ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι"

Transcript

1 ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

3 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδ ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί Δεσμεύσεις ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Σττικό μοντέλο φέροντος οργνισμού 8 Έδφος - Θεμελιώσεις Διφργμτική λειτουργί πλάκς ορόφου Ροπές δρνείς δοκών/ πλκοδοκών Ισοδύνμ πλίσι 7 Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 8 Πρτηρήσεις/Σχόλι ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 5 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Θεσσλονίκη 8

4 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ σελίδ. Υπολογισμός μις συνεχούς δοκού. Υπολογισμός ενός δικτυώμτος. Υπολογισμός ενός πλισίου 7. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλισίου 9 5. Μητρώ μετσχημτισμού 57. Μητρώ δυσκμψίς Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

5 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δεδομέν: Γρμμικός φορές, J, J Φορτίσεις:,,,, q Σχ.. ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι μείωση υπολογιστικού όγκου (πάντοτε; Πότε είνι σύμφορη η θεώρηση υτή;) π.χ. ΑΝΤΙΣΥΜΕΤΡΙΑ Σχ..

6 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Q Q F Γενικά: ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Σχ.. Επίπεδο Συμμετρίς Επίπεδο Αντισυμμετρίς όπου: :πιθνές μεττοπίσεις :πιθνές στροφές Σχ.. Τί πρτηρείτε; β) Αρίθμηση κόμβων/αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ..5

7 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ/ΔΥΣΤΕΝΕΙΑΣ/ ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ γι το -οστό στοιχείο, νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ). Σημείωση: Η προσήμνση των δυνάμεων/ροπών στην κλσσική σττική θεωρεί θετικές τις φορές όπως πεικονίζοντι στο Σχ.. Σχ.. Στην προύσ νάπτυξη θ θεωρηθεί η κόλουθη προσήμνση ως θετική (Σχ..7) Γιτί; Σχ..7 Δηλδή, θετική ροπή είνι η ριστερόστροφη κι θετικές τέμνουσες υτές που κολουθούν τη θετική φορά των ντιστοίχων τοπικών ξόνων. Τ φορτί διτομής στους κόμβους προκύπτουν πό την πρκάτω σχέση: v (.)

8 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης όπου: μητρώο δυσκμψίς του -οστού στοιχείου στο τοπικό του σύστημ (). v διάνυσμ Β.Ε. του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) (Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς). διάνυσμ φορτίων διτομής στους κόμβους εξιτίς εξωτερικών φορτίσεων στο εσωτερικό του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) διάνυσμ φορτίων διτομής του -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημ) Το μητρώο δυσκμψίς γι την δοκό (μφίπκτη, μόνο κάμψη) στο επίπεδο είνι της εξής μορφής:, (Πλήθος στοιχείων) J (.) Η φυσική ερμηνεί του μητρώου δυσκμψίς δίνετι κολούθως: Κάθε στήλη του μητρώου περιέχει τ φορτί διτομής που νπτύσσοντι στους κόμβους του στοιχείου, ν θεωρήσουμε την ντίστοιχη επικόμβι στροφή ή μετκίνηση του στοιχείου ίση με τη μονάδ κι τις υπόλοιπες μηδενικές. π.χ. τ στοιχεί της στήλης εκφράζουν ντίστοιχ την τέμνουσ κι ροπή που νπτύσσοντι σε κάθε κόμβο του στοιχείου γι μονδιί στροφή του κόμβου του στοιχείου (όλες οι υπόλοιπες στροφές/μετκινήσεις): J J ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ J ϕ Σχ..8 J ϕ ( )

9 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ Q Q ] (.) [ Q Q ] (.) [ ϕ ] ϕ [ ϕ ϕ ] v (.5) v (.), ϕ, ϕ, ϕ ϕ, Q, U Q U Q U,,, Q U Σχ..9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση (εκτός πό μονχικά φορτί/ροπές στους κόμβους) Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.7) Οι εξωτερικές φορτίσεις είνι: ) Μεμονωμέν φορτί στους κόμβους:,, (λμβάνοντι υπόψη στο ΒΗΜΑ 7)

10 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Θερμοκρσί: J d (.8) J d γ) Ομοιόμορφ κτνεμημένη φόρτιση: q q q (.9) q q Σημείωση: Η διδικσί υπολογισμού των δινυσμάτων είνι η κόλουθη: ): Θεωρούμε τις εξωτερικές φορτίσεις ν δρούν σε μφίπκτη δοκό: Σχ.. Από το Bton Kndr (π.χ) ορίζουμε τις τιμές των φορτίων διτομής που εμφνίζοντι στ δύο άκρ. β): Επειδή η προσήμνση των θετικών φορών του Bton Kndr κολουθεί το Σχ.., πολλπλσιάζουμε τις τιμές της ριστερής πλευράς ( ) με (-.), ώστε ν δίνοντι τ δεδομέν σύμφων με την προσήμνση του Σχ..7.

11 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) (Είνι πρίτητο; Μόνο έν; Μπορούμε ν έχουμε περισσότερ του ενός συστήμτ νφοράς; Βλέπε Κεφ. Μητρώ Μετσχημτισμού) Σχ.. Όπου: (,, Ζ) Τοπικό σύστημ κθολικό σύστημ συντετγμένων τ χρκτηριστικά/ιδιότητες του κάθε στοιχείου περιγράφοντι νεξάρτητ πό τ άλλ στοιχεί. Μόνο εν κθολικό σύστημ Διάφορ συστήμτ νφοράς τ χρκτηριστικά/ιδιότητες όλων των στοιχείων έχουν κοινό σημείο νφοράς το σύστημ υτό. Οι βθμοί ελευθερίς στους κόμβους νφέροντι σε διφορετικά συστήμτ

12 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) ϕ ϕ Φ U U Φ U Φ ϕ Γι το στοιχείο : Σχ.. τ v vg,,, τ Γενική περίπτωση: βλέπε Κεφ. 5 (σελ. ) Εδώ: ϕ ϕ άρ U Φ τ (.) ϕ Το μητρώο όλου του στοιχείου είνι της μορφής: ΚΟΜΒΟΣ ϕ I ϕ (.) ΚΟΜΒΟΣ

13 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ϕ ϕ v ( v ) [ U Φ U Φ ] β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: ( ) Εδώ : G ( ) ( ) K G G K (.) K I K I K (.5) όπου : I γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων ( ) G (.) Θερμοκρσί: J d G (.7) J d Ομοιόμ. κτνεμ. φόρτιση: q q G (.8) q q ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές Μέχρι τώρ: υπολογισμός μεμονομένων μητρώων στοιχείων. G KG vg G G G K K G G v v G... G

14 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τώρ: Σύνθεση Ιδιότητες όλου του συστήμτος / φορέ Σ K Σ VΣ Σ (.9) V Σ U Φ U Φ U Φ Φ Φ Φ U U U Σχ.. K Σ Σ Μητρώο δυσκμψίς του συστήμτος (Σ: Σύστημ) Διάνυσμ φόρτισης (εξωτερικά φορτί) του συστήμτος ) Σύνθεση του K Σ πό τ μητρώ δυσκμψίς Ποιά διδικσί κολουθείτι σε έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων; K G Διδικσί (εδώ) : ) Σχεδιάζετι έν μητρώο N N N Πλήθος των Β.Ε. *) του συστήμτος V Σ ) Σημειώνοντι οι Β.Ε. του συστήμτος ριστερά κι πάνω πό το μητρώο. ) Τ στοιχεί του K G εισάγοντι στο K Σ στις ντίστοιχες θέσεις (σημειώνετι με διπλή γρμμή) ) Τ στοιχεί K G εισάγοντι στο K Σ στις θέσεις που ντιστοιχούν (σημειώνετι με δικεκομένη γρμμή) 5) Η περιοχή τομής των δύο μητρώων σημειώνετι με τονισμένη γρμμή. (Τ ντίστοιχ στοιχεί προστίθεντι!)

15 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U Φ U Φ U Φ U Φ K Σ : U Φ (.) U Φ όπου: J β) Σύνθεση των δινυσμάτων φόρτισης Σ Από μί νάλογη διδικσί προς το ) προκύπτει: q J d q q q Σ J d J d q q q J d q (.) Λόγω *) Β.Ε.: Βθμοί Ελευθερίς γ) Μεμονωμέν φορτί Λόγω q Θεωρούντι θετικά ότν δρούν κτά τη φορά των μετκινήσεων ή στροφών του κθολικού συστήμτος ή του συστήμτος νφοράς. U Φ U Σ (.) Φ U Φ

16 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης δ) Χρκτηριστικές ιδιότητες του μητρώου δυσκμψίς του συστήμτος K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί, συμμετρικά. β) Δομή τινίς (πλάτος τινίς). γ) dt K, λόγω ύπρξης κινήσεων στερεού σώμτος. tot Μόνο ύστερ πό πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος με συνυπολογισμό των συνορικών συνθηκών- ορίζετι θετικά: K tot >, : τυχίο,, dt K ) Φυσική σημσί των σειρών; tot ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος) Πώς λμβάνει υπόψη έν πρόγρμμ Πεπερσμένων Στοιχείων τις συνορικές συνθήκες; U Φ U Σχ..

17 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο Β.Ε. ρ.: θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ:) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι 5 η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : ( ) ( ) Σ Συμμετρ. r K (.) Περίπτωση, (, ) ( ) Σ d J d J d J Σ (.5) Λόγω Λόγω μεμονομένων φορτίων

18 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος r ( K ) ( ) r Σ K V Σ Σ V Σ Σ Σ Σ Σ (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ J d J d m 5. m m. 5 N N / m Nm 5 (. ). Γι τ δεδομέν υτά, τ r K, Σ Σ, Σ δίνουν K r Σ. Συμμετρ..... (λόγω ) Σ 5, /. Σ 5 r ( K ) Σ Περίπτωση φόρτισης ( ) : V Σ.7889 r ( K ).9 Σ Περίπτωση φόρτισης ( ): V Σ r ( K ) 5 Σ 5 Περίπτωση φόρτισης :

19 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 V V Σ Σ r ( K ) 5.9 Σ [ U Φ Φ ].7857 Φ Σχ..5 Φ Έλεγχος: Bton Kndr () 7 w.7 78J m ξ ξ J ( ) (); w.5958 m (c ): w 5 m d () () (c) Πώς λμβάνουν υπόψη τ προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων τ πρκάτω: ) Συνορικές συνθήκες (γεωμετρικές); β) Συνορικές συνθήκες (σττικές); Πώς γίνετι η επίλυση του συστήμτος εξισώσεων;

20 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Δεδομέν: Δικτύωμ, F 5, F, F Σχ.. Φόρτιση: ΒΗΜΑ : ) Διερεύνηση γι ύπρξη συμμετρίς ή ντισυμμετρίς εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήμτος γι επίτευξη μείωσης υπολογισμών (Βλέπε ντίστοιχο βήμ του ου πρδείγμτος) β) Αρίθμηση των κόμβων / Αρίθμηση γρμμικών στοιχείων Σχ.. *) είνι πρίτητο; Προσοχή: Η ρίθμηση πρέπει ν είνι τέτοι, ώστε ν διτηρείτι το πλάτος της τινίς όσο το δυντόν μικρότερο (είνι πρίτητο;), επειδή το

21 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 πλάτος της τινίς επηρεάζει το χρόνο που πιτείτι γι την επίλυση του συστήμτος εξισώσεων. Τ πρκάτω δύο πρδείγμτ έχουν διφορετική δομή τινίς. Π.χ. 7 Μεγάλο πλάτος τινίς Μικρότερο πλάτος τινίς Ασφής δομή τινίς () (β) (γ) ΒΗΜΑ : Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήμτος συντετγμένων: (,, Ζ) ( ) τοπικός άξονς Συντετγμένες κόμβων: Σχ.. Σημείωση: Η φορά του τοπικού άξον κθορίζει την ρίθμηση των κόμβων ενός στοιχείου :, : :,

22 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : ) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος, σχάρ κ.λ.π.) β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ νφερόμενο στο τοπικό σύστημ συντετγμένων ( ) όπου:,, (πλήθος στοιχείων) Εδώ ( ) γι το -οστό στοιχείο,. v (.) A (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.) [ N N ] (.5) [ ] v (.) [ ] v (.7) [ ] v (.8) N N N N N N Σχ..5

23 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΒΗΜΑ : Φόρτιση : Διάνυσμ φόρτισης στοιχείου v (.9) Εδώ ( ) (μόνο μονχικά φορτί, βλ. Βήμ ) ΒΗΜΑ 5: ) Μητρώ μετσχημτισμού ( ) Σχ.. Γι το στοιχείο : G v v,,, π.χ.: ( v ) [ ] ( v ) [ U U U U ] G (.) ΚΟΜΒΟΣ ΚΟΜΒΟΣ (.) (.)

24 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης β) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς Γενικά: K G K (.) K G (.5) A K G (.) A K G (.7) A Σημείωση: Έχει νφερθεί ότι τ διγώνι στοιχεί του μητρώου δυσκμψίς πρέπει ν τηρούν τη σχέση d j >. Στην περίπτωση της ράβδου, επειδή η ράβδος νπτύσσει εσωτερικές δυνάμεις μόνο κτά τον άξονά της, εμφνίζοντι κτά το μετσχημτισμό μηδενικά στη διγώνιο (η δεδομένη διεύθυνση δεν προυσιάζει ντίστση!). Αυτό γίνετι στην περίπτωση που ο άξονς της ράβδου είνι κάθετος προς ένν κθολικό άξον. Αν η ράβδος σχημτίζει κάποι o γωνί με τους κθολικούς άξονες, τότε όλ τ διγώνι στοιχεί του μητρώου είνι >. γ) Μετσχημτισμός των δινυσμάτων φόρτισης στοιχείων G (.8)

25 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ : Συνολικός φορές (.9) Σ K Σ VΣ Σ U U U U U U Σχ..7 V Σ U U U U U U :Μετκινήσεις του συστήμτος U U U U U U U * * U * * K Σ : U * * * * (.) U * * * * U * * U * * * * * * όπου: A,, A

26 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης γ) Μεμονωμέν φορτί (θετικά ότν έχουν τη φορά των θετικών μετκινήσεων του συστήμτος) Σ (.) δ) Ιδιότητες K Σ ) Θετικά διγώνι στοιχεί β) Δομή τινίς (το πλάτος της τινίς εξρτάτι πό το πλήθος των γνώστων νά κόμβο κι την ρίθμηση). γ) dt K, λόγω κίνησης στερεού σώμτος (γρμμική εξάρτηση) tot Μετά την πλοιφή των κινήσεων στερεού σώμτος (λμβάνοντς υπόψη τις συνορικές) θετικά ορισμένο: K : μισό πλάτος τινίς tot K tot >, : τυχίο,

27 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνορικών συνθηκών (πλοιφή της κίνησης στερεού σώμτος) Σχ..8 Τρόποι ντιμετώπισης Τρόπος : 5 Σ 5 K Σ Διδικσί: Έστω U ντιστοιχεί στο : θέτουμε στην η στήλη κι στη η σειρά μηδενικά εκτός πό τη θέση (,) όπου τίθετι μονάδ. Μειονεκτήμτ: ) Πολύ χρονοβόρ η εκ των υστέρων προσθήκη των κι. ) Το μέγεθος του συστήμτος εξισώσεων μένει μετάβλητο, πρ όλο που πολλοί άγνωστοι είνι μηδενικοί. Τρόπος : Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με πομάκρυνση των ντίστοιχων σειρών κι στηλών. Εστω ότι πομκρύνουμε την η, η κι η σειρά κι στήλη. Απομένει το μητρώο r Σ K : U U U

28 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U U U Σ r K, Σ (.), (.) ΒΗΜΑ 8: Κθορισμός των μετκινήσεων του συστήμτος ( ) ( ) Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ K V V K r r (.) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ N m N m A m m A A m /... ( ) ( ) ( ) Με ντικτάστση στις (.), (.) προκύπτει 9. - r Σ K Σ Με ντιστροφή ( ) 9. Σ r K Περίπτωση φόρτισης : ( ) 9. Σ Σ r K V

29 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 [ ] r U U U Σ V Σχ..9 ΒΗΜΑ 9: Υπολογισμός κομβικών δυνάμεων του στοιχείου G G G G v K (.5) γνωστό πό ΒΗΜΑ 8 ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G ) ( N N N N N G

30 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σχ.. Δύνμη ράβδου: S N θλίψη S N θλίψη S N Ελεγχος: S S S N ΣF : S ΣF : S S Αξονικές Δυνάμεις (τοπικό σύστημ): v v g, K v

31 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ J J J A Σχ.. Δεδομέν: J A J J. 7 J.75 5 q o Περιπτώσεις φόρτισης:.. Δοκοί,,: θεωρείτι μελητέ η επίδρση των ξονικών πρμορφώσεων ) q ),, ) Στροφή πάκτωσης o ϕ ΒΗΜΑ : ) Συμμετρί; όχι διτηρείτι ρχικό σύστημ β) Αρίθμηση κόμβων, ρίθμηση στοιχείων, τοπολογί Σχ..

32 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ΒΗΜΑ : Τοπικά συστήμτ, κθολικό σύστημ συντετγμένων: Σχ.. ΒΗΜΑ : Μητρώ δυσκμψίς, τοπικά συστήμτ. ) Στοιχεί δοκών: (.,, ) J (.) v (.) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Q Q Q Q Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ v v v

33 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 Q,, ϕ, ϕ, ϕ Q, Q,, ϕ, ϕ Q, Q, Q,, ϕ Σχ.. β) Στοιχείο ράβδου: A (.) [ N N ] (.) [ ] v (.5) N, N, Σχ..5 ΒΗΜΑ : ) Μεμονωμέν φορτί: λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ β) Στροφή πάκτωσης : λμβάνοντι υπόψη μετά τη σύνθεση του Σ γ) Ομοιόμορφη κτνεμημένη φόρτιση : Bton Kndr

34 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης q q q q : προσήμνση q q q q : προσήμνση ΒΗΜΑ 5: Μητρώ μετσχημτισμού ( ) v G v (.) U U Φ ϕ (.7) (.8) (.9) (.)

35 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σημείωση: Ο γενικός υπολογισμός του μητρώου μετσχημτισμού γίνετι ώς εξής (βλέπε Κεφάλιο: Μητρώ Μετσχημτισμού) τ τ όπου co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) co(, ) τ (.) Σχ.. Αν το στοιχείο είνι ράβδος, τότε πλοίφοντι όλοι οι όροι των ), co( j με, (τοπικά) (βλέπε πρδείγμτος) 5) Μετσχημτισμός των μητρώων δυσκμψίς G K K J G K (.)

36 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης J G K (.) J G K (.) J G K (.5) Σημείωση: Ο όρος στο G K προκύπτει πό τ συνημίτον κτεύθυνσης μετξύ των τοπικών ξόνων της ράβδου κι των κθολικών ) co(5 o. Κτά τον υπολογισμό του G K χρησιμοποιείτι δύο φορές το μητρώο μετσχημτισμού, το οποίο έχει ως έν πράγοντ τον όρο

37 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5β) Μητρώο μετσχημτισμού του δινύσμτος φόρτισης G (.) ( ) [ q q q q ] (.7) G φ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Σχ..7 Μεττοπίσεις/στροφές κόμβων (Κθολικό Σύστημ)

38 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης K Σ Όπου J J J A U U Φ U U Φ U U Φ U U Φ

39 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 ΒΗΜΑ 7: Συνορικές συνθήκες (βλέπε Κεφ. ) ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U U Φ ΚΟΜΒΟΣ : πάκτωση U Φ U Διγρφή των γρμμών κι στηλών:,,,,,. Πρμένει το μητρώο που είνι τονισμένο (βλ. μητρώο [.9]) Επειδή θεωρήθηκε μελητέ η επιρροή των ξονικών πρμορφώσεων U U / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (.) κι U U η κι η γρμμή κι στήλη προστίθεντι Πώς όμως λμβάνετι υπόψη ότι: U Το σκεπτικό είνι: 5 5 κι U ; ( ) ( ) 8 ( ) 5 8 ( 5) Δηλδή πό έν σύστημ εξισώσεων, με δεδομένη τη σχέση μετξύ δύο γνώστων ( ), προκύπτει με ντικτάστση κι πρόσθεση έν σύστημ ( ) προς επίλυση. Ανάλογη διδικσί εφρμόζετι κι στο μητρώο (.) κι προκύπτει τελικά:

40 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Σ K (.) U Φ Φ Περίπτωση φόρτισης: Μεμονωμέν φορτί,, Σ Περίπτωση φόρτισης: Ομοιόμορφο κτνεμημένο φορτίο O Σ Περίπτωση φόρτισης: Στροφή στην πάκτωση ϕ Δίνετι: ϕ Σύστημ προς επίλυση Στην περίπτωση μς είνι:

41 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 5 ϕ Σ 5 Επίλυση του συστήμτος εξισώσεων K r tot V r ( ) V ( K ) ( - - ) tot ϕ tot tot ϕ (.) Από την επίλυση με υπολογιστή προκύπτουν τ πρκάτω ποτελέσμτ: U V, Φ Φ.7.7 :,.9, V, tot U Φ Φ : q.87 U.95 V, ϕ Φ.7988 :ϕ Φ.9 Υπολογισμός κομβικών φορτίων διτομής στοιχείων G K G VG G (.) K V (.5)

42 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ,7 75,8 5, 7 9,95 75,8 9 58,95 9, Περίπτωση φόρτισης:,,

43 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδετι: q q C C A A A A A A 5 5 I I I I I I 5. 5 o o β., d., Ζητείτι: Α) K Σ, Σ, Σ, Σ K (ορθογωνική μορφή), U G Β) Φορτί διτομής της δοκού κι τιμές γι Q, στον κόμβο της ράβδου γι την περίπτωση: U U Φ Φ,, Φ,, U

44 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Αρίθμηση κόμβων, Τοπικά συστήμτ, Τοπολογί β 5 Πρτηρήσεις: ) Γιτί δεν υπάρχει το ελτήριο C ; ) Γιτί ισχύει I C I 5 5, C ; 5 (Βλ. BON-KANDR, Περίπτωση 57, 8) ) Ενλλκτικά 5 5 Στην περίπτωση υτή πώς θ ληφθεί υπόψη το ; n co? Σ?

45 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Δοκός :?? 5) Ράβδος : Ενλλκτικά; Α) Μητρώ δυσκμψίς,,, o Περίπτωση: Επίπεδο πλίσιο, A J, Δοκοί:,, ϕ ϕ β β β β, A β J Q N Q N ϕ ϕ ϕ ϕ N N Q Q

46 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Περίπτωση: Ρβδος : β, N N β A Ενλλκτικά: εάν J Δοκός τότε :? Α) Δινύσμτ o q Bton-K.: Q Q A B q Περ. 5 A B q o q q q q q, A, B Bton-K.: Q QB q Περ. 5 A A B 5 9 q

47 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Τ o q q q q ϕ ϕ Bton-K.:, Q Q B A 8 B A Περ. 5 Bton-K.:, B A Q Q d J B A Περ. 58 o 8 8 d J d J

48 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α) Μητρώ μετσχημτισμού (βλ. Κεφ. 5) ( ) ( ) j j, co G v v U U Φ U U G Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τ τ τ ϕ ϕ Δοκός τ τ τ Πρτήρηση Πότε, τ τ Περίπτωση;

49 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Ράβδος: U U ( ) ( ) U U ( ) ( ) : ( ) ( ) ( co n ) ( co β n β ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n co ) ( n β co β ) τ τ τ co n n co co β n β co β n β co β n β co β n β ( )

50 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Α5), K G G G K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K β β β β β β β β τ τ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ˆ β β β β G

51 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β β β β G ; co c ; n J 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( β β β β β β β β β β β β β β β β c c f c c c c c c f c c c c c c c f c c f c f c c c c c c f c c c c c c c f c G K n co c γι Σ K ` f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f K G, co β c, n β A β β c c c c K

52 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 ( ) G c c c c c c c c c c c c K K β ) Τί πρτηρείτε γι τ K ; G o o d J q q c q q d J q q c q q o G o G o G Α), ΣG K, o Σ G Σ G, K K K K K G, K K K K K G K K K K K G K K K K K G : j K ) ( γι,, ) ( γι Π.χ.: 5 c c c K β K

53 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 : : : : : : : : : U U U U U U Φ Φ Φ Σ o d J c d J q c q q q q q G Σ, U, U Φ, U, U Φ, U, U Φ K K c K Σ G K ":!" Γιτί; K K K 5 c c K K " " K K

54 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 U U Φ β β c Φ U U ϕ c f 5 f c f f f 5 f 7 f c c f c f 5 f 8 f f 7 f f 9 f 8 f K Σ G K Σ m β β c 5 c f f f 5 f c c f f7 c f 8 f 9 f f n

55 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης A7) o U K ( Σ ) Σ GΣ 5 Β) Περίπτωση U, U, Φ, U Φ Φ U c 5 c f f q 5 J f q 9 8 d f c 5 9 q ( ) ( ) ( ) f f 5 f f [ c ] 7 8 Φ Φ Φ Φ U c f 5 f c f f c

56 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Φ U c 5 c f f f f c 5 q q 9 f f 5 f8 f7 c 5 9 q 8 J d, 5, c 5, c 5 f 9,, 7.5 c f f f f f f

57 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Φ U dt Φ U A Φ Φ Φ Φ U U U U U U U U

58 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5 Β) Φορτί διτομής δοκός, 7. G v o G o G G G G v.... G , o G G v? 55,8 9, ,95 75,5

59 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 55 Γι τη δοκό ισχύει επίσης o Q N Q N v * v v *, o o Q N Q N v

60 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ,95 9,997 q 8 75,5 55,8 B) v G, Q της ράβδου [ ] v v G, v v 8.5co n n co 7.5 o Q [ ] v v 8 J d

61 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ V V G K G K G! Γιτί ; ϕ ϕ A / A/ K : A/ A / J

62 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 58,,,, π.χ. ), co( G G G U U U V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G G G G G G U U U V U U U V Aντιστοίχως: G G G Φ Φ Φ Φ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) G G G Φ Φ Φ Φ ϕ V Φ V Φ

63 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 59 U G U G U G Φ G Φ G Φ G U G U G G U ( ) Φ G ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Υπομητρώο: τ τ τ τ V V G,, co (, ) τ τ : πότε; ( Φ G ) Φ Φ Φ G G G τ : όμοιο με τ (ντί,,,, )

64 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ [ ] [ ] [ ], [ ] [ ], [ ] τ τ Δοκός: U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ Δοκός (μόνο κάμψη) ϕ ϕ

65 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Πράδειγμ (βλ. Πράδειγμ ) ) Βθμοί Ελευθερίς:, ϕ β : [ ], [ ] [ ], : [ co n ], [ ] [ n co ] : [ ], [ ],, [ ] : [ co β n β ], [ ] [ n β co β ], 5 U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ ϕ n co n co

66 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης U G U G U G U G co β n β co β n β ) Περίπτωση: Βθμοί ελευθερίς,, ϕ U G U G Φ G U G U G Φ G ϕ τ ϕ τ τ co n τ n co τ

67 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ. Δοκός στο χώρο (Προσήμνση ) Στη δοκό στο χώρο ντιστοιχεί το μητρώο (.) ϕ N ϕ ϕ N Q Q Q ϕ ϕ ϕ Σχ... Στοιχείο ράβδου (Αξονική πρμόρφωση) N N Σχ.. N A N (.). Στοιχείο δοκού (Στρέψη) ϕ ϕ Σχ.. GJ ϕ ϕ [.]

68 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q J ϕ ϕ (.) K. Δοκός: κάμψη (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδο ) Q Q ϕ ϕ Σχ..5 Q Q J ϕ ϕ (.5)

69 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 5. Σχάρ (Μεγέθη Q, κάμψη επίπεδ, ) ϕ ϕ ϕ ϕ Q Q Σχ.. Q Q ϕ ϕ ϕ ϕ (.) όπου : J GJ

70 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγϊδης ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ N A -A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J N -A A Q J J J J Q J J J J GJ GJ J J J J J J J J (.)

71 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α σελίδ ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

72 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ζητείτι: )? γι δ ) Q B, B Δίδετι: J J J J A A A A " " A, A 5 q, t t, d, A A C 5 ( ) ϕ ϕ K Σ J J A A5 m. J J

73 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 8 o BK : q q 7 q q Q Q o q q 7 q q o BK : J J d d o J d J d q 7 q q J d Σ Σ! ) δ ϕ ϕ ( ) ϕ 8ϕ ϕ.595 ϕ. 78, ).7 Q B B

74 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ I R I S t d S t d R h I R I t t d R d St.. 5,.5,. B.K : t t A B J ; A B d t ; w, t fd R S t R St I R R. R I St S. t St

75 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ϕ ϕ ϕ ϕ R St R St m R St R St St St!! ϕ ϕ ϕ R R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.....! ϕ ϕ ϕ.. ϕ 5. ϕ R (.ϕ 5.ϕ ).58

76 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ q.5 h ΕΑF " ",, R S St W Ζητείτι: ϕ, R, S, St C I C I C I ( 5) ϕi ϕ.559 I R ϕ I St ϕ I S ϕ

77 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A A A5 " " t t 5 99 I,, d d Τ t t o A A 99! ϕ Ζητείτι: ) K, β) N Σ Σ Πρδοχή: ~ C J A A C ( ) ) K Σ ϕ ϕ F, I Σ J J Τ d Τ d J : Θερμοκρσ. συντελεστής

78 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 β)! ϕ ϕ! ϕ N ϕ ~ C F A.5 5. N A N C.5 5. N

79 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 A (,, ) B (,, ) A F C (,, ) D (,, ) J. GJ Ζητείτι: ) Μεττοπίσεις, στροφές στο Β β) Φορτί διτομής Α A B A C F A ϕ ϕ C ϕ ϕ fr! ϕ ϕ ϕ ~ ϕ A

80 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης 75 m ϕ ( β ) ϕ J q GI q β ~ ϕ m. 75 ~ ϕ. 95 ϕ ϕ ~ co 5 ϕ ϕ ϕ n 5 ~ ϕ Q... q

81 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελίδ. Δοκοί με ρθρώσεις 7. Αντικτάστση υποσυστημάτων με γενικευμέν ελτήρι /φορτί 8. Άκμπτοι σύνδεσμοι 85. Αριθμητικά ποτελέσμτ Συνθήκες που διέπουν τη σττική συμπεριφορά της δοκού 9. Αρχή των δυντών έργων: Μητρώ δυσκμψίς/ Εργικά ισοδύνμ φορτί Δεσμεύσεις Δημοσθένης Τλσλίδης Ηλίς Μπουγΐδης Ιωάννης Ντινόπουλος Θεσσλονίκη

82 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 7 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης. ΔΟΚΟΙ ΜΕ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς θ ληφθεί υπόψη η δοκός j κι το φορτίο ; Γιτί; Πώς λμβάνουν υπόψη προγράμμτ πεπερσμένων στοιχείων (π.χ. SA) την άρθρωση στο σημείο j ; ) Περίπτωση: Q Q ϕ ϕ () J ( )! ϕ ϕ ( ) ϕ ϕ () j Q N j

83 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 77 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης () () ϕ Q Q ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ) ( Φορτί π.χ. Τ Β.Κ.:, d J Q Q B A Τ d J A Τ

84 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 78 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης ) Περίπτωση: [ ]! ϕ ϕ [ ] ϕ ϕ ( ) Q ϕ ϕ Q ) Περίπτωση: Q Σχολισμός!

85 Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κτσκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 79 Δημοσθένης Τλσλίδης - Ηλίς Μπουγΐδης Δίδοντι - Το μητρώο K της δοκού (δείκτης : τοπικό σύστημ νφοράς) βθμοί ελευθερίς:,, ϕ,,, ϕ - Τ 5 5 μητρώ K κι K τ οποί λμβάνουν υπόψη τις συνθήκες κι ελευθερίς ϕ κι ϕ, ντιστοίχως (δεν υπάρχουν βθμοί, ντιστοίχως) K K Οι βθμοί ελευθερίς του κόμβου σε έν κοινό σύστημ νφοράς συμβολίζοντι ως εξής:

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ. ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-research.com http://www.fluid-research.com/tei_2.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ. ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-research.com http://www.fluid-research.com/tei_2. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΚ ΙΙ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΘ. Σ. ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΑΝΔΡΕΑΣ ΘΕΟΔΩΡΑΚΑΚΟΣ andreas@fluid-researh.om http://www.fluid-researh.om/tei_.htm ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΤΟΥΣ 008-009 ΔΟΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΖΥΓΟΣΤΑΘΜΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµ ο Από τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή..κάθε µετφορικό trn :. συνδέετι µε έν συγκεκριµένο µινοξύ β. συνδέετι µε οποιοδήποτε µινοξύ γ. µπορεί ν µετφέρει πό έως 6 διφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος

Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Πρόχειρες σημειώσεις Βσισμένες στο ιλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μέρος Α: Κυκλώμτ συνεχούς ρεύμτος Κ. Μουτζούρης Τμήμ Ηλεκτρονικής, ΤΕΙ Αθήνς Θερινό εξάμηνο 009

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΑΚΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SAP-2000

2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΚΤΙΡΙΑΚΟΥ ΦΟΡΕΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SAP-2000 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ 2 Η ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό 5/2013 της συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρατίου, της 24 ης Μαϊου 2013

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό 5/2013 της συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρατίου, της 24 ης Μαϊου 2013 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρκτικό 5/2013 της συνεδρίσης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου Αγίου Ευστρτίου, της 24 ης Μϊου 2013 Αριθμός Απόφσης 24/2013 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Προέλεγχος πολογισμού εσόδων - εξόδων του Δήμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος

Σύγχρονες επεμβατικές και μη επεμβατικές τεχνικές laser και άλλων πηγών ενέργειας για την αποκατάσταση ουλών και της φυσικής γήρανσης του δέρματος 224 ΟΜΙΛΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΕΡΜΑΤΟΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ Τόμος 6, (4):224-234, 2009 Ελληνική Ετιρεί Δερμτοχειρουργικής 43 η Ετήσι Συνάντηση της Ελληνικής Ετιρείς Δερμτοχειρουργικής Laser κι άλλες πηγές ενέργεις στη Δερμτολογί

Διαβάστε περισσότερα

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης.

Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυμ Κρήτης Σχολή Διοίκησης κι Οικονομίς Τμήμ Χρημτοοικονομικής κι Ασφλιστικής ΘΕΜΑ: Ο Έλεγχος των Οικονομικών Κύκλων στις Χώρες της Ευρωπϊκής Ένωσης. Πτυχική Εργσί: Μυρομμάτη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος.

Περιεκτικότητα στα εκατό κατά βάρος (% W/W): εκφράζει τα γραµµάρια της διαλυµένης ουσίας που περιέχονται σε 100 g διαλύµατος. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 1. ΙΑΛΥΜΑΤΑ (ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ - ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ) Όπως νφέρµε διάλυµ είνι έν οµογενές µίγµ που ποτελείτι πό δύο ή περισσότερες χηµικές ουσίες. Περιεκτικότητ διλύµτος είνι η ποσότητ της διλυµένης

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα

Πτυχιακή Μελέτη. «ιερεύνηση πρακτικών εφαρµογών µετάδοσης θερµότητας από ενεργειακή σκοπιά» Εισηγητής: Κτενιαδάκης Μιχ. Επιµέλεια: Στρατάκη Ανθούλα P TS TS P Τεχνολογικό Εκπιδευτικό Ίδρυµ Κρήτης Πρόγρµµ Σπουδών Επιλογής ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Πτυχική Μελέτη «ιερεύνηση πρκτικών εφρµογών µετάδοσης θερµότητς πό ενεργεική σκοπιά» Εισηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι οστεοπόρωση;

Τι είναι οστεοπόρωση; Άσκηση µε Βάρη κι Οστό Ηλίς Σµήλιος, Ph.D. ηµοκρίτειο Πνε ιστήµιο Θράκης Τµήµ Ε ιστήµης Φυσικής Αγωγής & Αθλητισµού Λειτουργίες του οστού Στηρίζει κι προσττεύει τ όργν (µυελό οστών, εγκέφλο, νωτιίο µυελό)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα διαστασιολόγησης και όπλισης υποστυλώματος

Παράδειγμα διαστασιολόγησης και όπλισης υποστυλώματος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΙΧΜΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Μάθημα: Δομική Μηχανική 3 Διδάσκουσα: Μαρίνα Μωρέττη Ακαδ. Έτος 014 015 Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 ΠΝΤΣΕΙΣ ΘΕΜΤΩΝ ΙΟΛΟΓΙΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΣ 2015 ΘΕΜ 1. 2. γ 3. 4. δ 5. γ ΘΕΜ 1. 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. νφορά στις σελίδες γίνετι µε τη σελιδοποίηση του πλιού ιλίου. 2. Σχολικό ιλίο σελ.36 «Κτά την ένρξη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνσταντά 141 Τ.Κ. 382 21, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 24210 75126 FAX: 24210 75135 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α

ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνσταντά 141 Τ.Κ. 382 21, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 24210 75126 FAX: 24210 75135 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α ΑΔΑ:Β5ΤΜΟΕΠΘ-ΖΒ ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΒΟΛΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: Κωνστντά 4 Τ.Κ. 38, ΒΟΛΟΣ Τηλ. 4 756 FAX: 4 7535 ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α πό τ Πρκτικά της 3ης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Σχεδιασµός φορέων από σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Καττής Μαρίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Λιβαδειά, 26 Σεπτεµβρίου 2009 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα