ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι"

Transcript

1 ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

3 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδ ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί Δεσμεύσεις ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Σττικό μοντέλο φέροντος οργνισμού 8 Έδφος - Θεμελιώσεις Διφργμτική λειτουργί πλάκς ορόφου Ροπές δρνείς δοκών/ πλκοδοκών Ισοδύνμ πλίσι 7 Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 8 Πρτηρήσεις/Σχόλι ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 5 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Θεσσλονίκη 8

4 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ σελίδ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

5 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δεδομέν: Γρμμικός φορές, J, J Φορτίσεις:,,,, q Σχ.. ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι μείωση υπολογιστικού όγκου (πάντοτε; Πότε είνι σύμφορη η θεώρηση υτή;) π.χ. ΑΝΤΙΣΥΜΕΤΡΙΑ Σχ..

6 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Q Q F Γενικά: ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Σχ.. Επίπεδο Συμμετρίς Επίπεδο Αντισυμμετρίς όπου: :πιθνές μεττοπίσεις :πιθνές στροφές Σχ.. Τί πρτηρείτε; β) Αρίθμηση κόμβων/αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ..5

7 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ/ΔΥΣΤΕΝΕΙΑΣ/ ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ γι το -οστό στοιχείο, νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ). Σημείωση: Η προσήμνση των δυνάμεων/ροπών στην κλσσική σττική θεωρεί θετικές τις φορές όπως πεικονίζοντι στο Σχ.. Σχ.. Στην προύσ νάπτυξη θ θεωρηθεί η κόλουθη προσήμνση ως θετική (Σχ..7) Γιτί; Σχ..7 Δηλδή, θετική ροπή είνι η ριστερόστροφη κι θετικές τέμνουσες υτές που κολουθούν τη θετική φορά των ντιστοίχων τοπικών ξόνων. Τ φορτί διτομής στους κόμβους προκύπτουν πό την πρκάτω σχέση: v (.)

8 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης όπου: μητρώο δυσκμψίς του -οστού στοιχείου στο τοπικό του σύστημ (). v διάνυσμ Β.Ε. του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) (Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς). διάνυσμ φορτίων διτομής στους κόμβους εξιτίς εξωτερικών φορτίσεων στο εσωτερικό του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) διάνυσμ φορτίων διτομής του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) Το μητρώο δυσκμψίς γι την δοκό (μφίπκτη, μόνο κάμψη) στο επίπεδο είνι της εξής μορφής:, (Πλήθος στοιχείων) J (.) Η φυσική ερμηνεί του μητρώου δυσκμψίς δίνετι κολούθως: Κάθε στήλη του μητρώου περιέχει τ φορτί διτομής που νπτύσσοντι στους κόμβους του στοιχείου, ν θεωρήσουμε την ντίστοιχη επικόμβι στροφή ή μετκίνηση του στοιχείου ίση με τη μονάδ κι τις υπόλοιπες μηδενικές. π.χ. τ στοιχεί της στήλης εκφράζουν ντίστοιχ την τέμνουσ κι ροπή που νπτύσσοντι σε κάθε κόμβο του στοιχείου γι μονδιί στροφή του κόμβου του στοιχείου (όλες οι υπόλοιπες στροφές/μετκινήσεις): J J ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ J ϕ Σχ..8 J ϕ ( )

9 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ Q Q ] (.) [ Q Q ] (.) [ ϕ ] ϕ [ ϕ ϕ ] v (.5) v (.), ϕ, ϕ, ϕ ϕ, Q, U Q U Q U,,, Q U Σχ..9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση (εκτός πό μονχικά φορτί/ροπές στους κόμβους) Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.7) Οι εξωτερικές φορτίσεις είνι: ) Μεμονωμέν φορτί στους κόμβους:,, (λμβάνοντι υπόψη στο ΒΗΜΑ 7)

10 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Θερμοκρσί: J d (.8) J d γ) Ομοιόμορφ κτνεμημένη φόρτιση: q q q (.9) q q Σημείωση: Η διδικσί υπολογισμού των δινυσμάτων είνι η κόλουθη: ): Θεωρούμε τις εξωτερικές φορτίσεις ν δρούν σε μφίπκτη δοκό: Σχ.. Από το Bton Kndr (π.χ) ορίζουμε τις τιμές των φορτίων διτομής που εμφνίζοντι στ δύο άκρ. β): Επειδή η προσήμνση των θετικών φορών του Bton Kndr κολουθεί το Σχ.., πολλπλσιάζουμε τις τιμές της ριστερής πλευράς ( ) με (-.), ώστε ν δίνοντι τ δεδομέν σύμφων με την προσήμνση του Σχ..7.

11 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) (Είνι πρίτητο; Μόνο έν; Μπορούμε ν έχουμε περισσότερ του ενός συστήμτ νφοράς; Βλέπε Κεφ. Μητρώ Μετσχημτισμού) Σχ.. Όπου: (,, Ζ) Τοπικό σύστημ κθολικό σύστημ συντετγμένων τ χρκτηριστικά/ιδιότητες του κάθε στοιχείου περιγράφοντι νεξάρτητ πό τ άλλ στοιχεί. Μόνο εν κθολικό σύστημ Διάφορ συστήμτ νφοράς τ χρκτηριστικά/ιδιότητες όλων των στοιχείων έχουν κοινό σημείο νφοράς το σύστημ υτό. Οι βθμοί ελευθερίς στους κόμβους νφέροντι σε διφορετικά συστήμτ

12 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) ϕ ϕ Φ U U Φ U Φ ϕ Γι το στοιχείο : Σχ.. τ v vg,,, τ Γενική περίπτωση: βλέπε Κεφ. 5 (σελ. ) Εδώ: ϕ ϕ άρ U Φ τ (.) ϕ Το μητρώο όλου του στοιχείου είνι της μορφής: ΚΟΜΒΟΣ ϕ I ϕ (.) ΚΟΜΒΟΣ

13 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ϕ ϕ v ( v ) [ U Φ U Φ ] β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: ( ) Εδώ : G ( ) ( ) K G G K (.) K I K I K (.5) όπου : I γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων ( ) G (.) Θερμοκρσί: J d G (.7) J d Ομοιόμ. κτνεμ. φόρτιση: q q G (.8) q q ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές Μέχρι τώρ: υπολογισμός μεμονομένων μητρώων στοιχείων. G KG vg G G G K K G G v v G... G

14 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τώρ: Σύνθεση Ιδιότητες όλου του συστήμτος / φορέ Σ K Σ VΣ Σ (.9) V Σ U Φ U Φ U Φ Φ Φ Φ U U U Σχ.. K Σ Σ Μητρώο δυσκμψίς του συστήμτος (Σ: Σύστημ) Διάνυσμ φόρτισης (εξωτερικά φορτί) του συστήμτος ) Σύνθεση του K Σ πό τ μητρώ δυσκμψίς Ποιά διδικσί κολουθείτι σε έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων; K G Διδικσί (εδώ) : ) Σχεδιάζετι έν μητρώο N N N Πλήθος των Β.Ε. *) του συστήμτος V Σ ) Σημειώνοντι οι Β.Ε. του συστήμτος ριστερά κι πάνω πό το μητρώο. ) Τ στοιχεί του K G εισάγοντι στο K Σ στις ντίστοιχες θέσεις (σημειώνετι με διπλή γρμμή) ) Τ στοιχεί K G εισάγοντι στο K Σ στις θέσεις που ντιστοιχούν (σημειώνετι με δικεκομένη γρμμή) 5) Η περιοχή τομής των δύο μητρώων σημειώνετι με τονισμένη γρμμή. (Τ ντίστοιχ στοιχεί προστίθεντι!)

15 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U Φ U Φ U Φ U Φ K Σ : U Φ (.) U Φ όπου: J β) Σύνθεση των δινυσμάτων φόρτισης Σ Από μί νάλογη διδικσί προς το ) προκύπτει: q J d q q q Σ J d J d q q q J d q (.) Λόγω *) Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς γ) Μεμονωμέν φορτί Λόγω q Θεωρούντι θετικά ότν δρούν κτά τη φορά των μετκινήσεων ή στροφών του κθολικού συστήμτος ή του συστήμτος νφοράς. U Φ U Σ (.) Φ U Φ

16 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης δ) Χρκτηριστικές ιδιότητες του μητρώου δυσκμψίς του συστήμτος K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί, συμμετρικά. β) Δομή τινίς (πλάτος τινίς). γ) dt K, λόγω ύπρξης κινήσεων στερεού σώμτος. tot Μόνο ύστερ πό πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος με συνυπολογισμό των συνορικών συνθηκών- ορίζετι θετικά: K tot >, : τυχίο,, dt K ) Φυσική σημσί των σειρών; tot ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος) Πώς λμβάνει υπόψη έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων τις συνορικές συνθήκες; U Φ U Σχ..

17 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο Β.Ε. ρ.: θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ:) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι 5 η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : ( ) ( ) Σ Συμμετρ. r K (.) Περίπτωση, (, ) ( ) Σ d J d J d J Σ (.5) Λόγω Λόγω μεμονομένων φορτίων

18 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος r ( K ) ( ) r Σ K V Σ Σ V Σ Σ Σ Σ Σ (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ J d J d m 5. m m. 5 N N / m Nm 5 (. ). Γι τ δεδομέν υτά, τ r K, Σ Σ, Σ δίνουν K r Σ. Συμμετρ..... (λόγω ) Σ 5, /. Σ 5 r ( K ) Σ Περίπτωση φόρτισης ( ) : V Σ.7889 r ( K ).9 Σ Περίπτωση φόρτισης ( ): V Σ r ( K ) 5 Σ 5 Περίπτωση φόρτισης :

19 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 V V Σ Σ r ( K ) 5.9 Σ [ U Φ Φ ].7857 Φ Σχ..5 Φ Έλεγχος: Bton Kndr () 7 w.7 78J m ξ ξ J ( ) (); w.5958 m (c ): w 5 m d () () (c) Πώς λμβάνουν υπόψη τ προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων τ πρκάτω: ) Συνορικές συνθήκες (γεωμετρικές); β) Συνορικές συνθήκες (σττικές); Πώς γίνετι η επίλυση του συστήμτος εξισώσεων;

20 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Δεδομέν: Δικτύωμ, F 5, F, F Σχ.. Φόρτιση: ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι επίτευξη μείωσης υπολογισμών (Βλέπε ντίστοιχο βήμ του ου πρδείγμτος) β) Αρίθμηση των κόμβων / Αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ.. *) είνι πρίτητο; Προσοχή: Η ρίθμηση πρέπει ν είνι τέτοι, ώστε ν διτηρείτι το πλάτος της τινίς όσο το δυντόν μικρότερο (είνι πρίτητο;), επειδή το

21 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 πλάτος της τινίς επηρεάζει το χρόνο που πιτείτι γι την επίλυση του συστήμτος εξισώσεων. Τ πρκάτω δύο πρδείγμτ έχουν διφορετική δομή τινίς. Π.χ. 7 Μεγάλο πλάτος τινίς Μικρότερο πλάτος τινίς Ασφής δομή τινίς () (β) (γ) ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) ( ) τοπικός άξονς Συντετγμένες κόμβων: Σχ.. Σημείωση: Η φορά του τοπικού άξον κθορίζει την ρίθμηση των κόμβων ενός στοιχείου :, : :,

22 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος, σχάρ κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ) όπου:,, (πλήθος στοιχείων) Εδώ ( ) γι το -οστό στοιχείο,. v (.) A (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.5) [ ] v (.) [ ] v (.7) [ ] v (.8) N N N N N N Σχ..5

23 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση : Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.9) Εδώ ( ) (μόνο μονχικά φορτί, βλ. Βήμ ) ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) Σχ.. Γι το στοιχείο : G v v,,, π.χ.: ( v ) [ ] ( v ) [ U U U U ] G (.) ΚΟΜΒΟΣ ΚΟΜΒΟΣ (.) (.)

24 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: K G K (.) K G (.5) A K G (.) A K G (.7) A Σημείωση: Έχει νφερθεί ότι τ διγώνι στοιχεί του μητρώου δυσκμψίς πρέπει ν τηρούν τη σχέση d j >. Στην περίπτωση της ράβδου, επειδή η ράβδος νπτύσσει εσωτερικές δυνάμεις μόνο κτά τον άξονά της, εμφνίζοντι κτά το μετσχημτισμό μηδενικά στη διγώνιο (η δεδομένη διεύθυνση δεν προυσιάζει ντίστση!). Αυτό γίνετι στην περίπτωση που ο άξονς της ράβδου είνι κάθετος προς ένν κθολικό άξον. Αν η ράβδος σχημτίζει κάποι o γωνί με τους κθολικούς άξονες, τότε όλ τ διγώνι στοιχεί του μητρώου είνι >. γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων G (.8)

25 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές (.9) Σ K Σ VΣ Σ U U U U U U Σχ..7 V Σ U U U U U U :Μετκινήσεις του συστήμτος U U U U U U U * * U * * K Σ : U * * * * (.) U * * * * U * * U * * * * * * όπου: A,, A

26 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης γ) Μεμονωμέν φορτί (θετικά ότν έχουν τη φορά των θετικών μετκινήσεων του συστήμτος) Σ (.) δ) Ιδιότητες K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί β) Δομή τινίς (το πλάτος της τινίς εξρτάτι πό το πλήθος των γνώστων νά κόμβο κι την ρίθμηση). γ) dt K, λόγω κίνησης στερεού σώμτος (γρμμική εξάρτηση) tot Μετά την πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος (λμβάνοντς υπόψη τις συνορικές) θετικά ορισμένο: K : μισό πλάτος τινίς tot K tot >, : τυχίο,

27 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή της κίνησης στερεού σώμτος) Σχ..8 Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο : θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ: ) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγνωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : U U U

28 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U U U Σ r K, Σ (.), (.) ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος ( ) ( ) Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ K V V K r r (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ N m N m A m m A A m /... ( ) ( ) ( ) Με ντικτάστση στις (.), (.) προκύπτει 9. - r Σ K Σ Με ντιστροφή ( ) 9. Σ r K Περίπτωση φόρτισης : ( ) 9. Σ Σ r K V

29 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ ] r U U U Σ V Σχ..9 ΒΗΜΑ 9: Υπολογισμός κομβικών δυνάμεων του στοιχείου G G G G v K (.5) γνωστό πό ΒΗΜΑ 8 ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G

30 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σχ.. Δύνμη ράβδου: S N θλίψη S N θλίψη S N Ελεγχος: S S S N ΣF : S ΣF : S S Αξονικές Δυνάμεις (τοπικό σύστημ): v v g, K v

31 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ J J J A Σχ.. Δεδομέν: J A J J. 7 J.75 5 q o Περιπτώσεις φόρτισης:.. Δοκοί,,: θεωρείτι μελητέ η επίδρση των ξονικών πρμορφώσεων ) q ),, ) Στροφή πάκτωσης o ϕ ΒΗΜΑ : ) Συμμετρί; όχι διτηρείτι ρχικό σύστημ β) Αρίθμηση κόμβων, ρίθμηση στοιχείων, τοπολογί Σχ..

32 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : Τοπικά συστήμτ, κθολικό σύστημ συντετγμένων: Σχ.. ΒΗΜΑ : Μητρώ δυσκμψίς, τοπικά συστήμτ. ) Στοιχεί δοκών: (.,, ) J (.) v (.) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Q Q Q Q Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v v v

33 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 Q,, ϕ, ϕ, ϕ Q, Q,, ϕ, ϕ Q, Q, Q,, ϕ Σχ.. β) Στοιχείο ράβδου: A (.) [ N N ] (.) [ ] v (.5) N, N, Σχ..5 ΒΗΜΑ : ) Μεμονωμέν φορτί: λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ β) Στροφή πάκτωσης : λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ γ) Ομοιόμορφη κτνεμημένη φόρτιση : Bton Kndr

34 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης q q q q : προσήμνση q q q q : προσήμνση ΒΗΜΑ 5: Μητρώ μετσχημτισμού ( ) v G v (.) U U Φ ϕ (.7) (.8) (.9) (.)

35 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σημείωση: Ο γενικός υπολογισμός του μητρώου μετσχημτισμού γίνετι ώς εξής (βλέπε Κεφάλιο: Μητρώ Μετσχημτισμού) τ τ όπου co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) τ (.) Σχ.. Αν το στοιχείο είνι ράβδος, τότε πλοίφοντι όλοι οι όροι των ), co( j με, (τοπικά) (βλέπε πρδείγμτος) 5) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς G K K J G K (.)

36 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης J G K (.) J G K (.) J G K (.5) Σημείωση: Ο όρος στο G K προκύπτει πό τ συνημίτον κτεύθυνσης μετξύ των τοπικών ξόνων της ράβδου κι των κθολικών ) co(5 o. Κτά τον υπολογισμό του G K χρησιμοποιείτι δύο φορές το μητρώο μετσχημτισμού, το οποίο έχει ως έν πράγοντ τον όρο

37 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5β) Μητρώο μετσχημτισμού του δινύσμτος φόρτισης G (.) ( ) [ q q q q ] (.7) G φ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Σχ..7 Μεττοπίσεις/στροφές κόμβων (Κθολικό Σύστημ)

38 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης K Σ Όπου J J J A U U Φ U U Φ U U Φ U U Φ

39 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 ΒΗΜΑ 7: Συνορικές συνθήκες (βλέπε Κεφ. ) ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U U Φ ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U Φ U Διγρφή των γρμμών κι στηλών:,,,,,. Πρμένει το μητρώο που είνι τονισμένο (βλ. μητρώο [.9]) Επειδή θεωρήθηκε μελητέ η επιρροή των ξονικών πρμορφώσεων U U / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (.) κι U U η κι η γρμμή κι στήλη προστίθεντι Πώς όμως λμβάνετι υπόψη ότι: U Το σκεπτικό είνι: 5 5 κι U ; ( ) ( ) 8 ( ) 5 8 ( 5) Δηλδή πό έν σύστημ εξισώσεων, με δεδομένη τη σχέση μετξύ δύο γνώστων ( ), προκύπτει με ντικτάστση κι πρόσθεση έν σύστημ ( ) προς επίλυση. Ανάλογη διδικσί εφρμόζετι κι στο μητρώο (.) κι προκύπτει τελικά:

40 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σ K (.) U Φ Φ Περίπτωση φόρτισης: Μεμονωμέν φορτί,, Σ Περίπτωση φόρτισης: Ομοιόμορφο κτνεμημένο φορτίο O Σ Περίπτωση φόρτισης: Στροφή στην πάκτωση ϕ Δίνετι: ϕ Σύστημ προς επίλυση Στην περίπτωση μς είνι:

41 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 5 ϕ Σ 5 Επίλυση του συστήμτος εξισώσεων K r tot V r ( ) V ( K ) ( - - ) tot ϕ tot tot ϕ (.) Από την επίλυση με υπολογιστή προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσμτ: U V, Φ Φ.7.7 :,.9, V, tot U Φ Φ : q.87 U.95 V, ϕ Φ.7988 :ϕ Φ.9 Υπολογισμός κομβικών φορτίων διτομής στοιχείων G K G VG G (.) K V (.5)

42 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ,7 75,8 5, 7 9,95 75,8 9 58,95 9, Περίπτωση φόρτισης:,,

43 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδετι: q q C C A A A A A A 5 5 I I I I I I 5. 5 o o β., d., Ζητείτι: Α) K Σ, Σ, Σ, Σ K (ορθογωνική μορφή), U G Β) Φορτί διτομής της δοκού κι τιμές γι Q, στον κόμβο της ράβδου γι την περίπτωση: U U Φ Φ,, Φ,, U

44 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Αρίθμηση κόμβων, Τοπικά συστήμτ, Τοπολογί β 5 Πρτηρήσεις: ) Γιτί δεν υπάρχει το ελτήριο C ; ) Γιτί ισχύει I C I 5 5, C ; 5 (Βλ. BON-KANDR, Περίπτωση 57, 8) ) Ενλλκτικά 5 5 Στην περίπτωση υτή πώς θ ληφθεί υπόψη το ; n co? Σ?

45 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Δοκός :?? 5) Ράβδος : Ενλλκτικά; Α) Μητρώ δυσκμψίς,,, o Περίπτωση: Επίπεδο πλίσιο, A J, Δοκοί:,, ϕ ϕ β β β β, A β J Q N Q N ϕ ϕ ϕ ϕ N N Q Q

46 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Περίπτωση: Ρβδος : β, N N β A Ενλλκτικά: εάν J Δοκός τότε :? Α) Δινύσμτ o q Bton-K.: Q Q A B q Περ. 5 A B q o q q q q q, A, B Bton-K.: Q QB q Περ. 5 A A B 5 9 q

47 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τ o q q q q ϕ ϕ Bton-K.:, Q Q B A 8 B A Περ. 5 Bton-K.:, B A Q Q d J B A Περ. 58 o 8 8 d J d J

48 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Μητρώ μετσχημτισμού (βλ. Κεφ. 5) ( ) ( ) j j, co G v v U U Φ U U G Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τ τ τ ϕ ϕ Δοκός τ τ τ Πρτήρηση Πότε, τ τ Περίπτωση;

49 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Ράβδος: U U ( ) ( ) U U ( ) ( ) : ( ) ( ) ( co n ) ( co β n β ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n co ) ( n β co β ) τ τ τ co n n co co β n β co β n β co β n β co β n β ( )

50 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α5), K G G G K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K β β β β β β β β τ τ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ˆ β β β β G

51 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β β β β G ; co c ; n J 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( β β β β β β β β β β β β β β β β c c f c c c c c c f c c c c c c c f c c f c f c c c c c c f c c c c c c c f c G K n co c γι Σ K ` f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f K G, co β c, n β A β β c c c c K

52 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ( ) G c c c c c c c c c c c c K K β ) Τί πρτηρείτε γι τ K ; G o o d J q q c q q d J q q c q q o G o G o G Α), ΣG K, o Σ G Σ G, K K K K K G, K K K K K G K K K K K G K K K K K G : j K ) ( γι,, ) ( γι Π.χ.: 5 c c c K β K

53 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 : : : : : : : : : U U U U U U Φ Φ Φ Σ o d J c d J q c q q q q q G Σ, U, U Φ, U, U Φ, U, U Φ K K c K Σ G K ":!" Γιτί; K K K 5 c c K K " " K K

54 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 U U Φ β β c Φ U U ϕ c f 5 f c f f f 5 f 7 f c c f c f 5 f 8 f f 7 f f 9 f 8 f K Σ G K Σ m β β c 5 c f f f 5 f c c f f7 c f 8 f 9 f f n

55 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης A7) o U K ( Σ ) Σ GΣ 5 Β) Περίπτωση U, U, Φ, U Φ Φ U c 5 c f f q 5 J f q 9 8 d f c 5 9 q ( ) ( ) ( ) f f 5 f f [ c ] 7 8 Φ Φ Φ Φ U c f 5 f c f f c

56 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Φ U c 5 c f f f f c 5 q q 9 f f 5 f8 f7 c 5 9 q 8 J d, 5, c 5, c 5 f 9,, 7.5 c f f f f f f

57 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Φ U dt Φ U A Φ Φ Φ Φ U U U U U U U U

58 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Β) Φορτί διτομής δοκός, 7. G v o G o G G G G v.... G , o G G v? 55,8 9, ,95 75,5

59 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 55 Γι τη δοκό ισχύει επίσης o Q N Q N v * v v *, o o Q N Q N v

60 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ,95 9,997 q 8 75,5 55,8 B) v G, Q της ράβδου [ ] v v G, v v 8.5co n n co 7.5 o Q [ ] v v 8 J d

61 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ V V G K G K G! Γιτί ; ϕ ϕ A / A/ K : A/ A / J

62 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 58,,,, π.χ. ), co( G G G U U U V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G U U U V U U U V Aντιστοίχως: G G G Φ Φ Φ Φ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) G G G Φ Φ Φ Φ ϕ V Φ V Φ

63 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 59 U G U G U G Φ G Φ G Φ G U G U G G U ( ) Φ G ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Υπομητρώο: τ τ τ τ V V G,, co (, ) τ τ : πότε; ( Φ G ) Φ Φ Φ G G G τ : όμοιο με τ (ντί,,,, )

64 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ [ ] [ ] [ ], [ ] [ ], [ ] τ τ Δοκός: U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ Δοκός (μόνο κάμψη) ϕ ϕ

65 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ (βλ. Πράδειγμ ) ) Βθμοί Ελευθερίς:, ϕ β : [ ], [ ] [ ], : [ co n ], [ ] [ n co ] : [ ], [ ],, [ ] : [ co β n β ], [ ] [ n β co β ], 5 U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ n co n co

66 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U G U G U G U G co β n β co β n β ) Περίπτωση: Βθμοί ελευθερίς,, ϕ U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ τ ϕ τ τ co n τ n co τ

67 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ. Δοκός στο χώρο (Προσήμνση ) Στη δοκό στο χώρο ντιστοιχεί το μητρώο (.) ϕ N ϕ ϕ N Q Q Q ϕ ϕ ϕ Σχ... Στοιχείο ράβδου (Αξονική πρμόρφωση) N N Σχ.. N A N (.). Στοιχείο δοκού (Στρέψη) ϕ ϕ Σχ.. GJ ϕ ϕ [.]

68 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q J ϕ ϕ (.) K. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) Q Q ϕ ϕ Σχ..5 Q Q J ϕ ϕ (.5)

69 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5. Σχάρ (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδ, ) ϕ ϕ ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ (.) όπου : J GJ

70 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγϊδης ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ N A -A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J N -A A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J (.)

71 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α σελίδ ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

72 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ζητείτι: )? γι δ ) Q B, B Δίδετι: J J J J A A A A " " A, A 5 q, t t, d, A A C 5 ( ) ϕ ϕ K Σ J J A A5 m. J J

73 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 o BK : q q 7 q q Q Q o q q 7 q q o BK : J J d d o J d J d q 7 q q J d Σ Σ! ) δ ϕ ϕ ( ) ϕ 8ϕ ϕ.595 ϕ. 78, ).7 Q B B

74 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ I R I S t d S t d R h I R I t t d R d St.. 5,.5,. B.K : t t A B J ; A B d t ; w, t fd R S t R St I R R. R I St S. t St

75 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ϕ ϕ ϕ ϕ R St R St m R St R St St St!! ϕ ϕ ϕ R R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.....! ϕ ϕ ϕ.. ϕ 5. ϕ R (.ϕ 5.ϕ ).58

76 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ q.5 h ΕΑF " ",, R S St W Ζητείτι: ϕ, R, S, St C I C I C I ( 5) ϕi ϕ.559 I R ϕ I St ϕ I S ϕ

77 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A A A5 " " t t 5 99 I,, d d Τ t t o A A 99! ϕ Ζητείτι: ) K, β) N Σ Σ Πρδοχή: ~ C J A A C ( ) ) K Σ ϕ ϕ F, I Σ J J Τ d Τ d J : Θερμοκρσ. συντελεστής

78 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β)! ϕ ϕ! ϕ N ϕ ~ C F A.5 5. N A N C.5 5. N

79 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 A (,, ) B (,, ) A F C (,, ) D (,, ) J. GJ Ζητείτι: ) Μεττοπίσεις, στροφές στο Β β) Φορτί διτομής Α A B A C F A ϕ ϕ C ϕ ϕ fr! ϕ ϕ ϕ ~ ϕ A

80 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 75 m ϕ ( β ) ϕ J q GI q β ~ ϕ m. 75 ~ ϕ. 95 ϕ ϕ ~ co 5 ϕ ϕ ϕ n 5 ~ ϕ Q... q

81 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελίδ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί Δεσμεύσεις Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

82 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΔΟΚΟΙ ΜΕ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός j κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς λμβάνουν υπόψη προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων (π.χ. SA) την άρθρωση στο σημείο j ; ) Περίπτωση: Q Q ϕ ϕ () J ( )! ϕ ϕ ( ) ϕ ϕ () j Q N j

83 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 77 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης () () ϕ Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ) ( Φορτί π.χ. Τ Β.Κ.:, d J Q Q B A Τ d J A Τ

84 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 78 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Περίπτωση: [ ]! ϕ ϕ [ ] ϕ ϕ ( ) Q ϕ ϕ Q ) Περίπτωση: Q Σχολισμός!

85 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 79 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Δίδοντι - Το μητρώο K της δοκού (δείκτης : τοπικό σύστημ νφοράς) βθμοί ελευθερίς:,, ϕ,,, ϕ - Τ 5 5 μητρώ K κι K τ οποί λμβάνουν υπόψη τις συνθήκες κι ελευθερίς ϕ κι ϕ, ντιστοίχως (δεν υπάρχουν βθμοί, ντιστοίχως) K K Οι βθμοί ελευθερίς του κόμβου σε έν κοινό σύστημ νφοράς συμβολίζοντι ως εξής:

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

F B1 F B3 F B2. Υλικό Φυσικής Χηµείας ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. 1 B K

F B1 F B3 F B2. Υλικό Φυσικής Χηµείας ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ.  1 B K ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ Ερώτηση 1 η 1. Μι οµογενής λεπτή δοκός ισορροπεί κθώς βρίσκετι σε επή µε τον τοίχο κι το δάπεδο του σχήµτος. Οι ντιδράσεις του δπέδου κι του τοίχου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση ΠΜΣ : Σχεδισμός & κτσκευή υπογείων έργων Ακδ. Έτος: 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑ: Μέτρ Υποστήριξης Σηράγγων Διδάσκων : Κθηγητής Α.Ι. ΣΟΦΙΑΝΟΣ Επιμέλει σκήσεων: Π. Γιούτ Ηλώ σεις 1 Άσκηση Σχεδιάστε τη μέγιστη πίεση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ. ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-research.com http://www.fluid-research.com/tei_2.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ. ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-research.com http://www.fluid-research.com/tei_2. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-researh.om http://www.fluid-researh.om/tei_.htm ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Μοντελοποίηση κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµ ο Από τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή..κάθε µετφορικό trn :. συνδέετι µε έν συγκεκριµένο µινοξύ β. συνδέετι µε οποιοδήποτε µινοξύ γ. µπορεί ν µετφέρει πό έως 6 διφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Επιμέλεια : Αθανασιάδης Χαράλαμπος Μαθηματικός ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλει : Αθνσιάδης Χράλμπος Μθημτικός . ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση:

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: S d R d Η εν λόγω ανίσωση εφαρμόζεται και ελέγχεται σε κάθε εντατικό μέγεθος

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος

Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Πρόχειρες σημειώσεις Βσισμένες στο ιλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μέρος Α: Κυκλώμτ συνεχούς ρεύμτος Κ. Μουτζούρης Τμήμ Ηλεκτρονικής, ΤΕΙ Αθήνς Θερινό εξάμηνο 009

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΑΚΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SAP-2000

2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΑΚΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SAP-2000 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ 2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα