηση επέκτασης είναι η X : M R με τιμή ρ(m)x m, m U X(m) = 0, m / U. Η συνάρτηση X είναι λεία ως γινόμενο δύο λείων συναρτήσεων. Το ότι είναι επέκταση της X προκύπτει όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος 4.1. Εάν N είναι μια υποπολλαπλότητα της πολλαπλότητας M, τότε υπάρχει η εξής χρήσιμη έννοια διανυσματικού πεδίου: Ορισμός 4.5. Εστω N μια κανονική υποπολλαπλότητα της πολλαπλότητας M. Ενα διανυσματικό πεδίο X της M κατά μήκος (along) της N είναι μια απεικόνιση η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο p N ένα εφαπτόμενο διάνυσμα X p T p M. Ενα διανυσματικό πεδίο X κατά μήκος της N ονομάζεται λείο εάν για κάθε λεία συνάρτηση f F(M) η συνάρτηση fx είναι λεία συνάρτηση της N. Παράδειγμα. Εστω N μια κανονική επιφάνεια στον R 3. Τότε ένα κάθετο διανυσματικό πεδίο της επιφάνειας N είναι ένα διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της N στον R 3, αλλά όχι ένα διανυσματικό πεδίο στην N. Παρατήρηση. Προσέξτε τη διαφορά στις έννοιες διανυσματικό πεδίο σε μια πολλαπλότητα ή επί μιας πολλαπλότητας, δηλαδή μια απεικόνιση X : M T M και διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας (υπο)πολλαπλότητας, δηλαδή απεικόνιση X : N T M Ολοκληρωτικές καμπύλες Μια ολοκληρωτική καμπύλη ενός λείου διανυσματικού πεδίου είναι μια λεία καμπύλη της οποίας το εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο της ισούται με την τιμή του διανυσματικού πεδίου στο σημείο αυτό.

13 Διανυσματικά πεδία 13 Ορισμός 4.6. Εστω X ένα λείο διανυσματικό πεδίο σε μια πολλαπλότητα M και έστω p M. Μια ολοκληρωτική καμπύλη integral curve του X είναι μια λεία καμπύλη γ : (a, b) M τέτοια ώστε γ (t) = X γ(t) για κάθε t (a, b). Υποθέτουμε συνήθως ότι το ανοικτό διάστημα (a, b) περιέχει το 0. Τότε αν γ(0) = p θα λέμε ότι η ολοκληρωτική καμπύλη έχει αρχή το p. Προκειμένου να τονίσομε την εξάρτηση μιας τέτοιας ολοκληρωτικής καμπύλης από το σημείο p, θα γράφουμε γ t (p) (αντί γ(t)). Μια ολοκληρωτική καμπύλη ονομάζεται μεγιστική (maximal), εάν το πεδίο ορισμού της δεν μπορεί να επεκταθεί σε ένα μεγαλύτερο διάστημα. Παραδείγματα. 1. Θεωρούμε το διανυσματικό πεδίο X = y x + x y του R2. Αναζητάμε μια ολοκληρωτική καμπύλη γ του X με αρχή το σημείο p = (x 0, y 0 ) R 2. Η καμπύλη γ(t) = (x(t), y(t)) είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη του X εάν και μόνο εάν ισχύει γ (t) = X γ(t). Ισοδύναμα, προκύπτει η σχέση (ẋ(t), ẏ(t)) = ( y(t), x(t)), άρα αρκεί να λύσουμε το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ẋ = y, ẏ = x, με αρχική συνθήκη (x(0), y(0)) = (x 0, y 0 ). Αντικαθιστώντας τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη προκύπτει η διαφορική εξίσωση ẍ = x, της οποίας η γενική λύση είναι x = A cos t + B sin t, άρα y = ẋ = A sin t B cos t. Λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη, προκύπτει ότι A = x 0, B = y 0, συνεπώς η γενική λύση του συστήματος είναι x = x 0 cos t y 0 sin t, y = x 0 sin t + y 0 cos t, (t R). Η λύση αυτή μπορεί να γραφτεί υπό μορφή πίνακα ως ( ) ( ) ( x(t) cos t sin t γ(t) = = y(t) sin t cos t x 0 y 0 ) = ( cos t sin t ) sin t p. cos t Από τη μορφή της λύσης φαίνεται ότι η ολοκληρωτική καμπύλη του πεδίου X με αρχή το p προκύπτει στρέφοντας το σημείο p περί την αρχή των αξόνων κατά γωνία t και με φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου. Παρατηρείστε ότι ισχύει η σχέση γ s (γ t (p)) = γ s+t (p). Επίσης, για κάθε t R η απεικόνιση γ t : R 2 R 2 είναι μια αμφιδιαφοριση με αντίστροφη γ 1 t = γ t. Ερμηνεύστε τις σχέσεις αυτές γεωμετρικά. Εστω Diff(M) η ομάδα όλων των αμφιδιαφορίσεων της πολλαπλότητας M (με πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων). Τότε ένας ομομορφισμός γ : R Diff(M) ονομάζεται μονοπαραμετρική ομάδα αμφιδιαφορίσεων (one-parameter group of diffeomorphisms) της M. Άρα βλέπουμε ότι για το συγκεκριμένο παράδειγμα, οι ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου X (x,y) = ( y, x) του επιπέδου R 2 δημιουργούν μια μονοπαραμετρική ομάδα αμφιδιαφορίσεων του R 2.

14 14 Διανυσματικά πεδία 2. Θα βρούμε τη μεγιστική ολοκληρωτική καμπύλη του διανυσματικού πεδίου X = x 2 d dx του R με αρχή το x = 3. Αν x(t) είναι η ζητούμενη ολοκληρωτική καμπύλη, τότε η εξίσωση x (t) = X x(t) ισοδυναμεί με την ẋ(t) d dx = x2 d dx, όπου x (t) είναι το διάνυσμα ταχύτητας της καμπύλης x(t) και ẋ(t) η παράγωγος της πραγματικής συνάρτησης x(t), όπως την γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό. Τότε η x(t) ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικών τιμών dx dt = x2, x(0) = 3, η λύση του οποίου είναι x(t) = 3 1 3t. Το μέγιστο διάστημα στο οποίο ορίζεται η ολοκληρωτική καμπύλη αυτή και το οποίο περιέχει το 0 είναι το (, 1/3). Βλέπουμε λοιπόν ότι για να βρούμε τοπικά μια ολοκληρωτική καμπύλη, αρκεί να λύσουμε ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αρχικές συνθήκες. Ας το δούμε αυτό γενικά. Θα βρούμε μια ολοκληρωτική καμπύλη γ(t) ενός λείου διανυσματικού πεδίου X σε μια πολλαπλότητα M, με αρχή ένα σημείο p M. Αρχικά επιλέγουμε έναν τοπικό χάρτη (U, ϕ) = (U; x 1,..., x n ) στο σημείο p. Τότε το διανυσματικό πεδίο εκφράζεται τοπικά ως X γ(t) = a i (γ(t)) x i γ(t) και λόγω της Πρότασης 3.8 το διάνυσμα ταχύτητας της γ δίνεται ως n γ (t) = γ i (t) x i, γ(t) i=1 όπου γ i = x i γ είναι η i-συντεταγμένη της καμπύλης γ στον χάρτη (U, ϕ). Συνεπώς, η ισότητα γ (t) = X γ(t) ισοδυναμεί με το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων: γ i (t) = a i (γ(t)). Η αρχική συνθήκη γ(0) = p εκφράζεται με την ισότητα (γ 1 (0),..., γ n (0)) = (p 1,..., p n ). Από το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης της θεωρίας συνήθων διαφορικών εξισώσεων ([3]), το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, υπό την έννοια που περιγράφεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 4.3. Εστω V ένα ανοικτό υποσύνολο του R n, p 0 V και f : V R n μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών dy dt = f(y), y(0) = p 0 έχει μοναδική διαφορίσιμη λύση y : (a(p 0 ), b(p 0 )) V, όπου το διάστημα (a(p 0 ), b(p 0 )) εξαρτάται από το σημείο p 0 και είναι το μέγιστο ανοικτό διάστημα περί το 0, στο οποίο ορίζεται η y. Λόγω του θεωρήματος αυτού εξασφαλίζεται η ύπαρξη και η μοναδικότητα μιας μέγιστης ολοκληρωτικής καμπύλης ενός λείου διανυσματικού πεδίου X, η οποία έχει αρχή ένα σημείο p σε έναν χάρτη U μιας πολλαπλότητας M.

15 Διανυσματικά πεδία 15 Σχήμα 4.11: Ολοκληρωτικές καμπύλες ενός διανυσματικού πεδίου Τοπική ροή Θα μελετήσουμε την εξάρτηση μιας ολοκληρωτικής καμπύλης από την αρχή, δηλαδή από το σημείο που διέρχεται. Η μελέτη του προβλήματος θα γίνει πάλι τοπικά. Η συνάρτηση y στο Θεώρημα 4.3 θα εξαρτάται τώρα από δύο μεταβλητές t και q και η συνθήκη, ώστε η y να είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη με αρχή το σημείο q, θα λάβει τη μορφή y (t, q) = f(y(t, q)), y(0, q) = q. t Η διαφορίσιμη εξάρτηση της λύσης από την αρχική συνθήκη εξασφαλίζεται από το παρακάτω θεώρημα της θεωρίας συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Θεώρημα 4.4. Εστω V ένα ανοικτό υποσύνολο του R n και f : V R n μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε για κάθε σημείο p V υπάρχουν μια περιοχή W V του p, αριθμός ε > 0 και διαφορίσιμη συνάρτηση y : ( ε, ε) W V ώστε να ισχύει για κάθε (t, q) ( ε, ε) W. y (t, q) = f(y(t, q)), y(0, q) = q, t Εφαρμόζουμε το παραπάνω θεώρημα για ένα λείο διανυσματικό πεδίο X σε έναν χάρτη U που περιέχει το σημείο p. Τότε υπάρχουν μια περιοχή W U του p, ε > 0 και λεία συνάρτηση F : ( ε, ε) W V, ώστε για κάθε q W η συνάρτηση F (t, y) να είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη του X με αρχή το σημείο q, δηλαδή F (0, q) = q. Γράφουμε συνήθως F t (q) αντί F (t, q). Η συνάρτηση F ονομάζεται τοπική ροή (local flow) που παράγεται από το διανυσματικό πεδίο X. Για κάθε q U η συνάρτηση F t (q) (ως συνάρτηση του t) ονομάζεται γραμμή ροής (flow line) της τοπικής ροής και κάθε γραμμή ροής είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη του διανυσματικού πεδίου X. Ας υποθέσουμε ότι για t, s ( ε, ε) ορίζονται οι τιμές F t (F s (q)) και F t+s (q). Τότε ως συναρτήσεις του t, οι F t (F s (q)) και F t+s (q) αποτελούν ολοκληρωτικές καμπύλες του πεδίου X με αρχή το σημείο F s (q) (για t = 0), άρα λόγω της μοναδικότητας της λύσης μιας ολοκληρωτικής καμπύλης που διέρχεται από δοθέν σημείο, προκύπτει ότι F t (F s (q)) = F t+s (q).

16 16 Διανυσματικά πεδία Σχήμα 4.12: Η γραμμή ροής διερχόμενη από το σημείο q, μιας τοπικής ροής F. Εάν μια τοπική ροή F έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R M, τότε αυτή ονομάζεται ολική ροή (global flow). Ενα διανυσματικό πεδίο έχει πάντα μια τοπική ροή που διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο της πολλαπλότητας, αλλά όχι πάντα μια ολική ροή. Σε αυτή την περίπτωση το διανυσματικό πεδίο ονομάζεται πλήρες (complete). Εάν F είναι μια ολική ροή, τότε για κάθε t R ισχύουν οι σχέσεις F t F t = F t F t = F 0 = Id M, συνεπώς οι απεικονίσεις F t : M M είναι αμφιδιαφορίσεις. Βλέπουμε λοιπόν ότι μια ολική ροή σε μια πολλαπλότητα M ορίζει μια μονοπαραμετρική ομάδα αμφιδιαφορίσεων της M. Από τα παραπάνω οδηγούμαστε στον εξής ορισμό: Ορισμός 4.7. Μια τοπική ροή γύρω από ένα σημείο p ενός ανοικτού υποσυνόλου U μιας πολλαπλότητας, είναι μια λεία συνάρτηση F : ( ε, ε) W V, όπου ε > 0 και W μια περιοχή του p στο U, τέτοια ώστε αν γράψουμε F t (q) = F (t, q) να ισχύουν οι εξής ιδιότητες: (i) F 0 (q) = q για κάθε q W, (ii) F t (F s (q)) = F t+s (q), υπό την προϋπόθεση ότι ορίζονται και τα δύο μέλη της ισότητας. Εάν F (t, q) είναι μια τοπική ροή ενός διανυσματικού πεδίου X στο ανοικτό σύνολο U, τότε ισχύει F t (0, q) = X F (0,q) = X q, F (0, q) = q, συνεπώς το διανυσματικό πεδίο X μπορεί να ανακτηθεί από τη ροή του. Παράδειγμα. Η συνάρτηση F : R R 2 R 2 με F (t, (x, y)) = (cos t x sin t y, sin t x + cos t y) είναι μια ολική ροή στον R 2. Η ροή αυτή ορίζει το διανυσματικό πεδίο X (x,y) = F (t, (x, y)) t = ( sin t x cos t y, cos t x sin t y) t=0 t=0 = ( y, x) = y x + x y.

17 Διανυσματικά πεδία Το γινόμενο Lie Εστω X, Y δύο λεία διανυσματικά πεδία ορισμένα σε ένα ανοικτό υποσύνολο U μιας πολλαπλότητας M, τα οποία τα θεωρούμε ως παραγωγίσεις στην άλγεβρα F(U). Αν f είναι μια λεία συνάρτηση στο U, τότε λόγω της Πρότασης 4.1 η συνάρτηση Y f είναι λεία στο U και για τον ίδιο λόγο η συνάρτηση (XY )(f) := X(Y f) είναι επίσης λεία στο U. Αν και λόγω της R-γραμμικότητας των X, Y η συνάρτηση XY : F(U) F(U) είναι και αυτή R γραμμική, δεν ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz, άρα δεν είναι παραγώγιση (άρα ούτε και διανυσματικό πεδίο). Παρόλα αυτά, η διαφορά XY Y X είναι μια παραγώγιση στο U, άρα ορίζει ένα διανυσματικό πεδίο, το οποίο ονομάζεται γινόμενο Lie των X και Y. Ορισμός 4.8. Εστω X, Y δύο λεία διανυσματικά πεδία ορισμένα σε ένα ανοικτό υποσύνολο U μιας πολλαπλότητας M και έστω p U. Το γινόμενο Lie των X και Y είναι το διανυσματικό πεδίο [X, Y ] του οποίου η τιμή στο σημείο p ορίζεται ως εξής: Για κάθε σπόρο f μιας λείας συνάρτησης στο σημείο p είναι [X, Y ] p (f) = X p (Y f) Y p (Xf). (4.4) Η ποσότητα [X, Y ] p είναι μια παραγώγιση στο p, άρα ορίζει ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο p. Καθώς το p μεταβάλλεται στο U το [X, Y ] ορίζει ένα διανυσματικό πεδίο στο U. Εάν τα X και Y είναι λεία διανυσματικά πεδία στην πολλαπλότητα M, τότε και το γινόμενο Lie [X, Y ] είναι ένα λείο διανυσματικό πεδίο στην M. Πράγματι, έστω f X (M). Τότε λόγω της Πρότασης 4.1 οι συναρτήσεις Xf και Y f είναι λείες, άρα και η συνάρτηση [X, Y ]f = X(Y f) Y (Xf) είναι λεία. Χρησιμοποιώντας πάλι την Πρόταση 4.1 προκύπτει ότι το διανυσματικό πεδίο [X, Y ] είναι λείο. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το γινόμενο Lie ορίζει έναν τελεστή [, ] : X (M) X (M) X (M) στον διανυσματικό χώρο των λείων διανυσματικών πεδίων. Ο τελεστής αυτός προφανώς ικανοποιεί την σχέση [X, Y ] = [Y, X], αλλά και την ταυτότητα Jacobi (άσκηση): [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0. (4.5) Οι ιδιότητες αυτές του γινομένου Lie ικανοποιούν μια σημαντική δομή σε έναν διανυσματικό χώρο, την άλγεβρα Lie. Ορισμός 4.9. Μια άλγεβρα Lie επί ενός σώματος F είναι ένας διανυσματικός χώρος V επί του F εφοδιασμένος με ένα γινόμενο [, ] : V V V (γινόμενο Lie - Lie bracket), το οποίο ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: για a, b F και X, Y, Z V, τότε (i) [ax + by, Z] = a[x, Z] + b[y, Z] [X, ay + bz] = a[x, Y ] + b[x, Z] (διγραμμικότητα), (ii) [Y, X] = [X, Y ], (iii) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (ταυτότητα Jacobi).

18 18 Διανυσματικά πεδία Παραδείγματα. 1. Ο διανυσματικός χώρος X (M) όλων των λείων διανυσματικών πεδιων σε μια πολλαπλότητα M αποτελεί μια πραγματική άλγεβρα Lie, με γινόμενο Lie το γινόμενο Lie διανυσματικών πεδίων. 2. Εστω M n (F) ο διανυσματικός χώρος όλων των n n πινάκων με στοιχεία από το σώμα F. Για κάθε X, Y M n (F) η πράξη [X, Y ] = XY Y X ορίζει ένα γινόμενο Lie στον V. 3. Αν (A, ) είναι μια άλγεβρα επί ενός σώματος F, τότε η πράξη [x, y] = x y y x ορίζει ένα γινόμενο Lie στην (A, ). Το παράδειγμα αυτό αποτελεί γενίκευση του προηγούμενου. Δύο διανυσματικά πεδία σε δύο πολλαπλότητες είναι δυνατόν να συσχετιστούν μέσω μιας λείας απεικόνισης με τον ακόλουθο τρόπο. Ορισμός Εστω f : M N μια λεία απεικόνιση μεταξύ πολλαπλοτήτων. Ενα διανυσματικό πεδίο X στην M ονομάζεται f-συσχετισμένο (f-related) με ένα διανυσματικό πεδίο X στην N, εάν για κάθε p M ισχύει df p (X p ) = X f(p). Παράδειγμα. Εστω f : M N μια αμφιδιαφόριση και X ένα διανυσματικό πεδίο στην πολλαπλότητα M. Επειδή η f είναι 1 1 και επί, ορίζεται καλώς το διανυσματικό πεδίο df(x) στην πολλαπλότητα N με τύπο df(x) f(p) = df p (X p ) (p M). Τότε το διανυσματικό πεδίο X είναι f-συσχετισμένο με το διανυσματικό πεδίο df(x). Η παρακάτω πρόταση δίνει μια ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε δύο διανυσματικά πεδία να είναι f-συσχετισμένα. Πρόταση 4.3. Εστω f : M N μια λεία απεικόνιση μεταξύ πολλαπλοτήτων. Δύο διανυσματικά πεδία X X (M) και X X (N) είναι f-συσχετισμένα εάν και μόνο εάν για κάθε g F(N) ισχύει X(g f) = ( Xg) f. Απόδειξη. Για το ευθύ, υποθέτουμε ότι τα διανυσματικά πεδία X X (M) και X X (N) είναι f- συσχετισμένα. Εστω g F(N) και p M. Τότε θα ισχύει df p (X p )g = X f(p) g και χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του διαφορικού και του Xg προκύπτει ότι X p (g f) = ( Xg)(f(p)). Η σχέση αυτή ισοδυναμεί με την (X(g f))(p) = ( Xg)(f(p)). Επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε p M, προκύπτει ότι X(g f) = ( Xg) f. Το αντίστροφο προκύπτει με αναστροφή των συλλογισμών. Πρόταση 4.4. Εστω f : M N μια λεία απεικόνιση μεταξύ πολλαπλοτήτων. Εάν τα διανυσματικά πεδία X και Y στην M είναι f-συσχετισμένα με τα X και Ȳ αντίστοιχα στην N, τότε το γινόμενο Lie [X, Y ] στην M είναι f-συσχετισμένο με το γινόμενο Lie [ X, Ȳ ] στην N.

19 Ασκήσεις 19 Απόδειξη. Εστω g F(N). Τότε από τον ορισμό του γινομένου Lie,των f-συσχετισμένων διανυσματικών πεδίων και της Πρότασης 4.3 έχουμε ότι [X, Y ](g f) = XY (g f) Y X(g f) = X((Ȳ g) f) Y (( Xg) f) = ( XȲ g) f (Ȳ Xg) f = (( XȲ Ȳ X)g) f = ([ X, Ȳ ]g) f. Χρησιμοποιώντας πάλι την Πρόταση 4.3 προκύπτει ότι τα διανυσματικά πεδία [X, Y ] και [ X, Ȳ ] στις πολλαπλότητες M και N αντίστοιχα είναι f-συσχετισμένα. 4.5 Ασκήσεις 1. Εστω X και Y δύο λεία διανυσματικά πεδία σε μια πολλαπλότητα M. Αποδείξτε ότι X = Y εάν και μόνο εάν για κάθε λεία συνάρτηση f : M R ισχύει Xf = Y f. 2. Εστω S 2n 1 = {(x 1,..., x n, y 1,..., y n ) R 2n : n i=1 ((xi ) 2 + (y i ) 2 ) = 1} η μοναδιαία σφαίρα στον R 2n. Αποδείξτε ότι το διανυσματικό πεδίο X = n ( ) y i x i + xi y i i=1 είναι ένα λείο διανυσματικό πεδίο στη σφαίρα S 2n 1, το οποίο δεν μηδενίζεται πουθενά. Συνεπώς, επειδή όλες οι σφαίρες ίδιας διάστασης είναι αμφιδιαφορικές, κάθε τέτοια σφαίρα επιδέχεται ένα μη μηδενικό λείο διανυσματικό πεδίο. Παρεμπιπτόντως, ένα κλασικό αποτέλεσμα της διαφορικής και της αλγεβρικής τοπολογίας (βλ. για παράδειγμα [4], [5]), αναφέρει ότι κάθε συνεχές διανυσματικό πεδίο σε μια σφαίρα άρτιας διάστασης πρέπει να μηδενίζεται σε κάποιο σημείο της Βρείτε τη μεγιστική ολοκληρωτική καμπύλη του διανυσματικού πεδίου X = x 2 d dx διέρχεται από το σημείο X(0) = x 0. Είναι αυτό το διανυσματικό πεδίο πλήρες; 4. Βρείτε τις ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου στον R 3 X = y x + y y + 2 z. X (R), η οποία 5. Εστω γ : (a, b) M μια ολοκληρωτική καμπύλη σε μια πολλαπλότητα M. Αποδείξτε ότι για κάθε s R, η απεικόνιση είναι επίσης μια ολοκληρωτική καμπύλη του X. 1 Συνεπώς οι τριχωτές μπάλλες δεν κτενίζονται. γ s : (a + s, b + s) M, γ s (t) = γ(t s)

20 20 Διανυσματικά πεδία 6. Υπολογίστε το γινόμενο Lie των διανυσματικών πεδίων στον R 3 X = xy x + x2 z, Y = y y. 7. Αποδείξτε ότι η έκφραση (4.4) ορίζει μια παραγώγιση στο σύνολο C p (U). 8. Αποδείξτε την ταυτότητα Jacobi (4.5) για διανυσματικά πεδία. 9. Εστω (U; x 1,..., x n ) ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων μιας πολλαπλότητας M. Αποδείξτε ότι [ x i, x j ] = 0, (i, j = 1,..., n). 10. Εστω (U; x 1,..., x n ) ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων μιας πολλαπλότητας M και έστω X = X i x i, Y = Y j x j δύο διανυσματικά πεδία στο U, όπου X i, Y j λείες συναρτήσεις στο U. Τότε ορίζεται το λείο διανυσματικό πεδίο [X, Y ] = [X, Y ] k x k. Βρείτε μια έκφραση των συναρτήσεων [X, Y ] k ως προς X i και Y j. 11. Μια παραγώγιση σε μια άλγεβρα Lie V επί ενός σώματος F είναι ένας F-γραμμικός τελεστής D : V V, ο οποίος ικανοποιεί την σχέση D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ], για κάθε X, Y V. Αποδείξτε ότι για κάθε Z V ο τελεστής ad Z : V V, ad Z (X) = [Z, X] είναι μια παραγώγιση στην άλγεβρα Lie V. 12. Εστω M μια λεία πολλαπλότητα, f, g F(M) και X, Y X (M). Αποδείξτε ότι [fx, gy ] = fg[x, Y ] + f(xg)y g(y f)x. 13. Εστω f : M N μια αμφιδιαφόριση μεταξύ πολλαπλοτήτων και X, Y λεία διανυσματικά πεδία στην M. Αποδείξτε ότι df[x, Y ] = [df(x), df(y )].

21 Βιβλιογραφία [1] D. Barden and C. Thomas, An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press, London, [2] W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed., Academic Press, Boston, [3] W. E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations, 10th ed., WileyPLUS, [4] V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, NJ, [5] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, UK, [6] J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, New York, [7] B. O Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press [8] L. Tu, An Introduction to Manifolds, 2nd ed., Springer, New York,

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g),

t=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g), Κεφάλαιο 3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης Σύνοψη Ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο μιας πολλαπλότητας ως μια παραγώγιση κατά σημείο. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

Αγγύλες Poisson. Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών. Οι

Αγγύλες Poisson. Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών. Οι Μηχανική ΙΙ Πέτρος Ιωάννου & Θεοχάρης Αποστολάτος 25 Μαϊου 2001 Αγγύλες Poisson Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών Οι θέσεις και οι ορμές εξελίσσονται χρονικά σύμφωνα με τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

X r (M) = X (M) X (M),

X r (M) = X (M) X (M), Κεφάλαιο 5 Πολλαπλότητες Riemann Σύνοψη Αρχικά κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή σε ένα σημαντικό εργαλείο της γεωμετρίας Riemann, τα τανυστικά πεδία. Στη συνέχεια εισάγουμε την έννοια της μετρικής Riemann

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx, Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα