E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3 είνι 3 3 () E ()d ()d E Στο 3,7 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες 3, 7 είνι Οπότε η () μέσω των () κι (3) γράφετι Α4 i Σχολικό βιβλίο σελίδ 73, σχήμ 63(β) ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 55, σχήμ 39() Α5 i Σωστό, ii Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Έχουμε (t ) (t )u(t) E 7 ()d (3) 3 7 ()d E E E E du (t ) u (t) (t )u(t) dt (t ) u(t) t (t ) u (t) (t ) u(t) C τον άξον C τον άξον, γι κάθε t Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε (t ) u(t) t c (), γι κάθε t Δίνετι ότι τη χρονική στιγμή t s το κινητό είνι κίνητο, άρ u() Οπότε γι t πό τη σχέση () προκύπτει: u() c c c t Επομένως () (t ) u(t) t u(t) (t ), φού (t ), γι κάθε t t Είνι u(t) (t ) Άρ ότν t t t t s η τχύτητ του κινητού είνι m / s t 4t 4 (t ) t Β Βρίσκουμε τη συνάρτηση θέσης του κινητού (t ) Ισχύει s (t) u(t) s (t) (t )

2 s (t) (t ) (t ) () s (t) ln (t ) () κι εφόσον γι κάθε t ισχύει γι κάθε t (t ) Άρ υπάρχει στθερά k τέτοι, ώστε s(t) ln (t ) k γι κάθε t Έχουμε ότι u() (δεδομένο) κι u() (B ερώτημ) Οπότε η ζητούμενη πόστση (3) είνι d s() s() ln k ln k ln m κι η μέση τχύτητά του στο ντίστοιχο διάστημ είνι s() s() ln m s (t ) Β3 To πρόσημο της τχύτητς u(t) (t ) του κινητού γι t [,3] δίνετι στον πίνκ: Οπότε η πόστση που δινύθηκε πό το κινητό είνι Στη διάρκει του πρώτου δευτερολέπτου s s() s() (ln k) (ln k) ln m Από t μέχρι t 3 s s(3) s() (ln 5 k) (ln k) (ln 5 ln )m Άρ το ολικό διάστημ που έχει δινύσει το κινητό στη διάρκει των πρώτων 3s είνι s s s ln ln 5 ln ln 5m Από το πρόσημο της τχύτητς έχουμε ότι: γι t, το κινητό κινείτι στην ρνητική κτεύθυνση κι γι t,3 κινείτι στη θετική κτεύθυνση Οπότε σχημτικά η κίνηση του γι t [,3] είνι: (t ) Β4 Βρίσκουμε την πράγωγο της τχύτητς u(t) που είνι πργωγίσιμη συνάρτηση, ως (t ) πηλίκο πργωγίσιμων, άρ κι συνεχής γι κάθε t (t ) u (t) (t ) (t ) Έχουμε γι t ότι t κι μονοτονίς της u(t) είνι (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) t( t) (t ) (t ) Οπότε ο πίνκς προσήμου της u (t) κι

3 Άρ u (t) στο (,) οπότε η τχύτητ υξάνετι γι t [,] κι u (t) στο (, ) οπότε η τχύτητ μειώνετι στο [, ) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της u(t) γι t Δ [, ) (t ) t Έχουμε u(), u() κι lim u(t) lim lim t t t (t ) t Άρ φού u συνεχής, γνησίως ύξουσ στο Δ [, ] κι γνησίως φθίνουσ στο Δ [, ) είνι u(δ ) [,], u(δ ) (,], οπότε u(δ) u(δ ) u(δ ) [,] Άρ γι κάθε t Δ έχουμε u(t) u(t) κι u(t), Οπότε το διάστημ τιμών του μέτρου της τχύτητς είνι [,] Β5 Έχουμε u() δηλδή το κινητό κινείτι με ρνητική κτεύθυνση Άρ Β s() ln ln k ln k ln s(t) ln t ln Οπότε (t ) (t ), s (t) u(t) t( t) u (t) s (t), Από τ ερωτήμτ Β3 κι Β4 έχουμε το πρόσημο των s (t) κι s (t) Βρίσκουμε s() ln, s() ln ( u t, lim u t κι t lim t, άρ t t t lim s(t) lim ln t ln t lim ln t lim ln u ) u, t Πίνκς μετβολών Τ σημεί τομής της s(t) με τον κτκόρυφο άξον είνι το (, ln ) οριζόντιο άξον είνι 3, γιτί: s(t) ln t ln (t ) 3 t 3 ( t 3 πορρίπτετι)

4 Γρφική πράστση της s(t) ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω,β, με () (β) Αρκεί ν δείξουμε ότι β συνάρτηση Έχουμε () (β) () (β) Άρ, η είνι υπόθεση () (β) () β (β) β Γ Γι η σχέση () () δίνει: () () () Γ3 Έστω η (), άρ πργωγίσιμη στο, άρ συνεχής στο, οπότε lim () () κι () () () () lim lim Θέτοντς όπου το (), η ρχική σχέση δίνει () () () () () Άρ γι κοντά στο διιρούμε με κι γίνετι () () () () () () () () () () () () (), δηλδή κοντά στο

5 Διιρέσμε με () διότι γι κοντά στο είνι (), φού ν () () Ισχύει () () () lim lim () () () () () (), άτοπο, γιτί ν θέσουμε u (), τότε,, u () (διότι συνεχής στο ) Δηλδή u () (u) Άρ, lim lim () () u u Οπότε πίρνοντς όρι στη σχέση έχουμε () () () lim lim () Άρ, () () () () () () λύνοντς το τριώνυμο έχουμε () 5 (), δεκτή ή Γ4 Στην σχέση () (), θέτουμε () ψ Επομένως (ψ) ψ (ψ) ψ, ψ Άρ :, με () () () () κι 5 (), όπου πορρίπτετι διότι Γ5 Η είνι συνεχής στο, άρ η ορίζοντι τ ολοκληρώμτ Έχουμε: ()d κι ()d ()d 434 είνι συνεχής ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Οπότε ()d ()d () d 434 ()d ()d d 434 ()d 434 ()d 434 ()d 436 ()d 8

6 ΘΕΜΑ Δ Δ Εφόσον έχουμε Οπότε ln, (), 3 3 ν ν ν ν ν 3 ν 3 lim lim lim ν ν ν, με D, Δ Γι, η γρφική πράστση της προκύπτει πό οριζόντι μεττόπιση κτά μί μονάδ προς τ ριστερά της ln γι, () () ln( ) Άρ το σύνολο τιμών της είνι Δ,, Πρτηρούμε ότι κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έν σημείο, άρ η συνάρτηση είνι - Δ i Γι ν βρούμε την ντίστροφη συνάρτηση της θέτουμε y () κι λύνουμε ως προς το, γι κάθε διάστημ του πεδίου ορισμού της Άρ: y y () y ln( ) y e e I II Είνι y y e e y () y y, y, y y y Οπότε e, (),

7 ii Γι τ κοινά σημεί των Με, C κι C έχουμε () κι (), δηλδή οι C κι C τυτίζοντι Επομένως έχουν άπειρ κοινά σημεί M,, Με,, ρχικά νζητούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των είνι λύσεις της εξίσωσης Θέτουμε συνάρτηση ln( ) e ln( ) e () h() ln( ) e με D, A h C κι C που Η h είνι πργωγίσιμη στο A ως άθροισμ των πργωγίσιμων ln( ) (σύνθεση των πργωγίσιμων κι ln ), e, άρ κι συνεχής, με h () e Γι ν προσδιορίσουμε το πρόσημο της h, που είνι συνεχής στο,, βρίσκουμε ( ) h () e, γι κάθε (,) Άρ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο A,, επομένως με h () h () Επομένως η h είνι γνησίως ύξουσ στο A κι επειδή h() ln e, έχει μονδική ρίζ Οπότε οι C κι C γι A, έχουν μονδικό κοινό σημείο το O(,) Τελικά τ κοινά σημεί των C κι C είνι: Δ3 i Γι ν ορίζετι το E() πρέπει Αν τότε E() Αν, επειδή () ln( ) έχουμε E() ln( )d ln( ) d ln( ) d ln( ) d d ln( ) ( ) ln ln( ) ln( ) ( )ln( ) O, κι M, με

8 Γι ν ορίζετι το Ε(β) πρέπει β Είνι Αν β e, έχουμε Αν β e, έχουμε Ε(β) Αν β e, έχουμε ii E() ( )ln( ) (), e e β β Ε(β) d ln ln β β Ε(β) d lnβ, e, Α Η Ε είνι πργωγίσιμη στο Α ως γινόμενο κι άθροισμ των πργωγίσιμων, ln( ) (σύνθεση των πργωγίσιμων, ln ),, άρ είνι κι συνεχής στο Α, με Ε () ln( ) ( ) ln( ) ( ) Είνι ln( ) Ε () Άρ η Ε είνι γνησίως φθίνουσ στο Α, με σύνολο τιμών Ε(Α) Ε(), lim Ε(), lim( ) ln( ) ln( ) lim lim ( ) lim( ), άρ, γιτί lim Ε() κι Ε() ln Οπότε γι κάθε Α ισχύει Ε() Άρ φού Ε γνησίως ύξουσ, το Ε() μειώνετι χωρίς η τιμή του ν μπορεί ν γίνει ίση με iii Από i ερώτημ έχουμε Γι β e, E(β) lnβ άρ lim Ε(β) β Γι β e, Ε(β) lnβ άρ lim Ε(β) β Από ii ερώτημ έχουμε Ε() () Θέλουμε Ε() Ε(β), άρ πρέπει λόγω της () Ε(β) () Αν β e, () lnβ lnβ β e Αν β e, (), ισχύει Αν β e, () lnβ lnβ e β e Τελικά βe β (,e )