ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ

Transcript

1 ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ 1. ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΚΤΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Α. φέςη μεσαξύ σόξοτ ( s ) και επίκενσπηρ γψνίαρ ( θ ) s R Η γσλία ζ πξνθύπηεη ζε rad Β. Γπαμμική σαφύσησα ( τ ) α. Μέσπο : ds β. Διεύθτνςη ευαπσόμενη σοτ κύκλοτ γ. Υοπά ίδια με ση υοπά σηρ κίνηςηρ δ. Μονάδα ςσο S.I σο 1 m/sec s Σηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε, ε παξαπάλσ ζρέζε γξάθεηαη : t Σε ρξόλν κηαο πεξηόδνπ ( t=t ), ην πιηθό ζεκείν δηαγξάθεη έλαλ πιήξε θύθιν ( s=πr ). R Έηζη, ε παξαπάλσ ζρέζε γίλεηαη : Rf T Γ. Γψνιακή σαφύσησα ( ψ ) α. Μέσπο : d β. Διεύθτνςη κάθεση ςσο επίπεδο σοτ κύκλοτ γ. Υοπά ποτ καθοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού δ. Μονάδα ςσο S.I σο 1 rad/sec Σηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε, ε παξαπάλσ ζρέζε γξάθεηαη : t Σε ρξόλν κηαο πεξηόδνπ ( t=t ), ην πιηθό ζεκείν δηαγξάθεη έλαλ πιήξε θύθιν ( ζ=π ). Έηζη, ε παξαπάλσ ζρέζε γίλεηαη : f T Δ. φέςη μεσαξύ γπαμμικήρ και γψνιακήρ σαφύσησαρ Από σιρ εξιςώςειρ Rf και f πποκύπσει όσι : R Μηφανική σεπεού ώμασορ 1

2 Ε. Κενσπομόλορ επισάφτνςη ( α κ ) α. Μέσπο : R R β. Διεύθτνςη πάνψ ςσην ακσίνα σοτ κύκλοτ γ. Υοπά ππορ σο κένσπο σοτ κύκλοτ δ. Μονάδα ςσο S.I σο 1 m/sec Η κενσπομόλορ επισάφτνςη ετθύνεσαι για ση μεσαβολή σηρ διεύθτνςηρ σηρ σαφύσησαρ Σ. Επισπόφια ( ευαπσομενική ) επισάφτνςη ( α ε ) α. Μέσπο : d β. Διεύθτνςη ευαπσόμενη σοτ κύκλοτ γ. Υοπά ίδια με σην σαφύσησα αν η κίνηςη είναι επισαφτνόμενη και ανσίθεση αν είναι επιβπαδτνόμενη δ. Μονάδα ςσο S.I σο 1 m/sec Η επισπόφια επισάφτνςη ετθύνεσαι για ση μεσαβολή σοτ μέσποτ σηρ σαφύσησαρ. Ππουανώρ, ςσην ομαλή κτκλική κίνηςη : a ε=0 Σεκείσζε : Τν δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ηεο θεληξνκόινπ θαη ηεο επηηξόρηαο επηηάρπλζεο, καο δίλεη ηε ζπλνιηθή επηηάρπλζε α. Μηφανική σεπεού ώμασορ

3 Z. Γψνιακή επισάφτνςη ( α γ ) α. Μέσπο : d β. Διεύθτνςη κάθεση ςσο επίπεδο σοτ κύκλοτ γ. Υοπά ίδια με ση γψνιακή σαφύσησα αν η κίνηςη είναι επισαφτνόμενη και ανσίθεση αν είναι επιβπαδτνόμενη δ. Μονάδα ςσο S.I σο 1 rad/sec H. φέςη μεσαξύ επισπόφιαρ και γψνιακήρ επισάφτνςηρ d d( R) d R R R Θ. Εξιςώςειρ κίνηςηρ α. Ομαλή κτκλική κίνηςη s t t Σο γπαμμοςκιαςμένο εμβαδό ςσο ππώσο διάγπαμμα είναι ίςο απιθμησικά με σο σόξο ποτ διέγπαχε σο τλικό ςημείο, ενώ ςσο δεύσεπο διάγπαμμα είναι ίςο με ση γψνία ποτ διέγπαχε η επιβασική ακσίνα (η ακσίνα ποτ ενώνει σο κένσπο σοτ κύκλοτ με σο τλικό ςημείο) Μηφανική σεπεού ώμασορ 3

4 β. Ομαλά επισαφτνόμενη κτκλική κίνηςη t t Σο γπαμμοςκιαςμένο εμβαδό ςσο ππώσο διάγπαμμα είναι ίςο απιθμησικά με σο σόξο ποτ διέγπαχε σο τλικό ςημείο, ενώ ςσο δεύσεπο διάγπαμμα είναι ίςο με ση γψνία ποτ διέγπαχε η επιβασική ακσίνα Η κλίςη σηρ ετθείαρ ςσο ππώσο διάγπαμμα είναι ίςη απιθμησικά με σην επισπόφια επισάφτνςη (α ε), ενώ ςσο δεύσεπο διάγπαμμα είναι ίςη με ση γψνιακή επισάφτνςη (α γ) 1 s t t 1 t t Μηφανική σεπεού ώμασορ 4

5 γ. Ομαλά επιβπαδτνόμενη κτκλική κίνηςη t t Σο γπαμμοςκιαςμένο εμβαδό ςσο ππώσο διάγπαμμα είναι ίςο απιθμησικά με σο σόξο ποτ διέγπαχε σο ςώμα, ενώ ςσο δεύσεπο διάγπαμμα είναι ίςο με ση γψνία ποτ διέγπαχε η επιβασική ακσίνα Η κλίςη σηρ ετθείαρ ςσο ππώσο διάγπαμμα είναι ίςη απιθμησικά με σην επισπόφια επισάφτνςη (α ε), ενώ ςσο δεύσεπο διάγπαμμα είναι ίςη με ση γψνιακή επισάφτνςη (α γ) 1 s t t 1 t t Μηφανική σεπεού ώμασορ 5

6 . ΟΙ ΚΙΝΗΕΙ ΣΩΝ ΣΕΡΕΩΝ ΩΜΑΣΩΝ Μέφπι σώπα μιλούςαμε μόνο για τλικά ςημεία. Τλικό ςημείο ονομάζεσαι ένα ςώμα ποτ έφει όλερ σιρ ιδιόσησερ σηρ ύληρ, εκσόρ από διαςσάςειρ. Ππακσικά, μποπούμε να θεψπήςοτμε όσι ένα ςώμα είναι τλικό ςημείο, όσαν οι διαςσάςειρ σοτ είναι αςήμανσερ ςε ςφέςη με σιρ διαςσάςειρ σοτ πεπιβάλλονσορ φώποτ. Ένα τλικό ςημείο μποπεί να εκσελεί μόνο μεσαυοπική κίνηςη. Όσαν δεν μποπούμε να αγνοήςοτμε σιρ διαςσάςειρ ενόρ ςώμασορ, σο ονομάζοτμε ςσεπεό ςώμα. Σα ςσεπεά ςώμασα, εκσόρ από μεσαυοπική, μποπούν να εκσελούν και ςσπουική (πεπιςσπουική) κίνηςη, ποτ ςημαίνει όσι αλλάζοτν πποςανασολιςμό ςσο φώπο. Όσαν ςε ένα ςσεπεό ςώμα αςκούνσαι δτνάμειρ, ατσό μποπεί να παπαμοπυώνεσαι ( μόνιμα ή πποςψπινά ). Αν δεν παπαμοπυώνεσαι, ονομάζεσαι μηφανικό ςσεπεό. Α. Μεσαυοπική κίνηςη Ένα ςώμα εκσελεί μεσαυοπική κίνηςη, όσαν κάθε ςσιγμή όλα σα ςημεία σοτ ςώμασορ έφοτν σην ίδια σαφύσησα. Όσαν ένα ςώμα εκσελεί μεσαυοπική κίνηςη, σόσε : i) σο ετθύγπαμμο σμήμα ποτ ςτνδέει δύο στφαία ςημεία σοτ ςώμασορ μεσασοπίζεσαι παπάλληλα ππορ σον εατσό σοτ. ii) διασηπεί ςτνεφώρ σον ίδιο πποςανασολιςμό ςσο φώπο. Iii) οι σποφιέρ όλψν σψν ςημείψν σοτ ςώμασορ είναι παπάλληλερ. Μεηαθνξηθή θίλεζε δελ είλαη ππνρξεσηηθά κόλν ε επζύγξακκε θίλεζε. Μπνξεί λα είλαη θαη κία θακππιόγξακκε, όπσο βιέπνπκε ζηα δύν παξαθάησ ζρήκαηα. σο ςφήμα (α) βλέποτμε μία κανάσα ποτ διαγπάυει καμπύλη σποφιά. Σο ετθ.σμήμα ΑΒ ποτ ενώνει δύο ςημεία σηρ κανάσαρ μεσασοπίζεσαι παπάλληλα ππορ σον εατσό σοτ και, άπα, η κανάσα εκσελεί μεσαυοπική κίνηςη. Μηφανική σεπεού ώμασορ 6

7 σο ςφήμα (β) βλέποτμε ένα σποφό λούνα-παπκ. Ο σποφόρ ο ίδιορ εκσελεί ςσπουική κίνηςη. Ανσίθεσα, κάθε θαλαμίςκορ σοτ εκσελεί μεσαυοπική κίνηςη καθώρ διασηπεί ςσαθεπό πποςανασολιςμό ςσο φώπο. Β. σπουική κίνηςη Ένα ςώμα εκσελεί ςσπουική κίνηςη, όσαν τπάπφει μία ετθεία (ποτ ονομάζεσαι άξοναρ πεπιςσπουήρ ), σηρ οποίαρ όλα σα ςημεία παπαμένοτν ακίνησα ενώ σα τπόλοιπα ςημεία σοτ ςώμασορ εκσελούν κτκλική κίνηςη με διαυοπεσική ακσίνα. Σα κένσπα σψν κτκλικών ατσών σποφιών βπίςκονσαι πάνψ ςσον άξονα πεπιςσπουήρ και σα επίπεδά σοτρ είναι κάθεσα ςε ατσόν. Όλα σα ςημεία σοτ ςώμασορ ποτ εκσελούν κτκλικέρ κινήςειρ έφοτν σην ίδια γψνιακή σαφύσησα, αλλά διαυοπεσικέρ γπαμμικέρ σαφύσησερ, σψν οποίψν σα μέσπα τπολογίζονσαι από ση ςφέςη τ=ψr, όποτ R είναι η απόςσαςη σοτ ςημείοτ από σον άξονα πεπιςσπουήρ. Αν η γψνιακή σαφύσησα ενόρ ςώμασορ ποτ πεπιςσπέυεσαι είναι ςσαθεπή, σόσε λέμε όσι σο ςώμα εκσελεί ομαλή ςσπουική κίνηςη. Αν, όμψρ, η γψνιακή σαφύσησα μεσαβάλλεσαι, σόσε σο πτθμό μεσαβολήρ σηρ (dψ/) σον ονομάζοτμε γψνιακή επισάφτνςη ( α γψν ) Δηλαδή :. d Η γψνιακή επισάφτνςη έφει σην κασεύθτνςη σοτ διανύςμασορ πεπίπσψςη. Αν, σώπα, ο άξοναρ πεπιςσπουήρ είναι ςσαθεπόρ σόσε : d ςε κάθε i) Αν η κίνηςη είναι επισαφτνόμενη, η γψνιακή επισάφτνςη α γ είναι ομόπποπη ii) σηρ γψνιακήρ σαφύσησαρ ψ Αν η κίνηςη είναι επιβπαδτνόμενη, η γψνιακή επισάφτνςη α γ είναι ανσίπποπη σηρ γψνιακήρ σαφύσησαρ ψ Μηφανική σεπεού ώμασορ 7

8 Γ. Κένσπο μάζαρ Κένσπο μάζαρ ( cm ) ενόρ ςσεπεού ςώμασορ, ονομάζεσαι σο ςημείο εκείνο ποτ κινείσαι όπψρ θα κινούνσαν ένα τλικό ςημείο με μάζα ίςη με ση μάζα σοτ ςώμασορ, αν ςε ατσό αςκούνσαν όλερ οι δτνάμειρ ποτ αςκούνσαι ςσο ςώμα. Σο κένσπο μάζαρ ςτμμεσπικών και ομογενών ςψμάσψν ςτμπίπσει με σο κένσπο ςτμμεσπίαρ σοτρ. Για παπάδειγμα, σο κένσπο μάζαρ ενόρ κύβοτ ςτμπίπσει με σο ςημείο σομήρ σψν διαγψνίψν σοτ. Σο κένσπο μάζαρ ενόρ ςώμασορ μποπεί να βπίςκεσαι και έξψ από σο ςώμα. Για παπάδειγμα, σο κένσπο μάζαρ ενόρ ιςοπαφούρ ομογενούρ δακστλίοτ βπίςκεσαι ςσο κένσπο σοτ. Σο κένσπο μάζαρ ενόρ ςώμασορ ςτμπίπσει με σο κένσπο βάποτρ σοτ, όσαν σο ςώμα βπίςκεσαι μέςα ςε ομογενέρ βαπτσικό πεδίο. Δ. ύνθεση κίνηςη Ένα ςώμα λέμε όσι εκσελεί ςύνθεση κίνηςη, όσαν εκσελεί σατσόφπονα και μεσαυοπική και ςσπουική κίνηςη. Σέσοια είναι, για παπάδειγμα, η κίνηςη ποτ κάνει ο σποφόρ ενόρ ατσοκινήσοτ όσαν σο ατσοκίνησο κινείσαι. Καθώρ ο σποφόρ κτλίεσαι, αυενόρ πεπιςσπέυεσαι γύπψ από σον άξονά σοτ με γψνιακή σαφύσησα ψ, αυεσέποτ εκσελεί σατσόφπονα μεσαυοπική κίνηςη με σαφύσησα τ cm (πνπ είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ απηνθηλήηνπ) Κασά σην κύλιςη σοτ σποφού, κάθε ςημείο σηρ πεπιυέπειάρ σοτ έπφεσαι διαδοφικά ςε επαυή με σο έδαυορ. Έσςι, όσαν ένα ςημείο Α σηρ πεπιυέπειαρ σοτ ςε φπόνο πεπιςσπαυεί κασά ds, ο σποφόρ θα έφει μεσακινηθεί κασά dx=ds. Μηφανική σεπεού ώμασορ 8

9 Η γπαμμική σαφύσησα τ πεπιςσπουήρ σψν ςημείψν σηρ πεπιυέπειαρ σοτ σποφού είναι ίςη με τ=ds/ και η σαφύσησα σοτ κένσποτ μάζαρ σοτ είναι ίςη με τ cm=dx/. Αυού, όμψρ, dx=ds κασαλαβαίνοτμε όσι cm. Επιπλέον, επειδή για ση γπαμμική σαφύσησα πεπιςσπουήρ σψν ςημείψν σηρ πεπιυέπειαρ σοτ σποφού γνψπίζοτμε όσι R, ςτμπεπαίνοτμε όσι : cm R Αν η κίνηςη σοτ ατσοκινήσοτ είναι επισαφτνόμενη, σόσε σο κένσπο μάζαρ σοτ σποφού κινείσαι με επισάφτνςη α cm, η οποία θα είναι ίςη με σην επισπόφια επισάφτνςη α ε σψν ςημείψν σηρ πεπιυέπειαρ σοτ σποφού, για σην οποία γνψπίζοτμε όσι : α ε=α γ.r, όποτ α γ είναι η γψνιακή επισάφτνςη πεπιςσπουήρ σοτ σποφού. Άπα : cm R Αυού, σώπα, ο σποφόρ εκσελεί ςύνθεση κίνηςη, η σαφύσησα κάθε ςημείοτ σοτ θα είναι ίςη με σο διαντςμασικό άθποιςμα σηρ γπαμμικήρ σαφύσησάρ σοτ τ (ιόγσ ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο) και σηρ σαφύσησαρ σοτ κένσποτ μάζαρ σοτ σποφού τ cm (ιόγσ ηεο κεηαθνξηθήο θίλεζεο), για σιρ οποίερ ςσην πεπίπσψςη σψν ςημείψν σηρ πεπιυέπειαρ σοτ σποφού - αποδείξαμε παπαπάνψ όσι έφοτν ίςα μέσπα. Η γπαμμική σαφύσησα πεπιςσπουήρ κάθε ςημείοτ είναι ευαπσόμενη σοτ σποφού και έφει ση υοπά σηρ πεπιςσπουήρ, ενώ η σαφύσησα σηρ μεσαυοπικήρ κίνηςήρ σοτ είναι ίςη με σην σαφύσησα σοτ κένσποτ μάζαρ σοτ σποφού. Έσςι, η σαφύσησα μεσαυοπάρ είναι ίδια για όλα σα ςημεία σοτ σποφού (θαηά κέηξν, δηεύζπλζε, θνξά), ενώ, ανσίθεσα, η σαφύσησα πεπιςσπουήρ διαυέπει από ςημείο ςε ςημείο (ζηε δηεύζπλζε). Ατσά υαίνονσαι ςσο παπακάσψ ςφήμα, ςσο οποίο δείφνοτμε πώρ τπολογίζοτμε ση ςτνολική σαφύσησα σεςςάπψν φαπακσηπιςσικών ςημείψν σοτ σποφού : Μηφανική σεπεού ώμασορ 9

10 3. ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ξέποτμε όσι σο πόςο εύκολα πεπιςσπέυεσαι ένα ςώμα εξαπσάσαι όφι μόνο από σο μέγεθορ σηρ δύναμηρ και σην κασεύθτνςή σηρ, αλλά και από σο ςημείο ςσο οποίο αςκείσαι η δύναμη. Η ποπή δύναμηρ εκυπάζει σην ικανόσησα μιαρ δύναμηρ να ςσπέυει ένα ςώμα. Α. Ροπή δύναμηρ ψρ ππορ άξονα Εςσψ ένα ςώμα ποτ μποπεί να ςσπέυεσαι γύπψ από έναν άξονα z z και μία δύναμη F ποτ αςκείσαι ςσο ςώμα ατσό και, η οποία, βπίςκεσαι ςε επίπεδο κάθεσο ςσον άξονα πεπιςσπουήρ. Ροπή ( σ ) σηρ δύναμηρ F ψρ ππορ σον άξονα πεπιςσπουήρ z z ονομάζεσαι σο διαντςμασικό μέγεθορ ποτ έφει : α. μέσπο ίςο με σο γινόμενο σοτ μέσποτ σηρ δύναμηρ επί σην κάθεση απόςσαςη σηρ δύναμηρ από σον άξονα πεπιςσπουήρ ( κνρινβξαρίνλαο ) : Fd β. διεύθτνςη σον άξονα πεπιςσπουήρ γ. υοπά ποτ πποςδιοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού (αλ θιείζνπκε ηα δάρηπια ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ ζύκθσλα κε ηε θνξά θαηά ηελ νπνία ε δύλακε ζέιεη λα πεξηζηξέςεη ην ζώκα, ηόηε ν αληίρεηξαο ζα δίλεη ηε θνξά ηεο ξνπήο δ. μονάδα ςσο SI σο 1 N.m Αν η δύναμη F δεν βπίςκεσαι ςε επίπεδο κάθεσο ςσον άξονα πεπιςσπουήρ, σόσε σην αναλύοτμε ςε δύο ςτνιςσώςερ : μία ςτνιςσώςα F 1 ποτ βπίςκεσαι ςε επίπεδο κάθεσο ςσον άξονα πεπιςσπουήρ και μία ςτνιςσώςα F παπάλληλη ππορ σον άξονα. Η ποπή σηρ δεύσεπηρ δύναμηρ F είναι ίςη με μηδέν, καθώρ η δύναμη ατσή δεν μποπεί να πεπιςσπέχει σο ςώμα ψρ ππορ σον άξονα. Έσςι, η ποπή σηρ δύναμηρ F είναι ίςη με ση ποπή σηρ F 1. Μηφανική σεπεού ώμασορ 10

11 Όσαν ςσο ςώμα αςκούνσαι δύο ή πεπιςςόσεπερ ομοεπίπεδερ δτνάμειρ, σόσε η ςτνολική ποπή σοτρ έφει αλγεβπική σιμή ίςη με σο αλγεβπικό άθποιςμα σψν ποπών σψν δτνάμεψν ατσών. Δηλαδή : σ=σ 1+σ +σ Κασά ςύμβαςη θεψπούμε θεσική ση ποπή μιαρ δύναμηρ όσαν η δύναμη ατσή θέλει να πεπιςσπέχει σο ςώμα ανσίθεσα από ση υοπά σψν δεικσών σοτ πολογιού και απνησική όσαν θέλει να σο πεπιςσπέχει ςύμυψνα με ση υοπά σψν δεικσών. σο παπακάσψ ςφήμα βλέποτμε μια κάσοχη ενόρ ςώμασορ ποτ μποπεί να ςσπέυεσαι γύπψ από άξονα ποτ διέπφεσαι από σο ςημείο Ο και είναι κάθεσορ ςσο επίπεδο σηρ ςελίδαρ και ποτ πάνψ σοτ αςκούνσαι δύο δτνάμειρ F 1 και F. Επειδή η F 1 θέλει να πεπιςσπέχει σο ςώμα ανσίθεσα από ση υοπά σψν δεικσών σοτ πολογιού, η ποπή σηρ θα είναι θεσική. Επειδή η F θέλει να πεπιςσπέχει σο ςώμα ςύμυψνα με ση υοπά σψν δεικσών σοτ πολογιού, η ποπή σηρ θα είναι απνησική. Β. Ροπή δύναμηρ ψρ ππορ ςημείο Αν ςε ένα ςώμα αςκηθεί δύναμη, σηρ οποίαρ ο υοπέαρ πεπνά από σο κένσπο μάζαρ σοτ, σόσε σο ςώμα θα εκσελέςει μόνο μεσαυοπική κίνηςη. Αν, όμψρ, ο υοπέαρ σηρ δύναμηρ δεν πεπνά από σο κένσπο μάζαρ σοτ ςώμασορ, σόσε σο ςώμα, εκσόρ από μεσαυοπική κίνηςη, θα εκσελέςει και πεπιςσπουική γύπψ από ένα νοησό άξονα ποτ διέπφεσαι από σο κένσπο μάζαρ σοτ ςώμασορ και είναι κάθεσορ ςσο επίπεδο ποτ οπίζεσαι από ση δύναμη και σο κένσπο μάζαρ σοτ ςώμασορ. σιρ πεπιπσώςειρ ποτ δεν τπάπφει ςσαθεπόρ άξοναρ πεπιςσπουήρ, φπηςιμοποιούμε σην έννοια σηρ ποπήρ δύναμηρ ψρ ππορ ςημείο. Ροπή δύναμηρ ψρ ππορ ςημείο ονομάζεσαι σο διαντςμασικό μέγεθορ ποτ έφει : α. μέσπο ίςο με σο γινόμενο σηρ δύναμηρ επί σην απόςσαςή σηρ από σο ςημείο ατσό. β. διεύθτνςη κάθεση ςσο επίπεδο ποτ οπίζεσαι από ση διεύθτνςη σηρ δύναμηρ και σο ςημείο γ. υοπά ποτ πποςδιοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού δ. μονάδα ςσο SI σο 1 Ν.m Μηφανική σεπεού ώμασορ 11

12 Γ. Ζεύγορ δτνάμεψν Ζεύγορ δτνάμεψν ονομάζεσαι ένα ςύςσημα δύο ανσίπποπψν δτνάμεψν με ίςα μέσπα ποτ δεν αςκούνσαι ςσο ίδιο ςημείο. Ροπή ζεύγοτρ δτνάμεψν ονομάζεσαι σο διαντςμασικό μέγεθορ ποτ έφει : α. μέσπο ίςο με σο γινόμενο σηρ μίαρ δύναμηρ επί σην απόςσαςη σψν υοπέψν σψν δτνάμεψν. β. διεύθτνςη κάθεση ςσο επίπεδο σψν δτνάμεψν γ. υοπά ποτ πποςδιοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού δ. μονάδα ςσο SI σο 1 Ν.m Αρ δούμε μία κάσοχη ενόρ ςώμασορ ςσο οποίο αςκείσαι ένα ζεύγορ δτνάμεψν. Οι δτνάμειρ ατσέρ, ψρ ππορ σον άξονα ποτ πεπνά από σο Α, θέλοτν να πεπιςσπέχοτν σο ςώμα κασά σην ίδια υοπά. Έσςι, η ςτνολική ποπή σοτρ είναι ίςη με σο άθποιςμα σψν επί μέποτρ ποπών : x x Fd Fx1 Fx F 1 Σο ίδιο αποσέλεςμα θα είφαμε και ψρ ππορ οποιοδήποσε άλλο ςημείο, είσε σο ςημείο ατσό βπίςκεσαι μεσαξύ σψν δτνάμεψν είσε βπίςκεσαι έξψ από ατσέρ. Αν, για παπάδειγμα, θεψπήςοτμε έναν άξονα ποτ πεπνά από σο ςημείο Β, οι δτνάμειρ θα θέλοτν να πεπιςσπέχοτν σο ςώμα κασ ανσίθεση υοπά. Έσςι, η ςτνολική ποπή σψν δύο δτνάμεψν θα είναι ίςη με ση διαυοπά σψν επί μέποτρ ποπών : x x Fd Fx1 Fx F 1 Δηλαδή : Η ποπή ενόρ ζεύγοτρ δτνάμεψν δεν εξαπσάσαι από ση θέςη σοτ άξονα πεπιςσπουήρ, ςε ανσίθεςη με ση ποπή μιαρ δύναμηρ η οποία εξαπσάσαι. Μηφανική σεπεού ώμασορ 1

13 4. ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Ένα ςσεπεό ςώμα μποπεί να εκσελεί και μεσαυοπική και ςσπουική κίνηςη. Αν η ςτνιςσαμένη σψν δτνάμεψν ποτ αςκούνσαι ςε ένα απφικά ακίνησο ςώμα είναι ίςη με μηδέν ( F 0 ) εξαςυαλίζοτμε όσι σο ςώμα δεν θα εκσελέςει μεσαυοπική κίνηςη. Μποπεί, όμψρ, να εκσελέςει ςσπουική κίνηςη αν τπάπφοτν ποπέρ. Για να μη ςσπαυεί σο ςώμα, θα ππέπει η ςτνιςσαμένη σψν ποπών να είναι μηδέν ( 0 ) Άπα, για να ιςοπποπεί ένα απφικά ακίνησο ςσεπεό ςώμα ππέπει να ιςφύοτν σατσόφπονα : 0 F και 0 ψρ ππορ οποιοδήποσε ςημείο. Αν οι δτνάμειρ ποτ αςκούνσαι ςσο ςώμα είναι ομοεπίπεδερ, σόσε σιρ αναλύοτμε ςε δύο άξονερ x και y. Έσςι, η ςφέςη F y 0 F 0 γίνεσαι : x 0 F και Επίςηρ, οι ποπέρ όλψν σψν δτνάμεψν θα βπίςκονσαι πάνψ ςσην ίδια ετθεία ( πνπ ζα είλαη θάζεηε ζην επίπεδν ησλ δπλάκεσλ ). Έσςι, μποπούμε να σιρ πποςθέσοτμε αλγεβπικά και η ςφέςη 0 να γίνει 0. τνοχίζονσαρ, για ένα απφικά ακίνησο ςώμα τπάπφοτν οι εξήρ πεπιπσώςειρ : α. Όσαν β. Όσαν γ. Όσαν κίνηςη δ. Όσαν 0 0 F και, σο ςώμα κάνει μόνο μεσαυοπική κίνηςη 0 F και 0, σο ςώμα κάνει μόνο ςσπουική κίνηςη 0 0 F και,σο ςώμα κάνει και μεσαυοπική και ςσπουική 0 F και 0, σο ςώμα ιςοπποπεί 5. ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ Έςσψ ένα ςσεπεό ςώμα ποτ ςσπέυεσαι γύπψ από ςσαθεπό άξονα z z. Φψπίζοτμε σο ςώμα ςε ςσοιφειώδειρ μάζερ m 1,m, οι οποίερ απέφοτν από σον άξονα αποςσάςειρ r 1,r, Ονομάζοτμε ποπή αδπάνειαρ Ι σοτ ςώμασορ ατσού ψρ ππορ σον άξονα z z, σο άθποιςμα : I m r 1 1 mr... Μηφανική σεπεού ώμασορ 13

14 Παπασηπήςειρ : α. Η ποπή αδπάνειαρ είναι μονόμεσπο μέγεθορ και η μονάδα σηρ ςσο SI είναι σο 1 kg.m β. Η ποπή αδπάνειαρ ενόρ ςσεπεού ςώμασορ ψρ ππορ κάποιον άξονα εξαπσάσαι όφι μόνο από ση μάζα σοτ ςώμασορ, αλλά και από σο πώρ κασανέμεσαι η μάζα ατσή ψρ ππορ σον άξονα ( δειαδή, εμαξηάηαη θαη από ηε ζέζε ηνπ άμνλα ) γ. Η ποπή αδπάνειαρ ενόρ ςσεπεού ςώμασορ ψρ ππορ κάποιον άξονα εκυπάζει σην αδπάνεια σοτ ςώμασορ ςση ςσπουική σοτ κίνηςη γύπψ από σον άξονα πεπιςσπουήρ. Πιο ςτγκεκπιμένα, όςο μεγαλύσεπη είναι η ποπή αδπάνειαρ σόςο πιο δύςκολα αλλάζει η πεπιςσπουική κίνηςη σοτ ςώμασορ. Δηλαδή, η ποπή αδπάνειαρ είναι για ση ςσπουική κίνηςη, ό,σι είναι η μάζα για ση μεσαυοπική κίνηςη. δ. Αν I cm είναι η ποπή αδπάνειαρ ενόρ ςώμασορ μάζαρ Μ, ψρ ππορ άξονα ποτ διέπφεσαι από σο κένσπο μάζαρ και η ποπή αδπάνειάρ I P σοτ ψρ ππορ έναν άξονα ποτ είναι παπάλληλορ και απέφει απόςσαςη d από σον ππώσο, σόσε ιςφύει : I P I cm Md Η παπαπάνψ ςφέςη ονομάζεσαι θεώπημα παπάλληλψν αξόνψν ή θεώπημα Steiner ε. Η ποπή αδπάνειαρ ενόρ δακστλίοτ ψρ ππορ άξονα ποτ πεπνά από σο κένσπο μάζαρ σοτ είναι : I cm m R 1 mr... ( m1 m...) R I cm MR Μηφανική σεπεού ώμασορ 14

15 6. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Γνψπίζοτμε όσι για ση μεσαυοπική κίνηςη ιςφύει ο θεμελιώδηρ νόμορ σηρ Μηφανικήρ F m a, από σον οποίο πποκύπσει όσι για να μεσαβληθεί η σαφύσησα ενόρ ςώμασορ ππέπει να αςκηθεί ςε ατσό δύναμη. Ανσίςσοιφορ νόμορ ιςφύει και για ση ςσπουική κίνηςη. ύμυψνα με ατσόν, για να μεσαβληθεί η γψνιακή σαφύσησα ενόρ ςσεπεού ςώμασορ ποτ ςσπέυεσαι γύπψ από ςσαθεπό άξονα, ππέπει να αςκηθεί ςε ατσό ποπή. Η ςφέςη μεσαξύ σηρ αισίαρ ( ξνπή ) και σοτ αποσελέςμασορ ( κεηαβνιή ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ) είναι : κίνηςηρ και μαρ λέει όσι : I, ονομάζεσαι θεμελιώδηρ νόμορ σηρ ςσπουικήρ σο αλγεβπικό άθποιςμα σψν ποπών ποτ αςκούνσαι ςε ένα ςσεπεό ςώμα ποτ ςσπέυεσαι γύπψ από ςσαθεπό άξονα ιςούσαι με σο γινόμενο σηρ ποπήρ αδπάνειαρ σοτ ςώμασορ ( ππνινγηζκέλεο σο πξνο ηνλ ζπγθεθξηκέλν άμνλα πεξηζηξνθήο ) και σηρ γψνιακήρ επισάφτνςηρ σοτ ςώμασορ. Παπασηπήςειρ : α. Αν 0 0, δηλαδή σο ςώμα είσε θα ςσπέυεσαι με ςσαθεπή γψνιακή σαφύσησα είσε δεν θα κάνει ςσπουική κίνηςη ( ζα είλαη αθίλεην ή ζα εθηειεί κόλν κεηαθνξηθή θίλεζε ) β. Από ση ςφέςη I I, πποκύπσει όσι όςο μεγαλύσεπη είναι η ποπή αδπάνειαρ ενόρ ςώμασορ σόςο μικπόσεπη είναι η γψνιακή επισάφτνςη ποτ αποκσά, ποτ ςημαίνει όσι σόςο πιο δύςκολα αλλάζει η πεπιςσπουική κασάςσαςή σοτ. Για σο λόγο ατσό αναυέπαμε παπαπάνψ όσι η ποπή αδπάνειαρ εκυπάζει σην αδπάνεια σοτ ςώμασορ ςση ςσπουική κίνηςη. γ. Ο θεμελιώδηρ νόμορ σηρ ςσπουικήρ κίνηςηρ ιςφύει όσαν ο άξοναρ πεπιςσπουήρ είναι ςσαθεπόρ. Ιςφύει, όμψρ, ακόμα και όσαν ο άξοναρ πεπιςσπουήρ μεσασοπίζεσαι ( όπσο ζπκβαίλεη, γηα παξάδεηγκα, ζηελ θίλεζε ελόο ηξνρνύ ) απκεί για σον άξονα ατσό να πληπούνσαι οι παπακάσψ πποτποθέςειρ : i) να διέπφεσαι από σο κένσπο μάζαρ σοτ ςώμασορ, ii) να είναι άξοναρ ςτμμεσπίαρ και iii) να μην αλλάζει κασεύθτνςη κασά ση διάπκεια σηρ κίνηςηρ. Μηφανική σεπεού ώμασορ 15

16 7. ΣΡΟΥΟΡΜΗ Η ςσπουοπμή αποσελεί σο ανσίςσοιφο μέγεθορ σηρ οπμήρ ςση ςσπουική κίνηςη. Α. σπουοπμή τλικού ςημείοτ Έςσψ ένα τλικό ςημείο μάζαρ m ποτ κινείσαι ςε κτκλική σποφιά ακσίναρ r. Ονομάζοτμε ςσπουοπμή L σοτ τλικού ςημείοτ ψρ ππορ έναν άξονα z z ποτ διέπφεσαι από σο κένσπο σηρ σποφιάρ και είναι κάθεσορ ςσο επίπεδό σηρ, σο διαντςμασικό μέγεθορ ποτ έφει : α. μέσπο ίςο με σο γινόμενο σηρ οπμήρ σοτ και σηρ σαφύσησάρ σοτ L p. r m. r β. διεύθτνςη ατσή σοτ άξονα z z γ. υοπά ποτ καθοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού δ. μονάδα ςσο SI σο 1 kg.m /s ημείψςη : Η ςσπουοπμή ενόρ τλικού ςημείοτ οπίζεσαι ακόμη και αν σο τλικό ςημείο κινείσαι ςε ετθεία σποφιά. σην πεπίπσψςη ατσή σο r θα είναι η απόςσαςη σηρ σποφιάρ από σο ςημείο ψρ ππορ σο οποίο τπολογίζοτμε ση ςσπουοπμή Β. σπουοπμή ςσεπεού ςώμασορ Έςσψ ένα ςσεπεό ςώμα ποτ πεπιςσπέυεσαι γύπψ από ςσαθεπό άξονα z z με γψνιακή σαφύσησα ψ. Ονομάζοτμε ςσπουοπμή L σοτ ςώμασορ ατσού σο διαντςμασικό μέγεθορ ποτ έφει : α. μέσπο ίςο με σο γινόμενο σηρ ποπήρ αδπάνειαρ σοτ ςώμασορ ψρ ππορ σον άξονα πεπιςσπουήρ και σηρ γψνιακήρ σοτ σαφύσησαρ β. διεύθτνςη ατσή σοτ άξονα z z L I. γ. υοπά ποτ καθοπίζεσαι από σον κανόνα σοτ δεξιού φεπιού δ. μονάδα ςσο SI σο 1 kg.m /s Μηφανική σεπεού ώμασορ 16

17 Παπασηπήςειρ α. Απόδειξη σοτ σύποτ L=I.ψ Φψπίζοτμε σο ςώμα ςε ςσοιφειώδειρ μάζερ m 1,m,m 3, Οι μάζερ ατσέρ πεπιςσπέυονσαι με σην ίδια γψνιακή σαφύσησα ψ, αλλά με διαυοπεσική γπαμμική σαφύσησα τ ανάλογη με σην απόςσαςή σοτρ από σον άξονα πεπιςσπουήρ. Οι ςσπουοπμέρ σψν μαζών ατσών έφοτν μέσπα L 1=m 1τ 1r 1, L =m τ r, L 3=m 3τ 3r 3, και έφοτν όλερ σην ίδια κασεύθτνςη. Έσςι, η ςσπουοπμή σοτ ςώμασορ έφει μέσπο ίςο με σο άθποιςμα σψν μέσπψν σψν ςσπουοπμών ατσών. Δηλαδή L L1 L... L m1 1r1 m r... L m1 ( r1 ) r1 m ( r ) r... L m r m r... L ( m r m r...) L I , αυού όπψρ m1r1 mr είναι η ποπή αδπάνειαρ σοτ ςώμασορ. γνψπίζοτμε η ποςόσησα... : β. Spin Η ςσπουοπμή ποτ ςφεσίζεσαι με ση ςσπουική κίνηςη ενόρ ςώμασορ ποτ γίνεσαι γύπψ από άξονα ποτ πεπνά από σο κένσπο μάζαρ σοτ ονομάζεσαι spin για να σην ξεφψπίςοτμε από ση ςσπουοπμή ποτ μποπεί να έφει σο ςώμα εξαισίαρ κάποιαρ άλληρ κίνηςηρ. Για παπάδειγμα η Γη έφει δύο ςσπουοπμέρ : μία εξαισίαρ σηρ κίνηςήρ σηρ γύπψ από σον Ήλιο και μία εξαισίαρ σηρ πεπιςσπουήρ σηρ γύπψ από σον άξονά σηρ. Ατσή ση δεύσεπη ςσπουοπμή σην ονομάζοτμε spin Σην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη ην spin ηεο Γεο. Αο πξνζέμνπκε όηη ζρεκαηίδεη γσλία 3 0 κε ην επίπεδν ηξνρηάο ηεο Γεο. Spin, επίςηρ, έφοτν και σα ςσοιφειώδη ςψμασίδια (ππψσόνια, νεσπόνια, ηλεκσπόνια) σοτ ασόμοτ. Σο spin ατσό έφει μέσπο 1 1 h, όποτ h=ςσαθεπά σοτ Planck=6, J.sec Μηφανική σεπεού ώμασορ 17

18 γ. Γενικόσεπη διασύπψςη σοτ θεμελιώδοτρ νόμοτ σηρ ςσπουικήρ κίνηςηρ Είπαμε παπαπάνψ όσι η ςσπουοπμή ενόρ ςσεπεού ςώμασορ δίνεσαι από ση ςφέςη dl d dl d L I I) I dl I. a ( Από σο θεμελιώδη νόμο σηρ ςσπουικήρ κίνηςηρ ξέποτμε, επίςηρ, όσι : I Από σιρ δύο παπαπάνψ ςφέςειρ πποκύπσει όσι : dl Η ςφέςη ατσή είναι η γενικόσεπη διασύπψςη σοτ θεμελιώδοτρ νόμοτ σηρ ςσπουικήρ κίνηςηρ και μαρ λέει όσι : Σο αλγεβπικό άθποιςμα σψν ποπών ποτ αςκούνσαι ςε ένα ςσεπεό ςώμα ποτ ςσπέυεσαι γύπψ από ςσαθεπό άξονα, είναι ίςο με σην αλγεβπική σιμή σοτ πτθμού μεσαβολήρ σηρ ςσπουοπμήρ σοτ. Παπασηπήςειρ α. Η ςφέςη dp F dl είναι για ση ςσπουική κίνηςη σο ανάλογο σηρ ςφέςηρ σηρ μεσαυοπικήρ κίνηςηρ β. Η ςφέςη dl ιςφύει και ςε ςύςσημα ςψμάσψν ςσο οποίο, ψρ γνψςσόν, οι δτνάμειρ ποτ αςκούνσαι διακπίνονσαι ςε εξψσεπικέρ και εςψσεπικέρ. Επειδή, όμψρ, οι εςψσεπικέρ δτνάμειρ εμυανίζονσαι πάνσοσε ψρ ζεύγη δπάςηρανσίδπαςηρ, η ςτνολική ποπή σοτρ είναι μηδέν. Έσςι, ενδιαυεπόμαςσε μόνο για σιρ εξψσεπικέρ δτνάμειρ και η παπαπάνψ ςφέςη γπάυεσαι : dl Μηφανική σεπεού ώμασορ 18

19 8. ΔΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΣΡΟΥΟΡΜΗ Ξέποτμε όσι ςση μεσαυοπική κίνηςη ιςφύει ο νόμορ διασήπηςηρ σηρ οπμήρ, ο οποίορ ευαπμόζεσαι όσαν η ςτνιςσαμένη δύναμη ςε ένα ςώμα ή ςύςσημα ςψμάσψν είναι μηδέν. Έναρ ανσίςσοιφορ νόμορ ιςφύει και ςση ςσπουική κίνηςη και σο μέγεθορ ποτ διασηπείσαι είναι η ςσπουοπμή. Είδαμε παπαπάνψ όσι dl 0 L ή. dl. Αν, λοιπόν, 0 ςτμπεπαίνοτμε όσι Δηλαδή, αν η ςτνολική ποπή σψν δτνάμεψν ποτ αςκούνσαι ςε ένα ςώμα (ή ςύςσημα ςψμάσψν) είναι μηδέν, σόσε η ςσπουοπμή σοτ ςώμασορ (ή σοτ ςτςσήμασορ ςψμάσψν) παπαμένει ςσαθεπή. Α. Όσαν η ποπή αδπάνειαρ σοτ ςώμασορ παπαμένει ςσαθεπή Αν L ή I ή ή Δηλαδή, αν η ςτνολική ποπή σψν δτνάμεψν ποτ αςκούνσαι ςε ένα ςώμα σοτ οποίοτ η ποπή αδπάνειαρ μένει ςσαθεπή είναι μηδέν, σόσε σο ςώμα πεπιςσπέυεσαι με ςσαθεπή γψνιακή σαφύσησα. Για παπάδειγμα, κασά σην πεπιςσπουή σηρ Γηρ γύπψ από σον εατσό σηρ, η ελκσική δύναμη ποτ δέφεσαι η Γη από σον Ήλιο δεν πποκαλεί ποπή καθώρ ο υοπέαρ σηρ διέπφεσαι από σο κένσπο μάζαρ σηρ. Έσςι, η γψνιακή σαφύσησα πεπιςσπουήρ σηρ Γηρ γύπψ από σον εατσό σηρ παπαμένει ςσαθεπή και, γιατσό, η διάπκεια σηρ ημέπαρ και σηρ νύφσαρ διασηπείσαι ςσαθεπή (4 ώπερ) B) Όσαν η ποπή αδπάνειαρ σοτ ςώμασορ μεσαβάλλεσαι Αν, λόγψ ανακασανομήρ σηρ μάζαρ σοτ ςώμασορ (εξαισίαρ εςψσεπικών δτνάμεψν), μεσαβληθεί η ποπή αδπάνειαρ ενόρ ςώμασορ ψρ ππορ σον άξονα πεπιςσπουήρ σοτ, σόσε έφοτμε L ή I ή I 11 I Δηλαδή αν η ςτνολική ποπή σψν δτνάμεψν ποτ αςκούνσαι ςε ένα ςώμα είναι μηδέν και, εξαισίαρ κάποιψν εςψσεπικών δτνάμεψν, μεσαβληθεί η ποπή αδπάνειάρ σοτ, σόσε θα μεσαβληθεί ανσιςσπόυψρ ανάλογα και η γψνιακή σαφύσησα πεπιςσπουήρ σοτ έσςι ώςσε σο γινόμενο Ιψ να παπαμείνει ςσαθεπό. Μηφανική σεπεού ώμασορ 19

20 Παπαδείγμασα : i) Όσαν μία αθλήσπια σοτ καλλισεφνικού πασινάζ ςσπιυογτπίζει ςσο παγοδπόμιο, η ποπή σψν δτνάμεψν ποτ αςκούνσαι πάνψ σηρ (βάπορ και ανσίδπαςη σοτ εδάυοτρ) είναι μηδέν και, έσςι, η ςσπουοπμή σηρ παπαμένει ςσαθεπή. Αν, λοιπόν, ςτμπσύξει σα φέπια και σα πόδια σηρ μειώνονσαρ, κασατσόν σον σπόπο, ση ποπή αδπάνειάρ σηρ, σόσε η γψνιακή σαφύσησα πεπιςσπουήρ σηρ ατξάνεσαι ii) Όσαν έναρ κασαδύσηρ πηδάει από σο βασήπα, για να μποπέςει να κάνει πολλέρ πεπιςσπουέρ ςσον αέπα ππιν πέςει ςσο νεπό, μαζεύει σα φέπια και σα πόδια σοτ κονσά ςσο ςώμα σοτ. Μ ατσό σον σπόπο ελασσώνει ση ποπή αδπάνειάρ σοτ και, καθώρ η ςσπουοπμή σοτ ππέπει να παπαμείνει ςσαθεπή ( αυού η μόνη δύναμη ποτ αςκείσαι πάνψ σοτ είναι σο βάπορ σοτ ποτ δεν πποκαλεί ποπή ) ατξάνεσαι η γψνιακή σαφύσησα πεπιςσπουήρ σοτ iii) Σα αςσέπια ποτ ςσο σελετσαίο μέπορ σηρ ζψήρ σοτ έφοτν μάζα από 1,4 έψρ,5 υοπέρ ση μάζα σοτ Ήλιοτ μεσασπέπονσαι ςε αςσέπερ νεσπονίψν ή pulsars. Πιο ςτγκεκπιμένα, όσαν εξανσλήςοτν σιρ πηγέρ ενέπγειαρ ποτ διαθέσοτν κασαππέοτν λόγψ σηρ ίδιαρ σοτρ σηρ βαπύσησαρ και ςτππικνώνονσαι ςε μία ςυαίπα ακσίναρ 15-0 km με σοτρ πτπήνερ σψν ασόμψν σοτρ ςφεδόν να ευάπσονσαι. Ατσό έφει ψρ αποσέλεςμα να ελασσψθεί σπομακσικά η ποπή αδπάνειάρ σοτρ και, κασά ςτνέπεια, να έφοτμε μία ανσίςσοιφη αύξηςη ςση γψνιακή σαφύσησα πεπιςσπουήρ σοτρ (αυού η ςτππίκνψςη έγινε λόγψ εςψσεπικών δτνάμεψν ππέπει η ςσπουοπμή σοτρ να παπαμείνει ςσαθεπή). Έσςι, ένα αςσέπι νεσπονίψν υσάνει να πεπιςσπέυεσαι με 3000 ςσπουέρ ανά sec, όσαν, για ςύγκπιςη, ο Ήλιορ φπειάζεσαι 5 ημέπερ για μία πεπιςσπουή. Μηφανική σεπεού ώμασορ 0

21 9. ΚΙΝΗΣΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΡΟΥΗ Ξέποτμε όσι η κινησική ενέπγεια ενόρ ςώμασορ ποτ εκσελεί μεσαυοπική κίνηςη δίνεσαι από ση ςφέςη 1 K m. Όσαν, όμψρ, σο ςώμα εκσελεί ςσπουική κίνηςη, ο παπαπάνψ σύπορ δεν εξτπηπεσεί, καθώρ κάθε τλικό ςημείο σοτ ςώμασορ έφει διαυοπεσική γπαμμική σαφύσησα από σα τπόλοιπα. Ανσίθεσα, όλα σα τλικά ςημεία σοτ ςώμασορ έφοτν σην ίδια γψνιακή σαφύσησα ψ. Έσςι, για να τπολογίςοτμε σην κινησική σοτ ενέπγεια φπειαζόμαςσε έναν σύπο ο οποίορ, ανσί για ση γπαμμική σαφύσησα τ, θα πεπιέφει ση γψνιακή σαφύσησα ψ. Έςσψ, λοιπόν ένα ςώμα ποτ ςσπέυεσαι με γψνιακή σαφύσησα ψ γύπψ από ένα ςσαθεπό άξονα z z. Για να τπολογίςοτμε σην κινησική σοτ ενέπγεια, φψπίζοτμε σο ςώμα ςε πολύ μικπέρ μάζερ m 1, m, Οι μάζερ ατσέρ έφοτν σην ίδια γψνιακή σαφύσησα ψ και γπαμμικέρ σαφύσησερ ποτ τπολογίζονσαι από σιρ ςφέςειρ τ 1=ψr 1, τ =ψr, Η ςτνολική κινησική ενέπγεια σοτ ςώμασορ είναι ίςη με σο άθποιςμα σψν κινησικών ενεπγειών σψν μαζών ατσών. Δηλαδή : K m1 1 m... m r1 m r... ( m1r1 mr...) 1 K I Παπασηπήςειρ α. Ο παπαπάνψ σύπορ δεν τποδεικνύει μια νέα μοπυή ενέπγειαρ. Απλώρ, αποσελεί ένα βολικό σπόπο για να εκυπάςοτμε σην κινησική ενέπγεια ενόρ ςώμασορ ποτ εκσελεί ςσπουική κίνηςη, καθώρ όλα σα τλικά σοτ ςημεία έφοτν σην ίδια γψνιακή σαφύσησα ψ β. Αν σο ςώμα εκσελεί σατσόφπονα μεσαυοπική και ςσπουική κίνηςη όπψρ, για παπάδειγμα, έναρ σποφόρ ποτ κτλίεσαι φψπίρ να ολιςθαίνει, σόσε η κινησική σοτ ενέπγεια είναι σο άθποιςμα Έσςι, έφοτμε : σηρ κινησικήρ ενέπγειαρ λόγψ μεσαυοπικήρ κίνηςηρ σηρ κινησικήρ ενέπγειαρ λόγψ ςσπουικήρ κίνηςηρ K 1 1 m cm I K K 1 m 1 I cm Μηφανική σεπεού ώμασορ 1

22 10. ΕΡΓΟ ΚΑΣΑ ΣΗ ΣΡΟΥΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Έςσψ μία δύναμη F ποτ αςκείσαι ςσην πεπιυέπεια ενόρ σποφού. Για ετκολία ςσοτρ τπολογιςμούρ, θεψπούμε όσι η δύναμη αςκείσαι κασά ση διεύθτνςη σηρ ευαπσομένηρ, παπόλο ποτ οι σελικοί σύποι ποτ θα πποκύχοτν θα ιςφύοτν και όσαν η δύναμη έφει οποιαδήποσε διεύθτνςη Για μια πολύ μικπή πεπιςσπουή σοτ σποφού κασά dθ, σο έπγο ποτ παπάγει η δύναμη είναι : dw F. ds dw F. R. d dw. d, όποτ σ είναι η ποπή σηρ δύναμηρ. Αν ο σποφόρ πεπιςσπαυεί κασά μία μεγάλη γψνία θ, ση φψπίζοτμε ςε πολύ μικπέρ γψνίερ dθ 1,dθ,... και αθποίζοτμε σα ανσίςσοιφα έπγα. Έσςι, σο ςτνολικό έπγο είναι : Αν η ποπή σηρ δύναμηρ είναι ςσαθεπή, σόσε έφοτμε : W. W. d1. d... W ( d1 d...) dw d(. ) dw d dw. Σο P. W dw1 dw... W 1d1 d... dw είναι ο πτθμόρ παπαγψγήρ έπγοτ, δηλαδή η ιςφύρ σηρ δύναμηρ F. Έσςι : Παπασηπήςειρ : α. Η ςφέςη W. ιςφύει μόνο αν κασά ση διάπκεια σηρ γψνιακήρ μεσασόπιςηρ θ, η ποπή σηρ δύναμηρ παπαμένει ςσαθεπή. Ανσίθεσα, η ςφέςη P. ιςφύει ακόμη και αν η ποπή μεσαβάλλεσαι. Απλά, ςσην πεπίπσψςη ατσή, η ιςφύρ ποτ τπολογίζοτμε είναι η ςσιγμιαία ιςφύρ β. Αν διαιπέςοτμε σο έπγο σηρ δύναμηρ ππορ σο φπόνο ποτ διήπκεςε η γψνιακή μεσασόπιςη θ, παίπνοτμε ση μέςη ιςφύ. Δηλαδή : P W t γ. ση ςσπουική κίνηςη, σο θεώπημα έπγοτ-ενέπγειαρ (ή θεώπημα μεσαβολήρ κινησικήρ ενέπγειαρ) παίπνει ση μοπυή : 1 1 K K W I I1 W Μηφανική σεπεού ώμασορ