Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK
|
|
- ÁἌλκιμος Μαρκόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerická matematika - výcuc LS 2009/2010, FMFI UK Cyby a nepresnosti reportujte na kovac zavináč fotopriestor.sk 16. mája Úvod 1.1 Literatúra Babušíková, Slodička, Weisz - Numerické metódy Mila - Numerické metódy algebry Přikryl - Numerické metódy matematickej analýzy Elden, Wittmeyer-Koc - Numerical Analysis: An Introduction Demidovič - Základy numerickej matematiky Vilásek - Numerické metódy 1.2 Cyby neodstrániteľná nepresnosť - z modelu cyby metódy - napr. z useknutia nejakéo rozvoja numerické cyby - zo zaokrúlenia 1.3 Numerická stabilita Úloa, algoritmus, metóda, riešenie sú stabilné, ak sú dobre podmienené, tj. málo citlivé na porucy v údajoc a numericky stabilné tj. málo citlivé na vplyv zaokrúľovacíc cýb. Numerická realizácia algoritmu musí byť numericky stabilná. Príklad. Systém rovníc 2x 1 + 6x 2 = 8 2x x 2 =
2 má riešenie x 1 = 1, x 2 = 1. Systém má riešenie x 1 = 7, x 2 = 1. 2x 1 + 6x 2 = 8 2x x 2 = Reprezentácia čísiel v počítači Majme množinu počítačovýc čísiel M(q, t, L, U), kde: q = veľkosť sústavy (binárna, desiatková,...) t = počet číslic v mantise L = dolná ranica exponentu U = orná ranica exponentu Potom máme 2(q 1)q t 1 (U L + 1) + 1 zobraziteľnýc rôznyc čísiel. Napr. pre počítač M(2, 2, 1, 2) máme najväčšie kladné číslo a najmenšie kladné číslo Obr. 1: Kladné čísla zobraziteľné počítačom M(2, 2, 1, 2) Neplatí asociatívny zákon. Príklad (t = 3). ( ) = ( ) = Cyba pri sčítaní a odčítaní Majme x 1, x 2 > 0, a ic aproximácie x 1 x 1, x 2 x 2. Potom ako absolútne cyby označujeme 1 = x 1 x 1, 2 = x 2 x 2. Absolútna cyba súčtu je potom s s x 1 x 1 + x 2 x 2 = Relatívna cyba súčtu je s s s 1 x 1 + s + 2 x 2 + s 1 x x 2 = Rel( x 1) + Rel( x 2 ). Pozor na relatívnu cybu pri číslac s podobnou absolútnou odnotou Rel(x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 2
3 menovateľ zlomku môže byť veľmi malý a relatívna cyba výrazne narastie. Príklad. Majme x 1 = 0.996, x 1 = 1.00, x 2 = 0.994, x 2 = Relatívne cyby aproximácií sú malé, ale relatívna cyba súčtu je veľká: Rel( x 1 ) = x 1 x 1 x 1 = < = 0.5% Rel( x 1 ) = x 2 x 2 x 2 = < = 0.5% Rel( x 1 + x 2 ) = 1+ 2 x 1 +x 2 = = 4 = 400%. 2 Diferenčný počet 2.1 Diferencia nec je dané > 0 a c R, nec f je definovaná v bodoc c a c +. Potom rozdiel f(c) = f(c + ) f(c) je diferencia funkcie f v bode c, číslo nazveme diferenčným krokom. nec existuje f(x) pre všetky x m R, pri konštantnom diferenčnom kroku. Potom rozdiely f(x) = f(x + ) f(x) x m definujú funkciu, ktorú nazývame diferenciou funkcie f na množine m. Nec je dif. krok, x m a f(x) = g(x). Potom: (kf(x)) = k f(x) (1) (f 1 (x) ± f 2 (x)) = f 1 (x) ± f 2 (x) (2) (f 1 (x) f 2 (x)) = ( f 1 (x))f 2 (x) + f 1 (x) f 2 (x)+ + f 1 (x) f 2 (x) 2 (f(x)) = f(x + 2) 2f(x + ) + f(x) (4) k (f(x)) = k ( ) k ( 1) j f(x i + (k j)) j (5) j=0 x (k) = kx (k 1) (6) (3) a x = a x+ a x = a x (a 1) (7) 1 g(x) = 1 f(x) + c(x), kde c(x) je taká, že (8) c(x) = c(x + 1) c(x) = 0 b g(x) = f(b + ) f(a) = [f(x)] b+ x=a (9) x=a 2.2 Diferenčné rovnice V diferenčnýc rovniciac je okrem argumentu a funkcie aj diferencia funkcie. F (n, y n, y n, 2 y n,..., p y n ) = 0 (10) 3
4 Lineárna rekurentná rovnica p-teo rádu má všeobecný tvar y n+p = b p 1,n+p y n+p 1 + b p 2,n+p y n+p b 0,n+p y n + a n+p, (11) kde b i,n+p sú dané čísla, pričom b 0,n+p 0. Ak a n+p = 0, potom je relácia omogénna. Ak b i,n+p nezávisia od n, môžme ic písať ako b i a relácia má konštantné koeficienty. 2.3 Lineárne rekurentné relácie 1. rádu Lineárne rekurentné relácie 1. rádu majú tvar y n = b n y n 1 + a n, n Z. (12) Veta. Nec b n 0 pre n Z, nec c C, n 0 Z. Potom postupnosť y n = c a j n + b j b i (13) n0 j=n 0 +1 b i spĺňa y n = b n y n 1 + a n, n > n 0, y n0 = c. (14) Dôkaz. MI na n. Pre n = n 0 triviálne platí. Nec tvrdenie platí pre n, dokážeme, že platí aj pre n + 1: y n+1 = b n+1 y n + a n+1 = b n+1 c + b n0 = = = c + b n0 c + b n0 c + b n0 j=n 0 +1 j=n 0 +1 n+1 j=n 0 +1 j=n 0 +1 a j n j b i + a n+1 b i a j j b i n+1 b i + a n+1 a j j b i + a n+1 n+1 a j j b i n+1 b i b i. n+1 b i 2.4 Lineárne rekurentné omogénne relácie 2. rádu Lineárne rekurentné omogénne relácie 2. rádu majú tvar y n+2 + b 1 y n+1 + b 2 y n = 0, n Z. (15) 4
5 Riešenia ľadáme v tvare y n = z n, z 0 (je to podpriestor dimenzie dva). Hľadáme také z, aby platilo z n+2 + b 1 z n+1 + b 2 z n = 0, tj. z n (z 2 + b 1 z + b 2 ) = 0. (16) To platí, len ak je výraz z 2 + b 1 z + b 2 rovný nule tento výraz nazývame carakteristická rovnica má ten istý stupeň a tie isté koeficienty ako pôvodná diferenčná rovnica. Rozlišujeme tri prípady riešenia carakteristickej rovnice: 1. Ak má carakteristická rovnica dva rôzne korene z 1, z 2, potom {z1 n}, {z2 n } sú dve riešenia diferenčnej rovnice. Pritom z 1,2 = ± b 2 1 4b 2 b 1. (17) 2 Všeobecné riešenie diferenčnej rovnice má potom tvar y n = c 1 z n 1 + c 2 z n 2, (18) kde sa konkrétne odnoty c 1, c 2 určia podľa začiatočnýc podmienok. Postupnosti {z1 n}, {zn 2 } sú lineárne nezávislé. Dôkaz. Nec sú lineárne závislé, tj. c 1 z1 n +c 2z2 n = 0, pričom c 1 0 c 2 0 n. Spravme sústavu ( z n 1 z2 n ) ( ) c1 z1 n+1 z2 n+1 = c 2 ( 0 0 ) (19) Ak má mať omogénna sústava netriviálne riešenie, musí byť determinant sústavy rovný nule pre každé n. z1 n z n 2 z1 n+1 z2 n+1 = zn 1 z2 n+1 z1 n+1 z2 n = z1 n z2 n (z 2 z 1 ) = 0 (20) To je však spor: z n 1 zn 2 0 pretože riešenie je netriviálne a z 1 z 2 0 pretože riešenia sú rôzne. 2. Ak má carakteristická rovnica jeden dvojnásobný koreň z n, potom prvé riešenie je postupnosť {z n } a drué riešenie postupnosť {nz n } alebo {nz n 1 }. Zoberme si dvojicu {z n } a {nz n }. Determinant sústavy je z n nz n z n+1 (n + 1)z n+1 = (n + 1)z2n+1 nz 2n+1 = (21) z 2n+1 + nz 2n+1 nz 2n+1 = z 2n+1 0 n, takže riešenia sú lineárne nezávislé (podobne pre druú dvojicu). Ďalej ukážeme, že ak {z n } je riešením, tak aj {nz n } je riešením: 5
6 y n+2 + b 1 y n+1 + b 2 y n = 0 y n = nz n y n+1 = (n + 1)z n+1 y n+2 = (n + 2)z n+2 Keďže z je dvojnásobný koreň carakteristickej rovnice, tak je aj koreň jej derivácie (tj. 2z + b 1 ). Potom platí (n + 2)z n+2 + b 1 (n + 1)z n+1 + b 2 nz n = = nz n (z 2 + b 1 z + b 2 ) + z n+1 (2z + b 1 ) = 0 (22) Všeobecné riešenie má potom tvar y n = c 0 z n + c 1 nz n = (c 0 + c 1 n)z n, čo je vlastne polynóm stupňa o jedno menej krát koreň na n-tú. 3. Ak má carakteristická rovnica komplexne združené korene z 1 = a + ib, z 2 = a ib, z 1,2 = z cos ϕ ± i sin ϕ, (0 < ϕ π), tak všeobecné riešenie má tvar y n = c 1 z n (cos ϕ + i sin ϕ) n + c 2 z n (cos ϕ i sin ϕ) n = c 1 z n (cos nϕ + i sin nϕ) + c 2 z n (cos nϕ i sin nϕ) = (c 1 + c 2 ) z n cos n ϕ + z n (ic 1 ic 2 ) sin nϕ = k 1 z n cos n ϕ + k 2 z n sin nϕ, kde k 1 = c 1 + c 2, k 2 = ic 1 ic 2. Veta. Nec b 1, b 2, A, B R, n 0 n 1 Z, y n0 = A, y n1 = B. Potom existuje práve jedno riešenie rovnice y n+2 + b 1 y n+1 + b 2 y n = 0, n Z. 2.5 Lineárne rekurentné neomogénne relácie 2. rádu Lineárne rekurentné neomogénne relácie 2. rádu majú všeobecný tvar y n+2 + b 1 y n+1 + b 2 y n = a n, n Z. (23) Veta. Princíp superpozície. Nec V je nejaká postupnosť, ktorá je riešením (23). Potom každá postupnosť Y, ktorá je riešenie (23) sa dá zapísať ako Y = U + V kde U je riešenie (15). Naopak, nec V je riešenie (23) a U je riešenie (15), potom Y = U + V je riešenie (23). 6
7 Takže postupuje sa tak, že sa nájde všeobecné riešenie omogénnej rovnice, jedno partikulárne riešenie neomoǵennej a z too sa zostaví všeobecné riešenie neomogénnej rovnice. V n+2 + b 1 V n+1 + b 2 V n = a n Y n+2 + b 1 Y n+1 + b 2 Y n = a n (Y n+2 V n+2 ) + b 1 (Y n+1 V n+1 ) + b 2 (Y n V n ) = 0 U n = Y n V n Ak a n je polynóm, riešenie ľadáme v tvare polynómu, ak je a n = cq n, riešenie ľadáme v tvare y n = dq n. 3 Počítanie odnôt štandardnýc funkcií 3.1 Transformácia argumentu nepresná, takže ju treba robiť v dvojnásobnej presnosti 3.2 CORDIC algoritmus Slúži na výpočet trigonometrickýc funkcií dosť rýclo a dosť presne. Cceme napr. < sin β 0 sin β 0 veľké x transformujeme s dvojitou presnosťou do intervalu 0, π 2 na 0, π 2 pre malé β aproximujeme sin β = β inak použijeme CORDIC Pre aké malé β stačí sin β = β? sin β = β β3 3! + < β sin β 3 0 3! sin β 0 β = β t β = m2 e β 2 = m 2 2 2e < 4 2 2e β 2 6 < 4 2 2e = e < t 2 2e t ( ) 3 2e log 2 4 t e 1 3 log t e 1 2 (t log ) = 1 2 (t ) < 1 (t + 1) 2 Takže ak e > 1 2 (t + 1) použijeme sin β = β, ak e 0; 1 2 (t + 1) použijeme CORDIC s transformáciou v 2t bitoc. 7
8 4 Hľadanie koreňov nelineárnyc rovníc f(x) = Metóda prostej iterácie 4.2 Newtonova metóda Cyba: x n+1 x lim n x n+1 = x n + f(x n) f (x n ) x n x 2 = ϕ ( x) 2, ϕ(x) = x f(x) f (x) (24) (25) 4.3 Metóda regula falsi f(a)f(b) < 0 b a s = a f(a) f(b) f(a) ak f(a)f(s) < 0 tak b := s ak f(s)f(b) < 0 tak a := s (26) (27) 4.4 Metóda tetív x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ) (28) 4.5 Viacrozmerný Newtonov algoritmus [ 1 x (k+1) = x (k) J( x )] (k) f( x (k) ) (29) 5 Výpočet A A = 1.b 1 b 2... b t 2 e, a = c 1 c 0.d 1 d 2... d t 1, 1 a < 4 x n+1 = 1 2 (x n + a x n ) (30) c 1 c 0.d 1 d 2 sú uložené v tabuľke a podľa nic sa začína iterovať, stačia tri iterácie. 6 Riešenie sústav lineárnyc rovníc Nenulový vektor x je vlastný vektor n n matice A, ak existuje λ tak, že A x = λ x. Číslo λ je vlastné číslo matice. Rovnica (A λi) x = 0 má netriviálne 8
9 a 11 λ... a 1n riešenie len ak A λi =..... = 0. Riadková a stĺpcová a n1... a nn λ norma matice sú A R = max a ij (31) i Pre zodpovedajúce si normy platí A S = max i a ij (32) i=1 A x A x (33) AB A B (34) A 2 A A = A 2 (35) Riešme A x = b. Iterácie majú všeobecný tvar 6.1 Metóda postupnýc aproximácií 6.2 Jacobio metóda 6.3 Gaussova-Seidelova metóda (36) x (k+1) = C x (k) + g (37) C = (I A) (38) g = b (39) (40) A = L + D + U (41) C = D 1 (L + U) (42) g = D 1 b (43) (44) A = L + D + U (45) C = (L + D) 1 U (46) g = (L + D) 1 b (47) x (k+1) 1 i 1 i = b i a ij x (k+1) j + a ij x (k) j (48) a ii j=i+1 9
10 7 Aproximácie funkcií 7.1 Interpolácia polynómom Máme postupnosti {x i } n i=0, {f(x i)} n i=0, cceme taký p(x) P n aby p(x i ) = f(x i ) i. 7.2 Lagrangeov interpolačný polynóm p(x) = l j (x) = l j (x)f(x j ) (49) j=0 n i=0,i j x x i x j x i (50) Nevýoda: pri pridaní novéo uzla treba znova prepočítavať koeficienty. 7.3 Newtonov interpolačný polynóm p n (x) = p n (x) = i=0 (x x j ) (51) c i i 1 j=0 1 [ x n x 0 (x n x) p (0,n 1) n 1 (x) + (x x 0 ) p (1,n) n 1 (x) ] (52) c n = c(1) n 1 c(0) n 1 x n x 0 = f[x 0, x 1,..., x n ] = (53) = f[x 1,..., x n ] f[x 0,..., x n 1 ] x n x 0 (54) Koeficienty sa rátajú dynamickým programovaním d s,k = d s,k 1 d s 1,k 1 x s x s k. Podčiarknuté odnoty sú koeficienty Newtonovo polynómu. x i f(x i ) x 0 f(x 0 ) x 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1 ] x 2 f(x 2 ) f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2 ] x 3 f(x 3 ) f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] 7.4 Cyba interpolačnéo polynómu max f(x) p(x) M n+1 n (x x (n + 1)! i ), M n+1 = max i=0 x a,b f (n+1) (x) (55) 10
11 7.5 Čebyšeove interpolačné polynómy Tie sú najpresnejšie T 0 (x) = 1 (56) T 1 (x) = x (57) T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) = cos (n arccos x) (58) Spomedzi všetkýc polynómov n-téo stupňa sa práve Čebyševove normalizované polynómy na a, b najmenej odcyľujú od nuly: max p a,b n(x) max T n (x) = (b a) n 2 1 2m (59) x a,b x a,b 7.6 Zovšeobecnený Newtonov interpolačný polynóm pre viacnásobné uzly f(u i ) = F i,0 u 0 = x 0 F 00 u 1 = x 1 F 10 F 11 u 2 = x 2 F 20 F 21 F 22 u 3 = x 3 F 30 F 31 F 32 F Splajny F s,k = F s,k 1 F s 1,k 1 u s u s k (60) F s,k = f (k) (u s ) k! (61) Na intervale a, b = a = x 0 < x 1 <... < x n = b máme odnoty f(x i ), cceme po častiac interpolovať polynómami nižšieo stupňa. S i (x) = f(x i ) + f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i (62) Platí, že ak f(x) C 2 a, b tak x a, b : S(x) f(x) c 2, kde = max(x i+1 x i ) 11
12 7.7.1 Lineárne splajny S(x) = l 0 (x) = l i (x) = l n (x) = l i (x)f(x i ) (63) i=0 { x1 x x 1 x 0 pre x 0 x x 1 (64) 0 pre x 1 x x n 0 pre x 0 x x i 1 x x i 1 x i x i 1 pre x i 1 x x i x i+1 x (65) x i+1 x i pre x i x x i+1 0 pre x 0 x x 1 { 0 pre x0 x x n 1 x x n 1 (66) x n x n 1 pre x n 1 x x n Kubické splajny i = x i+1 x i (67) S i x i+1 x x x i (x) = M i + M i+1 i i (68) S i(x) (x i+1 x) 2 (x x i ) 2 = M i + M i+1 2 i 2 i + A i (69) S i (x) = M i (x i+1 x) 3 6 i + M i+1 (x x i ) 3 A i (x) = f(x i+1) f(x i ) i B i = f(x i ) M i 2 i 6 6 i + A i (x x i ) + B i (70) i 6 (M i+1 M i ) (71) (72) Koeficienty M i vypočítame sústavou rovníc z podmienky spojitosti prvýc derivácií S i 1 (x i) = S i (x i). V tomto mám ešte guláš. 7.8 Metóda najmenšíc štvorcov Máme spojitú f(x) a cceme f(x) f n (x) tak, aby b a w(x) [f(x) f n(x)] 2 bol minimálny (spomedzi všetkýc polynómov nanajvýš n-téo stupňa). Skalárny súčin dvoc funkcií je (f, g) = b a w(x)f(x)g(x)dx. 12
13 7.9 Diskrétna metóda najmenšíc štvorcov 8 Výber empirickéo vzorca 9 Numerická kvadratúra - výpočet integrálu fcie b a w(x)f(x)dx = H j f(x j ) + e n (f) (73) j=0 Ak poznáme uzly x i, cceme to presné pre polynómy až do n-téo stupňa, ak nepoznáme, tak do 2n 1 stupňa. = b a n. 9.1 Newtonova-Cotesova kvadratúra 9.2 Simpsonovo pravidlo a b a f(x)dx = b a 6 [ f(a) + 4f( a + b ] 2 ) + f(b) f (4) (ξ) (74) 9.3 Zložené licobežníkové pravidlo b f(x)dx = b a f(x m 1 0) + f(x j ) + f(x m) b a m f (ξ) (75) 9.4 Zložené Simpsonovo pravidlo = b a 2m b a f(x)dx = f(x 0 ) m 1 j=0 m 1 f(x 2j+1 ) Gaussove kvadratúry, Hermitova interpolácia f(x 2j ) + f(x 2m ) b a f (4) (ξ) (76) Gaussov-Legendreov kvadratúrny vzorec 1 f(x)dx = H j f(x j ) + y n A 2 n(2n)! f ( 2n)(ξ) (77) Gaussov-Hermitov kvadratúrny vzorec e x2 f(x)dx = H j f(x j ) + e n f (78) 13
14 9.5.3 Gaussov-Lagerov kvadratúrny vzorec e x f(x)dx = H j f(x j ) + e n f (79) Gaussov-Čebyšeovov kvadratúrny vzorec 1 f(x) dx = H j f(x j ) + e n f = π f(x j ) + e n (f) (80) 1 x 2 n 1 10 Numerická derivácia j=0 Funkciu f (x 0 ) = lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) aproximujeme D + () = f(x 0 + ) f(x 0 ) (81) D () = f(x 0) f(x 0 + ) (82) D 0 () = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 (83) D + () f (x 0 ) c 1 (84) D 0 () f (x 0 ) c 2 2 (85) 10.1 Ricardsonova extrapolácia (86) Keď sme na ranici počítačovej presnosti, tak cyba aproximácie derivácie narastá (pretože je príliš veľká cyba zo zaokrúlenia). Takže sa snažíme nájsť optimálnu odnotu kroku tak, aby neboli cyby príliš veľké. T () = f (x 0 ) + b b (87) T () = f (x 0 ) + b O( 4 ) (88) T i,k = T i,k 1 + T i,k 1 T i 1,k 1 (2 p ) k 1 p je lavný člen cyby, pre D +, D je 1, pre D 0 je 2. p = 2 D 0 () k = 1 k = 2 k = 3 k = T T 10 T T 20 T 21 T T 30 T 31 T 32 T T 40 T 41 T 42 T 43 T 44 (89) 14
Vzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη
Διαβάστε περισσότεραx(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]
συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής
Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Έστω η εξίσωση x + ( λ + )x + 8λ = 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ R. Πότε οι ρίζες είναι ίσες και πότε άνισες; Αν x 1, x είναι
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραsup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.
3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραK r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t
n n T ime(n) = Θ(n 2 ) T ime(n) = Θ(2n) n i=1 i = Θ(n2 ) T (n) = 2T ( n 2 ) + n = Θ(n log n) i i i i i i i & i i + L(1..n) i L(i) n n L n i j : L[i] L[1..j]. (j n) j = j + 1 L[i] < L[j] i = j i
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. = E(ˆθ) και διασπορά σ 2ˆθ = Var(ˆθ).
Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις
Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ
Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραΕλαχιστοποίηση της Δαπάνης
Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης - Στο πρωτογενές πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό αντιστοιχεί το δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης (EMP) υπό τον περιορισμό
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές
Διαβάστε περισσότεραϐρίσκεται στο http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety213
Τµηµα Επιστηµης και Τεχνολογιας Υλικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Σηµειώσεις ιαλέξεων και Εργαστηρίων Ηράκλειο εκέµβριος 01 Copyright c 005 01 Στη
Διαβάστε περισσότεραlim (f(x + 1) f(x)) = 0.
Ανάλυση Ι και Εφαρμογές 4ο Τεστ (Σειρά Α) 17-19 Δεκεμβρίου 2018 Ονοματεπώνυμο:.................................................................. Αριθμός Μητρώου:...............................................................
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΕΜΑ 1 Ο
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ 1 ο κεφάλαιο: «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ» ΘΕΜΑ 1 Ο 1. Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώµατος µε το χρόνο. Η αρχική φάση της ταλάντωσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3
_Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραJednoducho o matematike
Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1
6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική
Κώστας. Κόκκοτας Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική Σηµειώσεις για τους ϕοιτητές 13 Φεβρουαρίου 2008 Περιεχόµενα 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.......................... 1 1.1 ΜΕΘΟ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Όριο και συνέχεια συνάρτησης
Κεφάλαιο 5 Όριο και συνέχεια συνάρτησης 5 Όριο συνάρτησης για єr Θεωρούµε την αραβολή = Θέλουµε να ροσδιορίσουµε την κλίση της εφατοµένης της στο σηµείο (, ) ηλαδή, θέλουµε να βρούµε την εφατοµένη της
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Παγκόσμιο χωριό γνώσης. 13 ο ΜΑΘΗΜΑ. 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: = g 2 g. Δύναμης α : Εκθετικής με βάση α
13 ΜΑΘΗΜΑ 3.6. Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων: Τετραγωνικής ρίζας: ( g ) = g g, g > 0 Δύναμης α : Εκθετικής με βάση e: * Εκθετικής με βάση α { 1} Λγαριθμικών: = α α α 1 e = e α =α nα n =, > 0 ( ) α> 0,
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Δημήτρης Παναγόπουλος Προσοχή: Σημειώσεις για το Μάθημα Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής του Τμήματος Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. του ΤΕΙ Πελοπονήσου 1. οι σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava. Aproximácia implicitne definovaných
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Univerzita Komenského, Bratislava Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Aproximácia implicitne definovaných plôch v E 3 DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava,
Διαβάστε περισσότεραGENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x
Διαβάστε περισσότεραΈργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1
Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότερα9. Εξωτερικές Επιδράσεις
9. Εξωτερικές Επιδράσεις 9.1 Το Κεφάλαιο περί εξωτερικών επιδράσεων του Varian ή Nicholson. (Θεώρηµα του Coase; Εξωτερικές επιδράσεις στην παραγωγή; Η τραγωδία των κοινών κτηµάτων) 9. Το Θεώρηµα του Coase,
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 'Ατομο υδρογόνου
ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική Μάθημα 3 'Ατομο υδρογόνου Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική, ΕΑΠ 3η συνάντηση, 17 Ιανουαρίου 015 Άτομο υδρογόνου πρότυπο δέσμιου συστήματος
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Γενικά. 2. Πεδία Ορισµού
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Γενικά Συνάρτηση είνι µι διδικσί µε την οοί φτιάχνουµε διτετγµέν ζεύγη ριθµών της µορφής (x,y) σύµφων µε ένν συγκεκριµένο κνόν ου ονοµάζετι τύος της συνάρτησης y= f (x) Πράδειγµ: ίνετι η
Διαβάστε περισσότεραΑφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία
0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραJ J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότεραΚώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων ΠΛΗ-20 / 2004-2005 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ
Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων Η-2 / 24-25 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Κανόνας Γινομένου: Αν ένα ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί με m διαφορετικούς τρόπους ενώ ένα άλλο, ανεξάρτητο ενδεχόμενο μπορεί να πραγματοποιηθεί
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα5. Φασματογράφοι. 1 Εισαγωγή. 2 Φασματογράφοι φίλτρου. 6 Ιουνίου 2013
5. Φασματογράφοι 6 Ιουνίου 2013 1 Εισαγωγή Σε πολλά οπτικά συστήματα, το ζητούμενο δεν είναι μόνο η συλλογή του φωτός και ο σχηματισμός όσο το δυνατόν ακριβέστερων ειδώλων, αλλά και η ανάλυση του σε χρώματα.
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραX(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Διαβάστε περισσότεραAquinas College. Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET
Aquinas College Edexcel Mathematical formulae and statistics tables DO NOT WRITE ON THIS BOOKLET Pearson Edexcel Level 3 Advanced Subsidiary and Advanced GCE in Mathematics and Further Mathematics Mathematical
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραβ) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο των διαστάσεών του. Οπότε E = xy. Επειδή α = α + ν 1ωδιαδοχικά για ν = 10 και ν = 6.
106 α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: y 3 < 1 β) Αν x,y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με 1< x< 3 και < y < 4, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραErkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
Διαβάστε περισσότερα