N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "N(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ενός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου, προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση μη επίπεδων αντικειμένων καμπύλες, επιφάνειες αλλά και άλλων. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τρόποι προκειμένου να οριστεί η καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Εδώ θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία μέσω της απεικόνισης Gauss, δηλαδή ουσιαστικά μιας απεικόνισης που σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας αντιστοιχεί ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στον αντίστοιχο εφαπτόμενο χώρο. Η προσέγγιση αυτή δεν είναι ο ιστορικός ορισμός που είχε δοθεί από τον Gauss, ο οποίος είναι λίγο πιο περίπλοκος. Οπως και να έχει, η καμπυλότητα Gauss μιας επιφάνειας θα οριστεί ως ένα μέγεθος η μέτρηση του οποίου απαιτεί να βλέπουμε την επιφάνεια ως υποσύνολο του R 3. Το Θαυμαστό Θεώρημα Theorema Egregium του Gauss το οποίο θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, αναφέρει ότι η καμπυλότητα είναι ένα μέγεθος που μπορεί να μετρηθεί ή να αναγνωριστεί από έναν παρατηρητή ο οποίος βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια και όχι εκτός αυτής. Είναι δηλαδή ένα εσωτερικό μέγεθος της επιφάνειας. Με πιο απλοϊκό τρόπο, ο καπετάνιος ενός πλοίου που ταξιδεύει σε μεγάλη απόσταση, είναι δυνατόν να διαπιστώσει με δικές του μετρήσεις ότι η γη είναι σφαιρική και δεν χρειάζεται να επικοινωνήσει με πιλότο αεροπλάνου για τον σκοπό αυτό! Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6]. Προαπαιτούμενη γνώση Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα. Ορισμός 5.1. Εστω M μια κανονική επιφάνεια. Μια λεία απεικόνιση N : M S 2 ονομάζεται απεικόνιση Gauss της M εάν για κάθε p M η εικόνα Np έχει διάνυσμα θέσης ίσο με το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο της M στο p. Εάν μια τέτοια απεικόνιση υπάρχει, τότε η επιφάνεια M ονομάζεται προσανατολίσιμη orientable. Η επιφάνεια M εφοδιασμένη με μια τέτοια απεικόνιση Gauss ονομάζεται προσανατολισμένη oriented επιφάνεια. Παραδείγματα. 1. Εστω M = {x, y, 0 R 3 : x, y R} το επίπεδο xy. Τότε μια απεικόνιση Gauss είναι η Nx, y, 0 =

2 2 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σχήμα 5.1: Η απεικόνιση Gauss. 0, 0, Εστω M = S 2. Τότε μια απεικόνιση Gauss είναι η N = Id S 2, όπου Id : S 2 S 2, Idp = p η ταυτοτική απεικόνιση της M. 3. Εστω M = S 1 R ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος. Τότε Nx, y, z = x, y, 0 είναι μια απεικόνιση Gauss. 4. Η ταινία του Möbius αναζητήστε τοπική παραμέτρηση και περιγραφή στην βιβλιογραφια δεν επιδέχεται απεικόνιση Gauss, δηλαδή είναι μια μη προσανατολίσιμη επιφάνεια. Σχήμα 5.2: Η ταινία του Möbius. Παρατηρήσεις 1. Κάθε κανονική επιφάνεια είναι τοπικά προσανατολισμένη. Πράγματι, αν X : U XU M είναι μια τοπική παραμέτρηση της M με X 0 = p, τότε για κάθε q = Xu, v XU η απεικόνιση είναι μια τοπική απεικόνιση Gauss της M. Nq = NXu, v = X uu, v X v u, v X u u, v X v u, v 2. Αν N : M S 2 είναι μια απεικόνιση Gauss της M, τότε το διάνυσμα Np είναι κάθετο ταυτόχρονα στα εφαπτόμενα επίπεδα T p M και T Np S 2. Συνεπώς, μπορούμε να ταυτίσουμε T p M = T Np S 2

3 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα 3 ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Μέσω αυτής της ταύτισης το διαφορικό dn p : T p M T Np S 2 της απεικόνισης N τελικά γράφεται ως dn p : T p M T p M. Το προηγούμενο διαφορικό ουσιαστικά εκφράζει έναν τρόπο μεταβολής του διανύσματος N, άρα κατά κάποιο τρόπο, δίνει μια εικόνα για το σχήμα της επιφάνειας. Ορισμός 5.2. Εστω M μια κανονική προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Ο τελεστής σχήματος shape operator της M απεικόνιση Weingarten στο p M είναι η γραμμική απεικόνιση S p : T p M T p M, S p Z = dn p Z, για κάθε Z T p M. Το παρακάτω θεώρημα γενικεύει τον χαρακτηρισμό της ευθείας ως καμπύλης με μηδενική καμπυλότητα στις δύο διαστάσεις: μια συνεκτική επιφάνεια περιέχεται σε επίπεδο εάν και μόνο εάν ο τελεστής σχήματος της επιφάνειας είναι μηδενικός. Υπενθυμίζουμε ότι ένα ανοικτό υποσύνολο U του επιπέδου είναι συνεκτικό, εάν δεν είναι ένωση μη κενών ανοικτών συνόλων, ξένων μεταξύ τους. Θεώρημα 5.1. Εστω M μια συνεκτική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Τότε ο τελεστής σχήματος S p : T p M T p M είναι ο μηδενικός τελεστής για κάθε p M, εάν και μόνο εάν η M είναι τμήμα ενός επιπέδου. Απόδειξη. Αν η επιφάνεια M περιέχεται σε ένα επίπεδο, τότε η απεικόνιση Gauss είναι σταθερή, επομένως ο τελεστής σχήματος θα είναι ο μηδενικός τελεστής, δηλαδή S p = dn p = 0, για κάθε p M. Αντίστροφα, σταθεροποιούμε ένα σημείο p M, έστω q ένα τυχαίο σημείο της M και γ : I M μια καμπύλη τέτοια ώστε γ0 = q και γ1 = p. Τότε η απεικόνιση f q : I R με τιμή f q t = q γt, Nγt ικανοποιεί την σχέση f q 0 = 0 και f qt = γ t, Nγt + q γt, dn p γ t = 0. Αυτό σημαίνει ότι q γt, Nγt = 0 για κάθε t I. Επομένως, για t = 1 είναι q p, Np = 0 για κάθε q M. Άρα η επιφάνεια περιέχεται στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο p και είναι κάθετη στο διάνυσμα Np. Παραδείγματα. 1. Εστω M = S 2, Np = p. Τότε S p = Id : T p S 2 T p S Εστω M το επίπεδο O xy, Nx, y, 0 = 0, 0, 1. Τότε N = σταθερή, άρα S p = 0 για κάθε p M. 3. Εστω M = S 1 R ο ορθός μοναδιαίος κύλινδρος, Nx, y, z = x, y, 0. Θα υπολογίσουμε τον τελεστή σχήματος S p της M στο τυχαίο p = x, y, z M, βρίσκοντας τον αντίστοιχο πίνακα [S p ] της

4 4 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα γραμμικής απεικόνισης S p ως προς κατάλληλη επιλογή της βάσης του T p M. Παρατηρούμε κατ αρχάς ότι T p M = span{ y, x, 0, 0, 0, 1}. Τότε S p 0, 0, 1 = dn p 0, 0, 1 = d dt Nx, y, z + t t=0 = d dt x, y, 0 t=0 = 0, 0, 0. Θα υπολογίσουμε τώρα την τιμή S p y, x, 0. Εστω γt = cost + t 0, sint + t 0, z, όπου t 0 R είναι τέτοιο ώστε cos t 0, sin t 0 = x, y. Τότε για την καμπύλη αυτή ισχύουν ότι γ0 = cos t 0, sin t 0, z = x, y, z = p γ 0 = sin t 0, cos t 0, 0 = y, x, 0. Άρα S p y, x, 0 = dn p y, x, 0 = d dt N cost + t 0, sint + t 0, z t=0 = d dt cost + t0, sint + t 0, 0 t=0 = sin t 0, cos t 0, 0 = y, x, 0. Συνεπώς, ο πίνακας του τελεστή σχήματος ως προς τη βάση { y, x, 0, 0, 0, 1} είναι 1 0 [S p ] =. 0 0 Πρόταση 5.1. Εστω M μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και p M. Τότε ο τελεστής σχήματος είναι αυτοσυζυγής τελεστής ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή, δηλαδή ισχύει για κάθε Z, W T p M. S p Z, W = Z, S p W, Απόδειξη. Εστω X : U M μια τοπική παραμέτρηση της M τέτοια ώστε X0, 0 = p και έστω N : XU S 2 η απεικόνιση Gauss στο XU, η οποία δίνεται ως NXu, v = X uu, v X v u, v X u u, v X v u, v. Το διάνυσμα N Xu, v είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο T p M οπότε έιναι 0 = d dv N X, X u = dn p X v, X u + N X, X uv και 0 = d du N X, X v = dn p X u, X v + N X, X vu. Αφαιρώντας τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι X uv = X vu παίρνουμε: dn p X v, X u = X v, dn p X u.

5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα 5 Η συμμετρικότητα του γραμμικού ενδομορφισμού dn p : T p M T p M είναι άμεση συνέπεια της τελευταίας σχέσης και των ακόλουθων σχέσεων dn p X u, X u = X u, dn p X u, dn p X v, X v = X v, dn p X v. Επομένως από τον ορισμό του τελεστή σχήματος έχουμε το ζητούμενο. Σημείωση. Επειδή ο τελεστής σχήματος S p είναι αυτοσυζυγής ο πίνακάς του είναι συμμετρικός, άρα είναι διαγωνιοποήσιμος με πραγματικές ιδιοτιμές. Πόρισμα 5.1. Εστω M κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M. Τότε υπάρχει ορθοκανονική βάση {Z 1, Z 2 } ιδιοδιανυσμάτων της απεικόνισης S p του εφαπτόμενου χώρου T p M τέτοια ώστε S p Z 1 = λ 1 Z 1, S p Z 2 = λ 2 Z 2 για κάποιους πραγματικούς αριθμούς λ 1, λ 2, οι οποίοι είναι οι αντίστοιχες ιδιοτιμές της S p. Ορισμός 5.3. Εστω M μια κανονική και προσανατολισμένη επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M. Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή της M στο p είναι η συμμετρική, διγραμμική απεικόνιση II p : T p M T p M R, II p Z, W = S p Z, W. Οπως και στην περίπτωση της πρώτης θεμελιώδους μορφής, μάς ενδιαφέρει να βρούμε μια τοπική έκφραση της δεύτερης θεμελιώδους μορφής δηλαδή έκφραση αυτής χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Εστω X : U R 2 M μια τοπική παραμέτρηση της M τέτοια ώστε X0 = p M είναι πάντα δυνατό να επιλέγουμε την απεικόνιση X με την ιδιότητα αυτή, απλώς κάνουμε μια μεταφορά. Ως γνωστόν, ο εφαπτόμενος χώρος T p M = T Np S 2 παράγεται από τα διανύσματα X u, X v. Εστω a 11 a 12 A = M 2 2 R a 21 a 22 ο πίνακας του γραμμικού τελεστή S p : T p M T p M ως προς τη βάση {X u, X v } γνωστός και ως πίνακας του Weingarten. Τότε ισχύει S p X u = a 11 X u + a 21 X v S p X v = a 12 X u + a 22 X v. 5.1 Επίσης, από τον ορισμό του τελεστή σχήματος είναι S p = dn p, όπου dn p : T p M T Np S 2. Τότε ισχυριζόμαστε ότι ισχύει dn p X u = N u, dn p X v = N v. 5.2 Πράγματι, έστω α : I U η καμπύλη α = t, 0 δηλαδή ο άξονας x του U R 2 με α0 = 0, 0 και α 0 = 1, 0 e 1. Τότε η α = X α : I M είναι μια καμπύλη στην επιφάνεια M, η οποία ικανοποιεί

6 6 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα α0 = X α0 = X0, 0 = p και α 0 = X α0 α 0 = X0, 0e 1 = X u. Συνεπώς, από τον ορισμό του διαφορικού απεικόνισης μεταξύ επιφανειών έχουμε ότι Παρόμοια προκύπτει και η άλλη ισότητα. dn p X u = d N α t=0 = d N X α t=0 dt dt = DN X0, 0α 0 = u N X 0,0 = N u. Συνεπώς από τις 5.1 και 5.2 προκύπτει το σύστημα a 11 X u + a 21 X v = N u a 12 X u + a 22 X v = N v, 5.3 το οποίο σε μορφή πινάκων εκφράζεται ως A[dX] = [dn], όπου [dx] = X u, X v t, [dn] = N u, N v t. Ορίζουμε τώρα τις συναρτήσεις e, f, g : U R από την ισότητα πινάκων e f = [dn][dx] t = A[dX][dX] t E F = A f g F G. 5.4 Ορισμός 5.4. Οι παραπάνω συναρτήσεις e, f, g : U R ονομάζονται θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης. Παραδοσιακά η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται και II = edu 2 + 2fdudv + gdv 2, αλλά δεν δίνουμε περισσότερες εξηγήσεις για το πώς ερμηνεύεται η έκφραση αυτή. Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα 5.4 και το γεγονός ότι N span{x u, X v }, προκύπτουν οι χρήσιμες σχέσεις: e = N u, X u = N, X uu = [X ux v X uu ] X u X v = [X ux v X uu ] EG F 2 f = N u, X v = N, X vu = [X ux v X uv ] X u X v = [X ux v X uv ] EG F 2 g = N v, X v = N, X vv = [X ux v X vv ] X u X v = [X ux v X vv ] EG F 2. Παρατηρούμε στους παραπάνω τύπους ότι το εσωτερικό γινόμενο της πρώτης ισότητας περιέχει τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης του N και της παραμέτρησης X, ενώ οι τελευταίες σχέσεις περιέχουν τις μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης μόνο της X. Η προτίμηση για την χρήση της μιας ή της άλλης εκ των παραπάνω σχέσεων εξαρτάται από το πόσο πολύπλοκη είναι η μορφή του N και των X u, X v οπότε και ο υπολογισμός των αντιστοίχων παραγώγων τους είναι επίσης πολύπλοκος. Επομένως, θα επιλέξουμε τους τύπους εκείνους, που προκύπτουν με την ευκολότερη δυνατή παραγώγιση.

7 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα 7 Οι θεμελιώδης μορφές προσδιορίζουν τοπικά την επιφάνεια. Πιο συγκεκριμένα ισχύει το θεμελιώδες θεώρημα των επιφανειών, σύμφωνα με το οποίο αν δίνονται τρείς συναρτήσεις E, F, G τάξης τουλάχιστον C 3 και τρείς συναρτήσεις e, f, g τάξης τουλάχιστον C 1, με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό U υποσύνολο του R 2, έτσι ώστε να ισχύουν 1 EG F 2 > 0, E > 0, G > 0 2 τα E, F, G, e, f, g ικανοποιούν κατάλληλες σχέσεις συμβατότητας το θεώρημα Egregium του Gauss και τις εξισώσεις Mainardi - Codazzi, τότε υπάρχει παραμέτρηση X : U XU με X τάξης τουλάχιστον C 3, τέτοια ώστε τα E, F, G e, f, g να είναι τα θεμελιώδη ποσά πρώτης και δεύτερης τάξης αντιστοίχως, που ορίζονται από την X. Η εικόνα XU είναι μονοσήμαντα ορισμένη, εκτός από τη θέση της στο χώρο. Ενα από τα θεμελιώδη ερωτήματα της διαφορικής γεωμετρίας είναι με ποιόν τρόπο μπορούμε να μετρήσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι η καμπυλότητα μιας επιφάνειας με όποιον τρόπο και αν αυτή οριστεί δεν είναι σταθερή προς όλες τις διευθύνσεις. Για παράδειγμα, ο κυκλικός κύλινδρος ακτίνας r δεν καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση μιας γεννέτειρας, αλλά καμπυλώνεται κατά τη διεύθυνση των εφαπτομένων στις παράλληλες τομές του. Συνεπώς, είναι λογικό να πούμε ότι η καμπυλότητα του κυλίνδρου είναι μηδέν κατά τη διεύθυνση των γεννητόρων του, ενώ στη διεύθυνση των παραλλήλων τομών η καμπυλότητα ισούται με αυτή των ίδιων των τομών, δηλαδή 1/r. Σχήμα 5.3: Η καμπυλότητα του κυλίνδρου. Άρα λοιπόν, ένας τρόπος μέτρησης της καμπυλότητας μιας επιφάνειας, είναι το να μελετηθούν κατάλληλες καμπύλες επί της επιφάνειας. Θα προσπαθήσουμε να κάνουμε την παραπάνω ιδέα πιο συγκεκριμένη. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω γ : I M μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου τέτοια, ώστε γ0 = p, γ 0 = Z T p M. Αναλύουμε τη δεύτερη παράγωγο γ0 στο p ως εξής: γ0 = γ0 tan + γ0 norm,

8 8 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα όπου γ0 tan T p M είναι η εφαπτομενική συνιστώσα και γ0 norm T p M η κάθετη συνιστώσα. Σχήμα 5.4: Η εφαπτομενική και η κάθετη συνιστώσα. Το κάθετο διάνυσμα Nγs κατά μήκος της καμπύλης γ είναι κάθετο στην εφαπτομένη γs, συνεπώς για την κάθετη συνιστώσα του διανύσματος γ0 ισχύει ότι γ0 norm = γ0, Np Np = γ0, dnp γ0 Np = Z, dnpz Np, το οποίο σημαίνει ότι η κάθετη συνοστώσα γ0 norm του διανύσματος γ0 καθορίζεται πλήρως από την τιμή γ0 και τις τιμές της απεικόνισης Gauss κατά μήκος οποιασδήποτε καμπύλης, που διέρχεται από το σημείο p, και με εφαπτόμενο διάνυσμα γ0 = Z T p M. Άρα ο ορισμός που δίνουμε στη συνέχεια είναι καλός. Ορισμός 5.5. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M και Z T p M. Η κάθετη καμπυλότητα normal curvature κ p Z της M στο p ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος Z είναι ο αριθμός κ n Z = γ0, Np, όπου γ : I M οποιδήποτε λεία καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου με γ0 = p, γ 0 = Z. Προκειμένου να δώσουμε μια γεωμετρική περιγραφή της κάθετης καμπυλότητας, εργαζόμαστε ως εξής: Ως καμπύλη στον χώρο R 3 γs η γ έχει καμπυλότητα κs και κάθετο διάνυσμα Ñs = κs, συνεπώς γ0 = κ0ñ0. Το διάνυσμα Ñ0 αναλύεται ως Ñ0 = Ñ0tan + Ñ0norm = Ñ0tan + Ñ0, Np Np,

9 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα 9 άρα γ0 = κ0ñ0 = κ0ñ0tan + κ0 Ñ0, Np Np. Ο πρώτος όρος της σχέσης αυτής σχετίζεται με τη γεωδαισιακή καμπυλότητα η έννοια αυτή θα ορισθεί σε επόμενο κεφάλαιο της καμπύλης γ, ενώ για τον δεύτερο όρο ισχύει κ n Z = γ0, Np = κ0 Ñ0, Np. Αν κ0 = 0, τότε κ p Z = 0. Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων Np και Ñ0 τότε κ n Z = κ0 cos θ. Σχήμα 5.5: Η κάθετη καμπυλότητα. Επιπλέον, ισχύει κ p Z κ0. Είναι λοιπόν σαφές ότι η κάθετη καμπυλότητα καθορίζει την κύρτωση της επιφάνειας, οπότε αναμένεται να σχετίζεται με τον τελεστή σχήματος, όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση: Πρόταση 5.2. Θεώρημα Meusnier Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2, p M και Z T p M. Τότε η κάθετη καμπυλότητα της M στο p ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος Z ικανοποιεί την σχέση κ n Z = S p Z, Z = II p Z, Z. Απόδειξη. Εστω γ μια καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου, τέτοια ώστε γ0 = p και γ0 = Z. Κατά μήκος της καμπύλης αυτής το διάνυσμα Nγs είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα γs, δηλαδή έχουμε Επομένως, θα είναι 0 = d γs, Nγs = γs, Nγs + γs, dnγs γs. ds κ n Z = γ0, Np = Z, dn p Z = S p Z, Z = II p Z.

10 10 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Θεωρούμε τώρα μια κανονική, προσανατολισμένη επιφάνεια M με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω Tp 1 M = { Z T p M : Z = 1 } ο μοναδιαίος κύκλος στον εφαπτόμενο χώρο T p M. Επειδή ο κύκλος Tp 1 M είναι συμπαγής, η συνεχής συνάρτηση κ n : Tp 1 M R, κ n Z = κ n Z παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Άρα υπάρχουν δύο διευθύνσεις Z 1, Z 2 Tp 1 M τέτοιες ώστε κ 1 p κ n Z 1 = max Z T 1 p M κ n Z, κ 2 p κ n Z 2 = min Z T 1 p M κ n Z. Οι διευθύνσεις Z 1, Z 2 ονομάζονται κύριες διευθύνσεις principal directions στο p και οι τιμές κ 1 p, κ 2 p κύριες καμπυλότητες principal curvatures της M στο p. Εάν κ 1 p = κ 2 p το σημείο p ονομάζεται ομφαλικό umbilic. Το παρακάτω θεώρημα δίνει έναν ιδιαιτέρως χρήσιμο αλγεβρικό χαρακτηρισμό των κύριων διευθύνσεων. Θεώρημα 5.2. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και έστω p M. Τότε το διάνυσμα Z Tp 1 M είναι μια κύρια διεύθυνση στο p εάν και μόνο εάν το Z είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M. Απόδειξη. Εστω {Z 1, Z 2 } μια ορθοκανονική βάση του T p M από ιδιοδιανύσματα του S p, δηλαδή S p Z 1 = λ 1 Z 1, S p Z 2 = λ 2 Z 2, λ 1, λ 2 R. Κάθε μοναδιαίο διάνυσμα Z Tp 1 M γράφεται ως Zθ = cos θz 1 + sin θz 2 και με υπολογισμό προκύπτει ότι κ n Zθ = Sp cos θz 1 + sin θz 2, cos θz 1 + sin θz 2 = cos 2 θ S p Z 1, Z 1 + sin 2 θ S p Z 2, Z 2 + cos θ sin θ S p Z 1, Z 2 + S p Z 2, Z 1 = λ 1 cos 2 θ + λ 2 sin 2 θ. Από την παραπάνω έκφραση προκύπτει ότι οι αριθμοί λ 1, λ 2 αποτελούν τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κ n Zθ = IIp Zθ, Zθ. Συνεπώς θα είναι λ1 = κ 1, λ 2 = κ 2, άρα τελικά κ n Z = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ, όπου κ 1, κ 2 οι κύριες καμπυλότητες της M στο p. Από την παραπάνω σχέση, γνωστή και ως τύπος του Euler, 1 προκύπτει ουσιαστικά το αποτέλεσμα. Συμπερασματικά, οι κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 της M στο p είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M, ο οποίος, όπως δείξαμε, είναι αυτοσυζυγής. Συνεπώς απο την γραμμική άλγεβρα 1 Ενας από την πλειάδα τύπων του Leonard Euler.

11 Παράλληλες επιφάνειες 11 γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια ορθοκανονική βάση απο ιδιοδιανύσματα {Z 1, Z 2 } του T p M, ώστε ο πίνακας του τελεστή S p ως προς αυτή τη βάση να είναι διαγώνιος, δηλαδή κ 1 0 [S p ] =. 0 κ 2 Ο επόμενος σημαντικός ορισμός προκύπτει τώρα φυσιολογικά από τα προηγούμενα. Ορισμός 5.6. Εστω M προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του R 3 με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Η καμπυλότητα Gauss Gauss curvature και η μέση καμπυλότητα mean curvature H της M είναι οι συναρτήσεις : M R, H : M R p = det[s p ] = κ 1 κ 2, Hp = 1 2 tr[s p] = 1 2 κ 1 + κ 2. Μια επιφάνεια M ονομάζεται επίπεδη flat, εάν p = 0 για κάθε p M, και ελαχιστική ή ελάχιστης έκτασης minimal, εάν Hp = 0 για κάθε p M. Υπάρχει εξήγηση για τον όρο ελάχιστης έκτασης, αλλά δεν θα μας απασχολήσει αυτή την στιγμή. Παράδειγμα 5.1. Στο παράδειγμα αυτό θα δείξουμε ότι για τυχαία επιφάνεια ισχύει η σχέση H 2, όπου H, η μέση καμπυλότητα και η καμπυλότητα Gauss αντίστοιχα και ότι η ισότητα ισχύει μόνο για τα ομφαλικά σημεία αυτής. Γνωρίζουμε ότι = κ 1 κ 2, H = 1 2 κ 1 + κ 2 όπου κ 1, κ 2 είναι οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας σε τυχαίο σημείο αυτής. Τότε έχουμε ότι κ 1 κ κ 2 1 2κ 1 κ 2 + κ κ κ 1 κ 2 + κ 2 2 4κ 1 κ κ 1 + κ 2 2 4κ 1 κ 2 2 κ 1 + κ 1 κ 1 κ 2 H 2. Αν είναι H 2 =, τότε προφανώς θα έχουμε κ 1 = κ 2 και αν λάβουμε υπόψη μας και τον τύπο του Euler, θα έχουμε κ n Z = κ 1 cos 2 θ + κ 1 sin 2 θ = κ 1, οπότε θα έχουμε κ n Z = κ 1 = κ 2, δηλαδή το σημείο p είναι πράγματι ένα ομφαλικό σημείο της επιφάνειας Z T 1 p M. Ορισμός 5.7. Ενα σημείο p M μιας κανονικής επιφάνειας του R 3 ονομάζεται 1 ελλειπτικό αν p > 0, 2 υπερβολικό αν p < 0, 3 παραβολικό αν p = 0 και dn p 0, 4 επίπεδο αν dn p = 0.

12 12 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα 5.1 Παράλληλες επιφάνειες Ορισμός 5.8. Παράλληλη επιφάνεια της επιφάνειας M ονομάζεται η επιφάνεια M η οποία παράγεται από την κίνηση κάθε σημείου της M κατά μήκος της καθέτου της M στο σημείο αυτό και σε σταθερή απόσταση α, α R \ {0}. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια παραμετρική εξίσωση της παράλληλης επιφάνειας θα είναι X u, v = Xu, v + αnu, v. Πρόταση 5.3. Οι παράλληλες επιφάνειες M και M έχουν στα αντίστοιχα σημεία τους, κάθετα διανύσματα τα οποία είτε ταυτίζονται, αν είναι ομόρροπα, είτε είναι αντίρροπα Απόδειξη. Εστω X : U M μια παραμέτρηση της M. Τότε η X = Xu, v + αnu, v α = 0 θα είναι η παραμέτρηση της M. Από την σχέση αυτή παραγωγίζοντας ως προς u, v έχουμε Xu = X u + αn u, Xv = X v + αn v. Παίρνοντας το εξωτερικό γινόμενο των παραπάνω σχέσεων παίρνουμε ότι Xu Xv = X u + αn u X v + αn v = X u X v + αx u N v + N u X v + α 2 N u N v. Η σχέση αυτή, αν ληφθούν υπόψη οι σχέσεις του Παραδείγματος 5.8 της τελευταίας ενότητας του κεφαλαίου, γράφεται ως εξής Xu Xv = X u X v + α 2HX u X v + α 2 X u X v = 1 2αH + α 2 X u X v. Επειδή όμως είναι X u X v = EG F 2 N, θα πάρουμε τελικά ότι Xu Xv = 1 2αH + α 2 EG F 2 N. Συνεπώς, το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια M ταυτίζεται με το κάθετο διάνυσμα ή με το αντίθετο του κάθετου διανύσματος της M στα αντίστοιχα σημεία. Ακριβέστερα, το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια M ταυτίζεται με το διάνυσμα ɛn όπου ɛ = sgn1 2αH + α 2 και το σύμβολο sgn σημαίνει το πρόσημο της παράστασης που ακολουθεί. Από την παραπάνω πρόταση συμπεραίνουμε πως οι παράλληλες επιφάνειες έχουν στα αντίστοιχα σημεία τους εφαπτόμενα επίπεδα παράλληλα. Για το λόγο αυτό η επιφάνεια M λέγεται και παράλληλη επιφάνεια της M σε απόσταση α. Υστερα από τις παραπάνω διαπιστώσεις, για τις παράλληλες επιφάνειες, είναι φυσικό να αναρωτηθεί κανείς αν υπάρχουν σχέσεις που να συνδέουν τα θεμελιώδη μεγέθη των επιφανειών αυτών. Στη συνέχεια συμβολίζουμε με αστερίσκο τα θεμελιώδη ποσά της επιφάνειας M. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

13 Παράλληλες επιφάνειες 13 Πρόταση 5.4. Αν M και M είναι δύο παράλληλες επιφάνειες τότε 1 E G F 2 = 1 2αH + α 2 2 EG F 2 2 Οι καμπυλότητες και H της επιφάνειας M, δίνονται από τις σχέσεις = 1 2αH + α 2, H = Τα ακόλουθα ενδιαφέροντα θεωρήματα οφείλονται στον Bonnet 2 : ±H α 1 2αH + α 2. Θεώρημα 5.3. Bonnet Αν η καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας M είναι σταθερή και θετική, τότε υπάρχουν δύο παράλληλες επιφάνειες της M εκ των οποίων η μέση καμπυλότητα της μιας ισούται με /2 και της άλλης με /2. Απόδειξη. Σύμφωνα με την υπόθεση είναι > 0 και η καμπυλότητα αυτή είναι σταθερή. Γνωρίζουμε ότι η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας M παραλλήλου της M σε απόσταση α δίνεται από την σχέση Ας θεωρήσουμε την επιφάνεια M 1 Τότε η σχέση 5.5 γίνεται H = H α 1 2αH + α που βρίσκεται σε απόσταση α = 1 > H 1 = H 1 2H = H 2 2H = H 2 H = 2, δηλαδή H1 = 2. Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχει επιφάνεια M1 παράλληλη της M της οποίας η μέση καμπυλότητα ισούται με /2. Ας θεωρήσουμε τώρα την επιφάνεια M 2 που βρίσκεται σε απόσταση α = 1 < 0 από την επιφάνεια M. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι τα διανύσματα N και N είναι αντίρροπα. Στην περίπτωση αυτήν η σχέση 5.5 γίνεται H 2 = H H = H H = 2, δηλαδή H2 = 2. Δείξαμε και εδώ ότι υπάρχει επιφάνεια M2 παράλληλη της M και συμμετρική της M 1, της οποίας η μέση καμπυλότητα ισούται με /2. 2 Pierre Ossian Bonnet.

14 14 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Αντίστοιχα για τις καμπυλότητες Gauss εύκολα έχουμε αποδείξτε το 1 = 2 H < 0 και 2 = 2 + H > 0. Θεώρημα 5.4. Αν η μέση καμπυλότητα H μιας επιφάνειας M είναι σταθερή και μη μηδενική, τότε υπάρχει παράλληλη επιφάνεια M της M με σταθερή καμπυλότητα Gauss ίση με 4H 2. Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι αν M είναι μια παράλληλη επιφάνεια της M σε απόσταση α, τότε η καμπυλότητα Gauss της M δίνεται από την σχέση = Θεωρούμε την επιφάνεια M που βρίσκεται σε απόσταση από την M. Τότε η σχέση 5.7 γράφεται 1 2αH + α α = 1 2H δηλαδή = 1 2H 1 2H + 1 4H 2 = 4H2, = 4H. Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχει επιφάνεια M παράλληλη της M της οποίας η καμπυλότητα Gauss είναι σταθερή και ίση με 4H 2. Η καμπυλότητα Gauss, η πιο σημαντική έννοια του παρόντος μαθήματος, δεν είχε οριστεί ιστορικά από τον Gauss με τον τρόπο που δώσαμε ο οποίος είναι ιδιαιτέρως λειτουργικός. Η πραγματική γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας από τον Gauss περιγράφεται από την παρακάτω πρόταση: Πρόταση 5.5. Εστω M μια προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια του R 3 p 0 σε ένα σημείο της p M. Εστω V η συνεκτική περιοχή του σημείου p όπου η καμπυλότητα δεν αλλάζει πρόσημο. Τότε με καμπυλότητα Gauss p = lim A 0 A A, όπου A είναι το εμβαδόν μιας περιοχής B V με p B και A το εμβαδόν της εικόνας της B μέσω της απεικόνισης Gauss N : M S 2. Το όριο λαμβάνεται για μια ακολουθία περιοχών {B n } η οποία συγκλίνει στο p υπό την έννοια ότι για μεγάλο n κάθε σφαίρα με κέντρο το p περιέχει όλα τα B n. Θα εκφράσουμε τώρα την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα συναρτήσει των θεμελιωδών ποσών πρώτης και δεύτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια τοπική παραμέτρηση X : U M της επιφάνειας M.

15 Παράλληλες επιφάνειες 15 Θυμίζουμε ότι τα παραπάνω συνδέονται με την σχέση e f E = A f g F F G, όπου A είναι ο πίνακας του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M ως προς τη βάση {X u, X v }. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι A = e f f g E F F G 1 = 1 EG F 2 Επειδή η καμπυλότητα Gauss και η μέση καμπυλότητα ισούνται με την ορίζουσα και το ίχνος αντίστοιχα του πίνακα A, τότε προκύπτουν οι εκφράσεις: και = deta = det = e det f E det F f g F G e f e f f det E g F = eg f 2 EG F 2 f g H = 1 2 tra = 1 eg 2fF + ge 2 EG F 2. G F 1 F G Επιπλέον, οι κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 προκύπτουν ως οι ρίζες της εξίσωσης deta κi = 0. F E. Αφού είναι γνωστή η μορφή των α ij, μπορούμε να επανέλθουμε στο σύστημα 5.3 από το οποίο θα πάρουμε τις σχέσεις N u = ff eg α 11 X u + α 21 X v = EG F 2 X ef fe u + EG F 2 X v N v = gf fg α 12 X u + α 22 X v = EG F 2 X ff ge u + EG F 2 X v Οι τελευταίες είναι γνωστές ως εξισώσεις του Weingarten 3. Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι, αν είναι γνωστές οι και H, οι κύριες καμπυλότητες μπορούν να υπολογιστούν ως οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 Julius Weingarten. x 2 2Hx + = 0.

16 16 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Παράδειγμα 5.2. Εστω γ = r, 0, z : I R 3 μια λεία καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου στο επίπεδο O xz με ru > 0 και ṙu 2 + żu 2 = 1 για κάθε su I. Τότε η απεικόνιση X : I R R 3 με τιμή cos v sin v 0 ru Xu, v = sin v cos v zu = ru cos v ru sin v είναι μια παραμέτρηση μιας κανονικής επιφάνειας εκ περιστροφής surface of revolution M περί τον άξονα z. Τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ṙu cos v X u = ṙu sin v żu, X v = ru sin v ru cos v 0 zu καθορίζουν μια τοπική απεικόνιση Gauss cos v sin v 0 Nu, v = sin v cos v żu 0 ṙu = żu cos v żu sin v ṙu. Ελέξτε ότι X u, N = X v, N = 0. Επιπλέον, έχουμε ότι [dx] = X u, X v t ṙu cos v ṙu sin v żu = ru sin v ru cos v 0, άρα και ότι e f f g E F F G = [dn][dx] t = = [dx][dx] t = ru 2 rużu + zuṙu 0 0 żuru Επειδή η καμπύλη γ = r, 0, z έχει παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου λαμβάνουμε ότι μετά από προσεκτικές πράξεις = eg f 2 EG F 2 = ru ru. Θα κάνουμε μια διερεύνηση της παραπάνω έκφρασης της καμπυλότητας. Ας πάρουμε την περίπτωση όπου η επιφάνεια M είναι η μοναδιαία σφαίρα S 2, άρα ru = cos u, zu = sin u και έστω ότι π/2 < u < π/2. Τότε E = 1, F = 0, G = cos 2 u και e = 1, f = 0, g = cos 2 u, άρα = cos2 u cos 2 u = 1 = κ 1κ 2, H = 1 cos 2 u + cos 2 u 2 cos 2 = 1 = 1 κ1 + κ 2, u 2 άρα για τις κύριες καμπυλότητες ισχύει κ 1 = κ 2 = 1. Αν η επιφάνεια είναι ο μοναδιαίος κύλινδρος ru = 1, zu = u, τότε E = 1, F = 0, G = 1 και e = f = 0, g = 1, συνεπώς = 0 και H = 1 2..

17 Παράλληλες επιφάνειες 17 Ερχόμαστε πάλι στην γενική εξίσωση και την γράφουμε ισοδύναμα ως τη διαφορική εξίσωση rs + srs = 0. Λύνοντας την εξίσωση αυτή για = 1 σταθερά αρνητική καμπυλότητα Gauss προκύπτει η γενική λύση rs = αe s + be s, α, b R. Για α = 0, b = 1 παίρνουμε rs = e s και zs = s 0 1 e 2t dt. Για τις επιλογές αυτές των συναρτήσεων r, z : R + R παίρνουμε την παραμέτρηση X : R + R M της ψευδοσφαίρας είναι μια συμπαγής επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα Gauss = 1. Σχήμα 5.6: Η ψευδόσφαιρα. Η αντίστοιχη πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι Ẽ F F G = [d X][d X] t = e 2s. Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή u > 0 μέσω της su = ln u, οπότε λαμβάνουμε μια νέα παραμέτρηση X : R + R M της ψευδοσφαίρας όπου Xu, v = X su, v. Από τον κανόνα αλυσίδας είναι X u = s u Xs = 1 u X s, οπότε παίρνουμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή της παραμέτρησης X E F = [dx][dx] t = 1u F G 0 1 Με τον τρόπο αυτό επάγεται η μετρική τοπική ισομετρία ds 2 = 1 du 2 u 2 + dv 2

18 18 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα στο άνω ημιεπίπεδο H 2 = {v, u R 2 : u > 0}. Το ζεύγος H 2, ds 2 ονομάζεται υπερβολικός χώρος hyperbolic space και η μετρική ds 2 υπερβολική μετρική. Ο υπερβολικός χώρος αποτελεί ένα μοντέλο μη Ευκλείδειας γεωμετρίας δηλαδή μιας γεωμετρίας όπου δεν ισχύει το πέμπτο αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με δύο ενδιαφέροντα αποτελέσματα ὁλικού χαρακτήρα για μια επιφάνεια M. Πρώτα θυμίζουμε το παρακάτω λήμμα από τον λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Λήμμα 5.1. Εστω U ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του επιπέδου. Αν f : U R 2 είναι μια λεία απεικόνιση τέτοια ώστε f x = f y = 0, τότε η f είναι η σταθερή απεικόνιση. Θεώρημα 5.5. Εστω M μια συνεκτική προσανατολισμένη κανονική επιφάνεια με απεικόνιση Gauss N : M S 2. Εάν κάθε σημείο p M είναι ομφαλικό, τότε η M είναι τμήμα είτε ενός επιπέδου είτε μιας σφαίρας. Απόδειξη. Εστω X : U M μια παραμέτρηση της επιφάνειας M με το U να είναι συνεκτικό υποσύνολο του R 2. Επειδή κάθε σημείο του τμήματος της επιφάνειας XU είναι ομφαλικό, υπάρχει μια λεία απεικόνιση f : U R τέτοια ώστε ο τελεστής σχήματος να δίνεται ως S p : T p M T p M ax u + bx v fu, vax u + bx v, οπότε έχουμε ότι N X u = fx u και N X v = fx v. Ειδικότερα, είναι 0 = N X uv N X vu = fx u v fx v u = f v X u fx uv + f u X v + fx vu = f v X u + f u X v. Τα διανύσματα X u και X v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε θα είναι f u = f v = 0. Επειδή το πεδίο ορισμού U της f είναι συνεκτικό, η f είναι σταθερή στο U και άρα σε όλη την επιφάνεια M, αφού η M είναι συνεκτική. Αν f = 0, τότε ο τελεστής σχήματος είναι ο μηδενικός τελεστής, οπότε από Θεώρημα 5.1 η επιφάνεια περιέχεται σε ένα επίπεδο. Αν f 0, τότε ορίζουμε Y : U R 3 με τιμή Y u, v = Xu, v + 1 Nu, v. f Τότε dy = dx + 1 f dn = dx 1 fdx = 0, f

19 Παράλληλες επιφάνειες 19 άρα η Y είναι σταθερή και X Y 2 = 1. Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα της επιφάνειας XU περιέχεται f 2 σε μια σφαίρα με κέντρο το Y και ακτίνα 1. Επειδή η M είναι συνεκτική, όλη η επιφάνεια θα περιέχεται f στην ίδια σφαίρα. Θεώρημα 5.6. Εστω M μια συμπαγής κανονική επιφάνεια. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο p M με θετική καμπυλότητα Gauss p. Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : M R με τύπο fp = p 2. Η f είναι συνεχής και επειδή η επιφάνεια M είναι συμπαγής, τότε θα λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Εστω p 0 το σημείο της M, όπου η f λαμβάνει τη μέγιστη τιμή. Επειδή fp 0 = p 0 2, το σημείο p 0 M έχει τη μέγιστη απόσταση από την αρχή τον αξόνων. Εστω r = p 0. Τότε η M περιέχεται σε μια σφαίρα S 2 r ακτίνας r. Ισχυρισμός. p 0 1 r 2. Εστω Z T p0 M και γ : I M καμπύλη στην επιφάνεια M με γ0 = p 0 και γ 0 = Z. Τότε η σύνθεση f γ : I R λαμβάνει και αυτή μέγιστη τιμή για t = 0. Συνεπώς θα έχουμε Επίσης, ισχύει d dt f γ t=0 = 0, d 2 dt 2 f γ t=0 0. f γt = γt 2 = γt, γt, άρα d dt f γt t=0 = 2 γt, γ t t=0 0 = 2 γ0, γ 0 = 2 p 0, Z. Άρα p 0, Z = 0 για κάθε Z T p0 M μοναδιαίο, συνεπώς, p 0 T p0 M. Επιπλέον, έχουμε ότι d 2 dt 2 f γt t=0 = 2 γ t, γ t t=0 + γt, γ t t=0 0 d2 dt 2 f γt t=0 = 2 γ 0, γ γ0, γ 0 = 2 Z, Z + 2 p 0, γ 0 = p o, γ 0 1 p 0, γ 0. Υπολογίζουμε τώρα τις κύριες καμπυλότητες της M στο σημείο p 0. Επειδή το p 0 r = 1 p 0 p 0 είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην M, υπολογίζουμε πρώτα την κάθετη καμπυλότητα ως κ p0 Z = Np 0, γ 0 = p 0 r, γ 0 1 r. Ειδικότερα, οι κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 είναι μικρότερες από 1. Άρα για την καμπυλότητα Gauss στο r σημειο p 0 θα έχουμε ότι p 0 = κ 1 p 0 κ 2 p 0 1 r 1 r = 1 r 2 > 0. Πόρισμα 5.2. Δεν υπάρχουν συμπαγείς επιφάνειες στον R 3 με 0. συμπαγείς επιφάνειες του R 3 ελάχιστης έκτασης. Ειδικότερα, δεν υπάρχουν

20 20 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Το παρακάτω θεώρημα αποτελεί ένα σημαντικό αποτέλεσμα της ολικής διαφορικής γεωμετρίας. Θεώρημα 5.7. Liebmann Εστω M συμπαγής επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα Gauss. Τότε η 1 M είναι μια σφαίρα ακτίνας. 5.2 Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα 5.3. Δείξτε ότι το παραβολοειδές z = x 2 + y 2 είναι μια προσανατολισμένη επιφάνεια Λύση Μια παραμέτρηση του παραβολοειδούς είναι η Xu, v = u, v, u 2 + v 2. Θεωρούμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα που παίρνουμε από την παραμέτρηση Nu, v = X uu, v X v u, v X u u, v X v u, v = 1 2u, 2v, u 2 + 4v2 Το N είναι μοναδιαίο, λείο κάθετο διανυσματικό πεδίο του παραβολοειδούς, επομένως το παραβολοειδές είναι προσανατολισμένη επιφάνεια. Παράδειγμα 5.4. Δίνεται η επιφάνεια του Enneper M με παραμέτρηση X : R R + R 3 Xu, v = u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2. Σημειώνουμε ότι η επιφάνεια αυτή έχει αυτοτομές κάντε γράφημα με Mathematica και η παραπάνω παραμέτρηση αποτελεί τον μοναδικό χάρτη της. Βρείτε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης και δεύτερης τάξης, την απεικόνιση Gauss, τον τελεστή σχήματος την καμπυλότητα Gauss, τη μέση καμπυλότητα και τις κύριες καμπυλότητες. Λύση Είναι X u = 1 u 2 + v 2, 2uv, 2u, X v = 2uv, 1 v 2 + u 2, 2v, E F F G = [dx][dx] t, άρα Eu, v = X u, X u = u 2 + v F u, v = X u, X v = 0 Gu, v = X v, X v = u 2 + v ελέγξτε τις πράξεις. Η μετρική ds 2 που επάγεται στην περιοχή παραμέτρησης U = R R 3 είναι ds 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 και συγκεκριμένα ds 2 u,v Z, W = Eu, v F u, v Zt W F u, v Gu, v u = Z t 2 + v u 2 + v W

21 Λυμένα παραδείγματα 21 για κάθε u, v U R 2 και Z, W R 2. Η απεικόνιση Gauss είναι N : M S 2 Nu, v = X u X v X u X v = κάντε τις πράξεις είναι αρκετές!. X u X v = 1 2u, 2v, 1 u 2 EG F 2 u 2 + v 2 + v Για τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης χρησιμοποιούμε τους τύπους 1 e = N, X uu = 4u 2 u 2 + v 2 + 4v u 2 2v 2 = f = N, X uv = 0 g = N, X vv = 2. Ο τελεστής σχήματος στο τυχαίο σημείο p = Xu, v M είναι S p : T p M T p M, S p Z = dn p Z και γνωρίζουμε ότι ο πίνακάς του είναι [S p ] = = 1 e f E F 1 e f G F = f g F G EG F 2 f g F E 1 u 2 + v = u 2 + v Ο τελεστής σχήματος ως γραμμική απεικόνιση καθορίζεται πλήρως από τον παραπάνω πίνακα. Οι ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος είναι οι κύριες καμπυλότητες, άρα κ 1 = κ 2 = 2 u 2 + v Τέλος, η καμπυλότητα Gauss είναι u, v = det[s p ] = 4 u 2 + v και η μέση καμπυλότητα είναι H = 1 2 tr[s p] = 1 2 κ1 + κ 2 = 0, δηλαδή η επιφάνεια M είναι ελάχιστης έκτασης. Παράδειγμα 5.5. Θεωρούμε την κανονική επιφάνεια M R 3 με ολική παραμέτρηση X : R 2 M, Xu, v = u, v, u 2 v 2. α Υπολογίστε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της M ως προς την παραμέτρηση αυτή. β Βρείτε μια απεικόνιση Gauss της M. γ Βρείτε τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή και την καμπυλότητα Gauss της M.

22 22 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα δ Εστω γ : I M μια καμπύλη στην M με γ0 = X0, 0 M. Αποδείξτε ότι η κάθετη καμπυλότητα Λύση της M στο σημείο γ0 ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος γ0 = ax u + bx v παίρνει πάντα τιμές στο διάστημα [ 2, 2]. α Είναι X u = 1, 0, 2u, X v = 0, 1, 2v. Άρα E = X u, X u = 1 + 4u 2, F = X u, X v = 4uv G = X v, X v = 1 + 4v 2. β Μια απεικόνιση Gauss είναι N Xu, v = X u X v X u X v = 1 2u, 2v, 1. 4u 2 + 4v γ Υπολογίζουμε X uu = 0, 0, 2, X uv = 0, 0, 0, X vv = 0, 0, 2 άρα τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης είναι e = N, X uu = f = N, X uv = 0 g = N, X vv = 2 4u 2 + 4v u 2 + 4v Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι II = 2 2 4u 2 + 4v du2 4u 2 + 4v dv2. Τέλος, είναι = eg f 2 EG F 2 = 4 4u 2 + 4v μονίμως αρνητική. δ Είναι γ0 2 = a 2 + b 2 το οποίο πρέπει να είναι μοναδιαίο διάνυσμα, άρα a = cos θ, b = sin θ. Συνεπώς, η κάθετη καμπυλότητα στο σημείο p = γ0 ως προς τη διεύθυνση του Z = γ0 είναι κ γ0 γ0 = IIp Z, Z = 2 cos2 θ sin 2 θ 1 = 2 cos 2θ [ 2, 2]. Εδώ λάβαμε υπόψη από το γ ότι II Xu,v ax u + bx v = ea 2 + 2fab + gb 2 = 2a 2 b 2 4u 2 + 4v Παράδειγμα 5.6. Δείξτε ότι η μέση καμπυλότητα μιας κανονικής επιφάνειας στο σημείο p δίνεται από την σχέση H = 1 2π κ p θdθ, 2π 0 όπου κ p θ είναι η κάθετη καμπυλότητα στο p ως προς μια κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με σταθερό διάνυσμα.

23 Λυμένα παραδείγματα 23 Λύση Από τον τύπο του Euler κ p θ = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ, όπου κ 1, κ 2 είναι οι κύριες καμπυλότητες στο p. Επομένως, έχουμε Άρα 2π 0 κ p θdθ = 2π 0 = κ 1 2π 2π 2π κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θdθ = κ 1 cos 2 θdθ + κ 2 sin 2 θdθ 0 cos 2θ dθ + κ 2 2π 1 2π κ p θdθ = κ 1π + κ 2 π 2π 0 2π cos 2θ 2 = κ 1 + κ dθ = κ 1 π + κ 2 π. Παράδειγμα 5.7. Εστω μια κανονική επιφάνεια M και p M. Αν w 1, w 2 T p M είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις S p w 1 = 3w 1 2w 2 και S p w 2 = w 1, όπου S p = dn p είναι ο τελεστής σχήματος της M στο p, να υπολογιστούν οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας M στο σημείο p. Λύση Για να υπολογίσουμε τις κύριες καμπυλοτητες, πρέπει να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M. Εστω λ μια ιδιοτιμή του S p και u ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτήν. Επειδή = H. τα w 1, w 2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, θα έχουμε u = aw 1 + bw 2. Επειδή S p u = λu και S p u = S p aw 1 + bw 2 = as p w 1 + bs p w 2 = a3w 1 2w 2 + bw 1 = 3a + bw 1 + 2aw 2, έχουμε ότι 3a + bw 1 + 2aw 2 = λaw 1 + bw 2, δηλαδή 3a + b λaw 1 + 2a λbw 2 = 0. Από την τελευταία εξίσωση και αφού τα w 1, w 2 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα θα έχουμε Επειδή το u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα, θα είναι u 0, οπότε a 0. b 0 3 λa + b = 0, 2a + λb = Το γραμμικό και ομογενές σύστημα 5.9 πρέπει να έχει μη μηδενική λύση. Άρα 3 λ 1 det = 0 λ 2 3λ + 2 = 0. 2 λ Απο την τελευταία εξίσωση παίρνουμε λ = 1 και λ = 2. Αφού οι ιδιοτιμές του S p είναι το 1 και 2, οι κύριες καμπυλότητες της επιφάνειας στο σημείο p είναι το 1 και 2.

24 24 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Παράδειγμα 5.8. Δίνεται μια κανονική επιφάνεια M και ο εφαπτόμενος χώρος της T p M στο σημείο p M. Αν υποθέσουμε ότι w 1, w 2 T p M είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα, τότε ισχύουν οι σχέσεις 1 S p w 1 S p w 2 = pw 1 w 2, 2 S p w 1 w 2 + w 1 S p w 2 = 2Hpw 1 w 2. Λύση Τα διανύσματα w 1, w 2 αποτελούν βάση του εφαπτόμενου χώρου T p M, οπότε μπορούμε να γράψουμε ότι S p w 1 = λ 1 w 1 + µ 1 w 2, S p w 2 = λ 2 w 1 + µ 2 w 2, οπότε ο πίνακας του τελεστή σχήματος S p : T p M T p M ως προς τη βάση αυτή είναι ο [S p ] = λ 1 λ 2 µ 1 µ 2. Επομένως, θα είναι p = det[s p ] = λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 Hp = 1 2 tr[s p] = 1 2 λ 1 + µ 2, οπότε S p w 1 S p w 2 = λ 1 w 1 + µ 1 w 2 λ 2 w 1 + µ 2 w 2 = λ 1 λ 2 w 1 w 1 + λ 1 µ 2 w 1 w 2 + λ 2 µ 1 w 2 w 1 + µ 1 µ 2 w 2 w 2 = λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 w 1 w 2 = pw 1 w 2. Ανάλογα, έχουμε ότι S p w 1 w 2 + w 1 S p w 2 = λ 1 w 1 + µ 1 w 2 w 2 + w 1 λ 2 w 1 + µ 2 w 2 = λ 1 + µ 2 w 1 w 2 = 2Hpw 1 w Ασκήσεις 1. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της επιφάνειας Xu, v = u+v, u v, uv στο σημείο 2, 0, Εστω U ανοικτό υποσύνολο του R 3 και q R μια κανονική τιμή της διαφορίσιμης συνάρτησης f : U R. Αποδείξτε ότι η κανονική επιφάνεια M = f 1 {q} του R 3 είναι προσανατολίσιμη. 3. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της σφαίρας Sr 2 = { x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2}. 4. Δίνεται η επιφάνεια του Enneper με παραμέτρηση X : R R + R 3 Xu, v = 3u u 3 + 3uv 2, 3v v 3 + 3vu 2, 3u 2 3v 2. Υπολογίστε:

25 Ασκήσεις 25 α την πρώτη θεμελιώδη μορφή β τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή γ τις κύριες καμπυλότητες δ την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα. Σχήμα 5.7: Η επιφάνεια του Enneper. 5. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και τη μέση καμπυλότητα της αλυσοειδούς επιφάνειας catenoid M με παραμέτρηση X : R R + R r 2 Xθ, r = 2r cos θ, 1 + r2 2r sin θ, log r. Βρείτε μια εξίσωση της μορφής fx, y, z = 0 που να περιγράφει την M. Σχήμα 5.8: Αλυσοειδής επιφάνεια. 6. Εστω X, Y : R 2 R 3 με Xu, v = cosh u cos v, cosh u sin v, u Y u, v = sinh u cos v, sinh u sin v, v οι παραμετρήσεις της αλυσοειδούς και ελικοειδούς επιφάνειας αντίστοιχα. Υπολογίστε τις κύριες καμπυλότητες κ 1, κ 2 των X, Y.

26 26 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σχήμα 5.9: Ελικοειδής επιφάνεια. 7. Αποδείξτε ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας κανονικής επιφάνειας M του R 3 παραμένει αναλλοίωτη κάτω από στερεές κινήσεις. 8. Εστω γ : R R 3 μια κανονική καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου και με καμπυλότητα μη μηδενική. Εστω n, b τα διανύσματα της πρώτης καθέτου και της δεύτερης καθέτου της γ αντίστοιχα. Για r > 0 υποθέτουμε ότι ο σωλήνας tube M ακτίνας r περί την γ με παραμέτριση X : R 2 R 3, Xs, θ = γs + rcos θ ns + sin θ bs είναι μια κανονική επιφάνεια του R 3. καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας M ως προς s, θ, r, ks και τs. Υπολογίστε την 9. Εστω X : U R 3 παραμέτρηση μιας επιφάνειας M του R 3 με απεικόνιση Gauss N : M S 2 και με κύριες καμπυλότητες k 1 = 1 r 1, k 2 = 1 r 2. Εστω r R τέτοιο ώστε η X r : U R 3 με X r u, v = Xu, v + rnu, v να είναι παραμέτρηση μιας επιφάνειας του R 3. Αποδείξτε ότι οι κύριες καμπυλότητες της X r ικανοποιούν τις σχέσεις k 1 r = 1 r 1 r και k 2r = 1 r 2 r. 10. Υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας με παραμέτρηση X : R R M, X a r, θ = θ θ r sin a cos, r sin a sin, r cos a. sin a sin a 11. Εφοδιάζουμε τους χώρους R 2 και R 4 με τα κανονικά εσωτερικά γινόμενα. Αποδείξτε ότι η παραμέτρηση X : R 2 R 4 με Xu, v = cos u, sin u, cos v, sin v του συμπαγούς δακτυλίου torus M στον R 4 είναι ισομετρική. Τί μας λέει αυτό για την καμπυλότητα Gauss του M; 12. Εστω αs μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητα με στρέψη τs 0 και διάνυσμα δεύτερης κάθετης Bs. Θεωρούμε την επιφάνεια M με τοπική παραμέτρηση Xs, u = αs + ubs,

27 Ασκήσεις 27 γνωστή ως ευθειογενής επιφάνεια. Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα Gauss της M στο σημείο Xs, u δίνεται από την σχέση τs 2 s, u = 1 + u 2 τs a Εξηγήστε χωρίς ιδιαίτερους υπολογισμούς γιατί οι παρακάτω επιφάνειες δεν είναι ανα δύο τοπικά ισομετρικές 1 Η σφαίρα, 2 Ο κύλινδρος, 3 Το υπερβολικό παραβολοειδές z = x 2 y 2. b Δώστε παράδειγμα επιφάνειας με σταθερή καμπυλότητα Gauss = 1. Γράψτε την πρώτη θεμελιώδη μορφή αυτής. 14. Αναζητήστε στη βιβλιογραφία μια απόδειξη του Θεωρήματος 5.7.

28 28 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα

29 Βιβλιογραφία [1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer [2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press [3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall [4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, [5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, [6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 48 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Καμπσλότητα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 48 49 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =

1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 = Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Γεωδαιζιακές καμπύλες Όνομα Καθηγηηή: Ανδρέας Αρβανιηογεώργος Τμήμα: Μαθημαηικών 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u)

X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn. X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, (7.2) X u = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) Κεφάλαιο 7 Οι εξισώσεις Codazzi και Gauss Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με μια βαθύτερη κατανόηση της καμπυλότητας Gauss. Θα ορίσουμε τα σύμβολα του Christoffel, τα οποία είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2.

I p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2. Κεφάλαιο 4 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού τρόπου μέτρησης της καμπυλότητας γεωμετρικών αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερολόγιο μαθήματος ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1)

γ(0) = γ(0) tan + γ(0) norm, γ(t) tan = 0 (9.1) Κεφάλαιο 9 Γεωδαισιακές καμπύλες Σύνοψη Ως γνωστόν οι ευθείες γραμμές παίζουν καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρία του επιπέδου. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να ορίσουμε εκείνες τις καμπύλες σε μια επιφάνεια,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Τρίτη Εργασία, 2018-19 Επιφάνειες Εξάσκηση µε ϐασικούς υπολογισµούς κινούµενης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da =

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da = Κεφάλαιο 1 Το Θεώρημα Gauss-Bonnet Σύνοψη Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά (αν όχι το πιο σημαντικό) αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών. Μέσω του θεωρήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Το Θεώρημα Gauss - Bonnet Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 39 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;). ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3

ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 11 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Αθηνών 31 Μαΐου Ιουνίου 013 ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 Δρ. Δεληβός Ιωάννης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1 1. ΣΧΕΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 3 ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.

Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα του Plücker

Διάνυσμα του Plücker ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ ΣΦΑΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ : ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Κ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ ΣΦΑΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ : ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Κ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ... ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αξιότιμο καθηγητή κ. Γ.Στάμου, ο οποίος ανέλαβε υπό την ευθύνη του τη διπλωματική μου εργασία.καθ όλη τη διάρκεια της έρευνάς μου στο θέμα της, μου συμπαραστάθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου

Ανασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 3 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t

γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t Εισαγωγή στη Διαφορική Γεωμετρία Καμπυλών και Επιφανειών Σημειώσεις παραδόσεων εαρινού εξαμήνου 011-01 Αντώνιος Μελάς Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 013 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες 1 1.1 Καμπύλες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2018 2 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του Ευκλειδείου χώρου R 2 7 1.1 Κανονικές καμπύλες................... 8 1.2 Αναπαραμετρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN Ι. Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες 1. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες και απεικονίσεις 2. Ο εφαπτόμενος χώρος και η εφαπτομένη δέσμη 3. Υποπολλαπλότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1 + t + s t. 1 + t + s

1 + t + s t. 1 + t + s Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα

Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΒΛΑΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2017 2 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες του R 2 5 1.1 Κανονικές καμπύλες.................... 6 1.2 Αναπαραμετρήσεις καμπυλών..............

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα