Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Transcript

1

2

3 Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας Παναγιώτης Μποζατζίδης Βασίλης Ροκίδης Μιχάλης Στάμου Γιάννης Τσακνάκη Γιάννα Τζελαπτσής Θανάσης Τσούμος Κώστας

4

5 Ακόμη και ένα ταξίδι 000 μιλίων αρχίζει με βήμα Εκδοση η 30-Μαρτίου-06 Αναθεώρηση έκδοσης Δεκέμβριος - 06

6

7 Περιεχόμενα Κεφάλαιο ο Ευθεία.. Εξίσωση Ευθείας... Εξίσωση γραμμής... Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας 4...α. Γωνία ευθείας με τον x x 4...β. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας παράλληλης σε διάνυσμα 5...γ. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Συνθήκη παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών Γωνία δύο ευθειών Θεώρημα εφαπτόμενης γωνίας δύο ευθειών Εξίσωση ευθείας 0..6.α. Ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης και ένα σημείο της..6.β. Έυρεση σημείων τομής ευθείας με τους άξονες 3..6.γ. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία 4..6.δ. Ευθεία παράλληλη - κάθετη σε ευθεία ή διάνυσμα 6..6.ε. Ευθεία που σχηματίζει γωνία ω με τον x x Εύρεση στοιχείων τριγώνων Συνευθειακά σημεία..9. Συμμετρικό σημείο ως προς ευθεία 3.. Γενική (Καρτεσιανή) μορφή εξίσωσης ευθείας Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία Διάνυσμα κάθετο σε ευθεία Ορισμός Γωνίας δύο μη παράλληλων ευθειών: Σχετική θέση δύο ευθειών Απόσταση σημείου από ευθεία- Εμβαδόν τριγώνου Απόσταση δύο Ευθειών Γεωμετρικοί τόποι ευθειών α. Μεσοπαράλληλη β. Διχοτόμος Εμβαδόν Τριγώνου Λυμένα επαναληπτικά παραδείγματα Επαναληπτικές ασκήσεις 3 Διαγωνίσματα.6. Ευρετήριο όρων 39

8

9

10

11 Κεφάλαιο ο Ευθεία.. Εξίσωση Ευθείας... Εξίσωση γραμμής Ορισμός εξίσωσης γραμμής: Έστω ένα σύστημα συντεταγμένων. Η εξίσωση y ) f(x xy ή f(x, y) 0 λέγεται εξίσωση της γραμμής C όταν οι συντεταγμένες της γραμμής C και μόνο αυτές την επαληθεύουν. Κάθε διατεταγμένο ζεύγος συντεταγμένων των σημείων της C αποτελεί λύση της εξίσωσης. x, y 0 0 Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο Για να δούμε αν ένα σημείο x, y ανήκει σε μια γραμμή C : y f(x), 0 0 ελέγχουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή αν ισχύει y o f(x0). Παράδ ε ι γ μ α Ν ο Έστω η γραμμή C με εξίσωση y x (, 04) ανήκει στην γραμμή C. Στην εξίσωση y x Λ ύ σ η : x 06. Να εξετάσετε αν το σημείο x 06 εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου (, 04) επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμής C. Πράγματι, για x0 και y0 04 έχουμε: Άρα το σημείο (, 04) ανήκει στην γραμμή C. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Έστω η γραμμή C με εξίσωση συντεταγμένες 3,0, ανήκει στην γραμμή C. y x 3. Να εξετάσετε αν το σημείο με

12 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Στην εξίσωση Λ ύ σ η : y x 3 εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύει την εξίσωση της γραμμής C, δηλαδή αν οι συντεταγμένες του 3,0 αποτελούν λύση της εξίσωσης. Πράγματι, για x 3 και y 0 έχουμε: Άρα το σημείο 3, Άτοπο δεν ανήκει στην γραμμή C. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. Έστω η εξίσωση της γραμμής C με εξίσωση σημείο M(,) ανήκει στην γραμμή C. Έστω η εξίσωση της γραμμής C με εξίσωση σημείο M(, ) ανήκει στην γραμμή C. y y 3. Να εξετάσετε αν το x x 3. Να εξετάσετε αν το x x Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο Για να βρούμε τα σημεία τομής μιας γραμμής με τον άξονα θέτουμε y 0. Αντίστοιχα για να βρούμε τα σημεία τομής μιας γραμμής με τον άξονα y ' y θέτουμε x 0. Για να βρούμε τα σημεία τομής δύο γραμμών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Έστω η γραμμή C με εξίσωση x ' x 3 y x x x. Να βρεθούν τα σημεία τομής εάν υπάρχουν της γραμμής αυτής με τους άξονες xx και y y. Λ ύ σ η : Ενδεχόμενα σημεία τομής με τον άξονα xx 3 y x x x θέτουμε y 0 και έχουμε: : Στην Σελίδα από 5

13 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h x x x x x x 0 x x x 0 x ή x x x x x 0 x x x 0 x ή x,0 Συνεπώς, τα σημεία τομής με τον άξονα x ' x είναι τα,.,0,0 και y 0 Ενδεχόμενα σημεία τομής με άξονα yy: Στην και έχουμε: 3 y x x x θέτουμε 3 y y Συνεπώς, τα σημεία τομής με τον άξονα yy είναι ένα, το 0,. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθούν εάν υπάρχουν τα κοινά σημεία των C : x y x 0. C : y x και Φέρνω πρώτα την εξίσωση της Λ ύ σ η : C στην κανονική της μορφή: C : x y x 0 y x x Κατόπιν εξισώνω τις παραστάσεις των δυο γραμμών και έτσι βρίσκω τα κοινά σημεία: x x x x x x x Άρα, η τετμημένη του κοινού σημείου των δυο γραμμών είναι x και θέτοντας αυτή την τιμή σε μια οποιαδήποτε από τις εξισώσεις των δυο γραμμών, βρίσκω την αντίστοιχη τεταγμένη: C : y x y y 0 Άρα το μοναδικό κοινό σημείο των δυο γραμμών είναι το:,0 Σελίδα 3 από 5

14 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. 3 Έστω η γραμμή C με εξίσωση y x x 5x 3. Να βρεθούν τα σημεία τομής εάν υπάρχουν της γραμμής αυτής με τους άξονες xx και yy. Να βρεθούν εάν υπάρχουν τα κοινά σημεία των γραμμών C : y x 4 και C : x y x Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας...α. Γωνία ευθείας με τον x x Ορισμός γωνίας ευθείας με τον άξονα x x : Έστω ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο xy και μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο. Τη γωνία ό- ταν στραφεί γύρω από το σημείο κατά τη θετική φορά περιστροφής, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία τη λέμε γωνία που σχηματίζει η με τον άξονα. x ' x Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς : ˆ που διαγράφει ο άξονας x x Αν ' xx, τότε θεωρούμε ότι η ευθεία ˆ 0 (οριζόντια ευθεία). Έτσι έχουμε πάντοτε ότι: σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 0 ˆ ' Στην περίπτωση που είναι yy, τότε ˆ και η ευθεία ε ονομάζεται κατακόρυφη ευθεία. Όταν η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη ονομάζεται πλάγια ευθεία. Έστω τώρα μια πλάγια ευθεία ˆ. Ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης (ή κλίση) της ευθείας ε και συμβολίζεται με ο αριθμός. ˆ Είναι φανερό ότι αν xx τότε ˆ 0 και συνεπώς 0 0. Σελίδα 4 από 5

15 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Αν yy τότε ˆ Γενικότερα, ισχύουν οι σχέσεις: και τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. =0 0 ˆ 0 0 ˆ <0 ˆ...β. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας παράλληλης σε διάνυσμα οπότε Έστω τώρα μια πλάγια ευθεία ε που σχηματίζει γωνία 0 ˆ στον άξονα yy ˆ και και ˆ. Έστω επίσης ένα διάνυσμα και που σχηματίζει με τον άξονα xx 3 ˆ. Είναι: γωνία ˆ με τον άξονα xx που δεν είναι παράλληλο ˆ, οπότε 0 ˆ με, είναι ˆ ˆ) ή ˆ ( ˆ ˆ ˆ Συνεπώς: Όταν ένα διάνυσμα και μια ευθεία είναι παράλληλα, τότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης (κλίση). Σελίδα 5 από 5

16 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 3 Για να βρούμε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη σε ένα διάνυσμα, αρκεί να βρούμε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης εάν υπάρχει της ευθείας είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ). που Εφόσον συμπεραίνουμε ότι: Λ ύ σ η : y x Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 3. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης εάν υπάρχει της ευθείας παράλληλη στα παρακάτω διανύσματα που είναι ) u (3, ) ) w (0, ) 3) v (5,0) Έστω η ευθεία η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 3 4, ) και σχηματίζει με τον άξονα x ' x αμβλεία γωνία. Να βρείτε την τιμή του. με συντελεστή διεύθυνσης...γ. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ε yy τον συντελεστή διεύθυνσης ενός οποιουδήποτε διανύσματος παράλληλου με την ευθεία ε. Αν x, y x, y είναι δύο σημεία της ευθείας ε, ο συντελεστής διεύθυνσης και της ε είναι y y y y ˆ x x x x Σελίδα 6 από 5

17 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h αφού x x, y y, όπου ω είναι η γωνία της ευθείας ε με τον άξονα xx σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς και την μετράμε από τον άξονα προς την ευθεία με θετικό προσανατολισμό. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθε ίας που διέρχεται απ τα σημεία (,3) και B(,4). Λύσ η : Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία, 3 και είναι:, 4 AB y x B B y x A A 4 3 ( ) Συνθήκη παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών Δύο ευθείες μη παράλληλες με τον άξονα yy αν και μόνον αν έχουν τους ίδιους συντελεστές διεύθυνσης Δύο ευθείες μη παράλληλες με τον άξονα και μόνον αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι yy είναι μεταξύ τους παράλληλες και, δηλαδή είναι μεταξύ τους κάθετες αν, δηλαδή Α π ό δ ε ι ξ η Έστω ευθείες και με συντελεστές διεύθυνσης και επίσης τα διανύσματα v και v.τότε και v v αντίστοιχα. Έστω. Έχουμε λοιπόν: v v v v v v v v Σελίδα 7 από 5

18 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 4 Δύο ευθείες για τις οποίες ορίζονται συντελεστές διεύθυνσης, είναι μεταξύ τους: Παράλληλες αν και μόνον αν έχουν τους ίδιους συντελεστές διεύθυνσης και, δηλαδή Κάθετες αν και μόνον αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι δηλαδή, Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνονται οι ευθείες και με συντελεστές διεύθυνσης αντίστοιχα. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε οι ευθείες να είναι: α) Παράλληλες β) Κάθετες Λ ύ σ η : Αν, τότε xx ενώ η ε είναι πλάγια, άρα δεν μπορούν να είναι 0 παράλληλες ή κάθετες. Αν 0 αντίστοιχα και πάλι δεν μπορούν να είναι παράλληλες ή κάθετες. Αν και, τότε έχουμε: α) και β) 0 ή Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 4. Σελίδα 8 από 5

19 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h και με συντελεστές διεύθυνσης 3 Δίνονται οι ευθείες και 06 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι τιμές του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. 06 Δίνονται οι ευθείες και 3 4 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι τιμές του ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες. και..4. Γωνία δύο ευθειών Έστω Oxy με συντελεστές διεύθυνσης ένα σύστημα συντεταγμένων και δυο ευθείες που τέμνονται σε σημείο P. Ονομάζουμε γωνία των ευθειών δίνονται και τη συμβολίζουμε με γύρω από το P, και και, τη γωνία που διαγράφει η με την σειρά που αν στραφεί κατά την θετική φορά περιστροφής, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία. Αν, ˆ, λέμε ότι η ευθεία σχηματίζει με την ευθεία, ορίζουμε τη γωνία των ευθειών 0,. Επίσης αν, ˆ, τότε,. γωνία ˆ. Αν,, 0. Άρα είναι Σελίδα 9 από 5

20 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ..5. Θεώρημα εφαπτόμενης γωνίας δύο ευθειών Έστω και μεταξύ τους. Έστω δυο ευθείες, μη παράλληλες με τον άξονα yy, οι συντελεστές διεύθυνσης των ορίζεται η εφαπτομένη της γωνίας των δύο ευθειών ως εξής:, και και όχι κάθετες αντίστοιχα. Τότε Α π ό δ ε ι ξ η Έστω και ˆ. δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης ˆ και Παρατηρούμε πώς η γωνία των δύο ευθειών μπορεί να οριστεί ως την διαφορά των γωνιών τους από τον άξονα x ' x. Δηλαδή,, Π α ρ α τ ή ρ η σ η Αν μια από τις δυο ευθείες και ), τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης για την είναι παράλληλη στον άξονα yy (π.χ. η, οπότε η εφαπτομένη της γωνίας των δυο ευθειών μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση ˆ, όπου ˆ x x,, γιατί είναι ˆ ˆ ή ˆ ˆ, οπότε ˆ ˆ ˆ...6. Εξίσωση ευθείας Η εξίσωση ευθείας ε της οποίας γνωρίζουμε ένα σημείο της x, y καθώς και τον συντελεστή διεύθυνσής της λ, δίνεται από τη σχέση: y y x x Α π ό δ ε ι ξ η Έστω τα διαφορετικά σημεία (x, y) και M(x 0,y 0) που ανήκουν στην ευθεία y ' y με συντελεστή διεύθυνσής. Τότε έχουμε : Σελίδα 0 από 5

21 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h M AM y y x x 0 0 y y (x x ) α. Ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης και ένα σημείο της Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 5 (x,y ) Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης που διέρχεται από γνωστό σημείο αντικαθιστούμε το και τις συντεταγμένες του σημείου στον τύπο y y x x Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο A A. 0 0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ το σημείο, 3 κι έχει συντελεστή διεύθυνσης. Λ ύ σ η : Με αντικατάσταση των συντεταγμένων του Α και του συντελεστή διέυθυνσης στην εξίωση y y 0 (x x 0) έχουμε: y y x x A y 3 (x ) A y 3 x 4 y x 7 () Η εξίσωση της ευθείας () είναι στην μορφή: : y x Η μορφή αυτή ονομάζεται ανηγμένη μορφή εξίσωσης ευθείας. Π α ρ α τ η ρ ή σ η Δύο ευθείες : y x και : y x ταυτίζονται αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και τον ίδιο σταθερό όρο. Δηλαδή: Σελίδα από 5

22 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας όταν: i. Διέρχεται από το σημείο, 4 κι έχει συντελεστή διεύθυνσης ii. Διέρχεται από το (0,0) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 6 06 Για να δούμε αν ένα σημείο, ελέγχουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Δηλαδή αν ισχύει y0 x0. (x 0, y 0) ανήκει σε μια ευθεία : y x Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να εξετάσετε αν τα σημεία A(,) και : y 3x. 3, είναι σημεία της ευθείας Λ ύ σ η : Ελέγχουμε εάν οι συντεταγμένες των σημείων ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας. Για το σημείο Α έχουμε: 3 οπότε,. Αντίστοιχα για το άλλο σημείο Β έχουμε: , αδύνατη που σημαίνει ότι: 3, Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 6. Να εξετάσετε αν τα σημεια A, και,4 ανήκουν στην ( ) : y x 3. Σελίδα από 5

23 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h..6.β. Έυρεση σημείων τομής ευθείας με τους άξονες Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 7 xx α) Για να βρούμε τα σημεία τομής μιας ευθείας : y x, με τον άξονα y 0 x β, θέτουμε και βρίσκουμε. Τότε το σημείο Μ,0 λ σημείο τομής της με τον άξονα xx. Αν η ευθεία είναι της μορφής το σημείο τομής είναι το. x,0 0 x x x 0 β) Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής μιας ευθείας : y x με τον άξονα yy, θέτουμε x 0 και βρίσκουμε y είναι το, τότε,. Τότε το σημείο το σημείο τομής της με τον άξονα yy. Αν η ευθεία είναι της μορφής το σημείο τομής είναι το σημείο. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνεται η ευθεία : x 6y 8. 0 x,0 0, x x 0 α) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας β) Να βρεθούν τα σημεία τομής με τους άξονες γ) Να εξετάσετε αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο (,4) Λ ύ σ η : α) Φέρνουμε την ευθεία στη μορφή y x. είναι, τότε 4 x 6y 8 6y x 8 y x, άρα β) Η ε τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη y 0, άρα x 8, xx επομένως x 4. H ε τέμνει τον άξονα 0 6y 8, επομένως yy στο σημείο 4 0, 3. yy 4 y. Άρα τέμνει τον άξονα xx 3 στο σημείο με τετμημένη x 0, άρα στο σημείο (4,0) και τον γ) Εξετάζουμε αν το σημείο επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας. Για x και y 4 έχουμε: αδύνατη Άρα η ευθεία ε δεν διέρχεται από το σημείο Α. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 7. Σελίδα 3 από 5

24 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Να βρεθούν τα σημεία τομής της ( ) : y x 5 με τους άξονες και στην συνέχεια να βρεθεί το για το οποίο η ( ) : y (0 3)x τέμνει την. : 3x 4y. x ' x Δίνεται η ευθεία α) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. β) Να βρεθούν τα σημεία τομής με τους άξονες. γ) Να εξετάσετε αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο (,4). ( ) στον άξονα..6.γ. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 8 Έστω μία ευθεία ε και δύο διαφορετικά σημεία της, Αν x x x, y x, y y y ο συντελεστής διεύθυνσης της ε θα είναι, και αφού διέρ- x x χεται από τα σημεία Α, η εξίσωσή της θα βρίσκεται αντικαθιστώντας στον τύπο y y x x το και τις συντεταγμένες του Α ή του Β. 0 0 Αν x x, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε και η εξίσωσή της είναι η x.. Για τον προσδιορισμό εξίσωσης ευθείας που πληροί μια ιδιότητα (πχ διέρχεται από σημείο), εξετάζουμε δύο περιπτώσεις: α) Αν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, οπότε θεωρούμε ευθεία y x και εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα. β) Αν είναι κάθετη στον x ' x, οπότε εξετάζουμε αν ευθεία της μορφής x xo επαληθεύει τη δοσμένη ιδιότητα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία,4 και (,6). Λύσ η : Η ζητούμενη ευθεία διέρχεται από τα σημεία (, 4) και (,6) άρα: Σελίδα 4 από 5

25 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h και επομένως έχει εξίσωση: y y 6 4 x x y y A (x x A) y 4 (x ) y x Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από τα,4 και, 7. Λ υ σ η : Παρατηρούμε ότι x x άρα η ευθεία έχει εξίσωση y. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 3 Δίνεται το,7. Να βρείτε την ευθεία του επιπέδου που τέμνει τους άξονες στα Β και Γ,αντίστοιχα, με Α μέσο του ΒΓ. Λ ύ σ η : Έστω Β το σημείο τομής της ζητούμενης ευθείας με τον άξονα xx, άρα x,0 και Γ το σημείο τομής της ζητούμενης ευθείας με τον άξονα yy, άρα 0, y. Εφόσον το σημείο Α είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ, θα ισχύει: x x x 0 x x x 4 4,0 y y 0 y y y 7 y 4 0,4 Άρα, ψάχνουμε εξίσωση ευθείας από γνωστά σημεία, 4,0 και 0,4. Είναι λοιπόν: y y y y x x y x 4 y 7 x 4 y 7 x 4 x x 0 4 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 8. Σελίδα 5 από 5

26 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές (,6), βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου AM του τριγώνου όταν και (0,6). (0,), (6,7) και (4,4), (4,0) να (0,) Π α ρ α τ ή ρ η σ η Η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία μπορεί να υπολογιστεί και με την βοήθεια της ορίζουσας: x, y, x, y, x x y y y y x x 0 όπου x, y οποιοδήποτε σημείο της ευθείας. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία 0,3 και,5. Λ ύ σ η : x 0 y 3 0 x y 3 0 x y y x 6 y x y x 3..6.δ. Ευθεία παράλληλη - κάθετη σε ευθεία ή διάνυσμα Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 9 Αν η ζητούμενη ευθεία είναι: Παράλληλη σε δοσμένο διάνυσμα ή δοσμένη ευθεία, τότε θα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης εφόσον ορίζεται. Εάν η δοσμένη ευθεία ή διάνυσμα δεν ορίζουν συντελεστή διέυθυνσης τότε η ζητούμενη ευθεία είναι της μορφής x Σελίδα 6 από 5

27 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Κάθετη σε δοσμένο διάνυσμα ή ευθεία, θα έχουν συντελεστή διεύθυνσης τετοίο ώστε το γινομενό τους να είναι ισο με - εφόσον ο συντελεστης της ευθειας και του διανυσματος οριζονται και δεν είναι 0. Εάν ο συντελεστής διέυθυνσης του δοσμένου διανύσματος ή ευθείας δεν ορίζεται τότε η ευθεία που αναζητάμε είναι της μορφής y ενώ εάν ισούτε με μηδέν είναι της μορφής x. Τα παραπάνω μας δίνουν σε κάθε περίπτωση τον συντελεστή διέυθυνσης της ευθείας που αναζητούμε και σε συνδιασμό με ένα γνωστό σημείο βρίσκουμε της εξίσωσή της. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι: α) Παράλληλη στην ευθεία y x 5 β) Κάθετη στην ευθεία y 3x 6 γ) Παράλληλη στo διάνυσμα (,) δ) Κάθετη στο διάνυσμα (8,) (,4) Λ ύ σ η : α) : y x 5, και Άρα η εξίσωση της ευθείας θα είναι: β) y 3, y y 0 (x x 0) y 4 (x ) y x : x 6 3 και 3 Άρα η εξίσωση της ευθείας θα είναι: 3 y y 0 (x x 0) y 4 (x) y x γ) y και x Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι y y 0 (x x 0)... y x Σελίδα 7 από 5

28 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ δ) y και 4 x 8 4 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι y y 0 (x x 0)... y 4x 5..6.ε. Ευθεία που σχηματίζει γωνία ω με τον x x Αν η ζητούμενη ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x ˆ, τότε ο συντελεστής διευθυνσής της θα είναι η ευθεία που ψάχνουμε θα είναι της μορφής x. ˆ αν ˆ δοσμένη γωνία ενώ αν ˆ 0 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (,4) και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία o 45 Η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα άρα έχει συντελεστή δι- εύθυνσης ˆ 45 xx Λ ύ σ η : γωνία ˆ 45 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι : y y (x x ) y 4 (x )... y x 3 Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 0 Ε ι δ ι κ έ ς π ε ρ ι π τ ώ σ ε ι ς ε υ θ ε ι ώ ν α) Όταν μια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα xx ( ή αλλιώς ˆ 0 ή 0 ), τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής y y0. β) Όταν μια ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα yy (ή αλλιώς ˆ 90 ή εάν το λ δεν ορίζεται), τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής x x0. Σελίδα 8 από 5

29 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας και: α) Είναι παράλληλη στον άξονα β) Σχηματίζει με τον άξονα () που διέρχεται από το σημείο xx xx. γωνία 90. (,5) α) Αφού xx, θα είναι Λ ύ σ η : διέρχεται από το σημείο Α, θα είναι η y 5. 0, άρα η ευθεία είναι της μορφής y y 0 και αφού β) Αφού x x 0 xx, δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, άρα θα είναι της μορφής και αφού διέρχεται από το σημείο Α, θα είναι η Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 0. xx. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ( 3, 06) και: α) Είναι παράλληλη στον άξονα x ' x β) Σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία 90 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία (3,5) και ( 7,5) και περνά από το (, 5)..7. Εύρεση στοιχείων τριγώνων Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς υ ψ ώ ν α) Αρχικά υπολογίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης, χρησιμοποιώντας την καθετότητα και τον συντελεστή της αντίστοιχης πλευράς. β) Έπειτα υπολογίζουμε την εξίσωση του ύψους χρησιμοποιώντας τον συντελεστή και τις συντεταγμένες της αντίστοιχης κορυφής. Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς μ ε σ ο κ α θ έ τ ω ν α) Υπολογίζουμε με τον παραπάνω τρόπο τον συντελεστή διεύθυνσης της μεσοκαθέτου. β) Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου της αντίστοιχης πλευράς. γ) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, υπολογίζουμε την εξίσωση της μεσοκαθέτου. Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς δ ι α μ έ σ ο υ Σελίδα 9 από 5

30 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ α) Βρίσκουμε το μέσο της αντίστοιχης πλευράς, β) Χρησιμοποιώντας το μέσο και την αντίστοιχη κορυφή, υπολογίζουμε την εξίσωση της διαμέσου Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με (3,4), (,5) και (6,3). Να βρεθούν: α) Η εξίσωση της πλευράς ΑΒ β) Η εξίσωση του ύψους ΑΔ γ) Η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ δ) Η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ Λ ύ σ η : Αρχικά βρίσκω τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών του: y y 5 4 x x 3 y y 3 4 x x y y 3 5 x x 6 4 Σελίδα 0 από 5

31 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h α), άρα y y 0 (x x 0) y 4 (x 3) y x 7 β) ά έ Οπότε : y y 0 (x x 0) y 4 (x 3) y x γ) Βρίσκω το μέσον Μ του : x x y y 9 7, M, y y 3 Επομένως : x x : y y 0 (x x 0) y 5 (x ) y x δ) Η μεσοκάθετη της πλευράς διέρχεται από το μέσο Μ της ΑΓ και είναι κάθετη σε αυτή : y y0 x x0 y 3x y 3x 0 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με (,5), (,) και (5,). Να βρεθούν: α) Η εξίσωση της πλευράς ΑΒ β) Η εξίσωση του ύψους ΑΔ γ) Η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ δ) Η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ Σελίδα από 5

32 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ..8. Συνευθειακά σημεία Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί: Α ΤΡΟΠΟΣ Να αποδείξουμε ότι ένα από τα τρία σημεία (πχ το Γ) ανήκει στην εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα άλλα δυο σημεία Α και Β. Β ΤΡΟΠΟΣ Να αποδείξουμε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ (ή ΒΓ) είναι παράλληλες, δηλαδή (ή ). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να αποδείξετε ότι τα σημεία, συνευθειακά.,3,5 και 4,9 είναι Λ ύ σ η : Α ΤΡΟΠΟΣ Βρίσκω την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β: y y 0 (x x 0) y 3 (x ) y x To σημείο Γ επαληθεύει την εξίσωση της παραπάνω ευθείας 9 4 άρα τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Β ΤΡΟΠΟΣ Βρίσκουμε τους συντελεστές διεύθυνσης των ΑΒ και ΑΓ. Είναι. Συνεπώς οι ευθείες είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Δεδομένου όμως ότι έχουν κοινό σημείο το Α, θα πρόκειται για την ίδια ευθεία. Άρα τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. Να αποδείξετε ότι τα σημεία 3,,, και 6, 5 είναι συνευθειακά. Σελίδα από 5

33 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h..9. Συμμετρικό σημείο ως προς ευθεία Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 3 Για να βρούμε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ευθεία ε ακολουθούμε τα εξής βήματα: ) Φέρνουμε την ΑΚ κάθετη στην ε. ) Βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ΑΚ από τη σχέση 3) Βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας ΑΚ χρησιμοποιώντας το Α και τον 4) Λύνουμε το σύστημα των ΑΚ και ε. Η λύση του συστήματος δίνει τις συντεταγμένες του σημείου x, y. 5) Το x, y είναι το μέσο του ΑΑ όπου Α είναι το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ε (με συντεταγμένες μέσου). xa xa ya ya x, y Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνεται το σημείο (, 3) και η ευθεία : y 3x 5. Να βρεθεί το συμμετρικό Α του σημείου Α, ως προς την ευθεία ε. Λ ύ σ η : Βρίσκω τον συντελεστή διεύθυνσης της ΑΚ 3 Η εξίσωση της ΑΚ : Σελίδα 3 από 5

34 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Λύνω το σύστημα των ΑΚ και ε: 0 y 3 (x ) y x y 3x 5 3x y x, y, y x x 3y Άρα 7, όπου Κ είναι μέσο του ΑΑ οπότε: x A x A xa x x A y y 7 3 y A A y y A 4 Άρα,4 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 3. 3 Δίνεται το σημείο ( 4, 4) και η ευθεία ( ) : y x. Να βρεθεί το συμμετρικό Α του Α, ως προς την ευθεία (ε). Σελίδα 4 από 5

35 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ερωτήσεις κλειστού τυπου Ε ρωτ ήσεις Κατανόη σης. Τι λέγεται εξίσωση γραμμής;. Τι ονομάζεται γωνία ευθείας με τον άξονα xx ; 3. Τι λέγεται συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας; 4. Να γράψετε τη σχέση που δίνει το συντελεστή διεύθυνσης ευθείας, αν γνωρίζουμε δύο σημεία της. 5. Ποια είναι η σχέση των συντελεστών διεύθυνσης δύο παράλληλων ευθειών; 6. Ποια είναι η σχέση των συντελεστών διεύθυνσης δύο κάθετων ευθειών; 7. Ποια σχέση δίνει την εξίσωση ευθείας; 8. Ποια είναι η μορφή της εξίσωσης ευθείας κάθετης στον άξονα και ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσής της; 9. Ποια είναι η μορφή εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 0. Ποια είναι η μορφή εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από το σημείο και xx 0, έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ( 0);. Ποια η μορφή ευθείας παράλληλη στον άξονα xx και ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσής της; Α σκήσεις συμπλήρωση ς κενού. Η γραμμή με εξίσωση y x με 0 παριστάνει... η ο- ποία τέμνει τον άξονα xx στο σημείο... και τον άξονα yy στο σημείο... Ο λ παριστάνει τον της... Όταν 0, τότε η...που σχηματίζει με τον άξονα είναι... γωνία, ενώ όταν 0, τότε η... που σχηματίζει με τον άξονα xx είναι... γωνία.. Η εξίσωση y παριστάνει ευθεία η οποία είναι... στον ά- xx ξονα yy και έχει Η εξίσωση x παριστάνει... η οποία είναι... στον άξονα yy και ο συντελεστής διεύθυνσής της... Σελίδα 5 από 5

36 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε ρωτ ήσεις αντιστ οίχισης. Να αντιστοιχίσετε κάθε σημείο της Α στήλης με μια εξίσωση γραμμής της Β στήλης. Στήλη, 3 0, Στήλη x 3y 3 x 4y 5 0 3,, 3 x y 4 y 3x, y x x y Ε ρωτ ήσεις πο λλαπλής επιλογη ς. Αν η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία x, και,0 είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία,3 και,, τότε το x είναι: α. 3 β. - γ. δ. ε. 5. Αν μια ευθεία τέμνει τον άξονα yy στο σημείο 0,4 και ορίζεται από τα σημεία και 6,, τότε το β είναι:,3 α. 4 β. 7 γ. 3 δ. -3 ε Αν μια ευθεία τέμνει τον άξονα xx στο σημείο,0, 0 και ορίζεται από τα σημεία 0,4 και,6, τότε το α είναι: Σελίδα 6 από 5

37 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h α. 4 β. 3 γ. 3 4 δ. 4 3 ε Αν το διάνυσμα i j με είναι παράλληλο στην ευθεία y x 3, τότε είναι: α. και 3 β. και 3 γ. 3 δ. 3 ε., τότε είναι: 5. Αν το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία y x 3 α.,3 και β., 3 και γ.,3 και δ., 3 και 6. Στο διπλανό σχήμα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι y 3x. Η γωνία ˆ ι- σούται με: α. 30 β. 60 γ. 45 δ. 90 ε. 35 Χ αρ ακτηρισμός προτ άσεων ω ς σωστ έ ς (Σ) ή λανθ ασμένες (Λ). Η ευθεία που περνά από τα σημεία x, y και x, y έχει εξίσωση y y y y (x x ) x x x x. Σ Λ. Για κάθε ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. 3. Οι ευθείες x 5 και y είναι κάθετες. Σ Σ Λ Λ Σελίδα 7 από 5

38 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 4. Αν δυο ευθείες είναι και, τότε. με συντελεστές διεύθυνσης και αντίστοιχα Σ Λ 5. Αν x, y, x, y με x x y y, τότε. x x Σ Λ 6. Η εξίσωση y x παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο., Σ Λ 7. Η ευθεία x x 0 είναι παράλληλη με τον άξονα xx. Σ Λ 8. Η ευθεία y 5x σχηματίζει με τον άξονα xx αμβλεία γωνία. Σ Λ 9. Για την ευθεία y 3 δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. 0. Οι ευθείες y 5 και y 5x είναι παράλληλες. Σ Σ Λ Λ. Η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που περνά από το x, y είναι η x x 0.. Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε έχει εξίσωση y x, Σ Σ Λ Λ 3. Η διχοτόμος της γωνίας x ˆ y είναι η y x. Σ Λ 4. Η ευθεία y x σχηματίζει οξεία γωνία µε τον άξονα xx. Σ Λ Σελίδα 8 από 5

39 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ασκήσεις Ε ξίσωση γραμμή ς Σημεί ο που ανήκει σε γρ αμμή Δίνονται Δίνεται 3 Δίνεται 4 Για 5 Να τρεις γραμμές C, C και C3 με εξισώσεις αντίστοιχα: x y x 3y 3 0, 3x y 0 και x y 5 0. i. Ποιες από τις γραμμές C, C και C3 διέρχονται από το σημείο ποιες από το και ποιες από το ; ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C iii. Υπάρχει σημείο από το οποίο διέρχονται και οι τρεις γραμμές; 0,0, 3,0 i. Από το Από το Από το ii. A,3, iii. A,3 O 0,0 A, 3,0 μία γραμμή C με εξίσωση x y 0, όπου α, β, γ η C η C 3 η C 3 9 B, Αν η C διέρχεται από το σημείο,, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές τα α, β, γ είναι ορθογώνιο. Το σημείο επαληθεύει την ευθεία και προκύπτει ότι, οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο η εξίσωση x 3 y 3 0. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία ε να διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με,6 και 4,. Δεν υπάρχει τέτοιο λ ποια τιμή του λ το σημείο, ανήκει στην ευθεία x 3y 0 ; βρείτε τα α, β, αν γνωρίζουμε ότι η ευθεία x y διέρχεται από τα σημεία, και 3,3. Σελίδα 9 από 5

40 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σ υμμετρίες 6 Δίνονται τρεις γραμμές C, C και C3 με εξισώσεις αντίστοιχα: x y y 0, x y 4x 4 0, x y. Να αποδείξετε ότι: i. Η C έχει άξονα συμμετρίας τον yy ii. Η C έχει άξονα συμμετρίας τον xx iii. Η C3 έχει άξονες συμμετρίας τους xx, yy και κέντρο συμμετρίας την αρχή τους Ο i) Αν το ανήκει στην ευθεία τότε το συμμετρικό του ως προς τον yy ανήκει επίσης στην ευθεία. ii) Αν το, ανήκει στην ευθεία τότε το συμμετρικό του, ως προς τον xx ανήκει επίσης στην ευθεία. iii) Όμοια.,, Σ υντ ελεστής διεύθυνσης ευθείας Γωνί α με τους άξ ο ν ες 7 Να 8 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία: 3 i. ˆ ii. ˆ iii. ˆ iv. ˆ v. ˆ 0 3 i) ii) 3 iii) 3 iv) λ δεν ορίζεται v) 0 βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία: 4,, 5,3,3 i., ii., iii. 3,4, 0,5 iv. 3, 4, 3,0 i) 7 ii) 0 5 Σελίδα 30 από 5

41 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 9 Να 0 Έστω Ά Δίνεται iii) βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα xx απ τα σημεία: i., 3 3,, 3 3, ii. 4,,,, iii.,3,,, iv. 5,, 4,, 3 3 iv) λ δεν ορίζεται η ευθεία που διέρχεται i) 3 60 ii) 0 0 iii) λ δεν ορίζεται 90 iv) 0 0 ότι η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσμα. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ε και το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ε με τον άξονα xx όταν: 3,,3 5,0 i. ii. iii. i) 0 άρα 90 3 ii) 3 0 άρα 90 iii) 0 άρα 0 σ κ η σ η... Να βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας (ε), η οποία σχηματίσει με τον άξονα yy γωνία ίση με : i. iv. 6 3 ii. v. τρίγωνο ΑΒΓ με, i) ii) iii) iv) 3 v) vi) 3 3,, 4. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης: i. των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ii. της διαμέσου ΑΜ iii. του ύψους ΒΚ iii. vi ,, i) 3 ii) 5,, 9 Σελίδα 3 από 5

42 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ iii) 3 5 Ε ύρεση εξίσωσ ης ευθεί ας Βασι κ ές περιπτ ώσ ει ς 3 Να 4 Να 5 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο,4 και: 0 i. έχει συντελεστή διεύθυνσης ii. έχει συντελεστή διεύθυνσης iii. έχει συντελεστή διεύθυνσης iv. δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης 4 i) ii) y x 8 iii) y 4x 4 iv) x βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α και Β σε κάθε περίπτωση: i. 0,0 και, ii., 4 και 0, 3 iii., 5 και 4, 3 iv., 9 και 4, 9 v.,7 και, 7 vi. 8,6 και 8,0 y 4 i) y x ii) y x 3 3 iii) y x 3 3 iv) y 9 v) x vi) x 8 βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο 6, 3 και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία: i. 0 ii. 45 iii. 60 iv Αν v. 0 vi. 35 i) y 3 ii) y x 9 iii) y 3x v) y 3x vi) y x 3 iv) x 6 η ευθεία ε διέρχεται απ το σημείο 3, σε καθεμιά απ τις παρακάτω περιπτώσεις: i. είναι παράλληλη στο διάνυσμα, 4, να βρείτε την εξίσωσή της Σελίδα 3 από 5

43 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 7 Να 8 Να ii. είναι παράλληλη στην ευθεία iii. είναι κάθετη το διάνυσμα iv. σχηματίζει με τον άξονα xx ( ) : y x 3 0,3 γωνία v. διέρχεται απ το σημείο 3,5 vi. διέρχεται απ την αρχή των αξόνων. 4,7 3 ˆ 4 i) y x 5 ii) iv) y x v) x 3 y x iii) y 3 vi) y x 3 βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη: i. στο διάνυσμα,3 ii. στο διάνυσμα 0,3 iii. στην ευθεία y x 00 iv. στην ευθεία y 4 v. στην ευθεία x 5 9 i) y x 3 3 ii) x 4 iii) y x 3 iv) x 4 v) y 7, βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο και από το σημείο τομής της ευθείας y x με τον άξονα xx. Μετά να βρείτε το λ ώστε το σημείο 3, να ανήκει στην ε. : y x, 3 Σ ημεί α τ ομή ς 9 Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες σε κάθε περίπτωση: i. y x ii. y x iii. y 5x iv. y x 8 v. y 4x vi. y 5x vii. y 6 viii. x Σελίδα 33 από 5

44 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ i) A,0, B0,, ii) A,0, B 0, 5, δεν τέμνει τον xx, iii) A,0, B0, v),, vi),, vii) yy O 0,0 O 0,0 ( ) : y O 0,0 O 0,0 A 0,6, iv) A 8,0, B0, 8,, viii) A,0, δεν τέμνει τον x ' x 0 Να βρείτε, αν υπάρχει, το σημείο τομής των δύο ευθειών σε κάθε περίπτωση: i. ( ) : y x 5 και ( ) : y x 5 ii. ( ) : y x 8 και ( ) : y x 6 iii. ( ) : y x και ( ) : y x 4 iv. και ( ) : x i) M, 3 3 ii) M 4, iii) αδύνατο iv) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία : y x 5 και τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β 3 αντίστοιχα έτσι, ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με 6. Να M 9, y 3 x 9 βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που είναι κάθετη στην ευθεία : y x 6, τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και: i. το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β είναι ίσο με 4 ii. το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 9 τετραγωνικές μονάδες iii. η τετμημένη του Α και η τεταγμένη του Β είναι ακέραιοι αριθμοί διάφοροι του 0 και το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή ίσο απ το i) y x 8 ii) : y x 6 και : y x 6 iii) y x, * Ε ύρεση στ οιχείων επι π έδ ω ν σχημάτ ω ν Σελίδα 34 από 5

45 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 3 Αν τα σημεία, 3, και είναι κορυφές τριγώνου. Να βρεθούν οι εξισώσεις: i. των πλευρών του ii. των διαμέσων του iii. των μεσοκαθέτων του i) AB: y x, ΑΓ: 0,, 5 iv. των υψών του 7 y x 4, ΒΓ: y 3 x, ii)am: y, ΒΝ:x=0, ΓΞ: x y x, iii)μεσοκάθετος της ΒΓ: y x, μεσοκάθετος της ΑΓ: y x 4, μεσοκάθετος ΑΒ: y x, iv)αδ: y, ΒΕ: y x ΓΖ: y x 4 ) 4 Δείξτε ότι, αν : i.,,4 5, x 3 3,,, τότε ΑΒΓΔ τετράγωνο.,, ii. 5,, 7,0,,,, τότε ΑΒΓΔ τετράγωνο.,0 5 Θεωρούμε 6 Δίνεται 7 Δίνεται τα σημεία 3,,,5 και την ευθεία : y x. Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε, για τα οποία το τρίγωνο ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ. 9 M, 4 7, 3. Να βρείτε τις συντεταγ- τετράγωνο ΑΒΓΔ με 4, μένες των κορυφών Β και Δ. και είναι 9,,, 5 ή, 5, 9, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές 4,, 5,3, 6,5,,. i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. ii. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τραπεζίου. 3 ii) y x Σελίδα 35 από 5

46 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 36 από 5

47 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h.. Γενική (Καρτεσιανή) μορφή εξίσωσης ευθείας Θεώρημα: Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax By 0 με A 0 ή 0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία γραμμή. Α π ό δ ε ι ξ η Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο και έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε θα έχει εξίσωση y y y 0, x, η οποία γράφεται : x y 0 Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο ( x 0, y0), τότε θα έχει εξίσωση x x0, η οποία γράφεται ισοδύναμα: x 0 y x 0 Άρα και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή: Ax By 0 με A 0 ή 0 Αντίστροφα, έστω η εξίσωση Ax By 0 με A 0 ή 0. Αν 0, τότε η εξίσωση γράφεται A y x που είναι εξίσωση ευθείας με συ- B B ντελεστή διεύθυνσης 0 A η οποία τέμνει τον άξονα y y B στο σημείο 0, B. Αν 0, τότε λόγω της υπόθεσης, είναι 0 και η εξίσωση γράφεται x, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα x x στο σημείο του,0. Σε όλες τις περιπτώσεις η εξίσωση Ax By 0 με A 0 ή 0 παριστάνει ευθεία. Π α ρ α τ η ρ ή σ ε ι ς Η εξίσωση Ax By 0 παριστάνει ευθεία αν και μόνο αν Σελίδα 37 από 5

48 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 0 ή 0 0 Η εξίσωση Ax By 0 δεν παριστάνει ευθεία αν και μόνο αν 0. Η ευθεία Ax By 0 με A 0,0 και τον άξονα yy ή στο σημείο 0 τέμνει τον άξονα 0,. xx στο σημείο... Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία Έστω xy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και επιπέδου με εξίσωση Ax By 0, με A 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης (, ). Αν 0, τότε η ευθεία ή 0. Αν μια ευθεία του 0, τότε η ευθεία, επομένως είναι παράλληλη στο διάνυσμα είναι παράλληλη στον άξονα yy, επομένως είναι παράλληλη σε κάθε διάνυσμα με τετμημένη 0 και τεταγμένη διάφορη του 0, άρα και στο διάνυσμα (, ). Επομένως: Η ευθεία με εξίσωση Ax By 0, με A 0 ή 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ).... Διάνυσμα κάθετο σε ευθεία Έστω το διάνυσμα (, ). Είναι: Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Το διάνυσμα. Επομένως: Η ευθεία είναι κάθετη στο διάνυσμα Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο 3 (, ) (, ) 0 είναι κάθετο στο διάνυσμα και επειδή, θα είναι με εξίσωση Ax By 0 με A 0 ή 0 (A,B). Η ευθεία : 3x y 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, 3) (ή στο (, 3) ) και κάθετη στο διάνυσμα (3, ). Σελίδα 38 από 5

49 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h..3. Ορισμός Γωνίας δύο μη παράλληλων ευθειών: Έστω οι μη παράλληλες ευθείες : x y 0 με 0 ή 0, : x y 0 με 0 ή 0 και τα παράλληλα διανύσματά τους (, ) και (, ). Τότε η γωνία ˆ (, ) μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο ˆ. Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 4 Ε ύ ρ ε σ η γ ω ν ί α ς δ ύ ο ε υ θ ε ι ώ ν Όταν μας ζητείται να υπολογίσουμε την γωνία που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες: ) Βρίσκουμε ένα διάνυσμα παράλληλο στην μία ευθεία και ένα διάνυσμα παράλληλο στην άλλη. ) Υπολογίζουμε τη γωνία των δύο διανυσμάτων χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενό τους, η οποία θα ισούται και με την μία γωνία των ευθειών. Αν ζητείται να βρεθεί η οξεία γωνία των δύο ευθειών, και λόγω επιλογής των διανυσμάτων βρεθεί η αμβλεία, αρκεί να θυμόμαστε ότι οι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : x y 0 και : x 3y 4 0. Λ ύ σ η : Το διάνυσμα, είναι παράλληλο με την, ενώ το διάνυσμα 3, είναι παράλληλο με την. Θα υπολογίσουμε την γωνία ˆ των δύο διανυσμάτων. ˆ ( 3) ( ) Σελίδα 39 από 5

50 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Άρα τα δύο διανύσματα έχουν σχηματίζουν γωνία 35 Οπότε αντίστοιχα, η οξεία γωνία των ευθειών θα είναι 45 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 4. Να βρεθεί η τιμή του ώστε οι ευθείες : x 3y 0 και : 3 x y 0 να είναι κάθετες. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο, και 3 σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία θ τέτοια, ώστε ˆ. 5 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα xx που διέρχεται από τα σημεία,4 και,. Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζει ο άξονας yy α),4 και, β) 3,6 και 3, 3 η ευθεία με την ευθεία ΑΒ όταν:..4. Σχετική θέση δύο ευθειών Έστω οι δύο ευθείες: Το σύστημα : : x y 0, με 0 ή 0 : x y 0, με 0 ή 0 : Σελίδα 40 από 5

51 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Έχει μοναδική λύση, αν και μόνον αν οι ευθείες x, y 0 0 τέμνονται και σημείο τομής τους είναι το σημείο με συντεταγμένες σχύει αν: και x, y 0 0 D Είναι αδύνατο, αν και μόνον αν οι ευθείες διαφορετικές. Αυτό ισχύει αν D 0 και Dx 0 ή και y D 0. Αυτό ι- είναι παράλληλες και. Αν δηλαδή 0 D 0 και Dx 0 και 0 ή αν 0 D 0 και Dy 0 και 0 Είναι αόριστο, αν και μόνον αν οι ευθείες και όταν. Αυτό ισχύει αν D Dx Dy 0. ταυτίζονται, δηλαδή Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 5 Ε ύ ρ ε σ η σ η μ ε ί ω ν τ ο μ ή ς δ ύ ο ε υ θ ε ι ώ ν Για να βρούμε τα σημεία τομής δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους και ερμηνεύουμε ως εξής: α) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε οι ευθείες τέμνονται και η λύση που βρίσκουμε είναι το σημείο τομής τους. β) Αν το σύστημα είναι αόριστο, τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Σελίδα 4 από 5

52 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ γ) Αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες (Δεν έχουν κοινό σημείο). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί το σημείο τομής των ευθειών : y x 4 και : y 4x 6. Λ ύ σ η : Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των και έχουμε: Και τότε ε : y = 5 4 y 4 x 4 4x 6 x 5 Άρα οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο ( 5, 4) Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 5. Να βρεθεί το σημείο τομής (εάν υπάρχει) των ευθειών : x 3y 7 0 και : 3x y 4 0. Να βρεθούν οι σχετικές θέσεις των ευθειών: : 6 x y 3 0 και : 3 x y 9 0 για τις διάφορες τιμές του. Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 6 Τ ρ ε ι ς ε υ θ ε ί ε ς δ ι έ ρ χ ο ν τ α ι α π ό τ ο ί - δ ι ο σ η μ ε ί ο ( σ υ ν τ ρ έ χ ο υ ν ) Για να δείξουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν βρίσκουμε το σημείο τομής δύο εξ αυτών, λύνοντας το σύστημα τους και στην συνέχεια ελέγχουμε αν το κοινό σημείο των δύο αυτών ευθειών είναι σημείο της τρίτης ευθείας. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να εξετάσετε αν οι ευθείες : x y 5, : x 3y 9 συντρέχουν. 3 Λ ύ σ η : Αρχικά λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών βρούμε το σημείο τομής τους. : y x 8 και και για να Σελίδα 4 από 5

53 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Αρχικά έχουμε το γραμμικό σύστημα: x y 5 x y 8 Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις προκύπτει 3x 3 x και επομένως y 7. Άρα το σημείο τομής των και είναι το,7 Έπειτα ελέγχουμε αν το Μ είναι σημείο της 3 Οπότε έχουμε ΙΣΧΥΕΙ. Άρα και η 3 διέρχεται από το Μ, οπότε οι τρεις δοσμένες ευθείες συντρέχουν. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 6. Σελίδα 43 από 5

54 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω ευθείες συντρέχουν. x y 0 3x 4 0 x y 0 Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 7 Ζ ε ύ γ ο ς ( τ ρ ι ά δ α κ. λ. π. ) ε υ θ ε ι ώ ν Όταν μας δίνεται μία εξίσωση και μας ζητείται να δείξουμε ότι παριστάνει ζεύγος (τριάδα κ.λ.π.) ευθειών: ) Προσπαθούμε να την μετασχηματίσουμε σε γινόμενο δύο παραγόντων, ίσο με μηδέν (x, y) (x, y) 0. ) Οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις (x, y) 0 και (x, y) 0, που αποτελούν τις εξισώσεις του ζεύγους των ευθειών. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να δείξετε ότι η εξίσωση x y 0x 4y 0 παριστάνει ζεύγος ευθειών και να βρείτε τη σχετική τους θέση. Λ ύ σ η : Μετασχηματίζοντας την δοσμένη εξίσωση έχουμε: x y 0x 4y 0 x 0x y 4y 0 x 0x y 4y x 0x 5 y 4y 4 0 x 5 y 0 x 5 y x 5 y 0 x y 3 x y 7 0 Άρα x y 3 0 ή x y 7 0 Σελίδα 44 από 5

55 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που επαληθεύουν την αρχική εξίσωση είναι οι ευθείες : x y 3 0 και : x y 7 0. Επιπλέον παρατηρούμε ότι, άρα οι ευθείες αυτές είναι μεταξύ τους κάθετες. και Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να δείξετε ότι η εξίσωση ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3 x 3x y 3x xy x xy 0 παριστάνει 3 Λ ύ σ η : Μετασχηματίζοντας την δοσμένη σχέση έχουμε: 3 x 3x y 3x xy x xy 0 x x 3xy 3x y y 0 x, x x 3y 3 x y 0 (τριώνυμο ως προς x ) 3 3y 9y 4 y 3 3y y y y y x 4 3 3y y x y 4 y x x x y x x y x y 0 Σελίδα 45 από 5

56 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ x 0 ή x 0 x y 0 ή ή y x y 0 Άρα οι ευθείες: : x 0, : x y 0, : x y 0 3 διέρχονται από το σημείο (0,). Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 7. Να δείξετε ότι η εξίσωση x y x 4y 3 0 παριστάνει δύο ευθείες. Να ε- ξετάσετε τη σχετική θέση των ευθειών αυτών. Δίνεται η εξίσωση 4x y 4xy 6x 3y 4 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες και μετά να βρείτε την σχετική θέση αυτών των ευθειών. Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 8 Ο ι κ ο γ έ ν ε ι α ε υ θ ε ι ώ ν δ ι ε ρ χ ό μ ε ν η α π ό σ τ α θ ε ρ ό σ η μ ε ί ο Α ΤΡΟΠΟΣ Όταν μας ζητείται να δείξουμε ότι μια μεταβλητή ευθεία (οικογένεια ευθειών) διέρχεται από σταθερό σημείο, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Σελίδα 46 από 5

57 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h α) Αν η παράμετρος, έστω μ, που υπάρχει στην εξίσωση της (ε) είναι πρώτου βαθμού, τότε θα μετασχηματίζουμε την εξίσωση της (ε) στη μορφή 0. Το σημείο Κ προσδιορίζεται από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων (διότι αν οι ευθείες με εξισώσεις 0, 0 0, 0 τέμνονται στο Κ τότε και η (ε) με εξίσωση 0 θα περνά από το Κ, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις εξισώσεις 0, 0, άρα και την 0). β) Αν η παράμετρος μ είναι δευτέρου βαθμού (ή μεγαλύτερου), τότε θα μετασχηματίζουμε την εξίσωση της (ε) στη μορφή: g x, y 0 του Κ. f x, y g x, y h x, y 0 Επειδή η () ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό μ, έχουμε: f x, y 0,, hx, y 0 και από τη λύση του συστήματος έχουμε τις συντεταγμένες Β ΤΡΟΠΟΣ α) Θεωρούµε δυο οποιεσδήποτε ευθείες και από τις ευθείες της οικογένειας, δίνοντας δυο τυχαίες τιµές στην παράµετρο μ. β) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των δυο αυτών ευθειών και προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες (x 0, y 0) του σηµείου τοµής τους Κ. γ) Ελέγχουμε αν το Κ επαληθεύει την γενική εξίσωση της οικογένειας ευθειών. Αν αυτό συμβαίνει, τότε όλες οι ευθείες τις οικογένειας διέρχονται από το Κ, άρα οι ευθείες αυτές συντρέχουν. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να αποδείξετε ότι η ευθεία : x y 0, διέρχεται από σταθερό σημείο. Λ ύ σ η : Α ΤΡΟΠΟΣ Θα φέρουμε την εξίσωση στη μορφή : 0 Άρα x x y y 0 x y x y 0 Σελίδα 47 από 5

58 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Τότε Άρα ( 3, 4) x y 0 x 3 x y 0 y 4 Β ΤΡΟΠΟΣ Άρα ( 3, 4) ά μ 0 : x y 0 x 3 Γιά μ : x 3 0 y 4 Ελέγχουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου Κ επαληθεύει την ε πράγματι ισχύει: Άρα από το σημείο Κ διέρχονται όλες οι ευθείες της οικογένειας. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δείξτε ότι η ευθεία : x y 0, διέρχεται από σταθερό σημείο. Τότε: Λ ύ σ η : Α ΤΡΟΠΟΣ x y 0 x y x y x y 0, Άρα (,). x y 0 x x y 0 x y 0 y Β ΤΡΟΠΟΣ ά μ 0: x y 0 x Γιά μ : 4x y 3 0 y Σελίδα 48 από 5

59 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Άρα (,). Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την (ε), η ευθεία διέρχεται από το Κ. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε μορφής όλες οι ευθείες της οικογένειας με εξίσωση της διέρχονται από ένα σταθερό σημείο. x y 3 0 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3 x y 3 0, Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 9 Ε ύ ρ ε σ η γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ύ τ ό π ο υ δ ο σ μ έ - ν ο υ π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ο ύ σ η μ ε ί ο υ Για να προσδιορίσουμε τον γεωμετρικό τόπο ενός μεταβλητού σημείου f,g : ) Θεωρούμε τυχαίο σημείο x, y με x f και y g του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. ) Κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου μ και η εξίσωση που θα προκύψει αποτελεί την εξίσωση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος στον οποίο κινούνται τα σημεία 5, 3 7 Θεωρούμε Λ ύ σ η : x 5 και y 3 7 Έπειτα κάνουμε απαλοιφή της παραμέτρου μ, οπότε έχουμε 3x y 0 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία : Σελίδα 49 από 5

60 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ : 3x y 0 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 9. Να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων:.,3,.,4,, 3.,4 4.,, Σελίδα 50 από 5

61 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ερωτήσεις κλειστού τύπου Ε ρωτ ήσεις Κατανόη σης. Ποια η γενική μορφή εξίσωσης ευθείας;. Βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία x By Βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στην ευθεία x By 0. Α σκήσεις συμπλήρωση ς κενού. Η εξίσωση x By 0 παριστάνει ευθεία γραμμή (ε) όταν... ή... Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα xx όταν... παράλληλη στον άξονα yy όταν...και ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων όταν.... Τα διανύσματα,,, και...στην., 3. Τα διανύσματα, και, είναι... στην. Ε ρωτ ήσεις αντιστ οίχισης με 0 είναι. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της Α στήλης με μια ευθεία της Β στήλης, στην οποία το διάνυσμα είναι παράλληλο. Σ τ ή λ η Σ τ ή λ η Β, 5x y 0, 4x y 7 0, 5 5x 6y 0 3, 5 y x 4 3x,5y Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της Α στήλης με το σχήμα της στην στήλη Β. Σελίδα 5 από 5

62 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σ τ ή λ η Σ τ ή λ η x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 Ε ρωτ ήσεις πο λλαπλής επιλογη ς. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο 0,4 και είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 3x 4y 8 έχει εξίσωση: Σελίδα 5 από 5

63 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 4 y x 4 3 : 3y x 0 είναι κάθετες, τότε το α. 3x 4y 4 β. 3x 4y 6 0 γ. 4y 3x 4 δ.. Αν οι ευθείες : y x 3 0 και α. β. 3 γ Αν οι ευθείες : x 5y 7 και 3 δ. 6 ε. 6 : 6x y είναι παράλληλες, τότε α. 3 β. 5 γ. 0 δ. 5 ε. 4. Δίνεται ευθεία : 3x 4y 0 και τα σημεία της Ποια από τις ευθείες: : 6x 8y : x y : 4x 3y 0 3 επαληθεύει τις συνθήκες; 4, : 8x 6y : 4x 3y 0 3 : 3x 6 y 3 0 και 8,5 3.. Είναι παράλληλη προς την ε και περνά από το σημείο 3,. Δεν είναι παράλληλη ή κάθετη στην ε και την τέμνει στο 3. Είναι κάθετη στην ε στο σημείο της 9 4. Είναι παράλληλη προς την ε και περνά από το σημείο 4, 6 5. Δεν είναι παράλληλη ή κάθετη στην ε και την τέμνει στο σημείο 6. Είναι κάθετη στην ε στο σημείο της 5. Η μεσοκάθετος του τμήματος που ορίζεται από τα σημεία,6 και 4,3 έχει εξίσωση: α. 4x y 5 0 β. 4x y 3 0 γ. x y 0 0 δ. 4x y Σελίδα 53 από 5

64 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 6. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι παράλληλη στο διάνυσμα 3, είναι η: 3, α. 3x y 0 β. 3x y 0 γ. x 3y 5 0 δ. x 3y 0 Χ αρ ακτηρισμός προτ άσεων ω ς σωστ έ ς (Σ) ή λανθ ασμένες (Λ). Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x By 0 είναι ο.. Το διάνυσμα, είναι παράλληλο στην ευθεία x By Το διάνυσμα, είναι κάθετο στην ευθεία x By Η εξίσωση x By 0 παριστάνει ευθεία για κάθε Α, Β, Γ. 5. Η ευθεία x By 0 είναι παράλληλη στον xx αν Η εξίσωση x y 5 0 παριστάνει ευθεία για κάθε. Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 7. Κάθε ευθεία : x By 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σ Λ 8. Μια ευθεία : x By 0 δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, όταν 0 και 0. Σ Λ 9. Η συνθήκη 0 εξασφαλίζει ότι η εξίσωση x By 0 Σελίδα 54 από 5

65 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h παριστάνει ευθεία. 0. Η εξίσωση ευθεία. x y 5 0, παριστάνει πάντα. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία : x y 0 με τον άξονα xx είναι 45.. Οι ευθείες x y και x y τέμνονται. 3. Οι ευθείες y 3x και 3x y 4 τέμνονται. Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ 4. Οι ευθείες y x και 4x y 5 0 είναι παράλληλες. Σ Λ 5. Η ευθεία x y με, 0 τέμνει τους άξονες στα σημεία,0 και 0,. 6. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία 3x 3y 0 με τον άξονα xx είναι Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία 3x 3y 0 με τον άξονα xx είναι 0. Σ Σ Σ Λ Λ Λ 8. Η εξίσωση x By 0 παριστάνει ευθεία αν και μόνο αν 0. Σ Λ Σελίδα 55 από 5

66 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 56 από 5

67 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ασκήσεις Σ υντ ελεστής διεύθυνσης της Ax y 0 με 0 ή 0 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) όταν : i. Η είναι παράλληλη στην : x y 0 ii. Η είναι κάθετη στην : x 3y 0 iii. Η iv. Η είναι παράλληλη στην : x 3 είναι κάθετη στην : y 0 Να 3 Να 4 Να i. ii. iii. Δεν ορίζεται 3 iv. Δεν ορίζεται βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας (ε), η οποία σχηματίζει γωνία 4 με την ευθεία : 3x 3y 0. 3 ή 3 βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας (ε), η οποία σχηματίζει γωνία 3 4 με την ευθεία : x 3. ή βρεθεί ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας (ε), η οποία σχηματίζει γωνία με την ευθεία : x y ή δεν ορίζεται Γ ω νία μετ αξύ ευθει ώ ν 5 Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζουν οι ευθεία ε και ε όταν: i. : 5x y 7 0, : 3x y 0 ii. : 3x y 0, iii. : y 0, : x 3y 3 0 : x y 0 Σελίδα 57 από 5

68 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ iv. : x y 0, : x y 0 6 Δίνονται 7 Να 8 Δίνονται οι ευθείες : i. : x y 3 0, ii. : 4x y 0, Για τις διάφορες τιμές του μ, να βρεθεί η γωνία i. iii., βρείτε τη αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : : x 7y 5 0 και : 3x 4y 0 0 οι ευθείες : x y 0 και. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών και. 4 4 ii. iv. 4, ˆ 4 3 ˆ 4 : x y 0 0, 9 Να βρείτε: i. Τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ το σημείο, και σχηματίζουν με την ευθεία : x 3y 5 0 γωνία ˆ. 4 ii. Την οξεία γωνία ˆ που σχηματίζουν οι ευθείες : ˆ x ˆ y 0 και : ˆ x ˆ y 0, όπου ˆ 0 ˆ. i. ( ): x 5y 7 0 και ( ): 5x y 9 0 ˆ 4 ii. ˆ ˆ ˆ Σελίδα 58 από 5

69 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Π αρ άλληλες και κάθ ετ ες ευθεί ες 0 Να Να Να 3 Να προσδιοριστούν τα για τα οποία οι ευθείες : x y 4 0 και : 3 x y 7 0 είναι κάθετες. ή βρείτε τις τιμές του για τα οποία οι ευθείες : x y 4 0 και : x 3y 5 0 να είναι παράλληλες. 0 3 βρεθεί ο ώστε οι ευθείες : 3 x y 7 0 να είναι κάθετες. : x 4 y 0 7 και βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3x 4y 0, x 3y 0 και είναι: i. παράλληλη προς την ευθεία x y 0 ii. κάθετη προς την ευθεία 3x y 5 0 iii. παράλληλη στον άξονα xx iv. παράλληλη στον άξονα yy v. παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων, αράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων. i. ( ) : x y 0 ii. ( ) : x 3y 0 iii. ( ) : y 5 iv. ( ) : x 3 v. ( ) : x y 8 0 vi. ( ) : x y 0 Σελίδα 59 από 5

70 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σ υνθήκες πα ράστ αση ς ευθείας της μορ φής Ax y 0 μ ε 0 ή 0 4 Να προσδιοριστούν τα για τα οποία οι παρακάτω εξισώσεις, είναι εξισώσεις ευθειών: x 3y 0 i. ii. x y 0 iii. 4 x y 0 iv. x 3 y 0 i. 0 ii. 5 Δίνονται iii. iv. τα διανύσματα, με 0 και 0 καθώς και η εξίσωση x y 0 i. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία σε κάθε περίπτωση.. ii. Αν, τότε η () είναι παράλληλη στον άξονα xx iii. Αν, τότε η () είναι παράλληλη στον άξονα iv. Αν το σημείο 0,0 ανήκει στην (), τότε yy i. Για να μην παριστά η ()ευθεία πρέπει... ii.... iii.... iv. Για x y Δίνονται τα διανύσματα και ˆ, με, 6 και 0 ˆ, όπου. Δίνεται επίσης η εξίσωση x 6 y 7 0. Σελίδα 60 από 5

71 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h i. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία για κάθε ii. Αν η () είναι παράλληλη στον άξονα xx, τότε ˆ 0, 3 iii. Αν η () είναι παράλληλη στον άξονα yy, τότε να βρείτε τη γωνία ˆ iv. Να εξετάσετε αν το σημείο, ανήκει στην () iv. Tο σημείο, iii. ˆ 3 ανήκει στην () Γ εωμ ετρικοί τ όποι 7 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Α σε κάθε μια από τις παρακάτω περίπτωση: i.,3 ii.,4 3 iii. 6,3 6 iv., v. 5,4 vi. 9,7 i. ( ) : 3x y 0 ii. ( ) : x y Να 9 Δίνονται iii. ( ) : 3x y 6 0 iv. ( ) : y x v. ( ) : y 4 vi. ( ) : x 9 βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, και 3,. Για ποια τιμή του κ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; τα σημεία, και, σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ( ) : ( )x y 3 0, 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των 8. ( ) : y x 0 Δίνονται οι ευθείες : x y 0 και : x y 0,. Σελίδα 6 από 5

72 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ i. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες οι ευθείες και τέμνονται ii. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των ευθειών και i. ii. Είναι η ευθεία( ) : x y 0, με εξαίρεση το 3, που προκύπτει για Ο ικογένει ες ευθει ώ ν Να Δείξτε 3 Θεωρούµε 4 Για αποδειχθεί ότι, η ευθεία : x 3 y 0 διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε. Ισχύει για κάθε, διέρχεται από το σημείο, ότι η : 3 3 x y 3 0 είναι εξίσωση ευθείας, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο, για κάθε. Ευθεία για κάθε,,3 την ευθεία : x y 3x 7y 5 0 i. Να δειχθεί ότι διέρχεται από σταθερό σηµείο ii. Να βρεθεί ο λ ώστε η ευθεία 3x 5y 7 0 να είναι µια από τις ευθείες (ε) ποια η εξίσωση i. Ευθεία για κάθε,, 3 ii. 3 x 3 y () παριστά ευθεία; Στη συνέχεια να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που περιγράφονται απ την () διέρχονται απ το ίδιο σημείο. Ευθεία για κάθε,, Σελίδα 6 από 5

73 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 5 Δίνονται 6 Δίνεται 7 Να οι ευθείες : x y 3 0. i. Να βρείτε για ποιά κ η παριστάνει ευθεία. : x y 3x 4y 0 και ii. Να βρεθεί ο κ ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες. η εξίσωση: i. Να βρεθούν οι τιμές του ii. Να βρεθούν οι τιμές του σημείο. 4, i. Ευθεία για κάθε x 4 y 4 0. i. Ευθεία για κάθε ii. 3 0 ώστε η σχέση να παριστάνει ευθεία. για τις οποίες οι ευθείες αυτές περνούν από το ii. 3 ή βρείτε την ευθεία της οικογένειας ευθειών x 9 y 4 0 η οποία: i. διέρχεται από το σημείο, 3 ii. είναι παράλληλη στην ευθεία y x 4 iii. είναι κάθετη στην ευθεία y x 7 iv. είναι παράλληλη στον άξονα xx v. είναι παράλληλη στον άξονα yy 8 Δίνεται i. 40, ( ): 9x 49y 4 0 ii. 8 ( ): 7x y 4 0 iii. ( 5 3) : 7x 34y 70 0 iv. ( ) : y v. 9 ( ) : y η εξίσωση : x y 4 0. i. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία για κάθε ii. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστά η () διέρχονται από σταθερό σημείο iii. Να βρείτε ποια απ τις ευθείες που παριστά η () είναι κάθετη στην ευθεία : x 3y Σελίδα 63 από 5

74 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ iv. Να βρείτε ποια απ τις ευθείες της () τέμνει τους άξονες xx και yy 3 στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε να ισχύει ii),0 iii) 9x 3y 0 iv),0 και B 0, ή B 0, Ζ εύγη ευθει ώ ν 9 Να 30 Να 3 Να 3 Δίνεται αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 4y 4 0 παριστάνει ένα ζεύγος ευθειών το οποίο και να παραστήσετε γραφικά. και : x y 0 : x y 0 αποδείξετε ότι η εξίσωση x y 4x y 3 0 παριστάνει ένα ζεύγος ευθειών των οποίων να βρείτε τις εξισώσες και να κάνετε την γραφική παράσταση. : x y 0 και : x y 3 0 δειχθεί ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν δύο ευθείες τις οποιές και να βρείτε: i. x y 4 x 3y 8 0 ii. x y 9 0 iii. x y xy 0 iv. x y xy 3x 3y 0 i. : x 3y 8 0 και ii. iii. : x 0 και : x y 0 και iv. : x 9 0 : x y 0 και η εξίσωση x y xy x y 0 (). i. Να δειχθεί ότι η () παριστά δύο ευθείες και : x y 4 0 : x y 0 : x y 0 Σελίδα 64 από 5

75 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h ii. Να δειχθεί ότι iii. Να βρεθεί η εξίσωση της παράλληλης των ευθειών και, η οποία διέρχεται απ την αρχή των αξόνων. i. : x y 0 και : x y 0 33 Δίνεται ii. iii. : x y 0 η εξίσωση x y 3xy 5x 5y 3 0 () i. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο ευθείες ii. Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών iii. Να βρεθεί η τιμή του ν ανήκει στην ευθεία και, ώστε το σημείο τομής των ευθειών : x y 0 i. : x y 3 0 και : x y ii., 5 5 iii. 9 6 και Σελίδα 65 από 5

76 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 66 από 5

77 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h.3. Απόσταση σημείου από ευθεία- Εμβαδόν τριγώνου Ορισμός απόστασης σημείου από ευθεία: Έστω η ευθεία με εξίσωση x y 0 και ένα σημείο x, y. Η απόσταση του Μ από την ευθεία δίνεται από τον τύπο: 0 0 d, x y 0 0 Α π ό δ ε ι ξ η 0 Έστω ή μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου με εξίσωση x y 0, 0 και 0 0 την απόσταση d,( ) ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε του σημείου απ την ευθεία (). Αν,y (x ) είναι η προβολή του πάνω στην, τότε θα ισχύει: d(, ) Έστω διάνυσμα v (, ). Είναι v κι επειδή Άρα θα υπάρχει τέτοιο ώστε:, θα είναι v v x x,y y (, ) 0 0 x x 0, y y0 x x 0, y y0 () Η () γίνεται: d(, ) v v (3) Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε, οπότε: () x y 0 (x ) (y ) x y 0 x y x0 y0 Σελίδα 67 από 5

78 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε: x0 y0 x0 y0 d(m, ) d(, ) x y 0 0 Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 0 Για να υπολογίσουμε την απόσταση ενός σημείου (x ) 0,y0 από μια ευθεία x0 y0 ( ) : x By 0 αρκεί στον τύπο d(, ) να αντικαταστήσουμε τις τιμές των Α,Β,Γ καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί η απόσταση του M(, ) από την ευθεία : 6x 8y 0 Λ ύ σ η : Η απόσταση του Μ από την ευθεία ε δίνεται από τον τύπο: x0 y0 d, για A 6 B 8,, x 0 και y0 οπότε έ- χουμε: 6 8 ( ) d(, ) 6 ( 8) Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 0. Να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου με κορυφή A(,3) αν τα σημεία και βρίσκονται πάνω στην ευθεία : 3x y 4 0. Να βρείτε την του (0,) απόσταση ίση με. αν η ευθεία : ( )y ( )x απέχει από το σημείο Σελίδα 68 από 5

79 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h.3.. Απόσταση δύο Ευθειών Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο - Ε ύ ρ ε σ η α π ό σ τ α σ η ς δ ύ ο π α ρ ά λ λ η λ ω ν ε υ θ ε ι ώ ν Αν και είναι παράλληλες ευθείες για να βρούμε την απόστασή τους αρκεί να βρούμε ένα οποιοδήποτε σημείο της μίας ευθείας (έστω της να υπολογίσουμε την απόσταση του των τύπο : από την άλλη ευθεία ( ) ( ) ) και χρησιμοποιώντας d(m,( )) Ax o By o Η απόσταση αυτή αποτελεί και την απόσταση των δύο ευθειών, δηλαδή: d(( ),( )) d(m,( )) Εναλλακτικά Αν : y x και : y x d, τότε: Αν : x y 0 με 0 ή 0 και, τότε : d, 0 ή 0. : x y 0 με Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να δείξετε ότι οι ευθείες ( ): x y 3 0 και ( ): y x είναι παράλληλες και να υπολογίσετε την απόστασή τους. Λ ύ σ η : Παρατηρούμε ότι, άρα έχουμε ( ) ( ).Για να βρούμε την μεταξύ τους απόσταση, αρχικά βρίσκουμε ένα οποιοδήποτε σημείο της. Έστω x, τότε έχουμε y 3 0 y. Άρα το σημείο (,) ανήκει στην. Σελίδα 69 από 5

80 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Τώρα θα βρούμε την απόσταση του από την. Πρώτα όμως θα χρειαστεί να φέρουμε την στην επιθυμητή μορφή. : x y 0 5 d(m, ) 5 5 Άρα η απόσταση των δύο ευθειών είναι 5 5 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. Να υπολογίσετε την απόσταση των : 4x y 0 και : y x 3 0αφού πρώτα δείξετε ότι είναι παράλληλες. Να βρείτε τις τιμές του και : x y 0 να ισούται με 5 5. ώστε απόσταση των : x y Γεωμετρικοί τόποι ευθειών.3..α. Μεσοπαράλληλη Μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών και είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες και. Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο - Ε ύ ρ ε σ η μ ε σ ο π α ρ ά λ λ η λ η ς δ ύ ο π α ρ ά λ - λ η λ ω ν ε υ θ ε ι ώ ν Όταν μας ζητείται να βρούμε την μεσοπαράλληλη ευθεία δύο παράλληλων ευθειών λειτουργούμε ως εξής: Σελίδα 70 από 5

81 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Α ΤΡΟΠΟΣ ) Βρίσκουμε ένα οποιοδήποτε σημείο άλλης. της μίας ευθείας και ένα σημείο της ) Υπολογίζουμε το μέσο του τμήματος. 3) Βρίσκουμε την εξίσωση της ζητούμενης ευθείας, αφού έχει ίδιο συντελεστή διεύθυνσης με τις άλλες ευθείες και πλέον γνωρίζουμε και ένα σημείο της, το. Β ΤΡΟΠΟΣ η ζητούμενη μεσοπαράλληλη. Έστω ( ), ( ) οι δοσμένες παράλληλες ευθείες και () ) Θεωρούμε σημείο (x, y) της μεσοπαράλληλης ευθείας (). ) Χρησιμοποιούμε την ισότητα d(m,( )) d(m,( )). Η εξίσωση που θα προκύψει θα είναι της ζητούμενης ευθείας (). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Να βρεθεί η μεσοπαράλληλη των ευθειών : x y 3 0 και : x 4y 7 0 Οι ευθείες και Λ ύ σ η : Α ΤΡΟΠΟΣ έχουν συντελεστή διεύθυνσης. Άρα η μεσοπα- ράλληλη ευθεία θα έχει επίσης τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, άρα θα έχει τη μορφή : Έστω (3,0) και είναι το 9, 4 : y x 3, δύο σημεία των και. Αλλά Άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης είναι: αντίστοιχα. Το μέσο του Σελίδα 7 από 5

82 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Τότε ισχύει: 3 : y x 8 Β ΤΡΟΠΟΣ Θεωρούμε σημείο (x, y) της μεσοπαράλληλης. x y 3 x 4y 7 d(m, ) d(m, ) 5 5 (x y 3) (x 4y 7) 4x 8y 3 0 Άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης είναι η: ( ) : 4x 8y 3 0 Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών : x y 0 και : x y 4 0. Έστω το τετράπλευρο με κορυφές (, ), (,3), (8,3) και (, ). Να αποδείξετε ότι είναι τραπέζιο και να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του..3..β. Διχοτόμος Διχοτόμος μιας γωνίας δύο ευθειών και είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Σελίδα 7 από 5

83 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν o 3 - Ε ύ ρ ε σ η δ ι χ ο τ ό μ ο υ γ ω ν ί α ς δ ύ ο ε υ - θ ε ι ώ ν Όταν μας ζητείται να βρούμε την διχοτόμο γωνίας δύο ευθειών εργαζόμαστε ως εξής: Α ΤΡΟΠΟΣ ) Βρίσκουμε το σημείο τομής των δύο ευθειών. ) Βρίσκουμε ένα οποιοδήποτε σημείο της καθεμιάς τους, έστω και. 3) Θεωρούμε σημείο (x, y) της διχοτόμου. 4) Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων A, B,. 5) Από την σχέση (αφού οι γωνίες ( A, ) και (, B) είναι ίσες), προκύπτει η εξίσωση της διχοτόμου. Σελίδα 73 από 5

84 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Για να βρούμε την διχοτόμο της άλλης γωνίας των δύο ευθειών, αρκεί να θυμόμαστε ότι οι δύο διχοτόμοι τέμνονται κάθετα στο. ) Θεωρούμε σημείο (x, y) της διχοτόμου. Β ΤΡΟΠΟΣ ) Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της διχοτόμου γωνίας, έχουμε την σχέση d(, ) d(, ), από όπου προκύπτουν οι δύο εξισώσεις των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες. Η μια εξίσωση είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας η άλλη είναι η διχοτόμος της αμβλείας γωνίας. 3) Για να προσδιορίσουμε ποιά είναι η διχοτόμος της οξείας και ποιά της αμβλείας γωνίας, θεωρούμε ένα σημείο της μιας ευθείας και βρίσκουμε τις αποστάσεις d(, ) και d(, ). Αν d(, ) d(, ) τότε η είναι η διχοτόμος της αμβλείας γωνίας. Αν d(, ) d(, ) τότε η είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας. Αν d(, ) d(, ) τότε ε. Σελίδα 74 από 5

85 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Εναλλακτικά Αν ε : x y 0 με 0 ή 0 : x y 0 με 0 ή 0 (, ) (, ) ( x, y) της διχοτόμου Τότε ή εξίσωση της διχοτόμου δίνεται από την σχέση : d, d, x y x y Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνονται οι ευθείες : 4x y 4 0. Να βρεθούν : x 4y 4 0 οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες και. Σελίδα 75 από 5

86 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Έστω το σημείο τομής των Λ ύ σ η : και. Οι συντεταγμένες του δίνονται από τη λύση του συστήματος : 4x y 4 0 x 4. Άρα x 4y 4 0 y ( 4, ) Έστω (0, ), (0,4) και (x, y ) (όπου η διχοτόμος μιας γωνίας των Οπότε έχουμε:, ). (4,) και 7 (4,6) και B 4 7 (x 4, y ) o o Τότε :. ΚΑ. ΚΒ ΚΓ. ΚΑ ΚΓ. (x0 4) 4 (y0 ) (x0 4) 4 (y0 ) 6 3x o 3y o 6 0 x o y o Άρα η διχοτόμος έχει εξίσωση : x y 0 Για τον προσδιορισμό της άλλης διχοτόμου έχουμε : Άρα η διέρχεται από το ( 4, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης Επομένως : : y (x 4) x y 6 0 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Δίνονται οι ευθείες : 3x 6y 5 0 και : x y 3 0. Σελίδα 76 από 5

87 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες β) Ποια από τις παραπάνω διχοτόμους αντιστοιχεί στην οξεία γωνία; Λ ύ σ η : α) Το σημείο M(x, y) ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες : 3x 6y 5 0 και αν και μόνο αν d(m, ) d(, ) : x y 3 0 d(m, ) d(, ) 3x 6y 5 x y 3 3 ( 6) ( ) 5 3x 6y 5 45 x y 3 5 3x 6y 5 9 5xy 3 3x 6y 5 3 x y 3 3x 3y 4 0 ή 9x 9y 4 0 είναι: Επομένως οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : 3x 3y 4 0 και : 9x 9y 4 0 και β) Θεωρούμε τυχαίο σημείο της ευθείας : x y 3 0, π.χ το (,). Υπολογίζουμε τις αποστάσεις 3 ( ) d(a, ) Σελίδα 77 από 5

88 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 9 ( ) d(a, ) Παρατηρούμε ότι d(, ) d(, ). Άρα η είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας. Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 3. Δίνονται οι ευθείες : x y 0 : x 4y 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες και. Δίνονται οι ευθείες : x y 0 και : x y 0. και α) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι παραπάνω ευθείες β) Ποια από τις παραπάνω διχοτόμους αντιστοιχεί στην οξεία γωνία;.3.3. Εμβαδόν Τριγώνου Το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές τα σημεία x, y, x, y και x, y δίνεται από τις σχέσεις: x x y y det, x x y y x x y y det, x x y y 3 3 x x y y det, x x y y Όπου x x,y y, x x,y y, x x,y y 3 3, x x, y y, x x,y y, x x, y y Α π ό δ ε ι ξ η Έστω τρία μη-συνευθειακά σημεία Α(x, y), Β(x, y) και Γ(x3, y3), τα οποία αποτελούν κορυφές τριγώνου. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Σελίδα 78 από 5

89 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου. Τότε: ( ) ( ) ( ) (). Είναι : ( ) (x x ) (y y ) και 3 3 ( ) (x x ) (y y ) Αν x x 3 y3 y, τότε η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης x x 3 και εξίσωση y y y y (x x ) 3 x3 x y y x x y y (x x ) 0 () 3 3 Αν (). x x 3, τότε η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση x x 3, η οποία παίρνει κι αυτή τη μορφή Άρα σε κάθε περίπτωση η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση της μορφής (), η οποία μετά τις πράξεις γίνεται: Η απόσταση (ΑΔ) του Α απ τη ΒΓ είναι: (y y )x (x x )y y x y x ( ) (y y )x (x x )y y x y x (y y ) (x x ) 3 3 (3) Είναι x x,y y και x x,y y x x y y, οπότε: 3 3 det(, ) x x y3 y y y x3 x x3 x y3 y Επομένως η (3) γίνεται: Άρα η () γίνεται: (y y )x (x x )y y x y x det(, ) ( ) det(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det(, ) = Σελίδα 79 από 5

90 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Όμοια αποδεικνύεται ότι: ( ) det(, ) det(, ) Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Ν ο 4 - Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς ε μ β α δ ο ύ τ ρ ι γ ώ ν ο υ. Αν γνωρίσουμε ή μπορούμε να βρούμε τρείς κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ για να βρούμε το εμβαδόν ενός τριγώνου εργαζόμαστε ως εξής: α) Βρίσκουμε οποιαδήποτε διανύσματα με άκρα τις κορυφές του τριγώνου έστω τα AB και β) Υπολογίζουμε την ορίζουσα τους και αντικαθιστούμε στον τύπο: det, Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ν ο Αν οι κορυφές ενός τριγώνου είναι, 3,,5 και, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Λ ύ σ η :, να βρείτε Υπολογίζουμε τα διανύσματα AB και (,5 ( 3)) (,8) (, 5) (, 3) Υπολογίζουμε την det(, ): x y 8 det(ab, A ) ( 3) 8 5 x y 3 Οπότε με αντικατάσταση υπολογίζουμε το εμβαδόν: 5 ( ) det(, ) 5 Σελίδα 80 από 5

91 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Εφαρμόστε παρακάτω την μεθοδολογία 4. Έστω οι ευθείες : x y : y και 3 : 4x 3y 6. Να βρείτε τα σημεία τομής τους και το εμβαδό του τριγώνου που αυτά σχηματίζουν. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχετε απο την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τις τμ., : x y 0 και : x y 0 τρίγωνο εμβαδού Σελίδα 8 από 5

92 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 8 από 5

93 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ερωτήσεις κλειστού τύπου Ε ρωτ ήσεις Κατανόη σης. Ποια σχέση δίνει την απόσταση σημείου x, y από την ευθεία x By 0 ;. Ποια σχέση δίνει το εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του; 3. Ποια σχέση δίνει την απόσταση δύο παράλληλων ευθειών; Α σκήσεις. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : α) Η απόσταση του σημείου x, y από την ευθεία x By 0 δίνεται από τον τύπο d, β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο... Δίνονται οι ευθείες : 3x 4y 8 0 : 4x 3y :x 5y : 5x y : 4x 7y : 7x 4y 9 0 και το σημείο,. Να διατάξετε τις αποστάσεις d, του σημείου από τις ευθείες i, i,, 3, 4, 5, 6 κατά φθίνον μέγεθος. 3. Για ποια τιμή του το σημείο, :. Βρίσκεται επάνω στην ευθεία : 7x 8y 5 0 ; ;. Ισαπέχει από τα σημεία,4 και 4, 3. Ισαπέχει από τις ευθείες : 3x 4y 8 0 και 3 i : 4x 3y 6 0 ; 4. Σχηματίζει με τα σημεία 5,3 και,6 τρίγωνο εμβαδού 6 τ.μ.; 5. Ισαπέχει από τις ευθείες 4 : 3x 4y 8 0 και 5 6. : 3x 4y 4 0 ; Σχηματίζει με τα σημεία 7, και 6,4 τρίγωνο εμβαδού 4 τ.μ.; Σελίδα 83 από 5

94 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 4. Για ποια τιμή (ή ποιες τιμές) του : Η ευθεία με εξίσωση x y 0 είναι παράλληλη προς την. : x 3y 7 0 ; Η ευθεία με εξίσωση x y 5 0 είναι κάθετη στην : x y 0 ; 3 Το σημείο απέχει από την ευθεία : 3x 4y 5 0 απόσταση 8 5 ; Το σημείο,, και 5 :x y 0 ; 5. Το τρίγωνο, όπου, απέχει εξίσου από τις ευθείες : 3x 4y 0,5,4 3,, 4 έχει εμβαδόν 5 τ.μ.; Ν α ση μειώσετ ε τη σωστή απάντηση σε καθ εμία από τις παρακ άτ ω ερ ωτήσεις.. Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές 0,0,,0 και, είναι α. β. γ.. Η απόσταση του σημείου 5, από την ευθεία 3x y 0 είναι δ. ε. α β γ δ ε Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία 3x 3y 6 είναι σε τετραγωνικές μονάδες α. 9 β. 9 γ. 4 δ. ε. Σελίδα 84 από 5

95 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ν α χαρ ακτηριστούν οι παρ ακάτω πρ οτάσεις ως Σωστ ές ή Λ α νθασμένες.. Η απόσταση του σημείου x, y από την ευθεία : x By x By. δίνεται από τον τύπο 0 0 d, : Σ Λ. Η απόσταση d, του σημείου x, y από την ευθεία 0 0 : x By 0 επαληθεύει την ισότητα x By d, 0 0 Σ Λ 3. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με την ορίζουσα det, 4. Η απόσταση των ευθειών : y x δίνεται από τον τύπο: d, και : y x Σ Λ. Σ Λ 5. Η απόσταση των παράλληλων ευθειών y x και y x είναι. 6. Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία x 5y 0 και τους άξονες xx και yy, είναι 5 τ.μ. Σ Σ Λ Λ 7. Αν Α, Β, Γ τρία σημεία του επιπέδου και (ΑΒΓ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, τότε : det, det, ή 8. Για την απόσταση d, του σημείου Α από την ευθεία ε ισχύει d, 0. Το σημείο Α ανήκει στην ευθεία ε. Σ Σ Λ Λ Σελίδα 85 από 5

96 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 9. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι det, det,. Σ Λ Σελίδα 86 από 5

97 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ασκήσεις Α π όστ αση ση μ είου από ευθεία Να Να βρείτε την απόσταση του σημείου 3, απ τις ευθείες: i. : 3x 8 0 ii. : y 5 0 iii. : 3x 4y 0 3 i. d, ii. d, iii. d, βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε σε κάθε περίπτωση: i. απόσταση του σημείου, από την ευθεία : x 3y 5 0 ii. απόσταση του σημείου 0,4 από την ευθεία : x y 0 iii. απόσταση του σημείου 3, από την ευθεία : y x 5 iv. απόσταση του σημείου 7,3 από την ευθεία : y 5 v. απόσταση του σημείου 4, 9 από την ευθεία : x 3 Να 4 Να i. d, ii. d, iii. d, iv. d, v. d, 6 υπολογισθεί το μήκος του ύψους ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ στο οποίο 4,3, 0,,, , 4 0 μ.μ, 3 0 μ.μ βρεθούν οι ευθείες οι οποίες είναι παράλληλες στην : 3x 4y 5 0 και απέχουν από το σημείο, απόσταση ίση με 3. Σελίδα 87 από 5

98 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 5 Να 6 Να 7 Να 8 Να 9 Να 0 Να : 3 x 4y 0 0 και : 3 x 4y 0 0 βρεθούν οι ευθείες οι οποίες είναι κάθετες στην : 6x 8y 7 0 απέχουν από το σημείο απόσταση ίση με 3.,3 και : 4 x 3y 6 0 και : 4 x 4y 4 0 βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5. : y 3x και : y 3x βρείτε το σημείο του άξονα το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία : 5x y xx 5,0 ή 0,0 3 βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από τη αρχή των,3 απόσταση ίση με. αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο 4 : y x βρείτε τα σημεία της ευθείας x y 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία x 5y 60 0 απόσταση ίση με x 0, y 0, 7 7 βρείτε τις τιμές του ώστε το σημείο, ευθεία : x y 3 0 απόσταση d 4. ή x 0, y0 9, 7 να απέχει απο την 0 ή Σελίδα 88 από 5

99 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δίνεται Απ 3 Να 4 Δίνονται 5 Δίνεται x y Έστω : 0 ˆ ˆ και ˆ ˆ ˆ : x y 0. Αν d, d είναι οι αποστάσεις της αρχής των αξόνων 0,0 απ τις ευθείες και αντίστοιχα, να δείξετε ότι: 4d d. d και Ax0 By0 Υπολογίζω τα d(, ) η εξίσωση 3 x y 0 () και το σημείο i. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία για κάθε ii. Να βρείτε τις τιμές του d από τον τύπο,5, για τις οποίες ισχύει d, 9 i) Δεν ισχύει 0 ii), βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο και απέχουν από το σημείο B3,4 απόσταση ίση με. τα σημεία, και 5,4. i. Να βρείτε τη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ B, 5x y 7 0 ii. Να βρείτε σημείο της ευθείας: x y 0 που ισαπέχει από τα σημεία Α και Β i) y x 9, ii) x 0, y0 8, 7 τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία 3,, 3,, 4,0. i. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ ii. Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό i) x 6y 9 0 ii) 3 37 y 6x Σελίδα 89 από 5

100 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε ύρεση μεσοπαρ άλληλη ς δύ ο πα ράλλη λ ων ευθειών 6 Η Απ 7 Η 8 Η 9 Να 0 Σε ευθεία : 5x 3y 0 είναι η μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων ευθειών, ευθειών για τις οποίες ισχύει και. d, 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των : 5x 3y , : 5x 3y είναι μεσοπαράλληλη των παράλληλων ευ- ευθεία : 6x 8y 9 0 θειών και που έχουν απόσταση μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των και. :6x 8y 9 0, :6x 8y 0 ευθεία : x y 0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών και που απέχουν 5 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών : x y 0, : x y 0 βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών : 3x 4y 0. : 3x 4y 0, : 3x 4y 7 0 ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy θεωρούμε τα σημεία, και 3,, λ, μ. i. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β κινούνται στις ευθείες και αντίστοιχα : y x 3 : y x 3 ii. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών, ii) : x y Δίνονται Σελίδα 90 από 5 Ε ύρεση δι χοτ όμου γωνί ας δύο ευθει ώ ν οι ευθείες : 3x y 0 0 και : x 3y 6 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που ορίζουν οι και.

101 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Να 3 Να 4 Να 5 Να 6 Να : x y 3 0, : x y 3 0 βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : 3x y 4 0 και : x 3y 6 0. : x y 0, : x y 0 βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες και : x 4y 0. : y x : x y 0, : x y 0 δειχθεί ότι η ευθεία : 7x 4y 6 0 είναι μία απ τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : 3x 4y 4 0 και : 5x y 4 0. βρείτε: i. Τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : x y 3 0 και : x 4y 9 0 ii. Ποιά είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας; i) : x y 5 0, : x y 0 ii) Η διχοτόμος της οξείας γωνίας. Α π όστ αση δύ ο ευθει ώ ν δείξετε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες και να βρείτε την μεταξύ τους απόσταση σε κάθε περίπτωση: i. : y x 3 και : y x 6, ii. : 3x y 5 0 και : 6x 4y 5 0, iii. : y και : y 0, iv. : x 7 και : x. i) ii) iii) iv) 9 Σελίδα 9 από 5

102 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 7 Θεωρούμε 8 Να τις ευθείες : x y 0 και : x y 0,. Να βρείτε τις τιμές των, μ ώστε να ισχύει: d,. και,,0 ή,, 6 ή,,6 ή,, 0 βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών : 3x 4y : 3x 4y. και, d, Ε μβ αδόν Τριγώνου 9 Να 30 Να 3 Δίνονται βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, που είναι παράλληλη προς την ευθεία : x y 0 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4 : x y 4 0, : x y 4 0 βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο,6 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 3. : 3x y 6 0, : 6x y 6 0 τα σημεία,4 και, 5. i. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ii. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. iii. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. iv. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία που διέρχεται από την αρχή των α- ξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. v. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. Σελίδα 9 από 5

103 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 3 Τρίγωνο 33 Δίνονται 34 Να 35 Έστω 36 Οι i. iv. 0, y x 9 ii. v έχει, και 3, 3. i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ. 6,6 3,0 iii. y x 9 ii. Να δειχθεί ότι το Ε του τριγώνου είναι σταθερό και να υπολογιστεί. i. : x 3y 0 ii. τα σημεία, και 5, 7. i. Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου,3 4, ii. Να βρεθεί το εμβαδόν ( ) iii. Να βρεθεί το μήκος του ύψους ΑΔ i. 5 ii iii. d, βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία, 3,,, 5 και 7,0.,7 4 το τετράγωνο ΑΒΓΔ με, και η εξίσωση της μιας πλευράς του είναι x y 0. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ. 6 5 εξισώσεις των δύο πλευρών ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι : 3x y 0 και : y 3x 5. Nα βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Σελίδα 93 από 5

104 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 37 Δίνονται 38 Θεωρούμε 39 Δίνονται 8 5 τα σημεία,, και,,. i. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ 3, αποτελούν κορυφές τριγώνου. ii. Να βρείτε την τιμή του, αν. i. Ισχύει για κάθε, ii.. τα σημεία και. Να βρείτε το σημείο Μ του επιπέδου, για το οποίο ισχύει και 0.,4 3, τα σημεία 0,,,6 και 6, 6. i. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. iii. Να βρείτε τις εξισώσεις της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου 5, της γωνίας ˆ. iv. Ποια απ τις ευθείες του ερωτήματος iii είναι η εσωτερική και ποια η εξωτερική διχοτόμος; 3 i. ii. 96 iii. : 7 x 7 9 y και : 7 9 x 7 y iv. Η είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας Σελίδα 94 από 5

105 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 40 Δίνονται τα σημεία,, 3,4 και,,. Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, τα Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό. Σελίδα 95 από 5

106 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 96 από 5

107 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h.4. Λυμένα επαναληπτικά παραδείγματα Δ ί νο ν ται τα σημ εία, Π αρ άδει γμα 5,6. κ αι i) Να βρείτε την εξίσωση της ε υθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. ii) Να αποδείξετε ό τι η μεσοκάθ ετος (ε) τ ο υ ε υθ υγράμμου τ μ ήμ ατος Α Β έχε ι εξίσωση την y x 7. i) ii) ΛΥΣΗ Η μεσοκάθετος (ε) της ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης. Όποτε: : y x x y 0 και το μέσο της Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες x x y y, οπότε 5 6, τελικά 3,4 της ΑΒ είναι η ευθεία : y 4 x 3 δηλαδή: y x 7, οπότε η μεσοκάθετος Π αρ άδει γμα Δ ί νο ν ται τα σημ εία,0, 0, μ ε 0. i) Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση x y. ii) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β α ν γ νω ρίζετε ό τι η ε υθ εία ε ί να ι κάθ ετη στο διάνυσμα,, γι α το οποίο ισχύει. Σελίδα 97 από 5

108 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ i ii ) Ν α δ είξετε ότι d,, ό που Ο η α ρχή τ ω ν αξόνω ν κ αι τ ο εμβα δόν του τριγώνο υ. Έχω τα σημεία,,0 0, με ΛΥΣΗ 0 i) 0 0, άρα ii) Έχω, με y x y : y x 0 y x x 8 όμως δηλαδή Οπότε: ,,,,,,,, Σελίδα 98 από 5

109 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h iii) U d, d, d, Π αρ άδει γμα 3 Δ ί νο ν ται οι ευθ είες : x y 0 και : 4x y 3 0. i) Να βρ εθεί η μεσοπαράλληλη των ευθ ειών αυτών. ii) Έσ τω Α και Β τ α σ η μεία τ ομής τ η ς μεσοπαράλληλ η ς με τ ους ά ξ ονες. Να βρ είτε το εμβαδόν του τρ ι γώ ν ου ΑΟΒ. ΛΥΣΗ i) Επειδή, είναι. Τότε αν ε είναι η μεσοπαράλληλη των ευθειε και ε, ξέρω πως το σημείο x, y που ανήκει στην ευθεία ε ισαπέχει από την άρα ε και ε, δηλαδή: d, d, x y 4x y 3 x y 4x y 3 x y 4x y x y 4x y 3 4x y 4x y 3 οπότε: 4x y 4x y 3 ύ ή ή 4x y 4x y 3 8x 4y 0 H (μ):8x 4y 0 είναι η εξίσωση της ζητούμενης μεσοπαράλληλης. Σελίδα 99 από 5

110 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ ii) H 8x 4y 0 τέμνει τον άξονα xx όταν y 0,0 8, άρα x 8, δηλαδή: H 8x 4y 0 τέμνει τον άξονα yy όταν x 0, άρα y, δηλαδή : 4 0, 4 Το τρίγωνο που σχηματίζει η ε με τους άξονες είναι ορθογώνιο και έτσι 8 x και y, άρα Π αρ άδει γμα 4 i) Ν α β ρεθ εί η ευθεία π ο υ τ έ μνε ι τ ο ν yy στο B 0, κ αι ε ί να ι π αράλληλ η στο διάνυσ μα u 4,. Σελίδα 00 από 5

111 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h ii) Α ν ε ί να ι τ ο σημείο τ ο μής τ ης π αραπάνω ε υθείας μ ε τον ά ξονα, να δειχθ εί ότι η μ εσοκάθ ε τος τ ης ε ί να ι η 4x y 3 0. xx i ii) Α ν yy ε ί ν αι το σ η μείο τομής τ ης μ εσοκαθέτου, ν α βρ εθεί σημείο ρ όμβος. τ η ς ί διας ε υθείας, ώστε το iv) Να βρεθ εί το εμβα δόν του ρόμβου αυτού. μ ε το ν ά ξονα να είναι v) Να βρ εθεί το συνημ ίτονο της γω ν ίας. ΛΥΣΗ i) Επειδή u, η ευθεία έχει τύπο y x 0 x y 0. 4 ii) Θέτοντας στην βρίσκουμε x, άρα το σημείο είναι το: y 0,0 Το μέσο Μ του ΑΒ είναι x, y, και αφού η u, άρα u και έτσι η μεσοκάθετος του ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης: Οπότε ο τύπος είναι: iii) Θέτοντας x 0 στην y x 4x y 3 0 έχουμε το σημείο 3 0,. Εάν x 0,y0 είναι σημείο της, για να είναι το ρόμβος πρέπει να είναι: x y x0 y0 y0 y0 5 x0 y0 x0 y Σελίδα 0 από 5

112 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Επειδή έχουμε: Άρα:, άρα 4x y 3 0. Λύνοντας το σύστημα των, ή 0 0 x 0,y0 0, 5, 5 x,y, iv) Το εμβαδόν του ρόμβου είναι v) Επειδή 5 5,0 0, και 5 3 0,,, ισχύει: Σελίδα 0 από 5

113 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Π αρ άδει γμα 5 Δ ί δεται η εξίσωση: : x 3y x y x y 0. i) Για ποια η εξίσωση παριστάνε ι ευθ εία; ii) Δ είξτε ότι ό λες οι ε υθείες που ο ρίζονται από τ ην (ε) δ ιέρχοντ αι α π ό το ίδιο σταθερό σημείο το οποίο και να προσδιορίσετε. i ii ) Γ ια π οια η ( ε) είναι π αράλληλη σ τον ά ξονα κ αι γι α π οια είναι π αράλληλη στον άξονα ; Υπάρχε ι ε υθ εία τ ης ο ι κογέ ν ειας που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων; iv) Γ ια ποιο η (ε) είνα ι π αράλληλ η με τ η ν δ ιχοτόμο του ου κ α ι 4 ο υ τ εταρτημ ορίου ΛΥΣΗ i) Την εξίσωση την φέρνω στην μορφή x y 0, ώστε να θέσω 0 ή 0 Έχω το σύστημα: yy : x 3y x y x y 0 x 3 0, , 4 3 Άρα για κάθε η εξίσωση παριστάνει ευθεία. ii) Για να διέρχονται αυτές οι ευθείες από το ίδιο σταθερό σημείο x, y για κάθε αρκεί να ισχύουν ταυτόχρονα σύστημα βρίσκω x 3 y x 3y 0 x y 0 x y 0 xx, επομένως κοινό σημείο είναι το 3,. 0 0 και λύνοντας το Σελίδα 03 από 5

114 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ iii) Η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα xx 0, δηλαδή. αν και μόνον αν Η ευθεία είναι παράλληλη στον yy αν και μόνον αν 3 0, δηλαδή. 3 Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν και μόνον αν 0, αδύνατο (γιατί τότε δεν παριστάνει ευθεία). Επομένως δεν υπάρχει ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iv) Για να είναι παράλληλη η ευθεία στη διχοτόμο ου και 4 ου τεταρτημορίου αρκεί να είναι. Οπότε 3 ή. Άρα για του ου και 4 ου τεταρτημορίου. 3 0 η ευθεία είναι παράλληλη στη διχοτόμο Π αρ άδει γμα 6 Δ ί νε ται η εξίσωση : x 3 y 3 0,. i ) Να α ποδείξετε ό τ ι η π αραπάνω εξίσωση π αριστάνει γ ια κ άθε τιμή τ ο υ αριθμού λ εξίσωση ευθ ε ίας. ii) Ν α αποδείξετε ό τι ο ι ευθ είες με εξίσωση τ ι μή του λ από σταθ ερό σημείο το οποίο και να βρ εθεί. i ii ) Ν α βρ είτε τ ην τ ιμή του αριθμού λ ώ στε η ε υθ εία διέρχο ντ α ι γι α κάθ ε να διέρχ ε ται α πό το μ έσο τ ο υ ε υθ υγρ άμμου τ μ ήμ ατος ΑΒ με,6 κ α ι 4,. ΛΥΣΗ i) Η εξίσωση είναι στη μορφή x y 0, αρκεί λοιπόν να θέσω 0 ή 0. 0 Έχω το σύστημα. Άρα για κάθε λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία Σελίδα 04 από 5

115 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h ii) Θα φέρω την εξίσωση στη μορφή 0. Άρα: Τότε : x 3 y 3 0 x 3y x y 3 0 Άρα το κοινό σημείο είναι το. x 3y 0 x 3y x x y 3 0 x y 3 y, iii) Το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι το Μ με συντεταγμένες: Μ x x y y, οπότε Μ ( 4) 6, και τελικά,4 Για να διέρχεται η ευθεία από το Μ, αρκεί να επαληθεύει τις συντεταγμένες του, δηλαδή x 3 y 3 0, (Θέτω x, y 4) Αδύνατη, άρα για καμία τιμή του λ δεν διέρχεται η ευθεία από το σημείο Μ. Δ ί νε ται τ ρίγωνο ΑΒΓ με Π αρ άδει γμα 7,4,,, 3,3. i ) Να βρ εθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ. ii) Να βρεθ εί η απόσταση τ ης κορυφής Α από την πλευρά ΒΓ. i ii ) Aν Μ μέσον της πλευράς ΒΓ, να βρ εθεί η εξίσωση της μεσοκαθ έτου της ΒΓ. iv) Να βρεθ εί το εμβα δόν του τρ ιγώ ν ο υ ΑΒΜ. v ) Να δειχθ εί ότι το τρ ίγωνο ΑΒΓ είνα ι ισοσκελές στην κορυφή Β. Σελίδα 05 από 5

116 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ i) ii) ΛΥΣΗ 3. Οπότε : y 3 x 3 x y Εφαρμόζοντας τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία, βρίσκουμε: iii) d(, ) ( ) 5 5 Εφαρμόζοντας τον τύπο, βρίσκω τις συντεταγμένες του σημείου Μ, δηλαδή x x y y,, οπότε 3 3, και τελικά 5,, αλλά και, οπότε η μεσοκάθετος της ΒΓ είναι η ευθεία : y x 5, δη- λαδή x y 3 0. iv) Επειδή, 4, και 5 3, 4 0,, με εφαρ- μογή του τύπου του εμβαδού, έχουμε: 3 3 det, M 3 τ.μ. 0 4 v) Για να δείξω ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές στο Β, αρκεί να δειχθεί ότι. Έτσι ( ) ( ) ( ) 5, αλλά και 3,3, και ( ) 5, οπότε ισοσκελές γιατί. Π αρ άδει γμα 8 Ένα πλοίο κ ινείται σ ε μ ια θ αλάσσια π εριοχή, β ορειοανατολικά μ ε ε υθ εία π ορεία η οποία σ χηματίζει γω ν ία 60 0 με τ η ν κατεύθ υνσ η δ ύση α ν ατολή. Την σ τιγμή t 0, τ ο π λοίο β ρίσκεται ν ό τια ε ν ός φ άρου Ο κ αι σ ε α π όσταση α πό αυτόν 4 ν α υτ ικά μ ί λια. Θ εωρούμε ο ρθογώνι ο σ ύσ τ ημ α συντεταγμένων μ ε αρχή τ ο ν φ άρο και ά ξονα xx τ η ν κατεύθ υνσ η δ ύση α ν ατολή κ α ι μονάδα τ ο υ κ άθ ε άξονα το ν.μ. i ) Να βρ είτε την εξίσωση της πορείας του πλοίου. Σελίδα 06 από 5

117 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h ii) Να βρείτε πόσο κοντ ά από τον φάρο θ α περ ά σει το πλοίο. i ii ) Ο καπετάνιος του π λοίου π αρατηρεί τ η θέση ε νό ς ά λλου π λ οίου, τ ο ο ποίο σ ε χ ρόνο t β ρίσκεται στη θ έση t, t γ ι α κ άθ ε t 0. Ποια είναι η πορεία του πλοίου; iv) Π ρέπει ν α ανησυχε ί ο καπετάνιος γι α πιθ α νή σ ύγκρουση των δ ύο πλοίων; Σε ποιό σημείο είνα ι δυνατόν να συμβε ί αυτ ή ; ΛΥΣΗ i) Έστω Α η θέση του πλοίου όταν t 0, δηλαδή 0, 4. Επειδή η πορεία σχηματίζει γωνία 60 με τον άξονα xx, τότε και η εξίσωση θα είναι : y 4 3 x 0 y 4 3x 3x y 4 0 ii) Η πιο κοντινή απόσταση του πλοίου από το φάρο είναι: do, ν.μ. 3 iii) Η θέση του άλλου πλοίου είναι t, t, t 0. Θέτω: Δηλαδή: x t x (y ) y t t y Σελίδα 07 από 5

118 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 3 x y 4 y x 3 y x Άρα η πορεία του άλλου πλοίου είναι η ευθεία: 3 : y x iv) Το πιθανό σημείο που μπορεί να συγκρουσθούν τα δύο πλοία είναι το σημείο τομής Κ των ευθειών ε, ζ. Έχω: : y 3x 4 3x y 4 3 : y x x y D 3, Dx 8 3, Dy άρα Κ, 3 3 Δ ί νε ται η εξίσωση Π αρ άδει γμα 9 x y 6x 9 0. i ) Ν α δ είξετε ότι η π αραπάνω ε ξίσωση π αριστάνε ι ε υθ είες. και ii) Να δείξετε οι ευθ είες κ αι είναι κάθ ετες. i ii ) Ν α βρ είτε ένα σ ημ είο, με 0 και 0 τ έ τοιο ώστε το δ ι άνυσμα 3, ν α είνα ι παράλληλο σε μία από τις δ ύο ευθείες, ε υθ εία. κ αι τ ο διάνυσ μα 6,4 ν α ε ίναι π αράλληλο σ τ ην άλλη iv) Ν α βρ είτε τ ο εμβαδόν τ ο υ τριγώνο υ που π ερικλείουν ο ι δ ύο ε υθ είες και ο άξονας yy. Σελίδα 08 από 5

119 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h i) Έχω την εξίσωση: ΛΥΣΗ x y 6x 9 0 x 6x 9 y 0 x 3 y 0 Άρα παριστάνει τις ευθείες: x y 3 0 x 3 y x 3 y 0 ή x y 3 0 και : x y 3 0 : x y 3 0 ii) Έχω : x y 3 0, με και : x y 3 0, με δηλαδή :, άρα ε ε iii) Έχω, με 0, 0 και 3, παράλληλο σε μια από τις, και επειδή 0 είναι 3. 3 Επομένως το 6,4 είναι παράλληλο στην δηλαδή: Άρα 3,4 Σελίδα 09 από 5

120 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ iv) Η τέμνει τον άξονα xx στο σημείο 3,0 και τον άξονα 0,3. Η yy τέμνει άξονα xx στο σημείο 3,0 και τον άξονα στο σημείο. 0, 3 στο σημείο yy Φυσικά είναι ΒΟΑΓ, οπότε : τ.μ. i ) Να δ ειχθ εί ό τι η εξίσωση ε υθ είες κάθ ετες μεταξύ τους. Π αρ άδει γμα 0 x y 4y x 3 0 π αριστάνε ι δ ύο ii) Να βρεθ εί ο γε ω μετρ ικός τόπος του σημ είου τομής των δύο αυτ ώ ν ε υθειών. i) Έχουμε: ΛΥΣΗ x y 4y x 3 0 x x y 4y 4 0 x x y 4y 4 0 x y 0 x y x y 0 x y 3 x y 0 άρα η εξίσωση παριστάνει τις ευθείες τις : ( x y 3 ): 0 και : x y 0 Όμως και, δηλαδή, άρα οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Σελίδα 0 από 5

121 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h ii) Για να βρω τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών, πρέπει να λύσω το σύστημα των δύο εξισώσεών τους, δηλαδή: x y 3 0 x y 3 x x y 0 x y y οπότε το σημείο τομής έχει συντεταγμένες,. Από τις σχέσεις x y, αντικαθιστώντας στην y το λ από την ισότητα x βγαίνει η σχέση y x, επομένως ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής είναι η ευθεία y x. Σελίδα από 5

122 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα από 5

123 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h.5. Επαναληπτικές ασκήσεις Να Δίνεται 3 4 Δίνεται 5 Οι 6 Θεωρούμε δείξετε ότι τα σημεία: i., και ii., t, t, t είναι συνευθειακά.,5 0,,, 4, το σημείο,3 3 και η ευθεία : y x. Αν ο λ διατρέχει το σύνολο, να αποδειχθεί ότι το σημείο Μ κινείται σε μια ευθεία της οποίας να βρεθεί το κοινό σημείο με την ε. Θεωρούμε τρίγωνο με 4,9 3 3 : y x,,3. Το ύψος ΑΔ ανήκει στην ευθεία : y x και η διάμεσος ΑΜ ανήκει στην ευθεία : y 4. Να βρείτε 5 τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ. τρίγωνο με κορυφές,6 και, το ορθόκεντρο του τριγώνου, να βρείτε: i. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ. ii. τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. i) 4,0 ii)ab: 5 4 y x, ΒΓ: 4 4 0,4, 3,. Αν 7 6, 3 3 είναι y x, ΑΓ: y x 4 ευθείες : y x και : y x 3 είναι φορείς δύο πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγμένες,4, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ και Δ. τα σημεία 3, ,,, 3,, με, και Σελίδα 3 από 5

124 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 7 Δίνονται i. Να βρείτε τις τιμές του ποτελούν κορυφές τριγώνου. για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ α- ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του βαρύκεντρου G του τριγώνου. 5 5 i) R,, ii) y x 6 οι ευθείες : 3x 4y 6 0 και : 3x 4y 6 0. i. Να δείξετε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες και βρείτε την απόσταση των ευθειών και. ii. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των. iii. Να βρείτε τη προβολή του σημείου, 3 της. και, πάνω στην 8 Δίνεται i. d, ii. : 3x 4y iii., 5 5 η ευθεία : x 3y 6 0 και το σημείο,3. i. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε. ii. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. iii. Έστω Β, Γ τα σημεία που τέμνει η ευθεία ε τους άξονες xx αντίστοιχα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. και yy 3 : y x i. ii. d, 7 iii. τ.μ Σελίδα 4 από 5

125 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 9 Σε 0 Δίνονται ορθοκανονικό σύστημα xy, θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, με και έ- στω ότι οι ευθείες επάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις: : 3x y 0 και : x y 3 0. Να βρείτε : i. Τις εξισώσεις των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ. ii. Τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. iii. Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ. iv. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. v. Το ορθόκεντρο του τριγώνου. i. : x 3y 0, : x y 3 0 ii., 0,3, 6 7, 5 5 iii. : x y 6 0 iv. 6 0 v.,5 τα σημεία,,,4 και 0,0 i. Να βρείτε: ) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. τ.μ. ii. Αν Γ και Δ είναι τα σημεία που η ευθεία ΑΒ τέμνει τους άξονες xx και yy αντίστοιχα τότε: ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Δ Θεωρούμε ) Να δείξετε ότι: 3 iii. Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της ΑΒ προς την αρχή των αξόνων. i. ) : y x 3, ) 3 ii. ) 3,0 iii. τα σημεία,3,,0 αριθμοί και. ) 0,3 3 3, 0, όπου β, γ πραγματικοί και Σελίδα 5 από 5

126 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ i. Να βρείτε συναρτήσει των β, γ τις εξισώσεις (ε), (ζ) των ευθειών που ορίζονται από τα σημεία Α, Β και Α, Γ αντίστοιχα. ii. Αν οι δύο ευθείες είναι κάθετες δείξτε ότι 3 3. Δίνεται iii. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του τμήματος ΒΓ. i. : 3x y 3 0, : 3 x y 0 η εξίσωση x y 6x 9 0. i. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες, τις και : y x 3 : y x 3. ii. Να δείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες. iii. Να βρείτε ένα σημείο, με 0 και 0 τέτοιο, ώστε το διάνυσμα 3, να είναι παράλληλο προς την και το διάνυσμα 6,4 να είναι παράλληλο προς την. iv. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου όπου Ο η αρχή των αξόνων και Α το σημείο τομής των ευθειών και. 3 Δίνεται iii. 3,4 iv. 6 τ.μ. η εξίσωση : x y 4 8 0,. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του ii. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα x ' x iii. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία να περνά από την αρχή των αξόνων iv. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο το ο- ποίο να βρεθεί. Σελίδα 6 από 5

127 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 4 Δίνονται 5 Δίνεται ii. iii. iv. (, 3) οι εξισώσεις ( )x y 7 0 () και(5 )x ( )y 3 0 (). i. Να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες. ii. Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι παράλληλες. iii. Έστω (ε), (ζ) οι ευθείες που προκύπτουν από τις εξισώσεις () και () αντίστοιχα για 3. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (η) η οποία είναι παράλληλη προς την (ε) και η απόσταση των (η) και (ε) είναι διπλάσια από την απόσταση των (η) και (ζ). i. 3 ή 3 4 ii. ( ): 4x y 0 0 ή ( ) : 4x y 0 3 η εξίσωση x y (x y ) 0 () όπου i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει ευθεία. ii. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση () διέρχονται από σταθερό σημείο. iii. Να βρείτε την ευθεία που ορίζεται από την () και: ) διέρχεται από το σημείο, ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων 3) είναι παράλληλη στον άξονα x ' x 4) είναι παράλληλη στον άξονα y ' y 5) σχηματίζει με τον άξονα x ' x ii. γωνία ˆ 35, iii... y x Σελίδα 7 από 5

128 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ 6 Θεωρούμε 7 Θεωρούμε 8 Δίνεται τα σημεία, και. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει MAB AB. ( 3,0) (,0) ( 4,) τα σημεία (,), (3,5) και (,4) i. Να αποδείξετε ότι τα τρία σημεία σχηματίζουν τρίγωνο. y 4 ή y 4 ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( ) 3( ). i. det AB, A 4 0 ii. 5x 4y 9 0 η εξίσωση x xy 6x 6y 8 0 (). i. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο παράλληλες ευθείες και. ii. Αν ( ): x y 0 και : x y 4 0 ( ): x y 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας ε των ( ) και ( ). iii. Αν Α σημείο της τετράγωνο. με τετμημένη, τότε: ( ) με τεταγμένη και Β σημείο της ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. ( ) ) Να βρείτε σημεία Γ και Δ της ε ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι 3) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΒΔ. ii. x y 3 0 iii.. A(0,), B(,3). (0,4) και (,3) ή (, ) και (,) 3. ( ) Σελίδα 8 από 5

129 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 9 Δίνονται οι ευθείες( ): x y και ( ):0x y 4 0,. i. Να δείξετε ότι οι ευθείες ( ) και ( ) τέμνονται για κάθε τιμή του και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ. ii. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι η ευθεία ( ) : 8x y 6 0. iii. Αν η ε τέμνει τους άξονες x ' x και y ' y στα σημεία Α και Β αντί- 0 Δίνεται στοιχα, τότε: ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων Ο και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. ) Αν Κ τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να δείξετε ότι 9 (KAB). 4 ii. M(,4 8 ) iii. y 8x τρίγωνο ΑΒΓ και οι ευθείες και κάθετες στη ΒΓ στα σημεία Β και Γ. Από το ίχνος Δ του ύψους ΑΔ, φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ, που τέμνουν τις και στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να ( ) ( ) ( ) δείξετε ότι: i. Τα σημεία Ε, Α, Ζ είναι συνευθειακά. ii. Τα τρίγωνα ( ) ( ) 0. ( ) Δίνονται οι ευθείες ( ): 3x y 3 0 και ( ): x y 4 0. i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών και. ii. Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β και η ευθεία τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Γ, τότε: ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3x 4y 0. i.,3 Σελίδα 9 από 5

130 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Θεωρούμε σημεία,,. ii. ) 0, 3 i. Να δείξετε ότι σημεία Μ κινούνται στην ευθεία y x για τις διάφορες τιμές του α. ii. Να βρείτε το συμμετρικό, 4,0. του Μ ως προς την ευθεία x y iii. Να δείξετε ότι το x 7y 7 0. κινείται, για τις διάφορες τιμές του α, στην ευθεία iv. Να εξετάσετε αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν και κατόπιν να αιτιολογήσετε το αποτέλεσμα, αφού πρώτα σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες. i. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου, στην εξίσωση, βλέπουμε ότι προκύπτει ταυτότητα. 3 Δίνονται ii. 7 8,, 5 5 iv. Συντρέχουν. τα σημεία,,, και 4,6,. i. Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος ΒΓ. ii. Αν το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ, να βρείτε την τιμή του λ. iii. Για 4, να βρείτε σημείο Δ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ να είναι ρόμβος. i. x y ii. 4 iii.,5 Σελίδα 0 από 5

131 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Διαγωνίσματα Σελίδα από 5

132 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα από 5

133 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟ- ΡΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από y y τα σημεία είναι. x x (x, y ) και B(x,y ), με x x Μονάδες 0 A. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την απόσταση του σημείου ευθεία ( ) : Ax By 0. (x,y ) από την Μονάδες 5 A.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε ευθεία ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. β. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ( ) : x y 0 με το άξονα x ' x είναι o 45. γ. Η ευθεία ( ) : y 5x σχηματίζει με τον άξονα x ' x αμβλεία γωνία. δ. Οι ευθείες x 5 και y είναι κάθετες. ε. Η ευθεία με εξίσωση ( ) : Ax By 0, με 0 ή 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ). Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με (,3), (,) και (4, 3). Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε τις εξισώσεις της διαμέσου του ΑΜ και του ύψους του ΒΔ. Σελίδα 3 από 5

134 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Β.3 Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου. Β.4 Να βρείτε τη μεσοκάθετο της ΒΓ. Μονάδες 7 Μονάδες 5 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ευθείες: ( ): ( )x y, Να αποδείξετε ότι : και ( ): x y 3 Γ. Η ευθεία προσδιορίσετε. ( ) διέρχεται από σταθερό σημείο Μ για κάθε, το οποίο και να Γ. Οι ευθείες ( ) και ( ) έχουν μοναδικό κοινό σημείο Ρ για κάθε. Γ.3 Το σημείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Γ.4 Για να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ( ) Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 με τον άξονα x ' x. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση 6x y xy () Δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει δύο ευθείες τις οποίες και να τις βρείτε. Δ. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ( ) και ( ). Μονάδες 8 Μονάδες 9 Σελίδα 4 από 5

135 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ.3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο M(0,) και τέμνει τις ευθείες ( ) και ( ) στα σημεία Α και Β αντιστοίχως ώστε το σημείο Μ να είναι μέσο του ΑΒ. Μονάδες 8 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Σελίδα 5 από 5

136 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 6 από 5

137 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟ- ΡΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. Δείξτε ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο διεύθυνσης λ έχει την μορφή y y o (x x o). (x,y ) και έχει συντελεστή o o Μονάδες 0 A. Να ορίσετε τα διανύσματα της ευθείας ( ) : Ax By 0 που είναι παράλληλο και κάθετα σε αυτή. Μονάδες 5 A.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η ευθεία x xo είναι παράλληλη με τον άξονα x ' x. β. Η ευθεία με εξίσωση ( ) : Ax By 0 x y 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα (, ) γ. Για την ευθεία y 3 δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. δ. Οι ευθείες y 5 και y 5x είναι παράλληλες. ε. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία x y 4 0 με τον άξονα x ' x είναι αμβλεία. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Σελίδα 7 από 5

138 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Η πλευρά ΔΓ ενός τετραγώνου, μέσα στο οποίο βρίσκεται η αρχή Ο(0,0) των αξόνων, έχει εξίσωση 3x 4y 8 0. Τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες είναι οι δύο κορυφές του. Αν Δ είναι η κορυφή που βρίσκεται στον άξονα y ' y, τότε: Β. Να βρεθεί το μήκος ΔΓ. Β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του. Μονάδες 8 Μονάδες 8 Β.3 Να εξετασθεί αν η ευθεία ( ) : 5x y 7 0, τέμνει εσωτερικά το τμήμα ΑΒ με (,), (, ) και ΓΔ με (,3), (,6). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση ( ) : x 3 y 3 0, Γ. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει, για κάθε τιμή του αριθμού λ, εξίσωση ευθείας. Μονάδες 4 Γ. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες με εξίσωση ( ) σταθερό σημείο το οποίο και να βρεθεί. διέρχονται για κάθε τιμή του λ από Μονάδες 8 Γ.3 Να βρείτε την τιμή του αριθμού λ ώστε η ευθεία ( ) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με (,6) και ( 4,). να διέρχεται από το μέσο Μονάδες 8 Γ.4 Αν (6,6), ( 3,0) και (3, 3), με, να δειχθεί ότι το εμβαδόν του είναι σταθερό και να υπολογιστεί η τιμή του. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Σελίδα 8 από 5

139 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις ( ): x y 8 και ( ): x y 4. Δ. Αποδείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες τέμνονται για κάθε τιμή του αριθμού λ και βρείτε το σημείο τομής τους M(x, y ). o o Δ. Να αποδείξετε ότι το σημείο με συντεταγμένες x, 0 0 Μονάδες 6 K y, όταν το λ μεταβάλλεται στο R, κινείται σε σταθερή ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Μονάδες 8 Δ.3 Δίνεται η ευθεία (ε): ( ) : y x 4 0 που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, με Ο(0,0). Μονάδες 6 Δ.4 Να βρεθεί η συμμετρική της ευθείας ( ) : y x 4 0 ως προς τον άξονα x'x. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Σελίδα 9 από 5

140 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 30 από 5

141 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 3o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟ- ΡΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ( ) : Ax y 0, είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ) και κάθετη στο διάνυσμα (, ). Μονάδες 8 Α. Να συμπληρωθούν τα κενά: α. Ο τύπος του εμβαδού τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ είναι: ( ).... β. η απόσταση του σημείου M(x o, y o) από την ευθεία ( ) : Ax y 0 είναι:.. d( M o, ).. γ. η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο M(x o, y o) και είναι παράλληλη στον άξονα x ' x είναι:.. Μονάδες 7 A.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η ευθεία y 3 είναι παράλληλη στον y ' y. β. Η ευθεία ( ) : x y έχει συντελεστή διεύθυνσης. γ. Η απόσταση των ευθειών ( ) : y x 3 και ( ) : y x 3 είναι 6. δ. Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A(0,), B(,0) και (,) είναι ε. Η απόσταση του σημείου (0,0) από την ευθεία ( ) : 3x 4y 5 0 είναι. Σελίδα 3 από 5

142 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Για το τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή ( 4,3), η εξίσωση του ύψους : 3x y και της διαμέσου : x y. Να υπολογιστούν: Β. Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ. Μονάδες 5 Β. Οι συντεταγμένες των κορυφών Α και Β. Μονάδες 8 Β.3 Οι συντεταγμένες του σημείου Δ. Μονάδες 5 Β.4 Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία (3,), (, ) και οι ευθείες: ( ): x 3y 4 0 και ( ): x y 5 0, Γ. Να δειχθεί ότι οι ευθείες ( ), ( ) τέμνονται σε σημείο Μ το οποίο και να βρεθεί. Μονάδες 5 Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής που κινείται το Μ για τις τιμές του. Μονάδες 5 Γ.3 Να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΜ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του λ). Σελίδα 3 από 5

143 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Μονάδες 7 Γ.4 Αν, να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου (,4) ως προς την ευθεία ( ). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι ευθείες ( ): 4x 3y 0 και (ε): ( ): 7x 4y 3 0. Δ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων και των γωνιών (, ), (, ). Μονάδες 7 Δ. Να καθορισθεί ποια από τις ( )., είναι διχοτόμος της οξείας γωνίας των ( ), και ( 3): x 5y 8 0. Να καθο- Δ3. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ( ), ρισθεί ποια από τις, ( ) Μονάδες 8 είναι εσωτερική διχοτόμος του τριγώνου. Μονάδες 0 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Σελίδα 33 από 5

144 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 34 από 5

145 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h 4o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟ- ΡΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) : Ax y 0, με 0 παριστάνει εξίσωση ευθείας. Μονάδες 0 Α. Τι λέγεται εξίσωση γραμμής; Μονάδες 5 A.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Οι ευθείες ( ): y 5 0 και ( ): x 5 0 είναι κάθετες μεταξύ τους. β. Η εξίσωση x y 0 παριστάνει για κάθε τιμή του λ ευθεία. γ. Η απόσταση των σημείων A(,0) και B(,) είναι. δ. Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A(0,), B(,0) και (,) είναι τ.μ.. ε. Οι ευθείες ( ): x y και ( ): x y είναι παράλληλες. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η ευθεία ( ) με εξίσωση: xy 4. Σελίδα 35 από 5

146 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Β. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας οποία τέμνει τους άξονες x ' x και y ' y αντιστοίχως. () και τα σημεία Α, Β στα Μονάδες 6 Β. Να βρείτε το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μονάδες 4 Β3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ) που είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και την απόσταση του σημείου (0,0) από αυτήν. Μονάδες 7 Β.4 Να βρείτε την προβολή του σημείου (,3) στην ευθεία (). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση ( ) : x y x y 5 x y 8 0. Γ. Να εξεταστεί αν παριστάνει ευθεία για κάθε. Μονάδες 6 Γ. Να βρεθεί αν για τις διάφορες τιμές του, οι ευθείες περνούν από το ίδιο σημείο. Μονάδες 6 Γ.3 Να βρεθεί ποια από τις παραπάνω ευθείες σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Μονάδες 6 Γ.4 Να βρεθεί η ευθεία της οικογένειας (ε) η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) : x y 0. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση ( ) : x y 4y x 3 0. Σελίδα 36 από 5

147 Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Δ. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Δ. Να βρεθεί το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών. Μονάδες 7 Μονάδες 7 Δ3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των παραπάνω σημείων τομής για τις διάφορες τιμές του μ. Μονάδες 6 Δ.4 Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ( ): y x 3 0 και ( ): y x 9 0. Μονάδες 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Σελίδα 37 από 5

148 Ε π ι μ έ λ ε ι α : A s k 4 M a t h Ε υ θ ε ί α Β Λ υ κ ε ί ο υ Σελίδα 38 από 5

149 .6. Ευρετήριο όρων Ανηγμένη μορφή εξίσωσης ευθείας... 4 Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών Απόσταση σημείου από ευθεία Γωνία που σχηματίζει ευθεία με τον άξονα x'x... 4 Γωνία των ευθειών ε και ε... 7 Διχοτόμος μιας γωνίας δύο ευθειών... 6 Εμβαδόν Τριγώνου Κατακόρυφη ευθεία... 4 Κλίση ευθείας... 5 Μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών Οριζόντια ευθεία... 4 Πλάγια ευθεία... 4 Συντελεστής διεύθυνσης (ή κλίση) ευθείας... 5 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας ε... 7 Συντεταγμένες επί την αρχή Τεταγμένη επί την αρχή... 3, 34 Τετμημένη επί την αρχή... 3, 34

150

151 Ο Μ Α Δ Α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Α ν δ ρ ι ο π ο ύ λ ο υ Τ α σ ι ά ν ν α Β α σ σ ά λ ο υ Γ ι ά ν ν α Ε λ ε υ θ ε ρ ι ά δ η ς Μ ά ρ ι ο ς Κ α σ λ ή ς Κ ώ σ τ α ς Μ π έ κ α ς Χ ρ ή σ τ ο ς Μ π ο ζ α τ ζ ί δ η ς Β α σ ί λ η ς Π έ τ σ ι ο υ Χ α ρ ά Σ τ ά μ ο υ Γ ι ά ν ν η ς Τ ζ ε λ α π τ σ ή ς Θ α ν ά σ η ς Τ σ ο ρ τ α ν ί δ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς Α ν δ ρ ο ν ί κ ο υ Γ ι ώ ρ γ ο ς Β ε λ λ ί κ η ς Γ ι ώ ρ γ ο ς Κ α ρ α τ σ ι ώ λ η ς Δ η μ ή τ ρ η ς Λ α λ ο ύ μ η ς Ν ί κ ο ς Μ π ί τ ζ α ς Π α ν α γ ι ώ τ η ς Π α π α δ η μ η τ ρ ί ο υ Γ ι ά ν ν η ς Ρ ο κ ί δ η ς Μ ι χ ά λ η ς Τ σ α κ ν ά κ η Γ ι ά ν ν α Τ σ ι φ ά κ η ς Χ ρ ή σ τ ο ς Τ σ ο ύ μ ο ς Κ ώ σ τ α ς