ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019

Transcript

1 Αριθμός Μαθητών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ (50) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη, 3/05/019 8:00 11:00 ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο το οποίο αποτελείται από δύο () σελίδες. Στη λύση των ασκήσεων πρέπει να φαίνεται όλη η αναγκαία εργασία. ΜΕΡΟΣ Α Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Ρωτήσαμε τους μαθητές ενός τμήματος ποια γεύση παγωτού προτιμούν. Οι προτιμήσεις των μαθητών φαίνονται στο πιο κάτω ραβδόγραμμα Φράουλα Κεράσι Πραλίνα Σοκολάτα Βατόμουρο Γεύσεις Παγωτού Να υπολογίσετε: (α) πόσοι μαθητές ρωτήθηκαν (β) πόσοι μαθητές προτιμούν γεύση φρούτων. (3 μονάδες) ( μονάδες) Σελίδα 1 / 4

2 . Σε ένα διαγωνισμό μαγειρικής, ένας διαγωνιζόμενος πήρε από τους έξι κριτές τις πιο κάτω βαθμολογίες: 8, 6, 7, 7, 9, 5 Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της βαθμολογίας που πήρε ο διαγωνιζόμενος. 3. Να υπολογίσετε τον όγκο ορθού τετραγωνικού πρίσματος με πλευρά βάσης 4cm και ύψος 8cm. 4. Μια εταιρεία πώλησης κινητών τηλεφώνων έχει σε προσφορά το τελευταίο της μοντέλο. Η αρχική τιμή πώλησης του κινητού είναι 950 και το πουλάει με έκπτωση 0%. Να υπολογίσετε την τελική τιμή πώλησής του. 5. Ο όγκος ενός κύβου είναι 1000cm 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας. 6. Το φράγμα Κούρη έχει χωρητικότητα 115 εκατομμύρια κυβικά μέτρα. Αν σήμερα η ποσότητα του νερού στο φράγμα ανέρχεται στα 9 εκατομμύρια κυβικά μέτρα, να υπολογίσετε το ποσοστό (%) πληρότητας του φράγματος. 7. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κωνική σκηνή η οποία να έχει όγκο 5π m 3. Το ύψος της σκηνής θα είναι 3m. Να υπολογίσετε τη διάμετρο της βάσης της σκηνής. 8. Για να κατασκευάσουμε έναν τοίχο χρησιμοποιούμε τούβλα με διαστάσεις 0cm μήκος, 8cm πλάτος και 10cm ύψος. Ο τοίχος θα έχει μήκος 300cm, ύψος 40cm και πλάτος 16cm. Να υπολογίσετε πόσα τούβλα θα χρησιμοποιήσουμε, αν τα τούβλα που έχουμε στη διάθεσή μας εφαρμόζουν ακριβώς. 9. Η μέση τιμή πέντε αριθμών είναι 18. Αν εξαιρέσουμε έναν από τους αριθμούς αυτούς η μέση τιμή των υπολοίπων τεσσάρων είναι 16. Να βρείτε τον αριθμό που εξαιρέσαμε. 10. Μια εταιρεία κατασκευάζει κλειστά κυλινδρικά δοχεία τα οποία έχουν ύψος 1cm και ακτίνα βάσης 3cm. Το κόστος κατασκευής της βάσης είναι 0,3 σεντ το τετραγωνικό εκατοστό και το κόστος κατασκευής της κυρτής επιφάνειας είναι 0, σεντ το τετραγωνικό εκατοστό. Να υπολογίσετε το κόστος κατασκευής 1000 κυλινδρικών δοχείων. ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Β Σελίδα / 4

3 ΜΕΡΟΣ Β Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Σε μια έρευνα που αφορούσε την κατανάλωση βενζίνης διαφόρων μοντέλων αυτοκινήτων, μελετήσαμε πόσα χιλιόμετρα διανύει ένα αυτοκίνητο ανά λίτρο βενζίνης. Μετρήσαμε την κατανάλωση 100 αυτοκινήτων και οι παρατηρήσεις οι οποίες καταγράφηκαν φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Χιλιόμετρα (x i ) Αριθμός αυτοκινήτων (f i ) Να υπολογίσετε: (α) την επικρατούσα τιμή των πιο πάνω παρατηρήσεων (β) τη μέση τιμή των πιο πάνω παρατηρήσεων (γ) την τυπική απόκλιση των πιο πάνω παρατηρήσεων (με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων) ( μονάδες) (3 μονάδες) (3 μονάδες) (δ) το ποσοστό επί τοις εκατόν των αυτοκινήτων τα οποία διένυσαν λιγότερο από 10 χιλιόμετρα ανά λίτρο. ( μονάδες). Μια υπεραγορά διαθέτει το ίδιο απορρυπαντικό σε δύο διαφορετικές προσφορές. Προσφορά Α Προσφορά Β Συσκευασία:,5 κιλά Τιμή συσκευασίας: 8,50 Επιπλέον έκπτωση 10% Συσκευασία: 5 κιλά+0% επιπλέον προϊόν Τιμή συσκευασίας: 17,40 Ποια από τις δύο προσφορές είναι η πιο συμφέρουσα; 3. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει παράπλευρο ύψος 13cm και πλευρά βάσης 10cm. Να υπολογίσετε: (α) το ύψος της πυραμίδας (β) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας (γ) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας (δ) τον όγκο της πυραμίδας. Σελίδα 3 / 4

4 4. Σε μια δημοσκόπηση για τις επικείμενες ευρωεκλογές ρωτήθηκαν 30 ψηφοφόροι, για τις προτιμήσεις τους για τους υποψήφιους ευρωβουλευτές Α, Β, Γ και Δ. Τα αποτελέσματα της δημοσκόπησης παρουσιάζονται σε ένα κυκλικό διάγραμμα και έχουμε ότι: i. το 30% των ερωτηθέντων ψηφοφόρων επέλεξε τον υποψήφιο Α ii. η γωνία του κυκλικού διαγράμματος η οποία αντιστοιχεί στον υποψήφιο Β είναι 144 ο iii. τον υποψήφιο Γ τον επέλεξαν στις προτιμήσεις τους διπλάσιος αριθμός ερωτηθέντων από ότι τον υποψήφιο Δ. Να υπολογίσετε πόσοι από τους ερωτηθέντες δήλωσαν ότι θα επιλέξουν τον κάθε υποψήφιο και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 5. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Β = 90 ο, ΑΒ = 6cm και x ΑΓ = 10cm. Η ευθεία (xy) απέχει cm από την κορυφή Α και είναι παράλληλη με την πλευρά ΒΓ του τριγώνου. Το τρίγωνο περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (xy). Να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται (6 μονάδες) (β) τον όγκο του στερεού που Α Β παράγεται. (4 μονάδες) y Γ Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Η Σ Σελίδα 4 / 4

5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1. Στατιστική s = ν (x i x ) i=1 ν ή s = κ f i (x i x ) i=1 ν = κ f i x i i=1 ν x, όπου ν = κ f i i = 1. Τριγωνομετρία ημ(α ± Β) = ημασυνβ ± συναημb r = Σ xy νx y, όπου Σ νs x S xy = x 1 y 1 + x y + + x ν y ν y συν(α ± Β) = συνασυνβ ημαημβ ημα συνβ = ημ(α β) + ημ(α + β) συνα συνβ = συν(α β) + συν(α + β) ημα ημβ = συν(α β) συν(α + β) ημα = ημα συνα ημα = ημ α= 1 συνα t 1+t συνα = συν α ημ α συν α= 1+συνα 1 t συνα = t = εφα 1+t ημα + ημβ = ημ Α + Β συν Α Β ημα ημβ = ημ Α Β συν Α + Β συνα + συνβ = συν Α + Β συν Α Β συνα συνβ = ημ Β Α ημ Α + Β Λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων: Σε μοίρες ημx = ημα x = 360 ο κ + α x = 360 ο κ ο α, ή κz Σε ακτίνια x = πκ + α ή x = πκ + π α, κz συνx = συνα x = 360 ο κα, κz x = πκα, κz εφx = εφα x = 180 ο κ + α, κz x = πκ + α, κz

6 3. Γεωμετρία Ορθό πρίσμα Επ = Π β. υ V = E β. υ Κανονική Πυραμίδα E π = 1 Π β h V = E β.υ 3 Κύλινδρος Ε κ = πrυ V = πr υ Κώνος E κ = πrλ V = πr υ 3 Κόλουρος Κώνος E κ = π(r + ρ)λ V = πυ 3 (R + Rρ + ρ ) Σφαίρα E = 4πR V = 4πR Αναλυτική Γεωμετρία Απόσταση των σημείων Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ): d = (x x 1 ) + (y y 1 ) Απόσταση του σημείου Α(x 1, y 1 ) από την ευθεία Ax + By + Γ = 0: d = Ax 1+By 1 +Γ A +B Ελλειψη x α + y β = 1, γ = α β, α > β Εστίες ( ± γ,0), Διευθετούσες x = ± α ε, Εκκεντρότητα ε = γ α 5. Παράγωγοι (u v) = u v + u v ( u v ) = u v u v v dy dx = dy du du dx (ημx) = συνx (συνx) = ημx (εφx) = τεμ x (lnx) = 1 x 6. Ολοκληρώματα τεμx dx = ln τεμx + εφx + c στεμx dx = ln εφ x + c dx α x = τοξημ x α + c dx α + x = 1 α τοξεφ x α + c 7. Απλός Τόκος Τ = Κ.Ε.Χ 100

7 Αριθμός Μαθητών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ (50) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη, 3/05/019 8:00 11:00 Προτεινόμενες Λύσεις ΜΕΡΟΣ Α Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Ρωτήσαμε τους μαθητές ενός τμήματος ποια γεύση παγωτού προτιμούν. Οι προτιμήσεις των μαθητών φαίνονται στο πιο κάτω ραβδόγραμμα Φράουλα Κεράσι Πραλίνα Σοκολάτα Βατόμουρο Γεύσεις Παγωτού Να υπολογίσετε: (α) πόσοι μαθητές ρωτήθηκαν (β) πόσοι μαθητές προτιμούν γεύση φρούτων. (3 μονάδες) ( μονάδες) (α) = 5 (β) = 13 Σελίδα 1 / 9

8 . Σε ένα διαγωνισμό μαγειρικής, ένας διαγωνιζόμενος πήρε από τους έξι κριτές τις πιο κάτω βαθμολογίες: 8, 6, 7, 7, 9, 5 Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της βαθμολογίας που πήρε ο διαγωνιζόμενος. x = = 4 6 = 7 3. Να υπολογίσετε τον όγκο ορθού τετραγωνικού πρίσματος με πλευρά βάσης 4cm και ύψος 8cm. V = Ε β υ V = 16 8 = 18cm 3 4. Μια εταιρεία πώλησης κινητών τηλεφώνων έχει σε προσφορά το τελευταίο της μοντέλο. Η αρχική τιμή πώλησης του κινητού είναι 950 και το πουλάει με έκπτωση 0%. Να υπολογίσετε την τελική τιμή πώλησής του = = 760 Τιμή πώλησης: Ο όγκος ενός κύβου είναι 1000cm 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας. V = 1000 α 3 = 1000 α = 10cm Ε ολ = 6α Ε ολ = 6 10 Ε ολ = 600cm Σελίδα / 9

9 6. Το φράγμα Κούρη έχει χωρητικότητα 115 εκατομμύρια κυβικά μέτρα. Αν σήμερα η ποσότητα του νερού στο φράγμα ανέρχεται στα 9 εκατομμύρια κυβικά μέτρα, να υπολογίσετε το ποσοστό (%) πληρότητας του φράγματος = 80% 7. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κωνική σκηνή η οποία να έχει όγκο 5π m 3. Το ύψος της σκηνής θα είναι 3m. Να υπολογίσετε τη διάμετρο της βάσης της σκηνής. V = 5π m 3 πr υ 3 = 5π πr 3 3 = 5π R = 5 R = 5m Διάμετρος: 5 = 10m 8. Για να κατασκευάσουμε έναν τοίχο χρησιμοποιούμε τούβλα με διαστάσεις 0cm μήκος, 8cm πλάτος και 10cm ύψος. Ο τοίχος θα έχει μήκος 300cm, ύψος 40cm και πλάτος 16cm. Να υπολογίσετε πόσα τούβλα θα χρησιμοποιήσουμε, αν τα τούβλα που έχουμε στη διάθεσή μας εφαρμόζουν ακριβώς. V τούβλου = = 1600cm 3 V τοίχου = = cm 3 Αριθμός Τούβλων = = Η μέση τιμή πέντε αριθμών είναι 18. Αν εξαιρέσουμε έναν από τους αριθμούς αυτούς η μέση τιμή των υπολοίπων τεσσάρων είναι 16. Να βρείτε τον αριθμό που εξαιρέσαμε. x = Σ 5 5 Σ 5 = 18 5 = 90 y = Σ 4 4 Σ 4 = 16 4 = = 6, Ο αριθμός είναι το 6. Σελίδα 3 / 9

10 10. Μια εταιρεία κατασκευάζει κλειστά κυλινδρικά δοχεία τα οποία έχουν ύψος 1cm και ακτίνα βάσης 3cm. Το κόστος κατασκευής της βάσης είναι 0,3 σεντ το τετραγωνικό εκατοστό και το κόστος κατασκευής της κυρτής επιφάνειας είναι 0, σεντ το τετραγωνικό εκατοστό. Να υπολογίσετε το κόστος κατασκευής 1000 κυλινδρικών δοχείων. Ε κ = πrυ = π 3 1 = 7π = 6,08cm Ε β = πr = 9πcm = 8,6cm Κόστος = 6,08 0, + 8,6 0,3 = 45, ,956 = 6,17 σέντ Συνολικό Κόστος = ,17 = 617 σέντ ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Β Σελίδα 4 / 9

11 ΜΕΡΟΣ Β Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Σε μια έρευνα που αφορούσε την κατανάλωση βενζίνης διαφόρων μοντέλων αυτοκινήτων, μελετήσαμε πόσα χιλιόμετρα διανύει ένα αυτοκίνητο ανά λίτρο βενζίνης. Μετρήσαμε την κατανάλωση 100 αυτοκινήτων και οι παρατηρήσεις οι οποίες καταγράφηκαν φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Χιλιόμετρα (x i ) Αριθμός αυτοκινήτων (f i ) Να υπολογίσετε: (α) την επικρατούσα τιμή των πιο πάνω παρατηρήσεων (β) τη μέση τιμή των πιο πάνω παρατηρήσεων ( μονάδες) (3 μονάδες) (γ) την τυπική απόκλιση των πιο πάνω παρατηρήσεων (με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων) (3 μονάδες) (δ) το ποσοστό επί τοις εκατόν των αυτοκινήτων τα οποία διένυσαν λιγότερο από 10 χιλιόμετρα ανά λίτρο. ( μονάδες) x ι f i x ι f i (x ι x ) f i (x ι x ) (α) x ε = 6 f i = 100 x ι f i = 1000 f i (x ι x ) =1184 (β) x = = 10 (γ) s = ,44 (δ) = 49% Σελίδα 5 / 9

12 . Μια υπεραγορά διαθέτει το ίδιο απορρυπαντικό σε δύο διαφορετικές προσφορές. Προσφορά Α Προσφορά Β Συσκευασία:,5 κιλά Τιμή συσκευασίας: 8,50 Επιπλέον έκπτωση 10% Συσκευασία: 5 κιλά+0% επιπλέον προϊόν Τιμή συσκευασίας: 17,40 Ποια από τις δύο προσφορές είναι η πιο συμφέρουσα; ΠΡΟΣΦΟΡΑ Α ΠΡΟΣΦΟΡΑ Β 10 8,5 = 0, ,5 0,85 = 7,65 7,65,5 = 3, = 1 kg = 6 kg 17,40 6 =,9 Η προσφορά Β είναι η πιο συμφέρουσα. Σελίδα 6 / 9

13 3. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει παράπλευρο ύψος 13cm και πλευρά βάσης 10cm. Να υπολογίσετε: (α) το ύψος της πυραμίδας (β) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της πυραμίδας (γ) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας (δ) τον όγκο της πυραμίδας. h = 13cm, a = 10cm Κ (a) Από Πυθαγόρειο υ = 1cm υ h (β) E Π = 1 Π βh = = 60cm (γ) E ολ = Ε π + Ε β E ολ = = 360cm Ο x Μ (δ) V = 1 E 3 β υ = = 400cm3 3 α Σελίδα 7 / 9

14 Αριθμός Ψηφοφόρων 4. Σε μια δημοσκόπηση για τις επικείμενες ευρωεκλογές ρωτήθηκαν 30 ψηφοφόροι, για τις προτιμήσεις τους για τους υποψήφιους ευρωβουλευτές Α, Β, Γ και Δ. Τα αποτελέσματα της δημοσκόπησης παρουσιάζονται σε ένα κυκλικό διάγραμμα και έχουμε ότι: i. το 30% των ερωτηθέντων ψηφοφόρων επέλεξε τον υποψήφιο Α ii. iii. η γωνία του κυκλικού διαγράμματος η οποία αντιστοιχεί στον υποψήφιο Β είναι 144 ο τον υποψήφιο Γ τον επέλεξαν στις προτιμήσεις τους διπλάσιος αριθμός ερωτηθέντων από ότι τον υποψήφιο Δ. Να υπολογίσετε πόσοι από τους ερωτηθέντες δήλωσαν ότι θα επιλέξουν τον κάθε υποψήφιο και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. i = ii = iii. Δ = x, Γ = x x + x = 30 3x = 69 x = 3 Γ = 46, Δ = Α Β Γ Δ Ψηφοφόροι Σελίδα 8 / 9

15 5. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Β = 90 ο, ΑΒ = 6cm και ΑΓ = 10cm. Η ευθεία (xy) απέχει cm από την κορυφή Α και είναι παράλληλη με την πλευρά ΒΓ του τριγώνου. Το τρίγωνο περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (xy). Να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται (6 μονάδες) (β) τον όγκο του στερεού που παράγεται. (4 μονάδες) Στοιχεία κυλίνδρου: R = 8cm υ = 8cm Στοιχεία κόλουρου κώνου: R = 8cm ρ = cm Πυθαγόρειο Θεώρημα: Από Πυθαγόρειο ΒΓ = 8cm υ = 8cm λ = 10cm Ε στερεού = Ε κ.κυλ + Ε κ.κολ.κων + (Ε β.κυλ Ε Β.κολ.κων ) Ε στερεού = πrυ + π(r + ρ)λ + (πr πρ ) Ε στερεού = π8 8 + π(8 + ) 10 + (π 8 π ) Ε στερεού = 18π + 100π + 60π = 88πcm V στερεού = V κυλ V κολ.κων = πr π υ υ 3 (R + R ρ + ρ ) = π8 8 π 8 3 ( ) V στερεού = 51π 4π = 88πcm Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Η Σ Σελίδα 9 / 9

16 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (37) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 31/5/019 8:00 11:00 ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ Στο τέλος του εξεταστικού δοκιμίου επισυνάπτεται τυπολόγιο που αποτελείται από τρεις (3) σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1. Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα 4 6χ ημχ dχ. χ. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με PA PB. 3 Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, να βρείτε τις πιθανότητες : (α) Ρ(ΑΒ). (β) Ρ(Α - Β). χ ψ 3. Δίνεται η έλλειψη 1, με εστίες Ε και Ε. 5 9 (α) Να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. (β) Αν Τχ 1,ψ 1 είναι τυχαίο σημείο της έλλειψης, να αποδείξετε ότι : 8 ΤΕ ΤΕ χ και 4 σελίδα 1 από 4

17 4. (α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f,με τύπο ευθειών χ 1 και ψ 1. f χ e χ, χ (β) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου, γύρω από την ευθεία ψ 1. και των 3 5. Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f χ χ 3χ χ 1. Να δείξετε ότι ικανοποιούνται για την συνάρτηση f όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα 0,. Στη συνέχεια, να βρείτε τα ξ συμπέρασμα του θεωρήματος του Rolle. 0,, που ικανοποιούν το 6. Να αναλύσετε το κλάσμα κ 1 κ υπολογίσετε το άθροισμα 1 κ1 σε άθροισμα απλών κλασμάτων και να 1 κ 1 κ. 7. Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση χ ημθ, τρόπο να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 0 1 χ 1 χ π θ 0,, ή με οποιοδήποτε άλλο dχ. 8. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης lnχ χ 1. f : 0,, με τύπο f χ χ 9. (α) Να βρείτε πόσοι διαφορετικοί 9 - ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία 1, 1,,,,, 3, 4, 4. (β) Να βρείτε πόσοι από τους 9- ψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται στο ερώτημα (α) έχουν όλα τα σε συνεχόμενες θέσεις. (γ) Να βρείτε πόσοι από τους 9- ψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται στο ερώτημα (α) έχουν τα ψηφία 1, 1, 3 σε άρτιες θέσεις ( δηλαδή στην η, 4 η, 6 η, 8 η θέση). 1 η θέση η θέση 3 η θέση 4 η θέση 5 η θέση 6 η θέση 9 ψήφιος αριθμός 7 η θέση 8 η θέση 9 η θέση σελίδα από 4

18 10. (α) Έστω f: α,β, συνάρτηση, συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο α,β. Αν στο α,β. fχ 0, χ (β) Δίνεται η συνάρτηση, f : 0, α,β, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, με τύπο f χ lne Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. χ 3 χ 3. ΤΕΛΟΣ Α ΜΕΡΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f χ 6χ. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα χ χ 1 σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες των συντεταγμένων, τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα μονοτονίας, τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά.. Ένα σχολείο έχει 00 μαθητές. Για τη μετάβασή τους στο σχολείο, 10 μαθητές χρησιμοποιούν λεωφορείο, 60 μαθητές χρησιμοποιούν αυτοκίνητο και οι υπόλοιποι πηγαίνουν με τα πόδια. Αν ένας μαθητής χρησιμοποιεί για τη μετάβασή του στο σχολείο λεωφορείο, η πιθανότητα να καθυστερήσει το πρωί στο σχολείο είναι 1 3, αν χρησιμοποιεί αυτοκίνητο, η πιθανότητα να καθυστερήσει είναι 1 4, ενώ αν πηγαίνει με τα πόδια, η πιθανότητα να καθυστερήσει είναι 1. Επιλέγουμε στην τύχη ένα 8 μαθητή του σχολείου. (α) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής που επιλέξαμε να έχει καθυστερήσει το πρωί στο σχολείο. (β) Αν ο μαθητής που επιλέξαμε καθυστέρησε το πρωί να έλθει στο σχολείο, να βρείτε την πιθανότητα να ήλθε στο σχολείο με λεωφορείο. σελίδα 3 από 4

19 3. (α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (κ), ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων Οχ και Οψ και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα Οχείναι το σημείο Α(,0). (β) Αν ο πιο πάνω κύκλος (κ) έχει εξίσωση χ ψ 4χ 4ψ 4 0, να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου (κ), σε τυχαίο σημείο του π Τ συνθ, ημθ, θ 0,, είναι συνθ x ημθ y συνθ ημθ. (γ) Η εφαπτομένη (ε) τέμνει τον άξονα των τετμημένων χχ στο σημείο Β και η ευθεία ΤΑ τέμνει τον άξονα των τεταγμένων ψψ στο σημείο Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. 4. Δίνεται η συνάρτηση g, με τύπο χ g χ e, χ. (α) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τη κυρτότητα. (β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο της Α 0,g(0). (γ) Να αποδείξετε ότι χ e 1 χ, χ. 1 1 χ 5. (α) Να αποδείξετε ότι: τοξεφχ, χ (β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f με τύπο f χ τοξεφ χ και να αποδείξετε ότι. f χ 0, χ. (γ) Αν g συνεχής συνάρτηση στο διάστημα 0,α, α 0, χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση 3 1 χ u, να αποδείξετε ότι: χ gχ dχ χ gχdχ. α 0 0 (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης h με τύπο hχ χ 3 τοξεφ χ,τον άξονα των τετμημένων χχ και τις ευθείες χ 0και χ Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Η Σ α σελίδα 4 από 4

20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1. Στατιστική ν (x i x ) σ = i = 1 ν κ f i (x i x ) ή σ = i = 1 ν κ = κ f i x i i = 1 ν x, όπου ν = f i i = 1 r = Σ xy νx y, όπου Σ νs x S xy = x 1 y 1 + x y + + x ν y ν y. Τριγωνομετρία ημ(α ± Β) = ημασυνβ ± συναημb συν(α ± Β) = συνασυνβ ημαημβ ημα συνβ = ημ(α β) + ημ(α + β) συνα συνβ = συν(α β) + συν(α + β) ημα ημβ = συν(α β) συν(α + β) ημα = ημα συνα ημ α= 1 συνα ημα = t 1+t συνα = συν α ημ α συν α= 1+συνα 1 t συνα = t = εφα 1+t ημα + ημβ = ημ Α + Β συν Α Β ημα ημβ = ημ Α Β συν Α + Β συνα + συνβ = συν Α + Β συν Α Β συνα συνβ = ημ Β Α ημ Α + Β

21 Λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων: Σε μοίρες Σε ακτίνια ημx = ημα x = 360 ο κ + α x = 360 ο κ ο α, ή κz x = πκ + α ή x = πκ + π α, κz συνx = συνα x = 360 ο κα, κz x = πκα, κz εφx = εφα x = 180 ο κ + α, κz x = πκ + α, κz 3. Γεωμετρία Ορθό πρίσμα Επ = Π β. υ V = E β. υ Κανονική Πυραμίδα E π = 1 Π β h V = E β.υ 3 Κύλινδρος Ε κ = πrυ V = πr υ Κώνος E κ = πrλ V = πr υ 3 Κόλουρος Κώνος E κ = π(r + ρ)λ V = πυ 3 (R + Rρ + ρ ) Σφαίρα E = 4πR V = 4πR Αναλυτική Γεωμετρία Απόσταση των σημείων Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ): d = (x x 1 ) + (y y 1 ) Απόσταση του σημείου Α(x 1, y 1 ) από την ευθεία Ax + By + Γ = 0: d = Ax 1+By 1 +Γ A +B Ελλειψη x α + y β = 1, γ = α β, α > β Εστίες ( ± γ,0), Διευθετούσες x = ± α ε, Εκκεντρότητα ε = γ α

22 5. Παράγωγοι (u v) = u v + u v ( u v ) = u v u v v dy dx = dy du du dx (ημx) = συνx (συνx) = ημx (εφx) = τεμ x (lnx) = 1 x 6. Ολοκληρώματα τεμx dx = ln τεμx + εφx + c στεμx dx = ln εφ x + c dx α x = τοξημ x α + c dx α + x = 1 α τοξεφ x α + c 7. Απλός Τόκος Τ = Κ.Ε.Χ 100

23 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (37) ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 31 Μαΐου 019 8:00 11:00 ΜΕΡΟΣ Α ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα 6χ ημχ dχ. χ ΛΥΣΗ 4 3 (6 )dx 4ln c Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με PA PB. 3 Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, να βρείτε τις πιθανότητες : (α) Ρ(ΑΒ). (β) Ρ(Α - Β). ΛΥΣΗ 3 1 PA 1PA PA P(A) P(B), (Α,Β Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα) PA P(A) P(B) P(A B) PA P(A) P(A B) χ ψ Δίνεται η έλλειψη 1, με εστίες Ε και Ε. 5 9 (α) Να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. (β) Αν Τχ 1,ψ 1 είναι τυχαίο σημείο της έλλειψης, να αποδείξετε ότι : 8 ΤΕΤΕ χ1. 5 ΛΥΣΗ 3 και 4 α=5, β= α) β) Σελίδα 1/1

24 4. (α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f,με τύπο fχ e χ, χ και των ευθειών χ 1 και ψ 1. (β) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου, γύρω από την ευθεία ψ 1. ΛΥΣΗ 1 χ χ 1 Ε (e 1)dχ [e χ] e11 (e)τμ 0 0 χ 1 1 χ χ χ e χ 1 e 1 V π (e 1) dχ π (e e 1)dχ π[ e χ] π( e 1 ) e 5 π π( e ) (e 4e 5)κμ 5. 3 Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο fχ χ 3χ χ1. Να δείξετε ότι ικανοποιούνται για την συνάρτηση f όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα 0,. Στη συνέχεια, να βρείτε τα ξ0,, που ικανοποιούν το συμπέρασμα του θεωρήματος του Rolle. ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο 0, ως πολυωνυμική Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πολυωνυμική με f0 f 1 Ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. 0, : f 0 Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ -6ξ+=0 ξ =1+, δεκτή ξ =1-, δεκτή 1 f x 3x 6x γιατί ανήκουν στο 0, 6. Να αναλύσετε το κλάσμα κ 1 κ υπολογίσετε το άθροισμα 1 1 κ1κ1κ σε άθροισμα απλών κλασμάτων και να Σελίδα /1

25 ΛΥΣΗ 1 Α Β (κ 1)(κ ) κ 1 κ 1 Α(κ) Β(κ1) 1 (ΑΒ)κΑΒ ΑΒ 0 και ΑΒ 1 Α 1 και Β 1 έστω Σ ν ν κ1 1, το μερικό άθροισμα της σειράς (κ 1)(κ ) 7. ν Σ ν ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) κ1 κ1 κ ν ν1 ν1 ν 1 1 Σν ν Άρα lim( ) 0 (ν 1)(ν ) ν ν ν1 Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση χ τρόπο να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΛΥΣΗ 1 π Για χ 0 θ 0 Για χ θ 6 dx συνθ dθ 1 π 6 ημθ, 0 1 χ 1 χ π θ 0,, ή με οποιοδήποτε άλλο dχ. 0 0 π π π συνθ dθ συνθ dθ ημ θ dθ συνθ 0, θ 0, π π χ ημ θ dχ συνθ dθ 1χ 1ημ θ ημ θ ημ θ π συνθ συνθ 1 συνθ 1 ημθ π 3 dθ θ Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f: 0,, lnχ με τύπο fχχ. χ1 ΛΥΣΗ ln x ln x lim x limx lim x 0 x0 x0 x1 x1 Άρα χ=0 κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Σελίδα 3/1

26 f(x) lnx lnx lim lim(1 ) 1lim x x(x1) x(x1) x x x lim ln(x), lim x(x 1) Άρα έχουμε απροσδιοριστη μορφή x 1 lim lim x lim 1 x 0 1 x x lnx x 1 x(x 1) x x x Αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Del'Hospital, f(x) lim 10 1λ 1 x x lnx lim(f(χ) χ) lim x x x 1 lim ln(x), lim(x 1) Άρα έχουμε απροσδιοριστη μορφή x 1 lnx 1 lim lim x lim 0 x1 1 x x x x x Αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Del'Hospital, lnx lim(f(χ) χ) lim 0 β 0 x x1 Άρα ψ χ είναιπλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f x 9. (α) Να βρείτε πόσοι διαφορετικοί 9 - ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία 1, 1,,,,, 3, 4, 4. (β) Να βρείτε πόσοι από τους 9- ψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται στο ερώτημα (α) έχουν όλα τα σε συνεχόμενες θέσεις. (γ) Να βρείτε πόσοι από τους 9- ψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται στο ερώτημα (α) έχουν τα ψηφία 1, 1, 3 σε άρτιες θέσεις ( δηλαδή στην η, 4 η, 6 η, 8 η θέση). 1 η θέση η θέση 3 η θέση 4 η 5 η 6 η θέση θέση θέση 9 ψήφιος αριθμός 7 η θέση 8 η θέση 9 η θέση ΛΥΣΗ: (α) Είναι επαναληπτικές μεταθέσεις των εννέα ψηφίων. Επομένως όλοι οι 9-ψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται είναι: Μ 9! 3780!! 4! (β) Θεωρούμε όλα τα σαν μια ομάδα και έχουμε επαναληπτικές μεταθέσεις των έξι ψηφίων. Επομένως όλοι οι 9-ψήφιοι αριθμοί που σχηματίζονται είναι: Μ Μ 6!!! 4! 180 4! Σελίδα 4/1

27 (γ) Τα ψηφία 1,1,3 τοποθετούνται στις άρτιες θέσεις με 4 3! 1 τρόπους 3! και τα υπόλοιπα έξι ψηφία τοποθετούνται στις υπόλοιπες έξι θέσεις με 6! 15 τρόπους! 4! Επομένως το πλήθος των 9-ψήφιων αριθμών που σχηματίζονται είναι 4 3! 3! 6! ! 4! 10. (α) Έστω Αν α,β και παραγωγίσιμη στο α,β. f: α,β, συνάρτηση, συνεχής στο f χ 0, χ α,β, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο α,β. 3 χ χ (β) Δίνεται η συνάρτηση, f: 0,, με τύπο fχlne 3. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. (α) Έστω τυχαία σημεία χ,χ 1 [α,β] με α χ1 χ β.τότε αφού η f είναι συνεχής στο [χ 1,χ ] και παραγωγίσιμη στο (χ 1,χ )ισχύει το θεώρημα Μέσης Τιμής. Επομένως υπάρχει ξ (χ 1,χ ) τέτοιο ώστε: f(χ ) f(χ 1) f (ξ) f(χ ) f(χ 1) χ χ1 f (ξ) 0 χ χ1 f (χ) 0 χ (α,β) Επομένως αφού χ χ1 0 f(χ ) f(χ 1) 0 f(χ ) f(χ 1) Δηλαδή για τυχαία χ,χ 1 με χ1 χ αποδείξαμε ότι f(χ 1) f(χ ). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] 3 χ χ χ e χ (β) f(χ) lne f (χ) 0 χ [0, ) (χ 0) 3 3 χ χ e 3 Αφού η f είναι συνεχής στο 0, και παραγωγίσιμη στο (0, ) και f (χ) 0 χ [0, ) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ). (Εφαρμόζουμε το θεώρημα για [α,β] όπου α=0 και β>0) ΜΕΡΟΣ Β 1. 6χ Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο fχ. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα χ χ1 σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες των συντεταγμένων, τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα μονοτονίας, τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά. Σελίδα 5/1

28 ΛΥΣΗ ΠΟ : χ 0ψ0 ψ0χ 0 f (χ) 6(χ χ 1) 6χ(χ 1) 6χ 6 (χ χ 1) (χ χ 1) f (χ) 0 6χ 6 0 χ 1 χ -1 1 f (χ) f(χ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα (, 1],[1, ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1,1] Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f( 1) 6 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το Ασύμπτωτες x x x f(1) 6χ 6χ 6 lim lim lim 0 x χ χ 1 x χ x χ 6χ 6χ 6 lim lim lim 0 χ χ1 χ χ Η ευθεία ψ 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφ. παράστασης της f στο. Ένα σχολείο έχει 00 μαθητές. Για τη μετάβασή τους στο σχολείο, 10 μαθητές χρησιμοποιούν λεωφορείο, 60 μαθητές χρησιμοποιούν αυτοκίνητο και οι υπόλοιποι πηγαίνουν με τα πόδια. Αν ένας μαθητής χρησιμοποιεί για τη μετάβασή του στο σχολείο λεωφορείο, η πιθανότητα να καθυστερήσει το πρωί στο σχολείο είναι 1 3, αν χρησιμοποιεί αυτοκίνητο, η πιθανότητα να καθυστερήσει είναι 1 4, ενώ αν πηγαίνει με Σελίδα 6/1

29 τα πόδια, η πιθανότητα να καθυστερήσει είναι 1. Επιλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή 8 του σχολείου. (α) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής που επιλέξαμε να έχει καθυστερήσει το πρωί στο σχολείο. (β) Αν ο μαθητής που επιλέξαμε καθυστέρησε το πρωί να έλθει στο σχολείο, να βρείτε την πιθανότητα να ήλθε στο σχολείο με λεωφορείο ΛΥΣΗ (α) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Λ: ο μαθητής που επιλέξαμε έρχεται με λεωφορείο Α: ο μαθητής που επιλέξαμε έρχεται με αυτοκίνητο Π: ο μαθητής που επιλέξαμε έρχεται με τα πόδια Κ: ο μαθητής που επιλέξαμε έρχεται με καθυστέρηση P(K) P(Λ Κ) P(Α Κ) P(Π Κ) P(Λ) P(Κ / Λ) P(Α) P(Κ / Α) P(Π) P(Κ / Π) (β) 10 1 P(Λ Κ) P(Λ / K) P(Κ) (α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (κ), ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων Οχ και Οψ και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα Οχ είναι το σημείο Α(,0). (β) Αν ο πιο πάνω κύκλος (κ) έχει εξίσωση χ ψ 4χ 4ψ 4 0, να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου (κ), σε τυχαίο σημείο του π Τ συνθ,ημθ,θ 0,, είναι συνθ x ημθ y συνθ ημθ. (γ) Η εφαπτομένη (ε) τέμνει τον άξονα των τετμημένων χχ στο σημείο Β και η ευθεία ΤΑ τέμνει τον άξονα των τεταγμένων ψψ στο σημείο Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. Σελίδα 7/1

30 ΛΥΣΗ: (α) Κ(α,β) α R β Α(,0) Εξίσωση κύκλου: (χ ) (ψ ) 4 Τ( συνθ, ημθ) χ ψ 4χ4ψ4 0 χ (β) χ ψψ 4 4ψ 0 ψ ψ λεφ εφ: συνθ συνθ ημθ ημθ συνθ ψημθ (χσυνθ) ημθ ημθ ψ ημθ ημ θ συνθ χ συνθ συν θ συνθ χ ημθ ψ ημθ συνθ ημθ συνθ (γ) Για το Β: συνθ χ ημθ 0 ημθ συνθ χ συνθ Άρα λτα ΤΑ: Άρα π θ (0, ) συνθ 0 ημθ συνθ Β,0 συνθ ημθ 1ημθ συνθ συνθ 1 ημθ ψ (χ ) συνθ (1ημθ) Γ0, συνθ Σελίδα 8/1

31 ημθ συνθ 1 (1ημθ) Μ, συνθ συνθ ημθ συνθ 1 χ συνθ συνθ συνθ ψ χ (1ημθ) συνθ ψ 1ημθ συνθψ συνθ συνθ(1 ψ) χ χ 1 ψ συνθ 4. Δίνεται η συνάρτηση g, με τύπο χ gχ e, χ. (α) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τη κυρτότητα. (β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο της Α 0,g(0). (γ) Να αποδείξετε ότι χ e 1χ, χ. ΛΥΣΗ (α) Μελετούμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου για την συνάρτηση gx e,x R g x e g x e 0 x R Επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή στο R. (β) Α0, g0 0,1. Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α είναι λ g 0 1 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Α0,1 είναι ε: y 1 x ή y 1 x (γ) 1 ος τρόπος: Αφού η συνάρτηση g είναι κυρτή στο R τότε το διάγραμμά της βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη ε: y 1 x εκτός από το σημείο Α0,1 (Σημείο επαφής). Άρα gx y ή e 1x,x R Σελίδα 9/1

32 ος τρόπος: Θεωρούμε την συνάρτηση f: R R με τύπο fx e 1x Η παράγωγος της f είναι f x e 1,x R Έχουμε f x 0 e 10 x0 Κατασκευάζουμε τον πίνακα μονοτονίας της f x f x Ο.Ε fx H f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 0 H f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Για x0 έχουμε ολικό ελάχιστο το f0 0 Επομένως θα έχουμε ότι fx f0 ή e 1 x 0 ή e 1 x, x R με την ισότητα να ισχύει για x0. Σελίδα 10/1

33 5. (α) Να αποδείξετε ότι: 1 τοξεφχ, χ. 1 χ (β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f με f χ τοξεφ χ και να αποδείξετε ότι fχ 0, χ. τύπο (γ) Αν g συνεχής συνάρτηση στο διάστημα 0,α, α 0, χρησιμοποιώντας την 3 1 αντικατάσταση χ u, να αποδείξετε ότι: χ gχ dχ χ gχdχ. 0 0 (δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική h χ χ 3 τοξεφ χ,τον άξονα των τετμημένων παράσταση της συνάρτησης h με τύπο χχ και τις ευθείες χ 0και χ 1. α α ΛΥΣΗ (α) Θεωρούμε την συνάρτηση ρ με τύπο yρx τοξεφx, Τότε x εφy, y, Παραγωγίζοντας έχουμε x R 1τεμ y dy dx ή dy dx 1 τεμ y 1 1εφ y 1 1x Επομένως τοξεφx 1 1x, x R (β) Παραγωγίζοντας την συνάρτηση fx τοξεφx έχουμε f x x 1x Επομένως f x 0 x 0 x0 1x x 0 f - + x fx Ο.Ε H f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 0 H f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Για x0 έχουμε ολικό ελάχιστο το f0 0 Επομένως έχουμε ότι fx f0 ή fx 0, x R Σελίδα 11/1

34 (γ) Χρησιμοποιώντας την δοθείσα αντικατάσταση έχουμε dx du ή xdx du ή xdx 1 du και για x0, xα, αντίστοιχα παίρνουμε τα νέα όρια ολοκλήρωσης u0,uα. Επομένως x gx dx x xgx dx ugu 1 1 du ugudu 1 xgxdx. (δ) Επειδή fx τοξεφx 0 για x R και x 0 για x 0 θα έχουμε ότι hx x τοξεφx 0 για x 0,1 Άρα το εμβαδόν του χωρίου δίνεται από τον τύπο Εx τοξεφx dx Θέτουμε gx τοξεφx η οποία είναι συνεχής στο0,1, με α=1, χρησιμοποιώντας το (γ) παίρνουμε: Ε x τοξεφx dx xτοξεφxdx τοξεφxd dx 1 x τοξεφx 1 x 1 1x dx 1 4 π x dx π xτοξεφx 1 τ. μ Σελίδα 1/1

35 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (43) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 10 IOYNIOY 019 8:00 11:00 ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΕΞΙ (6) ΣΕΛΙΔΕΣ. Στο τέλος του δοκιμίου επισυνάπτεται ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ, το οποίο αποτελείται από (4) σελίδες. ΜΕΡΟΣ Α : Αποτελείται από 10 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. A1 Δίνονται τα πιο κάτω διαγράμματα διασποράς Α, Β και Γ. Να ταξινομήσετε τα διαγράμματα με βάση τη γραμμική συσχέτιση από την πιο ισχυρή στη πιο ασθενή. A Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει: λx κ+ dx = x 8 + c Α3 Δίνονται τα ψηφία 1, 3, 6, 7, 8, 9. Να βρείτε το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία χωρίς επανάληψη ψηφίου. Σελίδα 1/6

36 A4 Δίνονται οι μεταβλητές x, y. Με βάση τις ετήσιες μετρήσεις έντεκα χρόνων υπολογίστηκαν οι τυπικές τους αποκλίσεις S x = 36,3, S y = 18,7, οι μέσοι όροι x = 34, y =,5 και το άθροισμα των γινομένων τους Σxy = 1444,4. α) Να υπολογίσετε το συντελεστή συσχέτισης (r) μεταξύ των μεταβλητών x και y. β) Να χαρακτηρίσετε το είδος της συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Α5 Δίνεται η συνάρτηση φ: R R, με φ (x) = x(3 x)(x + 4), xεr. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς την κυρτότητα. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της φ παρουσιάζει σημεία καμπής. Α6 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού [x 0, x ). Τα σημεία Α, Β, Γ έχουν τετμημένες x 0, x 1, x αντίστοιχα και f (x 1 ) = 0. x 0 x 1 x α) Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης f στο διάστημα (x 1, x ). Σελίδα /6

37 Α7 Ένα μικρό καταφύγιο σκύλων φιλοξενεί οκτώ (8) αρσενικούς και έξι (6) θηλυκούς σκύλους. Μια μέρα φτάνει στο καταφύγιο μια φιλόζωη οικογένεια η οποία θέλει να υιοθετήσει τέσσερις (4) σκύλους. α) Να βρείτε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή των σκύλων που θα υιοθετήσει η οικογένεια, χωρίς κανένα περιορισμό ως προς το φύλο. β) Αν η οικογένεια επιλέξει τους τέσσερις (4) σκύλους στην τύχη, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των πιο κάτω ενδεχομένων: i) Α: να επιλέξει ακριβώς ένα αρσενικό σκύλο, ii) Β: να επιλέξει το πολύ ένα θηλυκό σκύλο. Α8 Στο πλαίσιο της ανοικοδόμησης του καθεδρικού ναού της Παναγίας των Παρισίων μετά την καταστροφική πυρκαγιά, πρόκειται να κατασκευαστεί καμπαναριό με όγκο 79π m 3, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το καμπαναριό θα αποτελείται από ημισφαίριο και κύλινδρο ίσης ακτίνας. Αν το ύψος του κυλίνδρου θα είναι τριπλάσιο από την ακτίνα του, να υπολογίσετε το ύψος (h) του καμπαναριού. A9 Η Αυγή κάθε βράδυ, είτε παρακολουθεί τηλεόραση είτε διαβάζει. Η πιθανότητα να παρακολουθεί τηλεόραση είναι 4. Όταν παρακολουθεί τηλεόραση η πιθανότητα να 5 αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα είναι 3, ενώ όταν διαβάζει η πιθανότητα να 4 αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα είναι 1 3. α) Να βρείτε την πιθανότητα κάποιο βράδυ η Αυγή να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα. β) Δεδομένου ότι κάποιο βράδυ η Αυγή αποκοιμήθηκε στην πολυθρόνα, να βρείτε την πιθανότητα να παρακολουθούσε τηλεόραση. Σελίδα 3/6

38 Α10 Η ποσότητα ενός φαρμάκου (σε mg), στον οργανισμό του ανθρώπου, δίνεται από τη συνάρτηση Π(t), όπου t είναι ο χρόνος μετά τη λήψη του φαρμάκου (σε ώρες). Δίνεται ότι Π (t) = 1 6t, t 0. Μια ώρα μετά από τη λήψη του φαρμάκου υπάρχουν 9 mg φαρμάκου στον οργανισμό του ανθρώπου. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Π δίνεται από τον τύπο Π(t) = 1t 3t, t 0. β) Να βρείτε: i) σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου η μέγιστη δόση του φαρμάκου, ii) τη μέγιστη δόση του φαρμάκου (σε mg), που υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου, iii) σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του, το φάρμακο αυτό ΔΕΝ θα υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου. ΤΕΛΟΣ ΜΕΡΟΥΣ Α ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΤΟ ΜΕΡΟΣ Β Σελίδα 4/6

39 ΜΕΡΟΣ Β : Αποτελείται από 5 ασκήσεις. Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. Β1 Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΖ, με γωνίες ΒΑΖ = ΑΖΓ = 90 0, ΒΓΖ = Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ = 3cm, γράφουμε τόξο ΒΖ μέσα στο ΑΒΓΖ. Το σημείο Ε βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΖ (xy), έτσι ώστε το τρίγωνο ΖΜΕ να είναι ορθογώνιο, με ΖΕ = 4cm και Μ μέσο της ΖΓ. Το σκιασμένο χωρίο (ΒΓMΕΖΒ) στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (ΑΖ). Nα υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της επιφάνειας και β) τον όγκο του στερεού που παράγεται B Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 6x 3 ax + βx + 1, x R, α, β R. α) Να βρείτε τις τιμές των a, β, ώστε η f να έχει στη θέση x 1 = σημείο καμπής και στη θέση x = 1 τοπικό ακρότατο. β) Αν a = 36 και β = 54, να βρείτε τη διάμεσο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των παρατηρήσεων α, β, f(), f(1), 15. Β3 Δίνεται η λέξη ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ α) i) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. ii) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης, που έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. β) Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: i) Α: Ο αναγραμματισμός να έχει τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. ii) Β: Ο αναγραμματισμός να μην έχει τα Α σε συνεχόμενες θέσεις. Σελίδα 5/6

40 Β4 α) Δίνεται η συνάρτηση f: R R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο (1,0). Αν f (x) = 3x 4x + 1, xεr, να δείξετε ότι η f δίνεται από τον τύπο: f (x) = x 3 x + x, xεr β) Αφού βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης G f της συνάρτησης f με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη, τα σημεία καμπής της, τη συμπεριφορά της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της, να κάνετε την γραφική της παράσταση. Β5 Δίνεται ένα χαρτόνι σχήματος ορθογωνίου διαστάσεων 80dm 50dm. Πρόκειται να κατασκευαστεί με αυτό ένα κλειστό κουτί, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους ΔΕ = x dm με βάσεις τα ορθογώνια ΕΖΗΘ και ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σκιασμένα μέρη του σχήματος θα αφαιρεθούν. (Οι διπλώσεις θα γίνουν κατά μήκος των τμημάτων ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΑΔ και ΒΓ). α) Να δείξετε ότι ο όγκος V του κουτιού ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο V(x) = (x 3 130x + 000x) dm 3 β) Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του κουτιού, ώστε ο όγκος του να είναι μέγιστος. Τ Ε Λ Ο Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Η Σ Σελίδα 6/6

41 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 019 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (43) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 10 IOYNIOY 019 8:00 11:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α A1 Δίνονται τα πιο κάτω διαγράμματα διασποράς Α, Β και Γ. Να ταξινομήσετε τα διαγράμματα με βάση τη γραμμική συσχέτιση από την πιο ισχυρή στη πιο ασθενή. Γ, Β, Α A Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει: A τρόπος (x 8 ) = λx κ+ λx κ+ dx = x 8 + c 8x 7 = λx κ+ τότε λ = 8 και κ + = 7 τότε κ = 5 Σελίδα 1/18

42 Β τρόπος λx κ+ dx = x 8 + c τότε λx κ+ dx = λ κ++1 xκ++1 + c, κ 3 λ κ++1 xκ++1 + c = x 8 + c τότε λ κ+3 = 1 και κ + 3 = 8 κ = 5 και λ = 8 Α3 Δίνονται τα ψηφία 1, 3, 6, 7, 8, 9. Να βρείτε το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών που μπορούν να σχηματιστούν με τα πιο πάνω ψηφία χωρίς επανάληψη ψηφίου. To πλήθος των τετραψήφιων αριθμών με βάση την αρχή της απαρίθμησης είναι: Χ Ε Δ Μ = 360 αριθμοί A4 Δίνονται οι μεταβλητές x, y. Με βάση τις ετήσιες μετρήσεις έντεκα χρόνων υπολογίστηκαν οι τυπικές τους αποκλίσεις S x = 36,3, S y = 18,7, οι μέσοι όροι x = 34, y =,5 και το άθροισμα των γινομένων τους Σxy = 1444,4. α) Να υπολογίσετε το συντελεστή συσχέτισης (r) μεταξύ των μεταβλητών x και y. β) Να χαρακτηρίσετε το είδος της συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών. α) Είναι ν = 11 και r = Σxy νx y νs x S y = 1444, , ,3 18,7 = 0,956 β) Υπάρχει ισχυρή αρνητική γραμμική συσχέτιση (ή σχεδόν τέλεια αρνητική γραμμική συσχέτιση). Σελίδα /18

43 Α5 Δίνεται η συνάρτηση φ: R R, με φ (x) = x(3 x)(x + 4), xεr. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς την κυρτότητα. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της φ παρουσιάζει σημεία καμπής. α) φ (x) = 0 x(3 x)(x + 4) = 0 x = 0 ή x = 3 ή x = 4 (διπλή ρίζα) Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της φ Η συνάρτηση φ είναι : κυρτή στο διάστημα [0,3] κοίλη στα διαστήματα (, 0] και [3, + ) (β) Η γραφική παράσταση της φ παρουσιάζει σημεία καμπής στο x = 0 ή στο (0, φ(0)) και στο x = 3 ή στο (3, φ(3)) Σελίδα 3/18

44 Α6 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού [x 0, x ). Τα σημεία Α, Β, Γ έχουν τετμημένες x 0, x 1, x αντίστοιχα και f (x 1 ) = 0. x 0 x 1 x α) Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης f στο διάστημα (x 1, x ). (α) Στο x = x 1 (ή στο Β(x 1, f(x 1 )) παρουσιάζει τοπικό και ολικό μέγιστο το f(x 1 ). Στο x = x 0 (ή στο Α(x 0, f(x 0 )) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(x 0 ). (β) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [x 0, x 1 ] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [x 1, x ). (γ) Στο διάστημα (x 1, x ) είναι f (x) < 0 Σελίδα 4/18

45 Α7 Ένα μικρό καταφύγιο σκύλων φιλοξενεί οκτώ (8) αρσενικούς και έξι (6) θηλυκούς σκύλους. Μια μέρα φτάνει στο καταφύγιο μια φιλόζωη οικογένεια η οποία θέλει να υιοθετήσει τέσσερις (4) σκύλους. α) Να βρείτε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή των σκύλων που θα υιοθετήσει η οικογένεια, χωρίς κανένα περιορισμό ως προς το φύλο. β) Αν η οικογένεια επιλέξει τους τέσσερις (4) σκύλους στην τύχη, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των πιο κάτω ενδεχομένων: i) Α: να επιλέξει ακριβώς ένα αρσενικό σκύλο, ii) Β: να επιλέξει το πολύ ένα θηλυκό σκύλο. α) Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων επιλογής χωρίς κανένα περιορισμό είναι: ( 14 4 ) = 14! 10!4! = 1001 β) Αν Ω o δειγματικός χώρος των διαφορετικών τρόπων επιλογής των σκύλων χωρίς κανένα περιορισμό, τότε είναι: ν(ω) = 1001 ι) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α είναι: Τότε ν(α) = ( 8 1 ) (6 3 ) = 160 P(Α) = (8 1 )(6 3 ) ( 14 4 ) = ιι) Το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Β είναι: Τότε ν(β) = ( 6 0 ) (8 4 ) + (6 1 ) (8 3 ) = 406 P(Β) = = Σελίδα 5/18

46 Α8 Στο πλαίσιο της ανοικοδόμησης του καθεδρικού ναού της Παναγίας των Παρισίων μετά την καταστροφική πυρκαγιά, πρόκειται να κατασκευαστεί καμπαναριό με όγκο 79π m 3, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το καμπαναριό θα αποτελείται από ημισφαίριο και κύλινδρο ίσης ακτίνας. Αν το ύψος του κυλίνδρου θα είναι τριπλάσιο από την ακτίνα του, να υπολογίσετε το ύψος (h) του καμπαναριού. υ κυλίνδρου = 3R V κυλ + V ημ = 79π πr υ + 3 πr3 = 79π R 3R + 3 R3 = 79 3R R3 = R3 = 79 R 3 = 16 R = 6m υ κυλ = 3 6 = 18m h = υ κυλ + R = = 4m h = 4m Σελίδα 6/18

47 A9 Η Αυγή κάθε βράδυ, είτε παρακολουθεί τηλεόραση είτε διαβάζει. Η πιθανότητα να παρακολουθεί τηλεόραση είναι 4 5. Όταν παρακολουθεί τηλεόραση η πιθανότητα να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα είναι 3, ενώ όταν διαβάζει η 4 πιθανότητα να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα είναι 1 3. α) Να βρείτε την πιθανότητα κάποιο βράδυ η Αυγή να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα. β) Δεδομένου ότι κάποιο βράδυ η Αυγή αποκοιμήθηκε στην πολυθρόνα, να βρείτε την πιθανότητα να παρακολουθούσε τηλεόραση. Ορίζουμε τα πιο κάτω ενδεχόμενα: Τ Η Αυγή παρακολουθεί τηλεόραση Δ Η Αυγή διαβάζει Κ : Η Αυγή να αποκοιμηθεί στην πολυθρόνα (α) P(Κ) = P(Τ) P(Κ/Τ) + P(Δ) P(Κ/Δ) P(Κ) = = 3 (β) P(Τ/Κ) = P(Τ Κ) P(Κ) = = 9 10 Σελίδα 7/18

48 Α10 Η ποσότητα ενός φαρμάκου (σε mg), στον οργανισμό του ανθρώπου, δίνεται από τη συνάρτηση Π(t), όπου t είναι ο χρόνος μετά τη λήψη του φαρμάκου (σε ώρες). Δίνεται ότι Π (t) = 1 6t, t 0. Μια ώρα μετά από τη λήψη του φαρμάκου υπάρχουν 9 mg φαρμάκου στον οργανισμό του ανθρώπου. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Π δίνεται από τον τύπο Π(t) = 1t 3t, t 0. β) Να βρείτε: i) σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου η μέγιστη δόση του φαρμάκου, ii) τη μέγιστη δόση του φαρμάκου (σε mg), που υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου, iii) σε πόσες ώρες μετά τη λήψη του, το φάρμακο αυτό ΔΕΝ θα υπάρχει στον οργανισμό του ανθρώπου. (α) Π(t) = Π (t)dt = (1 6t)dt = 1t 3t + c Π(1) = c = 9 c = 0 Π(t) = 1t 3t (β) i) Για να βρούμε σε πόση ώρα ο οργανισμός έχει τη μέγιστη δόση πρέπει: Π (t) = 0 1 6t = 0 t = Χρησιμοποιούμε το β κριτήριο τοπικών ακροτάτων Π (t) = 6 τότε Π () = 6 < 0 τότε στο t = παρουσιάζει μέγιστο Συνεπώς σε ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου θα υπάρχει στον οργανισμό η μέγιστη δόση του φαρμάκου. ii) Μέγιστη δόση: Π() = 1 3 = 1mg iii) Δεν θα υπάρχει στον οργανισμό καθόλου φάρμακο αν Π(t) = 0 1t 3t = 0 3t(4 t) = 0 τότε t = 0 ή t = 4 Συνεπώς 4 ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου δεν θα υπάρχει καθόλου φάρμακο στον οργανισμό του ανθρώπου. Σελίδα 8/18

49 ΜΕΡΟΣ Β : Β1 Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΖ, με γωνίες ΒΑΖ = ΑΖΓ = 90 0, ΒΓΖ = Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ = 3cm, γράφουμε τόξο ΒΖ μέσα στο ΑΒΓΖ. Το σημείο Ε βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΖ (xy), έτσι ώστε το τρίγωνο ΖΜΕ να είναι ορθογώνιο, με ΖΕ = 4cm και Μ μέσο της ΖΓ. Το σκιασμένο χωρίο (ΒΓMΕΖΒ) στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (ΑΖ). Nα υπολογίσετε: α) το εμβαδόν της επιφάνειας και β) τον όγκο του στερεού που παράγεται Σελίδα 9/18

50 Από το Β φέρουμε κάθετη στη ΖΓ. Σχηματίζεται τετράγωνο ΑΒΜ Ζ πλευράς 3cm και ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΒΜ Γ ( ΒΓΖ = 45 0 ) με ΒΜ = Μ Γ = 3 cm. Άρα το Μ είναι το μέσο της ΖΓ με το Μ να ταυτίζεται με το Μ. Έτσι ΖΓ = 6 cm και ΖΜ = 3 cm. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΓ (ΒΜ) + (ΜΓ) = (ΒΓ) = (ΒΓ) (ΒΓ) = 3 cm εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα: Ημισφαίριο R = ΑΒ = 3cm V = πr3 = π 33 3 V = 18πcm 3 Ε = 1 4πR = π 3 Ε = 18π cm Κόλουρος Κώνος R = ΑΒ = 3cm ρ = ΖΓ = 6cm λ = ΒΓ = 3 cm υ = ΑΖ = 3cm V = πυ 3 (R + Rρ + ρ ) = π 3 3 ( ) = π( ) V = 63πcm 3 Ε Κ = π(r + ρ)λ = π(3 + 6) 3 Ε Κ = 7π cm Δακτύλιος Ε δ = π6 π3 Ε δ = 7πcm Κώνος R = ΑΒ = 3cm υ = ΖΕ = 4cm λ = υ + R λ = = 5 λ = ΜΕ = 5cm V = πr υ 3 = π V = 1π cm 3 Ε Κ = πrλ = π 3 5 Ε Κ = 15π cm V ολ = V κ.κών + V κών V ημσ V ολ = 63π + 1π 18π V ολ = 57π cm 3 Ε ολ = Ε ημσ + Ε κ.κών + Ε δ +Ε κών Ε ολ = 18π + 7π + 7π + 15π = 60π + 7 π Ε ολ = ( )π cm Σελίδα 10/18

51 B Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 6x 3 ax + βx + 1, x R, α, β R. α) Να βρείτε τις τιμές των a, β, ώστε η f να έχει στη θέση x 1 = σημείο καμπής και στη θέση x = 1 τοπικό ακρότατο. β) Αν a = 36 και β = 54, να βρείτε τη διάμεσο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των παρατηρήσεων α, β, f(), f(1), 15. (α) f(x) = 6x 3 ax + βx + 1 τότε f (x) = 18x ax + β και f (x) = 36x a Στο x = 1 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο τότε f (1) = 0 18 α + β = 0 α + β = 18 (1) Στο x 1 = η συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής τότε f () = 0 7 α = 0 α = 36 () Από (1) και () 7 + β = 18 β = 54 Για α = 36 και β = 54 τότε f(x) = 6x x + 1 Θα ελέγξουμε αν στο x = 1 η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και στο x 1 = η f παρουσιάζει σημείο καμπής. f (x) = 18x 7x + 54 και f (x) = 36x 7 f (x) = 0 18x 7x + 54 = 0 (x 1)(x 3) = 0 x = 1 ή x = 3 Από β κριτήριο f (1) = < 0 τότε στο x = 1 παρουσιάζει μέγιστο f () = > 0 τότε στο x = 3 παρουσιάζει ελάχιστο f (x) = 0 36x 7 = 0 x = Σελίδα 11/18

52 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f Άρα στο x = η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει σημείο καμπής Συμπέρασμα: οι ζητούμενες τιμές των a, β, είναι α = 36 και β = 54 β) Πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές: f(1) = = 5 f() = = 13 Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά: 13, 5, 36, 54, 15 ν = 5 ν+1 = 3 η διάμεσος βρίσκεται στην τρίτη θέση x δ = x 3 = 36 Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Q 1 = x 1+x = 13+5 = 19 Q 3 = x 4 + x 5 Τότε = = 89,5 IQR = Q 3 Q 1 = 89,5 19 = 70,5 τότε IQR = 70, 5 Σελίδα 1/18

53 Β3 Δίνεται η λέξη ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ α) i) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. ii) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης, που έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. β) Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΔΙΑΜΑΝΤΙΑ, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: i) Α: Ο αναγραμματισμός να έχει τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις. ii) Β: Ο αναγραμματισμός να μην έχει τα Α σε συνεχόμενες θέσεις. α) i) 9! 3!! = 3040 ii) Ι I A A A Δ Μ Ν Τ 5! 5!! 3! = 100 β) i) P(A) = ν(α) ν(ω) = = 5 16 ιι) Α A A Δ I I Μ Ν Τ ν(β ) = 7!! = 50 P(Β) = 1 P(B ) = 1 ν(β ) ν(ω) = = 11 1 Σελίδα 13/18

54 Β4 α) Δίνεται η συνάρτηση f: R R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο (1,0). Αν f (x) = 3x 4x + 1, xεr, να δείξετε ότι η f δίνεται από τον τύπο: f (x) = x 3 x + x, xεr β) Αφού βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης G f της συνάρτησης f με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα, τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη, τα σημεία καμπής της, τη συμπεριφορά της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της, να κάνετε την γραφική της παράσταση. α)f(x) = f (x)dx = (3x 4x + 1)dx = x 3 x + x + c f(1) = 0 0 = c c = 0 Τότε f(x) = x 3 x + x, xεr β) f(x) = x 3 x + x Σημεία τομής με τους άξονες: Για x = 0: f(0) = 0, (0, 0). Για y = 0: x 3 x + x = 0 x(x x + 1) = 0 x(x 1) = 0, x = 0 ή x = 1 (1, 0) Μονοτονία και τοπικά ακρότατα: f (x) = 3x 4x + 1 f (x) = 0 3x 4x + 1 = 0 (3x 1)(x 1) = 0 τότε x = 1 ή x = 1 3 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f Σελίδα 14/18

55 f ( 1 3 ) = 4 7 f(1) = 0 τότε τότε ΤΜ ( 1 3, 4 7 ) και ΤΕ(1,0) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, 1 ] και [ 1, + ). 3 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 1 3, 1]. Κυρτότητα και Σημεία καμπής: f (x) = 6x 4 f (x) = 0 6x 4 = 0 x = 3 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f f ( 3 ) = = = ΣΚ ( 3, 7 ) H f είναι κοίλη στο διάστημα (, 3 ] και κυρτή στο διάστημα [ 3, + ) Συμπεριφορά στα άκρα του Π.Ο.: lim f(x) = lim x + x + (x3 x + x) = lim x + x3 = + lim f(x) = lim x x (x3 x + x) = lim x x3 = Σελίδα 15/18

56 Γραφική Παράσταση Σελίδα 16/18

57 Β5 Δίνεται ένα χαρτόνι σχήματος ορθογωνίου διαστάσεων 80dm 50dm. Πρόκειται να κατασκευαστεί με αυτό ένα κλειστό κουτί, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ύψους ΔΕ = x dm με βάσεις τα ορθογώνια ΕΖΗΘ και ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα σκιασμένα μέρη του σχήματος θα αφαιρεθούν. (Οι διπλώσεις θα γίνουν κατά μήκος των τμημάτων ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΑΔ και ΒΓ). α) Να δείξετε ότι ο όγκος V του κουτιού ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο V(x) = (x 3 130x + 000x) dm 3 β) Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του κουτιού, ώστε ο όγκος του να είναι μέγιστος. α) Έστω ΑΔ = y και ΔΕ = x και AB = 50 x, 0 < x < 5 τότε x + y = 80 τότε y = 40 x V = Ε β υ = (ΑΔ)(ΑΒ)(ΔΕ) V(x) = (40 x)(50 x)x V(x) = x 3 130x + 000x β) V (x) = 6x 60x V (x) = 0 τότε 6x 60x = 0 (3x 100)(x 10) = 0 τότε x = 10 ή x = απορρίπτεται, εκτός Π.Ο. Σελίδα 17/18

58 Α τρόπος V (x) = 1x 60 V (10) = < 0 τότε στο x = 10 ο όγκος γίνεται μέγιστος Β τρόπος Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της V Στο x = 10 o όγκος γίνεται μέγιστος Άρα οι διαστάσεις του κουτιού είναι ΑΔ = = 30dm AB = = 30dm ΔΕ = 10dm Τέλος Σελίδα 18/18