ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

2 Με πόφση της ελληνικής κυβερνήσεως τ διδκτικά βιβλί του Δημοτικού, του Γυμνσίου κι του Λυκείου τυπώνοντι πό τον Οργνισμό Εκδόσεως Διδκτικών Βιβλίων κι δινέμοντι δωρεάν

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

4 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΑΒΑΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΟΛΥΖΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος Κτά τη συγγρφή του κτβλήθηκε προσπάθει, ώστε το περιεχόμενό του ν ντποκρίνετι στις δυντότητες των μθητών, γι τους οποίους προορίζετι, κι ν είνι δυντή η ολοκλήρωση της διδσκλίς του στο χρόνο, που προβλέπετι πό το ωρολόγιο πρόγρμμ Το βιβλίο ποτελείτι πό πέντε κεφάλι Το πρώτο κεφάλιο ποτελεί μι εισγωγή στο Δινυσμτικό Λογισμό κι στην Ανλυτική Γεωμετρί Τ δινύσμτ έχουν ιδιίτερη σημσί όχι μόνο γι τ Μθημτικά λλά κι γι πολλές άλλες επιστήμες, φού προσφέρουν τη δυντότητ μθημτικοποίησης μεγεθών, τ οποί δεν ορίζοντι μόνο με την ριθμητική τιμή τους Εξάλλου, η μφιμονοσήμντη ντιστοιχί ενός σημείου του επιπέδου με έν διτετγμένο ζεύγος πργμτικών ριθμών οδηγεί στην λγεβροποίηση της Γεωμετρίς, δηλδή στη μελέτη των γεωμετρικών σχημάτων με λγεβρικές μεθόδους Στο δεύτερο κεφάλιο, φού δοθεί ο ορισμός της εξίσωσης μις γρμμής, μελετώντι οι ιδιότητες της ευθείς Στο τρίτο κεφάλιο συνεχίζετι η ύλη της Ανλυτικής Γεωμετρίς με τη σπουδή των κωνικών τομών, οι οποίες γι πρώτη φορά μελετήθηκν πό τους Αρχίους Έλληνες Σήμερ το ενδιφέρον γι τις κωνικές τομές είνι υξημένο εξιτίς του μεγάλου ριθμού των θεωρητικών κι πρκτικών εφρμογών τους Το τέτρτο κεφάλιο ποτελεί μί εισγωγή στη Θεωρί Αριθμών, στην νάπτυξη της οποίς μεγάλη είνι η συμβολή των Αρχίων Ελλήνων Κύριος στόχος της διδσκλίς της ενότητς υτής είνι η άσκηση των μθητών στην ποδεικτική διδικσί Στο πέμπτο, τέλος, κεφάλιο εισάγετι ο λογισμός με μιγδικούς ριθμούς, οι οποίοι ποτελούν τη βάση γι τη Μθημτική Ανάλυση κι συγχρόνως έ- χουν πολλές πρκτικές εφρμογές στις άλλες επιστήμες Τ οποιδήποτε σχόλι, πρτηρήσεις ή κρίσεις γι το βιβλίο, πό συνδέλφους, πό μθητές κι πό κάθε πολίτη που ενδιφέρετι γι τ ζητήμτ της πιδείς, θ είνι πολύ ευπρόσδεκτ πό τη συγγρφική ομάδ Οι πρτηρήσεις ν ποστέλλοντι στο Πιδγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 396, 53 0 Αγί Πρσκευή Μάρτιος 998

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Δινύσμτ Η Έννοι του Δινύσμτος Πρόσθεση κι Αφίρεση Δινυσμάτων 6 3 Πολλπλσισμός Αριθμού με Διάνυσμ 4 Συντετγμένες στο Επίπεδο 9 5 Εσωτερικό Γινόμενο Δινυσμάτων 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Η Ευθεί στο Επίπεδο Εξίσωση Ευθείς 57 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείς 65 3 Εμβδόν Τριγώνου 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Κωνικές Τομές 3 Ο Κύκλος 8 3 Η Πρβολή Η Έλλειψη Η Υπερβολή 3 35 Η Εξίσωση Α +B +Γ+Δ+E=0 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Θεωρί Αριθμών 4 Η Μθημτική Επγωγή 35 4 Ευκλείδει Διίρεση Διιρετότητ Μέγιστος Κοινός Διιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο Πρώτοι Αριθμοί 6 46 Η Γρμμική Διοφντική Εξίσωση Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Μιγδικοί Αριθμοί

7 5 Η Έννοι του Μιγδικού Αριθμού 85 5 Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγδικών Μέτρο Μιγδικού Αριθμού Τριγωνομετρική Μορφή Μιγδικού 0 55 Πολυωνυμικές Εξισώσεις στο C ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5

8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση δύο δυνάμεων που σκούντι σε έν σώμ εκφράζοντι πό τη διγώνιο του πρλληλόγρμμου που σχημτίζουν, ήτν γνωστός με διάφορες μορφές στους Αρχίους Έλληνες επιστήμονες Ο Ήρων ο Αλεξνδρεύς, γι πράδειγμ, στο έργο του Μηχνικά ποδεικνύει με χρήση νλογιών την κόλουθη γεωμετρική πρότση: Αν έν σημείο Σ κινείτι με ομλή κίνηση κτά μήκος μις ευθείς ΑΒ, ενώ συγχρόνως η Γ Δ ΑΒ κινείτι πράλληλ προς τον ευτό της με Α το άκρο Α ν διγράφει μι ευθεί ΑΓ, τότε η Β Σ πργμτική τροχιά του Σ (η συνιστμένη κίνηση ) θ είνι η διγώνιος ΑΔ του Α Β πρλληλόγρμμου ΑΒΓΔ Αυτός ο κνόνς χρησιμοποιήθηκε πολλούς ιώνες γι το γεωμετρικό προσδιορισμό της συνιστμένης, χωρίς όμως ν θεωρείτι έν νέο είδος πρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων, διφορετικό πό εκείνο που χρησιμοποιείτι στην Ευκλείδει Γεωμετρί Γι ν γίνει υτό, χρειάστηκε πό τη μι μεριά η ποδοχή κι συστημτική χρήση των ρνητικών ριθμών στ Μθημτικά κι πό την άλλη η μελέτη φυσικών ποσοτήτων όπως η τχύτητ, η δύνμη, η ορμή κι η επιτάχυνση, που χρκτηρίζοντι τόσο πό το μέτρο όσο κι πό τη διεύθυνσή τους Αυτές οι εξελίξεις έφερν στο προσκήνιο τις έννοιες της προσντολισμένης κίνησης κι του προσντολισμένου ευθύγρμμου τμήμτος, τις πρώτες ιδέες των οποίων συνντάμε σε έργ επιστημόνων του 7ου ιών όπως οι J Wallis, I Newton κι GW Leibniz Η νάπτυξη ενός συστημτικού λογισμού με προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ άρχισε στ τέλη του 8ου ιών, γι ν δοθεί μι γεωμετρική ερμηνεί στους ρνητικούς ριθμούς, λλά κι γι ν βρεθεί ένς τρόπος νλυτικής έκφρσης του μήκους κι της διεύθυνσης των ευθύγρμμων τμημάτων Πρωτοπορικό υπήρξε προς υτή την κτεύθυνση το έργο των C Wessel (799) κι R Argand (806) Ξεκινώντς πό την πλή περίπτωση των

9 0 προσντολισμένων τμημάτων που βρίσκοντι στην ίδι ευθεί, προχώρησν στον ορισμό των πράξεων με τυχί τμήμτ του επιπέδου Συγκεκριμέν, οι ορισμοί του Wessel ήτν οι εξής: Το άθροισμ διδοχικών προσντολισμένων τμημάτων είνι το τμήμ που ενώνει την ρχή του πρώτου με το τέλος του τελευτίου A Δ B AΔ=ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ Γ ab Το γινόμενο δύο προσντολισμένων τμημάτων που σχημτίζουν γωνίες φ κι ω ντιστοίχως με έν μονδιίο τμήμ, είνι το τμήμ που έχει μήκος το γινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων κι σχημτίζει γωνί φ ω με το μονδιίο τμήμ φ+ω ω φ b + Σ τις εργσίες των Wessel κι Argand (κι ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκν εκείνη την εποχή) υπάρχουν οι βσικές ιδέες που συγκροτούν σήμερ το Δινυσμτικό Λογισμό του επιπέδου Η ουσιστική νάπτυξη του κλάδου ρχίζει όμως μερικές δεκετίες ργότερ, ότν επιχειρείτι η γενίκευση υτών των ιδεών στον τρισδιάσττο χώρο κι η θεμελίωση μις γενικής μθημτικής θεωρίς Κθοριστικό υπήρξε προς υτήν την κτεύθυνση του έργο του W Hamilton (843) κι του H Grassmann (844) Ο W Hamilton χρησιμοποίησε τον όρο διάνυσμ (vector) Ο όρος vector προέρχετι κτά μί εκδοχή πό το λτινικό ρήμ vehere που σημίνει μετφέρω Ο H Grassmann χρησιμοποίησε τους όρους εσωτερικό κι εξωτερικό γινόμενο Η πρπέρ εξέλιξη του Δινυσμτικού Λογισμού επηρεάστηκε ποφσιστικά πό τις εξελίξεις στη Φυσική κτά το δεύτερο μισό του 9ου ιών Η χρήση της θεωρίς του Hamilton πό τον ιδρυτή της ηλεκτρομγνητικής θεωρίς JC Mawell (873) οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με βάση τις οποίες οι φυσικοί JW Gibbs κι O Heaviside δημιούργησν στις ρχές της δεκετίς του 880 τη σύγχρονη θεωρί του Δινυσμτικού Λογισμού (στοιχεί της οποίς προυσιάζοντι σ υτό το κεφάλιο) Τέλος το 888, ο G Peano, με βάση τη θεωρί του Grassmann θεμελίωσε ξιωμτικά την έννοι του δινυσμτικού χώρου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

10 Ορισμός του Δινύσμτος Υπάρχουν μεγέθη, όπως είνι η μάζ, ο όγκος, η πυκνότητ, η θερμοκρσί κτλ, τ οποί προσδιορίζοντι πό το μέτρο τους κι πό την ντίστοιχη μονάδ μέτρησης Τ μεγέθη υτά λέγοντι μονόμετρ ή βθμωτά Υπάρχουν όμως κι μεγέθη, όπως είνι η δύνμη, η τχύτητ, η επιτάχυνση, η μεττόπιση, η μγνητική επγωγή κτλ, που γι ν τ προσδιορίσουμε, εκτός πό το μέτρο τους κι τη μονάδ μέτρησης, χρειζόμστε τη διεύθυνση κι τη φορά τους Τέτοι μεγέθη λέγοντι δινυσμτικά μεγέθη ή πλώς δινύσμτ Στη Γεωμετρί το διάνυσμ ορίζετι ως έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ, δηλδή ως έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ θεωρούντι διτετγμέν Το πρώτο άκρο λέγετι ρχή ή σημείο εφρμογής του δινύσμτος, ενώ το δεύτερο λέγετι πέρς του δινύσμτος Το διάνυσμ με ρχή το Α κι πέρς το Β συμβολίζετι AB A (ρχή) B (πέρς) με AB κι πριστάνετι με έν βέλος που ξεκινάει πό το Α κι κτλήγει στο Β Αν η ρχή κι το πέρς ενός δινύσμτος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμ λέγετι μηδενικό διάνυσμ Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ AA είνι μηδενικό διάνυσμ Γι το συμβολισμό των δινυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τ μικρά γράμμτ του ελληνικού ή του λτινικού λφάβητου επιγρμμισμέν με βέλος γι πράδειγμ,,,, uv,, Η πόστση των άκρων ενός δινύσμτος AB, ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ, λέγετι μέτρο ή μήκος τ δηλδή το μήκος του ου δινύσμτος AB κι συμβολίζετι με AB Αν το διάνυσμ AB έχει μέτρο, τότε λέγετι μονδιίο διάνυσμ Η ευθεί πάνω στην οποί βρίσκετι έν μη μηδενικό διάνυσμ AB λέγετι φορές του AB A B ε

11 Ως φορέ ενός μηδενικού δινύσμτος AA μπορούμε ν θεωρούμε οποιδήποτε πό τις ευθείες που διέρχοντι πό το Α AA Α Αν ο φορές ενός δινύσμτος AB είνι πράλληλος ή συμπίπτει με μι ευθεί ζ, τότε λέμε ότι το AB είνι πράλληλο προς τη ζ κι γράφουμε AB// ζ Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι, που έχουν τον ίδιο φορέ ή πράλληλους φορείς, λέγοντι πράλληλ ή συγγρμμικά δινύσμτ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν ίδι διεύθυνση κι γράφουμε AB// Α Δ Β Α Δ Γ Β Γ Τ συγγρμμικά δινύσμτ δικρίνοντι σε ομόρροπ κι ντίρροπ Συγκεκριμέν: Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ομόρροπ: ) ότν έχουν πράλληλους φορείς κι βρίσκοντι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεί ΑΓ που ενώνει τις ρχές τους ή β) ότν έχουν τον ίδιο φορέ κι μί πό τις ημιευθείες ΑΒ κι ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν Γ Α Α Β Δ Γ Β Δ την ίδι κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ίδι φορά) κι γράφουμε AB ΓΔ

12 3 Δύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ντίρροπ, ότν είνι συγγρμμικά κι δεν είνι ομόρροπ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ δινύσμτ AB κι έχουν ντίθετη κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά) κι γράφουμε AB ΓΔ Δ Δ Α Γ Γ Α Β Β Ίσ Δινύσμτ Δύο μη μηδενικά δινύσμτ λέγοντι ίσ ότν έχουν την ίδι κτεύθυνση κι ίσ μέτρ Γι ν δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ίσ, γράφουμε AB Τ μηδενικά δινύσμτ θεωρούντι ίσ μετξύ τους κι συμβολίζοντι με 0 Εύκολ ποδεικνύετι ότι: Αν AB, τότε A, B κι B B Δ A Γ Δ Γ Β Α Α Β Γ Δ Αν Μ είνι το μέσον του ΑΒ, τότε κι ντιστρόφως AM MB Α Μ Β Αντίθετ Δινύσμτ Δύο δινύσμτ λέγοντι ντίθετ, ότν έχουν ντίθετη κτεύθυνση κι ίσ μέτρ Γι ν δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ντίθετ, γράφουμε

13 4 AB ΓΔ ή ΓΔ ΑΒ Είνι φνερό ότι B Γ AB AB Ειδικότερ, έχουμε A Δ Α Β Δ Γ Γωνί δύο Δινυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB β Με ρχή έν σημείο Ο Ο θ Β Α Ο a Β Α Β Ο a Α a Την κυρτή γωνί AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ κι ΟΒ, την ονομάζουμε γωνί των δινυσμάτων κι β κι τη συμβολίζουμε με (, β ) ή ( β, ) ή κόμ, ν δεν προκλείτι σύγχυση, με έν μικρό γράμμ, γι πράδειγμ θ Εύκολ ποδεικνύετι ότι η γωνί των κι είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο Είνι φνερό επίσης ότι 0θπ κι ειδικότερ: 0, ν, ν 0 0 θ80 0 ή σε κτίνι

14 5 Αν, τότε λέμε ότι τ δινύσμτ κι είνι ορθογώνι ή κάθετ κι γράφουμε β Α a Αν έν πό τ δινύσμτ, είνι το μηδενικό διάνυσμ, τότε ως γωνί των κι μπορούμε ν θεωρήσουμε οποιδήποτε γωνί με 0 Έτσι, μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμ, 0, είνι ομόρροπο ή ντίρροπο ή κόμη κι κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμ Ο Β ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Με ρχή το Μ γράφουμε τ δινύσμτ MΔ ΓΒ κι ME BA Ν ποδειχτεί ότι το Α είνι το μέσο του ΔΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αρκεί ν δείξουμε ότι Πράγμτι, επειδή Α, είνι Δ Ε () Όμως το Μ είνι μέσο του ΑΓ Άρ, () Επομένως, λόγω των () κι (), έχουμε, οπότε: (3) Επειδή επιπλέον, έχουμε (4) Έτσι, πό τις σχέσεις (3) κι (4) έχουμε Β Μ Γ

15 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Πρόσθεση Δινυσμάτων Έστω δύο δινύσμτ a κι Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε διάνυσμ OA κι στη συνέχει με ρχή το Α πίρνουμε διάνυσμ AM β Το διάνυσμ OM λέγετι άθροισμ ή συνιστμένη των δινυσμάτων κι β κι συμβολίζετι με Θ ποδείξουμε ότι το άθροισμ των δινυσμάτων κι είνι νεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Πράγμτι, ν O είνι έν άλλο σημείο κι πάρουμε τ δινύσμτ O A κι A M β, επειδή OA O A κι AM A M β, έχουμε OO AA κι AA MM Επομένως, OOMM, M που συνεπάγετι ότι κι OM O a a Α a β a Μ Α a β M Ο O Το άθροισμ δύο δινυσμάτων βρίσκετι κι με το λεγόμενο κνόν του πρλληλόγρμμου Δηλδή, ν με ρχή έν σημείο Ο πάρουμε τ δινύσμτ OA κι OB β, τότε το άθροισμ ορίζετι πό τη διγώνιο O του πρλληλόγρμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O κι Α a Μ a Ο a Β a

16 7 Ιδιότητες Πρόσθεσης Δινυσμάτων Γι την πρόσθεση των δινυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πργμτικών ριθμών Δηλδή, ν,, είνι τρί δινύσμτ, τότε: () a β β (Αντιμετθετική ιδιότητ) () ( β) γ ( βγ) (Προσετιριστική ιδιότητ) (3) 0 (4) ( ) 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το προηγούμενο σχήμ έχουμε: β OA AM OM κι Επομένως, β OB BM OM Από το διπλνό σχήμ έχουμε: ( β) γ ( OA AB) B OB B O κι ( β γ) OA( AB B ) OA A O a Α a Β Επομένως, ( ) a ( ) Ο a Γ Οι ιδιότητες (3) κι (4) είνι προφνείς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει ν συμβολίζουμε κθέν πό τ ίσ θροίσμτ ( ) κι ( ) με, το οποίο θ λέμε άθροισμ των τριών δινυσμάτων, κι Το άθροισμ περισσότερων δινυσμάτων,, 3,,, 3 ορίζετι επγωγικά ως εξής: 3 ( 3 )

17 8 Γι πράδειγμ, 3 4 ( 3) 4 a a a a a 3 aaa3a4 a 3 a 4 Δηλδή, γι ν προσθέσουμε δινύσμτ,,,,, τ κθιστούμε διδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θ είνι το διάνυσμ που έχει ως ρχή την ρχή του πρώτου κι ως πέρς το πέρς του τελευτίου Επειδή μάλιστ ισχύουν η ντιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης, το άθροισμ δε μετβάλλετι ν λλάξει η σειρά των προσθετέων ή ν μερικοί πό υτούς ντικτστθούν με το άθροισμά τους Αφίρεση Δινυσμάτων Η διφορά του δινύσμτος πό το διάνυσμ άθροισμ των δινυσμάτων κι Δηλδή β ( β) ορίζετι ως a a a a a a a Σύμφων με τ πρπάνω, ν έχουμε δύο δινύσμτ κι, τότε υπάρχει μονδικό διάνυσμ, τέτοιο, ώστε Πράγμτι, ( ) ( ) ( ) 0 ( )

18 9 Διάνυσμ Θέσεως Έστω Ο έν στθερό σημείο του χώρου Τότε γι κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζετι το διάνυσμ, το οποίο λέγετι διάνυσμ θέσεως του Μ ή δινυσμτική κτίν του Μ Το σημείο Ο, που είνι η κοινή ρχή όλων των δινυσμτικών κτίνων των σημείων του χώρου, λέγετι σημείο νφοράς στο χώρο Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε γι οποιοδήποτε διάνυσμ O Α Β έχουμε AB OB OA κι επομένως Δηλδή: AB OBOA Κάθε διάνυσμ στο χώρο είνι ίσο με τη δινυσμτική κτίν του πέρτος μείον τη δινυσμτική κτίν της ρχής Μέτρο Αθροίσμτος Δινυσμάτων Στο διπλνό σχήμ βλέπουμε το άθροισμ των δινυσμάτων κι Από την τριγωνική νισότητ γνωρίζουμε όμως ότι a Α a Β a ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) κι επομένως Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γι τέσσερ σημεί,,, ν ποδειχτεί ότι

19 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε έχουμε: Α AB OBOAO O OBOO OAB A Β Δ Ν ποδειχτεί ότι β γ βγ Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε β γ ( βγ βγ βγ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Οι δυνάμεις F, F,, F5 σκούντι στο σώμ Σ Ποι δύνμη χρειάζετι, ώστε ν μην φήσει το σώμ Σ ν μετκινηθεί πό τη θέση του; F 4 F 5 F F 3 Σ F Δίνοντι τέσσερ σημεί κι κι έστω, β, γ κι δ τ ντίστοιχ δινύσμτ θέσεως ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τι μπορείτε ν πείτε γι το τετράπλευρο ν: (i) γ β δ (ii) γ β δ (iii) γ β δ κι γ β δ 3 Ν εκφράσετε το διάνυσμ σε κθέν πό τ πρκάτω σχήμτ ως συνάρτηση των άλλων δινυσμάτων που δίνοντι:

20 i) a ii) a iii) a 4 Αν γι δύο τρίγων ΑΒΓ κι ΑΔΕ ισχύει τετράπλευρο ΒΔΓΕ είνι πρλληλόγρμμο, ν δείξετε ότι το 5 Δίνοντι τέσσερ σημεί Α,Β,Γ,Δ κι έστω Ο, το μέσο του τμήμτος ΑΓ Ν ποδείξετε ότι 6 Δίνετι κνονικό εξάγωνο Αν διάνυσμ ως συνάρτηση των κι β κι B β, ν εκφράσετε το 7 Γι έν τυχίο εξάγωνο P P P P P ν ποδείξετε ότι 3 4 5P6 P3 P P4 P3 P5 P4 P6 P5 P P6 P 0 P 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Ορισμός Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάνυσμ Έστω ένς πργμτικός ριθμός με κι έν μη μηδενικό διάνυσμ Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το κι το συμβολίζουμε με ή έν διάνυσμ το οποίο: είνι ομόρροπο του, ν κι ντίρροπο του, ν κι έχει μέτρο Αν είνι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμ 0

21 a Μ Μ Α Α M Ο a O a a Ο Α a a Μ Ο Α

22 Γι πράδειγμ, ν το διάνυσμ του a διπλνού σχήμτος έχει μέτρο, τότε το διάνυσμ 3 είνι ομόρροπο με το κι έχει μέτρο 3 3, ενώ το διάνυσμ 3 είνι ντίρροπο με το 3a, λλά έχει κι υτό μέτρο ίσο με 3 3 3a Το γινόμενο λ το συμβολίζουμε κι με Ιδιότητες Πολλπλσισμού Αριθμού με Διάνυσμ Γι το γινόμενο πργμτικού ριθμού με διάνυσμ ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: () () ( ) (3) ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ * () Υποθέτουμε ότι τ δινύσμτ κι λ>0 Α είνι μη μηδενικά κι ότι 0 Πίρνουμε έν σημείο Ο κι σχεδιάζουμε τ δινύσμτ a OA, AB β Τότε είνι OB β Α Σχεδιάζουμε επιπλέον τ δινύσμτ a OA λ κι OB λ( β) Επειδή a ( ) ( ) Ο Β Β, ( a ) ( ) ( ) τ τρίγων κι είνι όμοι κι επομένως η πλευρά είνι πράλληλη με την κι ισχύει ( ) ( )

23 3 Αυτό σημίνει ότι B λ AB λβ A BOA AB Επομένως, επειδή O, έχουμε ( ) Η ιδιότητ ισχύει προφνώς κι ότν έν τουλάχιστον πό τ δινύσμτ κι είνι το μηδενικό ή ότν ο ριθμός είνι μηδέν Β λ<0 a ( ) a Ο a a Β Α Η πόδειξη των ιδιοτήτων () κι (3) φήνετι ως άσκηση Α Ως συνέπει του ορισμού του γινομένου ριθμού με διάνυσμ κι των πρπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λ0 λ0 ή 0 (ii) ( λ) λ( ) ( λ) (iii) λ( β) λ λβ (iv) ( λ μ) λ μ (v) Αν λ λβ κι λ 0, τότε β (vi) Αν λ μ κι 0, τότε λ μ Γρμμικός Συνδυσμός Δινυσμάτων Ας θεωρήσουμε δύο δινύσμτ κι β Από τ δινύσμτ υτά πράγοντι, γι πράδειγμ, τ δινύσμτ γ 3 5β, δ 3β κτλ Κθέν πό τ δινύσμτ υτά λέγετι γρμμικός συνδυσμός των κι β Γενικά, ονομάζετι γρμμικός συνδυσμός δύο δινυσμάτων κι β κάθε διάνυσμ της μορφής v κ λβ, όπου κ, λr Ανάλογ ορίζετι κι ο γρμμικός συνδυσμός τριών ή περισσότερων δινυσμάτων Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ v 3 β 5γ είνι ένς γρμμικός συνδυσμός των β, κι γ

24 4 Συνθήκη Πρλληλίς Δινυσμάτων Όπως είδμε, ν δύο δινύσμτ κι, όπου 0, συνδέοντι με τη σχέση, τότε τ δινύσμτ υτά είνι πράλληλ Ισχύει όμως κι το ντίστροφο Δηλδή, ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει μονδικός ριθμός τέτοιος ώστε Πράγμτι, ν θέσουμε, τότε Συνεπώς: Αν, τότε Αν, τότε κ β Αν 0, τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει κι μάλιστ μονδικός (ιδιότητ iv), τέτοιος, ώστε Επομένως: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν, είνι δύο δινύσμτ, με 0, τότε //, R Γι πράδειγμ, στο πρκάτω σχήμ ν Δ κι Ε είνι τ μέσ των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ, έχουμε: BA A A A ( A AE) E B Αφού λοιπόν E B, συμπερίνουμε ότι // κι B E, που σημίνει ότι Ξνβρίσκουμε δηλδή τη γνωστή μς πό την Ευκλείδει Γεωμετρί σχέση // Δ Β Α Ε Γ

25 5 Δινυσμτική Ακτίν Μέσου Τμήμτος Ας πάρουμε έν διάνυσμ AB κι έν σημείο νφοράς Ο Γι τη δινυσμτική κτίν του μέσου Μ του τμήμτος ΑΒ έχουμε: OA AM OM κι OM OBBM Επομένως, OB OM OA AM OB BM OA Άρ OM Ο Α Μ Β OAOB OM ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν ποδειχτεί ότι έν σημείο G είνι το βρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, ν κι μόνο ν ισχύει GA G G 0 κι ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OG ( OAOBO ) 3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α G Β Δ Γνωρίζουμε πό την Ευκλείδει Γεωμετρί ότι ν G είνι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε G G, όπου η διάμεσος του τριγώνου Επομένως, ισχύει AG G, οπότε έχουμε GAGBG GAG GA AG GG 0 Αντιστρόφως, ν γι έν σημείο G ισχύει GA GBG 0, τότε θ έχουμε GA G 0, όπου Δ το μέσον της ΒΓ, οπότε θ ισχύει AG G Έτσι, το σημείο G νήκει στη διάμεσο ΑΔ κι ισχύει G G Άρ, το G είνι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ Από τη σχέση GA GB G 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG 0 Άρ OG ( OAOBO ) 3 Γ

26 6 Ν ποδειχτεί ότι τ ευθύγρμμ τμήμτ που ορίζουν τ μέσ των πένντι πλευρών ενός τετρπλεύρου κι τ μέσ των διγωνίων του διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό το σημείο υτό ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω,,, τ δινύσμτ θέσεως των Α κορυφών,,,, ντιστοίχως, ενός τετράπλευρου ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τ δινύσμτ θέσεως των μέσων Η της ΒΓ Ε κι Θ της ΑΔ είνι ( β γ ) κι ( δ Θ ) Ι ντιστοίχως κι το διάνυσμ θέσεως του μέσου Β G G του ΗΘ είνι το Κ ( β γ) ( δ) ( β γ δ) Δ Η 4 Ζ Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμ θέσεως των Γ μέσων των τμημάτων ΕΖ κι ΙΚ είνι το ( β γ δ) Άρ τ τμήμτ ΗΘ, ΕΖ κι 4 ΙΚ διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό υτό ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Αν είνι έν διάνυσμ, τι μπορείτε ν πείτε γι το μέτρο κι την κτεύθυνση του δινύσμτος 0 ; Ν βρείτε το διάνυσμ σε κθεμιά πό τις περιπτώσεις: (i) ( ) ( β) (ii) 3( β) 4( β) 3 3 Β 3 Αν στο διπλνό σχήμ είνι ( ) ( ), ν ποδείξετε ότι ( β γ) 3 A Μ Γ

27 7 4 Στο διπλνό σχήμ έχουμε:,, κι β Γ (i) Ν εκφράσετε συνρτήσει των κι β τ δινύσμτ,,, κι (ii) Από τις εκφράσεις των κι ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τ σημεί, κι ; a Β A Ε Δ a 5 Στο πρκάτω σχήμ ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά Α a Β Γ 3 a 3 Ε Δ 6 Αν 3 A3, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά 7 Αν, κι είνι διάμεσοι τριγώνου 0, ν ποδείξετε ότι 8 Αν,, είνι τ μέσ των πλευρών,,, ντιστοίχως, τριγώνου, ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: 9 Αν κι είνι τ μέσ των διγωνίων κι, ντιστοίχως, ενός τετρπλεύρου, ν ποδείξετε ότι A 4 0 Δίνετι το μη μηδενικό διάνυσμ λ κι μ Ν ποδείξετε ότι λ μ κι σημείο τέτοιο ώστε ν ισχύει Δίνετι τρίγωνο Αν A κ AB λ A κι λ κ ν ποδείξετε ότι //

28 8 Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω κι β δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ (i) Αν β 0, ν δείξετε ότι 0 (ii) Αν β β, ν δείξετε ότι κι (iii) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του R τ δινύσμτ u ( ) β κι v ( 3) β είνι συγγρμμικά Θεωρούμε έν πρλληλόγρμμο κι τ σημεί κι, ώστε AE κ A κι AZ λ AB με κλ 0 Αν, ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ, κι είνι συνευθεικά 3 Ν ποδείξετε ότι ν ισχύουν δύο πό τις σχέσεις KA KB zk 0, A B z 0, z 0, τότε θ ισχύει κι η τρίτη (το σημείο K είνι διφορετικό πό το ) 4 Αν β, κι r είνι οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων, κι κ ντιστοίχως κι, ν ποδείξετε ότι ν το είνι εσωτερικό του, λ λ κβ λ κβ τότε r, ενώ ν το είνι εξωτερικό του, τότε r λκ λκ Ο Ο a r a r Α Μ Β Α Β Μ 5 Δίνετι τρίγωνο κι έν σημείο Βρίσκουμε τ συμμετρικά, κι του ως προς τ μέσ, κι των πλευρών, κι ντιστοίχως Αν G κι G τ βρύκεντρ των τριγώνων κι, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, G κι G είνι συνευθεικά 6 Δίνετι τετράπλευρο κι έστω κι τ μέσ των διγωνίων του κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι ν 4MN A B υτό είνι πρλληλόγρμμο, τότε το τετράπλευρο

29 9 7 Αν G κι G είνι τ βρύκεντρ δύο τριγώνων κι, ν G ποδείξετε ότι AA BB 3G 8 Δίνοντι τ σημεί, κι Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο το διάνυσμ MA 5MB 3 M είνι στθερό Γ 5 a 9 Τ σημεί,, κι ενός επιπέδου έχουν δινύσμτ θέσεως,, 5 κι 3 ντιστοίχως, όπου τ δινύσμτ κι είνι μη συγγρμμικά Ν βρείτε το διάνυσμ θέσεως r του σημείου τομής των ευθειών κι Ο a Α r Β 3 Δ Ε 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονς Πάνω σε μι ευθεί επιλέγουμε δύο σημεί Ο κι Ι, έτσι ώστε το διάνυσμ OI ν έχει μέτρο κι ν βρίσκετι στην ημιευθεί O Λέμε τότε ότι έχουμε ένν άξον με ρχή το Ο κι μονδιίο διάνυσμ το OI i κι τον συμβολίζουμε με Η ημιευθεί O λέγετι θετικός ημιάξονς O, ενώ η O λέγετι ρνητικός ημιάξονς O Ο Ι Μ() Αν, τώρ, πάνω στον άξον πάρουμε έν σημείο Μ, επειδή OM // i, θ υπάρχει κριβώς ένς πργμτικός ριθμός τέτοιος ώστε OM ι Τον

30 30

31 30 ριθμό τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ Αλλά κι ντιστρόφως, πό την ισότητ OM ι προκύπτει ότι σε κάθε πργμτικό ριθμό ντιστοιχεί μονδικό σημείο Μ του άξον με τετμημένη Το σημείο υτό συμβολίζετι με () Κρτεσινό Επίπεδο Πάνω σε έν επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες κι με κοινή ρχή Ο κι μονδιί δινύσμτ τ i κι j Λέμε τότε ότι έχουμε έν ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή πλούστερ έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή κόμ έν Μ(,) Μ κρτεσινό επίπεδο κι το συμβολίζουμε με O Το σύστημ O λέγετι ορθοκνονικό, γιτί είνι ορθογώνιο κι κνονικό Ορθογώνιο είνι, γιτί οι άξονες κι είνι κάθετοι, κι κνονικό, γιτί τ δινύσμτ i κι j είνι ισομήκη Πάνω στο κρτεσινό επίπεδο O πίρνουμε έν σημείο Μ Από το Μ φέρνουμε την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M, κι την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M Αν είνι η τετμημένη του M ως προς τον άξον κι η τετμημένη του M ως προς τον άξον, τότε ο λέγετι τετμημένη του Μ κι ο τετγμένη του Μ Η τετμημένη κι η τετγμένη λέγοντι συντετγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου ντιστοιχεί έν ζεύγος συντετγμένων Αλλά κι ντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πργμτικών ριθμών ντιστοιχεί μονδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκετι ως εξής: Πάνω στον άξον πίρνουμε το σημείο M( ) κι στον το σημείο M ( ) Από τ M κι M φέρνουμε πράλληλες στους άξονες κι ντιστοίχως, που τέμνοντι στο Μ Το σημείο Μ είνι το ζητούμενο Έν σημείο Μ με τετμημένη κι τετγμένη συμβολίζετι κι με M(, ) ή πλά με (, ) j Ο i Μ Συντετγμένες Δινύσμτος

32 3 Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι έν διάνυσμ του επιπέδου Με ρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμ OA Αν A κι A είνι οι προβολές του Α στους άξονες κι ντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA () a Αν, είνι οι συντετγμένες του A, τότε Α A ισχύει OA ι κι OA j Επομένως η ισότητ () γράφετι a i j j Ο i A Αποδείξμε δηλδή ότι το είνι γρμμικός συνδυσμός των i κι j Στην πρπάνω κτσκευή οι ριθμοί κι είνι μονδικοί Θ ποδείξουμε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρμμικού συνδυσμού των i κι j είνι μονδική Πράγμτι, έστω ότι ισχύει κι i j Τότε θ έχουμε i j i j ( ) i ( ) j Αν υποθέσουμε ότι, δηλδή ότι 0, τότε θ ισχύει i j Η σχέση υτή, όμως, δηλώνει ότι i //j, που είνι άτοπο, φού τ i κι j δεν είνι συγγρμμικά Επομένως, που συνεπάγετι ότι κι Ώστε: Κάθε διάνυσμ του επιπέδου γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή i j Τ δινύσμτ i κι j λέγοντι συνιστώσες του δινύσμτος κτά τη διεύθυνση των i κι j ντιστοίχως, ενώ οι ριθμοί, λέγοντι συντετγμένες τ ου στο σύστημ O Πιο συγκεκριμέν, ο λέγετι

33 3 τετμημένη του κι ο λέγετι τετγμένη του Από τον τρόπο που ορίστηκν οι συντετγμένες ενός δινύσμτος προκύπτει ότι: Δύο δινύσμτ είνι ίσ ν κι μόνο ν οι ντίστοιχες συντετγμένες τους είνι ίσες Κθέν πό τ ίσ δινύσμτ με τετμημένη κι τετγμένη, θ το συμβολίζουμε με το διτετγμένο ζεύγος (, ) Συντετγμένες Γρμμικού Συνδυσμού Δινυσμάτων Αν γνωρίζουμε τις συντετγμένες δύο δινυσμάτων κι του κρτεσινού επιπέδου, τότε μπο ούμε βρούμε τις συντετγμένες του θροίσμτος β ρ ν, του γινομένου λ, λ R κι γενικά κάθε γρμμικού συνδυσμού των κι β Πράγμτι, ν, κι, ) ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i( ) j i j) ( i ( ) j Επομένως ή ισοδύνμ ( ) (, ) κι (, ) (, ) (, ) (, ), ) (, ) ( Γενικότερ, γι το γρμμικό συνδυσμό έχουμε: (, ) (, ) (, ) Γι πράδειγμ, ν (, ) κι (, ), τότε (, ) (,) (,), (, ) (, ), (, ) (,) (, ) (, ) (0, 3), κι (, ) (,) (, ) (, ) (, 4)

34 33 Συντετγμένες Μέσου Τμήμ τος Ας θεωρήσουμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέοθέσουμε ότι (, ) είνι οι συντετγμένες του μέσου Μ του δου κι ς υπ ΑΒ Επειδή έχουμε, κι M ( OAOB ) O OM (, ), OA, ), OB, ), ( (, ) [(, ) (, )] ( Επομένως ισχύει, Ο B(, ) Μ(,) A(, ) κι Συντετγμένες Δινύσμτος με Γνωστά Άκρ Ας θεωρήσουμε δύο ση μεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουμ ε ότ ι (, ) είνι οι A(, ) B(, ) συντετγμένες του δινύσμτος AB OA Επειδή, AB OB, AB(, ), OB (, ), κι OA (, ), έχουμε: Ο Επομένως:, ) (, ) (, ) (, ) ( Οι συντετγμένες (, ) του δινύσμτος με άκρ τ σημεί A, ) κι, ) δίνοντι πό τις σχέσεις ( κι (

35 34 Δηλδή τετμημένη του AB τετμημένη του Β τετμημένη του Α τετγμένη του AB τετγμένη του Β τετγμένη του Α Γι πράδειγμ, το διάνυσμ AB με ρχή το (, ) κι πέρς το (3,7) έχει σ υντετγμένες 3 κι 7 5, δηλδή είνι ίσο με το (,5) Μέτρο Δινύσμτος Έστω (, ) έν διάνυσμ του κρτεσινού επιπέδου κι Α το σημείο με δινυσμτική κτίν OA Αν κι Α A(,) a είνι οι προβολές του Α στους άξον ες κι ντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη κι τετγμένη, θ ισχύει ( ) κι ( ) Έτσι θ έχουμε: Ο A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: Αν (, ), τότε () Γι πράδειγμ, ν (5,), τότε 5 3 Ας θεωρήσουμε τώρ δύο σημεί (, ) κι (, ) το υ κρτεσινού επιπέδου Επειδή η πόστση ( ) των σημείων Α κι Β είνι ίση με το μέτρο του δινύσμτος AB(, ), σύμφων με τον τύπο () θ ισχύει: ) ( ) ( ) ( () Ο A(, ) B(, )

36 35 Επομένως: Η πόστση των σημείων (, ) κι, ) είνι ίση με ( ) ( ) ( ) ( Γι πράδειγμ, η πόστση των σημείων (, 7) κι ( 5, 3) είνι ίση με ( ) (5 ) ( 3 7) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν (,) κι (,4) είνι οι δύο κορυφές του πρλληλόγρμμου κι (, 3) το κέντρο του, ν βρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών Γ κι Δ ΛΥΣΗ Αν (, ) κι (, ) είνι οι δύο άλλες κορυφές του πρλληλόγρμμου, επειδή το Κ είνι το μέσον των ΑΓ κι ΒΔ, έχουμε: Επομένως, ( ) 3 κι κι 7 0 A(-,) B(,4) K(, -3) Άρ, οι συντετγμένες των κορυφών Γ κι Δ είνι ( 6, 7) κι (, 3 0) ντιστοίχως Δ Γ Αν (, ), (, ), ( 3, 3 ) είνι οι συντε- τγμένες των κορυφών,, ντιστοίχως κι Ν βρεθούν οι συντετγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου, ν είνι γνω στές οι συντετγμένες των κορυφών του ΛΥΣΗ Β(, ) A(, ) G(,) Γ( 3, 3 )

37 36 (, ) είνι οι συντετγμένες του κέντρου βάρους του, επειδή GG G 0 ( Εφρμ 3), θ έχουμε:, ) (, ) ( 3, 3 ) (0,0) ( 3 3, 3 3) (0,0) 3 0 κι 3 0 ( 3 Άρ 3, Συνθήκη Πρλληλίς Δινυσμάτων Έστω (, ) κι (, ) δύο δινύσμτ του κρτεσινού επιπέδου Αν τ δινύσμτ είνι πράλληλ κι υποθέσουμε ότι 0, τότε θ υπάρχει R, τέτοιος, ώστε Επομένως, θ έχουμε (, ) λ (, ) ή ισοδύνμ: κι, ή ισοδύνμ οπότε θ ισχύει 0 0 Αν 0, τότε θ ισχύει Δείξμε δηλδή ότι ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ, τότε 0 Αντιστρόφως, ν 0, τότε τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ Πράγμτι, επειδή 0, έχουμε Επομένως, Αν 0, τότε, οπότε, ν θέσουμε, θ έχουμε κι

38 37 Άρ, κι συνεπώς //

39 37 Αν 0, τότε 0, οπότε ν 0, τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ προς τον άξον των τετγμένων, άρ κι μετξύ τους πράλληλ, ενώ, ν 0, τότε το θ είνι το μηδενικό διάνυσμ κι άρ, πράλληλο προς το Αποδείξμε λοιπόν ότι Την ορίζουσ // β 0 (), που έχει ως η τη γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος κι ως η γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος, τη λέμε ορίζουσ των δινυσμάτων κι β (με τη σειρά που δίνοντι) κι θ τη συμβολίζουμε με det(, β ) Έτσι, η πρπάνω ισοδυνμί διτυπώνετι ως εξής: // β det( a, β) 0 Γι πράδειγμ: (, 3 3 ) είνι πράλληλ, φού Τ δινύσμτ ( 3, ) κι 3 det(, ) 330, ενώ 3 3 Τ δινύσμτ ( 3, ) κι (, ) δεν είνι πράλληλ, φού 3 det(, ) 4370 Συντελεστής Διεύθυνσης Δινύσμτος Έστω (, ) έν μη μηδενικό διάνυσμ κι A το σημείο του επιπέδου γι το οποίο ισχύει OA a Τη γωνί φ, που διγράφει ο ημιάξονς O ν στρφεί γύρω πό το Ο κτά τη θετική φορά μέχρι ν συμπέσει με την ημιευθεί ΟΑ, την ονομάζουμε γωνί που σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον Είνι φνερό ότι A(,) Ο φ 0 φπ

40 38 Γι τη γωνί φ, όπως είνι γνωστό πό την Τριγωνομετρί, ν το δεν είνι πράλληλο προς τον άξον, ισχύει εφ φ Το πηλίκο της τετγμένης προς την τετμημένη του δινύσμτος (, ), με 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του κι τον συμβολίζουμε με ή πλώς με λ Επομένως: Είνι φνερό ότι Αν 0, δηλδή ν λ εφφ //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος είνι ο 0 Αν 0, δηλδή ν //, τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος Ας θεωρήσουμε τώρ δύο δινύσμτ (, ) κι (, ) συντελεστές διεύθυνσης κι ντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυνμίες: // β 0 λ λ Επομένως, η συνθήκη πρλληλίς γι δύο δινύσμτ συντελεστές διεύθυνσης κι λ διτυπώνετι ως εξής: λ // β λ λ κι με με ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν βρεθούν οι τιμές του μ R γι τις οποίες τ σημεί (,0), ( μ,3) κι ( 5μ,9) είνι συνευθεικά ΛΥΣΗ Τ σημεί Α,Β,Γ είνι συνευθεικά, ν κι μόνο ν τ δινύσμτ κι A ( 5μ, 9) είνι πράλληλ, δηλδή, ν κι μόνο ν det( AB, A ) AB( μ 0, 3)

41 39 Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 0 5μ μ 95μ30 3μ 5μ0 μ ή μ 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποι είνι η θέση στο κρτεσινό επίπεδο των σημείων M (, ) γι τ οποί ισχύει: (i) (ii) (iii) (iv) Ν βρείτε τις ποστάσεις των πρκάτω σημείων πό τους άξονες κι : (,), (3,4), ( 5, 6), (, β ), M (, ) 3 Δίνετι το διάνυσμ ( λ 4, λ 3λ), λr Γι ποι τιμή του είνι: (i) 0 ; (ii) 0 κι // ; 4 Δίνοντι τ δινύσμτ ( λ 3λ, λ 3λ) κι β ( λ 5λ6, 3λ 7λ) Ν βρείτε το λr, ώστε ν είνι β 5 Ν βρείτε τον πργμτικό ριθμό, ώστε τ δινύσμτ (,) κι β ( 4, ) είνι ομόρροπ ν 6 Αν u (3,4), ποιο διάνυσμ είνι συγγρμμικό με το u κι έχει διπλάσιο μέτρο πό το u ;

42 40 7 Στο διπλνό σύστημ συντετγμένων είνι i κι j Ν εκφράσετε ως συνάρτηση την i κι j : ) Τ δινύσμτ θέσεως των σημείων,,,, κι β) Τ δινύσμτ,,,, Β j Ζ Ε Δ Θ Η Κ, κι Ο i Γ Α 8 Δίνοντι τ σημεί (,6) κι ( 9, ) Ν βρείτε (i) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ κι κι (ii) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ Β ΟΜΑΔΑΣ κι, είνι τ μέσ των πλευρών,,, κι, ντιστοίχως, του πεντγώνου, ν βρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών του πεντγώνου Αν τ σημεί,, 3,, 4,, 3, Σε έν σύστημ συντετγμένων οι τετμημένες δύο σημείων κι είνι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ 4λ3) 7 0 Ν βρείτε την τιμή του λr, ώστε το μέσον του τμήμτος ν έχει τετμημένη ίση με 4 3 Δίνοντι τ σημεί ( κ, λ ), ( κ, λ ), 3 ( κ3, λ3 ) κι 4( κ4, λ4 ) Ν εξετάσετε πότε τ σημεί υτά είνι τ μέσ των διδοχικών πλευρών τετρπλεύρου 4 Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς, β, β,, ν ποδείξετε ότι:, ) ( β) ( ) ( β ) ( ) ( β ) ( β 5 Δίνοντι δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β ενός επιπέδου Ν ποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσμ r του επιπέδου υτού μπορεί ν εκφρστεί ως γρμμικός συνδυσμός των κι β κτά μονδικό τρόπο

43 4 5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Γνωρίζουμε ότι το έργο που πράγετι πό μι δύνμη F ότν μεττοπίζει το σημείο εφρμογής της πό το Ο στο Α είνι ίσο με το γινόμενο F ( ) συνφ Το γινόμενο υτό συμβολίζετι με FOA κι λέγετι εσωτερικό γινόμενο της δύνμης F με το διάνυσμ OA Γενικότερ, έχουμε τον κόλουθο ορισμό: F φ Ο A ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών δινυσμάτων κι κι το συμβολίζουμε με β τον πργμτικό ριθμό β β συνφ, όπου φ η γωνί των δινυσμάτων κι Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων κι με 3, π 8 κι φ είνι 3 π β 38συν 38 3 Άμεσες συνέπειες του πρπάνω ορισμού είνι οι εξής: β β (Αντιμετθετική ιδιότητ) Αν β τότε β 0 κι ντιστρόφως Αν β τότε β β κι ντιστρόφως Αν β τότε β β κι ντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζετι με Έχουμε: συν0 Επομένως κι λέγετι τετράγωνο του

44 4 Ειδικότερ, γι τ μονδιί δινύσμτ i κι j του κρτεσινού επίπεδου ισχύουν: i j ji 0 κι i j Ανλυτική Έκφρση Εσωτερικού Γινομένου Θ δούμε τώρ πώς μπορούμε ν εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων (, ) κι (, ) συνρτήσει των συντετγμένων τους Με ρχή το Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB β Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητ Β(, ) θ Ο a Α(, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν, η οποί ισχύει κι στην περίπτωση που τ σημεί Ο,Α,Β είνι συνευθεικά Όμως είνι ( ) ( ) ( ), ( ) κι ( ) Επομένως, έχουμε διδοχικά: ( ) ( ) ( )( ) συν ( )( ) συν κι επειδή β ( )( ) συν, έχουμε τελικά: Δηλδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων είνι ίσο με το άθροισμ των γινομένων των ομώνυμων συντετγμένων τους Γι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο των ( 34, ) κι (, ) είνι: ( 3) 4( ) 0 Με τη βοήθει της νλυτικής έκφρσης του εσωτερικού γινομένου θ ποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

45 43 λ β ( λβ ) λ( β), λr ( βγ ) βγ (Επιμεριστική Ιδιότητ) β λ λ όπου λ λ κι λ λ, (, β // ) β Πράγμτι, ν (, ), (, ) κι ( 3, 3 ), τότε έχουμε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) κι ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ, ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3 ) β β 0 0 λ λ Συνημίτονο Γωνίς δύο Δινυσμάτων Αν (, ) κι (, ) είνι δύο μη μηδενικά δινύσμτ του επιπέδου που σχημτίζουν γωνί θ, τότε κι επομένως, β συνθ β Είνι όμως, κι Επομένως, συνθ Γι πράδειγμ, ν θ είνι η γωνί των δινυσμάτων (,) κι (,) 3, τότε: συνθ , οπότε 4

46 44 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ), ( κι ), ( β, ν ποδειχτεί ότι: (i) β β (ii) ) ( β β Πότε ισχύουν οι ισότητες; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Αν είνι η γωνί των δινυσμάτων κι β, τότε έχουμε: συν συν β θ β θ β β Η ισότητ ισχύει μόνο, ν συνθ, δηλδή, μόνο ν β // (ii) Επίσης, έχουμε ) ( ) ( β β β β β Η ισότητ ισχύει, όπως κι προηγουμένως, μόνο ότν β // Έστω δύο δινύσμτ κι β που έχουν μέτρ 3, β κι σχημτίζουν γωνί 6 π φ Ν βρεθεί η γωνί των δινυσμάτων β κι β ΛΥΣΗ Αν είνι η γωνί των θ κι, τότε συν θ Αρκεί, επομένως, ν υπολογίσουμε το κι τ μέτρ των, Έχουμε λοιπόν 3 ) )( ( β β a β β β β β ) ( φ β β συν β β β ) ( φ β β συν Άρ, συν θ, οπότε 0 θ 4

47 45 3 Ν ποδειχτεί ότι συν( β) συνσυνβ ημημβ, όπου 0 β π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν στον τριγωνομετρικό κύκλο τ δινύσμτ OA κι β OB σχημτίζουν με τον άξον ντιστοίχως, τότε θ είνι OB(συνβ, ημβ) γωνίες OA( συν, ημ) κι κι Α Ο -β β Β Επομένως, θ έχουμε: OAOB OA OB συν( β) συν( β) συν( β) κι OA OB( συν,ημ)(συνβ,ημβ) συνσυνβ ημημβ Άρ, συν( β) συνσυνβ ημημβ Προβολή Δινύσμτος σε Διάνυσμ Έστω, v δύο δινύσμτ του επιπέδου με 0 Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OM ν Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA κι έστω M το ίχνος της κθέτου Το διάνυσμ OM λέγετι προβολή του ν στο κι συμβολίζετι με προ β ν Δηλδή, OM προ β ν Αποδεικνύετι ότι η προβολή του ν πάνω στο είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο Γι το εσωτερικό γινόμενο των κι ν έχουμε: v ( OM προ β ν M M ) OM M M OM Ο v θ M M a A Επομένως: ν προβ ν

48 46 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν βρεθεί η προβολή του δινύσμτος v πάνω στο διάνυσμ, ν, v 3 κι η γωνί των δινυσμάτων κι v π είνι ίση με φ 6 ΛΥΣΗ Έστω v προβν Τότε θ ισχύει v λ Επειδή v aπροβ v, έχουμε: v v v λ v λ v συνφ λ Άρ, v λ λ 3 Δίνοντι τ δινύμτ (3,) κι ν (,) Ν νλυθεί το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη στο ΛΥΣΗ Έστω ε η ευθεί η κάθετη στη διεύθυνση του Από το πέρς Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες ε M κι στη διεύθυνση του κι στην ε M v ντιστοίχως κι έστω ν κι ν v Έχουμε v ν ν M ν () Ο Το διάνυσμ ν είνι η προβολή του ν στο κι επειδή ν //, υπάρχει λr, τέτοιο ώστε προβ ν λ ( 3λ, λ) Όμως ν ν προ κι επομένως έχουμε διδοχικά: β a (3, ) (,) (3,) ( 3λ, λ) 3 33λ λ 5 0λ λ

49 47 Συνεπώς, 3 ν (3, ), κι v v ΑΣΚΗΣΕΙΣ v 3 3 (,),, Α ΟΜΑΔΑΣ Αν (,3) κι β (,5), τότε (i) Ν βρείτε τ εσωτερικά γινόμεν β, ( ) ( 3β ) κι ( β) (3 β) (ii) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λr, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των δινυσμάτων u ( κ, λ) κι β ν είνι ίσο με μηδέν Ποι η σχέση όλων των δινυσμάτων u στην περίπτωση υτή; Αν u (,), v (4,) κι w (6,0), ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: u ( 7v w), u ( v w), ( u v) w κι ( u v ) w 3 Αν (,0 ) κι β (, ), ν βρείτε τον λ R, ώστε: (i) Τ δινύσμτ κι λβ ν είνι κάθετ (ii) Τ δινύσμτ β κι λβ ν είνι κάθετ 4 Ν βρείτε τ δινύσμτ που είνι κάθετ στο u ( 3, ) κι έχουν μέτρο ίσο με 5 Αν π, β 3 κι (, β ), ν υπολογίσετε τον κ R, ώστε τ δινύσμτ 3 u 3 β κι v κ β ν είνι κάθετ 6 Αν (κ,) κι β ( 4,3), ν βρείτε τον κr ώστε ν ισχύει: (i) β π 0 (ii) (, β) (iii) β // 4 π 7 Αν β κι (, β), ν υπολογίσετε τη γωνί των δινυσμάτων 3 u 4β κι v a β 8 Αν τ δινύσμτ a κι β είνι μη μηδενικά, ν ποδ είξετε ότι: ( β) συν β β 9 Ν ποδείξετε ότι τ δινύσμτ u β β κι v β β είνι κάθετ

50 48 0 Ν ποδείξετε ότι γι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι β, το διάνυσμ v β ( β) β είνι κάθετο στο β Δίνοντι τ σημεί ( 3, ), (6, 4), (,5 ) κι (,) Ν υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπερίνετε γι τ δινύσμτ κι ; Δίνοντι τ δινύσμτ (, 4) κι β (8,5) Ν νλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη προς το 3 Ν υπολογίσετε τ μήκη των διγωνίων ενός πρλληλογράμμου που κτσκευάζετι με τ δινύσμτ β 5 κι 3 β, ν, β 3 κι 0 (, β ) 45 Β 4 Γι τ δινύσμτ του διπλνού Γ σχήμτος ν υπολογίσετε την πράστση 5 Ν εξετάσετε πότε ισχύει: (i) β β (ii) β β Α Δ Β ΟΜΑΔΑΣ Τ δινύσμτ κι β είνι μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά Ν ποδείξετε ότι γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς λ κι μ ισχύει: λ λμ( β) μ β 0 Πότε ισχύει το ""; Ν ποδείξετε ότι: (i) u v u v u v (iii) u v u v u v Δίνοντι τ μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β Ν ποδείξετε ότι:

51 49 (i) Ο φορές του δινύσμτος κι β (ii) Ο φορές του δινύσμτος των δινυσμάτων κι β u β a β διχοτομεί τη γωνί των δινυσμάτων v β β διχοτομεί την πρπληρωμτική γωνί 4 Αν, β, γ 3 κι β γ 0, ν υπολογίσετε το άθροισμ β β γ γ 5 Αν τ δινύσμτ ( κ, λ) κι β ( μ, ν ) μονάδ, ν δείξετε ότι ( κν λμ) είνι κάθετ κι έχουν μέτρ ίσ με τη γ βδ 6 Ν ποδείξετε ότι β γ δ 7 Σε ημικύκλιο με διάμετρο κι κέντρου πίρνουμε σημείο (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ συνάρτηση των κι β κι MB ως (ii) Ν βρείτε το γινόμενο Τι Α a Ο a Β συμπερίνετε γι τη γωνί των δινυσμάτων κι ; Ποι πρότση της Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; Μ 8 Σε τρίγωνο τ δύο ύψη του κι Α τέμνοντι στο Έστω, a β κι γ Ζ Η (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ, A κι ως συνάρτηση των B, β κι γ Β (ii) Ν ποδείξετε ότι γ γ β κι γ β β (iii) Από το προηγούμενο ερώτημ προκύπτει ότι γ β Ε Γ Με τη βοήθει της ισότητς υτής ν δείξετε ότι Ευκλείδεις Γεωμετρίς έχει ποδειχτεί; AH B Ποι πρότση της

52 50 9 Δίνετι τρίγωνο κι εξωτερικώς υτού κτσκευάζουμε τ τετράγων κι Ν εκφράσετε τ δινύσμτ κι ως συνάρτηση των,,, κι ν υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο Τι συμπερίνετε γι τ τμήμτ κι ; Ε Ζ B A Θ Γ Η 0 Δίνετι πρλληλόγρμμο κι κύκλος κέντρου που διέρχετι πό την κορυφή κι τέμνει τις ευθείες, κι στ, κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι B B O Γ Γ A Δ Δ Δίνετι κύκλος ( O, R) κι σημείο του επιπέδου του Αν μετβλητή ευθεί που διέρχετι πό το τέμνει τον κύκλο στ κι, ν ποδείξετε ότι το γινόμενο είνι στθερό (Το γινόμενο υτό λέγετι δύνμη του σημείου ως προς τον κύκλο ) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν υπάρχουν πργμτικοί ριθμοί,, με 0, τέτοιοι, ώστε ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ μ 0 κι κ λ μ 0,, κι είνι συνευθεικά κι ντιστρόφως Αν γι το σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις λ μ κι λ μ, ν ποδείξετε ότι το είνι το μέσον της πλευράς 3 Έστω κι δύο στθερά σημεί του επιπέδου με 3 Ποι γρμμή γράφουν τ σημεί του επιπέδου γι τ οποί είνι ( )7 ;

53 5 4 Δίνοντι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι Αν υπάρχει R, τέτοιος, ώστε, ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του πρλληλόγρμμου με κι β είνι μικρότερο ή ίσο του 5 Έστω το περίκεντρο τριγώνου (δηλδή το σημείο γι το οποίο ισχύει έστω, ), κι, κι τ δινύσμτ θέσεως των κορυφών, κι ντιστοίχως με σημείο νφορ άς το (i) Ν δ είξετε ότι το σημείο με διάνυσμ θέσεως β γ είνι το ορθόκεντρο του τριγώνου (ii) Ν βρείτε το διάνυσμ θέσεως του βρύκεντρου του τριγώνου με σημείο νφοράς το (iii) Ν ποδείξετε ότι το περίκεντρο, το βρύκεντρο G κι το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είνι συνευθεικά σημεί κι ότι G διιρεί το τμήμ σε λόγο 6 Τ δινύσμτ,, κι του επιπέδου ικνοποιούν τη σχέση ( ) (i) Ν ποδείξετε ότι ( )( ) (ii) Αν, άσετε το ως συνάρτηση των ν εκφρ διάνυσμ, κ ι 7 Τετρπλεύρου οι πλευρές κι τέμνοντι στο Ε κι οι πλευρές ΒΓ κι ΑΔ τέμνοντι στο Ζ Αν, κ B κι β, λ, τότε Κ (i) Ν εκφρά ως συνάρτ τω σετε ηση ν A,, κι τις δινυσμτικ ές κτίνες Λ ως προ ς το των σημείων, κι Ε Γ Δ, που είνι μέσ των, κι ντιστοίχως (ii) Ν δείξετε ό τι τ σημεί, κι M είνι συνευθεικά Ζ 8 Δίνετι τρίγωνο κι τ σημεί, κι των πλευρών του, μ κι ντιστοίχως, ώστε ν ισχύει Ν ποδείξετε ότι τ ν τρίγων κι έχουν το ίδιο βρύκεντρο

54 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Δίνετι ότι το τετράπλευρο είνι ρόμβος Κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες είνι σωστή ή λάθος Αν είνι σωστή, κυκλώστε το γράμμ Σ, ν είνι λάθος κυκλώστε το Λ (i) Σ Λ (ii) Σ Λ ( iii) Σ Λ (iv) Σ Λ (v) Σ Λ (vi) Σ Λ Αν κι είνι τέσσερ σημεί, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (vi) A (ii) B (vii) (iii) (viii) (iv) (i) (v) AB 3 Αν O είνι το σημείο τομής των διγ ωνίων του πρλληλόγρμμου, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (iv) (ii) (v) (iii) 4 Γι τ δινύσμτ του διπλνού σχήμτος ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση Μ i) AM MB AN NB ii) AM MB AN NB Α Β iii) AM MB AN NB Ν

55 53 5 Σε έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο δίνετι το σημείο ( 3, ) Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (ii) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (iii) Συμμετρικό του ως προς την ρχή O: 3(,) (iv) Συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της O : (,) 6 Δίνοντι τ σημεί ( 3,), (6,5), ( 4, ), (3, 3) κι ( 3,5) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε διάνυσμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του στη δεύτερη στήλη Διάνυσμ Συντετγμένες δινύσμτος ( 0, 4) ( 3,4) ( 7,3) ( 6,4) ( 9,0) 7 Δίνοντι τ σημεί ( 3,), ( 4,5), ( 3, ), (3, 4) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε τμήμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη Τμήμ Συντετγμένες μέσου ( 0,0) 7, 7 3, ( 0, 3) 4 8 Ν βάλετε σε κύκλο τον ριθμό που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση (i) Δίνετι το διάνυσμ ( 3, ) κι τ σημεί ( 4, ), (,7), (0,3) κι (,5) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι ίσο με το : 3 4 5

56 54 (ii) Δίνετι το διάνυσμ ( 3, ) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι πράλληλο με το : β (8, 4) γ ( 4, ) 3 δ (6,3) 9 Δίνοντι τετράγωνο με κέντρο κι πλευρά Ν βρείτε ως συνάρτηση του τ εσωτερικά γινόμεν: (i) (ii) (iv) (iii) O (v) Α (vi) 0 Τ δινύσμτ u κι v έχουν μέτρ κι 3 ντιστοίχως Ν βρείτε το γινόμενο u v, ν η γωνί των δινυσμάτων υτώ ν είνι: i) ii) 30 iii) 60 iv) 90 v) 0 0 vi) 0 50 vii) 0 80 Ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: Αν u κι 0 v uw u, τότε Α v w Β v // w Γ u v w Δ u v w Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε ζεύγος δινυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γω νίς τους που νφέροντι στη δεύτερη στήλη Δινύσμτ u ( 7,5), v (,) u ( 3,4), v (, ) 3 u ( 3,5), v (6,0) 4 u ( 0, ), v ( 5,4) 5 u (,3), v (3, ) 6 u ( κ, λ), v ( λ, κ) Δ Γωνί ορθή οξεί μβλεί 3 Γι τ δινύσμτ του πρκάτω σχήμτος ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: (i) ABAΔ ABAΓ Γ ABAΔ ABA (ii) Γ Δ (iii) AB AΔ AB AΓ Α Β Γ B

57 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισγωγή Η ιδέ της χρησιμοποίησης ενός συστήμτος συντετγμένων γι τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μι επιφάνει προέρχετι πό την Γεωγρφί κι ήτν γνωστή στους ρχίους γεωγράφους Στην εφρμογή υτής της ιδές στη Γεωμετρί στηρίζετι η έννοι της εξίσωσης μις κμπύλης, δηλδή της λγεβρικής ισότητς που ικνοποιείτι πό τις συντετγμένες των σημείων της κμπύλης (κι μόνο υτών) Η έννοι υτή θεωρείτι σήμερ τόσο πλή, ώστε η διδσκλί της ν ρχίζει πό το Γυμνάσιο Στην πργμτικότητ όμως η εξέλιξή της χρειάστηκε πολύ χρόνο κι υπήρξε το ποτέλεσμ μις σύνθεσης νάμεσ στη Γεωμετρί κι στην Άλγεβρ, με επνσττικές συνέπειες γι τ Μθημτικά κι τις Θετικές Επιστήμες Η νάγκη κι τ πρώτ ίχνη ενός συστήμτος νφοράς εμφνίζοντι στην ρχί ελληνική Γεωμετρί κτά τη μελέτη των κωνικών τομών (δηλδή της πρβολής, της υπερβολής κι της έλλειψης, τις οποίες θ μελετήσουμε πρκάτω) Ο Απολλώνιος στο ο βιβλίο των Κωνικών, φού ορίζει υτές τις κμπύλες στερεομετρικά ως τομές του κώνου πό έν επίπεδο, χρησιμοποιεί δύο συγκεκριμένες ευθείες του σχήμτος, γι ν ποδείξει χρκτηριστικές ιδιότητες κάθε κμπύλης Γι πράδειγμ, στην πρβολή του διπλνού σχήμτος ποδεικνύει ότι ν φέρουμε την κάθετη ΚΛ ( τετγμένως κτγόμενη ) πό σημείο της κμπύλης προς τη διάμετρο ΖΗ, τότε το τετράγωνο με πλευρά ΚΛ είνι ισοδύνμο με το ορθογώνιο που έχει πλευρές ΖΛ, ΖΘ, όπου ΖΘ έν τμήμ κάθετο στην ΖΗ στην κορυφή κμπύλης (το μήκος του οποίου προσδιορίζετι πό το είδος του κώνου κι πό τη θέση του τέμνοντος επιπέδου) Θ Ζ Κ Λ Τετγμένως κτγόμενη Η

58 56 Η σχέση ισοδυνμεί βέβι με τη σύγχρονη εξίσωση p της πρβολής, όπου, οι συντετγμένες των σημείων της ως προς έν ορθογώνιο σύστημ συντετγμένων με άξονες τον άξον συμμετρίς της πρβολής κι την κάθετη σ υτόν στην κορυφή της Η βσική διφορά νάμεσ στην ρχί κι στη σύγχρονη μέθοδο βρίσκετι στο γεγονός ότι η τελευτί χρησιμοποιεί τη συμβολική νπράστση των γεωμετρικών σχέσεων κι ξιοποιεί την ευελιξί του λγεβρικού λογισμού (που εκφράζετι με τη χρήση ρνητικών συντετγμένων κτλ) Αυτό το ποφσιστικό βήμ έγινε γύρω στο 630 πό τους R Descartes κι P Fermat, οι οποίοι επιχείρησν ν χρησιμοποιήσουν στη μελέτη δύσκολων προβλημάτων της ρχίς ελληνικής Γεωμετρίς τη συμβολική Άλγεβρ που είχε δημιουργηθεί στη διάρκει του 6ου ιών πό τους Cardano, Viete κά Στ έργ των Descartes κι Fermat δεν υπάρχουν οι άξονες συντετγμένων ή οι εξισώσεις των κμπύλων που χρησιμοποιούμε σήμερ, λλά περιγράφετι με συστημτικό τρόπο η διδικσί νγωγής ενός γεωμετρικού προβλήμτος σε λγεβρικό (ή ντίστροφ) Ιδιίτερη επίδρση είχε το έργο του Descarte La Géométrie (637), στο οποίο κριβώς γι ν γίνει πιο ποτελεσμτική η χρήση του λγεβρικού λογισμού στη Γεωμετρί εισάγοντι νέοι συμβολισμοί (όπως, γι πράδειγμ, η εκθετική γρφή των δυνάμεων), που φέρνουν ουσιστικά την Άλγεβρ στη σημερινή μορφή της Τετγμένη Τετμημένη Ύστερ πό την πρώτη σύνθεση της Άλγεβρς κι της Γεωμετρίς, οι εξελίξεις υπήρξν ργδίες κι οδήγησν στην κεντρική έννοι της σύγχρονης Ανλυτικής Γεωμετρίς: Η εξίσωση μις κμπύλης, πό βοηθητικό μέσο γι τη λύση ενός γεωμετρικού προβλήμτος, γίνετι μέσο ορισμού κι νπράστσης υτής της κμπύλης Ο J Wallis, στο βιβλίο του Tractatus de sectionibus conicis (655), ορίζει την έλλειψη, την πρβολή κι την υπερβολή τόσο με τον κλσικό τρόπο, ως τομές κώνου, όσο κι με εξισώσεις ου βθμού, ενώ ο I Newton το 676 χρησιμοποιεί με συστημτικό τρόπο δύο άξονες κι ρνητικές συντετγμένες, γι ν μελετήσει κι ν τξινομήσει τις κμπύλες τρίτου βθμού Στην εργσί επίσης του Newton Artis analticae specimina vel geometria analtica (που δημοσιεύτηκε το 779) χρησιμοποιείτι γι πρώτη φορά ο όρος Ανλυτική Γεωμετρί Οι εξελίξεις υτές, που έλβν χώρ πράλληλ με τη δημιουργί του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισμού, διμόρφωσν έν νέο κλάδο των Μθημτικών Ο ος τόμος του κλσικού έργου του L Euler Introductio in analsin infinitorum (748) ποτελεί έν πλήρες διδκτικό εγχειρίδιο Ανλυτικής Γεωμετρίς, στο οποίο οι κμπύλες του επιπέδου κι οι επιφάνειες

59 57 του χώρου ορίζοντι κι εξετάζοντι ποκλειστικά μέσω των εξισώσεών τους ως προς έν πλγιογώνιο σύστημ συντετγμένων ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γρμμής Αν έχουμε μι εξίσωση με δύο γνώστους, γι πράδειγμ την =, τότε λύση της εξίσωσης υτής λέγετι κάθε ζεύγος ριθμών (, ) που την επληθεύει Έτσι, γι πράδειγμ, τ ζεύγη (, ) (, 4), ( 3, 9), ( 0, 0),,, ( 3,3) είνι λύσεις της = Αν 4 τώρ σε έν σύστημ συντετγμένων πρστήσουμε με σημεί όλες τις λύσεις της εξίσωσης =, τότε θ προκύψει η γρμμή C, του διπλνού σχήμτος που, όπως O γνωρίζουμε πό προηγούμενες τάξεις λέγετι πρβολή Επειδή οι συντετγμένες (, ) των σημείων M(, ) της πρβολής C, κι μόνο υτές, επληθεύουν την εξίσωση = λέγετι εξίσωση της πρβολής C Γενικά:, γι υτό η εξίσωση = Μι εξίσωση με δύο γνώστους, λέγετι εξίσωση μις γρμμής C, ότν οι συντετγμένες των σημείων της C, κι μόνο υτές, την επληθεύουν Στη συνέχει, ντί ν λέμε, γι πράδειγμ, δίνετι η πρβολή C με εξίσωση =, θ λέμε δίνετι η πρβολή C : = ή πλώς δίνετι η πρβολή = Με τις εξισώσεις των γρμμών μπορούμε με λγεβρικές μεθόδους ν μελετήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες των γρμμών υτών ή ν ντιμετωπίσουμε διάφορ άλλ συνφή προβλήμτ Αυτό είνι κι το βσικό ντικείμενο της Ανλυτικής Γεωμετρίς Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείς

60 58 Η ευθεί γρμμή είνι η πλούστερη κι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη γρμμή Στην νζήτηση της εξίσωσης μις ευθείς θ μς διευκολύνει η έννοι του συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι ε μι ευθεί που τέμνει τον άξον στο σημείο Α ε ε Ο ω Α ω Ο Α Τη γωνί ω που διγράφει ο άξονς ότν στρφεί γύρω πό το Α κτά τη θετική φορά μέχρι ν συμπέσει με την ευθεί ε τη λέμε γωνί που σχημτίζει η ε με τον άξον Αν η ευθεί ε είνι πράλληλη προς τον άξον, τότε λέμε ότι σχημτίζει με υτόν γωνί ω 0 Σε κάθε περίπτωση γι τη 0 0 γωνί ω ισχύει 0 ω 80 ή σε κτίνι 0 ωπ Ως συντελεστή διεύθυνσης μις ευθείς ε ορίζουμε την εφπτομένη της γωνίς ω που σχημτίζει η ε με τον άξον Προφνώς ο συντελεστής διεύθυνσης μις ευθείς είνι θετικός, ν η γωνί ω που σχημτίζει με τον άξον είνι οξεί κι ρνητικός, ν είνι μβλεί Αν η ευθεί σχημτίζει με τον μηδενική γωνί, δηλδή είνι πράλληλη στον άξον, ο συντελεστής διεύθυνσης είνι ίσος με μηδέν 0 Στην περίπτωση που η γωνί της ευθείς ε με τον άξον είνι 90, δηλδή η ευθεί ε είνι κάθετη στον άξον, δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης γι την ευθεί υτή Ότν είνι γνωστά έν σημείο μις ευθείς κι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς, τότε μπορούμε ν σχεδιάσουμε την ευθεί Γι πράδειγμ, γι ν σχεδιάσουμε την ευθεί που διέρχετι πό το σημείο Α(-,) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ -, ρκεί πό το Α 3 ν κινηθούμε 3 μονάδες προς τ ριστερά κι Β(-5,3) A(-,) Ο

61 59 στη συνέχει μονάδες προς τ πάνω Προσδιορίζουμε έτσι το σημείο B(-5,3), οπότε η ζητούμενη ευθεί είνι η AB Έστω τώρ έν διάνυσμ δ πράλληλο σε μι ευθεί ε Αν φ κι ω είνι οι γωνίες που σχημτίζουν το κι η ε με τον ντιστοίχως, τότε θ ισχύει φ ω ή φ π ω κι επομένως εφφ εφω Άρ: Ότν μι ευθεί κι έν διάνυσμ είνι πράλληλ, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Ο φ ω ε φ ω Ο ω ω ε φ=ω φ=π+ω Αν είνι γνωστές οι συντετγμένες δύο σημείων μις μη κτκόρυφης ευθείς ε, δηλδή μις ευθείς που δεν είνι κάθετη στον άξον, τότε μπορούμε ν βρούμε κι το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείς υτής Πράγμτι, ν A(, ) κι B(, ) είνι δύο σημεί της ευθείς ε, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ε είνι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του δινύσμτος AB ( -, - ) -, δηλδή ίσος με Επομένως: - Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μις ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί A, ) κι, ), με είνι ( B( λ Γι πράδειγμ, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχετι πό τ 4 ( ) σημεί A(, ) κι B(, 4) είνι λ 3 Συνθήκες Κθετότητς κι Πρλληλίς Ευθειών

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Από τη κορυφή Β τριγώνου Γ φέρουµε ευθεί κάθετη στη διχοτόµο της Aεξ, η οποί τέµνει τη διχοτόµο υτή στο κι την προέκτση της ΓΑ στο Ε. Αν Μ µέσον της ΒΓ ν δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο )

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -10 ο. 2_19005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) 0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 =

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυρική 8--00 Η

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα