Ηλίας Σκαρδανάς Μαθηματικός

Transcript

1 Ηλίας Σκαρδανάς Μαθηματικός

2

3 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς Σταθερές., e, lim. e, e, e e 5, , e, , log 0, log 0, log e 0, log 0, ln 0, ln, ln0, ln, , lim ln (Euler).0 g 9,8 Επιτάχυνση της βαρύτητας. Μαθηματική Λογική.. Πίνακες Αλήθειας. p q p p q p q p q p q p q Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ ψ ψ Α Ψ ψ ψ Α Α. Ιδιότητες.. p p.. p q q p. Αντιθετοαντιστροφή.

4 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. Σύνολα.. x x. x x x x xx...5 : xx x.6 : xx x.7 : xx x.8 c : x U x U A.9 :.0, U. A A, U. U A, U. A B B A, A U B U. A B A B, A U B U U.5 A, U.6 A A, U.7 U U, U.8 A B B A, A U B U.9 A B A B, A U B U U.0 A B A B, A U B U U. A B A B, A U B U U Συμβολισμοί. x x : x x x x i i i i. xi xi xi i i i,. xi xi i i..5 x y x y i i i i i i i i x x

5 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς.6 x ij : xij i j i j.7 xij xij i j j i 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 5. Ορισμοί !: 5..!:,! :!! * 5. Ιδιότητες ή 0 5 7, όπου 0 ή 0 ή, όπου 0 0,, το ακέραιο μέρος του. : ό :ά ή 0 ή 5

6 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 6 Άλγεβρα 6. Αξιοσημείωτες Ταυτότητες x x x x ,., ό Διωνυμικός τύπος του Νεύτωνα.. Ταυτότητα Euler. 6. Χρήσιμες Ανισότητες x 0, x.,,.,,.,,,,. Ανισότητα Bernoulli. 6

7 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 6. Απόλυτη τιμή. 6.. x x 0 x:. x x ,. 6..,. 6.., x x x x x 0 x ήx. 6..8,,. 6..9,, 6..0,,. *. 6. Τριώνυμο Δευτέρου Βαθμού. x x x, Διακρίνουσα. 0 x έ έ ί. 0 x έ ί ή ί ή. 0 x έ ύ έ ί ά. 6.., 6.. x x x S., αν βέβαια P x x Sx P x 0, x. 0 x 0, x, 0 0 x 0, x,,. x 0, x,. 7

8 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 7 Ειδικοί Κλάδοι. 7. Αριθμητική Πρόοδος. 7..,,,, 7..,,,, α,β,γ διαδοχικοί όροι α.π.. 7. Γεωμετρική Πρόοδος 7..,,,, ,,,,. 7.. Αν τότε α,β,γ διαδοχικοί όροι γ.π.. 7. Αρμονική Πρόοδος α,β,γ διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου. 7. Λογάριθμοι. log x y log x log y, x 0, y x log log x log y, x 0, y 0. y 7.. log x log x, x 0,. 7.. log x log0 x ln x loge x log x log x log. 8

9 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 7.5 Συνδυαστική Μεταθέσεις των ν στοιχείων:! Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις: 7.5. Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις με επανάληψη: 7.5. Συνδυασμοί των μ στοιχείων ανά ν.!.!.!!!. 7.6 Στατιστική i ν: μέγεθος, νi: συχνότητες. i i 7.6. f i,,,, fi: σχετικές συχνότητες. x x x 7.6. x : xi Μέση τιμή x ixi fixi i i i x t t : xt x Διάμεσος. t t r : i xi x fi xi x Μέση απόλυτη απόκλιση. i i S : x x i Διακύμανση (μέση τετραγωνική απόκλιση). i S : x x x x i i i i i i S x x i i Τυπική απόκλιση. i 9

10 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 7.7 Πιθανότητες. Ω: Δειγματικός χώρος 7.7. ω: απλό ή στοιχειώδες ενδεχόμενο p( ) Πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχομένου.,,, Ενδεχόμενο Α p(a) : p p p Πιθανότητα ενδεχομένου p( ) 0 Αδύνατο ενδεχόμενο i Βέβαιο γεγονός. ν: ο πληθάριθμος του Ω. i p( ) p p p p Ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα Αν ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα τότε NA p A N Αν i, i,,, pa B pa pb pa B A B pa B 0 Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. c 7.7. pa pa 7.7. pa B c pa pa B. 8 Τριγωνομετρία 8. Τριγωνομετρικός κύκλος. 8.. Ορισμοί: : : : : ημ( ) Β Ρ Μ εφ( ) Τ Σ σφ( ) 8.. rad gr rad gr Ο ω Π Α συν( ) 8.. Πρόσημα τριγωνομετρικών αριθμών: Τεταρτημόριο ο ο ο ο Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη 0

11 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 8. Βασικά τόξα. x (ακτίνια) x (μοίρες) 0 x 0 x x ο 0 ο 5 ο 60 ο 90 ο 80 ο 70 ο 60 ο x 8. Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο Βλέπε πίνακα στο τέλος του τυπολογίου. x x x x x 8. Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες. 8.. x 8.. x x. x 8.. x x. x 8.. x x 8.5 Άθροισμα ή διαφορά τόξων

12 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πολλαπλασίου τόξου Εκφράσεις με βάση το συνημίτονο του διπλάσιου τόξου Εκφράσεις με βάση την εφαπτομένη του τόξου

13 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς Μετασχηματισμοί Ταυτότητες για στοιχεία τριγώνου R Νόμος ημιτόνων.

14 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. 8.. x x,. x 8.. x x,. 8.. x x,. 8.. x x, Νόμος συνημιτόνων. 9 Μιγαδικοί Αριθμοί. 9. Θεμελίωση. 9.. Δεχόμαστε την ύπαρξη μη πραγματικού αριθμού i i. Φανταστική Μονάδα. 9.. : x i, x. Σύνολο Φανταστικών Αριθμών. 9.. : z x y i, x, y 9... Σύνολο Μιγαδικών Αριθμών. x : Re z ό έ z z z x yi y : Imz ό έ z 9..5 Βασική Ισότητα. Αν z x yi z x yi τότε z 9..6 Συζυγής του z. Αν z z x yi τότε z x yi. x x Re z Re z z y y Im z Im z

15 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 9. Πράξεις Μιγαδικών Αριθμών. z x y i z x yi 9.. Πρόσθεση στο : z z x x y y i 9.. Rez z Rez Rez και Im z z Im z Im z 9.. Ουδέτερο Στοιχείο (Μηδενικός): 0 0 0i z 9.. Συμμετρικό Στοιχείο (Αντίθετος): z x yi z x yi z x y i z x yi 9..5 Αφαίρεση στο : z z x x y y i 9..6 Rez z Rez Rez και Im z z Im z Im z z x y i z x yi z 9..7 Πολλαπλασιασμός στο : 9..8 Ουδέτερο Στοιχείο (Μοναδιαίος): 0i 9..9 Συμμετρικό Στοιχείο (Αντίστροφος): z z x x y y x y x y i x y x y x y z x yi 0 z i z x yi z xx yy xy xy 9..0 Διαίρεση στο : * i z x yi z x y x y 9.. Τετραγωνική Ρίζα μιγαδικού αριθμού z: ανάγεται σε λύση συστήματος x. w w z. Ο προσδιορισμός της 9. Ιδιότητες Συζυγών Μιγαδικών. 9.. z z, z 9.. z z Rez, z 9.. z z Im zi, z z z Re z Im z, z z z z z, z,z 9..6 z z z z z z, z,,,, 9..7 z z z z, z,z 9..8 z z z z, z,z 9..9 z z z z z z, z,,,, 9..0 z z, z, z z z * 5

16 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 9. Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού. 9.. z : Re z Im z, z. 9.. z z z z 9.. z z z, z. 9.. z 0 z z z z z z z I 9..7 z z z z, z,z 9..8 z z z, z, z. * z 9..9 z z z z z z, z,z z z z z. ή ό Lagrange z z i i 6

17 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 9.5 Γεωμετρική παράσταση Μιγαδικού Αριθμού. (Μιγαδικό Επίπεδο) 9.5. z z x yi. Γεωμετρική εικόνα του z: Τετμημένη: Πραγματικό μέρος. (Πραγματικός Άξων) Τεταγμένη: Φανταστικό Μέρος. (Φανταστικός Άξων) z z x, y M OM, Im(z) y O ω ρ x Μ(z) Re(z) 9.5. z z x yi. Συμμετρίες στο Μιγαδικό Επίπεδο. Im(z) Λ(-z) -x y O ω ρ x Μ(z) Re(z) z z N z z Σ(-z) -y N(z) 9.5. Εικόνες αθροίσματος και διαφοράς y Μ(z) Σ(z+z) z z M N T(z-z) y N(z) z z z z Λ(-z) O x x z z OT MN 7

18 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 9.6 Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθμού Θεωρώντας την γωνία ω του σχήματος της 9.5. προσανατολισμένη κατά τη θετική φορά (Αρχική πλευρά η Ox και τελική ο ΟΜ) έχουμε: z i 9.6. Αν 0, τότε Arg(z) αλλιώς arg(z) Arg(z) z z arg z iarg z 9.6. z i. Τύπος του de Moivre. 0 Ανάλυση 0. Όρια. Ορισμοί. 0.. lim f x 0 0 f x, x x, x xxo 0.. lim f x 0 M 0 f x x x, x xxo 0.. lim f x 0 M 0 f x x x, x xxo 0.. lim f x 0 x x 0f x, x x o o 0 x 0..5 lim f x M 0 x x M 0f x M x x o o 0 x 0..6 lim f x M 0 x x M 0f x M x x o o 0 x 0..7 lim f x 0 x x 0f x, x x o o 0 x 0..8 lim f x M 0 x x M 0f x M x x o o 0 x 0..9 lim f x M 0 x x M 0f x M x x o o 0 x 0..0 lim f x L L f x L x x όπου ή ή, L ή L ή L L Πx συμβολίζουμε μια περιοχή του x. o και με o o o o o 0. Όρια. Ιδιότητες. lim f x lim f x x x 0.. lim f x lim f x x x 0.. limf x f x x 0.. lim f x lim f x x x 8

19 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 0. Όρια. Πράξεις. 0.. lim f x g x lim f x lim g x Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο x x x 0.. lim f x g x lim f x lim g x Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο x x x 0.. lim f x g x lim f x lim g x 0.. Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο x x x f x lim x g x x limf x x limg x καλώς τα κλάσματα lim f x lim f x x ρίζες. x Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο και ορίζονται Αν υπάρχει το όριο της f στο και ορίζονται καλώς οι 0. Παράγωγοι. Ορισμοί. 0.. f x f x f x h f x f x : lim lim x x h xxo h0 o 0.. f παραγωγίσιμη στο xo o o o f x. Παράγωγος Αριθμός της f στο xo. f x 0 0 f xo x 0 x xo κατά x xo Cauchy f παραγωγίσιμη στο Δ f x xo 0.. Αν f παραγωγίσιμη στο Δ τότε η συνάρτηση f : : x f x παράγωγος συνάρτηση της f f : f λέγεται 0.5 Παράγωγοι. Πράξεις f g f g f g f g f g fg f g f f g f g 0.5. g g f g x f g x g x o o o 9

20 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 0.6 Παράγωγοι. Βασικές συναρτήσεις c x x x, x, x x x * x, x, * * x x, x, x x e, x x x * ln a, x, x * ln x, x * * 0.6. x 0.6. x log x, x, x ln x x x 0.6. x x 0.6. x x x x x x x x x 0

21 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 0.7 Παράγωγοι. Σύνθετες συναρτήσεις f x f x f x 0.7. f x f xf x 0.7. fx 0.7. fx fx ln f x f f x fx fx fx fx x x f f x f x f x e f x e 0.8 Παράγωγοι. Θεωρήματα. f, : ή 0.8. Θεώρημα Rolle. f, : ί, f 0 f f 0.8. Θεώρημα Lagrange (Θ.Μ.Τ.). f, : ή f f, f f, : ί 0.8. Θεώρημα Cauchy. g f,g, : ί g f,g, : ί f f f, g x 0 x, g g g 0.8. Θεώρημα του Taylor. f, : ί f, : ή, f f f f f, : ί

22 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 0.9 Ολοκληρώματα. Ορισμένα ολοκληρώματα f x dx : lim f 0.9. f x g x dx f x dx g x dx 0.9. f xdx f x dx 0.9. f x dx f x dx f x dx min f f x dx max f 0.9.6,, f x dx f xdx f x dx fxdx f f x f t dt f x gx f t dt f g x g x f x g x dx f x g x f x g x dx g g f g x g x dx f y dy f x dx 0.9. f

23 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 0.0 Ολοκληρώματα. Αόριστα Ολοκληρώματα. f x dx f x c dx x c dx ln x c x x x dx c xdx x c xdx x c dx x c x dx x c x x x e dx e c x x dx c ln Γεωμετρία.. Λόγοι.. Θεώρημα Θαλή: B A Α' Β' (ε) Δ Γ Γ' Δ' (ε) (ε) (ε) (η) (η)

24 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών... Όμοια Τρίγωνα:... Ορισμός: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B A Β' Γ Α' Γ'... Α Κριτήριο: ˆ ˆ ˆ ˆ (ισχύουν κυκλικά.)... Β Κριτήριο:... Γ Κριτήριο: ˆ ˆ (ισχύουν κυκλικά.).. Ίσα Τρίγωνα:... Ορισμός: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B A Β' Γ Α' Γ'... Α Κριτήριο:.... Β Κριτήριο: ˆ ˆ (ισχύουν κυκλικά.)... Γ Κριτήριο: ˆ ˆ (ισχύουν κυκλικά.) ˆ ˆ

25 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς. Μετρικές Σχέσεις σε ορθογώνια τρίγωνα. A υ α R μ α B Δ Κ=Μ Γ και. Πυθαγόρειο Θεώρημα Αν ˆ 60 ˆ 0 τότε. 5

26 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών.. Μετρικές Σχέσεις σε τυχαία τρίγωνα. A Δ α υ α δ α ρ Ο R μ α Κ Ε B Δ Ν Μ Γ.. :, :, : Πλευρές. : Ύψος. : Διάμεσος. : Εσωτερική Διχοτόμος. : Εξωτερική Διχοτόμος., Εγγεγραμμένος Κύκλος.,R Περιγεγραμμένος Κύκλος... : Ημιπερίμετρος..... Θεώρημα διχοτόμων. Πόρισμα Ι θεωρήματος διχοτόμων Πόρισμα ΙΙ θεωρήματος διχοτόμων. Πόρισμα ΙΙΙ θεωρήματος διχοτόμων. Πόρισμα ΙV θεωρήματος διχοτόμων... Τα Ε και Ν λέγονται αρμονικά συζυγή των Β και Γ. Τα Β και Γ λέγονται αρμονικά συζυγή των Ε και Ν...5 Τα Ε,Β,Ν,Γ λέγονται αρμονική τετράδα. 6

27 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς ˆ 90 ˆ 90. ο Θεώρημα Διαμέσων. ο Θεώρημα Διαμέσων. Εκτεταμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πόρισμα θεωρήματος διαμέσων. Εμβαδόν... Τύπος του Ήρωνα R. Πολύγωνα... Ορθογώνιο: Περίμετρος Εμβαδόν.. Παραλληλόγραμμο: Περίμετρος Εμβαδόν.. Τραπέζιο: Διάμεσος β ω υ β β α α Περίμετρος Εμβαδόν E Μ ω υ μ α Ν φ 7

28 Ηλίας Σκαρδανάς... Ρόμβος: Περίμετρος Εμβαδόν Τυπολόγιο Μαθηματικών. A δ B δ υ Δ Γ.5 Κανονικά Πολύγωνα.5. Κανονικό Τρίγωνο (Ισόπλευρο): Πλευρά R A Απόστημα R λ Κεντρική γωνία Γωνία ˆ 80 ˆ ˆ 0 B R ω Κ α φ Γ R Ύψος Εμβαδόν R.5. Κανονικό Τετράπλευρο (Τετράγωνο): Πλευρά R Απόστημα R A ω Δ Κεντρική γωνία Γωνία ˆ 80 ˆ 90 Εμβαδόν 60 ˆ 90 R B λ R α φ Γ 8

29 Τυπολόγιο Μαθηματικών..5. Κανονικό Εξάγωνο: Πλευρά 6 R Α Ηλίας Σκαρδανάς Ζ Απόστημα 6 R φ Κεντρική γωνία o 60 ˆ 60 6 o Β R ω K Ε Γωνία ˆ ˆ o o 80 0 λ 6 α6 Εμβαδόν ER Γ Δ.5. Κανονικό Οκτάγωνο: Πλευρά 8 R Θ Η Απόστημα 8 R A φ Ζ Κεντρική γωνία Γωνία ˆ ˆ o o 80 5 o 60 ˆ 5 8 o B R ω α λ 8 8 E Εμβαδόν E R Γ Δ.5.5 Κανονικό Δεκάγωνο: Πλευρά 5 R 0 Α Α φ Α 0 Α 9 Απόστημα Κεντρική γωνία Γωνία 0 ˆ ˆ 0 5 R o o 80 o 60 ˆ 6 0 o Α R K ω λ 0 α 0 Α Α 5 Α 6 Α 7 Α 8 Εμβαδόν E R 9

30 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..5.6 Κανονικό Δωδεκάγωνο: Πλευρά R Απόστημα R Κεντρική γωνία o 60 o ˆ 0 Γωνία o ˆ 80 ˆ 50 Εμβαδόν E R o.5.7 Κανονικό ν-γωνο: Κεντρική γωνία 60 ˆ rad Α ν Α ν- Πλευρά 80 R A φ ν Α ν- Απόστημα 80 R R ω ν Κ R Α λ ν α ν Γωνία ˆ 80 rad Α Α Περίμετρος Εμβαδόν 80 R 60 R 0

31 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς.5.8 Κανονικό ν-γωνο και ν-γωνο:.5.8. ˆ ˆ Α ν R A ν φ ν Κ Α R ω ν ω ν λ ν Α α ν α ν Α φ ν λ ν.5.9 Κύκλος: Α Α Μήκος κύκλου (Περιφέρεια): L R R Εμβαδόν κύκλου (Δίσκου): R.5.0 Κυκλικός τομέας τμήμα: Μήκος τόξου: S L R AB o 80 S L R o 80 Εμβαδόν Κυκλικού Τομέα: R. 60 R. 60 Α S φ Β φ Κ Γ ω S ω Δ Εμβαδόν Κυκλικού Τμήματος: R 80. o.5. Έλλειψη: Περίμετρος: Γ Μ A r r E E B Εμβαδόν: Δ

32 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..5. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο: Επιφάνεια: Όγκος: V γ α β.5. Πλάγιο Παραλλλεπίπεδο: Επιφάνεια: Ύψος Όγκος: V S θ υ α S υ γ υ α γ β υ β.5. Πρίσμα: Ύψος: Επιφάνεια: Το άθροισμα των εμβαδών των εδρών. λ υ λ Όγκος: V S φ S.5.5 Πυραμίδα: Επιφάνεια: S ii i Ο Όγκος: V S υ υ α S α α α.5.6 Κανονική Πυραμίδα: h Επιφάνεια: Ο Ύψος: h μ Όγκος: Sh λ υ φ α h S

33 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς.5.7 Κύλινδρος: Εμβαδόν Βάσης: S Παράπλευρη Επιφάνεια: Ολική Επιφάνεια: υ Όγκος: V ρ S.5.8 Πλάγιος Κύλινδρος: Ύψος: Εμβαδόν Βάσης: λ υ Παράπλευρη επιφάνεια: θ ρ Όγκος: V.5.9 Ορθός Κώνος: Ύψος: Εμβαδόν Bάσης: R υ λ Εμβαδόν Κωνικής Επιφάνειας: R R R R R θ Όγκος: V R.5.0 Κόλουρος Κώνος: Ύψος: R υ ρ λ Εμβαδόν βάσεων: R Εμβαδόν κωνικής Επιφάνειας: R R θ Όγκος: V R R.5. Σφαίρα: Εμβαδόν Επιφάνειας: Όγκος: R V R R

34 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..5. Σφαιρικό Τμήμα: Ακτίνα Βάσης: h R h R-h h ρ R Εμβαδόν Σφαιρικής Επιφάνειας: Rh R Όγκος: V h R h Αναλυτική Γεωμετρία. Διανύσματα.. Γενικά... Χαρακτηριστικά Διανύσματος x : α. Διεύθυνση. β. Φορά και γ. Μέτρο. Συμβολίζεται με x.. Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα λέγονται αυτά που έχουν την ίδια διεύθυνση... Ομόρροπα λέγονται τα συγγραμμικά διανύσματα που έχουν την ίδια φορά... Αντίρροπα λέγονται τα συγγραμμικά διανύσματα που έχουν αντίθετες φορές...5 Ίσα λέγονται τα διανύσματα που είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα...6 Αντίθετα λέγονται τα διανύσματα που είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα...7 Γωνία δύο διανυσμάτων και λέγεται η προσανατολισμένη γωνία τους, (όπως στο σχήμα). Ο β (a,ß) α Β Α 0, 60, 60,, 0 και α β, 80 γ

35 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς. Πρόσθεση διανυσμάτων... Το άθροισμα των διανυσμάτων και ορίζεται σαν το διάνυσμα που έχει, αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του δεύτερου, αν αυτά γίνουν διαδοχικά... Ιδιότητες αθροίσματος:...,, V Αντιμεταθετική....,,, V Προσεταιριστική V 0 0, V Ουδέτερο στοιχείο (Μηδενικό διάνυσμα). Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται ότι έχει οποιαδήποτε διεύθυνση, οποιαδήποτε φορά και μηδενικό μέτρο.... V, V 0 Συμμετρικό στοιχείο (Αντίθετο του διάνυσμα.. Αφαίρεση διανυσμάτων... : Ο β -β α-β α. Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό Ιδιότητες:...,,, V Επιμεριστική Ι...,,, V Επιμεριστική ΙΙ 5

36 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..5 Συστήματα Αναφοράς..5. Άξονας,i. Το ζεύγος που αποτελείται από το σημείο Ο και το διάνυσμα i ορίζουν την ευθεία που περνά από το Ο και είναι παράλληλη με το διάνυσμα i που λέγεται άξονας,i. To i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα.. Το x λέγεται τετμημένη του σημείου Μ. x.5. Αν, i x x i.5. Σύστημα αξόνων, i, j. Αν i j τότε ορίζονται δύο άξονες,i και,j που τέμνονται στο Ο. (Ορίζουν ένα επίπεδο). Οι δύο άξονες αποτελούν ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων..5.. Αν τότε το σύστημα λέγεται κανονικό..5.. Αν i j τότε το σύστημα λέγεται ορθογώνιο..5.. Αν i j και i j τότε το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό..5. Αν Μ σημείο του επιπέδου, i, j τότε x, y x i y j. Το x λέγεται τετμημένη του Μ και το y λέγεται τεταγμένη του Μ και αποτελούν τις συντεταγμένες του Μ..5.5 Συντεταγμένες διανύσματος, είναι οι συντεταγμένες του πέρατος Α, του διανύσματος, αν η αρχή του συμπέσει με τη αρχή των αξόνων. x y.5.6 Απόσταση Σημείων: d x x y y B A, B A.5.7 Μέτρο διανύσματος: d, x x y y B A B A y Ο y' y y y α Ο α x x x α Μ Α Μ 6

37 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς.6 Χρήσιμες Προτάσεις x AB y x y y α y β Α Β Ο.6. y.6. Κλίση AB x y x Ο x α x β Α y β Μ Β Β.6.5 x y 0 x y y α Α.6.6 Α, Β, Σ, συνευθειακά,.6.7 Α, Β, Σ, συνευθειακά,.6.8 Το 0 λέγεται γραμμικός συνδυασμός των και. Αν τότε τα,, 0 λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα και είναι συνεπίπεδα , : γραμμικώς ανεξάρτητα. Ο x α x β.6.0 G: βαρύκεντρο του τριγώνου G G G Εμβαδόν Τριγώνου: x y x y x y y γ y α y β y A B Γ x' Ο x α x β x γ x y' 7

38 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..7 Εσωτερικό γινόμενο., 0 0 : Ορισμός:.7. Ιδιότητες:.7..,, V xx yy.7..,,, V.7..5,,, * ,, V V , όπου.7..8,, V.7..9 x x και y y.7..0, x y x y οι συντελεστές διεύθυνσης των., Αναλυτική Γεωμετρία. Κωνικές Τομές.. Ευθεία. yy' (ε) (ε) y (ε) y 0 ω x 0 x x'x.. Παράλληλη με τον άξονα x x:.. Παράλληλη με τον άξονα yy :.. Πλάγια: : y y x x 0 0 : y y : x x, όπου η κλίση της ευθείας 8

39 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς.. Οριζόμενη από δύο σημεία Α, Β.: y y x x y x y x ή x y x y 0 x y y α y (0,β) A B y β x' Ο x α x β (α,0) x y'..5 Οριζόμενη από τις συντεταγμένες επί την αρχή: x y..6 Γενική μορφή: x y 0 με,, 0..7 Απόσταση d σημείου M(x,y) από ευθεία (ε) x y 0 : x y d,. Κύκλος. y B α (ε) A y 0 α y y Μ K -α Ο x α x x x 0 (η) -α 9

40 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών... Κύκλος (Ο,α) με κέντρο την αρχή των αξόνων:.. Εφαπτομένη (η): xx y y x y Κύκλος (Κ,α) με κέντρο τυχαίο σημείο: x x y y x x x x y y y y.. Εφαπτομένη (ε): Παραβολή... Ορισμοί: d, xx d, Ε : Εστία της παραβολής. (δ) : Διευθετούσα της παραβολής. Ο : Κορυφή της παραβολής... Εξίσωση: y px, p 0.. Αν η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον yy η εξίσωση γίνεται: x py.. Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Α(x,y) της παραβολής: y y p x x..5 Παρατηρήσεις:..5. Αν p 0 τότε η παραβολή y διευθετούσα της στο ο και ο τεταρτημόριο...5. Αν p 0 τότε η παραβολή x διευθετούσα της στο ο και ο τεταρτημόριο. px βρίσκεται στο ο και ο τεταρτημόριο και η py βρίσκεται στο ο και ο τεταρτημόριο και η 0

41 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς. Έλλειψη... Ορισμοί: σταθερό Ε, Ε : Εστίες της έλλειψης. Α,Α,Β,Β : Κορυφές της έλλειψης. ΑΑ : Μεγάλος άξονας της έλλειψης. ΒΒ : Μικρός άξονας της έλλειψης. ΕΕ : Εστιακή απόσταση της έλλειψης. ' : εκκεντρότητα της έλλειψης. ' Α'(-α,0) Ε'(-γ,0) Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν ίσες εκκεντρότητες... Παρατηρήσεις:... Αν το Μ συμπέσει με το Β παρατηρείται ότι... Αν τότε.. Εξίσωση: x y, όπου η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (Ο,α)... 0 η έλλειψη γίνεται πιο «στενόμακρη» Β(0,β) Β'(0,-β) Μ(x,y) E(γ,0) x x yy.. Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Ν(x,y) της έλλειψης: Α(α,0).5 Υπερβολή..5. Ορισμοί: σταθερή. Α,Α : Κορυφές της υπερβολής. ΕΕ : Εστιακή απόσταση της υπερβολής. ' Εκκεντρότητα της υπερβολής. ΑΑ : Κύριος ή Πρωτεύων άξονας της υπερβολής..5. Παρατήρηση: Αν ' τότε ' '.5. Εξίσωση: x y όπου.5. Οι ευθείες (ε) y x και (ε) y x λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής..5.5 Η υπερβολή με κορυφές τα Β και Β λέγεται συζυγής της πρώτης και ο πρωτεύων άξονας της λέγεται δευτερεύων άξονας της πρώτης..

42 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών..5.6 Το ορθογώνιο με κορυφές,,,,,,, λέγεται ορθογώνιο βάσης..5.7 Αν τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελούς..5.8 Η (ε): x λέγεται διευθετούσα της υπερβολής. x x yy.5.9 Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Ν(x,y) της υπερβολής:.

43 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ω ο ω rad ημω συνω εφω σφω 0 ο ο 0 ο ο 60 ο 75 ο 5 90 ο 05 ο ο 5 ο 50 ο ο ο π 0 0

44 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. ω ο ω rad ημω συνω εφω σφω 95 ο 0 ο ο 5 0 ο 55 ο 7 70 ο 85 ο 9 00 ο 5 5 ο 7 0 ο 6 5 ο ο π 0 0

45 Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς 5

46 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 6

47 7

48 Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών. 8