Προτεινόµενα Προβλήµατα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Ρόδος, εκέµβριος 007 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ-Πρακτικές Ασκήσεις Γ φάσης ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εφαρµογές της Επίλυσης Προβληµάτων και της ιδασκαλίας Προβληµάτων µέσα στην Τάξη Προτεινόµενα Προβλήµατα Τεκµήριο # ίνονται στη συνέχεια ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ (Οµάδες Α, Β και Γ) Από τη σειρά ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ καλό είναι µπορούν να λυθούν όλα µε κάποια άνεση. (Ιδιαίτερα αυτή η άνεση αφορά στα προβλήµατα της οµάδας Γ όπως και τα αντίστοιχα προβλήµατα που βρίσκονται στα βιβλία των Μαθηµατικών της Ε και ΣΤ ηµοτικού Σχολείου ). Σαν µέθοδο δουλειάς για να οργανώσετε καλύτερα το διάβασµα σας σε σχέση τη διδασκαλία της Επίλυσης Μαθηµατικών Προβληµάτων και σε αντιστοιχία µε τη γραπτή αξιολόγηση στο µάθηµα, προτείνουµε τα εξής: Τα προβλήµατα της οµάδας Γ προτείνουµε να οµαδοποιηθούν καταταγούν σε σειρές προβληµάτων που αντιµετωπίζονται µε την ίδια µεθοδολογία ως προς την επίλυση τους και µε την ίδια διδακτική πρακτική ως προς την διδασκαλία τους µέσα σε µια τάξη µαθητών του ηµοτικού. Για παράδειγµα ενδεικτικές κατηγορίες είναι τα προβλήµατα έργου, τόκων κλπ Πόσες και ποιες σειρές προβληµάτων µπορείτε να διακρίνετε στη οµάδα Γ; Στη συνεχεία να επιλέξετε µια σειρά της αρεσκείας σας και να λύσετε τα προβλήµατα όπου είναι δυνατόν µε δύο διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης (ο ένας οπωσδήποτε µε τα εργαλεία που χρησιµοποιούµε για τους µαθητές στο ηµοτικό σχολείο). Σε δύο () απο τα προβλήµατα να επιλέξετε τον πλέον κατάλληλο απο τους τρόπους που τα επιλύσατε, αναπτύσσοντας διαγράµµατα-σχεδιασµούς καλής διδασκαλίας τους. Επιλέξετε ενα (1) απο αυτά και προετοιµαστείτε ώστε να το διδάξετε µέσα στην τάξη. Κατασκευή Προβλήµατος: Θεωρείτε ότι είστε σε θέση να κατασκευάζετε αντίστοιχα προβλήµατα; οκιµάστε κατασκευάζοντας προβλήµατα της ίδιας κατηγορίας µε διαφορετική δυσκολία. Ελέγξτε σε τι έγκειται η διαφοροποίηση της δυσκολίας κάθε φορά.. ώστε ιδιαίτερη προσοχή στην προετοιµασία και την οργάνωσή σας για µια τέτοια διδασκαλία.

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Οµάδα Α 1. Ενας µανάβης έχει µήλα λιγοτερα απο 00. Αν τα µετρήσει κατά ζεύγη, τριάδες, τετράδες, πεντάδες και εξάδες βρίσκει υπολοιπο 1,,, 4 και αντίστοιχα. Αν οµως τα µετρήσει κατά επτάδες, το υπολοτπο είναι µηδέν. Ποσα µήλα έχει ο µανάβης;. Τρία γεγονοτα συµβαίνουν µαζί κάποια Κυριακή. Το πρώτο επαναλαµβάνεται κάθε 1 ηµέρες, το δεύτερο επαναλαµβάνεται κάθε 0 ηµέρες και το τρίτο κάθε ηµέρες. Μετά ποσες τουλάχιστον ηµέρες θα συµβούν και τα τρία γεγονοτα µαζί και θα είναι και ηµέρα Κυριακή;. Ενας παράξενος άσκαλος, θέλοντας να κάµει δώρα σε φίλους του, τους αρίθµησε κατά σειρά µε τους αριθµούς 1,,, 4 και και. έδωσε στον καθένα απδ µια µάρκα. Η µάρκα του πρώτου είχε τον αριθµό, του δεύτερου τον, του τρίτου τον 1, του τέταρτου τον 6 και του πέµπτου τον.1. συνέχεια τους παρουσίασε τα πέντε δώρα του, που είναι αριθµηµένα µε αριθµούς τους 1,,, 4, και τους παρακάλεσε να διαλέξει ο καθένας απο ένα δώρο και να πολλαπλασιάσει τον αριθµο του δώρου µε τον αριθµο της µάρκας Προσθεσε τα γινοµενα που προέκυψαν και βρήκε Μπορείτε να βρείτε τ δώρο διάλεξε ο καθένας; 4. Μια βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε α ώρες. Μια δεύτερη αδειάζει τη δεξαµενή σε β ώρες. Αν η δεξαµενή είναι άδεια και ανοίξουν και οι δύο βρύσες συγχρόνως, σε πόσες ώρες θα γεµίσει η δεξαµενή;. Ενας σκύλος κυνηγά µια αλεπού, η οποία προηγείται απο το σκύλο κατά 84 πηδήµατά της. Οταν ο σκύλος κάνει 6 πηδήµατα, η αλεπού κάνει 10, αλλά 4 πηδήµατα του σκύλου ισοδυναµούν µε 9 της αλεπούς. Μετά από πόσα πηδήµατά του ο σκύλος θα φτάσει την αλεπού; 6. Τα µολύβια και τα 6 τετράδια κάνουν 60 δραχµές. Τα 7 µολύβια και τα 10 τετράδια κάνουν δραχµές. Πόσο κάνει το ένα µολύβι και το Ι τετράδιο; 7. Το ύψος µιας σκάλας είναι µεταξύ των και 4 µέτρων. Ανεβαίνουµε το µισό των σκαλοπατιών, µετά το 1 / των υπολοιπων και τέλος το 1 /8 του νέου υπολοιπου. Κάθε σκαλοπάτι έχει ύψος 16 εκ. Ποιο είναι το ολικο ύψος της σκάλας; 8. Μέσα σε ένα τρένο υπάρχουν ένας θερµαστής, ένας µηχανοδηγος και ένας φύλακας, που ονοµάζονται Smith, John και Robinson, χωρίς οµως να γνωρίζουµε σε ποιους ανήκουν τα ονοµατα αυτά. Υπάρχουν επίσης και τρεις οµώνυµοι ταξιδιώτες: ο κ. Smith, ο κ. John και ο κ. Robinson. Ο κ. Robinson κατοικεί στο Leeds, ενώ ο φύλακας κατοικεί στο µέσο της οδού Leeds και Shefield. Ο κ. John κερδίζει κάθε χρονο 100 λίρες, 0 σελίνια και 1 πέννα, ενώ ένας ταξιδιώτης, που είναι ο πλησιέστερος γείτονας του φύλακα, κερδίζει τριπλάσια απο το φύλακα. Ο οµώνυµος του φύλακα κατοικεί στο Sheffield και o Smith κερδίζει το θερµαστή στο µπιλλιάρδο. Πώς ονοµάζεται ο µηχανοδηγός; (Απο το περιοδικο Σφιγξ) 9. Τρεις αδελφοί, ο Γιάννης, ο Παύλος και ο Σπύρος µαζί µε τις γυναίκες τους, τη Μαρία, την Ισµήνη και την Κατερίνα πηγαίνουν στην αγορά. Καθένα από τα έξι αυτά πρόσωπα αγοράζει έναν αριθµο αντικειµένων και για κάθε αντικείµενο πληρώνει τόσες δραχµές, οσος είναι ο αριθµος των αντικειµένων που αγορασε. Κάθε σύζυγος ξοδεύει 6 δραχµές περισσότερο απο τη γυναίκα του. Αν ο Παύλος αγορασε αντικείµενα περισσότερα απο τη Μαρία και ο Γιάννης 11 αντικείµενα περισσότερα απο την Ισµήνη, να καθοριστούν τα ζευγάρια. (Clande - Gaspard Bachet)

3 10. Καθε αδελφος του Γιώργου έχει τοσους αδελφούς οσες και αδελφές, ενώ κάθε αδελφή του Γιώργου έχει διπλάσιους αδελφούς από αδελφές. Ποσοι είναι οι αδελφοί και οι αδελφές στην οικογένεια του Γιώργου; 11. Σε ένα ζωολογικό κήπο υπάρχουν αντιλόπες, φίδια και ρινόκεροι. O αριθµός των κεράτων ισούται µε το µισό της διαφοράς του αριθµού των ποδιών και του αριθµού των κεφαλιών και επίσης µε το γινοµενο του τετραγώνου του αριθµού των φιδιών επί τον αριθµό των αντιλοπών, συν τον αριθµό των 41 αντιλοπών, πλην το γινόµενο τον αριθµού των ρινόκερων επί τον αριθµο των αντιλοπών, πλην το µισό του γινοµένου του αριθµού των φιδιών επί τον αριθµό των ρινοκερων. Ο αριθµος των κεράτων πολλαπλασιαζόµενος επί τον αριθµό των φιδιών ισούται µε το διπλάσιο του γινοµένου του αριθµού των αντιλοπών επί τον αριθµό των φιδιών, συν το διπλάσιο του γινοµένου του αριθµού των αντιλοπών επί τον αριθµό των ρινόκερων. Ποσά ζώα υπάρχουν από κάθε είδος; 1. Ενας πατέρας έστειλε τους τρεις γιους του στην αγορά να πουλήσουν καρπούζια. Ο πρώτος γιος πήρε 10 καρπούζια, ο δεύτερος 0 και ο τρίτος 0 καρπούζια. Ο πατέρας έδωσε εντολή να πουλήσουν ολοι στην ίδια τιµή και να εισπράξουν και τον ίδιο αριθµό χρηµάτων. Πώς είναι αυτό δυνατόν; Οµάδα Β 1. Σε κάποιο κατάστηµα ένας πελάτης λέει στον ιδιοκτήτη: «Αν µου διπλασιάσεις τα χρήµατα που έχω θα αγοράσω δραχµές εµπόρευµα». O ιδιοκτήτης συµφώνησε. Το ίδιο έγινε και δεύτερη και τρίτη φορά. Μετά την τρίτη αγορά ο πελάτης δεν είχε καθόλου χρήµατα. Ποσά χρήµατα είχε στην αρχή;. Πεθαίνοντας κάποιος όρισε στη διαθήκη του τα εξής: Αν η έγκυος γυναίκα του γεννούσε γιο, τότε αυτή θα κληρονοµούσε το 1/ της περιουσίας και ο γιος τα /. Αν γεννούσε κόρη, τότε η γυναίκα θα κληρονοµούσε τα / της περιουσίας και η κόρη το 1/. Η γυναίκα γέννησε δίδυµα µετά το θάνατο του συζύγου, ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Πως θα διανεµηθεί η περιουσία του πατέρα;. Ενας µαθητής είχε να λύσει 6 προβλήµατα. Ο πατέρας του του υποσχέθηκε οτι θα του έδινε 800 δραχµές για κάθε πρόβληµα που θα έλυνε σωστά, αλλά θα του αφαιρούσε 00 δραχµές για κάθε πρόβληµα που θα έλυνε λάθος. Στο τέλος της εργασίας ο πατέρας µέτρησε τα σωστά και τα λανθασµένα προβλήµατα και παρατήρησε οτι ο γιος του δεν έπρεπε ούτε να πάρει, ούτε να δώσει χρήµατα. Ποσα προβλήµατα έλυσε σωστά και ποσα λάθος; 4. Ενας κτηνοτρόφος πουλά κότες, χήνες και πάπιες. Κάθε κότα στοιχίζει 100 δραχµές, κάθε χήνα 00 δραχµές και κάθε πάπια 0 δραχµές. Ενας πελάτης θέλει να αγοράσει 40 απο τα πτηνά αυτά και να ξοδέψει δραχµές. Ποσά πτηνά βα αγοράσει απο κάβε είδος;. Υπάρχουν εννιά ίδιες µπάλλες, που όλες ζυγίζουν το ίδιο εκτος απο µια, η οποία ειναι βαρύτερη απο κάθε µια απο τις υπόλοιπες. Πώς µπορούµε µόνο µε δύο ζυγίσµατα να βρούµε ποια είναι η βαρύτερη µπάλα; (Χρησιµοποιούµε ζυγαριά µε τους δύο δίσκους). 6. Ρώτησαν τον Einstein ποσους φοιτητές έχει και απάντησε. Οι µισοί σπουδάζουν Μαθηµατικά, το 1/ σπουδάζει Γεωµετρία, το 1/7 σπουδάζει Χηµεία και υπάρχουν και 0 φοιτητές που δεν σπουδάζουν τίποτα. Ποσους φοιτητές είχε ο Einstein; 7. Ενα πλοίο µεταφέρει 0 άλογα και 1 πρόβατα. Να βρεθεί ποσών χρονών είναι ο καπετάνιος του πλοίου. 8. Μια αρκούδα βρίσκεται σε κάποιο σηµείο της επιφάνειας της Γης. Βαδίζει ένα χιλιdµετρο νοτια, στη συνέχεια βαδίζει ένα χιλιοµετρο ανατολικά και αµέσως µετά ένα χιλιόµετρο βορεια και φτάνει στο σηµείο απο το οποίο ξεκίνησε. Να βρεθεί το χρώµα της αρκούδας. 9. Σε ένα γεύµα παραβρέθηκαν έξι άτοµα, που έχουν τα εξής ειδικά χαρακτηριστικά: (α.) Ανά δύο ή αγαπιούνται µεταξύ τους ή µισούνται. (β) εν υπάρχει σύνολο τριών ατόµων που να αγαπιούνται µεταξύ τους

4 ανά δύο. Να δείξετε οτι υπάρχει ένα τουλάχιστον σύνολο τριών ατοµων, τα οποία µισούνται µεταξύ τους ανά δύο. 10. Σε ένα χορο παίρνουν µέρος 0 άτοµα, αγόρια και κορίτσια. Το πρώτο αγορι χορεύει µε κορίτσια, το δεύτερο αγόρι χορεύει µε 6 κορίτσια, το τρίτο αγόρι χορεύει µε 7 κορίτσια κ.ο.κ. µέχρι που το τελευταίο αγόρι χορεύει µε όλα τα κορίτσια. Πόσα αγόρια και ποσά κορίτσια πήραν µέρος στο χορό; Οµάδα Γ 1. Έµπορος αγόρασε καφέ προς 40 δρχ. το κιλό, ο οποίος κατά το καβούρδισα έχασε το 0,1 του βάρους του. Πόσο πρέπει να πουλάει το κιλό του καβουρδισµένου καφέ, για να κερδίσει 0% επί του κόστους; 1. Σε πόσο χρόνο οι δρχ. αν τοκιστούν προς 7,0% θα φέρουν τόκο ίσο µε το 4 κεφαλαίου; του. Έµπορος πούλησε µια τηλεόραση µε κέρδος 1%. Θα κέρδιζε δρχ. περισσότερες, αν την πουλούσε µε κέρδος 1%. Πόσο την είχε αγοράσει; 4. ύο οδοστρωτήρες έστρωσαν ένα δρόµο 1600 µέτρων µήκους, 7, πλάτους σε ηµέρες, αν δούλευαν 10 ώρες την ηµέρα. Οι τρεις οδοστρωτήρες της ίδιας απόδοσης έστρωσαν σε 6 ηµέρες ένα δρόµο µήκους 196 µέτρων και πλάτους 14,4 µ. Πόσες ώρες δούλεψαν την ηµέρα;. Κεφάλαιο τοκίστηκε προς 9% για µήνες και 10 ηµέρες. Θα έδινε δρχ. τόκο περισσότερο, αν τοκίζονταν µε το ίδιο επιτόκιο για 6 µήνες και 0 ηµέρες. Ποιο ήταν το κεφάλαιο; 6. Ηλεκτρικό ψυγείο λόγω βλάβης πουλήθηκε µε ζηµία 6,%. Αν το πουλούσε µε κέρδος 4% θα εισέπραττε δρχ. περισσότερες, από όσες εισέπραξε. Να υπολογίσετε πόσο το είχε αγοράσει. 7. Για 4 ενδυµασίες χρειάζονται 1 µ. ύφασµα πλάτους 1, µ. Πόσο πρέπει να είναι το πλάτος του υφάσµατος, για να κατασκευαστούν 60 όµοιες ενδυµασίες µε ύφασµα που έχει µήκος 00 µέτρα; 8. Σ ένα φρούριο υπάρχουν 0 στρατιώτες κι υπολογίζουν ότι έχουν τρόφιµα για 4 µήνες. Την στιγµήν εκείνη φθάνουν 10 άλλοι στρατιώτες και η µερίδα των τροφίµων περιορίζεται κατά 0%. Για πόσο χρόνο θα επαρκέσουν τα τρόφιµα; 9. Το σιτάρι όταν το αλέθουµε περιέχει επί του βάρους του 1% πίτυρα, 8% σιµιγδάλι και το υπόλοιπο αλεύρι. Αλέσαµε σιτάρι και πήραµε 80 κιλά αλεύρι. Να υπολογίσετε πόσο σιµιγδάλι πήραµε; 10. Για να κατασκευάσουµε ένα δρόµο µήκους χλµ. και πλάτους 6µ. πληρώσαµε δρχ. Με δρχ., πόσα µέτρα µήκους δρόµου, πλάτους 4 µέτρων και της αυτής σκληρότητας θα κατασκευάσουµε; 11. Μικροεπαγγελµατίας είχε δρχ. Τόκισε τα 16 αυτών προς 7% κι έλαβε ύστερα από ένα χρονικά διάστηµα Κ + Τ = 4.91,0 δρχ. Να βρείτε επί πόσο χρόνο τόκισε τα χρήµατά του; 4

5 1. Εργολάβος δηµοσίων έργων υπολόγισε ότι για να εκτελέσει ένα έργο σε 40 ηµέρες χρειάζεται 7 εργάτες, οι οποίοι να εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα. Έλαβε όµως εντολή να τελειώσει τούτο 10 ηµέρες ενωρίτερα. Πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ακόµα, που να εργάζονται 9 ώρες την ηµέρα; 1. Τα ενός κεφαλαίου τοκίστηκαν προς 6% επί µήνες κι έγιναν µε τους τόκους τους δρχ. Επί πόσο χρόνο πρέπει να τοκιστεί το υπόλοιπο µέρος του κεφαλαίου προς 4,%, για να δώσει τον ίδιο τόκο; 14. Έµπορος τόκισε επί 1 χρόνο τα του κεφαλαίου του προς % και τα υπόλοιπα προς 4%. Έλαβε δε τόκο από το α' κεφάλαιο 10 δρχ, περισσότερο από τo β'. Πόσο ήταν το κεφάλαιο; 1. Έµπορος αναγράφει στο εµπόρευµά του τιµή κατά 40% µεγαλύτερη από την τιµή του κόστους. Ύστερα κάνει έκπτωση 0% επί της αναγραφοµένης τιµής. Να βρείτε πόσο % επί της τιµής του κόστους κερδίζει τελικά ο έµπορος. 16. Με τα ενός ποσού αγοράσαµε ένα σπίτι. Τα υπόλοιπα τα τοκίσαµε προς 6% για ένα χρόνο και µήνες κι έφεραν τόκο δρχ. Πόσο αγοράσαµε το σπίτι; 17. Επιπλοποιός έχει µια τραπεζαρία η οποία του κόστισε δρχ. Την πουλάει σ έναν πελάτη του µε κέρδος 0% επί του κόστους, αφού του κάνει έκπτωση 10% επί της αναγραφοµένης τιµής. Ποια ήταν η επί της τραπεζαρίας αναγραφοµένη τιµή; 18. Πλοίο µε 80 επιβάτες έχει τρόφιµα για ηµέρες, όταν κάθε επιβάτης έχει µερίδα γραµµάρια. Το ταξίδι αρχίζει και µετά 1 ηµέρες περισυνέλεξε ναυαγούς. Για να φτάσουν τώρα τα τρόφιµα συντοµεύει το ταξίδι κατά 4 ηµέρες και ελαττώνει την µερίδα κατά 00 γραµµάρια. Πόσους ναυαγούς περισυνέλεξε το πλοίο; 19. Κεφάλαιο χωρίστηκε σε δυο µέρη. Το πρώτο είναι τριπλάσιο του β. Το α τοκίστηκε προς 9% για ένα χρόνο και το β προς 1% για ένα χρόνο και 4 µήνες. Ποίο είναι το κεφάλαιο, αν το πρώτο µέρος αυτού έφερε δρχ. τόκο περισσότερο του β µέρους; 0. Μια οµάδα από 1 στρατιώτες έχει τρόφιµα για 0 ηµέρες. Ύστερα από 0 ηµέρες ενισχύεται µε 4 στρατιώτες ακόµα χωρίς τρόφιµα. Κατά πόσο τοις % πρέπει να ελαττωθεί η µερίδα των τροφίµων, ώστε να επαρκέσουν τα τρόφιµα για τις παραπάνω ηµέρες; 1. Οι άρρενες µαθητές της Α τάξεως όλων των γυµνασίων της Ελλάδος κατά το σχολικό έτος ήταν το 60 /ο των εγγεγραµµένων µαθητών και µαθητριών. Το ποσοστά αποτυχίας των αρρένων µαθητών ήταν το 10 /ο του αριθµού των εγγεγραµµένων αρρένων. Αν προβιβάστηκαν άρρενες µαθητές, πόσες ήταν οι εγγεγραµµένες µαθήτριες;. Τα 4 ενός κεφαλαίου τοκίστηκαν προς % για χρόνια και 11 µήνες κι έγιναν µαζί µε τους τόκους.00 δρχ. Με τι επιτόκιο πρέπει να τοκιστεί ολόκληρο το κεφάλαιο επί, χρόνια, για να φέρει τόκο 68 δρχ, περισσότερο του προηγουµένου τόκου;. Τα ενός κεφαλαίου τοκίστηκαν επί µήνες προς 6% κι έφεραν ορισµένο τόκο. επί πόσο χρόνο πρέπει να τοκιστεί το υπόλοιπο του κεφαλαίου µε το ίδιο επιτόκιο, για να φέρει τόκο διπλάσιο του προηγουµένου τόκου;

6 4. Πλανόδιος οπωροπώλης αγόρασε 19 κιλά αχλάδια και πλήρωσε δρχ. Τα 8 αυτών τα πούλησε µε κέρδος 16% επί της αξίας της αγοράς και τα υπόλοιπα προς 17 δρχ. το κιλό. Να βρείτε αν κέρδισε ή ζηµιώθηκε και πόσο;. Κάποιος πούλησε το κτήµα του και τα των χρηµάτων που εισέπραξε τα τόκισε προς 8%. Ύστερα από χρόνια και τρεις µήνες έλαβε Κ + Τ = δρχ. Ποια ήταν η αξία του κτήµατος; 6. Ένα έργο συµφωνήθηκε να εκτελεστεί από 1 εργάτες σε 1 ηµέρες. Αφού εργάστηκαν 10 ηµέρες εκτέλεσαν τα 8 του έργου, θα µπορέσουν οι 1 εργάτες να τελειώσουν το έργο στην ορισµένη προθεσµία, αν όχι, τι µέρος του έργου θα παραµείνει ανεκτέλεστο και πόσοι εργάτες της ίδιας αποδόσεως πρέπει να προσληφθούν ακόµη για να το τελειώσουν; 7. 4 εργάτες µπορούν να τελειώσουν ένα έργο σε ηµέρες. Αν θέλουµε να τελειώσει το έργο σε ηµέρες ενωρίτερα, πόσοι εργάτες της ίδιας αποδόσεως πρέπει να προσληφθούν ακόµη; 8. Ένα κεφάλαιο, αν τοκιστεί για χρόνια, γίνεται µε τους τόκους του δρχ. Αν τοκιστεί για χρόνια γίνεται µε τους τόκους του δρχ. Να υπολογιστεί το κεφάλαιο και το επιτόκίο, 9. Οι 16 άντρες µπορούν να εκτελέσουν τα ενός έργου σε 0 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες µπορούν να εκτελέσουν ολόκληρο το έργο 0 γυναίκες, αν η εργασία 6 γυναικών ισοδυναµεί µε εργασία ανδρών; 1 0. Το ενός κεφαλαίου τοκίστηκε προς 8%, τα αυτού τοκίστηκαν προς 7% και το υπόλοιπο προς 6%. Αν µετά δύο χρόνια Κ + Τ έγιναν 7.46 δρχ. Να βρείτε ποιο ήταν το κεφάλαιο. 1. Καφεκοπτείο αγοράζει τον νωπό καφέ προς 84 δρχ. το κιλό και τον πουλάει ψηµένο προς 16 δρχ. το κιλό κερδίζοντας 0% επί της αξίας του κόστους; Να βρείτε πόσα γραµµάρια κατά κιλό χάνει ο νωπός καφές κατά το καβούρδισµα.. Τεχνίτης µε το βοηθό ανέλαβαν να εκτελέσουν ένα έργο σε ηµέρες. Αφού δούλεψαν µαζί 17 ηµέρες, ο τεχνίτης έφυγε από την εργασία και την συνέχισε ο βοηθός. Να βρείτε πόσες ηµέρες καθυστέρησε η εργασία πέραν της συµφωνίας, αν η απόδοση τον βοηθού είναι το 0,8 του τεχνίτη;. Τρεις συνεταίροι κατέθεσαν όλοι µαζί σε µια επιχείρηση δρχ. Ύστερα από ένα εξάµηνο διένειµαν τα κέρδη κι έλαβαν ο µεν α 9.14 δρχ., ο β δρχ. και ο γ 88.4 δρχ. Τι ποσό είχε καταθέσει καθένας, αν ο α έλαβε για τη διεύθυνση της επιχειρήσεως το 9% του συνολικού κέρδους; 4. Κεφάλαιο, αν τοκιστεί επί 9 µήνες προς ένα επιτόκιο, γίνεται µε τους τόκους του 1.0 δρχ. Αν τοκίζονταν µε το ίδιο επιτόκιο επί ένα χρόνο και µήνες γίνεται µε τους τόκους του.0 δρχ. Να βρεθεί το κεφάλαιο και το επιτόκιο.. Ένα τρένο διανύει µία απόσταση σε, ώρες και µε ταχύτητα 16 χλµ. ώρα. Κατά πόσο % πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του, για να διανύσει την ίδια απόσταση σε χρόνο λιγότερο κατά 10% από τον προηγούµενο; 6

7 6. Πολεµικό πλοίο µε πλήρωµα 0 άνδρες έχει τρόφιµα για ταξίδι µηνών µε µερίδα κατ άτοµο 1.00 γραµµάρια. Μετά από ταξίδι 0 ηµερών παρέλαβε 0 ναυαγούς. Για να διατραφούν όλοι µαζί αναγκάστηκαν να συντοµεύσουν το ταξίδι κατά 10 ηµέρες και να ελαττώσουν σε κάθε άτοµο την µερίδα, ώστε να φτάσουν τα τρόφιµα. Να υπολογίσετε πόσο % ελάττωσαν κατ άτοµο την µερίδα. 7. Ενός κεφαλαίου δρχ. τοκίστηκαν τα 6 αυτού προς 10% και το υπόλοιπο προς 8%. Σε πόσο χρόνο και τα δύο µέρη θα δώσουν συνολικό τόκο δρχ.; 8. Έµπορος αγόρασε ένα εµπόρευµα και το πούλησε µε κέρδος 1%, επί της τιµής της αγοράς. Με τα χρήµατα που εισέπραξε αγόρασε άλλο εµπόρευµα, που το πούλησε µε ζηµία δρχ. Έτσι κέρδισε τελικά απ τις δυο πωλήσεις δρχ. Τι ποσά είχε πληρώσει αρχικά για την αγορά του εµπορεύµατος και πόσο % ζηµιώθηκε από τη β πούληση; 9. Τα ενός κεφαλαίου είναι µεγαλύτερα από τα 1 7 αυτού κατά δρχ. Επί πόσο χρόνο πρέπει να τοκίσουµε τα 1 ολοκλήρου του κεφαλαίου προς 8%, για να µας δώσουν τόκο 80 δρχ. 40. Έµπορος πουλάει τα 8 τεµαχίου υφάσµατος µε ζηµία % επί του κόστους. Τα τον υπολοίπου µε ζηµία 4% επί του κόστους. Με πόσο % κέρδος επί του κόστους πρέπει να πουλήσει το υπόλοιπο ύφασµα, ώστε τελικά ούτε να ζηµιωθεί, ούτε να κερδίσει; Εργάτης που εργάζεται 8 ώρες την ηµέρα σε ηµέρες εκτελεί τα 0 ενός έργου. Ύστερα πήρε και δεύτερο εργάτη διαφορετικής αποδόσεως. Για να τελειώσει το υπόλοιπο έργο εργάστηκαν και δυο µαζί επί 4 ηµέρες και επί 9 ώρες την ηµέρα. Πόσο µέρος του έργου εκτέλεσε ο δεύτερος εργάτης; 4. Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε για µήνες και 1 ηµέρες κι έγινε µε τους τόκους του δρχ. Αν 9 ο ετήσιος τόκος του κεφαλαίου είναι τα 00 του κεφαλαίου, να βρεθεί το επιτόκιο και το κεφάλαιο Τρεις µαθητές µοίρασαν 68 δρχ, ως εξής: Ο α πήρε το τα του γ. Πόσες δρχ. πήρε ο καθένας; 44. Υπάλληλος ξοδεύει τα 4 του β και 0, δρχ ακόµα. Ο β πήρε 1 του µηνιαίου του µισθού για τις ανάγκες της οικογένειάς του. Το του υπολοίπου για τις δικές του ανάγκες. Κάποτε χρειάστηκε να ξοδέψει 6% επί πλέον των εξόδων του κι έτσι αναγκάστηκε να δανειστεί ποσόν ίσο µε το ήµισυ των χρηµάτων που του είχε περισσέψει και.040 δρχ. ακόµα. Ποίος ο µηνιαίος του µισθός; 4. Ένας πούλησε τα 7 του εµπορεύµατος µε κέρδος 10% και από το υπόλοιπο ζηµιώθηκε

8 δρχ. τελικά κέρδισε %. Πόσο το κόστος του εµπορεύµατος και πόσο % η ζηµία; 46. Τόκισε κάποιος τα χρήµατά του σε µια Τράπεζα προς 8%. Μετά 6 µήνες αποσύρει Κ + Τ και προσθέτει δρχ ακόµη και τα τοκίζει στο Ταχ. Ταµιευτήριο µε 10% και ύστερα από µήνες πήρε τόκο 649 δρχ. Να ευρεθεί το αρχικό κεφάλαιο. 47. ύο κεφάλαια είναι ίσα. Αν το ένα αυξηθεί κατά τα και το άλλο µειωθεί κατά δρχ. και τοκιστούν προς % σε 8 µήνες θα µας δώσουν διαφορά τόκων.600 δρχ. Να βρεθούν τα κεφάλαια. 48. Οι µαθητές /ταξίου Γυµνασίου συγκέντρωσαν ένα ποσό για τους σεισµόπληκτους της Θεσ/νίκης. Η πρώτη τάξη έδωσε τα 16 του ποσού. Η δευτέρα τα του υπολοίπου και.600 δρχ ακόµα. Και η τρίτη τα υπόλοιπα. της τρίτης τάξης το ποσό, αν τοκιστεί µε 9,6% επί 1 χρόνο και µήνες δίνει.40 δρχ τόκο. Να βρεθεί ολόκληρο το ποσό και ποσό έδωσε κάθε τάξη. 49. ύο τεµάχια υφάσµατος έχουν συνολικά µήκος 9 µέτρα. Αν αφαιρέσουµε από το πρώτο τεµάχιο τα 1 αυτού και από το δεύτερο το αυτού τότε τα δύο τεµάχια είναι ίσα. Να βρεθεί πόσα µέτρα είναι το πρώτο και πόσα το δεύτερο. 0. Σύλλογος γονέων νοίκιασε δύο πούλµαν. Το α πούλµαν είναι των 60 θέσεων και το β των 40. Για το α έδωσε προκαταβολή δρχ. περισσότερες του β. Και τα δύο πούλµαν έκαµαν 0 χλµ. παραπάνω απ εκείνα που είχαν συµφωνήσει και πλήρωσε το α αυτοκίνητο για κάθε χλµ. 1,1% της προκαταβολής και το β 0,7. Να βρεθεί η προκαταβολή κάθε αυτοκινήτου, αν για το α έδωσε.040 δρχ. παραπάνω από ότι έδωσε για το β για τα 0 χλµ. που διήνυσε επί πλέον. 1. Την 4η Φεβρουαρίου 197 συνεργείο από 60 εργάτες της ίδιας αποδόσεως ανέλαβε την εκτέλεση ενός έργου µε την συµφωνία να το αποπερατώσει την 0ή Οκτωβρίου του ίδιου χρόνου. Οι εργάτες άρχισαν να εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα και την 4η Αυγούστου είχαν τελειώσει τα του έργου, όταν 40 εργάτες του συνεργείου έφυγαν. Αν ο επικεφαλής του έργου πάρει παράταση 64 ηµέρες, πόσες ώρες την ηµέρα πρέπει να εργάζονται, οι υπόλοιποι εργάτες, για να τελειώσουν το έργο; (Όλες οι ηµέρες θεωρούνται εργάσιµες και οι µήνες υπολογίζονται σε 0 ηµέρές).. Φρουτέµπορος αγόρασε ροδάκινα από τη Βέροια προς 600 δρχ. το κιλό και τα πούλησε στην Αθήνα αντί δρχ. Αν τα έξοδα µεταφοράς και συσκευασίας ήταν 8% επί της τιµής της αγοράς, το δε καθαρά κέρδος ανήλθε στα 1% επί της τιµής του κόστους. Να βρείτε πόσα κιλά ροδάκινα είχε αγοράσει; 8

9 . Είχε κάποιος ένα ποσό χρηµάτων, τοκίζει τα 8 αυτού προς 6% για χρόνια και 4 µήνες, και το υπόλοιπο προς 9% για 8 µήνες. Έλαβε δε συνολικά Κ + Τ = δρχ. Πόσα χρήµατα είχε, πόσα τόκισε προς 6% και πόσα προς 9%; 4. Την 4 η Ιουνίου 197 ένας µαθητής του ηµ. Σχολείου πήρε το απολυτήριό του µε άριστα, οπότε η µητέρα του, του έδωσε ένα ποσό χρηµάτων και ο πατέρας του διπλάσια από την µητέρα. Την άλλη ηµέρα ο µαθητής αυτός τόκισε τα χρήµατά του. προς 4%. Την 8 η Αυγούστου του ίδιου χρόνου ο µαθητής απέσυρε από την Τράπεζα Κ + Τ και µε αυτά τα χρήµατα αγόρασε ένα ποδήλατο αξίας.01 δρχ. Να βρείτε πόσα χρήµατα έδωσε η µητέρα στο παιδί.. Σε ένα πλοίο 4 επιβάτες έχουν τρόφιµα για 71 ηµέρες µε µερίδα 1.00 γραµµάρια. Ύστερα από ταξίδι 1 ηµερών παρέλαβε ναυαγούς και µείωσε τη µερίδα κατά 40% και το ταξίδι το συντόµεψε κατά 10 ηµέρες. Πόσους ναυαγούς περισυνέλεξε; 6. υο φίλοι τόκισαν τα κεφάλαιά τους ο α δρχ. προς 8% και ο β.000 δρχ. προς 6%. Ύστερα από πόσο χρόνο τα δυο κεφάλαια µαζί µε τους τόκους τους θα είναι ίσα; 7. Ένας πατέρας µοίρασε δρχ. στους δύο γιους του και την κόρη του. Αν οι δυο γιοι πήραν ίσο µερίδιο και η κόρη τα των όσων πήραν οι δυο µαζί. Να βρείτε πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας. 8. Έµπορος ηλεκτρικών ειδών πουλάει τα εµπορεύµατά του τον Ιούλιο µήνα µε έκπτωση 0%, αν ο πελάτης πληρώνει τοις µετρητοίς. Κατά την περίοδο αυτή αγόρασε κάποιος. από τον έµπορο αυτόν µία τηλεόραση µε την συµφωνία να την εξοφλήσει σε 4 µηνιαίες δόσεις των.00 δρχ. η κάθε µία, αλλά o έµπορος του την έδωσε µε υπερτίµηση 10% επί της τιµής της εκπτώσεως. Ποια ήταν η τιµή πουλήσεως χωρίς έκπτωση και πόσο % έκπτωση πέτυχε ο πελάτης αυτός; 9. Συνεργείο από 18 άντρες που εργάζονταν 10 ώρες την ηµέρα κατασκεύασαν σε 1 ηµέρες τα 17 ενός δρόµου. Τότε 4 άνδρες έφυγαν και ήλθαν 16 γυναίκες και 1 παιδιά και εργάζονταν µαζί µε τους υπόλοιπους άνδρες 9 ώρες την ηµέρα. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσει το υπόλοιπο έργο, αν η εργασία 4 γυναικών αντιστοιχεί µε εργασία 1 ανδρών και η εργασία παιδιών µε εργασία 10 ανδρών; 60. Οπωροπώλης αγόρασε 400 κιλά ροδάκινα. Ένα µέρος απ' αυτά, τα πούλησε µε κέρδος % και το υπόλοιπα µε ζηµία % και τελικά κέρδισε 1,% επί της τιµής της αγοράς. Ζητείται : α) Πόσο αγόρασε το κιλό, αν κέρδισε συνολικά δρχ. και β) πόσα κιλά πούλησε µε κέρδος 9

10 και πόσα µε ζηµία; 61. Κεφάλαιο δρχ. τοκίστηκε προς 8%. Ύστερα από χρόνια β κεφάλαιο δρχ. τοκίστηκε προς 7%. Ύστερα από πόσα χρόνια από την κατάθεση του β κεφαλαίου τα δυο κεφάλαια θα φέρουν ίσους τόκους; 6. Ένας καταθέτει σε µια Τράπεζα κεφάλαια, το πρώτο προς 6% και το δεύτερο προς %. Το β κεφάλαιο ισούται, µε τα του πρώτου κεφαλαίου. Έπειτα από έτη και 6 µήνες έλαβε τόκους και κεφάλαια µαζί δρχ. Να βρείτε τα δυο κεφάλαια εργάτες µπορούν να εκτελέσουν ένα έργο σε ηµέρες, αν εργάζονται 9 ώρες την ηµέρα. Μετά 10 ηµέρες εργασίας αποχώρησαν τα 40 /ο των εργατών και οι υπόλοιποι αύξησαν την εργασία τούς κατά 1 ώρα την ηµέρα. Σε πόσες ηµέρες αργότερα θα αποπερατώσουν το έργο και πόσα χρήµατα θα λάβει ο κάθε εργάτης που αποχώρησε, αν για όλο το έργο πληρώθηκαν οι εργάτες δρχ. 64. Φρουτέµπορος αγόρασε από την Κρήτη καρπούζια. Τα έξοδα µεταφοράς στην Αθήνα ήταν % επί της τιµής αγοράς. Αν τα πούλησε µε κέρδος 0% επί της τιµής του κόστους αντί δρχ. Πόσο τα είχε αγοράσει; 6. Κατέθεσε κάποιος στην Τράπεζα στην αρχή του χρόνου ένα κεφάλαιο προς 9%. Μετά από 8 µήνες απέσυρε την κατάθεσή του και αφού ξόδεψε τα 4 της καταθέσεως και τα του τόκου, το υπόλοιπο το δάνεισε προς 1%. Στο τέλος τον χρόνου πήρε κεφάλαιο και τόκο.69,80 δρχ. Ποιο κεφάλαιο είχε αρχικώς καταθέσει στην Τράπεζα; 66. υο κεφάλαια διαφέρουν κατά δρχ. Το µικρότερο ύστερα από κάποιο χρονικό διάστηµα και µε επιτόκιο 6% έφερε τόκο δρχ. Το µεγαλύτερο σε διπλάσιο από το προηγούµενο χρονικό διάστηµα και µε το ίδιο επιτόκιο έφερε τόκο δρχ. να βρεθούν τα κεφάλαια και οι χρόνοι κατά τους οποίους τοκίστηκαν Είχε κάποιος δρχ. Τα 9 αυτών των χρηµάτων τα τόκισε µε επιτόκιο 4% και τα υπόλοιπα µε επιτόκιο 6%. Σε πόσο χρόνο τα δύο µέρη των χρηµάτων του θα φέρουν συνολικό τόκο δρχ; 68. υο έµποροι έχουν αγοράσει ύφασµα µε την ίδια τιµή το µέτρο. Αν ο πρώτος έµπορος το πουλήσει µε κέρδος 0% επί της τιµής της αγοράς κι ο δεύτερος το πουλήσει µε κέρδος 0% 10

11 επί της τιµής της πουλήσεως, τότε ο δεύτερος έµπορος κερδίζει 7, δρχ παραπάνω από τον πρώτο σε κάθε µέτρο. Να βρείτε την τιµή αγοράς του µέτρου. 69. Το άθροισµα δύο κεφαλαίων είναι δρχ. Αν τοκίσουµε αυτά µε το ίδιο επιτόκιο το πρώτο για 6 µήνες και το δεύτερο για 9 µήνες, θα πάρουµε αντίστοιχα τόκους 1.96 και 1.86 δρχ. Να βρείτε το κοινό επιτόκιο και τα δυο κεφάλαια. 70. Εργολάβος κατασκευάζει δυο σπίτια. Για το πρώτο σπίτι χρησιµοποιεί συνεργείο Α από 0 άνδρες, ενώ για το δεύτερο σπίτι χρησιµοποιεί συνεργείο Β από 0 νέους. Μετά από 0 µέρες παρατήρησε ότι το συνεργείο Α είχε κατασκευάσει τα 9 του πρώτου σπιτιού, ενώ το συνεργείο Β είχε κατασκευάσει τα 11 του δευτέρου σπιτιού. Πόσους άνδρες για το συνεργείο Α και πόσους νέους για το συνεργείο Β πρέπει να προσλάβει ακόµα, ώστε και τα δύο συνεργεία να τελειώσουν το κάθε σπίτι στις επόµενες 0 ηµέρες; 71. Ένα κεφάλαιο τοκίστηκε για 11 µήνες κι έγινε µε τους τόκους του 7.0δρχ., αν όµως παρέµεινε επί 7 µήνες ακόµη θα γίνονταν 8.160δρχ. Να βρείτε το κεφάλαιο και το επιτόκιο. 7. Τοκίζει κάποιος ένα κεφάλαιο προς 4% για 10 ηµέρες. Έπειτα τοκίζει Κ + Τ µαζί προς 6% επί 4 µήνες. Αν ο τόκος που παίρνει τη β φορά είναι 6,0 δρχ. Να βρείτε ποιο ήταν το ποσό που τοκίσαµε αρχικά; 7. Ένα ατµόπλοιο πλέοντος µε ταχύτητα 1 µίλια την ώρα καταναλώνει σ ένα ηµερονύκτιο 0 τόνους κάρβουνο. Για να διατρέξει απόσταση.744 µίλια µε ταχύτητα 1 µίλια την ώρα, πόσους τόνους κάρβουνο θα καταναλώσει; 74. Κεφαλαίου τα 4 τοκίσουµε τα 1 είναι µεγαλύτερα των 8 αυτού κατά δρχ. Επί πόσο χρόνο πρέπει να αυτού προς 8%, για να µας δώσουν τόκο δρχ.; 7. Το νερό µιας θάλασσας περιέχει τα 4% αλάτι. Αν κάθε ηµέρα εξατµίζεται το 10% του νερού που περιέχει, να βρείτε πόσο % αλάτι θα περιέχει η θάλασσα αυτή ύστερα από ηµέρες. 76. εργάτες, αν εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα, παίρνουν σε 1 ηµέρες δρχ. Πόσες ώρες την ηµέρα πρέπει να εργαστούν 7 εργάτες, ώστε σε 1 ηµέρες να πάρουν δρχ.; 11

12 77. Έµπορος πούλησε ύφασµα µε κέρδος 1% επί της τιµής της αγοράς. Αν το πουλούσε µε κέρδος 1% επί της τιµής της πουλήσεως θα κέρδιζε 6 δρχ. περισσότερες. Ποια η αξία του υφάσµατος; 78. Τόκισε κάποιος δρχ. προς 8% και ύστερα από χρόνια και 9 µήνες τόκισε άλλες δρχ., προς 9%. Ύστερα από πόσα χρόνια τα δυο κεφάλαια θα φέρουν τον αυτό τόκο; 79. Πλοίο αναχώρησε για ταξίδι 4 ηµερών µε επιβάτες και µε µερίδα 1.00 γραµµάρια. Ύστερα από 1 ηµέρες περισυνέλεξε ναυαγούς και συντόµευσε το ταξίδι του κατά ηµέρες και η µερίδα µειώνεται κατά: 19 γραµµάρια. Πόσους ναυαγούς περισυνέλεξε το πλοίο; 80. Εργολάβος για να εκτελέσει ένα έργο σε 4 ηµέρες προσέλαβε 0 εργάτες, οι οποίοι εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα. Αν όµως θέλει να τελειώσει το έργο 8 ηµέρες ενωρίτερα και οι εργάτες να εργάζονται ώρες περισσότερο, πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ακόµα; 81. Τρεις συνεταίροι είχαν κέρδος από µια επιχείρηση λίρες. ιαλύθηκε η εταιρεία και πήραν κεφάλαιο και κέρδος ο α.110 λίρες, ο β.16 λίρες και ο γ 1.97 λίρες. Ποιο ήταν το κεφάλαιο του καθενός; 8. Κεφάλαιο δρχ. τοκίστηκε µέρος αυτού προς 6% και τα υπόλοιπα προς % και παίρνει σε χρόνια και 6 µήνες από τα δυο κεφάλαια δρχ. τόκο. Πόσα τόκισε προς 6% και πόσα προς %; 8. ηµόσιος υπάλληλος πληρώνει εισιτήρια για ένα ταξίδι, µετά της οικογένείας του 666 δρχ. Για 1 το δικό του εισιτήριο έγινε έκπτωση 0% και µετά την έκπτωση το εισιτήριό του ήταν τα % της όλης αξίας των εισιτηρίων. Ποια η ονοµαστική αξία του εισιτηρίου του; εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 7 ηµέρες, όταν εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα. Μετά 1 ηµέρες προσλαµβάνονται εργάτες και οι ώρες εργασίας µειώνονται κατά 1. Πόσοι εργάτες πρέπει να προσληφθούν ακόµα για να τελειώσει το έργο στην ορισθείσα προθεσµία; 8. 4 εργάτες ή εκσκαφείς τελειώνουν ένα έργο σε 14 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσει το έργο, αν εργάζονταν 6 εργάτες και εκσκαφείς; 86. Ο α τόκισε ένα κεφάλαιο προς %, ο β ένα. κεφάλαιο προς 6%. H διαφορά των ετήσιων τόκων των δύο κεφαλαίων είναι 6.40 δρχ. Το α κεφάλαιο είναι δρχ. µικρότερο του β. Να βρεθούν οι ετήσιοι τόκοι των δύο κεφαλαίων. 1

13 87. Έµπορος πούλησε 80 µ. ύφασµα α και β ποιότητας, τα οποία είχε αγοράσει µαζί αντί δρχ. Κάθε µέτρο της α ποιότητας πουλάει προς 1.0 δρχ. κερδίζοντας 10% επί της τιµής της αγοράς. Κάθε µέτρο της β ποιότητας πουλάει προς 1.00 δρχ. κερδίζοντας 0% επί της τιµής της αγοράς του. Να βρεθεί: α) Πόσα µέτρα από κάθε ύφασµα αγόρασε, β) µε ποια τιµή το µέτρο και γ) πόσα κέρδισε από την πούληση; εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 1 ηµέρες όταν εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα. Ύστερα από ηµέρες αρρώστησαν 6 εργάτες, πόσες ώρες την ηµέρα πρέπει να εργαστούν οι υπόλοιποι για να τελειώσει το έργο στην ορισµένη προθεσµία; 89. Ένας πουλάει ύφασµα µε ζηµιά 1%. Αν το πουλούσε 18 δρχ. περισσότερο το µέτρο θα κέρδιζε 1%. Πόσο είχε αγοράσει το µέτρο; 90. Ένας εργολάβος ανέλαβε να κάνει ένα έργο σε 0 ηµέρες. Γι αυτό µίσθωσε εκσκαφείς που θα δούλευαν 9 ώρες την ηµέρα. Ύστερα από 10 ηµέρες κατάφερε να εκµισθώσει εκσκαφείς µε τριπλάσια απόδοση, που δούλευαν 6 ώρες την ηµέρα. Πόσες ηµέρες ενωρίτερα τελείωσε το έργο; 91. Μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων στους αγοράζοντες τοις µετρητοίς αυτοκίνητα αξίας δρχ. τους κάνει έκπτωση 1% επί της τιµής της πουλήσεως. Τα έξοδα όµως της µεταβιβάσεως επιβαρύνουν τον αγοραστή και είναι δρχ. λιγότερα από την έκπτωση που του κάνουν. Πόσο τοις επί των χρηµάτων που πλήρωσε συνολικώς ανέρχεται τελικά η έκπτωση ; 9. Ένας άνθρωπος κατάθεσε δρχ. προς % και µετά 4 χρόνια κατάθεσε δρχ. προς 4%. Μετά πόσα χρόνια οι τόκοι των δυο κεφαλαίων θα είναι ίσοι; 9. Ένας έµπορος αγόρασε δυο τεµάχια υφάσµατος και πλήρωσε δρχ. Το α το πούλησε µε κέρδος 1% και το β µε κέρδος 1%. Αν τελικώς κέρδισε.760 δρχ. πόσο αγόρασε το κάθε τεµάχιο ; εργάτες µπορούν να εκτελέσουν µία εργασία σε 8 ηµέρες, αν εργάζονται 8 ώρες την ηµέρα. Ύστερα από 10 ηµέρες εργασίας οι 6 εργάτες έφυγαν και οι υπόλοιποι αύξησαν την εργασία τους κατά µία ώρα την ηµέρα. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσουν το έργο και τι ποσά θα πάρει ο καθένας, αν για ολόκληρη την εργασία πήραν δρχ.; 9. Ένας πατέρας χρόνια µετά την γέννηση της κόρης του τόκισε δρχ. µε 8% και πήρε Κ + Τ = δρχ. Πόσων ετών ήταν η κόρη του, όταν απέσυρε τα χρήµατα από την Τράπεζα; 96. Τόκισε κάποιος τα 10 των χρηµάτων του µε 10% και τα υπόλοιπα µε 8%. Αν οι ετήσιοι τόκοι των δύο κεφαλαίων διαφέρουν κατά δρχ., να βρεθεί το κεφάλαιο και οι τόκοι των επί µέρους κεφαλαίων. 1

14 97. Σε µια δεξαµενή ρέουν 10 κιλά νερά σε 1, ώρες, ενώ στον ίδιο χρόνο φεύγουν 4,7 κιλά νερού. Πόσα κιλά νερό θα έχει η δεξαµενή ύστερα από 7, ώρες; 98. Ποιο κεφάλαιο, αν τοκιστεί µε 1% σε 4 µήνες δίνει τόκο ίσο µε τα 7 κεφαλαίου δρχ., που τοκίζεται µε 9% σε µήνες και ηµέρες; του τόκου άλλου 99. Οι 1 εργάτες τέλειωσαν το µισό έργο σε 0 ηµέρες. Τη στιγµή αυτή έφυγαν εργάτες. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσουν οι υπόλοιποι εργάτες το υπόλοιπο έργο; δοιπόρος διανύει σε ηµέρες 10χλµ., όταν βαδίζει 8 ώρες την ηµέρα. Σε πόσες ηµέρες θα διανύσει απόσταση 180χλµ., αν βαδίζει 6 ώρες την ηµέρα; 101. νας τόκισε από τα χρήµατά του δρχ. προς 7%, τα 6 υπολοίπων προς % και τα υπόλοιπα προς 4%. Μετά από χρόνια έλαβε 0.800δρχ. τόκο. Πόσα ήταν τα χρήµατά του; εργάτες µπορούν να εκτελέσουν ένα έργο σε 60 ηµέρες, έφυγαν 0 εργάτες, σε πόσες ηµέρες οι υπόλοιποι θα τελειώσουν το ίδιο έργο; 10. άποιος αγόρασε 800 κιλά σιτάρι προς 40 δρχ. το κιλό. Μέρος της ποσότητας το πούλησε µε κέρδος 0% επί της τιµής της πουλήσεως και τα υπόλοιπα µε 0% επί της τιµής του κόστους και κέρδισε συνολικά δρχ. Να ευρεθεί πόσα χρήµατα εισέπραξε από την κάθε πούληση; υνεργείο ανδρών όταν εργάζεται 8 ώρες την ηµέρα µπορεί να εκτελέσει τα του έργου σε 4 ηµέρες, ενώ συνεργείο από 8 εργάτριες, όταν εργάζεται 9 ώρες την ηµέρα εκτελεί το υπόλοιπο έργο σε ηµέρες. Αν σχηµατιστεί µικτό συνεργείο από άνδρες και 4 γυναίκες σε πόσες ηµέρες θα τελειώσει ολόκληρο το έργο, αν δουλεύουν 7 ώρες την ηµέρα; 10. νας έµπορος πούλησε ένα εµπόρευµα. Από τα χρήµατα που πήρε κράτησε τα 0% και τα υπόλοιπα τα χώρισε σε δύο κεφάλαια. Τόκισε το ένα κεφάλαιο µε 10% και το άλλο µε 7%. Έπειτα από ένα έτος από το πρώτο κεφάλαιο πήρε τόκο και κεφάλαιο 1.400δρχ, και από το 1 δεύτερο πήρε. τόκο το 8 του πρώτου κεφαλαίου. Να βρείτε ποια ήταν τα κεφάλαια και οι τόκοι τους και πόσο πουλήθηκε το εµπόρευµα; 106. νας έµπορος πουλάει ενδυµασίες. Στην τιµή του κόστους κάθε ενδυµασίας πρόσθετε 4% κι έτσι σε µια ενδυµασία γράφει τιµή πουλήσεως.00 δρχ. Τελικά όµως την πουλάει

15 δρχ. Να βρεθεί: α) η τιµή του κόστους της ενδυµασίας αυτής και β) Πόσο % έκπτωση έκανε ο έµπορος στην τιµή πουλήσεως που ήταν γραµµένη στην ενδυµασία αυτή; 107. ια την εκτέλεση ενός έργου διατέθηκαν δρχ. Το έργο έπρεπε να τελειώσει σε 9 ηµέρες από 4 εργάτες, που θα εργάζονταν 8 ώρες την ηµέρα. Έπειτα όµως από εργασία 1 ηµερών έφυγαν 4 εργάτες. Να βρείτε: α) Πόσες ώρες την ηµέρα πρέπει να εργάζεται κάθε εργάτης από εκείνους που έµειναν για να τελειώσει κανονικά το έργο στις 9 ηµέρες. β) Πόσο µέρος του έργου είχε εκτελέσει στις 1 πρώτες ηµέρες και γ) Πόσες δραχµές πρέπει να πάρει κάθε εργάτης, αν η αµοιβή υπολογίζεται κατά ώρα εργασίας νας τόκισε κεφάλαιο προς 6% και πήρε τόκο 40 δρχ. Αν το τόκιζε προς 8% και επί 1 µέρες επί πλέον θα έπαιρνε τόκο 60 δρχ. Να βρεθεί το κεφάλαιο και ο χρόνος που τοκίστηκε νας υπάλληλος καταστήµατος παίρνει δρχ. την ηµέρα και,18% προµήθεια επί των εισπράξεων. Για εργασία 4 ηµερών πήρε µισθούς και προµήθεια δρχ. Ποιες οι εισπράξεις του καταστήµατος; 110. οιο κεφάλαιο τοκιζόµενο µε 10% επί 8 µήνες γίνεται µε τους τόκους του δρχ.; 111. Μια οµάδα καθηγητών ανάλαβε να εξετάσει σ ένα πρότυπο σχολείο τις εκθέσεις των µαθητών σε 10 ηµέρες. Μετά 8 ηµέρες έφυγαν καθηγητές και η διόρθωση τέλειωσε σε 1 ηµέρες. Πόσοι ήταν οι καθηγητές στο σχολείο; 11. ύο εργολάβοι αποφάσισαν να κατασκευάσουν µια σήραγγα από µισή ο καθένας. Ο α πήρε 10 κοµπρεσέρ και σε 1 ηµέρες µε ωράριο εργασίας 8 ώρες την ηµέρα τελείωσε το µέρος που είχε αναλάβει. Ο β πήρε 6 κοµπρεσέρ που εργάστηκαν 7 ώρες την ηµέρα και µετά.10 ηµέρες εργασίας πήρε άλλα δύο κοµπρεσέρ και εργάστηκαν 7, ώρες την ηµέρα. Σε πόσες ηµέρες τελείωσε όλο το έργο, αν τα κοµπρεσέρ ήταν ίδιας απόδοσης και ο βράχος ίδιας σκληρότητας; 11. νας αγρότης δανείστηκε από την Α.Τ.Ε. τη , δρχ. µε επιτόκιο 1%. Πόσες δρχ. θα πληρώσει την Ιουνίου του ίδιου έτους για να εξοφλήσει το χρέος του; 114. µπορος αγόρασε εµπόρευµα µε 90 δρχ. το κιλό. Στη µεταφορά χάθηκε µέρος του εµπορεύµατος και για να κερδίσει 0% επί του κόστους πούλησε το κιλό απ αυτά που του έµειναν 1 δρχ. το κιλό. Πόσο % χάθηκε κατά τη µεταφορά; 11. λοίο είχε πλήρωµα 0 άνδρες και τρόφιµα για 90 ηµέρες. Μετά από ταξίδι l0 ηµερών παρέλαβε 0 ναυαγούς, τους οποίους αποβίβασε 14 µέρες από τότε που τους πήρε. Πόσες ηµέρες θα περάσει το αρχικό πλήρωµα µε τα τρόφιµα που τους έµειναν; 1

16 α ενός κεφαλαίου τοκίζονται για 1 µήνες µε 8% και φέρουν δρχ. τόκο. Πόσο χρόνο πρέπει να τοκιστεί όλο το κεφάλαιο µε 9,60% για να φέρει τόκο.600 δρχ.; 117. τρατιωτικό τµήµα έχει τροφές για 40 ηµέρες. Εκτάκτως απολύθηκαν 18 στρατιώτες κι εκείνοι που µείνανε ελάττωσαν την µερίδα τους κατά το ένα πέµπτο και περάσανε 60 ηµέρες. Πόσους στρατιώτες είχε αρχικά το στρατιωτικό τµήµα; 118. τρατιωτικά τµήµα έχει τροφές για 60 ηµέρες. Απολύθηκαν 0 στρατιώτες και οι υπόλοιποι ελάττωσαν την αρχική τους µερίδα κατά το ένα έκτο και περάσανε 90 ηµέρες. Πόσοι ήσαν οι στρατιώτες αρχικά; 119. τρατιωτικό τµήµα έχει τροφές για 0 ηµέρες. Εκτάκτως απολύθηκαν 0 στρατιώτες και οι 1 υπόλοιποι που µείνανε αφού ελάττωσαν την αρχική τους µερίδα κατά το 4 περάσανε 48 ηµέρες. Πόσοι στρατιώτες µείνανε; 10. µπορος αγόρασε δυο τεµάχια υφάσµατος συνολικού µήκους 78 µέτρων. Το α αγόρασε προς 800 δρχ. το µέτρο και το πουλάει µε κέρδος % επί της αξίας της αγοράς και το β αγόρασε προς 600 δρχ. το µέτρο και πουλάει µε κέρδος 1% κι εισπράττει από τα δυο φορέµατα δρχ. Να βρεθεί το µήκος του κάθε υφάσµατος. 11. µπορος αγόρασε 1 µ. ύφασµα α και β ποιότητας, το οποίο είχε 1.10 δρχ. Το µέτρο της α ποιότητας πουλάει προς 1.80 δρχ. κερδίζοντας 1% επί της τιµής της αγοράς και την β ποιότητα προς 960 δρχ. κερδίζοντας 0% επί της τιµής της αγοράς. Να βρεθεί το µήκος του κάθε υφάσµατος και το συνολικό κέρδος. ιατυπώστε µε σαφήνεια τους όρους και τις εκφράσεις που χρησιµοποιείτε αποφεύγοντας τις περιττές επεξηγήσεις. Ρόδος εκέµβριος 007-Φεβρουάριος 008 Για το Εργαστήριο των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Eυγένιος Αυγερινός 16