Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Transcript

1 Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος

2 Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo Γι εκπιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειτι σε άλλου τύπου άδεις χρήσης, η άδει χρήσης νέρετι ρητώς Χρημτοδότηση Το πρόν εκπιδευτικό υλικό έχει νπτυχθεί στ πλίσι του εκπιδευτικού έργου του διδάσκοντ Το έργο «Ανοικτά Ακδημϊκά Μθήμτ στο Ιόνιο Πνεπιστήμιο» έχει χρημτοδοτήσει μόνο την νδιμόρωση του εκπιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείτι στο πλίσιο του Επιχειρησικού Προγράμμτος «Εκπίδευση κι Δι Βίου Μάθηση» κι συγχρημτοδοτείτι πό την Ευρωπϊκή Ένωση (Ευρωπϊκό Κοινωνικό Τμείο) κι πό εθνικούς πόρους

3 Πράδειγμ Αν 4 ) (,, ν βρείτε την τιμή του, γι την οποί έχουμε: Έχουμε: ) 4 ( (i) κι ) ( ) ( ) ( (ii) λλά : 4 - ) 4 ( 4 4 (iii) οπότε: (iv)

4 Από τις (i) κι (ii) (κι με την βοήθει των (iii) κι (iv)) έχουμε: Πράδειγμ Η θερμοκρσί σ έν σημείο (, ) μιάς μετλλικής πινκίδς στο -επίπεδο, είνι: T(, ) βθμοί Κελσίου () Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής της θερμοκρσίς στο (, ) κτά την διεύθυνση του δινύσμτος a=i-j (β) Έν μυρμήγκι βρίσκετι στο σημείο (,) κι θέλει ν βδίσει προς την διεύθυνση κτά την οποί η θερμοκρσί μειώνετι πιό γρήγορ Βρείτε έν μονδιίο διάνυσμ προς την διεύθυνση υτή Ο ρυθμός μετβολής της θερμοκρσίς κτά την κτεύθυνση,, όπου είνι η πράγωγος της συνάρτησης θερμοκρσίς στο σημείο, στην κτεύθυνση, δηλδή D T, im t0 t im t0 t0 T t, t T, im t t t t t t t t t t t t

5 Αν γράψουμε τον ριθμητή σν πολυώνυμο στην μετβλητή t πρτηρούμε ότι δεν υπάρχει στθερός όρος Συνεπώς ο πράγοντς t του προνομστή πλοποιείτι κι το όριο έχει την τιμή: () Αν D T, ι j, τότε 5 () κι ι j Άρ: D T, (β) Στο σημείο,, έχουμε D T, 9 Το μυρμήγκι θέλει ν βδίσει προς την κτεύθυνση εκείνου του μονδιίου δινύσμτος,, γι το οποίο το άθροισμ των συντετγμένων του ελχιστοποιείτι Αν είνι η γωνί του δινύσμτος με τον O ημιάξον, τότε, co,i Συνεπώς πρέπει ν βρούμε το σημείο ελάχιστης τιμής γι την συνάρτηση co i, 0,π Έχουμε i co, 0,π, ενώ η εξίσωση 0, 0,π ή i co, π 5π 0,π έχει λύσεις, Επίσης > 0 ότν κι μόνο ότν co > 4 4 π 5π i, δηλδή στ διστήμτ 0, κι,π Άρ η είνι γνησίως ύξουσ 4 4 π π 5π 5π στο 0,, γνησίως θίνουσ στο, κι γνησίως ύξουσ στο,π Από π το κριτήριο της πρώτης πργώγου, προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο 4 5π 5π Επειδή 0, κι 0>, η προυσιάζει ολικό 4 4 5π ελάχιστο στο 4

6 5π 5π Επομένως co, i κι το μυρμήγκι πρέπει ν κινηθεί 4 4 στην κτεύθυνση του, Πρτήρηση : g,, υπό τον Ένς άλλος τρόπος είνι ν ελχιστοποιηθεί η συνάρτηση περιορισμό Είνι νερό πό την μορή της g ότι υτό θ πρέπει ν συμβίνει ότν κι οι δύο μετβλητές, έχουν ρνητική τιμή Επειδή, ρκεί ν βρεθεί το σημείο ολικού ελχίστου της g, ότν,0 Πρτήρηση : Υπολογίστε την έκρση Τότε έχουμε:, T, T, κι συγκρίνετε με την σχέση () T(,) T(,) T(,) T(,) T(,) T(,) DT, (, ) (, ) coθ (, ) coθ όπου θ η γωνί μετξύ των δινυσμάτων T(,) T(,) (, ), Δηλδή η D T(,) γίνετι ελάχιστη ότν θ π ή με άλλ λόγι ότν: T(,) T(,) (, ) T(,) T(,) (, ) Η θερμοκρσί λοιπόν της μετλλικής πινκίδς στο σημείο (,) μειώνετι πιό γρήγορ κτά την διεύθυνση του δινύσμτος: = T(,) T(,) ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) -, 9 9 το μέτρο του οποίου είνι ίσο με μονδιίο διάνυσμ είνι το:, οπότε το ζητούμενο 9 9 9,, 9 9 9

7 Πράδειγμ Ν μελετηθεί ως προς τ κρόττ η συνάρτηση:, 0 Βρίσκουμε πρώτ τις πρκάτω (μερικές) πργώγους, κι 6, 6, 0 Λύνοντς το σύστημ: 0, 0 πίρνουμε τις λύσεις,, οπότε πιθνά σημεί κροτάτων είνι τ (, ), (, -), (-, ) κι (-,-) Εξετάζουμε γι κάθε έν πό υτά τ σημεί, την τιμή της πρκάτω πράστσης (δικρίνουσς): = 6 οπότε έχουμε τον κόλουθο συνοπτικό πίνκ τιμών: ζεύγος Α (,) (,-) (-,) (-,-) i) Στο σημείο (,) έχουμε >0 κι >0, άρ στο εν λόγω σημείο έχουμε τοπικό ελάχιστο ii) Στο σημείο (-,-) έχουμε >0 κι < 0, άρ στο εν λόγω σημείο έχουμε τοπικό μέγιστο iii) Στ σημεί (-,) κι (,-) έχουμε < 0, άρ πρόκειτι γιά σγμτικά σημεί Πράδειγμ 4 Δίνετι τρίγωνο με μετβλητά μήκη πλευρών, λλά στθερή περίμετρο ίση με c Σχημτίζουμε τ τετράγων των τριών πλευρών του Ν βρεθούν τ μήκη των πλευρών του, γιά τ οποί το άθροισμ των εμβδών των προηγούμενων τριών τετργώνων είνι το ελάχιστο δυντό

8 Αν,,z είνι τ μήκη των πλευρών του τριγώνου, τότε πό την υπόθεση: ++z=c (i) Το άθροισμ των εμβδών των τετργώνων των πλευρών του τριγώνου, δίνετι πό την: E(,,z) z (ii) συνάρτηση την οποί θέλουμε ν ελχιστοποιήσουμε Η (ii) με την βοήθει της (i) γίνετι: E(, ) E(,,z) z {c ( )} π όπου πίρνουμε το σύστημ: E(, ) E(, ) - {c - {c Αλλά τότε πό την (iii) : ( )} 0 (iii) ( )} 0 - {c ( )} - {c ( )} c - {c ( )} 0 c c c c c κι τελικά, πό την (i): ++z=c z c z δηλάδή το (ζητούμενο) τρίγωνο πρέπει ν είνι ισόπλευρο, με μήκος (κάθε) πλευράς ίσο με c Πρτήρηση: Το σημείο ( c, c ) είνι όντως ελάχιστο της συνάρτησης E(,), γιτί: E(, ) 4 E(, ), E(, ) οπότε η ποσότητ (δικρίνουσ): E(, ) E(, ) E(, ) E(, ) Α κι η 0

9 Πράδειγμ 5 () Αν οι πργμτικές συνρτήσεις κι g είνι συνεχείς με συνεχείς πργώγoυς δευτέρς τάξεως κι τέτοιες ώστε ν ορίζετι η συνάρτηση (,) = (+g()) Ν δείξετε πως ισχύει: (β) Δίνετι η συνάρτηση: l ) (, Η ντικτάστση κι - ορίζει την συνάρτηση )) (, ), ((, ) g(, Χρησιμοποιείστε τον κνόν της λυσίδς γι ν υπολογίζετι τις, g, g σε κάθε σημείο ), ( () Θέτουμε u g() κι υπολογίζουμε τις μερικές πργώγους της (u) u (u) (κνόνς λυσίδς γι συνάρτηση μιάς μετβλητής) (u) u (u) (u)g () u (u) άρ () (u)g u (u) οι οποίες ν ντικτστθούν στην σχέση που μς δίνετι, είνι νερό ότι την επληθεύουν (β) Χρησιμοποιώντς τον κνόν της λυσίδς, έχουμε: g γιτί: l κι νάλογ (λόγω συμμετρίς της ως προς κι ): Τέλος, πάλι πό τον κνόν της λυσίδς: g

10 Πράδειγμ 6 t u w l Ν υπολογίσετε τη μερική πράγωγο τέτρτης τάξης: Εστω 4 w t u w t u Εχουμε ότι Θεωρώντς τη μερική πράγωγο ως προς προκύπτει ότι : w w w ή w w Ομοι : w w, tw w, uw t u Οπότε w w uw uw w utw tu t u t t w utw utw w utw tu 4 w utw ut4w 6 tu Πράδειγμ 7 Εστω η συνάρτηση : IR IR κι w, όπου ότι Εχουμε ότι w w w dw z d κι όμοι z d w dw Αρ κι όμοι d d Επομένως z Ν ποδείξετε, w dw, d z z w dw z z d w w w dw z dw z d d

11 Πράδειγμ 8 Εν τετργωνικό κουτί, νοιχτό στο πάνω μέρος έχει όγκο κμ Ποιες πρέπει ν είνι οι διστάσεις του, ώστε η συνολική επιάνειά του ν είνι ελάχιστη ; Ο όγκος του κουτιού είνι : V z, οπότε z Η επιάνειά του είνι : E z z ή E, Τότε έχουμε ότι E 64 0 E 64 0 π όπου προκύπτει ότι = Αρ 4, 4, z Στο σημείο υτό έχουμε ότι : E E E 8 8 E E 0 κι 0, 0 4 4,,z 4,4, ποτελεί θέση τοπικού ελχίστου A συνεπώς το σημείο

12 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Άσκηση 4 z Ν εξετάσετε ν υπάρχει το όριο : lim,,z 0,0,0 5 z Άσκηση Ν εξετσθεί ως προς τη συνέχει η συνάρτηση : (, ) (0, 0) (, ) 0 (, ) (0, 0) Οι μερικές της πράγωγοι ορίζοντι στο (0,0)? Άσκηση Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση επληθεύει τη σχέση : z w,, όπου πργωγίσιμη, z w w w z z 0 Άσκηση 4 Εστω u, z v, z w Ν υπολογίσετε τις μερικές πργώγους,,, υποθέτοντς ότι οι συνρτήσεις που ορίζουν τ z,, ως προς u u u v u,v,w είνι δύο ορές πργωγίσιμες Άσκηση 5 Ποιο είνι το μέγιστο πεδίο ορισμού της συνάρτησης οποίο είνι συνεχής ; i i (, ), στο ta ta Άσκηση 6 Ν βρεθεί η μέγιστη κι η ελάχιστη πόστση της ρχής των συντετγμένων πό τ σημεί της κμπύλης : Άσκηση 7 Ν βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης z (,,z) z, πάνω στο επίπεδο :

13 Άσκηση 8 Ενς εργοστσιάρχης πράγει τρί προϊόντ Α,Β,Γ σε ποσότητες,,z To κέρδος P,, z 8 4z Ν βρείτε τις τιμές των του δίνετι πό τη συνάρτηση :,,z γι τις οποίες θ μεγιστοποιήσει το κέρδος του ν η πργωγή πρέπει ν ικνοποιεί τη σχέση : 4z Άσκηση 9 z Αν, 0, ν ποδείξετε ότι : z z z Άσκηση 0 Αν z, 0, ν ποδείξετε ότι : z z Άσκηση Αν βρισκόμστε στο σημείο Ρ(,) σε ποι κτεύθυνση πρέπει ν κινηθούμε γι ν μηδενισθεί η πράγωγος της, ; Άσκηση Αν βρισκόμστε στο σημείο Ρ(,) σε ποι κτεύθυνση ο ρυθμός μετβολής της, 4 θ ισούτι με 4 ; Άσκηση Οι κμπύλες στθερής θερμοκρσίς κλούντι ισόθερμες Αν η συνάρτηση θερμοκρσίς δίνετι πό τον τύπο T,, στον κυκλικό δίσκο του επιπέδου Άσκηση 4 Ν προσδιορισθούν τ άκρ ολοκλήρωσης,β, έτσι ώστε το ολοκλήρωμ 6 d, ν πίρνει τη μέγιστη τιμή του Άσκηση 5 Ν μελετήσετε ως προς τ κρόττ τη συνάρτηση, l Άσκηση 6 Ν βρείτε ποιο πό τ σημεί του γρήμτος της z 0, που νήκουν στο επίπεδο z 0 πέχει τη μέγιστη πόστση πό το επίπεδο υτό Άσκηση 7 Ν βρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης, 4 στον κύκλο