Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Transcript

1 Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4

2 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές και Υπερβολικές Συναρτήσεις 4 5 Εφαρµογές της Παραγώγου 56 6 Ολοκλήρωµα 57 7 Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 73 8 Εµβαδόν, Μήκος και Ογκος 87 9 Παραµετρικές Συναρτήσεις Πολικές Συντεταγµένες 7 Ακολουθίες 3 Σειρές 48 3 Δυναµοσειρές 58 4 Διαφορικές Εξισώσεις 73 i

3 Πρόλογος Το παρόν τεύχος περιέχει σύντομες σημειώσεις θεωρίας, λυμένες και άλυτες ασκήσεις Λογισμού Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής. Το τεύχος προρίζεται για χρήση από τους φοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, ως συμπλήρωμα των διδακτικών βιβλίων που διανέμονται σε αυτούς. Σε κάθε φοιτητή που θα χρησιμοποιήσει αυτό το τεύχος και γενικότερα σε κάθε φοιτητή που μελετά τα μαθηματικά) έχω να δώσω τρεις συμβουλές.. Λύσε όσο περισσότερα προβλήματα μπορείς.. Δείξε εμπιστοσύνη. 3. Μην κάνεις την ζωή σου πιο δύσκολη από όσο είναι απολύτως απαραίτητο. Πιο αναλυτικά, η πρώτη συμβουλή έχει το εξής νόημα. Κατά την γνώμη μου, για τους περισσότερους από εμάς, ο μόνος τρόπος εξοικείωσης με τα μαθηματικά είναι η επίλυση προβληµάτων: όσο περισσότερα προβλήματα λύσετε, τόσο καλύτερα. Σύμφωνα με αυτή την άποψη, στο παρόν τεύχος η θεωρία παρουσιάζεται σε μεγάλη συντομία, ενώ παρατίθεται μεγάλος αριθµός λυμένων και άλυτων προβλημάτων. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα λυμένα προβλήματα ως ένα ενδιάμεσο βοήθημα για την επίλυση των άλυτων. Με άλλα λόγια αν δεν λύσετε οι ίδιοι μεγάλο αριθµό αλύτων προβλημάτων δεν θα ωφεληθείτε ιδιαίτερα... δεν αρκεί να μελετήσετε μόνο τα ήδη λυμένα προβλήματα. Η δεύτερη συμβουλή σηµαίνει ότι, παρά την αντίθετη εντύπωση ορισμένων φοιτητών, ο σκοπός του διδάσκοντα δεν είναι να κόψει όσο γίνεται περισσότερους φοιτητές... συνήθως μάλιστα συµβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Το νόηµα της τρίτης συµβουλής είναι το εξής: όταν προσπαθείτε να λύσετε ένα πρόβληµα, ξεκινήστε από την πιο απλή δυνατή λύση που µπορείτε να φανταστείτε... και µετά προσπαθείστε να την απλοποιήσετε ακόµα περισσότερο. Αν η απλή λύση δεν δουλεύει, µπορείτε πάντα να δοκιµάσετε µια πιο περίπλόκη. Αντίθετα είναι δύσκολο, όταν έχετε δηµιουργήσει ένα περίπλοκο µοντέλο, να αφαιρέσετε από αυτό στοιχεία και να το κάνετε απλούστερο. Με άλλα λόγια, είναι ευκολότερο να αρχίσετε µε λίγα συστατικά και να προσθέτετε ακόµα ένα κάθε φορά που το χρειάζεστε. Η έµφαση του παρόντος τεύχους είναι σε υπολογιστικά και όχι σε αποδεικτικά προβλήµατα. Οπου εµφανίζονται αποδείξεις, το ύφος αυτών είναι διδακτικό και όχι απαραίτητα αυστηρό. Οι αποδείξεις παρουσιάζονται για να οξύνουν την διαίσθηση και την κατανόηση σας. Ολες οι αποδείξεις που παρουσιάζω θα µπορούσαν να «αυστηροποιηθούν», αλλά αυτό εκφεύγει από τους στόχους του παρόντος τεύχους. Δηλ. παραγώγισης και ολοκλήρωσης. ii

4 ΠΡ ΟΛΟΓΟΣ iii Το τεύχος δεν έχει ακόµη πάρει την τελική του µορφή. Είναι πιθανόν κάποιες λύσεις και απαντήσεις να περιέχουν λάθη. Καθώς θα εξελίσσεται η αποσφαλµάτωση και θα διορθώνονται τα λάθη, θα δηµοσιεύω βελτιωµένες εκδόσεις. Χρησιµοποιώντας την ορολογία ανάπτυξης λογιςµικού, η παρούσα έκδοση είναι bet µε κωδικό v..9. Σε κάθε περίπτωση ελπίζω και πιστεύω) ότι το παρόν τεύχος θα αποδειχτεί αρκετά χρήσιµη στους φοιτητές. Θανάσης Κεχαγιάς Θεσσαλονίκη, Σεπτέµβρης 4

5 Εισαγωγή Η λέξη «Λογιςµός» στα Αγγλικά «Clculus» ) µπορεί να έχει πολλές έννοιες, αλλά η συνηθέστερη χρήση της στα µαθηµατικά είναι στην φράση «Λογιςµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής» και κατά βάση σηµαίνει την παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων f x). Και αυτό είναι το κύριο αντικείµενο του παρόντος τεύχους. Ωστόσο η βασική ιδέα του Λογιςµού Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής) είναι η χρήση των ορίων, και µάλιστα ενός συγκεκριµένου τύπου ορίων. Μας δίνεται µια συνάρτηση f x) και µελετούµε την µεταβολή της συνάρτησης f = f x + x) f x) όταν το x µεταβάλλεται και γίνεται x + x επιπλέον, µας ενδιαφέρει η περίπτωση στην οποία το x είναι απειροστικά µικρό, δηλ. τόσο µικρό που τείνει στο µηδέν. Η δε παραγώγιση και ολοκλήρωση είναι διαδικασίες που ορίζονται µέσω της έννοιας του ορίου. Αυτές οι ιδέες είναι πολύ χρήσιµες σε διάφορα µαθηµατικά προβλήµατα και σε πρώιµη µορφή) ήταν ήδη γνωστές στους αρχαίους Ελληνες 3. Οµως η χρήση αυτών καθιερώθηκε από τους Ευρωπαίους µαθηµατικούς του 7ου αιώνα. Επιπλέον, αυτοί ανέπτυξαν µεθόδους που επιτρέπουν την χρήση των ορίων σε πολλά διαφορετικά προβλήµατα µε έναν ενοποιηµένο και σχεδόν µηχανικό τρόπο ο οποίος µας επιτρέπει να επιλύουµε προβλήµατα π.χ., υπολογιςµό εµβαδών, µεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση συναρτήσεων) τα οποία πριν την ανάπτυξη του Λογιςµού είχαν δυσκολέψει µερικούς από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς. Αυτά είναι τα θέµατα µε τα οποία θα ασχοληθούµε στο παρόν τεύχος. Με τον όρο «συνάρτηση µιας µεταβλητής» εννοούµε µια συνάρτηση f x) µε πεδίο οριςµού και πεδίο τιµών το σύνολο των πραγµατικών αριθµών: f : R R. Ο Λογιςµός των Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής είναι η µελέτη µεθόδων παραγώγισης και ολοκλήρωσης τέτοιων συναρτήσεων καθώς και των σχετικών εφαρµογών. Επίσης σχετική είναι και η µελέτη των διαφορικών εξισώσεων και της ανάπτυξης συναρτήσεων σε δυναµοσειρές θα ασχοληθούµε µε αυτά τα θέµατα στα τελευταία κεφάλαια του παρόντος τεύχους. Θα χρησιµοποιήσουµε τον τυπικό µαθηµατικό συµβολιςµό, ο οποίος σας είναι γνωστός από το Λύκειο. Σηµειώνουµε ιδιαίτερα τα εξής.. Η τετραγωνική ρίζα του συµβολίζεται µε i: = i, i =.. Χρησιµοποιούµε τους εξής συµβολιςµούς συνόλων. αʹ) N: το σύνολο των φυσικών αριθµών: N = {,, 3,...}. βʹ) Z: το σύνολο των ακέραιων αριθµών: N = {...,,,,,, 3,...}. Και η δεύτερη πιο συνηθιςµένη χρήση είναι στην φράση «Λογιςµός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών». 3 Π.χ., την είχε χρησιµοποιήσει ο Αρχιµήδης. iv

6 ΕΙΣΑΓΩΓ Η v γʹ) Q: το σύνολο των ρητών πραγµατικών αριθµών. δʹ) R: το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. εʹ) R : το επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών: R = R {, }. ϛʹ) C: το σύνολο των µιγαδικών αριθµών. 3. Ο συµβολιςµός αθροίςµατος είναι: N n= n = N. 4. Η λέξη ανν σηµαίνει αν και µόνο αν.

7 Κεφάλαιο Οριο και Συνέχεια Ο Λογιςµός των Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής βασίζεται στην έννοια του ορίου.. Θεωρία... ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x είναι ο αριθµός f ανν ισχύει η εξής συνθήκη ε >, δ > : < x x < δ f x) f < ε..) Αν ισχύει η.), λέµε και ότι η f x) τείνει στο f όταν το x τείνει στο x και γράφουµε lim f x) = f. x x Αν δεν ισχύει η.), λέµε ότι το όριο της f x) όταν το x τείνει στο x ) δεν υπάρχει.... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η σηµασία της.) είναι η εξής: αν θέλουµε να εξασφαλίσουµε ότι η διαφορά των f x) και f είναι όσο µικρή θέλουµε µικρότερη του τυχόντος ε), αρκεί να εξασφαλίσουµε ότι το x είναι πολύ κοντά στο x συγκεκριµένα, ότι < x x < δ). Προσέξτε ότι στην.) δεν εξετάζουµε την περίπτωση x = x δηλ. x x = )...3. ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο είναι ο αριθµός f ανν ισχύει η εξής συνθήκη: ε >, M > : M < x f x) f < ε..) Αντίστοιχα λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο είναι ο αριθµός f ανν ισχύει η εξής συνθήκη: Γράφουµε δε ε >, M < : x < M f x) f < ε..3) lim f x) = f, x lim f x) = f. x Αν δεν ισχύει η.) αντίστοιχα η.3) ) λέµε ότι το όριο της f x) όταν το x τείνει στο αντίστοιχα το όριο της f x) όταν το x τείνει στο ) δεν υπάρχει.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ..4. ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x είναι το ανν ισχύει η εξής συνθήκη: M >, δ > : < x x < δ f x) > M..4) Αντίστοιχα λέµε ότι το όριο της συνάρτησης f x) όταν το x τείνει στο x να είναι το ανν ισχύει η εξής συνθήκη: Γράφουµε δε M <, δ > : < x x < δ f x) < M..5) lim f x) =, x x lim f x) =. x x Αν δεν ισχύει µία από τις.4) και.5), λέµε ότι το αντίστοιχο όριο δεν υπάρχει...5. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε όταν υπάρχουν) τα όρια lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =...6. ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι το εξ αριστερών όριο της f x) καθώς το x τείνει στο x είναι ο αριθµός f ανν ισχύει η εξής συνθήκη: ε >, δ > : < x x < δ f x) f < ε..6) Αντίστοιχα λέµε ότι το εκ δεξιών όριο της f x) καθώς το x τείνει στο x είναι ο αριθµός f ανν ισχύει η εξής συνθήκη: Γράφουµε δε ε >, δ > : < x x < δ f x) f < ε..7) lim x x f x) = f, lim x x + Τα εξ αριστερών και δεξιών όρια λέγονται και πλευρικά όρια. f x) = f...7. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε τα όρια lim x x f x) =, lim x x + f x) =, lim x x f x) =, lim x x + f x) =...8. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν για µιά συνάρτηση f x) υπάρχει το lim x x f x) τότε lim f x) = lim x x x x f x) = lim f x). x x + Αντίστροφα, αν τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι lim x x f x) = lim x x + και το όριο lim x x f x) και είναι ίσο µε τα πλευρικά. f x) τότε υπάρχει..9. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Συνήθως δεν υπολογίζουµε το όριο µιας συνάρτησης βάσει των παραπάνω οριςµών, αλλά χρησιµοποιώντας τα παρακάτω θεωρήµατα.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 3. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, R : lim x x x = x. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, αν lim x x f x) = f και lim x x g x) = g, τότε lim x x kf x)) = kf lim x x f x) ± g x)) = f ± g lim x x f x) ) g x)) = f g lim fx) x x = f gx) g αν g ) lim x x f x)) n = f n. 3. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, αν lim x x f x) = f και lim x f g x) = g, τότε lim x x g f x))) = g. 4. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, αν lim x x f x) = f, lim x x g x) = g, lim x x h x) = h και f x) g x) h x), τότε f g h. 5. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, αν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τότε lim x x f x) + g x)) =, lim x x f x) g x)) =. 6. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x R, αν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τότε lim x x f x) + g x)) =, lim x x f x) g x)) =.... ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι η συνάρτηση f x) είναι συνεχής στο x ανν lim x x f x) = f x )..8) Λέµε ότι η συνάρτηση f x) είναι ασυνεχής στο x ανν δεν ισχύει η.8).... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η.8) µπορεί να µην ισχύει διότι. δεν υπάρχει το lim x x f x). ή επειδή δεν ορίζεται το f x ) 3. ή επειδή lim x x f x) f x ).... ΟΡΙΣΜΟΣ: Η f x) λέγεται συνεχής στο σύνολο A R ανν είναι συνεχής σε κάθε x A. Οταν απλά λέµε ότι η f x) είναι συνεχής χωρίς να προσδιορίζουµε ένα σηµείο x, ή ένα σύνολο A), εννοούµ εότι η f x) είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου οριςµού της...3. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x, το ίδιο ισχύει και για τις kf x), f x) ± g x), f x) g x) επίσης και για την fx) gx), αν f x )...4. ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση είναι συνεχής...5. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f x) είναι συνεχής στο x και η g x) είναι συνεχής στο f x ), τότε η g f x)) είναι συνεχής στο x.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f x) είναι συνεχής στο x και f x ) >, τότε υπάρχει διάστηµα [, b] το οποίο περιέχει το x, και ικανοποιεί x [, b] : < f x)...7. ΘΕΩΡΗΜΑ Ενδιάµεσης Τιµής): Αν η f x) είναι συνεχής στο [, b], τότε για κάθε αριθµό c ο οποίος βρίσκεται µεταξύ των f ) και f b), υπάρχει x [, b] τέτοιο ώστε f x) = c...8. ΘΕΩΡΗΜΑ Bolzno): Αν η f x) είναι συνεχής στο [, b] και και f ) f b) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x [, b] τέτοιο ώστε f x) =...9. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [, b], τότε είναι φραγµένη στο διάστηµα [, b], δηλ. υπάρχουν αριθµοί m, M R τέτοιοι ώστε x [, b] : m f x) M.... ΘΕΩΡΗΜΑ Ακραίας Τιµής): Εστω ότι η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [, b]. Συµβολίζουµε µε. m το µέγιστο κάτω φράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [, b]. M το ελάχιστο άνω φράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [, b]. Τότε, για κάθε c [m, M], υπάρχει x [, b] τέτοιο ώστε f x) = c.... ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν στο διάστηµα [, b] η f x) είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, τότε στο διάστηµα [, b]) η αντίστροφη συνάρτηση f x) είναι καλώς οριςµένη και αυστηρά µονότονη.... ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f x) λέγεται τµηµατικά συνεχής στο διάστηµα [, b] ανν το [, b] µπορεί να διαµεριστεί σε ένα πεπεραςµένο αριθµό διαστηµάτων [, b] = [, b ]... [ N, b N ] τέτοιων ώστε α) τα [ n, b n ] έχουν κενή τοµή, β) η f x) είναι συνεχής σε κάθε [ n, b n ] και γ) η f x) έχει πεπεραςµένα πλευρικά όρια στα σηµεία b,, b,..., N...3. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Στο Σχήµα. βλέπουµε ένα παράδειγµα τµηµατικά συνεχούς συνάρτησης...4. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f x) λέγεται οµοιόµορφα συνεχής στο διάστηµα [, b] ανν α) η f x) είναι συνεχής στο [, b], β) επιπλέον ισχύει ότι για κάθε x [, b] και για κάθε ε > υπάρχει δ > και ανεξάρτητο του x τέτοιο ώστε x x < δ f x) f x ) < ε.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 5. Λυµένα Προβλήµατα Σχήμα.: Μια τµηµατικά συνεχής συνάρτηση.... Δείξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι lim x =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε ζεύγη τιµών x, x). Παρατηρούµε ότι όσο εγγύτερα βρίσκεται το x στο, τόσο εγγύτερα βρίσκεται το στο, και αυτό ισχύει για x είτε µεγαλύτερο είτε x µικρότερο του. Αυτό το γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση lim x =. x x x Αποδείξτε ότι lim x =. x Λύση. Ο παραπάνω πίνακας αποτελεί µια ένδειξη ότι lim x =, αλλά όχι µια µαθηµατική x απόδειξη. Για να αποδείξουµε ότι lim x =, χρησιµοποιούµε τον οριςµό του ορίου. Δεδοµένου x τυχόντος ε > θέλουµε να βρούµε αντίστοιχο δ τέτοιο ώστε να ισχύει: < x x < δ f x) f < ε, όπου x =, f x) = και f x =. Δηλαδή θέλουµε x < ε x x x < ε < ε x < ε x x Εξάλλου έχουµε x < δ. Άρα, για να επιτύχουµε το ζητούµενο, αρκεί να ισχύει δ < ε x. Επίσης έχουµε ότι x < δ x < δ δ < x. Οπότε, αν έχουµε δ < ε δ) θα έχουµε και x < δ x < ε δ) x < ε x. Εν ολίγοις, δ < ε δ) x < ε. Μένει να βρούµε το άνω φράγµα του δ. Εχουµε δ < ε δ) = 4ε δε + ε) δ < 4ε δ < 4ε + ε.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 6 Δηλαδή τελικά δ < 4ε + ε Ας επαληθεύσουµε ότι αυτό ισχύει. Αφενός έχουµε x < ε. x < 4ε + ε x < 4ε + ε x < + 4ε + ε = 8ε + ε + x > ε + 8ε + x > ε + 8ε + = ε 4ε + > ε αφού ε > ε 4ε ). Αφετέρου x < 4ε + ε x > 4ε + ε x > 4ε + ε = ε + x < ε + x < ε + = ε...3. Δειξτε οτι lim x x + ) =. Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x + < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουμε δ ε = ε οποτε για καθε x τετοιο ωστε x = x < δ ε = ε εχουμε x + = x = x < δ ε = ε ) = ε και ετσι εχουμε αποδειξει το ζητουμενο...4. Δειξτε οτι lim x x ) = 3. Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3 < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουμε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ ε = ε εχουμε και ετσι εχουμε αποδειξει το ζητουμενο. x 3 = x 4 = x < δ ε = ε = ε x..5. Δειξτε οτι lim 3x+ x =. x ) Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3x + x ) < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουμε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ +ε ε = ε +ε εχουμε x 3x + x ) = x ) x ) x ) = x x.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 7 Τωρα, εχουμε x < δ και αφου x < δ ε ) οποτε x > x = x > δ ε x x < δ ε. δ ε Αρκει, για να δειξουμε το ζητουμενο οριο, να δειξουμε οτι δ ε δ ε δ ε δ ε < ε δ ε < ε δ ε ) δ ε < ε εδ ε < ε. Αλλα δ ε + εδ ε < ε δ ε + ε) < ε δ ε < Η τελευταια ανισοτητα ομως ισχυει εξ υποθεσεως. ε + ε...6. Δείξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι lim x =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε ζεύγη τιµών x, x). Παρατηρούµε ότι όσο µεγαλύτερο γίνεται το x, τόσο εγγύτερα βρίσκεται το στο. Αυτό το γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε x την έκφραση lim x =. x x..... x Αποδείξτε ότι lim x =. x Λύση. Για να αποδείξουµε ότι lim x =, χρησιµοποιούµε τον οριςµό. Δεδοµένου τυχόντος x M > θέλουµε να βρούµε αντίστοιχο δ τέτοιο ώστε να ισχύει: < x x < δ f x) > M, όπου x =, f x) =. Δηλαδή θέλουµε x x > M x > M x < M και άρα αρκεί να πάρουµε δ =. Δηλαδή M x < δ = M x > M x > M...8. Δείξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι lim x =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε ζεύγη τιµών ) x, x. Παρατηρούµε ότι όσο µικρότερο γίνεται το x, τόσο µεγαλύτερο γίνεται το. Αυτό το γεγονός διατυπώνεται µαθηµατικά µε την έκφραση x lim x =. x x..... x.....

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ Αποδείξτε ότι lim x x =. Λύση. Χρησιµοποιούµε τον οριςµό. Δεδοµένου τυχόντος M > θέλουµε να βρούµε αντίστοιχο δ τέτοιο ώστε να ισχύει: x x < δ f x) > M, όπου x =, f x) = x. Δηλαδή θέλουµε x > M x > M < x M και άρα αρκεί να πάρουµε δ = M. Δηλαδή x < δ = x < M M x > M x > M.... Δείξτε µε ένα υπολογιστικό επιχείρηµα ότι α) lim x + =, β) lim x x =. x Λύση. Στον παρακάτω πίνακα δίνουµε ζεύγη τιµών x, x). Παρατηρούµε ότι όσο µικρότερο γίνεται το x, τόσο µεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιµή του, αλλά το πρόσηµο του εξαρτάται από αυτό του x x. x x Αποδείξτε ότι α) lim x + =, β) lim x x =. x Λύση. Θεωρούµε τυχόν M > και έχουµε: < x < δ = M < το οποίο σηµαίνει ότι M x lim x + =. Παρόµοια, θεωρούµε τυχόν M < και έχουµε: > x > δ = M > το x M x οποίο σηµαίνει ότι lim x =. x... Ποια ειναι η σημασια των.) και.3); Λυση. Υπενθυμιζουμε οτι lim x f x) = f ανν ισχυει η.) δηλ. ε > : M ε > : M ε < x f x) f < ε. Με αλλα λογια, lim x f x) = f ανν για καθε ε οσο μικρο θελουμε) μπορουμε να βρουμε ενα M ε τετοιο ωστε, οταν το x ειναι μεγαλυτερο του M ε τοτε η διαφορα f x) και f ειναι κατ απολυτη τιμη) μικροτερη του ε. Δηλ., ακομη πιο συντομα, μπορουμε να φερουμε την f x) οσο κοντα στο f θελουμε, αρκει να παρουμε το x αρκετα μεγαλο. Η σημασια της.3) εξηγειται παρομοια...3. Ποια ειναι η σημασια των.4) και.5); Λυση. Υπενθυμιζουμε οτι lim x x f x) = ανν ισχυει η.4) δηλ. M > : δ M > : < x x < δ M f x) > M. Με αλλα λογια, lim x x f x) = ανν για καθε M οσο μεγαλο θελουμε) μπορουμε να βρουμε ενα δ M τετοιο ωστε, οταν το x ειναι αρκετα κοντα στο x δηλ. οταν x x < δ M ) τοτε η f x) ειναι μεγαλυτερη του M. Δηλ., ακομη πιο συντομα, μπορουμ ενα κανουμε την f x) οσο μεγαλη θελουμε, αρκει να παρουμε x αρκετα κοντα στο x. Η σημασια της.5) εξηγειται παρομοια...4. Δειξτε οτι lim x = και οτι lim x x =. x Λυση. Για το πρωτο οριο πρεπει να δειξουμε οτι ε < : M ε > : M ε < x x < ε.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 9 Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουμε M ε = και για καθε x τετοιο ωστε x > M ε ε = > ε εχουμε x = x < = = ε M ε και ετσι εχουμε αποδειξει το ζητουμενο. Το δευτερο οριο αποδεικνυεται παρομοια...5. Δειξτε οτι lim x x =. Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι M > : N M > : N M < x x > M. Ευκολα φαινεται οτι για τυχον M αρκει να παρουμε N M = M...6. Δειξτε οτι lim x x 3 =. Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι M < : N M < : x < N M x 3 < N M. Ευκολα φαινεται οτι για τυχον M < αρκει να παρουμε N M = M / Δειξτε οτι lim x =. x Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι M < : δ M > : < x < δ M x < M. Εστω λοιπον τυχον M <. Παιρνουμε δ M = M και για καθε x τετοιο ωστε < x < δ M M, ή ισοδυναμα, M < x < εχουμε x < M η ανισοτητα αντιστραφηκε επειδη τα x, M ειναι αρνητικα) και ετσι εχουμε αποδειξει το ζητουμενο...8. Δειξτε οτι lim x+ x + =. x Λυση. Πρεπει να δειξουμε οτι M > : δ M > : < x < δ M x + x > M. ε Εστω λοιπον τυχον M >. Παιρνουμε δ M = και για καθε x τετοιο ωστε < x < δ M M = M εχουμε x + x = x + x ) x + ) = x > = M M και ετσι εχουμε αποδειξει το ζητουμενο...9. Υπολογιστε τα παρακατω ορια

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ. lim x 5x + 3x 4).. lim x x x 4x+ 3. lim x 4 x4. 4. lim x 5x + 3x 4. Λυση. Για το ) εχουμε Για το ) εχουμε lim x 5x + 3x 4 ) = 5 ) + 3 ) 4 =. x lim x x 4x + = lim x x ) lim x x 4x + ) = 4 + = = οπου χρησιμοποιησαμε οτι ο παρονομαστης ειναι διαφορος του μηδενος. Για το 3) εχουμε lim x 4 x4 = 44 = 6. Για το 4) θετουμε g x) = x, f x) = 5x + 3x 4 και εχουμε lim 5x + 3x 4 = lim 5x + 3x 4) = 4 =. x x... Δειξτε οτι, αν lim x x f x) = f και lim x x g x) = g, τοτε Λυση. Απο την υποθεση εχουμε οτι lim f x) + g x)) = f + g. x x ε > : δ > : < x x < δ f x) f < ε,.9) ε > : δ > : < x x < δ g x) g < ε..) Εστω τωρα τυχον ε. Στις.9)-.) παιρνουμε ε = ε = ε min δ, δ ). Τοτε λοιπον και κατοπιν επιλεγουμε δ = { f x) f < ε < x x < δ < min δ, δ ) = ε g x) g < ε = ε και εχουμε το ζητουμενο. f x) + g x) f + g ) f x) f + g x) g < ε + ε = ε }... Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x x 3x+.. lim x x x lim x x x +3.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 4. lim h x+h) x h. Λυση. Για το ) εχουμε Για το ) εχουμε Για το 3) εχουμε Για το 4) εχουμε x lim x x 3x + = lim x x x ) x ) = lim x x = =. x lim x x 4 = lim x ) x + ) x x ) x + ) x + ) = lim x x + =. x lim x x + 3 = lim x x x ) x x + 3 x ) + ) x = lim + 3 x x 3 x + h) x x + xh + h ) x lim = lim h h h h xh + h = lim = lim x + h) = x. h h h... Υπολογιστε τα παρακατω ορια. lim x x+3 x+4.. lim x x+4 5x. 3. lim x x 4 x. 4. lim x x 4 x. Λυση. Για το ) εχουμε x + 3 lim x x + 4 = lim x x x + 3 x x x + 4 x = lim x x x + lim x 3 x lim x x x + lim x 4 x = + + = x επειδη: lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x x ασκηση οτι lim x = ) και, παρομοια, lim x x 4 =. x Παρομοια, για το ) εχουμε = 3 εχουμε ηδη δει σε προηγουμενη x + 4 lim x 5x = lim x x x + 4 x 5x x x = + 5 = 5.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ Για το 3) εχουμε Για το 4) εχουμε lim x x 4 x = lim x x x 4 x x x x = =. x 4 lim = lim x 4 ) = =. x x x x..3. Δειξτε οτι η συναρτηση f x) = x + x ειναι συνεχης στο x = 3. Λυση. Αφου η f x) ειναι πωλυωνυμικη εχουμε lim f x) = f x ) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x R...4. Δειξτε οτι η συναρτηση f x) = x3 +x ειναι συνεχης στο R. x + Λυση. Για καθε x R εχουμε οτι lim x x = f x ) η μονη πιθανη εξαιρεση ειναι σημεια στα οποια μηδενιζεται ο παρονομαστης της f x). Αλλα αφου αυτος ειναι x + τετοια σημεια δεν υπαρχουν στο R, δηλ. η f x) ειναι συνεχης παντου στο R...5. Δειξτε οτι η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση μπορει να γραφτει και ως { x οταν x < f x) = x = x οταν x. Αρα για καθε x, ) εχουμε και για καθε x, ) εχουμε lim f x) = x = f x ) x x lim f x) = x = f x ) x x Αρα η f x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {}. Τι γινεται στο x = ; Ευκολα βλεπουμε οτι εχουμε lim f x) =, lim f x) = x x + και αρα lim f x) = = f ). x Αρα η f x) = x ειναι συνεχση σε ολο το R...6. Βρειτε τα σημεια ασυνεχειας της f x) = x x 4. Λυση. Η f x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυμικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σημειων στα οποια μηδενιζεται ο παρονομαστης, δηλ. των,. Σε αυτα τα σημεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν μπορει να ειναι συνεχης.

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ Αποδείξτε ότι: αν η f x) είναι συνεχής στο x και f x ) >, τότε υπάρχει διάστηµα [, b] το οποίο περιέχει το x, και ικανοποιεί x [, b] < f x). Λύση. Αφού η f x) είναι συνεχής στο x, για κάθε ε υπάρχει δ τέτοιο ώστε x x < δ f x) f x ) < ε ή και Αν πάρω ε = fx ), έχω x δ < x < x + δ f x ) ε < f x) < f x ) + ε. x [x δ, x + δ] < fx ) = f x ) fx ) < f x)...8. Αν η f x) είναι συνεχής στο [, b] και f ) f b) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x [, b] τέτοιο ώστε f x ) =. Λύση. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτω ότι f ) <, f b) >. Ορίζω το σύνολο A = {x : < x < b και f x) }. Το A είναι µη κενό περιέχει το ) και φραγµένο από το b. Τώρα ορίζω το x να είναι το ελάχιστο άνω φράγµα του A. Θα είναι x [, b) γιατί;). Θα δείξω ότι f x ) =. Πραγματι, αν f x ), χρησιμοποιωντας το προηγουμενο προβλημα, υπαρχει καποιο δ τέτοιο ώστε για κάθε x [x δ, x + δ], το f x) θα είναι ομοσημο µε το f x ).. Εστω ότι f x ) >. Τότε α) x > και β) για κάθε x > x d θα έχουµε f x) >. Οπότε το x d A είναι ένα άνω φράγµα του A, αλλά είναι µικρότερο το x και αυτό είναι άτοπο.. Εστω ότι f x ) <. Τότε α) x < b και β) για κάθε x < x + d θα έχουµε f x) <. Αν λάβουµε αρκετά µικρό d, το x + d A και τότε το x δεν είναι ένα άνω φράγµα του A, και αυτό είναι άτοπο. Οπότε καταλήγουµε ότι f x ) = και η απόδειξη είναι πλήρης..3 Αλυτα Προβλήµατα.3.. Δείξτε αριθµητικά ότι lim x x ) = Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x ) = Δείξτε αριθµητικά ότι lim x x+ x+ = Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x+ x+ = 3 4. Εδώ υποθέτουµε έµµεσα ότι υπάρχει ένας τέτοιος αριθµός x. Αυτό µπορεί να αποδειχτεί χρησιµοποιώντας την πληρότητα του συνόλου των πραγµατικών αριθµών, θέµα το οποίο εκφεύγει από το αντικείµενο του παρόντος τεύχους.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x = Ποιά είναι η σηµασία των.6) και.7);.3.7. Δώστε αυστηρούς οριςµούς των lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) = Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x = Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x 3 =..3.. Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x =..3.. Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x+ x + =. x.3.. Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim x x f x) g x)) = lim x x f x)) lim x x g x)) όταν όλα τα όρια υπάρχουν). ).3.3. Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι lim fx) x x = limx x fx) όταν όλα τα όρια υπάρχουν και lim x x g x) ). gx) lim x x gx).3.4. Αποδείξτε, χρησιµοποποιώντας κατάλληλες ιδιότητες, ότι lim x x + 3x ) =. x.3.5. Αποδείξτε, χρησιµοποποιώντας κατάλληλες ιδιότητες, ότι lim x =. x.3.6. Αποδείξτε, χρησιµοποποιώντας κατάλληλες ιδιότητες, ότι lim x = και οτι lim x 4 x Υπολογίστε τα παρακάτω όρια. lim x 5x + 3x 4).. lim x 4 x4. 3. lim x 5x + 3x lim x 3 x 5x+6 Απ., 6,,. x 8x Υπολογίστε τα παρακάτω όρια. lim x x x 5x+6. x 4 =. lim x x x lim h x+h) 3 x 3 h. 4. lim x 4 x 3 x +5. Απ. /, /3, 3x,.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ Υπολογίστε τα παρακάτω όρια. lim x x x.. lim x + x 3. lim x + x. 7x. 4. lim x 3x 4 x. Απ.,,,,..3.. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια. lim x x x+.. lim x 3x 4 7x. 3. lim x 3x 4 7x. 4. lim x 3x 4 7x. 5. lim x 3x 4 7x. Απ., 3/7,,,..3.. Δείξτε ότι η f x) = x + x είναι συνεχής στο x = Δείξτε ότι η f x) = x3 +x x + είναι συνεχής στο R Δείξτε ότι η f x) = x είναι συνεχής στο R Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x, δείξτε ότι η f x) g x) είναι επίσης συνεχής στο x Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο x και g x ), δείξτε ότι η fx) gx) συνεχής στο x Βρείτε τα σηµεία ασυνέχειας της f x) = Απ. Είναι το. x Βρείτε τα σηµεία ασυνέχειας της f x) = x x. Απ. Είναι τα,. είναι επίσης

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 6.4 Προχωρηµένα Άλυτα Προβλήµατα sin x.4.. Αποδείξτε ότι: lim x =. x.4.. Apostol) Αποδείξτε ότι: αν το x ανήκει στο [, ], τότε υπάρχει το όριο ) lim lim m n cosn m!πx) Αποδείξτε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο [, b], τότε για κάθε αριθµό c ο οποίος βρίσκεται µεταξύ των f ) και f b), υπάρχει x [, b] τέτοιο ώστε f x) = c Αποδείξτε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [, b], τότε είναι φραγµένη στο διάστηµα [, b], δηλ. υπάρχουν αριθµοί m, M R τέτοιοι ώστε x [, b] : m f x) M. Υπόδειξη: Μπορείτε να αποδείξετε αυτή την πρόταση χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Bolzno- W eierstrss του οποίου την διατύπωση µπορείτε να βρείτε µε µια βιβλιογραφική έρευνα στο διαδίκτυο) Αποδείξτε ότι : αν η f x) είναι συνεχής στο διάστηµα [, b] και συµβολίσουµε µε m το µέγιστο κάτω φράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [, b] και µε M το ελάχιστο άνω φράγµα των τιµών που παίρνει η f x) στο διάστηµα [, b], τότε για κάθε c [m, M], υπάρχει x [, b] τέτοιο ώστε f x) = c. Υπόδειξη: Μπορείτε να αποδείξετε αυτή την πρόταση χρησιµοποιώντας την προηγούµενη και το αξίωµα πληρότητας του Dedekind του οποίου την διατύπωση µπορείτε να βρείτε µε µια βιβλιογραφική έρευνα στο διαδίκτυο) Αποδείξτε ότι : αν στο διάστηµα [, b] η f x) είναι συνεχής και αυστηρά µονότονη, τότε στο διάστηµα [, b]) η αντίστροφη συνάρτηση f x) είναι καλώς οριςµένη και αυστηρά µονότονη..4.7 Dirichlet). Ορίζουµε την συνάρτηση { όταν x Q f x) = όταν x R Q. Αποδείξτε ότι: η f x) είναι ασυνεχής στο R..4.8 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q g x) = όταν x R Q. Αποδείξτε ότι: η g x) είναι συνεχής στο και ασυνεχής στο, ]..4.9 Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q g x) = x όταν x R Q. Αποδείξτε ότι: η g x) είναι ασυνεχής στο R {} και συνεχής στο.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝ ΕΧΕΙΑ 7.4. Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση όταν x = m σε ανάγωγη µορφή n n h x) = όταν x R Q όταν x = Αποδείξτε ότι: η h x) είναι συνεχής στο σύνολο των άρρητων αριθµών του, ] και ασυνεχής στο σύνολο των ρητών αριθµών του, ]..4. Apostol). Ορίζουµε την συνάρτηση { x όταν x Q f x) = x όταν x R Q. Αποδείξτε ότι η f x) είναι συνεχής στο x = και ασυνεχής στο [, )..4.. Αποδείξτε ότι η εξίσωση x 5 8x + = έχει τουλάχιστον µιά ρίζα στο [, ] Αποδείξτε ότι κάθε εξίσωση της µορφής + x n+ x n+ = έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ρίζα..4.4 Apostol). Εστω συνάρτηση f x) µε πεδίο οριςµού το R. Αν η f x) είναι συνεχής στο x και x, y R ισχύει f x + y) = f x) + f y), τότε αποδείξτε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε f x) = x..4.5 Μαθ. Ολυµπιάδα). Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :, ) R τέτοιες ώστε x, y > : f xy) = xf y) + yf x). Απ. f x) = x ln x..4.6 Μαθ. Ολυµπιάδα). Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f : R R τέτοιες ώστε Απ. f x) = x 3. x : f x) = f x) + x..4.7 Apostol). Δώστε ένα παράδειγµα συνάρτησης f x) η οποία είναι συνεχής στο, ) και απεικονίζει το, ) στο, ]. Η, αποδείξτε ότι δεν µπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση Αποδείξτε ότι κάθε συνάρτηση της µορφής f x) = + x n+ x n+, όπου οι συντελεστές,,..., n+ είναι θετικοί, έχει αντίστροφη συνάρτηση Apostol). Δώστε ένα παράδειγµα συνάρτησης f x) η οποία είναι συνεχής στο R και απεικονίζει το R στο Q. Η, αποδείξτε ότι δεν µπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση..4.. Αποδείξτε ότι: αν η f x) είναι οµοιόµορφα συνεχής στο, b), τότε θα είναι φραγµένη. Δώστε ένα παράδειγµα που δείχνει ότι αυτό δεν ισχύει αν η f x) είναι απλά συνεχής στο, b)..4.. Αποδείξτε ότι το lim x + x) x υπάρχει..

24 Κεφάλαιο Παράγωγος. Θεωρία... ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος µιας συνάρτησης f x) συµβολίζεται µε f x) και ορίζεται ως εξής f f x + x) f x) x) = lim..) x x Αν το όριο της.) υπάρχει, λέµε ότι η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x.... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εάν παραστήσουµε γραφικά µια συνάρτηση f x) µε µία καµπύλη C, όπως στο Σχήµα., τότε η παράγωγος f x) δίνει την κλίση της ευθείας η οποία εφάπτεται στην C στο σηµείο x. Σχήμα.: Η παράγωγος f x) δίνει την κλίση της εφαπτοµένης στην καµπύλη fx)...3. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Υπάρχουν και περιπτώσεις στις οποίες η f x) δεν έχει εφαπτοµένη σε κάποιο σηµείο x, όπως στο Σχήµα.. Σε τέτοια περίπτωση, η f x) δεν έχει ούτε παράγωγο f x), όπως φαίνεται στο Σχήµα., όπου έχουµε lim fx+ x) fx) x lim fx+ x) fx) x x + x 8

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ 9 Σχήμα.: Η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο στο σηµείο x =...4. ΟΡΙΣΜΟΣ: Η δεύτερη παράγωγος µιας συνάρτησης f x) συµβολίζεται µε f x) και ορίζεται ως εξής f x) = f x)). Η παράγωγος n-στής τάξης µιας συνάρτησης f x) για n =,,, 3,...) συµβολίζεται µε f n) x) και ορίζεται ως εξής: για n = : f ) x) = f x) για n =,, 3,.. : f n) x) = f n ) x) ). Δηλαδή η f n) x) είναι η παράγωγος της f n ) x)...5. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x, τότε είναι και συνεχής στο x. Το αντίστροφο δεν ισχύει υποχρεωτικά...6. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν οι f x) και g x) έχουν παραγώγους f x) και g x) αντίστοιχα, τότε ισχύουν τα παρακάτω. f x) + g x)) = f x) + g x) c f x)) = c f x), όπου c µιά σταθερά f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x) ) f x) = f x) g x) + f x) g x), όταν g x) g x) g x) f g x))) = f g x)) g x), όταν η f είναι παραγωγίσιµη στο g x)...7. ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν g x) = f x) δηλ.η g x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της f), τότε g x) = fx)...8. ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε R, αν f x) = x, τότε f x) = x...9. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος της f x) συµβολίζεται και ως όπου df dx = lim f x x = f x) f = f x + x) f x) είναι η µεταβολή της f όταν το x µεταβάλλεται κατά x.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ισχύει προσεγγιστικά ότι f x) f x και Η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο µικρότερο είναι το x. f f x) x..)... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ο συµβολιςµός df τονίζει ότι η παράγωγος είναι ο λόγος της dx µεταβολής f ως προς την µεταβολή x όταν τα x και f γίνονται πολύ µικρά. Αν και το σύµβολο df δεν είναι κλάςµα, πολλές φορές το µεταχειριζόµαστε ως τέτοιο π.χ. γράφουµε dx df = f x) dx..3)... ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ποσότητα df στην.3) ονοµάζεται διαφορικό της f x)...3. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην ουσία η.3) είναι µια συντοµογραφία της έκφρασης η f είναι περίπου ίση µε την f x) x όταν το x είναι αρκετά µικρό. Οπως θα δούµε στα επόµενα κεφάλαια, ο συµβολιςµός df = f x) dx είναι πολύ χρήσιµος π.χ., στον υπολογιςµό ολοκληρωµάτων) και γενικά µπορούµε να χειριζόµαστε το df ως κλάςµα, αν και αυτό δεν είναι αυστηρά σωστό. dx..4. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μερικες φορες μια συναρτηση y x) οριζεται σε πλεγμενη μορφη, απο μια εκφραση P x, y) =. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y βρισκονται σε καποια συναρτησιακη) σχεση, αλλα ισως δεν μπορουμε να λυσουμε P x, y) = και να βρουμε την y x) ως συναρρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες φορες ειναι δυνατο να υπολογισουμε την y x) ως συναρτηση των x και y δειτε και τα παραδειγματα..9..)...5. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εστω ότι η συνάρτηση f x) ορίζεται στο, b) και στο x, b) έχουµε < f x ) R προσέξτε ότι το f x ) µπορεί να είναι ). Τότε υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε x [x δ, x + δ] η f x) είναι γνησίως αύξουσα, δηλ. ισχύει x < x f x) < f x ) και x < x f x ) < f x). Αντίστοιχα, αν στο x, b) έχουµε > f x ) R, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε x [x δ, x + δ] η f x) είναι γνησίως φθίνουσα, δηλ. ισχύει x < x f x) > f x ) και x < x f x ) > f x)...6. ΟΡΙΣΜΟΣ: Λέµε ότι η συνάρτηση f x) έχει τοπικό µέγιστο στο x αν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε x [x δ, x + δ] f x) f x ). Αντ ιστοιξα λέµε ότι η συνάρτηση f x) έχει τοπικό ελάχιστο στο x αν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε x [x δ, x + δ] f x) f x )...7. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εστω ότι η συνάρτηση f x) ορίζεται στο, b) και έχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο στο x, b). Αν υπάρχει η f x ) θα είναι f x ) =...8. ΘΕΩΡΗΜΑ: Rolle): Αν α) η f x) είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιµη στο, b) και β) f ) = f b) =, τότε υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) =.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ..9. ΘΕΩΡΗΜΑ: Μέσης Τιµής): Αν η f x) είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιµη στο, b), τότε υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) = fb) f) b.... ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν στο διάστηµα [, b] ισχύει f x) =, τότε η f x) είναι η σταθερή συνάρτηση f x) = c στο διάστηµα [, b] ).... ΘΕΩΡΗΜΑ: Cuchy): Αν οι f x), g x) είναι συνεχείς στο [, b] και παραγωγίσιµες στο, b), τότε υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) = fb) f). g x ) gb) g)... ΘΕΩΡΗΜΑ: Κανόνας L Hospitl): Εστω συναρτήσεις f x), g x), διάστηµα, b) και x, b). Θέτουµε, b) =, b) x, δηλαδή το, b) είναι όλο το, b) εκτός του x. Αν α) οι f x), g x) είναι παραγωγίσιµες στο, b) και β) g x) στο, b), τότε. Λυµένα Προβλήµατα f x) lim x x g x) = lim f x) x x g x)... Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = x βάσει του οριςµού. Λυση. f x) = lim x f x + x) f x) = lim x x x + x x = lim x x... Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = x βάσει του οριςµού. Λυση. f f x + x) f x) x + x) x x) = lim = lim x x x x x + x x + x) x = lim x x x + x) x = lim = lim x + x) = x. x x x x x = lim =. x..3. Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = βάσει του οριςµού. x Λυση. = = x+) x +x+x x f f x + x) f x) x) = lim x x x x+x x = lim +x) x x = x lim x = lim x ) x + x x + x) = lim x x x+ x) x x x + x x + x) = x x 4 = x. ) )

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ..4. Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι η f x) = στο x =. Λυση. Θα πρέπει να είναι { όταν x όταν x < δεν είναι παραγωγίσιµη f f + x) f ) f + x) f ) f + x) f ) ) = lim = lim = lim. x x x + x x x Αλλά και f + x) f ) lim = lim x + x x + x = f + x) f ) lim = lim =. x x x x f+ x) f) Άρα δεν υπάρχει το lim x = f ). x { όταν x..5. Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι η f x) = x όταν x < στο x =. Λυση. Θα πρέπει να είναι δεν είναι παραγωγίσιµη f f + x) f ) f + x) f ) f + x) f ) ) = lim = lim = lim. x x x + x x x Αλλά και f + x) f ) lim = lim x + x x + x = f + x) f ) x lim = lim =. x x x x f+ x) f) Άρα δεν υπάρχει το lim x = f ). x..6. Αποδείξτε ότι, αν η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x, τότε είναι και συνεχής στο x. Δώστε ένα αντιπαράδειγµα για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Λυση. Εχουµε f x + x) = f x ) + x f x + x) f x ) x lim f x + x) = lim f x ) + x f x ) + x) f x ) x x x ) f lim f x x + x) f x ) + x) = f x ) + lim x) lim x x x x lim f x + x) = f x ) + f x ) = f x ) x το οποίο αποδεικνύει ότι η f x) είναι συνεχής στο x. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλ. µια συνάρτηση µπορεί να είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιµη στο x, όπως φαίνεται από την συνάρτηση του προηγούµενου προβλήµατος.

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι c f x)) = c f x). Λυση. c f x)) = lim x c f x + x) c f x) = c lim x x f x + x) f x) = c f x). x..8. Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x). Λυση. f x) g x)) f x + x) g x + x) f x) g x) = lim x x f x + x) g x + x) f x) g x + x) + f x) g x + x) f x) g x) = lim x x f x + x) g x + x) f x) g x + x) = lim x x f x) g x + x) f x) g x) + lim x x ) f x + x) g x + x) f x) ) = lim lim x x g x + x) x g x + x) g x) + f x) lim x x = f x) g x) + f x) g x). Στο τελευταίο βήµα χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι µια συναρτηση παραγωγίσιµη στο x είναι και συνεχής στο x...9. Αποδείξτε ότι, για κάθε n N, αν f x) = x n, τότε f x) = nx n. Λυση. Η απόδειξη είναι επαγωγική. Για n = έχουµε x) = = n x n. Εστω ότι για n =,,..., k ισχύει x n ) = nx n. Τώρα θα εξετάσουµε την f x) = x k+ : x k+ ) = xk x ) = x k ) x + xk x) = kx k x + x k = k + ) x k.... Αποδείξτε ότι, για κάθε n N, αν f x) =, τότε f x) = n x n Λυση. Η απόδειξη είναι επαγωγική. Για n = έχουµε x) = και ο τύπος επαληθεύεται. x Εστω ότι για n =,,..., k ισχύει ) x = n. Τώρα θα εξετάσουµε την f x) = n x n+ ) = x k+ x ) ) = k x x k = k xk+ x + x x ) k x + x k ) x = k + x k+ x n+. x k+ : και άρα η υπόθεση επαληθεύεται. Παρατηρείστε ότι µπορούµε να γράψουµε = x n και έτσι ο x n παραπάνω τύπος µπορεί να ενοποιηθεί µε τον αυτόν του προηγούµενου προβλήµατος και να γράψουµε n Z : x n ) = nx n.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ 4... Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = x 4x + 5. Λυση. x 4x + 5) = x ) 4 x) + 5) = x 4 + = x Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = x 4x + 5) x + ). Λυση. f x) = x 4x + 5 ) x + ) + x 4x + 5 ) x + ) = x 4) x + ) + x 4x + 5 ) x = 4x 3 x + x Υπολογίστε την παράγωγο της f x) = x 4x+5 Λυση. x +. ) x 4x + 5 = x 4x + 5) x + ) x 4x + 5) x + ) x + x + ) = x 4) x + ) x 4x + 5) x x + ) = 4x 8x 4 x + )...4. Υπολογίστε την δεύτερη παράγωγο της f x) = x 4x+5 Λυση. x +. ) f x) = f x)) x ) 4x + 5 = x + ) 4x 8x 4 = x + ) = 8 x3 + 3x + 3x ) x + ) Για n =,,,... υπολογίστε την n-στης τάξης παράγωγο f n) x) όταν f x) =. x Λυση. Εχουµε ) = x x, ) = x ) = ) x x x), = = 6 3 x 3 x. 4 Τα παραπάνω αποτελέςµατα µας δίνουν την ιδέα ότι f n) x) = ) n n! x n+ και ο τύπος ισχύει για n =,,, 3. Ας υποθέσουµε ότι ισχύει για n =,,..., k. Τώρα f k+) x) = f k) x) ) = ) k k! = ) k k! k + ) x k+ x k+ ) = ) k k! ) x k+ = ) k+ k + )! x k+ και άρα η υπόθεση επαληθεύεται.

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Υπολογιστε το διαφορικο της f x) = x βασει του ορισμου και δωστε μια γεωμετρικη ερμηνεια. Λυση df = f x) dx = xdx. Μια γεωμετρικη ερμηνεια ειναι η εξης. Θεωρειστε ενα τετραγωνο με πλευρα x. Τοτε f x) = x ειναι το εμβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο x σε x+ x. Το εμβαδον αυξανεται οπως φαινεται στο σχημα.3. Αν το x ειναι σχετικα μικρο, η μεγαλυτερη μεταβολη x x x Σχήμα.3: Μια γεωμετρικη ερμηνεια του διαφορικου. του εμβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραμα με πλευρες x και x και ειναι x x. Υπαρχει μια επιπλεον αυξηση του εμβαδου κατα x) απο το τετραγωνο με πλευρα x, αλλα αν το x ειναι μικρο, τοτε το x) ειναι πολυ μικρο σε σχεση με το x x και μπορουμε να το αγνοησουμε. Π.χ., αν x = και x =., τοτε x + x) =. = 4. 4, x = = 4, x + x) x = =.4, x x =. =.4, x) =.) =., x x x δηλ. το μεγαλυτερο μερος της μεταβολης f =.4 προκυπτει απο τον ορο x x = Βρειτε προσεγγιστικα την τιμη της 4. χρησιμοποιωντας το διαφορικο. Λυση Θετουμε f x) = x. Τοτε x + x = f x + x) f x) + f x) x = x + x x.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ 6 Αν παρουμε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., η παραπανω σχεση δινει 4. = = + = Η πραγματικη τιμη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλμα ειναι.48.5 = Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη...8. Βρείτε προσεγγιστικά την τιµή 4. χρησιµοποιώντας το διαφορικό. Λυση Με το ιδιο σκεπτικο οοπως και στην προηγουμενη ασκηση, παιρνουμε τωρα x = 4, x+ x = 4. και αρα x =., οποτε 4. = = + = Η πραγματικη τιμη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλμα ειναι = δηλ. δυο ταξεις μεγεθους μικροτερο απο το σφαλμα στον υπολογισμο της 4.. Αυτο δειχνει με ενα παραδειγμα) οτι οσο μικροτερο γινεται το x, τοσο καλυτερη ειναι η προσεγγιση με διαφορικο...9. Βρειτε την y αν y 3 + y 5y x + 4 =. Λυση Θεωρειστε την συνθετη συναρτηση g x) = g y x)) = y x)) 3, δηλ. g y) = y 3. Τοτε dg dx = dg dy dy dx = 3y y..4) Αντιστοιχα, d dx y = yy..5) Χρησιμοποιωντας τις.4) και.5) εχουμε d y 3 + y 5y x + 4 ) = d dx dx ) 3y y + yy 5y x + =... Βρειτε την y αν x + y ) x = y. Λυση Παρομοια με την προηγουμενη εχουμε x + yy ) x + x + y ) x = yy y 3y + y 5 ) = x y x = 3y + y 5. y yx y ) = x 3 x + y ) x y = x3 + x x + y ) y x ) = x x + y ) y x ).

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ 7... Βρειτε την y 3) αν 3 x + y ) = xy. Λυση Λυνοντας οπως και στις προηγουμενες παιρνουμε y = 5y 3x x + y ) 5x + 3y x + y )..6) Εδω ζητειται η τιμη y 3). Δηλ. στην.6) θα θεσουμε x = 3. Ποια ειναι ομως η τιμη y 3); Στην αρχικη 3 x + y ) = xy θετουμε x = 3 και παιρνουμε y ) = 3 y και λυνουμε ως προς y. Μια λυση ειναι y =. Οποτε στο σημειο 3, ) εχουμε y 3) = ) ) = )... Βρειτε την y αν x + y = 5. Λυση. Οπως και στις προηγουμενες ασκησεις, εδω εχουμε x + yy = y = x y. Παραγωγιζουμε και παλι και παιρνουμε ) y = d ) x = x) y xy = y y x x xy y = = x + y. dx y y y y y Αποδείξτε : αν η συνάρτηση f x) ορίζεται στο, b) και έχει τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο στο x, b). Αν υπάρχει η f x ) θα είναι f x ) =. Λυση. Θα δουλέψουµε µε µια βοηθητική συνάρτηση f x) = { fx) fx ) x x όταν x x. f x ) όταν x = x Προφανώς lim x x f x) = f x ) = f x ) και άρα η f x) είναι συνεχής στο x. Ας υποθέσουµε ότι f x ) = f x ) >. Τότε. λόγω της συνέχειας υπάρχει δ τέτοιο ώστε x [x δ, x + δ] f x) = f x) f x ) > x x το οποίο αντίκειται στην υπόθεση ότι η f x) έχει είτε τοπικό µέγιστο είτε ελάχιστο στο x. Με αντίστοιχο τρόπο διαπιστώνουµε ότι δεν µπορεί να έχουµε f x ) = f x) <. Οπότε θα έχουµε f x ) = f x ) =...4. Αποδείξτε το Θεώρηµα του Rolle: αν α) η f x) είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιµη στο, b) και β) f ) = f b) =, τότε υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) =. Λυση. Ας υποθέσουµε ότι x, b) : f x). Αφού η f x) είναι συνεχής στο [, b], υπάρχει σηµείο x [, b] αντίστοιχα x [, b]) στο οποίο η f x) παίρνει την µέγιστη αντίστοιχα ελάχιστη) τιµή της f x ) = M αντίστοιχα f x ) = m). Αυτά τα σηµεία x, x δεν µπορούν να ανήκουν στο, b) διότι τότε θα είχαµε f x ) = f x ) =, το οποίο αντίκειται στην υπόθεση. Οπότε η µέγιστη τιµή είναι mx f ), f b)) = και η ελάχιστη τιµή είναι min f ), f b)) =. Αλλά τότε δεν ισχύει η υπόθεση x, b) : f x). Άρα τελικά υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) = και η απόδειξη είναι πλήρες.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Αποδείξτε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Λυση. Αρκεί να εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Rolle στην συνάρτηση h x) = f x) b ) x f b) f )) + f b) bf )...6. Αποδείξτε ότι: αν στο διάστηµα [, b] ισχύει f x) =, τότε η f x) είναι η σταθερή συνάρτηση f x) = c στο διάστηµα [, b] ). Λυση. Παίρνουµε τυχόν x, b) και εφαρµόζουµε το θεώρηµα της Μέσης Τιµής στην f x) και στο διάστηµα [, x ]. Θα έχουµε κάποιο x τέτοιο ώστε f x ) f ) = f x ) = [ x, b) : f x ) = f )]. x Δηλαδή, f x) = f ). Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι f x) = f b). x x..7. Βρείτε τα όρια α) lim x, β) lim x+x 8 x, γ) lim x+x 8 x x. x 3 +x 8 Λυση. Και στις τρεις περιπτώσεις χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospitl. Εχουµε x lim x x + x = lim x) 8 x x + x 8 ) = lim x + 8x =. 7 x lim x x + x = lim x ) x 8 x x + x 8 ) = lim x + 8x =. 7 x lim x x 3 + x = lim x) 8 x x 3 + x 8 ) = lim x 3x + 8x =. 7.3 Αλυτα Προβλήµατα.3.. Υπολογίστε βάσει του οριςµού την παράγωγο της f x) = x 3 βάσει του οριςµού..3.. Υπολογίστε βάσει του οριςµού την παράγωγο της f x) = x x+ βάσει του οριςµού Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι η f x) = x 3 x δεν είναι παραγωγίσιµη στο x = Σωστό ή λάθος: αν οι f x), g x) δεν είναι παραγωγίσιµες στο x, οι f x) g x) δεν είναι παραγωγίσιµη στο x. Δώστε παράδειγµα. Απ. Λάθος πάρετε f x) = g x) = x, x = Αποδείξτε βάσει του οριςµού ότι η σταθερή συνάρτηση f x) = c έχει f x) =. ).3.6. Αποδείξτε, βάσει του οριςµού, ότι = f x)gx) fx)g x) fx) gx).3.7. Υπολογίστε τις x ), x 3 4x + ), Απ. x 9, 3x 4, x3 +4x, x 7x. x 3 x 7).3.8. Υπολογίστε τις x ), x 3 4x + ), Απ. 9x 8, 6x, 4x 3) x 4, 53 x 7) 3. x 3 4x+ x ), x 3 4x+ x ), gx)). x +. x 7) x +. x 7)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Υπολογίστε, για κάθε n N, την n-στή παράγωγο της f x) = x. Απ. n! x) n+)..3.. Βρείτε τα σηµεία στα οποία η f x) = x 3/5 δεν είναι παραγωγίσιµη και δώστε µια γεωµετρική ερµηνεία. Απ. x =..3.. Υπολογίστε τις παραγώγους x 3 + ) ),, x + ) x+. 3 Απ., 3 x x 3 + x 3 x + 3x 3, x x + x++ x +) x +) x x +. x+.3.. Εστω y x) = x και x y) = y. Αποδείξτε ότι dy dx =. dx dy.3.3. Εστω y x) = x+ x.3.4. Βρείτε προσεγγιστικά την τιµή Απ. = Βρείτε προσεγγιστικά την τιµή Απ. = y+ dy dx και x y) =. Αποδείξτε ότι =. y dx dy χρησιµοποιώντας το διαφορικό. χρησιµοποιώντας το διαφορικό Βρείτε προσεγγιστικά την τιµή cos 3 o ) χρησιµοποιώντας το διαφορικό. Απ Βρείτε προσεγγιστικά την τιµή 5 33 χρησιµοποιώντας το διαφορικό. Απ Βρείτε την y για τις παρακάτω πεπλεγµένες συναρτήσεις.. x + y = 6.. x / + y / = x 3 xy + y = x 3 y 3 y = x. 5. x 3 x y + 3xy = 38. Απ. x/y, y/x, y 3x, 3x y 3, 4xy 3x 3y. y x 3x 3 y x 3y x).3.9. Βρείτε την y για τις παρακάτω πεπλεγµένες συναρτήσεις x. x + xy = 5.. x y = y = x 3. Απ. /x 3, 6/y 3, 3x/4y.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Βρείτε τα όρια. lim x x x 6 x 4 +x 8.. lim x x 4 x 6 x 4 +x lim x x 6 x 8 x 4 +x. Απ.,,..4 Προχωρηµένα Άλυτα Προβλήµατα.4.. Λέµε ότι η συνάρτηση f x) ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz τάξεως k στο σηµείο x ανν υπάρχουν αριθµοί M, e τέτοιοι ώστε x x < ε f x) f x ) < M x x k. Εστω f x) που ικανοποιεί την συνθήκη Lipschitz τάξεως k στο σηµείο x. Δείξτε ότι:. k > η f x) είναι συνεχής στο x.. k > η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x..4.. Αποδείξτε : αν η συνάρτηση f x) ορίζεται στο, b) και στο x, b) έχουµε < f x ) R, τότε υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε x [x δ, x + δ] ισχύει x < x f x) < f x ) και x < x f x ) < f x) Αποδείξτε το θεώρηµα του Cuchy Αποδείξτε τον κανόνα του L Hospitl Εστω f x) συνάρτηση συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιµη στο, b). Αποδείξτε ότι υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f b) bf ) = f x ) x f x ). b.4.6. Εστω f x), g x) συνάρτησεις συνεχείς στο [, b] και παραγωγίσιµες στο, b). Εστω επίσης ότι οι g x), g x) δεν µηδενίζονται στο, b). Τέλος, έστω ότι f) = fb). Αποδείξτε ότι g) gb) υπάρχει x, b) τέτοιο ώστε f x ) g x ) = f x ) g x ) Ορίζουµε την συνάρτηση f x) = { n 3 όταν x = m n Q όταν x R Q. Αποδείξτε ότι: η f x) είναι είναι παραγωγίσιµη σε κάθε x = k και το ακεραίου. k δεν είναι τετράγωνο

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡ ΑΓΩΓΟΣ Ορίζουµε την συνάρτηση f x) = { e x όταν x όταν x =. Δείξτε ότι η f x) έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε όλο το R.. k > η f x) είναι συνεχής στο x.. k > η f x) είναι παραγωγίσιµη στο x Εστω συνάρτηση f x) η οποία. Είναι συνεχής στο [, b] και για κάθε x [, b] : f x) b.. Είναι παραγωγίσιµη στο, b) και για κάθε x, b) : f x) k <. Δείξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σηµείο x [, b] τέτοιο ώστε f x ) = x..4.. Εστω παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R η οποία ικανοποιεί x ) f x) = f + f x) x. Αποδείξτε ότι f x) = x + b..4.. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο π x) για το οποίο ισχύουν.4.. Εστω f x) = x n. Αποδείξτε ότι x : π x) > π x) και x : π x) > π x). f ) + f ) + f ) f n) ) n = + ) n.!!! n!

38 Κεφάλαιο 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις Στο παρόν κεφάλαιο ορίζουµε την λογαριθµική συνάρτηση ln x µε ένα έµµεσο τρόπο, χρησιµοποιώντας την παράγωγο αυτής. Κατόπιν ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση e x ως αντίστροφη της ln x. Η εκθετική είναι ίσως η πιο θεµελιώδης συνάρτηση των µαθηµατικών. 3. Θεωρία 3... ΟΡΙΣΜΟΣ: Ορίζουµε την συνάρτηση L x) ως εξής: α) έχει πεδίο οριςµού το, ), β) για κάθε x, ) έχουµε L x) =, γ) L ) =. x 3... ΘΕΩΡΗΜΑ: Η L x) είναι µοναδική ΘΕΩΡΗΜΑ: Η L x) είναι συνεχής ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, ) η L x) είναι γνησίως αύξουσα ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, y, ) έχουµε L x) + L y) = L xy) ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, ) έχουµε L /x) = L x) ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, ) και R έχουµε L x ) = L x) ΘΕΩΡΗΜΑ: lim x L x) = και lim x L x) =. Αρα η L x) έχει πεδίο τιµών το, ) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Θα ονοµάζουµε την L x) λογαριθµική συνάρτηση και συνήθως θα την συµβολίζουµε µε ln x αντί L x). Με άλλα λόγια, L x) = ln x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με άλλα λόγια: ορίσαµε την λογαριθµική συνάρτηση να είναι αυτή που έχει τις ιδιότητες του Οριςµού 3... Κατόπιν αποδείξαµε διάφορες ιδιότητες αυτής και παρατηρήσαµε ότι είναι ακριβώς αυτές τις οποίες έχει και η λογαριθµική συνάρτηση όπως µας είναι γνωστή από την στοιχειώδη Άλγεβρα. Οπότε προτιµούµε να ξεχάσουµε τον αλγεβρικό οριςµό και να χρησιµοποιήσουµε τον Οριςµό 3... Πρακτικά δεν έχουµε χάσει τίποτε, διότι η συνάρτηση L x) έχει ακριβώς τις χρήσιµες) ιδιότητες της αλγεβρικά οριςµένης λογαριθµικής συνάρτησης. 3

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘµΙΚ ΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚ ΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ: Η εξίσωση L x) = έχει µία µοναδική ρίζα, την οποία θα συµβολίζουµε µε το σύµβολο e ΘΕΩΡΗΜΑ: Η συνάρτηση L x) έχει αντίστροφη συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ: Ορίζουµε την συνάρτηση E x) να είναι η αντίστροφη συνάρτηση της L x). Δηλ. L E x)) = E L x)) = ΘΕΩΡΗΜΑ: Η συνάρτηση E x) έχει πεδίο οριςµού το, ) και πεδίο τιµών το, ) ΘΕΩΡΗΜΑ: Ισχύει ότι E ) = και E ) = e ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, y, ) έχουµε E x) E y) = E x + y) ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, y, ) έχουµε E x)) y = E x y) ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε x, ) έχουµε E x) = E x) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Θα ονοµάζουµε την E x) εκθετική συνάρτηση και συνήθως θα την συµβολίζουµε µε e x αντί E x). Με άλλα λόγια, E x) = e x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με άλλα λόγια: ορίσαµε την εκθετική συνάρτηση να είναι η αντίστροφη της λογαριθµικής αυτής που έχει τις ιδιότητες του Οριςµού 3..) και κατόπιν αποδείξαµε διάφορες ιδιότητες αυτής και παρατηρήσαµε ότι είναι ακριβώς αυτές τις οποίες έχει και η εκθετική συνάρτηση όπως µας είναι γνωστή από την στοιχειώδη Άλγεβρα. Πρακτικά δεν έχουµε χάσει τίποτε, διότι η συνάρτηση E x) έχει ακριβώς τις χρήσιµες) ιδιότητες της αλγεβρικά οριςµένης εκθετικής συνάρτησης. Αξίζει να σηµειωθεί ιδιαίτερα ότι το x στην «e x» είναι πράγµατι ένας εκθέτης, αφού έχει τις ιδιότητες e x e y = e x+y, e x ) y = e xy ΘΕΩΡΗΜΑ: Η συνάρτηση E x) είναι η εκθετική συνάρτηση: E x) = e x ΘΕΩΡΗΜΑ: lim x + x x) = e ΘΕΩΡΗΜΑ: Για κάθε Ισχύουν τα εξής: x R : e x = + x +! x + 3! x3 +..., 3.) x, ) : ln x) = x ) x ) + 3 x ) ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:Το Θεώρηµα 3..3 θα αποδειχθεί στο Κεφάλαιο Λυµένα Προβλήµατα 3... Αποδείξτε ότι η L x) είναι µοναδική. Λύση. Εστω ότι υπάρχουν δύο συναρτήσεις L x) και L x) οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες του Οριςµού 3... Θα έχουµε για κάθε x, ): L x) = L x) = x. Τότε L x) L x) =, οπότε L x) L x) = c δηλ. σταθερός αριθµός). Επίσης L ) = και L ) =, οπότε = = L ) L ) = c. Δηλαδή L x) L x) = και άρα υπάρχει µία και µόνο συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες του Οριςµού 3...