ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Transcript

1 Τα γεωµετρικά στοιχεία µιας επίπεδης επιφάνειας είναι :. εµβαδόν της επιφάνειας Α. ροπές της επιφάνειας ως προς τους άξονες ΟΧ, ΟΥ ή τους παράηους προς αυτούς άξονες συµµετρίας Χ Χ, Υ Υ της επιφάνειας. ροπές αδρανείας δεύτερες ροπές επιφάνειας ως προς τους άξονες ΟΧ, ΟΥ ή τους παράηους προς αυτούς συµµετρίας Χ Χ, Υ Υ της επιφάνειας. συντεταγµένες του κέντρου της επιφάνειας Σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα --, είναι : Σχήµα -- Εµβαδόν επιφάνειας : = a β α a β = = Ροπή επιφάνειας ως προς άξονα ΟΧ : M επιϕάνεια Ροπή επιφάνειας ως προς άξονα ΟΥ : β β MY = επιϕάνεια δ + = a β δ + Συντεταγµένες κέντρου επιφάνειας : β a β δ a β M + Y β M, α g = = = δ + Yg = = = a β a β

2 Ροπή αδρανείας ως προς άξονα ΟΧ : I a β = Ροπή αδρανείας ως προς άξονα Χ Χ : Ροπή αδρανείας ως προς άξονα Υ Υ : I I YY a β = a β = Ροπή αδρανείας ως προς άξονα ΟΥ : IY IYY g = + θεώρηµα Steiner Σύµφωνα µε τις προηγούµενες σχέσεις, µπορούν να υποογιστούν τα αντίστοιχα γεωµετρικά στοιχεία µιας επιφάνειας Κ Λ Χ Χ στο σχήµα -- : Εποµένως, θεωρώντας τη στοιχειώδη επιφάνεια d, οι ιδιότητες είναι : Εµβαδόν επιφάνειας : d= y dx Ροπή επιφάνειας ως προς άξονα ΟΧ : y y y dm = di = ydxi = dx Ροπή επιφάνειας ως προς άξονα ΟΥ : = = = Ροπή αδρανείας ως προς άξονα ΟΧ : dm di x ydxi x yx dx. Y y y di = dxi = dx. Ροπή αδρανείας ως προς άξονα ΟΥ : Y = = = di di x ydxi x yx dx. Για το υποογισµό των ιδιοτήτων οόκηρης της επιφάνειας, οοκηρώνονται οι παραπάνω σχέσεις της στοιχειώδους επιφάνειας, χρησιµοποιώντας τις µεθόδους αριθµητικής οοκήρωσης.

3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΙΣΑΛΩΝ Οι ιδιότητες των ισάων που είναι χρήσιµες για διάφορους υποογισµούς είναι : - εµβαδόν της ισάου - διαµήκης θέση του κέντρου της ισάου - οι ροπές αδρανείας της ισάου ως προς τον διαµήκη και εγκάρσιο άξονα που περνούν από το κέντρο της ισάου. Στο επόµενο σχήµα παριστάνεται η µισή όγω συµµετρίας ίσαος µε τους συντεεστές Simpson για κάθε σταθµό νοµέα. Οι υποογισµοί των γεωµετρικών στοιχείων γίνονται µε τη χρήση σχετικού πίνακα και για την εύρεση των αντίστοιχων οοκηρωµάτων είναι απαραίτητος ο υποογισµός των συντεεστών του οοκηρώµατος για κάθε σχέση υποογισµού, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : Στοιχεία υποογισµού Αντίστοιχη σχέση Ποσότητα για οοκήρωση Συντεεστής οοκηρώµατος Εµβαδόν Α y δ δ S = = Ροπή επιφάνειας M Y yx δ δ S = δ = Ροπή αδρανείας ως y δ δ προς ΟΧ I S = = Ροπή αδρανείας ως δ προς ΟΥ I Υ yx δ S = δ =

4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΙΣΑΛΟΥ ½ = x = x 6 = x 6 ΗΜΙΠΛ. Σ.Σ = 0 = x Σ = Σ = Σ = Σ =. =. Εµβαδόν : = Σ.... =. Ροπή επιφάνειας : M Y = Σ. =. M ιαµήκης θέση κέντρου επιφάνειας : ξ = LCF = Y... =. Ροπή αδρανείας ως προς ΟΥ : I Υ = Σ =. Ροπή αδρανείας ως προς ΟΧ : I Χ = Σ.. =.

5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ = * ΕΞΑΜΕΝΗΣ.. = * ΚΥΒΟΙ ΠΛΑΤΩΝ 6 = 6 * Σ = Σ = Σ = = m ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ ΗΜΙ ΜΙΣΟΙ ΗΜΙ ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ = Σ =... = Σ =... = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... M = Σ = ξ = M =... I = Σ =... = *.. = * ΚΥΒΟΙ ΠΛΑΤΩΝ 6 = 6 * Σ = Σ = Σ = = m ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ ΗΜΙ ΜΙΣΟΙ ΗΜΙ ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ = Σ =... = Σ =... = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... M = Σ = ξ = M =... I = Σ =...

6 = *.. = * ΚΥΒΟΙ ΠΛΑΤΩΝ 6 = 6 * Σ = Σ = Σ = = m ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ ΗΜΙ ΜΙΣΟΙ ΗΜΙ ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ = Σ =... = Σ =... = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... M = Σ = ξ = M =... I = Σ =... = *.. = * ΚΥΒΟΙ ΠΛΑΤΩΝ 6 = 6 * Σ = Σ = Σ = = m ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ ΗΜΙ ΜΙΣΟΙ ΗΜΙ ΟΛΟΚΛΗΡΟΙ = Σ =... = Σ =... = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... ξ = M =... I = Σ =... M = Σ = ξ = M =... I = Σ =... 6

7 ΟΓΚΟΣ =* 0=* =* 6=* * h h = ισαπόσταση ισάων VCB =* 0=* Γ ΙΝΟΜΕΝΑ =* ΓΙΝΟΜΕΝ Α 6=* Στήη = στήη / στήη όγκου LCB =* ΓΙΝΟΜΕΝ Α 0=* =* 6=* Στήη = στήη / στήη όγκου

8 ΟΓΚΟΣ =* 0=* =* 6=* * h h = ισαπόσταση ισάων VCB =* 0=* =* 6=* Στήη = στήη / στήη όγκου LCB =* 0=* =* 6=* Στήη = στήη / στήη όγκου