FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava. Aproximácia implicitne definovaných

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava. Aproximácia implicitne definovaných"

Transcript

1 FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Aproximácia implicitne definovaných plôch v E 3 DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava, 2009 Leonóra Kočišová

2 Aproximácia implicitne definovaných plôch v E 3 DIPLOMOVÁ PRÁCA Leonóra Kočišová FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO, BRATISLAVA Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky matematika - počítačová grafika RNDr. Pavel Chalmovianský, PhD. Bratislava, 2009

3 Čestné vyhlásenie: Čestne vyhlasujem, že diplomovú prácu som vypracovala samostatne pod odborným vedením školitel a s použitím uvedenej literatúry. Bratislava, apríl Leonóra Kočišová 3

4 Abstrakt KOČIŠOVÁ Leonóra: Aproximácia implicitne definovaných plôch [diplomová práca]. Univerzita Komenského v Bratislave. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky. Školitel : RNDr. Pavel Chalmovianský, PhD., Bratislava. FMFI UK, 2009, 50 strán. Táto práca sa zaoberá implicitne definovaných plochami od zadania až po vizualizaciu. Popisujeme rôzne spôsoby získania bodov implicitne definovaných plôch pomocou metód numerickej matematiky na výpočet polynómu. Navrhli sme a implementovali algoritmus na načítavanie, a spracovanie vzorcov implicitných funkcií, nájdenie obálky a vizualizáciu implicitných plôch. Kl účové slová: numerické metódy, obálka (bouding box), editor vzorcov, algoritmus na trianguláciu. 4

5 Obsah 1 Úvod 9 2 Plochy a spôsoby ich zádavania Parametrické plochy Implicitne zadané plochy Povrchová reprezentácia Reprezentácia pomocou vrcholov Reprezentácia pomocou hrán Marching cubs Konštruktívna geometria telies - CSG Numerické metódy Metóda bisekcie Metóda sečníc Newtonova - Raphsonova metóda Použité technológie C# DirectX Popis práce Úvod Popis programu Implicit surface editor Popis programu Vizualizácia IF Rýchle vypočítanie IF zo zadaného vstupu Nájdenie obálky IF (bouding boxu) BisekciaXYZ Vypočítanie hodnôt implicitnej funkcie na nájdenej obálke IF(bouding box) Algoritmus na trianguláciu Popis programu Vizualizácia IF

6 5 Analýza algoritmov Pamät ová náročnost Analýza výpočtu IF Analýza nájdenia obálky IF Analýza algoritmu na vypočítanie hodnôt IF Analýza algoritmu na trianguláciu Rýchlost Analýza rýchlosti výpočtu IF Analýza rýchlosti najdenia obálky IF Analýza rýchlosti algoritmu na vypočítanie hodnôt IF Analýza rýchlosti algoritmu na trianguláciu Zhrnutie Výsledky Boolovské operácie Animácia Záver Budúca práca Literatúra 48 6

7 Zoznam obrázkov 1 Parametrická reprezentácia bodu P (u, v) na ploche Normála plochy v bode P (a, b) Povrch definovaný implicitne pomocou funkcie Reprezentácia pomocou vrcholov [5] Reprezentácia pomocou hrán [5] Marching cubs 15 základných konfigurácií ako môžu kocky pretínat danú plochu Prerozdelenie [12.] Boolovské operácie Bisekčná metóda na itervale (a 0, b 0 ) Metóda sečníc Newtonova-Raphsonova metóda Algoritmus postupnosti krokov Implicit surface editor Implicit surface editor Aproximácia implicitnej funkcie Obálka IF (bouding box) Bisekčná metóda nájde bod IF na intervale (zelená úsečka v smere Z, modrá v smere Y). Pospájané body (žlté úsečky) aproximujú IF Hl adáme postupnost vrcholov vhodnú pre trianguláciu Popis programu Vizualizácia IF Vizualizácia zjednotenia objektov Vizualizácia prieniku dvoch objektov Vizualizácia rozdielu dvoch objektov Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (hranová reprezentácia). IF = ((x 2 )+(y 3 (a 1))+z 2 1) (x 2 +((y (a 1) 4) (y (a 1) 4)) + z 2 0.5) 0.15 ak a = 0.36, a = 0.44, a = 0.6, a =

8 24 Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia). a = 0.36, a = 0.44, a = 0.6, a = Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (hranová reprezentácia). IF = (x 2 + y 2 + z 2 1) (x 2 + ((y a 2 ) (y a 2 )) + z 2 0.5) 0.15a = 0, a = 1, a = 1.36, a = 1.56, a = Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia). a = 0, a = 1, a = 1.36, a = 1.56, a = zmeny hodnoty a a zobranených v programe STL viewer Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia dvoch dosiek). (y 2 a) (4x 2 (1 x 2 ) y 2 ) + z 2 1/4 a = 0, a = 0.2, a = Vizualizácia objektv Torus a Genus3) Vizualizácia objektu Jack, počet trojuholníkov zhora dole postupne 1560, 2824, 2824 a Wiffle cube(vpravo) 2638, 4224,

9 1 Úvod Technické modelovanie je prístup, pri ktorom na základe vlastností konkrétneho objektu tento objekt vymodelujeme. Objekty popisujeme matematickými rovnicami. Z matematickej analýzy poznáme 2 typy rovníc: explicitné a implicitné. V súčasnosti sa využíva najmä explicitná forma, konkrétne parametrická reprezentácia, pretože objekty popísané parametricky vieme najjednoduchšie vymodelovat. Problém je v tom, že nie všetky objekty reálneho sveta sa dajú parametricky opísat. Preto na ich opis používame implicitnú formu. Nepoznáme však univerzálny algoritmus, ktorý by objekt opísaný implicitne vedel vymodelovat. Preto používame rôzne aproximácie. V tejto práci vol ne nadväzujeme na diplomovú prácu Ondreja Jaborníka, ktorý sa zaoberal problematikou triangulácie implicitne definovaných plôch, t.j. generovaním trojuholníkovej siete povrchu a implicitne definovaného objektu. Popisuje rôzne spôsoby triangulácie, výpočet normály a detekcie ostrých hrán. Používa pritom známe metódy na prehl adávanie a generovanie povrchu a objemu daného objektu, konkrétne metódou Marching Cubs generuje objem objektu a následne metódou Marching Triangules vytvára povrch objektu. Táto triangulácia je univerzálne použitel ná aproximácia povrchu daného objektu, nemusí však byt najlepšia, dokonca sa môže zacyklit. Naším ciel om je spravit program na zadávanie a editáciu implicitných funkcií, ked že predchádzajúce práce využívajú vkompilované funkcie. Chceme v programe umožnit užívatel ovi zadávat a vizualizovat implicitne zadané objekty s čo najmenším množstvom parametrov, a tiež vygenerovat trojuholníkovú siet, ktorá bude aproximovat povrch implicitnej funkcie s čo najmenšou spotrebou pamäte a zároveň čo najrýchlejšie. Prvej kapitole popíšeme prehl ad teórie. V druhej kapitole predstavíme použité technológie, ktoré využijeme na implementáciu. V tretej kapitole popisujeme 9

10 postup práce, v štvrtej kapitole analyzujeme použité algoritmy. V piatej kapitole aanalyzujeme pamät ovú náročnost a rýchlost použitých algoritmov vizualizujeme výsledky implicitnej funkcií. V šiestej kapitole predstavujeme dosiahnuté výsledky a možnosti budúcej práce. 10

11 2 Plochy a spôsoby ich zádavania V tejto kapitole zavedieme základné definície a tvrdenia, ktoré budeme využívat v nasledujúcich kapitolách. Oboznámime sa s parametrickymi plochami, implicitnou funkciou. Väčšinu materiálov sme čerpali z [1], [2]. 2.1 Parametrické plochy V geometrií a v počítačovej grafike sa plochy najčastejšie zadávajú parametricky, využitím bodovej funkcie dvoch (číselných) premenných, a to pomocou zobrazenia P : D E 3, kde D je oblast v číselnej rovine R 2. Klasický zápis: P = P (u, v), (u, v) D, V súradniciach: P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) D, Obrázok 1: Parametrická reprezentácia bodu P (u, v) na ploche. kde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) sú číselné funkcie premenných (u, v) D pozri obr.1. Premenné (u, v) nazývame parametrami bodu P (u, v). Pod oblast ou v číselnej rovine rozumieme neprázdnu súvislú množinu D, ktorej uzáver je uzáverom jej vnútra: D = intd (pozri [1]). Parciálne derivácie bodových, vektorových a číselných funkcií skrátene označujeme pomocou dolných indexov, napr. P u = P u = (x u, y u, z u ), P v = P v, P uu = 2 P u 2, P uv = 2 P u v, P uv = 2 P v 2 11

12 Od parameterického vyjadrenia plochy P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), kde (u, v) D, sa vyžaduje, aby funkcia P (u, v) bola hladká a regulárna. Funkcia P = P (u, v) je hladká, ak pre ňu existujú parciálne derivácie všetkých rádov, t.j. existujú parciálne derivácie všetkých rádov funkcií x(u, v), y(u, v), a z(u, v). Funkcia P = P (u, v) je regulárna, ak vektory P u a P v sú lineárne nezávislé pre všetky hodnoty premenných u a v. P u P v 0 všade, resp. hodnost Jacobiho matice je 2. (x, y, z) (u, v) = To je ekvivalentné s podmienkou ( xu y u z u x v y v z v Plocha sa niekedy určuje rovnicou F (x, y, z) = 0 pre neznáme súradnice x, y a z, kde, ktorá spĺňa podmienku hladkosti a aj regulárnost t.j. grad F (x, y, z) 0 (odsek 2.3). Parciálna derivácia bodovej funkcie p(u, v) je vektorová funkcia prípadne p(u, v) u p(u, v) v ( x(u, v) =, u ( x(u, v) =, v y(u, v), u y(u, v), v ) ) z(u, v), 0, u ) z(u, v), 0 v. Pre u = a, v = b určuje vektor dotyčnice parametrickej u čiary, príp. v čiary v bode P (a, b), ktorý označujeme p u (a, b), príp. p v (a, b). Bod plochy, v ktorom je niektorá z parciálnych derivácií bodovej funkcie plochy nulovým vektorom, prípadne sú vektory v tomto bode lineárne závislé, nazývame singulárny bod. V regulárnom bode P (a, b) sú vektory dotyčníc parametrických čiar nenulové 12

13 a lineárne nezávislé a definujú jedinú dotykovú rovinu τ(a, b) plochy. Dotyková rovina τ v regulárnom bode P (a, b) plochy obsahuje dotyčnice všetkých čiar, ktoré ležia na ploche a prechádzajú bodom dotyku. Vektor n(a, b) = p u (a, b) p v (a, b) nazývame vektorom normály plochy v regulárnom bode P (a, b). Je kolmý na dotykovú rovinu a pre kladne orientovanú plochu je orientovaný polpriestoru od dotykovej roviny ako plocha. Obrázok 2: Normála plochy v bode P (a, b) Priamka určená vektorom normály a prechádzajúca bodom P (a, b) sa nazýva normála plochy pozri obr.2. Normála plochy je kolmá na dotyčnice všetkých čiar plochy prechádzajúcich bodom P (a, b), ktoré sú priamkami dotykovej roviny τ(a, b). 2.2 Implicitne zadané plochy Implicitná funkcia je určená rovnicou, ktorá každému bodu v priestore prirad uje určitú hodnotu. Táto hodnota môže byt hustota objektu alebo intenzita sily v danom mieste v priestore. Rovnice, ktoré opisujú implicitne definovanú plochu, vystupujú implicitné funkcie a ich hodnota závisí na polohe bodu (v Euklidovskom trojrozmernom priestore E 3 ) Nech F (x, y) je spojitá funkcia. Rovnica F (x, y) = 0 môže definovat funkciu 13

14 y = y(x), ktorá spĺňa rovnicu, teda platí F (x, y(x)) = 0. Hovoríme, že funkcia y = y(x) je určená implicitne. Veta.: Daná je rovnica F (x, y) = 0 a pre bod A = [x 0, y 0 ] platí F (x 0, y 0 ) = 0. Nech funkcia F (x, y) je diferencovatel ná v bode A a nech platí F y(x 0, y 0 ) 0. Potom existuje jediná spojitá funkcia y = y(x) určená implicitne rovnicou F (x, y) = 0 v istom okolí bodu x 0, pričom y(x 0 ) = y 0. Derivácia tejto implicitne určenej funkcie v bode x 0 je daná vzorcom y (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y(x 0, y 0 ). Podrobnejší výklad, príklady a tiež výpočet parciálnych derivácií implicitne danej funkcie určenej rovnicou sú v [2] Obrázok 3: Povrch definovaný implicitne pomocou funkcie pre (f(x, y, z) < 0 sa bod nachádza vo vnútri) pre (f(x, y, z) = 0 sa bod nachádza na ploche) pre (f(x, y, z) > 0 sa bod nachádza mimo plochy) 14

15 2.3 Povrchová reprezentácia Povrchová reprezentácia pracuje len s povrchom objektu, ktorý môže byt daný analyticky alebo aproximovaný pomocou bodov, úsečiek či polygónov. Povrch telesa môže byt zadaný, analyticky presne, alebo pomocou vhodnej aproximácie môžeme nahradit zakrivené časti povrchu rovinnými plôškami v tvare mnohouholníka. Analytické vyjadrenie je presnejšie a jednoduchšie na uchovávanie, aproximácia je však rýchlejšia. Pre podrobnejšie informácie pozrite [3] [6] Reprezentácia pomocou vrcholov Najjednoduchšie môžeme reprezentovat povrch telesa pomocou množiny bodov, ktoré sa na povrchu nachádzajú. Body okrem svojich súradníc môžu obsahovat aj nejakú dodatočnú informáciu, napr. farbu, či normálu v danom bode pozri obr. 4 Obrázok 4: Reprezentácia pomocou vrcholov [5] Reprezentácia pomocou hrán Plocha sa dá reprezentovat okrem vrcholov aj pomocou hrán. Ak je povrch telesa daný vrcholmi a hranami, ktoré tieto vrcholy spájajú, reprezentácia sa 15

16 nazýva drôtený model wireframe. Vrcholy aj hrany môžu aj v tomto prípade obsahovat nejakú d alšiu informáciu okrem súradníc pozri obr.5. Obrázok 5: Reprezentácia pomocou hrán [5]. 16

17 2.4 Marching cubs Tento algoritmus sa používa na zostrojenie plochy. Výstupom je siet trojuholníkov, ktoré sú aproximáciou plochy pre danú hodnotu. Princíp metódy spočíva v tom, že prerozdelíme 3D priestor na kocky. Sleduje v rámci kocky či jej vrcholy ležia vo vnútri danej plochy alebo vonku. Na základe toho určí trojuholníky, ktoré aproximujú tú čast plochy, ktorá danú kocku pretína. Na obrázku 6. je 15 základných konfigurácií ako môžu kocky pretínat danú plochu, ostatné z nich vzniknú symetriou, rotáciou, prípadne inverziou. Viac sa môžeme dočítat v [12] [13] [14] Obrázok 6: Marching cubs 15 základných konfigurácií ako môžu kocky pretínat danú plochu Obrázok 7: Prerozdelenie [12.] 17

18 2.5 Konštruktívna geometria telies - CSG Pri konštruktívnej geometrií telies (Constructive Solid Geometry, CSG) uvažujeme niekol ko základných telies, z ktorých potom skladáme výsledný objekt. Na to používame transformácie a boolovské operácie. Základné telesá nazývané aj ako CSG primitívy môžu byt objekty ako napr. kváder a gul a. Pomocou boolovských operacií( zjednotenie, prienik a rozdiel) môžeme vytvárat nové objekty pozri obr.8. Tie reprezentujeme v stromovej štruktúre (CSG strom). [6] Booleovské operácie sú definované: (f g)(p):= max(f(p),g(p)) (f g)(p):= min(f(p),g(p)) (f \ g)(p):= min(f(p),-g(p)) Obrázok 8: Boolovské operácie 2.6 Numerické metódy V tejto časti sa budeme zaoberat numerickým riešeniam rovníc s jednou neznámou tvaru f(x) = 0, kde x je číslo a nazýva sa koreň. Riešit danú 18

19 rovnicu znamená nájst jej koreň, pričom musí platit, že počiatočná aproximácia je dostatočne blízko k hl adanému koreňu a iteračná metóda vždy konverguje. Popíšeme numerické metódy, ktoré spĺňajú vyššie uvedené predpoklady a niektoré z nich použijeme v práci Metóda bisekcie Metóda bisekcie je založená na skutočnosti, že spojitá funkcia mení znamienko v okolí koreňa. Ku konvergencii stačí, aby funkcia bola spojitá, a derivácia nemusí vôbec existovat. Ak interval obsahuje viac ako jeden koreň, bisekčná Obrázok 9: Bisekčná metóda na itervale (a 0, b 0 ) metóda vie nájst aspoň jeden z nich. Predpokladajme že chceme riešit rovnicu f(x) = 0, kde f je spojitá funkcia. Bisekčná metóda delí interval medzi dvoma bodmi f(a 0 ) a f(b 0 ), ktoré majú opačné znamienka na polovicu. Z novo vzniknutých intervalov si zvolíme 19

20 ten, v ktorom majú hodnoty krajiných bodov opačné znamienka a pokračuje, kým nenarazí na koreň Metóda sečníc Teraz uvedieme dve najjednoduchšie numerické metódy, ktoré umožnia nájst koreň rovnice. Predpokladajme že f je spojitá funkcia na intervale a, b a nech f(a)f(b) < 0. Vieme vypočítat hodnotu f(x) pre x a, b s dostatočnou presnost ou. Potom metóda inverznej interpolácie sa dá modifikovat Obrázok 10: Metóda sečníc tak, že k zvolenému bodu a = x 0 < x 1... < x i = b pribudne d alší bod x i+1, pre ktorý sa hodnota interpolačného polynómu inverznej funkcie rovná nule a celý postup opakujeme. Ak nechceme zvýšit stupeň interpolačného polynómu vynecháme jeden bod napr. x 0 Ak je inverzná interpolácia lineárna (vtedy uvažujeme len posledné dva body. x i 1 a x i.), hovoríme o metóde 20

21 sečníc (pozri obr.10) Vtedy platí kde y j = f(x j ). x i+1 = F i (x i, x i 1 ) = x i x i x i 1 y i y i 1 y i ; Ak je inverzná interpolácia lineárna, funkcia f nemá v intervale (a, b) inflexný bod (t.j. bod, v ktorom sa funkcia mení z konvexnej na konkávnu alebo opačne), je spojitá a platí f(a)f(b) < 0, potom vieme najst jednoduchý koreň metódu regula falsi: x i+1 = kde x 0 a x i sú hranice intervalu a, b. y i y i y 0 x 0 + y 0 y 0 y i x i ; (i = 1, 2,...) Newtonova - Raphsonova metóda Rád l ubovol nej jednobodovej iteračnej metódy danej iteračnou funkciou F (x) je prirodzené číslo. Podrobnejšie, F (x) je rádu r vtedy a len vtedy, ak platí: F (λ) = λ, F (j) (λ) = 0, pre 1 j < r, F (r) (λ) 0. Najčastejšie používaná je Newtonova-Raphsonova metóda: x i+1 = F (x i ) = x i f(x i )/f (x i ). Funkciu f nahradíme jej dotyčnicou v bode x i a nájdeme koreň dotyčnice, ak existuje. Pretože je pre f(λ) = 0, F (λ) = λ, F (λ) = 0, F (λ) = f (λ)/f (λ), je táto metóda pre jednoduchý koreň aspoň druhého rádu. Pre p-násobný koreň má Newtonova-Raphsonova metóda tvar: x i+1 = x i p.f(x i )/f (x i ). a je tiež aspoň druhého rádu. 21

22 Obrázok 11: Newtonova-Raphsonova metóda Uvedieme príklad, kde porovnávame spomínané metódy. Príklad 9. Hl adáme koreň rovnice 5x x 2 17x 24 = 0 ležiaci v intervale (1, 2). V tabul ke sú prvé aproximácie koreňa nájdené uvedenými metódami. Výpočet sa prerušil, ked bolo x i+1 x i < Metóda Sečníc Regula falsi Delenie intervalu Newtonova napoly=bisekcia -Raphsonova i x i x i x i =(a i + b i )/2 x i , ,4444 1,4444 1,75 1, ,5422 1,5667 1,625 1, , ,5932 1,5625 1, , ,5986 1, , ,5997 1, Presná hodnota koreňa je λ = 1, 6. 22

23 3 Použité technológie 3.1 C# V angličtine Si-sharp je objektovo-orientovaný programovací jazyk vyvinutý spoločnost ou Microsoft. Za základ pre nový jazyk C# si Microsoft zobral C++ a jazyk Java. C# bolo navrhované s úmyslom vyvážit silu jazyka C++ s možnost ou rýchleho programovania rapid application development, ktoré ponúkali jazyky ako napríklad Visual Basic a Delphi. Vlastnosti jazyka Tento jazyk bol priamo navrhnutý tak, aby umožňoval využitie všetkých vlastností, ktoré poskytuje CLI(Common Language Infrastructure), to znamená, že kompilátor jazyka C# nemusí mat za ciel ovú podpornú platformu priamo CLI, respektíve vôbec nemusí generovat medziprekladový jazyk MSIL (Microsoft Intermediate Language) ani žiaden iný formát. Teoreticky je možné vytvorit kompilátor jazyka C#, ktorý bude prekladat priamo do strojového kódu ako tradičné kompilátory jazyka C++, Fortran a podobne. Triedy sú väčšinou organizované do menných priestorov namespace. Na rozdiel od C a C++ umožňuje lepšiu čitatel nost zdrojového kódu. Vd aka tomu sa stal obl úbením programovacím jazykom. [9] 23

24 3.2 DirectX DirectX je programátorské rozhranie (Application Programming Interface) pre multimediálne programy a pre počítačové hry fungujúce na platforme Windows. DirectX nie je len obyčajné rozhranie, ale je to zbierka rôznorodých komponentov, ktorá ponúka podporu pre audio a rôzne vstupné zariadenia (napr. myš, joystick) a siet ovú komunikáciu. Pokrýva takmer celú multimediálnu oblast. Poskytuje vel mi kvalitné rozhranie pre prácu s 2D a 3D grafikou. Momentálne je aktuálna verzia DirectX 10.1 pod operačným systémom Windows Vista. V práci som používala DirectX 9.0c. Direct3D je trojrozmerné rozhranie, teda obsahuje mnoho príkazov na trojrozmerné renderovanie, obsahuje však aj niekol ko príkazov na dvojrozmernú grafiku. Toto rozhranie je pravidelne aktualizované, aby podporovalo posledné technológie grafických kariet. Podporuje plnú softvérovú emuláciu vertexov, no nepodporuje žiadnu emuláciu pixelových vlastností, ktoré nie sú podporované hardvérom. Napríklad, ak je program naprogramovaný na používanie Direct3D s pixel shaderom a grafická karta to nepodporuje, Direct3D to nebude emulovat. Aplikačné rozhranie definuje referenčný rasterizér alebo referenčné zariadenie, ktoré emuluje štandardnú grafickú kartu, hoci je to príliš pomalé, ak sa to použije na emuláciu v akejkol vek aplikácií a pixel shadery sú obyčajne ignorované. Hlavným súperom rozhrania Direct3D je OpenGL. Viac sa o DirectX môžeme dočítat v [10] [11]. Vd aka l ahko prístupným tutoriálom na stránke Riemer XNA [10] máme možnost vyskúšat DirectX pre C#. Základ zdrojového kódu sme použili priamo z tohto tutoriálu. using Microsoft.DirectX; using Microsoft.DirectX.Direct3D; staticvoid Main() { using (WinForm our_directx_form = new WinForm()) { Application.Run(our_directx_form); } 24

25 Príklad: Vytvorenie pol a vrcholov trojuholníkov CustomVertex.TransformedColored[]vertices = new CustomVertex.TransformedColored[3]; a ich vykreslenie: device.beginscene(); device.vertexformat=customvertex.transformedcolored.format; device.drawuserprimitives(primitivetype.trianglelist, 1, vertices); device.endscene(); Viac informácií na [9]. 25

26 4 Popis práce 4.1 Úvod Obrázok 12: Algoritmus postupnosti krokov V tejto kapitole popisujeme celý postup práce. Podrobne opíšeme nami navrhnuté algoritmy a interface medzi nimi, ktoré umožnia spracovat implicitne zadanú funkciu až po trojuholníkovú vizualizáciu funkcie danej implic- 26

27 itne. Postupnost krokov, znázorňená na vývojovom diagrame pozri obr. 12, nám umožní vytvorit prehl ad o prepojení jednotlivých funkcií, ktoré postupne detailnejšie vysvetlíme v jednotlivých podkapitolách. Práca sa delí na tieto hlavné časti: 1. program Implicit surface editor na načítavanie a zadávanie implicitných funkcií 2. rýchle vypočítanie implicitnej funkcie 3. obálka IF(bouding box) 4. triangulácia implicitnej funkcie 5. vizualizácia dát 4.2 Popis programu Implicit surface editor Program Implicit surface editor slúži na zadávanie implicitne definovaných plôch a objektov pre program VizualizáciaIF. Program sa skladá z troch častí pozri obr. 13, V hornej časti nám umožňuje vybrat špeciálne predpripravené skupiny implicitných funkcii, ktoré spolu tvoria objekt. Každému objektu zodpovedá jeden textový súbor, ktorý je možné editovat v programe (napr.: v programe Notepad). 2. V strednej časti zadávame (zvolíme) vzorec funkcie danej implicitne. V prípade, že zvolíme dva objekty tak možeme použit medzi nimi jednu z troch booleovských operacií: rozdiel, zjednotenie a prienik týchto objektov. Takto nám vzniká vel ká škála testovacích dát pre náš program. Program podporuje tieto typy operacií: +,,, /, sin, cos, tan, asin, acos, atan Ako premenné si môžme zvolit : x, y, z a a. 27

28 Obrázok 13: Implicit surface editor 28

29 Obrázok 14: Implicit surface editor Hodnotu premennej a môžeme potom pomocou kláves O a P menit a tak môžeme pozorovat zmenu objektu (štandardne je hodnota a rovná 0). 3. V spodnej časti môžme nastavit obálku IF (bouding box). Umožnuje nám zobrazit len čast objektu definovaného pomocou implicitne danej funkcie. Po stlačení tlačítka RUN sa uložia informácie do textového súboru pre d alšie spracovanie programom Vizualizácia IF. 4.3 Popis programu Vizualizácia IF Rýchle vypočítanie IF zo zadaného vstupu Na vstupe máme zadanú implicitnú funkciu (IF) vytvorene v programe Implicit surface editor v textovom súbore. Pre rýchly výpočet hodnoty IF v bode x,y,z potrebujeme vytvorit parser, ktorý spracuje textový súbor a 29

30 vytvorí datovú štruktúru, ktorú potom neskôr použijeme na rýchle výpočty IF pomocou funkcie void PredvypocitajDataIF(string retazecif); Základnou jednotkou pola objektov je objekt class ParseOperation { public int i1, i2, i3; double d1, d2; } Objekt ParseOperation reprezentuje jednu matematickú operáciu (+,, /,, sin, cos, tan) medzi jednou alebo dvoma hodnotami. Akýkol vek vzorec premeníme na pole dát typu ParseOperation a priebežných výsledkov AV typu double. Pre operáciu typu A (operácia) B bude hodnota i 1 a i 3 0 ak odkazuje do pol a AV (dočasné pomocné pole kde ukladáme medzi výpočty, hodnotu i teho riadku z list vypočtov uložíme do i teho riadku AV pola) na príslušné miesto, ktoré obsahuje výpočet daného riadku. Hodnota i 1 (i 3 ) je = 2 pre A(B) = x = 3 pre A(B) = y = 4 pre A(B) = z = 5 pre A(B) = a (dynamická hodnota použitá pre animáciu) = 1 ak A je reálne číslo, vtedy d1 = A = 1 ak B je reálne číslo, vtedy d2 = B Hodnota i 2 rovná sa 5, pre operáciu * 6, pre operáciu / 7, pre operáciu + 8, pre operáciu - 30

31 9, pre operáciu 10, pre operáciu sin 11, pre operáciu cos 12, pre operáciu tan Príklad: (x 2 y z) = spracujeme operáciu x 2 do objektu ParseOperation ako ParseOperation vzorec1 = new ( 2, 5, 1, 0, 2); pričom výsledok tejto operácie sa vloží do pola AV po prvom kroku dostanem string(av000 - y*z). Takto pre zadanú IF vytvoríme pole ListVypoctov. Deklarácia v C# vyzerá nasledovne: Arraylist ListVypoctov = new ArrayList(); ktorá obsahuje ParseOperation hodnoty. Na výpočet hodnoty funkcie danej implicitne (IF) v bode x, y, z, a použijeme funkciu double VypocitajIF(double x, double y, double z, double a) ktorá z predpripraveného pol a ListVypoctov vráti hodnotu IF v danom bode. Takže príklad (x 2 y z) bude vyzerat v poli ListVypoctov nasledovne: i x 2 y z } {{ } A001 } {{ } A000 } {{ } A002 31

32 4.3.2 Nájdenie obálky IF (bouding boxu) Pre d alšie spracovanie IF potrebujeme nájst obálku IF (bouding box). V prípade, že nemáme na vstupe zadanú obalku IF tak väčšina programov používa na nájdenie začiatočného bodu jednu z troch nasledujúcich metód: Exhaustive search Algoritmus Random search Algoritmus Random search Ako je popísané v práci [13] nevýhodou týchto metód je skutočnost že nenájdu oddelené časti objektov (pozri obr. 27), preto spravíme nový algoritmus, ktorý bude prehl adávat celý priestor. Náš algoritmus používa nasledujúce metódy na hl adanie obálky IF(bouding box): 1. Hodnota funkcie IF v náhodne vygenerovanom bode. 2. Hl adanie zápornej hodnoty IF (ak nájdeme zápornú hodnotu použijeme funkciu BisekciaXYZ, ktorá nájde hodnoty implicitnej funkcie v smeroch x, y a z.) 3. Využitie najmenšej nájdenej kladnej hodnoty okolo ktorej budeme d alej hl adat (t.j. ak hodnota IF pre (x 1, y 1, z 1 ) je 1000, a hodnota pre (x 2, y 2, z 2 ) je 10 predpokladame, že x 2, y 2, z 2 je bližšie k IF, takže okolo tohto bodu budeme d alej hl adat ). Pomocou tejto metódy nájdeme gul u o polomere 1 v kocke s intervalom ( 100, 100) pre x, y, z t.j. v objeme v V prvom kroku testujeme kocku z intervalom ( 1, 1) v každom smere. V nej náhodne vygenerujeme body, v ktorých zist ujeme či hodnota IF v danom bode je kladná alebo záporná. Ak nájdeme zápornú hodnotu IF dáme ho do pomocného listu Polebodov a hl adáme d alej. Ak sme našli dostatočný počet bodov (pre nás je to 10 bodov) zo zápornou hodnotou IF, tak na 32

33 Obrázok 15: Aproximácia implicitnej funkcie. týchto nájdených bodoch použijeme našu numerickú metódu BisekciaXYZ. A takto získaných bodov vytvoríme obálku (bouding box). Ak sme nenašli dostatok bodov tak postupne zväčšujeme interval hl adania až na hodnotu ( 100, 100). Ak ani vtedy nenájdeme dostatok bodov, tak použijeme metódu hl adania najmenšej kladnej hodnoty okolo, ktorej budeme hl adat d alej. Ak narazí aspoň na jeden prechod ( t.j. medzi kladnou a zapornou hodnotou) pri 1400 výpočtoch, oplatí sa zväčšit prehl adávaci priestor, aby sme mali väčšiu pravdepodobnost narazit na d alší prechod. Pretože z implicitnej funkcie vyplýva, že pri jednom nájdenom bode existuje aj d alší hl adaný bod. Kombináciou týchto metód nájdeme obálku (bouding box) zadanej implicitnej funkcie, ak existuje BisekciaXYZ Majme bod B(x, y, z). Ak hodnota IF v bode B je záporná, tak B je vnútri objektu. Vypočítame pre neho 6 vrcholov, t.j. hl adáme na intervaloch (x, 100) a ( 100, x) body, v ktorých hodnota IF bude kladná. To isté urobíme v smere y a z. Takto postupujeme pre všetky body z pol a Pole- 33

34 bodov. Z nových bodov, ktoré nájdeme spravíme obálku, t.j. nájdeme všetky min x, min y, min z, a max x, max y, max z. Takto získame hl adanú obálku IF (bouding box) pozri obr. 16. Obrázok 16: Obálka IF (bouding box) Ak používatel zadal v programe Implicit surface editor vlastnú obálku IF (bouding box), tak ju použijeme. 34

35 4.3.4 Vypočítanie hodnôt implicitnej funkcie na nájdenej obálke IF(bouding box) Z obálky IF (bouding box) získame hodnoty v x, v y, v z, čo sú rozmery obálky IF (bouding box) ako kvádra. Ten budeme postupne rezat v smere x (pre krok 3 v smere y). Pre každý rez A j, kde j < 0, v x > vytvoríme pole bodov vypočítaných z IF, t. j. rez A j = (a 0, a 1,..., a n ), kde a i, pre i < 0, n >, sú body IF. Body a i vyrátavame pre rez A j podl a nasledovných krokov: 1. Pre každý rez A j hl adáme y k, kde k < 0, v y >, hodnoty z, v ktorých nastane prechod hodnoty IF do kladného zo záporného alebo naopak. Medzi týmito hodnotami je náš hl adaný bod a i. Na jeho presnejšie nájdenie použijeme numerický algoritmus BisekciaZ (názov je podl a toho, že hl adáme z-tovú hodnotu), ktorý nájde z-tovú hodnotu so zadanou toleranciou. Takto nájdený bod pridáme do pola bodov pre príslušný rez A j. Obrázok 17: Bisekčná metóda nájde bod IF na intervale (zelená úsečka v smere Z, modrá v smere Y). Pospájané body (žlté úsečky) aproximujú IF. Obrázok pre zadanú x-ovú a y-ovú hodnotu hl adáme z-tovú hodnotu z < 0, v z > 35

36 2. Podobne ako v prvom kroku, hl adáme prechod hodnoty IF do kladného zo záporného alebo naopak, ale v tomto kroku porovnávame hodnoty medzi y k 1 a y k (respektíve y k+1 a y k ) pre zadané x a zvolené z. Obrázok pre zadané x a y k 1 a y k hl adáme: 3. Tu budeme postupne rezat v smere y a použijeme predchádzajúce kroky s tým, že miesto rezov x robíme rezy y. Potom pre každé dva rezy A i a A i+1, na ktorú použijeme numericky algoritmus BisekciaX. Podobne ako v predchádzajúcich krokoch, hl adáme prechod hodnoty IF do kladného zo záporného alebo naopak, ale v tomto kroku porovnávame hodnoty medzi x k 1 a x k (respektíve x k+1 a x k ). Medzirez M j kde j < 0, v x > Algoritmus na trianguláciu. A 0 a A 1 čo sú listy, ktoré zahŕňajú všetky vrcholy pre daný rez, kde A 0 = (a 0, a a n ) A 1 = (b 0, b b m ). Náš algoritmus postupuje podobne ako MC a vytvára pomocou rezov mriežkovú sústavu, ktoré nám pripomína MC prerozdelenie na kocky. Tak ako pri sledovaní povrchu pri MC pozorujeme základné konfigurácie vo vrcholoch. Nakol ko využívame obálku implicitnej funkcie na základe ktorej, môžeme určit vzdialenost rezov A j (step). V prípade nedostatočnej kvality vizualizacie môžeme hodnotu step menit. Vytvárat trojuholníky budeme vždy z troch rezov A i a A i+1 a medzirezom M i. Postupne prechádzame mriežkovú sústavu a po častiach ( kockách ) s rozmermi y a y + step a z a z + step, z týchto troch rezov zoberieme body, ktoré nachádzajú na hrane daného intervalu. Na takto získané hodnoty použijeme nasledovný algoritmus. 36

37 Obrázok 18: Hl adáme postupnost vrcholov vhodnú pre trianguláciu Majme vrcholy V 0...V n a kde n je z intervalu < 0, 11 >. Hl adáme postupnost vrcholov vhodnú pre trianguláciu. 1. Zvolíme si prvý bod. 2. Pre zvolený bod hladíme na susediacich stenách najbližší d alší bod. 3. Druhý krok opakuje až kým nenájdeme d alší bod. Takto postuptupne prechádzame všetky vrcholy a získame vhodnú postupnost pre trianguláciu. Špeciálne prípady: V prípade že algoritmus nenájde aspoň tri vrcholov posunieme sa na d alšiu kocku. Ak takýmto postupom nedostaneme rovnaký počet vrchov čo sme mali dispozíci na vstupe jednoducho algoritmu odfiltruje možný problém. Napr. na každej hrane by nachádzal jeden vrchol alebo pozri obr.18. Takto získanú postupnost vrcholov pospájame trojuholníkmi a postupnost nám zároveň minimalizuje možné problémy s trojuholníkmi. Vrcholy pospájame medzi sebou tak aby nevznikli medzi trojuholníkmi diery a zároveň sa neprekrývali. pozri obr

38 4.4 Popis programu Vizualizácia IF Samotný program na vizualizáciu slúži na vykreslenie trojuholníkov vstupnej IF. Program možeme ovládat pomocou nasledovných kláves. pomocou tohto tlačidla priblížime objekt pomocou tohto tlačidla oddialime objekt zväčšuje hustotu trojuholníkovej siete zmenšuje hustotu trojuholníkovej siete rotuje objekt okolo osi y v danom bode rotuje objekt okolo osi x v danom bode uloží trojuholník do stl súboru Help zobrazí a skryje návod Obrázok 19: Popis programu Vizualizácia IF 38

39 5 Analýza algoritmov 5.1 Pamät ová náročnost Analýza výpočtu IF Na výpočet IF (vid. kapitola 4.3.1) potrebuje funkcia PredvypocitajdataIF pole objektov ParseOperation. Spotreba pamäte je ParseOperation * počet všetkých matematických operácií vo vzorci Analýza nájdenia obálky IF Spotreba rovna pamäte algoritmu je rovná velkosti listu PoleBodov, ktorý obsahuje vrcholy, z ktorých potom vytvárame obálku IF O(n) Analýza algoritmu na vypočítanie hodnôt IF Rezy A 0 až A n obsahujú všetky vypočítané vrcholy IF. Preto pamät ová náročnost je rovná počtu všetkých vypočítaných bodov IF pozri obr Analýza algoritmu na trianguláciu V pamäti vždy potrebujeme maximálne 3 rezy A i, A i+1 a M i, čo sú listy všetkých vrcholov pre daný rez. Pamät ová náročost je O(n 2 ) 39

40 5.2 Rýchlost Analýza rýchlosti výpočtu IF Neustále spracovanie string-u je príliš pomalé v C# tak že sme na výpočet IF vytvorili vlastnú štruktúru, ktorá sa raz vytvorí pre zadaný IF a na samotný výpočet sa použije naša štruktúra (ParseOperation), ktorá je len o máličko pomalšia ako priame zadanie vzorca do kódu. V našich testoch bola maximálne 10-krát pomalšia Analýza rýchlosti najdenia obálky IF Tento algoritmus funguje na testovaní hodnoty IF a rozhoduje sa, či nájde hodnotu IF menšiu ako 0. Najhoršia zložitost algoritmu je 6x1400x rýchlost výpočtu IF v testovanom bode teda O(n). Vtedy však algoritmus obálku IF nenájde Analýza rýchlosti algoritmu na vypočítanie hodnôt IF Rýchlost algoritmu je v x *v y *v z * 1 * rýchlost výpočtu hodnoty v bode, step 3 kde step je vzdialenost medzi jednotlivými rezmi a j (vid kapitola 4.3.4). Teda zložitost je O(n 3 ) Takto výpočítavame vel a zbytočných hodnôt, ale vzhl adom ktomu, že rýchlost je relatívne dostačujúca, sme túto čast neoptimalizovali. Tu vidíme priestor na možné urýchlenie Analýza rýchlosti algoritmu na trianguláciu Trojuholníky vytvárame medzi dvoma rezmi, ktoré majú n respektíve m vrcholov. Ked že vrcholy sú usporiadané, testujeme vrcholy len vrámci jednej kocky. Celková zložitost je potom O(n 3 ). 5.3 Zhrnutie Vzhl adom k tomu, že sme dávali väčšiu prioritu na spotrebu pamäte, tak rýchlost algoritmov nie je úplne ideálna a dala by sa zlepšit. Existujú optimalizačné, rezervy rýchlosti algoritmov. Vzhl adom na dosahované výsledky 40

41 je však rýchlost postačujúca. Väčšina naších testovaných dát sa vykreslila do 1 sekundy. 6 Výsledky 6.1 Boolovské operácie Demonštrujeme príklad zjednotenia, rozdielu a prieniku na dvoch implicitne zadaných gul ových plochách. Obrázok 20: Vizualizácia zjednotenia objektov Obrázok 21: Vizualizácia prieniku dvoch objektov 41

42 Obrázok 22: Vizualizácia rozdielu dvoch objektov 6.2 Animácia Pridaním novej premennej a (krok plus, mínus 0.04 (klávesy O a P)) do vzorca IF môžeme pozerat, aký má vplyv na vizualizáciu implicitnej funkcie. Obrázok 23: Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (hranová reprezentácia). IF = ((x 2 ) + (y 3 (a 1)) + z 2 1) (x 2 + ((y (a 1) 4) (y (a 1) 4)) + z 2 0.5) 0.15 ak a = 0.36, a = 0.44, a = 0.6, a =

43 Obrázok 24: Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia). a = 0.36, a = 0.44, a = 0.6, a = 0.8 Obrázok 25: Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (hranová reprezentácia). IF = (x 2 + y 2 + z 2 1) (x 2 + ((y a 2 ) (y a 2 )) + z 2 0.5) 0.15a = 0, a = 1, a = 1.36, a = 1.56, a = 2 43

44 Obrázok 26: Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia). a = 0, a = 1, a = 1.36, a = 1.56, a = 2 Obrázok 27: zmeny hodnoty a a zobranených v programe STL viewer. 44

45 Obrázok 28: Animácia zmeny IF pomocou dynamickej premennej (trojuholníková reprezentácia dvoch dosiek). (y 2 a) (4x 2 (1 x 2 ) y 2 ) + z 2 1/4 a = 0, a = 0.2, a = 0.64 Obrázok 29: Vizualizácia objektv Torus a Genus3) 45

46 Obr azok 30: Vizualiz acia objektu Jack, poˇcet trojuholn ıkov zhora dole postupne 1560, 2824, 2824 a Wiffle cube(vpravo) 2638, 4224,

47 7 Záver Primárnym ciel om práce bolo zostavenie funkčného a rozšíritel ného zdrojového kódu na aproximáciu implicitne definovaných plôch. Ciel om bolo vytvorit vzorový program s komentármi, ktorý bude vol ne dostupný z katedrálneho servera. Práca nadväzuje na dve diplomové práce obhajované v šk. roku 2005/06 zamerané na čiastočné riešenie niektorých podproblémov. Práca Ondreja Jabornika riešila problémy detekcie hrán a rozšírenie známych algoritmov MC a MT. Vybrali sme sa iným smerom. Snažili sme sa čo najjednoduchšie sprístupnit problematiku IF pre bežného užívatel a, t. j. pokial možno bez komplikovaných parametrov, jednoduché GUI a príklady na vizualizáciu. Vytvorili sme vlastné metódy, spravili sme rýchly parser, ktorý zo zadaného vstupného ret azca (objekt string v C#) vypočíta hodnotu IF v bode, následne d alším algoritmom nájde obálku IF (bouding box) a potom vytvorí trojuholníky z vypočítaných bodov ktoré získame pomocou numerickej metódy. Pridali sme aj podporu booleovských operácií a animácie, kde si môže užívatel dynamicky menit hodnotu parametra vstupného vzorca. Program bol spravený v najnovšom vývojovom prostredí MS Visual Studio 2008 v programovacom jazyku C# a na vizualizáciu používa Direct X. 7.1 Budúca práca Vylepšenie práce vidíme v pridaní nových vzorcov, zadávaní booleovských operácií priamo do vzorcov, zlepšení kvality triangulácie a optimalizovaní algoritmu na hl adanie obálky. 47

48 8 Literatúra Referencie [1] M. Božek, Učebný text k predmetu Geometria(2). Nepublikované, [2] dopnit, Matematická analýza. Matematika 1, odst [3] J. Žára, B. Beneš, J. Sochor, P. Felkel, Moderní počítačová grafika(2.vydání):,computer Press, 2005 [4] [5] M. Remešíková Prednášky z predmetu Počítačová grafika [6] E. Ružický, A. Ferko,Počítačová grafika a spracovanie obrazu., Sapientia, Bratislava 1995 [7] Miroslav Nekvinda, Jiři Šrubař, Jaroslav Vild, Úvod do numerické matematiky, Praha 1976 SNTL-Nakladatelství technické literatúry. [8] Shaharuddin Salleh,Albert Y. Zomaya, Sakhinah Abu Baka Computing for numerical methods using VISUAL C++. A JOHAN WI- LEY & SONS, INC.,PUBLICATION [9] [10] [11] DirectX Pavel Pokorný. Začíname programovat. Grada Publishing a.s., [12] Jules Bloomenthal, Polygonization of Implicit Surfaces, May

49 [13] M. Čermák, Zobrazování povrchu scén definovaných pomocí implicitních funkcí a CSG stromů. Západočeská univerzita, Plzeň 2001 [14] Čermák Martin and Skala Václav, Surface curvature estimation for edge spinning algorithm.. In ICCS 2004, Poland, June [15] Ondrej Jabornik. Triangulácia implicitne definovanej ploch [16] [ [17] Numerical Root Finding 49

50 Zoznam príloh CD-ROM obsahujúci: Predkompilovanú verziu programov (vyžadujú.net Framework 3.5,DirectX 9.0c a DirectX 9 kompatibilnú grafickú kartu ) Zdrojové súbory našej implementácie. Súbory STL s výslednými trianguláciami Elektronickú verziu textu diplomovej práce. 50

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Vzorce pre polovičný argument

Vzorce pre polovičný argument Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko

Ma-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Objem a povrch rotačného kužeľa

Objem a povrch rotačného kužeľa Ma-Te-04-T List 1 Objem a povrch rotačného kužeľa RNDr. Marián Macko Ž: Prečo má kužeľ prívlastok rotačný? U: Vysvetľuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotačný kužeľ vznikne rotáciou, čiže otočením, pravouhlého

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO

PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené

Διαβάστε περισσότερα

Jednoducho o matematike

Jednoducho o matematike Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK

Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK Cyby a nepresnosti reportujte na kovac zavináč fotopriestor.sk 16. mája 2010 1 Úvod 1.1 Literatúra Babušíková, Slodička, Weisz - Numerické metódy Mila

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Vektorové a skalárne polia

Vektorové a skalárne polia Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá

Διαβάστε περισσότερα

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana. Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα

Generovanie náhodných čísel

Generovanie náhodných čísel Generovanie náhodných čísel Náhodné čísla sú dôležitá súčasť výpočtov v: modelovaní a simuláciách numerickej analýze rozhodovaní počítačovej grafike kryptografii dátovej komunikácií... Základné spôsoby

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie

Výpočet. sledu skrátenia koľajníc v zloženom oblúku s krajnými prechodnicami a s medziľahlou prechodnicou a. porovnanie Výpočet sledu skrátenia koľajníc v zloženo oblúku s krajnýi prechodnicai a s edziľahlou prechodnicou a porovnanie výsledkov výpočtového riešenia a grafického riešenia Príloha.4 Výpočet sledu skrátenia

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.

7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu. Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B

Διαβάστε περισσότερα

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

Kapitola K2 Plochy 1

Kapitola K2 Plochy 1 Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

7 Mechanika tuhého telesa

7 Mechanika tuhého telesa 105 7 Mechanika tuhého telesa V tejto kapitole sú popísané základy dynamiky sústavy hmotných bodov a tuhého telesa. Zovšeobecnia sa vzorce pre pohyb, rýchlosť a zrýchlenie takýchto sústav pomocou ťažiska.

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Podmienenost problému a stabilita algoritmu

Podmienenost problému a stabilita algoritmu Podmienenost problému a stabilita algoritmu Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Podmienenost a stabilita 1/19 Obsah 1 Vektorové a

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

Odraz a lom svetla. Kapitola 4

Odraz a lom svetla. Kapitola 4 Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených

Διαβάστε περισσότερα

Analytická geometria

Analytická geometria Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Predmet: Algoritmizácia a programovanie 2202 FEI Telekomunikácie Ročník: 1.ročník Rozsah: 3/2 ZS. Prednášajúci: Jiří Pospíchal. Anotácia Predmetu:

Predmet: Algoritmizácia a programovanie 2202 FEI Telekomunikácie Ročník: 1.ročník Rozsah: 3/2 ZS. Prednášajúci: Jiří Pospíchal. Anotácia Predmetu: Predmet: Algoritmizácia a programovanie 2202 FEI Telekomunikácie Ročník: 1.ročník Rozsah: 3/2 ZS Prednášajúci: Jiří Pospíchal Anotácia Predmetu: Úvod do algoritmizácie. Základne vlastnosti algoritmov.

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

ANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID

ANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα