1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Transcript

1 4 13 ΠΛΛΠΛΣΙΣΣ ΡΙΘΥ ΙΝΥΣ ρισμός Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα νομάζουμε γινόμενο του λ με το α και το συμολίζουμε με λ α ή λ α ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του α, αν λ > 0 και αντίρροπο του α, αν λ < 0 και έχει μέτρο λ α ν είναι λ = 0 ή 0 α =, τότε ορίζουμε ως λ α το μηδενικό διάνυσμα 0 M O ια παράδειγμα, αν το διάνυσμα α του διπλανού σχήματος έχει μέτρο, τότε το διάνυσμα 3 α είναι ομόρροπο με το α και έχει μέτρο 3α = 3 α = 3 = 6, ενώ το διάνυσμα 3 α είναι αντίρροπο με το α, αλλά έχει και αυτό μέτρο ίσο με 3α = 3 α = 3 = 6

2 3 5 Το γινόμενο 1 α λ το συμολίζουμε και με α λ 3 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα ια το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: (1) λ( α + ) = λα + λ () ( λ + μ) α = λα + μα (3) λ( μα) = ( λμ) α ΠΙΞΗ * (1) Υποθέτουμε ότι τα διανύσματα α και λ>0 είναι μη μηδενικά και ότι λ 0 Παίρνουμε ένα σημείο και σχεδιάζουμε τα διανύσματα λ OA = α, AB= Τότε είναι OB α = + Σχεδιάζουμε επιπλέον τα διανύσματα OA = λα και OB = λ( α + ) πειδή + ( ) ( ) = = λ, λ( + ) ( ) ( ) τα τρίγωνα και είναι όμοια και επομένως η πλευρά είναι παράλληλη με την και ισχύει ( ) = λ ( )

3 6 υτό σημαίνει ότι A B = λ AB = λ A B πομένως, επειδή O B = O + A, έχουμε λ( α + ) = λα + λ Η ιδιότητα ισχύει προφανώς και όταν ένα τουλάχιστον από τα διανύσματα α και είναι το μηδενικό ή όταν ο αριθμός λ είναι μηδέν λ<0 λ( + ) λ + Η απόδειξη των ιδιοτήτων () και (3) αφήνεται ως άσκηση Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λα = 0 λ= 0 ή 0 α = (ii) ( λα) = λ( α) = ( λα) (iii) λ( α )= λα λ (iv) ( λ μ) α = λα μα (v) ν λα = λ και λ 0, τότε α= (vi) ν λα = μα και α 0, τότε λ= μ ραμμικός Συνδυασμός ιανυσμάτων ς θεωρήσουμε δύο διανύσματα α και πό τα διανύσματα αυτά παράγονται, για παράδειγμα, τα διανύσματα γ = 3 α+5, δ = α+3 κτλ Καθένα από τα διανύσματα αυτά λέγεται γραμμικός συνδυασμός των α και ενικά, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α και κάθε διάνυσμα της μορφής v = κα+ λ, όπου κ, λ R νάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα v = 3 α + 5γ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των α, και γ

4 7 Συνθήκη Παραλληλίας ιανυσμάτων Όπως είδαμε, αν δύο διανύσματα α και, όπου 0, συνδέονται με τη σχέση α = λ, τότε τα διανύσματα αυτά είναι παράλληλα Ισχύει όμως και το αντίστροφο ηλαδή, αν τα διανύσματα α και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός λ τέτοιος ώστε α = λ Πράγματι, αν α θέσουμε κ =, τότε α = κ Συνεπώς: ν α, τότε α = κ ν α, τότε α = κ ν 0 α =, τότε α = 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός (ιδιότητα iv), τέτοιος, ώστε α = λ πομένως: ΘΩΡΗ ν α, είναι δύο διανύσματα, με 0, τότε α // α = λ, λ R ια παράδειγμα, στο παρακάτω σχήμα αν και είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου, έχουμε: BA+ A = A+ A = ( A+ AE) = E B = φού λοιπόν E B =, συμπεραίνουμε ότι // και B = E, που σημαίνει ότι 1 = Ξαναρίσκουμε δηλαδή τη γνωστή μας από την υκλείδεια εωμετρία σχέση = //

5 8 ιανυσματική κτίνα έσου Τμήματος ς πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς ια τη διανυσματική ακτίνα του μέσου του τμήματος έχουμε: OM = OA+ AM και OM = OB+ BM πομένως, OM = OA+ AM + OB+ BM = OA+ OB Άρα OM OA+ OB OM = ΦΡΣ 1 Να αποδειχτεί ότι ένα σημείο G είναι το αρύκεντρο ενός τριγώνου, αν και μόνο αν ισχύει GA+ G + G = 0 και ότι για οποιοδήποτε 1 σημείο ισχύει OG = ( OA+ OB+ O ) 3 ΠΙΞΗ G νωρίζουμε από την υκλείδεια εωμετρία ότι αν G είναι το κέντρο άρους του τριγώνου, τότε G = G, όπου η διάμεσος του τριγώνου πομένως, ισχύει AG = G, οπότε έχουμε GA+ GB+ G = GA+ G = GA+ AG= GG = 0 ντιστρόφως, αν για ένα σημείο G ισχύει GA+ GB+ G = 0, τότε θα έχουμε GA+ G = 0, όπου το μέσον της, οπότε θα ισχύει AG = G Έτσι, το σημείο G ανήκει στη διάμεσο και ισχύει G = G Άρα, το G είναι το κέντρο άρους του τριγώνου πό τη σχέση GA+ GB+ G = 0 έχουμε: OA OG+ OB OG+ O OG = 0 Άρα 1 OG = ( OA+ OB+ O ) 3

6 9 Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό ΠΙΞΗ Έστω α,, γ, δ τα διανύσματα θέσεως των κορυφών,,,, αντιστοίχως, ενός τετράπλευρου ως προς ένα σημείο αναφοράς Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της 1 και Θ της είναι ( γ + ) 1 Θ και ( α + δ) Ι αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέσου G G του ΗΘ είναι το Κ ( γ) ( α δ) ( α+ + γ + δ) = Η 4 Ζ μοίως ρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεως των 1 μέσων των τμημάτων Ζ και ΙΚ είναι το ( α + + γ + δ) Άρα τα τμήματα ΗΘ, Ζ και 4 ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από αυτό ΣΚΗΣΙΣ Σ 1 ν α είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματος α = 1 0 α ; α Να ρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: 1 1 (i) ( x + α) = ( x + ) (ii) x + 3( α + ) = 4( α ) 3x 3 3 ν στο διπλανό σχήμα είναι ( ) = ( ), να αποδείξετε ότι 1 x = ( + γ) 3 A x γ

7 30 4 Στο διπλανό σχήμα έχουμε: =, = α, = α και = (i) Να εκφράσετε συναρτήσει των α και τα διανύσματα,,, και (ii) πό τις εκφράσεις των και ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία, και ; A 5 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά ν Κ + 3 Κ A= Λ+ 3, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και είναι συνευθειακά 7 ν, και Ζ είναι διάμεσοι τριγώνου, να αποδείξετε ότι + + Ζ =0 8 ν Κ, Λ, είναι τα μέσα των πλευρών,,, αντιστοίχως, τριγώνου, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο ισχύει: + + = Κ + Λ + 9 ν και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων και, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι 10 ίνεται το μη μηδενικό διάνυσμα A = 4Ν = λ και = μ Να αποδείξετε ότι λ μ= 1 και σημείο τέτοιο ώστε να ισχύει 11 ίνεται τρίγωνο ν A = κ AB+ λ A και = λ + κ να αποδείξετε ότι //

8 31 Σ 1 Έστω α και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα (i) ν x α + y = 0, να δείξετε ότι x = y = 0 (ii) ν x1 α+ y1 = x α + y, να δείξετε ότι x 1 = x και y 1 = y (iii) Να ρείτε για ποιες τιμές του x R τα διανύσματα u = ( x 1) α + και v = ( + 3x ) α είναι συγγραμμικά Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο και τα σημεία και Ζ, ώστε 1 1 AE = κ A και AZ = λ AB με κλ 0 ν + = 1, να αποδείξετε ότι τα σημεία κ λ, και Ζ είναι συνευθειακά 3 Να αποδείξετε ότι αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις xka+ ykb+ zk = 0, x ΛA+ y ΛB+ z Λ = 0, x+ y + z= 0, τότε θα ισχύει και η τρίτη (το σημείο K είναι διαφορετικό από το Λ ) 4 ν α, και είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων, και κ αντιστοίχως και =, να αποδείξετε ότι αν το είναι εσωτερικό του, λ λα + κ λα κ τότε =, ενώ αν το είναι εξωτερικό του, τότε = λ+ κ λ κ 5 ίνεται τρίγωνο και ένα σημείο Σ ρίσκουμε τα συμμετρικά, και Ζ του Σ ως προς τα μέσα Κ, Λ και των πλευρών, και αντιστοίχως ν G και G τα αρύκεντρα των τριγώνων και Ζ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Σ, G και G είναι συνευθειακά 6 ίνεται τετράπλευρο και έστω και Ν τα μέσα των διαγωνίων του και αντιστοίχως Να αποδείξετε ότι αν 4MN = A B, τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο

9 3 7 ν G και G είναι τα αρύκεντρα δύο τριγώνων και, να G αποδείξετε ότι A A + BB + = 3 G 8 ίνονται τα σημεία, και Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο το διάνυσμα 3 MA 5MB + M είναι σταθερό 5 9 Τα σημεία,, και ενός επιπέδου έχουν διανύσματα θέσεως α,, 5α και 3 αντιστοίχως, όπου τα διανύσματα α και είναι μη συγγραμμικά Να ρείτε το διάνυσμα θέσεως του σημείου τομής των ευθειών και 3