Κυβική (Τριτοβάθµια) Πολυωνυµική Εξίσωση

Transcript

1 Κυβική (Τριτοβάθµια) Πολυωνυµική Εξίσωση Εισαγωγή Υπάρχουν αρκετά προβλήµατα τα οποία οδηγούν σε µία τριτοβάθµια πολυωνυµική εξίσωση (πχ η µικρότερη απόσταση από µία παραβολή, ο διπλασιασµός ενός κύβου, η τριχοτόµηση µίας γωνίας κα) Προσωπικά ήλθα για πρώτη φορά πριν µερικά χρόνια, σε επαφή µαζί της, µελετώντας τα κύµατα Rayleigh σε έναν οµογενή και ισότροπο ελαστικό ηµι-χώρο Μεσαγήνευσε πλήρως! Η παρούσα εργασία σκοπό έχει να παρουσιάσει κάποια εισαγωγικά στοιχεία για την κυβική εξίσωση Σύµφωνα µε το θεώρηµα Abel-Ruffini δεν υπάρχει γενική λύση πολυωνυµικών εξισώσεων βαθµού µεγαλύτερου από τέσσερα που να περιέχει µόνο ριζικά (radicals) Γενικότερα το πότε µία πολυωνυµική εξίσωση είναι επιλύσιµη µε ριζικά απαντήθηκε από τον Galois Εδώ θα παρουσιάσουµε την λύση της κυβικής εξίσωσης Αλλού θα ασχοληθούµε µε την τεταρτοβάθµια εξίσωση Πριν από αυτό κρίναµε όµως σκόπιµο να παρουσιάσουµε µία σύντοµη ιστορική αναδροµή Το 494 ένας Ιταλός Μαθηµατικός εν ονόµατι Luca Pacioli (445-59) εξετάζοντας την κυβική εξίσωση κατέληξε στο συµπέρασµα ότι η ακριβής λύση αυτής είναι αδύνατη Αυτό το συµπέρασµα δεν απότρεψε την Ιταλική Μαθηµατική κοινότητα της εποχής από την ενάσχοληση µε το θέµα Τουναντίον η επίλυσή της θεωρήθηκε ύψιστη πρόκληση για τους Ιταλούς Αλγεβριστές του 6 ου αιώνα Ο πρώτος Μαθηµατικός ο οποίος ανακάλυψε (γύρω στα 5) µία µέθοδο για την επίλυση της καλούµενης ανηγµένης µορφής της κυβικής εξίσωσης (reduced ή deressed cubic) ήταν ο καθηγητής Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο της Μπολόνια, Sciione dal Ferro (465-56) (Ανηγµένη καλείται η µορφή της κυβικής εξίσωσης η οποία δεν περιέχει τον δευτεροβάθµιο όρο Η πιο γενική µορφή αυτής είναι η a b + + = ) Για κάποιον που δεν γνωρίζει σε βάθος της επικρατούσα κατάσταση στην Πανεπιστηµιακή Ιταλική κοινότητα της εποχής, θα φανεί βέβαια παράξενο ότι ο Ferro, δεν δηµοσιεύσε ποτέ την µέθοδό του! Η µέθοδός του παρέµεινε µυστική µέχρι το 5, οπότε ο Ferro αποκάλυψε την µέθοδό του στον Antonio Maria Fior και στον γαµπρό του Anibale della Nave Για να γίνει αντιληπτό γιατί ο Ferro δεν αποκάλυψε νωρίτερα το οµολογουµένως κατάρθωµά του, πρέπει να λάβει υπόψη ότι την εποχή της Αναγέννησης οι ακαδηµαϊκές θέσεις δεν ήταν µε κανένα τρόπο ασφαλείς Κάθε στιγµή και από οποιονδήποτε, δηµόσιες προκλήσεις µπορούσαν να τεθούν σε Μαθηµατικούς όπως ο Ferro Εάν αυτοί δεν ήταν σε θέση να αντιµετωπίσουν επιστηµονικά τους αµφισβητίες, οι φήµες τους καθώς και οι ίδιες οι καριέρες τους µπορούσαν να κινδυνεύσουν σοβαρά Ως εκ τούτου, µία σοβαρή νέα ανακάλυψη ήταν ένα ισχυρό όπλο Το επόµενο άτοµο που θα έλθει στο προσκήνιο είναι ο Niccolo Fontana Tartaglia από την Μπρέσια ( ) Το 55 ο Antonio Maria Fior προκάλεσε τον Tartaglia να λύσει τριάντα ανηγµένες κυβικές εξισώσεις, φέρνοντας κατά αυτό τον τρόπο τον Tartaglia σε εξαιρετική δύσκολη θέση Τελικά,

2 εργαζόµενος µέχρι το πέρας της προθεσµίας της πρόκλησης ο Tartaglia κατάφερε να φθάσει στην ακριβή λύση της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης Κατά την διάρκεια ενός τροµερού δηµόσιου θριάµβου, ο Tartaglia κατάφερε να υπερκεράσει τον λιγότερο προικισµένο αµφισβητία του, Fior Ο Girolamo Cardano (5-576) έχοντας µάθει για την επιστηµονική «διένεξη» µεταξύ του Fior και του Tartaglia και τον τελικό θρίαµβο του τελευταίου, εντυπωσιασµένος, επιζήτησε επίµονα να µάθει από τον Tartaglia την µέθοδό του Όµως ο Tartaglia δεν αποκάλυπτε την µυστική µέθοδό του Τελικά µετά από µεγάλη αλληλογραφία µεταξύ των, ο Tartaglia αποκάλυψε την µέθοδό του, σε µία δυσνόητη εκδοχή, µε την προϋπόθεση ότι ο Cardano θα ορκιζόταν ότι θα την κρατήσει µυστική Το 54, ο Cardano και ο µαθητής του Lodovico Ferrari (5-565) εξετάζοντας τα χειρόγραφα του Ferro, ανακάλυψαν ότι η µέθοδός του ήταν παρόµοια µε αυτή του Tartaglia Μετά από αυτήν την ανακάλυψη ο Cardano θεώρησε ότι θα µπορούσε να δηµοσιεύσει την λύση της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης χωρίς να αθετήσει και την υπόσχεσή του στον Tartaglia Έτσι, το 545, ο Cardano παρουσίασε την µέθοδο επίλυσης της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης στο βιβλίο του Ars Magna αναφέροντας τόσο ότι ο Ferro ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε την µέθοδο αλλά και ότι ο Tartaglia κατάληξε στην ίδια µέθοδο ανεξάρτητα Εδώ κλείνουµε την σύντοµη ιστορική αναδροµή Τονίζεται ασφαλώς, ότι βάσει του θεµελιώδους θεωρήµατος της άλγεβρας η κυβική εξίσωση έχει ακριβώς τρεις ρίζες Ανηγµένη µορφή της κυβικής εξίσωσης Η πιο γενική µορφή της κυβικής εξίσωσης είναι η: ( ) a + a + a + a =, a () ιαιρώντας µε a προκύπτει: a b c =, () a a a όπου a =, b =, c = a a a Ως πρώτο βήµα για την επίλυση της () θέτω: = y λ () Εκτελώντας τις πράξεις και κάνοντας αναγωγή οµοίων όρων καταλήγω στην εξίσωση: ( ) ( ) ( ) y a y b a y a b c + λ + λ + λ + λ + λ λ + = (4) Ο δευτεροβάθµιος όρος στην εξίσωση (4) µπορεί να απαληφθεί εάν θέσουµε: a a λ = λ = (5)

3 Κατά αυτόν τον τρόπο η (4) γράφεται: a a bc y + b y + + c = (6) 7 Ορίζουµε τώρα: a a bc b και q + c, (7α,β) 7 οπότε η (6) γράφεται τελικά: y y q + + = (8) Αυτή είναι η λεγόµενη ανηγµένη κυβική εξίσωση (reduced cubic equation) Της λείπει ο δευτεροβάθµιος όρος αλλά κατά τα άλλα οι συντελεστές είναι γενικοί a Εάν y µία λύση της (8) τότε από την () και εν όψει της (5) η αντίστοιχη λύση της () είναι: = y Επίλυση της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης y y q + + = Η µέθοδος που θα ακολουθήσουµε είναι παραλλαγή αυτής του Viète Ξεκινάµε εισάγοντας δύο νέες µεταβλητές z και u για τις οποίες θεωρούµε: Τότε: y = z + u (9) ( ) ( ) ( 9) y = z + u y = z + u + zu z + u y = z + u + zuy ( ) y zuy z + u = () Συγκρίνοντας την (8) και την () βλέπουµε ότι ταυτίζοντας εάν: zu = + z u = q (α,β) Από την (α) έχω: u = και η (β) γράφεται: z z = q 7z Απαλείφοντας από αυτήν την εξίσωση τον παρανοµαστή παίρνουµε: z + qz = () 7 6 Αυτή είναι µία διτετράγωνη (biquadratic) εξίσωση ως προς Επιλύοντας την κατά τα γνωστά θα έχουµε: z z q ± =, () όπου:

4 4 4 q = q + = + (4) η διακρίνουσα της () Λόγω της (4) η () γράφεται: 4 7 z = ± + (5) Από την (β) και εν όψει της (5) προκύπτει λοιπόν ότι: (6) 4 7 u = + Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι: Τότε θα είναι: (Εάν έπαιρνα 4 7 z = + + (7α) 4 7 u = + (7β) 4 7 z = + θα ήταν απλώς 4 7 u = + + ) Παίρνοντας τις κυβικές ρίζες στις (7) και αντικαθιστώντας στην (9) καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η λύση της (9) είναι η: y = z + u y = (8) Αυτή είναι η περίφηµη έκφραση για την ανηγµένη κυβική εξίσωση που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο έργο Ars Magna του Cardano (545) Ας δούµε ένα παράδειγµα Έστω η εξίσωση: = Εδώ =, q = 8 Ώστε από την (8) έχω µετά τις πράξεις: y = Πριν προχωρήσουµε όµως, θα πρέπει να ασχοληθούµε µε τις κυβικές ρίζες της µονάδας 4 Κυβικές ρίζες της µονάδας Κυβικές ρίζες της µονάδας ονοµάζονται οι λύσεις της εξίσωσης = 4

5 Έχουµε λοιπόν: = = = ( )( + + ) =, + + = = ± i όπου i = η φανταστική µονάδα Εποµένως οι τρεις κυβικές ρίζες της µονάδας είναι οι: =, = + i, = i Η εξίσωση έχει δηλαδή µία πραγµατική ρίζα και δύο µιγαδικές συζηγείς ρίζες Βάσει του θεµελιώδους θεωρήµατος της Άλγεβρας αυτές είναι όλες οι ρίζες της εξίσωσης Εάν θεωρήσω την ω = + i ως την κύρια κυβική ρίζα της µοναδας (rincial cubic root of unity) έχω: και i i i ω = + = = = i i 4 4 ω = ω ω = + = + = = Από τα προηγούµενα διαπιστώνουµε ότι οι κυβικές ρίζες της µονάδας είναι οι: {,, } κύρια κυβική ρίζα της µονάδας Η κύρια κυβική ρίζα της µονάδας ικανοποιεί την ταυτότητα: Πράγµατι: ω ( )( ) + ω + ω = ω = ω = ω + ω + ω = + ω + ω = (οεδ) Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του De Moivre είναι: Προφανώς, π π cos sin cos π sin π ω = + i = π + i π = + i = ( cos π + i sin π) ω = ( ) ω = i = ω = = 4 ( ) ( ) ( ) Άρα οι τρεις κυβικές ρίζες της µονάδας µπορούν να γραφούν και ως εξής: ( ) ( ) ω ω ω =, όπου ω η {,, } 5 Οι κυβικές ρίζες οποιουδήποτε αριθµού 5

6 Κυβικές ρίζες ενός αριθµού u ονοµάζονται οι ρίζες της εξίσωσης Οι τρεις κυβικές ρίζες τoυ u είναι: { } u, u, u ρίζα της µονάδας Πράγµατι, ζ = u ζ = u ζ = ζ = ω ζ = ω, όπου ( ) ( ) ζ = u = u, ( ) ζ = ω u = ω u = u = u, ( ) ω = η κύρια κυβική ζ = ω u = ω u = u = u 6 Παραδείγµατα Οι κυβικές ρίζες του αριθµού 8 είναι οι: { } 8, u, u ζ = ζ = ω ζ = ω ή, ( ), ( ) Οι κυβικές ρίζες του αριθµού 8 είναι οι: { } 8, 8, 8 ζ = ζ = ω ζ = ω { } ζ = ζ = ζ = Εάν θεωρήσουµε ότι η κύρια κυβική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού είναι ένας αρνητικός αριθµός τότε 8 =, οπότε οι κυβικές ρίζες του αριθµού 8 είναι οι: {, ( ), ( ) } ζ = ζ = ζ = Συµβολικά προγράµµατα (CAS: Comuter Algebraic System) όπως το Mathematica έχουν υιοθετήσει την επιλογή ότι η κύρια κυβική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού είναι ένας µιγαδικός αριθµός µε θετικό φανταστικό µέρος Έτσι το Mathematica δίνει: ComleEandAH 8L ê E + è!!! Με αυτήν την επιλογή του Mathematica έχουµε διαδοχικά: { ζ } = 8, ζ = ω 8, ζ = ω 8 i, ( i ), ( i ) { } ζ = + ζ = ω + ζ = ω + ζ = i, ζ = ω i, ζ = ω i {,, } {,, } { ζ = ω, ζ =, ζ = ω} ζ = ( ), ζ =, ζ = ( ) ζ = ω ζ = ω ω ζ = ω ω ζ = ω ζ = ω ζ = ω ω { } ηλαδή παίρνουµε και πάλι (προφανώς!) τις ίδιες κυβικές ρίζες αλλά µε άλλη σειρά Είµαστε έτοιµοι πλέον να συνεχίσουµε την επίλυση της (ανηγµένης) τριτοβάθµιας πολυωνυµικής εξίσωσης ω = 6

7 6 Ανηγµένη κυβική εξίσωση: Μετά την σχέση του Cardano Όπως είδαµε στην παράγραφο, η γενική λύση της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση του Cardano (Εξ 8) y = z + u = (8) Από την ανάλυση των παραγράφων 4 και 5 είναι κατανοητό ότι υπάρχουν τρεις κυβικές ρίζες για το και τρεις για το u Οι εξής: { z, ωz, ω z} και { u, u, u} όπου ( ) i ω ω, ω = = + η κύρια κυβική ρίζα της µονάδας Φαινοµενικά υπάρχουν = 9 δυνατοί συνδυασµοί για το άθροισµα z + u, πράγµα που θα οδηγούσε στο λανθασµένο συµπερασµα ότι η κυβική εξίσωση έχει εννιά λύσεις Αυτό πουξεχάστηκε είναι ότι τα z, u δεν ανεξάρτητα µεταξύ των Πρέπει να ικανοποιούν τις Εξ (): zu = + z u = q (α,β) Οι µοναδικοί συνδυασµοί που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις είναι οι: ) { z, u } ) { z, u} ω ω ) { z, u} ω ω Πράγµατι (θυµηθείτε ω = ) ω z ω u = ω zu = και ωz ω u = ω zu = Όλοι οι υπόλοιποι συνδυασµοί ικανοποιούν την (β) αλλά όχι και την (α) Πχ ω z ω u = ω ω zu = ω, z u zu ω = ω = ω κλπ Συνεπώς, οι τρεις ρίζες της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης y y q + + = είναι οι: z όπου y = z + u y = ω z + ωu y = ω z + ω u, (9) 4 7 z = + +, 4 7 u = + και ( ) ω = 7

8 Ας κάνουµε επαλήθευση! ( ) ( ) ( ) ( ) y + y + q = z + u + z + u + q = z + u + zu z + u + z + u + q = ( z u q) ( zu )( z u) = = + + = ( ω + ω ) + ( ω + ω ) + = 6 ( ) ( ) ( z u q) ( zu )( z u) y y q z u z u q = ω z + ω u + ω zu ω z + ω u + ω z + ω u + q = = ω + ω = + + = ( ω + ω ) + ( ω + ω ) + = 6 ( ) ( ) ( z u q) ( zu )( z u) y y q z u z u q = ω z + ω u + ω zu ω z + ω u + ω z + ω u + q = = ω + ω = Ας δούµε κατόπιν ένα παράδειγµα Έστω η ανηγµένη κυβική εξίσωση Με το Mathematica παίρνουµε χωρίς κόπο: SolveA 8 5E :8 5<, : I 5 è!!! M>, : I 5+è!!! M>> 8 5 = Ας δούµε τι µπορούµε να κάνουµε εµείς! Πρώτα από όλα, εδώ = 8 και q = 5 Οπότε: ( 5) ( 8) 5 ± + = ± + = = ± = ± = Συνεπώς οι ρίζες της εξίσωσης = z + u = + = 5 = 7 = = = 8 = = 8 5 = είναι: ( ) ( ) ( ) = ω z + ω u = = + i + i = + i 5 5 ( ) ( ) ( ) = ω z + ω u = + = i + + i = i Οι ρίζες που βρέθηκαν και µε το Mathematica (Στην περίπτωση που εξετάσαµε θα µπορούσαµε να εργαστούµε βέβαια και µε το σχήµα Horner!) u z 8

9 Ας δούµε ένα άλλο παράδειγµα Έστω η (γενική) κυβική εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους πραγµατικούς αριθµούς ζ + ζ ( ζ ) = ζ ζ ζ = 4 Κάνοντας την αντικατάσταση εξίσωση: 9 7 = 7 Επειδή οι ρίζες της θα είναι οι:,, Τότε: ζ = + και εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουµε στην ανηγµένη κυβική ζ ζ ζ = είναι οι: 4 7 4,, =,, 6 6 Με το Mathematica βρίσκουµε εύκολα: SolveA E :: 7 6 >, : 6 >, : 4 >>,, οι ρίζες της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης Για να δούµε εµείς! Εδώ 9 = και 7 q = 7 Αντικαθιστώντας στην έκφραση ± + έχουµε µετά τις πράξεις: ± + = ± = ± i Με z = + i και u = i οι τρεις ρίζες που παίρνουµε είναι: = + = z u i i = ω z + ω u = ( ) + i ( ) i = ω z + ω u = ( ) + i + ( ) i Μάλλον καλύτερα µε το Mathematica! υστυχώς δεν υπάρχει γενική µέθοδος η οποία µπορεί να µας δώσει πάντα απλοποιήσεις σε εκφράσεις όπως η 7 + i i

10 Χρησιµοποιώντας το Mathematica (ή δουλεύοντας αρκετά κοπιαστικά µόνοι µας!) παίρνουµε τελικά: i 7 j k yê 8 è!!! z + i 7 j { k 4 H L êi 7 j k è!!! H L 4êi 7 j k y 8 è!!! z { è!!! yê z { ê +H L 4êi j k yê z êê FullSimlify { è!!! +H L êi 7 j k è!!! yê z êê FullSimlify { yê z êê FullSimlify { Το παράδειγµα αυτό είναι ενδεικτικό της περίφηµης irreducible case της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης Στην περίπτωση αυτή η κυβική εξίσωση έχει τρεις πραγµατικές ρίζες Και µάλιστα (προς µεγάλη έκπληξη των Μαθηµατικών της Αναγέννησης!) θα πρέπει αναγκαστικά να δεχθούµε την ύπαρξη των φανταστικών αριθµών (τους οποίους µέχρι την ενασχόληση µε τη κυβική εξίσωση οι Μαθηµατικοί της εποχής εκείνης τους είχαν αποφύγει!) Θυµηθείτε ότι µε κάθε ανηγµένη κυβική εξίσωση z + qz = (ιδέ παράγραφο ) 7 6 y y q Η λύση της διτετράγωνης εξίσωσης µας δίνει τις τρίτες δυνάµεις z και u Στην περίπτωση µας: Η διακρίνουσα είναι τότε: 9 7 = οπότε 7 5 = q + 4 = < 7 48 Συνεπώς η διτετράγωνη εξίσωση έχει δύο ρίζες 9 = και z και + + = συνδέεται η διτετράγωνη εξίσωση: z και 7 q = 7 u των βοηθητικών µεταβλητών u οι οποίες είναι µιγαδικές συζηγείς Παρόλο που η διακρίνουσα της διτετράγωνης εξίσσωσης είναι αρνητική η ανηγµένη κυβική εξίσωση έχει τρεις πραγµατικές ρίζες! Πραγµατικά εντυπωσιακό συµπέρασµα για τους µαθηµατικούς της Αναγέννησης! 7 ιερεύνηση της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης και η διακρίνουσα 4 7 = q + Στα περαιτέρω θα περιοριστούµε στην περίπτωση όπου οι συντελεστές, q είναι πραγµατικοί αριθµοί Θα δείξουµε τότε ότι σε κάθε περίπτωση η διακρίνουσα καθορίζει το είδος των ριζών της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης

11 Εξετάζουµε πρώτα την περίπτωση q = 4 + = Τότε: 4 7 y z u q q q = + = + = ( ) ω+ω + = = ω + ω = ω+ ω = y z u y z u ( ) q q q q = ω + ω = ω + ω = ηλαδή στην περίπτωση αυτή έχουµε (τουλάχιστον) δύο ίσες ρίζες Εξετάζουµε κατόπιν την περίπτωση q > 4 + > 4 7 Τότε οι εκφράσεις ± + είναι πραγµατικές Πράγµατι: = > R = < R 4 7 όπου κάνουµε την παραδοχή ότι η κύρια κυβική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού είναι επίσης ένας αρνητικός αριθµός Εποµένως στην περίπτωση αυτή οι τρεις ρίζες της κυβικής εξίσωσης είναι: y = z + u R y = ω z + ω u y = ω z + ωu Εξετάζω τώρα το άθροισµα y + y Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y + y = ω z + ω u + ω z + ω u = ω + ω z + ω + ω u = z u = z + u R Ως εκ τούτου οι ρίζες y, y είναι µιγαδικές συζηγείς Συνοψίζοντας, εάν > η ανηγµένη κυβική εξίσωση έχει µία πραγµατική ρίζα και δύο µιγαδικές συζηγείς ρίζες q Τέλος εξετάζουµε την περίπτωση < 4 + < 4 7 Όπως είδαµε και στο παράδειγµα στην περίπτωση αυτή η κυβική εξίσωση έχει τρεις πραγµατικές ρίζες

12 Η αντίστοιχη διτετράγωνη εξίσωση έχει δύο µιγαδικές συζηγείς ρίζες, έστω: όπου Θέτοντας ` z = c + id και q c = και Ειδικότερα, d = u = c id, (και τα δύο πραγµατικά) c = r cos θ και d = r sin θ και εν όψει του θεωρήµατος De Moivre παίρνουµε: = + = + + = y z u c id c id ( cos sin ) ( cos sin ) = r θ + i θ + r θ i θ = θ + kπ θ + kπ θ + kπ θ + kπ = r cos + i sin + cos i sin = θ + kπ = r cos, k = {,, } k = y = r cos k = y = r cos k = y = r cos θ θ + π θ + 4π Πράγµατι οι τρεις ρίζες είναι πραγµατικές 8 Τύποι του Viète για την ανηγµένη κυβική εξίσωση Έστω, (,,) y i = οι τρεις ρίζες της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης Τότε: i ( )( )( ) ( ) ( ) y + y + q = y y y y y y y + y + q = y y + y + y y + y y + y y + y y y y y y Από την ισότητα των πολυωνύµων έχω: y + y + y = y y + y y + y y = y y y = q Αυτές οι σχέσεις που ικανοποιούν οι τρεις ρίζες είναι οι τύποι του Viète για την ανηγµένη κυβική εξίσωση 9 Επίλογος Ο αναγνώστης θα διερωτηθεί γιατί η φόρµουλα του Cardano y = z + u = ,

13 για τις ρίζες της ανηγµένης κυβικής εξίσωσης δεν είναι γνωστή όπως η αντίστοιχη σχέση για τις ρίζες της δευτεροβάθµιας πολυωνυµικής εξίσωσης (quadratic equation) Η αιτία είναι προφανής εάν λάβουµε υπόψη τα δύο παραδείγµατα που παρουσιάσαµε στην παράγραφο 7 Είναι γεγονός ότι οι αριθµητικές µέθοδοι (λχ η µέθοδος του Newton) είναι πιο εύχρηστες τόσο για την κυβική όσο και για την τεταρτοβάθµια πολυωνυµική εξίσωση (quartic equation) Παρόλα αυτά θα κόµιζα γλαύκα στην Αθήνα εάν έλεγα ότι η επίλυση των εξισώσεων αυτών ήταν ένας µεγάλος θρίαµβος των Μαθηµατικών της Αναγέννησης! Επιλεγµένη βιβλιογραφία Elementary Theory of Equations, LE Dickson, (John Willey&Sons 94) Galois Theory (Emil Artin), (Dover reublication, 998) htt://wwwstoryofmathematicscom/6th_tartagliahtml 4 htt://enwikiediaorg/wiki/cubic_function 5 htt://mathworldwolframcom/cubicformulahtml