3x 4y 12. 3x 4y 10. 8x 2y 7 :

Transcript

1 . α. Σν ζύζηεκα 4y : έρεη 9 y 0 άξα είλαη αδύλαην ή έρεη άεηξεο ιύζεηο. Αιιά ην αξαάλσ ζύζηεκα γξάθεηαη: β. Σν αξαάλσ ζύζηεκα 4 D y,ην ννίν ξνθαλώο είλαη αδύλαην. 4y 0 είλαη αδύλαην, εεηδή νη εζείεο ν αξηζηάλνλ νη εμηζώζεηο ην είλαη αξάιιειεο ( νη εζείεο έρνλ ίδην ζληειεζηή δηεύζλζεο ι ). 4. α. Πξέεη ην ζύζηεκα ν ζα ξνθύςεη λα είλαη αδύλαην, άξα εηιέγνκε ηελ εμίζσζε 8 y. Δνκέλσο ξνθύηεη ην ζύζηεκα β. Σν αξαάλσ ζύζηεκα 8 y 7 :, ην ννίν ξνθαλώο είλαη αδύλαην. 8 y είλαη αδύλαην, εεηδή νη εζείεο ν αξηζηάλνλ νη εμηζώζεηο ην είλαη αξάιιειεο ( νη εζείεο έρνλ ίδην ζληειεζηή δηεύζλζεο ι 4).. Έζησ ε ειηθία ην Μάξθν θαη y ε ειηθία ην Βαζίιε, νόηε αό ηα δεδνκέλα, ξνθύηεη όηη: y 7 () θαη y ().

2 α. Πξνθαλώο νη, y είλαη ζεηηθνί ξεηνί αξηζκνί, αιιά αό ηηο ζρέζεηο () θαη () δελ κνξνύκε λα νινγίζνκε ηελ ειηθία ην θαζελόο, δηόηη ε ζρέζε () ανηειεί κία γξακκηθή εμίζσζε κε δύν αγλώζηνο, ελώ ε () δελ ανηειεί ηθαλό δεζκό ζε ζλδαζκό κε ηελ ()., y 4,, Γηα αξάδεηγκα, ζα κνξνύζε, y 5, ή όσο θαη άιινη ζλδηαζκνί. β. Αλ εηιένλ δνζεί ε ιεξνθνξία όηη ε δηαθνξά ησλ ειηθηώλ ηνο είλαη 5 ρξόληα, ξνθύηεη όηη y 5 () (εεηδή y). Δηιύνληαο ην ζύζηεκα ησλ γξακκηθώλ εμηζώζεσλ () θαη () έρνκε: 6 θαη y. Δνκέλσο ν Μάξθνο είλαη 6 εηώλ θαη ν Βαζίιεο εηώλ. 4. α. Έζησ y ι β ε εμίζσζε ηεο εζείαο (ε) ε ννία ηέκλεη ηνο άμνλεο θαη ζηα ζεκεία A,0 θαη yy B 0, αληίζηνηρα. Άξα : 0 ι β ι, νόηε ε εζεία (ε) έρεη εμίζσζε: ε : y. ι 0 β β Η εζεία (ε) έρεη ζληειεζηή δηεύζλζεο ν ι εθ45, άξα ε εμίζσζή ηεο είλαη ηεο κνξθήο y β. Αιιά ε εζεία (ε) ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν Γ(4,0), άξα 0 4β β 4, νόηε ε εζεία (ε) έρεη εμίζσζε ε: y 4. β. Οη ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ (ε) θαη (ε) ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην ζζηήκαηνο: y 4 y 4 y y 4 Άξα ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ (ε) θαη (ε) είλαη ην Γ,. 5. α. Αξθεί ε εζεία ν ζα εηιέμνκε λα δηέξρεηαη αν ην ζεκείν, θαη λα έρεη δηαθνξεηηθό ζληειεζηή δηεύζλζεο αό ηελ. Θα "εηιέμνκε" γηα ηηο αξακέηξνο α,β, γ ηηο ηηκέο α, β 0, γ, δειαδή ηελ εζεία κε εμίζσζε. Η ξνθαλώο δηέξρεηαη αν ην ζεκείν,, άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε. β. Θα εηιέμνκε γηα ηηο αξακέηξνο α,β, γ ηηο ηηκέο α, β, γ 0,

3 δειαδή ηελ εζεία κε εμίζσζε y 0, ε ννία είλαη αξάιιειε ηεο, άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. 6. α. Έζησ, y ν αξηζκόο ησλ δίθθισλ θαη ησλ ηεηξάηξνρσλ νρεκάησλ αληίζηνηρα. Δεηδή ην ζύλνιν ησλ δίθθισλ θαη ηεηξάηξνρσλ νρεκάησλ ν έρνλ αξθάξεη είλαη 80 είλαη y 80 ().Αιιά εεηδή ηα δίθθια έρνλ ζλνιηθά ηξνρνύο, ελώ ηα ηεηξάηξνρα 4y ηξνρνύο. Δίλαη 4y 700 ή y 50 (). y 80 ( ) y 80 0 β. y 50 y 50 y 50 Δνκέλσο έρνλ αξθάξεη 0 δίθθια θαη 50 ηεηξάηξνρα νρήκαηα. 7. α. Γηα ι είλαη y y 4 4y 6 y άξα ην ζύζηεκα γηα ι έρεη άεηξεο ιύζεηο ηεο κνξθήο, y θ, θ, θ Γηα, έρνκε y β. Γηα ι είλαη γ. Γηα ι 0 είλαη Άξα γηα ι 0 8. α. Οη εζείεο, άξα κηα ιύζε είλαη ε 4 y 4 y 6, y,. άξα ην ζύζηεκα γηα ι είλαη αδύλαην. y y 4 y 6 8 y y, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ, y, ε θαη ε είλαη αξάιιειεο, άξα ην ζύζηεκα,.. y ι y 6 είλαη αδύλαην, νόηε: D 0 0 ι 0 ι θαη αληηθαζηζηώληαο ι ι ηεο εμηζώζεηο ησλ εζεηώλ ξνθύηνλ νη εζείεο ε : y 6 ν είλαη αξάιιειεο. Άξα ε δεηνύκελε ηηκή είλαη ι. β. ε : y θαη.

4 4 γ. Γηα λα ηαηίδνληαη νη δν εζείεο ζα ξέεη ην ζύζηεκα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο, δειαδή: D 0 ι αληηθαζηζηώληαο ι λα ξνθύςεη ε ίδηα εζεία. Αιιά γηα ι ε εμίζσζε ηεο ε γίλεηαη ε : y θαη ε : y 6 είλαη αξάιιειεο. ε : y 6 θαη αό εξώηεκα α) νη εζείεο Άξα δελ άξρεη ηηκή ην ι ώζηε νη εζείεο λα ηαηίδνληαη. 9. α. i. Οη ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ ε θαη ε ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην ζζηήκαηνο : y 5 y 5 y 9 4y 4 y Άξα ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ ε θαη ε είλαη ην,. y 5 4 y 0 ii. Οκνίσο y 7 y 7 y Άξα ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ ε θαη ε είλαη ην,. β. Παξαηεξνύκε όηη νη ηξεηο εζείεο έρνλ θνηλό ζεκείν ην A,, άξα ξνθαλώο ην θνηλό ζεκείν ησλ ε,ε είλαη ζεκείν ηεο ε. 0. α. Έζησ νη ζεηξέο ην θάησ δηαδώκαηνο θαη y νη ζεηξέο ην άλσ δηαδώκαηνο, νόηε εεηδή ην ζύλνιν ησλ ζεηξώλ είλαη 5, έρνκε. y 5 Σεο εεηδή θάζε ζεηξά ην θάησ δηαδώκαηνο έρεη 4 θαζίζκαηα, θάζε ζεηξά ην άλσ έρεη. 6 θαζίζκαηα θαη ην ζύλνιν ησλ θαζηζκάησλ είλαη 74, έρνκε 4 6y 74 Άξα ην δεηνύκελν ζύζηεκα είλαη y 5 4 6y 74 y 5 5 y β. Δηιύνκε ην ζύζηεκα :. 4 6y y 6y 74 y Άξα ην θάησ δηάδσκα έρεη ζεηξέο θαη ην άλσ ζεηξέο.. α. Οη ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν Μ ζα ξνζδηνξηζζνύλ αό ηε ιύζε ην ζζηήκαηνο ησλ εμηζώζεσλ ησλ δύν εζεηώλ: D Dy Δίλαη D 5 0, άξα ην έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηελ:. ε : y 6 ε : y 6 D 9

5 5 D D y 9 9 9, y,,,. Άξα Μ,. D D β. Η εζεία αy α 5 δηέξρεηαη αό ην ζεκείν Μ,, αλ θαη κόλν αλ ε 5 5 εμίζσζή ηεο εαιεζεύεηαη αό ηεο ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν M, άξα. α. Α ηρόος 9 α α 5 7 α 5α 5 7α α Αξθεί ε εζεία ηεο κνξθήο α βy γ ν ζα εηιέμνκε λα δηέξρεηαη αό ην ζεκείν, 4 θαη λα έρεη δηαθνξεηηθό ζληειεζηή δηεύζλζεο αό ηελ εζεία κε εμίζσζε y 9. Θα «εηιέμνκε» γηα ηεο αξακέηξνο α,β, γ ηεο ηηκέο α, β, γ 7, δειαδή ηελ εζεία κε εμίζσζε y 7. Η εζεία κε εμίζσζε y 9 ξνθαλώο δηέξρεηαη αό ην ζεκείν, 4 άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε. α. Β ηρόος Δίλαη D β α, νόηε γηα λα έρεη ην ζύζηεκα κνλαδηθή ιύζε ξέεη. Αιιά ην δεύγνο, 4 D 0 β α () είλαη κνλαδηθή ιύζε ην ζζηήκαηνο, νόηε εαιεζεύεη ηελ δεύηεξε εμίζσζε (ξνθαλώο εαιεζεύεη θαη ηελ ξώηε εμίζσζε), άξα α 4β γ. Φξνληίδνληαο λα ηζρύεη ε ζρέζε α, β θαη έηζη ε δίλεη γ 7., εηιέγνκε.ρ. β. Θα εηιέμνκε γηα ηηο αξακέηξνο α,β, γ ηεο ηηκέο α, β, γ 0, δειαδή ηελ εζεία κε εμίζσζε y, ε ννία είλαη αξάιιειε ηεο, άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην.. α. Δίλαη Dβ α, νόηε γηα λα έρεη ην ζύζηεκα κνλαδηθή ιύζε ξέεη D 0 α β. Αιιά ην δεύγνο,5 είλαη κνλαδηθή ιύζε ην ζζηήκαηνο, νόηε εαιεζεύεη ηελ δεύηεξε εμίζσζε (ξνθαλώο εαιεζεύεη θαη ηελ ξώηε εμίζσζε), άξα α 5β γ

6 Φξνληίδνληαο λα ηζρύεη ε ζρέζε, εηιέγνκε.ρ. α, β θαη έηζη ε δίλεη γ 4. 6 β. Γηα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο ην ζύζηεκα ξέεη D 0 α β. Δηιέγνκε α, β, άξα ην ζύζηεκα γίλεηαη: y y γ, νόηε ξνθαλώο ξέεη γ. 4. α. Δίλαη: ι D ι ι ι ι ι ι D ι ι ι ι ι ι ι ι Dy ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι β. Αλ ι 0 θαη ι είλαη D 0, άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηελ D D y ι ι ι, y,,, D D ιι ι ι ι 5. α. Έζησ, y, z (0, ) νη ειηθίεο αηέξα, κεηέξαο θαη αηδηνύ αληίζηνηρα, νόηε ζύκθσλα κε ηελ όζεζε είλαη : β. Έρνκε y z y z z z y z 5 y z 5 y z y z y z z z z y z 5 y z 45 y z 5

7 y z y z y 45 z z 55 z 9z z 45 z 5 z 45 Δνκέλσο ν αηέξαο είλαη 55, ε κεηέξα 45 θαη ην αηδί 5 εηώλ. 6. α. Οη νξίδνζεο D, D, D y ην ζζηήκαηνο είλαη: ι D 5 (ι 4) 9 ι (ι )(ι ) ι 5 ι D 5 (ι ) 9 ι (ι ) 5 Dy (ι ) 9 ι (ι ) ι i. Αλ D 0 ι ι 0 ι θαη ι, ii. Αλ ι, ην ζύζηεκα γίλεηαη: iii. Αλ ι, ην ζύζηεκα γίλεηαη: 7 ηόηε νη εζείεο ηέκλνληαη, έζησ ζε έλα ζεκείν Α. 5y, 5y δειαδή αλ ι νη εζείεο ηαηίδνληαη. y 5 5y 5 5 5y 5 5y δειαδή αλ ινη εζείεο είλαη αξάιιειεο. β. Οη ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν Α είλαη: D D y, y δειαδή Α, D ι D ι ι ι. γ. Γηα λα αλήθεη ην ζεκείν Α ζηελ εζεία κε εμίζσζε y ξέεη θαη αξθεί νη ζληεηαγκέλεο ην λα εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζε ηεο εζείαο. Αό ην εξώηεκα β) έρνκε: 6 ι 9 ι 0 ι ι 7. α. Οη νξίδνζεο D, D, D y ην ζζηήκαηνο είλαη: α D (α )(α ) α α 4 (α )(α ) α α D (α ) α 6 (α ) Dy (α ) 9 α 6 (α ) α Αλ D 0 (α )(α ) 0 α θαη α, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ :,.

8 y ( 0, y 0),,, 8 D D (α ) (α ) D D (α )(α ) (α )(α ) (α ) (α ) y. νόηε άκεζα ξνθύηεη όηη : 0 0 β. i. Αλ α, ην ζύζηεκα γίλεηαη : ( ) y y y y ( )y y θαη ενκέλσο έρεη άεηξεο ιύζεηο, ηεο κνξθήο : (, y) ( k,k), k R. ii. Αλ α, ην ζύζηεκα γίλεηαη : ( ) y y y 0 0y, ( )y y y y ην ννίν είλαη αδύλαην. γ. Γηα α= ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε θαη ενκέλσο νη αληίζηνηρεο εζείεο έρνλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν, δειαδή ηέκλνληαη. Γηα α= ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο θαη ενκέλσο νη αληίζηνηρεο εζείεο έρνλ άεηξα θνηλά ζεκεία, νόηε ζκίηνλ. Γηα α ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην θαη ενκέλσο νη αληίζηνηρεο εζείεο δελ έρνλ θαλέλα θνηλό ζεκείν,νόηε είλαη αξάιιειεο. 8. α. Οη νξίδνζεο D, D, D y ην ζζηήκαηνο είλαη: D ι D ι ι ι ι ι ι D ι y ι i. Αλ D 0 ι 0 ι, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ : D D y ι ι ι ι, y,,, D D ι ι ι ι ii. Αλ D 0 ι 0 ι, ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: β. Αλ ι Αιιά 0, γ. Αλ ι y y y y, ηόηε ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη:, ξνθαλώο αδύλαην., y,, 0. o o θαη εεηδή ζλ o θαη εκ 0 yo, ε δεηνύκελε γσλία είλαη ζ=., ηόηε ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη:, y,, Έζησ όηη άξρεη γσλία σ ηέηνηα ώζηε, ζλσ θαη εκσ y,

9 4 5 νόηε : εκ σ ζλ σ, ν είλαη άηνν Δνκέλσο δελ άξρεη δελ άξρεη γσλία σ, ηέηνηα ώζηε 9. α. Έρνκε 9 ζλσ θαη y εκσ. y y y y y y y y y y 0 0 ή y 0 Οόηε ην ζύζηεκα είλαη ηζνδύλακν κε ηα ζζηήκαηα y y 0 0 Δνκέλσο νη ιύζεηο είλαη, y 0, ή, y,0 β. Αό ηελ ζρέζε ζλσ εκσ θαη ηελ ηαηόηεηα ζλσ εκσ ζλσ,εκσ y y ζλ σ εκ σ y ή y y 0 y 0. ζλ σεκ σ, έρνκε: κε, y Αιιά ζύκθσλα κε ην α) εξώηεκα είλαη:, y 0, ή, y,0 δεθηέο. Δνκέλσο έρνκε : ζλσ 0 θαη εκσ θαη εεηδή 0 σ, είλαη σ ή ζλσ θαη εκσ 0 θαη εεηδή 0 σ, είλαη σ. 0. α. Δίλαη 4 D 6 ( 4) 4 6 0, 6 ενκέλσο ην ζύζηεκα έρεη ιύζε, γηα θάζε ι. ι 4 β. Δίλαη D 6( ι) ( 4)(ι ) ι 4 ( ι 7) ι 6 ι Dy (ι ) ( ι) ι 4 ι ι ι ι D ( ι 7) 7 ι D 6 8 θαη y D (ι ) D 6 νόηε y., ν είλαη γ. Οη εζείεο 4y ι θαη 6y ι ηέκλνληαη (αό εξώηεκα β) ζην ζεκείν 7 ι ι Α,. 8 6 Δνκέλσο ε εζεία 6 6y 9 δηέξρεηαη αό ην Α, αλ θαη κόλν αλ νη ζληεηαγκέλεο 7 ι (ι ) ην εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζή ηεο : (7 ι) (ι ) ι ι 9 ι 7 9 ι.

10 0. α. Οη εζείεο ε θαη ε ηέκλνληαη αλ θαη κόλν αλ ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεώλ ι + y = ηνο + ιy = ι () έρεη κνλαδηθή ιύζε. Δίλαη: ι D = = ι ι = ι = (ι + ) (ι ). ι Οόηε γηα λα έρεη ην ζύζηεκα κνλαδηθή ιύζε ξέεη: D 0 (ι + ) (ι ) 0 ι + 0 θαη ι 0 ι θαη ι Γειαδή, νη εζείεο ηέκλνληαη όηαλ ι θαη ι θαη νη ζληεηαγκέλεο ην θνηλνύ ηνο ζεκείν ζα είλαη ε ιύζε (, y) ην ζζηήκαηνο, όν D D y = θαη y =. D D Δίλαη: ι D = = ι ι = ι( ι) θαη D y = = ι = (ι ) (ι + ι + ) ι ι ι D ι( ι) ι(ι ) ι D (ι + ) (ι ) (ι + ) (ι ) ι + άξα, = = = = D y (ι ) (ι + ι + ) ι + ι + θαη y = = = D (ι ) (ι + ) ι + Σειηθά Μ, ι + ι + ι ι + ι + ην ζεκείν ηνκήο ησλ εζεηώλ ε θαη ε. β. Οη εζείεο ε θαη ε είλαη αξάιιειεο αλ θαη κόλν αλ ην ζύζηεκα () είλαη αδύλαην, δειαδή D = 0 ι = ή ι = D 0 ι( ι) 0 ι 0 θαη ι D y 0 (ι ) (ι + ι + ) 0 ι D = 0 θαη {D 0 ή D y 0} αθνύ ην ηξηώλκν ι +ι + έρεη δηαθξίλνζα Γ= <0, άξα ι +ι+ 0 γηα θάζε ιr. λεώο γηα ι = είλαη D = 0 θαη D = = D y 0 θαη ε//ε. γ. Αλ νη εζείεο ε θαη ε ζκίηνλ, ηόηε ην () έρεη άεηξεο ιύζεηο. Οόηε, Πξάγκαηη, γηα ι = ην () γίλεηαη: ιύζεηο, άξα ε ε. Έζησ D = D = D y = 0 ι = + y = ν είλαη αόξηζην, δειαδή έρεη άεηξεο + y =

11 Γηα ι = είλαη ε : ι + ι y = ι θαη ε : + ιy = ι ε : + y = 0 + y = 0, ε : + y = + y = ν είλαη ξνθαλώο αδύλαην ζύζηεκα αθνύ ηα ξώηα κέιε ησλ εμηζώζεσλ είλαη ίδηα ελώ ηα δεύηεξα κέιε είλαη άληζα, άξα ε // ε.. Έρνκε i. + y = (ε ) y = (ε ) Γηα λα ζρεδηάζνκε ηηο εζείεο ε θαη ε ξνδηνξίδνκε δύν ζεκεία ηνο. (ε ): γηα = έρνκε y = Άξα ε (ε ) δηέξρεηαη αό γηα = έρνκε y = 5 ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, 5) (ε ): γηα = έρνκε y = Άξα ε (ε ) δηέξρεηαη αό γηα = 5 έρνκε y = ηα ζεκεία Γ(, ) θαη Γ(, 5) Σηο ζρεδηάδνκε ζην θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζληεηαγκέλσλ: ΥΗΜΑ Παξαηεξνύκε όηη νη εζείεο έρνλ έλα κόλν θνηλό ζεκείν ην Α(, ) νόηε ην ζύζηεκα έρεη κηα ιύζε ηελ (, y) = (, ). ii.,5 y = 6 + y = Γηα λα ζρεδηάζνκε ηηο εζείεο ε θαη ε ξνδηνξίδνκε δύν ζεκεία ηνο. (ε ): γηα = 0 έρνκε y = Άξα ε (ε ) δηέξρεηαη αό 9 9 γηα = έρνκε y = ηα ζεκεία Α(0, ) θαη Β(, ) 4 4 (ε ): γηα = έρνκε y = Άξα ε (ε ) δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Γ(, ) θαη Γ(, ) γηα = έρνκε y = Σηο ζρεδηάδνκε: ΥΗΜΑ Παξαηεξνύκε όηη νη εζείεο έρνλ έλα κόλν θνηλό ζεκείν κε ζληεηαγκέλεο (, y) =, ην ννίν ανηειεί θαη ηε ιύζε ην ζζηήκαηνο.

12 . i. Η εμίζσζε εζείαο δίλεηαη αό ηνλ ηύν y y 0 = ι( 0 ) (), εαιεζεύεηαη y y αό ην ζεκείν Α( 0, y 0 ) θαη ι = (), ν ζληειεζηήο δηεύζλζεο ηεο εζείαο ν δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α(, y ), B(, y ) κε. Έηζη γηα ηα ζεκεία ν θαίλνληαη ζηηο εηθόλεο ζα έρνκε: i) (ε ) Α(0, 0) θαη Β(, ) (ε ) Γ(, 0), Γ(0, ), Δ(, ) ύκθσλα κε ηνο ηύνο (), () ξνθύηνλ: 0 y 0 = ( 0) y = (ε ) 0 y = = θαη (): y = = θαη y = ( ) y = y = ( ) y = (ε ) 0 Άξα ε ιύζε ησλ (ε ), (ε ) είλαη ε (, y) = (, ). ii. Γηα ην δεύηεξν ζρήκα (ε ) Α(0, ), Β(, 0) (ε 4 ) Γ(0, 4), Γ(, 0) ύκθσλα κε ηνο ηύνο (), () ζα έρνκε: 0 y = ( 0) y = + (ε ) y = + + = (): y = 4 = 0 4 y 4 = ( 0) y = 4 (ε 4) θαη άξα y = 0 Άξα ε ιύζε ησλ (ε ), (ε 4 ) είλαη ε (, y) = (, ). 4. Έρνκε 7 5(y + ) = 8( ) + 4y i. 0( + ) (y ) = ( + 5) + 6y Κάλνληαο ηηο ξάμεηο, ην ζύζηεκα αιννηείηαη σο εμήο: + 9y =, ρξεζηκννηώληαο ηε κέζνδν αληίζεησλ ζληειεζηώλ γίλεηαη: + 8y = 6 + 9y = 8y = + 8y = 6 + 9y = 6 Δνκέλσο ην ζύζηεκα είλαη αδύναηο. ( + y) = ( y) + 0 ii. 4 y = 4(6y ) + ξνζζέησ θαηά κέιε 0 + 0y = 8

13 Κάλνληαο ηηο ξάμεηο ζα έρνκε: 4 + 6y = 6 9y + 0 5y = 0 4 y = 4y 8 + 7y = 5y = y = y = 8 + 8y = ξνζζέησ θαηά κέιε θαη αληηθαζηζηώ ζε κηα αό ηηο δύν εμηζώζεηο θαη βξίζθσ 5.. Έρνκε ρξεζηκννηώ ηε κέζνδν αληίζεησλ ζληειεζηώλ 4y = 4 y = 5 =. + y = 0 y + = 0 + y = 0 = 4 y 0, y 0 + 5y = y = 4 + 5y = + 5y = 6. Έρνκε 0,75 = 0,5y + y = 4 4 εθαξκόδoκε κέζνδν y = y = 8 αληίζεησλ ζληειεζηώλ y = 6 y = y = y = 8 + y = άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. 7. Έρνκε 5 = 4 y = y Παξαηεξνύκε όηη νη εμηζώζεηο ην ζζηήκαηνο νξίδνληαη όηαλ 0 θαη y 0. Σν ζύζηεκα ν καο δίλεηαη δελ είλαη γξακκηθό. Γηα λα ην κεηαηξέςνκε ζε γξακκηθό ζέηνκε = α θαη = β νόηε γίλεηαη: y

14 4 α 5β = 4 αληίζεηνη +7 α 5β = 4 4α 5β = 8 7α + 5β = ζληειεζηέο 7α + 5β = 4α 0β = (+) θαηά κέιε β = άξα y = = 65 6 θαη κε αληηθαηάζηαζε ξνθύηεη όηη α = άξα =. Δνκέλσο ε ιύζε ην αξρηθνύ ζζηήκαηνο είλαη: 8. Έρνκε 65 5 (, y) =, =,. 6 i. ( ) y = + ( + )y = ( ) ( ) D = = 0, ( ) ( + ) άξα αλακέλεηαη ην ζύζηεκα λα είλαη είηε αδύλαην είηε λα έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ. Υξεζηκννηώληαο ηε κέζνδν αληίζεησλ ζληειεζηώλ + ( ) y = ( ) y = ( ) ( ) + ( + )y= ( ) + ( ) )y = ( ) (+) θαηά κέιε 0y + 0 = 0 άξα ην ζύζηεκα είλαη αόξηζην δειαδή έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ ii. + ( 5 + )y = 5 ( 5 ) y = 5 ( 5 + ) D = = 0, ( 5 ) άξα αλακέλεηαη ην ζύζηεκα λα είλαη είηε αδύλαην είηε αόξηζην. Λύλνληαο θαη άιη κε ηε κέζνδν αληίζεησλ ζληειεζηώλ ξνζζέησ θαηά κέιε ( 5 ) + ( 5 + )y = 5 ( 5 ) + 4y = 5( 5 ) + ( 5 ) y = 5 +( 5 ) 4y = y = 7 5 5, άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην, δειαδή δελ έρεη ιύζεηο. 9. Έρνκε

15 5 i. 0 y 0 y = + 4y = 0 + 4y = 0 D = = 4 0 άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ (, y) κε 4 D Dy = θαη y =. D y ii. 7 y = 5 7 y = 5 4y = y = 0 7 D = = 8 8 = άξα ην ζύζηεκα είλαη ή αδύλαην ή έρεη άεηξεο ιύζεηο. Δίζεο D = 0 θαη Dy = 0 άξα ζα έρεη άεηξεο ιύζεηο. Όλησο αξαηεξνύκε όηη δηαηξώληαο ηε δεύηεξε εμίζσζε κε, νη εμηζώζεηο ζκίηνλ άξα ην ζύζηεκα έρεη κηα κόλν εμίζσζε ηεο κνξθήο 7 y = 5 άξα έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ ηεο κνξθήο iii. 7 5 y = δειαδή ην δεύγνο y = y. Παξαηεξνύκε όηη D = = 0 = 4 άεηξεο ιύζεηο. 7θ 5 θ, Όκσο εεηδή D 0 θαη Dy 0 άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. 0. Έρνκε γηα θ R. άξα είλαη ή αδύλαην ή έρεη D = = + 4 = 0, D y = = 4 = ιy = ι. + ι y = ι Τνινγίδνκε ηα D, D, D y ι D = = ι + ι = ι(ι ) ι ι ι D = = ι (ι ) ι = ι (ι ) ι ι ι D y = = ι + (ι ) = (ι ) ι Γηα D 0, γηα ι 0 θαη ι ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ην δεύγνο (, y) κε

16 6 D Dy = θαη y =. D D ι (ι ) (ι ) = = θαη y = = άξα (, y) = ι,. ι(ι ) ι(ι ) ι ι Γηα ι = 0 ηόηε D = 0, D = 0, D y 0 άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. Γηα ι = ηόηε D = 0, D = 0, D y = 0 άξα ην ζύζηεκα είλαη αόξηζην. + 0y = = άξα αδύλαην Αληηθαζηζηώ ι = 0 ζην () θαη γίλεηαη. + 0y = 0 = 0 όσο αλαθέξακε + y = + y = Αληηθαζηζηώ ι = ζην () θαη γίλεηαη + 4y = (:) + y = Θέηνκε y = θ R άξα νη άεηξεο ιύζεηο ην ζζηήκαηνο ζα είλαη: (, y) = (θ, θ).. Έρνκε άεηξεο. ιύζεηο (ι + ) + ιy = + ( ι)y = ι + ι D = = (ι + ) ( ι) ι = (ι + ) (ι ) ι = ι = (ι + 4) ι = ι + 4 ι = (ι + ι 4) = (ι ) (ι + 4) ι D = = ι ι = ι = ( ι) ι ι + D y = = ι + = ι Αλ D 0 (ι ) (ι + 4) 0 ι θαη ι 4 ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: D ( ι) ( ι) D (ι ) (ι + 4) ( ι) (ι + 4) ι + 4 = = = = Dy ι y = = = D (ι ) (ι + 4) ι + 4 Αλ ι = ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: + y = + y= y = ν ζεκαίλεη όηη έρνκε άεηξεο ιύζεηο ν είλαη + y = όια ηα δεύγε ηεο κνξθήο (θ, θ), θ R. Αλ ι = 4 ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη:

17 7 + y = 4y = ν είλαη αδύλαην. + 6y = + y =. Έρνκε ι D = = 4ι ι = ι(4 ι) ι 4ι ι + ιy = ι + 4ιy = ι + 4 D = = 8ι ι(ι + 4) = 8ι ι 4ι = ι + 4ι = ι( ι + 4) ι + 4 4ι D y = = ι + 4 ι = ι + 4 ι ι + 4 Αλ D 0 ι(4 ι) 0 ι 0 θαη ι 4 ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: D D ι( ι + 4)) ι + 4 y ι + 4 = = =, y = = D ι(4 ι) 4 ι D ι(4 ι) Αλ ι = 0 ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: = 0 ν είλαη αδύλαην. 0 = 4 Αλ ι = 4 ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: + 4y = + 4y = ν είλαη αδύλαην = 6 + 4y = 4. Έρνκε ι D = = 4 ι = ( ι) ( + ι) ι 4 ι + ιy = 4 ι + y = ι D = = 8 ι = ι = ( ι) ( + ι + ι ) = ( ι) (4 + ι + ι ) ι 4 D y = = ι 4ι = ι(ι ) = ι( ι) ι ι Αλ D 0 ( ι) ( + ι) 0 ι 0, + ι 0 ι, ι, ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε:

18 Αλ D = 0 ι = ή ι = ηόηε για λ = ηο ζύζηημα γίνεηαι: 8 D ( ι) (4 + ι + ι ) 4 + ι + ι D ( ι) ( + ι) + ι = = = D y ι( ι) ι y = = = D ( ι) ( + ι) + ι + y = 4 + y = 4 = 4 y = y + y = 4 δειαδή έρεη άεηξεο ιύζεηο ηα δεύγε (, y) = ( y, y), y R για λ = ηο ζύζηημα γίνεηαι: 4. Έρνκε Τνινγίδνκε D, D, D y. (ι + 4) (ι + ) y = 4 y = 4 ν είλαη αδύλαην. + y = 4 y = 4 (ι + 4) + (ι + )y = ι (ι + 7) + (5ι + )y = ι + D = = (ι + 4) (5ι + ) (ι + ) (ι + 7) = ι + 4ι (ι + 7) (5ι + ) (ι ) (ι + ) D = = (ι ) (5ι + ) (ι + ) (ι + ) = ι 8ι (ι + ) (5ι + ) (ι + 4) ( ι ) D y = = (ι + 4) (ι + ) (ι + 7) (ι ) = 7ι 8ι + 5 (ι + 7) (ι + ) i. Γηα λα έρεη κηα ιύζε ζα ξέεη D 0. Βξίζθνκε ηηο ηηκέο ην ι ν κεδελίδνλ ην D θαη είλαη γηα D = 0 ι + 4ι = 0 (ι ) (ι ) = 0. ι= ή ι = Άξα ην ζύζηεκα έρεη κηα ιύζε γηα D 0 ι θαη ι ηελ D ι 8ι D 7ι 8ι + 5 D ι + 4ι D ι + 4ι y = = θαη y = =. Όηαλ καο δεηνύλ λα ξνζδηνξίζνκε ηα (, y) ηόηε αξαγνληννηνύκε ηα ηξηώλκα ώζηελα βξνύκε αιννηεκέλεο ιύζεηο. ii. Γηα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο ξέεη D = 0 θαη D = 0, D y = 0. Γηα ι= D = 0, D y = 0 άξα ζα έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ.

19 9 5 + y = 5+ y = Σν () γίλεηαη άξα άεηξεο ιύζεηο y = 4 (:) 5 + y = θ Έζησ y = θ R θαη ηηο ξνζδηνξίδσ αλ δεηνύληαη, σο δεύγνο, θ. 5 iii. Γηα λα είλαη αδύλαην ζα ξέεη όηαλ D = 0 ηόηε D 0 ή Dy y = 8 Πξάγκαηη γηα ι =, D 0 θαη D y 0 θαη ην ζύζηεκα γίλεηαη 6 + 6y = 8 ν όλησο είλαη αδύλαην εθόζνλ ηα κέιε είλαη ίζα, ελώ ηα ξώηα κέιε δελ είλαη. Με αθαίξεζε θαηά κέιε γίλεηαη 9 9y = 0 = y θαη αληηθαζηζηώληαο ζε κηα εθ ησλ δύν εαιεζεύνκε όηη είλαη αδύλαην δηόηη ξνθύηεη 0y = Έρνκε 5y = 8 + 5y = 8 α 4 + 0y = 0 + 0y = α + 4 Τνινγίδνκε ηα D, D, D y D = = 0, D = = 00 0α 0 α D y = = α + 0 α + 4 i. Σν () έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ όηαλ D = 0 θαη D = 0, D y = 0 άξα α = 0. ii. Σν () είλαη αδύλαην όηαλ D = 0 θαη D 0 ή Dy 0 άξα όηαλ α Έρνκε ι + y = + (ι + )y = Γηα λα είλαη αδύλαην ην () ξέεη D = 0 θαη D 0 ή Dy 0. ι D = = ι +. Γηα D = 0 ηόηε ι = ή ι = +. ι + ι D = = ι + 5 θαη D y = = ι 6 (ι + ) Παξαηεξνύκε όηη θαη γηα λ = θαη γηα λ = +, D 0 θαη D y 0. Άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην γηα ι = θαη ι = +.

20 ι 0 D = = ι +. Γηα D = 0 ηόηε ι = ή ι = +. ι + ι D = = ι + 5 θαη D y = = ι 6 (ι + ) + y = y = Πξάγκαηη γηα ι = y = y = αδύλαην = 7. Έρνκε + y = + y = θαη γηα ι = + = + y = (:) + y = αδύλαην + y = + (ι 8)y = 6 ι Γηα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο ξέεη D = 0 θαη D = 0, D y = 0. Τνινγίδνκε ην D = = ι 9 = (ι ) ( ι + ). ι 8 Αλ D = 0 ηόηε ι = ή ι =. Γηα ι = ην () γξάθεηαη: + y = + y = έρεη άεηξν ιήζνο ιύζεσλ. Θέηνκε y = θ R άξα ην άεηξν ιήζνο ιύζεσλ ζα είλαη ηεο κνξθήο ( θ, θ) θαη D = = ι όν γηα ι = D = 0 ξάγκαηη 6 ι ι 8 θαη D y = = ι όν γηα ι = D y = 0 6 ι γηα ι = ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην, γηαηί D = 0 θαη D y 0 θαη D 0. άεηξεο ιύζεηο γηα ι = 8. Γηα λα είλαη ηα ζζηήκαηα ( ) θαη ( ) ζγρξόλσο αδύλαηα ξέεη θαη αξρήλ: ελώ ι 0κ ι (κ + ) D = = 0 θαη D = = 0 4 (D νξίδνζα ζληειεζηώλ ν ζζη., D νξίδνζα ζληειεζηώλ ν ζζη.). 4(ι ) 0κ = 0 ι 5κ = 0 ι 5κ = Γειαδή: 6(ι ) + (κ + ) = 0 ι + κ + 5 = 0 ι + κ = 5 (κ = θαη ι = ). Γηα κ = θαη ι =, είλαη όκσο:

21 9. Έρνκε 0κ 0 ( ): D = = = 50 = (κ + ) 7 ( ): D = = = α y = β i. όν α, β, γ R. + αy = γ Τνινγίδνκε ην D. α D = = α +, α εθόζνλ D = α + 0 άξα ην ζύζηεκα έρεη κηα θαη κνλαδηθή ιύζε ην δεύγνο ii. α + αy =, + y = α Τνινγίδνκε ην D. όν α R. α α D = = α α = 0, D D y (, y) =,. D D άξα αλακέλεηαη λα είλαη είηε αδύλαην είηε αόξηζην. α α D = = α + 0 θαη D y= = (α + ) 0 α α άξα ην ζύζηεκα δελ έρεη θακία ιύζε, είλαη αδύλαην. 40. Τνινγίδνκε ην ι ι D = = (ι ) (ι ) ι = λ 6λ +. ι Γ = 6 4= 4, ι, = = = 6 Άξα αλ D 0 ηόηε ξέεη ι + 6 θαη ι 6 θαη ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηεο κνξθήο D D y (, y) =,. D D 5ι+ 7 ι D = = (5ι + 7) (ι ) ι(ι + ) = 5ι 5ι + 7ι ι ι ι + ι = ι 9ι ι 5ι + 7 D y = = (ι ) (ι + ) (5ι + 7) = ι + ι ι 0ι 4 = ι +

22 = ι ι 5 = (ι 4ι 5) D ι 9ι D (ι 4ι 5) D ι 6ι + D ι 6ι + y = =, y = = Δθόζνλ y = άξα αληηθαζηζηώληαο θαη y ξνθύηεη: ι 9ι (ι 4ι 5) ξέεη ι 6ι + 0 =. ι 6ι + δειαδή ι 6 Δνκέλσο ι 9ι ι + ι + 5 = ι ι = 6 5ι ι = 0 ι 5ι + = 0 (ι 5ι + 4) = 0 ι 5ι + 4= = ή 5 9 = Γ = 9 > 0. ι, = = 5 Δνκέλσο ξέεη ην ι = 4 ή ι = ώζηε ην (, y) λα είλαη ιύζε ην ζζηήκαηνο θαη λα ιεξείηαη ε εμίζσζε y =. (Μνξνύκε λα εαιεζεύζνκε σο εμήο): Γηα ι = ην () γίλεηαη θαη ηθαλννηνύλ ηε ζλζήθε y =. Γηα ι = 4 ην () γίλεηαη ννίεο άιη ηθαλννηνύλ ηε ζλζήθε y =. 4. Έρνκε 0 + y = y = y = y = 4 y = 4 = 4 + 4y = 7 ιύλνληάο ην ξνθύηεη y = θαη = 5 νη + y = θ (ι θ)y = θ + ι θ + ι (ι θ)y = ι θ 6 (ι θ) = θ + ι 6θ ι + θ = θ + ι θ + ι 6 (ι θ) = ι (θ + ι) ι + θ = ι 6θ ι = 0 6θ ι = 0 6θ ι = 0 5θ + ι = θ + ι ι + θ ι 5θ ι θ = θαη 6 ι = 0 ι = 6 ι = αληηθαζηζηνύκε ηηο ηηκέο ησλ θ, ι ν βξήθα ζην αξρηθό ζύζηεκα νόηε: ( )y = + y = 4 y = 4 + ( )y = 4y = 8 y = 4 y = 4 =4 + y,

23 δειαδή ην αξρηθό ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο ηα δεύγε ηεο κνξθήο: (, y)=(4+y, y) R. 4. Γηα λα έρεη κνλαδηθή ιύζε ξέεη ην D 0. Δθόζνλ ε ιύζε είλαη (, y) = (, ) αληηθαζηζηώ ζην ζύζηεκα θαη ζα γίλεη θ + θ = 0 θ(θ + ) = 0 θ = 0 ή θ = ι = 0 ι = 0 ι = 0 νη ηηκέο αηέο όλησο δελ κεδελίδνλ ην D ην ννίν είλαη (θ + ) (θ + ) D = = (θ + ) (5 ι) + (ι ) (θ + ). (ι ) (5 ι) Γειαδή D 0 γηα θ = 0 θαη ι = 0 θαη D 0 γηα θ = θαη ι = 0 νόηε νη ηηκέο είλαη ανδεθηέοθαη δίλνλ ηε κνλαδηθή ιύζε (, y) =(, ). 4. Έρνκε (ι + ) + 8y = 4ι ι + (ι + )y = ι i. Γηα λα έρεη ην ζύζηεκα κνλαδηθή ιύζε ξέεη D 0 θαη ηόηε D D y = θαη y =. D D (ι + ) 8 D = = (ι + ) (ι + ) 8ι = ι + ι +ι + 8ι = ι 4ι + ι (ι + ) Πξέεη ι 4ι + 0, νη ιύζεηο ην ηξησλύκν είλαη ι =, ι =. Δνκέλσο ξέεη ι θαη ι γηα λα έρεη ην ζύζηεκακνλαδηθή ιύζε. ii. Πξέεη D 0 θαη ε ιύζε ( 0, y 0 ) λα ηθαλννηεί ηελ 0 + y 0 =. 4ι 8 D = = 4ι(ι + ) 8(ι ) = 4ι ι + 8 (ι ) (ι + ) (ι + ) 4ι D y = = (ι + ) (ι ) 4ι = ι ι + ι 4ι = ι ι Η ζρέζε 0 + y 0 = γίλεηαη = ι + ι. D 4ι ι + 8 Dy ι + ι 0 = =, y 0 = =. D ι 4ι + D ι 4ι + 4ι ι + 8 ι + ι = 4ι ι + 8 ι + ι = ι 4ι + ι 4ι+ 0 = ι 4ι + ι 6ι + 4 = 0 6 Γ = 6 = 4 > 0, ι, = = ι =, ι = 4

24 4 όν ι = ανξξίηεηαη γηαηί ξέεη D 0 άξα ι. Δνκέλσο ε κόλε ανδεθηή ηηκή είλαη ε λ =. iii. Γηα λα κελ έρεη θακία ιύζε ξέεη D= 0 θαη D 0 ή D y 0. Γηα ι = D 0 θαη D y 0 άξα αδύλαην, ενκέλσο δελ έρεη θακία ιύζε. Όλησο γηα ι = ην () γίλεηαη 4 + 8y = + 6y = 8 + y = + 6y = y =, άξα δελ έρεη θακία ιύζε. + 6y = 8 6y = 8 iv. Γηα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο ξέεη D= 0 θαη D = 0, D y = 0. Γηα ι = D = 0, D y = 0 άξα ζα είλαη αόξηζην. Όλησο γηα ι = ην () γίλεηαη + 8y = 4 (:) + 4y =. + 4y = + 4y = Θέησ y = θ R θαη ενκέλσο ε κνξθή ησλ άεηξσλ ιύζεσλ ζα είλαη ην δεύγνο 44. Έρνκε ( 4θ, θ). y = 4 ι + y = 5 Γηα λα έρεη ιύζε ην ζύζηεκα ζα ξέεη ην D 0. D = = ι +, D 0 όηαλ ι θαη ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ ι (, y) όν D D y = θαη y =. D D 4 D = = + 0 = 5 = ι + νόηε ι D y = y = = 5 + 4ι ι 5 ι + Δθόζνλ ζέινκε λα ηθαλννηείηαη ε εμίζσζε + 5y = 7 άξα αληηθαζηζηώληαο ηα, y ζα έρνκε: (5 + 4ι) + 5 = 7 ι ι + (ι + ) νόηε νιιαιαζηάδνληαο κε (ι + ) όια ηα κέιε ηεο εμίζσζεο γίλεηαη: ι = 4ι + 5 4ι + 8 = 0 ι = ε ννία όλησο δελ κεδελίδεη ην D θαη είλαη ανδεθηή ηηκή ώζηε ην () λα έρεη ιύζε ε ννία εαιεζεύεη ηελ εμίζσζε + 5y = Έρνκε

25 Γηα λα ηέκλνληαη νη δύν εζείεο ζην ζεκείν 5 (ι ) + (κ + )y = 5κ + ι 7 (ι) + (κ )y = κ ι Α, ζα ξέεη νη ζληεηαγκέλεο ην λα εαιεζεύνλ ηηο εμηζώζεηο ησλ εζεηώλ, λα είλαη δειαδή ε ιύζε ην ζζηήκαηνο. Πξέεη είζεο ην D 0 γηα αηέο ηηο ηηκέο ησλ ι, κ ι κ + D = = (ι ) (κ ) ι(κ + ) = 5ικ 0ι κ +. ι κ Βάδσ ζην ζύζηεκα όν, y ηηο ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν ηνκήο θαη γίλεηαη: (ι ) + (κ + ) = 5κ + ι ι + + κ + = 5κ + ι 7 7 ι + (κ ) = κ ι ι + 6κ 9 = κ ι ι + κ = αληίζεηνη 5 ζληειεζηέο + ι 4κ = ι + κ = ι 4κ = 9 5 ι + 6κ = 4κ = κ = (+) θαη θαηά κέιε ι κ = ι = 9 ι = Πξάγκαηη γηα κ = θαη ι = ην D 0 ενκέλσο γηα αηέο ηηο ηηκέο ην () ησλ εμηζώζεσλ έρεη ιύζε, άξα νη εζείεο ηέκλνληαη ζην Α,. 46. Έρνκε Γηα λα έρεη κνλαδηθή ιύζε ζα ξέεη D 0. + y = ι + y = ι + D = = 0, άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ην δεύγνο D D y (, y) =,. D D

26 y = = ι θαη y = = 6 ι ι D = = ι ι = ι, D y = = ι + ι = ι + ι + D ηελ αξάζηαζε D D D Α = 0 + y 0 αληηθαζηζηώ ηα, y θαη γίλεηαη: Α = ι ι + + = λ λ +. Σώξα ξέεη λα κειεηήζνκε ηε κνλνηνλία ηεο θαη λα βξνύκε όηε γίλεηαη ειάρηζηε, δειαδή γηα νηα ηηκή ι. Γηα ηελ ι ι + ην Γ = 4 8 = 4 < 0 θαη ην α = > 0. Δνκέλσο είλαη θζίλνζα ζην δηάζηεκα β, +. α ην ζεκείν Άξα ζηελ ι ι + : ειάρηζην ην ννίν ηζνύηαη κε. 47. Έρνκε β = α β, α θαη αύμνζα ζην δηάζηεκα ε f() αξνζηάδεη ειάρηζην ίζν κε β Γ f =. α 4α ( ) 4 f = f() =, άξα γηα ι = αξνζηάδεη 4 D D y = 9D D + D y = D Αθνύ ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηζρύεη όηη D 0 ιύλνκε ην ζύζηεκα: D D y = 9D D + D y = D D D y 9D = D D D y = 9 D D y D + y = + = D D D δηαηξώ θαηά κέιε κε D 0 όν D D y =, = y D D (+) y = 9 + y = 9 7y = 7 y =. + y = + 4y = θαη = Δνκέλσο (, y) = (, ) ε κνλαδηθή ιύζε ην ζζηήκαηνο. 48. Έρνκε εθόζνλ D 0 Αλ D = 0 ηόηε ε ζρέζε γίλεηαη 8D + 8D y + D D y = 0

27 7 9D + 4D + 6D D = 0 9D + 6D D + D + D = 0 y y y y y θαη y y y y (D + D ) + D = 0 D + D = 0 = D = 0 D = 0 θαη D y = 0 ΑΣΟΠΟ Άξα D 0 θαη ενκέλσο ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε. Δνκέλσο ε ζρέζε καο γίλεηαη: 49. Έρνκε i. + y z = () 4 y z = () + y z = 9 () D 8D y D D y Dy D = 0 D D D D D D 8 + 8y + + y + 4y 6 = y + 4y y + y = 0 ( ) + (y + ) + ( + y) = 0 Αό ηελ () έρνκε z = + y 9 (4) Αληηθαζηζηώ ζηηο () θαη () =, y =. + y y + 9 = y = 7 4 y ( + y 9) = 4 y 6 6y + 7 = y = 7 y = 7 y = 7 y = 7 7y = 9 49 = 9 = 0 = 0 θαη αό ηελ (4): z = ( 0) z = z = 5. ii. y + z = () y + z = 0 () + y + z = 5 () Η () γίλεηαη z = + y (4). Αληηθαζηζηώ ζηηο () θαη () y + + y = 0 y = (5) = y + + y = 5 + y = 4 = Άξα αό (5): y = y = y = θαη αό (4): z = + z = 50. Έρνκε

28 i. 8 y + 6z = 9 + y z = ( ) + + y z = + y z = y + 5z = 8 8y + 6z = 4 + y z = ( 8) + 8 4y + 5z = 4y 7z = 8 4y + 5z = y + z = Σν ζύζηεκα αίξλεη ηε κνξθή: 4y 0z = + y z = ( 4) y + 5z = (+) 4y + 7z = y + 5z = z = 4y 7z = z = 4y 7z = Δνκέλσο ην ζύζηεκα αίξλεη ηε κνξθή: + y z = + y = + y = 5 + = 5 y + 5z = y + 5 = y = y = z = z = z = z = = y =. Δνκέλσο ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη ε (,, ). z = ii. 9 + y 7z = () 4y z = () 9 7y 8z = 0 () Αό ηε () έρνκε = + 4y + z. Αληηθαζηζηώληαο ζηηο () θαη () έρνκε: 5. Έρνκε 9( y + 4y + z) + y 7z = 8 + 6y + 9z + y 7z = 9( + 4y + z) 7y 8z = y + 9z 7y 8z = 0 8y + z = 0 9y + z = 0 ΑΓΤΝΑΣΟ 9y + z = 8 9y + z = 8 i. + 4y + 4z = 8 () y + z = 6 () y + z = 8 () Αό ηελ () έρνκε = y z + 8 (4) Αληηθαζηζηώληαο ζηηο () θαη () έρνκε: y z y + 4z = 8 6y + z = 0 (y z + 8) y + z = 6 4y z + 6 y + z = 6 y + z = 0 ΑΠΔΙΡΔ ΛΤΔΙ y + z = 0 z = 0 y

29 9 Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (4): = y 0 + y + 8, = 4y Άξα νη ιύζεηο είλαη (, z) = (4θ 9 θαη 0 θ). ii. Ααιείθνκε ην αό ηηο δύν ξώηεο εμηζώζεηο: + y + 5σ = 0 + y + 5σ = 0 + y σ = 0 y + 7σ = 0 4y + 4σ = 0 Ααιείθνκε ην αό ηελ ξώηε θαη ηελ ηξίηε εμίζσζε: 4 y 0σ = y + 5σ = 0 4 y + 7σ = 0 4 y + 7σ = 0 y σ = 0 Οόηε ην αξρηθό ζύζηεκα είλαη ηζνδύλακν κε ην Ααιείθνκε ην y αό ηηο δύν ηειεηαίεο εμηζώζεηο: νόηε ην ζύζηεκα είλαη ηζνδύλακν κε ην + y + 5σ = 0 4y + 4σ = 0. y σ = 0 y + σ = 0 4y + 4σ = 0 y σ = 0 y σ = 0 0 = 0 + y + 5σ σ + 5σ = 0 = σ 4y + 4σ = 0 y = σ y = σ Άξα ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο ηηο ηξηάδεο ηεο κνξθήο: (, y, σ) = ( σ, σ, σ), σ R. 5. Έζησ όηη ε αξαβνιή έρεη εμίζσζε f() = α + β + γ, α 0. Γηα λα δηέξρεηαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f αό ηα Α, Β, Γ ξέεη νη ζληεηαγκέλεο ηνο λα εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζή ηεο. Πξέεη δειαδή: f() = α + β + γ = α + β + γ = f() = 6 α + β + γ = 6 9α + β + γ = 6 f( ) = α( ) + β( ) + γ = 4α β + γ = () Ααιείθνκε ην α αό ηηο δύν ξώηεο εμηζώζεηο: 4α 4β 4γ = 8 α + β + γ = 4 4α β + γ = 4α β + γ = 6β γ = Ααιείθνκε ην α αό ηελ ξώηε θαη ηελ ηξίηε εμίζσζε:

30 0 9α 9β 9γ = 8 α + β + γ = 9 9α + β + γ = 6 9α + β + γ = 6 6β 8γ = α + β + γ = Σν ζύζηεκα () γίλεηαη: 6β γ =. 6β 8γ = Ααιείθνκε ην β αό ηηο δύν ηειεηαίεο εμηζώζεηο: 6β γ = 6β γ = 6β + 8γ = γ = 6β 8γ = 5γ = 5 Άξα ην ζύζηεκα () γίλεηαη: α + β + γ = α + β + = α + β = α = α = 6β γ = 6β = 6β = 6 β = 6 β = γ = γ = γ = γ = γ = Οόηε ε αξαβνιή είλαη ε f() = Έρνκε Έζησ, y ηα ςεθία ην αξηζκνύ κε ην ςεθίν ησλ δεθάδσλ. Σόηε: + y = 7 + y = 7 + y = 7 = 8 = y = 0y y = 9 y = y = 7 y = Άξα ν αξηζκόο είλαη ν Έζησ y ην δεηνύκελν θιάζκα. Σόηε: Άξα ην θιάζκα είλαη + = y + + = y + y = y = 4 = y y = 4 + y = 4 = y = 5 = 5 θαη y = άξα y = 0 y = 8. 5 =. y Έζησ όηη ε εηαηξία ξνζιακβάλεη άηνκα ζην ν νθαηάζηεκα θαη y άηνκα ζην ν νθαηάζηεκα, ηόηε ζα είλαη + y = 5. Δίζεο + y = 6, 7

31 νόηε ζα ξνθύςεη ην ζύζηεκα: 56. Έρνκε Έζησ ηηκή θαλαέ = ηηκή νιζξόλαο = y ηηκή ηξαεδηνύ = σ Σόηε έρνκε: + y = 5 + y = 5 = 8 + y = y = 6 y = y = 50 () + σ = 0 () + y + σ = y + σ = 40 (4). y + σ = 80 () Αό (4) θαη () έρνκε 50 + σ = 40 άξα σ = σ = 80 + σ = 0 = 0 80 = 50 + y = 0 y = y = 00. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 57. α. Σν αξρηθό νξζνγώλην έρεη κήθνο θαη ιάηνο y, άξα έρεη εκβαδόλ Δ y θαη εξίκεηξν Π y. Αιιά εεηδή ε εξίκεηξόο ην είλαη ίζε κε 8, έρνκε y 8 () Αλ γίλνλ νη αιιαγέο ζηηο δηαζηάζεηο ην, ην εκβαδόλ ην λέν νξζνγσλίν είλαη E y 4. Αιιά ην εκβαδόλ ην λέν νξζνγσλίν είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ην αξρηθνύ, άξα E E y y 4.Δνκέλσο ην δεηνύκελν ζύζηεκα είλαη ην : β. Δίλαη: y 8 y 4 y y 8 y 9 y 9 y 4 y y 4 y 8 y 4 y 8 y 9 y 9 y Δνκέλσο νη δηαζηάζεηο, y ην νξζνγσλίν είλαη 5 cm, y 4 cm. 58. α. Έρνκε.

32 y y ( ) 0 y y y y, y 0, ή, y, β. Οη ιύζεηο ην ζζηήκαηνο είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο αξαβνιήο κε εμίζσζε y θαη ηεο εζείαο κε εμίζσζε y, όσο θαίλεηαη ζηελ εόκελε γξαθηθή αξάζηαζε. Άξα ε αξαβνιή θαη ε εζεία έρνλ δν θνηλά ζεκεία ηα 0, θαη,. 59. Έζησ όηη νη ειηθία ην θαζελόο αό ηα δίδκα θνξίηζηα είλαη θαη ην αγνξηνύ y, κε,y>0. α. Σν άζξνηζκα ησλ ειηθηώλ θαη ησλ ηξηώλ αηδηώλ είλαη 4, άξα είλαη y 4. Δίζεο ην γηλόκελν ηεο ειηθίαο ηεο θόξεο εί ηελ ειηθία ην γην είλαη 4 ενκέλσο y 4. β. Δίζεο ην άζξνηζκα ησλ ειηθηώλ ησλ θνξηηζηώλ είλαη κηθξόηεξν αό ηελ ειηθία ην αγνξηνύ, άξα y. Λύλνκε ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ () θαη (). y 4 y 4 y 4 y y 4 y 6 ή y ή Αιιά εεηδή y δερόκαζηε κόλν ηελ ιύζε, y,8. Δνκέλσο ηα δίδκα θνξίηζηα είλαη εηώλ θαη ην αγόξη 8 εηώλ. 60. α. Η αόζηαζε ηεο Υώξαο αό ηελ Αηγηάιε είλαη 6 ρηιηόκεηξα θαη s είλαη ε αόζηαζε ην ζεκείν ζλάληεζεο αό ηελ Αηγηάιε, άξα ε αόζηαζε ην ζεκείν ζλάληεζεο αό ηελ Υώξα είλαη 6 s ρηιηόκεηξα. Η Άιθεζηε αλεθνξίδεη ην κνλνάηη αό ηελ Αηγηάιε γηα λα ζλαληήζεη ηελ Διέλε κε ζηαζεξή ηαρύηεηα,4 ρηιηόκεηξα ηελ

33 ώξα, ενκέλσο ε αόζηαζε ν δηέλζε ε Άιθεζηε κέρξη ην ζεκείν ζλάληεζεο δίλεηαη αό ηελ εμίζσζε s,4 t. Η Διέλε θαηεθνξίδεη ην ίδην κνλνάηη αό ηε Υώξα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα 4 ρηιηόκεηξα ηελ ώξα, άξα ε αόζηαζε ν δηέλζε ε Διέλε είλαη 6 s ρηιηόκεηξα, νόηε 6 s 4 t. Δνκέλσο ην δεηνύκελν ζύζηεκα ν εξηγξάθεη ηελ θαηάζηαζε, είλαη ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ θαη. β. Δηιύνληαο ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ θαη ην εξσηήκαηνο α) έρνκε: s, 4t s, 4t s, 4t s, 4t s 6 6 s 4t 6, 4t 4t 6, 4t 6 t, 5 t, 5 Δνκέλσο ηα δν θνξίηζηα ζα ζλαληεζνύλ κεηά αό,5 ώξεο αό ηελ ζηηγκή ν μεθίλεζαλ θαη ην ζεκείν ζλάληεζεο αέρεη 6 s ρηιηόκεηξα αό ηε Υώξα. 6. Αλ, y ( κε y, 0 ) νη δηαζηάζεηο ην αξρηθνύ νξζνγσλίν, ηόηε νη δηαζηάζεηο ην λέν νξζνγσλίν ν ξνθύηεη ειάηησζε ην ιάηνο είλαη, y. κεηά ηελ αύμεζε ην κήθνο θαη ηελ α. Η εξίκεηξνο ην αξρηθνύ νξζνγσλίν είλαη Π y θαη ην εκβαδόλ ην Δ y. Άξα ην εκβαδόλ ην λέν νξζνγσλίν είλαη Δ y. Δνκέλσο ην ζύζηεκα ν εξηγξάθεη ηελ αξαάλσ θαηάζηαζε είλαη: y 4 y y, κε 0 0 θαη y. β. Οη δηαζηάζεηο, y ην αξρηθνύ νξζνγσλίν ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην κε γξακκηθνύ ζζηήκαηνο αληηθαηάζηαζεο. Δνκέλσο y () θαη y 4,ην ννίν εηιύεηαη κε ηελ κέζνδν ηεο y y y y 6 y y y ή 5 0. Άξα θαη y α. Η ζρέζε y = θαη y 0, ηόηε y = 6 νόηε κε αληηθαηάζηαζε ζηελ + y =, ξνθύηεη: 6 y =, ()

34 = + = + 6 = + 6 = 0 Θέηνκε = σ 0 νόηε ε εμίζσζε γίλεηαη: σ σ + 6 =0. Αηή είλαη εμίζσζε δεηέξν βαζκνύ σο ξνο σ κε δηαθξίλνζα Γ = ( ) 46 = = 5 > 0 άξα έρεη δύν δηαθνξεηηθέο ξίδεο, ηηο ( ) 5 5 σ, = = λεώο: σ = 9 ή σ = 4 = 9 ή = 4 = ή = Γηα = ε ζρέζε Γηα = ε ζρέζε Γηα = ε ζρέζε δειαδή σ = 9 ή σ = y = δίλεη y = = 6 6 y = δίλεη y = = 6 6 y = δίλεη y = = 6 6 Γηα = ε ζρέζε y = δίλεη y = = Άξα ην ζύζηεκα () έρεη 4 ιύζεηο, ηηο (, y) = (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ). β. ος ηρόος: Η y = 6 y = 6 ή y = 6, άξα όιεο νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο y = 6 ζα εξηιακβάλνληαη θαη ζηηο ιύζεηο ηεο y = 6. λεώο θαη νη ιύζεηο ην ζζηήκαηνο () είλαη ιύζεηο θαη ηνζζηήκαηνο (), θαζώο νηδεύηεξεο εμηζώζεηο ησλ δύν ζζηεκάησλ ηαηίδνληαη. ος ηρόος: Θα ιύζνκε ην ζύζηεκα () θαη ζα δηαηζηώζνκε όηη κέζα ζηηο ιύζεηο ην εξηιακβάλνληαη θαη νη ιύζεηο ην ζζηήκαηνο (). Έρνκε: y = 6 y = 6 ή y = 6 y = 6 ή y = 6 y = 6 ή + y = + y = + y = + y = Παξαηεξνύκε όηη ε είιζε ην () νδεγεί ζε δύν ελαιιαθηηθά ζζηήκαηα, ην ξώην εθ ησλ ννίσλ είλαη ην (). λεώο νη ιύζεηο ην () ζα ζκεξηιακβάλνληαη κέζα ζηηο ιύζεηο ην (). Φζηθά κνξνύκε λα ξνρσξήζνκε θαλνληθά ζηελ είιζε θαη λα βξνύκε ηηο ιύζεηο ησλ εηκέξνο ζζηεκάησλ, άξα θαη όιεο ηηο ιύζεηο ην (). Σν ξώην είλαη ην ζύζηεκα () ην ννίν, όσο είδακε ζην (α) εξώηεκα, έρεη ιύζεηο ηηο: (, y) = (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ). Σν δεύηεξν ζύζηεκα ιύλεηαη εληειώο αξόκνηα θαη βξίζθνκε όηη έρεη ιύζεηο ηηο: (, y) = (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ).

35 Άξα ην ζύζηεκα () έρεη ζλνιηθά 8 ιύζεηο, ηηο (, y) = (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) ή (, ) Παξαηεξνύκε όηη κέζα ζηηο ιύζεηο ην () εξηιακβάλνληαη θαη νη ιύζεηο ην (). 5 γ) Λύλνληαο ην ζύζηεκα () (δεο ηνλ ν ηξόν ζην (β) εξώηεκα) δηαηζηώλνκε όηη έρεη 8 ιύζεηο, ελώ ην () έρεη 4, ζλεώο δελ ζκεξηιακβάλνληαη όιεο νη ιύζεηο ην () θαη ζην (). Πξάγκαηη, ηα δεύγε (, ), (, ), (, ) θαη (, ) είλαη ιύζεηο ην () αιιά όρη θαη ιύζεηο ην (). 6. Έρνκε 64. Έρνκε ζλεώο y α β = 5 α = 4 = 4 = ή = 5 α + β = 0 β = y = y = y = () 4 + y = 4 = Γηα ηε () έρνκε: + 4 = 0 + = 0 ( ) = 0 = Οόηε αό ηελ (): y = y =. 65. Έρνκε () ( + y + ) = y ( + y + ) = y (4 6y) (4 6y + y + ) = y + 6y = 4 = 4 6y = 4 6y () () Η () γίλεηαη (4 6y) (5 4y) = y 4y 0y 6y + 0 y + = 0 y 46y + = 0 y y + = 0 (y ) = 0 y =. Άξα αό (): = 4 6 =. 66. Έρνκε + y = 5 + y = 5 + y = 5 ( + y) ( y + y ) = 5 y + y = 7 y + y = 7 y + y = 7 + y = 5 ( + y) = 5 + y + y = 5 ( ) + y = 5 y = 8 y = 6 νόηε είλαη y = 6 θαη νη, y είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο: σ 5σ +6 = 0 σ = ή σ =. Άξα (, y) =(, ) ή (, y) = (, ). 67. Έρνκε

36 6 y = y = y = 7 ( y) ( + y + y ) = 7 ( ) + y + y = 9 + y + y = 9 y = 0 y = 0 y = y + y = 9 y = = y + = y + νόηε είλαη y = 0 (y + )y = 0 y + y 0 = 0 = 5 = ή. y = y = Έρνκε y + y = 50 + y + + y = 6. Πξνζζέηνκε θαηά κέιε θαη είλαη: + y + + y = 68 + y + + y = 68 + y + + y = 68 + = + 56 = 0 = 8 ή = 7 ή = 8 = y 8 + y = y y = 68 y + y = 0 y + y = 0 y = ή y = y = ή y = ή ή = 8 = 7 = 8 = Θέηνκε + y = θ θαη y = ι > 0 νόηε ην ζύζηεκα γξάθεηαη: Έρνκε θ + ι = 7 θ + ι = 7 θ + ι = 7 θ ι = (θ + ι) (θ ι) = θ ι = θ = 5. ι = Δίλαη ( + y) = θ + y + y = θ + y + y = θ y θαη y = l y = ι, νόηε + y + y = θ ι + y = 5 + y = 5 ζλεώο νη, y είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο y = y = 4 σ 5σ + 4 = 0 σ = ή σ = 4 Άξα (, y) = (, 4) ή (, y) = (4, ). 70. Έζησ cm, y cm νη αξρηθέο δηαζηάζεηο ην νξζνγσλίν, ηόηε είλαη: ( + y) = 6 cm ().

37 Όηαλ αμεζνύλ νη δηαζηάζεηο θαηά cm νη ιεξέο ην ζα είλαη ( + ) cm, (y + ) cm θαη ην εκβαδόλ είλαη ( + ) (y + ) = 6 cm (). λεώο έρνκε ην ζύζηεκα: 7 + y = 8 + y = 8 + y = 8 + y + y + 4 = 6 ( + y) + y = y = 6 νόηε νη, y είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο σ 8σ + 6 = 0 (σ 4) = 0 σ = 4 (δηιή). Άξα = 4 θαη y = 4, νόηε ην αξρηθό νξζνγώλην είλαη ηεηξάγσλν ιεξάο 4 cm. 7. Οη ζληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο εζείαο θαη ηεο αξαβνιήο είλαη νη ιύζεηο ην ζζηήκαηνο: y = θ + y = (θ + ) y = (θ +) y = (θ + ) = + (θ + ) = 0 Η δηαθξίλνζα ην ηξησλύκν + (θ + ) = 0 είλαη:γ = (θ + ) + 6 > 0 γηα θάζε θ R, νόηε ην ηξηώλκν έρεη δύν ξίδεο γηα θάζε ηηκή ην θ R. Άξα ε εζεία y = θ + θαη ε αξαβνιή y = έρνλ δύν θνηλά ζεκεία γηα θάζε ηηκή ην θ R. 7. Έρνκε 7. Έρνκε i. y = 4 y = 6 5 = y = + 4 y = = ΑΓΤΝΑΣΗ + + y = y = 7 + = 6 + = άξα y + = y + = y = y = + = + = ή + = θαη = = y = y = ή y = y = 4 y = Άξα νη ιύζεηο είλαη: (, 4), (, ), (, 4), (, ). ii. + y = 8 = 8 y = 8 y = 8 y y = 5 y 8 + y = 5 y 9 = 5 y 9 = 5 ή y 5 = 5 = 8 y = 8 y = = 6 ή ή y = 4 y = 4 y = 7 y = Άξα νη ιύζεηο είλαη (, y) = (, 7) ή (, y) = (6, ).

38 8 74. Έρνκε y = 0 8 4y = y = 4 + 4y = 4 = 44 = 4 θαη 4 y = 0 y = ΑΓΤΝΑΣΗ. 75. Έρνκε ( + ) ( y) = 0 + = 0 ή y = 0 + = 0 y = 0 ή + y = + y = + y = + y = = ή 8 y y Θ Ε Μ Α Σ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Σ Α Ε Ω Ν Έρνκε ι + 4 D = = (ι + ) (ι + 4) 8 = ι + 4 = ι + 4ι + ι = ι + 6ι = ι(ι + 6) 8 ι 4 D = = (8 ι) (ι + 4) = 8 ι + 4 D = y = 8ι + ι ι = ι 4ι = ι(ι + 4) ι + 8 ι 8 Αλ D 0 ι 0 θαη ι 6 ηόηε κόλε ιύζε: Αλ D = 0 ι = 0 ή ι = 6 Αλ ι=0 ην ζύζηεκα γίλεηαη Αλ ι = 6 ην ζύζηεκα γίλεηαη: = 8(ι + ) (8 ι) = 8ι ι = 4ι D ι(ι+ 4) ι 4 = = = D ι(ι + 6) ι + 6 Dy 4ι 4 y = = = D ι(ι + 6) ι y = 8 + 4y = 8 ΑΠΔΙΡΔ ΛΤΔΙ

39 9 77. Έρνκε 4 + 4y = y = y = 6 y = y = 45 ΑΓΤΝΑΣΟ α. D = = 4 = + y = ι + y = ι + (y + ) = ι + y = ι ι D = = ι (ι ) = ι ι + 6 = ι + 6 ι ι D y = = ι 4 ι = ι 4 ι β. D = 0 άξα έρνκε κνλαδηθή ιύζε: 78. Έρνκε α α D = = α α = α(α ) α D ι + 6 D Dy ι 4 y = = = ι 4 D α. Γηα λα έρεη κνλαδηθή ιύζε ξέεη D 0: = = = ι + 6 α + αy = + αy = α α α 0 ή α(α ) 0 ή α 0 θαη α β. Γηα D 0 α D = = α α = α( α) α α α D y = = α = (α ) (α + ) α D α( α) D α(α ) = = = D y (α ) (α + ) α + y = = = D α(α ) α

40 40 γ. = y = Έρνκε α + + = 4 a + a + a = 4 a = 4 a = ;h a = α ι y = ι (ι ) y = ι D = = ι + (ι ) = ι + ι 4 = ι 4 ι ι D = = ι + 4 ι ι D y = = ι ι(ι ) = ι ι + ι = ι Αλ D 0 ι 4 0 ι 4 ηόηε έρνκε κνλαδηθή ιύζε: Αλ D = 0 ι = 4 Σν ζύζηεκα γίλεηαη: D ι + 4 D ι 4 = = = Dy ι(4 ι) y = = = ι D ι 4 4 y = 4 y = 4 y = y = y = 0 ΑΠΔΙΡΔ ΛΤΔΙ 4ι ι = ι(4 ι) 80. Έζησ ε ιεξά ην ν ηεηξαγώλν θαη y ε ιεξά ην ν ηεηξαγώλν. Οη ζρέζεηο ν ξνθύηνλ είλαη: 8. Έρνκε y = 500 y = y = 40 = 0 + y (0 + y) y = y + y y = y = 500 0y = 400 y = 0 = 0 + (ι ) = ι + y =

41 D = ι ι = 6 ι(ι ) = 6 ι + ι 4 ι D = = 6 (ι ) = 6 ι + = ι 4 D = y ι = 6 ι Γηα λα έρεη άεηξεο ιύζεηο ξέεη D = 0: ι + ι + 6 = 0 Γ = + 4 = 5, ι, = Αλ ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: Αλ ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: 8. Έρνκε + y = ΑΓΤΝΑΣΟ + y = 6 6y = 6 y = 6 + 6y = y = 0 + y = ΑΠΔΙΡΔ ΛΤΔΙ 5 8. Έρνκε δηαηξώ κε D D D D D + D + D + D y = = 0 D D y = 0 ( + ) + y = 0 + = 0 θαη y = 0 = θαη y = 0 α. β + α β + α f( 4) = = 4 = β + 4α () 4 4 α f = α + β + 4 = + β + α = + β 6 = α + β () Αό () & (): 4α + β = 4 Αθαίξεζε 5α = 0 α = β = α + β = 6 θαηά κέιε β. α β 4 Α = = f(4) = 4 + = 5 f(4) f(4)

42 4 84. Έρνκε 4 Α = = ( 4 0) = ( 4) = 8 5 α. Αλ ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: β. Αλ ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: (ι ) + 5y = + (ι + )y = y = y = 5y = y = = = = y = (400) = Αληηθαζηζηώ + 5y = = ηζρύεη, άξα ην δεύγνο (00, 400) εαιεζεύεη ην ζύζηεκα γ. ι 5 D = = ι 4 5 = ι 9 ι + D = 0 ι = ή ι = Αλ ην ι = ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο (βι. εξώη. β) Αλ ην ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: 5 + 5y = 5 + 5y = 5 5y = 0 y = y = 0 Αδύλαην Αλ ι θαη ι ηόηε έρεη κνλαδηθή ιύζε: 5 D = = ι = ι 6 ι + ι D y = = (ι ) = ι 4 = ι 6 Οη ιύζεηο είλαη: 85. Έρνκε D ι 6 (ι ) D ι 9 (ι ) (ι + ) = = = D ι 6 y = = = ι 9 y D ι +

43 4 α. ι ι D = = ι ι = ι(ι ) ι ι D = = ι ι = ι( ι) ι ι ι D y = = ι = (ι ) (ι + ) ι ι + ιy = + ιy = ι β. Γηα λα έρεη κνλαδηθή ιύζε ξέεη D 0: ι 0 θαη ι γ. Αλ ι = 0 ην ζύζηεκα γίλεηαη: D ι( ι) D ι(ι ) = = = D y (ι ) (ι + ) ι + y = = = D ι(ι ) ι 0 + 0y = + 0y = 0 Αλ ι = ην ζύζηεκα γίλεηαη: + y = + y = ΑΟΡΙΣΟ ΑΓΤΝΑΣΟ 86. Έρνκε ι + D = = ι + + κ 6 = ι + κ 5 κ ι + κ + 4 D = = ι + κ 4 = ι κ Γηα λα είλαη αδύλαηα ξέεη D = D = 0 ι + κ = 5 ι + κ = 5 6ι κ = 9 7ι = 4 ι κ = ι = κ = Σν γίλεηαη: y = 5 y = 5 ΑΓΤΝ. + y = y = ι = Σν γίλεηαη: θαη 5 + 5y = 5 + 5y = κ = ΑΓΤΝ. + y = y = Έρνκε

44 44 α. + y = ι + y = 5 ι D = = 4 = 7 0 γηα θάζε ι R άξα έρεη κνλ. ιύζε ι + β. D = = (ι + ) (5 ι) = ι ι = ι 9 5 ι γ. Αληηθαηάζηαζε: 88. Έρνκε α. ι+ D y = = (5 ι) (ι + ) = 0 ι ι 6 = 5ι ι D ι 9 ι + 9 D 7 7 D 5ι 4 άξα = = = ι y y = = D 9 ι + 9 5ι 4 + = 5 ι + α + 5ι 4 = 5 6ι = 0 ι = D = = ι 4 = (ι ) (ι + ) 4 ι Αλ ι, ηόηε έρεη κνλαδηθή ιύζε: ι + y = 4 + ιy = D = = ι ι ι D y = = ι = ι = (ι 6) 4 D ι D (ι ) (ι + ) = = Dy (ι 6) y = = D (ι ) (ι + ) ι (ι 6) ι + ι 5ι 4 β. + = = (ι ) (ι + ) (ι ) (ι + ) (ι ) (ι + ) ι 4 γ. 0 + y 0 = 5ι 4 = 5ι 4 = ι + 4 ι + 5ι 4 4 = 0 ι + 5ι 8 = 0 ι 4

45 89. Έρνκε 45 Γ = = 97, ι, = 5 97 α. ι ι ι + (ι )y = ι + ιy = D = = ι (ι ) = ι ι + ) ι Γηα λα έρεη κνλ. ιύζε ξέεη D 0. Αλ D = 0: ι ι + = 0, Γ = 4 = 7 < 0 άξα D 0 γηα θάζε ι R β. ι ι + ι ι ι + ι ι + γ. ε : y = ε : y = D = = ι ι + D = y ι ι ι ι ι = ι ι = ι D ι ι + Dy ι = =, y = = D ι ι + D ι ι + + = 0 ι ι + + ι =0 ι + ι + = 0 (ι + ) = 0 ι = Α ι ε = = Β ι Α ι ε = = Β δ. Γηα ηελ ε : ι ε = άξα εθσ = σ = 5 ν Γηα ηελ ε : ι ε = άξα εθσ = σ = 45 ν 90. Έζησ ηα αγόξηα θαη y ηα θνξίηζηα Σόηε ηζρύνλ νη ζρέζεηο: ι = άξα ε θάζεηε ε ε ε 7 7 y = y = = = = 5, y = 5 5 y 9 = y = +6 Άξα ζηηο κ.κ. ήξραλ αγόξηα θαη θνξίηζηα. Γειαδή δεγάξηα. Σν άξηη ηειείσζε ζηηο.κ.. 9. α. Έρνκε:

46 β. Έρνκε: 4 D = = y + = y + = 4 y = y + y + = 6 y = 7 = D = = + 7 = 6, D y = = 68 = γ. Οη ιύζεηο, y ην ζζηήκαηνο είλαη: Άξα (, y) = (, 7). 9. α. Έρνκε: D D 6 y 56 = = = θαη y = = = 7 D 8 D 8 D = = = 7 4 ι D = = 4ι ι = ι + 4 ι 4 ι D y = = ι 7ι + 7 = 5ι ι β. Δθόζνλ D 0 ην ζύζηεκα έρεη κία θαη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε ι R. γ. Η ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη: δ. Έρνκε: D D y 0 = = ι 4, y 0 = = 5ι 7 D D 0 y 0 < (ι 4) (5ι 7) < 6ι 8 5ι + 7 < ι < 9. α. Έρνκε: D = = 4 = 0 Αθνύ D 0 ην ζύζηεκά καο έρεη κνλαδηθή ιύζε. β. ηε ζλέρεηα νινγίδνκε ηα D, Dy:

47 47 θ D = = θ 4 = θ θ θ D y = = θ θ + = θ + θ Άξα ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη: D D y 0 = = θ θαη y 0 = = θ + D D γ. Έρνκε: y < 4 θ + θ < 4 θ 5 < 4 4 < θ 5 < < θ < < θ < 9 < θ < 94. α. Έρνκε: ι D = = ι ι D = = ι ι + = ι + ι ι ι D y = = ι ι ι = ι ι = ι(ι ) ι β. Αλ ι ι 0 D 0. Δνκέλσο ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: D ι + ι Dy ι(ι ) 0 = = = =, y 0 = = = ι D ι ι D ι Άξα ( 0, y 0 ) = (, ι). γ. Αλ ι = ι = 0 D = 0 θαη ην ζύζηεκα γίλεηαη: + y = + y = + y = + y = Δνκέλσο ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο θαη κάιηζηα ηζρύεη + y = y =. Δνκέλσο νη ιύζεηο είλαη ηεο κνξθήο: ( 0, y 0 ) = ( 0, 0 )

48 α. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία A(5,) θαη B(4,9), άξα f(5) θαη f(4) 9. Δνκέλσο είλαη 4 5 θαη f (4) f (5) Καη εεηδή ε f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε, είλαη γλεζίσο θζίλνζα. β. f γλεζίσο θζίλνζα f (5 ) f (5 ) f (5) α. Δίλαη 0, νόηε ε f έρεη εδίν νξηζκνύ ην A R. Τεο είλαη f 0 0, ν ηζρύεη γηα θάζε R. β. Δίλαη f θαη εεηδή f ε ηζόηεηα f ηζρύεη όηαλ άξα f f f, νόηε ε f έρεη κέγηζην ην, όηαλ. γ. Η ζλάξηεζε R θαη f εδίν νξηζκνύ ην A R, νόηε γηα θάζε R ζα είλαη θαη f f,άξα ε f είλαη εξηηηή. 97. α. Πξνβάιινκε ζηνλ άμνλα yy ηα ζεκεία κε ηεηκεκέλεο,, αξαηεξνύκε όηη : f f f. θαη β. Η ζλάξηεζε f δελ είλαη νύηε γλεζίσο αύμνζα νύηε γλεζίσο θζίλνζα ζε όιν ην εδίν νξηζκνύ ηεο, άξα δελ είλαη γλεζίσο κνλόηνλε. Αλ ήηαλ γλεζίσο αύμνζα, ηόηε: γηα ζα ίζρε f f f, ελώ αλ ήηαλ γλεζίσο θζίλνζα, ηόηε: γηα ζα ίζρε f f f. Aιιά αό ην εξώηεκα α) έρνκε f f f,

49 49 άξα ε ζλάξηεζε δελ είλαη γλεζίσο κνλόηνλε. γ. Αλ θέξνκε ηελ νξηδόληηα εζεία ν δηέξρεηαη αό ην ζεκείν,f αξαηεξνύκε όηη ε ζλάξηεζε αίξλεη θαη ηηκέο κεγαιύηεξεο ην f, γηα αξάδεηγκα f f δελ είλαη ζέζε κεγίζην.. Άξα ην α. H γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α, θαη f f 4 B 4,5, άξα f θαη f 4 5. Παξαηεξνύκε όηη γηα 4 ηζρύεη θαη εεηδή ε ζλάξηεζε είλαη γλεζίσο κνλόηνλε, είλαη γλεζίσο αύμνζα. β. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην, άξα f 0.Αιιά 0 θαη ε ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο αύμνζα, 99. α. Αλ (, ), ηόηε: (, ) θαη άξα f f 0, δειαδή f( ) = ( ) ( ) = + = ( ) = f(). Άξα ε f είλαη εξηηηή. 0 f 0. β. Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε αξαηεξνύκε όηη f min = θαη f ma =. γ. f() = = + = 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ή ( ή ) Αιιά (, ) νόηε ε ανξξίηεηαη. Δνκέλσο ε ζλάξηεζε f αξνζηάδεη ειάρηζην γηα =. f() = = = 0 Αιιά (, ) νόηε ε 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ή ( ή ) ή = (ανξίηεηαη). Δνκέλσο ε ζλάξηεζε f αξνζηάδεη κέγηζην γηα =. Η ζέζε ην κεγίζην ζα κνξνύζε λα βξεζεί θαη σο εμήο: f() = f() = f εξηηηή f( ) = = =. 00. α. Έζησ θαη y νη δηαζηάζεηο ζε m ην νξζνγώλην θήν. Τόηε ε εξίκεηξνο ην θήν είλαη Π = + y θαη αθνύ νιόθιεξνο ν θήνο ζα εξηθξαρζεί κε ην ζξκαηόιεγκα κήθνο 40 m, ζα ηζρύεη: + y = 40 + y = 0 y = 0

50 50 Τξία αξαδείγκαηα ηέηνησλ θήσο είλαη ηα αξαθάησ: Αλ = 5 ηόηε y = 0 5 = 5 θαη έρνκε έλα θήν δηαζηάζεσλ 5 m εί 5 m θαη εκβαδνύ Δ = 5 m5 m = 75 m. Αλ = 8 ηόηε y = 0 8 = θαη έρνκε έλα θήν δηαζηάζεσλ 8 m εί m θαη εκβαδνύ Δ = 8 m m = 96 m. Αλ = 0 ηόηε y = 0 0 = 0 θαη έρνκε έλα θήν δηαζηάζεσλ 0 m εί 0 m θαη εκβαδνύ Δ = 0 m0 m = 00 m. Παξαηεξνύκε όηη νη ηξεηο θήνη έρνλ δηαθνξεηηθό εκβαδόλ. β. Αλ είλαη ην ιάηνο θαη y ην κήθνο ην θήν, ηόηε γηα ην εκβαδό ην Δ ηζρύεη: Δ =y ή E() = (0 ), όν > 0 θαη y > 0 0 > 0 < 0 άξα ε ζλάξηεζε Δ έρεη ηύν: Δ() = (0 ) = +0, κε 0 < < 0 γ. Ιζρύεη όηη: ( 0) + 00 = ( ) + 00 = = = + 0 = E() Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο E() = ( 0) ξνθύηεη αό ηε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο f() = αξρηθά θαηά 0 κνλάδεο ξνο ηα αξηζηεξά θαη ζηε ζλέρεηα θαηά 00 κνλάδεο ξνο ηα άλσ. Δηιένλ αό ηελ ιήξε θακύιε ζα θξαηήζνκε κόλν ην θνκκάηη ηεο ν ανηειείηαη αό ηα ζεκεία ηεο κε ηεηκεκέλεο 0 < < 0. Η θνξθή ηεο αξαβνιήο ν ανηειεί ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f είλαη ην ζεκείν (0, 0), άξα, κεηά ηελ αξαάλσ κεηαηόηζε, ε θνξθή ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο είλαη ην ζεκείν (0, 00). Σλεώο ην κέγηζην εκβαδό ην θήν ξνθύηεη γηα = 0 θαη y = 0 0 = 0 δειαδή γηα δηαζηάζεηο ιαραλόθεν 0 m εί 0 m. 0. i. Η ζλάξηεζε f() = + 5 έρεη εδίν νξηζκνύ Α = R, νόηε γηα θάζε, R κε < είλαη < + 5 < + 5 f( ) < f( ). Άξα ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R. ii. Η ζλάξηεζε g() = +9 έρεη εδίν νξηζκνύ Α = R, νόηε γηα θάζε, R κε < είλαη < + 9 > +9 g( ) > g( ). Άξα ε g είλαη γλεζίσο θζίλνζα. iii. Η ζλάξηεζε h() = έρεη εδίν νξηζκνύ Α = R {} ή Α = (, ) (, +). Θα εμεηάζνκε ηε κνλνηνλία ηεο h ζε θαζέλα αό ηα δηαζηήκα Α = (, ) θαη Α = (, +).

51 5 Γηα ννηαδήνηε, A κε < έρνκε: < > > h( ) > h( ). Άξα ε h είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην Α. Γηα ννηαδήνηε, A κε < έρνκε: < > > h( ) > h( ). Άξα ε h είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην Α. 0. i. Γηα ην εδίν νξηζκνύ ηεο f() = 8 έρνκε: Άξα ε f έρεη εδίν νξηζκνύ Α = (, 4] Γηα θάζε, A κε < είλαη > 8 > 8 8 > 8 8 < 8 f( ) < f( ). Οόηε ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην Α. ii. H f() = 9 έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = [, +). Γηα θάζε, A κε < είλαη < 9 < 9 9 < 9 9 > 9 9 > 9 f( ) > f( ). Οόηε ε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην Α. 0. Γηα θάζε, (, ) κε < έρνκε: < > < ( ) ( ) + < + f( ) < f( ) ( ) ( ) νόηε ε f είλαη γλεζίσο αύμνζαζην (, ). Οκνίσο γηα θάζε, (, +) κε < έρνκε: < > > ( ) ( ) + > + f( ) > f( ), νόηε ε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ( ) ( ) ζην (, + ). Γηα θάζε, (, ) κε < έρνκε:

52 5 < > θαη > νόηε > + > + g( ) > g( ) άξα ε g είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην (, ). Οκνίσο γηα θάζε, (, +) κε < έρνκε: < > θαη > νόηε g( ) > g( ) άξα ε g είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην (, +). 04. Έρνκε I. γλεζίσο αύμνζα [, ], γλεζίσο θζίλνζα [,4] ΙΙ. γλεζίσο αύμνζα [ 6, 0], γλεζίσο θζίλνζα [0,4] θαη γλεζίσο αύμνζα [4,6] ΙΙΙ. γλεζίσο αύμνζα [, ], ζηαζεξή [-, 4] θαη γλεζίσο θζίλνζα [4, 7] ΙV. γλεζίσο θζίλνζα [, ], ζηαζεξή [, ], γλεζίσο αύμνζα [, 5], θαη ζηαζεξή [5, 7] 05. Έρνκε Σην ζρήκα α, ε ζλάξηεζε αξνζηάδεη κέγηζηε ηηκή ην, γηα = (f()=) θαη ειάρηζηε ηηκή ην - γηα =- (f(-)=-) Σην ζρήκα β, ε ζλάξηεζε αξνζηάδεη ειάρηζηε ηηκή ην -, γηα = θαη =- θαη δελ αξνζηάδεη κέγηζηε ηηκή. Σην ζρήκα γ, ε ζλάξηεζε αξνζηάδεη κέγηζηε ηηκή ην, γηα θάζε 0 θαη ειάρηζηε ηηκή ην - γηα θάζε >0. Σην ζρήκα δ, ε ζλάξηεζε δελ αξνζηάδεη αθξόηαηα. 06. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν Α(, 0) άξα f( ) = 0. Αιιά ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R νόηε εεηδή 0 > είλαη f(0) > f( ), άξα f(0) > 0. Δνκέλσο ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε ηέκλεη ηνλ ζεηηθό εκηάμνλα 0y. 07. i. H f έρεη εδίν νξηζκνύ Α= R. Γηα θάζε R έρνκε: ( + ) 0 ( + ) 0 ( + ) νόηε f() = f( ) Άξα ε f αξνζηάδεη ειάρηζην ζην ην f( ) =. ii. H g έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α= R. Γηα θάζε R, έρνκε:

53 5 0 0 (ην ίζνλ ηζρύεη γηα = ) Άξα ε g αξνζηάδεη ζην ην g() =., νόηε g() = g(). iii. H h έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α= R. Γηα θάζε R, έρνκε: ( ) 0 ( ) 0 ( ), νόηε h() = h() Άξα ε h αξνζηάδεη κέγηζην ζην, ην h() =. 08. α. Δίλαη + f() = = + + Οόηε γηα θάζε, [0, +) κε < είλαη: + = =, < + > < < f( ) < f( ) + + Άξα ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην [0, +). β. Δίλαη f(999) = = θαη f(000) = =, [0, +) θαη 999 < 000 είλαη f(999) < f(000). Άξα νόηε εεηδή ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην < i. Πξέεη 9 0 (, ] [, +). Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη Α = (, ] [, +). Γηα θάζε A, έρνκε: Άξα ε f είλαη άξηηα. A f( ) = ( ) 9 = 9 = f() ii. Η ζλάξηεζε g έρεη εδίν νξηζκνύ A = R. Γηα θάζε A, έρνκε: A g( ) = ( ) + + = + + = g() Άξα ε g είλαη άξηηα. 0. Η ζλάξηεζε f έρεη εδίν νξηζκνύ Α = R.

54 Γηα θάζε A, έρνκε: A 54 f( ) = ( ) + ( ) = + = = + = f() Άξα ε f είλαη εξηηηή.. Η ζλάξηεζε f έρεη εδίν νξηζκνύ Α = R. Γηα θάζε A, έρνκε: A f( ) = = = f() Άξα ε f είλαη άξηηα.. Η ζλάξηεζε f έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = (, 0) (0, +). Γηα θάζε A, είλαη: A ( ) f( ) = = + = f() ( ) + +. Πξέεη 0 θαη Άξα ε f είλαη εξηηηή. 0 [, ] θαη 0. Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη Α= [, 0) (0, ]. Γηα θάζε A, είλαη: A 7 7 ( ) ( ) + f( ) = = = f() ( ) Άξα ε f είλαη εξηηηή. 4. i) H f έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = R-{}. Δεηδή Α θαη Α, ε f δελ είλαη άξηηα νύηε εξηηηή. ii) H g έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = R. Δίλαη g( ) = ( ) = 0 g() = + = Δεηδή g( ) g() ε g δελ είλαη άξηηα & εεηδή g( ) g() ε g δείλ είλαη εξηηηή. Άξα ε g δελ είλαη άξηηα νύηε εξηηηή.

55 55 5. Αξηηεο: III δηόηη ε γξαθηθή αξάζηαζε έρεη άμνλα ζκκεηξίαο ηνλ άμνλα yy Πεξηηηέο: IV, V δηόηη νη γξαθηθέο ηνο αξαζηάζεηο έρνλ θέληξν ζκκεηξίαο ηελ αξρή Ο(0, 0) ησλ αμόλσλ. 6. y y y Cf Cf 0 _ 0 0 _ Cf Cf _ I y II y III y y y y Cf Cf Cf IV y V y V y 7. y y C f y Cf _ Cf _ Cf I y II y III y y y y Cf Cf Cf _ Cf _ IV y V y VI y 8. α. Αλ Α ην εδίν νξηζκνύ ηεο f ηόηε εεηδή ε f είλαη εξηηηή, γηα θάζε A είλαη f( ) = f(). Οόηε γηα = 0 είλαη: f(0) = f(0) f(0) + f(0) =0 f(0) = 0 f(0) = 0. β. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη αό ην ζεκείν Α(, ) θαη εεηδή ε f είλαη εξηηηή έρνκε: f(0) = 0 f( ) = νόηε f() = f( ) = Άξα f(0) f() = 0 ( ) = = 0.

56 9. H f έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = R, νόηε γηα θάζε A, έρνκε: A 56 f( ) = + + = = f() Άξα ε f είλαη άξηηα, νόηε ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε έρεη άμνλα ζκκεηξίαο ηνλ y y. H g έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = R* ή Α = (, 0) (0, +). Οόηε γηα θάζε A, είλαη: A g( ) = = = g() 6 6 ( ) Άξα ε g είλαη άξηηα, νόηε ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε έρεη άμνλα ζκκεηξίαο ηνλ y y. 0. H f έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = (, ] [, +). Γηα θάζε A, είλαη: A f( ) = ( ) ( ) 9 = 9 = f() Άξα ε f είλαη εξηηηή, νόηε ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε έρεη θέληξν ζκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. H g έρεη εδίν νξηζκνύ ην Α = ( 4, 4). Γηα θάζε A, είλαη: A g( ) = 6( ) = 6 = g() 6 ( ) 6 Άξα ε g είλαη εξηηηή, νόηε ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε έρεη θέληξν ζκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

57 57. ΚΑΣΑΚΟΡΤΥΗ-ΟΡΙΖΟΝΣΙΑ ΜΕΣΑΣΟΠΙΗ ΚΑΜΠΤΛΗ. α. Δηλαη β. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f() ( ). ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο f () ( ) ξνθύηεη αό νξηδόληηα κεηαηόηζε y θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη ηαηόρξνλα θαηαθόξθε κεηαηόηζε θαηά κνλάδα ξνο ηα άλσ, όσο θαίλεηαη ζην αξαθάησ ζρήκα.. α. Η ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην δηάζηεκα, θαη γλεζίσο αύμνζα ζην δηάζηεκα,. Παξνζηάδεη ειάρηζηε ηηκή γηα ηελ f. β. Παξαηεξνύκε όηη ε Cg ξνθύηεη αό ηελ δεμηά θαη 4 κνλάδεο θάησ. C f, αλ ε Cf κεηαηνηζηεί θαηά 4 κνλάδεο Άξα είλαη : g f 4 4 γηα θάζε R.. α. Έρνκε: f

58 58 β. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ζα ξνθύςεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο g κε δύν κεηαηνίζεηο : κία νξηδόληηα ηεο ηα δεμηά θαηά κνλάδεο θαη κία θαηαθόξθε ηεο ηα άλσ θαηά κία κνλάδα f 5,άξα ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο 4. α. Δίλαη f είλαη fmin 5. Αιιά ειάρηζην ζην 0. β. Η ζλάξηεζε f 5 Γηα θάζε R θαη R, άξα f f 0 f min έρεη εδίν νξηζκνύ ην R, άξα:, άξα ε f αξνζηάδεη. f 5 5 f, άξα f f Δνκέλσο ε ζλάξηεζε f είλαη άξηηα. γ. Η γξαθηθή αξάζηαζε C f ξνθύηεη αό θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο κνλάδεο ξνο ηα θάησ. C g θαηά 5 5. α. Η ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην, θαη γλεζίσο αύμνζα,.δίζεο αξνζηάδεη ηνηθό (νιηθό) ειάρηζην ζηε ζέζε, ην f 0. ζην β. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο g ξνθύηεη αό:

59 Μηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο C f θαηά κνλάδεο ξνο ηα θάησ θαη 59 κηα νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο C f θαηά 5 κνλάδεο ξνο ηα δεμηά. Δνκέλσο ν ηύνο ηεο ζλάξηεζεο g είλαη g f 5,. Αιιά f,, άξα 6. α. Η ζλάξηεζε f νξίδεηαη αλ θαη κόλν αλ: g 5, Δνκέλσο ην εδίν νξηζκνύ είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα Α 8,8. β. Δεηδή ην εδίν νξηζκνύ είλαη ην θιεηζηό δηάζηεκα Α 8,8 ζλζήθε : γηα θάζε A θαη A. Δηιένλ γηα θάζε [ 8,8], είλαη :, ηθαλννηείηαη ε f( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 8 ( 8 8 ) f() Άξα ε ζλάξηεζε f είλαη εξηηηή. γ. Δεηδή ε f είλαη εξηηηή, ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε είλαη ζκκεηξηθή σο ξνο θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. Δηιένλ ε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα νόηε ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε είλαη ε III. Δίλαη : 8 8 f( 8) f() f(8) 4 f() 4, εεηδή ε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα. Άξα ε f έρεη γηα 8, κέγηζην ην f 8 4 θαη γηα 8, ειάρηζην ην f 8 4. δ. Η ζλάξηεζε g έρεη εδίν νξηζκνύ είζεο ην Α 8,8 θαη ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f κε κεηαθνξά θαηά κνλάδεο ξνο ηα θάησ. Δνκέλσο ζα έρεη θέληξν ζκκεηξίαο ην ζεκείν B,0. Έηζη δελ είλαη ζκκεηξηθή σο ξνο ην O(0, 0), νύηε σο ξνο ηνλ y y άμνλα Δνκέλσο δελ είλαη νύηε άξηηα νύηε εξηηηή. Δίζεο ε ζλάξηεζε h έρεη ηύν: θαη νξίδεηαη αλ θαη κόλν αλ : h() f( ) 8 ( ) 8 ( )

60 60 Δνκέλσο ην εδίν νξηζκνύ ηεο είλαη A, 5 h, άξα δελ είλαη νύηε άξηηα νύηε εξηηηή, εεηδή δελ ηθαλννηείηαη ε ζλζήθε γηα θάζε A A A A. θαη h. αθνύ.ρ. είλαη h θαη h h 7. α. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f c d, R δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία A0, 6 θαη ησλ ζεκείσλ ζα εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζή ηεο, άξα Οόηε B 4, 0, ενκέλσο νη ζληεηαγκέλεο f 0 6 θαη f 4 0 f c d 6 c d 6 c d () f c d 0 6 8c c d 0 6 8c c d 0 (). Αό ηηο ζρέζεηο () θαη () ξνθύηεη : 6 8c 0 8c 48 c 6 θαη 6 d 4 d d. β. Δεηδή c 6 θαη d είλαη f 6, R. i. Γηα λα βξνύκε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο C f κε ηνλ άμνλα ιύλνκε ην ζύζηεκα y f y 0 Δνκέλσο ηα θνηλά ζεκεία ηεο Αληίζηνηρα γηα ην ζεκείν ηνκήο ηεο δειαδή ην ζεκείν A0, 6. f ή 6 4 C f κε ηνλ άμνλα είλαη B4, 0 θαη Γ8, 0. ii.. Η ζλάξηεζε g είλαη ηεο κνξθήο y α ανηειεί θακύιε ν νλνκάδεηαη αξαβνιή κε θνξθή ην Ο(0,0), ην ννίν ανηειεί θαη ην ειάρηζηό ηεο. C f κε ηνλ άμνλα yy βξίζθνκε ην f 0 6, θαη ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f 6 ξνθύηεη αό κεηαηόηζε ηεο C, όσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα, θαηά κνλάδεο ξνο ηα θάησ θαη θαηά 6 κνλάδεο δεμηά. g

61 6 iii. Η ζλάξηεζε f αξνζηάδεη ειάρηζην γηα 6, ην f 6. Σην δηάζηεκα ζην δηάζηεκα,6 είλαη γλεζίσο θζίλνζα θαη 6, είλαη γλεζίσο αύμνζα. 8. α. Γηα θάζε είλαη : f. Δνκέλσο είλαη f θ, άξα ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ κε νξηδόληηα κεηαηόηζε θαηά κνλάδα ξνο ηα δεμηά θαη κε θαηαθόξθε κεηαηόηζε θαηά κνλάδεο ξνο ηα άλσ, όσο θαίλεηαη ζην εόκελν ζρήκα. β. i. Όσο ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε, ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην δηάζηεκα, θαη γλεζίσο θζίλνζα ζην,. ii. Η ζλάξηεζε f αξνζηάδεη κέγηζην (νιηθό) ζην, ην f.

62 iii. Η εμίζσζε 6 f θ, θ έρεη δν ξίδεο, εεηδή ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f έρεη κε ηελ εζεία y θ, θ άληα δν θνηλά ζεκεία Άιισζηε f θ, θ έρνκε: εηιύνληαο ηελ εμίζσζε f θ θ θ 0,, θ θαη εεηδή Γ 4 4θ 8 4θ 4 θ 0 (δηόηη θ ), άξα ε εμίζσζε f θ, θ έρεη δύν ξίδεο. 9. α. Η αξαβνιή δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α,0,Β,0,Γ0,, άξα νη ζληεηαγκέλεο ηνο εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζήο ηεο. Οόηε είλαη: 0 α β γ 9α β γ 0 0 α β γ 4α β γ 0 α0 β0 γ γ. Δηιύνληαο ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ (), () θαη () έρνκε : 9α β γ 0 9α β 0 9α β 4α β γ 0 4α β 0 4α β γ 9 D D 4 6 0, α 9 Dβ θαη D D α Άξα: β 0 0 α,β,,, D D 0 0 Οόηε α, β, γ f., άξα ε εμίζσζε ηεο αξαβνιήο είλαη : β. Αλ α, β 0 θαη γ, ε εμίζσζε ηεο αξαβνιήο αίξλεη ηελ κνξθή: f. Άξα ηα θνηλά ζεκεία αξαβνιήο θαη εζείαο ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην ζζηήκαηνο: y y, β Γ 6 6 α 4 Άξα γηα έρνκε y 0 θαη γηα 4 έρνκε y 6.

63 6 Δνκέλσο ηα ζεκεία ηνκήο ηεο f θαη ηεο είλαη ηα : Α,0 θαη Γ 4,6. g γ. Αλ κεηαηνίζνκε ηελ αξαβνιή θαηά 4,5 κνλάδεο ξνο ηα άλσ ξνθύηεη ε h f 4, 5 f. 5 h θαη ηεο g εμίζσζε: Δηιύνληαο ην λέν ζύζηεκα ηεο 5 y 5 έρνκε: 0 y θαη y. 5 Δνκέλσο ην ζεκείν ηνκήο ησλ h θαη, y,. g είλαη έλα, ην:

64 0. α. Αθνύ ε ζλάξηεζε f() = α + β, α, β R δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(5, 8), ηζρύεη: f() = θαη f(5) = 8 α + β = θαη 5α + β = 8 Αθαηξώληαο ηηο ζρέζεηο θαηά κέιε ξνθύηεη Αληηθαζηζηώληαο Τόηε: f() = α = ζηε ζρέζε α + β =, ξνθύηεη: 4α = 6 α = α =. + β = β = β = β. Αθνύ g() είλαη ε ζλάξηεζε ν ξνθύηεη αό ηε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f νξηδόληηα θαηά κνλάδα ξνο ηα αξηζηεξά θαη θαηαθόξθα θαηά κνλάδεο ξνο ηα θάησ, ηζρύεη: g() = f( + ) g() = ( + ) + g() = g() = + g() = γ. Αθνύ h() = ( ) είλαη ε ζλάξηεζε ν ξνθύηεη αό ηε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f νξηδόληηα θαηά θ κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη θαηαθόξθα θαηά θ κνλάδεο θάησ, ηζρύεη θ θ h() = f( θ) ( ) = ( θ) + ( ) = ( θ) + θ = θ + θ 4θ = 4 θ =. Β. Έρνκε: ( ) ( 6 9) 8 9 f() Β. Η C f ξνθύηεη αό κεηαηόηζε ηεο C g θαηά κνλάδεο νξηδόληηα ξνο ηα δεμηά θαη θαηά κνλάδα θαηαθόξθα ξνο ηα άλσ. Β. Δίλαη ε f() γλεζίσο θζίλνζα ζην (,] θαη γλεζίσο αύμνζα ζην [, ). Παξνζηάδεη ειάρηζην αλ = ην f () ( ).. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() = ανηειείηαη αό ηηο δηρνηόκνο ησλ γσληώλ O y θαη O y. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f() = + ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο y = θαηά κνλάδα ξνο ηα άλσ, ελώ ε γξαθηθή

65 65 αξάζηαζε ηεο g = ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο y = θαηά κνλάδα ξνο ηα θάησ.. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f() = + ξνθύηεη αό κηα νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο y = θαηά κνλάδεο ξνο ηα αξηζηεξά, ελώ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο g() = ξνθύηεη αό κηα νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο y = θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά. 4. Αξρηθά ραξάζνκε ηελ y = +, ν όλησο είδακε ζηελ ξνεγνύκελε άζθεζε ξνθύηεη αό κηα νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο y = θαηά κνλάδεο ξνο ηα αξηζηεξά. Σηε ζλέρεηα ραξάζζνκε ηελ f() = + + ν ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο y = + θαηά κνλάδα ξνο ηα άλσ. Οκνίσο ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο g() = ξνθύηεη αό δύν δηαδνρηθέο κεηαηνίζεηο ηεο y =, κηαο νξηδόληηαο θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά κνλάδα ξνο ηα θάησ. 5. Έρνκε: f() = + 8 = ( 4) + 8 = ( 4 + 4) + 8 = ( ) 4 Άξα ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ξνθύηεη αό δν δηαδνρηθέο κεηαηνίζεεηο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο g() = θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά 4 κνλάδεο ξνο ηα θάησ. 6. i) f() = ( ) 4( ) = 6 + ii) f() = ( ) 4( ) + 5 = iii) f() = ( + ) 4( + ) = + 4 iv) f() = ( + ) 4( + ) + 5 = 7. i) Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f() = θ( + ) + ξνθύηεη αό δν κεηαηνίζεηο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο θ, κηαο νξηδόληηαο θαηά κνλάδεο ξνο ηα αξηζηεξά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά κνλάδεο ξνο ηα άλσ.

66 66 ii) Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f() = θ( + ) ξνθύηεη αό δν κεηαηνίζεηο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο θ, κηαο νξηδόληηαο θαηά κνλάδεο ξνο ηα αξηζηεξά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά κνλάδα ξνο ηα θάησ. iii) Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f() = θ( 4) + ξνθύηεη αό δν κεηαηνίζεηο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο θ, κηαο νξηδόληηαο θαηά 4 κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά κνλάδεο ξνο ηα άλσ. iv) Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f() = θ( 5) 6 ξνθύηεη αό δν κεηαηνίζεηο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο θ, κηαο νξηδόληηαο θαηά 5 κνλάδεο ξνο ηα δεμηά θαη κηαο θαηαθόξθεο θαηά 6 κνλάδεο ξνο ηα θάησ. 8. i) Έρνκε: f() = ( + ) + 6( + ) + 5 = ii) Γηα = 0 είλαη f(0) = = 8, άξα ε C f ηέκλεη ηνλ y y ζην ζεκείν Α(0, 8). Γηα y = 0 είλαη = 0 νόηε εεηδή Γ < 0 ε C f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα. iii) Δίλαη f() < 0 άξα < 0 θαη εεηδή Γ < 0 ε αλίζσζε < 0 είλαη αδύλαηε. Άξα ε C f είλαη άλσ αό ηνλ άμνλα. 9. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο g() = -f() είλαη ζκκεηξηθή ηεο C f σο ξνο ηνλ άμνλα. 40. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() = f( + ) ξνθύηεη αό νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f θαηά κνλάδα ξνο ηα αξηζηεξά. 4. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() = f() + ξνθύηεη αό θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f θαηά κνλάδεο ξνο ηα άλσ. 4. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() = f( ) ξνθύηεη αό νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά. 4. Η γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() = f() ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f θαηά κνλάδα ξνο ηα θάησ.

67 α. Δίλαη 0, άξα ζλ 0,νόηε έρνκε: ζλ 5ζλ 4 0 ζλ 0 ή 5ζλ 4 0 ζλ ( ανξ. εεηδή ζλ 0 ) ή 4 4 ζλ. Άξα ζλ β. εκ ζλ εκ εκ εκ Άξα εκ ή εκ. Αιιά 0, άξα εκ 0, νόηε εκ Δίζεο εκ 5 4 εθ θαη ζθ ζλ 4 4 εθ α. Έρνκε y y y y y y y y y y 0 0 ή y 0 Οόηε ην ζύζηεκα είλαη ηζνδύλακν κε ηα ζζηήκαηα y y 0 0 Δνκέλσο νη ιύζεηο είλαη, y 0, ή, y,0 β. Αό ηελ ζρέζε ζλσ εκσ θαη ηελ ηαηόηεηα ζλσ εκσ ζλσ,εκσ y y ζλ σ εκ σ y ή y y 0 y 0. ζλ σεκ σ, έρνκε: κε, y Αιιά ζύκθσλα κε ην α) εξώηεκα είλαη:, y 0, ή, y,0 δεθηέο. Δνκέλσο έρνκε : σ ή, είλαη σ. ζλσ 0 θαη εκσ θαη εεηδή 0 σ, είλαη ζλσ θαη εκσ 0 θαη εεηδή 0 σ 46. Έρνκε 6 6 ζλ νόηε εκ ζλ εθ ( ) , ν είλαη

68 47. Έρνκε 48. Έρνκε 49. Έρνκε 68 6 Άξα Α 7( ) ζλ 9ζλ 6ζλ ζλ ζλ ζλ 9ζλ 6 0 ζλ 0 ν ηζρύεη ζλ ζλ ζλ ζλ εκ ζλ εκ ζλ(ζλ εκζλ εκ ) ζλ(ζλ εκ) 0 δηόηη (ζλ εκ) 0 θαη ζλ 0 θαζόζνλ 4 4 εκ α ζλ α εκ α ζλ α εκ αζλ α εθ α ζθ α 50. Έρνκε (εκ α ζλ α) εκ α ζλ α ζλ α εκ α εκ α ζλ α εκ α ζλ α εθα ζλ α ζλ α ζλ α ζλα ζλα εθ α εκα εκ α εκα ζλ α εκ α εκα εκαζλ α ζλ α ζλ α εκ αζλα ζλ α ζλα(εκ α ζλ α) εκα εκα ζλ α ζλ α εκαζλα ζλα εκα εκα εκα εκα ζθα 5. Έρνκε ζλ α εκ α (ζλα εκα)(ζλ α εκαζλα εκ α) εκαζλα εκαζλα (ζλα εκα)( εκαζλα) ζλα εκα εκαζλα 5. Έρνκε εκαζλα εθα ζθα εκα ζλα εκ α ζλ α ζλα εκα εκαζλα εκ α ζλ α εκαζλα (εκα ζλα)

69 69 5. Έρνκε εκ α( ζθα) ζλ α( εθα) εκ α( ) ζλ α( ) εκα ζλα ζλα εκα εκα ζλα εκ α( ) ζλ α( ) εκ α(εκα ζλα) ζλ α(εκα ζλα) (εκα ζλα)(εκ α ζλ α) εκα ζλα ζλα εκα εκα ζλα 54. Έρνκε ζλζ ζλζ ζθζ ζλζ εκζ εκζ ζλζεθζ ζλζ ζθζ ζλζ ζλζ εκζ ζλζ εκζζλζ ζλζ( εκζ) εκζ εκζ εκζ εκζ ζλζ ζλζ 55. Έρνκε εκ α ζλ β εκ β ζλ α εκ α( εκ β) εκ β( εκ α) εκ α εκ αεκ β εκ β εκ βεκ α εκ α εκ β 56. Έρνκε ζλζ εκζ ζλζ εκζ εκ ζ ζλ ζ ( εκζ) εθζ εκζ ζλζ εκζ ζλζ( εκζ) ζλζ( εκζ) ζλζ 57. Έρνκε 4 4 εκ ζλ εκ ζλ εκ εθ ζλ ζθ εκ ζλ ζλ εκ ζλεκ (εκ ζλ )(εκ ζλ ) εκ ζλ εθ ζθ ζλεκ ζλεκ ζλεκ 58. Έρνκε ζλ ζ ζλζ εκζ ζλζ 59. Έρνκε ζλ ζ εθζ εθζ ( ζλ ζ) εθζ εκ ζ

70 70 εκζ εκζ ( εκζ)( εκζ) ζλ ζ( εκζ) ζλ ζ εκζ ζλ ζ( εκζ) ( εκζ)( εκζ) ( εκ ζ)( εκζ) ζλ ζ( εκζ) ( εκζ)[( εκζ) ( εκζ)( εκζ)] ζλ ζ( εκζ) 60. Έρνκε εκζ εκζ εκζ εκ ζ ζλ ζ εθ ζ εκ α εκ α εκ α εκ α εκ α ζλ α ζλ α εκ α ζλ α ζλ α( ζλ α) 4 εκ α ζλ αζλ α) 4 εθ α 6. Έρνκε ζλ σ ζλ σ( εκ σ) ζλ σ ζθ σ ζλ σ ζλ σ ζλ σ εκ σ εκ σ εκ σ 6. Έρνκε ζθ σζλ σ εθα εθ α εθα εθ α εθα εθ α εθα εθ α ζθα ζθ α εθα εθ α εθ α εθ α 6. Έρνκε εκ εκ εκζλ εκ εθ εκ ζλ ζλ εκ( ζλ) εκ εκ εκ ζλεκ ζλ ζλ ζλεκ ζλ( ζλ)( ζλ) ζλ ζλ 64. Έρνκε

71 7 εκ εκζλ εθ ζλ ζλ ζλ ζλ εκζλ εκ ζλ ζλ (εκ ζλ) εκ ζλ εκ ζλ ζλ εκ ( ) εθ ζλ ζλ ζλ ζλ (εκ 0, ζλ 0) 65. Έρνκε 66. Έρνκε Α Β (εκαζλβ εκβζλα) (ζλαζλβ εκαεκβ) εκ αζλ β εκ βζλ α εκαζλβεκβζλα ζλ αζλ β εκ αεκ β ζλαζλβεκαεκβ ζλ β(εκ α ζλ α) εκ β(εκ α ζλ α) ζλ β εκ β εθ ζθ εκ εκ ζλ ζλ εθ ζθ ζλ εκ ζλ εκ 4 4 εκ ζλ εκ ζλ (εκ ζλ ) εκ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ ζλ ζλ εκ εκ ζλ ζλ εκ εκζλ εκζλ εκζλ 67. Έρνκε Α Β (εκαζλα) (ζλ α εκ α) 4 4 4εκ αζλ α ζλ α εκ α εκ αζλ α 68. Έρνκε 4 4 ζλ α εκ α εκ αζλ α (ζλ α εκ α) y z (αζλζζλθ) (αζλζεκθ) (αεκζ) α ζλ ζζλ θ α ζλ ζεκ θ α εκ ζ α ζλ ζ(ζλ θ εκ θ) α εκ ζ α ζλ ζ α εκ ζ α (ζλ ζ εκ ζ) α 69. Έρνκε

72 7 εκ ζλ εκ (εκ ζλ )(ζλ ) εκ(εκ ζλ ) εκ ζλ ζλ εκζλ εκ ζλ ζλ ζλ εκ εκζλ+εκ εκ ζλ ν ηζρύεη. 70. Έρνκε ζλ εκ ζθ εθ εκ ζλ εκ εκ ζλ ζλ εκ ζλ εκζλ εκ ζλ ζλ εκ (εκ ζλ) εκ ζλ εκζλ εκζλ εκζλ εκζλ 7. Έρνκε Α εθα ζθα εκ αεθα ζλ αζθα εκαζλα εθα( εκ α) ζθα( ζλ α) εκαζλα εκα ζλα ζλα εκα εθαζλ α ζθαεκ α εκαζλα ζλ α εκ α εκαζλα εκαζλα ζλαεκα εκαζλα 0 7. Έρνκε ( ) α β ζλ (yεθ) y εθ y y ζλ y ζλ εκ εκ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ 7. Έρνκε εκ ζ ζλ ζ ( ) ( ) εθ Άξα άξρεη ηέηνηα γσλία ζ θαη βξίζθεηαη ζην ν ηεηαξηεκόξην αθό εκζ<0 θαη ζλζ<0 74. Έρνκε 9 εκζ νόηε εκ ζ ζλζ νόηε ζλ ζ 4 5 όκσο εκ ζ ζλ ζ άηνν άξα δελ άξρεη ηέηνηα γσλία α. Έρνκε

73 7 β. εκ 4ζλ 5 εκ 5 4ζλ νόηε (εκ) (5 4ζλ) 9εκ 5 6ζλ 40ζλ 9( ζλ ) 5 6ζλ 40ζλ 9 9ζλ 5 6ζλ 40ζλ 5ζλ 40ζλ 6 0 (5ζλ 4) 0 ζλ Οόηε ζλ εκ νόηε εκ 4 5 εκ 5 5 (ζλ) ( εκ) 4ζλ 4 εκ 4εκ 4( εκ ) 4 εκ 4εκ 4 4εκ 4 εκ 4εκ 5εκ 4εκ 0 4 εκ 0 ή εκ 5 Γηα εκ 0 νόηε ζλ ζλ 4 4 Γηα εκ νόηε ζλ ζλ Έρνκε εκ ζλ νόηε 4 εκζλ εκζλ άξα Α (εκ ζλ) ( ) εκ ζλ εκζλ 77. Έρνκε Β εκ ζλ (εκ ζλ)(εκ εκζλ+ζλ ) 9 [ ( )] 8 6 Γ (εκ ) (ζλ ) (εκ ζλ ) εκ ζλ 8 (εκζλ) ( )

74 78. Έρνκε 74 ι ι ι (ι ) 4ι εκ ζλ ι ι (ι ) (ι ) (ι ) 4ι (ι ) ι ι 4ι ι ι 4ι ι 0 4ι(ι ) 0 ι 0 ή ι ι ι ι ι εθ ζθ ι ι ι ι ι 4 ι ι ή ι 79. α. Δίλαη 9 εκ θ ζλ θ ζλ θ ζλ θ ζλ θ ζλθ ή ζλθ Αιιά εεηδή ε γσλία θ είλαη νμεία, είλαη ζλθ 0 θαη ενκέλσο β. Παξαηεξνύκε όηη σ θ θαη ζ σ, 4 ζλθ. 5 εκσ εκ θ εκθ 5 4 ζλσ ζλ θ ζλθ 5 άξα είλαη: θαη εκζ εκ σ εκ σ εκσ θαη 5 4 ζλζ ζλ σ ζλ σ ζλσ Έρνκε

75 040 ( 6) εκ( 040 ) εκ0 εκ(80 60 ) εκ ζλ( 040 ) ζλ0 ζλ(80 60 ) ζλ εθ( 040 ) εθ0 εθ(80 60 ) εθ ζθ( 040 ) ζθ0 ζθ(80 60 ) ζθ εκ εκ(6 ) εκ εκ( ) εκ ζλ ζλ(6 ) ζλ ζλ( ) ζλ εθ εθ(6 ) εθ εθ( ) εθ ζθ ζθ(6 ) ζθ ζθ( ) ζθ Έρνκε εκ( ) εκ( 4 ) εκ ζθ( ) εθ( ) εθ ζλ( ) ζλ ζλ(6 ) ζλ( ) ζλ 74 ζλ ζλ( ) ζλ( ) ζλ ζθ( ) ζθ( 4 ) ζθ Άξα Α 0 8. Έρνκε

76 76 εκ( α) εκα, ζλ( ζ) ζλζ ζλ( α) εκα, εθ( α) ζθα, εκ( α) εκ[ ( α) εκ( α) εκα εκα( εκα)( ζθα) ζλα Άξα Α εκαζθα εκα ζλα εκα εκα 8. Έρνκε εκ(80 α) εκα, εθ(70 α) εθ[80 (90 α)] εθ(90 α) ζθα 0 0 ζλ(α 60 ) ζλ[ (60 α)] ζλ(60 α) ζλ( α) ζλα 0 0 ζθ(80 α) ζθα εθ(90 α) εθ[90 ( α)] ζθ( α) ζθα ζλ(70 α) ζλ[60 ( 90 α)] ζλ(α 90 ) ζλ(90 α) εκα εκαζθαζλα ζλα ζλα Α εκα ζθα( ζθα)εκα ζθα ζλα εκα 84. Έρνκε εθ( ζ) εθζ, ζλ( ζ) ζλζ ζλ( ζ) ζλ[ ( ζ)] ζλ( ζ) εκζ εκ( ζ) εκζ, ζλ( ζ) ζλζ, ζθ( ζ) εθζ εθζζλζ( εκζ) Άξα Α εκζζλζεθζ 85. Έρνκε ζλ0 ζλ(80 0 ) ζλ ζλ5 ζλ(80 45 ) ζλ ζλ40 ζλ(80 60 ) ζλ60 6 Άξα Α ( )( ) Έρνκε εκ εκ(90 68 ) ζλ68 εκ εκ(80 68 ) εκ ζλ ζλ(80 68 ) ζλ

77 Άξα Α εκ 68 εκ εκ ζλ ζλ 68 ζλ εκ 68 ζλ 68 εκ 68 ( ζλ68 ) ζλ 68 ζλ 68 εκ 68 ζλ 68 ζλ 68 ζλ 68 (εκ 68 ζλ 68 ) 87. Έρνκε 44 ζλ νόηε ζλ αθνύ (0, ) εθ 5 5 ( ) εκ ζλ ( ) νόηε εκ αθνύ (0, ) Άξα Α εκ( ζλ) Έρνκε 0 εκ(α 90 ) εκ(90 α) ζλα εκ(α 80 ) εκ(80 α) εκα εκ(α 70 ) εκ(70 α) εκ[80 (90 α)] εκ(90 α) ζλα εκ(α 60 ) εκ(60 α) εκ( α) εκα Α εκα εκ(α 90 ) εκ(α 80 ) εκ(α 70 ) εκ(α 60 ) εκα ( ζλα) ( εκα) ζλα εκα εκα ζλα εκα ζλα εκα εκα 89. Έρνκε εκ( ζ) εκζ, ζλ(ζ ) ζλ( ζ) εκζ εθ(7 ζ) εθ[6 ( ζ)] εθ( ζ) εθζ εκ( ζ) εκ[ ( ζ)] εκ( ζ) εκ( ζ) ζλζ ζλ( ζ) ζλ[ ( ζ)] ζλ( ζ) ζλζ εθ( ζ) εθζ εκζεκζεθζ Άξα Α εθ ζ ζλζ( ζλζ)εθζ 90. Έρνκε

78 εκ( ζ) εκζ, 78 ζλ( ζ) εκζ ζλ( ζ) ζλζ εκ( ζ) εκ[ ( ζ)] εκ( ζ) εκ( ζ) ζλζ εθ( ζ) εθ[ ( ζ) εθ( ζ) ζθζ εθ( ζ) εθζ, εθ( ζ) ζθζ, εθ( ζ) εθζ εκζεκζ ( ζλζ)( ζλζ) εκ ζ ζλ ζ Άξα Α ζθζ( εθζ) ( ζθζ)εθζ 9. Έρνκε εκ ζ ζλ ζ ( ) νόηε εκζ αθνύ ζ (0, ) εκ( ζ) εκζ 5 ζλ( ζ) ζλ[ ( ζ)] ζλ( ζ) ζλ( ζ) εκζ ζλ( ζ) ζλ( ζ), εκ( ζ) ζλζ, εθ( ζ) εθζ εκ( ζ) ζλζ ( ) Άξα Α Έρνκε εθ( ) εθ, ζλ( ) ζλ εκ(9 ) εκ[8 ( )] εκ( ) εκ 7 ζθ( ) ζθ[8 ( )] ζθ( ) εθ ζλ( ) ζλ( ) ζλ( ) ζλ ζλ( ) ζλ[6 ( ) ζλ( ) εκ εθζλ( εκ) Άξα Α εθζλ( εκ) 9. Έρνκε

79 79 εθ9 εθ(80 89 ) εθ89 ζθ εθ9 εθ(80 88 ) εθ88 ζθ Άξα Α εθ ( ζθ )εθ ( ζθ ) ( )( ) ζλ( ) εκ εκ( ) ζλ εκ( ) εκ, ζλ( ) ζλ, εκ( ) εκ Άξα Β ( εκ) εκ( εκ) ζλ( ζλ) Τειηθά Β Α (εκ ζλ ) εκ εκ ζλ 94. Έρνκε εκ5 εκ(80 45 ) εκ ζλ0 εκ(80 60 ) ζλ ζλ5 ζλ(80 45 ) ζλ εθ( 0 ) εθ0 εθ(80 60 ) εθ εθ5 εθ(80 45 ) εθ45 ( ) ( )( ) Άξα Α ( ) 95. Έρνκε ζλ5 ζλ(80 45 ) ζλ εκ0 εκ(80 60 ) εκ εκ50 εκ(80 0 ) εκ0 4 Άξα Α ( ) ( ) 96. Έρνκε εθ(45 ) εθ(45 ) 0 νόηε [εθ(45 ) εθ(45 )] 0

80 80 εθ (45 ) εθ (45 ) εθ(45 )εθ(45 ) 00 εθ (45 ) εθ (45 ) εθ(45 )ζθ(45 ) 00 εθ (45 ) εθ (45 ) 00 εθ (45 ) εθ (45 ) Έρνκε 0 i. Β Γ 90 άξα εκβ ζλγ θαη ζλβ εκγ νόηε εκβ ζλβ ζλγ εκγ ii. 0 Β Γ 90 άξα εθβ ζθγ θαη ζθβ εθγ νόηε εθβ ζθβ ζθγ εθγ 98. α. Ζ f έρεη ειάρηζηε ηηκή f min θαη ε εξίνδνο ηεο είλαη T β., κέγηζηε ηηκή fma γ. Ζ ζλάξηεζε f δελ κνξεί λα άξεη ηελ ηηκή, εεηδή έρεη κέγηζηε ηηκή ην. Άιισζηε αλ ε ζλάξηεζε f κνξνύζε λα άξεη ηελ ηηκή, ζα είρακε ζλ ζλ, άηνν γηαηί ζλ 99. α. Δίλαη ζλ ζλ ζλ ζλ.αιιά θαη εεηδή ε ζλάξηεζε f () ζλ 0,, είλαη είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην 7 ζλ ζλ ζλ θαη ιόγσ ηεο () ξνθύηεη ζλ ζλ ζλ β. Δίλαη εκ ζλ θαη εκ ζλ.

81 8 Αιιά θαη εεηδή ε ζλάξηεζε f () ζλ είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην,, είλαη : ζλ ζλ εκ εκ 00. α. Ζ εξίνδνο ηεο ζλάξηεζεο Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο f είλαη f ma ζλ είλαη f, όηαλ: T. ζλ θ θ, θ R θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη fmin, όηαλ: ζλ θ θ, θ R. β. f ζλ 0-0 ζλ 0 0 Με ηε βνήζεηα ην αξαάλσ ίλαθα ηηκώλ ζρεδηάδνκε ηε γξαθηθή αξάζηαζε ζην δηάζηεκα 0, α. Δίλαη άξα: θαη εκ εκ ζλ εκ, f εκ ζλ εκ εκ εκ.

82 β. Ζ ζλάξηεζε έρεη κέγηζην fma, ειάρηζην fmin θαη εξίνδν 8 Τ. 0. α. Γηα ηε ζλάξηεζε t g(t) 6 εκ είλαη : mag(t) 6 θαη ming(t) 6 0 Σλεώο ma h(t) 8 ma g(t) θαη min h(t) 8 ming(t) 86, δειαδή ην κέγηζην ύςνο ν θηάλεη ην θάζηζκα είλαη 4 m θαη ην ειάρηζην m. Όηαλ ην θάζηζκα βξίζθεηαη ζην κέγηζην ύςνο έρνκε: t t t h(t) εκ 4 6 εκ 6 εκ t t t εκ εκ θ ή θ t 60θ 5 t 60θ 5, θ. Αιιά 0 t θ θ 65 θ, 4 4 νόηε θ 0 ή θ ή θ θαη άξα t 5 ή t 75 ή t 5. Αιιά νόηε Όηαλ ην θάζηζκα βξίζθεηαη ζην ειάρηζην ύςνο έρνκε: t t t h(t) 8 6 εκ 6 εκ 6 εκ t εκ εκ t ι ή 0 0 t 60ι 5 t 60ι 5, ι R. t ι 0 0 t ι ι 95 ι, 4 4 ι ή ι ή ι θαη άξα t 45 ή t 05 ή t 65. β. Γηα ηελ δηάκεηξν ηεο ξόδαο έρνκε:

83 8 d (AE) (BE) ma h(t) min h(t) 4 m, νόηε ε αθηίλα ηεο ξόδαο είλαη 6 m. γ. Ζ εξίνδνο ηεο θίλεζεο είλαη γύξνο. δ. i. Δίλαη: 0 h(0) 8 6 εκ 8, 0 h0 8 6 εκ 8, h(60) 8 6 εκ 8, h(90) 8 6 εκ 86 εκ 8 Άξα έρνκε ηνλ αξαθάησ ίλαθα ηηκώλ: T 60 sec θαη ενκέλσο νη δύν θίιεο έθαλαλ 0 h(5) 8 6 εκ 4, h(45) 8 6 εκ, 5 h(75) 8 6 εκ 8 6 εκ 4 t ht ii. Δνκέλσο ην ηκήκα ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο ζην ζύζηεκα ζληεηαγκέλσλ είλαη: ht κε 0 t 90

84 84 0. α. Ξέξνκε όηη ε εξίνδνο δίλεηαη αό ηνλ ηύν Τ = δεδνκέλα ηεο άζθεζεο όηη ε εξίνδνο είλαη 6 sec, ενκέλσο έρνκε: β. Έρνκε = 6 σ = σ, σ h(0) = 0 α ζλ(σ 0) + β = 0 α+β = 0 α + β = 0 καο δίλεηαη αό ηα Δθόζνλ ε εξίνδνο ην ειαηεξίν είλαη 6 sec θαη κηα ιήξε ηαιάλησζε ζεκαίλεη θίλεζε ζηηο ζέζεηο: ειάρηζην-εξεκία-κέγηζην-εξεκία-ειάρηζην, άξα ην αηγλίδη ζα ρξεηαζηεί ην κηζό ρξόλν ( sec) γηα λα θηάζεηζην κέγηζην ύςνο ην. h() = 00 α ζλ + β = 00 αζλ + β = 00 α + β = 00 Λύλνκε ην ζύζηεκα ησλ δύν εμηζώζεσλ θαη έρνκε: α + β = 0 α + β = 00 (+) Άξα ε ζλάξηεζε ζα έρεη ηύν: γ. Έρνκε β = 0 β = 60. Δνκέλσο: α + 60 = 0 α = 40 t h(t) = 40 ζλ h(4) = 40 ζλ + 60 = 40 ζλ = 40 ζλ = 40 ζλ + 60= 40 ζλ + 60= 40 ζλ + 60 = = = 80 δ) Ζ γξαθηθή αξάζηαζε θαίλεηαη δίια. 04. α. Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f αξαηεξνύκε όηη ε εξίνδνο ηεο είλαη ίζε κε Τ =. Δίζεο γλσξίδνκε όηη Τ. σ Τ Άξα : σ σ Τ σ σ Δθόζνλ ε κέγηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο f είλαη θαη ηζρύεη όηη ξ>0 έρνκε όηη ξ=.

85 85 β. Ζ ζλάξηεζε g() α β δηέξρεηαη (όσο θαίλεηαη αό ην ζρήκα ) αό ηα ζεκεία Ο(0,0) θαη Α(,) άξα νη ζληεηαγκέλεο ηνο ηελ εαιεζεύνλ, δειαδή ηζρύνλ 4 ηα εμήο : g(0) 0 α0β 0 β 0 θαη 4 g( ) α 0 α α 4 4 Άξα ε ζλάξηεζε είλαη ε g(). γ. Έρνκε όηη εκ() 0, ηζνδύλακα ε εμίζσζε γίλεηαη : εκ() f () g() δειαδή νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ησλ δύν γξαθηθώλ αξαζηάζεσλ f θαη g ζην δηάζηεκα [0,] ηα ννία είλαη ηα : O(0,0) θαη Α(,), άξα ην ιήζνο ησλ ιύζεσλ ζην δηάζηεκα αηό είλαη δύν α. Eεηδή f(t) = εκ t +, έρνκε, Τ = = 4 δειαδή ε f νξίδεηαη ζε ιάηνο κηαο εξηόδν ηεο. β. Δίλαη (-) + εκ t εκ t 4 εκ t f(t) 4 Ζ ηηκή 0 εηηγράλεηαη όηαλ f(t) = 0 εκ t = 0 εκ t = εκ t = θαη αθνύε f (θαη ζλεώο θαη ην εκ t ) νξίδεηαη ζε ιάηνο κηαο εξηόδν ηεο, ζα είλαη t = t = (δεθηή) Ζ ηηκή 4 εηηγράλεηαη όηαλ

86 86 f(t) = 4 εκ t = 4 εκ t = εκ t = νόηε, όσο θαη αξαάλσ, ζα είλαη t = t = (δεθηή) Δνκέλσο ε f αξνζηάδεη ειάρηζην ίζν κε 0 γηα t = θαη κέγηζην ίζν κε 4 γηα t =. γ. 06. α. Ζ εξίνδνο ηεο ζλάξηεζεο f είλαη: 8 Τ = = 8 4 β. i. Τν ζεκείν Γ αλήθεη ζηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f θη έρεη ηεηκεκέλε Γ, f f = εκ = εκ = εκ = = 6 Άξα Γ,, νόηε ii. Τν ζεκείν Γ έρεη ηεηαγκέλε θη εεηδή αλήθεη ζηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f, ιύλσ ηελ εμίζσζε f() =. Οόηε:

87 87 f() = εκ = εκ = εκ = εκ = θ + = θ + = 8θ , θ Ε, θ Ε, θ Ε 5 0 = θ + = θ + = 8θ Λύλσ ηελ αλίζσζε > η ερίηωζη: 8θ + 8θ > 0 θ > 0 θη αθνύ θ Ε ε κηθξόηεξε ηηκή γηα ηελ ννία ηζρύεη είλαη θ = γηα ηελ ννία έρνκε ηε ιύζε 6 = 8 + = η ερίηωζη: 0 8 8θ + 8θ > θ > θη αθνύ θ Ε ε κηθξόηεξε ηηκή γηα ηελ ννία ηζρύεη είλαη θ = 0 γηα ηελ ννία έρνκε ηε ιύζε 0 0 = 0 + =. Δεηδή 0 6 < νη ζληεηαγκέλεο ην ζεκείν Γ είλαη 0 Γ,. Δνκέλσο 0 Β, α. Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f αξαηεξνύκε όηη έρεη εξίνδν Τ =. β. Ηζρύεη όηη: Ο αξηζκόο α είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηεο f, νόηε α = θαη Τ = = σ = 4 σ = 4 σ γ. Γηα α = θαη σ = 4 έρνκε: f() = εκ(4).

88 88 Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f αξαηεξνύκε όηη νη αξηζκνί θ R γηα ηνο ννίνο ε εμίζσζε f() = θ έρεη κνλαδηθή ιύζηε ζην δηάζηεκα Οόηε: 0, είλαη ην θαη ην. θ f() = εκ(4) = εκ(4) = 4 = θ + = +, θ Ε 8 Όκσο θ θ θε 0 + < < θ < θ < θ = Άξα ε κνλαδηθή ιύζε αηήο ηεο εμίζσζεο είλαη 0 = θ f() = εκ(4) εκ(4) = 4 = θ =, θ Ε Όκσο 8 θ θ θε 0 < θ < θ < θ Άξα ε κνλαδηθή ιύζε αηήο ηεο εμίζσζεο είλαη = = Ζ εξίνδνο ησλ ζλαξηήζεσλ ηεο κνξθήο εκσ ή ζλσ είλαη σ, άξα ε εξίνδνο ηεο f () εκ είλαη 4 8 T. 4 Ζ εξίνδνο ηεο g() ζλ είλαη ίδηα κε ηελ εξίνδν ηεο ζλ, αθνύ ε g 4 ξνθύηεη αό κηα νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο ζλ, αθνύ ε g ξνθύηεη αό κία νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο ζλ θαηά 4 ξνο ηα «αξηζηεξά». Άξα ε εξίνδνο ηεο g είλαη. Ζ

89 89 εξίνδνο ησλ ζλαξηήζεσλ ηεο κνξθήο εθσ ή ζθσ είλαη σ, άξα ε εξίνδνο ηεο h() εθ είλαη ελώ ηεο t() ζθ4 είλαη Ζ κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε ηηκή κηαο ζλάξηεζεο ηεο κνξθήο ξεκσ είλαη ξ θαη ξ αληίζηνηρα. Άξα γηα ηελ f κέγηζηε ηηκή ε θαη ειάρηζηε ε. Ζ g ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο 4ζλ θαηά ξνο ηα θάησ. Άξα αθνύ ε κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηεο 4ζλ είλαη 4 θαη 4 αληίζηνηρα ηεο g ζα είλαη 4 θαη 4 7 αληίζηνηρα. 0. Έρνκε i. Διάρηζην-κέγηζην ηεο αληίζηνηρα θαη ηεο f() ηα 6 θαη 0 αληίζηνηρα. ii. Πεξίνδνο ηεο f() είλαη ε T 6. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλ είλαη ηα θαη αληίζηνηρα, ηεο ζλ ηα θαη ζλ ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλ κε κεηαηόηζε ξνο ηα αξηζηεξά θαηά. Ζ εξίνδνο ηεο f είλαη Τ= θαη ηε κειεηνύκε ζην δηάζηεκα Γηα, 0,,, αίξλνκε αληίζηνηρα, 0,, 0, γηα ηελ f. Ζ εξίνδνο κηαο ζλάξηεζεο ηεο κνξθήο αηήο είλαη: Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο είλαη α 4 Τ. Άξα 4 4 β β β β. α, γηαηί α>0. Δνκέλσο α=.. Ζ εξίνδνο κηαο ζλάξηεζεο αηήο ηεο κνξθήο είλαη:,. 4. Έρνκε Τ, δειαδή 4 β 4 β β 4

90 90 f () εκ ζλ εκ ζλ Ζ ζλάξηεζε εκ 4 εκ εκ εκ έρεη κέγηζηε ηηκή θαη ειάρηζηε ηηκή. 5. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ξνθύηεη αό κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο ζλάξηεζεο εθ θαηά κηα κνλάδα ξνο ηα άλσ θαη είλαη εξηνδηθή κε εξίνδν. Τε ζρεδηάδνκε ζην δηάζηεκα, 4 4,,, 0,,,, κε αληίζηνηρεο ηηκέο γηα ηελ f H f είλαη εξηνδηθή κε εξίνδν, 0,,,,, αθνύ δώζνκε ζην ηηο ηηκέο θαη ζα ηε κειεηήζνκε ζην 0,. Δίλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην 0, κε αζύκησηεο ηηο =0 θαη. Γίλνληαο ζην ηηο ηηκέο 5,,,,, 6 4 νη αληίζηνηρεο ηηκέο γηα ηελ f είλαη,, 0,, νόηε 7. Ζ ζλάξηεζε g έρεη εξίνδν Γηα Τ άξα ηε κειεηνύκε ζην (, ).,, 0,, έρνκε αληίζηνηρα,, 0,, γηα ηελ g 8. Ζ ξώηε θακύιε έρεη εξίνδν Τ=, έρεη κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή, θαη γηα =0 αίξλεη ηε κέγηζηε ηηκή. Ζ ζλάξηεζε είλαη ε f()=ζλ.

91 9 Ζ δεύηεξε θακύιε έρεη εξίνδν Τ =6. Ζ ζλάξηεζε είλαη ηεο κνξθήο g()=αζλβ. Δεηδή ε κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή είλαη, αληίζηνηρα θαη Τ =6, ζα έρνκε: g() ζλ. 9. α. Γηα λα είλαη ε ηηκή ιύζε ηεο εμίζσζεο ζλ4 0, ξέεη λα ηελ εαιεζεύεη. Πξάγκαηη 4 ζλ4 0 (ζλ )0 ( ) 0 4. β. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο f () ζλ4 κε ηελ εζεία y είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο f () y. θ Δίλαη: ζλ4 ζλ 4 θ, θ R 4 0. α. Δίλαη εκσ ζλσ εκ σζλ σεκσ ζλσ εκσ ζλσ εκσ ζλσ 0 εκσ 0 ή ζλσ 0 β. Αλ εκσ 0 σ θ σ θ θ, θ R, άξα σ θ, θ R ή Αλ ζλσ 0 ζλσ ζλ σ θ, θ R, άξα σ θ, θ R.. α. H ζλάξηεζε g άξα ε ζλάξηεζε εκ έρεη ειάρηζηε ηηκή θαη κέγηζηε, f g έρεη ειάρηζηε ηηκή fmin θαη κέγηζηε fma. β. Δίλαη f εκ εκ εκ. α. Δίλαη: 0, θ εκ εκ ζλ ζλ () ζλ ζλ ()

92 Άξα αό ηεο ζρέζεηο () θαη () ξνθύηεη όηη : β. Δίλαη 9 (α) ζλ εκ ζλ ζλ ζλ 0 εκ ζλ ζλ ζλ 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ, θ Ε. Αιιά 0,, ενκέλσο 0 θ 0 4θ 4 θ, θ Ε. 4 4 Άξα θ 0, νόηε 5 0 θ 0 4θ 4 θ, θ Ε. 4 4 Άξα θ, νόηε.. α. Δίλαη εκ ζλ ζλ ζλ Α ζλ. ζλ ζλ ζλ β. Αό ην εξώηεκα α) γηα θ, θ R ε εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε κε ηελ ζλ ζλ ζλ θαη εεηδή 0,, έρνκε 4. α. Έρνκε Γηα 4 ή εκ ζλ (δεθηέο). είλαη: εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ. β. Δίλαη εκ εκ εκ θ ή θ, θ R θ θ, αδύλαην εεηδή θ Ε 6 θ θ 6

93 9 θαη εεηδή θ Ε είλαη θ 0, νόηε α. Γηα θ, θ R έρνκε: β. Γηα θ,θ R έρνκε: ζλ εκ εκ εκ εκ ζλ εκ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ εκ ζλ ζλ εκ. εκ (α) εκ εκ 4 4 4εκ εκ ζλ ζλ εκ εκ εκ θ ή θ θ ή θ, θ. 6. α. Έρνκε Οη νξίδνζεο D, D, D y ην ζζηήκαηνο είλαη: D ι ι D ι ι ι ι ι Dy ι ι i. Αλ D 0 ι 0 ι, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ : D D y ι ι ι ι, y,,, D D ι ι ι ι ii. Αλ D 0 ι 0 ι, ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: β. Αλ ι Αιιά 0, ζ=. y y y y, ξνθαλώο αδύλαην., ηόηε ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη:, y,, 0 o o θαη εεηδή ζλ o θαη εκ 0 yo, ε δεηνύκελε γσλία είλαη.

94 γ. Αλ ι 94, ηόηε ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη:, y,, Έζησ όηη άξρεη γσλία σ ηέηνηα ώζηε, ζλσ θαη εκσ y, 4 5 νόηε : εκ σ ζλ σ, ν είλαη άηνν Δνκέλσο δελ άξρεη δελ άξρεη γσλία σ, ηέηνηα ώζηε 7. α. Ζ ζλάξηεζε f έρεη ηύν ηεο κνξθήο ξεκ(σ), κε ξ α θαη σ β 0, νόηε είλαη: ζλσ θαη y maf() α α α ή α α ή α 4. Δίζεο είλαη T 4 4 4β β. β β. Γηα α θαη i. β είλαη f () εκ, νόηε είλαη: f () εκ εκ εκ εκ εκσ. θ ή θ 4θ 4θ, θ R. ii. Σην δηάζηεκα 0,8, έρνκε ηνλ αξαθάησ ίλαθα ηηκώλ: f θαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f θαίλεηαη ζην αξαθάησ ζρήκα: 8. α. Δίλαη :

95 95 f0 ζλ0, f ζλ 4 4, f ζλ 0 f ζλ ζλ, f ζλ ζλ, f ζλ 0, f 7 ζλ 7 ζ λ ζλ θαη f () ζλ., g ζλ 0 4, g ζλ g0 ζλ0 g ζλ 0, g ζλ ζλ 0, 4 g ζλ ζλ, 7 g ζλ 7 ζλ 0 4 θαη g( ) ζλ f () 0 0 g()

96 96 β. Τν ιήζνο ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο ζλ ζλ ζην δηάζηεκα 0, είλαη ην ιήζνο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ ησλ C f θαη ξνθύηεη όηη ην ιήζνο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ είλαη 4, C ζην 0,. Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε g άξα ε εμίζσζε () έρεη 4 ιύζεηο ζην 0,. γ. Δίλαη ζλ ζλ θ ή θ θ ή θ θ ή θ, θ R. Αιιά νη ιύζεηο θ θαη θ λα αλήθνλ ζην δηάζηεκα 0,, άξα: 0 θ 0 θ κε θ Ε, νόηε θ 0 ή θ Δνκέλσο γηα θ 0 είλαη 0 θαη γηα θ είλαη θ 0 0 θ 6 0 θ κε θ Ε, νόηε θ 0 ή θ ή θ ή θ Δνκέλσο είλαη 0,, 4, Άξα ε εμίζσζε () ζην δηάζηεκα 0, έρεη 4 ιύζεηο, ηηο : 0,, 4, νη ννίεο είλαη νη ηεηκεκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ ησλ γξαθηθώλ αξαζηάζεσλ ησλ ζλαξηήζεσλ f θαη g. Tα θνηλά ζεκεία, όσο θαίλνληαη θαη ζηελ αξαάλσ γξαθηθή αξάζηαζε είλαη ηα : 9. α. Ζ ζλάξηεζε 4 0,,,,,,, t f (t) εκ 4 είλαη ηεο κνξθήο ft 8 άξα Τ 8 ώξεο. σ 4 ξεκσt, β. H αόζηαζε ην ζώκαηνο αό ην έδαθνο ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t 5θαη t 8

97 97 είλαη αληίζηνηρα : 5 f 5 εκ εκ εκ cm 8 f 8 εκ εκ 0 cm 4 γ. Καηά ην ρξνληθό δηάζηεκα αό t 0 έσο t 8, δειαδή θαηά ηελ δηάξθεηα κηαο εξηόδν, ε ζλάξηεζε αξνζηάδεη ειάρηζην όηαλ t t 6 t 6 ώξεο 4 θαη ε ειάρηζηε αόζηαζε ην ζώκαηνο αό ην έδαθνο είλαη min f cm. 0. α. Ζ ζλάξηεζε t h t 8ζλ είλαη ηεο κνξθήο ξ εκσ κε ξ 8 0 θαη ηηκή ηεο είλαη ma h t 8 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο t ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο gt 8ζλ είλαη ma g t 8 8 θαη σ 0, άξα ε κέγηζηε min h t 8. Άξα θαη ε κέγηζηε θαη min g t 8 8 αληίζηνηρα. t Τέινο, ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο f t 8ζλ 4 είλαη ma f t 8 4 θαη min f t αληίζηνηρα. Δνκέλσο ε κέγηζηε ζεξκνθξαζία θαηά ηε δηάξθεηα ην εηθνζηηεηξαώξν είλαη: ε ειάρηζηε 0 4 C. β. Οη ρξνληθέο ζηηγκέο ν ε ζεξκνθξαζία είλαη ίζε κε f t 0, t 0,4.Άξα είλαη: 0 C θαη 0 0C είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο

98 98 t t t f t 0 8ζλ 4 0 ζλ ζλ ζλ t θ ή t θ t 4θ 4 ή t 4θ 4 t 4θ 4 ή t 4θ 4, θ. Αιιά 0 t 4. Δνκέλσο: θ θ 0 θ, κε θ Ε 4 4 Άξα θ=0 νόηε t=4 ώξεο θ θ 8 θ κε θ Ε 4 4 Άξα θ t ώξεο. 4 γ. Ζ ζλάξηεζε f έρεη εξίνδν T 4 ώξεο, ενκέλσο ε δεηνύκελε γξαθηθή αξάζηαζε αλαθέξεηαη ζε κία εξίνδν ηεο f. t t Δίζεο εεηδή h t 8ζλ θαη gt 8ζλ ε C g είλαη ζκκεηξηθή ηεο t ξνο ηνλ άμνλα. Τέινο ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f t 8ζλ 4 ξνθύηεη αό θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο C θαηά 4 κνλάδεο ξνο ηα άλσ. Δνκέλσο ξνθύηεη ε αξαθάησ γξαθηθή αξάζηαζε: g C h, σο δ. Αό ηελ γξαθηθή αξάζηαζε ξνθύηεη όηη ε ζεξκνθξαζία είλαη άλσ αό ην ρξνληθό δηάζηεκα 4,0. 0 0C όιν. α. Με βάζε ηε γξαθηθή αξάζηαζε, ε κέγηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο f είλαη 4 θαη ε ειάρηζηε ηηκή είλαη 8. β. Ζ εξίνδνο είλαη:

99 99 i. Αιγεβξηθά: T. σ ii. Γεσκεηξηθά: Αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε T. γ. Α ηρόος Ζ ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ζην άξα είλαη β 0, νόηε: Β ηρόος 0, θαη γλεζίσο αύμνζα ζην,, β0 ζλ, β βζλ β, α β α βζλ α β, γηα θάζε. Άξα Ζ ζλάξηεζε f αξνζηάδεη ζην 0 ma f α β α β 4 α θαη β 6. min f α β α β 8 κέγηζην, ην f 0 4 θαη ζην αξνζηάδεη f 0 4 α β 4 ειάρηζην, ην f 8. Οόηε είλαη: α θαη β 6. f 8 α β 8 δ. Γηα α θαη β 6 είλαη f() 6ζλ. Οη ηεηκεκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ ηεο εμίζσζεο C f θαη ηεο εζείαο y είλαη νη ιύζεηο ηεο f () 6ζλ 6ζλ ζλ ζλ ζλ k ή,κε k k k 6 ή,κε k k 6 0, 7 ή ή ή ή Δνκέλσο ηα θνηλά ζεκεία ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f κε ηελ εζεία y ζην δηάζηεκα 0, είλαη ηα ζεκεία: Α,, 6 5 B,, 6 7 Γ, 6 θαη Γ, 6.. α. i. Αό ηελ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f, ξνθύηεη όηη ε κέγηζηε ηηκή ηεο είλαη ην 5 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ην. ii. Ζ εξίνδν ηεο ζλάξηεζεο είλαη T 4.

100 00 β. Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην 5 θαη ξαγκαηννηείηαη όηαλ εκ σ. Ζ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην θαη ξαγκαηννηείηαη όηαλ εκ σ Κάλνληαο αληηθαηάζηαζε ηα αξαάλσ δεδνκέλα ζηελ ζλάξηεζε f ξεκ σ k, έρνκε: 5 ξk ξ k 5 ξ k 5 ξ k 5 k, ξ. ξ k ξ k k 4 k Αό ηνλ ηύν T έρνκε σ 4 σ σ. σ 4 Άξα ε ζλάξηεζε f ξεκ σ k είλαη ε γ. Αλ ξ, A 0, σ θαη k ε ζλάξηεζε είλαη ε f εκ. f εκ. Τν ζεκείν 7 αλήθεη ζηελ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f, άξα νη ζληεηαγκέλεο ην εαιεζεύνλ ηνλ ηύν ηεο ζλάξηεζεο κε 5, εκ 0 εκ 0 εκ 0 εκ 0 εκ 0 εκ 0 θ, θ Ε ε 0 θ, θ Ε θ, θ Ε ε 0 θ, θ Ε 6 6 Δεηδή 5, θ, θ Ε ε 0 4θ, θ Ε αό ην δεύηεξν ζύλνιν ιύζεσλ γηα θ= ξνθύηεη α. Ζ ζλάξηεζε f() = εκ() +

101 0 έρεη εξίνδν Τ = θαη κέγηζηε ηηκή + = β. i. Αθνύ ε ζλάξηεζε δηέξρεηαη αόό ην ζεκείν (0, ) ηζρύεη Παξαηεξνύκε όηη ε ζλάξηεζε έρεη εξίνδν g() = αεκ(β) + γ f(0) = αεκ0 + γ = γ = Τ = = β = β Δίζεο αξαηεξνύκε όηη ε ζλάξηεζε έρεη αληίζεην είδνο κνλνηνλίαο αό ηε ζλάξηεζε εκ. Σλεώο α < 0. Αθνύ ε ζλάξηεζε έρεη κέγηζηε ηηκή ηζρύεη Άξα g() = εκ +. ii. Δίλαη α + = α = α = (αθνύ α < 0) f() = g() εκ() + = εκ + εκ() = εκ εκ() = εκ( ) θ = = θ 4 = θ θ =, θ Ε = θ + + = θ + = θ + Δίλαη θ θ 0 < 0 < 0 < 0 θ < Άξα θ = 0 ή θ = νόηε = 0 ή = 4. Έρνκε εθ 4 εθ 4 εθ 4 εθ

102 Δεηδή 0 θ 4 θ 4 θ, θ Ε 4, έρνκε θ θ θ 6 θαη εεηδή θ Ε 4 4 έρνκε θ=,, 4, 5, νόηε νη αληίζηνηρεο ηηκέο γηα ην είλαη νη δεηνύκελεο. 5. Έρνκε 6. ΠΠεξηνξηζκνί Έρνκε 5,,, 4 4 εκ ζλ εθ εθ θ, θ Ε. (ζλ 0 δηόηη αλ ζλ=0, ηόηε θαη εκ=0 άηνν). θ θ,, θ. ν είλαη θαη εθεθ εθ εθ ζθ εθ εθ θ εθ θ θ, θ Ε 6 7. Έρνκε εκ ζλ 0 (εκ ζλ)(εκ ζλ) 0. Οόηε: εκ εκ ζλ 0 εκ ζλ εθ εθ εθ ζλ 4 θ, θ Ε 4 (ζλ 0 δηόηη αλ ζλ=0, ηόηε θαη εκ=0 άηνν) ή εκ εκ ζλ 0 εκ ζλ εθ εθ θ, θ Ε ζλ Έρνκε εθ εθ ζθ 0 εθ 0 (εθ )(εθ ) 0 εθ εθ 4 ή εθ εθ θ ή θ κε θ Ε.

103 0 Τειηθά θ κε θ Ε Έρνκε (ζλ )(ζλ ) 0 ζλ ή 40. Έρνκε ζλ θ ή θ, θ Ε. εκ εκ ζλ ( ζλ )εκ ζλ 0 εκ εκζλ ζλ 0 ζλ (ζλ εκ) ( εκ) 0 ( εκ )(ζλ εκ) ( εκ) 0 ( εκ)(ζλ εκ εκζλ εκ ) 0 ( εκ)[(ζλ ) εκ(ζλ ) (ζλ ) 0 ( εκ)(ζλ )( εκ ζλ ) 0 εκ ή ζλ ή εκ ζλ, αδύλαηε άξα 4. Έρνκε εκ 0 θαη θ ή θ, θ Ε εκ 0 εκ 0 θ, θ Ε, όκσο [0,], άξα θ εκ 0, θ Ε, όκσο [0, ], 6 5 ή άξα 7 5 ή ή ή. Οη θνηλέο ιύζεηο είλαη: ή ζλ ζλ ζλ ζλ 0 () Θέηνκε ζλ σ νόηε ε () γξάθεηαη: σ σ 0 σ ή σ ανξ. άξα ζλ ζλ θ ή θ. Τειηθά θ, θ Ε. 4. εκ 0. ζθ ζλ ζλζθ 0 ζθ( ζλ) ( ζλ) 0 (ζθ )( ζλ) 0 ζθ θ, θ Ε (ζλ= άηνν) Έρνκε

104 45. Έρνκε εκ 0, ζλ 0. Έρνκε 04 εθεθζθ εθ θ, θ Ε 4 ζλ( 0 ) ζλ60 ζλ0 0 θ Έρνκε θ80 50 ή θ80 70, θ Ε ζλ ζλ ζλ ζλ ή ζλ ζλ θ θ θ ή ή θ ή θαη εεηδή (,) βξίζθνκε ηειηθά 47. Πεξηνξηζκόο: ζλ ή ή ή ή. εκ ζλ εκ εκ εκ 0 ή εκ ανξ. 48. Ζ f έρεη κέγηζην +=5 άξα Άξα εκ 0 θ, θ Ε. f () 5 ζλ ζλ... θ, θ Ε. 49..Πξέεη εκ Όκσο [0, ], άξα 5 ή. εκ εκ εκ εκ εκ ( εκ)( εκ) εκ εκ 0 θ, θ Ε 50.. ζλ 0. εκ 4ζλ 4ζλ ζλ Άξα... ζλ 5ζλ 0 ζλ ή ζλ ανξ. ζλ... θ, θ Ε. 5. Έρνκε 4εκ 4εκ 4(εκ εκ εκ) 0

105 05 4εκ 4εκ 8εκ 4 8εκ 4εκ 0 εκ 0 εκ 4 εκ ή εκ Οόηε: θ 6 εκ εκ εκ ή θ Ε 6 5 θ θ 6 6 θ 6 εκ εκ εκ εκ εκ ή θ Ε θ θ α. Δίλαη εθ σ ζ εθ5 εθ εθ45. β. Δίλαη ζλσ 0 θαη ζλζ 0, άξα νξίδνληαη νη εθσ θαη εθζ, νόηε έρνκε: εθσ εθζ εθσ ζ εθσεθζ εθσ εθζ εθσ εθζ εθσ εθζ εθσ εθζ. 5. α. Σύκθσλα κε ηνλ ηύν εκ α β εκα ζλβ ζλα εκβ έρνκε: β. εκ εκ ζλ ζλ εκ εκ ζλ (α) ζλ εκ 0εκ 0 εκ εκ0 θ, θ Ε ή θ, θ Z ι, ι Ε Αιιά 0,, άξα είλαη: ι, ι Z. ζλ εκ ι ι ι θαη

106 06 εεηδή ι Ε είλαη ι, άξα. 54. α. Έρνκε εκ + + εκ = εκ ζλ + εκ ζλ + εκ ζλ εκ ζλ = εκ + εκ = εκ = εκ β) Αό το ερώτημα α) έχουμε f() = εκ. Για κάθε R ιςχφει, εκ εκ f() Άρα η ςυνάρτηςη f έχει μέγιςτη τιμή το και ελάχιςτη τιμή το. 55. α. Πξνβάιινκε ζηνλ άμνλα yy ηα ζεκεία κε ηεηκεκέλεο,, αξαηεξνύκε όηη : f f f. θαη β. Ζ ζλάξηεζε f δελ είλαη νύηε γλεζίσο αύμνζα νύηε γλεζίσο θζίλνζα ζε όιν ην εδίν νξηζκνύ ηεο, άξα δελ είλαη γλεζίσο κνλόηνλε. Αλ ήηαλ γλεζίσο αύμνζα, ηόηε: γηα ζα ίζρε f f f, ελώ αλ ήηαλ γλεζίσο θζίλνζα, ηόηε: γηα ζα ίζρε f f f. Aιιά αό ην εξώηεκα α) έρνκε f f f γλεζίσο κνλόηνλε., άξα ε ζλάξηεζε δελ είλαη γ. Αλ θέξνκε ηελ νξηδόληηα εζεία ν δηέξρεηαη αό ην ζεκείν,f αξαηεξνύκε όηη ε ζλάξηεζε αίξλεη θαη ηηκέο κεγαιύηεξεο ην f, γηα αξάδεηγκα f f δελ είλαη ζέζε κεγίζην.. Άξα ην 4

107 ζλ(α β)ζλ(α β) (ζλαζλβ εκαεκβ)(ζλαζλβ εκαεκβ) 57. Έρνκε ζλ αζλ β εκ αεκ β ζλ αζλ β ( ζλ α)( ζλ β) ζλ αζλ β ζλ β ζλ α ζλ αζλ β ζλ α ζλ β εκ α εκ β εκ α εκ β (εκαζλβ ζλαεκβ)(εκαζλβ ζλαεκβ) (εκαζλβ) (ζλαεκβ) Α ζλ αζλ β ζλ αζλ β εκ αζλ β ζλ αεκ β εκ αζλ β ζλ αεκ β ζλ αζλ β ζλ αζλ β ζλ αζλ β εθ α εθ β 58. εκ(0 α)ζλα ζλ(0 α)εκα εκ780 εκ(0 α α) εκ780 εκ0 εκ( ) ν ηζρύεη. 59. Α ζλ ζλ(α )[ζλαζλ ζλ(α )] ζλ ζλ(α )(ζλαζλ εκαεκ) ζλ (ζλ αζλ εκ αεκ ) ζλ ( εκ α)ζλ εκ αεκ 60. Έρνκε εκ α(ζλ εκ ) εκ α ζλ(9 ) εκ(9 9 ) ζλ0 εκ0.... εκ(0 0 ) 5 εκ0 ζλ ζλ Δίλαη: ζλ(α β) ζλαζλβ νόηε ζλαζλβ εκαεκβ ζλαζλβ εκαεκβ 0 άξα εκ (α β) (εκαζλβ ζλαεκβ) εκ αζλ β ζλ αεκ β εκαζλβζλαεκβ εκ α( εκ β) ( εκ α)εκ β 0 εκ α εκ αεκ β εκ β εκ αεκ β εκ α εκ β (εκαεκβ) εκ α εκ β 6. Έρνκε 4ζλ εκ 4ζλ εκ 4(ζλ εθεκ) 4 6. Έρνκε: εκ ζλ( ) 4ζλ εκ ζλ ζλ

108 08 εθ εθ 4 εθ εθ θ, θ Ε εθεθ εθ εθ εθ Έρνκε εκα εκα ζλα ζλα ζλ(α α) ζλα Α εκα εκα ζλ(α α) ζλα ζλα ζλα 65. Έρνκε ζλα ζλα ζλα εκα εκα εκα Α... ζλα ζλα εκα εκα εκ(α α) εκ(α α) εκα εκα ζλα ζλα εκα ζλα ζλαεκα εκαζλα εκ(α α) εκα εκα εκα 66. Έρνκε (εθ4α εθα)(εθ4α εθα) Α εθ(4α α)εθ(4α α) εθ5αεθα (εθ4αεθα)( εθ4αεθα) 67. Έρνκε εθαεθα εθαεθα A εθα εθα εθα εθα εθα εθα εθα εθα εθα εθα ζθ4α εθ(α α) 68. Έρνκε εκ εθ εθ Α (ζλ εκ) 4 (ζλ εκ) ζλ εκ εθεθ 4 ζλ εκ ζλ (ζλ εκ) εκ ζλ ζλ εκ 69. Έρνκε εθ4α εθα εθ7α εθ(4α α) ή εθ7α εθ7αεθ4αεθα εθ4α εθα ή εθ4αεθα εθ7α εθ4α εθα εθ7αεθ4αεθα.

109 Έρνκε ζλ α ζλ β ζθαζθβ ζθαζθβ εκ α εκ β Α ζθβ ζθα ζθβ ζθα ζλ β ζλ α εκ β εκ α ζλ α( εκ β) ( ζλ α)εκ β ζλ α εκ β... εκ α( εκ β) ( εκ α)εκ β εκ α εκ β 7. Έρνκε ζλα εκα ζθαζθ 4 εκα ζλα εκα Β εκα ζλα ζθ ζθα εκα ζλα 4 εκα 7. Έρνκε εκ εκ Α ζλ εκ εκ ζλ εκ ζλ εκ ζλ 7. Έρνκε ( εκ) ( εκ) εκ(α β) εκαζλβ ζλαζλβ ζθβ ζθα. εκαεκβ εκαεκβ εκαεκβ Όκνηα εκ(β γ) εκ(γ α) ζθγ ζθβ, ζθα ζθγ. εκβεκγ εκαεκγ Άξα Α ζθβ ζθα ζθγ ζθβ ζθα ζθγ Έρνκε ζλαζλα εκαεκα ζλα Α ζθα εκα εκα ζλα ζλα εκα εκ( α) εκα ζλα ζλα εκα εκα 75. Έρνκε εκζλy ζλεκy Α εκζλy ζλεκy εκζλy ζλεκy εκζλy ζλεκy ζθεθy εκζλy εκζλy 76. Έρνκε

110 0 ζλζλ ζλζλ Β ζλ εκ εκ ζλζλ εκεκ ζλ( ) ζλy ζλ 77. Έρνκε (ζθ7α ζθ4α)(ζθ7α ζθ4α) Α ( ζθ7αζθ4α)( ζθ7αζθ4α) ζθ(4α 7α) ζθ(7α 4α) εθ( α)[ εθ(α)] εθαεθα 78. Έρνκε ζλα εκα ζλα εκα εκα Α... εθα ζλα ζλα εκα ζλα εκα 79. Έρνκε εθ εθα 4 εθα εθ εθα 4 εθα ( εθα) ( εθα) εθα Α... εθα ( εθα) ( εθα) εθ α εθ εθα 4 εθα εθ εθα Έρνκε 5 9 Α εθ εθ ζθ i. Έρνκε 5 B εθ εθ εθ 6 4 εκ40 εκ40 εκ0... εθ40 εθ40 εκ0 ζλ0 ζλ0 ζλ40 ζλ40 εκ40 εκ40 εκ0 ζλ40 ζλ0 εκ40 ζλ40 ζλ0 εκ40 εκ0 εκ40 ζλ50 ν ηζρύεη. ii. εκ 40 ζλ 40 ζλ 40 εκ 40 εκ 40 ζλ 40 εκ 40 Α ζλ40 ζλ40 εκ40 εκ40 ζλ 40

111 8. Έρνκε ζλ(40 40 ) εκ0 εθθ εθζ 5 εθ(θ ζ). εθθεθζ 5 Οκνίσο 8. Έρνκε εθ σ. Καη εεηδή θ, ζ, σ νμείεο 4 θ ζ σ θ ζ σ. 4 4 εθα εθβ εθ(α β) εθ5 εθα εθβ εθαεθβ εθαεθβ εθα εθβ εθαεθβ εθαεθβ (εθα ) εθβ(εθα ) εθαεθβ (εθα )(εθβ ) εθαεθβ 84. Έρνκε ζθ(α β) ζθ νόηε ζθαζθβ ζθαζθβ ζθβ ζθα 6 ζθβ ζθα 85. Έρνκε ζθαζθβ ζθβ ζθα 4 4 (ζθβ )(ζθα ) 4 ζθαζθγ ζθ(α Γ) ζθ5 ζθαζθγ ζθα ζθγ ζθγ ζθα ζθα ζθγ ζθαζθγ ζθα ζθγ ζθαζθγ ( ζθα)( ζθγ) 86. Δίλαη εθβ ζθ(45 Β) εθ(45 Β). εθβ εθβ Οόηε ε αξρηθή ζρέζε γξάθεηαη: ( ζθγ) ζθγ εθβ εθβ ζθγ. εθβ 87. Έρνκε Άξα ΒΓ 90, νόηε Α 90. ζθαζθβ ζθαζθβ ζθ(α β) ζθ γ εθγ ζθβ ζθα ζθβ ζθα ζθγ 88. Ζ ξνο αόδεημε ζρέζε γξάθεηαη: ζθα ζθβ ζθγ ζθαζθβζθγ

112 ζθαζθβ ( ζθα)( ζθβ) ζθαζθβ ζθβ ζθα ζθβζθα ζθαζθβ ζθα ζθβ ν ηζρύεη δηόηη Α Β 5, νόηε ζθαζθβ ζθ(α Β) ζθ(80 45 ) ζθαζθβ ζθβ ζθα ζθβ ζθα 89. Δεηδή 90. Έρνκε 0 α άξα 0<ζλα<, νκνίσο 0 β άξα 0<ζλβ<. Δνκέλσο εκ(α β) εκαζλβ εκβζλα εκα εκβ εκα εκβ. Άξα εκ(α β) εκα εκβ. εκαζλβ ζλαεκβ 0 εκαζλβ ζλαεκβ (). ζλ(α α β) ζλαζλ(α β) εκαεκ(α β) ζλ αζλβ ζλαεκαεκβ () ζλ αζλβ εκαεκαζλβ ζλβ(ζλ α εκ α) ζλβ 9. εκ( α) ζλ( α) εκ ζλ... ζλα(εκ ζλ) εκα(εκ ζλ) εθα εκ ζλ Δίζεο εθ εκ ζλ εθ... 4 εθ εκ ζλ 9. ζλ(α β) 0, ζλ(α β) ζλ[(α β) β] ζλ(α β)ζλβ εκ(α β)εκβ. Αιιά ζλ(α β) ζλ(α β)ζλ(α β) εκ(α β)εκ(α β) θαη εκ(α β) εκ(α β)ζλ(α β) εκ(α β)ζλ(α β) 0 Οόηε ζλ(α β) ζλβ 0εκβ ζλβ ζλ(α β) ζλβ 0 9. Έρνκε 94. Έρνκε εθα εθβ εθ(α β) εθ εθα εθβ εθαεθβ 4 εθαεθβ εθα εθβ εθαεθβ (εθβ )( εθα)

113 ζθβζθγ ζθ(β Γ)... 0 ζθγ ζθβ 95. Έρνκε Άξα ζθ( Α) 0 ζθα 0 Α. 96. Έρνκε 97. Έρνκε εθα εθβ 8 εθ(α Β) εθ( Γ) εθγ εθγ εθαεθβ 9 ζθ(α Β). Άξα ζθ( Γ) Γ. 4 εθα εθβ εθ(α Β).... Άξα εθ( Γ) εθγ Γ 45 εθαεθβ 98. Έρνκε εκζ ζλζ εκζζλ0 ζλζεκ0 ζλζ εκζ ζλζ ζλζ 99. Έρνκε εθζ εθ ζ θ, θ Ε εκαζλ ζλαεκ εκαζλ ζλαεκ εκαζλ ζλαεκ εκ εθα εθ θ, θ Ε. ζλ 4 Αιιά [, ] νόηε 00. Έρνκε ή. 4 4 ζθ εθ ζθ εθ 0 εθ εθ 0 ζθ ν είλαη αδύλαηε δηόηη Γ<0. 0. Έρνκε εθ εθ 4 εθ θ, θ Ε. εθ εθ Αιιά [0, ], νόηε 0. Έρνκε ή.

114 4 εθ εθ 0... εθ εθ 5 0 εθ. Θέηνκε εθ=σ νόηε έρνκε: σ σ 5 0 σ ανξ. ή σ Έρνκε Άξα εθ θ, θ Ε. Σην [0,/),. Α Β ζθ ζθ Α Β Γ Γ ζθ ζθ εθ Β Α Γ ζθ ζθ ζθ Α Β Γ Α Β Γ ζθ ζθ ζθ ζθ ζθ ζθ 04. α. Σύκθσλα κε ηνλ ηύν ζλα εκ α έρνκε: () ζλσ 5εκσ 0 εκ σ 5εκσ 0 εκ σ5εκσ 0. β. Θέηνληαο εκσ ζηελ εμίζσζε εκ σ5εκσ 0 έρνκε: 5 0 ή. Άξα εκσ (αδύλαηε εεηδή εκσ ) ή εκσ (δεθηή). Δνκέλσο εκσ. 05. α. Γηα θάζε είλαη : f () εκ ζλ εκ εκ ζλ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ. β. Ζ ζλάξηεζε g() εκ είλαη ηεο κνξθήο ξ εκσ κε ξ 0 θαη σ 0, άξα ε κέγηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο g είλαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη ma g, min g θαη ε εξίνδόο ηεο είλαη Δνκέλσο ε ζλάξηεζε f() εκ g() έρεη: κέγηζηε ηηκή: maf mag ειάρηζηε ηηκή: minf ming 0 θαη εξίνδν Τ. 06. α. Γηα ηελ γσλία ηζρύεη όηη 5ζλσ 8ζλσ 0 (). Τ. σ

115 5 Αιιά ζλσ ζλ σ (), νόηε ε ζρέζε () ιόγσ ηεο () γξάθεηαη: 5ζλ σ 8ζλσ 0 0ζλ σ 5 8ζλσ 0 0ζλ σ8ζλσ 6 0 5ζλ σ4ζλσ 8 0 () Θέηνκε ζλσ y κε y,, νόηε ε ζρέζε () γξάθεηαη: Δίλαη 5y 4y 8 0 Γ β 4αγ , άξα ην ηξηώλκν έρεη δν άληζεο θαη ξαγκαηηθέο ξίδεο, ηηο : y,, νόηε y ( δεθηή ) θαη y (ανξξίηεηαη). Δνκέλσο: ζλσ. 0 5 β. Γηα ηελ γσλία σ ηζρύεη σ σ θαη ενκέλσο ε γσλία σ είλαη ζην ν ηεηαξηεκόξην, ελώ ε δηιάζηα ηεο σ βξίζθεηαη ζην ν ή ζην 4ν ηεηαξηεκόξην. i. Δίλαη : 4 9 ζλ σ εκ σ εκ σ ζλ σ εκ σ εκ σ. 5 5 Άξα εκσ. Δεηδή 5 σ έρνκε εκσ Δίζεο είλαη: ζλσ ζλ σ θαη ii. 4 4 εκσ εκσ ζλσ εκ σ ζλ σ Π 8 εθσ ζθσ 5εκσ ζλσ Έρνκε εκαζλα ζλαεκα εκ(α α) Α εκαζλα εκαζλα εκ ζλ εκζλ ζλεκ εκ Α 09. Έρνκε ζλ εκ ζλεκ ζλεκζλ ζλ Α ζλ 4ζλ ζλ 4ζλ ζλ ζλ

116 0. Έρνκε. Έρνκε. Έρνκε 6 (ζλ ) (ζλ ) (ζλ ) ( ζλ) 4 ζλ ζλ εκαζλα εκα Β.... εκα ζλα (ζλα εκα) εκα ζλα εκα ζλ α εκ α εκαζλα ( εκ α) εκα(ζλα εκα) εκ α ζλ α εκαζλα ζλ α ζλα(εκα ζλα) Α εθα Α ( εκ )[4 ( εκ )] (εκζλ) 4 4 εκ 6εκ 4εκ 4εκ ζλ 4εκ 4εκ 4εκ ζλ εκ ( ζλ ) 4εκ 4εκ 4εκ 8εκ. Έρνκε α α α α εθ45 εθ εθ εθ εθ α A εθ α α α α εθ45 εθ εθ εθ εθ 4. Έρνκε 5. Έρνκε ζλα... ζλ(ζλ ) 0 ζλ 0 ή ζλ ή.... ζλ ζλ 5 0. Θέηνκε ζλ=y νόηε έρνκε y y 5 0 y ή y,5 ανξ. Άξα ζλ θ, θ Ε. 6. Έρνκε... εκ εκ ζλ ζλ εκζλ ζλ ζλ( εκ) 0 ζλ 0 ή εκ ζλ ζλ ή εκ εκ 6 5 θ ή θ ή θ, θ Ε ζλ ζλ. Θέηνκε ζλ=y νόηε έρνκε:

117 y y 0 y ή 8. Δρνκε 7 y y 0 αδύλαηε. Άξα ζλ εκ 5( εκ ) (εκζλ) 4 εκ 5 0εκ 4εκ ζλ 4... Θέηνκε 4 4 9εκ 9 4εκ 4εκ 4εκ εκ 9 0 εκ y νόηε ιύλνληαο ηελ αληίζηνηρε εμίζσζε έρνκε: y= ή Άξα 9. Έρνκε 0. Έρνκε. Έρνκε εκ θ ή εκ θ, θ Ε ζλ α εκ α... ζλα. ζλα= 5 4 α α 0 εκ εκ 0 α α 7 θαη 4 8 ζλ ζλ... α 4. α 7 ζλα ζλ y ανξ. 4 εκα εθα 6 0 εθ α ζλα εθ α 8 εθ α 0. Αό ηελ Α εκ α ζλ α 0, 6 0,8. 9 εκ α ζλ α ζλ α εκα έρνκε ζλα θαη αό ηελ α ζλα ζλ έρνκε α 6 ζλ. 6. Έρνκε Α (εκ α ζλ α)(εκ α ζλ α) εκα (ζλ α εκ α) εκα εκα εκα ζλα ζλα ζλα εκα ζλα ζλα εκα ζλα ζλα

118 8 4. Έρνκε 5. Έρνκε εκ Β ζλ ζλ εκ ζλ ζλ εκ ζλ εκ εκζλ εκ εκ ζλ εκ ζλ A εκ ζλ εκζλ εκζλ εκζλ εκζλ εκζλ(εκ ζλ ) (εκζλ ζλεκ) εκζλ εκζλ εκ( ) εκζλ εκ εκζλ εκζλ 6. Έρνκε α α ζλ εκ α ζλ εκα εκα Α ζλα εκα ζλα α α ζλ εκ εκα ζλα α ζλ 7. Έρνκε 8. Έρνκε 9. Έρνκε 0. Έρνκε εκα εκαζλα ζλ α εκ α εκαζλα εκα. εκα ζλα εκα ζλα εθα εθα 4εθα Α... εθα εθα εθα εθ α Α (ζλ α ) 4ζλα ζλ α 4ζλα 4 (ζλα ) ( εκ α ) 8εκ α ζλ (45 α) εκ (45 α) ζλ (45 α) Α ζλ (45 α) εκ (45 α) ζλ (45 α) εκ (45 α) ζλ (45 α) ζλ[(45 α)] εκα

119 9 4εκαζλα εκα Α... εθα ζλ α εκ α ζλα. Έρνκε. Έρνκε. Έρνκε Α... (ζλαζλβ εκαεκβ) ζλ(α β) [ ζλ(α β)] 7 εκ εκ θαη 8 8 α β α β εκ 4εκ 5 εκ εκ. Άξα Α εκ εκ 8 8 ζλ ζλ 4 4 εκ εκ ζλ ζλ ζλ ζλ 8 8 ζλ εκ 8 8 Α ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ εκ Έρνκε 5. Έρνκε α α α εκ ζλ εκ α Α... εθ εκ ζλ ζλ α α α εκαζλα ζλα ζλα εκ α εκ α Α εθα ζλα εκα εκαζλα 6. Έρνκε α α α α α α εθ εθ εθ εθ εθ εθ Α ( εκα) α α α α α εθ εθ εθ εθ εθ

120 0 α α α α εθ εθ εθ α εθ εθ α ζλ ζλα α α α α εθ εθ εθ εθ 7. Έρνκε ζλ α εκ α 4 4 ζλ α εκ α ζλ α εκ α εκ α ζλ α εκ α ζλ α εκ αζλ α 7 7 (ζλ α εκ α) εκ αζλ α 7εκ αζλ α 9εκ αζλ α 8 4εκ αζλ α (εκα) Έρνκε 4 Α (ζλ α ) ( ζλ α)... 4ζλ α ζλ α ζλ α(4ζλ α ). 9. Έρνκε 5 ζλ εκ, νόηε ε ζρέζε γίλεηαη 4 εκ εκ αιιά 6 4 εκ εκ εκ εκ εκ ζλ εκ ζλ εκ Έρνκε 5 ζλ εκ, νόηε ζλ ζλ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ 7 εκ Έρνκε εθ εθ 4 8εθ εθ εθ εθ εθ 4. Έρνκε 4 εθ 0 ή εθ εκ ζλ εκζλ εκ εκ

121 4. Έρνκε 5 θ ή θ, θ Ε 44. Έρνκε... 4εκ ( εκ ) 5... εκ θ, θ Ε εκζλ εκ ζλ εκ ζλ 0 (εκ ζλ) (εκ ζλ) 0 (εκ ζλ)(εκ ζλ ) 0 εκ ζλ (άηνν) ή εκ ζλ εθ θ, θ Ε Έρνκε... (εκ ζλ ) εκ ζλ... εκ θ, θ Ε 4 θαη ηειηθά 46. Έρνκε ή. 4 4 εθ... εθ εκ, εθ 5 ζλ εθ 4 εθ Έρνκε εθ β εθαεθγ ζλαζλγ εκαεκγ ζλ(α γ) εθ β εθαεθγ ζλαζλγ εκαεκγ ζλ(α γ) ζλβ 48. Ζ ζλάξηεζε είλαη ηεο κνξθήο: f () αεκ βζλ όν α, β Άξα: ξ α β 4 Θ Ε Μ Α Σ Α Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ω Ν α. ζλα(ζλαεκα εκαζλα) ζλαεκ(α α) β. Αό (α) εξώηεκα έρνκε: ζλαεκα εκ( α) εκ6α εκ6 0 εκ6 εκ 6 θ θ Ε. 50. α. Έρνκε

122 εθα εθβ εθ(α β)... εθαεθβ 7 β. εθα εθβ εθ(α β)... εθαεθβ γ. α β 45 νόηε α β 90 άξα α θαη β ζκιεξσκαηηθέο. 5. α. Έρνκε: εκ6 εκ4 εκ ζλ εκ5ζλ β. Έρνκε: εκ6 εκ4 4εκ5 0 εκ5ζλ 4εκ5 0 εκ5(ζλ ) 0 () Αό ηελ ηζόηεηα () ξνθύηεη όηη: ζλ 0 ζλ (αδύλαηε) 5. α. Έρνκε: θ εκ5 0 εκ5 εκ0 5 θ θ Ε. 5 5(ζλ α ) 4ζλα 7 0 5ζλ α 7ζλα 6 0 () Θέηνκε ζλα= νόηε ε () γξάθεηαη: 5 7ρ 6 0 ανξ. β. Έρνκε ζλα νόηε: 5 θαη εεηδή 4 α έρνκε εκα 5. Άξα ζλα εκ α ζλ α δειαδή εκα εκα εκαζλα ζλα ζλ α εκα 5 4 εθα ζλα ζλ(εκ 4εκ) (ζλ 4ζλ )εκ Δίλαη: ζλ 4ζλ 0 ή ζλ(εκζλ 4εκ) (ζλ 4ζλ )εκ εκζλ 4εκζλ ζλ εκ 4ζλεκ ου ιςχφει Αό ηελ () έρνκε: ζλ=0 ή ζλ άηνν ζλ 4ζλ 0 ή ζλ(ζλ ) 0 (). θ, θ Ε

123 54. α. εκ ζλ 0 εκζλ ζλ 0 Έρνκε: ζλ(εκ ) 0 ζλ 0 ή εκ 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ ή θ, θ Ε εκ 0 εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε β. ζλα ( εκ α) εκ α εκα εκα εκα εκαζλα εκα( ζλα) α α α εκ ζλ εκ εκα α εθ ζλα α ζλ ζλ 55. α. Ζ f έρεη κέγηζην άξα α= θαη εξίνδν β. Τ 4 β. β β ζλ ζλ ζλ θ θαη 4θ κε θ Ε 56. α. Έρνκε 0 α θαη ζλα α νόηε α θαη άξα εκα=. 4 Οκνίσο β νόηε ζλβ. 6 β. γ. ζλ(α β) ζλαζλβ εκαεκβ... 6 ζλ(α β) εκ(α β) α. Έρνκε β. γ. ζλ ( ζλ)=( ζλ)( ζλ) ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ εκ ζλ εκ 0 ζλ ( ζλ) 0 ζλ 0 ζλ 4θ θ Ε.

124 4 58. B. Έρνκε B. εκζ εκζ εκζ A εκζ (ζλζ εκζ) ζλ ζ εκ ζ εκζζλζ εκ 4εκ ζλ ζλ 0 εκ εκ εκ 0 Θέηνκε εκ=σ θαη έρνκε ηελ εμίζσζε: Με ζρήκα Horner (γηα ξ=) έρνκε: εκ εκ εκ 0 σ σ σ 0 (σ )(σ σ ) 0 σ, σ, σ= Άξα εκ= ή εκ ή εκ θαη εεηδή 0,, έρνκε ηειηθά: ή α. Ζ εμίζσζε () γίλεηαη: Οη ιύζεηο είλαη: εκ ζλ 0 εκζλ ζλ 0 ζλ(εκ ) 0 ζλ 0 ή εκ ζλ 0 θ, θ Ε εκ θ ή θ θ ή θ, θ Ε β. Γηα θάζε 0, έρνκε: 0 0 θ θ θ 4 4 Άξα θ=0. Τόηε 0 0 θ θ θ 4 4 Άξα ν θ δελ νξίδεηαη. 0 0 θ θ θ Άξα θ=0. Τόηε θ θ θ Άξα θ=0. Τόηε 4

125 5 Γειαδή νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο () είλαη:, θαη 4 4 Αθόκα ν είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο ξνόδν ζλα ζλ4α 4ζλα ζλ α 4ζλα ζλ4α 4ζλα ζλ α ζλ α 4ζλα (ζλ α ) (ζλ α ) ζλ α 4ζλα (ζλ α ) (ζλ α ) 4 4ζλ α 4ζλ α 4ζλ α (ζλ α ) 4 4 4ζλ α 4ζλ α 4ζλ α 4ζλ α 4 [ ( ζλ α)] ( εκ α) 4εκ α 4 εθ α ζλ α 4ζλ α 4ζλ α 60. Β.. Τν εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη Af R. 4 Δεηδή ηα ζεκεία Α(0, β+5), θαη B,4β αλήθνλ ζηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο β ζλάξηεζεο f έρνκε: f(0) β 5 αζλ0 β 5 α β 5 () 4 β 4 f 4β αζλ 4β α 4β β β Αό ηηο ζρέζεηο () θαη () έρνκε: 4β β 5 4β β 5 0 θαη () Γ ( ) 44 ( 5) 8 β δεθηή (β 0) 8 9 Άξα β β (ανξ.) 4 Δνκέλσο αό ηε ζρέζε () έρνκε α=4 Άξα ην ζύζηεκα ησλ ζρέζεσλ () θαη () έρεη ιύζε α=4 θαη β. Άξα ν ηύνο ηεο ζλάξηεζεο f είλαη f () 4ζλ f () 4ζλ Β.. Έρνκε: f () 4 4 ζλ 4 ζλ θ 4θ, θ Z Αιιά 0 0 4k 0 θ. Άξα θ=0,,, Γηα θ=0 0 Γηα θ= 4 Γηα θ= 8 Γηα θ= 4 Άξα ηα ζεκεία ηνκήο ηεο f κε ηελ εζεία y= είλαη: (0,4), (4,4), (8,4), (,4). Β.. Δεηδή ν ηύνο ηεο ζλάξηεζεο f είλαη f () 4ζλ θαη είλαη ηεο κνξθήο f()=ξζλ(σ) νόηε ε κέγηζηε ηηκή ηεο ζλάξηεζεο είλαη ην 4 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ην 4. Ζ εξίνδόο ηεο είλαη T 4. σ

126 6 Β.4. Έρνκε: A f (4) f 4ζλ() 4ζλ 4 4 Αθόκα f (0) 4ζλ0 4 νόηε: f (0) 4 4 B f (0) (4 ) 4 4 f (0) Γ. Αιννηνύκε ηνο ζληειεζηέο ησλ αγλώζησλ ην ζζηήκαηνο, κε αλαγσγή ηνο ζην ν ηεηαξηεκόξην: εκ( ζ) εκζ, ζλ( ζ) ζλζ, εκ ζζλζ εκ(ζ ) εκ[ ( ζ)] εκ( ζ) εκζ εκζ ζλζy Τόηε ην αξρηθό ζύζηεκα γίλεηαη: ζλζ εκζy Υνινγίδνκε ηηο νξίδνζεο ην ζζηήκαηνο: εκζ ζλζ D εκ ζ ζλ ζ (εκ ζ ζλ ζ) 0 ζλζ εκζ ζλζ εκζ D εκζ ζλζ Dy εκζ ζλζ εκζ ζλζ Αθνύ D 0 ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε Γ. i. Ζ D D y εκζ ζλζ εκζ ζλζ (, y), (, y), D D (, y) (ζλζ εκζ, ζλζ εκζ) α f () (0 )ζλ 4 είλαη ηεο κνξθήο f()=ξζλ+c κε c 4. Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο f() είλαη α ξ c 0 4, νόηε: α α α α α α (αδύλαηε αθνύ 0 0) α α ii. Έρνκε: y f (ζ) y 7ζλζ 4 (ζλζ εκζ)(ζλζ εκζ) 7ζλζ 4 α ξ 0 θαη α ή ή 0 0 α ζλ ζ εκ ζ 7ζλζ 4 ζλ ζ ( ζλ ζ) 7ζλζ 4 ζλ ζ ζλ ζ 7ζλζ 4 0 ζλ ζ 7ζλζ 0 Θέηνκε ζλζ=σ κε σ, νόηε ε εμίζσζε γίλεηαη Οη ξίδεο ηεο είλαη σ= (ανξξίηεηαη) θαη σ. σ 7σ 0.

127 7 ζ θ Τόηε: σ ζλζ ζλζ ζλ ή θ Ε ζ θ 6. Γ. Δεηδή β ζλ(β) ηόηε f() αζλ(β). Πξέεη f (0) θαη f(). Άξα αζλ0 α θαη Έηζη Έζησ Έζησ β θ ή αζλ(β) ζλ(β) α δει. ζλ(β) β θ ή β θ, ξέεη β θ, ξέεη β θ (θ Ε). β θ (θ Ε) 0 θ θ θ 6 Άξα θ=0, νόηε β. γηαηί θ Ε. Έρνκε ινηόλ α= θαη β. Άξα Γ. α. Δεηδή γηα θάζε R ηζρύεη 4 0 θ θ θ ν είλαη αδύλαηε 6 f () ζλ. ζλ ζλ f () θαη αθνύ είλαη f (0) θαη f()= έρνκε f(0) f() f() γηα θάζε R Έηζη, ε f αξνζηάδεη ειάρηζην γηα =0 ην f (0) κέγηζην γηα = ην f()= Δλαιιαθηηθά: Δεηδή f () ζλ, ην ειάρηζην ηεο f είλαη ην θαη ην κέγηζην ην. Ζ εξίνδνο ηεο f είλαη T 6 β. Έλαο ίλαθαο ηηκώλ ηεο ζλάξηεζεο f ζην δηάζηεκα [0,6] είλαη ν εμήο: 0 9 f() 0 0 6

128 8 Με ηε βνήζεηα ην αξαάλσ ίλαθα ζρεδηάδνκε ηε γξαθηθή αξάζηαζε. Παξαηεξνύκε όηη ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην [0,] θαη γλεζίσο θζίλνζα ζην [,6]. Γ. Δίλαη: f (0), f ( ) ζλ, f () ζλ θαη f (04) ζλ ζλ ζλ67 ζλ670 ζλ ζλ Έηζη ην ζύζηεκα γίλεηαη: Έρνκε ι ι y 4ι ι ιy 0 D ι ι ι(ι ) ι ι y 0 Γηα ι=0 ην ζύζηεκα γίλεηαη ν είλαη αόξηζην Πξέεη D 0 ι 0 ή y y Γηα ι ην ζύζηεκα γίλεηαη ν είλαη αδύλαην. y 0 y 0 Άξα ην (Σ) γηα ι=0 έρεη άεηξεο ιύζεηο ηεο κνξθήο (,y)=(θ,0) γηα θάζε θ R. 6. Γ. Έρνκε ζλ εκ ζλ εκ εκ εκ( εκ) f () εθ ζλ εκ ζλ( εκ) ζλ( εκ) ζλ( εκ) Γ. Γ. 5 εθ 009εθ εθ 009εθ ι. εθ 009εθ 8 εθ 009εθ εθ 009εθ εθ 009εθ f () εθ εθ εθ 4 4 θ θ θ, θ Ε Γ. α. ι 8 D (ι )(ι ) 8ι ι ι ι 8ι ι 4ι (ι )(ι ) ι ι+

129 9 4 8 D 4ι 6 4ι 4 4(ι ) ι+ ι 4 Dy ι 4ι ι (ι ) ι β. Τν ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε αλ D 0 ι θαη ι. Τόηε ε ιύζε είλαη: D D y 4(ι ) (ι ) 4 ( 0, y 0),,,. D D (ι )(ι ) (ι )(ι ) ι ι Γ. Ζ ιύζε εαιεζεύεη ηελ εμίζσζε: 4 0 y0 4 (ι ) ι 6 ι 8 ι 4 ι ι 4 Τόηε ( 0, y 0), (4, ) 4 4 Γ. Ζ ζλάξηεζε γηα ι=4, 0 4, y0 γξάθεηαη: g(t) 4εκ t 4 4εκ t 4 6( ) 6 ν έρεη εξίνδν T θαη 6 κέγηζηε ηηκή M 44 8 θαη ειάρηζηε ηηκή ε 4( ) 4 0. Θ Ε Μ Α Σ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Σ Α Ε Ω Ν α. εκ ζλ 0 εκζλ ζλ 0 ζλ(εκ ) 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ, θ Ε ή 7 εκ 0 εκ εκ εκ θ ή θ, θ Z εκα εκα εκαζλα εκα εκα(ζλα ) β. εθα ζλα ζλα ζλ α ζλα ζλα(ζλα ) 66. α. Έρνκε β. i. Πξέεη εκα εκαζλα εκαζλα εκα εθα ζλ α ζλ α ζλα ζλα ζλ 0 ζλ ζλ ζλ θ θ νόηε ε εμίζσζε κε ηε βνήζεηα ην (α) γίλεηαη

130 ii α. Έρνκε 0 εθ εθ εθ θ δεθηή θ 0 θ θ θ 0 ή θ άξα 5,. 4 4 ζλα εκα ( εκ α) εκαζλα εκ α εκαζλα ζλα εκα ζλ α εκαζλα ζλ α εκαζλα εκα(εκα ζλα) εθα ζλα(ζλα εκα) β. ζλ εκ 0 εκ εκ 0 4εκ εκ 4 5 εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε ή εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε α. Έρνκε εκ ζλ εκζλ εκζλ εκ( ) εκ εκζλ εκ ζλ εκζλ εκζλ εκζλ εκζλ εκ ζλ εκζλ ζλ β. ζλ ζλ ζλ ζλ εκ ζλ εκζλ ζλ εκ εθ ζλ ζλ ζλ ζλ 69. α. Έρνκε εκ(α β) (εκαζλβ εκβζλα) ζλ(α β) ζλ(α β) ζλαζλβ εκαεκβ ζλαζλβ εκαεκβ εκαζλβ εκβζλα εκαζλβ εκβζλα εθα εθβ ζλαζλβ ζλαζλβ ζλαζλβ εκα εκα εκαζλα εκα εκα(ζλα ) β. εθα ζλα ζλα ζλ α ζλα ζλα(ζλα ) 70. α. Έρνκε

131 β. ζλ ζλ 6 6 Α ζλ εκ ζλ ζλ ζλ Β ζλα εκα ( εκ α) εκαζλα ζλα εκα ζλ α εκαζλα εκ α εκαζλα εκα(εκα ζλα) ζλ α εκαζλα ζλα(ζλα εκα) εθα γ. Α Β 0 εθα 0 εθα εθα εθ α θ δεθηή. 7. α. Έρνκε εκ4α εκα εκαζλα εκα εκα(ζλα ) εθα ζλ α ζλα ζλ4α ζλα ζλα(ζλα ) β. ζλ εκ 0 εκ εκ 0 εκ εκ 0 εκ(εκ ) 0 εκ 0 εκ εκ0 θ 7 ή εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε α. Έρνκε εκ ζλ ζλ εκ εκ εκ εκ εκ εκζλ εκ εκ(ζλ ) ελώ εθ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ(ζλ ) β. Ζ εμίζσζε κε ηε βνήζεηα ην (α) γίλεηαη γηα ζλ 0: εκ ζλ εκ εθ εκζλ εκζλ εκ 0 εκ(ζλ ) 0 εκ 0 εκ εκ0 θ, θ Ε ή ζλ ζλ ή ζλ θ ή θ, θ Ε δεθηέο Ηζρύεη όηη: εκ ζ (εκζ) ( ζλζ) 4εκ ζ 4εκ ζ εκζ εκζ εκζ 5 εκζ εκζ εκζ εκ ζ θ ή ζ θ εκζ0

132 θαη εεηδή ζ (0, ) άξα 74. α. ζλθ>0 5 ζ ή ζ ζλ θ εκ θ ζλ θ ζλ θ ζλθ ζλζ> ζλ ζ εκ ζ ζλ ζ ζλ ζ ζλζ β. i. 4 4 εκθ εκθζλθ ζλζ ζλ ζ ii εκ(θ ζ) εκθζλζ εκζζλθ εθθ εθζ εθ(θ ζ) εθθεθζ Έρνκε α εκα 0 α άξα ζλα>0 θαη ζλ α εκ α ζλ α ζλ α ζλα Οκνίσο 5 ζλβ β άξα εκβ<0 θαη ζλ β εκ β εκ β εκ β εκβ Δνκέλσο εκ(α β) εκαζλβ εκβζλα ζλ(α β) ζλαζλβ εκαεκβ α. Έρνκε Α ζλ εκ ( εκ ) εκζλ εκ εκζλ ζλ εκ ζλ εκζλ ζλ εκζλ

133 εκ(εκ ζλ) εθ ζλ(ζλ εκ) β. Γηα εθ εθ 4 εθ A εθ εθ εθ 4 εθ εθ εθ 4 θ θαη θ ε εμίζσζε γίλεηαη: α. Έρνκε εθ εθ εθ εθ εθ εθ 0 εθ(εθ ) 0 εθ 0 θ ή εθ 0 θ, θ Ε δεθηέο. 4 εκ εκζλ εκζλ Κ εθ ζλ ζλ ζλ β. K 0 εθ 0 εθ θ, θ Ε δεθηή α. Έρνκε β. f() 8εκ ζλ (εκζλ) εκ εκ ζλ4 f 0 ( ζλ) 0 ζλ 0 ζλ 79. Έρνκε 80. α. Έρνκε ζλ ζλ θ θ εθβ εθα εθβ α β εθ(α β) εθ 4 4 εθαεθβ εθβ εθβ εθβ εθβ εθβ άξα ζλ<0. 5ζλ 8ζλ 0 5(ζλ ) 8ζλ 0 0ζλ 8ζλ 4 0 5ζλ 9ζλ 0

134 4 Γ=8+40= Ανξ. 9 ζλ 0 5 Άξα ζλ 5 β. Άξα εκ εκ ζλ εκ εκ εκ εκ εκζλ ζλ ζλ εκ εθ ζλ 8. α. Έρνκε ζλ ζλ εκ ζλ εκζλ ζλ A εκ ζλ(εκ ζλ) εκ ζλ ζλ (εκ ζλ)(εκ ζλ)ζλ ζλ(εκ ζλ)(εκ ζλ) β. εκ ζλ ζλ ζλ ζλ 4 8. α. Έρνκε 5εκ Α εκα 0 Γ=4+60=64 θ θ δεθηέο εκα Ανξ. δηόηη 0<Α<80 άξα εκα 5 β. γ. 4 6 δηόηη ζλα> εκ α ζλ Α ζλ Α ζλ Α ζλα εκα εκαζλα ζλα ζλ Α 5 5 5

135 δ. 6 Α ζλα εθ ζλα α. Έρνκε 5 5 εκ 5εκ 0 εκ ανξ. ή εκ Όκσο ζλ 0 8 εκ ζλ ζλ ζλ ζλ 9 9 β. 4 εκ εκζλ ζλ ζλ γ. ζλ εθ ζλ 84. α. Έρνκε β. Αλ β, Άξα ζλαζλβ εκαεκβ ζλαζλβ εκαεκβ εκαεκβ A εθαεθβ ζλαζλβ εκαεκβ ζλαζλβ εκαεκβ ζλαζλβ εθβ εθ Α εθα εθα εθα εθ α θ δεθηή α. Έρνκε β. γ. f () ζλζλ εκεκ ζλζλ εκεκ εκ εκ ζλ ζλ εκ (ζλ εκ)(ζλ εκ) g() ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ ζλ εκ g() f() ζλ ζλ εκ εκ ζλ ζλ 0 θ δεθηέο ή 86. A. Έρνκε ζλ ζλ 0 ζλ(ζλ ) 0 ζλ θ δεθηέο.

136 6 ζλα εκα ζλ α εκαζλα ζλα(ζλα εκα) ζλα εκα εκα(εκα ζλα) ζθα εκ α εκαζλα B. i. Άξα P() ζθα ζθα θαη εεηδή αξάγνληαο ζα έρνκε: P() ζθα ζθα 0 ζθα ζθα ζθα ζθ α θ, θ Ε δεθηή ii. Αλ α (0,) 0 θ 0 θ θ 87. α. Έρνκε άξα θ=0, θ=, θ= δειαδή 4 7 α, α, α. ζλ ζλ εκ ζλ ζλ ζλ 0 ζλ ζλ 0 Γ=+8=9 Άξα ζλ ζλ ζλ0 θ, θ Ε 4 4 ζλ 4 ή ζλ ζλ ζλ θ, θ Ε β. Αλ θ θ θ δελ ηζρύεη γηα θακία ηηκή 4 θ Ε. Αλ θ θ θ 4 6 θ θ άξα θ=0 δειαδή Οκνίσο αλ νόηε θ,,. Άξα ε κνλαδηθή ιύζε είλαη Α εκ ζθ εκ ζθ Έρνκε

137 α. 7 εκ εκ εκ ζλ ζλ εκ εκ ζλ εκζλ ζλ ζλ ζλ ζλ θ, θ Ε 4 4 β. γ. εκ εκ εκ ζλ εκζλ εκ ζλ εκζλ ζλ ζλ 5 5 ζλ ζλ ζλ( ) ζλ ζλ( ) θ θ Ε α. Έρνκε ζλ<0 5ζλ ζλ 0 5(ζλ ) ζλ 0 0ζλ ζλ 0 Γ=+0= 0 Ανξ. 0 ζλ Άξα ζλ 5 β. Έρνκε γ. εθ εθ εθ εθ εθ ζλ 9 9 ζλ εκ εκ εκ εκ εκ δηόηη 90. α. i Έρνκε θαη άξα 4 εκ 0. εκ(α β) εκ(α β) εκαζλβ εκβζλα εκαζλβ εκβζλα εκβζλα β. Σηε ζρέζε (i) ζέηνκε α θαη β= νόηε 4 εκ εκ εκζλ εκ Άξα ε εμίζσζε γίλεηαη εκ εκ εκζλ εκ 0 εκ( ζλ ) 0 εκ 0 θ ή ζλ θ 4

138 8 γ. εκ ζλ εκζλ εκ εκ(ζλ εκ) εκ ζλ ζλ(εκ ζλ) εθ εκζλ ζλ δ. (i) ζλ εκ εθ εθ θ, θ Ε εκ ζλ 6 9. Έρνκε εκ εκ εκ εκ εκ εκ f () ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ α. Ζ f νξίδεηαη όηαλ ζλ 0, β. ζλ, εκζλ εκ εκ(ζλ ) f () εκ ζλ ζλ ζλ γ. f εκ α. Έρνκε β. θ, θ Ε. εκ Α εκ Α εκ ζλα εκαζλ εκ ζλα εκαζλ ζλα ζλα (α) εκ εκ ζλ ζλ ζλ 4 4 ζλ ζλ ζλ ζλ θ, θ Ε ή ζλ θ, θ Ε.

139 (α β γ ) (α β γ)... (α β) (β γ) (γ α) Γηα θάζε R, ηζρύεη: 95. i. Δίλαη α β θαη β γ θαη γ α. Άξα P()=0. α β α( ) β( ) 5 6 α α β β (α β) α β Άξα ξέεη: α β α β 4 α 5 α β α β β 7 P() Q() 0 (α ) (β ) (α β) α α 9 γ 0 (α ) (β α ) (α β 9) α γ 0 α 0, β α 0, α β 9 0 θαη α γ 0... α, β, γ. Ζ ηηκή α= ανξξίηεηαη δηόηη ε δεύηεξε εμίζσζε καο δίλεη β= ελώ ε ηξίηε 0=0 άηνν. ii. Έρνκε: P() Q() θ, όν θ R*. iii. P() Q() θ (α ) (α β ) (α β 9) α γ θ α 0 θαη α β 0 θαη α β 9 0 θαη α γ θ α θαη β= θαη γ θ. P() Q() (α ) (α β ) (α β 9) α γ ξέεη: α 0 α iv. Σν P()+Q() γηα λα είλαη ην νιύ ηξίην βαζκνύ ξέεη: α 0 ή α β 0 ή α β 9 0 ή α γ 0 α ή β α ή α β 9 ή α γ 0 Γειαδή έλαο ηνιάρηζηνλ αό ηνο ζληειεζηέο ην νισλύκν P()+Q() λα είλαη δηάθνξνο ην Αλ (α )(α 9) 0 α θαη α ηόηε ην νιώλκν είλαη ηξίην βαζκνύ.

140 Γηα λα είλαη ν βαζκνύ ξέεη: Γηα λα είλαη κεδεληθνύ βαζκνύ ξέεη: 40 (α )(α 9) 0 α ή α α 4α 0 α θαη α α 4α 0 α ή α α 9 0 α 97. i. ε θάζε νιώλκν (α )(α 9) 0 α ή α λ λ λ λ 0 άξα α=. P() α α... α α ηζρύεη P() α α... α α. λ λ 0 άξα α. Γειαδή ην άζξνηζκα ησλ ζληειεζηώλ θάζε νισλύκν P() είλαη ίζν κε ην P(). Οόηε P() ( ) ( ) ii. Έζησ όηη ηα νιώλκα f() θαη g() έρνλ άζξνηζκα ζληειεζηώλ ίζν κε. Σόηε είλαη f()= θαη g()=. Αλ Q()=f()g(), ηόηε Q() f()g(). Γειαδή θαη ην γηλόκελό ηνο έρεη άζξνηζκα ζληειεζηώλ. 98. Γηα λα είλαη ην θιάζκα αλεμάξηεην ην ζα ξέεη: Γειαδή είλαη: (α 5) (β ) γ 8 5 θ, θ R*. (α 5) (β ) γ 8 θ( 5) α 5 θ α θ 5 Άξα β θ β θ γ 8 5θ γ 5θ 8 Αό ηελ α+β+γ=0 έρνκε: θ νόηε α=, β=5, γ Πξέεη P()=0 θαη P()=0. Γειαδή 4 (α β ) ( α β) (α 4β 5) 0... α 6β 7 θαη 4 (α β ) ( α β) (α 4β 5) 0... α 0β Πξέεη P()=0 δειαδή 40. α. Πξέεη νόηε α, β=, γ β. Δίλαη Σειηθά α=5 θαη β. 4 (4α β ) 4β(α ) ( α) α β 0... (α β) (α ) (β ) 0 α θαη β 4 α β γ ( ) ή 4 4 α β γ

141 4 9 9 P() ( ) ( ) 0... (4 4 )(4 4 7) ν ηζρύεη δηόηη θαη ηα δύν ηξηώλκα έρνλ κε ζεηηθή δηαθξίλνζα θαη ζληειεζηέο κεγηζηνβάζκησλ όξσλ ζεηηθνύο. Ζ ηζόηεηα ηζρύεη όηαλ 40. Έρνκε. 5 4 P() 0 ( ι 5) 0 ι... ι 40. Έρνκε P() ι 5ι 7 Λύλνληαο ην ζύζηεκα ησλ αληζώζεσλ έρνκε ι ή ι Σν Q() είλαη ν βαζκνύ δειαδή Έρνκε Q() α β γ. ( )(α β γ) ( ) α (β α 4) (γ β 4) γ 5 4 νόηε α=, β α 4 5, γ β 4 4 θαη γ.σειηθά α=, β 4, γ α. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 6 ξ Δνκέλσο ην όινην θαη ην ειίθν ηεο δηαίξεζεο είλαη 4 θαη β. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 406. α. Δίλαη:. 6 ι ξ 9 6 ι 6 Δίλαη ι 6 0 ι 6 ι 6. P() ι ( ) ι( ) ι 9 ι ι ι 9 θαη

142 4 Q() (ι ) (ι ) (ι 9) ι ι ι 9 Δνκέλσο : Αλ ι είλαη θαη ηα δν νιώλκα ν βαζκνύ Αλ ι είλαη θαη ηα δν νιώλκα ν βαζκνύ Άξα νύηε δηαθσλώ, νύηε ζκθσλώ κε ηελ άνςε ην καζεηή, αθνύ άιινηε είλαη ζσζηή θαη άιινηε ιάζνο. β. Αό ηνλ νξηζκό ηεο ηζόηεηαο δν νισλύκσλ, αξθεί : 407. α. Σν νιώλκν Ρ() δηαηξνύκελν κε άξα είλαη: ι ι ι ι ι ή ι 4 ι ι 9 0 ι ή ι ι 9 0 αθήλεη όινην 6 P θαη δηαηξνύκελν κε όινην 6 P, Ρ 6 Ρ Ρ Ρ 6 Ρ 6 θαη Ρ 0 Ρ 6 Ρ Ρ Ρ 6 β. Αό ην ξνεγνύκελν εξώηεκα είλαη Ρ 6 θαη Ρ 0, άξα: Ρ 0 8 α β 0 α β α 4 θαη β Ρ 6 8 α β 6 α β 7 γ. Γηα α 4 θαη β είλαη 4 P() 8 4. αθήλεη Αιιά νη αξηζκνί 4, 5, 6 θαη 7 δελ είλαη δηαηξέηεο ην ζηαζεξνύ όξν, άξα νη αξηζκνί 4, 5, 6 θαη 7 δελ είλαη ξίδεο ην νισλύκν Ρ(), δειαδή Ρ4 0, Ρ5 0, Ρ6 0, Ρ7 0. Δνκέλσο είλαη: Ρ4Ρ5Ρ6Ρ Με ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή 8 έρνκε 409. Έρνκε Γ() : ( 8). Άξα δ(). f() f( ) f( ) () όινην ην Πειίθν ηεο δηαίξεζεο ην 4. Πξέεη θαη όινην ην (α ) β. Πξέεη α+=0 θαη β 0, δειαδή α θαη β=.

143 4 Γηα ι= έρνκε P( ) 0... ι. 4 4 P() 4 ( 4) ( )... ( )( )( ) 4. Πξέεη: Δθαξκόδνκε γηα ην Ρ(ι) 0 ι ι ι 0. ι ι ι ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Έρνκε ι ι ι (ι )(ι ι ) (ι )(ι )(ι ) Άξα ην αξρηθό νιώλκν P() έρεη αξάγνληα ην ι, γηα ι= ή ι ή ι. 4. Κάλνκε ηε δηαίξεζε P() : ( ) (κε ζρήκα Horner) θαη έρνκε () 4 7 θαη 0. Άξα P() ( ) () Κάλνκε ηε δηαίξεζε () : ( ) (κε ζήκα Horner) θαη έρνκε () 7. Άξα () ( ) () ν ζεκαίλεη όηη ην θαη ην ειίθν ηεο δηαίξεζεο είλαη ην () 7 ( ) δηαηξεί ην P() 44. Έρνκε Άξα 45. Αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο () 4 6 θαη ()=6 P() : ( ) έρνκε P() ( )() (). Σν όινην ηεο δηαίξεζεο P():(+) είλαη ην Ρ( ). Αό ηελ () γηα έρνκε: Ρ( ) 0(). Άξα =. 46. Έζησ () ην ειίθν ηεο δηαίξεζεο. Σόηε P() ( )() P() ( )( )() Γηα = θαη = αίξλνκε: Ρ() 4 α β α 4 Ρ() 7 α β β Σν όινην ηεο δηαίξεζεο P() : ( α) είλαη Ρ(α) θαη ηεο P() : ( β) είλαη Ρ(β). Άξα: P() ( α) () Ρ(α) Ρ(β) Ρ(α) Αό () γηα =β έρνκε: (β) β α () P() ( β) () P(β) ()

144 44 Ρ(α) Ρ(β) Ρ(β) Ρ(β) Αό () γηα =α έρνκε: (α) (α) (β). α β β α 48. Δίλαη 4 4. Αλ νλνκάζνκε () ην ειίθν ηεο δηαίξεζεο P() : ( ) ξέεη λα δείμνκε όηη Ρ()=0 θαη ()=0. Γηα λα βξνύκε ην () εθαξκόδνκε ην ζρήκα ην Horner γηα ηελ ηηκή. Έρνκε: Δίλαη Ρ()=0 θαη Γειαδή 49. Δίλαη: P() ( )( ) () θαη έρνκε: () 0. ( )( ). Σν δεηνύκελν όινην είλαη ην νιύ ν βαζκνύ. Αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο έρνκε: P() ( )() α β γ Οόηε: Γηα =0 έρνκε: γ=. Γηα = έρνκε: (α β) () θαη γηα : 4α β 8 (). Αό ηηο () θαη () έρνκε α= θαη β. Άξα () 40. Σν όινην ζα είλαη ην νιύ ν βαζκνύ. Αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο έρνκε: ( ) ( ) 7 6 ( )( )() α β γ () Γηα =0 αό ηελ () έρνκε γ 5.Γηα = αό ηελ () έρνκε α+β= (). Γηα αό ηελ () έρνκε (α β) 4 (). 4. Δίλαη Αό () θαη () βξίζθνκε α= θαη β. Άξα Q() ( )( ). Οόηε: Σν είλαη αξάγνληαο ην P() αλ θαη κόλνλ αλ P(0) 0 γ 0 () 5. Σν είλαη αξάγνληαο ην P() αλ θαη κόλν αλ P() 0 α β Σν είλαη αξάγνληαο ην P() αλ θαη κόλν αλ P() 0 α β 5 Άξα: α 8, β=9, γ=0. 4. Κάλνκε ηε δηαίξεζε P() : ( ) κε ζρήκα Horner

145 Οόηε () θαη P() ( ) (). Κάλνκε ηε δηαίξεζε () : ( ) Οόηε () θαη () ( ) (). Άξα P() ( )( )( ) ν ζεκαίλεη όηη ην P() δηαηξείηαη κε ην ( )( ) θαη ην ειίθν είλαη () 4. Σν όινην ηεο δηαίξεζεο P():(+) είλαη P( ) 6 α( ) β( ) 5( ) 4 α β () Σν όινην ηεο δηαίξεζεο P() : ( ) είλαη P()... α β (). 5 4 Σν ζύζηεκα ησλ (), () δίλεη: α, β 44. Σν όινην ζα είλαη ην νιύ ν βαζκνύ. Έζησ ινηόλ όηη ()=α+β. Δίλαη: P() ( 4 )() (α β) Γηα = αίξλνκε P() 0 () α β δει. α+β=5 Γηα = αίξλνκε P() 0 () α β δει. α+β=5 45. Δίλαη Άξα: α β 5 α 0... α β 5 β 5 νόηε =5. P()=(+)()+. Γηα : P( ) Γηα λα είλαη Q() : ( ) ηέιεηα δηαίξεζε, αξθεί λα δείμνκε όηη Q()=0. Γηα = έρνκε: Q() P( 5) Q() P( ) Q() Αλ ξνζζέζνκε ηνλ ξαγκαηηθό θ ζην P() θαη εθαξκόζνκε ην ζρήκα Horner, γηα ηελ ηηκή έρνκε: 4 6 θ θ 47. i. Πξέεη 48. Έρνκε: ii. P( )... ι 6 ξέεη θ 0 θ. P( ) ι 7 0 ι Πξέεη λα είλαη: 6 4ι 6 ι 6

146 Σν νιώλκν είλαη 46 P( ) 0 θ ι 4 θ... P() 0 θ 6ι 0 ι 6 4 P() Άξα P() ( )(4 ) Άξα: P() ( )( )(4 ) ( )( )( )( ) 49. Σν όινην ηεο δηαίξεζεο είλαη P( ) 6α, Q( ) α 5. Όκσο άξα 6α α 5 α. 40. Έρνκε ( )( ). Πξέεη: 4. =Ρ()=.=6. P() 0 α β 7 α... P( ) 0 α β β 4. Σν όινην ηεο δηαίξεζεο είλαη ην νιύ ν βαζκνύ, δειαδή ()=α+β. Έρνκε: P() ( )( )() α β Γηα = θαη έρνκε δηαδνρηθά: Ρ()=α+β= θαη P( ) α β 9 Δίλαη: α β β 5 α β 9 α 4. Έρνκε Άξα () 5 κ κ 7 P 8κ (κ ) κ κ7 Όκσο =5 άξα 5 κ 44. Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner ζην P() γηα ηελ ηηκή. Έρνκε: α 5 β α 4α 0 8α β 0 α α 5 4α β 0 8α β 8

147 Πξέεη λα είλαη 0 4α β 4 (). 47 Αθόκε ην () α (α 5) (4α β 0) ξέεη λα δηαηξείηαη κε ην. Γειαδή ζα είλαη: () 0 α β 0 () 45. Έρνκε Αό ηηο () θαη () έρνκε: α, β 4 g() ( )( ). Αξθεί λα δείμνκε όηη ην P() έρεη ηηο ίδηεο ξίδεο κε ην g(), ηηο θαη. Πξάγκαηη: 46. Έρνκε k k P() ( ) ( ) 0 k k P() ( ) () 0 λ λ λ P() λ λ λ λ λ( )( ). Σν P() δηαηξείηαη κε ην. Αξθεί λα δείμνκε όηη ην δειαδή ζα ξέεη γηα = λα κεδελίδεηαη ην νιώλκν. Πξάγκαηη είλαη: 47. Έρνκε P( α) 0... α β. Δνκέλσο: λ ( ) δηαηξείηαη κε ην, λ 0. P() β β ( β)( ). 48. α. Δίλαη P() , άξα ην δηώλκν είλαη αξάγνληαο ην P. β. Δίλαη P 0 0. Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο είλαη νη δηαηξέηεο,,, 4, 6, ην ζηαζεξνύ όξν. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: ξ 4 0 Άξα α. Σν νιώλκν β. Γηα α 4 είλαη P() α 0 έρεη ξίδα ην 5, άξα είλαη: P α α α 00 α 4. P

148 48 Γλσξίδνκε όηη ην νιώλκν P() έρεη ξίδα ην 5, άξα κε ην ζρήκα Horner γηα ξ 5 έρνκε: 4 0 ξ Άξα ή ή α. Δίλαη P 6 α 0 6 α 4. β. Γηα α 4, είλαη 4 0 0, νόηε εεηδή ην είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο, κε ην ζρήκα Horner έρνκε: 4 0 ξ Άξα ή 5 ή. 44. α. Σν νιώλκν άξα είλαη: P() β γ δ έρεη ξίδεο ηνο αξηζκνύο 0, θαη, P 0 0 δ 0 δ 0 δ 0 P 0 β γ δ 0 β γ β 4 P 0 7 9β γ δ 0 β γ 9 γ β. Γηα β 4, γ θαη δ 0 είλαη P() 4, νόηε έρνκε: P() Άξα έρνκε: 0 ή ή. 4 0 ή 0 4 P

149 Δνκέλσο,0,. 44. α. Σν νιώλκν β. Γηα ι 49 P() ι 4ι έρεη αξάγνληα ην, άξα είλαη: είλαη P 0 ι 4ι 0 ι ή ι. P Γλσξίδνκε όηη ην νιώλκν P() έρεη ξίδα ην, άξα κε ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 0 4 ξ 0 Άξα ή ή α. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο δηέξρεηαη αό ην ζεκείν Μ,0 4 f() α 5 6 β. Γηα α 4 είλαη f 0 8 4α α 56 α 4. 4 f() εκείν ηνκήο ηεο C f κε ηνλ άμνλα yy Γηα 0 είλαη ζεκείν A0,6. Γηα έρνκε:, άξα είλαη: 4 f(0) , άξα ε C f ηέκλεη ηνλ άμνλα yy ζην εκεία ηνκήο ηεο C f κε ηνλ άμνλα f 0 είλαη , νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ ξ Άξα , θαη κε ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 5 4 ξ

150 Άξα ή ή 0 ή ή ή. Δνκέλσο ε 444. α Έρνκε B,0, Γ,0, Γ,0, Δ,0. C f ηέκλεη ηνλ ζηα ζεκεία Άξα είλαη β. Δίλαη P() ή 4 0 ή ή α. Σα ζεκεία ηνκήο ηεο έρνλ σο ηεηκεκέλεο ηηο ξίδεο ηεο εμίζσζεο f C κε ηνλ άμνλα f Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο είλαη,, νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 5 ξ 0 Άξα είλαη 5 0 0

151 5 ή ή,νόηε ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα A,0, B,0, Γ,0. ζηα ζεκεία β. Αξθεί λα βξνύκε ηα γηα ηα ννία ηζρύεη: f 0 Άξα έρνκε: 0 0 ή P Δνκέλσο,, α. Σν νιώλκν P() έρεη ξίδα ην θαη ην όινην ηεο δηαίξεζήο ην κε ην είλαη ίζν κε 4, άξα: P 0 α 5 β 0 α β 4 α P 4 8 4α 0 β 4 4α β β 6 β. Γηα α θαη β 6 είλαη P() P() α 5 β 5 6, νόηε είλαη Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο είλαη,,, 6, νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 5 6 ξ Άξα είλαη ή ή α. Σν νιώλκν

152 5 Ρ() έρεη αξάγνληα ην θαη P 8, άξα: P( ) 0 α β 0 α β θαη P() 8 8 4α β 8 α β 4. Πξνζζέηνκε θαηά κέιε ηηο εμηζώζεηο () θαη (), νόηε ξνθύηεη α θαη β. β. Ζ εμίζσζε P() 0 γηα α θαη β γξάθεηαη: 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 (εεηδή γ. Δίλαη 0, γηα θάζε R ). P() 0 ( )( ) (εεηδή 448. α. Αθνύ ην είλαη ξίδα ην P() έρνκε β. Γηα θ=6 είλαη 0, γηα θάζε R ). P() 0 (θ 6) 7 θ 0... θ 6 P() 7 6 Κάλνκε ζρήκα Horner κε ην ξ ύκθσλα κε ην ζρήκα Horner ηζρύεη Δίλαη 7 6 ( )( 6) P() 0 ( )( 6) 0 0 ή 6 0 [ ή ( ή )] 449. α. Έρνκε P() 0 α β6 0 α β () P() 0 α β 6 0 4α β 4 α β () Λύλνληαο ην ζύζηεκα ησλ (), () έρνκε α 5 θαη β 8 β. P() Έζησ Q() Σόηε ε Q() 0 έρεη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο,, 4

153 5 Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ξ Άξα Q() ( )( 4 4) ( )( ) νόηε Q() 0 ( )( ) 0 θαη 450. α. Οη δηαζηάζεηο ην λέν θνηηνύ ζα είλαη όσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα 4, 5,.Άξα αθνύ V αβ γ έρνκε V ( 4)( 5)( ) ( 9 0)( ) Όκσο V 0 άξα β. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ξ Άξα V() ( )( 60) νόηε V() 0 0 ή 60 0 αδύλαηε (Γ 40 0) Οη δηαζηάζεηο ην λέν θνηηνύ ζα είλαη 5,6, α. Γηα λα ηζρύεη P() Q() (α ) α Πξέεη α α α α 0 Έζησ h(α) α α νόηε ε εμίζσζε h(α) 0 έρεη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο, Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκε

154 54 0 ξ 0 Άξα h(α) α α (α )(α α ) νόηε h(α) 0 α 0 ή α α 0 [α ή (α ή α )] Άξα γηα α= ή α=- ηα είλαη ίζα β. Γηα α= έρνκε P() άξα ε εμίζσζε P() 0 0 έρεη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο Όκσο P() 5 0 θαη P( ) 0 άξα ε P()=0 δελ έρεη αθέξαηεο ξίδεο 45. α. Έρνκε P( ) 6 ( ) ( ) 4 ( ) ι 6... ι Άξα P() 4 β. Ζ P()=0 έρεη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηηο Κάλνκε ζρήκα Horner κε ην 4 ξ 0 Άξα P() 4 ( )( ) νόηε P() 0 0 ή 0 ή ( ) 45. α. Έρνκε Αθνύ P() ν βαζκνύ ξέεη ι 0 ι ι Σαηόρξνλα ξέεη (ι ) 0 ι. Άξα ηειηθά ι β. Αθνύ ι έρνκε γ. P() 4 P() ( ) 0 0 (δηιή ξίδα) ή 454. α. Έρνκε

155 55 P() ( )( ) β. P() γ. Αλ =0 ηόηε P() ( )( ) α. Έζησ, y νη θάζεηεο ιεξέο θαη ε νηείλνζα ην νξζνγσλίν ηξηγώλν. Δίλαη 60 Δ 0 y 0 y 60 y. Δίζεο αό Πζαγόξεην Θεώξεκα ζην νξζνγώλην ηξίγσλν έρνκε: ( ) y. β. Ζ ζρέζε () ιόγσ ηεο () γίλεηαη: ( ) γ. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: ς ξ Άξα , εεηδή ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε. Δνκέλσο νη ιεξέο ην 60 νξζνγσλίν ηξηγώλν είλαη, y 5,. δ. Αό ην εξώηεκα γ) ξνθύηεη όηη ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ () θαη () έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηελ, y,5, άξα δελ άξρεη άιιν νξζνγώλην ηξίγσλν ην ννίν ηθαλννηεί ηα αξρηθά δεδνκέλα ην ξνβιήκαηνο α. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f () δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία O0,0 θαη A,0, άξα είλαη: f 0 0 δ 0 β. Γηα γ θαη δ 0 είλαη δ0 f 0 8 γ δ 0 γ 4. 4 f (), i. Γηα θάζε είλαη f ( ) f. 4 4 ii. Ζ ζλάξηεζε f έρεη εδίν νξηζκνύ ην, νόηε: γηα θάζε θαη f ( ) f, γηα θάζε.

156 56 Άξα ε ζλάξηεζε f είλαη εξηηηή, ενκέλσο ε γξαθηθή ηεο αξάζηαζε είλαη ζκκεηξηθή σο ξνο O0,0. y Cf 0 _ I Cf _ y iii. Δίλαη f. 4 4 f Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο είλαη νη δηαηξέηεο, ην ζηαζεξνύ όξν. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 0 4 ξ 0 Άξα β)i. β)iii. f f f ή. ή 457. α. Έζησ ή. Ρ α β γ δ, α,β,γ,δ, α 0. Σν νιώλκν Ρ() δηαηξείηαη κε ην νιώλκν, άξα ην Ρ() έρεη αξάγνληεο ηνο θαη. Δίζεο είλαη P 0 θαη P 8. Αξα:

157 57 P 0 0 δ 0 δ0 P 0 α β γ 0 δ0 P 88α 4β γ 8 4α β γ 4 δ0 P 08α 4β γ 0 4α β γ 0 Με ξόζζεζε ησλ εμηζώζεσλ () θαη () ξνθύηεη όηη: 4β 4 β θαη γηα β νη ζρέζεηο () θαη () γίλνληαη: Δνκέλσο Ρ. α γ α θαη γ. 4α γ β. Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο είλαη νη δηαηξέηεο,, 4, 8 ην ζηαζεξνύ όξν 8. Με ην ζρήκα Horner γηα ξ θαη ξ βξίζθνκε όηη θαη P 0, άξα νη θαη δελ είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο, ελώ γηα ξ έρνκε: P 0 8 ξ Άξα 4 0 αδύλαηε. γ. Δίλαη Ρ ( )( 4) 0 ή P 0 0 νόηε έρνκε: ή 0, Άξα,, 0.

158 α. Ζ δεηνύκελε εζεία, δελ είλαη θαηαθόξθε, άξα έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο y α β, α, β R θαη εεηδή δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α0, θαη Β, ζληεηαγκέλεο ηνο εαιεζεύνλ ηελ εμίζσζή ηεο. Οόηε είλαη α0 β β α β α άξα ε εζεία ν δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α θαη Β έρεη εμίζσζε y., νη β. Σα θνηλά ζεκεία ηεο εζείαο κε εμίζσζε y θαη ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο f ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην ζζηήκαηνο: y y Με ηελ βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner έρνκε: 0 ξ 0 Άξα ε εμίζσζε () γξάθεηαη 0 ή ή. Γηα είλαη y, γηα είλαη y 4, γηα είλαη y 4 Οόηε ηα δεηνύκελα ζεκεία ηνκήο είλαη ηα: Γ, 4, Γ, 4, Β, γ. Σν ξόζεκό ην Ρ 0 0 δίλεηαη ζηνλ αξαθάησ ίλαθα: P()

159 Oόηε 59 P 0 ή Γεσκεηξηθά, αηό ζεκαίλεη όηη ζηα δηαζηήκαηα,, ε θαη γξαθηθή αξάζηαζε ηεο εζείαο είλαη άλσ αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θακύιεο Σν P() ξέεη λα είλαη δεηέξν βαζκνύ, νόηε P() α β γ, θη έηζη έρνκε: ( )(α β γ) 6 7 α (β α) (γ β) γ 6 7 νόηε: α=6, β α 7, γ β θαη γ. Λύλνληαο ην ζύζηεκα έρνκε: α=, β, γ. Άξα P() νόηε ( )( ) 0 ή ή 460. Έρνκε 46. Έρνκε 46. Έρνκε P( ) 0... ι ι 9ι 5 0. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ι= νόηε έρνκε: (ι )( ι 4ι 5) 0. Σειηθά ι= ή ι 5. 0 ( ) ( ) 0 ( )( 4 ) 0 ( )( 6) ( 4) 0 4 Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή νόηε έρνκε ( )( ) 0 ή 0 (). Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή θαη έρνκε 46. Έρνκε () ( )( ) 0. Σειηθά δηιή ξίδα ην. ( 5 ) 0 0 ή ή ή ή (ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ). Με αληηθαηάζηαζε θαη ξάμεηο δηαηζηώλνκε όηη κόλν ε ηηκή είλαη θαη ξίδα ηεο δεύηεξεο εμίζσζεο Πξέεη P() 0... α 4. Οόηε y y 5y 4 0 y ή y=8 ή y= Θέηνληαο y έρνκε

160 (ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ). Άξα 465. Έρνκε 60 ή 8 ή. Σειηθά =, =,. P( ) 0 α β 6 0 α β 6 P( ) 0 8α β 8 0 8α β 8. Ζ ιύζε ην αξαάλσ ζζηήκαηνο είλαη α=8, β 4. Άξα 4 P() Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηηο ηηκέο,, θαη 4 θαη δηαηζηώλνκε όηη αηέο είλαη ξίδεο Έρνκε P( ) 0 α α α 0 α (ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ) Ζ αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή θαη κεηά γηα ηελ ηηκή. Σειηθά ξίδεο νη, =,, 467. Οη αλαθεξόκελεο ξίδεο ζα είλαη νη ξίδεο ηεο. 7 0 δειαδή νη = θαη =4. Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηηο ηηκέο αηέο. Σειηθά = ή =4 ή = ή Έρνκε Θέηνκε 469. Έρνκε Θέηνκε 470. Θέηνκε 4 4 ( 4 ) 0 0 ή 4 0 (). y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: Άξα y 4y 0 y ή y ή, (ι 8ι ) ι 8ι ι σ 0 θαη βξίζθνκε 0 σ ανξ. ή σ=4 νόηε ι. Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο αηέο έρνκε: 0,. ( 5 ) y νόηε ε αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη: y 8y 6 0 y 4. Άξα 5 0 ή =5 47. Θέηνκε y νόηε νόηε ε () γξάθεηαη: Γηα y= έρνκε: γηα y έρνκε 47. Θέηνκε ( 5 ) 4 νόηε 5 ή =4 y y 5y 6 0 (). Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή (y )(y y 6) 0 y ή (y=, y )., γηα y= έρνκε: y, νόηε αδύλαηε, 9 0 y 0

161 Γηα y=7 έρνκε: 6 Άξα y(y 0) y ή y=7. 7 ή. Γηα y= έρνκε: ή. 47. Έρνκε Θέηνκε y, νόηε ε αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: y 4( y) 0 y δηιή 474. Θέηνκε Άξα 5 (δηιέο). σ νόηε σ σ σ σ Ζ αξρηθή εμίζσζε γξάθεηαη: Γηα σ=0 έρνκε: Γηα σ έρνκε: σ σ σ σ 4σ 0 σ 0 ή σ ή σ=. 0 αδύλαηε. 0 δηιή. Γηα σ= έρνκε: 0 δηιή Παξαγνληννηνύκε ην νιώλκν 6 6. Πηζαλέο αθέξαηεο ηηκέο,,, 6. Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Άξα ( )( 5 6) 0. Καηαζθεάδνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ θαη έρνκε: ή. 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Όκσο 0 γηα θάζε R, άξα Ζ αλίζσζε γξάθεηαη: Θέηνκε ή > P(). Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ην P() είλαη:,. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα ην Horner γηα ηελ ηηκή θαη κεηά γηα ηελ ηηκή. Έρνκε: P() ( )( ) ( )( )( ) νόηε ε αξρηθή αλίζσζε γξάθεηαη: ( )( )( ) 0 ( )( ) 0 ή > Έρνκε ( ) 8 6 ( ) 8( ) 0

162 6 ( )[( ) 8] 0 ( )( ) 0 Με θαηαζθεή ην ίλαθα ξνζήκσλ έρνκε: ή = Θέηνκε y 0 νόηε y 5y 4 0 (y 4)(y ) 0 ( 4)( ) 0. Ο ίλαθαο ξνζήκσλ ηειηθά ζα καο δώζεη: (, ) (,) 479. Αξθεί λα ιύζνκε ηελ 9 0 (). Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο () είλαη:,. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Οόηε ε () γξάθεηαη: Άξα ηα δεηνύκελα ζεκεία είλαη: 480. Δίλαη ( )(9 6 ) 0 ή,0, (,0). f() 4 4 (θ ) θ, νόηε f (). Αξθεί λα ιύζνκε ηελ εμίζσζε 0 () Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο () είλαη θαη. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Σειηθά ε () γξάθεηαη: Άξα ηα ζεκεία ηνκήο είλαη (,0), (,0). ( )( ) 0 ή ( ή =). 48. Αξθεί λα ιύζνκε ηηο αληζώζεηο f()>0 θαη f()<0. Έρνκε f() (). Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Άξα ε () γξάθεηαη: f() ( )( 6) 0 ή ή =. Δνκέλσο, ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα ζηα ζεκεία (, 0), (,0), (,0). Γηα ηε ιύζε ησλ αληζώζεσλ βξίζθνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ ηεο f. ύκθσλα κ αηόλ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη άλσ αό ηνλ ζηα δηαζηήκαηα (,) θαη (,+ ), ελώ βξίζθεηαη θάησ α αηόλ ζηα (, ) θαη (,). 48. Αξθεί λα ιύζνκε ηελ εμίζσζε: f () ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ( 0 γηα θάζε ). Άξα ην δεηνύκελν δηάζηεκα είλαη: (,+ ). 48. Έρνκε Θέηνκε Άξα ( ) θαη ( )( ). y νόηε ε εμίζσζε γξάθεηαη: y(y ) 0 y 0 ή y ή

163 484. Θέηνκε 485. Θέηνκε 6 0 αδύλαηε. 4 ( ) y 0 νόηε έρνκε: y 80y 8 0 y 8 ή y ανξ. Άξα 4 ( ) 8 ή. y 0 νόηε έρνκε: y y y 0 y (y ) (y ) 0 (y )(y ) 0 y ή y= ή 486. i. Θέηνκε: y 0. Έρνκε y ανξ. Έρνκε ινηόλ:.. y 8y 9 0 y 9 ή y ανξ. Άξα 9. ii. 0 (). Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο () είλαη,. Γηα ξ= ζρήκα Horner: () ( )( ) 0 ή (= ή ) 487. Πξέεη λα ιύζνκε ηελ ηηκή νόηε έρνκε: 0 (). Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ( )( ) 0 ή (= ή ) Κνηλά ζεκεία ηα (,0) θαη, Δίλαη P() 0 (ι κ) ι 54 0 κ ι (). Δνκέλσο 4 P() ι ι 5 4. Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή θαη ζηε ζλέρεηα ζην ειίθν γηα ηελ ίδηα ηηκή. Έρνκε: ι ι 5 4 ι 4 ι 4 0 ι 4 ι ι ι ι ι Πξέεη ι 0 ι () κ. Δθαξκόδνληαο θνξέο ην ζρήκα Horner βξήθακε όηη: P() ( ) ( 4). Ζ αλίζσζε δηόηη ( ) 0 θαη 489. Έρνκε: 4 0 γηα θάζε R. ( ) ( 4) 0 αιεζεύεη γηα θάζε R

164 64 f 0 θαη f()=0. α β α β β 0 α β (α β) α β β 0 f() 5 4 ( ) ( ). Άξα δελ έρεη άιια θνηλά ζεκεία κε ηνλ. Γηα λα είλαη ε γξαθηθή αξάζηαζε άλσ αό ηνλ ζα ξέεη f()>0, δειαδή ( ) ( ) 0 ε ννία αιεζεύεη γηα 490. Έζησ, (, ). P() θ θ. Γηα ξ αό ην ζρήκα Horner ξνθύηεη P() ( )[ (θ ) ]. Μία ξίδα ην. Γύν άιιεο ζα ξέεη λα έρεη ην (θ ), δειαδή Γ 0 θ θ 0 θ ή θ 49. Ζ εμίζσζε ηεο εζείαο είλαη y α β. Έρνκε: α β θαη 4 α β. Σειηθά α θαη β=. Άξα y. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηθαλννηνύλ ηελ εμίζσζε ή ( )( ) 0 ή αδύλ. Άξα ηέκλνληαη κόλν ζην A(, ) α. Σν νιώλκν Δνκέλσο είλαη Ρ είλαη ν βαζκνύ, άξα: θ 0 θ θ θ 0 θ Ρ ι, ι. είλαη ίζν κε 4, άξα Αιιά ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην Ρ() κε ην P 4 ι 4 ι. β. Γηα θ θαη ι είλαη έρνκε:, νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ Ρ 0 ξ

165 65 4 i. Δνκέλσο ε ηαηόηεηα ηεο Δθιείδεηαο δηαίξεζεο ην νισλύκν Ρ() κε ην είλαη ii. Ρ 4. Ρ ή ή iii. Δίλαη 0 θαη, Ρ() νόηε έρνκε: ,, 0,, 0,,. Άξα Ρ(),. 49. α. Σν νιώλκν P() έρεη αξάγνληα ην θαη ην όινην ηεο δηαίξεζήο ην κε ην είλαη ίζν κε 6, άξα είλαη: P 0 6 4α β 0 α β 9 α 5 P 6 α β 6 α β 6 β β. Γηα α 5 θαη β, ην νιώλκν γξάθεηαη γ. P() 5, άξα είλαη: P() ( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ή 0 ή ή. ζλ σ5εκ σζλσ 0 ζλ σ55ζλ σζλσ 0 ζλ σ5ζλ σζλσ 0 P(ζλσ) 0 Αιιά αό ην ξνεγνύκελν εξώηεκα ξνθύηεη όηη ζλσ ή ζλσ ( ε ιύζε ζλσ ανξξίη. εεηδή ζλσ ), νόηε έρνκε: ζλσ ζλσ ζλ0 σ θ, θ Z ζλσ ζλσ ζλ σ ι, ι Z 494. α. Σν νιώλκν P() έρεη ξίδα ην θαη αξάγνληα ην, άξα είλαη:

166 β. Γηα θ 7 θαη ι 6 66 P 0 θ ι θ 7 P 0 4θ ι ι 6 είλαη 4 Ρ θαη εεηδή ην νιώλκν P() έρεη ξίδα ην, κε ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 7 6 ξ Οόηε είλαη θαη ζλερίδνληαο κε ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: ξ Άξα έρνκε : ή ή ή. γ. Πξέεη 5 0 5, νόηε είλαη: Ρ() 0 5 Ρ() Ρ() Άξα 0,, 5, α. Σν νιώλκν P() έρεη ξίδα ην θαη ην όινην ηεο δηαίξεζήο ην κε ην είλαη ίζν κε 6, άξα είλαη:

167 P 0 α β 7 α 5 0 β 0 P 0 6 α 5 6 α β. Γηα α θαη β 0, είλαη P() 7 6, άξα είλαη: i. P , νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: ξ Άξα , νόηε: ή γηλόκελν Δνκέλσο P 0,, ii. Πξέεη: β)i. P 0,, P 0 0 P P P ή (δεθηή) ή 5 (ανξξίηεηαη) ή 5 (δεθηή) 496. α.έρνκε

168 Άξα P α α α α α α β. Σν α γ. Αλ α, ηόηε δηαηξεί ην. P, άξα ην όινην ηεο δηαίξεζεο είλαη 0, νόηε είλαη: 5 4 α α 0 α α 0 α 0 ή α ή α. P i. P 0 0, ( -) γηλόκελν ii. P Αιιά 0, άξα 0 ή α. i. Φέξνκε αό ην B ζεκείν κηα εζεία αξάιιειε ξνο ηνλ άμνλα, ε ννία ηέκλεη ηελ C ζην ζεκείν f A, 4,6. Δνκέλσο ε εηαηξεία ζα κνξνύζε λα δααλήζεη γηα δηαθήκηζε δν ρηιηάδεο εξώ, ώζηε λα έρεη ην ίδην θέξδνο ( 4,6 ρηιηάδεο εξώ). ii. P 4, 6 0,5,9 4, 6 0,5,9, , νόηε κε ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: ξ

169 69 Άξα , νόηε: ή ή, (ανξξίηεηαη). Δνκέλσο ε εηαηξεία ζα κνξνύζε λα δααλήζεη γηα δηαθήκηζε δν ρηιηάδεο εξώ, ώζηε λα έρεη ην ίδην θέξδνο ( 4,6 ρηιηάδεο εξώ). β. Αό ηελ γξαθηθή αξάζηαζε ξνθύηεη όηη ε γξαθηθή αξάζηαζε C f βξίζθεηαη άλσ αό ηελ εζεία ΑΒ γηα, άξα ε εηαηξεία ξέεη λα δααλήζεη γηα δηαθήκηζε αό έσο ρηιηάδεο εξώ, ώζηε ην θέξδνο ηεο λα είλαη κεγαιύηεξν αό 4,6 ρηιηάδεο εξώ. Αιγεβξηθά είλαη: P 4, 6 0,5,9 4, 6 0,5,9, Αιιά εεηδή 0 4, είλαη, ενκέλσο ε εηαηξεία ξέεη λα δααλήζεη γηα δηαθήκηζε αό έσο ρηιηάδεο εξώ, ώζηε ην θέξδνο ηεο λα είλαη κεγαιύηεξν αό 4,6 ρηιηάδεο εξώ Έρνκε Ζ εμίζσζε γξάθεηαη Θέηνκε 499. Έρνκε Δ.Κ.Π. 9( ) ( ) 0 θαη 4 9 ( ) 0[( )( )] 9 ( ) σ 0. Οόηε έρνκε: [Δ.Κ.Π. 4( )( ) 0 ] 4σ 9σ 5 0 σ ή σ 5 ανξ. Άξα 4 (Γεθηέο) 4 ( )( ), ( ), ( ). 5 ( ) ( )( ) 4( ) ή 500. Έρνκε 7 ( )( ). Πξέεη. 4 ( ) 5( )

170 70 ( ) 50. Έρνκε ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( )( ) ( ) 6 5 ή =. 5( )( ) ( )( ) ( 4)( ) 0 ή 50. Ζ αξαάλσ αλίζσζε γξάθεηαη: Δ.Κ.Π.: ( ) 0 0 θαη. 0, () ( ) ( ) ( )( ) () 0 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 0 Όκσο 0,, άξα 0 ή 0<< ή >. 50. (Πεξηνξηζκνί: 0 θαη ) ( )( ) 0 ( ) ( ) Με ίλαθα ξνζήκσλ έρνκε: 0 ή θαη. Έρνκε: γηαηί ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 αθνύ θαη. Σειηθά ή 0<< ή > Ζ εμίζσζε γξάθεηαη: Θέηνκε γηα 0 αθνύ Γ<0, άξα ή >0 θαη εεηδή 4 4 εκ 7( εκ ) 8 0 εκ 7εκ 9 0 () εκ σ (0 σ ). Αό ηελ () έρνκε: σ έρνκε: σ 7σ 9 0 σ ή σ 9 (ανξ). εκ εκ εκ. Άξα: εκ εκ εκ θ ή 4 4 εκ εκ εκ θ Θέηνκε: θ θ, θ Ε ή ή θ θ, θ Z 4 4 ζλ y (y [,]) : y 4y 0 y ή y= (ανξξίηεηαη).

171 507. Έρνκε Άξα: 7 ζλ ζλ θ, θ Ε εκ ζλ εκ 0 εκ εκ εκ 9 0 Θέηνκε εκ y, νόηε ε αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: y y y 9 0. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή. Έρνκε: (y )(y 5y ) 0 y ή (y= ή Αλ y=, ηόηε εκ= αδύλαηε. Αλ y ) y, ηόηε εκ εκ εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε Ζ αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: Θέηνκε 4 (εθ )( εθ ) 6εθ εθ 0εθ 0 (). εθ σ 0 νόηε: () σ 0σ 0 σ ή σ. Άξα: εθ εθ ή εθ εθ εθ ή εθ εθ θ ή θ, θ Ε εθ εθ ή εθ [εθ εθ ή εθ εθ ] 6 6 θ ή θ, θ Ε Πξέεη: 0. 0 Ζ εμίζσζε γξάθεηαη:. Τςώλνκε θαη ηα δύν κέιε ζην ηεηξάγσλν νόηε έρνκε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 ή Οη ηηκέο =, = είλαη δεθηέο, γηαηί εαιεζεύνλ ηελ αξρηθή εμίζσζε. 50 Ζ εμίζσζε έρεη λόεκα όηαλ: 4. Έρνκε: 0

172 7 ( 4 ) ( 0) ( ) δεθηή δηόηη εαιεζεύεη ηελ αξρηθή εμίζσζε. 5. Πεξηνξηζκνί: Ζ εμίζσζε δηαδνρηθά γξάθεηαη: ( 6) ( 6 9) ( 7 6) ( 54) (4 ) ( 54) Δαιήζεζε: ν ηζρύεη. 5. Ζ εμίζσζε νξίδεηαη γηα 0 Αλ ι 0 ι, ε εμίζσζε είλαη αδύλαηε. Αλ ι 0 ι, έρνκε: (ι ) (ι ), δεθηή. 5 Πξέεη:. 4 4 Ζ αλίζσζε γξάθεηαη: Λόγσ ην εξηνξηζκνύ, ιύζεηο ηεο αλίζσζεο είλαη ηα R κε Έρνκε 6 0 γηα θάζε R αθνύ Γ<0. Αλ αιεζεύεη. Αλ 0 ηόηε: 0 ηόηε ε αλίζσζε 6 ( ) Άξα ε αλίζσζε αιεζεύεη γηα θάζε. 55. Πεξηνξηζκνί 8 8 5

173 Ζ αλίζσζε γξάθεηαη Αλ 0 ηόηε αδύλαηε Αλ 0 ηόηε 7 ( 8 5) ( 40) ( ) 40 9 Άξα ε αλίζσζε αιεζεύεη γηα θάζε R κε Έρνκε i θ 7 0 θ θαη θ νόηε γηα θ έρνκε 5 5 ii. Έρνκε Θέηνκε Eνκέλσο ( 5θ 7) (θ ) 5θ 7 θ θ θ... (θ )(θ ) 0 θ ή θ ή θ ανξ. 57. Έρνκε t 6t t 6t t 6t t 6t (t 6t ) ( t 6t ) t 6t y, (y 0) νόηε εαξαάλσεμίζσζεγξάθεηαη : y 4(y ) y 4y 0 y 6 ή y ανξ. t 6t 6 t 6t 7 0 t 7 ή t Πξέεη : 5 0 θαη 0 Γειαδή γηα έρνκε ( 5) ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ή ή ανξ. 58. Έρνκε ή 59. Έρνκε Ζ εμίζσζε γξάθεηαη ( 4) 0 θαη 4 0) 4 ( 4) ( 4)( 4) ή 5 ανξ. 50. Πξέεη Οόηε έρνκε: ι 0 ι 4=(ι ) (ι )

174 5. Έρνκε 74 ορότε 4 0 ή Αλ 0 ε αλίζσζε αιεζεύεη γηα θάζε R κε Αλ 0 ηόηε 4 4 ( ) 4 αηνν Ζ αλίζσζε εαιεζεύεηαη γηα Θ Ε Μ Α Τ Α Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ω Ν Β. =Ρ()= =7. Β. Με ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή έρνκε Β. F() 0... ( )( ) 0. () θαη =0. 5. Γ.Έρνκε Ρ() 0 8 (θ )4 (θ ) 0... θ Γ. Δίλαη Γ. Έρνκε P(). Με ην ζρήκα Horner γηα ηηκή έρνκε: P() ( )( 6 9) Β. F()=0 δει. θ=5. ( )( 4 4) 0 ( )( ) 0 ή Β. Με ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή έρνκε () 5 θαη ()= Β. Έρνκε Ρ()=0, θαη αθνύ ε δηαίξεζε ην P() κε ην + αθήλεη όινην, έρνκε: Ρ( ). Οόηε: Ρ() 0 α (β ) β 6 0 α β α Ρ( ) α (β ) β 6 α β 6 β 4 Β. Γηα ηηο ηηκέο α= θαη β=4 ην νιώλκν P() γξάθεηαη: P(). P() 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( 5 ) 0 ή ή 56. Γ. Έρνκε Ρ 7 θ (θ ι) ι 7

175 75 θ ι (θ ι) 6 θ (θ ι) 4ι θ 6ι 48 θ ι 6 () Ρ( ) θ( ) (θ ι)( ) ι( ) θ (θ ι) ι θ ι () Γ. Αό () θαη () έρνκε: θ 6 θαη ι 5 α. P() Άξα P() ( )( 7 6) 7. Γ. Έρνκε P() 7 ( )( 7 6) 7 7 ( )( 7 6) 0 () Σν ηξηώλκν 7 6 έρεη Γ 0 θαη αθνύ α 0 ηόηε γηα θάζε R νόηε ε 57. Γ. Έρνκε 4 8 5(α ) 8 α α 6 8 5α 8 5α 8 α 6 8 5α 8 α 6 5α α 6 5α 5α 6 α 6 Γ. Πξέεη α 6 0 ή α= () 0 P() 0 ( )( 8 5) 0 0 ή ( ή ) ή ( ή 5)

176 76 Γ. Γηα λα βξνύκε ηα δηαζηήκαηα ζηα ννία ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο P() είλαη θάησ αό ηνλ άμνλα ησλ αξθεί λα ιύζνκε ηελ αλίζσζε: P() 0 ( )( 8 5) 0 Αό ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ ξνθύηεη ηειηθά όηη (,) (,5) 58. Β. Έρνκε Ρ()=0. Β. Με ζρήκα Horner έρνκε: Β. Ζ εμίζσζε γξάθεηαη: () P() 0 ( )( 4) 0 ή ή Β4. Έρνκε P() 0 ( )( )( ) 0. Αό ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ θαηαιήγνκε όηη ξέεη: [,] [, ). 59. Β. Με αληηθαηάζηαζε Β. Με ζρήκα Horner έρνκε ειίθν Β. Έρνκε Ρ( ) 4. () 5 6 θαη όινην 0. P() ( )( 5 6) ( )( )( ) θαη κε θαηάιιειν ίλαθα ξνζήκσλ ζα έρνκε (,) (,). 50. Β. Με ζρήκα Horner δηαηζηώλνκε όηη ην είλαη ξίδα, νόηε ην + είλαη αξάγνληαο. Πειίθν ην (). Β. Με ζρήκα Horner δηαηζηώλνκε όηη ην είλαη ξίδα, ενκέλσο ην αξάγνληαο ην () κε λέν ειίθν δηαίξεζεο ην Β. Πξέεη f()>0 ή 5. Γ. Έζησ () ( )( )( ) 0 ( )( ) 0 ή. P() α β γ δ, Ρ(0) 0 δ 0. α β γ ( )(θ ι)... θ ι θ ι νόηε θ=α, ι=β, θ=γ, ι=0. Όκσο α+β+γ=0 νόηε ηειηθά α=γ=, β=0. Δνκέλσο Γ. Έρνκε Θέηνκε Γειαδή P() ( ). ( ) ( ) 0, σ, νόηε έρνκε σ σ σ 0 σ(σ σ) 0 σ 0 δηόηη 0 ( )( ) 0 δηόηη 5. Γ. Δίλαη: 0 γηα θάζε. σ σ 0. P(). Με ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή έρνκε: P() ( )( ) Γ. Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο νη. Ρ() 0 θ 0 θαη Ρ( ) 0 θ.

177 Γ. Γηα θ=0, 77 P() θαη κε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή έρνκε: P() ( )( ) νόηε =. 5. Γ. Έρνκε 8.Σειηθά α (α>0) P() 0 4α ( α ) 0 α Γ. Έρνκε ειίθν Γ. Έρνκε P(), θαη κε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή αίξλνκε () θαη όινην 0. P() 0 ( )( ) 0 ή ή Θ Ε Μ Α Τ Α Ο. Ε. Φ. Ε Β. Έρνκε P() α, F() (β γ) 0 4β Q() β γ θαη Έρνκε ην ζύζηεκα: P( ) 0, Q() 5, F() 6 Β. i. Έρνκε ii. Έρνκε iii. Έρνκε α, 4β γ 4, 6β γ 5 ή {α=, β= θαη γ=} P() Q() 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0,, P() F() ή εκ εκ εκ 0... εκ, εκ, εκ 5 άξα θ, θ, θ, θ, θ Ε Β. Βξίζθνκε ηηο ηηκέο ην ι, ν κεδελίδνλ ηνο ζληειεζηέο ην θαη ην ζηαζεξό όξν ην νισλύκν. Έρνκε: Άξα: ι ή ι=0 ή ι=. Όκνηα: ι 4ι 0 ι(ι 4) 0 ι(ι )(ι ) 0 ι ι 0 ι(ι ) 0. Άξα: ι=0 ή ι=. Σέινο: ι 0. Άξα ι=. Γηαθξίλνκε ηηο αξαθάησ εξηηώζεηο: Αλ ι, 0, ηόηε ην νιώλκν P() είλαη ν βαζκνύ. Αλ ι, ηόηε ην νιώλκν P() είλαη ν βαζκνύ. [P()=8+4].

178 78 Αλ ι=0, ηόηε ην νιώλκν P() είλαη κεδεληθνύ βαζκνύ. [P()=]. Αλ ι=, ηόηε ην νιώλκν είλαη ην κεδεληθό νιώλκν [P()=0] θαη δελ νξίδεηαη βαζκόο. Β. Γηα ι= έρνκε: P() ( 4) ( ) P(). Γηα λα δηέξρεηαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο Ρ αό ην ζεκείν (, ), ζα ξέεη Ρ(). Έρνκε: Β. Έρνκε P() Ρ() P() 4 0. Παξαγνληννηνύκε ηελ ηξηηνβάζκηα ρξεζηκννηώληαο ην ζρήκα Horner (γηα ηελ ηηκή ) νόηε ε ηξηηνβάζκηα γξάθεηαη: ( )( 4) 0 ( )( 4) 0 Ζ δηαθξίλνζα ην ηξησλύκν είλαη αξλεηηθή, (Γ 9), άξα ην ηξηώλκν είλαη γηα θάζε νκόζεκν ην α (α=), δειαδή είλαη γηα θάζε ζεηηθό. Σειηθά ξνθύηεη >. 56. Γ. Με ζρήκα Horner γηα ην P() θαη γηα ξ=, ξνθύηεη όινην 0 θαη ειίθν () α (6 α) α. Με λέν ζρήκα Horner γηα ην () θαη ξ=, ξνθύηεη όινην α β, ην ννίν ξέεη (αθνύ ην είλαη δηιή ξίδα ην P()) λα είλαη 0. Άξα έρνκε α β 0 (). Δμάιιν, αό όζεζε, P() α β 8 0 (). Λύλνληαο ην ζύζηεκα ησλ () θαη (), βξίζθνκε α=6, β=7. Γ. Δίλαη: 4 P() θαη,, (ξνθύηεη εύθνια, ιύλνληαο ηελ P()=0). Αθνύ θαη 57. Α. Πξέεη: Β. Πξέεη: (e ) e e, ηζρύεη ην δεηνύκελν. ( ) 0 ή 4 P() 0 (α β) (α β) 0 4 P( ) 0 ( ) (α β)( ) (α β)( ) ( ) 0 α β α β 0 α β 0 6 8α 8β 8α β 0 6α 0β α β 0 α β α, β 4α 5β 8β 5β 58. Β. Αθνύ ην P() έρεη αξάγνληεο ην + θαη ην άξα: P( ) 0 () P() 0 () δειαδή α β α α β 6 β 0 Β. Ζ εμίζσζε P()=0 δειαδή 4 0 έρεη αξάγνληεο ην + (άξα ξίδα ην ) θαη (άξα ξίδα ην ) νόηε κε ζρήκα Horner έρνκε:

179 ( )( 4 4) 0 ( )( ) 0 ή Β. i. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο P() 4 ηέκλεη ηνλ άμνλα y y όηαλ =0 δειαδή P(0)=4 δειαδή ζην ζεκείν (0,4). ii. Οη ηηκέο ην γηα ηηο ννίεο ε C είλαη θάησ αό ηνλ άμνλα είλαη νη ιύζεηο ηεο αλίζσζεο P()<0 δειαδή: 59. Β. Πξέεη: 4 0 ( )( ) 0 P( ) 0 4α β 6 α, β 6 P( ) 6 α β 6 Άξα P() 6 0 Β. Αθνύ P( ) 0 άξα ξίδα ην P(). Με Horner έρνκε: Β. Έρνκε ( )( 4 5) 0 ή ( )( 4 5) 0 κε ξίδεο, 5,. Κάλνληαο ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ έρνκε ηειηθά: ( 5, ) (, ) 540. Β. Έρνκε ή (= ή 5) P() F() Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο νη,,, 6. Έρνκε ην αξαθάησ ζρήκα Horner: Άξα ε εμίζσζε γίλεηαη: ( )( 5 6) 0 0 ή ή (= ή =). Β. Πξέεη θαη αξθεί P() Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο νη,,, 4, 6, 5 6 4

180 Ζ αλίζσζε γίλεηαη: Σν ηξηώλκν ( )( 4 ) 0. 4 είλαη ζεηηθό γηα θάζε R, αθνύ Γ<0. Σειηθά γηα (,) ε γξαθηθή αξάζηαζε ην P() βξίζθεηαη θάησ αό ηνλ. 54. Β. Δεηδή ν αξηζκόο είλαη ξίδα ην νισλύκν έρνκε: Ρ() 0 84α 4β α 0 6α 4β 0 α β 0 () Δεηδή ε δηαίξεζε ην P() κε ην + αθήλεη όινην 8 έρνκε: Ρ( ) 8 α β α 8 α β 0 α β 0 () Λύλνκε ην ζύζηεκα ησλ () θαη (): () () 6α 0 α 7 γηα α=, () 6 β 0 β 7 Β. i. Γηα α= θαη β ην νιώλκν γίλεηαη Με ζρήκα Horner έρνκε: P() Σν νιώλκν γξάθεηαη: Άξα P() ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) P() 0 ( ) ( ) 0 ή = δηιή ξίδα. ii. Ζ δηαίξεζε είλαη:

181 8 Αό ηελ ηαηόηεηα ηεο Δθιείδεηαο δηαίξεζεο έρνκε: iii. Ζ αλίζσζε γίλεηαη: 0 P() ( 5)( ) 7 P() 7 ( 5)( ) 7 7 ( 5)( ) Β. Έρνκε Δνκέλσο έρνκε ην ζύζηεκα: P( ) 8 θαη P( ) 0 P( ) 8 ( ) α ( ) ( ) β 8 9α β 6 Ρ( ) 0 ( ) α( ) ( ) β 0 4α β 6 9α β 6 4α β 6 Β. Γηα α= θαη β ην νιώλκν γίλεηαη: Ρ(). Έηζη έρνκε: ν έρεη ιύζε α= θαη β. + 0 Άξα Π() θαη (). Δνκέλσο Β. Δρνκε P() ( )( ). P() Q() ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 άξα νη ιύζεηο είλαη,, Γ.. Έρνκε P()= θαη P( ) 0 P() α 7 β α β 5 P( ) 0 6 8α 8 β 0 4α β 0 Δνκέλσο έρνκε ην ζύζηεκα: α β 5 4α β 0 ν έρεη ιύζε α 5 θαη β=0.

182 Γ.. i. Γηα α 5 θαη β=0 έρνκε P() Σόηε: Άξα ην ειίθν είλαη Π() 6. Αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο έρνκε ii. Έρνκε: iii. Έρνκε: Δνκέλσο P() ( )Π() () P() ( )( 6). P() () ( )Π() () () ( )( 6) 0 ( 6)( )( ) 0 Άξα νη ιύζεηο είλαη =0,, = θαη =6. Q() 0 0 ( ) 0 ( )( ) 0 Δνκέλσο (, 0) (, ) 544. Β. Έρνκε f() 0 0 (). Δεηδή όινη νη ζληειεζηέο είλαη αθέξαηνη, νη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο f()=0, είλαη ην ή ην. Σν δελ είλαη ξίδα, γηαηί Δλώ ην είλαη ξίδα, γηαηί f () () () 0. Με εθαξκνγή ην ζρήκαηνο Horner έρνκε: f( ) ( ) ( ) 4. 0 ρ= 0 Ζ εμίζσζε () είλαη ηώξα ηζνδύλακε κε ηελ ( )( ) 0. Έηζη, 0 ή 0 κε ξίδεο = ή αθνύ Γ=9. Οη ξίδεο ινηόλ ηεο εμίζσζεο () είλαη ή = (δηιή). Β. Δεηδή ην α= είλαη ε δηιή ξίδα ηόηε:

183 8 εκ εκ εκ θ (θ Ε) ή θ θ (θ Ε). Όκνηα, ην β είλαη ε άιιε ξίδα νόηε: ζλ ζλ ζλ θ ή θ (θ Ε). Β. Δεηδή ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f δελ είλαη άλσ αό ηνλ άμνλα ξέεη: f() 0 ( )( ) 0. Σν ξόζεκν ηεο f() θαίλεηαη ζηνλ αξαθάησ ίλαθα. Έηζη, νη ηηκέο ησλ R γηα ηηο ννίεο ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f δελ βξίζθεηαη άλσ αό ηνλ άμνλα είλαη: Β4. Έρνκε ή =. f( ) ( ) ( ). Δθηεινύκε ηελ εθιείδεηα δηαίξεζε, όσο θαίλεηαη αξαθάησ: Σν ειίθν είλαη: () θαη ην όινην: () 4. Δνκέλσο, f( ) ( )( ) ( 4) Β. Αθνύ ην είλαη αξάγνληα ην P(), αό γλσζηό ζεώξεκα ηζρύεη P( ) 0. Έρνκε: P( ) 0 ( ) (α β)( ) (α 5β)( ) 0 ( ) (α β) α 5β 0 α β α 5β 0 α 4β 0 α 4β () Αθνύ ην όινην ηεο δηαίξεζεο P() : ( ) ηζνύηαη κε 9, αό γλσζηό ζεώξεκα ηζρύεη: P() 9. Έρνκε: P() 9 (α β) (α 5β) 9 8 4(α β) (α 5β) 9 6 4α 4β 4α 0β 9 8α 4β 9 6 (αιννηνύκε κε ην ) 4α 7β 4 () Λύλνκε ην ζύζηεκα ησλ (), (): α 4β α 4β α 4β 4α β 4 4( 4β) 7β 4 4 6β 7β 4 α 4β α 4 α 7 9β 8 β β

184 84 Β. i. Γηα α 7 θαη β= ην νιώλκν P() γξάθεηαη: Δίλαη P() ( 7 ) [( 7) 5] P() 5 4 P() ύκθσλα κε ην ζεώξεκα αθέξαησλ ξηδώλ νη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο, είλαη νη δηαηξέηεο ην ζηαζεξνύ όξν α0, δειαδή νη αξηζκνί, Αό ην εξώηεκα (Β) ηζρύεη P( ) 0, δειαδή ην είλαη ξίδα ην P() νόηε εθαξκόδνληαο ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 5 4 ξ ii. Ζ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: Γ() δ() () P() ( ξ) () ή 5 4 ( )( 7 ) Σόηε ε εμίζσζε γίλεηαη: ( )( 7 ) 0 0 ή 7 0 ή ή Ζ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: 5 4 ( )( 5) ( ) Αό ην (α) εξώηεκα έρνκε όηη () ( ). iii. Γηα λα νξίδεηαη ε αλίζσζε () 0 P() ξέεη Σόηε: P() ( )( 7 ) θαη αό ην (β) εξώηεκα έρνκε P() 0 ( )( 7 ) 0 θαη θαη. () ( ) P() ( )( 7 ) Σν ξόζεκν ην 7 θαίλεηαη ζηνλ αθόινζν ίλαθα. Άξα νη ιύζεηο ηεο αλίζσζεο είλαη 546. Β. Πξέεη Ρ()=α+

185 Άξα 85 α α α α α 0 α ή α Β. i. Γηα α= είλαη P(). Έρνκε ινηόλ: + Έηζη ζύκθσλα κε ηελ Δθιείδεηα δηαίξεζε ην P() κε ην Q() ην ειίθν είλαη ()=+, ελώ ην όινην (). ii. Γηα λα νξίδεηαη ε αλίζσζε ξέεη ηξηώλκν θαη κάιηζηα Q() δελ έρεη ξίδεο, δειαδή ηζρύεη Q() 0 0, είλαη Γ νόηε ην 0 γηα θάζε R 0 αθνύ είλαη νκόζεκν ην α=>0. Γηαδνρηθά έρνκε: P() Q() 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) ( ) 0. (ρόιην ) Αό ηνλ αξαάλσ ίλαθα ξνζήκν έρνκε όηη ε αλίζσζε ( ) ( ) 0 εαιεζεύεηαη γηα [, ) ή (ρόιην ) () ρόιην: λήζσο κεηαθέξνκε όινο ηνο όξνο ζην ξώην κέινο νόηε έρνκε ηε ζλέρεηα θάλνκε ηα θιάζκαηα νκώλκα θαη αίξλνκε Δδώ όκσο αξαηεξνύκε όηη ην ( ) Q() έρεη Γ 0 νόηε έρεη ην ίδην ξόζεκν α=>0, δειαδή ηζρύεη 0 νόηε κνξνύκε λα θάλνκε ααινηθή αξαλνκαζηώλ ρσξίο λα αιιάμνκε ηε θνξά. () ρόιην: Σν = ηεο (, ) ( ) ( ) 0 εαιεζεύεηαη γηα ή = ελώ ην > εαιεζεύεηαη γηα έηζη έρνκε iii. Πξέεη [, ). Q() 0 ν ηζρύεη γηα θάζε R θαη κάιηζηα Π() 0. Ζ εμίζσζε γίλεηαη: ( ) 0

186 ε ννία είλαη δεθηή. Σχόλιο: 86 Γηα θάζε θαη ηα δύν κέιε ηεο εμίζσζεο ςώλνκε ζην ηεηξάγσλν. Δλαιιαθηηθά: είλαη κε αξλεηηθά νόηε ( ) 0 Κάλνκε εαιήζεζε. Γηα =0 ή καο δίλεη ην ννίν ηζρύεη. Άξα ε ξίδα =0 είλαη δεθηή Γ. Έρνκε P() = + α + β + γ Ρ( ) = α β + γ = 4 4α β + γ = () Ρ(0) = 8 γ = 8 Ρ() = 0 + α + β + γ = 0 α+ β + γ = () () γ=8 4α β = 4 4α β = 4 Έηζη + {6α = 6 α = () α + β = 9 α + β = 8 () + β + 8 = β = 0 Γ. α. Σν νιώλκν γίλεηαη: f() = Με ην ζρήκα Horner γηα = βξίζθνκε όηη ε εμίζσζε f() =0 γίλεηαη ( ) ( + 8) = 0, ενκέλσο = 0 = ή + 9 = 0 = ή = 4. Άξα νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο f() = 0 είλαη νη 4,,. β. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f βξίζθεηαη θάησ αό ηνλ άμνλα, όηαλ f() < 0. H αλίζσζε f() < 0 αιεζεύεη όηαλ (, 4) (, ). Γ. + 4 () f() f() + f( ) 8 Δίλαη f( ) = ( ) + ( ) 0( ) + 8 = , ενκέλσο f() + f( ) 8 = = = = ( ) Πξέεη f() 0 4,, θαη f() + f( ) 8 0 ( ) 0, ενκέλσο ζλνιηθά νη εξηνξηζκνί είλαη 4,,, ε αλίζσζε () γίλεηαη: f() f() + f( ) ( )

187 ( + 4) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) (+ ) ( ) 0. Δίλαη 0, + 0, 0 Kάλνληαο ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ ε αλίζσζε αιεζεύεη όηαλ (, 4) ( 4, ) (, ) Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Α α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην, ξέεη Ρ()=0. Γειαδή, 4 β β β α 0 α 0 α β. Καη ην όινην ηεο δηαίξεζήο ην κε ην είλαη Ρ()=. Γειαδή, 4 β β β α 6 8α 4 8α 4 6 Λύλνκε ην ζύζηεκα: 8α 4(α ) 6 8α 4α 4 6 4α β β β β α α α α β 8α 4 6 β β α β α α α 549. α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην +, ξέεη Ρ( ) 0. Γειαδή β. Σν νιώλκν γίλεηαη: Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο: ( ) ι( ) ( ) 0 ι 0 ι P() 0 Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη 0 ή 550. α. Γηα λα έρεη ην 4 0 ή ( )( 4 ) 0 P() α β α αξάγνληα ην + ξέεη: P( ) 0 ( ) α( ) β α 0 8 4α β α 0 8β α 0 α β 8 β. Γηα λα είλαη ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην +, 5 ξέεη: P( ) 5 ( ) α( ) β α 5 α β α 5 α β 5 α β 4

188 88 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 8 ( ) α α 6 α β 4 Καη α β 8 6β 8 8 β 8 β 88 β α. Έρνκε Γηα λα έρεη ην νιώλκν P() αξάγνληα ην P(4)=0 θαη P( ) 0 4 ( 4)( ) 4 δειαδή ην ( 4)( ), ξέεη: P(4) 0 α 4 β α 6β α 6β 6 0 4α β 0 4α β P( ) 0 α( ) β( ) ( ) 8 0 α β 8 0 α β 6 0 α β 6 Λύλνκε ην ζύζηεκα: 4α β ( ) 5α 5 α α β 6 θαη α β 6 β 6 β 5. Άξα P() 5 8 β ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο,, 4, 8 Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη: P() 5 8 ( )( 6 8) ( )( 4)( ) ( )( 4)( ) 0 0 ή ή 0 P() 0, 4, 55. α. Γηα λα είλαη αξάγνληαο ην + ξέεη: 4 P( ) 0 ( ) 6( ) 9( ) α( ) β α β 0 α β 6 () 4 P(0) α0β β Αό () α 6 α 4. Άξα β. Δθαξκόδσ Horner γηα θαη ξνθύηεη: 4 P() P() ( )( 7 6 ) Δθαξκόδνκε μαλά Horner ζην 7 6 γηα θαη ξνθύηεη: P() ( )( )( 5 6) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

189 89 Έρνκε: ( )( ) ( ) 0 0 ή ( ) 0 0 ή α. Ζ αξηζκεηηθή ηηκή ην P() γηα είλαη: P( ) ( ) 6( ) ( ) β. Έρνκε Άξα () α. Γηα λα είλαη ην σ αξάγνληαο ην P() ξέεη: Ρ(σ) 0 σ σσ 5σ ι 0 σ σ 5σ ι 0 5σ ι 0 ι 5σ β. Γηα λα βξίζθεηαη άλσ αό ηνλ άμνλα ξέεη P()> α. Έρνκε σ 5 5σ 0 ( σ) 5( σ) 0 ( σ)( 5) 0 σ θαζόζνλ 5 0 P() α 5 α 5 α 6 α 4 β. Άξα P() Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο:, 5 Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη: P() 4 5 ( )( 5) 0 0 ή 5 0 ή 556. α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P() ηζρύεη. Άξα ξίδα ην P(). β. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη () 4.

190 γ. 90 P() ( )( 4) Σειηθά P() 0,, 557. α Άξα =8. β. Γηα λα είλαη αξάγνληαο ην, ξέεη P()=0. Άξα Άξα αξάγνληαο ην P() ηζρύεη. γ. Γηα λα βξίζθεηαη θάησ αό ηνλ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο P(), ξέεη P()<0. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: P() 0 ( )( 5 ) 0 0 ή Άξα 558. α. Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο:,. 5 0 ή P() 0 (, ), Όκσο, εεηδή έρεη ξίδα άξηην ζεηηθό αθέξαην =. Άξα P() 0 α 0 8α 0 α 6 α Άξα P() β. Δθαξκόδνκε Horner γηα ι : 0 ι ι ι ι ι ι ι ι ι

191 9 Άξα ι ι. Πξέεη 4 ι ι 4 ι ι 4 0 ι ι 0 ι ι 0 Δθαξκόδνκε Horner γηα ι= θαη ξνθύηεη: ι ι 0 (ι )(ι ι ) 0 (ι )(ι ) 0 Σειηθά ι ι ι 0 ι ι ι 0 ι (, ) (,) α. Γηα λα έρεη ην P() ξίδα ην, ξέεη: P() 0 α β4 0 α β 4 0 α β 5 Γηα λα είλαη ην =4, δηαηξνύκελν ην P() κε ην +, ξέεη ην P( ) 4 ( ) α( ) β( ) 4 4 α β 4 4 α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 5 ( ) α 6 α α β θαη α β 5 β 5 β 8 β. Δνκέλσο ην P() γίλεηαη P() 8 4 Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο:,, 4. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: 8 4 ( )( 4 4) 0 0 ή ή 560. α. Γηα λα είλαη ίζα ηα P() θαη Q(), ξέεη: θ κ ( ) θαη κ θ ( ) θ θ θ θ θαη κ κ β. Άξα P() ( ) γ. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P(), ξέεη P() ηζρύεη. Άξα ξίδα ην P(). Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη P() ( )( ) 0 0 ή Δνκέλσο = κνλαδηθή ιύζε ην P(). 56. α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην, ξέεη: 0 Γ άξα αδύλαηε.

192 9 4 P() 0 (ι ) (ι ) ι ι 0 ι ι ι ι ι 0 ι ι 0 ι(ι ) 0 ι 0 ή ι γηα =0 P(0) ι. Όκσο P(0) ι ι ι ι 0 Σειηθά ι=. β. Σν P() γίλεηαη: 4 4 P() ( ) ( ) 4 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0. Άξα P()=0 θαη P()=0. γ. Q() P() Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην Q() κε ην είλαη ην Q() P() ( 0) Καη ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην Q() κε ην είλαη ην ηε δηαίξεζε Q() : ( )( ), δειαδή Q() P() ( 0) 5 Q() : ( ), ν δηαηξέηεο είλαη ν βαζκνύ, άξα ην όινην ζα είλαη ηεο κνξθήο ()=α+β κε α,β R. Έρνκε αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο Q() ( ) () α β Όκσο Q() ( ) () α β α β Καη Q() 5 ( ) () αβ 5 α β 5 Λύλνκε ην ζύζηεκα α β α β ( ) α α β 5α β 5 θαη β 5 4β 5 β. Σειηθά ()=+ 56. α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην, ξέεη: P() 0 α 0 5α 0 α 5 β. Σν P() γίλεηαη: P() 5. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη γ. 5 ( )( ) κε P() 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή 56. α. Γηα λα είλαη ην + αξάγνληαο ην f(), ξέεη: () θαη =0.

193 9 4 f ( ) 0 ( ) (ι κ)( ) (ι κ 6)( ) 0 ι κ ι κ 6 0 ι 6 ι Αθνύ ην F() δηαηξνύκελν κε ην δίλεη όινην 4, ηόηε: 4 f () 4 (ι κ) (ι κ 6) 4 ι κ ι κ 6 4 κ κ 6 κ β. Σν f() γίλεηαη: 4 F(). Πηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο:, Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη: f() ( )( ) ( )( ( ) ( )) ( )( )( ) f() 0 0 ή f () 0,, 564. α. Έρνκε 0 αδύλαηε ή 0 g() 6 ( )( ) Γηα λα είλαη ην g() αξάγνληαο ην P() ξέεη: P()=0 θαη P( ) 0 P() 0 α β 0 7 9α β 0 9α β 9 α β P( ) 0 ( ) α( ) β( ) 0 8 4α β 0 4α β 4 α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β ( ) 5α 5 α α β θαη α β ( ) β 9 β β 4 β. Σν P() γίλεηαη: P() γ. Βξίζθνκε ην (), (), (5) 5 (009)

194 94 Άξα: ην άζξνηζκα αηό είλαη κηα αξηζκεηηθή ξόνδνο κε α θαη σ=. Σν αλ 007. αλ α (λ )σ 007 (λ ) 007 λ λ 00 λ 005 Άξα λ S λ (α α λ ) S 005 ( 007) S α. Γηα λα είλαη αξάγνληαο ην + ξέεη: P( ) 0 ( ) 5( ) ι( ) ι 5 0 ι β. Γηα ι= ην P() γίλεηαη: P() Άξα 5 5 ( )( 6 5) γ. P() 0 ( )( 6 5) 0 ( )( 5)( ) 0 0 ή ή 0 P() 0,, α. Γηα λα είλαη αξάγνληαο ην ξέεη: 4 P() 0 α β 0 α β 0 α β 6 Γηα λα είλαη αξάγνληαο ην +, ξέεη: 4 P( ) 0 ( ) α( ) ( ) β( ) 0 6 8α β 0 8α β 0 4α β 5 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 6 ( ) α α 7 4α β 5 θαη α β 6 7 β 6 β Άξα, ην P() γίλεηαη: 4 P() 7 β.

195 Άξα () α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην νισλύκν P(), ξέεη: P() 0 α 0 5α 0 α 5 Σν P() γίλεηαη: β. i. Έρνκε P() 5. P() Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: ii. 5 ( )( ) 0 0 ή P() 0 ( )( ) α. Γηα λα έρεη ξίδα ην ξέεη: 0 ή P() 0,, P() 0 α β 6 0 8α 4 β 6 0 8α β 4α β Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: P() 0 α β6 0 α β 6 0 α β 5 Λύλνκε ην ζύζηεκα: 4α β 4α β 4 ( ) α 4 α α β 5 α β β 5 β 5 β θαη Άξα ην P() γίλεηαη: 4 9 P() 6

196 96 β. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη 4 P() 0 ( ) ή 569. α. Έρνκε ή Άξα P() ( )( 0) β. P() 0 ( )( 0) 0 0 ή ( 5)( ) ή 570. α. Έρνκε 0 P 7 α (α β) β 7 β α (α β) 7 α (α β) 4β α α β 4β 48 α 6β 48 α β 6 P( ) α( ) (α β)( ) β( ) α α β β α β α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 6 ( ) β 5 α β θαη α 5 α 6 β. Σν P() γίλεηαη: P() 6 (6 5)

197 Δνκέλσο: 6 5 ( )( 7 6) α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P( ) 0 ( ) 5( ) α( ) 0 5 α 0 α 4 β. Γηα α 4 ην P() γίλεηαη: i. P() P() 5 4 Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη 5 4 ( )( 7 ) 0 0 ή ii. 7 0 ή P() 0 ( )( 7 ) 0 P() 0,, 57. α. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη P() ( )( 0 ) β. P() 0 ( )( 0 ) 0 ( )( )( 7) 0 0 ή 0 ή α. Έρνκε () : 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 0 ή 0 ή +=0 β. Ζ εμίζσζε εκ εκ εκ 0 γηα εκ=σ γίλεηαη: σ σ σ 0 σ σ σ Άξα ζύκθσλα κε ηελ () έρνκε: σ= ή σ= ή σ. Γειαδή: εκ= αδύλαηε εκ ή εκ εκ εκ

198 Όκσο: 98 θ θ, θ Ε θ θ 0 0 θ θ θ θ θ 4 4 Άξα θ=0 αθνύ θ Ε. Δνκέλσο Ή: εκ εκ εκ εκ εκ θ ή θ θ Άξα ηειηθά θ, θ Ε δηόηη νη γσλίεο ίδην ζεκείν ην ηξηγσλνκεηξηθνύ θύθιν. Όκσο: θ θαη θ βξίζθνληαη ζην θ θ θ 5 5 θ θ 4 4 Άξα θ= αθνύ θ Ε. Σειηθά 574. α. Έρνκε. Δνκέλσο Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: ή P() 0 α β4 0 α β 4 0 α β 5 Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην είλαη 6. Άξα: P() 6 α β4 6 88α β 4 6 8α β 6 4α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 5 ( ) α α 4α β θαη 4α β 4( ) β 4 β β 7

199 99 Δνκέλσο ην P() γίλεηαη: P() 7 4 β. Κάλνκε ηε δηαίξεζε: Άξα ην όινην είλαη 6. γ. P() ή ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 Άξα ( )( ) 0 (, ) (, ) 575. α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P() 0 α 44α 0 7 9α 4α 0 5α 5 α Σν P() γίλεηαη P() 4 β. i. P() ( ) 4( ) 0 ( )( 4) 0 ( )( )( ) 0 0 ή 0 ή 0 ii. P() 0 ( )( )( ) 0 Άξα P() 0 (, ) (,) 576. α. Γηα λα είλαη ν αξηζκόο ξίδα ην P() ξέεη: P() 0 α (β ) β 6 0 α β β 6 0 α β Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην + είλαη. Άξα: P( ) α( ) (β )( ) ( ) β 6 α β β 6 α β 6 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β ( ) β 8 β 4 α β 6

200 00 θαη α β α 4 α β. Σν P() γίλεηαη: P() 8 6 i. P() 0 0 Δθαξκόδνκε ζρήκα Horner γηα = θαη ξνθύηεη ( )( 5 ) 0 ii. Άξα 0 ή P() 0, (, ). 5 0 ή α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: Σν P() γίλεηαη: P() 0 (α ) (α ) 0 8 4α 4 α 0 α 4 α P() β. Κάλνληαο ηε δηαίξεζε ην P() κε ην ξνθύηεη όηη: γ. ( )( ) P() ( )( ) ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ή α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P( ) 0 ( ) α( ) β( ) 0 α β 0 α β Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην είλαη 8. Άξα P() 8 α β 8 α β 8 α β 5 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β ( ) α 4 α α β 5 θαη α β 5 β 5 β. Δνκέλσο ην P() γίλεηαη: P() β. i. Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη: P() ( )( ) 0 0 ή Γ αδύλαηε ζην R. 0

201 0 ii. Έρνκε P() 0 ( )( ) 0 Σειηθά P() 0 (, ) α. Γηα λα είλαη ην αξάγνληαο ξέεη: P() 0 (ι ) ι 0 ι ι 0 ι ι 0 ι ι 0 (ι )(ι ) 0 ι ή ι β. Γηα ι= ην P() γίλεηαη: P() 4 Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη όηη α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P() 0 5α α 0 α 6 Γηα λα είλαη ην + αξάγνληαο ην Q() ξέεη: β. Σν P() γηα α=6 γίλεηαη: Q( ) 0 ( ) ( ) β 0 β 0 β 0 P() 5 6 Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: P() ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ή ή γ. i. Σν Q() γηα β=0 γίλεηαη: Q() Κάλνληαο ηε δηαίξεζε P():Q() ξνθύηεη όηη: 5 6 ( )( ) 6 δειαδή P() Q()( ) 6 ii. Ο βαζκόο ην νινίν είλαη. 58. α. Γηα λα είλαη ν βαζκνύ ξέεη: ι ι 0 ι( ι ) 0 ι 0 ή ι 0 αδύλαηε θαη (ι ) 0 ι 0 ι ι Σειηθά ι=0. β. i. Γηα ι=0 ην P() γίλεηαη: 4 P() (0 0 ) (0 ) (0 ) 0 Κάλνκε ηε δηαίξεζε: + 4

202 0 6 4 Άξα () θαη 4 ii. Έρνκε P() Δθαξκόδνκε Horner γηα θαη ξνθύηεη: 0 ή 6 0 ( )( ) 0 0 Γ 4 8 αδύλαηε ζην R. Σειηθά 6 0 (, ) 58. α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: P() 0 6 αβ 0 6 α β 0 α β 5 Όηαλ δηαηξείηαη κε ην + δίλεη όινην 4, δειαδή: P( ) 4 ( ) 6( ) α( ) β 4 6 α β 4 α β 7 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 5 ( ) β β 6 α β 7 θαη α β 5 α 6 5 α Σν P() γίλεηαη: P() 6 6 β. Έρνκε Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: P() P() ( )( 5 6) ( )( )( ) 0 = ή = ή =. γ. Έρνκε P() ( )( 5 6) 0 Σειηθά P() 0,, 58. α. Σν P() δηαηξνύκελν κε + δίλεη όινην 6, δειαδή: Δνκέλσο ην P() γίλεηαη: 4 P( ) 6 ( ) α( ) 4( ) ( ) α 6 6 α 4 α 0 α 0 4 P() 4 6

203 0 β. Έρνκε 4 P() Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: P() ( )( 6) 0 Δθαξκόδνκε Horner ζην 6 γηα = θαη ξνθύηεη: 6 ( )( ) Άξα ( )( )( ) 0 ή = ή 0 Δνκέλσο P()=0 ή P()=0. γ. Έρνκε Γ 9 0 Q() P() Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην Q() κε ην είλαη ην Καη ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην Q() κε ην είλαη ην Q() P() 0 Q() P() ηε δηαίξεζε Q() : ( )( ), δειαδή Q() : ( ), ν δηαηξέηεο είλαη ν βαζκνύ, άξα ην όινην ζα είλαη ηεο κνξθήο ()=α+β κε α,β R. Έρνκε, αό ηελ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο Q() ( ) () α β Όκσο Q() 0 ( ) () αβ 0 α β 0 Καη Q() ( ) () αβ α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 0 α β 0 ( ) α α β α β Καη α β 0 β 0 β. Σειηθά () 584. α. Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη β. Έρνκε () θαη =0. P() ( )( ) 0 0 ή 585. α. Γηα λα είλαη ξίδα ην ξέεη: 0 ( )( ) 0 ή P() 0 (θ ) θ θ θ 0 θ 8 θ 6

204 04 β. i. Γηα θ=6 ην P() γίλεηαη: P() (6 ) Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη: P() ( )( 5 ) 0 0 ή 5 0 Γ=5+4=49, ii. Γηα λα είλαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο P() άλσ αό ηνλ ξέεη: P() 0 ( )( 5 ) 0 Σειηθά P() 0, (, ) iii. Σν,997 αλήθεη ζην δηάζηεκα, όν ην P() είλαη αξλεηηθό. Δνκέλσο P(,997)< α. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: P() 0 α β 0 α β 0 α β Γηα λα έρεη αξάγνληα ην ξέεη: P() 0 α β 0 84α β 0 4α β 6 α β Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β ( ) α 4 α β θαη 4 β β 5 Άξα ην P() γίλεηαη: Δθαξκόδσ Horner γηα = θαη ξνθύηεη: β. Έρνκε P() 4 5 P() ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) P() P() ( ) P() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ή 0 Όκσο ξέεη P() 0 ( ) ( ) 0 θη εεηδή ( ) 0 άξα ξέεη 0

205 05 Δνκέλσο ηα = θαη είλαη δεθηά α. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P() 0 α (β ) β 6 0 α β β 6 0 α β Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην + είλαη ίζν κε άξα: P( ) α ( ) (β )( ) ( ) β 6 α β β 6 α β 6 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β ( ) β 8 β 4 α β 6 θαη α 4 α Άξα ην P() γίλεηαη: P() 8 6 β. Έρνκε P() 0 0 Δθαξκόδνκε Horner γηα = θαη ξνθύηεη P() ( )( 5 ) 0 0 ή α. Γηα λα έρεη ην P() ξίδα ην ξέεη: ή P() 0 β α 0 β α Γηαηξνύκελν κε ην + δίλεη όινην 0 : P( ) 0 β( ) α( ) ( ) 0 β α 4 0 β α 6 Λύλνκε ην ζύζηεκα: β α ( ) α 4 α β α 6 θαη β β 4 Άξα β. Έρνκε P() 4. f() 4 9εκ 7ζλ εκ 89εκ 7ζλ εκ Ηζρύνλ νη ηύνη: ζλα εκ α θαη Άξα Δνκέλσο ε f() γίλεηαη: ζλ4α εκ α θαη ζλα ζλ α ζλ4α ζλ α

206 γ. Έρνκε 06 ζλ4 ζλ4 9 9ζλ4 7 7ζλ4 6 ζλ4 88 ζλ4 εκ ζλ4 εκ f () εκ 8 εκ 8 εκ f() 0 ζλ4 εκ 0 Ηζρύεη: ζλ εκ ζλ4 εκ θαη εκ εκζλ θαη ζλ εκ. Άξα: f () εκ εκ (εκζλ) εκ 4 εκ ζλ εκ 4 4 8εκ ( εκ ) εκ 8εκ 8εκ εκ 8εκ 6εκ Θέησ εκ σ f() 8σ 6σ. Έρνκε 8σ 6σ 0 Γ 6 4 σ, 8 σ σ 6 4 Άξα εκ εκ εκ θαη εκ εκ εκ 4 4 Λύλνκε ηηο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο: εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε εκ εκ εκ εκ εκ 4 4 θ ή θ, θ Ε 4 4 εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε εκ εκ εκ εκ εκ 6 6 θ ή θ, θ Ε Έρνκε

207 07 ( 4 )( 4) ( )( )( 4) ( 4) ( )( ) P() 0 0 ( )( )( 4)( )( ) 0 Πξέεη ( )( ) 0 θαη 0 ή 0 ή ή 0 ή Άξα 590. Έρνκε 0 P() 0, 4,, ( )( 4 5) ( )( 4 5) 7 0 ( 5)( ) 0 0 ( )( 4 5)( 5)( ) 0 P() 0 Πξέεη ( 5)( ) 0 5 θαη 0 ή ή 0 Σειηθά P() 0, (,5) 59. Έρνκε Γ ή P() ( )( )( 6 ) 0 0 ή 0 ( ) 0 ( )( ) 0, ή 6 0 Γ Σειηθά 59. Έρνκε 0 ή Σειηθά P() 0, P() ( ) ( 5 5)( 5) Γ 5 0 5, 5 5 ή

208 Έρνκε P() 0 5,, ( )( ) P() 0 ( )( )( )(4 ) 0 ( )(4 ) 0 Γ=4+=6 0 ( )( ) 0, ή Πξέεη 4, 6 0 ή ή Σειηθά ( )(4 ) 0 0 θαη P() 0 (, ), 4 0

209 09 Λ Τ Ε Ι α. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο g ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f κε κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε θαηά κηα κνλάδα ξνο ηα άλσ, ελώ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο h ξνθύηεη αό ηε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f κε κηα θαηαθόξθε κεηαηόηζε θαηά κηα κνλάδα ξνο ηα θάησ. β. Ζ αζύκησηε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο g είλαη ε εζεία =, ελώ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο h είλαη ε εζεία α. Ζ κνλνηνλία ηεο εθζεηηθήο ζλάξηεζεο ζεηηθνύ αξηζκνύ α. Έρνκε: y α εμαξηάηαη αό ηε βάζε ην α0 8 4 α α α α α α α 0 α 4 4 α α Δνκέλσο ε ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα. β. Έρνκε: 5 (5) (5) ( ) 5 γλ. αύμνζα 596. α. Ζ ζηαζεξά q 0 αξηζηάλεη ηελ αξρηθή νζόηεηα ην θαξκάθν ν ήξε ν y αζζελήο ξηλ αξρίζεη ν νξγαληζκόο ην λα κεηαβνιίδεη. Ζ ζλάξηεζε f (t) q α είλαη γλεζίσο θζίλνζα δηόηη ε αξρηθή νζόηεηα θάζε κέξα ν εξλά κεηώλεηαη ενκέλσο εθόζνλ q0 0 0 t άξα 0 α t t f(t ) f(t ) α α t t β. i. Ηζρύεη q0 0 (αό όζεζε) άξα εεηδή ε ζλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνζα ii. Έρνκε: f () f (0) q0α q0 α

210 0 t f(t) 0 γ. i. q q 0 f (t) t q0 q q 0 8 q 0 6 Ηζρύεη: f (4) 5 q0 5 q0 400mg ii. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε είλαη: q 0 q 0 64 q α. Αθνύ ν αξρηθόο ιεζζκόο (t=0) ήηαλ 8 ρηιηάδεο αγξόηεο, ζα έρνκε: Q(0) 8 Q e 8 Q θαη αθνύ κεηά αό δύν ρξόληα έκεηλε ν κηζόο, ζα είλαη: c c c Q() 4 Q0 e 4 8 e 4 e c ln c ln ln ενκέλσο: t ln Q(t) 8 e β. Ύζηεξα αό ηέζζεξα ρξόληα, ν ιεζζκόο ησλ αγξνηώλ ζα είλαη 4 ln ln ln Q(4) 8e 8e 8 (e ) δειαδή ζα είλαη δύν ρηιηάδεο αγξόηεο. γ. Αξθεί λα ιύζνκε ηελ εμίζσζε: t t t t ln ln ln ln t 8e e e ln e ln ln ln t 6 8 Δνκέλσο ζα έρνλ εξάζεη (ζλνιηθά) έμη ρξόληα. q α. Αθνύ ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α(,) θαη Β(,), ζα έρνκε: f () α β α β α 0 α 5 f () α β 4α β Άξα 5 β β 7 β. Σν ζεκείν αηό ζα έρεη ηεηκεκέλε κεδέλ, άξα ηεηαγκέλε f(0) α β 57, νόηε ζα είλαη ην (0, )., γ. Ζ ζλάξηεζε g() α είλαη γλεζίσο αύμνζα γηα α>. Έηζη, γηα θάζε κε είλαη: f( ) f( ) δειαδή ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R. δ. Αθνύ f()=, έρνκε: f 5 f ( ) f ( ) f () 5 R

211 599. α. Αθνύ κεηά αό δύν ρξόληα έρεη ανκείλεη ην Οόηε έρνκε: ηεο αξρηθήο νζόηεηαο, ηόηε: c c Q() Q0 Q0e Q0 e c ln c ln c ln c ln t t ln ln Q(t) Q e Q(t) Q e Q(t) Q β. Αθνύ κεηά αό ηέζζεξα ρξόληα ε νζόηεηα ν έρεη ανκείλεη είλαη θηιό, ηόηε: Q(4) Q0 Q0 Q0 9 9 Οόηε ε αξρηθή νζόηεηα ην ξαδηελεξγνύ ιηθνύ ήηαλ 9 θηιά. γ. Αξθεί λα βξνύκε ην t έηζη ώζηε: 4 t Q(t) t 6 t t Οόηε κεηά αό ρξόληα ε νζόηεηα ν ζα έρεη ανκείλεη ζα είλαη 8 θηιά Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f ξνθύηεη αό ηελ θαηαθόξθε κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο θαηά κνλάδα ξνο ηα θάησ. h() 4 t t Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο ξνθύηεη αό ηελ νξηδόληηα κεηαηόηζε ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο h() 4 θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά, όσο θαίλεηαη ζην δηιαλό ζρήκα.

212 Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο θ() ξνθύηεη κε νξηδόληηα κεηαηόηζε θαηά κνλάδεο δεμηά θαη θαηαθόξθε κεηαηόηζε θαηά κνλάδα ξνο ηα άλσ ηεο γξαθηθήο αξάζηαζεο ηεο ζλάξηεζεο: h() α. Έρνκε: Ζ y είλαη ζκκεηξηθή σο ξνο ηεο y β. Ζ αό ηελ ηα θάησ. y είλαη ζκκεηξηθή ηεο y σο ξνο. Δίζεο ε y ξνθύηεη y αό κία νξηδόληηα κεηαηόηζε θαηά ξνο ηα αξηζηεξά θαη θαηόηλ ξνο 60. Έρνκε: (). Θέηνκε: y 5y 4 0 y 4 ή y=. Άξα: y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: 4 ή.

213 60. Έρνκε: 5 0 () Θέηνκε: 5 σ 5σ 4 0 σ 9 ή σ ανξ. Άξα 604. Θέηνκε: 605. Θέηνκε: 606. Θέηνκε: 607. Θέηνκε: 5 y 0 νόηε έρνκε: Άξα σ 0 νόηε ε () γξάθεηαη: 9 y y 0 y ή y ή ή y 0 νόηε έρνκε: Άξα y 4y 0 (y ή y ). ή ή 0 αδύλαηε. 5 σ 0 νόηε έρνκε: 5σ σ 6 σ δεθηή ή σ 6 ανξ Έρνκε: Άξα y 0 νόηε έρνκε: Άξα ή 5 0 δηιή ξίδα. y 0y 0 y ή y ή 5 5 Θέηνκε: σ(σ 0) νόηε σ σ. Άξα: () σ σ 5 σ 5 σ 5σ σ 5σ 0 σ ή σ 0 Άξα: Έρνκε: Θέηνκε: ή () εκ εκ εκ εκ εκ 8 6 εκ εκ y 0 νόηε έρνκε: ή εκ εκ θ, θ Ε y 6y 8 0 (y ή y 4). Άξα:

214 60. Έρνκε: 4 εκ εκ 4 εκ αδύλαηε. 4( ) ( )( ) 0 ή 6. Ζ () γξάθεηαη: 8 0. Θέηνκε: y 0 νόηε έρνκε: y y 6y 8 0 (y )(y 5y 4) 0 [y ανξ. ή (y ή y 4)] 6. Θέηνκε: 6. Έρνκε: Θέηνκε: 64. Έρνκε: Άξα y 0 νόηε ή 4 νόηε =0 ή =. y. Ζ εμίζσζε γξάθεηαη ηειηθά: y 4y 0 y ή y ή y 0 νόηε ε εμίζσζε γξάθεηαη: y 7y 90 0 y 0 ανξ. ή y. Άξα 65. Ζ () γξάθεηαη: 08 0 () Θέηνκε: y 0. νόηε y () y y 4 0 y 9 ή y ανξ. Άξα Έρνκε: Έρνκε: ( ) ( ) ( ) ( ) 0. Θέηνκε: y (y y y ) 0 y 0 ανξ. ή y=. Άξα 68. Ζ αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: y 0 νόηε έρνκε ηειηθά: εκ εκ εκ () εκ 0.

215 Θέηνκε: 69. Έρνκε: 60. Έρνκε: 6. Έρνκε: 6. Έρνκε: 5 εκ y(y 0) νόηε ε () γξάθεηαη: 0 y y 9 0 y 9y 0 0 (y 0 ανξ. ή y ) εκ εκ 0 Άξα: εκ 0 εκ 0 θ, θ Ε Αλ ,, αλ <0, (). Θέηνκε y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: y 0y 75 0 y 5 ή y 5 ανξ. Άξα Θέηνκε 6. Έρνκε: (). y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: 4 4y 64y y 0 y 4 ή y 0 ανξ. Άξα Έρνκε: (). Θέηνκε 0 0 y 0y 6 0 σ 8 ή σ.άξα 5. Θέηνκε y 6y 5 0 y ή y 5. Άξα 65. Έρνκε: σ 0 νόηε ε () γξάθεηαη: 8 ή 5 y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: 5 0 ή ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ 9 ζλ ζλ ζλ ζλ θ, θ Ε 66. Έρνκε:

216 6 εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ Γηαηξνύκε κε 5 θαη βξίζθνκε: Θέηνκε 5 εκ εκ εκ εκ εκ εκ y0 νόηε ε () γξάθεηαη:, άξα y 5 5y 7 0 5y 7y 0 y ή y= 5 εκ 0 θ, θ Ε 67. Πξέεη εκ 7 8 (). ή εκ θ, θ Ε Ζ αλίζσζε γξάθεηαη: Γηαθξίλνκε ηηο εξηηώζεηο: 69. Έρνκε: α> ηόηε ε () έρεη ιύζε 0<α< ηόηε ε () έρεη ιύζε α 4 0 α (). 4 0 ή 4 0 α= ηόηε ε () γίλεηαη > θαη είλαη αδύλαηε ή. 60. Έρνκε: i ή ii Ζ () γξάθεηαη: Ζ () γξάθεηαη: 9 ( ) Ζ () γξάθεηαη: Θέηνκε: y (y>0) νόηε ε (). () y 0y 0 y..

217 64. Έρνκε: Άξα: Έρνκε: 66. Έρνκε: (αθνύ 0<α<) άξα ( ) 0 0 ζλ ζλ 4 4 (). Θέηνκε 67. Έρνκε: σ ζλ 4 σ 0 νόηε ε () γξάθεηαη: σ 0... σ ή σ 6 4 ανξ. ζλ Άξα 4 ζλ ζλ 0 θ, θ Ε Όκσο [0,] άξα ή. 4 4 (). Θέηνκε σ 0 νόηε ε () γξάθεηαη: σ σ 0 0 ε ννία κε ζρήκα Horner, βξίζθνκε όηη έρεη ξίδεο, 5 ανξ., 4. Άξα 0 ή 4 νόηε ηα δεηνύκελα ζεκεία ηνκήο είλαη (0,0), (,0). 68. Αξθεί λα ιύζνκε ηελ f()>0 69. α. i. ξέεη 4 e e ή > α α 0 (α )α 0 α 0 ii. iii. 0 (α )α 0 α 0 ή α>. α α 0 ( α)(α 7) 0 7 α. α 7 β. i. Δίλαη γλ. αύμνζα όηαλ: Άξα γηα α>0 είλαη γλ. αύμνζα., ν ηζρύεη γηα θάζε α R. α α α α 0

218 8 ii. Γηα λα είλαη γλ. αύμνζα: α α 0 (α )α 0 α 0 α α α ή α>. Γηα λα είλαη γλ. θζίλνζα: 0... α α iii. Γηα λα είλαη γλ. αύμνζα: α α 4 0 ( α 4)(α 7) 0 7 α. α 7 α 7 Γηα λα είλαη γλ. θζίλνζα: α 0 α 7 α α 4 0 ( α 4)(α 7) 0 α 7 α 7 α 7 ή α 640. Έρνκε: i. Ζ ii. Ζ Όκσο α 0 7 α α 7 f () είλαη γλεζίσο αύμνζα. Δεηδή έρνκε: 4 νόηε ηειηθά: α. 4. f () 5 είλαη γλεζίσο αύμνζα. Δεηδή έρνκε: iii. Ζ f () 64. Έρνκε: είλαη γλεζίσο θζίλνζα. Δεηδή 5 έρνκε: y (y) (y) y (4) (y) ( 4) (y) y 0 y ( ) 9 6y y 4 y 8 6y 4 y 64. Έρνκε: () 5 4y 6 4y4 6 4y4 () y (y) y y y y ( ) ( ) 6 4y 4 6 4y 6 4y... 4 y y y 0 6 8y 0 y Έρνκε:

219 9 y y y y α(α 0) Θέηνκε: νόηε ην ζύζηεκα γξάθεηαη: y 5 β(β 0) α β 4 α β 4 α β 4 α β 604 (α β)(α αβ β ) 604 4(α αβ β ) 604 α 4 β α 4 β (4 β) (4 β)β β 5 6 8β β 4β β β 5 α 4 β α 4 β α 4 β β β β β 5 0 β 4β 45 0 α 4 β α 9 β 9 ανξ. ή β 5 β Έρνκε: Θέηνκε: 9 Οόηε: y 5 5 y y Άξα (,y)=(,). y y y y 5 y y σ (σ>0) θαη y 4 ι (ι>0) νόηε ην αξαάλσ ζύζηεκα γξάθεηαη: σ 4ι 9 σ 4ι 9 ι Άξα: y σ 80ι 45 σ 80ι 45 σ y y Σειηθά ε ιύζε ην ζζηήκαηνο είλαη (,y)=(,) Θέηνκε: α(α 0) νόηε Σν αξαάλσ ζύζηεκα γξάθεηαη: α θαη y β(β 0) νόηε y 4 β. α β 77 (α β)(α β) 77 7(α β) 77 α β α 9 α β 7 α β 7 α β 7 α β 7 β Άξα: y y y 646. Θέηνκε: y α θαη y α β 5 α 4 β. Έρνκε:... α β 5 β

220 0 Άξα: y 4 4 y 4 5 y y 0 8 y Θέηνκε: 5 α (α>0) θαη y β (β>0) νόηε ην ζύζηεκα γξάθεηαη: 9α 7β 457 9α 7β 457 α α 6α 4β 890 α 7β 445 α 7β 445 β Οόηε: y y y Σν ζύζηεκα γξάθεηαη: 4y y 4y y 4 4y α (α>0) Θέηνκε: νόηε ην ζύζηεκα γξάθεηαη: y β (β>0) 649. Έρνκε:. α β α 8... α β 4 β 9 4y 4y 8 4 y Άξα... y y 9 y y y y y () y y () Αλ ζηελ () ζέζνκε =+y έρνκε: 650. Όκνηα: y y y y 6y 6 y νόηε =. Άξα (,y)=(,). 65. i. Έρνκε: νόηε y 6 y 8 y (, y), 6 y y 6 y ii. (, y), y 65..i. Έρνκε:

221 y 4 ηελ ξώηε ζέηνκε Άξα 4 νόηε y=. σ 0 νόηε έρνκε: σ σ 8 0 σ 4 ή σ ανξ. ii. Θέηνκε θ ι θ ι εκ θ, ζλ ι (θ, ι>0) νόηε έρνκε:... (θ,ι) (,) Άξα εκ= θαη ζλ=0. Οόηε θ, θ Ε 65. Ζ εμίζσζε y 4 καο δίλεη +y= ή y νόηε ε δεύηεξε εμίζσζε γξάθεηαη Θέηνκε σ 0 νόηε ε αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη ηειηθά: σ 5σ 4 0 σ 4 ή σ=. Άξα = ή = νόηε νη ιύζεηο ην αξρηθνύ ζζηήκαηνο είλαη: (,y)=(,0) ή (,y)=(0,) Αό ηελ +y=5 έρνκε 5 y νόηε ε ξώηε εμίζσζε γξάθεηαη: 5 5 y y y (). Θέηνκε: y Γηα σ=4 έρνκε: Γηα σ=8 έρνκε: y σ (σ>0) νόηε ε () γξάθεηαη: σ σ σ 0 (σ 4 ή σ 8) σ. y 4 y νόηε 5 άξα (,y)=(,) y 8 y νόηε = άξα (,y)=(,) 655. Πξέεη Έρνκε:. Θέηνκε: y 4y 0 y ή y>. Άξα y 0 νόηε ε αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: ή δει. <0 ή >. i. iii. v. ln 7 ln( ) y ii. 8 ln 56 ln iv ln 4 ln 5y vi. 8 ln ln ln 6 ln( ) y 5 ln 88 ln( ) 5 y

222 7 vii. ln 6,75 ln ln 7 ln 4 y Έρνκε: 658. Έρνκε: i. ii. iii. iv. v. 5 A, e 7 άξα B ln e y lne ln7 ln, y ln. Δίλαη 4 άξα >y. 4 ln θαη y=ln80. Δίλαη 8>80 άξα >y. 9 ln e θαη 659. Έρνκε: 7 ln e θαη 4 y ln e. Δίλαη e 9 7 y ln e, άξα =y., Γ 0, Γ=+=4. 4 e άξα >y Α log log log log log log log Έρνκε: log log i. log log log log log ii. 66. Έρνκε: (log 6 log 5) (log 6 log 7) (log6 log5) 6log 6 6log5 log 6 9log 8log 6log5 9log 6 9log 8log 9log 9log 9log 8log log A log log ( )( ) log 4 log 0, 66. Λνγαξηζκίδνληαο θαηά κέιε έρνκε: 66. Έρνκε: ln yln z ln zln ln ln y ln ln y ln z 0 ή (ln y ln z)ln (ln z ln )ln y (ln ln y)ln z 0 ή 0=0 ν ηζρύεη.

223 α β α αβ β ν ηζρύεη. 5 5 ln α ln β ln... αβ α β αβ 664. Έρνκε: β άξα: α logα, σ α α logβ logα log α λ λ(λ) λ β λ β λ β Sλ log α (λ ) log log α log log α log α α α β log α λ(λ) λ(λ) 665. Έρνκε: 666. Έρνκε: σ α α ln 7 ln ln. Άξα λ λ λ Sλ ln (λ )ln ln ( ) ln ln α log, α log8 log log λ λ λ α log, νόηε ι. α log 667. Έρνκε: Δίλαη S λ λ λ α (ι ) log ( ) ι 668. Έρνκε: 0 log log( )... 0,08 0 y log (α )(β ) log (αβ α β)(αβ α β) 669. Έρνκε: Καιηθόξληα: log (α )(β ) log (α )(β )(α )(β )... 0 E () 6, log log E 9,45 log E0 E0 Αιάζθα: E () 8, log log E,45 log E0 E0 E () () log E log E, 45 9, 45 0 άξα ν νο 000 θνξέο ην ηζρξόο E ην ξώην.

224 α. Γηα λα έρεη λόεκα ε εμίζσζε ξέεη: ή θαη λαιεζεύνληαο ηηο δύν αξαάλσ αληζώζεηο ξνθύηεη: (). Ζ εμίζσζε: β. ln( 8) ln ή 8 Αό ηηο δύν ιύζεηο δεθηή ε =8 ιόγσ ην εξηνξηζκνύ () ln( 8) ln Άξα ή 8 Όκσο ιόγσ ηεο () ε αλίζσζε αιεζεύεη γηα θάζε α. Παξαηεξνύκε όηη: f() ln( ) g( ) άξα ε C f ξνθύηεη αό ηε C g αλ κεηαηνίζνκε θάζε ζεκείν ηεο θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά, όσο θαίλεηαη θαη ζην αξαθάησ ζρήκα. β. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα γηα y=0, δειαδή ln( ) 0 4 άξα ζην ζεκείν (4,0). Β τρόος: Ζ C g ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην (,0), άξα ε δεμηά, δειαδή ζην ζεκείν (+,0)=(4,0) C f ζα ηνλ ηέκλεη ζε κνλάδεο γ. Ζ αζύκησηε ηεο C g είλαη ν άμνλαο y y, δειαδή ε εζεία =0, άξα ε C f ν είλαη κεηαηνηζκέλε θαηά κνλάδεο ξνο ηα δεμηά ζα έρεη θαηαθόξθε αζύκησηε ηελ εζεία =, όσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. 67. α. Γλσξίδνκε σο ε ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε f () ln νξίδεηαη, όηαλ >0. Έηζη, ινηόλ, ε αξάζηαζε A ln ln( 6) νξίδεηαη όηαλ: 0 0 θαη θαη 0 Οόηε ε αξάζηαζε Α νξίδεηαη όηαλ > β. Αό ην ξνεγνύκελν εξώηεκα, ξνθύηεη όηη ε εμίζσζε ln ln( 6) ln(49) ζα ιζεί γηα >0. Υξεζηκννηώληαο ηηο γλσζηέο ηδηόηεηεο ησλ ινγαξίζκσλ, έρνκε όηη ln(49) ln(7 ) ln(7) ln(7) θαη Άξα, γηα >0 έρνκε: ln ln( 6) ln( ( 6)) ln( 6) ln ln( 6) ln(49) ln( 6) ln(7)

225 5 Σν ηξηώλκν 6 7 έρεη δηαθξίλνζα Γ 64 0 θαη ξίδεο = ή 7. Όκσο, ιόγσ ην εξηνξηζκνύ >0, ξνθύηεη ηειηθά όηη =. 67. α. Γλσξίδνκε σο ε ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε g() ln νξίδεηαη, όηαλ >0. Έηζη, ινηόλ, ε ζλάξηεζε f () ln(e e) νξίδεηαη όηαλ: e e e 0 e e e e Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην ζύλνιν, β. Αό ην ξνεγνύκελν εξώηεκα, ξνθύηεη όηη ε εμίζσζε f()=0 ζα ιζεί γηα ln e Έρνκε: f () 0 ln(e e) 0 ln(e e) ln(e e) ln e e e e e e ln(e ) ln(e) ln(e) ln(e) Γηα λα είλαη δεθηή αηή ε ιύζε ζα ξέεη: ln(e) ln e ln(e) ln(e) ln e e e, ην ννίν ηζρύεη. ln(e) κέξαζκα: f () α. Έρνκε:. Γηα ηελ f: Πξέεη 4 0 ν ηζρύεη γηα θάζε ξαγκαηηθό αξηζκό, άξα εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην Α=R. Γηα ηελ g: Πξέεη >0, άξα εδίν νξηζκνύ ηεο g είλαη ην Β=(0,+ ) β. Γηα (0, ) έρνκε: 675. α. Πξέεη f() g() ln( 4) ln ln 4 ln( 4) ln ( ) 0 ν είλαη δεθηή. 0 θαη Άξα εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην A [,8) β. Έρνκε: f() 0 ln( ) 0 4 ν είλαη δεθηή α. Ζ f νξίδεηαη όηαλ: 0 Άξα D f (, ) β. Ζ C f, ηέκλεη ηνλ y y όηαλ =0 κε f(0)=ln()=0, άξα ζην ζεκείν Ο(0,0) θαη ηνλ όηαλ: f() 0 ln( ) 0 ln( ) ln 0 Άξα ην Ο(0,0) είλαη ην κόλν θνηλό ζεκείν ηεο C f κε ηνο άμνλεο.

226 6 γ. Μεηαηνίδνληαο ηελ y=ln θαηά κνλάδα αξηζηεξά αξάιιεια ζηνλ ξνθύηεη ε C f α. Έρνκε ην ζύζηεκα: P( ) 0 α β 6 0 α β 5 α β 5 α 6 α P() 8 4α β 6 4α β : α β θαη ζλεώο β 5 β β β. i. Δίλαη: Άξα ii. P() ( )( ) P() ( ) 4( ) 0 ( )( 4) 0 0 iii. Θέηνληαο όν ln ην y, ε αλίζσζε γίλεηαη P(y) y 4, ε ννία αό ην εξώηεκα (ii) έρεη ιύζε y<. ln Δνκέλσο, ln ln ln lne ln lne e 678. α. Γηα ηε ζλάξηεζε f αξθεί λα είλαη: Άξα f e 0 e 0 e e e 0 A (0, ).Γηα ηε ζλάξηεζε g αξθεί λα είλαη: 0 0 Άξα A g (,0) (0, ) β. Έρνκε: f () 0 ln(e ) 0 ln(e ) ln e γ. Δίλαη: Δνκέλσο ln e lne ln ln θαη g() 0 ln 0 ln ln ( ή ) νόηε f (ln ) g e ln f(ln ) ln(e ) ln( ) ln θαη g ln ln (ln ln e) (ln ) ln e e e e f (ln) g ln ln ln ln ln e 0

227 δ. Ζ εμίζσζε ζα ιζεί ζην A f (0, ) : 7 f () f () g( e ) ln(e ) ln(e ) ln( e ) e e (e )(e ) e e e e e e e ln(e ) ln ln(e ) e e Όκσο e ln(e ) 0 Άξα ε εμίζσζε είλαη ΑΓΤΝΑΣΖ α. Αξθεί λα είλαη: 0 Άξα A f (, ) β. Έρνκε: log6 log 6 log6 log6 00 (0 ) log 6 γ. Αθνύ 00 6, ε εμίζσζε, γηα >, γίλεηαη: f () f () f () f () f () f () ( ) ( ) 9 0 Θέηνκε βξίζθνκε όηη y= ή Δνκέλσο: f () y 0 θαη έρνκε: y 4 4y 9y 0 ν κε δηαθξίλνζα (Γ=49) f () f() log( ) log0 0 ή f () 0 f () log( ) log α. Ο αξηζκόο ησλ βαθηεξίσλ όηαλ μεθίλεζε ην είξακα, δειαδή 0 ώξεο κεηά ηελ έλαξμε ην εηξάκαηνο, ηζνύηαη κε ην Ρ(0). Έηζη έρνκε: c0 P(0) 00 e Άξα, ν αξηζκόο ησλ βαθηεξίσλ όηαλ μεθίλεζε ην είξακα είλαη Ρ(0)=00. β. Γλσξίδνκε όηη ζε κία ώξα αό ηελ αξρή ην εηξάκαηνο ν αξηζκόο ησλ βαθηεξίσλ ήηαλ 8, δειαδή ζα ηζρύεη: c c P() 8 00 e 8 e c (εμ νξηζκνύ ζλάξηεζεο) ln e ln c ln(, 64) c (εδώ άξρεη κηθξό ξόβιεκα, αθνύ, ελώ ε ηηκή ην ινγαξίζκν είλαη ξνζεγγηζηηθήζηξνγγιννηεκέλε, δεηείηαη αθξηβήο ηηκή γηα ηε ζηαζεξά c) γ. Σν ρξνληθό δηάζηεκα θαηά ην ννίν ν αξηζκόο ησλ βαθηεξίσλ είλαη κεγαιύηεξνο αό ην δεθαιάζην θαη κηθξόηεξνο αό ην εθαηνληαιάζην ηεο αξρηθήο ην ηηκήο, είλαη εθείλν ην δηάζηεκα ην t ν ηθαλννηεί ηελ αλίζσζε 0P(0) P(t) 00 P(0) κε ζύλνιν νξηζκνύ ην [0,+ ). Έηζη,

228 000 8 t 0P(0) P(t) 00 P(0) e t t 0 e 00 ln0 ln e ln00 (αθνύ ε ζλάξηεζε k()=ln είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην [0,+ ), θαζώο e>) t t ln0 ln0 ln0 ln0 ln0 t 4ln0, t 4, 4,6 t 9, t (4,6, 9,) κέξαζκα: ην δεηνύκελν δηάζηεκα είλαη κεηαμύ 4,6 θαη 9, σξώλ. 68. α. Γηα λα νξίδεηαη ε ζλάξηεζε f αξθεί λα ηζρύεη: ln e 0 e e e ln (αθνύ ε ζλάξηεζε αύμνζα ζην R). Άξα, ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη: h() f e είλαη γλεζίσο A (ln, ) β. Σν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο εμίζσζεο f () ln είλαη ην (ln,+ ) (ιόγσ ηεο ύαξμεο εθεί ηεο ζλάξηεζεο f. Έηζη έρνκε: f () ln ln(e ) ln ln(e ) ln e ln ln(e ) e ln 8 (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=ln είλαη σο γλεζίσο αύμνζα ζην (ln,+ )) (e ) e 8 (e ) e 8 0 () Θέηνκε Οόηε σ e 0 () θαη έηζη ε () κεηαηξέεηαη ζηελ βνεζεηηθή εμίζσζε σ σ8 0 σ 4 0 ή σ 0 ν ανξξίηεηαη ιόγσ () σ 4 e 4 ln 4 δεθηή, θαζώο 4 ln 4 ln (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=ln είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην (0,+ )) κέξαζκα: ε εμίζσζε f () ln έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ =ln4. γ. Σν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο αλίζσζεο f () ln είλαη ην (ln,+ ) (ιόγσ ηεο ύαξμεο εθεί ηεο ζλάξηεζεο f). Έηζη έρνκε: f () ln ln(e ) ln ln(e ) ln e ln ln(e ) e ln 8 (e ) e 8 (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=ln είλαη σο γλεζίσο αύμνζα ζην (ln,+ )) (e ) e 8 0 (). Θέηνκε σ e 0 (4) θαη έηζη ε () κεηαηξέεηαη ζηε βνεζεηηθή αλίζσζε: σ σ8 0 (5) Οη ξίδεο ην ηξησλύκν ην ξώην κέινο ηεο (5) είλαη σ θαη σ=4. Γλσξίδνκε όηη έλα ηξηώλκν είλαη νκόζεκν ην ζληειεζηή ην δεηεξνβάζκην όξν ζην δηάζηεκα έμσ αό ηηο ξίδεο ην, άξα: (4) ln 4 (5) σ ή σ 4 σ 4 e 4 e e ln 4 (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=ln είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην (ln,+ ), θαζώο e>)

229 9 Καη εεηδή είλαη 4 ln 4 ln (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=ln είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην (0,+ )) είλαη δεθηέο όιεο νη ιύζεηο. κέξαζκα: Ζ αλίζσζε f () ln έρεη σο ιύζεηο όια ηα [ln 4, ). 68. α. Γηα λα νξίδεηαη ε ζλάξηεζε f αξθεί λα ηζρύεη: 4 5 (αθνύ ε ζλάξηεζε 0 θαη 5 0 (ν ηζρύεη αθνύ ) h() 4 είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R, θαζώο 4>) Άξα, ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη: A (0, ) β. Σν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο εμίζσζεο f() log log7 είλαη ην (0,+ ) (ιόγσ ηεο ύαξμεο εθεί ηεο ζλάξηεζεο f). f () log log7 log 4 log Έηζη έρνκε: 5 5 (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=log είλαη σο γλεζίσο θζίλνζα ζην (0,+ ), θαζώο 0>) Θέηνκε 7(4 ) ( 5) ( ) 0 () f σ 0 () θαη έηζη ε () κεηαηξέεηαη ζηε βνεζεηηθή εμίζσζε: 7σ σ 0 () σ 0 θαη σ (αθνύ ε ζλάξηεζε σ 0 ν ανξξίηεηαη ιόγσ () Οόηε 4 k() είλαη σο γλεζίσο αύμνζα ζην R, θαζώο >). Ζ ιύζε αηή είλαη δεθηή, θαζώο >0. κέξαζκα: ε εμίζσζε f() log log 7 έρεη κνλαδηθή ιύζε, ηελ =. γ. Σν ζύλνιν νξηζκνύ ηεο αλίζσζεο f() log log7 είλαη ην (0,+ ) (ιόγσ ηεο ύαξμεο εθεί ηεο ζλάξηεζεο f). Έηζη έρνκε: f () log log7 log 7( 5) 0 4 log (αθνύ ε ζλάξηεζε θ()=log είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην (0,+ ), θαζώο 0>) Θέηνκε 7(4 ) ( 5) ( ) 0 (4) σ 0 (5) θαη έηζη ε (4) κεηαηξέεηαη ζηε βνεζεηηθή αλίζσζε: 7σ σ 0 (6) Σν ηξηώλκν ζην ξώην κέινο ηεο αλίζσζεο (6) έρεη δηαθξίλνζα: Γ β 4αγ ( ) 47 ( ) , νόηε έρεη δύν δηαθνξεηηθέο ξίδεο: σ θαη σ 4 7 Γλσξίδνκε όηη έλα ηξηώλκν είλαη νκόζεκν ην ζληειεζηή ην δεηεξνβάζκην όξν ζην δηάζηεκα έμσ αό ηηο ξίδεο ην, άξα:

230 (αθνύ ε ζλάξηεζε 7 0 (5) (6) σ ή σ σ k() είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R, θαζώο >) Καη εεηδή είλαη >0 γίλνληαη δεθηέο όιεο νη ιύζεηο. κέξαζκα: Ζ αλίζσζε f() log log 7 έρεη σο ιύζεηο όια ηα (, ). 68. α. Αθνύ ην είλαη αξάγνληαο ην νισλύκν P() ηόηε: P() α 0 40 α 0 α 8 β. Γηα α 8 ην νιώλκν P() γίλεηαη: P() θαη εεηδή ην είλαη αξάγνληαο ην P(), θάλνκε ηε δηαίξεζε ην P() κε ην κε ην ζρήκα ην Horner ρ= Οόηε ε ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην είλαη: P() ( )(5 4) Άξα ε εμίζσζε P()=0 ηζνδύλακα γξάθεηαη: Ζ εμίζσζε δηαθξίλνζα: P() 0 ( )(5 4) 0 0 ή ή είλαη αδύλαηε γηαηί ην ηξηώλκν Γ β 4αγ Σειηθά ε εμίζσζε P()=0 έρεη κνλαδηθή ξίδα ηελ = γ. Ζ εμίζσζε νξίδεηαη όηαλ: >0 θαη (ln ). Θέηνκε y ln 5 4 έρεη (ln ) 0 ν ηζρύεη γηα θάζε >0 αθνύ ην θαη ε δνζκέλε εμίζσζε γίλεηαη: y 8 5y 8y 8 5y 8y 8 0 y 5 Ζ ηειεηαία εμίζσζε όσο δείμακε ζην (β) εξώηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ y=. Άξα ζα είλαη: ln ln ln ή ln e ή e νη ννίεο είλαη δεθηέο α. Γηα λα νξίδεηαη ε ζλάξηεζε ξέεη: e 0 e e Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην ζύλνιν A, e β. Ζ δνζκέλε αλίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη:

231 f() f() ln(e ) ln(e ) e e e 0 0 θαη εεηδή ην A ηειηθά ξέεη,0 e γ. Ζ δνζκέλε εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη: f ( εκ) f (ζλ) ln(e εκ ) ln(e ζλ ) e εκ eζλ e εκ eζλ εκ ζλ () Δεηδή ην ζλ 0 γηα θάζε 0, ηόηε δηαηξνύκε κε ζλ θαη ηα δύν κέιε ηεο () θαη έρνκε: Όκσο ην ζλ ζθ θ, θ Z εκ 0, άξα έρνκε: 0 0 θ 0 θ θ, θ Ε 6 Άξα ξέεη θ=0 νόηε ε ιύζε ηεο εμίζσζεο είλαη ε α. Γηα λα νξίδεηαη ε ζλάξηεζε f ζα ξέεη: (5, 6) (6, ) ln( 5) Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην ζύλνιν A (5,6) (6, ) β. Ζ δνζκέλε εμίζσζε ηζνδύλακα γξάθεηαη: ln( ) f () ln( ) ln( 5) ln( ) ln( 5) ln( 5) Σν ηξηώλκν ( 5) έρεη Γ ( ) 46 5 θαη ξίδεο ηνο αξηζκνύο 9 θαη 4. Ζ ιύζε 4 ανξξίηεηαη γηαηί δελ αλήθεη ζην ζύλνιν A (5,6) (6, ), άξα ε εμίζσζε έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ =9. γ. Γηα θάζε >6 ε δνζκέλε αλίζσζε γίλεηαη: ln( ) f () ln( 5) Όκσο γηα >6 είλαη 5 ln( 5) 0, άξα θάλνληαο ααινηθή αξνλνκαζηώλ ε αξαάλσ αλίζσζε γίλεηαη: ln( ) ln( 5) 5 6 Όκσο είλαη >6 άξα ε αλίζσζε έρεη ιύζεηο θάζε > α. Γηα λα νξίδεηαη ε ζλάξηεζε f ξέεη: 0

232 Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην ζύλνιν Α=(,+ ) β. Γηα θάζε > ε δνζκέλε εμίζσζε γίλεηαη: Θέηνκε Σν ηξηώλκν f (e ) f (e ) ln ln(e ) ln(e ) ln ln (e )(e ) ln 8 (e )(e ) 8 e e e 8 e 4e 5 0 y e κε y>0 θαη ε ηειεηαία εμίζσζε γίλεηαη: y 4y 5 έρεη δηαθξίλνζα y 5 θαη y. Ζ ιύζε y ανξξίηεηαη γηαηί y>0. Άξα: y 5 e 5 ln 5 y 4y 5 0 Γ ( 4) 45 6 θαη ξίδεο ηνο αξηζκνύο Άξα ε εμίζσζε έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ =ln5 ε ννία είλαη δεθηή γηαηί αλήθεη ζην ζύλνιν (,+ ). γ. Γηα θάζε > ε δνζκέλε αλίζσζε γίλεηαη: Με f (e ) f (e ) ln ln(e ) ln(e ) ln ln (e )(e ) ln 8 (e )(e ) 8 e e e 8 e 4e 5 0 y 4y 5 0 y e 0. Γνιεύνληαο όσο θαη ζην ξνεγνύκελν εξώηεκα ην αξαάλσ ηξηώλκν έρεη ξίδεο ην 5 θαη ην, άξα αξαγνληννηείηαη σο εμήο: (y 5)(y ) 0 Καη εεηδή ην y+>0 ζα ξέεη λα είλαη θαη: Όκσο ξέεη θαη > άξα ηειηθά νη ιύζεηο ηεο αλίζσζεο είλαη 687. > > y 5 0 y 5 e 5 ln 5,ln5. 0 ( δεθηή ή ανξ.) log log log0 log log(0 ) 0 0 / log( ) log( ) log0 log log( ) log( ) log0 log( 6) log ( 8 δεθηή ή 7 ανξ.) 689. > log(4 ) log log( ) log(4 ) log 4( ) ( / δεθηή ή / ανξ.) 690. Πεξηνξηζκνί: >0,,, άξα >0 ln ( )( ) ln (). Με ζρήκα Horner βξίζθνκε όηη: = δεθηή.

233 69. i. Πεξηνξηζκνί: 0, log( ) log5 log Θέηνκε y y 0 0 y 4 ή y 5 ανξ. Άξα: ii. Πεξηνξηζκνί: 0 θαη y 0 νόηε έρνκε: 4 δεθηή ή ανξ. log( ) 0 Έρνκε: log( ) 0 ή (δεθηέο) 69. Έρνκε: 7 i. Πεξηνξηζκόο: 0 Έρνκε: 0 ή (δεθηέο) ii. Πεξηνξηζκόο: 0 Έρνκε: ή (δεθηέο). 69. Έρνκε: i. Πεξηνξηζκνί: e 0 θαη 0 άξα e. ln( e ) ln e ln( ) e e e ανξ. ή e δεθηή. ii. Πεξηνξηζκνί: e 0 θαη +e>0 άξα >e. Έρνκε: 694. Έρνκε: ( e)( e) 4e... e ανξ. ή e δεθηή. i. Πεξηνξηζκόο: >0. log 00 ( log ) log. Θέηνκε log y y y 0 y ή y=. Άξα log ή log δεθηή ή 0 δεθηή. 00 ii. Πεξηνξηζκνί: >0 θαη 0 άξα 5 log 0. Αλ = ηόηε = ν ηζρύεη άξα = δεθηή.αλ ηόηε 00 0 δεθηή Έρνκε: i. Πεξηνξηζκόο: >0. Θέηνκε: ln=y νόηε έρνκε: y y 5y 6 0 θαη κε ζρήκα Horner βξίζθνκε y= ή y= ή y. Άξα ln= ή ln= ή ln e δεθηή, ή e δεθηή, ή e δεθηή. ii. Πεξηνξηζκόο: >0. Θέηνκε: log=y νόηε έρνκε: y y 4 0 y ή y Άξα log ή log 0 δεθηή ή 0 δεθηή.

234 Πξνθαλώο >0. Πξέεη log 5 log log 5 log ανξ. ή Αξθεί: log 5 log log z Έρνκε: i. Έρνκε: 0 (). Θέηνκε: y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: y y 0 y δεθηή ή y ανξ. Άξα log. 0 ii. Έρνκε: log log 0 0 (). Θέηνκε y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: y y 0 0 y 4 δεθηή ή y 5 ανξ Έρνκε: Άξα 4. i. log0 log( ) log5 log6 log 0 ( ) log(6 5 ) Θέηνκε: 0 ( ) 65 6 () y 0 νόηε ε () γξάθεηαη y y 6 0 y ή y ανξ. Άξα ii. log (4 9) log 0( ) (4 9) 0( ) Θέηνκε: () y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: y 0y 64 0 (y 6 ή y 4) Άξα: 6 4 ή Έρνκε: i. ii. log 8( ) log(78 ) log log log log log log ()

235 5 Θέηνκε: log y 0 νόηε ε () γξάθεηαη: y y y y y 0 y 0 ή y Άξα 4 log 0 ή log ή Έρνκε: (log ) 4log 5 0 (). Θέηνκε log=y νόηε ε () γξάθεηαη: 9y 4y 5 0 y ή y 5 / 9. Άξα log= ή 5 9 log 5 / 9 ( 0 ή 0 ) 70. α>0 70. Έρνκε: i. Πξέεη Θέηνκε: Γ 0 (log α ) 6(log α ) 0 log α 0log α (logα ή logα 7) (α 0 ή α 0 ) >0. log σ 0 νόηε ε () γξάθεηαη: () 5 log log σ σ 0 (σ 8 ή σ 4). Άξα: log log 8 ή ή 00. ii. Πξέεη >0. Θέηνκε: log y 0 νόηε ε εμίζσζε γξάθεηαη: y y 5 0 y 4 ή y / ανξ. Άξα: 704. Πξέεη >0. log log log log log log log 5 log log log log i. Πξέεη: >0, log>0, άξα > 0 log(log ) log 0 0 ii. Πξέεη: >0, ln 0 θαη log(ln ) 0 e άξα >e 706. Πξέεη: 0 ln(log(ln )) ln log(ln ) log0 ln 0 e >, >, 0 άξα

236 6 log ( )( ) log 0 ή εξηνξηζκνύ: 707. Πξέεη: ή. ( )( ) 0 ή ( )( )... 4 ή Πξέεη: +e>0 θαη e 0 άξα >e θαη ιόγσ... e e... e e θαη ιόγσ εξηνξηζκνύ e e i. >0 θαη y>0. Έρνκε: y y ( y) y log(y) log 6 y 6 y 6 ( y) 5 y 5 y 5 () ή () y 6 y 6 y 6 Σν () είλαη αδύλαην γηαηί, y>0. (): Σα, y ην () είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο: ii. Έρνκε: Θέηνκε: σ 5σ 6 0 (σ ή σ ). Άξα (,y)=(,) ή (,y)=(,).... y y 5 5 y y log5 log log α 0 θαη 70. Θέηνκε: y β 0 νόηε έρνκε: α β α 5... αβ 0 β 4 log α 0 νόηε log 4 α θαη α β α 4 Σν ζύζηεκα γξάθεηαη:... α β 5 β 5 5 Οόηε: y 4 y log y β 0 νόηε Άξα 00. y 0 log y 9 β. 7. i. Πεξηνξηζκνί: >0 θαη y>0. Θέηνκε: log=θ θαη logy=ι νόηε έρνκε: θ ι 0 θ θ... ή θ ι ι ι

237 ii. Πεξηνξηζκνί: >0 θαη y> Άξα (, y),0 ή 0,0 ( y) y 45 y 5... log(y) y 00 Άξα (,y)=(5,0) δεθηή ή (,y)=(0,5) δεθηή ή (, y) ( 5, 0) ανξ. ή (, y) ( 0. 5) ανξ. 7. i. Πεξηνξηζκνί: log(y) y 0 >0 θαη y>0. y8 9 y () Σειηθά 5 (, y) 4, ή (,y)=(5,). ii. Πεξηνξηζκνί: >0, y>0. Θέηνκε ln=θ θαη lny=ι νόηε έρνκε: θ ι 4 θι 7. Πεξηνξηζκνί:, y>0. i. ii. y... y y y 5... ή y 6 y y 74. Έρνκε: i. Πεξηνξηζκνί: >0, y>0. δειαδή (θ,ι) (6, ) ή,6 νόηε: 6 6 (, y) e,e ή e,e δεθηέο. y... ή y y y ii. Πεξηνξηζκνί: >0, y> Πξέεη δεθηέο όιεο νη ιύζεηο. δεθηέο θαη νη δύν ιύζεηο. y 4... δεθηή ε ιύζε. y y 0. Άξα A (,).

238 8 ( ) f ( ) ln ln ln f (), ενκέλσο ε f είλαη εξηηηή. ( ) 76. Έρνκε: α α αι,05 0ι 40ι 0 0 ι... α α log log α log(αι) 0 ι Οη ξίδεο ηεο ξώηεο εμίζσζεο είλαη: ι=0 ή ι=/0. Άξα νη αξηζκνί είλαη:,, 0 0 ή 0,, 0. Θ Ε Μ Α Τ Α Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ω Ν Τ 77. Γ. Έρνκε Q(0)= θαη Q Q(0) Γηα t=0: lnq(0) α0β ή β ln. α Γηα t : ln Q α β ή ln ln ή α ln 4 Άξα ε () γξάθεηαη: lnq(t) ( ln 4)t ln ή Γ. Έρνκε: Γ. Άξα, Q(t) Q(0) ή 9 t min Q(t) Q(0) ή 6 log έηε. log t t lnq(t) ln 4 ln 4 ή 9. Δίλαη ln Q(t) αt β, t 0 () t ή ln Q(t) ln( 4 ) ή 4 ή 6 t 4 ή 9 t t log4 log9 ή 78. Γ. Γηα λα νξίδεηαη ε f ξέεη: Γ. t 4 4 ή t= t log 4 log ή 9 log9 t ή log 4 e e e 0 e e e 0 e 5 e e f () ln ln ln 4 e 5 e 5 e σ0 log t. log Q(t) 4 t άξα ε f νξίδεηαη ζην (0,+ ). e 4e 0 e 4e 0 σ 4σ 0 σ ανξ. ή σ 7 νόηε e 7 ln 7

239 9 Γ. e 5 e 5 e e f () 0 ln ln e e 5 e σ0 e e 6 0 σ σ 6 0 σ άηνν ή σ νόηε e ln 79. Γ. Πξέεη Πξέεη e e 0. Θέηνκε e y 0 νόηε ε αξαάλσ εμίζσζε γξάθεηαη: y y 0 θαη εεηδή Γ 8 0 ηζρύεη γηα θάζε y R Πεδίν Οξηζκνύ f=r e 0 ή e ή e e ή >0. Πεδίν Οξηζκνύ g=(0,+ ) 0 Γ. Ζ εμίζσζε f()=g(), (0, ) γξάθεηαη: Θέηνκε ln(e e ) lm ln(e ) ή e y 0 νόηε: e e e ή ln(e e ) ln(e ) ή e 5e 6 0 y 5y 6 0 y ή y άξα e ln ή e ln Γ. Ζ αλίζσζε f()>g(), (0, ) γξάθεηαη: Θέηνκε Άξα ln(e e ) ln(e ) ή 8e 6e 6 0 e y 0 νόηε έρνκε: e ή 70. Α. Πξέεη: ή e e 9e 8e 9 ή 4e 8e 0 4y 8y 0 y ln ln ή ln ln θαη εεηδή (0, ) Θέηνκε t. Ζ () γξάθεηαη: 5 t t 0 t. () 0 ln ln Άξα ln ln ln ln ( ln 5) ln 5 Β. Σν ξώην κέινο ηεο εμίζσζεο γξάθεηαη: g g g g ( ) Παξαηεξνύκε όηη νη όξνη ζηελ αξέλζεζε είλαη δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο ξνόδν (α λ ) κε α θαη ι=5. Σν ιήζνο ησλ όξσλ ην αζξνίζκαηνο είλαη 50. Άξα:

240 Ζ εμίζσζε γξάθεηαη: 7. Α (5 ) α(log0) 8[log0] log(00 0) ή Β. i. Γηα α= έρνκε: ii. α 8 5 ή α= 4 f() (log ) 8(log ) (log00 log ) 4 (log ) 6(log ) 8(log )... [(log ) 4log ] f() 0 (log )(log 4) 0 log 0 ή log 4 ή Γ. Πξέεη Γ. α... α 6. 5 Γ. Γηα α= έρνκε 7. Γ. Πξέεη: Πξέεη: Θέηνκε f () θαη α 0 α 5 f ( ), άξα 6 6., ln 0 ln ln ln 8 0. Άξα 8 log(4 ) log( ) log(8 ) log(4 ) log[( )(8 )] (4 ) ( )(8 ) ln ln σ 0 νόηε έρνκε Άξα ή ή ανξ. Γ. Γηα έρνκε 8σ 6σ 0 σ ή σ. 4 σ log(8 ) log(4 )... log α4 α σ έρνκε: log α log α 4log, θαη εεηδή Θ Ε Μ Α Σ Α Ο. Ε. Υ. Ε Σ 74. Έρνκε: Γ. f() log( e ) α β. Δεηδή e 0 ην εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην R.

241 Γ. Γηα =0 έρνκε: α=log Γηα =: 4 e β log Γ. Με ηδηόηεηεο ινγαξίζκσλ έρνκε δηαδνρηθά: e f () log( e ) log log e e e log( e ) log log log log e ( e) Γ4. Δίλαη θαηά ζεηξά: e γηαηί log 0 0 log[( e ) f () e ( e ) log[( e ) ] log log ( e) e ( e) e 0 log( e) log( e) 0 log 0 0 αθνύ e A.. Γηα θάζε >0 έρνκε: log log5 log log5 f() g() 5 log5 log log log5 log5log log(y) log log y log log y. Γηα θάζε, y>0 έρνκε: f( y) f() f(y). log log y log log y 5 f (). Γηα θάζε, y>0 έρνκε: f 5 5 log y. y 5 f (y) 4. Γηα θάζε λ Ν έρνκε: λ λ log λlog log λ λ f ( ) 5 5 (5 ) [f ()]. log log5 Β. f () 5 4g() (5 ) 5 4. Αό ην Α.. ε ξνεγνύκελε ζρέζε γξάθεηαη: log log (5 ) Θέηνκε: Άξα: Έρνκε: log 5 σ 0. σ 4σ 5 0 σ 5 ή σ ανξ. log 5 5. Ζ εθζεηηθή ζλάξηεζε είλαη, άξα: log log log0. Ζ ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε είλαη, άξα ηειηθά: =0. Πξέεη: >0 θαη Γ Άξα >0 θαη ή >. Δνκέλσο: >. log log( 4) f () f ( 4) 5 5.Ζ εθζεηηθή ζλάξηεζε κε βάζε 5 είλαη γλεζίσο αύμνζα, άξα: log log( 4). Ζ ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε κε βάζε 0 είλαη γλεζίσο αύμνζα, άξα: Δεηδή, >, ηειηθά έρνκε: << Γ. Δίλαη

242 4 log y ln y log y log ln (ηύνο αιιαγήο ινγαξηζκηθήο βάζεο) αό όν ξνθύηεη ην δεηνύκελν. Γ. Ζ δνζκέλε ζρέζε (θαη ιόγσ ην ) γξάθεηαη (log y ) 0, άξα είλαη log y y, ε δεηνύκελε ζρέζε. y y 0 Γ. Έρνκε: e (004) y y 0 y, y. Ζ ιύζε y= ανξξίηεηαη, αθνύ αλ y=, ζα είλαη, αδύλαην. Άξα (ε αξλεηηθή ηηκή ανξξίηεηαη). Γ4. Αό όζεζε έρνκε: (ln ) ln ln ln 6 6 e e e e δει. y [e,e ] y, 77. Γ. Πξέεη Γ. ν ηζρύεη. Άξα R δειαδή Af e e 0 R 0 0 f(0) ln(e e ) ln(e e) ln e ln ln e ln f() ln(e e ) ln e e e e e e e e e 0 (e ) e 0 e(e e ) 0 y y 0 ζέησ e y νόηε: y ή y. Άξα e αδύλαηε ή Γ. e ln e ln ln e ln ln ln f ()... e e 0 e, e R ln e ln e ln ln. Άξα (, ln ) 78. Γ. Ζ εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε ln( εκ) ln ln(ζλ) ln( εκ) ln(ζλ) εεηδή Γ. 0, 4 εκ ( εκ ) 6εκ εκ 0 εκ 00 ln α ln α... ln α 5050 ln α(... 00) 5050 εεηδή =5050 έρνκε: ln α α e Γ. f(α), f(β), f(γ) δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο ξνόδν δει. γηα ηνο lnα, lnβ, lnγ ηζρύεη lnβ ln α ln γ β αγ δει. α, β, γ δηαδνρηθνί όξνη γεσκεηξηθήο ξνόδν.

243 4 Γ4. ln ln ln 0 Πεξηνξηζκόο Θέηνκε ln y άξα Horner y y60 4 y y 0 (y )(y y 6) 0 y ln ln 4 e 79. Γ. Ζ ζλάξηεζε Γ. Ζ εμίζσζε γίλεηαη: f () ln(e ) έρεη εδίν νξηζκνύ ην δηάζηεκα (ln,+ ). ln(e ) ln 7 ln(e ) ή ln(e ) ln 7(e ) ή e 7e 4 e 7e 0 e 4 ή e. Γειαδή =ln4 ή =ln. Γ. Αθνύ νη f(α), f(β), f(γ) είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθή ξνόδν ηζρύεη: Γ4. β α γ ln(e ) ln(e ) ln(e ) δειαδή: f () f () f (00) 00 e e... e (e ) (e )... (e ) 70. Έρνκε: Γ. i. ii. Πξέεη: β α γ (e ) (e )(e ) e(e ) e 0e 00 e e... e e e f() ln( α β), α β. ln 6 f ln5 ln ln 6 ln α β ln5 ln 5 ln α β ln 5 ln ln 6 ln α β ln α β α β α β 6 6 f () ln, f () f () f () f () εκ(e ) ζλ(e ) εκ(e ) ζλ(e ) ln f () εκ(e ) εκ e εκ εκ εκ θ, θ Ε θ, θ Ε θ, θ Ε θ, θ Ε θ 0,,,... 4 Σειηθά: θ, θ 0,,,... Γ. i. f() 0 ln( α β) 0 α β α β 0 ii. f () ln, >0 Ζ αλίζσζε νξίδεηαη όηαλ >0.

244 44 7. Γ. Πξέεη Άξα f () ln(e ) 4 f () ln(e ) f () 4 ln(e ) 6 4 f () 4 ln ln e f () ln ln 0 >0 θαη ln 0 ln e A f (0, e) ( e, ). Γηα ην ζεκείν ηνκήο ηεο γ.. ηεο f κε ηνλ έρνκε: ln f () 0 0 ln 0 ln ln e ln άξα ην ζεκείν ηνκήο είλαη e,0. Γ. Έρνκε: ln ln ln f γηα θάζε Af θαη ln ln ln f () e. Γ. Ζ εμίζσζε γίλεηαη: f () f f () f () f () 0 f () Ζ εμίζσζε είλαη δεηέξν βαζκνύ θαη έρεη ξίδεο f()= θαη f()= ln Αλ f () ln ln αδύλαην ln ln Αλ f () ln 4ln ln e δεθηή ln Γ4. Παξαηεξνύκε όηη: f (e ) ln e ln e. Άξα ε ηηκή ηεο αξάζηαζεο A lnf(e ) lnf(e ) lnf(e ) lnf(e ) ln(e ) είλαη: A ln f (e ) f (e ) f (e ) f (e ) f (e ) ln ln ln 009 ln A. i. Έρνκε: ln ln 4 ln 5 ln 64 ln 64 L θ() θ() θ(4)... θ(6) ln ln ln 4 ln 6 ln 6 ln 6ln ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ii. Έρνκε: θ() θ( ) ln ln ln ln Δεηδή γηα > είλαη ln>0 έρνκε:

245 45 ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) 0 Αιιά >. Δνκέλσο ε ιύζε είλαη >. B. i. Πξέεη: Θέησ Δεηδή e (e )e e 0 e e e e e 0 e (e e) (e e) 0 (e e)(e ) 0 e y 0. Σόηε: (y e)(y ) 0 y e ή 0 y. 0 0 e e e y. Άξα ηζρύεη κόλν γηα e e.δνκέλσο ε ζλάξηεζε f νξίδεηαη γηα (, ). ii. Γηα θάζε e ln ενκέλσο έρνκε: ln ln f (ln ) ln( ) ln[e (e )e e] ln( ) ln ln e (e )e e ( ) (e ) e e e 0 ( e) ( e) ( ) 0 ( e)( ) ( ) 0 ( )( e ) 0 Οη ιύζεηο είλαη: = (Ανξ. αθνύ >e) θαη =e+ Γεθηή 7. A. i. Ζ εμίζσζε γίλεηαη: ζλ ζλ 0 ζλ ζλ 0 Θεσξνύκε ζλ=σ κε σ θαη ε εμίζσζε γίλεηαη: σ σ 0 ν έρεη ξίδεο σ θαη σ δεθηέο. Γηα σ έρνκε ζλ θ, θ Ε Γηα σ έρνκε ζλ θ, θ Ε ii. Γηα έρνκε f ζλ νόηε ε δνζείζα ζρέζε γίλεηαη: 0 0 L f f... f όν ην άζξνηζκα ξώησλ όξσλ γεσκεηξηθήο ξνόδν κε α θαη ιόγν άξα α 0 0 νόηε ι

246 46 0 L B. i. Πξέεη α 0 α. Γηα λα είλαη ε g γλεζίσο θζίλνζα ξέεη 0 α α 0 0 α ii. Γηα α ε ζλάξηεζε γίλεηαη Θέηνκε g() νόηε ε εμίζσζε γίλεηαη: εκ ζλ g(εκ ) g(ζλ ) εκ εκ εκ εκ εκ σ, σ 0 θαη έρνκε:. σ σ σ σ 0 (σ ) 0 εκ Έηζη σ εκ εκ ή εκ θ ή 4 εκ θ ή Γ. Πξέεη εκ νόηε: 5 θ θ Ε 4 θ θ Ε 4 θαη (4 )(4 ) 0 4 Δνκέλσο ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην νόηε ( 4, 4) A f ( 4, 4). Γηα λα δηέξρεηαη ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f αό ηελ αξρή ησλ αμόλσλ αξθεί f(0)=0, έηζη γηα =0 έρνκε: 4 0 f (0) ln ln() Γ. A f( ) f( ) f( ) f(0) f() f() f() 5 ln 7 ln ln ln() ln ln ln ln 7 ln ln ln() ln() ln() Γ. Ζ αλίζσζε γίλεηαη:

247 f () f ( ) ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 4 4 (ε ζλάξηεζε y=ln είλαη γλεζίσο αύμνζα) 4 4 4( ) 0 0 ( )(4 ) (4 ) Άξα (, 4) (, ). Σν εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην A f ( 4, 4) νόηε ηειηθά (, 4) f () f () f () f () e 4e e 4e 0 Γ4. Ζ εμίζσζε γίλεηαη: Θέηνκε y Γηα y= έρνκε: f () e κε y>0 νόηε ε εμίζσζε () γίλεηαη: y 4y 0 ν έρεη ξίδεο ηηο y= θαη y=. 4 ln f () 4 4 e e ν γίλεηαη δεθηή γηαηί 0 Af. Γηα y= έρνκε: ν γίλεηαη δεθηή γηαηί 4 ln f () 4 e e 4 Af. Άξα νη ιύζεηο είλαη =0 θαη. 75. Γ. Γηα λα νξίδεηαη ε g ξέεη λα ηζρύεη >0. Έηζη, A g (0, ) (είλαη ln 0, γηαηί ) Γηα λα ζγθξίλνκε g() θαη βξίζθνκε ην ξόζεκν ηεο δηαθνξάο g(). Δίλαη: ln ln ln ln ln ln ln ln 4 g() 4. ln ln ln ln ln Όκσο 4 άξα ln 0 θαη >, νόηε ln>0.δίλαη g() 0 g() 4. Δλαιιαθηηθά ιύλνκε ηελ ln εί ln0 g() ln ln ln ln ln ln 4 ε ννία αιεζεύεη, γηαηί ln <4. Γ. Γηα λα νξίδεηαη ε f ξέεη 0 θαη ln( ) 0. ln 0 ln Έρνκε 0 ln ln ln ln θαη ln

248 48 ln( ) 0 ln( ) ln 4 Αό ην Γ είλαη ln ln, νόηε ln A f, (, ). ln Γ. Δίλαη f (log θ) log θ ln( ) ln(θ ) Έρνκε f (log θ) ln(θ ) Οόηε log θ, αθνύ θ..δεηδή θ ηζρύεη ln(θ ) 0. ln(θ ) ln(θ ) ln e θ e θ e. Σειηθά Γ4. Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ( 7 6) : ( ) είλαη () ( ) 7( ) Έρνκε () (f (β) ) g(α) g(α ) g(α )... g(α ). ln Αό ηελ ηζόηεηα ησλ δύν νισλύκσλ έρνκε: β β e e () θαη 0 0 f(β) 0 θαη g(α) g(α ) g(α )... g(α ) 0 ln Γηαδνρηθά έρνκε: β f(β) 0 f (β) ln( ) ln e β ln( ) 0 0 θ ( e, ) ln α ln α ln α ln α 0 g(α) g(α ) g(α )... g(α ) 0... ln ln ln ln ln ln 0 ln α 0 (ln α ln α ln α... 0ln α) (... 0) () ln ln ln ln Σν S= είλαη άζξνηζκα ησλ 0 ξώησλ όξσλ ηεο αξηζκεηηθήο ξνόδν κε 0 α, σ=. Έηζη, S 0 (α α 0 ) 0( 0) 0. 0 lnα 0 Αό ηε () ξνθύηεη ln α α e () ln ln Έηζη, έρνκε 76. Γ. Δίλαη αθνύ Δίζεο: Άξα () () βln ln β β e (e ) e α. ln(e ) ln lne ln lne ln ln, ln ln ln 0 ln άξα e ln(e ) ln e e e e e e e e e ln(e ) ln(e e ) ln(e ) ln(e e ) Γηα λα νξίδεηαη ε f() ξέεη:

249 49 e e 0 e e e θαη θαη θαη θαη θαη ln(e e ) 0 ln(e e ) e e e e e ln e ln(e ) ln e ln(e ) ln(e ) ln(e ) θαη θαη (, ln(e )) (ln(e ), ) Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη ην ζύλνιν: A (,ln(e )) (ln(e ), ) Γ. Γηα λα νξίδεηαη ε αλίζσζε ξέεη: y 0 y. Σόηε: y y y 6(y ) y y y y 6y y 6y 9 (y ) y y y y (y ) (y ) 0 Οη ξίδεο ησλ αξαγόλησλ ην γηλνκέλν είλαη νη y=, y= θαη γηα ην ξόζεκν ησλ αξαγόλησλ έρνκε ίλαθα: y Σόηε (y ) (y ) 0 y δειαδή y (, ) Γ. i. Έρνκε ανδείμεη αό ην Γ όηη ν είλαη νζύλνιν ην εδίν νξηζκνύ Α ηεο f. Σόηε: ln(e e ) ln(e ) άξα ην ln(e e ) ln α α 0 ln e e e [ln(e e )] f ( 0) 0 ln(e e ) ln(e e ) ln e e ln(e e e ) (ln e ) (ln e) () 9 6 ln(e e e ) ln e 0 (ln(e ), ) 6 ln e ii. Αξθεί λα ανδείμνκε όηη γηα θάζε (e e ) Δίλαη f () f ( 0) f () 6 6 ln(e e ) Θέηνκε: ln(e e ) y, νόηε: y y ln (ln(e ), ) είλαη f () f ( 0). (Γ) 6 y ln(e e ) e e e e e ln e ln(e ) ln e ln(e ) ln(e ), ν ηζρύεη. Σν f ( 0) δελ είλαη ειάρηζην ηεο ζλάξηεζεο γηαηί, αό ηελ αξαάλσ αόδεημε, ε ζρέζε f () f ( 0) αιεζεύεη κόλν ζην δηάζηεκα ηεο ζλάξηεζεο. (ln(e ), ) θαη όρη ζε όιν ην εδίν νξηζκνύ 77. Γ. Πξέεη θαη 4 4 0

250 Έζησ (4 )(4 ) 0 σ ηόηε (4σ)(4σ ) 0. Αό ηνλ αξαάλσ ίλαθα έρνκε σ 4 4 όκσο σ Έηζη (ρόιην ) (εεηδή ε είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην R, αθνύ έρεη βάζε >) Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη ην A (,). Γ. Γηα θάζε (, ) ηόηε θαη (,). Έρνκε: f ( ) ln ln ln ln ln f () Γειαδή ε f είλαη εξηηηή ζλάξηεζε. Γ. Πξέεη f()=h(), όν (, ). Γηαδνρηθά έρνκε: Έζησ ln ln ln ln ln 4 4 ( ) 0 ( ) 6 0 σ 0, ηόηε Άξα σ (ανξξίηεηαη) ή σ σ6 0. σ δεθηή αθνύ. 4 4 θαη ξνθαλώο 4, άξα νη γξαθηθέο αξαζηάζεηο ησλ f θαη h έρνλ θνηλό ζεκείν. Δίλαη: 4 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Άξα ην ζεκείν ηνκήο ησλ γξαθηθώλ αξαζηάζεσλ f θαη h έρεη ηεηκεκέλε 0 ln Γ4. Δεηδή ln (e ) (lne ) (lne) 4 ε αλίζσζε γίλεηαη: 4f () 4f ( ) ln ln ξέεη A (,) θαη 0 0. Άξα (,0) (0,). Όκσο ε f είλαη εξηηηή, δειαδή f ( ) f () νόηε ε αξαάλσ αλίζσζε γίλεηαη ln ln 0. Έζησ ln σ ηόηε σ σ 0 σ. Γειαδή ln ln e ln ln e e e θαη e e. Ηζνδύλακα ή e θαη e e e

251 Αό ην αξαάλσ ζρήκα έρνκε ιύζεηο Δεηδή όκσο ξέεη (, 0) (0, ), ηόηε 78. Γ. α. Δίλαη 5 e,,e e e.,, e e. ln ln ln f(ln ) = =, ln β. Πξέεη > 0 θαη f(ln) > 0, νόηε ln > 0) κε > 0. ln ln > 0 ( ) > 0 (αθνύ είλαη ln ( ln ) ( ln + ) > 0 θαη εεηδή είλαη ln + > 0 γηα θάζε > 0, ηόηε ln > 0 ln > ln > 0 ln > 0 ln > ln > Οη αληζώζεηο > 0 θαη > ζλαιεζεύνλ όηαλ (, +), ενκέλσο ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο g είλαη ην (,+). Γ. Δίλαη h() = ln + ln + ln + ln = = ln + ln + ln + ln = = ln + ln + ln + ln Γηα > 0 είλαη > 0, > 0, > 0, νόηε h() = ln = ln. + + Γ. Γηα > έρνκε ln h() = g(), ln = ln f(ln) f(ln) = =. ln Θέηνκε ln = σ > 0, νόηε ε εμίζσζε γίλεηαη: σ = σ σ = 0 σ = ή σ = Ζ ηηκή σ = ανξξίηεηαη γηαηί < 0, νόηε σ =, ln = ln = = e. Γ4. 5 Δίλαη f() = = =, f() = = 4 =, ηόηε 4 4

252 5 εκζ = ln ln 5 εκζ = εκζ = 9 9 ln ln (ln 5 ln ) ln 5 ln εκζ =. 6 Γλσξίδνκε όηη γηα θάζε ζ R ηζρύεη εκζ, νόηε ln 5 ln 6 ln 5 ln 6 κε > 0 θαη έρνκε ηηο αληζώζεηο: 6 ln 5ln 6 () θαη ln 5ln 6 () (): ln 5ln + 6 0, ζέηνκε ln = σ, νόηε σ 5σ Οη ξίδεο ην ηξησλύκν σ 5σ + 6 είλαη νη σ =, σ = Ζ αλίζσζε σ 5σ αιεζεύεη όηαλ σ ή σ, νόηε ln ή ln ln lne ή ln lne e ή e θαη αθνύ ξέεη > 0 ηόηε (0, e ] [e, +). (): ln 5ln 6 0, ζέηνκε ln = θ, νόηε θ 5θ 6 0. Οη ξίδεο ην ηξησλύκν θ 5θ 6 είλαη νη θ =, θ = 6 Ζ αλίζσζε θ 5θ 6 0 αιεζεύεη όηαλ θ 6, νόηε ln 6 e e lne ln lne e, e. Οη αληζώζεηο () θαη () ζλαιεζεύνλ όηαλ e 6, e [e, e ]. Θ Ε Μ Α Σ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι 79. Α. i. Έρνκε: ii. Πξέεη > log log 005 log log log0 0 δεθηή.

253 5 iii. Πξέεη: 0 0 log( ) log( ) 0 0 δεθηή. Β άξα ( 4, ) 740. α. Γηα λα νξίδεηαη ε f, ζ όιν ην R ξέεη: β. Γηα α=7 ε ζλάξηεζε γίλεηαη: Θέησ σ 0 θαη έρσ: α 0 α 0 α f () άξα ε εμίζσζε γίλεηαη: σ 5σ 4 0 Γ σ, 5 σ 4 σ δεθηέο σ 4 θαη 0 σ 0 γ. Γηα λα είλαη ε f γλεζίσο αύμνζα ξέεη: 74. α. Έρνκε: α α α 5 5 σ (5 ) σ 4σ 5 0 Γ σ, 4 6 σ σ 5 δεθηή ανξξίηεηαη άξα σ β. 9 άξα (, ) 74. α. Έρνκε: β. Πξέεη: >0 log log log log log 00 (0 ) (0 ) 0 0 log log log log log 00 0 ( ) 0 Θέησ log σ θαη ε εμίζσζε γίλεηαη: σ σ 0 Γ=4+=6 άξα:

254 σ, 54 6 σ δεθηή 4 σ ανξξίηεηαη άξα log σ log log log0 0 δεθηή. 74. α. Πξέεη: β. 0 0 ( )( ) 0 Έρνκε 0 θαη 0. Κάλνκε ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν θαη ξνθύηεη όηη ην εδίν νξηζκνύ ηεο f είλαη: A f (,) f () 0 ln ln ( ) 0 Έρνκε: 0 0 θαη 0 Κάλνκε ην ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν θαη ξνθύηεη όηη:,0 Ζ ιύζε ν βξήθακε καδί κε ην εδίν νξηζκνύ ηεο f, ζλαιήζεζε ηειηθά:, α. Πξέεη: ln( 5) 0 ln( 5) ln 5 6 Ζ ζλαιήζεζε ησλ ζρέζεσλ κν δίλεη: β. Πξέεη (5,6) (6, ) A f (5,6) (6, ) A f (,) κν δίλεη σο ln( ) f () ln( ) ln( 5) ln( ) ln( 5) ln( 5) Γ άξα, 5 9 δεθηή νόηε =9. 4 ανξξίηεηαη

255 55 γ. ln( ) f () g() ln( 5) όν 6 5 ln( 5) ln ln( 5) 0 Οόηε νιιαιαζηάδνκε ηα κέιε ηεο αλίζσζεο κε ln( 5) ν είλαη ζεηηθό θαη δελ αιιάδεη ε θνξά ηεο αλίζσζεο: ln( ) ln( 5) Ζ ιύζε ν βξήθακε καδί κε ηνλ εξηνξηζκό >6 κν δίλεη σο ζλαιήζεζε: > α. Πξέεη: 0 ή Άξα A f,, β. Πξέεη: f() log α α α γ. Πξέεη:,, f () ( log 7) log( ) log 7 log( ) log ανξ. ή 5 δεθηή άξα = Έρνκε: α. 4 4 f(e) 5 α(lne) 8(lne) lne 5 α 8 5 α 4 5 α 5 4 α β. Πξέεη >0 4 4 f () 0 (ln ) 8(ln ) ln(e ) 0 (ln ) 8(ln ) (ln e ln ) (ln ) 8(ln ) (ln e ln ) 0 (ln ) 6(ln ) 8(ln ) 0 (ln ) (ln ) 6 8ln 0 (ln ) 0 ln 0 ln ln δεθηή ή 4 (ln ) 8ln 6 0 (ln 4) 0 ln 4 0 ln 4 e δεθηή 4 e 747. Οη αξηζκνί

256 56 log, log ( ), log( 5) είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο ξνόδν άξα ξέεη: θαη 5 0 ηζρύεη γηα θάζε θαη ζα ηζρύεη: log ( ) log ( 5) log ( ) log( 0) ( ) 0 ( ) σ σ σ α. Πξέεη: β. i. Έρνκε ii. Έρνκε Γ=9+6=5 σ, 5 σ σ 4 δεθηή ανξ. σ 4 δεθηή. α α 0 ν ηζρύεη γηα θάζε α * 00 f () σ0 σ σ 0 0 Γ 40 8 σ, σ θαη Πξέεη >0. 9 σ 0 δεθηέο. σ 0 σ άξα 0,0 log f(log ) log log log0 0 γ. Δεηδή νη ζλαξηήζεηο logα θαη α έρνλ γξαθηθέο αξαζηάζεηο ζκκεηξηθέο σο ξνο ηε δηρνηόκν ηεο εο θαη εο γσλίαο, ζα ξέεη λα ηζρύεη: 749. α. Πξέεη: α 9 α 0 α α 0 e 0 e σ 0 e 0 (e ) e 0 σ σ 0 e Γ 98 σ, σ δεθηέο σ

257 57 άξα 0 0 σ 0 e e e 0 ή άξα β. Πξέεη Af σ e lne ln lne ln ln A f (,0) (ln, ) f () ln( ) f () ln( ) ln e ln e ln( ) e ln e ln e ln ln e e ln e e (ln ) e σ0 (e ) e (e ) e 0 0 σ σ δεθηή Γ=9+40=49 σ, ανξ. άξα σ 5 e 5 lne ln5 lne ln5 ln5 είλαη δεθηή γηαηί ξέεη A όν (ln, ) γηαηί ln5 ln 5 ν f ηζρύεη εθόζνλ ε ζλάξηεζε ln είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην εδίν νξηζκνύ ηεο Πξέεη: log78 log log 8 ( ) log 8 ( ) log78 log log log 8 ( ) log(78 ) δεθηή εθόζνλ γηαηί: 0 γηα θάζε. 75. α. Δίλαη: log log log( ) log 6 log 6 log 6 log,6 log,6 log0 log(,6 0) log6 log 6 log 6 log 6 β. γηαηί 5 0 θαη γηα θάζε. Δίλαη:

258 58 log log(5 ) log(5 5) log log0 log(5 ) log(5 5) 4 00 log 4 log0 log(5 ) log(5 5) log log(5 ) log(5 5) ln 505 log (5 ) log(5 5) 5 5 σ0 ( 5 ) (5 ) σ 48σ δεθηή Γ= =6504 σ, 4 ανξ. άξα σ α. Έρνκε: β. 4(5 5 5 ) 5( ) ,5 44 e ln ln (ln ) ln e ln ln ln ln ln ln ln ln ν ηζρύεη γ. Πξέεη 0 0 log log ( ) 9 log( ) log ( ) 9 6log( ) log ( ) 9 log ( ) 6log( ) 9 0 log( ) 0 log( ) 0 log( ) log( ) log0 log( ) log δεθηή. 75. α. εκ ζλ ζλ εκ εκζλ ζλ ( εκ ) εκ ζλ(εκ ) εκ εκ ζλ(εκ ) εκζλ(εκ ) ζλ(εκ ) εκ(εκ ) 0 (εκ )(ζλ εκ) 0 εκ 0 εκ εκ εκ εκ 6 5 θ, θ Ε ή θ θ ζλ εκ 0 ζλ εκ δηαηξώ κε ή ζλ 0 θ, θ Ε

259 59 εκ εθ εθ εθ θ, θ Ε δεθηή ζλ 4 4 β. σ0 8 4 ( ) ( ) 0 σ σ σ 0 σ(σ σ ) 0 σ 0 ανξ. ή σ σ 0 Γ=9 σ, δεθηή ανξ. σ 0 γ. Πξέεη log( ) σ log( 0) log( ) 6 log 0( ) log( ) 6 log0 log( ) log( ) 6 log( ) log ( ) 6 0 σ σ α. 5 Γ=5 σ, σ log( ) log0 log( ) log δεθηή 0 δεθηή 000 σ log( ) log0 log( ) log () R Γηαηξέηεο ην :,,, 4, 6, Παξαηεξώ όηη ε εμίζσζε εαιεζεύεηαη γηα, άξα θάλσ ζρήκα Horner κε ξ θαη ε εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη: ( )( 7 ) 0 0 δεθηή ή 7 0 Γ=, β. Π(t) ln t 8 ln(t ) Αξθεί λα δείμνκε όηη 7 4 δεθηέο. Π(t)=0 γηα 8 e e sec άξα γηα 8 e t e είλαη:

260 60 8 e 8 e 8 e 8e 8 8 e e ln 8 ln ln ln e e e e 7e ln ln ln e ln ln e ln e e e e e e 0 ηζρύεη. Παξαηεξνύκε όηη ε εμίζσζε: t t t 9 9 γ(t) 6 5, t 0 έρεη ηε κνξθή ηεο (), αιά όν έρνκε t 9. Άξα ξέεη: t t 9 ανξ. 9 Γηα λα γιηηώζεη ην νληίθη ξέεη: t 4 t 6s δεθηή 9 t t 7s δεθηή 9 8 e 7 e 8 e 7e e 55 8e e e e, 96 ηζρύεη 755. α. Πξέεη: log 4 log log log log 4 log log log(4 ) ( ) 0 0 ( 0 γηα θάζε R ) β. Γηα = έρνκε: log 4, log, log γ. Έρνκε: σ log log 4 log( ) log log log log log log σ log α α ( )σ α log 4 0 log α log 5log α log 5log α log

261 Έρνκε: α. 4 7 log 4 log log 9 8 log8 log log β. Έρνκε: άξα εκ εκ 0 εκ 0 εκ εκ0 θ θ θ, θ Ε θ (θ ) θ κε θ Ε. Πξέεη: θ 0, θ 0 θ θ 0 ή θ ή θ γηα θ=0: = α. Πξέεη: άξα γηα θ=: γηα θ=: = ln 0 ln ln e ln e A f (0,e) (e, ) β. Έρνκε: f () ln ln ln ln e ln ln e ln δεθηή e γ. Έρνκε: f ( e) f ( e) ln e ln e ln e f (e ) f (e ) ln e ln e 758. α. Πξέεη: Άξα f ( e) f (e ) 0 ηζρύεη γηα θάζε R θαη

262 6 0 άξα A (, ) f β. Έρνκε: f () log log log( ) log ( ) log log( ) log log log log log log f ( ) log γ. Έρνκε: log log f () log9 log σ ( ) 0 9( ) σ 5σ δεθηή 5 Γ=5+6=44 σ, 6 4 ανξ. 4 Κάλνκε ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα: 0 σ Ζ ιύζε ν βξήθακε ζε ζλαιήζεζε κε ην εδίν νξηζκνύ ηεο f ν είλαη καο δίλεη:, A (, ) f 759. α. Πξέεη: β. Ζ C f δελ ηέκλεη ηνλ άμνλα y y γηαηί ην Ζ C f ηέκλεη ηνλ άμνλα γηα y=0: άξα 0A f (. ) A (, ) f f () 0 ln( 8) ln 8 9 ln ln 9 ln ln 9 ln 9 ln

263 6 Πξέεη: άξα ε γ. Πξέεη: ln 9 ln 9 ln 9 ln Af ln ln 9 ln ln e ln 0 C f ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν 9>8 ν ηζρύεη. ln 9 A,0 ln e ln ln 9 ln 9 ln 9, ln 0 ln ln ln( 8) ln f () ln ln α. Γηα ηελ f: Πξέεη 0 e e e 0 e 0 e Γηα ηελ g: Πξέεη άξα A (0, ) f e 0 e 0 e ln e ln ln e ln e 0 ln ln Ag ln, όν Af Ag ln, γηαηί ln 0. β. Έρνκε: f () g() ln(e ) ln e ln(e ) ln e e σ0 ln(e ) ln(e ) e e e e 0 σ σ 0 δεθηή Γ=+8=9 σ, ανξ. άξα σ e lne ln lne ln ln Γηα λα είλαη ε ιύζε δεθηή ξέεη: ln ln ln ln ln ln 4 e γ. Έρνκε ηζρύεη άξα =ln.

264 Πξέεη: 64 ln ln ln, ln e e e e : e 0 e ln(e ) ln e f () g() e e ςώλσ ζην ηεηξάγσλν 76. α. β. Έρνκε: (e ) e e e e e 4 e e ln e ln ln e ln ln ln Δεηδή ln ε ηειηθή ιύζε ηεο αλίζσζεο είλαη >ln άξα (ln, ). α f() α α 0 σ0 f () f () 0 σ σ 0 δεθηή Γ=+8=9 σ, ανξ. 0 σ 0 εκ f (εκ) εκ εκ εκ εκ άξα 6 θ, θ Ε 6 ή 76. α. Πξέεη: β. Έρνκε: 5 θ θ, θ Ε , e ln 0 ln άξα A (0,e) (e, ) ln f () ln ln ln ln e e ln γ. Πξέεη: ln ln σ f () 0 0 ln ( ln ) 0 σ( σ) 0 σ 0, σ ln Κάλνκε ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα: δεθηή

265 65 ln ln ln e 0 σ 0 ln e e Ζ ιύζε ν βξήθακε ζε ζλαιήζεζε κε ην εδίν νξηζκνύ ηεο f A (0,e) (e, ) κν δίλεη ηειηθή ιύζε: e (,e) 76. α. Γηα θάζε R ξέεη: f () ηζρύεη δηόηη β. Έρνκε: γ. Έρνκε: 0 0 γηα θάζε R f () 0 5 f () ή α. Έρνκε: β. Θέησ Άξα (, 6) ( 6, ) 6 6 ge g(e ) ge εκ ln e εκ(ln e ) εκ ln e εκ εκ εκ 0 ηζρύεη 6 θ y 0 g() 0 εκ(ln ) 0 ln θ, θ Ε e, θ Ε άξα ηα ζεκεία ηνκήο είλαη: θ Α(e,0), θ Ε γ. Έρνκε: g() h() εκ(ln ) ζλ(ln ) ζλ(ln ) εκ(ln ) ή ζλ(ln ) εκ( ln ) ζλ(ln ) ζλ ln ln θ ln αδύλαηε 765. α. Πξέεη: 5 ln θ ln ln θ ln θ 5 5 θ 4 ln θ e, θ Ε 4

266 66 β. Έρνκε: 0 e e e 0 e 0 e άξα A (0, ) f ln(e ) ln f () 0 e e ln e ln ln e Δεηδή ln>0, ε ιύζε ν βξήθακε ζε ζλαιήζεζε κε ην εδίν νξηζκνύ >0, κν δίλεη: ln (ln, ) γ. Έρνκε: δ. Έρνκε: ln5 ln f(ln 5) f(ln ) ln(e ) ln(e ) ln(5 ) ln( ) ln 4 ln ln 4 ln ln 4 ln 4 ηζρύεη f () f () ln(e ) ln(e ) ln e ln(e ) ln (e )e e σ0 e e e e e ee e 0 σ eσ e 0 Γ ( e) 4(e ) e 4e 4 (e ) 0 νόηε: σ, e e e (e ) e δεθηή e (e ) e e δεθηή σ e e e ln e ln(e ) ln(e ) δεθηή γηαηί e ln(e ) 0 0 σ e e 0 ανξξίηεηαη α. Πξέεη: β. Έζησ, (, ) κε: άξα A (, ) f log(0 ) log(0 ) f ( ) f ( ) άξα ε f είλαη γλεζίσο αύμνζα ζην (,+ ).

267 67 γ. > f () log log(0 ) log log(0 ) log δεθηή Α4. > f () log(0 ) όκσο 767. α. Έρνκε: άξα ηειηθά (,). σ0 f () f () 0 σ σ 0 Κάλνκε ζρήκα Horner γηα ξ= ν είλαη ξνθαλήο ξίδα ηεο εμίζσζεο θαη ε εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη: (σ)(σ σ ) 0 () Σν ηξηώλκν σ σ έρεη δηαθξίλνζα: Γ άξα σ>0 έηζη ε ζρέζε () ηζνδύλακα γίλεηαη: σ σ 0 γηα θάζε άξα 0, 0 σ 0 σ 0 β. Έρνκε: 0 log f (0) log f () log f () log( ) log( ) log( ) log log 4 log 8 log f () log( ) log 4 log log 8 log log log log log log log γ. Έρνκε: ln f (0) f () f ()... f (99) f (50ln ) ln 99 50ln () Σν ξώην κέινο ηεο ζρέζεο () είλαη άζξνηζκα 99 ξώησλ όξσλ γεσκεηξηθήο ξνόδν κε α θαη ιόγν ι= άξα: λ 99 ι 00 Sλ α S99 S99 ι

268 68 έηζη ε () γίλεηαη: 00 50ln 00 50ln 00 50ln ln e δεηθή α. Πξέεη: 0 άξα A f (, ) β. > f () 0 ln( ) 0 ln( ) ln( ) e e δεθηή. γ. Έρνκε: f () 0 ln( ) 0 ln( ) ln( ) e e Κάλνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκσλ ηεο f. Ζ C f είλαη θάησ αό ηνλ άμνλα όηαλ: f() 0 (, e ) 769. α. Πξέεη: άξα 0 ή A f (, ) (, ) β. Έρνκε: γ. Af f () log00 θ log( ) log0 θ log(4 ) log0 θ log θ 000 f () y log( ) log log( ) (log log000) log( ) log0 log( ) log0 log( ) log( ) log0 0 δεθηέο Σα ζεκεία ηνκήο είλαη: Α(,) θαη Β(,) A δ. Έρνκε: f f () log( ) log( ) 0 log( ) log 4 4 ή Κάλνκε ηε ζλαιήζεζε κε ην A f άξα: (, ) (, )

269 α. Πξέεη: άξα e 0 e e ln e ln ln e ln ln ln A ( ln, ) β. Έρνκε: ή f 0 f (0) 0 ln(e ) log α 0 ln log α 0 log α 0 log α log α log α log0 α 0 δεθηή logα α 0 α ανξ. γηαηί α>. 0 γ. Γηα α=0 ε f() γίλεηαη: f() ln(e ) log 0 ln(e ) ln(e ) Έηζη ε εμίζσζε γίλεηαη κε ln : άξα e σ 0 ln(e ) e e e e e 0 σ σ δεθηή Γ=+4=5 σ, 4 4 ανξ. σ e ln e ln ln e ln ln ln ln ln>0 εθόζνλ >. ln f () 0 ln e ln(e ) 0 ln e ln(e ) ln e σ 0 δεθηή γηαηί ln e (e ) ln e e e e 0 σ σ 0 Κάλνκε ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα: 77. α. Έρνκε: δεθηή Γ=+8=9 σ, 4 ανξ σ e e 0 γηαηί ln>0 (εθόζνλ >) ln άξα ln 0 έηζη 0, θ θ θ θ θ θ () θ θ θ

270 Θέησ θ σ 0, έηζη ε () γίλεηαη: 70 σ 9σ 99σ 8 0 Κάλνκε ζρήκα Horner κε ξ= ξνθαλή ξίδα ηεο εμίζσζεο θαη ε εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη: θ 0 (σ)(σ 8σ 8) 0 σ 0 σ δεθηή θ 0 ή θ σ 8σ 8 0 (σ9) 0 σ9 0 σ 9 δεθηή θ ζλ ζλ ζλ β () Παξαηεξνύκε όηη ε εμίζσζε () έρεη ηελ ίδηα κνξθή κε ηελ () αιά όν θ έρνκε ζλ, άξα ζα έρεη ηηο ίδηεο ιύζεηο κε ηελ (), έηζη: Γηα θ=0: ζλ 0 ζλ ζλ θ, θ Ε ή ζλ= ανξξίηεηαη γηαηί ζλ 0, 0 θ 0 θ 4 θ θ θ 0, θ Γηα θ=: 77. α. Πξέεη:. e 0 e ln lne ln lne ln άξα A f (,ln ) β. <ln γ. <ln e σ0 f () ln( e ) e e e e 0 σ σ 0 δεθηή Γ=+8=9 σ, ανξ. 0 σ e e 0 δεθηή γηαηί ln>0 εθόζνλ >. f () ln(e ) e e e e e e e e e e 0 0 ln (0, ln ) 77. α. Γηα ηελ f: Πξέεη άξα A f,. Γηα ηελ g: Πξέεη R άξα Ag R. 4 0, ην ννίν ηζρύεη γηα θάζε R, γηαηί 0 γηα θάζε

271 7 β. f () g() log( 8) log(4 ) σ 0 0 σ σ δεθηή Γ=+48=49 σ, ανξ. Κάλνκε ην ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα σ 4 νόηε (, ). γ. Πξέεη f g() log( 8) log(4 ) log( 8) log(4 ) ( 8) σ0 σ 7σ Γ σ, δεθηέο 5 log σ log log log log δεθηή γηαηί log log log log log log 8 log ηζρύεη. log5 σ 5 5 log log5 log log5 ανξξίηεηαη γηαηί log log α. Έρνκε: log5 log log5 log 5 8 log δελ ηζρύεη. 4 () ( ) 0 5 Γ=9+6=5 4, άξα θαη εκ εκ β. 4 () Παξαηεξνύκε όηη ε εμίζσζε () έρεη ηελ ίδηα κνξθή κε ηελ εμίζσζε () αιά ζηε ζέζε ην, έρεη εκ, άξα ζα ηζρύεη:

272 7 5 εκ εκ εκ θ ή θ θ, θ Ε θαη εκ ανξξίηεηαη γηαηί εκ 775. α. Έρνκε: () σ σ 6σ 9σ 4 0 Κάλνκε ζρήκα Horner γηα ξ= ν είλαη ξνθαλήο ξίδα ηεο εμίζσζεο θαη ε εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη: 0 (σ)(σ 5σ 4) 0 σ 0 ή σ 5σ 4 0 Γ σ, 5 4 δεθηέο σ 4 θαη 0 σ 0 δηιή ξίδα. ζλ ζλ ζλ β () Παξαηεξνύκε όηη ε εμίζσζε (), έρεη ηε κνξθή ηεο εμίζσζεο (), αιά ζηε ζέζε ην έρεη ην ζλ, άξα ζα έρεη ηηο ίδηεο ξίδεο: θ ζλ 0 ζλ ζλ θ, θ Ε 4 θαη ζλ= αδύλαηε γηαηί ζλ θ 6, θ θ 8 θ 7 θ θ, θ Γηα θ=: Γηα θ=: α. Γηα ηελ f ξέεη: 0 e 0 e e e 0 0. Άξα A f (0, ) β. Γηα ηελ g ξέεη: e 0 0 () θαη f () 0 ln(e ) ln e e ln e ln ln ln e ln ()

273 7 Οη ζρέζεηο () θαη () κε ζλαιήζεζε κν δίλνλ ln A g, γ. Πξέεη: ln θαη e 0 ηζρύεη γηαηί ln (ln>0 γηαηί >) άξα 0 γηα θάζε R. g () ln(e ) f () ln(e ) f () ln(e ) e σ 0 ln(e ) ln(e ) e e e e 4 0 σ σ α. Πξέεη: 5 4 δεθηή Γ=9+6=5 σ, ανξ. σ 4 e 4 lne ln 4 lne ln 4 ln 4 δεθηή γηαηί ln ηζρύεη. ln 4 ln 4 ln ln 4 ln άξα A f (0, ) σ σ 7σ δεθηή Γ=49+=8 σ, ανξ. β. Πξέεη: >0 θαη γ ηζρύεη γηαηί σ 8 0 γηα θάζε R f () ln(5 9) ln( ) ln(5 9) ln( ) ln(5 9) ( ) σ0 σ 7σ 8 0 Ζ εμίζσζε έρεη ξίδεο ην 8 θαη ην ν ανξξίηεηαη. Κάλνκε ην ηλαθάθη άξα 778. α. Πξέεη: β. άξα 0, 0 σ άξα A f (, ) 4 f(4) ln( 8) ln(6 8) ln8 ln ln Πξέεη >. f () f (4) ln ln( 8) ln ln ln( 8) ln ln 5 ln( 8) ln(8 ) δεθηή 779. α. Σν όινην ηεο δηαίξεζεο ηεο f() κε ην + ηζνύηαη κε 4 άξα:

274 74 logζ log ζ f ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 β. γ. logζ logζ log ζ log ζ log0 ζ 0 log0 log 0 log0 f () 4 ( ) f () f() 0 0 Κάλνκε ζρήκα Horner κε ξ= ν είλαη ξνθαλήο ξίδα ηεο αληίζηνηρεο εμίζσζεο θαη ε εμίζσζε ηζνδύλακα γίλεηαη: ( )( ) 0 Βξίζθνκε ηηο ξίδεο ην θάζε αξάγνληα ηεο αλίζσζεο: 0 θαη 0 Γ=+8=9, Κάλνκε ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα:, 780. α. Πξέεη: 4 0 ηζρύεη γηαηί 4 0 γηα θάζε R θαη β. Πξέεη >. άξα A f (, ) f () log log(4 ) log( ) log0 log log log σ σ 5σ 4 0 Γ αδύλαηε. γ. f () 0 log(4 ) log( ) 0 log(4 ) log( ) ην ννίν ηζρύεη γηαηί γηα >: 78. α. Πξέεη: ( ) θαη ( )( ) 0 Βξίζθνκε ηηο ξίδεο: 0 θαη 0 Κάλνκε ην ηλαθάθη γηα ην ξόζεκν άξα Πξέεη (,) A f (,)

275 75 6 δεθηή f () ln ln ln ( ) 6 β. Πξέεη (,) f () 0 ln ln 0 0 (,0) γ. Πξέεη (,) e e f (e ) f () ln ln ( e ) e e 4 e 9e 6 6e e 6 6e e e ln e ln 9 9 ln e ln ln ln δεθηή γηαηί ξέεη: ν ηζρύεη. ln ln ln e ln ln e ln e ln ln e e e 78. α. Θέηνκε e y 0 ε f()=0 γξάθεηαη y y 0 y y 0... (y )(y y ) 0 y θαζόζνλ y y 0 Γ 7 0 Άξα e 0 β. Πξέεη Άξα f() 0 y θαζόζνλ y y 0 γηα θάζε yr (Γ 0) 0 e e e 0 γ. Έρνκε f( )= ( ) ( ) ( )(( ) ( ) e e e e e e e e e ( )(( ) ( )(( ) 0 δηόηη e e 0 e e e e e e

276 76 ΛΤΕΙ 4 ΘΕΜΑΣΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΩΝ o Θ έ μ α Β Β. Ζ ζλάξηεζε f είλαη ηεο κνξθήο ξεκ(α) άξα ην κέγηζηό ηεο ma είλαη ξ θαη ην ειάρηζην min είλαη. Δίζεο ε εξίνδνο είλαη Β. T 6. α f () εκ εκ εκ εκ 6 θ 6θ, θ Ε θ θ 6θ, θ Ε θ 6θ θ θ θ 6θ θ Αδύλ. Θ έ μ α Γ Γ.Έρνκε Ρ()=0, θαη αθνύ ε δηαίξεζε ην P() κε ην + αθήλεη όινην, έρνκε: Ρ( ). Οόηε: Ρ() 0 α (β ) β 6 0 α β α Ρ( ) α (β ) β 6 α β 6 β 4 Γ.Γηα ηηο ηηκέο α= θαη β=4 ην νιώλκν P() γξάθεηαη: Γ. Πξέεη: Άξα A (, 0) Γ. Πξέεη: P() 0 0 ( ) ( ) 0 P(). ( )( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( 5 ) 0 ή ή Θ έ μ α Δ 0 e 0 e e e 0 θαη 0 f() g() ln( e ) ln( ) ln( ) ln( e ) ln( e ) ln e e e e e ln e ln( e) ln( e) Όκωο e 0 ενκέλωο ν ινγάξηζκνο ln( e) δελ νξίδεηαη.

277 77 Δνκέλωο ε αξρηθή εμίζωζε δελ έρεη ιύζε, άξα ε f θαη ε g δελ έρνλ θνηλά ζεκεία. Γ. f () ln ln( e ) ln( ) ln ln( e ) ln( ) ln ln( ) ln( e ) ln( e ) ln e e e e e e ln e e ln e e e Β. Ηζρύεη: o Θ έ μ α Β P( ) 0 ( ) α( ) β( ) 6 0 α β 6 0 α β 7 () P() 8 α β6 8 α β 6 8 α β () Με ξόζζεζε ηωλ () θαη () έρνκε: α 4 α. () β 7 β 5 Β. P() Δθηεινύκε ην ζρήκα Horner κε ην : Άξα ε εμίζωζε γίλεηαη: 0 ή 6 0, Β. Γηα έρνκε: ( )( 6) P() ( )( 6) ( )( )( ) ( ) Δεηδή ηειηθά: (,] Γ. Έρνκε: Θ έ μ α Γ

278 78 ι 4 D ι ι 0 5 ι 4 D ι 4 ι 5 ι ι Dy ι 5 5 Αλ 9 ι ι 5 D 0 ι ι 0 0 ι, Αλ ι=4 ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: Άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. Αλ ι 5 ηόηε ην ζύζηεκα γίλεηαη: Άξα ην ζύζηεκα είλαη ηαηόηεηα. Αλ D 0 ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: Γ. Γηα ι= έρνκε: Γ. Έρνκε: Όκωο Γ4. D ι 5 ι 5 D ι ι 0 (ι 5)(ι 4) ι 4 4 4y y, y 5 5y 4 5 (α,β), y 4 5 4y 5 4y, 5 4y 5 4y D ι 5 y ι ι 0 y D ι 4 εκθ ( ) εκ θ ζλ θ 4 4 ζλθ εκ θ ζλ θ άξα νδεγνύκαζηε ζε άηνν. Άξα δελ άξρεη ηέηνηα γωλία θ ν λα ηθαλννηεί ηε ζρέζε καο. αe βe 0 e e 0 e e 6 0 Θέηνκε e ω : ω ω6 0 ω ή ω θαζόζνλ ω ω 6 0 ω ή ω. Άξα ω e αδύλ. ή ω e ln

279 79 Γ5. αζλt β εκ t ζλt ζλ t ζλt ζλ t Θέηνκε ζλt ζλt ζλ t ζλ t ζλt 0 ω : νόηε έρνκε ω ω 0 ω ή ω ω ζλt ζλt ζλ t θ, θ Ε i. ii. 0 t 0 θ θ θ θ 0 t t 0 θ θ θ αδύλ. 6 6 ω ζλt ζλt ζλ t θ, θ Ε Γ. Έρνκε i. ii. 0 t 0 θ θ 0 θ 0 αδύλ. 0 t 0 θ θ θ αδύλ. Θ έ μ α Δ Άξα: Γ. Πξέεη: ( )( 5) ( )( ) 0 0 ή 0 Άξα A (, ) (, )

280 80 Γ. f ( ) f () ln(e) ln 5 ln ln ln(e) ln 5 ln e ln ( )( )( ) ln e ( ) 5e 5 ( )( ) ( )( 5) 0 νόηε 0 ή Γ4. Πξέεη: Β. Ηζρύεη: 5 0 αδύλ. f () ln ln 4 o Θ έ μ α Β 4 P( ) ( ) α( ) β( ) 6( ) 0 α β 6 0 α β 5 α β 5 () P() 4 α β 6 4 α β () Με ξόζζεζε ηωλ () θαη () έρνκε: α 8 α 4 () 4β 5 β Β. i ii. 4 P() ( 5 6)( ) ,

281 Άξα [, ] [, ] 0, 8 Θ έ μ α Γ Γ. Πξνθαλώο ην εδίν νξηζκνύ είλαη ην R. Δίζεο ηζρύεη όηη ην κέγηζην ma είλαη 5+=8 θαη ην min 5. Γ. Έρνκε: 0εκ Άξα εκ ζλ( ) ζλ() ζλ() ζλ() f () 0εκ εκ ζλ( ) 5 ζλ() ν ηζρύεη. 6 Γ. f() 5 5 ζλ() 5 ζλ() 0 ζλ() 0 θ ζλ() ζλ θ, θ Z 4 Γ. Γηα ηελ f έρνκε: Άξα ω 7 e 7 Γηα ηελ g έρνκε: Άξα e 5e 4 0 Θ έ μ α Δ. Θέηνκε ω 5ω 4 0 ω, e ω άξα 59 ω ω 7 αδύλ. ή ω 5ω 4 0 ω e ln. Άξα A f (ln, ) e 0 e e ln ln ln ln A (ln, ) g Γ.Έρνκε g() ln( e ) ln( e ) ln e ln[e ( e )] ln(e e e ) ln(e ) (Γ) e 5e 4 (e 7)(e ) f () g() ln(e 5e 4) ln(e ) ln ln ln(e 7) e e

282 8 Γ. f() g() ln f() g() ln ln(e 7) ln 9 Γ4. e 7 9 e ln αδύλ. f() g() f() g() 0 ln(e 7) ln e 7 e 6 ν ηζρύεη γηα θάζε A f,ag. Δνκέλωο ε γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f είλαη άληνηε άλω α αηήλ ηεο g. 4o Θ έ μ α Β Β. Αθνύ είλαη ίζα ηα νιώλκα έρνλ ίζνο ηνο νκνηνβάζκηνο ζληειεζηέο ηνο. Άξα: α α α θαη Άξα (5β) β 4 5 β β 4 β 9 β P() 4 Β. Κάλνκε Horner κε ην : 4 0 Άξα P() ( )( ). Τνινγίδνκε ηε δηαθξίλνζα ην Δνκέλωο ην P() δελ έρεη άιιε ξίδα. Β. : (B) P() ( )( ) 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) Γ ( ) 4 0 κε. 0 γηα θάζε R αθνύ Γ<0 νόηε 0 ( ) Άξα (, ) Γ. Γηα ηελ εξίνδν έρνκε: Γ. Έρνκε T α Θ έ μ α Γ ma ην κέγηζην ηεο f. min ην ειάρηζην ηεο f. f ζλ ζλ 4 f ζλ ζλ 0 9 9

283 8 f ζλ ζλ 6 6 Γ. Έρνκε: Άξα f f f ( ) 4 Άξα ξ. Έηζη: f () ξ 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ θ ζλ ζλ0 θ 0 0 θ θ 0 0 Γ. Πξέεη: Θ έ μ α Δ ln ln ω 0 ln 0 ω 0 ω ω ln ln ln e e ω ω e ω ln ln ln e >0. Άξα Af 0, (e, ) e ln (ln ln e ) Γ. f ln e ln e (0 ) 8 ln ln ln8 ln ln ln ln ln Γ. ln 8 ln 8 f () f ln ln e Β. Ηζρύεη: ln 8 ln 9 ln ln ln e ln ln e e ln ln ln e e 5o Θ έ μ α Β P( ) 0 ( ) ( ) α( ) 0 α 0 α Β. P()

284 84 i. P() 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. P() 0 ( )( ) 0 ηλαθαθη λα γηλεη Άξα [, ] [, ) Γ. Θέηνκε ζλ=ω: Γ. Ηζρύεη: 5ω 7ω 6 0 ω, Θ έ μ α Γ 7 ω ζλ αηνν ω ζλ εκ ζλ εκ εκ εκ εκ εκ εκ Δεηδή ζα ξέεη εκ>0. Άξα 4 εκ 5 4 εκ 5 4 εθ ζλ 5 Γ. ζλ( ) εκ(7 ) ζλ εκ( ) ζλ εκ A εθ( ) εθ εθ Γ. i. Γηα θάζε >0 έρνκε: 4 ζλ εκ εθ Θ έ μ α Δ log log5 log log5 f() g() 5 log5 log log log5 log5log ii. Γηα θάζε, y>0 έρνκε: log(y) log log y log log y f( y) f() f(y).

285 85 iii. Γηα θάζε, y>0 έρνκε: iv. Γηα θάζε λ Ν έρνκε: log log y log log y 5 f () f 5 5 log y y 5 f (y) λ λ log λlog log λ λ f ( ) 5 5 (5 ) [f ()].. Γ. log log5 f () 5 4g() (5 ) 5 4. Αό ην Α.. ε ξνεγνύκελε ζρέζε γξάθεηαη: Άξα: Έρνκε: ω 4ω 5 0 ω 5 ή ω ανξ. log log (5 ) Θέηνκε: log 5 ω 0. log 5 5. Ζ εθζεηηθή ζλάξηεζε είλαη, άξα: log log log0. Ζ ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε είλαη, άξα ηειηθά: =0. Γ. Πξέεη: >0 θαη Δνκέλωο: > Άξα >0 θαη ή >. log log( 4) f () f ( 4) 5 5. Ζ εθζεηηθή ζλάξηεζε κε βάζε 5 είλαη γλεζίωο αύμνζα, άξα: Ζ ινγαξηζκηθή ζλάξηεζε κε βάζε 0 είλαη γλεζίωο αύμνζα, άξα: Δεηδή, >, ηειηθά έρνκε: << o Θ έ μ α Β log log( 4). Β ζλ εκ εκ ζλ εκ ( εκ ) K εκ εκ 4 ζλ εκ ζλ ζλ (ζλ εκ ) ζλ ζλ εκ εκ εκ εκ εκ ( εκ)( εκ) εκ εκ εκ Β. 4 ζλ εκ ζλ εκ εκ εκ εκ Όκωο, εεηδή είλαη εκ. Άξα 5 Β. K εκ εκ εκ εκ εκ 0 () Έρνκε: K εκ K 5 5

286 Οόηε: 86 εκ εκ( ) εκ ζλ ζλ εκ εκζλζλ ( εκ )εκ εκζλ εκ εκ εκ( εκ ) εκ εκ εκ εκ εκ εκ εκ 4εκ () εκ 4εκ εκ 0 4εκ 4εκ 0 4εκ( εκ ) 0 4εκζλ 0 εκ 0 εκ εκ0 θ 0 θ ή θ 0 θ, θ Ε ή ζλ 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ, θ Ε Σειηθά εκ 0 θ, θ Ε ή Γ. Αθνύ ην P() είλαη ν βαζκνύ, ηόηε: ζλ 0 θ, θ Z Θ έ μ α Γ α 0 α α ή θαη α 0 α Σειηθά α=. Αθνύ ην είλαη ξίδα ην P(), ηόηε: Άξα α= θαη β=4. α 4 P() 0 ( ) ( ) 5 β 0 5 β 0 5 β 0 β 4 Γ. i. Γηα α= θαη β=4 ην P() γίλεηαη: Κάλνκε ηε δηαίξεζε: P():(+) P() Άξα, ε ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: ii. P() ( )( ) 8

287 Δθαξκόδνκε Horner γηα = Άξα 5 6 ( )( 6) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 0 ή 0 ή 0 iii. P() ( )( )( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 κε 0 Καηαζθεάδνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκν. Σειηθά, P() 0 [,) (, ] Γ. Πξέεη e e 0. Θέηνκε Θ έ μ α Δ e y 0 νόηε ε αξαάλω εμίζωζε γξάθεηαη: y y 0 θαη εεηδή Γ 8 0 ηζρύεη γηα θάζε y R Πεδίν Οξηζκνύ f=r Πξέεη 0 e 0 ή e ή e e ή >0. Πεδίν Οξηζκνύ g=(0,+ ) Γ. Ζ εμίζωζε f()=g(), (0, ) γξάθεηαη: ln(e e ) lm ln(e ) ή ln(e e ) ln(e ) ή e e e ή e 5e 6 0. Θέηνκε e y 0 νόηε: y 5y 6 0 y ή y άρα Γ. Ζ αλίζωζε f()>g(), (0, ) γξάθεηαη: Θέηνκε Άξα e ln ή e ln ln(e e ) ln(e ) ή e e 9e 8e 9 ή 8e 6e 6 0 e y 0 νόηε έρνκε: e ή ή 4e 8e 0 4y 8y 0 y ln ln ή ln ln θαη εεηδή (0, ) 7o Θ έ μ α Β 0 ln

288 88 Β. Αθνύ ην P() έρεη αξάγνληα ηνλ, δειαδή ην 0, ηόηε: P(0) 0 0 α 0β 0 β 0 β β Αθνύ ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην P() κε ην + είλαη, ηόηε : P( ) ( ) α( ) β α ( ) α α 4 α Β. Γηα α= θαη β, ην P() γίλεηαη: Κάλνκε ηε δηαίξεζε P():(+) P() Άξα () Καη ε ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: Β. 4 4 ( )( ) P() ( 4) 0 0 ή y ι Γ. Έρνκε y ι ι Θ έ μ α Γ D 0 Άξα, αθνύ D 0, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε γηα θάζε ι R. Γ. Βξίζθνκε D θαη D y : ι D ι ι ι ι ι ι ι ι Dy ι ι ι ι ι ι ι Δνκέλωο Σειηθά D ιι D 0 ι ι ( 0, y 0) ( ι ι, ι ι) Dy ι ι y0 ι ι D y 0 ( ι ι )( ι ι) 0 ι 6ι ι ι 0 4 Γ ι 5ι 6ι 0 ι (ι 5ι 6) 0 ι (ι )(ι ) 0 P(ι) 0

289 Καηαζθεάδνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκν. Σειηθά P(ι) 0 ι (, ] [, ) Γ. f () ln e e 89 ι=0 ή ι ή ι Θ έ μ α Δ e. Πξέεη e 0 e 0 0 (e )(e ) 0 e 0 e 0 e e e 0 0. Άξα D f (0, ). e e Γ. f () ln ln ln 4 e e Θέηνκε Άξα Γ. Θέηνκε Άξα e 4e 4 e 4e 5 0 e ω ω 4ω 5 0 (ω 5)(ω ) 0 ω 5 ή ω e 5 ln 5 ή e αδύλαηε. e e f () 0 ln ln e e e e 0 e e e ω ω ω 0 (ω )(ω ) 0 ω ή ω e ln ή e αδύλαηε. Σειηθά 8o Θ έ μ α B Β. Αθνύ ην P() έρεη αξάγνληεο ην + θαη ην άξα: Β. Ζ εμίζωζε P()=0 δειαδή e e 0 ln. P( ) 0 () δειαδή α β α P() 0 () α β 6 β έρεη αξάγνληεο ην + (άξα ξίδα ην ) θαη (άξα ξίδα ην ) νόηε κε ζρήκα Horner έρνκε: ( )( 4 4) 0 ( )( ) 0 ή Β. i. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο ζλάξηεζεο όηαλ =0 δειαδή P(0)=4 δειαδή ζην ζεκείν (0,4). P() 4 ηέκλεη ηνλ άμνλα y y

290 90 ii. Οη ηηκέο ην γηα ηηο ννίεο ε C είλαη θάηω αό ηνλ άμνλα είλαη νη ιύζεηο ηεο αλίζωζεο P()<0 δειαδή: Γ. Πξέεη 0 0 θαη 4 0 ( )( ) 0 Θ έ μ α Γ 0 ηζρύεη. Άξα f D (0, ) Γ. f () ln ln ln ln ln ln ln ln ln f () 0 ln ln ln 0 ln( ) ln 0 ln 0 ln( ) ln Αλ Αλ 0 ή ανξξίηεηαη 0 αδύλαηε. Άξα =. Γ. f () f ( ) ln ln ln (ln ln ln ) ln ln ln ln ln ln ln ln ln( ) ln ln ln ln ln(4) ln ln ln ln ln 4 ln ln 4 ln ln ln 4 ln ln ln ln ln ln ηζρύεη Θ έ μ α Δ Γ. Πξέεη 0 θαη 0 Άξα ην εδίν νξηζκνύ είλαη: D R, f. Γ. Γηα λα είλαη άξηηα ή εξηηηή ξέεη γηα θάζε Df θαη ην Df, ην ννίν ηζρύεη εκ( ) εκ( ) εκ εκ θαη ζα βξνύκε ην f ( ) f ( ) f () Δνκέλωο f άξηηα. Γ. Γηα λα δηέξρεηαη αό ην ζεκείν Α(0,) ξέεη: f(0)=. εκ0 εκ0 0 0 f (0) ηζρύεη. 0 0 Γ4. Πξέεη 0 θαη 0 εκ εκ f ()

291 9 (εκ) ( εκ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) εκ εκ εκ εκ 0 εκ 0 (εκ ) 0 0 ή εκ εκ εκ εκ θ ή θ θ, θ Z 9o Β. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: Θ έ μ α Β P() 0 4 θ 0 4θ 0 θ 4 θ ή θ Β. i. Γηα θ= ην P() γίλεηαη: P() 4 4 Δθαξκόδνκε Horner γηα : Άξα =6 θαη ii. () P(ζλζ) 0 ζλ ζ ζλ ζ 4ζλζ 4 0 ζλ ζ(ζλζ ) 4(ζλζ ) 0 (ζλζ )(ζλ ζ 4) 0 ζλζ 0 ζλζ ή ζλ ζ 4 0 ζλ ζ 4 Άξα ζλζ ζλ0 ζ=θ 0 ζ=θ, θ Ε ή ζλζ αδύλαηε ή ζλζ αδύλαηε δηόηη ζλζ. Θ έ μ α Γ Γ. Γηα λα είλαη ε f γλεζίωο θζίλνζα ξέεη γηα ην f ( ) f ( ) Έρνκε: Άξα f f ( ) f ( ) 4 4 Γ. 4f () g()

292 Θέηνκε Άξα Γ. 9 ω θη έρνκε: ω 4ω 0 (ω)(ω ) 0 ω ή ω θαη f () 4 4 f 4 Γ. Πξέεη Γ. Γ. Γ Θ έ μ α Δ 0 0 θαη 0 Άξα D f (,) f ln ln ln ln ln 4 ln f (0) ln ln 0 0 f () ln ln ln ln 5 ln 5 5 f ( ) f (0) f () f ( ) f f ( ) 0 ln5 ln5 ln Κη εεηδή (αθνύ ln4<ln5) f ( ) ln ln f ( ) ln ln ln 5( ) 4( ) D f (,), ηειηθά (, ) Β. Γηα λα έρεη αξάγνληα ην, ξέεη: 0o Θ έ μ α Β P() 0 (θ ) 4θ 0 θ 4θ 0 θ 6 θ Β. i. Γηα θ=, ην P() γίλεηαη: Δθαξκόδνκε Horner γηα =: P() 8 P()

293 Άξα : ή 8 0 ( )( 5 ) , ii. Πξέεη: Άξα =, ή, ή P() ( )( 5 ) 0 Καηαζθεάδνκε ηνλ ίλαθα ξνζήκν. Σειηθά, P() 0, (, ) Θ έ μ α Γ Γ. Πξέεη 0 θαη 0. Σειηθά, D f (, ). Γ. Πξέεη: f (5) log 5 log(5 ) log(5 ) log 5 log 4 log log 5 4 log log0 log 5 log log0 log 5 log log 5 0 log log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 ηζρύεη. 5 Γ. f () 0 log( ) log( ) 0 log 9 log log Γ4. f() log5 log( ) log( ) log5 0 log log0 log 5 log log 5 log log 6 5 Θ έ μ α Δ Γ. i. Γηα λα έρεη κνλαδηθή ιύζε, ξέεη D 0.

294 94 εκζ εκζ D ζλ ζ εκζ D (εκζ ) εκζ εκζ εκζ D εκζ 0 εκζ ii. εκζ D 6 4 Dy εκζ εκζ εκζ ζλ ζ Άξα 0 D 4 D εκζ θαη y 0 Dy εκζ D εκζ 4 εκζ 4 εκζ εκζ Γ. 0 y0 ηζρύεη. εκζ εκζ εκζ εκζ 0 y0 0 y0 7 y0 y0 7 y0 y0 7 Γ. y0 7 y0 7 y0 ( ) 7 y 0 θαη Δνκέλωο: 0 8εκζ 4 8 8εκζ 4 εκζ εκζ 7 εκζ Όκωο θαη εκζ εκ ζ θ ή ζ θ, θ Ε ζ 0 θ θ θ θ θ 0. Άξα ζ θ θ θ αδύλαην δηόηη θ Ε Σειηθά ζ. 6 Β. Γηα λα έρεη ξίδα ην ξέεη: Καη γηα λα έρεη ξίδα ην ξέεη: o Θ έ μ α B 5 4 P() 0 θι 0 θ ι 5 4 P( ) 0 ( ) ( ) θ ( ) ι 0 θ ι 0 θ ι

295 Λύλνκε ην ζύζηεκα: Β. Γηα θ θαη ι ην P() γίλεηαη: Β. Έρνκε 95 θ ι θ θ, ι θ ι θ ι 5 4 P() 4 4 P() ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) P() ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 0 0 Q() ( ) ( )( )( )( )( ) 0 κε θαη Έρνκε, =,, =, Q() 0 (,), Θ έ μ α Γ Γ Γ. i. Ηζρύεη: f () 4ζλ 4 4 ζλ 4 4ζλ ζλ 6 f () 6 4 Γειαδή, ειάρηζηε ηηκή ην θαη κέγηζηε ην 6. ii. f () 0 4ζλ 0 4ζλ 4 4 Γ. Έρνκε i. ή ζλ ζλ ζλ 4 4 ζλ ζλ ζλ ζλ 4 4 θ θ θ, θ Ε θ 5 θ θ, θ Z ( )( ) 0 ή (,] [, ) i. Σν ξ=. Όκωο ξ (,] [, ).

296 Άξα ην δελ είλαη ιύζε αλίζωζεο. 96 ii. Ζ αλίζωζε 4, γηα =04 γίλεηαη: Άξα ην 04 είλαη κεγαιύηεξν ην 04 4 (04 [, )) Θ έ μ α Δ Γ. Πξέεη 0. Άξα D f (, ) Γ. Έρνκε Γ. Άξα f () log log log( ) log log log( ) log8 log log( ) log f () f() f () f() 0. Θέηνκε f()=ω θη έρνκε ω ω 0 (ω )(ω ) 0 ω ή ω= Δνκέλωο: f() log( ) log( ) log0 ω ω 0 0 log( ) log0, θαη log( ) log( ) log0 0 Σειηθά f () f() 0 (,,0] [, ) Γ4. log(f ()) 0 log(log( )) 0 log(log( )) log log( ) log( ) log0 0. Σειηθά (,] o Β. Κάλνκε ηε δηαίξεζε: Θ έ μ α Β α α α (α ) (α ) α 4 α Άξα () α θαη α. Ζ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη:

297 97 α ( )( α ) α Β. i. Γηα λα είλαη ην ξίδα ην P() ξέεη: P() 0 α 0 8 α 0 α α ii. Γηα α= ην P() γίλεηαη: Δθαξκόδνκε Horner γηα : P() νόηε P() Άξα: Σειηθά (, ) (, ) ( )( 5 6) 0 ( )( )( ) 0 ή ή Γ. Δθόζνλ ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην Θ έ μ α Γ P() 5εκζ ζλ ζ, κε ην ( ) είλαη, ηζρύεη: P() 5εκζ ζλ ζ ζλ ζ 5εκζ 0 ( εκ ζ) 5εκζ 0 εκ ζ 5εκζ 0 εκ ζ 5εκζ 0 () Γ. Θέηνκε εκζ=ω θαη ε () γίλεηαη: ω 5ω 0, Άξα εκζ ή εκζ αδύλαην ( εκζ ) Γ. Αό ηε ζρέζε: 57 ω 4 ω ω, εκζ εκζ εκ ζ θ ή ζ θ, θ Ε εκ ζ ζλ ζ ζλ ζ ζλ ζ ζλ ζ ζλζ 4 4 Όκωο, εεηδή ζ ηόηε ζλζ.

298 Γ. Άξα εκζ εθζ ζλζ f () ln(e αe ) 98 θαη Θ έ μ α Δ ζθζ εθζ ln(e e ) ln(e αe ) e e e αe e αe α Γ. Γηα α= ε f() γίλεηαη: Πξέεη: Άξα Γειαδή Γ. e e 0. Θέηω f () ln(e e ). e ω θη έρνκε ω ω 0 ω ω 0 (ω )(ω ) 0 ω ή ω e αδύλαην ή 0 e e e 0. Σειηθά D f (0, ) ln ln ln 4 f(ln ) ln(e e ) ln(e ) ln(4 0) ln 4 Γ4. Έρνκε ln ln ln f(ln ) ln(e e ) ln(e ) ln(9 ) ln0 f () f (ln ) f (ln ) ln e e ln 4 ln0 ln e e ln 4 ln0 Θέηνκε Άξα ln e e ln 40 e e 40 e e 4 0 e ω θη έρνκε: e 7 αδύλαηε ή Β. Έρνκε: Β. ω ω 4 0 (ω 7)(ω 6) 0 ω 7 ή ω=6. e 6 lne ln6 ln6 o Θ έ μ α Β 9 6( ) ι( ) 4( ) ι 4 4 ι P() Οη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ην P() είλαη,, 4. Με ηε βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner: Άξα P() 0 (6 )( ) , 0

299 99 Γηα ηνλ y y έρνκε Ρ(0)=4. Άξα ε ζλάξηεζε ηέκλεη ηνλ y y ζην ζεκείν Κ(0,4). Β. Με ηε βνήζεηα ην ίλαθα γηλνκέλν βξίζθνκε όηη ε C f ην νιωλύκν βξίζθεηαη άλω αό ηνλ γηα Γ. Πξέεη, (, ) Θ έ μ α Γ 0 Γ Άξα Δνκέλωο ην.ν. ηεο f είλαη Α=R. Γ. f(e ) ln(e ) ln(e e ) ln(e ) Θέηνκε Άξα Γ. e e e e e e 0 ω θαη ε αλίζωζε γίλεηαη Γ 98 κε ω ω 0 ω, ω ω 0, R ω ω 0 ω ή ω e ή e 0 ή ln 7 7 f(εκ) ln ζλ ln(εκ εκ ) ln ζλ 7 εκ εκ εκ εκ εκ 0 4εκ 4εκ 0 Θέηνκε εκ=ω Δνκέλωο Γ=6+48=64 εκ εκ εκ 6 ανξ ω 8 νόηε Θ έ μ α Δ θ 6 θ Ε θ 6 Γ. Γηα ηελ f ηζρύεη A, A δηόηη ην.ν. ηεο f είλαη Α=R. Δίζεο e e f ( ) f () άξα f άξηηα. Γ. Σν.ν. ηεο g είλαη ην R. Γηα θάζε, R έρνκε: e e () e e e e () Αό () θαη () έρνκε e e e e άξα e e e e g( ) g( ). Άξα ε g γλεζίωο αύμνζα.

300 Γ. 00 ln ln ln e e e g(ln ) 4 Δνκέλωο ε αλίζωζε γίλεηαη Γ4. Όκωο ην g g() g() g(ln ) ln. 4 e e f () ζλ ζλ e e ζλ e ζλ e θαη ζλ. Δνκέλωο ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν αλ γηα ηελ ίδηα ηηκή e e θαη ζλ= (). Όκωο e e () αλ θαη κόλν αλ e e e 0, γηα ηελ ννία ηζρύεη θαη ε (). Δνκέλωο ε ξίδα ηεο εμίζωζεο είλαη =0. 4o Θ έ μ α Β Β. Σν νιώλκν Ρ() έρεη αξάγνληα ην θαη ην όινην ηεο δηαίξεζεο ην κε ην είλαη ίζν κε, άξα: P() 0 α β 0 α β θαη P( ) α β α β. Πξνζζέηνκε θαηά κέιε ηηο εμηζώζεηο () θαη (), νόηε ξνθύηεη α 7 θαη β. Β. i. Γηα α 7 θαη β Με ζρήκα Horner έρνκε: είλαη: P Άξα είλαη 4 0 4,,. ii. Πξέεη: i. P 0 4, θαη 0 Δίλαη P P ή 0 ή

301 0 Αιιά εεηδή 4, νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο είλαη ή 0. Θ έ μ α Γ Γ. 5ζλα 4ζλα ζλ α 4ζλα 7 0 Γ ( 7) 45( 6) Γ. Αό ηελ ηαηόηεηα 4 4 εκα εκαζλα ζλα ζλ α ζλ α 4ζλα 0 5ζλ α 7ζλα 6 0 ζλα ανξ. 7 ζλα 6 0 ζλα ζλα 0 5 εκα0 6 4 ζλ α εκ α εκ α εκα 5 5 Θέμα Δ εθα α 6 Γ. Έρνκε f () log log(6 α) log 6 α α Γ. Γηα ηελ f: ξέεη Γηα ηελ g: ξέεη Γ. 0 ηζρύεη R άξα Af R. f (0) f ( ) log( ) log( ) log log log log log log g() Γ4. Γηα > έρνκε: log(4 4) log( ) ω0 log(4 4) log( ) ( ) ω 4 5ω 0 ω 5ω 4 0 ω 7 ή ω ανξ. ln 7 Άξα 7 ln ln 7 ln Β. Έρνκε 5o Θ έ μ α Β

302 0 4 5 α β Άξα 4 4 α β 4 4 α β 4 () 4 θαη () α β 4 Β. Αλ () 5 ηόηε Β. α α, β β P() ( ) 0 0 ή 0 Με ηε βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner: 0 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή, Δνκέλωο νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο είλαη =0, = (δηιή), Θέμα Γ Γ. ma f α α. Άξα α α Γ. T ω β β 4 β β f () ζλ ζλ ζλ ζλ θ 4θ, θ Ε Θέμα Δ Γ. Πξέεη e e 0 e e ln ln e ln e ln ln ln

303 Γ. Γ. 0 ln e ln e ln e ln e e ln e e f () f () ln e e ln e e ln e ln e ln e f () ln e e e f () f () ln e ln e ln ln e e ln e e e e e e 0 e e Με ηε βνήζεηα ην ζρ. Horner: 0 0 (e )(e e ) 0. Όκωο e> θαη e(e+)>, ενκέλωο ηζρύεη. Γ4. f () ln e ln e ln e 0 ( ) 0, Γηα λα δερηνύκε ηηο ξίδεο ξέεη: 0 ln, ln ln ln ln ηζρύεη, άξα είλαη όιεο δεθηέο. Άξα (,0) (, ) Β. 6o Θ έ μ α Β f (0) ζλ εκ θ 0 0 θ θ Άξα f() εκ εκ εκ Β. εκ εκ εκ f() Β. f() f( ) εκ εκ( ) εκ εκ

304 04 Β4. εκ ζλ εκ ζλ εκ εκ θ ή θ (αδύλ.) Άξα Θ έ μ α Γ Γ. θ θ 4 4 P( ) 0 (α )( ) α( ) α 4 0 6α 6 8α α 4 0 9α 8 α Γ. Γηα α=: 4 P(). Με ηε βνήζεηα ην ζρ. Horner: Αό ηνλ ίλαθα γηλνκέλν ε f() είλαη άλω αό ηνλ γηα (, ) (, ) Γ. 99 (, ) άξα P( 99) 0,5 (,) άξα P(,5) 0 0 (, ) άξα P(0) 0 Άξα P( 99) P(,5) P(0) 0 Γ4. Έρνκε Άξα ην ειίθν ηεο δηαίξεζεο είλαη θαη ην όινην Θ έ μ α Δ Γ. i. Γηα λα είλαη ην P() ηξίην βαζκνύ ξέεη: ι ι 4 0 θαη ι+ 0 ι ι ι ι Θέηνκε Άξα Ανξ. ι ι ι ii. Γηα ι : 8ω 6ω 0 ω ή ω 4 P() ( log α) ( log α) 6. ι ω 0. Γεθηή. 4 ι ι ι

305 Γ. 05 P(ι) 0 P( ) log α 4 log α 6 0 6log α 6 log α α 0 ln ln P() γηα 0. Όκωο 4 Άξα: ln ln 4 ln 4 ln P() 6 ln ln e e e e θαη 0 Β. Έζηω 7o Θ έ μ α Β P() α β γ δ, Ρ(0) 0 δ 0. α β γ ( )(θ ι)... θ ι θ ι νόηε θ=α, ι=β, θ=γ, ι=0. Όκωο α+β+γ=0 νόηε ηειηθά α=γ=, β=0. Δνκέλωο Β. ( ) ( ) 0, Θέηνκε Γειαδή ω, νόηε έρνκε ω ω ω 0 ω(ω ω) 0 ω 0 δηόηη 0 ( )( ) 0 δηόηη Γ. ma f min f Θ έ μ α Γ P() ( ). ω ω 0. Γ. f ζλ ζλ ζλ f f () 0 0 γηα θάζε. Γ. ζλ ζλ ζλ ζλ θ θ θ θ, θ Z ή θ θ θ θ, θ Z Θ έ μ α Δ Γ. Πξέεη 4α 0 α 4 θαη 4α α Γηα α= ε ζλάξηεζε είλαη ζηαζεξή f()=. Γ. i. Γηα 4α 4 α α ε f είλαη θζίλνζα. ii. Γηα 4α 4 α α ε f είλαη αύμνζα.

306 Γ. 06 f() (4 α) (4 α) 4 α α f () log log5 Γ4. i. f(log ) f(log 5) 5 8 ii. f () f () 0 ( ) 0 Θέηνκε ω ω 0 ω ή ω ή ω 0 0 Β. Ηζρύεη: Β. Έρνκε 8o Θ έ μ α Β P() 0 α 0 8 α 0 α 6 α Άξα ( )( ) Β. () 0 P() 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 Άξα (,) Γ. Θα ξέεη λα ηζρύεη: 0 Δνκέλωο Γ. Έρνκε A f (,) (, ) f () ln ln Θ έ μ α Γ 0 ( )( ) 0 4 f (4) ln ln 4

307 07 f ln ln ln Άξα f () f (4) f ln ln ln ln ln ln ln ln 0 Γ. Έρνκε ln f () ln( ) e ln ln ln( ) ln ( ) ln( ) ln( ) ln e e e Θ έ μ α Δ Γ. Αό ην ζρήκα θαίλεηαη όηη ε κέγηζηε ηηκή ηεο f είλαη ην 4 θαη αληίζηνηρα ε ειάρηζηε είλαη ην 4. Σελ κέγηζηε ηηκή ηελ αξνζηάδεη γηα θ θαη ηελ ειάρηζηε γηα 4 θ. 4 Γ. Ηζρύεη: f () 4εκ(ω) αό ην ξνεγνύκελν εξώηεκα. Δίζεο: T ω ω ω Ζ εξίνδνο Σ είλαη ξνθαλώο ίζε κε αό ην ζρήκα. Γ. f () 4εκ() εκ() εκ() εκ 6 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 0 Γ4. ην δηάζηεκα 0, 4 ε ζλάξηεζε είλαη αύμνζα θαη ηζρύεη: f f

308 Β. Δίλαη 0, νόηε ε 08 9o Θ έ μ α B f έρεη εδίν νξηζκνύ ην A R. Σεο είλαη f 0 0, ν ηζρύεη γηα θάζε R. Β. Δίλαη f θαη εεηδή f ε ηζόηεηα f ηζρύεη όηαλ άξα f f f, νόηε ε f έρεη κέγηζην ην, όηαλ. Β. Ζ ζλάξηεζε f εδίν νξηζκνύ ην A R, νόηε γηα θάζε R ζα είλαη θαη R θαη f f Γ. Έρνκε: Θ έ μ α Γ, άξα ε f είλαη εξηηηή. ( ) α( ) β( ) 0 P() 0 α β 0 84α β 0 4α β 6 0 P( ) 0 α β 0 α β 0 ( ) 4α β 6 0 ( ) 6α 0 α 0 α β 6 0 Γ.. Άρα β 0 β 0. Με ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή ε εμίζωζε γίλεηαη: ( )( ) 0 ( )( ) 0 άξα 0 ή 0 Γ. Γ. P() 0 ( )( ) 0 P() 0 γηα [, ) Θ έ μ α Δ e 0 e e 0 e (e ) 0 e 0 e ln e ln ln θαη e 0 e e ln e ln ln άξα A f (ln, ) θαη Ag ln, Γ. ln(e e ) ln(e ) e e e e 4e 0 Θέηoκε άξα Γ. e ω ω 4ω 0 ω ή ω e ln e lm ln ή e 0 ln(e e ) ln(e ) e e e e 4e 0

309 09 Όωο είδακε ζην Γ γηα ηελ ηζόηεηα =ln ή =0, άξα ζύκθωλα κε ην ηλαθάθη: [0,ln] Β. Γηα (,y)=(0,0) ην ζύζηεκα γίλεηαη: 0o Θ έ μ α Β (ι ) 0 0 ι 0 ι ι 0 ην ννίν είλαη αδύλαην. (ι ) 0 0 ι 0 ι ι Δνκέλωο ην (,y)=(0,0) δελ είλαη ιύζε ην ζζηήκαηνο. Β. Γηα ι=0 έρνκε: Β. Έρνκε: y 0 y y y y ι D ι (ι ) ι ι ι ι (ι ) ι D ι ι ι ι+ ι ι D y (ι ) ι(ι ) (ι ) ( ι) Αλ (ι ) ι+ D 0 ι 0 ι ι y y Γηα ι= ην ζύζηεκα γίλεηαη: 4 y y Άξα ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο. 0 y y Γηα ι ην ζύζηεκα γίλεηαη: 0 y 0 y 0 Άξα ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. Αλ D 0 ηόηε ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: Γ. Ηζρύεη όηη: D ι ι D ι (ι )(ι ) ι D y (ι ) ( ι) (ι ) (ι ) D (ι )(ι ) y (ι ) ι Θ έ μ α Γ P() 0 β α 0 β α 0 α β () P() 9 β α 9 6 4β α 9 α β () α β α β (),() ( ) β α α α β α β

310 Γ. Γηα α= θαη β= έρω: 0 P() P() 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Άξα Γ. 0 ή P() 0, (, ) 0 ζλ εκ ζλ 0 ζλ ζλ ζλ 0 ζλ(ζλ ) (ζλ ) 0 (ζλ )(ζλ ) 0 Γ. ζλ 0 ζλ ζλ ζλ ζλ0 θ, θ Ε ζλ ζλ ζλ θ, θ Z ζλ 0 ζλ ζλ ζλ θ, θ Z Θ έ μ α Δ α α log α log log α log 0 log 0 β β α logβ log α logβ log α 0 log 0 α β β 9 β Γ. Έρνκε ( ) α α 9 α β Δνκέλωο ε α Γ. Γ4. Β. είλαη αύμνζα αθνύ ε βάζε είλαη κεγαιύηεξε ηεο κνλάδαο. log 0 log log0 f () log 000 log 0 log00 f ( ) (4 ) 4 ( ) () o Θ έ μ α B P() Άξα ην δελ είλαη αξάγνληαο ην P(). B. Δθαξκόδνκε Horner κε ηελ ηηκή θαη ξνθύηεη όηη: () 4 θαη =0. Β. B P() 0 0 ( 4)( ) 0

311 0 ή Β4. Θα ξέεη Γ. Έρνκε , P() 0 ( 4)( ) 0. Άξα ( 4,) (, ) Θ έ μ α Γ 0 ( ) 0 κε 0. Άξα A (,0) (, ) f Γ. f () ln ln ln Γ. Γ f () f ( 4) ln ln f (6) ln 6 6 f ( 4) ln 4 Άξα ( 4,0) (0, ) f (4) ln f ( ) ln K f (6) f (4) f ( 4) f ( ) ln ln ln ln ln ln Δίζεο e f (e) ln e. Δεηδή e e e ln e e e 0, άξα 0 (f (e)) 0 αθνύ έρνκε εξηηηό εθζέηε. Δνκέλωο αθνύ θ>0 ηόηε Γ. Έρνκε Θέμα Δ A ζλ ζ ζλ ( ζ) ζλ ζ εκ( ζ) θ (f (e)) εκζ ( ζλζ) ( εκζ) ( εκζ) εκζ ζλ ζ εκ ζεκζ εκζ(ζλ ζ εκ ζ) εκζ εκ ζ ζλ ζ ( ζλζ)( ζλζ) B ζλζ ζλζ ζλζ ζλζ ζλζ Γ. Σν ζύζηεκα είλαη: εκζ ζλζ εκζ ζλζ y εκ ζ ζλ ζ ζλζ εκζ y εκζ ζλ ζ εκ ζ ζλζ D εκ ζ ζλ ζ 0 ζλζ εκζ 0

312 D D εκ ζ ζλ ζ ζλζ εκζζλ ζ εκ ζζλζ εκζ εκζ(εκζ ζλζ)(εκ ζ εκζζλζ ζλ ζ) ζλζεκζζλζ(εκζ ζλζ) εκζ(εκζζλζ)(εκζζλζ ) ζλ ζεκζ(εκζ ζλζ) (εκ ζ εκζζλζ)(εκζζλζ ) ζλ ζεκ ζ ζλ ζεκζ εκ ζζλζ εκ ζ εκ ζζλ ζ εκζζλζ ζλ ζεκ ζ ζλ ζεκζ εκζζλζ(εκ ζ ζλ ζ) εκ ζ εκζζλζ εκζζλζ εκ ζ εκζζλζ εκ ζ εκζ εκ ζ ζλ ζ ζλζ εκζζλ ζ εκ ζζλζ y εκζ(εκζζλ ζ εκ ζζλζ) ζλζ(εκ ζ ζλ ζ) εκζεκζζλζ(εκζ ζλζ) ζλζ(εκζ ζλζ)(εκ ζ εκζζλζ ζλ ζ) εκ ζζλζ(εκζ ζλζ) ζλζ(εκζ ζλζ) (εκζζλζ ) εκ ζζλζ εκ ζζλ ζ (εκζζλζ ζλ ζ)(εκζζλζ ) εκ ζζλζ εκ ζζλ ζ εκ ζζλ ζ εκζζλζ ζλ ζεκζ ζλ ζ εκζζλζ(εκ ζ ζλ ζ) εκζζλζ ζλ ζ εκζζλζ εκζζλζ ζλ ζ ζλ ζ Άξα ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε: Γ. Θέηω D D εκ ζ εκ ζ, 0 y0 εκ ζ ζλ ζ εκ ζ εκ ζ εκ ζ εκ ζ 4 εκ ζ 4 ω : 4 ω ω 5 ω 4 5ω ω 5ω ω, Dy ζλ ζ y ζλ ζ D εκ ζ ω εκ ζ εκζ εκ ζ εκ ζ 0 ω εκ ζ 0 εκζ 0 ζ θ εκζ εκζ εκ ζ θ, θ Ε ζ θ 0 θ+ θ θ θ 0 νόηε ζ 4 4 ζ θ εκζ εκζ εκ ζ θ θ ζ θ, θ Z 0 θ θ θ άηνν 4 4

313 ζ θ εκζ 0 εκζ εκ0 ζ θ, θ Z ζ θ 0 θ θ 0 θ 0 θ νόηε ζ 0 Β. o Θ έ μ α Β ιy ιy ι. D 6 ι ι 6 ι 8y ι ι 8y ι ι 8 ι D 8 ι ι ι ι 8 Β. Έρνκε ι 8 Dy ι 4 ι ι 4 ι ι ι D 6 5 0, ενκέλωο ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε. ι 4 D θαη ην ζύζηεκα γίλεηαη: 4y 4 8y 4 8y 4 8y Δνκέλωο ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο θαη είλαη αόξηζην. ι 4 D ( 4) 6 0 θαη ην ζύζηεκα γίλεηαη: 4y 4 8y 4 8y 6 4 8y 6 Δνκέλωο ην ζύζηεκα δελ έρεη ιύζε θαη είλαη αδύλαην. y Β. Σν θνηλό ζεκείν ηωλ (ε ) θαη (ε ) είλαη ε ιύζε ην ζζηήκαηνο: 8y 0 Παξαηεξνύκε όηη ην ζύζηεκα αηό ξνθύηεη α ην δνζκέλν γηα ι= νόηε: Άξα: Γ. D 6,, Dy 4. D 8 8 D 8 D Δνκέλωο ην θνηλό ζεκείν ηωλ εζεηώλ είλαη ην: Dy y D 6 Θ έ μ α Γ f() α β α β α β Γ. Πξέεη: f() α β 84α β 4α β 0 A, 6

314 4 f () 0 α β 0 α β β α f () 0 4α β 0 0 4α β 0 4α ( α) 0 β α β α β 4α 6 α 0 α 4 α Γ. Γηα α= θαη β= ε f γίλεηαη: Δθηεινύκε ζρήκα Horner κε ηελ ηηκή θαη ξνθύηεη όηη: Δθηεινύκε μαλά ζρήκα Horner ην f (). Δίζεο ξέεη λα ηζρύεη f()=0. 0 ( )( ) 0. κε ηελ ηηκή θαη έρνκε: ( )( ) 0 ( )( )( ) 0. Δνκέλωο: 0 A(, 0) 0 B(, 0) Δίλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο f κε ηνλ. Γ. Θα ξέεη γηα ηε ζλάξηεζε f: e Άξα e e f Θ έ μ α Δ 0 0 e e 0 e (e ) 0 e 0 e e e 0 A (0, ). Γηα ηε ζλάξηεζε g ζα ξέεη λα ηζρύεη: Δθηεινύκε ζρήκα Horner κε ηελ ηηκή θαη ξνθύηεη όηη: ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ( )( ) 0 Γ. Έρνκε ( 0, ) Δνκέλωο A g (, ) e e e e e e f () ln ln ln e e e 4 e e 4 0 Θέηνκε e Γ. Έρνκε ω : ln 4 5 ω 4 e 4 e e ln 4 ω ω 4 0 ω, ω e αδύλ. g() ln( 4 5 ) ln[( )( )] ln[( )( )( )] ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) o Θ έ μ α Β Β. Σα δεηνύκελα ζεκεία είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο: Θεωξνύκε f() g() () P() 6 6

315 5 Οη ηζαλέο ξίδεο ηεο () είλαη νη,,, 6. Δύθνια ξνθύηεη όηη: P()=0, νόηε ην είλαη κηα ξίδα. Δθαξκόδνκε ην ζρήκα ην Horner γηα = θαη έρνκε: Έηζη ε εμίζωζε () ηζνδύλακα γξάθεηαη: 0 ( )( 5 6) 0 ή ή ή Β. Εεηάκε ηηο ξαγκαηηθέο ξίδεο ην γηα ηηο ννίεο f() g() () (,) (,) Γ. Δίλαη maf γηα R ώζηε Θ έ μ α Γ εκ( ) εκ εκ θ θ, θ Ε 4 θαη min f γηα R ώζηε εκ( ) εκ εκ ι ι, ι Ε 4 Γ. Εεηνύληαη νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο f()= ζην δηάζηεκα [, ] Δίλαη Με f () θ (), θ Ε. 4 5 () θ θ [, ] θ 0, θ Ε θ Ε θαη γηα θ=0 αό ηελ () ξνθύηεη όηη θαη γηα θ= αό ηελ () ξνθύηεη όηη 4 νόηε ηα δεηνύκελα ζεκεία ηνκήο είλαη ηα M, 4 4 θαη M, 4 Γ. Δεηδή f () 0 γηα θάζε R, ε εμίζωζε f()=0 είλαη αδύλαηε ζην R. Θ έ μ α Δ Γ. Γηα ην εδίν νξηζκνύ ηεο f (έζηω A f ) ξέεη νξηζκνύ ηεο g (έζηω A g ) ξέεη 0 A f (0, ) θαη γηα ην εδίν e είλαη "-" e 0 e 0 A g (,0) (0. ) Γ. Πξέεη e e e 4e (e )(e ) g() e 0

316 Γ. Δίλαη: 6 ln γλεζίωο αύμνζα e ln e ln ln 0 ln g() ln ln e 4e f (g()) 0 ln(g()) 0 e e 4e e e 5e 4 0 ln ln e 0 (e )(e 4) 0 e 4 0 e 4 ln 4 ln ln ln ln ln Άξα ε ξίδα ηεο εμίζωζεο είλαη =ln4 θαη ην δεηνύκελν έρεη βξεζεί. Β. Θα ξέεη: Β. 4o Θ έ μ α Β ζλ 0 ζλ ζλ ζλ θ, θ Ε εκ(εκ ) εκ εκ(εκ ) εκ(εκ ) 0 4 εκ 0 εκ εκ0 θ, θ Ε Γ. εκ 0 εκ εκ εκ θ, θ Ε Θ έ μ α Γ 8. Σειηθά P() 0 4α ( α ) 0 α Γ. Έρνκε α (α>0) P(), θαη κε ζρήκα Horner γηα ηελ ηηκή αίξλνκε ειίθν () θαη όινην 0. Γ. P() 0 ( )( ) 0 ή ή Γ. Έρνκε: Θ έ μ α Δ ln 0 0 e 0 e 0 e e ln 0 ln e 0 e e e ln Με ζλαιήζεζε ξνθύηεη Γ. A f (ln,ln 0) ln ln f(ln) ln7 θln(0 e ) ιln(e ) ln7 θ ln(0 ) ι ln( ) ln7 θ ln7 ι ln ln7 θ ln7 ln7 θ

317 7 ln9 ln9 f (ln9) ln7 ln 0 e ι ln(e ) ln7 ln(0 9) ι ln(9 ) ln7 ln ι ln7 ln7 ι ln7 ln7 ι ι Γ. Γηα θ= θαη ι= έρνκε: i. Δίλαη f() ln(0 e ) ln(e ) f() ln 5 ln(0 e ) ln(e ) ln 5 5(0 e ) 5(0 e ) ln(0 e ) ln(e ) ln 5 ln ln e e e e 00 5e e e e e 5e 00 0 Θέηνκε e ω : ω ω 5ω 00 0 θαη εθηεινύκε Horner κε ηελ ηηκή 5, άξα: ln5 (ω5)(ω ω 0) 0 ω 5 0 ω 5 e 5 e e ln 5 ή ii. ω ω 0 0 Γ 40 7 Αδύλ. 0 e e f () ln(0 e ) ln(e ) ln ln e 0 e e 0 e ee e e e e 0 e e (e 0) (e 0) e 0) e (e ) 0 e e ln e ln ln e e e 5o Θ έ μ α Β Β. Ζ ζλάξηεζε f είλαη γλεζίωο θζίλνζα ζην δηάζηεκα, θαη γλεζίωο αύμνζα ζην δηάζηεκα,. Παξνζηάδεη ειάρηζηε ηηκή γηα Β. Παξαηεξνύκε όηη ε Cg ξνθύηεη αό ηελ δεμηά θαη 4 κνλάδεο θάηω. C f, αλ ε f. ηελ Cf κεηαηνηζηεί θαηά 4 κνλάδεο Άξα είλαη : g f 4 4 γηα θάζε R. Θ έ μ α Γ

318 8 Γ. Αθνύ ην ( ) είλαη αξάγνληα ην P(), αό γλωζηό ζεώξεκα ηζρύεη P( ) 0. Έρνκε: P( ) 0 ( ) (α β)( ) (α 5β)( ) 0 ( ) (α β) α 5β 0 α β α 5β 0 α 4β 0 α 4β () Αθνύ ην όινην ηεο δηαίξεζεο P() : ( ) ηζνύηαη κε 9, αό γλωζηό ζεώξεκα ηζρύεη: P() 9. Έρνκε: P() 9 (α β) (α 5β) 9 8 4(α β) (α 5β) 9 6 4α 4β 4α 0β 9 8α 4β 9 6 (αιννηνύκε κε ην ) 4α 7β 4 () Λύλνκε ην ζύζηεκα ηωλ (), (): α 4β α 4β α 4β 4α β 4 4( 4β) 7β 4 4 6β 7β 4 α 4β α 4 α 7 9β 8 β β Γ. i. Γηα α 7 θαη β= ην νιώλκν P() γξάθεηαη: Δίλαη P() ( 7 ) [( 7) 5] P() 5 4 P() ύκθωλα κε ην ζεώξεκα αθέξαηωλ ξηδώλ νη ηζαλέο αθέξαηεο ξίδεο ηεο εμίζωζεο, είλαη νη δηαηξέηεο ην ζηαζεξνύ όξν α0, δειαδή νη αξηζκνί, Αό ην εξώηεκα (Β) ηζρύεη P( ) 0, δειαδή ην είλαη ξίδα ην P() νόηε εθαξκόδνληαο ην ζρήκα Horner γηα ξ έρνκε: 5 4 ξ Ζ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: Γ() δ() () P() ( ξ) () ή Σόηε ε εμίζωζε γίλεηαη: 5 4 ( )( 7 ) ( )( 7 ) 0 0 ή 7 0 ή ή ii.

319 Ζ ηαηόηεηα ηεο δηαίξεζεο είλαη: Αό ην (α) εξώηεκα έρνκε όηη () ( ). iii. Γηα λα νξίδεηαη ε αλίζωζε () 0 P() ξέεη Σόηε: 5 4 ( )( 5) ( ) P() ( )( 7 ) θαη αό ην (β) εξώηεκα έρνκε P() 0 ( )( 7 ) 0 θαη θαη. () ( ) P() ( )( 7 ) Σν ξόζεκν ην 7 θαίλεηαη ζηνλ αθόινζν ίλαθα. Άξα νη ιύζεηο ηεο αλίζωζεο είλαη Γ. Πξέεη: ζ>0 θαη Γ. Θ έ μ α Δ ln Άξα ζ ln ζ 0 lnζ lnζ ln e ζ e ln f(κ ) κ lnf (κ) lnf (κ) f(κ) f(κ ) (lnζ ) e e lnζ κ f(κ) (ln ζ ) ln () lnf (κ ) lnf (κ) ζ e lnζ lne lnζ lnζ e Γ. Ζ γξαθηθή αξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη αό ην Α(,6) άξα: Γ4. Γηα ζ e, e () ln ζ0 f () 6 (ln ζ ) 6 ln ζ 4 ln ζ ζ e f () (lne ) 4 ζέηω 4 ω 6f () (4 ) ω 6ω 8 0 Οη ξίδεο ην ηξηωλύκν είλαη ω= ή ω=4. Αό ηνλ δηιαλό ίλαθα ζκεξαίλνκε: e

320 0 Β. Γλωξίδνκε όηη: άξα α+β=4 θαη 4 ω β0 6o Θ έ μ α Β ζλ β βζλ β α β α βζλ α β β f 5 α βζλ 5 α 5 α β 0 Λύλνκε ην ζύζηεκα: α β 4 ( ) α 6 α θαη β=6. α β 0 Β. i. Γηα α θαη β=6: Γ() 6ζλ ii. ειάρηζηε ηηκή α β 6 8 iii. iv. Σ ω f () 8 ζλ ζλ ζλ θ θ, θ Ε f () 6ζλ 6ζλ ζλ ζλ ζλ θ θ θ Ε 6 Θ έ μ α Γ Γ. Οη νξίδνζεο D, D, D y ην ζζηήκαηνο είλαη: α D (α )(α ) α α 4 (α )(α ) α α D (α ) α 6 (α ) Dy (α ) 9 α 6 (α ) α Αλ D 0 (α )(α ) 0 α θαη α, ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε ηελ : D D (α ) (α ) D D (α )(α ) (α )(α ) (α ) (α ) y ( 0, y 0),,, νόηε άκεζα ξνθύηεη όηη : 0 y0. Γ. i. Αλ α, ην ζύζηεκα γίλεηαη : ( ) y y y y ( )y y θαη ενκέλωο έρεη άεηξεο ιύζεηο, ηεο κνξθήο : (, y) ( k,k), k R.

321 ii. Αλ α, ην ζύζηεκα γίλεηαη : ( ) y y y 0 0y, ( )y y y y ην ννίν είλαη αδύλαην. Γ. Γηα α= ην ζύζηεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε θαη ενκέλωο νη αληίζηνηρεο εζείεο έρνλ κνλαδηθό θνηλό ζεκείν, δειαδή ηέκλνληαη. Γηα α= ην ζύζηεκα έρεη άεηξεο ιύζεηο θαη ενκέλωο νη αληίζηνηρεο εζείεο έρνλ άεηξα θνηλά ζεκεία, νόηε ζκίηνλ. Γηα α ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην θαη ενκέλωο νη αληίζηνηρεο εζείεο δελ έρνλ θαλέλα θνηλό ζεκείν,νόηε είλαη αξάιιειεο. Γ. Έρνκε Άξα Θ έ μ α Δ ι ω0 ι ι ι P() 0 8 ( ) ω ω ω 0 ω ω 4 0 ω ω 0 ω ανξ. ή ω ι ι ι Γ. Πξέεη P() Με ηε βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner ε αλίζωζε γίλεηαη: ( )( 4) 0. = ή Με ηε βνήζεηα ην ίλαθα: P() 0 (,) (4, ) Γ. Q() Δθηειώληαο ηε δηαίξεζε (ή κε ζρήκα Horner) βξίζθνκε Δνκέλωο ε εμίζωζε γίλεηαη: Άξα Q(εκζ) ζλ ζ εκ ζ εκζ ζλ ζ, 5 4 Q() εκ ζ εκζ εκ ζ εκ ζ εκζ 0 εκζ, 4 εκζ εκζ εκ ζ θ, θ Ε ή εκζ εκζ εκ ζ θ ή ζ θ, θ Ε o Θ έ μ α B B. εκ ζλ 0 εκζλ ζλ 0

322 Έρνκε: ζλ(εκ ) 0 ζλ 0 ή εκ 0 ζλ 0 ζλ ζλ θ ή θ, θ Ε εκ 0 εκ εκ εκ θ ή θ, θ Ε B. Έρνκε α α εκ ζλ ζλα ( εκ α) εκ α εκα εκα εκα εκα εκαζλα εκα( ζλα) ζλα α ζλ α εκ α εθ ζλ Θ έ μ α Γ Γ. Πξέεη: 0 θαη Άξα ην εδίν νξηζκνύ ηεο ζλάξηεζεο f είλαη A 0,,. Γ. Γηα 0,, είλαη: 4 f ln 4ln ln ln 4 4 ln ln 4 ln 4 4 ln ή ή 6. Αιιά εεηδή 0,, ε ιύζε ηεο εμίζωζεο είλαη 6. Γ. Γηα 0,, είλαη: e f ln ln ln 4 4 ln e ln6 6 ln 4 4 ln Αιιά εεηδή 0,, είλαη 0,, Θ έ μ α Δ Γ. P() 0 (ln α 5) (5ln α 6) 6ln α 0 Γ ln α 5 5ln α 6 6ln α 0 ln α ln α α e P() 6 6. Πξέεη P()=0. Όκωο P()

323 Γ. Με δηαίξεζε (ή ζρήκα Horner) βξίζθνκε: Γ4 P() 0 ( )( 4 ) 0 ή Β. Πξέεη: Β. Γηα α=, β=: 4 0, () 4 4 άξα ή. 8o Θ έ μ α Β P() 0 (α ) β 0 β β=, α= P(0) β 6 α 6 0 P() 7 6 Με ηε βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner έρνκε: P() 0 ( )( 6) 0 ή 5 6 0, Πξέεη: P() ( 4) 0 νόηε κε ηε βνήζεηα ην ίλαθα: (,0) (, ) Γ. 0 γηα θάζε R άξα Θ έ μ α Γ 0 ω 4 0 Γ. i. Πξέεη ω ω 4 0 ω ή ω 4 κε ηε βνήζεηα ην ίλαθα έρνκε: ω ω 4 0 ω αδύλαηε ή ii. Γηα >: ln(4 4) ln 4 ln( ) 4 4 ω 0 ω ω 7ω 8 0 ω ανξ. ή ω 8 Άξα 8 δεθηή. Γ. Θ έ μ α Δ εκ ζλ ζλ ζλ Γ. Έρνκε (Γ) εκ ζλ ζλ εκ ζλ εκ εκ (ζλ ) 0 νόηε 4

324 4 εκ 0 εκ εκ0 θ θ, θ Z ζλ 0 ζλ ζλ ζλ0 θ, θ Ε Γ. i. Έρνκε (Γ) f εκ ζλ εκ εκ ζλ εκ f () ii. Αό ηελ ξνεγνύκελε ζρέζε γηα θαη : 4 6 Άξα S=0. B. B. f (0) f f f f f ζλ ζλ ζλ 9o Θ έ μ α Β ζλ ( ζλ)=( ζλ)( ζλ) ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ ζλ εκ B. ζλ εκ 0 ζλ ( ζλ) 0 Γ. Πξέεη: ζλ 0 ζλ 4θ θ Ε. Θ έ μ α Γ P() 0 8ζλα 0 8ζλα 4 ζλα ζλα ζλ α θ, θ Z Γ. Πξέεη: e Q( ) 6 7 ln(eβ) 0 6 ln(eβ) eβ e β β e e Γ. Πξέεη Q() P() Με ηε βνήζεηα ην ζρήκαηνο Horner έρνκε: = ή Άξα Q() P() (, ) (, ), ( )( 5 6) 0 5 Θ έ μ α Δ ή

325 Γ. Γηα >0 έρνκε: 5 f(e 7) f() log(e 7) log log(e 7) ln8 e 7 8 e 0 log log log log Γ Γ. Γηα >0 ζέηνκε log ω 0 θαη έρνκε: log log 0 ω ω 0 ω ανξ. ή ω log νόηε log 0 δεθηή Β. Ηζρύεη: 0o Θ έ μ α Β P( ) 0 α( ) ( ) 8α 4 0 8α 48α 4 0 8α(α ) 0 α=0 ή α 0 α Δεηδή ην P() είλαη ν βαζκνύ αηό ζεκαίλεη α 0. Δνκέλωο α=. Β. P() 4. Δθηεινύκε ζρήκα Horner κε ην θαη έρνκε: P() 0 ( )( ) 0 0 ή Β. Έρνκε 0 Γ ( ) 4 7 αδύλ. P() ( )( 5) ( )( ) ( )( 5) ( )( ) ( )( 5) 0 ( )( 5) 0 ( )( ) 0 0 Άξα (, ) (, ) Γ. Έρνκε 4 0, Θ έ μ α Γ A ζλ(εθ ζλ) εκ ζλεθ ζλ εκ ζλ εκ ζλ Γ. εκ B εθ( )ζθ( ) ζλ( )εκ εθ ζθ ζλ ζλ ζλ εκ εκ Γ. A 5 B (εκ ) 5 εκ εκ εκ 0 Θέηνκε εκ=ω:

326 6 5 ω εκ ω ω 0 ω, 4 ω εκ αδύλ. θ, θ Z 6 εκ εκ εκ 6 5 θ, θ Z 6 Γ. Γηα ηελ f έρνκε: Γηα ηελ g έρνκε: Γ. Γ. Θέμα Δ 0 e 0 e e e 0 Άξα A f (0, ) 0 ν ηζρύεη άληα εθηόο γηα =0. Άξα Ag R * f() ln(e ) ln(e ) ln(e ) e e e e ln A f(ln ) g( 6) ln(e ) ln( 6) ln 4 ln( ) ln 6 ln ln ln ln 6 ln ln ln 6 6 Δθόζνλ Γ4. άξα ln 0 A 0 f() ln(e ) ln(e ) ln(e ) e e e e 0 e (e ) 0 e 0 e 0 ν ανξξίηεηαη γηαηί δελ αλήθεη ζην B. B. A f. o Θ έ μ α Β εκζ εκζ εκζ A (ζλζ εκζ) ζλ ζ εκ ζ εκζζλζ εκζ εκ 4εκ ζλ ζλ 0 εκ εκ εκ 0 εκ εκ εκ 0 Θέηνκε εκ=ω θαη έρνκε ηελ εμίζωζε: Με ζρήκα Horner (γηα ξ=) έρνκε: Άξα εκ= ή εκ ή Γ. P(0) 6 β 6 εκ ω ω ω 0 (ω )(ω ω ) 0 ω, ω, ω= θαη εεηδή 0, Θ έ μ α Γ, έρνκε ηειηθά: ή P( ) 4 ( ) α( ) ( ) 4 α 6 4 α 6 6

327 Γ. 7 P() Δθηεινύκε Horner κε ην θαη ξνθύηεη: ( )( 5 6) 0 0 ή , Γ. Φηηάρλνκε ην ηλαθάθη ηεο ξνεγνύκελεο εμίζωζεο άξα: (, ) (, ) Γ. Πξέεη: Θ έ μ α Δ Θέηνκε ω 0ω 0 ω ω : Άξα Γ. ω Άξα f f() log log( 0 ) log0 log A (,) log( 0 ) log(0 ) ( ) 0 0 αδύλαην. Άξα ε εμίζωζε δελ έρεη ξίδεο. o Θ έ μ α Β Β. Ζ αξαβνιή δηέξρεηαη αό ηα ζεκεία Α,0,Β,0,Γ0,, άξα νη ζληεηαγκέλεο ηνο εαιεζεύνλ ηελ εμίζωζήο ηεο. Οόηε είλαη: 0 α β γ 4α β γ 0 0 α β γ 9α β γ 0 α0 β0 γ γ. Δηιύνληαο ην ζύζηεκα ηωλ εμηζώζεωλ (), () θαη () έρνκε : 9 D Dβ Οόηε 9α β γ 0 9α β 0 9α β 4α β γ 0 4α β 0 4α β γ D θαη, α. Άξα: D D α β 0 0 α,β,,, D D 0 0 α, β, γ, άξα ε εμίζωζε ηεο αξαβνιήο είλαη : f. Β. Αλ α, β 0 θαη γ, ε εμίζωζε ηεο αξαβνιήο αίξλεη ηελ κνξθή:

328 8 f. Άξα ηα θνηλά ζεκεία αξαβνιήο θαη εζείαο ξνθύηνλ αό ηελ είιζε ην ζζηήκαηνο: y ή y Άξα γηα έρνκε y 0 θαη γηα 4 έρνκε y 6. Δνκέλωο ηα ζεκεία ην- κήο ηεο f θαη ηεο g είλαη ηα : Α,0 θαη Γ 4, h f 4, 5 f. Β. Αλ κεηαηνίζνκε ηελ αξαβνιή θαηά 4,5 κνλάδεο ξνο ηα άλω ξνθύηεη ε εμίζωζε: 5 Δηιύνληαο ην λέν ζύζηεκα ηεο h θαη ηεο g έρνκε: 5 y 5 0 y θαη y 5 Δνκέλωο ην ζεκείν ηνκήο ηωλ h θαη, y,. g είλαη έλα, ην: