ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)"

Transcript

1 ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 04) ΕΜΠ (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

2 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Προοπτική απεικόνιση του (προβολικού) χώρου ονομάζουμε την κεντρική προβολή των σημείων του χώρου από δοσμένο σημείο Ο επάνω σε δοσμένο επίπεδο π Ονομάζουμε το Ο ως κέντρο της απεικόνισης και το π ως πίνακά της Στο χωρικό σχήμα (σκαρίφημα) που ακολουθεί σημειώνουμε την εικόνα ( Α) ενός σημείου Α στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο και πίνακα π Είναι ( Α) = π ( ευθεία ΑΟ ) Σχήμα Η σημασία των προοπτικών απεικονίσεων στην προβολική γεωμετρία είναι μεγάλη: η εικόνα ενός επιπέδου p που δεν διέρχεται από το Ο μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης είναι ολόκληρος ο πίνακας π με τα σημεία των δύο επιπέδων να αντιστοιχούν ένα προς ένα Κάθε τέτοια αντιστοιχία την ονομάζουμε προοπτική απεικόνιση των δύο επιπέδων Οι προβολικές απεικονίσεις μεταξύ δύο επιπέδων (δηλαδή οι απεικονίσεις που χαρακτηρίσουν την προβολική γεωμετρία του επιπέδου) είναι εξ ορισμού οι πεπερασμένες συνθέσεις τέτοιων απεικονίσεων Η σημασία των προοπτικών απεικονίσεων για την Τοπογραφία είναι ομοίως μεγάλη: εν γένει, τα σημεία ενός τυχαίου σχήματος δεν αντιστοιχούν ένα προς ένα στις εικόνες τους μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης, αλλά στις τοπογραφικές εφαρμογές συχνά τα σημεία μιας επιφάνειας αντιστοιχούν όντως ένα προς ένα στις εικόνες τους, δηλαδή ο περιορισμός της προοπτικής απεικόνισης στην επιφάνεια αποτελεί σχεδόν παράστασή της επί του πίνακα Στη γενική περίπτωση, αρκούν δύο τέτοιες εικόνες μιας επιφάνειας μέσω δύο διαφορετικών προοπτικών απεικονίσεων για τον καθορισμό της επιφάνειας στο χώρο (δηλαδή το ζεύγος των εικόνων αποτελεί παράσταση της επιφάνειας στον δοσμένο πίνακα) Ομοίως, αρκούν δύο αεροφωτογραφίες (προοπτικές εικόνες) δύο επικαλυπτόμενων περιοχών της γης ώστε να συνθέσουμε το τοπογραφικό της ένωσης των δύο περιοχών Οι προοπτικές απεικονίσεις χρησιμοποιούνται επίσης στη μελέτη της όρασης και στις τεχνολογίες της όρασης (σχεδιαστικά προγράμματα Η/Υ, ρομποτική, ιατρικές απεικονίσεις κτλ) οι οποίες βασίζονται στη σύνθεση προοπτικών εικόνων για την παραγωγή ενιαίας εικόνας χωρικών αντικειμένων ΤΙ ΔΙΝΕΤΑΙ - ΤΙ ΖΗΤΕΙΤΑΙ Για την παράσταση σχημάτων μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης, θα έχουμε τα σχήματά μας παριστάμενα με μία από τις γνωστές μεθόδους παράστασης με τις οποίες είμαστε ήδη εξοικειωμένοι και συγκεκριμένα θα θεωρούμε πως το σχήμα που μας ενδιαφέρει θα δίνεται παριστάμενο με τη μέθοδο των προβολών σε δύο κάθετα επίπεδα ( π,π ) Έτσι: Στο εξής εργαζόμαστε σε παραστατικό σύστημα δύο καθέτων επιπέδων προβολής ( π,π ) το οποίο επιλέγουμε ώστε ο πίνακας π της προοπτικής απεικόνισης να είναι κάθετος στο π Θα δίνονται παριστάμενα με τη μέθοδο των προβολών σε δύο επίπεδα στο σύστημα ( π,π ) το κέντρο Ο της προοπτικής απεικόνισης, ο πίνακάς της π ως επίπεδο κάθετο στο π και τα γεωμετρικά σχήματα S των οποίων την προοπτική εικόνα (S) θα ζητάμε να κατασκευάσουμε Θα ζητάμε την ακριβή-πραγματική εικόνα (S) όπως αυτή αποτυπώνεται επάνω στον πίνακα π

3 Θα δίνουμε την απάντησή μας με κατάκλιση του π επί του π φροντίζοντας να σημειώνουμε την κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S Η κατάκλιση γίνεται κατά τα γνωστά με περιστροφή της ευθείας π π Παρατηρήστε πως τότε η ευθεία β = π π, που στο εξής θα ονομάζουμε βάση του πίνακα κατακλίνεται επί της y = π π Εναλλακτικά, θα δίνουμε την απάντησή μας με κατάκλιση του π επί του π (δηλαδή με περιστροφή του π γύρω από την β = π π μέχρι την ταύτισή του με το π ) φροντίζοντας να σημειώνουμε την κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S Η κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S, έχει το αληθές σχήμα της εικόνας αυτής και θα είναι το ζητούμενο σε ολόκληρο το κεφάλαιο Τα ονόματα που θα δίνουμε στα κατακεκλιμένα προοπτικά των σχημάτων θα είναι τα αρχικά τους επί του πίνακα Θα είναι δηλαδή σα να βλέπουμε τον ίδιο τον πίνακα με τα ζητούμενα προοπτικά επάνω του Για να μην μπλέκονται οι γραμμές των κατασκευών μας με τις δοσμένες του παραστατικού, θα δίνουμε την κατάκλιση σε νέο σχήμα σε κάποια θέση του χαρτιού σχεδίασης της επιλογής μας Συνεπώς θα πρέπει στη νέα θέση να θέτουμε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο θα μας οδηγεί από τα δεδομένα του παραστατικού στις κατασκευές στο νέο μέρος του χαρτιού και αντίστροφα Το σύστημα αυτό θα δημιουργείται ως εξής: θα τοποθετούμε τη βάση β σε τυχαία θέση (δική μας επιλογή) του χαρτιού σχεδίασης, και επάνω της θα τοποθετούμε σε τυχαία θέση (δική μας επιλογή) την προβολή Φ' του Ο στη β Κατόπιν, θα τοποθετούμε στο χαρτί σχεδίασης μια ευθεία φ παράλληλα στη β και σε απόσταση όσο το απόλυτο υψόμετρο του Ο στο σύστημα ( π,π ) Θα χαράσσουμε την κάθετη από το Φ' στη β που θα τέμνει την φ στο σημείο που θα σημειώνουμε ως Φ Αυτό είναι το σημείο στο οποίο το Ο προβάλλεται επί του πίνακα π Οι ευθείες β,φ και το Φ' ή το Φ αρκούν για σύστημα αναφοράς στο χαρτί μας για το προοπτικό σχέδιο που θα επιθυμούμε να κατασκευάσουμε Εναλλακτικά, η ευθεία β και το τμήμα Φ'Φ αρκούν και αποτελούν ισοδύναμο σύστημα αναφοράς με το προηγούμενο (το καθένα παράγει το άλλο) Για οποιοδήποτε σημείο Α του χώρου το όνομα της προοπτικής του εικόνας θα είναι ( Α) Το Παράδειγμα πιο κάτω αποσκοπεί στο να εξοικειωθούμε με τα παραπάνω και να αναπτύξουμε την απαραίτητη ορολογία Η εξήγηση των κατασκευών στο παράδειγμα αυτό προκύπτει από τα σχήματα 5,6,7, ενώ η συστηματική αντιμετώπιση του ζητήματος της εύρεσης της προοπτικής εικόνας δοσμένου σχήματος (στο παραστατικό μας σύστημα) αρχίζει στην Η συνθήκη της καθετότητας των π,π είναι μια βολική αλλά όχι απαραίτητη σύμβαση Οι περισσότεροι ορισμοί και ιδιότητες που θα συναντήσουμε ισχύουν με ορισμένες μικρές αλλαγές και όταν ο πίνακας π δεν είναι κάθετος στο π Έτσι στα χωρικά σχήματα 6,7,8 πιο κάτω, ο πίνακας παρουσιάζεται σε μη κάθετη θέση ως προς το π Ως συνήθως, όταν θα σχολιάζουμε το παραστατικό σχήμα, θα μας είναι βολικό να σκεφτόμαστε πως τα π,π ταυτίστηκαν με περιστροφή του π περί της y μέσα στους χώρους ΙΙ,IV έως ότου ταυτιστεί με το π Θα είναι επίσης βολικό να τοποθετούμε το κέντρο Ο της προοπτικής απεικόνισης στο τεταρτοχώριο I Οι συμβάσεις δεν είναι ουσιαστικές, ούτε και απαραβίαστες

4 Παράδειγμα : Δίνεται η ακόλουθη παράσταση του πίνακα π( σ ',σ ''), του κέντρου Ο( Ο',Ο'') και της ευθείας ε( ε',ε'') του π Ζητείται η προοπτική εικόνα της ε επί του π από το Ο Σχήμα - Κατασκευή στο παραστατικό: Βρίσκουμε το σημείο τομής Ε' της ε ' με την σ ' Χαράσσουμε την παράλληλη από το Ο ' προς την ε ' που τέμνει την ' σ στο Φ ' Επίσης χαράσσουμε την κάθετη από το Ο ' που τέμνει την ε σ ' στο Φ ' Υπολογίζουμε το υψόμετρο υ του Ο' ως προσημασμένη απόσταση του Ο'' από την y Σχήμα 3 - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Φ ε ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε την κάθετη από το Φ ε ' στην β που τέμνει την φ στο Φ ε Η ζητούμενη προοπτική εικόνα ( ε') της ( ε) είναι η ευθεία ΕΦ ' ε 3

5 Σχήμα 4 Η δικαιολόγηση της ορθότητας της κατασκευής δίνεται στην Παρατηρήστε πως ορισμένα στοιχεία όπως το Φ ε '' δεν μας είναι χρήσιμα και δεν τα σημειώνουμε στην κατασκευή μας Αν επιθυμούμε, για την εύρεση της ( ε') μπορούμε να εργαστούμε αποκλειστικά επάνω στο παραστατικό σχήμα κατακλίνοντας το π επί του π (με στροφή στο χώρο περί της κοινής τους ευθείας που είναι η βάση β του πίνακα π ) Με τον νέο τρόπο εργασίας, η απάντηση στο Παράδειγμα, δίνεται στο επόμενο Σχήμα Σχήμα 5 Στα επόμενα, θα προτιμήσουμε να δημιουργούμε το προοπτικό μας σχήμα μακριά από το παραστατικό, χαράσσοντας για ευκολία τη β οριζοντίως στο χαρτί μας Σταδιακά θα πάψουμε να αναφέρουμε τα ονόματα των παράλληλων ευθειών ε π από το Ο προς την ε ή άλλες ευθείες του π παρότι αυτές μας είναι χρήσιμες για την κατασκευή των προοπτικών εικόνων των σχημάτων μας Επίσης θα σταματήσουμε να αναφέρουμε και τα ονόματα κι άλλων στοιχείων, κυρίως των μη χρήσιμων στις κατασκευές επί του προοπτικού σχήματος Ορισμένα γεωμετρικά στοιχεία που θα μας είναι χρήσιμα στις παραστάσεις προοπτικών σχημάτων είναι τα εξής: β = π π = βάση του πίνακα φ = π ( παράλληλο επίπεδο στο π από το Ο ) = ευθεία φυγής ή ορίζοντας Φ = προβολή του Ο επί της φ ( = προβολή του Ο επί του π όταν π π ) = πρωτεύων σημείο φυγής της προοπτικής απεικόνισης D,D = (σημεία της φ σε απόσταση ΟΦ από το Φ ) = δευτερεύοντα σημεία φυγής ή σημεία απόστασης της προοπτικής απεικόνισης 4

6 Σχήμα 6 Πρώτα θα βρούμε τις προοπτικές εικόνες σχημάτων του επιπέδου π και στη συνέχεια τις προοπτικές εικόνες σχημάτων του χώρου Θα βρούμε τα εξής: Προοπτικές εικόνες σχημάτων του π Προοπτική εικόνα ευθείας του π Προοπτική εικόνα του π Προοπτική εικόνα τετραγώνου του π Προοπτική εικόνα άλλων σχημάτων του π Προοπτική εικόνα ευθείας του π Η κατασκευή παρουσιάστηκε στο Παράδειγμα Εδώ θα εξηγήσουμε την ορθότητά της μέσω μερικών παρατηρήσεων Σχήμα 7 - Οι προοπτικές εικόνες των σημείων της ε ανήκουν στην τομή του πίνακα π με το επίπεδο που ορίζουν η ε και το Ο, οπότε ανήκουν στην κοινή τους ευθεία ( ε) Αλλά και αντίστροφα, κάθε σημείο της ( ε)είναι το προοπτικό κάποιου σημείου της ε Συνεπώς η προοπτική εικόνα της ε είναι η ευθεία ( ε) - Για τον προσδιορισμό του προοπτικού της ε αρκεί να βρεθούν τα προοπτικά των Ε = ε β και ε Είναι (E) = Ε, ( ε ) = Φε = (πρωτεύον σημείο φυγής της ε) = π (ευθεία παράλληλη στην ε από το Ο ) Έτσι ορίζεται και το πρωτεύον σημείο φυγής τυχαίας ευθείας του χώρου που δεν κείτεται αναγκαστικά επί του π - Ευθείες (του χώρου) παράλληλες μεταξύ τους έχουν το ίδιο σημείο φυγής 5

7 - Όλες οι ευθείες οι παράλληλες στο π έχουν σημείο φυγής επί του ορίζοντα, δηλαδή επί της ευθείας φυγής της απεικόνισης - Όμως οι ευθείες που δεν είναι παράλληλες στο π δεν έχουν σημείο φυγής επί του ορίζοντα Τα σημεία φυγής τους είναι τυχαία σημεία του π έξω από τον ορίζοντα - Το πρωτεύων σημείο φυγής Φ της προοπτικής απεικόνισης είναι το σημείο φυγής της διεύθυνσης της παράλληλης στο π που είναι κάθετη στη βάση β του πίνακα - Τα δευτερεύοντα σημεία φυγής D,D της προοπτικής απεικόνισης είναι τα σημεία φυγής των διευθύνσεων των παράλληλων στο π που σχηματίζουν γωνία o 45 με τη βάση β του πίνακα Σχήμα 8 Προοπτική εικόνα σημείου του π Δίνεται η παράσταση Α( Α',Α'') ενός σημείου Α που ανήκει στο π, καθώς και η παράσταση του πίνακα προβολής π( σ ',σ '') και του κέντρου Ο( Ο',Ο'') μιας προοπτικής απεικόνισης Ζητείται η προοπτική εικόνα του Α σε αυτή την προοπτική απεικόνιση Σχήμα 9 Τα βήματα για την απάντηση δίνονται στο πλαισιωμένο κείμενο που ακολουθεί: 6

8 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός σημείου Α που δεν ανήκει στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο (αυτό το βρίσκουμε από το δοσμένο παραστατικό σχήμα) Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Χαράσσουμε ευθείες ε', ζ ' από το Χαράσσουμε τις παράλληλες από το κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' Ο ' προς τις ε', ζ ' που τέμνουν την Α ' που τέμνουν την ' σ στα Ε ', Ζ ' σ στα Φ ', Φ ' Επίσης χαράσσουμε - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Ζ', Φ ', Φ ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φ ', Φ ' στην β που τέμνουν την φ στα Φ, Φ Η ζητούμενη προοπτική εικόνα ( Α) του ( Α) είναι το σημείο τομής των ευθειών ΕΦ ' = ( ε'), ΖΦ ' = ( ζ') ε ζ ε ε ζ ε ζ ζ ' ε ζ Σχήμα 0 Σχήμα Συνεπώς για την προοπτική, η ευθεία μπορεί να θεωρηθεί ως πρωτεύον στοιχείο, ενώ το σημείο ως δευτερεύον ή παράγωγο 7

9 Παράδειγμα : Δίνεται η παράσταση ενός τετραγώνου 34 που ανήκει στο π, καθώς και η παράσταση του πίνακα προβολής π( σ ',σ '') και του κέντρου Ο( Ο',Ο'') μιας προοπτικής απεικόνισης Ζητείται η προοπτική εικόνα του τετραγώνου σε αυτή την προοπτική απεικόνιση Σχήμα Σχήμα 3 Σχήμα 3 8

10 Παράδειγμα 3: Δίνονται οι προοπτικές εικόνες ( Α ),( Β ) των σημείων Α,Β του π Να βρεθεί η προοπτική εικόνα ( Γ) του σημείου Γ που διαμερίζει το τμήμα ΑΒ σε δοθέντα λόγο ΑΓ λ ΓΒ = (Εργαστείτε για λ = ) 3 Σχήμα 5 Σχήμα 6 Ακολουθεί η εξήγηση της ορθότητας της κατασκευής: Χαράσσοντας τρεις παράλληλες μεταξύ τους ευθείες ε α,ε β,ε γ από τα Α,Β,Γ τυχαίας διεύθυνσης ε του π, τα σημεία τομής τους με τη βάση β, έστω τα,,3, 3 διατηρούν τον αρχικό λόγο, δηλαδή = λ Οπότε αφού για επιλεγμένη διεύθυνση δ, τα σημεία, 3 καθορίζονται, θα καθορίζεται και το σημείο 3 επί της βάσης β Όμως τότε το ( Γ) κατασκευάζεται ως τομή της ευθείας( Α )( Β ) με την ευθεία Φε επί του πίνακα π Σχήμα 7 Αν 3 Δευτερεύοντα σημεία φυγής (ή σημεία απόστασης) ευθείας Φ ε το (πρωτεύον) σημείο φυγής ευθείας ε του π (αλλά και γενικότερα του χώρου), τότε ονομάζουμε δευτερεύοντα σημεία φυγής (ή σημεία απόστασης) της ε, τα κοινά σημεία σφαίρα κέντρου Φ ε και ακτίνας επιπέδου από το Ο το παράλληλη στο π κέντρου D ε,d ε της ευθείας φυγής φ με τη ΦΟ ε (ισοδυνάμως: τα κοινά σημεία της ευθείας φυγής φ με τον κύκλο επί του Φ και ακτίνας ΦεΟ = Φ ε' Ο' ) ε Στο επόμενο χωρικό σχήμα εκθέτουμε για ευθεία ε του π, όλα τα σημαντικά σχετιζόμενα σημεία 9

11 Σχήμα 8 Στα επόμενα δύο σχήματα δείχνουμε τη χαρακτηριστική ιδιότητα απόστασης των D ε, D ε που τους δίνει και το όνομά τους ως σημεία απόστασης της ευθείας ε του π Στο πρώτο κατακλίνουμε το π επί του π Σχήμα 9 Οπότε πχ για την ευθεία ε του π, εργαζόμαστε πάνω στον πίνακα π, η προβολή οποιουδήποτε τμήματος ( Α )( Β ) της ( ε) επί της βάσης β, με κέντρο προβολής οποιοδήποτε από τα σημεία απόστασης της ε, δίνει ένα τμήμα με μήκος το αληθινό μήκος ΑΒ Στο επόμενο σχήμα το αποτέλεσμα της προβολής είναι το ΒΑ ή το ΒΑαναλόγως αν το κέντρο προβολής είναι το D ε ή το D ε Σχήμα 0 0

12 4 Προοπτικές εικόνες σχημάτων του χώρου Θα βρούμε τις προοπτικές εικόνες για δοσμένη προοπτική απεικόνιση των εξής σχημάτων: σημείου του χώρου ευθείας του χώρου κύβου πρίσματος πυραμίδας κύκλου του π κατακόρυφου επιπέδου 4 Προοπτική εικόνα σημείου του χώρου Ζητείται η προοπτική εικόνα του σημείου A από το σημείο Ο στον πίνακα π Στο χωρικό σχήμα που ακολουθεί φαίνεται μόνο το επίπεδο π του συστήματος ( π, π ) Προβάλλουμε το Α επί του π στο δύο ευθείες ε, ε από το εικόνα ( Α ') του Α ', και χαράσσουμε Α ' εξολοκλήρου στο π Χρησιμοποιώντας τις ευθείες αυτές βρίσκουμε την προοπτική Α ' επάνω στον πίνακα, και παρατηρούμε πως η προοπτική εικόνα ολόκληρης της ευθείας πάνω στην οποία ανήκει και η εικόνα του Α, είναι ευθεία του πινάκα από το ( Α ') και κάθετη στην βάση β (δηλαδή παράλληλη στην ΑΑ ' ) Για την πλήρη τοποθέτηση της ζητούμενης εικόνας ( Α ) επάνω σε αυτή την ευθεία, ας παρατηρήσουμε επιπλέον πως αν το μήκος ΑΑ ' ΑΑ ' το μεταφέρουμε επί του πίνακα ως ΕΑ καθέτως στην β ( ΑΑ, στο ίδιο ημιχώρο ως προς το π ), τότε το ( Α ) βρίσκεται και επάνω στην ευθεία Φε Ε, οπότε και η θέση του εντοπίζεται Πραγματικά ισχύουν: Σχήμα ( A)( A') OA ( ') OAA' O( A)( A') = AA' OA' OA ( ') Φ ε( A') ( A)( A') ( A)( A ) Φ ε ( A') O E ( A') A' = = OA' Φ εe AA' E A Φ ( A') ( A)( A') Φ ( ') Φ ( ) ε ε A A ε E A = ΦεE EA Δηλαδή για την εύρεση του ( Α ) επί του πίνακα: E A - χαράσσουμε κάθετη στο Ε στη βάση β - επί της καθέτου αυτής θεωρούμε σημείο Α ώστε ΕΑ= υψόμετρο του Α - ( Α) = Φ Α' ( κάθετη ευθεία στην β από το ( Α')) ε Φυσικά αν θέλουμε χρησιμοποιούμε τα η εξήγηση για την ορθότητα της κατασκευής: Ε, Φ ε αντί των Ε, Φ ε = AA

13 Αν A' η προβολή του A στο π, τότε το A ανήκει στην ευθεία ΑΑ ' που το προβάλλει στο π, καθώς επίσης ανήκει και σε μια οποιαδήποτε τυχαία ευθεία από το A παράλληλη στο π η οποία έστω πως τέμνει τον πίνακα στο Α Οπότε το ( Α ) ανήκει στις προοπτικές εικόνες των δύο αυτών ευθειών Όμως η προοπτική εικόνα της ΑΑ ' είναι ευθεία κάθετη στη βάση β από το ( Α '), ενώ η προοπτική εικόνα της ΑΑ διέρχεται από το Α και το σημείο φυγής της ευθείας ΑΑ που είναι το ίδιο με το σημείο φυγής οποιασδήποτε παράλληλής της, όπως πχ η ευθεία του π από το Α ' η παράλληλη στην ΑΑ 3 η εξήγηση για την ορθότητα της κατασκευής: Το Α ανήκει στο επίπεδο a π («άνω π») που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο στο π Μπορούμε να θεωρήσουμε το a π ως νέο πρώτο επίπεδο προβολής για τα παραστατικά σχήματα, και να βρούμε την προοπτική εικόνα του Α με τον τρόπο που αναπτύξαμε για τα σημεία του πρώτου επιπέδου προβολής Μένει μονάχα να παρατηρήσουμε πως στο νέο παραστατικό σύστημα η βάση του πίνακα έχει αλλάξει Συγκεκριμένα είναι η τομή του πίνακα π με το a π, που φυσικά είναι μια ευθεία a β παράλληλη στη β σε απόσταση από αυτή ίση με το υψόμετρο του Α στο παλιό παραστατικό σύστημα Η παρατήρηση αυτή είναι βολικότατη για την εύρεση προοπτικών εικόνων σχημάτων του χώρου και ιδιαιτέρως σχημάτων που ανήκουν σε επίπεδα κάθετα στον πίνακα Όμως εδώ θα τη χρησιμοποιήσουμε μόνο για την εύρεση του προοπτικού ενός κυλίνδρου πιο κάτω Τα δεδομένα μας θα είναι στη μορφή ενός παραστατικού σχήματος όπως του επόμενου Σχήμα Η πορεία που ακολουθούμε για την απάντησή μας περιγράφεται στο πλαισιωμένο κείμενο που ακολουθεί Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός σημείου Α που δεν ανήκει στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Χαράσσουμε ευθείες ε', ε ' από το Α ' που τέμνουν την σ ' στα Ε', Ε ' Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Ο ' προς τις ε', ε ' που τέμνουν την σ ' στα Φε', Φ ε' Επίσης χαράσσουμε κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε ', Ε ', Φε ', Φ ε ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ '

14 - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φε', Φ ε' στην β που τέμνουν την φ στα Φε, Φ ε Χαράσσουμε τις ευθείες Ε ' Φε = ( ε '), Ε' Φε = ( ε') και βρίσκουμε το σημείο τομής τους ( Α ') Επιλέγουμε ένα από τα Ε', Ε ', έστω το Ε ' και χαράσσουμε τμήμα κάθετο στην β με μήκος ίσο με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Α (φοράς ), με άλλο άκρο το σημείο Α Η τομή της ευθείας ΦεΑ με την κάθετη προς την β από το ( Α ') δίνει το ζητούμενο ( Α ) Τα βήματα που μόλις περιγράψαμε και αφορούν κατασκευές στο παραστατικό και επί του πίνακα που τον ταυτίζουμε με το χαρτί μας, δίνονται στα επόμενα δύο σχήματα: Σχήμα 3 Σχήμα 4 4 Προοπτική εικόνα ευθείας του χώρου Βρίσκουμε τα προοπτικά δύο σημείων της Καλείστε να αποδείξετε τα επόμενα: Προοπτικό τμήματος δ παράλληλου στη βάση, είναι τμήμα ( δ ) παράλληλο στο δ Δύο ίσα τμήματα στην ίδια παράλληλη προς τη βάση ευθεία, απεικονίζονται σε ίσα τμήματα Έτσι πχ το μέσον ενός παράλληλου προς τη βάση τμήματος απεικονίζεται στο μέσον του ( δ ) 3

15 Προοπτικό ευθείας του π διερχόμενης από την προβολή Ο ' του κέντρου Ο στο π είναι ευθεία κάθετη στη βάση β Έτσι πχ δύο ευθείες ε, ε του π διερχόμενες από το Ο, απεικονίζονται σε ευθείες παράλληλες (αμφότερες κάθετες στη βάση β) Όλες οι ευθείες ενός επιπέδου p που περιέχει την ευθεία προβολής OO ' του κέντρου Ο στο π, απεικονίζονται στην ίδια ευθεία του πίνακα (αυτή είναι το ίχνος του p επί του πίνακα) και είναι κάθετη στη βάση Η εικόνα μιας ευθείας κάθετης στο π είναι ευθεία παράλληλή της (οπότε κάθετη στη βάση) 43 Προοπτική εικόνα κύβου Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύβου του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ ',σ '') Τα σημεία 5,6,7,8 προβάλλονται επί του π αντιστοίχως στα,,3,4 Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π Σχήμα 5 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός κύβου με τη βάση 34 στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Βρίσκουμε τις τομές Ε', Ε', Ζ', Ζ ' της σ ' με τις ευθείες ε ' = ' ', ε ' = 3' 4', ζ ' = ' 4', ζ ' = ' 3', των πλευρών της βάσης 34 Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Ο ' προς τις διευθύνσεις των εi, ζ i που τέμνουν την σ ' στα Φε', Φ ζ ' Επίσης χαράσσουμε κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Ε', Ζ', Ζ', Φε', Φ ζ ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φ ', Φ ' στην β που τέμνουν την φ στα Φ, Φ Βρίσκουμε τα ( ),( ),( 3 ),( 4 ) ως τομές των δύο ευθειών από το Φ ε και τα Ε', Ε ' με τις δύο ευθείες από το Φ ζ και τα Ζ', Ζ ' Χαράσσουμε τμήματα με άκρα τα Ζ', Ζ ' και μήκη όσο το ύψος (' ' από το ε ζ ε ζ 4

16 παραστατικό) του κύβου με φορά και δεύτερα άκρα έστω τα αβ, Βρίσκουμε τα ( 5 ),( 6 ),(7 ),( 8 ) ως τομές των δύο ευθειών από τα ( ),( ),( 3 ),( 4 ) που είναι κάθετες στην β, με τις ευθείες Φα ζ (για τα (5),(8)) και τις ευθείες Φζ β (για τα ( 6 ),(7 ) ) Χαράσσουμε τα τμήματα ( )( ),,( 4 )( ),( 5 )( 6 ),,( 4 )( 8 ) που είναι οι προοπτικές εικόνες των ακμών του δοσμένου κύβου Σχήμα 6 Σχήμα 7 44 Προοπτική εικόνα ορθού πρίσματος Ζητείται η προοπτική εικόνα του ορθού πρίσματος του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Τα σημεία 5,6,7,8 προβάλλονται επί του π αντιστοίχως στα,,3,4 Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π 5

17 Σχήμα 8 Οι κατασκευές στο παραστατικό σχήμα και επί του πίνακα δίνονται στα δύο επόμενα σχήματα και μια σύνοψη αμέσως μετά Σχήμα 9 6

18 Σχήμα 30 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός ορθού πρίσματος με τη βάση 34 στο π Τα βήματα είναι ίδια με αυτά της περίπτωσης του κύβου με τις εξής τροποποιήσεις: - Οι διευθύνσεις των πλευρών της βάσης 34 είναι τώρα εν γένει 4, αντί για της περίπτωσης του κύβου, και θα δώσουν 4 αντίστοιχα σημεία Φ', Φ', Φ3', Φ 4' της σ ' που θα μεταφερθούν στην β - Επίσης, καθώς οι διευθύνσεις πχ των 67,58 δεν είναι πλέον εν γένει παράλληλες, για να βρούμε τις προοπτικές εικόνες ( 6 ),(7 ) και (5),(8) θα χρησιμοποιήσουμε δύο αντί για ένα κάθετα τμήματα στη β, πχ τα Ε' α, Ε4' β και τότε τα ( 6 ),(7 ) ανήκουν στην ευθεία Φα, ενώ τα (5),(8) ανήκουν στην ευθεία Φβ 4 45 Προοπτική εικόνα πυραμίδας Ζητείται η προοπτική εικόνα της πυραμίδας Κ 34 κορυφής Κ του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π Σχήμα 3 7

19 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας πυραμίδας Κ 34 με τη βάση 34 στο π - Κατασκευάζουμε τις προοπτικές εικόνες των κορυφών,,3,4 της βάσης κατά τα γνωστά, ως σημείων του επιπέδου π - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της κορυφής Κ ως σημείου του χώρου κατά τα γνωστά - Χαράσσουμε τα τμήματα ( )( ),( )( 3 ),,( Κ )( 4 ) που είναι οι προοπτικές εικόνες των ακμών της πυραμίδας Σχήμα 3 Σχήμα 33 8

20 46 Προοπτικές εικόνες μη ευθύγραμμων σχημάτων Αν f μια προοπτική απεικόνιση, η εύρεση της προοπτικής εικόνας f( γ ) μιας μη ευθύγραμμης επίπεδης καμπύλης γ γίνεται με την εύρεση ικανοποιητικού αριθμού εικόνων f( Μ i ) σημείων M i της γ Όπως και στην περίπτωση των παραστατικών σχημάτων, θα βρίσκουμε προσεγγιστικά την τελική εικόνα f( γ ) της γ «συμπληρώνοντας» με καμπύλα τόξα μεταξύ των διαδοχικών εικόνων τόξων αυτών μπορούμε αν θέλουμε να θεωρούμε τις εφαπτόμενες ευθείες χαράσσουμε τα τόξα ως εφαπτόμενα στις ευθείες f( ε i ) στα f( Μ i ) f( Μ ) Για την καλύτερη χάραξη των i ε i της γ στα M i, και να 46 Προοπτική εικόνα κύκλου του π Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύκλου γ του επιπέδου π του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Η ζητούμενη προοπτική εικόνα είναι η τομή του πίνακα με τον κυκλικό κώνο κέντρου Ο και οδηγό καμπύλη τον κύκλο γ Πρόκειται λοιπόν για μια κωνική τομή Στο παράδειγμά μας αυτή είναι μια έλλειψη Από τη θεωρία ξέρουμε πως μια έλλειψη καθορίζεται (δηλαδή η τοποθέτησή της στο επίπεδο) από 5 σημεία της, οπότε για την προοπτική εικόνα του κύκλου γ για την οποία ενδιαφερόμαστε θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε τις εικόνες 5 τουλάχιστον σημείων του Σχήμα 34 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας κύκλου γ του π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Επιλέγουμε τα σημεία,,,8 του κύκλου στα οποία οι εφαπτόμενές του δημιουργούν γωνίες o o o 0 0,45,90,35 ως προς τηνσ ' Ονομάζουμε εζη,, τις διευθύνσεις των ευθειών που δημιουργούν γωνίες o o o 45,35, 90 με την ' σ και βρίσκουμε τα σημεία E i', Z j', H k' τομής της σ ' με τις εφαπτόμενες του κύκλου στα επιλεγμένα σημεία οι οποίες έχουν τις διευθύνσεις εζη,, αντιστοίχως 9

21 Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Φ ', Φ ', Φ ' = Φ' αντιστοίχως ε ζ η Ο ' προς τις διευθύνσεις των εζη,, που τέμνουν την σ ' στα - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία E i', Z j', H k', Φε', Φ ζ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Βρίσκουμε τα Φ, Φ επί της ϕ ως τομές της με τις κάθετες στην β από τα Φ, Φ ε ζ Το Φ η ταυτίζεται με το Φ Τα προοπτικά καθενός από τα σημεία του κύκλου γ των οποίων οι εφαπτόμενες στον κύκλο που δημιουργούν γωνίες o 45 ή o 35 (στο σχήμα τα,4,6,8 ) τα βρίσκουμε ως τομή των προοπτικών εικόνων μιας ευθείας με τη διεύθυνση ε και μιας με τη διεύθυνση δ Τα προοπτικά των σημείων με εφαπτόμενες παράλληλες στην σ ' (στο σχήμα τα,5 ) προκύπτουν εύκολα πχ ως μέσα των τμημάτων ( Α)( Β ),( Γ )( ) όπου ΑΒ, Γ οι πλευρές οι παράλληλες στην σ ' του τετραγώνου που δημιουργείται από τις εφαπτόμενες των διευθύνσεων των παράλληλων και κάθετων στη σ ' Χαράσσουμε τη ζητούμενη έλλειψη ώστε να διέρχεται από τις παραπάνω εικόνες των έξι σημείων και να εφάπτεται σε αυτά στις αντίστοιχες εικόνες των εφαπτομένων του δοσμένου κύκλου ε ζ Παρατηρήστε πως παρότι χρησιμοποιήσαμε όλες τις εφαπτόμενες ευθείες στα επιλεγμένα σημεία, τις προοπτικές εικόνες ( 3 ),(7 ) των σημείων 3 και 7 δεν χρειάστηκε να τις βρούμε Πως θα τις κατασκευάζατε αν ήταν επιβεβλημένο; Σχήμα 35 0

22 Σχήμα Προοπτική εικόνα οριζόντιου κύκλου Για την προοπτική εικόνα οριζόντιου κύκλου που ανήκει στο επίπεδο α π διάφορο του π αρκεί να αλλάξουμε το παραστατικό σύστημα των επιπέδων ( π, π ) σε ( α π, π ) και να επαναλάβουμε την τελευταία κατασκευή Υπενθύμιση: Για την αλλαγή του παραστατικού συστήματος των κάθετων επιπέδων στο σύστημα ( α π, π ) με α π παράλληλο στο π και προσημασμένη απόσταση υ από αυτό (αποστάσεις μετρημένες κατά τον άξονα z' z των υψομέτρων Αν σ '' το δεύτερο ίχνος του α π, είναι d( π, α π) = ± υ): α α α Η εικόνα του τυχαίου σημείου Α του χώρου από ( Α', Α '') στο ( π, π ) γίνεται ( Α', Α'') = ( Α', Α''), όπου το α a Α ' βρίσκεται στην ευθεία ΑΑ ' '' σε προσημασμένη απόσταση υ = Α' Α' από το Α ' Αν η παράσταση ΑΑ ( ', Α '') του σημείου Α και του επιπέδου α π (με δεύτερο ίχνος είναι όπως στο επόμενο παραστατικό σχήμα, σ '' ) στο σύστημα ( π, π ) Σχήμα 37 α α τότε η παράσταση Α( Α', Α '') του Α στο σύστημα ( α π, π ) είναι όπως στο επόμενο παραστατικό σχήμα:

23 Σχήμα Προοπτική εικόνα κατακόρυφου κύκλου Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύκλου γ ενός κατακόρυφου επιπέδου π ( s ',s '') του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Όπως και στην περίπτωση του προοπτικού κύκλου του π, η ζητούμενη προοπτική εικόνα είναι και πάλι η τομή του πίνακα με τον κυκλικό κώνο κέντρου Ο και οδηγό καμπύλη τον κύκλο γ Πρόκειται λοιπόν για μια κωνική τομή Στο παράδειγμά μας αυτή είναι μια έλλειψη Για τη για τη ζητούμενη κατασκευή της προοπτικής εικόνας του γ χρησιμοποιούμε τα άκρα,4 και,6 των διαμέτρων του γ των παράλληλων και κάθετων στο ίχνος του π 0, καθώς και άλλα δύο σημεία 3,5 του γ Καθώς ισχύουν παρόμοιες παρατηρήσεις με αυτές της περίπτωσης του κύκλου επί του π τα σημεία -6 (ή και - 4) αρκούν για τη ζητούμενη κατασκευή της προοπτικής εικόνας του γ Μια σημαντική διαφορά στην παρούσα περίπτωση είναι πως τα σημεία -6 δεν βρίσκονται στο επίπεδο π οπότε για τις προοπτικές τους εικόνες πρέπει να ανακαλέσουμε την κατασκευή που χρησιμοποιεί τα υψόμετρά τους 0 Σχήμα 39

24 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας κύκλου γ του κατακόρυφου επιπέδου π 0( s ',s '') - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Επιλέγουμε τα σημεία,,3,4,5,6 του κύκλου ώστε 4 διάμετρος παράλληλη στην s', 6 διάμετρος κάθετη στην s', και 3,5 τυχαία σημεία συμμετρικά τοποθετημένα ως προς την ευθεία 4 Στο σχήμα τα σημεία αυτά εμφανίζονται με τις πρώτες και δεύτερες προβολές τους (πχ το ως ( ','') Βρίσκουμε την τομή S' της σ ' με την s' Χαράσσουμε από το Ο ' την κάθετη προς την σ ' και την παράλληλη προς την s' που τέμνουν την σ ' αντιστοίχως στα Φ', Φ s ' Χαράσσουμε τις κάθετες από τα ',',3',4' προς την σ ' που την τέμνουν στα E ',,E 4' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία E ',,E 4', Φ s',s' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Βρίσκουμε το Φ s επί της ϕ ως τομής της με την κάθετη στην β από το Φ s ' Χαράσσουμε ευθεία από το S' κάθετη στην β και πάνω της σημειώνουμε σημεία α, α, με προσημασμένη απόσταση από το S' όσο τα υψόμετρα υ, υ, των,, Βρίσκουμε τις προοπτικές εικόνες ( '),( '), των ',', που είναι σημεία του π με το γνωστό τρόπο Βρίσκουμε την προοπτική εικόνα υ υ ( ),( ), καθενός από τα,, ως τομή της ευθείας της κάθετης προς την β από το ( '),( '), με την ευθεία που διέρχεται από το Φ και το σημείο α υ i του αντίστοιχου υψομέτρου Χαράσσουμε τη ζητούμενη έλλειψη που είναι η προοπτική εικόνα του γ ώστε να διέρχεται από τις παραπάνω εικόνες των έξι σημείων ( ),( ), και να εφάπτεται στις ευθείες Φ a s υ και Φ a s υ 6 Εξηγήστε γιατί η ( γ ) εφάπτεται στις Φ και s a υ Φ a s υ 6 όπως αναφέρεται στο τέλος της προηγούμενης κατασκευής Σχήμα 40 3

25 Σχήμα 4 Στο τελευταίο σχήμα σημειώσαμε και την προοπτική εικόνα του κέντρου Κ της δοσμένης έλλειψης παρατηρείτε; γ ' Τι Βασισμένοι στα προηγούμενα, ας βρούμε την προοπτική εικόνα ενός κυλίνδρου 464 Προοπτική εικόνα κυλίνδρου Ζητείται η προοπτική εικόνα του ορθού κυκλικού κυλίνδρου του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση γ του κυλίνδρου ανήκει στο π Σχήμα 4 4

26 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ορθού κυκλικού κυλίνδρου με τη βάση τουγ στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της βάσης γ που ανήκει στο π, με τον τρόπο που αναπτύξαμε στο παράδειγμα για την κατασκευή προοπτικής εικόνας κύκλου του π Συνοπτικά: Επιλέγουμε στο παραστατικό τα σημεία,,,8 του γ στα άκρα των διαμέτρων των παράλληλων και κάθετων στην σ ' και των διαμέτρων 0 0 που δημιουργούν γωνία 45 ή 35 με την σ ' Χαράσσουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά, και μεταφέρουμε για τις ευθείες αυτές τα δεδομένα στο προοπτικό και τις χρησιμοποιούμε για την εύρεση των προοπτικών εικόνων ( ),( ), των,, Σχεδιάζουμε την έλλειψη ( γ ) ως διερχόμενη από τα ( ),( ), και εφαπτόμενη στις προοπτικές εικόνες των εφαπτομένων του γ - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της άλλης βάσης γ του κυλίνδρου ως εικόνα οριζόντιου κύκλου, όπως σημειώθηκε στην αντίστοιχη παράγραφο Συγκεκριμένα, τη σχεδιάζουμε ως έλλειψη διερχόμενη από τις α α α προοπτικές εικόνες των σημείων του,,, 8 που βρίσκονται στα άλλα άκρα των γενετειρών του α α κυλίνδρου από τα,,,8 Για να βρούμε τις προοπτικές εικόνες ( ),( ), στο προοπτικό, κάνουμε μια αλλαγή του συστήματος ( π, π ) σε ( α π, π ), όπου α π το οριζόντιο επίπεδο της βάσης γ Συνοπτικά: βρίσκουμε στο παραστατικό σχήμα την απόσταση υ του επιπέδου της πάνω βάσης από το π (προσημασμένο ύψος του κυλίνδρου), και στο προοπτικό σχήμα χαράσσουμε την ευθεία α β την παράλληλη στην β και σε προσημασμένη απόσταση υ από αυτή Το νέο σύστημα στο προοπτικό μας σχήμα έχει βάση την α β και ευθεία φυγής ξανά την ϕ Το Φ παραμένει ως σημείο αρχής για την ϕ Τα σημεία επάνω στην α β που α α πρέπει να μεταφέρουμε από το παραστατικό ως τομές της σ' = π π με τις εφαπτόμενες του γ στα α α,, καθώς και ως τομές της με τις παράλληλες σε αυτές τις εφαπτόμενες από το α Ο ' (=προβολή του Ο στο α π ) είναι απλώς οι τομές της α β με τις κάθετες στην β από τα αντίστοιχα σημεία επάνω της που α α σημειώσαμε για την κατασκευή των ( ),( ), Έτσι για την ολοκλήρωση της κατασκευής των ( ),( ), επαναλαμβάνουμε τα βήματα της κατασκευής των ( ),( ), - Τέλος χαράσσουμε στο προοπτικό σχήμα τα κατακόρυφα τμήματα (εδώ τα ( 4 )( 4'),(7 )(7') ) που αποτελούν προοπτικές εικόνες του κατακόρυφου περιγράμματος (στο παραστατικό σχήμα) του κυλίνδρου Οι απαραίτητες κατασκευές στο παραστατικό και επί του πίνακα παρουσιάζονται στα δύο επόμενα σχήματα: 5

27 Σχήμα 43 Σχήμα 44 6

28 Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Α του π Σχήμα 45 7

29 Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του τετραγώνου 34 του π Σχήμα 46 8

30 Άσκηση 3 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του πολυγώνου 3456 του π Σχήμα 47 9

31 Άσκηση 4 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Μ του τμήματος ΑΒ του π για το οποίο ΑΜ ΜΒ = 3 Σχήμα 48 30

32 Άσκηση 5 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του δικτυωτού μοτίβου του επόμενου σχήματος, που ανήκει στο επίπεδο π Σχήμα 49 3

33 Άσκηση 6 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Α του χώρου Σχήμα 50 3

34 Άσκηση 7 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της ευθείας ε του χώρου Σχήμα 5 33

35 Άσκηση 8 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ο οποίος έχει τη βάση του 34 στο π Σχήμα 5 34

36 Άσκηση 9 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθού πρίσματος το οποίο έχει τη βάση του 34 στο π Σχήμα 53 35

37 Άσκηση 0 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της πυραμίδας Κ34 η οποία έχει τη βάση της 34 στο π Σχήμα 54 36

38 Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κύκλου γ του π Σχήμα 55 37

39 Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του οριζόντιου κύκλου γ Σχήμα 56 38

40 Άσκηση 3 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου γ του επιπέδου p( s's, '') Σχήμα 57 39

41 Άσκηση 4 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθού κυκλικού κυλίνδρου του επόμενου σχήματος, ο οποίος έχει τη βάση του γ στο π Σχήμα 58 40

42 Άσκηση 5 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της αψίδας Η αψίδα αυτή έχει πρόσοψη ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο από το οποίο αφαιρέθηκε ένα μικρότερο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μαζί με ένα ημικύκλιο στην κορυφή του μικρού ορθογωνίου Πιο αυστηρά: η αψίδα μας είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κορυφών,,3,4,5,6,7,8 (με τη βάση του,,3,4 επί του π ) από το οποίο αφαιρέθηκαν (α) το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κορυφών 9,0,,,3,4,5,6 (με τις 9, στο τμήμα 4 και τις 0, στο τμήμα 3 ), (β) ορθός κυκλικός κύλινδρος (η ακριβέστερα ο μισός αυτού) με οδηγό γραμμή κύκλο γ κατακόρυφου επιπέδου (η ακριβέστερα ημικύκλιο γ ) με διάμετρο το τμήμα των σημείων3 και 6 Τα γενέτειρα τμήματα του κυλίνδρου είναι παράλληλα, ομόρροπα και ίσα του τμήματος με άκρα τα σημεία3 και 4 Σχήμα 59 4

43 Άσκηση 6 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κτιρίου του επόμενου σχήματος Η βάση του κτιρίου βρίσκεται στο π Σχήμα 60 4

44 Άσκηση 7 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε προοπτική εικόνα της κλίμακας (σκάλας) του επόμενου σχήματος Σχήμα 6 43

45 Άσκηση 8 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της στήλης (βάση, κίονας, κιονόκρανο) του επόμενου σχήματος από το Ο επί του πίνακα π( σ ',σ '') Ο κίονας είναι ορθός κυλινδρικός, ενώ η βάση και το κιονόκρανο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (πρίσματα) Η βάση εδράζεται επί του π, ο κίονας εδράζεται επί της βάσης, ενώ το κιονόκρανο εδράζεται επί του κίονα Σχήμα 6 44

46 Άσκηση 9 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της σήραγγας (ορθού κυκλικού ημικυλίνδρου) με οριακές γενέτειρες επί του π 45

47 ΟΜΟΛΟΓΙΑ 5 Εισαγωγή Ομολογία ονομάζουμε κάθε προβολική απεικόνιση ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του (δηλαδή απεικόνιση που διατηρεί το διπλό λόγο τεσσάρων σημείων, ισοδυνάμως, πεπερασμένη σύνθεση προοπτικών απεικονίσεων) με την επιπλέον ιδιότητα να αφήνει αναλλοίωτα τα σημεία μιας ευθείας Έτσι, ομολογία είναι κάθε απεικόνιση F : F : Π Π ', Π Π ' = προβολικό επίπεδο, σημείο σημείο ευθεία ευθεία ( A, A, A3, A4) = ( F( A), F( A), F( A3), F( A4 )) Μ σ FM ( ) = M, σ = δοσμένη ευθεία Στις 9, θα διαπιστώσουμε πως οι ομολογίες αποτελούν γενικεύσεις πολλών γνωστών απεικονίσεων του ευκλείδειου επιπέδου, όπως πχ πολλών ευκλείδειων μετατοπίσεων, και των ομοιοθεσιών Οι ομολογίες είναι ένα πολύ σημαντικό υποσύνολο προβολικών απεικονίσεων ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του Οι υπόλοιπες προβολικές απεικονίσεις ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του ονομάζονται ομοπαραλληλικές προβολικές απεικονίσεις αλλά δεν θα ασχοληθούμε με αυτές στις παρούσες σημειώσεις Δουλεύοντας με δοσμένη ομολογία F, θα είναι βολικότερο να αγνοούμε το όνομά της και να συμβολίζουμε για κάθε Α Π την εικόνα F( Α) ως A' Π' Θα ονομάζουμε το Α' ως ομόλογο του Α, και το ζεύγος ( Α,Α') ως ζεύγος ομόλογων σημείων Ομοίως, θα συμβολίζουμε την εικόνα F(ε) της τυχαίας ευθείας ε Π, ως ε' Π' Θα ονομάζουμε την ε' ως ομόλογη της ε, και το ζεύγος ( ε,ε') ως ζεύγος ομόλογων ευθειών Αλλά και για τυχαίο σχήμα Σ (υποσύνολο του επιπέδου), την εικόνα του F( Σ) θα ονομάζουμε ομόλογη του Σ Παρατηρήστε πως το Σ δεν είναι απαραιτήτως ομόλογο του F( Σ) (ελέγξτε το πχ όταν το Σ είναι σημείο)! Όμως η αντίστροφη απεικόνιση F της F ορίζεται και είναι επίσης ομολογία (δικαιολογήστε), και παρατηρήστε πως για αυτή την απεικόνιση, το Σ είναι ομόλογο του F( Σ) (δικαιολογήστε) Στο εξής θα χρησιμοποιούμε τόνους για να συμβολίζουμε το ομόλογο ενός σημείου ή την ομόλογη μιας ευθείας Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε πως η ομολογία ως απεικόνιση έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών Έτσι παρότι αποτελεί απεικόνιση ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του, το πεδίο ορισμού της Π θα θεωρείται διαφορετικό από το πεδίο τιμών της Π' Αν F id τότε: - Υπάρχει (μοναδική) ευθεία σ πάνω στην οποία τέμνονται όλα τα ζεύγη ( ε,ε') ομόλογων ευθειών Κάθε σημείο της σ ταυτίζεται με το ομόλογό του (Ισχύουν εξαιτίας του ορισμού) - Υπάρχει (μοναδικό) σημείο Κ (έξω ή και πάνω στην σ ) από το οποίο διέρχονται όλες οι ευθείες ΑΑ' που ορίζονται από ζεύγη ομόλογων σημείων ( Α,Α') Το ομόλογο του Κ είναι ο εαυτός του (Αποδείξτε τα) Ονομάζουμε την ευθεία σ ως άξονα της ομολογίας και το σημείο Κ ως κέντρο της ομολογίας Καθώς είναι εξαιρετικά σημαντικό, επαναλαμβάνουμε: - Δύο τυχαία ομόλογα σημεία ορίζουν ευθεία διερχόμενη από το κέντρο Κ - Δύο τυχαίες ομόλογες ευθείες τέμνονται επάνω στον άξονα σ Οι παρατηρήσεις αυτές αποτυπώνονται οπτικοποιημένες στα δύο επόμενα σχήματα Σχήμα 63 Σχήμα 64 46

48 Εκτός του ενδιαφέροντος που παρουσιάζουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες του κέντρου και του άξονα μιας ομολογίας, η σπουδαιότητα των δύο αυτών στοιχείων έγκειται στην παρατήρηση πως: Κάθε ομολογία ορίζεται από το κέντρο, τον άξονα και ένα ζεύγος ομόλογων (αντίστοιχων) σημείων Η δικαιολόγηση δίνεται στην αμέσως επόμενη παράγραφο Έτσι, τις ομολογίες μας θα τις ορίζουμε συχνά με το να καθορίζουμε το κέντρο τους, τον άξονά τους και ένα ζεύγος ομόλογων σημείων τους 6 Κατασκευή του ομόλογου σημείου σε δοσμένη ομολογία Εδώ η ομολογία καθορίζεται από τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την εύρεση του ομολόγου Β' ενός σημείου Β που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΑ', χαράσσουμε την ευθεία ΑΒ που τέμνει τον άξονα έστω στο Μ Τότε η ομόλογη της ευθείας ΑΜ είναι η Α' Μ ' = ΑΜ, και το ομόλογο του Β ανήκει και στην ευθεία ΚΒ (γιατί;), και στην ευθεία Α' Μ (γιατί;) Συνεπώς Β' = ΑΒ Α' Μ Για την εύρεση του ομολόγου Γ' ενός σημείου Γ που ανήκει στην ευθεία ΑΑ', βρίσκουμε πρώτα το ομόλογο Β' ενός σημείου Β που δεν ανήκει στην ευθεία, και κατόπιν επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη κατασκευή με δοσμένο το ζεύγος των ομολόγων ( Β,Β') και το Γ εκτός της ευθείας ΒΒ' Σχήμα 65 Σχήμα 66 Προσπαθήστε να βρείτε το ομόλογο του ' στο Σχήμα 66 Παράδειγμα Κατασκευή του ομολόγου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την εύρεση του ομολόγου Α'Β'Γ'Δ' του ΑΒΓΔ ακολουθούμε την κατασκευή του σχήματος 67, επαναλαμβάνοντας ουσιαστικά διαδοχικά για τα Β,Γ,Δ την κατασκευή της εύρεσης του ομόλογου ενός σημείου που αναφέραμε προηγουμένως: Σχήμα 67 Σχήμα 68 47

49 Παρατηρήστε πως το ομόλογο Α'Β'Γ'Δ' του ΑΒΓΔ δεν είναι εν γένει παραλληλόγραμμο Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό; 7 ΕΥΘΕΙΕΣ ΦΥΓΗΣ φ,φ ' ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ Για την ομολογία F:Π Π', ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η μελέτη των επ άπειρον ευθειών Π,Π' των Π,Π' Προκειμένου να αποφύγουμε τη συνεχή χρήση του συμβόλου του απείρου, συνηθίζεται να χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους συμβολισμούς στους οποίους το σύμβολο φ προκύπτει από τη λέξη «φυγή»: F:Π Π' φ φ ' = Π' Π' = επ' άπειρον ευθεία του Π' Π = φ φ ' Π = επ' άπειρον ευθεία του Π Ακολουθούν κάποιοι ορισμοί και παρατηρήσεις Οι φ,φ ' ονομάζονται πρώτη και η δεύτερη ευθεία φυγής της ομολογίας αντιστοίχως Οι φ,φ ' είναι παράλληλες στον άξονα σ Για κάθε ευθεία ε, το σημείο της ε Επίσης, το σημείο φυγής της ε Φ ε που η ομολογία το στέλνει στο άπειρο είναι το πρώτο σημείο φυγής της Φ ε στο οποίο στέλνει η ομολογία το επ άπειρον σημείο της ε, είναι το δεύτερο σημείο Το πρώτο σημείο φυγής Φ ε της ε ανήκει στην ίδια την ε, ανήκει επίσης στην πρώτη ευθεία φυγής φ της ομολογίας, αλλά και στην παράλληλο προς την ομόλογό της ε από το Κ Οι δύο τελευταίες ιδιότητες εξηγούν και τις ονομασίες ως ευθείες φυγής των φ,φ ' Η φ φιλοξενεί επάνω της όλα τα σημεία των διαφόρων ευθειών του επιπέδου των οποίων η εικόνα «φεύγει» στο άπειρο Η φ' φιλοξενεί επάνω της, τις εικόνες των επ άπειρον σημείων όλων των ευθειών, δηλαδή των σημείων που έχουν «φύγει» στο άπειρο Το δεύτερο σημείο φυγής Φ ε της ευθείας ε ανήκει στην ομόλογό της ε', ανήκει επίσης στη δεύτερη ευθεία φυγής φ' της ομολογίας, αλλά και στην παράλληλη προς την ε από το Κ Η απόσταση της φ από το κέντρο, είναι ίση με την απόσταση της φ' από τον άξονα και αντιστρόφως η απόσταση της φ' από το κέντρο, είναι ίση με την απόσταση της φ από τον άξονα Το κέντρο και ο άξονας βρίσκονται αμφότεροι εντός ή αμφότεροι εκτός της ζώνης των παραλλήλων φ,φ ' Στην παράγραφο που ακολουθεί παρουσιάζουμε την κατασκευή των ευθειών φυγής μιας ομολογίας 7 Κατασκευή των ευθειών φυγής φ,φ ' μιας ομολογίας Για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την κατασκευή των ευθειών φυγής φ,φ ' της ομολογίας εκμεταλλευόμαστε τις ιδιότητες που αναφέραμε προηγουμένως και ακολουθούμε τον εξής κανόνα: Χαράσσουμε ένα τυχαίο ζεύγος ομόλογων ευθειών διερχόμενων από τα Α,Α' αντιστοίχως, και κατόπιν χαράσσουμε τις ευθείες από το κέντρο Κ τις παράλληλες στις ε,ε' Αυτές οι νέες ευθείες τέμνουν τις ε',ε αντιστοίχως στα ε ' = Φ ε,φ Οπότε οι ζητούμενες ευθείες ε φ,φ ' είναι οι παράλληλες προς τον άξονα σ από τα Φ ε,φ ε αντιστοίχως Πρακτικά: κατασκευάζουμε παραλληλόγραμμο με διευθύνσεις τις ε,ε', μία κορυφή το Κ και απέναντι κορυφή στον άξονα Οι ευθείες από τις άλλες δύο κορυφές οι παράλληλες στον άξονα είναι οι ζητούμενες ευθείες φυγής φ,φ ' της ομολογίας Η ορθότητα της κατασκευής έγκειται στο γεγονός πως αν ε ζ δύο παράλληλες ευθείες, τότε οι ε,ζ έχουν το ίδιο δεύτερο σημείο φυγής που προκύπτει ως τομή της φ' με την ευθεία από το την παράλληλη στη διεύθυνση των ε,ζ 48

50 Σχήμα 69 Σχήμα 70 Εκτός του ενδιαφέροντος που παρουσιάζουν οι ιδιότητες των ευθειών φυγής μιας ομολογίας, η σπουδαιότητά τους έγκειται στην παρατήρηση πως: Κάθε ομολογία ορίζεται από το κέντρο, τον άξονα και μια οποιαδήποτε από τις ευθείες φυγής Εδώ, όταν θα χρησιμοποιούμε τις ευθείες φυγής για τον καθορισμό μιας ομολογίας, θα επιλέγουμε την φ Στην επόμενη παράγραφο δείχνουμε πως πράγματι το ομόλογο τυχαίου σημείου μπορεί να καθοριστεί όταν δεδομένα είναι το κέντρο, ο άξονας και η πρώτη ευθεία φυγής 8 Κατασκευή ομολόγου ενός σημείου σε δοσμένη ομολογία Εδώ, για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και φ Για την εύρεση πχ του ομολόγου Α' ενός σημείου Α ακολουθούμε την εύγλωττη κατασκευή του σχήματος 7 Δηλαδη: Σχήμα 7 Σχήμα 7 Χαράσσουμε τυχαία ευθεία ε από το Α που τέμνει τον άξονα έστω στο και την φ έστω στο ε Το ζητούμενο σημείο ' είναι η τομή της ευθείας με την παράλληλη προς την ε από το 9 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ Σε τούτη τη σύντομη παράγραφο η ομολογία δεν θα είναι δεδομένη, παρά θα ζητείται να την ορίσουμε εμείς ώστε να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα Θα περιοριστούμε στην πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα να μετασχηματίζει δοθέν τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ', ή σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ή σε τετράγωνο Υπάρχουν αρκετές τέτοιες ομολογίες Για τον καθορισμό μιας οποιασδήποτε από αυτές, θα δώσουμε τον άξονά της, το κέντρο της και την πρώτη ευθεία φυγής της 49

51 Για να εντοπίσουμε κάποια από αυτές, θα διευκολύνουμε την έρευνά μας θεωρώντας πως ο άξονάς της είναι ευθεία διερχόμενη από το Α και το κέντρο της Κ είναι σημείο της επιλογής μας Καθώς οι εικόνες Α' Β' = ΑΒ' και Γ ' Δ' των ευθειών, έχουν κοινό επ άπειρον σημείο, θα πρέπει οι ΑΒ,ΓΔ να μοιράζονται το πρώτο σημείο φυγής τους, δηλαδή να τέμνονται σε σημείο της φ, έστω Μ (εξηγήστε το λόγο) Το ίδιο σκεπτικό δείχνει πως οι ΑΔ,ΒΓ πρέπει επίσης να τέμνονται σε σημείο της φ, έστω Μ Συνεπώς η ευθεία φ πρέπει να είναι αυτή που διέρχεται από τα Μ,Μ, και η σ να είναι η παράλληλη προς την φ από το Α Όμως τα σ,φ,κ καθορίζουν την ομολογία και έχουμε τελειώσει Το σημείο Κ πράγματι μπορεί να είναι τυχόν αφού τα παραπάνω δεν περιορίζουν τη θέση του Η κατασκευή συνοπτικά: Ορισμός ομολογίας ώστε δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ να απεικονίζεται σε παραλληλόγραμμο Επιλέγουμε τυχαίο σημείο και το ονομάζουμε Κ Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των ΑΒ,ΓΔ, και το σημείο τομής Μ των ΑΔ,ΒΓ Χαράσσουμε την ΜΜ ονομάζοντάς την φ, και χαράσσουμε την σ από το Α παράλληλα στην ΜΜ Η ομολογία F( Κ,σ,φ ) μετασχηματίζει το ΑΒΓΔ σε παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ' Για να βρούμε το Α'Β'Γ'Δ' ακολουθούμε τη γνωστή κατασκευή Ως παράδειγμα της μεθόδου, έστω πως το δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι το επόμενο: Τότε η προτεινόμενη κατασκευή είναι η ακόλουθη: Σχήμα 73 Σχήμα 74 Αν η ομολογία που ορίσαμε πιο πάνω θέλουμε να απεικονίζει το ΑΒΓΔ σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, και όχι απλώς σε παραλληλόγραμμο, τότε θα πρέπει να επιλέξουμε το κέντρο Κ πιο προσεχτικά Θα πρέπει οι ευθείες ΚΜ,ΚΜ να είναι κάθετες, διότι είναι παράλληλες στις Α' Β',Α' Δ που τις απαιτούμε πλέον κάθετες μεταξύ τους Αν επιπλέον επιθυμούμε το Α'Β'Γ'Δ' να είναι τετράγωνο, είναι τετριμμένο να αποδείξουμε πως το Κ πρέπει να επιλεγεί στην τομή του κύκλου διαμέτρου ΜΜ με τον Απολλώνιο κύκλο των Μ,Μ και λόγο BM M / BA A, δηλαδή ώστε ΚΜ BM A = ΚΜ ΒΑ M Έτσι: Ορισμός ομολογίας ώστε δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ να απεικονίζεται σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 50

52 Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των ΑΒ,ΓΔ, και το σημείο τομής Μ των ΑΔ,ΒΓ Χαράσσουμε την ΜΜ ονομάζοντάς την φ, και χαράσσουμε την σ από το Α παράλληλα στην ΜΜ Επιλέγουμε τυχαίο σημείο στον κύκλο διαμέτρου ΜΜ και το ονομάζουμε Κ Η ομολογία F( Κ,σ,φ ) μετασχηματίζει το ΑΒΓΔ σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ' Για να βρούμε το Α'Β'Γ'Δ' ακολουθούμε τη γνωστή κατασκευή Για να είναι το Α'Β'Γ'Δ' τετράγωνο, πρέπει το Κ' να επιλεγεί στο μέσο των ημικυκλίων με άκρα τα Μ,Μ Η προτεινόμενη κατασκευή είναι η εξής: Σχήμα 75 0 ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ Οι ορισμοί που ακολουθούν αφορούν ομολογίες με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά αναφορικά με τη θέση του κέντρου ως προς τον άξονα ή την επ άπειρον ευθεία, και τη θέση του άξονα ως προς την επ άπειρον ευθεία Από τα παρακάτω και την παράγραφο, θα γίνει φανερό πως αρκετές από τις ειδικές ομολογίες, όταν περιορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο δεν είναι τίποτε άλλο παρά κάποιοι γνωστοί μας ευκλείδειοι αφφινικοί μετασχηματισμοί του επιπέδου (αφφινικοί μετασχηματισμοί είναι οι μετατοπίσεις, οι ομοιοθεσίες και οι συνθέσεις τους) Δηλαδή οι ομολογίες του προβολικού επιπέδου αποτελούν γενίκευση πολλών συνηθισμένων ευκλείδειων απεικονίσεων, όπως αναφέραμε και στην αρχή του κεφαλαίου περί ομολογίας Παράλληλη ομολογία: Κ = επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Τότε: όλες οι ακτίνες από το Κ είναι παράλληλες (εντός του Ευκλείδειου χώρου) σε μια διεύθυνση δ, και η ομολογία καλείται παράλληλη στη διεύθυνση δ Η ευθεία τυχαίου ζεύγους ομόλογων σημείων ορίζει τη διεύθυνση δ Ορθή ομολογία: παράλληλη ομολογία με άξονα κάθετο στη διεύθυνσή της (η καθετότητα φυσικά κρίνεται εντός του Ευκλείδειου επιπέδου) Ειδική ομολογία τύπου : Κ = σημείο του άξονα Κ όχι το επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Ειδική ομολογία τύπου : Κ = σημείο του άξονα Κ το επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Τότε οι ευθείες που ορίζουν τα ζεύγη ομολόγων σημείων είναι παράλληλες στον άξονα Ειδική ομολογία τύπου 3: Κ = σημείο του άξονα, άξονας η επ άπειρον ευθεία Τότε: - οι ευθείες που ορίζουν τα ζεύγη ομόλογων σημείων διέρχονται από το κοινό επ άπειρον σημείο Κ, και άρα είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους - Κάθε ζεύγος ομόλογων ευθειών τέμνεται επάνω στον άξονα, δηλαδή σε επ άπειρον σημείο, και άρα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες - Συνεπώς όλα τα τμήματα ΑΑ' (στον Ευκλείδειο χώρο) μεταξύ ομόλογων σημείων είναι ίσα, δηλαδή η ομολογία είναι συνηθισμένη παράλληλη μεταφορά (στον Ευκλείδειο χώρο) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ Παράδειγμα : Κατασκευή του ομολόγου Α Β Γ Δ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ σε παράλληλη ομολογία 5

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη.

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη. Προβολές σε άλλα επίπεδα - Προοπτικές απεικονίσεις Μπορεί να γίνει προβολή ως προς σημείο το οποίο μπορεί να είναι το ανθρώπινο μάτι, ή ακριβέστερα το εστιακό σημείο του ανθρώπινου ματιού: Η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Πρόκειται να δώσουμε τον ορισμό των κωνικών τομών και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ

ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 45. 4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Το ομοιόθετο σημείου ν πάρουμε δύο σημεία Ο, και στην ημιευθεία Ο πάρουμε ένα σημείο ', τέτοιο ώστε Ο = 2 O, τότε λέμε ότι το σημείο είναι ο- μοιόθετο του με κέντρο Ο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β.

ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β. Προσοχή! Ο παραπάνω χάρτης για εκπαιδευτικούς λόγους έχει από πριν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα